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正态总体统计量的分布

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精品资料 §5.5 正态总体统计量的分布

1. 单个正态总体的统计量的分布

从总体X中抽取容量为n的样本nXXX,,,21，样本均值与样本方差分别是

212111,1niiniiXXnSXnX.

定理1 设总体X服从正态分布2,N，则样本均值X服从正态分布nN2,，即

nNX2,~

证 因为随机变量nXXX,,,21相互独立，并且与总体X服从相同的正态分布2,N，所以由§4.3中的定理知，它们的线性组合X服从正态分布nN2,。

定理2 设总体X服从正态分布2,N，则统计量nXu服从标准正态分布1,0N，即

1,0~NnXu

由定理1结论的标准化即得到定理2。

定理3 设总体X服从正态分布2,N，则统计量niiXX12221服从自由度为n的2分布，即

nXXnii21222~1

证 注意到2,~NXi，则

niNXi,,2,1 ,1,0~

又上述统计量相互独立，并按照2分布的定义可得结果。

定理4 设总体X服从正态分布2,N，则 ______________________________________________________________________________________________________________

精品资料 （1）样本均值X与样本方差2S相互独立；

（2）统计量2221Sn服从自由度为1n的2分布，即

1~12222nSn

证明略。

定理5 设总体X服从正态分布2,N，则统计量nSXt服从自由度为1n的t分布，即

1~ntnSXt

证 由定理2知，统计量

1,0~NnXu

又由定理4知，统计量

1~12222nSn

因为X与2S相互独立，所以u与2也相互独立，于是根据t分布的定义得结论。

2. 两个正态总体的统计量的分布

从总体X中抽取容量为xn的样本xnXXX,,,21，从总体Y中抽取容量为yn的样本ynYYY,,,21。假设所有的抽样都是相互独立的，由此得到的样本xiniX,,2,1与yjnjY,,2,1都是相互独立的随机变量。我们把取自两个总体的样本均值分别记作

yxnjjyniixYnYXnX111 ,1

样本方差分别记作

yxnjjyyniixxYYnSXXnS12212211 ,11 ______________________________________________________________________________________________________________

精品资料 定理6 设总体X服从正态分布2,xxN，总体Y服从正态分布2,yyN，则统计量

yyxxyxnnYXU22

服从标准正态分布1,0N，即

1,0~22NnnYXUyyxxyx

证 由于独立的正态统计量的线性组合服从正态分布，所以

yyxxyxnnNYX22,~

标准化即得结论。

当yx时，我们有

推论 设总体X服从正态分布2,xN，总体Y服从正态分布2,yN，则统计量

1,0~11NnnYXUyxyx

定理7 设总体X服从正态分布2,xN，总体Y服从正态分布2,yN，则统计量

2~11yxyxyxnntnnSYXT

其中

21122yxyyxxnnSnSnS

证 由定理6的推论知，统计量 ______________________________________________________________________________________________________________

精品资料 1,0~11NnnYXUyxyx

又由定理4知

1~1222xxxnSn

1~1222yyynSn

因为2xS与2yS相互独立，由2分布的可加性知

2~211222yxyxyyxxnnnnSnSnV

因为U和V相互独立，所以由t分布的定义得结论。

定理8 设总体X服从正态分布2,xxN，总体Y服从正态分布2,yyN，则统计量

212212yynjjxxniinYYnXXFyx

服从自由度为yxnn,的F分布，即

yxyynjjxxniinnFnYYnXXFyx,~212212

证 由定理3知

xnixixxnXx21222~1

ynjyjyynXy21222~1

因为2x与2y相互独立，结合F分布的定义得结论。

定理9 设总体X服从正态分布2,xxN，总体Y服从正态分布2,yyN，则统______________________________________________________________________________________________________________

精品资料 计量2222yyxxSSF服从自由度为1,1yxnn的F分布，即

1,1~2222yxyyxxnnFSSF

证 由定理4知

1~12222xxxxxnSn

1~12222yyyyynSn

因为2xS与2yS相互独立，所以2x与2y独立，结合F分布的定义得结论。 ______________________________________________________________________________________________________________

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教案7统计量及总体分布

教案7统计量及总体分布

课程名称：经济数据统计与分析 课程性质：核心专业课 授课班级：

教学内容 第四章 概率基础和抽样分布

统计量与总体分布 课次/学时 7/2

教学目的要求 理解总体分布；

理解样本的独立同分布性质；

掌握统计量的含义及几种常用的统计量；

教学重点 统计量的含义及常用的统计量；

教学难点 判断随机变量函数是否为统计量；

理解统计量的构造；

教学内容、设计与时间安排：

A. 课程导入（5分钟）

美国鱼类和野生动物管理局要求对任何一次捕捞，每只扇贝的平均重量至少为0.0278磅，该要求旨在保护小扇贝。

一只渔船抵达马萨诸塞州一个港口，船上装着11000袋扇贝，港口负责人随机挑选了100袋检查重量。港口员工从每一袋中取出一大勺扇贝，然后用着一大勺扇贝的重量除以扇贝的数量，以此估算出袋子中每只扇贝的平均重量。根据用这种方法所产生的100个样本统计量，港口负责人估算出该渔船的每只扇贝平均重量为0.0256磅。样本标准差为0.02.联邦政府认为这是违反重量标准的确凿证据，立刻没收了该渔船95%的扇贝并随后将其进行拍卖。

渔船主对美国政府非常不满，船长宣城渔船完全遵守了重量标准，并对政府提出了诉讼。他聘请了波士顿一家律师事务所为代表，该律师事务所想请你来评定该渔船主是否有理由对联邦政府提出诉讼。你该怎么办？

B. 新课讲授（85分钟）

一、统计推断中的总体及总体分布（15分钟）

教学组织设计

启发式教学：通过案例引入，导入新课，启发学生思考。

讲授：PPT+板书

课程名称：经济数据统计与分析 课程性质：核心专业课 授课班级：

在统计推断中,我们感兴趣的是总体单位的某个或某些数量特征。例如研究某种型号灯泡的寿命这一数量特征。总体的含义是所感兴趣变量的所有取值。

这些值的出现有不同的频率，假设这批灯泡有无限多个，那么频率就收敛到了概率，从而有了使用寿命这个随机变量的概率分布。这个分布称为总体分布。

正态分布及其衍生分布的性质统计意义研究

正态分布及其衍生分布的性质统计意义研究

科学前沿论坛　

正态分布及其衍生分布的性质统计意义研究　

武妍戎　中国地质大学（北京）数理学院，北京１０００８３　

摘　要统计学是应用数学的重要组成部分，通过概率论知识建立数学模型，收集观察到的数据，进行量化分析　总结，继而进行推断和预测，为相关问题的解决提供依据和参考　统计分布既是数据分析的概率模型，又是统计的　

基石。现实生活中，许多随机现象都服从正态分布　分布、ｔ分布、Ｆ分布是标准正态分布的衍生分布，是概　率论与数理统计中三大基础分布。研究正态分布与三大分布有助于研究实际事例，如经济安全与保险、生物信息、　

人口统计等。本文介绍了正态分布及其衍生出来的三大重要分布（　分布、ｔ分布、Ｆ分布）的定义，性质，并　深入研究了其对应检验的统计学意义。创新点在于：将几大分布的密度函数等进行对比分析，得出几大分布的内在　联系。　关键词正态分布；三大分布；密度函数；统计研究　中图分类号Ｇ２　文献标识码Ａ　文章编号２０９５—６３６３（２０１７）０１—００２０一Ｏ３　

１正态分布　

正态分布是很多统计方法的理论基础，是数理统　计中的重要的分布。正态分布是连续型随机变量的分　

布，具有两个参数　和仃　，　为服从正态分布的随机　

变量的期望，　为此随机变量的方差，故正态分布记　

作Ｊｖ“　），　及　：决定了分布的位置与形态　为了便　于应用，将一般正态随机变量转化为标准正态随机变量，　

使各种形式的原始正态分布转化为　＝ｏ，　＝ｌ标准正　

态分布，称为　分布。　

１．１正态分布特点　

１）服从正态分布的随机变量的概率分布规律是：　

以　为中心，越靠近　的值的概率越大，越远离　的　

值的概率越小；　越小，分布越集中，　越大，分布越　

分散（以　为中心）。　２）当ｎ维随机向量具有相似概率规则时，称为服　

从多维正态分布的随机向量。多维正态分布经任何线性　

变换得到的随机向量仍旧服从多维正态分布。　

３）正态分布是许多统计方法的理论基础。多种统　计方法，例如检验、方差分析、相关分析和回归分析等，　

统计专业实验-实验3多元正态总体检验

统计专业实验-实验3多元正态总体检验

重庆工商大学数学与统计学院

《统计专业实验》课程

实验报告

实验课程： 统计专业实验

指导教师： ____叶勇

专业班级： 09级统计二班

学生姓名： ___陈文慧

学生学号： __2009101218

2 实 验 报 告

实验项目 实验三 多元正态总体检验

实验日期 2012.03.25 实验地点 80608

实验目的 1.掌握单一多元正态总体均值的检验；

2.掌握两个多元正态总体均值向量的检验（区分协差阵是否相等）。

3.掌握多元方差分析的思想和操作。

实验内容 1.检验2008年西部11区城镇居民大类消费与全国平均水平有无显著差异。

2.分析我国上市公司电力、煤气及水生产供应行业和房地产行业在经营绩效（净资产收益率、总资产报酬率、资产负债率和总资产周转率）方面是否存在明显差异，抽样数据见 上市公司效绩指标.xls。

3.一套生产线同时产出三种产品，分析温度和时间对总体产出率的影响，以及温度和时间对不同产品产出率的影响，数据见 三种产品产出率.sav

实验思考题解答：

1．对协差阵未知时，在相等和不等(n=m)两种情况下，两个正态总体均值向量检验有何差异之处？

对于协差阵未知需要分两种情况讨论：

（1）当协差阵未知但是相同时，在相等和不等(n=m)两种情况下，F值会有变化，但是不会影响检验的结果。检验统计量为：

)1,(~)2(1)2(2pmnpFTpmnpmnF

（2）当协差阵未知并且不相等时，F值不会发生变化。此时检验统计量为：

),(~)(1pnpFZSZpnpnF

2．对协差阵不等(n=m)的两个正态总体均值向量检验其基本思想如何，与单总体均值向量检验有何联系？

211210: :HH

由于协差不等，且n=m，所以检验统计量为 ),(~)(1pnpFZSZpnpnF

SAS多元正态总体的统计推断

SAS多元正态总体的统计推断

多元统计分析教案 第 40 页

多元统计分析教案 第 41 页

多元统计分析教案 第 42 页

多元统计分析教案 第 43 页

多元统计分析教案 第 44 页

多元统计分析教案 第 45 页

多元统计分析教案 第 46 页

多元统计分析教案 第 47 页

多元统计分析教案 第 48 页

多元统计分析教案 第 49 页

多元统计分析教案 第 50 页

多元统计分析教案 第 51 页

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多元统计分析教案 第 59 页

多元统计分析教案 第 60 页

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多元统计分析教案 第 62 页

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