圆内接四边形
1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠ADC=130°，则∠AOC的大小是（ ）
A．80° B．100° C．60° D．40°
【变式1】如图，已知⊙O为四边形ABCD的外接圆，O为圆心，若∠BCD=120°，AB=AD=2，则⊙O的半径长为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】如图，四边形ABCD内接于半圆O，已知∠ADC=140°，则∠AOC的大小是（ ）
A．40° B．60° C．70° D．80°
【变式3】四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且=，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC，若∠ABC=105°，∠BAC=25°，则∠E的度数为（ ）
A．45° B．50° C．55° D．60°
【变式4】已知圆内接四边形ABCD，则∠A：∠B：∠C：∠D可能为（ ）
A．1：2：2：3 B．2：2：3：1 C．3：6：5：2 D．2：3：2：3
2如图，四边形ABCD内接于⊙O，若它的一个外角∠BCE=65°，则∠BOD的大小为（ ）
A．65° B．115° C．130° D．135°
【变式1】如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AD与BC的延长线交于点E，BA与CD的延长线交于点F，∠DCE=80°，∠F=25°，则∠E的度数为（ ）
A．55° B．50° C．45° D．40°
【变式2】如图，圆内接四边形ABDC，延长BA和DC相交于圆外一点P，∠P=30°，∠D=70°，则∠ACP= ．
【变式3】如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E、F．
（1）当∠E=∠F时，则∠ADC= °；
（2）当∠A=55°，∠E=30°时，求∠F的度数；
（3）若∠E=α，∠F=β，且α≠β．请你用含有α、β的代数式表示∠A的大小．
3如图，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A、点B，点A的坐标为（0，4），M是第三象限内上一点，∠BMO=120°，则⊙C的半径长为（ ）
数学教案－圆的内接四边形
1。 知识结构
2。 重点、难点分析 重点：圆内接四边形的性质定理．它是圆中探求角相等或互补关系的常常利用定理，同时也是转移角的常常利用方式． 难点：定理的灵活运用．利用性质定理时应注意观察图形、分析图形，不要弄错四边形的 外角和它的内对角的彼此对应位置． 3。 教法建议 本节内容需要一个课时． （1）教师的重点是为学生创设一个探讨问题的情境（参看教学设计示例），组织学生自主观察、分析和探讨； （2）在教学中以“发现——证明——应用”为主线，以“特殊——一般”的探讨方式，引导学生发现与证明的思想方式． 一、教学目标：
（一）知识目标 （1）了解圆内接多边形和多边形外接圆的概念； （2）掌握圆内接四边形的概念及其性质定理； （3）熟练运用圆内接四边形的性质进行计算和证明． （二）能力目标 （1）通过圆的特殊内接四边形到圆的一般内接四边形的性质的探讨，培育学生观察、分析、归纳的能力； （2）通过定理的证明探讨进程，增进学生的发散思维； （3）通过定理的应用，进一步提高学生的应用能力和思维能力． （三）情感目标 （1）充分发挥学生的主体作用，激发学生的探讨的热情； （2）渗透教学内容中普遍存在的彼此联系、彼此转化的观点． 二、教学重点和难点: 重点：圆内接四边形的性质定理． 难点：定理的灵活运用． 三、教学进程设计 （一）大体概念 若是一个多边形的所有极点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆．如图中的四边形ABCD叫做⊙O的内接四边形，而⊙O叫做四边形ABCD的外接圆． （二）创设研究情境 问题：一般的圆内接四边形具有什么性质？
研究：圆的特殊内接四边形（矩形、正方形、等腰梯形） 教师组织、引导学生研究． 一、边的性质： （1）矩形：对边相等，对边平行． （2）正方形：对边相等，对边平行，邻边相等． （3）等腰梯形：两腰相等，有一组对边平行． 归纳：圆内接四边形的边之间看不出存在什么公同的性质． 二、角的关系 猜想：圆内接四边形的对角互补． （三）证明猜想 教师引导学生证明．（参看思路） 思路1：在矩形中，外接圆心即为它的对角线的中点，∠A与∠B均为平角∠BOD的一半，在一般的圆内接四边形中，只要把圆心O与一组对极点B、D别离相连，能取得什么结果呢? ∠A=，∠C= ∴∠A+∠C= 思路2：在正方形中，外接圆心即为它的对角线的交点．把圆心与各极点相连，与各边所成的角均方45°的角．在一般的圆内接四边形中，把圆心与各极点相连，能取得什么结果呢? 这时有2(α+β+γ+δ)=360° 所以 α+β+γ+δ=180° 而 β+γ=∠A，α+δ=∠C， ∴∠A+∠C=180°，可得，圆内接四边形的对角互补． （四）性质及应用 定理：圆的内接四边形的对角互补，而且任意一个外角等于它的内对角． （对A层学生应知，逆定理成立， 4点共圆） 例 已知：如图，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，通过A的直线与⊙O1交于点C，与⊙O2交于点D．过B的直线与⊙O1交于点E，与⊙O2交于点F． 求证：CE∥DF． （分析与证明学生自主完成） 说明：①连结AB这是一种常见的引辅助线的方式．对于这道例题，连结AB以后，可以构造出两个圆内接四边形，然后利用圆内接四边形的关于角的性质解决． ②教师在课堂教学中，擅长调动学生对例题、重点习题的剖析，多进行一点一题多变，一题多解的训练，培育学生发散思维，勇于创新． 巩固练习：教材P98中一、2． （五）小结 知识：圆内接多边形——圆内接四边形——圆内接四边形的性质． 思想方式：①“特殊——一般”研究问题的方式；②构造圆内接四边形；③一题多解，一题多变． （六）作业：教材P101中1五、1六、17题；教材P102中B组5题． 探讨活动 问题： 已知，点A在⊙O上，⊙A与⊙O相交于B、C两点，点D是⊙A上（不与B、C重合）一点，直线BD与⊙O相交于点E．试问：当点D在⊙A上运动时，可否判定△CED的形状？说明理由． 分析 要判定△CED的形状，当运动到BD通过⊙A的圆心A时，此时点E与点A重合，可以发现△CED是等腰三角形，从而猜想对一般情况是不是也能成立，进一步观察可发此刻运动进程当中∠D及∠CED的大小维持不变，△CED的形状维持不变． 提示：分两种情况 （1）当点D在⊙O外时．证明△CDE∽△CAD’即可 （2）当点D在⊙O内时． 利用圆内接四边形外角等于内对角可证明△CDE∽△CAD’即可 说明：（1）本题应用同弧所对的圆周角相等，及圆内接四边形外角等于内对角，改变圆周角极点位置，进行角的转换； （2）本题为图形形状判定型的探索题，结论的探索一样运用图形运动思想，证明结论将一般位置转化成特殊位置，同时取得添辅助线的方式，这也是添辅助线的常常利用的思想方式； （3）一般地，有时对几种不同位置图形探索取得相同结论，但不同位置的证明方式不同时，也要进行分类讨论．本题中，若是将直线BD运动到使点E在BD的反向延长线上时，
(完整)圆的内接四边形教学实录及评课
1 一、教学案例实录
教学过程 ：
1. 习旧引新
⑴ 在 ⊙O 上 ， 任到三个点 A 、 B 、 C， 然后顺次连接 , 得到的是什么图形 ?
这个图形与 ⊙O 有什么关系 ？
⑵ 由圆内接三角形的概念 ， 能否得出什么叫圆的内接四边形呢 （ 类比 ）？
2. 概念学习
⑴ 什么叫圆的内接四边形 ?
⑵ 如图 1, 说明四边形 ABCD 与 ⊙O 的关系.
3. 探讨性质
⑴ 前面我们已经学习了一类特殊四边形 —-—- 平行四边形 ， 矩形 , 菱形 ,
正方形 , 等腰梯形的性质 , 那么要探讨圆内接四边形的性质 ， 一般要从哪几个方面入手 ?
⑵ 打开《几何画板》 ， 让学生动手任意画 ⊙O 和 ⊙O 的内接四边形 ABCD . （ 教师适当指导 ）
⑶ 量出可试题的所有值 （ 圆的半径和四边形的边 , 内角 , 对角线 ， 周长 ，
面积 )， 并观察这些量之间的关系。
⑷ 改变圆的半径大小 , 这些量有无变化 ？ 由 (3) 观察得出的某些关系有无变化 ？
⑸ 移动四边形的一个顶点 , 这些量有无变化 ? 由 （3) 观察得出的某些关系有无变化 ？ 移动四边形的四个顶点呢 ? 移动三个顶点呢 ?
⑹ 如何用命题的形式表述刚才的实验得出来的结论呢 ?( 让学生回答 )
4。 性质的证明及巩固练习
⑴ 证明猜想
已知 ： 如图 1， 四边形 ABCD 内接于 ⊙O 。求证 ：∠BAD+∠BCD=180°,∠ABC+∠ADC=180° 。
⑵ 完善性质
① 若将线段 BC 延长到 E（ 如图 2)， 那么 ，∠DCE 与 ∠BAD 又有什么关系呢 ?
② 圆的内接四边形的性质定理 : 圆内接四边形的对角互补 , 并且任何一个外角都等于它的内对角。
⑶ 练习 (完整)圆的内接四边形教学实录及评课
2 ① 已知 ： 在圆内接四边形 ABCD 中 , 已知 ∠A=50°，∠D-∠B=40°, 求 ∠B，∠C，∠D 的度数.
杭后六中 九 年级 数学 课堂教学设计
课题 24.1.4圆周角（2）
——圆内接四边形 时间 2017.11.16 教师 杨瑞 二次备课
相关课程标准内容：1.圆内接多边形和多边形的外接圆的意义.
2.圆内接四边形的性质及推论.
教材内容：新人教版九年级数学上册87—88页内容.
学情分析：1.学生已经掌握了圆周角定理的内容，为本节课的学习奠定了基础2.学生的识图能力有待进一步提高.
学习目标：1. 经历推断“圆内接四边形性质定理及推论”的过程，培养学生分析问题和解决问题的能力.2.知道圆内接四边形的对角互补这一性质，并会简单运用这个结论.
教学重点难点：
1.重点：圆内接四边形的对角互补.
2.难点：结论的证明.
教学过程设计 教学环节 教学内容 教学策略 预设时间
一. 自主学习
1、学生独立自学教材87—88页例4之后的内容，要求做到“三到”，并在课本上圈画重难点、疑点（3分钟），然后自主完成学案【自主学习】中1—5小题（5分钟）
2、多媒体展示自学成果，并进行循环计分.（3分钟）
3、小组交流自学过程中存在的难点、疑点.（3分钟）
4、根据学情教师进行释疑解难（2分钟）.
二.导学交流
1、1、2号学生独立自主完成学案【导学交流】1、2题，3、4号学生自学87页思考下面的内容，然后写在学案上，并完成2题.（5分钟）
2、学生代表展示解题方法思路，其他同学纠错、质疑、补充.（3分钟）
3、师生共同总结圆内接四边形性质及其推论.（2分钟） 三.当堂检测
1. 3、4号学生完成学案【当堂检测】1、3、4T（8分钟）
2. 1、2号学生完成上述部分后，再完成《优化设计》75页轻松尝试5T，76页能力提升2、6T（10分）
3.多媒体出示标准答案，学生自行批改，并进行循环计分.（2分钟）
4.教师就学生出现的易错点进行点拨和强调.（3分钟）
四.拓展延伸（3分钟）
如图，点A，B，C，D在⊙O上，点O在∠D的内部，四边形OABC为平行四边形，则∠OAD+∠OCD= .
