分段三次埃尔米特插值
分段线性插值函数的导)(Ix
h数是间断的，若在节点kx（k=0，1，…，n）上除已知函数值
外还给kf出导数值kkmf'（k=0，1，…，n），这样就可构造一个导数连续的分段插值
函数)(Ix
h，它满足条件：
（1）.),(,)(I11baCbaCx
h代表区间一ba,阶导数连续的函数集合.
（2）kkhfx)(I,'')(I
kkhfx(k=0,1,…n).
（3）)(Ix
h在每个小区间上是三次
1,
kkxx多项式.
由两点三次插值多项式可以知道在)(Ix
h区间上表达
1,
kkxx式为
'2
11
112
112
11)()(21*)()21()()(I
kk
kkk
kkk
kkk
k
kkk
kkk
hfxx
xxxx
xxxx
xxxx
f
xxxx
xxxx
x
）（+'
112
1)(
kk
kkkfxx
xxxx
）（.
分段三次埃尔米特插值比分段线性插值效果明显改善，但这种插值要求给出节点上的导数
值，所要提供的信息太多，其光滑度也不高（只有一阶导数连续），改进这种以克服其缺
点就导致三次样条插值的提出.
三次样条插值
上面讨论的分段插值函数都有一致收敛性，但光滑性比较差，对于像告诉飞机的机翼
形线，船体放样等型值线往往要求有二阶光滑度，即有二阶连续导数.早起工程师制图是，
把富有弹性的细长木条（所谓样条）用压铁固定在样点上，在其他地方让它自由的弯曲，
然后画下长条的曲线，称为样条曲线.样条曲线实际上有分段三次曲线并接而成，在连接点
即样点上要求二阶导数连续，从而数学上加以概括就得到数学样条这一概念.
三次样条函数 定义 若函数baCxS,)(2,并且在每个小区间上是
1,
jjxx三次多项式，其中是给定
分段线性插值
分段线性插值是一种在机器学习、数学、信号处理等领域中广泛应用的方法。分段线性插值的主要目的是为漏洞、持续时间等数据展示提供更好的视觉效果，同时也可以使数据更容易进行处理。
在分段线性插值中，每一段数据都可以看作是一条直线段。通过在相邻数据点之间插入一条直线来实现插值。每个数据点或任意数段可以称为一个插值区间，插值区间内部的数据点都采用一条直线进行插值，直线的斜率由插值区间上下数据点构成。
例如：在一个区间（x1,y1）和（x2,y2）之间进行插值，其中x1
x1计算。最后，我们就可以通过已知的数据点，估计同一段中任意点的y值。
下面我们通过一个实例来进一步解释分段线性插值的应用。
比如我们有一组工作时间数据如下:
|年份| 工作时间 |
|----|----|
| 2010 | 6.5 |
| 2011 | 7.0 |
| 2013 | 7.5 |
| 2015 | 8.0 |
目前，我们需要在2012年估计工作时间。
首先，我们需要找到分段线性插值的区间。2012年的数据点在2011年和2013年之间。因此，我们可以使用2011年和2013年之间的数据点进行插值。
然后，通过计算斜率来确定m和b的值。斜率可以通过公式m = (y2-y1)/(x2-x1)来计算。2011年和2013年的工作时间分别是7.0和7.5，年份分别是2011和2013。因此，斜率为：
（7.5-7.0）/（2013年-2011年）= 0.25/2 = 0.125 插值区间的y截距b可以通过公式b = y1 - m x1来计算。这使得我们可以计算出截距：
接下来，我们就可以使用斜率和截距来计算2012年的工作时间，这将是我们所需的数据点的估计值：
y = mx + b
数值分析作业
姓名：虞驰程
题目：
函数：f(x)=11+x2在[-5,5]上，取n=10，对其进行分段线性插值和拉格朗日插值，在Matlab中实现且绘图。
Matlab实现：
首先定义函数f，在Matlab中用function.m文件编写,具体代码如图1所示：
图1 f(x)函数
定义分段线性插值的基本函数，用function.m文件编写，具体代码如图2所示：
图2 分段线性插值基本函数
定义拉格朗日插值的基本函数，用function.m文件编写，具体代码如图3所示：
图3 拉格朗日插值的基本函数
进行分段线性插值并绘图和原函数进行对比的Matlab实现代码如图4所示：
图4 分段线性插值函数绘制
其结果如图5所示，其中红色代表分段线性插值结果，蓝色代表原函数：
图5 分段线性插值和原函数对比
同理可以进行拉格朗日插值并绘图，其Matlab实现代码如图6所示，其结果如图7所示：
图6 拉格朗日插值函数绘制
图7 拉格朗日插值和原函数对比 最后我们可以将分段线性插值、拉格朗日插值和原函数进行对比，其实现代码如图8所示，最终结果如图9所示（黑色代表原函数，蓝色是分段线性插值，红色是拉格朗日插值）：
图8 两种插值方法和原函数对比实现
图9 两种插值方法和原函数对比
1 实验报告
实验项目 插值法 实验日期 2016/9/30
理论内容 分段线性插值与三次样条插值 授课日期 2016/9/0
实验室名称 文理管203 微机编号 E1
实验目的及要求：
1、学会常用的插值方法，求函数的近似表达式，以解决其它实际问题；
2、明确插值多项式和分段插值多项式各自的优缺点；
3、熟悉插值方法的程序编制；如果绘出插值函数的曲线，观察其光滑性。
实验内容：
编写分段线性插值法及三次样条插值法通用子程序，依据数据表
ix 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4
ix 1.414214 1.449138 1.483340 1.516575 1.549193
构造相应的插值多项式，并计算函数xxf)(在15.2x的近似值。
2 实验步骤及程序：
1、分段线性插值法流程图
是 否 是 输入xi,yi, i=1,⋯,n 及x
ia⟵1,ib⟵n
ib−ia>1?
im⟵ia+ib2的整数部分
xm<𝑥?
ia⟵im ib⟵im 执行求拉格朗日插值的程序，计算以ia,ib为节点的线性插值函数在插值点的函数值P1 x
输出p1(𝑥) 否
3 2、分段线性插值法源程序：
function [f] = fenduan(~,~,~,~)
x=[2.0 2.1 2.2 2.3 2.4];
y=[1.414214 1.449138 1.483340 1.516575 1.549193];
y_1=0.5*y.^(-0.5);
x0=2.15;
f = 0.0;
if(length(x) == length(y))
if(length(y) == length(y_1))
n = length(x);
else
disp('y和y的导数的维数不相等！');
return;
end
else
disp('x和y的维数不相等！');
