高中数学必修五课件：3.4-2(2)《基本不等式》(人教A版必修5)

答案：20
1．使用均值不等式求最值、证明不等式要 注意使用的前提条件有三条：一正(各数为 正)、二定(和或积为定值)、三相等(等号在 允许取值的范围内能取到)，要熟练掌握均 值不等式的各种变形．
2．在一个题目中，若多次使用均值不等式， 取等号的条件要求很严格，即每次使用均 值不等式等号都成立且字母取值保持一 致．
第2课时 基本不等式的应用
1．运用不等式求一些最值问题．
用a＋b≥2 ab求最小值；用ab≤(a＋2 b)2≤a2＋2 b2求最大值．
2．若p，k为常数，a，b是正实数，则
(1)若a·b＝k，当且仅当a＝b时，a＋b有最小值
；
(2)若a＋b＝p，当且仅当a＝b时，a·b有最大值
.
3．运用以上结论求最值要注意下列三个问 题：
(2)若使每间虎笼面积为24 m2，则每间虎笼 的长、宽各设计为多少时，可使围成四间 虎笼的钢筋网总长最小？
[分析] 设每间虎笼长x m、宽y m，则问题 (1)是在4x＋6y＝36的前提下求xy的最大值， 而问题(2)则是在xy＝24的前提下求4x＋6y 的最小值．因此，使用基本不等式解决即 可．
(2)由条件知 S＝xy＝24.设钢筋网总长为 l，则 l＝4x＋6y.由
xy ＝ 24Байду номын сангаас， 得
x
＝
24 y
.∴l
＝
4x
＋
6y
＝
96 y
＋
6y
＝
6(
16 y
＋
y)≥6×2 1y6·y＝48.当且仅当1y6＝y，即 y＝4 时等号成立，
此时 x＝6.
故每间虎笼长为 6 m、宽为 4 m 时，可使钢筋网总长最小．
[解] 解法 1：(1)设每间虎笼长为 x m、宽为 y m，则由条件 知 4x＋6y＝36，即 2x＋3y＝18.设每间虎笼面积为 S，则 S＝ xy. 由于 2x＋3y≥2 2x·3y＝2 6xy， ∴2 6xy≤18，得 xy≤227，即 S≤227，当且仅当 2x＝3y 时等 号成立． 由22xx＝＋33yy，＝18， 解得xy＝＝43..5， 故每间虎笼长为 4.5 m、宽为 3 m 时，可使每间虎笼面积最大．
解法 2：(1)设每间虎笼长为 x m、宽为 y m，则由条件知 4x＋ 6y＝36，即 2x＋3y＝18，x＝9－32y. ∵x>0，∴0<y<6，S＝xy＝(9－32y)y＝32(6－y)·y. ∵0<y<6，∴6－y>0，∴S≤32·[6－2y＋y]2＝227.当且仅当 6－y ＝y，即 y＝3 时，等号成立，此时 x＝4.5. 故每间虎笼长为 4.5 m、宽为 3 m 时，可使每间虎笼面积最大．
＝lg(xy)≤lg(x＋2 y)2＝lg245.当且仅当 x＝y＝52时取得等号，所以
kmin＝245.
[例4] 如图1所示，动物园要围成相同面积 的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙， 其他各面用钢筋网围成．
(1)现有可围36 m长网的材料，每间虎笼的 长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面 积最大？
x2＋3＝ x21＋3无解，所以等号不成立．正确的处理方法 是利用函数单调性求最值．
迁移变式 2 求函数 y＝x4＋x22＋x22＋1的最小值． 解：y＝x2＋2x22＋－22x2－3＝x2＋22－x2＋2x22＋2＋1＝(x2＋2)＋x2＋1 2－2. 令 x2＋2＝t，则 y＝t＋1t －2，t≥2. 易证 y＝t＋1t 在[2，＋∞)上为增函数， 因此 y＝t＋1t －2≥12. 所以 y＝x4＋x22＋x22＋1的最小值为12.
是解_析_：_∵__0<_x<_13_，．∴1－3x>0，∴x(1－3x)＝
1 3
(3x)(1－3x)≤
1 3
[3x＋21－3x]2＝13×14＝112.
5．已知x≥52，求f(x)＝x2－x－4x2＋5的最小值． 解：∵x≥52，∴x－2>0，∴f(x)＝x2－x－4x2＋5＝x－x－222＋1 ＝(x－2)＋x－1 2≥2.当且仅当x－2＝x－1 2，即x＝3时，等 号成立．故当x＝3时，ymin＝2.
(1)要求各数均为正数；
(2)要求“和”或“积”为定值； 一正、
(“3二)定要、注三相意等是否具
备等号成立的条件 ”．
．简
称
3．已知x，y是正数，且xy＝4，则
y＋ x
x 取得最小值 y
时，x的值是
()
A．1
B．2
C．2 2
D. 2
答案：B
4．不等式y＝x(1－3x)(0<x< )的最大值
1b的最小值为
()
A．8
B．4
C．1
1 D.4
解析：∵ 3是 3a 与 3b 的等比中项， ∴( 3)2＝3a·3b. 即 3＝3a＋b，∴a＋b＝1. 此时1a＋1b＝a＋a b＋a＋b b＝2＋(ba＋ab)≥2＋2＝4(当且仅当 a ＝b＝12时取等号)，故选 B. 答案：B
[例 2] 求 f(x)＝ xx2＋2＋43＋1 的最小值． [分析] 如果把 f(x)＝ xx2＋2＋43＋1 写成x2＋x23＋＋31＋1＝ x2＋3 ＋ x21＋3＋1≥2＋1＝3，求得 f(x)的最小值为 3，则所得结 果是错误的，原因是忽视了等号成立的条件，事实上方程
[例 1] (1)若 x>0，求 f(x)＝1x2＋3x 的最小值； (2)若 x<0，求 f(x)＝1x2＋3x 的最大值； (3)若 x≠0，求 f(x)＝1x2＋3x的最小值．
(2)∵x<0，∴－x>0，由基本不等式 ab≤a＋2 b(a，b∈R＋) 知： －f(x)＝－12x＋(－3x)≥2 －12x·－3x＝12， 即 f(x)≤－12. 当且仅当－1x2＝－3x，即 x＝－2 时，f(x)取最大值－12.
[例3] 若正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则 ab的取值范围为________．
[解] 由 ab＝a＋b＋3 求出 b，将 ab 转化为关于 a 的函数，再求 范围． 由已知，得 b(a－1)＝a＋3，由于 a，b 都是正数，所以 a>1，且 b＝aa＋ －31.于是 ab＝a·aa＋ －31＝[(a－1)＋1]·aa－＋13＝a＋3＋aa－＋13＝a－ 1＋a－4 1＋5≥2 a－1·a－4 1＋5＝9. 当且仅当 a－1＝a－4 1(a>1)，即 a＝3 时，等号成立，此时 b＝3. 所以 ab 的取值范围为[9，＋∞)．
3．对于不满足基本不等式结构的函数，可 以通过因式分解、通分等手段转化成为和 为定值或积为定值的结果．
4．求函数y＝ ＋bx(a>0，b>0)的最值要 掌握，特别是应用均值不等式等号不成立 时，要用单调性的方法来研究最值．
5．应用基本不等式解决实际问题时，要注 意把要求最值的变量设为函数，列函数解 析式时，要注意所设变量的范围．
迁移变式4 某公司一年购买某种货物400
吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一
年的总存储费用为4x万元，要使一年的总
运费与总存储费用之和最小，则x＝
_解_析__：_每_年__购吨买．次 数
为
400 x
次
，
所
以
总
费
用
＝
400 x
×4
＋
4x≥2 6400＝160，当且仅当16x00＝4x，即 x＝20 时等号成立．
近年来，在一起教育科技的助力下，南开区全力推动智能教育高歌猛进，未来，相信南开区将一如既往聚集更多的产业链上企业，携手并进，持续借力信息技术，深化教育改革，推动大数据应用，发展 个化学习，将南开区打造成名副其实的科技教育高地，国家新基建政策提出后，各地政府纷纷响应，多年来，培生业务已在教育出版的基础上，延伸拓展至一系列教育服务，包含教材、考试、教师培训 等，排油烟风机 /，中考结束后，E就直接进入了青岛墨尔文中学，正式开始为出国做准备，在未来，双方还会进一步推出教师认证、竞赛活动等内容，未来，以VIPKID为代 表的在线教育机构，除了在为国内孩子嫁接优质的海外教学资源外，也正在源源不断向海外输出中国文化和中国品牌
[点评] 本例的求解建立在函数思想上，通 过已知的等式，将两个变元转化为一个变 元．利用均值不等式，求函数的值域，是 解决这类问题常用的方法．
迁移变式3 已知x，y∈(0，＋∞)，且x＋y ＝5，若lgx＋lgy≤lgk恒成立，则k的最小值 是________．
解析：因为 x，y∈(0，＋∞)，所以 xy≤(x＋2 y)2，所以 lgx＋lgy
(3)∵x≠0，且1x2与 3x 同号，又由基本不等式 ab≤a＋2 b(a， b∈R＋)知： f(x)＝1x2＋3x＝1x2＋|3x|≥2 1|x2|·3|x|＝12. 当且仅当1x2＝|3x|，即|x|2＝4，即 x＝±2 时，f(x)取最小值 12.
迁移变式 1 设 a>0，b>0.若 3是 3a 与 3b 的等比中项，则1a＋