【中考考前冲刺+南方新中考】2015中考(广州专用)数学复习配套检测：中考考前冲刺

第3讲 解直角三角形1．(2014年某某某某)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若sin A ＝35，则cos B 的值是( )A.45B.35C.34D.432．(2013年某某某某)如图5­3­9，若∠A ＝60°，AC ＝20 m ，则BC 大约是(结果精确到0.1 m)( )A ．34.64 mB ．34.6 mC ．28.3 mD ．17.3 m图5­3­9 图5­3­10 图5­3­113．(2013年某某某某)如图5­3­10，已知l 1∥l 2∥l 3，相邻两条平行直线间的距离相等．若等腰直角三角形ABC 的三个顶点分别在这三条平行直线上，则sin α的值是( )A.13B.617C.55D.10104．(2014年某某某某)如图5­3­11，小明去爬山，在山脚看山顶角度为30°，小明在坡比为5∶12，的山坡上走1300 m ，此时小明看山顶的角度为60°，则山高为( )A ．(600－250 5)mB ．(600 3－250)mC ．(350＋350 3)mD ．(500 3)m 5．(2014年某某某某)我们把“按照某种理想化的要求(或实际可应用的标准)来反映或概括地表现一类或一种事物关系结构的数学形式”看作是数学中的一个“模式”(我国著名数学家徐利治提出)．如图5­3­12,5­3­13是一个典型的图形模式，用它可测顶部可能达不到的建筑物的高度，用它可测河宽，用它可解决数学中的一些问题，等等．(1)如图5­3­12，若BB 1＝30 m ，∠B 1＝22°，∠ABC ＝30°，求AC (精确到1)； (参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.92，tan22°≈0.40， 3 ≈1.73)图5­3­12(2)如图5­3­13，若∠ABC＝30°，BB1＝AB，计算tan15°的值(保留准确值)；图5­3­13(3)直接写出tan7.5°的值．(注：若出现双重根式a＋b c，则无需化简)6．(2014年某某某某)如图5­3­14，某水上乐园有一个滑梯AB，高度AC为6 m，倾斜角为60°，暑期将至，为改善滑梯AB的安全性能，把倾斜角由60°减至30°.(1)求调整后的滑梯AD的长度；(2)调整后的滑梯AD比原滑梯AB增加多少米？(精确到0.1 m)(参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45)图5­3­147．(2013年某某某某)如图5­3­15，在东西方向的海岸线MN上有A，B两艘船，均收到已触礁搁浅的船P的求救信号．已知船P在船A的北偏东58°方向，船P在船B的北偏西35°方向，AP的距离为30海里．(1)求船P到海岸线MN的距离；(精确到0.1 海里)(2)若船A ，船B 分别以20 海里/时，15 海里/时的速度同时出发，匀速直线前往救援， 试通过计算判断哪艘船先到达船P 处．图5­3­15A 级 基础题1．(2013年某某某某)如图5­3­16，在直角坐标系中，P 是第一象限内的点，其坐标是(3，m )，且OP 与x 轴正半轴的夹角α的正切值是43，则sin α的值为( )A.45B.54C.35D.53图5­3­16 图5­3­172．(2014年某某某某)如图5­3­17，已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，tan A ＝12，则BC 的长是( )A ．2B ．8C ．2 5D ．5 53．(2013年某某某某)式子2cos30°－tan45°－1－tan60°2的值是( )A ．2 3－2B ．0C ．2 3D ．24．(2013年某某某某)如图5­3­18，将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一X 宽为3 cm 的矩形纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，则三角板最大边的长为( )A ．3 cmB ．6 cmC ．3 2 cmD ．6 2 cm图5­3­18 图5­3­19 图5­3­205．(2014年某某巴彦淖尔)如图5­3­19，从热气球C 处测得地面两点A ，B 的俯角分别为30°，45°，如果此时热气球C 处的高度CD 为80 m ，点A ，D ，B 在同一直线上，则A ，B 两点的距离是( )A ．160 mB ．80 3 mC ．100 3 mD ．80(1＋3) m6．(2014年某某某某)在直角三角形ABC 中，已知∠C ＝90°，∠A ＝40°，BC ＝3，则AC ＝( )A ．3sin40° B．3sin50° C．3tan40° D．3tan50°7．(2013年某某某某) 如图5­3­20，小敏同学想测量一棵大树的高度．她站在B 处仰望树顶，测得仰角为30°，再往大树的方向前进4 m ，测得仰角为60°.已知小敏同学身高(AB )为1.6 m ，则这棵树的高度为(结果精确到0.1 m ，3≈1.73)( )A ．3.5 mB ．3.6 mC ．4.3 mD ．5.1 m8．(2014年某某某某)在△ABC 中，如果∠A ，∠B 满足|tan A －1|＋⎝ ⎛⎭⎪⎫cos B －122＝0，那么∠C ＝________.9．(2013年某某某某)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，tan A ＝43，BC ＝8，则△ABC 的面积为__________．10．(2013年某某龙东)等腰△ABC 底角的余弦是23，一边长为12，则等腰△ABC 的面积为________．11．(2014年某某资阳)如图5­3­21，湖中的小岛上有一标志性建筑物，其底部为A .某人在岸边的B 处测得A 在B 的北偏东30°的方向上，然后沿岸边直行4公里到达C 处，再次测得A 在C 的北偏西45°的方向上(其中A ，B ，C 在同一个平面上)．求这个标志性建筑物的底部A 到岸边BC 的最短距离．图5­3­2112．(2013年某某某某)天封塔历史悠久，是某某著名的文化古迹．如图5­3­22，从位于天封塔的观测点C测得两建筑物底部A，B的俯角分别为45°和60°，若此观测点离地面的高度CD为51 m，A，B两点在CD的两侧，且点A，D，B在同一水平直线上，求A，B之间的距离．(结果保留根号)图5­3­22B级中等题△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan∠ACB的值为( )图5­3­23A.13B.12C.22D．314．(2014年某某莱芜)如图5­3­24，一堤坝的坡角∠ABC＝62°，坡面长度AB＝25 m(图为横截面)，为了使堤坝更加牢固，一施工队欲改变堤坝的坡面，使得坡面的坡角∠ADB＝50°，则此时应将坝底向外拓宽多少米？(结果保留到0.01 m)(参考数据：sin62°≈0.88，cos62°≈0.47，tan50°≈1.20)图5­3­24C级拔尖题15．(2014年某某某某)在一次科技活动中，小明进行了模拟雷达扫描实验．如图5­3­25，表盘是△ABC，其中AB＝AC，∠BAC＝120°.在点A处有一束红外光线AP，从AB开始，绕点A逆时针匀速旋转，每秒钟旋转15°，到达AC后立即以相同旋转速度返回AB，到达AB后立即重复上述旋转过程．小明通过实验发现，光线从AB处旋转开始计时，旋转1 s，此时光线AP交BC于点M，BM的长为(20 3－20)cm.(1)求AB的长；(2)从AB处旋转开始计时，若旋转6 s，此时光线AP与BC边的交点在什么位置；若旋转2014 s，交点又在什么位置，请说明理由．图5­3­25第3讲解直角三角形【真题·南粤专练】4．B 解析：如图65，∵BE∶AE＝5∶12，52＋122＝13，∴BE∶AE∶AB＝5∶12∶13.图65∵AB＝1300，∴AE＝1200，BE＝500.设EC＝x，∵∠DBF＝60°，∴DF＝3x.又∵∠DAC＝30°，∴AC＝3CD.即1200＋x＝3(500＋3x)．解得x＝600－250 3.∴DF ＝3x ＝600 3－750. ∴CD ＝DF ＋CF ＝600 3－250.5．解：(1)在Rt △ABC 中，BC ＝AC tan ∠ABC ＝ACtan30°.在Rt △AB 1C 中，B 1C ＝AC tan ∠B 1＝ACtan22°.∵B 1C －BC ＝BB 1＝30， ∴AC tan22°－ACtan30°AC ≈39(m) .(2)∵B 1B ＝AB ，∴∠AB 1B ＝∠B 1AB .又∵∠ABC ＝30°，且∠ABC ＝∠AB 1B ＋∠B 1AB ， ∴∠AB 1B ＝15°.令AC ＝a ，则AB ＝2a ，BC ＝3a . ∴tan15°＝tan ∠AB 1C ＝AC B 1C ＝AC B 1B ＋BC＝2－ 3. (3)tan7.5°＝122＋3＋2＋3.6．解：(1)在Rt △ADC 中，∠C ＝90°， ∠ADC ＝30°，AC ＝6， ∴AD ＝2AC ＝12.答：调整后的滑梯AD 的长度为12 m.(2)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝60°，AC ＝6， sin ∠ABC ＝ACAB， ∴AB ＝ACsin60°＝6×23＝6.92(m)．∴AD －AB ＝12－6.92≈5.1(m)．答：调整后的滑梯AD 比原滑梯AB 增加5.1 m. 7．解：(1)如图66，过点P 作PD ⊥AB 于点D .图66由题意，得∠PAB ＝90°－58°＝32°， ∠PBD ＝90°－35°＝55°，AP ＝30.在Rt △ADP 中，sin ∠PAD ＝PD AP. 得PD ＝AP ·sin∠PAD ＝30·sin32°≈15.9(海里)． 答：船P 到海岸线MN 的距离约为． (2)在Rt △BDP 中，sin ∠PBD ＝PD BP. 即BP ＝PDsin ∠PBD ≈19.4.∵3020>,15)，∴B 船先到达P 处． 【演练·巩固提升】10．18 5或32 511．解：过A 作AD ⊥BC 于D ，则AD 的长度即是A 到岸边BC 的最短距离． 在Rt △ACD 中，∠ACD ＝45°，设AD ＝x ，则CD ＝x . 在Rt △ABD 中，∠ABD ＝60°.由tan ∠ABD ＝AD BD ，得BD ＝x tan60°＝33x .又BC ＝4，即BD ＋CD ＝33x ＋xx ＝6－2 3. 答：小岛上标志性建筑物的底部A 到岸边BC 的最短距离为(6－2 3)公里． 12．解：由题意，得∠ECA ＝45°，∠FCB ＝60°. ∵EF ∥AB ，∴∠CAD ＝∠ECA ＝45°，∠CBD ＝∠FCB ＝60°. ∵∠ADC ＝∠CDB ＝90°， 且在Rt △CDB 中，tan ∠CBD ＝CD BD， ∴BD ＝51tan60°＝17 3(m)．∵AD ＝CD ＝51，∴AB ＝AD ＋BD ＝(51＋17 3)(m)． 答：A ，B 之间的距离为(51＋17 3) m. 13．A14．解：如图67，过点A 作BC 的垂线交BC 于点E . 在Rt △ABE 中，AB ＝25，∠ABC ＝62°，∴AE ＝25sin62°＝22(m)，BE ＝25cos62°＝11.75(m)． 在Rt △ADE 中，DE ＝AEtan50°＝221.20≈18.33(m)．∴DB ＝DE －BE ＝18.33－11.75＝6.58(m)． 答：应将坝底向外拓宽6.58 m.图67图6815．解：(1)如图68，过A 作AD ⊥BC ，垂足为D . ∵AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，∴∠BAD ＝∠CAD ＝60°，∠ABD ＝30°.∵∠BAM ＝15°，∴∠MAD ＝45°.则设AD ＝MD ＝x ， 在△ABD 中，tan ∠ABD ＝ADBD＝x20 3－20＋x＝33. 解得x ＝20.∴AB ＝2AD ＝40. 答：AB 的长为40 cm.(2)∵120°15°＝8(s)，则AP 从AB 旋转到AC 需8 s.∴当光线旋转6 s 时，如图69，设AP 交BC 于点N ， 此时，∠BAN ＝15°×6＝90°. 在Rt △ABN 中，BN ＝ABcos ∠ABN ＝80 33.∴当光线旋转6 s 时，与BC 的交点N 在距点B 80 33cm 处．图69 图70如图70，设光线AP 旋转2014 s 后与BC 的交点为Q .由题意知，光线从边AB 开始到第一次回到AB 处需2×8＝16(s)，2014＝125×16＋14， 即AP 旋转2014 s 与旋转14 s 时和BC 的交点是同一点Q .易知，CQ ＝BN ＝80 33，BC ＝2AB cos30°＝40 3.∴BQ ＝BC －CQ ＝40 3－80 33＝40 33(cm)．∴光线AP 旋转2014 s 后，与BC 的交点Q 在距点B 40 33 cm 处．。

第2讲 图形的相似1．(2014年某某某某)若两个相似多边形的面积之比为1∶4，则它们的周长之比为( )A ．1∶4B ．1∶2C ．2∶1D ．4∶12．(2014年某某某某)如图5­2­10，四边形ABCD 和四边形CEFG 都是正方形，点G 在线段CD 上，连接BG ，DE ，DE 和FG 相交于点O .设AB ＝a ，CG ＝b (a >b )．下列结论：①△BCG ≌△DCE ；②BG ⊥DE ；③DG GC ＝GO CE；④(a －b )2·S △EFO ＝b 2·S △DGO .其中结论正确的个数是( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个图5­2­10 图5­2­113．(2014某某某某)如图5­2­11，双曲线y ＝k x 经过Rt △BOC 斜边上的点A ，且满足AO AB＝23，与BC 交于点D, S △BOD ＝21，则k ＝________. 4．(2013年某某某某)如图5­2­12，网格图中每个方格都是边长为1的正方形．若A ，B ，C ，D ，E ，F 都是格点，试说明△ABC ∽△DEF .图5­2­125．(2012年某某某某)如图5­2­13，AC 是⊙O 的直径，弦BD 交AC 于点E . (1)求证：△ADE ∽△BCE ；(2)如果AD 2＝AE ·AC ，求证：CD ＝CB .图5­2­136．(2012年某某某某)如图5­2­14，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交AC于点E，交BC于点D，连接BE，交AD于点P.求证：(1)D是BC的中点；(2)△BEC∽△ADC；(3)AB·CE＝2DP·AD.图5­2­14A级基础题1．下列各组线段(单位：cm)中，是成比例线段的为( )A．1,2,3,4 B．1,2,2,4 C．3,5,9,13 D．1,2,2,32．(2013年)如图5­2­15，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE＝20 m，EC＝10 m，CD＝20 m，则河的宽度AB＝( )A．60 m B．40 m C．30 m D．20 m图5­2­15 图5­2­163．(2013年某某)如图5­2­16，已知在△ABC中，点D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD∶DB＝3∶5，那么CF∶CB＝( )A．5∶8 B．3∶8 C．3∶5 D．2∶54．(2014年某某)在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：对于两人的观点，下列说法正确的是( )A．两人都对 B．两人都不对C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对5．(2013年某某某某)如图5­2­17，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O，AD＝1，BC＝4，则△AOD与△BOC的面积之比等于( )A.12B.14C.18D.116图5­2­17图5­2­186．(2013年某某威海)如图5­2­18，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，AB的垂直平分线OD交AB于点O，交AC于点D，连接BD.下列结论错误的是( )A．∠C＝2∠A B．BD平分∠ABCC．S△BCD＝S△BOD D．点D为线段AC的黄金分割点7．(2014年某某某某)如图5­2­19，小明用长为3 m的竹竿CD做测量工具，测量学校旗杆AB的高度．移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点O，此时O点与竹竿的距离OD＝6 m，竹竿与旗杆的距离DB＝12 m，则旗杆AB的高为________m.图5­2­19图5­2­20图5­2­21 8．(2014年某某某某)如图5­2­20，在平行四边形ABCD中，F是BC上的一点，直线DF与AB的延长线相交于点E，BP∥DF，且与AD相交于点P，请从图中找出一组相似的三角形________．9．(2013年某某某某)如图5­2­21，在平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别为(3,0)，(2，－3)，△AB′O′是△ABO关于点A的位似图形，且O′的坐标为(－1,0)，则点B′的坐标为________．10．(2012年某某株洲)如图5­2­22，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，沿直线MN对折，使A，C重合，直线MN交AC于点O.(1)求证：△∽△CBA；(2)求线段OM的长度．图5­2­22B级中等题11．如图5­2­23，大江的同一侧有A，B两个工厂，它们都有垂直于江边的小路，AD，BE的长度分别为3 km和2 km，且两条小路之间的距离为5 km.现要在江边建一个供水站向A，B两厂送水，欲使供水管路最短，则供水站应建在距E处多远的位置？图5­2­2312.(2012年某某株洲)如图5­2­24，在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝5 m ，AC ＝12 m ．点M 在线段CA 上，从C 向A 运动，速度为1 m/s ；同时点N 在线段AB 上，从A 向B 运动，速度为2 m/s ，运动时间为t s .(1)当t 为何值时，∠AMN ＝∠ANM ；(2)当t 为何值时，△AMN 的面积最大，并求出这个最大值．图5­2­24C 级 拔尖题BA ＝CD ，BC ＝20 cm ，BC ，EF 平行于地面AD 且到地面AD 的距离分别为40 cm,8 cm ，为使板凳两腿底端A ，D 之间的距离为50 cm ，那么横梁EF 应为多长(材质及其厚度等暂忽略不计)?图5­2­25第2讲 图形的相似【真题·南粤专练】 1．B2．B 解析：①由四边形ABCD 、CEFG 都是正方形， 可得BC ＝DC ，CG ＝CE ，∠BCG ＝∠DCE . ∴△BCG ≌△DCE (SAS)．故①正确．②如图59，延长BG 交DE 于点H ，由①，得∠CDE ＝∠CBG ，∠DGH ＝∠BGC .∴∠BCG ＝∠DHG ＝90°.故②正确．③由GF ∥CE ，可证△DGO ∽△DCE .∴DG DC ＝GO CE ，而不是DG GC ＝GO CE.故③不正确．④△EFO ∽△DGO ，S △EFO S △DGO 等于“相似比”的平方，即S △EFO S △DGO ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫EF DG 2＝b 2a －b2.∴(a －b )2S △EFO ＝b 2S △DGO .故④正确．故选B.图59 图603．8 解析：如图60，过A 作AE ⊥x 轴于点E .∵S △OAE ＝S △OCD ，∴S 四边形AECB＝S △BOD ＝21.∵AE ∥BC ，∴△OAE ∽△OBC .S △OAE S △OBC ＝S △OAE S △OAE ＋S 四边形AECB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AO OB 2＝425. ∴S △OAE k ＝8.4．解：∵AC ＝2，BC ＝10，AB ＝4，DF ＝2 2，EF ＝210，DE ＝8，∴AC DF ＝BC EF ＝AB DE＝12. ∴△ABC ∽△DEF .5．证明： (1)∵CD ＝CD ，∴∠A ＝∠B . 又∵∠CEB ＝∠AED ，∴△ADE ∽△BCE .图61(2)如图61，由AD 2＝AE ·AC ，得AE AD ＝AD AC. 又∵∠A ＝∠A ，∴△ADE ∽△ACD . ∴∠AED ＝∠ADC . 又∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ADC ＝90°，即有∠AED ＝90°. ∴直径AC ⊥BD .∴CD ＝BC .∴CD ＝CB .6．证明：(1)∵AB 是直径，∴∠ADB ＝90°，即AD ⊥BC . 又∵AB ＝AC ，∴D 是BC 的中点． (2)在△BEC 与△ADC 中， ∵∠C ＝∠C ，∠CAD ＝∠CBE ，∴△BEC ∽△ADC .(3)∵△BEC ∽△ADC ，∴AC BC ＝CD CE. 又∵D 是BC 的中点， ∴2BD ＝2CD ＝BC . ∴AC 2BD ＝BD CE.则2BD 2＝AC ·CE .① 在△BPD 与△ABD 中，有∠BDP ＝∠BDA . 又∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴∠CAD ＝∠BAD . 又∵∠CAD ＝∠CBE ，∴∠DBP ＝∠BAD . ∴△BPD ∽△ABD .∴BD PD ＝AD BD.则BD 2＝PD ·AD .②∴由①，②，得AC ·CE ＝2BD 2＝2PD ·AD . ∴AB ·CE ＝2DP ·AD . 【演练·巩固提升】8．△DCF ∽△EBF (或△DCF ∽△EAD ，△DCF ∽△BAP ，△EAD ∽△BAP ，△BAP ∽△EBF ，△EAD ∽△EBF ，答案不唯一)．9.⎝ ⎛⎭⎪⎫53，－4 10．(1)证明：∵A 与C 关于直线MN 对称， ∴AC ⊥MN .∴∠＝90°.在矩形ABCD 中，∠B ＝90°，∴∠＝∠B . 又∵∠ACB ＝∠MCO ，∴△∽△CBA . (2)解：∵在Rt △CBA 中，AB ＝6，BC ＝8， ∴AC ＝10，∴OC ＝5. ∵△∽△CBA ，∴OC CB ＝OM AB ，OM ＝154.11．解：如图62，作出点B 关于江边的对称点C ，连接AC ，则BF ＋FA ＝CF ＋FA ＝CA .根据两点之间线段最短可知，当供水站在点F 处时，供水管路最短．∵△ADF ∽△CEF ，∴设EF ＝x ，则FD ＝5－x . 根据相似三角形的性质，得EF FD ＝CE AD ，即x 5－x ＝23.解得x ＝2. 故供水站应建在距点E 2 km 处．图6212．解：(1)由题意，得AM ＝12－t ，AN ＝2t . 若∠AMN ＝∠ANM ，则AM ＝AN .从而12－t ＝2t .解得t ＝4. ∴当t 为4 s 时，∠AMN ＝∠ANM . (2)如图63，过点N 作NH ⊥AC 于点H ，图63∴∠NHA ＝∠C ＝90°.∵∠A 是公共角，∴△NHA ∽△BCA .∴AN AB ＝NH BC ，即2t 13＝NH 5.∴NH ＝10t 13. 从而有S △AMN ＝12(12－t )·10t 13＝－513t 2＋6013t ＝－513(t －6)2＋18013.∴当t ＝6 s 时，S 有最大值为18013m 2.13．解：如图64，过点C 作CM ∥AB ，交EF ，AD 于点N ，M ，作CP ⊥AD ，交EF ，AD 于点Q ，P .图64由题意，得四边形ABCM 是平行四边形， ∴EN ＝AM ＝BC ＝20.∴MD＝AD－AM＝50－20＝30(cm)．由题意知，CP＝40，PQ＝8，∴CQ＝32. ∵EF∥AD，∴△F∽△CMD.∴NFMD＝CQCP，即NF30＝3240.解得NF＝24.∴EF＝EN＋NF＝20＋24＝44(cm)．答：横梁EF应为44 cm.。

第1讲角、相交线和平行线1．(2013年某某某某)如图4­1­8，两平行直线a，b被直线l所截，且∠1＝60°，则∠2的度数为( )A．30° B．45° C．60° D．120°图4­1­8图4­1­92．(2014年某某某某)如图4­1­9，能判定EB∥AC的条件是( )A．∠C＝∠ABE B．∠A＝∠EBD C．∠C＝∠ABC D．∠A＝∠ABE3．(2013年某某某某)命题“对顶角相等”的条件是__________________．4．(2013年某某某某)点P在线段AB的垂直平分线上，PA＝7，则PB＝__________.5．(2013年某某某某)若∠α＝42°，则∠α的余角的度数是____________．6．(2012年某某某某)已知∠ABC＝30°，BD是∠ABC的平分线，则∠ABD＝__________.7．(2014年某某某某)已知命题：“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等．”写出它的逆命题：________________________________________，该逆命题是________命题(填“真”或“假”)．8．(2014年某某某某)已知a，b，c为平面内三条不同直线，若a⊥b，c⊥b，则a与c 的位置关系是________．A级基础题1．(2013年某某)已知∠A＝65°，则∠A的补角等于( )A．125° B．105° C．115° D．95°2．如图4­1­10，三条直线相交于一点O，其中AB⊥CO，则∠1与∠2( )A．互为补角 B．互为余角 C．相等 D．互为对顶角图4­1­10图4­1­11 图4­1­12图4­1­133．(2013年某某某某)如图4­1­11，点O在直线AB上，射线OC平分∠DOB.若∠COB＝35°，则∠AOD＝( )A．35° B．70° C．110° D．145°4. (2013年某某永州)如图4­1­12，下列条件中能判断直线l1∥l2的是( )A．∠1＝∠2 B．∠1＝∠5 C．∠1＋∠3＝180° D．∠3＝∠55．如图4­1­13，已知直线a∥b，∠1＝40°，∠2＝60°，则∠3＝( )A．100° B．60° C．40° D．20°6．(2012年某某内江)如图4­1­14，a∥b，∠1＝65°，∠2＝140°，则∠3＝( )图4­1­14A．100° B．105° C．110° D．115°7．下列说法正确的是( )A．同位角相等 B．在同一平面内，若a⊥b，b⊥c，则a⊥cC．相等的角是对顶角 D．在同一平面内，若a∥b，b∥c，则a∥c8．(2013年某某某某)如图4­1­15，若∠1＝40°，∠2＝40°，∠3＝116°30′，则∠4＝________.图4­1­15图4­1­16图4­1­17图4­1­189．(2013年某某)如图4­1­16，AB∥CD，BC∥DE.若∠B＝50°，则∠D的度数是__________．10．(2012年某某某某)如图4­1­17，AB∥CD，AD与BC交于点E，EF是∠BED的平分线．若∠1＝30°，∠2＝40°，则∠BEF＝________.11．如图4­1­18，已知∠1＝∠2，∠B＝40°，则∠3＝________.12．(2013年某某某某)如图4­1­19，已知∠ACD＝70°，∠ACB＝60°，∠ABC＝50°.求证：AB∥CD.图4­1­1913．证明角平分线的性质定理的逆定理：角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上．B级中等题14．(2013年某某某某)直线上有2013个点，我们进行如下操作：在每相邻两点之间插入1个点，经过3次这样的操作后，直线上有__________个点．15．如图4­1­20，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，点E在BC上，EF⊥AB，垂足为F.(1)求证：CD与EF平行；(2)如果∠1＝∠2，且∠3＝115°，求∠ACB的度数．图4­1­20C级拔尖题16．已知O为直线AB上的一点，OC⊥OE于点O，射线OF平分∠AOE.(1)如图4­1­21(1)，判断∠COF和∠BOE之间的数量关系，并说明理由；(2)若将∠COE绕点O旋转至图4­1­21(2)的位置，试问(1)中∠COF和∠BOE之间的数量关系是否发生变化？若不发生变化，请你加以证明．若发生变化，请你说明理由；(3)若将∠COE绕点O旋转至图4­1­21(3)的位置，继续探究∠COF和∠BOE之间的数量关系，并加以证明．(1) (2) (3)图4­1­21第四章 图形的认识第1讲 角、相交线和平行线【真题·南粤专练】1．C 2.D 3.两个角是对顶角 4.7 5.48° 6.15° 7．如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等；假8．平行【演练·巩固提升】8．63°30′ 9.130° 10.35° 11.40°12．证明：∵∠ACD ＝70°，∠ACB ＝60°，∴∠BCD ＝130°.∵∠ABC ＝50°，∴∠BCD ＋∠ABC ＝180°.∴AB ∥CD .13．证明：已知如图10，点P 在∠AOB 内，PD ＝PE ，PD ⊥AO ，PE ⊥OB .求证：点P 在∠AOB 的平分线上．图10证明：∵PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，∴∠PDO ＝∠PEO ＝90°.在Rt △PDO 和Rt △PEO 中，⎩⎪⎨⎪⎧ PD ＝PE ，OP ＝OP ，∴△PDO ≌△PEO (HL)．∴∠1＝∠2，即点P 在∠AOB 的平分线上．14．16 097 解析：从最简单的入手，当直线上只有2个点时，按要求可以插入1个点；当直线上只有3个点时，按要求可以插入2个点；当直线上只有4个点时，按要求可以插入3个点，…，直线上有2013个点，按要求操作后：(1)1次操作后共有点：2013＋2012＝4025(个)；(2)2次操作后共有点：4025＋4024＝8049(个)；(3)3次操作后共有点：8049＋8048＝16 097(个)．15．(1)证明：∵CD ⊥AB ，∴∠CDB ＝90°.∵EF ⊥AB ，∴∠EFB ＝90°.∴∠CDB ＝∠EFB .∴CD ∥EF .(2)解：∵CD ∥EF ，∴∠2＝∠BCD .∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠BCD .∴DG ∥BC .∴∠ACB ＝∠3＝115°.16．解：(1)∠BOE ＝2∠COF .理由如下：∵∠COE ＝90°，∴∠BOE ＝90°－∠AOC .∵∠COF ＝90°＋∠AOC 2－∠AOC ＝90°－∠AOC 2， ∴∠BOE ＝2∠COF .(2)不发生变化．证明如下：∵∠COE ＝90°，∴∠COF ＝90°－∠EOF .∵∠BOE ＝180°－2∠EOF ，∴∠BOE ＝2∠COF .(3)∠BOE ＋2∠COF ＝360°.证明如下：∵∠COE ＝90°，∴∠COF ＝90°＋∠EOF .∵∠BOE ＝90°＋∠BOC ＝90°＋90°－2∠EOF ＝180°－2∠EOF ，∴∠BOE ＋2∠COF ＝360°.。

第1讲抽样与数据分析1．(2014年某某某某)下列调查中，适合用普查方式的是( )A．调查某某市市民的吸烟情况B．调查某某市电视台某节目的收视率C．调查某某市市民家庭日常生活支出情况D．调查某某市某校某班学生对“文明某某”的知晓率2．(2013年某某某某)数字1,2,5,3,5,3,3的中位数是( )A．1 B．2 C．3 D．53．(2013年某某某某)小李和小林练习射箭，射完10箭后两人的成绩如图6­1­6，通常新手的成绩不太稳定，根据图中的信息，估计这两人中的新手是__________．图6­1­64．(2014年某某某某)甲、乙两组数据(单位：cm)如下表：甲组173172174174173173172173172174 乙组173172174171173175175173171173众数平均数方差甲组乙组(2)5．(2014年某某某某)2014年3月31日是全国中小学生安全教育日，某校全体学生参加了“珍爱生命，预防溺水”专题活动，学习了游泳“五不准”，为了解学生对“五不准”的知晓情况，随机抽取了200名学生做调查，请根据下面两个不完整的统计图(如图6­1­7)解答问题：(1)求在这次调查中，“能答5条”人数的百分比和“仅能答3条”的人数；(2)若该校共有2000名学生，估计该校能答3条以上(含3条)“五不准”的人数．对“五不准”知晓情况的统计图对“五不准”知晓情况的统计图图6­1­76.(2014年某某某某)关于体育选考项目统计表，统计图如图6­1­8：项目频数频率A 80bB cC 20D 40合计 a 1图6­1­8(1)求出表中a，b，c的值，并将条形统计图补充完整．表中a＝________，b＝________，c＝__________.(2)如果有3万人参加体育选考，会有多少人选择篮球？7．(2013年某某某某)2013年3月28日是全国中小学生安全教育日，某学校为加强学生的安全意识，组织了全校1500名学生参加安全知识竞赛，从中抽取了部分学生成绩(得分取正整数，满分为100分)进行统计．请根据尚未完成的频率分布表和频数分布直方图(如图6­1­9)，解答下列问题：频率分布表分数段频数频率164050m24n图6­1­9(1)这次抽取了__________名学生的竞赛成绩进行统计，其中：m＝__________，n＝________；(2)补全频数分布直方图；(3)若成绩在70分以下(含70分)的学生为安全意识不强，有待进一步加强安全教育，则该校安全意识不强的学生约有多少人？A级基础题1．(2013年某某某某)合作交流是学习教学的重要方式之一，某校九年级每个班合作学习小组的个数分别是：8,7,7,8,9,7，这组数据的众数是( )A．7 B．7.5 C．8 D．92．(2014年某某内江)下列调查：①调査本班同学的视力；②调查一批节能灯管的使用寿命；③为保证“神舟9号”的成功发射，对其零部件进行检查；④对乘坐某班次客车的乘客进行安检．其中适合采用抽样调查的是( )A．① B．② C．③ D．④3．(2013年某某某某)气候宜人的省级度假胜地吴川吉兆，测得一至五月份的平均气温分别为17,17,20,22,24(单位：℃)，这组数据的中位数是( )A．24 B．22 C．20 D．174．(2014年某某维吾尔族自治区)某学校教研组对八年级360名学生就“分组合作学习”方式的支持程度进行了调查，随机抽取了若干名学生进行调查，并制作统计图(图6­1­10)．据此统计图估计该校八年级支持“分组合作学习”方式的学生数约为( )(含非常喜欢和喜欢两种情况)( )A．216人 B．252人 C．288人 D．324人图6­1­10图6­1­115．(2014年某某某某)为了解某一路口某一时段的汽车流量，小明同学10天中在同一时段统计通过该路口的汽车数量(单位：辆)，将统计结果绘制成如图6­1­11所示的折线统计图：由此估计一个月(30天)该时段通过该路口的汽车数量超过200辆的天数为( ) A．9天 B．10天 C．12天 D．15天6．(2013年某某某某)某校体育组为了解学生喜欢的体育项目，从全校同学中随机抽取了若干名同学进行调查，每位同学从乒乓球、篮球、羽毛球、排球、跳绳中选择一项最喜欢的项目，并将调查的结果绘制成如图6­1­12所示的两幅统计图．根据统计图，解答下列问题：(1)这次被调查的共有多少名同学？并补全条形统计图；(2)若全校有1200名同学，估计全校最喜欢篮球和排球的共有多少名同学？图6­1­12B级中等题7．(2012年某某某某)某校学生来自甲、乙、丙三个地区，其人数比为2∶3∶5，如图6­1­13所示的扇形图表示上述分布情况．已知来自甲地区的为180人，则下列说法不正确的是( )图6­1­13A．扇形甲的圆心角是72°B．学生的总人数是900人C．丙地区的人数比乙地区的人数多180人D．甲地区的人数比丙地区的人数少180人8．(2013年某某某某)青少年“心理健康”问题越来越引起社会的关注，某中学为了解学校600名学生的心理健康状况，举行了一次“心理健康”知识测试，并随机抽取了部分学生的成绩(得分取正整数，满分为100分)作为样本，绘制了下面未完成的频率分布表和频率分布直方图(如图6­1­14)．请回答下列问题：分组频数频率4141610合计图6­1­14(1)填写频率分布表中的空格，并补全频率分布直方图；(2)若成绩在70分以上(不含70分)为心理健康状况良好，同时，若心理健康状况良好的人数占总人数的70%以上，就表示该校学生的心理健康状况正常，否则就需要加强心理辅导．请根据上述数据分析该校学生是否需要加强心理辅导，并说明理由．9．(2013年某某威海)某单位招聘员工，采取笔试与面试相结合的方式进行，两项成绩的原始分均为100分．前6名选手的得分如下表：序号项目12345 6笔试成绩/分859284908480面试成绩/分908886908085综合成绩的满分仍为100分)．(1)这6名选手笔试成绩的中位数是________，众数是________；(2)现得知1号选手的综合成绩为88分，求笔试成绩和面试成绩各占的百分比；(3)求出其余5名选手的综合成绩，并以综合成绩排序确定前2名人选．C级拔尖题10．(2014年某某某某)某教研机构为了解在校初中生阅读数学教科书的现状，随机抽取某校部分初中学生进行了调查．依据相关数据绘制成以下不完整的统计图表(如图6­1­15)，请根据图表中的信息解答下列问题：某校初中生阅读数学教科书情况统计图表图6­1­15类别人数/人占总人数比例重视 a一般57不重视 b c说不清楚9(1)求样本容量及表格中a，b，c的值，并补全统计图；(2)若该校共有初中生2300名，请估计该校“不重视阅读数学教科书”的初中生人数；(3)①根据上面的统计结果，谈谈你对该校初中生阅读数学教科书的现状的看法及建议；②如果要了解全省初中生阅读数学教科书的情况，你认为应该如何进行抽样？第六章统计与概率第1讲抽样与数据分析【真题·南粤专练】4．解：(1)填表：众数平均数方差甲组173173乙组173173(2)因为两组数据的平均数相同，且甲组数据的方差小，所以甲组数据较稳定．5．解：(1)40÷200＝20%,200×40%＝80(人)，∴“能答5条”人数的百分比是20%，“仅能答3条”的人数是80人.(2)2000×(1－5%－10%)＝1700(人)，∴该校能答3条以上(含3条)“五不准”的人数有1700人.6．解：(1)a＝20÷0.1＝200, c＝200×0.3＝60, b＝80÷200＝0.4，故答案为：200,0.4,60.补全条形统计图如图73.图73(2)30 000×0.4＝12 000(人)．答：3万人参加体育选考，会有12 000人选择篮球．(2)如图74.图74(3)1500×(0.2＋0.08)＝420(人)． 【演练·巩固提升】6．解：(1)30÷15%＝200(人)． 答：被调查的共有200名学生． 补全条形统计图如图75.图75(2)1200×40＋12200×100%＝312(人)．答：全校有1200名同学，估计全校最喜欢篮球和排球的共有312名同学． 7．D8．解：(1)频率分布表如下：分组频数 频率 4 14 16 610 合计50补全条形统计图如图图76(2) 该校学生需要加强心理辅导，理由：根据题意，得70分以上的人数为16＋6＋10＝32(人)，∵心理健康状况良好的人数占总人数的百分比为3250×100%＝64%＜70%， ∴该校学生需要加强心理辅导．9．解：(1)84.5 84(2)设笔试成绩和面试成绩各占的百分比分别是x ，y ，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1，85x ＋90y ＝88.解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0.4，y ＝0.6.笔试成绩和面试成绩各占的百分比分别是40%,60%.(3)2号选手的综合成绩是92×0.4＋88×0.6＝89.6(分)；3号选手的综合成绩是84×0.4＋86×0.6＝85.2(分)；4号选手的综合成绩是90×0.4＋90×0.6＝90(分)；5号选手的综合成绩是84×0.4＋80×0.6＝81.6(分)；6号选手的综合成绩是80×0.4＋85×0.6＝83(分)．则综合成绩排序前两名人选是4号和2号．10．解：(1)由统计表可知，样本容量为57÷0.38＝150(人)．∴a ＝150×0.3＝45，c ＝1－0.3－0.38－0.06＝0.26，b ＝150×0.26＝39.补全统计图如图77.图77(2)2300×0.26＝598(人)，∴可估计该校“不重视阅读数学教科书”的初中生人数约为598人．(3)①从该校初中生重视阅读数学教科书的人数比例来看，该校初中生对阅读数学教科书的重视程度不够，建议数学教师在课内外加强引导学生阅读数学教科书，逐步提高学生数学阅读能力，重视数学教材在数学学习过程中的作用；②考虑到样本具有的随机性、代表性和广泛性，要了解全省初中生阅读数学教科书的情况，抽样时要选择城市、乡镇不同层次的学校．。

第2讲一次函数1．(2013年某某某某)一次函数y＝(m＋2)x＋1，若y随x的增大而增大，则m的取值X围是____________．2．(2013年某某某某)已知函数y＝3x的图象经过点A(－1，y1)，B(－2，y2)，则y1______y2(填“＞”“＜”或“＝”)．3．(2014年某某某某)已知函数y＝ax＋b经过点(1,3)，(0，－2)，求a－b＝( ) A．－1 B．－3 C．3 D．74．(2014年某某某某)已知正比例函数y＝kx(k<0)的图象上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1<x2，则下列不等式中恒成立的是( )A．y1＋y2>0 B．y1＋y2<0 C．y1－y2>0 D．y1－y2<05．(2013年某某某某)周末，小明骑自行车从家里出发到野外郊游．从家出发1小时后到达南亚所(景点)，游玩一段时间后按原速前往湖光岩．小明离家1小时50分钟后，妈妈驾车沿相同路线前往湖光岩，如图3­2­5是他们离家的路程y(单位：千米)与小明离家时间x(单位：时)的函数图象．(1)求小明骑车的速度和在南亚所游玩的时间；(2)若妈妈在出发后25分钟时，刚好在湖光岩门口追上小明，求妈妈驾车的速度及CD 所在直线的函数解析式．图3­2­5A级基础题1．(2013年某某某某)下列函数中，y随x的增大而减小的函数是( )A ．y ＝2x ＋8B ．y ＝－2＋4xC ．y ＝－2x ＋8D ．y ＝4x2．(2014年某某)若点A (－2，m )在正比例函数y ＝－12x 的图象上，则m 的值是( )A.14 B ．－14C ．1D ．－1 3．一次函数y ＝2x ＋3的图象交y 轴于点A ，则点A 的坐标为( ) A ．(0,3) B ．(3,0) C ．(1,5) D ．(－1.5,0)4．(2014年某某某某)“黄金1号”玉米种子的价格为5元/千克，如果一次购买种子2千克以上，超过2千克部分的种子的价格打6折，设购买种子数量为x 千克，付款金额为y 元，则y 与x 的函数关系的图象大致是( )A B C D5．(2013年某某某某)已知一次函数y ＝x －2，当函数值y ＞0时，自变量x 的取值X 围在数轴上表示正确的是( )A B C D6．(2013年某某某某育才二中一模)若一次函数y ＝kx ＋b 的函数值y 随x 的增大而减小，且图象与y 轴的负半轴相交，那么对k 和b 的符号判断正确的是( )A ．k >0，b >0B ．k >0，b <0C ．k <0，b >0D ．k <0，b <07．(2014年某某市)如图3­2­6是反比例函数y ＝kx(k 为常数，k ≠0)的图象，则一次函数y ＝kx －k 的图象大致是( )图3­2­6A B C D8．(2014年某某某某)已知一次函数y＝(1－m)x＋m－2，当m________时，y随x的增大而增大．9．(2014年某某模拟)已知一次函数y＝kx－4，当x＝2时，y＝－3.(1)求一次函数的解析式；(2)将该函数的图象向上平移6个单位，求平移后的图象与x轴交点的坐标．10．(2013年某某某某)某市出租车计费方法如图3­2­7，x(单位：km)表示行驶里程，y(单位：元)表示车费，请根据图象回答下面的问题：(1)出租车的起步价是多少元？当x＞3时，求y关于x的函数关系式；(2)若某乘客有一次乘出租车的车费为32元，求这位乘客乘车的里程．图3­2­7B级中等题11．(2014年某某某某)一次越野跑中，当小明跑了1600米时，小刚跑了1400米，小明、小刚在此后所跑的路程y(单位：米)与时间t(单位：秒)之间的函数关系如图3­2­8，则这次越野跑的全程为________米．图3­2­8图3­2­912．(2013年某某某某)A，B两点在一次函数图象上的位置如图3­2­9，两点的坐标分别为A(x＋a，y＋b)，B(x，y)，下列结论正确的是( )A．a＞0 B．a＜0 C．b＝0 D．ab＜013．(2013年某某某某)为了响应国家节能减排的号召，鼓励市民节约用电，某市从2012年7月1日起，居民用电实行“一户一表”的“阶梯电价”．分三个档次收费，第一档是用电量不超过180千瓦时实行“基本电价”，第二、三档实行“提高电价”，具体收费情况如图3­2­10所示的折线图，请根据图象回答下列问题；(1)当用电量是180千瓦时，电费是__________元；(2)第二档的用电量X围是__________千瓦时；(3)“基本电价”是__________元/千瓦时；(4)小明家8月份的电费是328.5元，这个月他家用电多少千瓦时？图3­2­10C级拔尖题14．(2014年某某某某君里模拟)若点(a，b)在一次函数y＝2x－3图象上，则代数式3b －6a＋1的值是______．15．(2013年某某某某)为了节约资源，科学指导居民改善居住条件，小王向房管部门提出了一个购买商品房的政策性方案.(1)若某三口之家欲购买120平方米的商品房，求其应缴纳的房款；(2)设该家庭购买商品房的人均面积为x 平方米，缴纳房款y 万元，请求出y 关于x 的函数关系式；(3)若该家庭购买商品房的人均面积为50平方米，缴纳房款为y 万元，且57＜y ≤60 时，求m 的取值X 围．第2讲 一次函数【真题·南粤专练】 1．m5．解：(1)由图象知，小明1小时骑车20千米，所以小明骑车的速度为：201＝20 (千米/时)．图象中线段AB 表明小明游玩的时间段，所以小明在南亚所游玩的时间为2－1＝1(时)．(2)由题意和图象，得小明从南亚所出发到湖光岩门口所用的时间为：15060＋2560－2＝14(时)，所以从南亚所出发到湖光岩门口的路程为20×14＝5(千米)．于是从家到湖光岩门口的路程为：20＋5＝25(千米)．故妈妈驾车的速度为25÷2560＝60(千米/时)．设CD 所在直线的函数解析式为y ＝kx ＋b ，由题意知，点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫94，25，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫116，0，则⎩⎪⎨⎪⎧94k ＋b ＝25，116k ＋b ＝0.解得 ⎩⎪⎨⎪⎧k ＝60，b ＝－110.则CD 所在直线的函数解析式为y ＝60x －110. 【演练·巩固提升】1．C 2.C 3.A 4.B 5.B 6.D 7.B 8.<1 9．解：(1)由已知，得－3＝2k －4，解得k ＝12.∴一次函数的解析式为y ＝12x －4.(2)将直线y ＝12x －4向上平移6个单位后得到的直线是y ＝12x ＋2.∵当y ＝0时，x ＝－4，∴平移后的图象与x 轴交点的坐标是(－4,0)． 10．解：(1)由图象，得出租车的起步价是8元． 设当x ＞3时，y 与x 的函数关系式为y ＝kx ＋b ，由函数图象，得⎩⎪⎨⎪⎧8＝3k ＋b ，12＝5k ＋b .解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝2.故y 与x 的函数关系式为y ＝2x ＋2. (2)当y ＝32时，32＝2x ＋2，x ＝15. 答：这位乘客乘车的里程是15 km.11．2200 解析：根据图象分别设两函数解析式为y 1＝k 1x ＋1400，y 2＝k 2x ＋1600.再由图知，当x ＝100时，y 1＝y 2，当x 1＝200，x 2＝300时，y 1＝y 2.于是，可得到⎩⎪⎨⎪⎧100k 1＋1400＝100 k 2＋1600，①200k 1＋1400＝300 k 2＋1600.②从而求出⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝4，k 2＝2，即得到两函数解析式为y 1＝4x ＋1400，y 2＝2x ＋1600.最后，把x ＝200代入y 1＝4x ＋1400或x ＝300代入y 2＝2x ＋1600得到答案．12．B13．解：(1)108 (2)180＜x(4)由图可知，小明家的用电量在450～540千瓦时之间， 故设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋b ，由图象，得⎩⎪⎨⎪⎧364.5＝540k ＋b ，283.5＝450k ＋b .解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝0.9，b ＝－121.5.∴yx －121.5.当y ＝328.5时，x ＝500. 答：这个月他家用电500千瓦时．14．－8 解析：把(a ，b )代入函数式中，即b ＝2a －3，则b －2a ＝－3.∴3b －6a ＋1＝3(b －2a )＋1＝－8.15．解：(1)由题意，得三口之家的人均住房面积为：1203＝40(平方米)， 三口之家应缴购房款为：0.3×3×30＋0.5×3×10＝42(万元)． (2)由题意，得①当0≤x ≤30时，y ＝0.3×3xx ； ②当30＜x ≤m 时，y ＝0.3×3×30＋0.5×3×(xx －18；③当x ＞m 时，y ＝0.3×3×30＋0.5×3(m －30)＋0.7×3×(x －mx －m －18. ∴y ＝错误! (3)由题意，得①当50≤m ≤60时，y ＝1.5×50－18＝57(舍)； ②当45≤m ＜50时，y ＝2.1×50－m －18＝87－m . ∵57＜y ≤60，∴57＜87－m ≤60.∴45≤m ＜50. 综上所述，得45≤m ＜50.。

第1讲 方程与方程组第1课时 一元一次方程和二元一次方程组1．(2013年某某某某)已知两数x ，y 之和是10，x 比y 的3倍大2，则下面所列方程组正确的是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝10，y ＝3x ＋2B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝10，y ＝3x －2C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝10，x ＝3y ＋2D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝10，x ＝3y －22. (2012年某某某某)请写出一个二元一次方程组____________，使它的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1.3．解方程组：(1)(2013年某某)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y ＋1， ①2x ＋y ＝8. ② (2)(2012年某某某某)⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝8， ①3x ＋y ＝12. ②4.(2013年某某某某节选)在信宜市某“三华李”种植基地有A ，B 两个品种的树苗出售，已知A 种比B 种每株多2元，买1株A 种树苗和2株B 种树苗共需20元．问A ，B 两种树苗每株分别是多少元？A 级 基础题1．一元一次方程2x －3＝9的解为( )A ．x ＝5B ．x ＝6C ．x ＝－6D ．x ＝－52．已知x ，y 满足方程2x ＋y ＝5，则满足条件的x ，y 值为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3 B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝3 C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－3 D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝13．(2013年某某某某)陈老师打算购买气球装扮学校六一儿童节的活动会场，气球的种类有笑脸和爱心两种，两种气球的价格不同，但同一种气球的价格相同．由于会场布置需要，购买时以一束(4个气球)为单位．已知第一、二束气球的价格如图2­1­2，则第三束气球的价格为( )图2­1­2A ．19元B ．18元C ．16元D ．15元4．某某市对城区主干道进行绿化，计划把某一段公路的一侧全部栽上桂花树，要求路的两端各栽一棵，并且每两棵树的间隔相等．若每隔5米栽1棵，则树苗缺21棵；若每隔6米栽1棵，则树苗正好用完．设原有树苗x 棵，则根据题意列出方程正确的是( )A ．5(x ＋21－1)＝6(x －1)B ．5(x ＋21)＝6(x －1)C ．5(x ＋21－1)＝6xD ．5(x ＋21)＝6x5．已知关于x 的方程3x －2m ＝4的解是x ＝2，则m ＝________.6．(2013年某某某某)二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝1，3x －2y ＝11的解是________．7．某某省2011年赴台旅游人数达7.6万人．某九年级一学生家长准备中考后全家3人去某某旅游，计划花费20 000元．设每人向旅行社缴纳x 元费用后，共剩5000元用于购物和品尝某某美食．根据题意，列出方程为____________________．8．(2014年某某)小锦和小丽购买了价格分别相同的中性笔和笔芯，小锦买了20支中性笔和2盒笔芯，用了56元；小丽买了2支中性笔和3盒笔芯，仅用了28元．求每支中性笔和每盒笔芯的价格．B 级 中等题9．(2013年某某某某)4xa ＋2b －5－2y3a －b －3＝8是二元一次方程，那么a －b ＝______.10．(2013年某某某某)若方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝7，3x －5y ＝－3，则3(x ＋y )－(3x －5y )的值是________．11．若⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ，y ＝b 是方程3x ＋y ＝1的一个解，则15a ＋5b ＋4＝________.12．解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧4x －y －1＝31－y －2，x 2＋y3＝2.C 级 拔尖题13．一种蔬菜加工后出售，单价可提高20%，但质量减少10%.现有未加工的这种蔬菜30千克，加工后可以比不加工多卖12元，则这种蔬菜加工前和加工后每千克各卖多少元？设这种蔬菜加工前每千克卖x 元，加工后每千克卖y 元，根据题意，所列方程组正确的是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1＋20%x ，301＋10%y －30x ＝12 B.⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1＋20%x ，301－10%y －30x ＝12C.⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1－20%x ，301－10%y －30x ＝12D.⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1－20%x ，301＋10%y －30x ＝1214．(2013年某某永州)中国现行的个人所得税法自2011年9月1日起施行，其中规定个人所得税纳税办法如下：一、以个人每月工资收入额减去3500元后的余额作为其每月应纳税所得额； 二、个人所得税纳税率如下表：纳税级数个人每月应纳税所得额 纳税税率 1 不超过1500元的部分 3% 2 超过1500元至4500元的部分 10% 3 超过4500元至9000元的部分 20% 4 超过9000元至35 000元的部分 25% 5 超过35 000元至55 000元的部分 30% 6 超过55 000元至80 000元的部分35% 7超过80 000元的部分45%(1)每月应缴纳的个人所得税；(2)若丙每月缴纳的个人所得税为95元，则丙每月工资收入额应为多少？第2课时 分式方程1．(2013年某某某某)分式方程2xx ＋1＝1的解是________． 2．(2013年某某某某)小朱要到距家1500米的学校上学，一天，小朱出发10分钟后，小朱的爸爸立即去追小朱，且在距离学校60米的地方追上了他．已知爸爸比小朱的速度快100米/分钟，求小朱的速度．若设小朱的速度是x 米/分钟，则根据题意所列方程正确的是( )A.1440x －100－1440x ＝10 B.1440x ＝1440x ＋100＋10 C.1440x ＝1440x －100＋10 D.1440x ＋100－1440x＝10 3．(2014年某某某某)解分式方程：2a －1＝a ＋41－a 2.4．(2013年某某某某)解方程：xx －2－1x 2－4＝1.5．(2011 年某某)某品牌瓶装饮料每箱价格是26元．某商店对该瓶装饮料进行“买一送三”的促销活动，若整箱购买，则买一箱送三瓶，这相当于每瓶比原价便宜了0.6元．问该品牌饮料一箱有多少瓶？6．(2014年某某)某商场销售的一款空调机每台的标价是1635元，在一次促销活动中，按标价的八折销售，仍可盈利9%.(1)求这款空调每台的进价；⎝ ⎛⎭⎪⎫利润率＝利润进价＝售价－进价进价 (2)在这次促销活动中，商场销售了这款空调机100台，问盈利多少元？A 级 基础题1．(2014年某某)关于x 的方程2x －1＝1的解是( ) A ．x ＝4 B ．x ＝3 C ．x ＝2 D ．x ＝1 2．(2012年某某永州)下面是四位同学解方程2x －1＋x 1－x＝1过程中去分母的一步，其中正确的是( )A ．2＋x ＝x －1B ．2－x ＝1C ．2＋x ＝1－xD ．2－x ＝x －13．(2014年某某)甲种污水处理器处理25吨的污水与乙种污水处理器处理35吨的污水所用时间相同，已知乙种污水处理器每小时比甲种污水处理器多处理20吨的污水，求两种污水处理器的污水处理效率．设甲种污水处理器的污水处理效率为x 吨/小时，依题意列方程正确的是( )A.25x＝35x －20 B.25x ＝35x ＋20 C.25x －20＝35x D.25x ＋20＝35x4．(2014年某某)方程4x －12x －2＝3的解是x ＝________.5．(2013年某某某某)若代数式2x －1－1的值为零，则x ＝________. 6．2012年6月1日起，国家实施了《中央财政补贴条例》，支持高效节能电器的推广使用．某款定速空调在条例实施后，每购买一台，客户可获财政补贴200元．若同样用11万元所购买的此款空调台数，条例实施后比条例实施前多10%，则条例实施前此款空调的售价为 ________元．7．(2014年某某某某)解方程：1x －2＝2x 2－4.8．当x 为何值时，分式3－x 2－x 的值比分式1x －2的值大3?9．(2014年)小马自驾私家车从A 地到B 地，驾驶原来的燃油汽车所需油费108元，驾驶新购买的纯电动汽车所需电费27元．已知每行驶1千米，原来的燃油汽车所需的油费比新购买的纯电动汽车所需的电费多0.54元，求新购买的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费．B 级 中等题10．(2013年某某某某)若关于x 的分式方程2x －ax －1＝1的解为正数，那么字母a 的取值X 围是__________．11．若关于x 的方程ax x －2＝4x －2＋1无解，则a 的值是__________． 12．(2014年某某江门模拟)今年植树节，某学校计划安排教师植树300棵，教师完成植树120棵后，学校全体团员加入植树活动，植树速度提高到原来的1.5倍，整个植树过程共用了3小时．(1)学校原计划每小时植树多少棵？(2)如果团员全程参加，那么整个植树过程需要多少小时完成？C 级 拔尖题13．某运动会开幕前，某体育用品商场预测某品牌运动服能够畅销，就用32 000元购进了一批这种运动服，上市后很快脱销，商场又用68 000元购进第二批这种运动服，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每套进价多了10元．(1)该商场两次共购进这种运动服多少套？(2)如果这两批运动服每套的售价相同，且全部售完后总利润率不低于20%，那么每套售价至少是多少元？第3课时 一元二次方程1．(2014年某某)关于x 的一元二次方程x 2－3x ＋m ＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值X 围为( )A ．m >94B ．m <94C ．m ＝94D ．m <－942．(2013年某某某某)若5k ＋20<0，则关于x 的一元二次方程x 2＋4x －k ＝0的根的情况是( )A ．没有实数根B ．有两个相等的实数根C ．有两个不相等的实数根D ．无法判断3．(2012年某某某某)已知关于x 的一元二次方程x 2－2 3x －k ＝0有两个相等的实数根，则k 的值为________．4．(2013年某某某某)方程x 2－2x －2＝0的解是____________． 5．(2013年某某某某)解方程：x 2－10x ＋9＝0.6．(2014年某某某某)已知关于x 的方程x 2＋ax ＋a －2＝0. (1)当该方程的一个根为1时，求a 的值及该方程的另一根； (2)求证：无论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．7．(2013年某某)某某地震牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动．第一天收到捐款10 000元，第三天收到捐款12 100元．(1)如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率； (2)按照(1)中收到捐款的增长速度，第四天该单位能收到多少捐款？A 级 基础题1．方程x 2－4＝0的根是( )A ．x ＝2B ．x ＝－2C ．x 1＝2，x 2＝－2D ．x ＝4 2．用配方法解一元二次方程x 2－2x －3＝0时，方程变形正确的是( ) A ．(x －1)2＝2 B ．(x －1)2＝4 C ．(x －1)2＝1 D ．(x －1)2＝7 3．方程4x 2＝5x ＋2化为一般式后的二次项、一次项、常数项分别是( ) A ．4x 2,5x,2 B ．－4x 2，－5x ，－2 C ．4x 2，－5x ，－2 D ．4x 2，－5x,2 4．(2014年某某某某)下列方程没有实数根的是( ) A ．x 2＋4x ＝10 B ．3x 2＋8x －3＝0 C ．x 2－2x ＋3＝0 D ．(x －2)(x －3)＝125．(2013年某某某某)一元二次方程x 2＋x －2＝0的根的情况是( ) A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．只有一个实数根 D ．没有实数根6．已知关于x 的一元二次方程x 2＋2x －a ＝0有两个相等的实数根，则a 的值是( ) A ．1 B ．－1 C.14 D ．－147．(2014年某某某某)已知关于x 的方程x 2＋2x ＋k ＝0的一个根是－1，则k ＝________. 8．(2013年某某某某)某企业2010年底缴税40万元，2012年底缴税48.4万元，设这两年该企业缴税的年平均增长率为x ，根据题意，可列方程__________________．9．解方程： (x －3)2＋4x (x －3)＝0.B 级 中等题10．要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，计划安排21场比赛，则参赛球队的个数是________个．11．(2014年某某)若x ＝－2是关于x 的一元二次方程x 2－52ax ＋a 2＝0的一个根，则a的值为( )A ．1或4B ．－1或－4C ．－1或4D ．1或－412．已知关于x 的方程x 2＋x ＋n ＝0有两个实数根－2，m ，求m ，n 的值．⎝ ⎛⎭⎪⎫若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0a ≠0的根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－b a ，x 1·x 2＝c a13．(2013年某某某某)小丽为校合唱队购买某种服装时，商店经理给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过10件，单价为80元；如果一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，但单价不得低于50元．按此优惠条件，小丽一次性购买这种服装付了1200元．请问她购买了多少件这种服装？C 级 拔尖题14．(2013年某某某某)已知函数y ＝kx ＋b 的图象如图2­1­3，则一元二次方程x 2＋x ＋k －1＝0根的存在情况是( )图2­1­3A ．没有实数根B ．有两个相等的实数根C ．有两个不相等的实数根D ．无法确定15.(2013年某某綦江)随着铁路客运量的不断增长，某某火车北站越来越拥挤，为了满足铁路交通的快速发展，该火车站从去年开始启动了扩建工程．其中某项工程，甲队单独完成所需时间比乙队单独完成所需时间多5个月，并且两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍．(1)求甲、乙两队单独完成这项工程各需几个月？(2)若甲队每月的施工费为100万元，乙队每月的施工费比甲队多50万元．在保证工程质量的前提下，为了缩短工期，拟安排甲、乙两队分工合作完成这项工程．在完成这项工程中，甲队施工时间是乙队施工时间的2倍，那么，甲队最多施工几个月才能使工程款不超过1500万元？(甲、乙两队的施工时间按月取整数)第二章 方程与不等式第1讲 方程与方程组第1课时 一元一次方程和二元一次方程组【真题·南粤专练】1．C 2.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1，x ＋2y ＝0(答案不唯一)3．解：(1)把①代入②，得2(y ＋1)＋yy ＝2.把y ＝2代入①，解得x ＝3.∴原方程组的解是⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，y ＝2.(2)①＋②，得4xx ＝5.将x ＝5代入①，解得y ＝－3.∴原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝5，y ＝－3.4．解：设A 种树苗每株x 元，B 中树苗每株y 元，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＝2，x ＋2y ＝20.解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝8，y ＝6.答：A 种树苗每株8元，B 种树苗每株6元．【演练·巩固提升】6.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，y ＝－1 7.20 000－3x ＝50008．解：设每支中性笔的价格为x 元，每盒笔芯的价格为y 元，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ 20x ＋2y ＝56，2x ＋3y ＝28.解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝8.答：每支中性笔的价格为2元，每盒笔芯的价格为8元.11．9 解析：把a ，b 代入方程得3a ＋b ＝1，则15a ＋5b ＝5，原式＝5＋4＝9.12．解：原方程组可化为⎩⎪⎨⎪⎧ 4x －y ＝5， ①3x ＋2y ＝12.②①×2＋②，得11x ＝22.∴x ＝2.把x ＝2代入①，解得y ＝3.∴原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝3.13．B 解析：根据题意，加工前的质量是30千克，则加工后的质量是30(1－10%)千克，那么加工前的总价是30x 元，加工后的总价是30(1－10%)y 元．依题意，故选B.14．解：(1)甲个人每月应纳税所得额：4000－3500＝500(元)．甲每月应缴纳的个人所得税为：500×3%＝15(元)．乙个人每月应纳税所得额：6000－3500＝2500(元)．乙每月应缴纳的个人所得税为：1500×3%＋(2500－1500)×10%＝145(元)． 答：甲、乙两人每月应缴纳的个人所得税分别为15元和145元．(2)设丙每月工资收入额应为x 元，则1500×3%＋(x －3500－1500) ×10%＝95，解得x ＝5500.答：丙每月工资收入额应为5500元．第2课时 分式方程【真题·南粤专练】1．x3．解：去分母，得2(a ＋1)＝－(a ＋4)．解得a ＝－2.经检验，a ＝－2是原分式方程的解．4．解：去分母，得x (x ＋2)－1＝x 2－4.去括号，得x 2＋2x －1＝x 2－4.解得x ＝－32. 经检验，x ＝－32是原分式方程的解． 5．解：设该品牌饮料一箱有x 瓶，依题意，得26x －26x ＋3＝0.6. 化简，得x 2＋3x －130＝0.解得 x 1＝－13(舍去)，x 2＝10.经检验，x ＝10符合题意．答： 该品牌饮料一箱有10瓶．6．(1)解：设进价为x 元，由题意，得9%＝1635×0.8－x x. 解得x ＝1200.经检验，x ＝1200是原方程的解．答：这款空调每台进价为1200元．(2)(1635×0.8－1200)×100＝10 800(元)．答：在这次促销活动中，商场销售这款空调机100台，盈利10 800元．【演练·巩固提升】6．2200 解析：设条例实施前此款空调的售价为x 元，由题意列方程，得110 000x(1＋10%)＝110 000x －200.解得x ＝2200. 7．解：方程两边同乘(x ＋2)(x －2)，得x ＋2＝2.解得x ＝0.经检验，x ＝0是原方程的解．所以，原方程的解是x ＝0.8．解：由题意列方程，得3－x 2－x －1x －2＝3.解得x ＝1.经检验，x ＝1是原方程的解．9．解：设新购买的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费为x 元，由题意，得108x ＋0.54＝27x. 解得x ＝0.18.经检验，x ＝0.18为原方程的解．答：纯电动汽车每行驶1千米所需的电费为0.18元．10．a ＞1，且a12．解：(1)设学校原计划每小时植树x 棵，依题意，得120x ＋180x＝3. 解方程，得x ＝80.经检验，x ＝80是原方程的解．答：学校原计划每小时植树80棵．(2)如果团员全程参加，那么整个植树过程需要300x ＝300120＝2.5(小时)． 答：如果团员全程参加，那么整个植树过程需要2.5小时完成．13．解：(1)设商场第一次购进x 套运动服，由题意，得68 0002x －32 000x＝10. 解得x ＝200.经检验，x ＝200是原方程的解．2x ＋x ＝2×200＋200＝600(套)，所以商场两次共购进这种运动服600套．(2)设每套运动服的售价为y 元，由题意，得600y －32 000－68 00032 000＋68 000≥20%. 解不等式，得y ≥200.所以每套运动服的售价至少是200元．第3课时 一元二次方程【真题·南粤专练】1．B 2.A 3.－3 4.x 1＝3＋1，x 2＝－3＋15．x 1＝9，x 2＝16．(1)解：设方程的另一根为x 1，⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋1＝－a ，1×x 1＝a －2.解得a ＝12，x 1＝－32. (2)证明：Δ＝a 2－4×(a －2)＝(a －2)2＋4.∵(a －2)2≥0，∴Δ>0.∴无论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．7．解：(1)设捐款增长率为x ，根据题意，得10 000(1＋x )2＝12 100.解得x 1＝0.1，x 2＝－2.1(不合题意，舍去)．∴x ＝0.1＝10%.答：捐款增长率为10%.(2)12 100×(1＋0.1)＝13 310(元)．答：第四天该单位能收到13 310元捐款．【演练·巩固提升】7．1 8. 40(1＋x )29．解：(x －3)2＋4x (x －3)＝0，因式分解，得(x －3)(x －3＋4x )＝0.整理，得(x －3)(5x －3)＝0.于是得x －3＝0或5x －3＝0.解得x 1＝3，x 2＝35.12．解：∵关于x 的方程x 2＋x ＋n ＝0有两个实数根－2，m ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －2m ＝n ，－2＋m ＝－1.解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝1，n ＝－2.即m ，n 的值分别是1，－2.13．解：设购买了x 件这种服装，根据题意，得[80－2(x －10)]x ＝1200.解得x 1＝20，x 2＝30.当x ＝30时，80－2(30－10)＝40＜50，不合题意，舍去．答：她购买了20件这种服装．14．C 解析：根据函数图象确定k <0，再根据判别式得到1－4(k －1)>0.故选C.15．解：(1)设甲队单独完成这项工程需要x 个月，则乙队单独完成这项工程需要(x －5)个月，由题意，得x (x －5)＝6(x ＋x －5)．整理，得x 2－17x ＋30＝0.解得x 1＝2(不合题意，舍去)，x 2＝15.故x ＝15，x －5＝10.答：甲队单独完成这项工程需要15个月，乙队单独完成这项工程需要10个月．(2)设在完成这项工程中甲队做了m 个月，则乙队做了m 2个月．由题意知，乙队每月的施工费为150万元．根据题意列不等式，得100m ＋150·m 2≤1500. 解得m ≤847.∵m 为整数，∴m 的最大整数值为8. 答：完成这项工程，甲队最多施工8个月．。

第2讲三角形第1课时三角形1．(2014年某某某某)如图4­2­9，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，∠B＝∠DEF，添加图4­2­9下列哪一个条件无法证明△ABC≌△DEF( )A．AC∥DF B．∠A＝∠D C．AC＝DF D．∠ACB＝∠F2．(2014年某某)如图4­2­10，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点．若BC＝6，则DE＝________ .图4­2­10图4­2­113．(2014年某某某某)如图4­2­11，把△ABC绕点C按顺时针方向旋转35°，得到△A′B′C，A′B′交AC于点D.若∠A′DC＝90°，则∠A＝________ .4．(2013年某某某某)如图4­2­12，已知EC＝AC，∠BCE＝∠DCA，∠A＝∠E，求证：BC＝DC.图4­2­125．(2013年某某某某)课本指出：公认的真命题称为公理，除了公理外，其他的真命题(如推论、定理等)的正确性都需要通过推理的方法证实．(1)叙述三角形全等的判定方法中的推论AAS；(2)证明推论AAS.[要求：叙述推论用文字表达；用图形(如图4­2­13)中的符号表达已知、求证，证明的各步骤要注明依据]图4­2­136．(2013年某某某某)如图4­2­14，已知在矩形ABCD中，F是BC上的一点，且AF＝BC , DE⊥AF，垂足是E，连接DF.求证：(1)△ABF≌△DEA；(2)DF是∠EDC的平分线．图4­2­14A级基础题1．(2013年某某某某)如图4­2­15，∠1＝100°，∠C＝70°，则∠A的大小是( ) A．10° B．20° C．30° D．80°图4­2­15图4­2­16图4­2­17图4­2­18 2．(2013年某某某某)下列每组数分别表示三根木棒的长度，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是( )A．1,2,6 B．2,2,4 C．1,2,3 D．2,3,43．(2012年某某某某)如图4­2­16，将△ABC绕着点C顺时针旋转50°后得到△A′B′C.若∠A＝40°，∠B′＝110°，则∠BCA′的度数是( )A．110° B．80° C．40° D．30°4．(2014年某某某某)如图4­2­17，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，以B为圆心，BC的长为半径画圆弧，交AC于点D，连接BD，则∠ABD＝( )A．30° B．45° C．60° D．90°5．王师傅用四根木条钉成一个四边形木架，如图4­2­18.要使这个木架不变形，他至少还要再钉上几根木条( )A．0根 B．1根 C．2根 D．3根6．(2012年某某某某)不一定在三角形内部的线段是( )A．三角形的角平分线 B．三角形的中线 C．三角形的高 D．三角形的中位线7．(2013年某某某某)如图4­2­19，在△ABC和△DEC中，已知AB＝DE，还需要添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一组是( )A．BC＝EC，∠B＝∠E B．BC＝EC, AC＝DCC．BC＝DC，∠A＝∠D D．∠B＝∠E，∠A＝∠D图4­2­19图4­2­20图4­2­21 8．(2012年某某某某)用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图4­2­20，则能说明∠AOC＝∠BOC的依据是( )A．SSS B．ASAC．AAS D．角平分线上的点到角两边的距离相等9．(2014年某某)一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长为( )A．17 B．15 C．13 D．13或1710．如图4­2­21，折叠直角三角形纸片的直角，使点C落在AB上的点E处．已知BC ＝12，∠B＝30°，则DE的长是( )A．6 B．4 C．3 D．211.(2013年某某某某)将一副三角板拼成如图4­2­22所示的图形，过点C作CF平分∠DCE，交DE于点F.(1)求证：CF∥AB；(2)求∠DFC的度数．图4­2­2212．(2013年某某某某)如图4­2­23，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且BE＝BD，连接AE，DE，DC.(1)求证：△ABE≌△CBD；(2)若∠CAE＝30°，求∠BDC的度数．图4­2­23B级中等题13．(2012年某某)如图4­2­24，在四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，点E，F 分别是AB，CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝30°，则∠PFE的度数是( )A．15° B．20° C．25° D．30°图4­2­24图4­2­2514．(2013年某某某某)如图4­2­25，D，E分别是△ABC边AB，BC上的点，AD＝2BD，BE＝CE，设△ADC的面积为S1，△ACE的面积为S2.若S△ABC＝6，则S1－S2的值为________．C级拔尖题15．(2014年某某某某)在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线MN过点A，且MN∥BC，以点B为一锐角顶点作Rt△BDE，∠BDE＝90°，且点D(不与点A重合)在直线MN上，如图4­2­26(1)，DE与AC交于点P，易证：BD＝DP.(无需写证明过程)(1)在图4­2­26(2)中，DE与CA的延长线交于点P，BD＝DP是否成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由；(2)在图4­2­26(3)中，DE与AC的延长线交于点P，BD与DP是否相等？请直接写出你的结论，无需证明．图4­2­26第2课时等腰三角形与直角三角形1．(2012年某某某某)等腰三角形两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为( )A．16 B．18 C．20 D．16或202．(2012年某某某某)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，则点C到AB的距离是( )A.365B.1225C.94D.3 343．(2012年某某某某)如图4­2­34，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3……在射线ON上，点B1，B2，B3……在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4……均为等边三角形．若OA1＝1，则△A6B6A7的边长为( )A．6 B．12 C．32 D．64图4­2­34图4­2­35图4­2­364．(2014年某某某某)如图4­2­35，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，AC＝6，BC＝8，CD＝________.5．(2013年某某某某)如图4­2­36，所有正三角形的一边都平行于x轴，一顶点在y 轴上，从内到外，它们的边长依次为2,4,6,8……顶点依次用A1，A2，A3，A4……来表示，其中A1A2与x轴，底边A1A2与A4A5，A4A5与A7A8……均相距一个单位，则顶点A3的坐标是__________，A92的坐标是____________．6．(2012年某某某某)如图4­2­37，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD交于点O，AC＝BD.求证：(1)BC＝AD；(2)△OAB是等腰三角形．图4­2­377．(2013年某某某某)用如图4­2­38所示的两个直角三角形(部分边长及角的度数在图中已标出)，完成以下两个探究问题：(1) (2)图4­2­38(1) (2)图4­2­39探究一：将以上两个三角形按图4­2­39(1)拼接(BC和ED重合)，在BC边上有一动点P.(1)当点P运动到∠CFB的平分线上时，连接AP，求线段AP的长；(2)当点P在运动的过程中出现PA＝FC时，求∠PAB的度数．探究二：如图4­2­39(2)，将△DEF的顶点D放在△ABC的BC边上的中点处，并以点D 为旋转中心旋转△DEF，使△DEF的两直角边与△ABC的两直角边分别交于M，N两点，连接MN，在旋转△DEF的过程中，△AMN的周长是否存在最小值？若存在，求出它的最小值；若不存在，请说明理由．A级基础题1．(2013年某某)等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为( ) A．12 B．15 C．12或15 D．182．(2013年某某某某)如图4­2­40，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD是AC边上的高，则∠DBC的度数是( )A．18° B．24° C．30° D．36°图4­2­40图4­2­41图4­2­42图4­2­43图4­2­44 3．(2014年某某某某)如图4­2­41，在△ABC中，AB＝AC，且D为BC上一点，CD＝AD，AB＝BD，则∠B的度数为( )A．30° B．36° C．40° D．45°4．(2013年某某某某)如图4­2­42，AB∥CD，点E在BC上，且CD＝CE，∠D＝74°，则∠B的度数为( )A．68° B．32° C．22° D．16°5．如图4­2­43，等腰△ABC的底边BC＝16，底边上的高AD＝6，则腰AB的长为________．6．(2013年某某某某)如图4­2­44，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB的垂直平分线DE 交AC于点E，交BC的延长线于点F.若∠F＝30°，DE＝1，则BE的长是________．7．(2012年某某)如图4­2­45，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，以点A 为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，则BD＝________.图4­2­45图4­2­46图4­2­478．如图4­2­46，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点．若CD＝5 cm，则EF＝________ cm.9．(2013年某某某某)如图4­2­47所示的是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的面积分别为2,5,1,2，则最大的正方形E的面积是________．10．证明等腰三角形的性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线相互重合．B级中等题11．(2013年某某某某)在如图4­2­48所示的钢架中，焊上等长的13根钢条来加固．若AP1＝P1P2＝P2P3＝…＝P13P14＝P14A，则∠A的度数是__________．图4­2­48图4­2­4912．(2013年某某襄阳)在一X直角三角形纸片中，分别沿两直角边上一点与斜边中点的连线剪去两个三角形，得到如图4­2­49所示的直角梯形，则原直角三角形纸片的斜边长是______________．13．(2013年某某某某)如图4­2­50，在△ABC中，AB＝BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD＝45°，AD与BE交于点F，连接CF.(1)求证：BF＝2AE;(2)若CD＝2，求AD的长．图4­2­50C级拔尖题14．(2013年某某)某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：[操作发现]在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，分别以AB 和AC 为斜边，向△ABC 的外侧作等腰直角三角形，如图4­2­51(1)，其中DF ⊥AB 于点F ，EG ⊥AC 于点G ，M 是BC 的中点，连接MD 和ME ，则下列结论：①AF ＝AG ＝12AB ；②MD ＝ME ；③整个图形是轴对称图形；④∠DAB ＝∠DMB .其中正确的是____________(填序号即可)．[数学思考]在任意△ABC 中，分别以AB 和AC 为斜边，向△ABC 的外侧作等腰直角三角形，如图4­2­51(2)，M 是BC 的中点，连接MD 和ME ，则MD 和ME 具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程．[类比探索]在任意△ABC 中，仍分别以AB 和AC 为斜边，向△ABC 的内侧作等腰直角三角形，如图4­2­51(3)，M 是BC 的中点，连接MD 和ME ，试判断△MED 的形状．答：____________________.(1) (2) (3)图4­2­51第2讲 三角形 第1课时 三角形【真题·南粤专练】 1．C 2.3 3.55° 4．证明：∵∠BCE ＝∠DCA ， ∴∠BCE ＋∠ACE ＝∠DCA ＋∠ACE ， 即∠BCA ＝∠DCE . ∵AC ＝EC ，∠A ＝∠E ，∴△BCA ≌△DCE (ASA)．∴BC ＝DC .5．解：(1)两个角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等．(2)已知：在△ABC 和△DEF 中，∠A ＝∠D ，∠B ＝∠E ，BC ＝EF .求证：△ABC ≌△DEF .证明：∵∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°，∠D ＋∠E ＋∠F ＝180°(三角形内角和定理)， 又∠A ＝∠D ，∠B ＝∠E (已知)，∴∠C ＝∠F (等式的性质)．在△ABC 和△DEF 中，∵∠B ＝∠E (已知)，BC ＝EF (已知)，∠C ＝∠F (已证)，∴△ABC ≌△DEF (ASA)．6．证明：(1)∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B ＝90°，AD ＝BC ，AD ∥BC .∴∠DAE ＝∠AFB .∵DE ⊥AF, ∴∠DEA ＝∠B ＝90°.∵AF ＝BC ，∴AF ＝AD .∴△ABF ≌△DEA .(2)证法一，由(1)知，△ABF ≌△DEA .∴DE ＝AB .∵四边形ABCD 是矩形，∴∠C ＝90°，DC ＝AB .∴DC ＝DE .∵∠DEA ＝90°，∴∠C ＝∠DEF ＝90°.∵DF ＝DF ，∴△DCF ≌△DEF (HL)．∴∠EDF ＝∠CDF .∴DF 是∠EDC 的平分线．证法二，由(1)知，△ABF ≌△DEA .∴BF ＝EA .∵AF ＝BC ，∴EF ＝CF .∵∠DEA ＝90°，∴∠C ＝∠DEF ＝90°.∴DF 是∠EDC 的平分线．【演练·巩固提升】11．(1)证明：由三角板的性质，可知：∠D ＝30°，∠3＝45°，∠DCE ＝90°.∵CF 平分∠DCE ，∴∠1＝∠2＝12∠DCE ＝45°. ∴∠1＝∠3.∴CF ∥AB .(2)解：由三角形内角和定理，得∠DFC ＝180°－∠1－∠D＝180°－45°－30°＝105°.12．(1)证明：∵∠ABC ＝90°，∴∠DBE ＝180°－∠ABC ＝90°.∴∠ABE ＝∠CBD .在△ABE 和△CBD 中，⎩⎪⎨⎪⎧ AB ＝CB ，∠ABE ＝∠CBD ，BE ＝BD ，∴△ABE ≌△CBD (SAS)．(2)解：∵AB ＝CB ，∠ABC ＝90°，∴△ABC 是等腰直角三角形．∴∠ECA ＝45°.∵∠CAE ＝30°，∠BEA ＝∠ECA ＋∠EAC ，∴∠BEA ＝45°＋30°＝75°.由(1)知，∠BDC ＝∠BEA .∴∠BDC ＝75°.15．解：(1)BD ＝DP 成立．证明：如图11，过点D 作DF ⊥MN ，交AB 的延长线于点F ，则△ADF 为等腰直角三角形．∴DA ＝DF .∵∠1＋∠ADB ＝90°，∠ADB ＋∠2＝90°，∴∠1＝∠2.在△BDF 与△PDA 中，∵∠1＝∠2，DF ＝DA ，∠DFB ＝∠DAP ＝45°，∴△BDF ≌△PDA (ASA)．∴BD ＝DP .图11 图12(2)BD ＝DP .证明：如图12，过点D 作DF ⊥MN ，交BA 的延长线于点F ，则△ADF 为等腰直角三角形．∴DA ＝DF .在△BDF 与△PDA 中，∠F ＝∠PAD ＝45°，DF ＝DA ，∠BDF ＝∠PDA .∴△BDF ≌△PDA (ASA)．∴BD ＝DP .第2课时 等腰三角形与直角三角形【真题·南粤专练】5．(0，3－1) (31，－31) 解析：由图知，A 3的纵坐标为：A 2A 3·sin 60°－1＝2×32－1＝3－1.∴A 3()0，3－1.而A 2的横坐标为：A 2A 3·sin 30°＝2×12＝1.由题意知，A 2的纵坐标为－1.∴A 2()1，－1.容易发现A 2，A 5，A 8，…，A 92这些点在第四象限，横纵坐标互为相反数， A 2，A 5，A 8，…，A 92的下标2,5,8，…，92，得规律：92＝3nn ＝31.∴A 92是第31个正三角形(从里往外)的右端点．∴A 92()31，－31.6．证明：(1)∵AC ⊥BC ，BD ⊥AD ，∴∠ADB ＝∠BCA ＝90°.在Rt △ABC 和Rt △BAD 中，∵AB ＝BA ，AC ＝BD ，∴Rt △ABC ≌Rt △BAD (HL)．∴BC ＝AD .(2)∵Rt △ABC ≌Rt △BAD ，∴∠CAB ＝∠DBA .∴OA ＝OB .∴△OAB 是等腰三角形．7．解：探究一：(1)如图13，过点A 作AG ⊥BC ，垂足为G .当点P 运动到∠CFB 的角平分线上时，则∠CFP ＝30°.∴CF ＝BC ·tan30°＝3×33＝3， CP ＝CF ·tan∠CFP ＝3×33＝1. 在Rt △BAC 中，∵∠ABC ＝45°，∴AG ＝BG ＝12BC ＝32. ∴GP ＝CG ＝CP ＝32－1＝12. 在Rt △AGP 中，AP ＝AG 2＋GP 2＝94＋14＝102.图13 图14 (2)如图14，以点A 为圆心，以FC ＝3为半径画弧，与BC 交于点P 1，P 2，则AP 1＝AP 2＝ 3.过点A 作AG ⊥BC ，垂足为G .在Rt △AP 1G 中，AP 1＝CF ＝3，AG ＝32， 则P 1G ＝AP 21－AG 2＝3－94＝32. ∴∠P 1AG ＝30°.∴∠P 1AB ＝45°－30°＝15°.同理，求得∠P 2AG ＝30°，∠P 2AB ＝45°＋30°＝75°.∴∠PAB 的度数为15°或75°.探究二：△AMN 的周长存在最小值．如图15，连接AD .图15∵△ABC 为等腰直角三角形，点D 为斜边BC 的中点，∴AD ＝CD ，∠C ＝∠MAD ＝45°.∵∠EDF ＝90°，∠ADC ＝90°，∴∠MDA ＝∠NDC .在△AMD 与△D 中，⎩⎪⎨⎪⎧ ∠MAD ＝∠C ，AD ＝CD ，∠MDA ＝∠NDC ，∴△AMD ≌△D (ASA)．∴AM ＝.设AM ＝x ，则＝x ，AN ＝AC －＝22BC －＝3 22－x . 在Rt △AMN 中，由勾股定理，得MN ＝AM 2＋AN 2＝x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3 22－x 2＝2x 2－3 2x ＋92＝2⎝⎛⎭⎪⎫x －3 242＋94. △AMN 的周长为：AM ＋AN ＋MN ＝3 22＋2⎝⎛⎭⎪⎫x －3 242＋94. 当x ＝3 24时，有最小值为3＋3 22. ∴△AMN 周长的最小值为3＋3 22. 【演练·巩固提升】10．证明：已知如图16，在△ABC 中，AB ＝AC ，作顶角A 的平分线交底边BC 于点D .图16求证：BD ＝CD ，AD ⊥BC .证明：在△BAD 与△CAD 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧ AB ＝AC ，∠BAD ＝∠CAD ，AD ＝AD ，∴△BAD ≌△CAD (SAS)．∴BD ＝CD ，∠ADB ＝∠ADC .又∵∠ADB ＋∠ADC ＝180°，∴∠ADB ＝∠ADC ＝90°.∴AD ⊥BC .这也就证明等腰三角形的顶角平分线AD 平分底边并且垂直底边BC .用类似的方法，还可以证明等腰三角形底边上的高平分顶角并且平分底边，等腰三角形底边上的中线平分顶角并且垂直底边．这也就证明了性质2.11．12° 解析：设∠A ＝x .∵AP 1＝P 1P 2＝P 2P 3＝…＝P 13P 14＝P 14A ，∴∠A ＝∠AP 2P 1＝∠AP 13P 14＝x .∴∠P 2P 1P 3＝∠P 13P 14P 12＝2x .∴∠P 3P 2P 4＝∠P 12P 13P 11＝3x ，…，∠P 7P 6P 8＝∠P 8P 9P 7＝7x.∴∠AP7P8＝7x，∠AP8P7＝7x.在△AP7P8中，∠A＋∠AP7P8＋∠AP8P7＝180°，即x＋7x＋7x ＝180°.∴x＝12°，即∠A＝12°.12．213或6 2 解析：如图17(1)，以点B为直角顶点，BD为斜边上的中线．在Rt△ABD中，可得BD＝13.∴原直角三角形纸片的斜边EF的长是213；如图17(2)，以点A为直角顶点，AC为斜边上的中线，在Rt△ABC中，可得AC＝3 2.∴原直角三角形纸片的斜边EF的长是6 2.(1) (2)图1713．(1)证明：∵AD⊥BC，∠BAD＝45°，∴∠ABD＝∠BAD＝45°.∴AD＝BD.∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠CAD＋∠ACD＝90°，∠CBE＋∠ACD＝90°.∴∠CAD＝∠CBE.又∵∠CDA＝∠BDF＝90°，∴△ADC≌△BDF(ASA)．∴AC＝BF.∵AB＝BC，BE⊥AC，∴AE＝EC，即AC＝2AE.∴BF＝2AE.(2)解：∵△ADC≌△BDF，∴DF＝CD＝ 2.∴在Rt△CDF中，CF＝DF2＋CD2＝2.∵BE⊥AC，AE＝EC，∴AF＝FC＝2.∴AD＝AF＋DF＝2＋ 2.14．解：[操作发现]①②③④[数学思考]MD＝ME，MD⊥ME.证明如下：图18①MD＝ME.如图18，分别取AB ，AC 的中点F ，G ，连接DF ，MF ，MG ，EG . ∵M 是BC 的中点，∴MF ∥AC ，MF ＝12AC . 又∵EG 是等腰直角三角形AEC 斜边上的中线，∴EG ⊥AC ，且EG ＝12AC . ∴MF ＝EG .同理，可证DF ＝MG .∵MF ∥AC ，∴∠MFA ＋∠BAC ＝180°.同理，可得∠MGA ＋∠BAC ＝180°.∴∠MFA ＝∠MGA .又∵EG ⊥AC ，∴∠EGA ＝90°.同理，可得∠DFA ＝90°.∴∠MFA ＋∠DFA ＝∠MGA ＋∠EGA ，即∠DFM ＝∠MGE .又MF ＝EG ，DF ＝MG ，∴△DFM ≌△MGE (SAS)．∴MD ＝ME .②MD ⊥ME .如图18，设MD 与AB 交于点H .∵AB ∥MG ，∴∠DHA ＝∠DMG .又∵∠DHA ＝∠FDM ＋∠DFH ，即∠DHA ＝∠FDM ＋90°.∵∠DMG ＝∠DME ＋∠GME ，∴∠DME ＝90°.即MD ⊥ME .[类比探索]等腰直角三角形。