2019学年高中数学第1章计数原理1.1基本计数原理学案新人教B版选修2_3

1 第一章 计数原理
本章概览
内容提要
1.基本计数原理⎩⎨⎧⨯⨯⨯=+++=n
n
m m m N m m m N ΛΛ2121)2()1(分步乘法计数原理分类加法计数原理
2.排列⎪⎪⎪⎩⎪⎪
⎪⎨⎧=-=+---=≤!
:)4(:)3()!(!
)1()2)(1(:)2(),(:)1(n A n m n n m n n n n A n m m n n
n m
n 公式排列
个元素全部取出的一个全排列排列数公式按一定顺序排成一列个个元素中任取从定义Λ
3.组合⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==-=+---=
=≤-+-1
1,:)3()!(!!
!)1()2)(1(:)2(,)(:)1(m n
m
n m
n m
n n m n m n m
n m n C C C C C m n m n m m n n n n A A C n m m n 性质公式并成一组
个个元素中任取从定义Λ
4.二项式定理
⎪⎩⎪⎨⎧∈∈≤≤=∈++++++=++---)
,,0(:)2()
())(1(1*
222110N N N n r n r b C T n b C b a C b a C b a C a C b a r
r n r n n n r r n r n n n n n n n n 通项ΛΛ 5.杨辉三角：0n C +1n C +…n n C =2n
.
学法指导
1.应用于解题时，先根据条件，确定问题的分类标准.
2.确定是排列或组合问题后，应确保所求问题的解答不重不漏.
3.应用二项式定理时，要注意通项公式.。

基本计数原理目 1. 通例，理解掌握分加法数原理与分步乘法数原理.2. 会利用两个原理解决一些的．1．分加法数原理做一件事，达成它有n 法，在第一法中有m 种不同样的方法，在第二法1中有 m 种不同样的方法⋯⋯在第n 法中有m 种不同样的方法，那么达成件事共有N＝2n__________________ 种不同样的方法．2．分步乘法数原理做一件事，达成它需要分红n 个步，做第一个步有m1种不同样的方法，做第二个步有 m 种不同样的方法⋯⋯做第n 个步有 m 种不同样的方法，那么达成件事共有N＝2n__________________ 种不同样的方法．3．分加法数原理和分步乘法数原理，回答的都是相关做一件事的不同样方法的种数．区在于：分加法数原理的是________，其中各样方法相互独立，用其中任何一种方法都能够做完件事，分步乘法数原理的是________，各个步中的方法相互依存，只有各个步都达成才算达成件事．一、1．从甲地到乙地，每天有直达汽 4 班，从甲地到丙地，每天有 5 个班，从丙地到乙地，每天有 3 个班，从甲地到乙地不同样的乘方法有()A．12 种B．19 种C．32 种D．60 种2．有一排 5 个信号的示窗，每个窗可亮灯、可亮灯、可不亮灯，共能够出的不同样信号有()A．25种B．52种C．35种D．53种3．二年 (1) 班有学生 56人，其中男生38 人，从中取1 名男生和 1 名女生作代表参加学校的社会，取代表的方法种数()A． 94B． 2 128C． 684D． 564．会合＝ {x,1}，＝{y,1,2}，其中x，∈{1,2 ，⋯， 9} 且P，把足上述条P Q y Q件的一对有序整数( x，y) 作为一个点，则这样的点的个数是()A． 9B． 14C． 15D． 215．有 4 名高中毕业生报考大学，有 3 所大学可供选择，每人只能填报一所大学，则这 4名高中毕业生报名的方案数为 ()A． 12B． 7C． 34D． 436．某地政府召集 5 家公司的负责人开会，其中甲公司有 2 人到会，其余 4 家公司各有 1人到会，会上有 3 人讲话，则这3 人来自 3 家不同样公司的可能情况的种数为()A． 14B． 16C． 20D． 48二、填空题7．在由 0,1,3,5所组成的没有重复数字的四位数中，能被 5 整除的数共有 ________个．8．将一个三棱锥的每个极点染上一种颜色，并使每一条棱的两头点异色，若只有五种颜色可使用，则不同样染色的方法种数为________．9．加工某个零件分三道工序，第一道工序有 5 人，第二道工序有 6 人，第三道工序有 4 人，从中选 3 人每人做一道工序，则选法共有________种．三、解答题10．某外语组有9 人，每人最少会英语和日语中的一门，其中7 人会英语， 3 人会日语，现要从中选出会英语和日语的各一人，共有多少种不同样的选法？11．用 0,1,2,3,4,5能够组成多少个无重复数字的比 2 000 大的四位偶数？能力提升12．现有 6 名同学去听同时进行的 5 个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，则不同样选法的种数是 ()A． 56B．655×6×5×4×3×2D．6×5×4×3×2C.213．书架的第一层有 6 本不同样的数学书，第二层有 6 本不同样的语文书，第三层有5本不同样的英语书．(1)从这些书中任取 1 本，有多少种不同样的取法？(2) 从这些书中任取 1 本数学书， 1 本语文书， 1 本英语书共 3 本书的不同样的取法有多少种？(3) 从这些书中任取 3 本，并且在书架上挨次次排好，有多少种不同样的排法？用两个计数原理解决详细问题时，第一要分清“分类”仍是“分步”，其次要清楚“分”或“分步”的详细准，在“分” 要依照“不重、不漏”的原，在“分步” 要正确“分步”的程序，注意步与步之的性；有些目中“分”与“分步”同行，能够“先分后分步”或“先分步后分”．第一章数原理1． 1基本数原理答案知梳理1．m1＋m2＋⋯＋m n2．m1×m2×⋯×m n3．分分步作1．B [ 从甲地到乙地有两方案：甲地直达乙地，甲地丙地到乙地，共有4＋3× 5＝19( 种) 方法． ]2． C [ 一个窗有 3 种可能情况 ( 、、不亮 ) ，每个窗出一种情况的方法种数3×3×3×3× 3＝ 35( 种 ) ，即表示的不同样信号．]3． C [ 男生 38 人，女生18 人，第 1 步从男生38 人中任 1 人，有 38 种不同样的法；第二步从女生18 人中任 1 人，有 18 种不同样的法．只有上述两步达成后，才能达成从男生中和女生中各 1 名代表件事，依照分步乘法数原理共有38×18＝684( 种 ) 取代表的方法．]4． B [ 当x＝ 2 ，y可取 3,4,5,6,7,8,9当 x＝ y ， y 可取3,4,5,6,7,8,9，共，共7 个点．7 个点；∴ 的点共有7＋ 7＝14( 个) ．]5． C [4 名高中生考 3 所大学，可分 4 步，每步有 3 种， 4 名高中生名的方案数3×3×3× 3＝ 34.]6． B[ 按意分红两：第一：甲企有 1 人言，有 2 种情况，另两个言人出自其余 4 家企，有6种情况，由分步乘法数原理知有2× 6＝12( 种 ) 情况；第二： 3 人全来自其余 4 家企，有 4 种情况．上可知，共有N＝12＋4＝16(种)情况．]7． 10剖析先考虑个位和千位上的数，个位数字是0 的有3×2× 1＝ 6( 个 ) ，个位数字是5 的有2×2× 1＝ 4( 个) ，因此共有10 个．8． 120剖析如右图，若先染 A 有种色可选，则不同样染色方法共有5 种色可选，B有 4 种色可选，5×4×3× 2＝ 120( 种 ) ．C有3 种色可选，D有29． 12010．解依题意得既会英语又会日语的有7＋ 3－ 9＝ 1( 人 ) ，6 人只会英语， 2 人只会日语．第一类：从只会英语的 6 人中选一人有 6 种方法，此时选会日语的有2＋1＝ 3( 种 )方法．由分步乘法计数原理可得N1＝6×3＝18(种)．第二类：从既会英语又会日语的 1 人中选有 1 种方法，此时选会日语的有 2 种方法．由分步乘法计数原理可得N2＝1×2＝2(种)．综上，由分类加法计数原理可知，不同样选法共有N＝ N1＋ N2＝18＋2＝20(种)．11．解达成这件事有三类方法：第一类是用0 做结尾的比 2 000 大的 4 位偶数，它能够分三步去达成：第一步，选取千位上的数字，只有2,3,4,5能够选择，有 4 种选法；第二步，采纳百位上的数字，除 0 和千位上已选定的数字以外，还有 4 个数字可供选择，有 4 种选法；第三步，采纳十位上的数字，还有 3 种选法．依照分步乘法计数原理，这类数的个数有4×4× 3＝ 48( 个) ；第二类是用 2 做结尾的比 2 000大的 4 位偶数，它能够分三步去达成：第一步，选取千位上的数字，除掉2,1,0，只有 3 个数字能够选择，有 3 种选法；第二步，采纳百位上的数字，在去掉已经确定的首尾两数字此后，还有 4 个数字可供选择，有 4 种选法；第三步，采纳十位上的数字，还有 3 种选法．依照分步乘法计数原理，这类数的个数有3×4× 3＝ 36( 个 ) ；第三类是用 4 做结尾的比 2 000大的4 位偶数，其步骤同第二类，可得有36 个．对以上三类结论用分类加法计数原理，可得所求无重复数字的比 2 000大的四位偶数有48＋ 36＋ 36＝ 120( 个 ) ．12．A [ 每位同学可自由选择 5 个讲座中的其中 1 个讲座，故6 名同学的安排可分6步进行，每步均有 5 种选择，因此共有56种不同样选法．]13．解(1) 因为共有17 本书，从这些书中任取 1 本，共有17 种取法．(2) 分三步：第一步，从 6 本不同样的数学书中取1 本，有 6 种取法；第二步，从 6 本不同样的语文书中取1 本，有 6 种取法；第三步：从 5 本不同样的英语书中取1 本，有 5 种取法．由分步乘法计数原理知，取法总数为N＝6×6×5＝180(种)．(3) 实际上是从17 本书中任取 3 本放在三个不同样的地址上，达成这个工作分三个步骤，第一步：从 17 本不同样的书中取 1 本，放在第一个地址，有17种方法；第二步：从节余16 本不同样的书中取 1 本，放在第二个地址，有16 种方法；第三步：从节余15 本不同样的书中取 1 本，放在第三个地址，有15 种方法；由分步乘法计数原理知，排法总数为N＝17×16×15＝4080(种) ．。

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1。

1基本计数原理学习目标：1．掌握分类计数原理和分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题；2．通过对分类计数原理与分步计数原理的理解和运用，提高学生分析问题和解决问题的能力，开发学生的逻辑思维能力．3．提高比较分类计数原理与分步计数原理的异同，培养学生学习比较、类比、归纳等数学思想方法和灵活应用的能力．学习重点:分类计数原理和分步计数原理内容 及两者的区别。

学习难点：对较为复杂事件的分类和分步．学习方法：尝试、变式、互动 一、新知探究1。

分类计数原理:做一件事情，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法,在第二类办法中有2m 种不同的方法,……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法。

那么完成这件事共有 __________________N =种不同的方法.2。

分步计数原理：做一件事情,完成它需要分成n 个步骤，做第一步有1m 种不同的方法，做第二步有2m 种不同的方法，……,做第n 步有n m 种不同的方法,那么完成这件事有__________________N =种不同的方法.二、基本计数原理的简单应用例1一个三层书架的上层放有5本不同的数学书，中层放有3本不同的语文书,下层放有2本不同的英语书：⑴从书架上任取一本书，有多少种不同的取法？⑵从书架上任取三本书，其中数学书，语文书，英语书各一本，有多少种不同的取法？例2 用0,1，2，3，4这五个数可以组成多少个无重复数字的:（1）银行存折的四位密码？（2）四位数？（3)四位奇数？例3我们把一元硬币有国徽的一面叫做正面，有币值的一面叫做反面。

基本计数原理精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

读沙漠，读出了生分析问题和解决问题的能力，开发学生的难师生活动完成它可以有种同的方法个三层书架的上层放有层放有我们把一元硬的序列，如“正，反，反，反，正”教学反思它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。

读大海，读出了它气势磅礴的豪情。

读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。

2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。

幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。

幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。

幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。

幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。

幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。

3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。

4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。

鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。

矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。

蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。

航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。

5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。

井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。

笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。

山中的石！当你背靠群峰时，意志就坚了。

水中的萍！当你随波逐流后，根基就没了。

空中的鸟！当你展翅蓝天中，宇宙就大了。

空中的雁！当你离开队伍时，危险就大了。

地下的煤！你燃烧自己后，贡献就大了6、朋友是什么？朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。

高中数学第一章计数原理整合学案北师大版选修2-3知识建构综合应用专题一利用两个原理解排列组合问题的常用方法“两个原理”是两种重要的计数方法，它是列式计数时选择加法或者乘法的理论根据，在排列、组合应用题中，基本上全是用加法和乘法连结了排列数与组合数的计算.所以正确地使用加法和乘法原理是解决排列、组合应用题的基础.一、树形图法【例1】将A、B、C、D四名同学按一定顺序排成一行，要求自左向右，且A不排在第一，B 不排在第二，C不排在第三，D不排在第四，试写出他们四个人所有不同的排法.解：由于A不排在第一，所以第一只能排B、C、D中的一个，据此可分为三类：由此可写出所有的排法为BADC，BCDA，BDAC，CADB，CDAB，CDBA，DABC，DCAB，DCBA.所以他们四个人共有9种不同的排法.二、依次排序法利用分步乘法计数原理求解与排列顺序有关的问题时，可以用依次排序法.依次排序法就是把数字或字母分为前后，首先排前面的数字或字母再依次排后面的数字或字母，将最后的数字或字母排完，则排列结束，这种方法多用于数字问题.【例2】用1、2、3、4四个数字可重复地任意排成三位数，并把这些数由小到大排成一个数列{a n}.(1)写出这个数列的前11项；（2）求这个数列共有多少项；（3）若a n=341,求n.解：(1）用1、2、3、4四个数字排成三位数，前11项由小到大的顺序为111，112，113，114，121，122，123，124，131，132，133.（2）这个数列的项数就是用1、2、3、4排成的三位数的个数，每一个位置都有4种排法，根据分步乘法计数原理共有4×4×4=64项.（3）比a n=341小的数有两类，分别是：①1××2××②31×32×33×根据两个原理得N=2×4×4+3×4=44项，所以n=44+1=45.三、转化法一般情况下研究的排列问题是不重复的排列问题，但是在实际生活中常会遇到这样的问题：车辆牌照的号码、电话号码、电报号码等等，都是一些重复排列.事实上，解决这些问题借助于“两个原理”非常容易办到.【例3】（1）4个同学，分配到3个课外小组中去活动，共有几种分配方法？（2）4个同学，争夺3项竞赛的冠军，冠军获得者共有几种可能？解：（1）因为每个同学都可以分配到任何一个小组中去，有3种分法，所以课外小组的分配共有N=3×3×3×3=34=81种方法.（2）因为每一项冠军都可被任何一个同学获得，有4种可能，所以冠军获得者共有的可能总数为N=4×4×4=43=64种.从此例可以看出，在解重复排列的问题时，首先应把题意分析清楚，判断出应以哪一个为主来考虑分配，也就是说应该正确判断出哪一个应作为底数n，哪一个应作为指数m，这是解题的关键所在.专题二排列组合解题方法一、直接法（元素、位置优先考虑法）1.特殊元素分析法：即以元素为主考虑，先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素.2.特殊位置分析法：即以位置为主考虑，先安排有特殊要求的位置，再考虑其他位置. 【例1】有两排坐位，前排11个，后排12个，现安排2人就座，规定前排中间的3个坐位不能坐，并且这2个人不左右相邻，那么不同的排法的种数是（）.346 C解析：法一：因为前排中间3个坐位不能坐，所以实际可坐的坐位前排8个，后排12个.（1）两人一个前排，一个后排，方法数为C18C112A22；（2）两人均在后排，共A212种，排除两相邻的情况A22A111，即A212-A22A111；(3)两人均在前排，又分两类：①两人一左一右时为C14C14A22；②两人同左或同右时为2（A24-A2213A）.综上，不同的排法种数为C18C112A22+（A212-A22A111）+C14C14A22+2（A24-A22A13）=346种.法二：一共可坐的位置有20个，2个人就座方法数为A220，排除两人左右相邻的情况，可把能坐的20个坐位排成连续一行（B与C相接），任两个坐位看成一个整体，即相邻的坐法有A1 19A22，但这其中包括B、C相邻，而这种相邻在实际中是不相邻的，还应再加上2A22.∴不同的排法种数是A2 20-A119·A22+2A22=346种.答案：B绿色通道:本题综合运用了特殊元素分析法与特殊位置分析法、间接法以及分类讨论的思想方法，若考虑不周，很难做对，是难度较大的创新题..二、插空法不相邻问题常用插空法：我们可以根据题目的具体特点，首先排定某些元素，再用余下的元素进行插空，这样处理有关的排列组合问题，往往能收到111良好的解题效果.【例2】马路上有9盏路灯，为了节约用电，可以关掉其中的三盏路灯，要求关掉的路灯不能相邻，且不在马路的两头，那么不同的关灯方案共有多少种？解：本题可以看成被关掉的路灯夹在6盏亮着的灯的空档里.6盏亮着的灯排在一起，中间空档有5个，从5个空档中选出某3个，插进去三盏关掉的路灯，因此，不同的关灯方案共有C35=10种.三、捆绑法对于几个元素要求相邻的排列问题，可先将相邻的元素“捆绑”起来，看作一个元素，与其他元素排列，然后再考虑它们“内部”的排列，这种解决排列问题的方法称为“捆绑法”.【例3】用1，2，3，4，5，6，7，8组成没有重复数字的八位数，要求1与2相邻，3与4相邻，5与6相邻，而7与8不相邻，这样的八位数，共有多少个？解：先将1与2，3与4，5与6捆绑起来分别看作一个元素再与7，8排列， 所以共有A 33A 24A 22A 22A 22=576种.四、间接法间接法是求解排列组合问题的常用方法.带有限制条件的排列组合问题，常用“元素分析法”和“位置分析法”，当直接考虑对象较为复杂时，可用逆向思维，使用间接法（排除法），即先不考虑约束条件，求出所有排列、组合总数，然后减去不符合条件的排列、组合种数.【例4】从12人中选出5人去参加一项活动，按下列要求，有多少种不同选法？ （1）A 、B 、C 三人至少一人入选； （2）A 、B 、C 三人至多二人入选. （1）解法一：（直接法） 可分三类，①A、B 、C 三人只选一人，有13C ·C 49=378种，②A、B 、C 三人中选择二人，则还须从其余9人中选3人，有C 23·C 39=252种，③A、B 、C 三人都入选则有C 33·C 29=36种， ∴共有378+252+36=666种. 解法二：（间接法）先从12人中任选5人，再减去A 、B 、C 三个都不选的情况，共有C 512-C 59=666种. （2）解法一（直接法）可分三类，由（1）可得共有C 59+13C ·C 49+C 23·C 39=756种. 解法二（间接法）先从12人中任选5人，再减去A 、B 、C 三人均入选的情况，即 C 512-C 29=756种.绿色通道:从以上解题过程可以看出：解决排列组合题目时，要从基本概念入手，正面分析问题、解决问题，直接法为常用方法；但从正面入手，情况较为复杂，不易解决时，可以从问题的反面入手，将其转化为一个简单的等价问题来解决，往往收到意想不到的效果.. 五、隔板法这类问题的特征是：（1）被分的元素没有区别；（2）被分的元素的个数不小于分得的组数；（3）每个小组至少分得一个元素.具备这些条件时就可以用公式：将n 个相同元素分成m 份（n≥m)时，有C 11--m n 种分配方法.【例5】某地区有9所学校，现有先进教师名额11个，要求每所学校至少有一个名额，共有多少种不同的分配方法？解：因为名额没有区别，因此，可以在11个名额所产生的10个空隙中插入8个板，即将这11个名额分成9份，有C 810种分配方法.类似情况还有：将20个相同的小球放入编号为1，2，3，4的4个盒子，每个盒子里的小球数不小于盒子的编号，共有多少种放法？可首先分别在盒子中依次放入0，1，2，3个小球，问题即转化为14个相同元素分成4份的问题，即有C 313种放法. 专题三二项式系数的求法 一、通项公式法通项公式T r+1=C rn a n-r ·b r (r=0,1,2,…,n)仅表示（a+b)n的展开式中的第r+1项. 特别地，对于(a-b)n，其通项公式是 T r+1=(-1)rC rn ·a n-r ·b r(r=0,1,2,…,n). 【例1】求(x 2+24x-4)5的展开式中含x 4的项的系数. 解：∵(x 2+24x-4)5的展开式的通项为 C r5(x 2+24x )5-r (-4)r, 而(x 2+24x)5-r 的二项展开式的通项为C kr -5x 2(5-r-k)(24x)k ,∴T r+1=C rr k C -55x 2(5-r-k)(24x)k ·(-4)r=(-4)rC r 5C kr -54k x10-2r-4k.∵0≤r≤5,0≤k≤5-r,(r,k∈N ), 令10-2r-4k=4,可得k=0,1时，r=3,1.∴含x 4的项的系数为（-4)3C 35C 0240+(-4)1C 15C 1441=-960.二、数列求和法【例2】（x-1)-(x-1)2+(x-1)3-(x-1)4+(x-1)5的展开式中，x 2的系数为___________. 解析：由等比数列求和公式得 原式=xx x 6)1()1(-+-.所以原式中x 3的系数是（x-1)6的展开式中x 4的系数，即26C ·(-1)2=15.答案：15三、利用乘法分配律【例3】（x+2)10(x 2-1)的展开式中x 10的系数为_____________.解析：要得到含x 10的项，必须是(x+2)10的展开式中的项C 210x 822与第二个因式中的x 2作积或者是（x+2)10的展开式中的项C 010x 1020与-1作积,故x 10的系数为4C 210-1=179.答案：179四、特殊值法（赋值法）【例4】若(2x+3)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,则(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2的值为（）.-1C.解析：令x=1，得a0+a1+a2+a3+a4=(2+3)4;令x=-1，得a0-a1+a2-a3+a4=(2-3)4,两式相乘，得(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2=(2+3)4·(2-3)4=1.答案：A五、转化法【例5】在(x2+3x+2)5的展开式中，x的系数为（）.240 C解析：由于求的是x的系数，故与x2项无关，从而原题可以转化为求(3x+2)5的展开式中x 的系数.（3x)·24=240x，故选B.易求得，T5=C45答案：B科海观潮排列组合的由来排列组合问题，最早见于我国的《易经》一书.所谓“四象”就是每次取两个爻（ｙáｏ)的排列，“八卦”是每次取三个爻的排列.在汉代数学家徐岳的《数术记遗》（公元2世纪）中，也曾记载与占卜有关的“八卦算”，即把卦按不同的方法在八个方位中排列起来.它与“八个人围一张圆桌而坐，问有多少种不同坐法”这一典型的排列问题类似.11世纪时，邵雍还进一步研究了六十四卦的排列问题.排列的历史可以上溯到殷周之际的占卜术，较完整的文字记载则见于《易经》.“易”含变化的意思，书中称：“易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦.”“两仪”可=4种不同的排列，称为“四象”，用两种基本符号阳爻和阴爻表示，每次取两个，就有22即太阳、少阴、少阳、太阴；每次取三个，共有23=8种不同的排列，称为“八卦”，即乾（qián）、兑（duì)、离（lí)、震（znèn)、巽（xùn)、坎（kǎn)、艮（gèn)、坤（kūn)；若每次取六个，则可得26=64种不同的排列，叫做“六十四卦”.这是一种特殊的排列问题，即从n种事物中每次取r种，而且允许重复的排列数，答案应是n r.但是古代没有指数概念，对于很大的r来说，求出答数并非易事.唐代张遂（公元683年—公元727年）、宋代沈括（公元1031年—公元1095年）都曾计算过棋局总数，即围棋盘上所有可能的不同布局的总数，这相当于从事物（黑子、白子、空位）中每次取出361个（围棋盘的格点数）的排列数，与《易经》中的卦象数目是同一类数学问题.沈括在《梦溪笔谈》中详细地记述了计算棋局总数的理论根据和过程.古代的棋盘共有17路289个点，后来发展到19路361个点.唐朝僧人一行（俗名张遂）曾计算过一切可能摆出的棋局总数.后来，11世纪北宋时期沈括在《梦溪笔谈》中，进一步讨论了围棋布局总数问题.他利用一些排列、组合的办法对一行的计算作了分析.沈括指出，当361个棋子全用上时，棋局总数可达到10 00052的数量级.。

1.1 基本计数原理一、教学重点：分类计数原理(加法原理)与分步计数原理(乘法原理)二、新课探究：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m 种不同的方法，在第2类方案中有n 种不同的方法. 那么完成这件事共有___________________________种不同的方法.一般归纳：完成一件事情，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法……在第n 类办法中有n m 种不同的方法.那么完成这件事共有______________________种不同的方法.完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m 种不同的方法，在第2类方案中有n 种不同的方法. 那么完成这件事共有 ___________________________种不同的方法.一般归纳：完成一件事情，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法……做第n 步有n m 种不同的方法.那么完成这件事共有______________________________种不同的方法.①相同点：都是完成一件事的不同方法种数的问题②不同点：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立，各类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事，是独立完成；而分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存，完成任何其中的一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事，是合作完成.三、典例分析例1.在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，A,B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：A大学 B大学生物学数学化学会计学医学信息技术学物理学法学工程学如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？例2.设某班有男生30名，女生24名. 现要从中选出男、女生各一名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？例3. 书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放2本不同的体育书.①从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？②从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？③从书架上任取两本不同学科的书，有多少种不同的取法？例4. 要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，问共有多少种不同的挂法？例5. 用0，1，2，3，4这五个数字可以组成多少个无重复数字的：（1）银行存折的四位密码？（2）四位数？（3）四位奇数？例6：我们把壹元硬币有国徽的一面叫做正面，有币值的一面叫做反面。

1.1 基本计数原理知识点1 分类加法计数原理例1 从甲地到乙地，可以乘火车，可以乘汽车，也可以乘轮船，还可以坐飞机，一天中，火车有4班，汽车有2班，轮船有3班，飞机有1班，那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？知识点2 分步乘法计数原理例1 二年级一班有学生56人，其中男生38人，从中选取1名男生和1名女生做代表，参加学校组织的社会调查团，选取代表的方法有多少种？例2 某市电话号码有8位数，问该市最大的装机容量为多少？变式1一把数字号码锁共有5个号码，每个号码的圆盘上有0，1，2，…，9共10个数码，现给这把锁确定一个开锁的密码，有一人在这把锁上随意拨出五位号码，它能刚好开启这把锁的可能性是多大？例2 一个书包内有7本不同的小说书，另一个书包内有5本不同的教科书，从两个书包内任取一本书的取法有（）A.7种B.5种C.12种D.35种例3 （1）8本不同的书，任选了3本分给3个同学，每人1本，有多少种不同的分法？（2）将4封信投入3个邮筒，有多少种不同的投法？（3）3位旅客到4个旅馆住宿，有多少种不同的住宿方法？变式引申：某高校高二年级一班有优秀团员8人，二班有优秀团员10人，三班有优秀团员6人，学校组织他们去旅游。

（1）推选1人为总负责人，有多少种不同的选法？（2）每班选1人带队，有多少种不同的选法？（3）从他们中选出2人管理生活，要求这2个人不同班，有多少种不同的选法？1. 3名学生报名参加篮球、足球、排球、计算机课外兴趣小组，每人选报一门，则不同的报名方案有（）种。

例从五种不同的颜色中选出若干种涂在如图所示的①②③④各部分，若要求相邻部分的颜色不同，则不同的涂色方法有多少种？2.将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使一条棱的两端异色，若只有5种颜色可供使用，则不同的染色方法总数为（）A.240种B.300种C.350种D.420种3.同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有（）A.6种B.9种C.11种D,23种4.在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A,B两种作物，每种作物种植一种，为有利于作物生长，要求A.B两种作物的间隔不小于6垄，则不同的选垄方法有（）种（用数字作答）例1、书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书.（1）从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？（2）从书架的第1,2,3层各取一本书，有多少种不同的取法？例2、4张卡片的正、反面分别有0与1,2与3，4与5,6与7，将其中3张卡片排放在一起，可组成多少个不同的三位数？例3、用五种不同颜色给图中四个区域涂色，每一区域涂一种颜色，相邻区域不能同色，那么涂色的方法有多少种？。

1.1 基本计数原理一、教学目标：进一步学习两个计数原理，能进步性合理的分类与分步二、重点难点：分类分步的区分、优先法三、教学过程环节一【课前达标】1．从甲地到乙地有2条路, 从甲地到乙地有2条路;从甲地到丁地有4条路, 从丁地到丙地有2条路.(1)则从甲地经乙地到丙地有条路;(2)从甲地到丙地有条路.2.现有一年级学生代表3名, 二年级学生代表5名,三年级学生代表2名.(1)从中选一人担任学生会主席,共有种方法;(2)从每个年级代表中任选一人组成校学生会主席团,共有种选法;(3)从一、二年级中各选一人,与高三年级两名学生代表共四人组成学生会主席团共有种选法.环节二【典例探究】例1 用0,1,2,……9十个数字,可以组成多少个(1)三位数;(2)无重复数字的三位数;(3)小于500的无重复数字的三位数;(4)小于500且末位数字是8或9的无重复数字的三位数;(5)小于100的无重复数字的三位数.变式: 有三项体育运动项目,每个项目均设冠军和亚军各一名奖项.(1)学生甲参加了这三个运动项目,但只获得了一个奖项,学生甲获得的不同情况有多少种?(2)有4名学生参加了这三个运动项目,若一个学生可以获得多项冠军,那么各项冠军获得者的不同情况有多少种?例3、(1)同室4个各写一张贺卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别人送出的贺卡,则4张贺卡的不同分配方式有（）种.A.5B.6C.7D.8(2)、若且,则有序数对有( )个.A.15B.14C.13D.12【双基达标】1、某电脑用户计划使用不超过500元的资金,购买单价分别为60元,70元的单片软件和盒装磁盘,根据需要,软件至少买3盒,磁盘至少买2盒,则不同的选购方式（）A.5种B.6种C.7种D.8种2、3位旅客到4个旅馆住宿,有种不同的住宿方法.3、在所有的两位数中,个位数字大于十位数字的两位数有个.4、三边长均为整数,且最大边为11的三角形有个.、5、从正方体的6个面中选取3个面,其中2个面相邻的选法共有( ).A.8种B. 12种C. 16种D. 20种该方程表示的不同直线有( )条.A.12 B. 14 C. 15 D. 207、某商场有4个门，某人进去后在出来,共有种不同走法.8、将5本不同的书,全部分给4个学生,有种不同的分法.9、一辆汽车上有10名乘客,沿途有7个车站,则乘客下车的可能方式共有种.10、若, ,且方程是表示中心在原点的双曲线,则表示不同的双曲线最多有条.11、等腰三角形的三边均为正整数,它们的周长不大于10,这样不同形状的三角形种数为 .12、用1,2, 3,4,5这5个数字,组成没有重复数字的三位数,其中组数有种.13、已知集合,.(1)任取一个奇数, ,共有种不同取法.(2)设点, , ,问可表示个不同点.(3)在(2)问中,有个点不在直线上.中国书法艺术说课教案今天我要说课的题目是中国书法艺术，下面我将从教材分析、教学方法、教学过程、课堂评价四个方面对这堂课进行设计。