学年高中数学 向量的数量积(3)随堂练习 新人教版必修4

第11课时向量的数量积(3)教学过程一、问题情境问题1已知两个向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),如何用a和b的坐标来表示它们的数量积a·b呢?二、数学建构设x轴上的单位向量为i,y轴上的单位向量为j,则i·i=1,j·j=1,i·j=j·i=0.∵a=x1i+y1j,b=x2i+y2j,∴a·b=(x1i+y1j)·(x2i+y2j)=x1i·(x2i+y2j)+y1j·(x2i+y2j)=x1x2i2+x1y2i·j+x2y1j·i+y1y2j2=x1x2+y1y2.这就是说:两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和,即a·b=x1x2+y1y2.问题2已知a=(x,y),如何将|a|用其坐标表示?∵a·a=a2=|a|2=x2+y2,∴|a |==.问题3设A(x1,y1),B(x2,y2),如何将||用A,B的坐标表示?设表示向量a的有向线段的起点是A(x1,y1),终点是B(x2,y2),则=a=(x2,y2)-(x1,y1)=(x2-x1,y2-y1),∴||=|a |=.这就是通过向量求模来推导平面内两点间的距离公式.问题4前面学过的向量的夹角、平行、垂直公式可以用坐标表示吗?(1)两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ为a和b的夹角,则由向量数量积的定义得cos θ==.(2)a⊥b⇔a·b=0,可以写成a⊥b⇔x1x2+y1y2=0.(3)a∥b(b≠0)⇔存在唯一的实数λ,使得a=λb,可以写成a∥b⇔x1y2-x2y1=0.[3]三、数学运用【例1】已知向量a=(2, 1),b=(3,-1),求:(1)(3a-b)·(a-2b);(2)a与b的夹角θ.[4](见同学用书P55)[处理建议](1)第(1)问是向量的数量积坐标公式的直接应用,有两个运算方向:一是先开放再分别代入求解,二是先求每个因式的坐标再应用向量的数量积公式.(2)运用两向量夹角公式的坐标表示求解.[规范板书]解(1)方法1:由于a·b=2×3+1×(-1)=5,a2=22+12=5,b2=32+(-1)2=10,所以(3a-b)·(a-2b)=3a2-7a·b+2b2=3×5-7×5+2×10=0.方法2:由于3a-b=(3, 4),a-2b=(-4, 3),则(3a-b)·(a-2b)=-12+12=0.(2)由于a·b=5,|a |=,|b |=,所以cos θ===.由于θ∈,所以θ=.[题后反思](1)第(1)问的两种解法都是比较好的解法,都要求同学娴熟把握向量数量积的坐标运算.(2)求两个向量的夹角一般步骤:先算数量积,接着算每个向量的模,代入公式求余弦值,最终由角的范围写出角度.【例2】已知向量a=(1, 1),b=(0,-2),当k为何值时:(1)k a-b与a+b共线;(2)k a-b与a+b的夹角为120°.(见同学用书P55)[处理建议]先由向量a,b的坐标得到向量k a-b,a+b的坐标,再分别由向量共线的坐标表示及两向量夹角公式建立关于参数k的方程,解方程即可.[规范板书]解∵a=(1, 1),b=(0,-2),∴k a-b=k(1, 1)-(0,-2)=(k,k+2),a+b=(1, 1)+(0,-2)=(1,-1).(1)由k a-b与a+b共线,得k+2-(-k)=0,解得k=-1.(2)|k a-b |=,|a+b |==.又∵(k a-b)·(a+b)=(k,k+2)·(1,-1)=k-k-2=-2,而k a-b与a+b的夹角为120°,∴ cos120°=,即-=,化简得k2+2k-2=0,解得k=-1±.。

随堂练习：向量的数量积（2）1．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝3，且|2a＋b|＝7，则a与b的夹角θ为2．已知|a|＝|b|＝1，a与b的夹角是90°，c＝2a＋3b，d＝ka－4b，c与d垂直，则k的值为。

3．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上且满足AP＝2PM，则AP·(PB ＋PC)等于4．已知向量a，b的夹角为120°，|a|＝|b|＝1，c与a＋b同向，则|a－c|的最小值为5．若O是△ABC所在平面内一点，且满足|OB－OC|＝|OB＋OC－2OA|，则△ABC 的形状为________．6．已知|a|＝6，a与b的夹角为π3，且(a＋2b)·(a－3b)＝－72.则|b|＝________.7．在△ABC中，C＝90°，CB＝3，点M满足BM＝2MA，则CM·CB＝________.8．已知非零向量a，b，满足a⊥b，且a＋2b与a－2b的夹角为120°，则|a||b|＝________.9．已知|a|＝1，a·b＝12，(a－b)·(a＋b)＝12.(1)求a与b的夹角θ；(2)求|a＋b|.10．已知a ，b 均是非零向量，设a 与b 的夹角为θ，是否存在这样的θ，使|a ＋b |＝3|a －b |成立？若存在，求出θ的值；若不存在，请说明理由．答案1.解析：∵|2a ＋b |2＝4＋9＋4a·b ＝7，∴a·b ＝－32，cos θ＝a·b |a ||b |＝－12. 又θ∈[0，π]，∴θ＝2π3. 答案：θ＝2π3. 2.解析：∵c·d ＝0，∴(2a ＋3b )·(ka －4b )＝0，∴2ka 2－8a·b ＋3ka·b －12b 2＝0，∴2k ＝12，∴k ＝6.答案：63.解析：∵AM ＝1，且AP ＝2PM ，∴|AP |＝23. 如图，AP ·(PB ＋PC )＝AP ·2PM ＝AP ·AP ＝AP 2＝(23)2＝49. 答案：494．解析：∵|a |＝|b |＝1，c 与a ＋b 同向，∴a 与c 的夹角为60°.又|a －c |＝a 2－2a·c ＋c 2＝1－|c |＋|c |2＝ (|c |－12)2＋34故|a －c |min ＝32.答案：325.解析：OB ＋OC －2OA ＝OB －OA ＋OC －OA ＝AB ＋AC ，OB －OC ＝CB ＝AB －AC ， 于是|AB ＋AC |＝|AB －AC |， 所以|AB ＋AC |2＝|AB －AC |2，即AB ·AC ＝0，从而AB ⊥AC .答案：直角三角形6.解析：由已知，a 2－a ·b －6b 2＝－72，∴|a |2－|a ||b |cos π3－6|b |2＝－72， 即2|b |2＋|b |－36＝0.∴(2|b |＋9)(|b |－4)＝0.∵|b |≥0，∴|b |＝4.答案：47.解析：∵CM ＝CB ＋BM＝CB ＋23BA ＝CB ＋23(CA －CB ) ＝23CA ＋13CB ， 又C ＝90°，AC ·CB ＝0， ∴CM ·CB ＝(23CA ＋13CB )·CB ＝13CB 2＝3. 答案：38.解析：(a ＋2b )·(a －2b )＝a 2－4b 2，∵a ⊥b ，∴|a ＋2b |＝a 2＋4b 2，|a －2b |＝a 2＋4b 2.∴cos 120°＝(a ＋2b )·(a －2b )|a ＋2b ||a －2b |＝a 2－4b 2(a 2＋4b 2)2 ＝a 2－4b 2a 2＋4b2＝－12. ∴a 2b 2＝43.∴|a ||b |＝233. 答案：2339.解：(1)∵(a －b )·(a ＋b )＝a 2－b 2＝12，|a |＝1， ∴b 2＝a 2－12＝1－12＝12， ∴|b |＝22. ∴cos θ＝a·b |a ||b |＝121×22＝22. 又θ∈[0，π]，∴θ＝π4， 故a 与b 的夹角为π4. (2)|a ＋b |＝(a ＋b )2＝a 2＋2a·b ＋b 2＝102. 10.解：假设存在满足条件的θ，∵|a ＋b |＝3|a －b |，∴(a ＋b )2＝3(a －b )2. ∴|a |2＋2a·b ＋|b |2＝3(|a |2－2a·b ＋|b |2)．∴|a |2－4a·b ＋|b |2＝0.∴|a |2－4|a ||b |cos θ＋|b |2＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧cos θ>0，Δ＝(4|b |cos θ)2－4|b |2≥0， 解得cos θ∈[12，1]． 又∵θ∈[0，π]， ∴θ∈⎣⎡⎦⎤0，π3. 故当θ∈⎣⎡⎦⎤0，π3时， |a ＋b |＝3|a －b |成立．。

2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式明目标、知重点 1.理解两个向量数量积坐标表示的推导过程，能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算.2.能依据向量的坐标计算向量的模，并推导平面内两点间的距离公式.3.能依据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直.1.平面对量数量积的坐标表示若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b＝x 1x 2＋y 1y 2. 即两个向量的数量积等于相应坐标乘积的和. 2.两个向量垂直的坐标表示设两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)， 则a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. 3.平面对量的长度(1)向量长度公式：设a ＝(x 1，y 1)，则|a |＝x 21＋y 21.(2)两点间距离公式：若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. 4.向量的夹角公式设两非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a·b|a||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22.[情境导学] 在平面直角坐标系中，平面对量可以用有序实数对来表示，两个平面对量共线的条件也可以用坐标运算的形式刻画出来，那么学习了平面对量的数量积之后，它能否用坐标来表示？若能，如何通过坐标来实现？平面对量的数量积还会是一个有序实数对吗？同时，平面对量的模、夹角又该如何用坐标来表示？通过回顾两个向量的数量积的定义向向量的坐标表示，在此基础上推导、探究平面对量数量积的坐标表示. 探究点一 平面对量数量积的坐标表示思考1 已知两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，怎样用a 与b 的坐标表示a ·b? 答 ∵a ＝x 1i ＋y 1j ，b ＝x 2i ＋y 2j ， ∴a ·b ＝(x 1i ＋y 1j )·(x 2i ＋y 2j ) ＝x 1x 2i 2＋x 1y 2i ·j ＋x 2y 1j ·i ＋y 1y 2j 2.又∵i ·i ＝1，j ·j ＝1，i ·j ＝j ·i ＝0，∴a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.思考2 若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2，这就是平面对量数量积的坐标表示.你能用文字描述这一结论吗？答 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和. 例1 已知a 与b 同向，b ＝(1,2)，a·b ＝10. (1)求a 的坐标；(2)若c ＝(2，－1)，求a (b·c )及(a·b )c .解 (1)设a ＝λb ＝(λ，2λ) (λ>0)，则有a·b ＝λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a ＝(2,4). (2)∵b·c ＝1×2－2×1＝0，a·b ＝1×2＋2×4＝10， ∴a (b·c )＝0a ＝0，(a·b )c ＝10(2，－1)＝(20，－10).反思与感悟 两个向量的数量积是实数，这和前面三种运算性质不同.同时本例进一步验证了平面对量的数量积不满足结合律.跟踪训练1 若a ＝(2,3)，b ＝(－1，－2)，c ＝(2,1)，则(a·b )·c ＝____________；a·(b·c )＝____________. 答案 (－16，－8) (－8，－12) 解析 ∵a·b ＝2×(－1)＋3×(－2)＝－8， ∴(a·b )·c ＝－8×(2,1)＝(－16，－8). ∵b·c ＝(－1)×2＋(－2)×1＝－4， ∴a·(b·c )＝(2,3)×(－4)＝(－8，－12).探究点二 平面对量长度的坐标形式及两点间的距离公式思考1 若a ＝(x ，y )，如何计算向量的长度|a |? 答 ∵a ＝x i ＋y j ，∴a 2＝(x i ＋y j )2＝(x i )2＋2xy i ·j ＋(y j )2 ＝x 2i 2＋2xy i ·j ＋y 2j 2. 又∵i 2＝1，j 2＝1，i ·j ＝0， ∴a 2＝x 2＋y 2，∴|a |2＝x 2＋y 2， ∴|a |＝x 2＋y 2.思考2 若A (x 1，y 2)，B (x 2，y 2)，如何计算向量AB →的长度？ 答 如图，∵AB →＝OB →－OA →＝(x 2，y 2)－(x 1，y 1)＝(x 2－x 1，y 2－y 1)， ∴|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.例2 已知在△ABC 中，A (2，－1)、B (3,2)、C (－3，－1)，AD 为BC 边上的高，求|AD →|与点D 的坐标. 解 设点D 坐标为(x ，y )，则AD →＝(x －2，y ＋1)，BC →＝(－6，－3)， BD →＝(x －3，y －2)，∵D 在直线BC 上，即BD →与BC →共线， ∴存在实数λ，使BD →＝λBC →， 即(x －3，y －2)＝λ(－6，－3).∴⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝－6λ，y －2＝－3λ.∴x －3＝2(y －2)，即x －2y ＋1＝0.① 又∵AD ⊥BC ，∴AD →·BC →＝0， 即(x －2，y ＋1)·(－6，－3)＝0， ∴－6(x －2)－3(y ＋1)＝0. 即2x ＋y －3＝0.②由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，即D 点坐标为(1,1)，AD →＝(－1,2). ∴|AD →|＝(－1)2＋22＝5，即|AD →|＝5，D (1,1).反思与感悟 在几何里利用垂直及长度来求解点的题型是一种常见题型，其处理方法：设出点的坐标，利用垂直及长度列出方程组进行求解.跟踪训练2 以原点和A (5,2)为两个顶点作等腰直角△OAB ，∠B ＝90°，求点B 和AB →的坐标. 解 设B (x ，y )，则|OB →|＝x 2＋y 2，∵B (x ，y )，A (5,2)，∴|AB →|＝(x －5)2＋(y －2)2.又∵|AB →|＝|OB →|，∴(x －5)2＋(y －2)2＝x 2＋y 2.可得10x ＋4y ＝29，①又OB →＝(x ，y )，AB →＝(x －5，y －2)，且OB →⊥AB →， ∴OB →·AB →＝0，∴x (x －5)＋y (y －2)＝0， 即x 2－5x ＋y 2－2y ＝0，②由①②解得⎩⎨⎧x 1＝32，y 1＝72，或⎩⎨⎧x 2＝72，y 2＝－32.∴B ⎝⎛⎭⎫32，72或⎝⎛⎭⎫72，－32. ∴AB →＝⎝⎛⎭⎫－72，32或AB →＝⎝⎛⎭⎫－32，－72. 探究点三 平面对量夹角的坐标表示思考1 设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，若a ⊥b ，则x 1，y 1，x 2，y 2之间的关系如何？反之成立吗？ 答 a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.思考2 设a ，b 都是非零向量，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ是a 与b 的夹角，那么cos θ如何用坐标表示？ 答 cos θ＝a·b|a||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22. 例3 已知a ＝(1,2)，b ＝(1，λ)，分别确定实数λ的取值范围，使得：(1)a 与b 的夹角为直角；(2)a 与b 的夹角为钝角；(3)a 与b 的夹角为锐角. 解 设a 与b 的夹角为θ， 则a·b ＝(1,2)·(1，λ)＝1＋2λ.(1)由于a 与b 的夹角为直角，所以cos θ＝0， 所以a·b ＝0，所以1＋2λ＝0，所以λ＝－12.(2)由于a 与b 的夹角为钝角，所以cos θ<0且cos θ≠－1， 所以a·b <0且a 与b 不反向. 由a·b <0得1＋2λ<0，故λ<－12，由a 与b 共线得λ＝2，故a 与b 不行能反向.所以λ的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－12. (3)由于a 与b 的夹角为锐角，所以cos θ>0，且cos θ≠1， 所以a·b >0且a ，b 不同向.由a·b >0，得λ>－12，由a 与b 同向得λ＝2.所以λ的取值范围为⎝⎛⎭⎫－12，2∪(2，＋∞). 反思与感悟 由于两个非零向量a ，b 的夹角θ满足0°≤θ≤180°，所以用cos θ＝a·b|a||b |来推断，可将θ分五种状况：cos θ＝1，θ＝0°；cos θ＝0，θ＝90°；cos θ＝－1，θ＝180°；cos θ<0且cos θ≠－1，θ为钝角；cos θ>0且cos θ≠1，θ为锐角.跟踪训练3 已知a ＝(1，－1)，b ＝(λ，1)，若a 与b 的夹角α为钝角，求λ的取值范围. 解 ∵a ＝(1，－1)，b ＝(λ，1)， ∴|a |＝2，|b |＝1＋λ2，a ·b ＝λ－1.∵a ，b 的夹角α为钝角.∴⎩⎪⎨⎪⎧λ－1<0，21＋λ2≠1－λ，即⎩⎪⎨⎪⎧λ<1，λ2＋2λ＋1≠0.∴λ<1且λ≠－1.∴λ的取值范围是(－∞，－1)∪(－1,1).1.已知a ＝(3，－1)，b ＝(1，－2)，则a 与b 的夹角为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π2 答案 B解析 ∵|a |＝10，|b |＝5，a ·b ＝5. ∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝510×5＝22. 又∵a ，b 的夹角范围为[0，π]. ∴a 与b 的夹角为π4.2.已知向量a ＝(1，n )，b ＝(－1，n )，若2a －b 与b 垂直，则|a |等于( ) A.1 B. 2 C.2 D.4 答案 C解析 ∵(2a －b )·b ＝2a ·b －|b |2 ＝2(－1＋n 2)－(1＋n 2)＝n 2－3＝0， ∴n 2＝3.∴|a |＝12＋n 2＝2.3.在△ABC 中，∠C ＝90°，AB →＝(k,1)，AC →＝(2,3)，则k 的值为________. 答案 5解析 ∵BC →＝AC →－AB →＝(2,3)－(k,1)＝(2－k,2)， AC →＝(2,3)，∴BC →·AC →＝2(2－k )＋6＝0，∴k ＝5.4.已知平面对量a ＝(2,4)，b ＝(－1,2)，若c ＝a －(a ·b )b ，则|c |＝________. 答案 82解析 ∵a ＝(2,4)，b ＝(－1,2)，∴a ·b ＝2×(－1)＋4×2＝6， ∴c ＝a －6b ， ∴c 2＝a 2－12a ·b ＋36b 2 ＝20－12×6＋36×5＝128. ∴|c |＝8 2.[呈重点、现规律]1.向量的坐标表示简化了向量数量积的运算.为利用向量法解决平面几何问题以及解析几何问题供应了完善的理论依据和有力的工具支持.2.应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何问题，在学习中要不断地提高利用向量工具解决数学问题的力气.3.留意区分两向量平行与垂直的坐标形式，二者不能混淆，可以对比学习、记忆.若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2).则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0，a⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.一、基础过关1.已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，m ).若向量a ，b 的夹角为π6，则实数m 等于( )A.2 3B. 3C.0D.－3 答案 B解析 ∵a ·b ＝(1，3)·(3，m )＝3＋3m ， 又a ·b ＝12＋(3)2×32＋m 2×cos π6，∴3＋3m ＝12＋(3)2×32＋m 2×cos π6，∴m ＝ 3.2.已知a ＝(－3,2)，b ＝(－1,0)，向量λa ＋b 与a －2b 垂直，则实数λ的值为( ) A.－17B.17C.－16D.16答案 A解析 由a ＝(－3,2)，b ＝(－1,0)， 知λa ＋b ＝(－3λ－1,2λ)，a －2b ＝(－1,2). 又(λa ＋b )·(a －2b )＝0， ∴3λ＋1＋4λ＝0，∴λ＝－17.3.平面对量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2,0)，|b |＝1，则|a ＋2b |等于( ) A. 3 B.23 C.4 D.12 答案 B解析 ∵a ＝(2,0)，|b |＝1， ∴|a |＝2，a ·b ＝2×1×cos 60°＝1. ∴|a ＋2b |＝a 2＋4·a ·b ＋4b 2＝2 3.4.已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3).若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c 等于( )A.⎝⎛⎭⎫79，73B.⎝⎛⎭⎫－73，－79 C.⎝⎛⎭⎫73，79 D.⎝⎛⎭⎫－79，－73 答案 D解析 设c ＝(x ，y )，则c ＋a ＝(x ＋1，y ＋2)， 又(c ＋a )∥b ，∴2(y ＋2)＋3(x ＋1)＝0.① 又c ⊥(a ＋b )，∴(x ，y )·(3，－1)＝3x －y ＝0.② 由①②解得x ＝－79，y ＝－73.5.若向量a ＝(1,2)，b ＝(1，－1)，则2a ＋b 与a －b 的夹角等于( ) A.－π4 B.π6 C.π4 D.3π4答案 C解析 2a ＋b ＝2(1,2)＋(1，－1)＝(3,3)， a －b ＝(1,2)－(1，－1)＝(0,3)， (2a ＋b )·(a －b )＝9， |2a ＋b |＝32，|a －b |＝3.设所求两向量夹角为α，则cos α＝932×3＝22，∵α∈[0，π]，∴α＝π4.6.设a ＝(2，x )，b ＝(－4,5)，若a 与b 的夹角θ为钝角，则x 的取值范围是________. 解 ∵θ为钝角，∴cos θ＝a ·b|a ||b |<0， 即a ·b ＝－8＋5x <0，∴x <85.∵a ∥b 时有－4x －10＝0，即x ＝－52，当x ＝－52时，a ＝(2，－52)＝－12b ，∴a 与b 反向，即θ＝π.故a 与b 的夹角为钝角时，x <85且x ≠－52.7.已知a ＝(4,3)，b ＝(－1,2).(1)求a 与b 的夹角的余弦；(2)若(a －λb )⊥(2a ＋b )，求实数λ的值. 解 (1)∵a ·b ＝4×(－1)＋3×2＝2， |a |＝42＋32＝5，|b |＝(－1)2＋22＝5，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝255＝2525. (2)∵a －λb ＝(4＋λ，3－2λ)，2a ＋b ＝(7,8)， 又(a －λb )⊥(2a ＋b )，∴(a －λb )·(2a ＋b )＝7(4＋λ)＋8(3－2λ)＝0， ∴λ＝529.二、力气提升8.已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ等于( ) A.－4 B.－3 C.－2 D.－1答案 B解析 由于m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2). 所以m ＋n ＝(2λ＋3,3)，m －n ＝(－1，－1). 由于(m ＋n )⊥(m －n )，所以(m ＋n )·(m －n )＝0， 所以－(2λ＋3)－3＝0，解得λ＝－3.9.已知点A (－1,1)、B (1,2)、C (－2，－1)、D (3,4)，则向量AB →在CD →方向上的正射影的数量为( ) A.322B.3152C. －322D.－3152答案 A解析 ∵AB →＝(2,1)，CD →＝(5,5)， ∴AB →在CD →方向上的正射影的数量为 AB →·CD →|CD →|＝2×5＋1×552＋52＝1552＝322.10.平面对量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，c ＝m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝________.答案 2解析 由于向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，所以c ＝m a ＋b ＝(m ＋4,2m ＋2)，所以a ·c ＝m ＋4＋2(2m ＋2)＝5m ＋8，b ·c ＝4(m ＋4)＋2(2m ＋2)＝8m ＋20. 由于c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角， 所以a ·c |a ||c |＝b ·c |b ||c |，即a ·c |a |＝b ·c |b |，所以5m ＋85＝8m ＋2025，解得m ＝2.11.在△ABC 中，AB →＝(2,3)，AC →＝(1，k )，若△ABC 是直角三角形，求k 的值. 解 ∵AB →＝(2,3)，AC →＝(1，k )， ∴BC →＝AC →－AB →＝(－1，k －3).若∠A ＝90°，则AB →·AC →＝2×1＋3×k ＝0， ∴k ＝－23；若∠B ＝90°，则AB →·BC →＝2×(－1)＋3(k －3)＝0， ∴k ＝113；若∠C ＝90°，则AC →·BC →＝1×(－1)＋k (k －3)＝0， ∴k ＝3±132.故所求k 的值为－23或113或3±132.12.设a ＝(1,2)，b ＝(－2，－3)，又c ＝2a ＋b ，d ＝a ＋m b ，若c 与d 夹角为45°，求实数m 的值. 解 ∵a ＝(1,2)，b ＝(－2，－3)， ∴c ＝2a ＋b ＝2(1,2)＋(－2，－3)＝(0,1)， d ＝a ＋m b ＝(1,2)＋m (－2，－3)＝(1－2m,2－3m )， ∴c ·d ＝0×(1－2m )＋1×(2－3m )＝2－3m . 又∵|c |＝1，|d |＝(1－2m )2＋(2－3m )2，∴cos 45°＝c ·d|c ||d |＝2－3m(1－2m )2＋(2－3m )2＝22. 化简得5m 2－8m ＋3＝0，解得m ＝1或m ＝35.三、探究与拓展13.已知三个点A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4). (1)求证：AB ⊥AD ；(2)要使四边形ABCD 为矩形，求点C 的坐标并求矩形ABCD 两对角线所成的锐角的余弦值. (1)证明 ∵A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)， ∴AB →＝(1,1)，AD →＝(－3,3)， 又∵AB →·AD →＝1×(－3)＋1×3＝0， ∴AB →⊥AD →，即AB ⊥AD .(2)解 AB →⊥AD →，四边形ABCD 为矩形，∴AB →＝DC →. 设C 点坐标为(x ，y )，则AB →＝(1,1)，DC →＝(x ＋1，y －4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＝1，y －4＝1， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝5.∴C 点坐标为(0,5). 由于AC →＝(－2,4)，BD →＝(－4,2)， 所以AC →·BD →＝8＋8＝16>0， |AC →|＝2 5，|BD →|＝2 5. 设AC →与BD →夹角为θ，则 cos θ＝AC →·BD →|AC →|·|BD →|＝1620＝45>0，∴矩形的两条对角线所成的锐角的余弦值为45.。

第二章平面向量数量积的坐标表示、模、夹角课下检测一、选择题1．(2012·辽宁高考)已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(2，x )．若a ·b ＝1，则x ＝( )A ．－1B ．－12 C.12 D ．12．已知点A (－1,0)、B (1,3)，向量a ＝(2k －1,2)，若AB⊥a ，则实数k 的值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2 3．已知向量OA ＝(2,2)，OB ＝(4,1)，在x 轴上有一点P ，使AP ·BP 有最小值，则点P 的坐标是( )A ．(－3,0)B ．(2,0)C ．(3,0)D ．(4,0)4．平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若AB ＝(2,4)，AC ＝(1,3)，则AD ·BD 等于( )A ．6B ．8C ．－8D ．－6 二、填空题5．已知向量a ＝(3,4)，b ＝(2，－1)，如果向量a ＋xb 与－b 垂直，则实数x 的值为________．6．已知A (1,2)，B (3,4)，|n |＝2，则|AB ·n |的最大值为________．7．向量BA ＝(4，－3)，向量BC＝(2，－4)，则△ABC 的形状为________．8．若将向量a ＝(2,1)围绕原点按逆时针方向旋转π4得到向量b ，则向量b 的坐标为________．三、解答题9．已知在△ABC 中，A (2,4)，B (－1，－2)，C (4,3)，BC 边上的高为AD .(1)求证：AB ⊥AC ；(2)求向量AD ；(3)求证：AD 2＝BD ·CD .10．平面内有向量OA ＝(1,7)，OB ＝(5,1)，OP ＝(2,1)，点M 为直线OP 上的一动点．(1)当MA ·MB 取最小值时，求OM的坐标；(2)在(1)的条件下，求cos ∠AMB 的值．。

人教A 版高中数学 必修四 第二章 §2.4平面向量的数量积 教材课时同步培优练习一、本节主要知识点回顾1、两个非零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ，作＝ａ，＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.说明：（1）当θ＝０时，ａ与ｂ同向； （2）当θ＝π时，ａ与ｂ反向；（3）当θ＝2π时，ａ与ｂ垂直，记ａ⊥ｂ； （4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围0︒≤θ≤180︒2、平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos θ叫ａ与ｂ的数量积，记作a ⋅b ，即有a ⋅b = |a ||b |cos θ，（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0.⋅探究：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos θ的符号所决定.（2）两个向量的数量积称为内积，写成a ⋅b ；今后要学到两个向量的外积a ×b ，而a ⋅b 是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.（3）在实数中，若a ≠0，且a ⋅b =0，则b =0；但是在数量积中，若a ≠0，且a ⋅b =0，不能推出b =0.因为其中cos θ有可能为0.（4）已知实数a 、b 、c (b ≠0)，则ab=bc ⇒ a=c .但是a ⋅b = b ⋅c a = c如右图：a ⋅b = |a ||b |cos β = |b ||OA|，b ⋅c = |b ||c |cos α = |b ||OA|⇒ a ⋅b = b ⋅c 但a ≠ c(5)在实数中，有(a ⋅b )c = a (b ⋅c )，但是(a ⋅b )c ≠ a (b ⋅c )显然，这是因为左端是与c 共线的向量，而右端是与a 共线的向量，而一般a 与c 不共线.3、“投影”的概念：作图定义：|b |cos θ叫做向量b 在a 方向上的投影. 投影也是一个数量，不是向量；当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当θ为直角时投影为0；当θ = 0︒C时投影为 |b |；当θ = 180︒时投影为 -|b |.4、向量的数量积的几何意义：数量积a ⋅b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积.5、两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量.1︒ e ⋅a = a ⋅e =|a |cos θ2︒ a ⊥b ⇔ a ⋅b = 03︒ 当a 与b 同向时，a ⋅b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a ⋅b = -|a ||b |. 特别的a ⋅a = |a |2或a a a ⋅=|| 4︒ cos θ =||||b a b a ⋅ 5︒ |a ⋅b | ≤ |a ||b |6、平面向量数量积的运算律（1）交换律：a ⋅ b = b ⋅ a（2）数乘结合律：(λa )⋅b =λ(a ⋅b ) = a ⋅(λb )（3）分配律：(a + b )⋅c = a ⋅c + b ⋅c7、 平面两向量数量积的坐标表示已知两个非零向量),(11y x a =，),(22y x b =，试用a 和b 的坐标表示b a ⋅.设i 是x 轴上的单位向量，j 是y 轴上的单位向量，那么j y i x a 11+=，j y i x b 22+=所以))((2211j y i x j y i x b a ++=⋅2211221221j y y j i y x j i y x i x x +⋅+⋅+=又1=⋅i i ，1=⋅j j ，0=⋅=⋅i j j i ，所以b a ⋅2121y y x x +=这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即b a ⋅2121y y x x +=8、平面内两点间的距离公式一、 设),(y x a =，则222||y x a +=或22||y x a +=.（2）如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，那么221221)()(||y y x x a -+-=(平面内两点间的距离公式)二、 向量垂直的判定设),(11y x a =，),(22y x b =，则b a ⊥ ⇔02121=+y y x x三、 两向量夹角的余弦（πθ≤≤0）co s θ =||||b a b a ⋅⋅222221212121y x y x y y x x +++=二、典型例题精选例1、 已知|a |=6， |b |=4， a 与b 的夹角为60o 求(a+2b)·(a -3b).例2、 已知|a |=3， |b |=4， 且a 与b 不共线，k 为何值时，向量a+kb 与a-kb 互相垂直.例3 、判断正误，并简要说明理由.①ａ·0＝0；②0·ａ＝０；③0－AB ＝BA ；④｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜｜ｂ｜；⑤若ａ≠0，则对任一非零ｂ有ａ·ｂ≠０；⑥ａ·ｂ＝０，则ａ与ｂ中至少有一个为0；⑦对任意向量ａ，ｂ，с都有（ａ·ｂ）с＝ａ（ｂ·с）；⑧ａ与ｂ是两个单位向量，则ａ２＝ｂ２.例4、 已知a 、b 都是非零向量，且a + 3b 与7a - 5b 垂直，a - 4b 与7a - 2b 垂直，求a 与b 的夹角.例5、求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和.证明：如图：平行四边形ABCD 中，DC AB =，BC AD =，AC =+∴||2=AD AB AD AB AD AB ⋅++=+2||222 而=- ，∴||2=⋅-+=-2||222 ∴|AC |2 + |BD |2 = 2222AD AB += 2222||||||||+++例6、 四边形ABCD 中，＝ａ，＝ｂ，＝с，＝ｄ，且ａ·ｂ＝ｂ·с＝с·ｄ＝ｄ·ａ，试问四边形ABCD 是什么图形?分析：四边形的形状由边角关系确定，关键是由题设条件演变、推算该四边形的边角量.解：四边形ABCD 是矩形，这是因为：一方面：∵ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0，∴ａ＋ｂ＝－（с＋ｄ），∴(ａ＋ｂ)２＝（с＋ｄ）２即｜ａ｜２＋２ａ·ｂ＋｜ｂ｜２＝｜с｜２＋２с·ｄ＋｜ｄ｜２由于ａ·ｂ＝с·ｄ，∴｜ａ｜２＋｜ｂ｜２＝｜с｜２＋｜ｄ｜２①同理有｜ａ｜２＋｜ｄ｜２＝｜с｜２＋｜ｂ｜２②由①②可得｜ａ｜＝｜с｜，且｜ｂ｜＝｜ｄ｜即四边形ABCD 两组对边分别相等.∴四边形ABCD 是平行四边形另一方面，由ａ·ｂ＝ｂ·с，有ｂ（ａ－с）＝０，而由平行四边形ABCD 可得ａ＝－с，代入上式得ｂ·(2ａ)＝０，即ａ·ｂ＝０，∴ａ⊥ｂ也即AB ⊥BC .综上所述，四边形ABCD 是矩形.评述：(1)在四边形中，AB ，BC ，CD ，DA 是顺次首尾相接向量，则其和向量是零向量，即ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0，应注意这一隐含条件应用；(2)由已知条件产生数量积的关键是构造数量积，因为数量积的定义式中含有边、角两种关系.例7、已知a ＝（１，3），b ＝（3＋１，3－１），则a 与b 的夹角是多少?例8、如图，以原点和A (5， 2)为顶点作等腰直角△OAB ，使∠B = 90︒，求点B 和向量AB 的坐标.解：设B 点坐标(x ， y )，则= (x ， y )，AB = (x -5， y -2) ∵⊥ ∴x (x -5) + y (y -2) = 0即：x 2 + y 2-5x - 2y = 0 又∵|| = || ∴x 2 + y 2 = (x -5)2 + (y -2)2即：10x + 4y = 29 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧==-==⇒⎩⎨⎧=+=--+2723232729410025221122y x y x y x y x y x 或 ∴B 点坐标)23,27(-或)27,23(；=)27,23(--或)23,27(-例9、对于任意非零向量a 与b ，求证：｜｜a ｜-｜b ｜｜≤｜a ±b ｜≤｜a ｜+｜b ｜证明：(1)两个非零向量a 与b 不共线时，a +b 的方向与a ，b 的方向都不同，并且｜a ｜-｜b ｜＜｜a ±b ｜＜｜｜+｜｜(2)两个非零向量与共线时，①与同向，则+的方向与.相同且｜+｜=｜｜＋｜｜.②与异向时，则+的方向与模较大的向量方向相同，设||＞||，则|+|=||-||.同理可证另一种情况也成立。

§2.4 平面向量的数量积2．4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义 课时目标 1.通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.体会平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握向量数量积的运算律．1．平面向量数量积(1)定义：已知两个非零向量a 与b ，我们把数量______________叫做a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos θ，其中θ是a 与b 的夹角．(2)规定：零向量与任一向量的数量积为____．(3)投影：设两个非零向量a 、b 的夹角为θ，则向量a 在b 方向的投影是____________，向量b 在a 方向上的投影是______________．2．数量积的几何意义a ·b 的几何意义是数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影________________的乘积．3．向量数量积的运算律(1)a·b ＝________(交换律)；(2)(λa )·b ＝________＝________(结合律)；(3)(a ＋b )·c ＝______________________(分配律)．一、选择题1．|a |＝2，|b |＝4，向量a 与向量b 的夹角为120°，则向量a 在向量b 方向上的投影等于( )A ．－3B ．－2C ．2D ．－12．已知a ⊥b ，|a |＝2，|b |＝3，且3a ＋2b 与λa －b 垂直，则λ等于( )A.32 B ．－32 C ．±32D ．1 3．已知向量a ，b 满足a ·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，则|2a －b |等于( )A ．0B ．2 2C ．4D ．84．在边长为1的等边△ABC 中，设BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，则a·b ＋b·c ＋c·a 等于( )A ．－32B ．0 C.32D ．3 5．若非零向量a ，b 满足|a |＝|b |，(2a ＋b )·b ＝0，则a 与b 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°6．若向量a 与b 的夹角为60°，|b |＝4，(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，则向量a 的模为( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．12题 号 1 2 3 4 5 6 答 案7．已知向量a 与b 的夹角为120°，且|a |＝|b |＝4，那么b ·(2a ＋b )的值为________．8．给出下列结论：①若a ≠0，a·b ＝0，则b ＝0；②若a·b ＝b·c ，则a ＝c ；③(a·b )c ＝a (b·c )；④a·[b (a ·c )－c (a·b )]＝0.其中正确结论的序号是________．9．设非零向量a 、b 、c 满足|a |＝|b |＝|c |，a ＋b ＝c ，则〈a ，b 〉＝________.10．已知a 是平面内的单位向量，若向量b 满足b·(a －b )＝0，则|b |的取值范围是________．三、解答题11．已知|a |＝4，|b |＝3，当(1)a ∥b ；(2)a ⊥b ；(3)a 与b 的夹角为60°时，分别求a 与b 的数量积．12．已知|a |＝|b |＝5，向量a 与b 的夹角为π3，求|a ＋b |，|a －b |.能力提升13．已知|a |＝1，|b |＝1，a ，b 的夹角为120°，计算向量2a －b 在向量a ＋b 方向上的投影．14．设n 和m 是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a ＝2m ＋n 与b ＝2n －3m 的夹角．1．两向量a 与b 的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a ≠0，b ≠0,0°≤θ<90°时)，也可以为负(当a ≠0，b ≠0,90°<θ≤180°时)，还可以为0(当a ＝0或b ＝0或θ＝90°时)．2．数量积对结合律一般不成立，因为(a ·b )·c ＝|a ||b |·cos 〈a ，b 〉·c 是一个与c 共线的向量，而(a ·c )·b ＝|a |·|c |cos 〈a ，c 〉·b 是一个与b 共线的向量，两者一般不同．3．向量b 在a 上的射影不是向量而是数量，它的符号取决于θ角，注意a 在b 方向上的射影与b 在a 方向上的射影是不同的，应结合图形加以区分．§2.4 平面向量的数量积2．4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义答案知识梳理1．(1)|a ||b |cos θ (2)0 (3)|a |cos θ |b |cos θ2．|b |cos θ 3.(1)b·a (2)λ(a·b ) a ·(λb ) (3)a·c ＋b·c作业设计1．D [a 在b 方向上的投影是|a |cos θ＝2×cos 120°＝－1.]2．A [∵(3a ＋2b )·(λa －b )＝3λa 2＋(2λ－3)a·b －2b 2＝3λa 2－2b 2＝12λ－18＝0.∴λ＝32.] 3．B [|2a －b |2＝(2a －b )2＝4|a |2－4a ·b ＋|b |2＝4×1－4×0＋4＝8，∴|2a －b |＝2 2.]4．A [a·b ＝BC →·CA →＝－CB →·CA →＝－|CB →||CA →|cos 60°＝－12.同理b·c ＝－12，c·a ＝－12， ∴a·b ＋b·c ＋c·a ＝－32.] 5．C [由(2a ＋b )·b ＝0，得2a ·b ＋b 2＝0，设a 与b 的夹角为θ，∴2|a ||b |cos θ＋|b |2＝0.∴cos θ＝－|b |22|a ||b |＝－|b |22|b |2＝－12，∴θ＝120°.] 6．C [∵a·b ＝|a|·|b |·cos 60°＝2|a |，∴(a ＋2b )·(a －3b )＝|a |2－6|b |2－a·b ＝|a |2－2|a |－96＝－72.∴|a |＝6.]7．0解析 b ·(2a ＋b )＝2a·b ＋|b |2＝2×4×4×cos 120°＋42＝0.8．④解析 因为两个非零向量a 、b 垂直时，a·b ＝0，故①不正确；当a ＝0，b ⊥c 时，a·b ＝b·c ＝0，但不能得出a ＝c ，故②不正确；向量(a·b )c 与c 共线，a (b·c )与a 共线，故③不正确；④正确，a ·[b (a·c )－c (a·b )]＝(a·b )(a·c )－(a·c )(a·b )＝0.9．120°解析 ∵a ＋b ＝c ，∴|c |2＝|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2.又|a |＝|b |＝|c |，∴2a ·b ＝－b 2，即2|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝－|b |2.∴cos 〈a ，b 〉＝－12， ∴〈a ，b 〉＝120°.10．[0,1]解析 b·(a －b )＝a·b －|b |2＝|a||b |cos θ－|b |2＝0，∴|b |＝|a |cos θ＝cos θ (θ为a 与b 的夹角)，θ∈[0，π]，∴0≤|b |≤1.11．解 (1)当a ∥b 时，若a 与b 同向，则a 与b 的夹角θ＝0°，∴a·b ＝|a||b |cos θ＝4×3×cos 0°＝12.若a 与b 反向，则a 与b 的夹角为θ＝180°，∴a·b ＝|a||b |cos 180°＝4×3×(－1)＝－12.(2)当a ⊥b 时，向量a 与b 的夹角为90°，∴a·b ＝|a||b |cos 90°＝4×3×0＝0.(3)当a 与b 的夹角为60°时，∴a·b ＝|a||b |cos 60°＝4×3×12＝6. 12．解 a·b ＝|a||b |cos θ＝5×5×12＝252. |a ＋b |＝(a ＋b )2＝|a |2＋2a·b ＋|b |2＝25＋2×252＋25＝5 3. |a －b |＝(a －b )2＝|a |2－2a·b ＋|b |2＝25－2×252＋25＝5. 13．解 (2a －b )·(a ＋b )＝2a 2＋2a ·b －a ·b －b 2＝2a 2＋a ·b －b 2＝2×12＋1×1×cos 120°－12＝12. |a ＋b |＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1＋2×1×1×cos 120°＋1＝1.∴|2a －b |cos 〈2a －b ，a ＋b 〉＝|2a －b |·(2a －b )·(a ＋b )|2a －b |·|a ＋b |＝(2a －b )·(a ＋b )|a ＋b |＝12. ∴向量2a －b 在向量a ＋b 方向上的投影为12. 14．解 ∵|n |＝|m |＝1且m 与n 夹角是60°，∴m·n ＝|m||n |cos 60°＝1×1×12＝12. |a |＝|2m ＋n |＝(2m ＋n )2＝4×1＋1＋4m·n ＝ 4×1＋1＋4×12＝7， |b |＝|2n －3m |＝(2n －3m )2＝4×1＋9×1－12m·n ＝ 4×1＋9×1－12×12＝7， a·b ＝(2m ＋n )·(2n －3m )＝m·n －6m 2＋2n 2＝12－6×1＋2×1＝－72. 设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a·b |a||b |＝－727×7＝－12. 又θ∈[0，π]，∴θ＝2π3，故a 与b 的夹角为2π3.附赠材料答题六注意 ：规范答题不丢分提高考分的另一个有效方法是减少或避免不规范答题等非智力因素造成的失分,具体来说考场答题要注意以下六点:第一,考前做好准备工作。

2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角课时目标 1.掌握数量积的坐标表示， 会进行平面向量数量积的坐标运算.2.能运用数量积的坐标表示求两个向量的夹角，会用数量积的坐标表示判断两个平面向量的垂直关系，会用数量的坐标表示求向量的模．1．平面向量数量积的坐标表示 若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝____________. 即两个向量的数量积等于________________． 2．两个向量垂直的坐标表示设两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)， 则a ⊥b ⇔________________. 3．平面向量的模(1)向量模公式：设a ＝(x 1，y 1)，则|a |＝________________.(2)两点间距离公式：若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝________________________. 4．向量的夹角公式 设两非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝________＝__________.一、选择题1．已知向量a ＝(1，n )，b ＝(－1，n )，若2a －b 与b 垂直，则|a |等于( ) A ．1 B. 2 C ．2 D ．4 2．平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2,0)，|b |＝1，则|a ＋2b |等于( ) A. 3 B ．2 3 C ．4 D ．123．已知a ，b 为平面向量，a ＝(4,3)，2a ＋b ＝(3,18)，则a ，b 夹角的余弦值等于( ) A.865 B ．－865 C.1665 D ．－16654．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c 等于( ) A.⎝⎛⎭⎫79，73 B.⎝⎛⎭⎫－73，－79 C.⎝⎛⎭⎫73，79 D.⎝⎛⎭⎫－79，－73 5．已知向量a ＝(2,1)，a ·b ＝10，|a ＋b |＝52，则|b |＝( ) A. 5 B.10 C ．5 D ．256．已知a ＝(－3,2)，b ＝(－1,0)，向量λa ＋b 与a －2b 垂直，则实数λ的值为( )A ．－17 B.17 C ．－16 D.16题 号 1 2 3 4 5 6 答 案 二、填空题7．已知a ＝(3，3)，b ＝(1,0)，则(a －2b )·b ＝________. 8．若平面向量a ＝(1，－2)与b 的夹角是180°，且|b |＝45，则b ＝________. 9．若a ＝(2,3)，b ＝(－4,7)，则a 在b 方向上的投影为______． 10．已知a ＝(－2，－1)，b ＝(λ，1)，若a 与b 的夹角α为钝角，则λ的取值范围为________．三、解答题11．已知a 与b 同向，b ＝(1,2)，a·b ＝10. (1)求a 的坐标；(2)若c ＝(2，－1)，求a (b·c )及(a·b )c .12．已知三个点A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)， (1)求证：AB ⊥AD ；(2)要使四边形ABCD 为矩形，求点C 的坐标并求矩形ABCD 两对角线所成的锐角的余弦值．能力提升13．已知向量a ＝(1,1)，b ＝(1，a )，其中a 为实数，O 为原点，当此两向量夹角在⎝⎛⎭⎫0，π12变动时，a 的范围是( )A ．(0,1) B.⎝⎛⎭⎫33，3C.⎝⎛⎭⎫33，1∪(1，3) D ．(1，3)14．若等边△ABC 的边长为23，平面内一点M 满足CM →＝16CB →＋23CA →，则MA →·MB →＝________.1．向量的坐标表示简化了向量数量积的运算．为利用向量法解决平面几何问题以及解析几何问题提供了完美的理论依据和有力的工具支持．2．应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何问题，在学习中要不断地提高利用向量工具解决数学问题的能力．2．4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角答案知识梳理1．x 1x 2＋y 1y 2 相应坐标乘积的和 2．x 1x 2＋y 1y 2＝03．(1)x 21＋y 21 (2)(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2 4.a·b|a||b | x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22作业设计1．C [由(2a －b )·b ＝0，则2a ·b －|b |2＝0， ∴2(n 2－1)－(1＋n 2)＝0，n 2＝3. ∴|a |＝1＋n 2＝2.故选C.] 2．B [a ＝(2,0)，|b |＝1， ∴|a |＝2，a ·b ＝2×1×cos 60°＝1. ∴|a ＋2b |＝a 2＋4×a ·b ＋4b 2＝2 3.]3．C [∵a ＝(4,3)，∴2a ＝(8,6)．又2a ＋b ＝(3,18)，∴b ＝(－5,12)，∴a ·b ＝－20＋36＝16. 又|a |＝5，|b |＝13，∴cos 〈a ，b 〉＝165×13＝1665.]4．D [设c ＝(x ，y )，由(c ＋a )∥b 有－3(x ＋1)－2(y ＋2)＝0，① 由c ⊥(a ＋b )有3x －y ＝0，②联立①②有x ＝－79，y ＝－73，则c ＝(－79，－73)，故选D.]5．C [∵|a ＋b |＝52， ∴|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝5＋2×10＋b 2＝(52)2， ∴|b |＝5.]6．A [由a ＝(－3,2)，b ＝(－1,0)，知λa ＋b ＝(－3λ－1,2λ)，a －2b ＝(－1,2)． 又(λa ＋b )·(a －2b )＝0，∴3λ＋1＋4λ＝0，∴λ＝－17.]7．1解析 a －2b ＝(1，3)， (a －2b )·b ＝1×1＋3×0＝1. 8．(－4,8)解析 由题意可设b ＝λa ＝(λ，－2λ)，λ<0， 则|b |2＝λ2＋4λ2＝5λ2＝80，∴λ＝－4， ∴b ＝－4a ＝(－4,8)． 9.655解析 设a 、b 的夹角为θ，则cos θ＝2×(－4)＋3×722＋32(－4)2＋72＝55，故a 在b 方向上的投影为|a |cos θ＝13×55＝655.或直接根据a·b|b |计算a 在b 方向上的投影．10.⎝⎛⎭⎫－12，2∪(2，＋∞) 解析 由题意cos α＝a·b|a||b |＝－2λ－15·λ2＋1，∵90°<α<180°，∴－1<cos α<0，∴－1<－2λ－15·λ2＋1<0，∴⎩⎨⎧－2λ－1<0，－2λ－1>－5λ2＋5，即⎩⎪⎨⎪⎧ λ>－12，(2λ＋1)2<5λ2＋5， 即⎩⎪⎨⎪⎧λ>－12，λ≠2，∴λ的取值范围是⎝⎛⎭⎫－12，2∪(2，＋∞)． 11．解 (1)设a ＝λb ＝(λ，2λ) (λ>0)，则有a·b ＝λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a ＝(2,4)． (2)∵b·c ＝1×2－2×1＝0， a·b ＝1×2＋2×4＝10， ∴a (b·c )＝0a ＝0， (a·b )c ＝10×(2，－1)＝(20，－10)．12．(1)证明 ∵A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)， ∴AB →＝(1,1)，AD →＝(－3,3)，又∵AB →·AD →＝1×(－3)＋1×3＝0， ∴AB →⊥AD →，即AB ⊥AD .(2)解 AB →⊥AD →，四边形ABCD 为矩形， ∴AB →＝DC →.设C 点坐标为(x ，y )，则AB →＝(1,1)，DC →＝(x ＋1，y －4)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＝1，y －4＝1， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝5. ∴C 点坐标为(0,5)．由于AC →＝(－2,4)，BD →＝(－4,2)，所以AC →·BD →＝8＋8＝16， |AC →|＝2 5，|BD →|＝2 5. 设AC →与BD →夹角为θ，则cos θ＝AC →·BD →|AC →|·|BD →|＝1620＝45>0，∴解得矩形的两条对角线所成的锐角的余弦值为45.13．C[已知OA →＝(1,1)，即A (1,1)如图所示，当点B 位于B 1和B 2时，a 与b 夹角为π12，即∠AOB 1＝∠AOB 2＝π12，此时，∠B 1Ox ＝π4－π12＝π6，∠B 2Ox ＝π4＋π12＝π3，故B 1⎝⎛⎭⎫1，33，B 2(1，3)，又a 与b 夹角不为零，故a ≠1，由图易知a 的范围是⎝⎛⎭⎫33，1∪(1，3)．]14．－2解析 建立如图所示的直角坐标系，根据题设条件即可知A (0,3)，B (－3，0)，M (0,2)， ∴MA →＝(0,1)，MB →＝(－3，－2)．∴MA →·MB →＝－2.附赠材料答题六注意 ：规范答题不丢分提高考分的另一个有效方法是减少或避免不规范答题等非智力因素造成的失分,具体来说考场答题要注意以下六点:第一,考前做好准备工作。

2.3 平面向量的数量积（数学人教B版必修4）建议用时实际用时满分实际得分45分钟100分一、选择题（每小题5分，共20分）1. 已知a=（1，2），b=（-3，2），若k a+b与a-3b垂直，则k的值为（）A.18B.19C.20D.212. 已知向量a=（2cos ϕ，2sin ϕ），ϕ∈(π2，π)，b=（0，-1），则a与b的夹角为（）A. 3π2-ϕ B.π2+ϕC.ϕ-π2D.ϕ3. 设a、b是非零向量，若函数f(x)=(x a+b)·(a-x b)的图象是一条直线，则必有（）A.a⊥bB.a∥bC.|a|=|b|D.|a|≠|b|4. 如果向量a与b的夹角为θ，那么我们称a×b 为向量a与b的“向量积”，a×b是一个向量，它的长度为|a×b|=|a||b|sinθ.如果|a|=5,|b|=1,a·b=-3,则|a×b|=（）A.3B.-4C.4D.5二、填空题（每小题5分，共15分）5.若平面向量a,b满足|a+b|=1,a+b平行于x轴，b=(2,-1)，则a= .6. 设a=（4，-3），b=（2，1），若a+t b与b的夹角为45°，则t的值为.7.若向量a，b，c满足a∥b且a⊥c，则c·(a＋2b)＝. 三、解答题(共65分)8.（15分）已知a=（-2，2），b=（5，m），若|a+b|不超过5，求m的取值范围.9.（15分）已知a=（2，3），b=（-3，5），求a在b方向上的投影.10.（15分）设在平面上有两个向量a＝(cos α，sin α)(0°≤α<360°)，b＝(－,).(1)求证：向量a＋b与a－b垂直；(2)当向量a＋b与a－b的模相等时，求α的大小.11.（20分）四边形ABCD中，AB=a，BC=b，CD=c，DA=d，且a·b=b·c=c·d=d·a，试问四边形ABCD 是什么图形？2.3 平面向量的数量积（数学人教B版必修4）答题纸得分：一、选择题题号 1 2 3 4答案二、填空题5． 6． 7．三、解答题8.9.10.11.2.3 平面向量的数量积（数学人教B 版必修4）答案一、选择题1.B 解析：k a +b =k （1，2）+（-3，2）=（k-3，2k+2）， a -3b =（1，2）-3×（-3，2）=（10，-4）. 又k a +b 与a -3b 垂直，故（k a +b ）·（a -3b ）=0， 即（k-3）·10+（2k+2）·（-4）=0，得k =19.2.A 解析：设a 与b 的夹角为θ，则 cos θ=∙a b a b=-2sin φ2=-sin ϕ=cos(π2+ϕ).∵ϕ∈（π2，π），θ∈［0，π］， ∴ cos θ=cos(π2+ϕ)=cos(3π2-ϕ).∴ θ=3π2-ϕ. 3. A 解析：f (x )=(x a+b )·(a-x b )=-a ·b x 2+(a 2-b 2)x+a ·b ,若函数f (x )的图象是一条直线，则其二次项系数为0，∴ a ·b =0,∴ a ⊥b .故选A.4. C 解析：由于|a |=5，|b |=1，a ·b =|a ||b |cos θ=-3,所以cos θ=-35. 又因为θ为向量a 与b 的夹角，所以sin θ=45, 所以|a ×b |=|a ||b |sin θ=4.故选C. 二、填空题5. (-1,1)或（-3，1） 解析：设a =(x ,y ), 则a +b =(x+2,y-1),由题意得221,(2)(1)1,1310y x y x y =⎧++-=⎧⇒⎨⎨=---=⎩⎩或，∴ a =(-1,1)或（-3，1）.6.1 解析：∵ a =（4，-3），b =（2，1）， ∴ a +t b =（4+2t ，-3+t ）. ∵ a +t b 与b 的夹角为45°, ∴ （a +t b ）·b =|a +t b |·|b |·cos 45°，∴ （4+2t ）×2+（-3+t ）=222212t t ⨯+⨯22（4+2）+(-3+)， ∴ 5t+5=252252t t ++. ∴225t t ++=（t+1）.①将①式两边平方得t 2+2t-3=0，解得t =1或t =-3. 而t =-3时①式无意义，∴ t =-3舍去，取t =1.7.0 解析：由a ∥b 及a ⊥c ，得b ⊥c ，则c ·(a ＋2b )＝c ·a ＋2c ·b ＝0. 三、解答题8.解：由a +b =（3，2+m ），|a +b |≤5， 得9+（2+m ）2≤25.解得-6≤m ≤2. 9.解：∵ a ·b =2×（-3）+3×5=9， |b |=22(3)5-+=， ∴ |a |cos θ=⋅a b b=93434. 10.(1)证明：因为(a ＋b )·(a －b )＝－＝(co α＋si α)－1＝0，故a ＋b 与a －b 垂直. (2)解：将|a ＋b |＝|a －b |两边平方，得 3＋2a ·b ＋＝－2a ·b ＋3， 所以2(－)＋4a ·b ＝0. 而|a |＝|b |，所以a ·b ＝0，则×cos α＋×sin α＝0，即cos (α＋60°)＝0， 所以α＋60°＝k ·180°＋90°， 即α＝k ·180°＋30°，k ∈Z .又0°≤α＜360°，则α＝30°或α＝210°. 11.解：因为a +b +c +d =0，所以a +b =-（c +d ）.所以（a +b ）2=（c +d ）2.即|a |2+2a ·b +|b |2=|c |2+2c ·d +|d |2. 由于a ·b =c ·d ，所以|a |2+|b |2=|c |2+|d |2.① 同理，有|a |2+|d |2=|c |2+|b |2.② 由①②可得|a |=|c |，且|b |=|d |， 即四边形ABCD 两组对边分别相等. 所以四边形ABCD 是平行四边形. 又由a ·b =b ·c 得b ·（a -c ）=0.而由平行四边形ABCD 的性质得a =-c ， 代入上式得b ·（2a ）=0，即a ·b =0. 所以a ⊥b .亦即AB ⊥BC .综上所述，四边形ABCD 是矩形.。

高三数学向量积练习题1. 已知向量a = 3i + 4j + 2k，向量b = 2i - 5j + 3k，求向量a和向量b的数量积。

解析：数量积可以通过向量的坐标分量进行计算。

两个向量a和b 的数量积记作a·b，可通过下式计算：a·b = ai·bi + aj·bj + ak·bk将向量a和b的坐标分量代入上述公式，可得：a·b = (3)(2) + (4)(-5) + (2)(3) = 6 - 20 + 6 = -8因此，向量a和向量b的数量积为-8。

2. 已知向量a = 2i + 3j - 4k，向量b = i - j + 2k，求向量a和向量b的向量积。

解析：向量积可以通过向量的坐标分量进行计算。

两个向量a和b 的向量积记作a×b，可通过下式计算：a×b = (ajbk - akbj)i + (akbi - aibi)j + (aibi - ajbi)k将向量a和b的坐标分量代入上述公式，可得：a×b = [(3)(2) - (-4)(-1)]i + [(-4)(2) - (2)(2)]j + [(2)(-1) - (3)(-1)]k= [6 - 4]i + [-8 - 4]j + [-2 + 3]k= 2i - 12j + 1k因此，向量a和向量b的向量积为2i - 12j + 1k。

3. 已知向量a = 3i + j，向量b = 2i - 4j，求向量a和向量b的数量积和向量积。

解析：数量积的计算与题目1相同，向量积的计算与题目2相同。

数量积：a·b = ai·bi + aj·bj= (3)(2) + (1)(-4)= 6 - 4= 2向量积：a×b = [(1)(-4) - (j)(2)]i + [(3)(2) - (3)(-4)]j + [(3)(-4) - (1)(2)]k= (-4 - 2)i + (6 + 12)j + (-12 - 2)k= -6i + 18j - 14k因此，向量a和向量b的数量积为2，向量积为-6i + 18j - 14k。