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辽宁省**************章程第一章总则第一条本会名称为辽宁省，英文名（缩写）。
【社团的名称应当符合法律、法规和国家政策的规定，不得违背社会道德风尚。
社团的名称应当与其业务范围、成员分布、活动地域相一致，准确反映其特征。
社会团体应冠以本行政区域即辽宁省的名称，不得冠以"中国"、"全国"、"中华"等字样。
社会团体的名称，不得使用已由社团登记管理机关撤销的社会团体的名称】第二条本会的性质是由【组成的人员或单位的概括】自愿结成的非营利性社会团体。
第三条本会的宗旨。
遵守宪法、法律、法规和国家政策，遵守社会道德风尚。
第四条本会接受【业务主管单位的名称，无业务主管单位的，可不填写此空】的业务指导和登记管理机关即辽宁省民政厅的监督管理。
第五条本会的住所为市区街/路号室。
邮政编码为：。
第二章业务范围第六条本会的业务范围【必须具体、明确】：(一)；(二)；(三)；(四)；(五)；(六)；(七)；(八)；(九)；(十)。
第三章会员第七条本会的会员种类为。
【选择单位会员、个人会员填写】第八条申请加入本会的会员，必须具备下列条件：(一)拥护本会的章程；(二)有加入本会的意愿；(三)在本会的业务，(行业、学科)领域内具有一定的影响；(四)；(五)；(六)；(七)；(八)；(九)；(十)。
第九条会员入会的程序是：(一)提交入会申请书;(二)经理事会或常务理事会讨论通过;(三)；(四)；。
(六)由秘书处发给会员证。
第十条会员享有下列权利：(一)本会的选举权、被选举权和表决权;(二)参加本会的活动;(三)获得本会服务的优先权;(四)对本会工作的批评建议权和监督权;(五)入会自愿、退会自由;(六)；(七)；(八)。
第十一条会员履行下列义务：(一)执行本会的决议；(二)维护本会合法权益；(三)完成本会交办的工作；(四)按规定交纳会费；(五)向本会反映情况，提供有关资料；(六)；(七)；。
销售操作手册设计:制作：审核：目录第一章客户信息的获取 (3)■目的■渠道■方法■客户信息管理工具第二章客户的分析与评估 (6)■目的■分析标准■客户分析评估的流程与方法■客户分析与评估的管理工具第三章客户跟进策略的制定 (9)■目的■策略制定要点■客户策略制定的流程与方法■客户策略制定使用图表第四章业务意向洽谈 (11)■目的■首次洽谈的方式■针对意向洽谈方式的运用技巧■客户洽谈信息记录表第五章洽谈资料的准备 (13)■目的■公司洽谈资料的种类清单■熟悉洽谈资料的流程与方法第六章洽谈与成交技巧 (15)■目的■洽谈的准备■洽谈与成交流程及技巧使用■洽谈与成交的练习第七章售后服务 (20)■售后服务的概念■售后服务的目的■售后服务的好处■售后服务的方法第八章请客户转介绍 (21)■转介绍的定义■转介绍的意义■转介绍的使用原则■转介绍的使用方法销售操作手册第一章：客户信息的获取■1、目的:通过大量的客户信息的获取,分析并跟进，从而增加招商的洽谈机会。
■2、渠道与方法：（4个渠道）◆第一:通过网络渠道收集意向客户。
①通过公司的官方网站：客服在线，客户留言，咨询电话,企业QQ，等沟通方式收集客户资料。
②在百度贴吧,百度文库,相关评论，微博，及同行网页中发布信息并查阅留言与浏览痕迹，以此来吸引和寻找产品的相关客户信息。
③通过行业网如：高电位QQ群,会销客户群,体销群，会销微信群收集客户相关信息。
收集方法：通过网络渠道收集客户的流程如下①客服每天定期进入官网与百度商桥的后台查看客户留言、每天记录通过QQ和百度商桥咨询的客户名单、每天记录通过电话咨询的客户名单，浏览相关行业网站。
②将收集的客户名单、电话、情况在客户咨询记录本上进行登记。
(准备工具：客户咨询记录本）③整理当天全部咨询客户信息填写在客户信息移交表上并每天定时的交销售部负责人进行处理（注：紧急情况客户或者需要马上答复的客户可直接交给销售部负责人进行快速处理，并在事后再相关记录)附：客户信息移交表④第二天反馈处理结果并做出相关跟进。
二项分布及其应用教案定稿第一章：引言1.1 教学目标了解二项分布的背景和意义，理解二项分布的概念及其在实际问题中的应用。
1.2 教学内容1.2.1 二项分布的定义通过具体案例引入二项分布的概念，讲解二项分布的基本性质。
1.2.2 二项分布的概率质量函数推导二项分布的概率质量函数，讲解影响二项分布概率的因素。
1.3 教学方法采用案例分析法，通过具体案例引导学生理解二项分布的概念及其应用。
1.4 教学评估通过小组讨论和课堂练习，检查学生对二项分布的理解程度。
第二章：二项分布的概率质量函数2.1 教学目标掌握二项分布的概率质量函数的推导和运用。
2.2 教学内容2.2.1 二项分布的概率质量函数推导讲解二项分布的概率质量函数的推导过程，引导学生理解各个参数的含义。
2.2.2 二项分布的概率质量函数的应用通过具体案例，讲解如何运用二项分布的概率质量函数解决实际问题。
2.3 教学方法采用讲解法，结合具体案例，引导学生理解和运用二项分布的概率质量函数。
2.4 教学评估通过课堂练习和小组讨论，检查学生对二项分布概率质量函数的掌握程度。
第三章：二项分布的期望和方差3.1 教学目标掌握二项分布的期望和方差的计算方法及其应用。
3.2 教学内容3.2.1 二项分布的期望讲解二项分布的期望的计算方法，引导学生理解期望的含义。
3.2.2 二项分布的方差讲解二项分布的方差的计算方法，引导学生理解方差的概念。
3.3 教学方法采用讲解法，结合具体案例，引导学生理解和运用二项分布的期望和方差。
3.4 教学评估通过课堂练习和小组讨论，检查学生对二项分布的期望和方差的掌握程度。
第四章：二项分布的应用4.1 教学目标了解二项分布在不同领域的应用，提高学生解决实际问题的能力。
4.2 教学内容4.2.1 生物学领域的应用讲解二项分布在生物学领域的应用，如基因遗传等。
4.2.2 医学领域的应用讲解二项分布在医学领域的应用，如药物疗效等。
4.2.3 社会科学领域的应用讲解二项分布在社会科学领域的应用，如民意调查等。
小学学校章程(2021定稿)第一章总则第一条：为适应现代化教育发展需要，全面贯彻国家的教育方针，全面实施素质教育，提高办学水水平，积极实施依法治校，促进学校持续、稳定、健康、和谐发展，努力把我校建设成规范加特色的现代化新型学校，依据《中华人民共和国教育法》、《XX市中小学校章程制定规程》等有关法律法规，制定本章程。
第二条：学校全称：XXX，简称XXX，英文译名：XX 学校校址：XX社区。
第三条：学校行政上隶属XXX，全日制公办小学，学制六年。
办学规模：设六个年级12个班级。
学校占地面积平方米，建筑面积8067.23平方米。
第四条：学校贯彻育人为本的的办学宗旨，以培养具有创造精神的社会主义建设者和接班人为教育目的。
学校坚持以教学为中心，积极吸纳现代教育思想，大力弘扬民族文化的优良传统。
第五条：【学校的办学思想】办学理念：真诚教育：真才实学求真知，诚实守信做真人。
品德立校、文化建校、质量兴校、人才强校；以人为本，和谐发展，用责任和真情去关注每个孩子的成长。
办学宗旨：为教师精彩人生增辉；为学生终身幸福奠基。
办学目标：建设有丰富文化内涵的校园，塑造有思想追求爱岗敬业的教师，培育有个性特长全面发展的学生，创办有特色的规范化学校。
育人思想：用责任和真情去关注每个孩子的成长。
1校训：XXX求真，奋进自强。
校风：宁静致远，求真务实。
教风：用教师的爱心传道育人；用职业的责任授业解惑。
学风：脚扎实地求真知。
第二章管理体制第六条：【校长负责制】学校实行校长负责制，校长主持学校全面工作。
校长由XXX按照干部管理权限任免校长，学校在行政上由XXX直接领导。
第七条：【校长的权力】校长依法享有下列权利：决策权：在广泛听取多方面意见的基础上，对学校教育教学和行政管理方面重大问题有最后决定权。
管理权：依照有关法律法规和制度对学校的教学工作、德育工作、总务工作、和其他行政工作进行自主管理。
人事权：从学校工作的需要和实际出发，提名聘用其他行政干部。
专科病人护理常规(定稿)第一章一般护理常规第一节出入院病人护理常规一、入院病人护理常规（一）病区接收新病员后，为其安排床位，将己铺好的备用床改为暂空床。
如为危重患者或急诊手术患者，应安置在抢救室，并立即通知医生作紧急处理。
（二）患者入病室后，为患者测量体温、脉搏、呼吸、血压，作护理体检。
及时通知医生检查患者，必要时协助体格检查。
（三）做好入院各种登记，填写住院病历及有关护理文件，待医师开出医嘱后，按医嘱进行治疗和护理。
（四）认真做好入院介绍，如床位主管医生、责任护士、护士长、作息制度、探视陪伴制度等，协助患者熟悉病区环境和生活设施。
（五）了解患者思想情况、生活习惯和需求，给予针对性健康指导，书写入院首次护理记录。
按照分级护理工作制度进行护理。
二、出院病人护理常规 (一) 确认出院时间后，根据患者病情及康复程度，对患者进行健康指导，包括出院后注意事项、服药、饮食、休息、功能锻炼及复诊时间等，诚恳听取患者住院期间的意见，以便改进工作。
1/ 3(二) 消各种卡片和在病区各种记录，并在体温单相应时间栏内竖写出院时间，整理病历，送出院结帐处。
(三) 患者整理用物，清点病区用品，待患者出院手续办妥后，为患者开好出院携带物品证明，并护送患者出病室；必要时护送上车。
(四) 患者离开病区后，彻底清理床单元，通知护工做终末消毒。
处理毕，铺好备用床。
第二节病人分级护理常规一、特级护理（一）对病情危重、复杂多变，随时可发生危及生命的状况，极度虚弱，生活无法自理的患者; 新开展大手术后实施特级护理。
（二）专人守护，班班交接。
（三）严密观察病情变化，每小时测量脉搏、呼吸、血压及其它观察指标，每 4小时测量体温。
医嘱有特殊要求或病情变化快，应缩短测量生命体征时间。
（四）抢救仪器、器械、药物呈备用状态，一旦发生变化，立即投入抢救。
（五）及时正确执行医嘱，认真落实各项治疗措施。
（六）按常规落实各项护理措施，保证各种导管通畅，详细记录引流量及色泽等情况。
第一章经济法律基础概述导入案例：2013年2月，甲科研单位与乙公司之间签订了买卖合同，约定2013年6月1日甲科研单位向乙公司转让并运送其专门为乙公司研发制造的一台仪器，乙公司在货到后即付款。
2013年5月10日，甲科研单位所在地发生地震，甲科研单位办公楼倒塌，该台仪器被毁坏，不能按期履行合同。
乙公司据此解除了双方的买卖合同。
请分析该案例中法律关系的主体是谁？客体是什么？主要内容是什么？法律关系建立的法律事实是什么？双方法律关系终止的法律事实是什么？【参考答案】该案例中法律关系的主体是甲科研单位与乙公司；客体是甲科研单位专门为乙公司研发制造的仪器；主要内容是甲科研单位向乙公司转让并运送其专门为乙公司研发制造的一台仪器，乙公司在货到后即付款。
法律关系建立的法律事实是签订合同的行为；地震这一事件导致双方签订的合同无法履行，是引起双方法律关系终止的法律事实。
课堂讨论1-1课堂实训1-1课堂实训1-2【综合案例分析】案例1甲行政机关依法委托专门从事政府采购代理业务的乙公司代理采购一批专用设备，并授权乙公司与中标供应商签订采购合同。
乙公司在与中标供应商签订采购合同时，双方秘密商定，乙公司在若干合同条款上对中标供应商予以照顾，中标供应商作为答谢提供给乙公司一批办公设备。
请问乙公司代理签订采购合同的行为是否有效，由此给甲行政机关造成的损失应由谁承担责任?【参考答案】乙公司代理签订合同的行为无效，给甲行政机关造成的损失应由乙公司和中标供应商承担连带责任。
乙公司在行使代理权时，利用代理权牟取私利，不符合被代理人的利益，其行为属于代理人与第三人恶意串通损害被代理人利益的滥用代理权行为。
根据《民法通则》的有关规定，代理人滥用代理权的，其行为视为无效行为，给被代理人及他人造成损失的，应当承担相应的赔偿责任。
代理人和第三人串通，损害被代理人的利益的，由代理人和第三人负连带责任。
案例2张某与房东薛某商定租其一套二居室住房1年，租期为2011年9月1日至2012年8月31日。
第一章集合与命题Sets and Propositions我们知道，事物既有个性，也有共性．我们研究一个具体问题时，常把讨论对象限制在一定的整体范围内，便于讨论其共同性质；而对整体来说，每个对象又有着其各自的特点．这就是集合与其元素之间的基本关系．集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代数学的基本语言和重要基础．一方面，许多重要的数学分支都建立在集合理论的基础上；另一方面，集合论及其思想，在越来越广泛的领域中得到应用．数学中的命题比比皆是，而连接相关命题之间的链条就是逻辑推理．逻辑是研究思维形式及其规律的一门基础学科．学习数学，需要全面地理解概念，正确地进行表述、推理和判断，这就离不开对逻辑知识的掌握和运用．更广泛地说，在日常生活、学习、工作中，基本的逻辑知识也是认识问题、研究问题不可缺少的工具，是人们文化素质的组成部分．在高中数学里，集合的初步知识与命题等相关知识，与其他内容有着密切联系，它是学习、掌握和使用数学语言的基础，基于上述原因，我们把“集合与命题”安排在高中数学的起始章．一、集合（Sets）1.1集合及其表示法（Sets and Their Expressions）在现实生活和数学中，我们经常要把一些确定的对象作为一个整体来考察研究．例如：(1)某校高一（1）班的全体学生；(2)中国运动员在历届夏、冬季奥运会上取得的所有金牌；(3)1~100之间的所有质数；(4)不等式2x－3>0的解的全体；(5)所有的平行四边形；(6)平面上到两个定点的距离相等的点的全体．我们把能够确切指定的不同对象组成的整体叫做集合(set)，简称集．集合中的各个对象叫做这个集合的元素(element)．对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，也是各不相同的，而且各元素地位相等，与顺序无关．我们把含有有限个元素的集合称为有限集(finite set)，含有无限个元素的集合称为无限集(infinite set)．为了研究的需要，我们把不含任何元素的集合叫做空集(empty set)，记作∅．例如，方程x2+1=0的实数解组成的集合就是空集．集合通常用大写的英文字母表示，如A、B、C、……，元素通常用小写的英文字母表示，如a、b、c、……．如果a是集合A的元素，就记作a∈A，读作“a属于(belong to)A”；如果a不是集合A的元素，就记作a∉A，读作“a不属于(not belong to)A”．数的集合简称数集，常用的数集我们一般用特定的字母表示：全体自然数组成的集合，即自然数集(natural numbers set)，记作N；不包括零的自然数组成的集合，即正整数集，记作N*；全体整数组成的集合，即整数集（set of integer），记作Z；全体有理数组成的集合，即有理数集（rational numbers set），记作Q；全体实数组成的集合，即实数集（set of real numbers ），记作R ．我们还把正整数集、负整数集、正有理数集、负有理数集、正实数集、负实数集分别表示为Z +、Z －、Q +、Q －、R +、R －．集合的表示方法通常有两种，即列举法和描述法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法称为列举法．如：{1，3，5，7，9}，{x 2，3x －2，x +7y 3，x 2－4y 2}．在大括号内，先写出此集合中元素的一般形式，再划一条竖线，在竖线后面写上集合中的元素的公共属性，即A ={x | x 满足性质P }，这种表示集合的方法称为描述法．如：不等式2x －3>0的解集可表示为{x | x －3>2}，函数y =x +1图像上的点组成的集合可表示为{(x , y ) | y =x +1}．例1. 用适当的方法表示下列集合：(1)30的所有正因数组成的集合A ；(2)被5除余3的自然数全体组成的集合B ；(3) 二次函数y =x 2+2x －3图像上的所有点组成的集合C ．解：(1)用列举法表示：A ={1,2,3,5,6,10,15,30}；(2)用描述法表示：B ={x | x=5n +3, n ∈N}；(3)用描述法表示：C ={(x , y ) | y =x 2+2x －3}．例2. A 是由一切能表示成两个整数的平方之差的全体整数组成的集合，试证明：(1)任意奇数都是A 的元素；(2)偶数4k －2(k ∈Z)不属于A ．证明：设A ={x | x =a 2－b 2，a 、b ∈Z}，(1) 设任意奇数x=2k+1,k ∈Z ，则x =k 2+2k+1－k 2=(k +1)2－k 2∈A ；(2) 反证：假设任意偶数x=4k －2,k ∈Z 属于A ，则设x =a 2－b 2，a 、b ∈Z ，于是有2(2k －1)=(a +b )(a －b )，…①在上述①式中，等号右边的a +b 与a －b 同奇同偶，则x 或为奇数，或为4的整数倍；而等号左边是2与一个奇数的积，则x 不能被4整除，由此产生矛盾．所以，原假设不成立，即“偶数4k －2(k ∈Z)不属于A ”得证．例3. 若集合{}2210,R A x ax x x =--=∈中至多有一个元素，求实数a 的取值范围．解：当0a =时，方程只有一个根12-，则0a =符合题意； 当0a ≠时，则关于x 的方程2210ax x --=是一元二次方程，由于集合A 中至多有一个元素，则一元二次方程2210ax x --=有两个相等的实数根或没有实数根，所以∆＝440a +≤，解得1a ≤-．综上所得，实数a 的取值范围是{}01a a a =≤-或． 课堂活动·大家谈1、 集合中的元素有什么特性？集合的表示法中是如何体现这些性质的？2、 用列举法和描述法表示集合有什么区别？各有什么优势与不足？3、 通过实例分别选择自然语言、集合语言（列举法或描述法）表述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用，体验用集合思想去观察和思考问题的乐趣．课堂活动·自己想1、 区分∅，{∅}，{0}，0等符号的含义；2、集合{1，2}与集合{(1，2)}有什么区别？3、能否将“身材高大的人”组成一个集合？课外活动·自己学集合论简介集合论是德国著名数学家康托尔(George Cantor，1845－1918)于19世纪末创立的．十七世纪数学中出现了一门新的分支——微积分．在之后的一至二百年中，这一崭新学科获得了飞速发展并结出了丰硕的成果．其推进速度之快使人来不及检查和巩固它的理论基础．十九世纪初，许多迫切问题得到解决后，出现了一场重建数学基础的运动．正是在这场运动中，康托尔开始探讨了前人从未碰过的实数点集，这是集合论研究的开端．到1874年康托尔开始一般地提出“集合”的概念，他对集合所下的定义是：把若干确定的有区别的（不论是具体的或抽象的）事物合并起来，看作一个整体，就称为一个集合，其中各事物称为该集合的元素．人们把康托尔于1873年12月7日给戴德金的信中最早提出集合论思想的那一天定为集合论诞生日．集合论提出伊始，曾遭到许多数学家的激烈反对，康托尔本人一度成为这一激烈论争的牺牲品.在猛烈的攻击下与过度的用脑思考中，他得了精神分裂症，几次陷于精神崩溃．然而集合论前后经历二十余年，最终获得了世界公认.到二十世纪初集合论已得到数学家们的赞同.数学家们为一切数学成果都可建立在集合论基础上的前景而陶醉了.他们乐观地认为从算术公理系统出发，借助集合论的概念，便可以建造起整个数学的大厦．在1900年第二次国际数学大会上，著名数学家庞加莱就曾兴高采烈地宣布“……数学已被算术化了．今天，我们可以说绝对的严格已经达到了．”然而这种自得的情绪并没能持续多久．不久，集合论是有漏洞的消息迅速传遍了数学界，这就是1902年罗素得出的罗素悖论．罗素构造了一个所有不属于自身（即不包含自身作为元素）的集合R.现在问R是否属于R？如果R属于R，则R满足R的定义，因此R不应属于自身，即R不属于R；另一方面，如果R不属于R，则R不满足R的定义，因此R应属于自身，即R属于R.这样，不论何种情况都存在着矛盾.这一仅涉及集合与属于两个最基本概念的悖论如此简单明了以致根本留不下为集合论漏洞辩解的余地.绝对严密的数学陷入了自相矛盾之中，这就是数学史上的第三次数学危机．危机产生后，众多数学家投入到解决危机的工作中去．1908年，策梅罗提出公理化集合论，后经改进形成无矛盾的集合论公理系统，简称ZF公理系统．原本直观的集合概念被建立在严格的公理基础之上，从而避免了悖论的出现，这就是集合论发展的第二个阶段：公理化集合论．与此相对应，在1908年以前由康托尔创立的集合论被称为朴素集合论，公理化集合论是对朴素集合论的严格处理，它保留了朴素集合论的有价值的成果并消除了其可能存在的悖论，因而较圆满地解决了第三次数学危机．公理化集合论的建立，标志着著名数学家希耳伯特所表述的一种激情的胜利，他大声疾呼：没有人能把我们从康托尔为我们创造的乐园中赶出去．从康托尔提出集合论至今，时间已经过去了一百多年，在这一段时间里，数学又发生了极其巨大的变化，包括对上述经典集合论作出进一步发展的模糊集合论的出现等等，而这一切都是与康托尔的开拓性工作分不开的．当现在回头去看康托尔的贡献时，我们仍然可以引用当时一些著名数学家对他的集合论的评价作为我们的总结．德国伟大的数学家希尔伯特（David Hilbert，1862－1943）称康托尔的集合论是“数学精神最令人惊羡的花朵，人类理智活动最漂亮的成果”．英国数学家和哲学家罗素（Bertrand Russell，1872－1970）把康托尔的工作描述为“可能是这个时代所能夸耀的最伟大的工作”．前苏联著名的数学家科尔莫戈洛夫(Andrey Nikolaevich Kolmogorov，1903－1987)说，“康托尔的不朽功绩，在于他敢向无穷大冒险迈进．”还有如：它是对无限最深刻的洞察，它是数学天才的最优秀作品，是人类纯智力活动的最高成就之一．康托尔的无穷集合论是过去两千五百年中对数学的最令人不安的独创性贡献之一等等．课外活动·自己找借助图书馆或电脑网络系统查阅有关集合论创始人康托尔的生平简介等资料，了解其创立集合论的艰辛历程，进一步体验和学习数学家追求真理的不懈精神．习题练习·自己练1. 用描述法表示下列集合：(1){1，4，7，10，13}； (2){－2，－4，－6，－8，－10}；(3) { 1，5，25，125，625 }； (4) { 0，±21，±52，±103，±174，……}． 2. 用列举法表示下列集合：(1){x | x 是15的正约数}； (2){(x ，y ) | x ∈{1，2}，y ∈{1，2}}； (3)⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧=+-=+22),(22y x y x y x ； (4) {(x ，y ) | y =x 2－1，|x |≤2，x ∈Z}． 3. 关于x 的方程ax ＋b =0，当a ，b 满足条件_______时，解集是有限集；当a ，b 满足条件_________时，解集是无限集．4. 已知集合{2a ，a 2－2a }为数集，求a 的取值范围．5. 把可以表示成两个整数的平方之和的全体整数记作集合M ，试证明集合M 的任意两个元素的乘积仍属于M ．6. 已知全集M ={}，求集合M ． 7. 已知集合(){}0121|2=+--=x x m x A 中至多含有一个元素，求实数m 的取值范围． 8. 设A ={x | x 2+(b +2)x +b +1=0，b ∈R}，求A 中所有元素之和．9. 设A={x | x=m 2 –n 2，m 、n ∈ Z}，问8、9、10与集合A 有什么关系？并证明你的结论．10. 设集合S ={a 0，a 1，a 2，a 3}，在S 上定义运算为：a i ⊕a j = a k ,其中k 为i+j 被4除的余数，i 、j=0,1,2,3，则求满足关系式（x ⊕x ）⊕a 2= a 0的x ( x ∈S )的个数．11. 设集合A ={－3，－1，2，7}，集合B ={x | f (x ) >0}，在下列条件下，是否存在函数f (x )，使得集合A 中恰有一个元素不是B 的元素？(1) f (x )为一次函数；(2) f (x )为二次函数．12. 已知实数集A 满足：若x ∈A ，则A xx ∈-+11． (1) 求证：当2∈A 时，A 中还有3个元素；(2) 试找寻一个实数a ，使得a ∈A ，并由此求出相应的集合A ；(3) 由上述研究过程，你能得出什么结论？1.2集合之间的关系 （Relations of Sets ）考察下列集合：A={1,2}，B={1,2,3,4}，C={ x ︱x 2-3x+2=0}，D={ x ︱x 是四边形}，E={ x ︱x 是多边形}．容易发现，集合A 中的任何一个元素都是集合B 的元素，集合D 中的任何一个元素都是集合E 的元素，而集合B 中的元素3和4不是集合A 的元素，集合C 中的元素与集合A 的元素完全相同．一般地，对于两个集合A 与B ，如果集合A 中任何一个元素都是集合B 的元素，我们就说集合A 是集合B 的子集（subset ），记作B A ⊆或A B ⊇，读作“A 包含于（be contained in ）B ”或“B 包含(contain)A ”．我们规定，空集包含于任何一个集合，即空集是任何集合的子集．对于两个集合A 与B ，如果有B A ⊆，且A B ⊇，我们集合A 与集合B 相等，记作A=B ，读作“集合A 等于集合B ”．如对于集合A=｛x ︱x=2k+1，k ∈Z ｝与B=｛x ︱x=2k －1，k ∈Z ｝，则有A=B ．对于两个集合A 与B ，如果B A ⊆，并且B 中至少有一个元素不属于A ，那么称集合A 是集合B 的真子集（proper subset ），记作A B 或B A 读作“A 真包含于B ”或“B 真包含A ”．用平面区域来表示集合之间关系的方法叫做集合的图示法，如右图所示，表示B A ⊆（A B ）所用的图叫做文氏图（Venn diagram ）．例1. 写出集合{a ，b ，c }的所有子集和真子集．解：集合的所有子集为∅，{a }，{b }，{c }，{a ，b }，{b ，c }，{a ，c }，{a ，b ，c }，除了{a ，b ，c }，其余七个子集均为集合{a ，b ，c }的真子集．例2. 设集合A ={a ，a 2，ab }，B={1，a ，b }，A=B ，求实数a ，b 的值．解：由于A=B ，则(1)若a 2=b ，ab=1，则a 3=1，即a=b=1，与集合中元素的互异性矛盾；(2)若a 2=1，ab=b ，则由集合中元素的互异性可得a=－1，b=0．例3. 已知{}Z n Z m n m x x S ∈∈+==,,3614，{}Z k k x x T ∈==,2，求证S=T ．解：(1)任意x ∈S ，则存在m ,n ∈Z ，使得x=14m+36n=2(7m+18n )，令7m+18n=k ，由于m ,n ∈Z ，所以k=7m+18n ∈Z ，则x=2k ，k ∈Z ，即x ∈T ，因此S ⊆T ；(2)反之，任意x ∈T ，则存在k ∈Z ，使得x=2k ，要使得x=2k=14m+36n ，m ,n ∈Z ，则k=7m+18n=7×(－5k )+18×(2k )，可见当m=－5k ，n=2k (k ∈Z)时，x=14m+36n ，m ,n ∈Z ，即x ∈S ，因此T ⊆S ． 所以，综合(1)和(2)知，S=T 得证． 课堂活动·大家谈1、 讨论符号“∈”与“⊆”的意义、区别及作用；2、 集合之间的关系与实数中的大小关系、相等关系有相似之处吗？类比实数中有关不等式的性质，研究集合的有关包含和真包含关系的性质．3、 考察数集N ，Z ，Q ，R 之间的包含关系，了解和感受数域的扩张过程．课堂活动·自己想1、 如果B A ⊆，那么集合A 与B 的关系有几种可能？2、 如何理解空集是任何集合的子集？进一步体会∅与{∅}、{0}之间的关系．3、 判断下列写法是否正确？为什么？①∅A ；②A A ．课外活动·自己做试探究含n 个元素的有限集合的子集的个数．课外活动·自己学悖论悖论(paradox)来自希腊语“para+dokein”，意思是“多想一想”．这个词的意义比较丰富，它包括一切与人的直觉和日常经验相矛盾的数学结论，那些结论会使我们惊异无比．悖论是自相矛盾的命题．即如果承认这个命题成立，就可推出它的否定命题成立；反之，如果承认这个命题的否定命题成立，又可推出这个命题成立 如果承认它是真的，经过一系列正确的推理，却又得出它是假的；如果承认它是假的，经过一系列正确的推理，却又得出它是真的．古今中外有不少著名的悖论，它们震撼了逻辑和数学的基础，激发了人们求知和精密的思考，吸引了古往今来许多思想家和爱好者的注意力．解决悖论难题需要创造性的思考，悖论的解决又往往可以给人带来全新的观念．悖论有三种主要形式：1．一种论断看起来好像肯定错了，但实际上却是对的（佯谬）．2．一种论断看起来 好像肯定是对的，但实际上却错了（似是而非的理论）．3．一系列推理看起来好像无懈可击，可是却导致逻辑上自相矛盾．事实上，悖论古已有之．一般认为，最早的悖论是古希腊的“说谎者悖论”，见于《新约全书·提多书》，属于语义学悖论．另一类悖论涉及数学中的集合论，被称为“数学悖论”或“集合论悖论”．在康托尔创立集合论不久，他自己就发现了问题，这就是1899年的“康托尔悖论”，亦称“最大基数悖论”．与此同时，还发现了其他集合论悖论，其中最著名的当属“罗素悖论”．1902年，英国数学家罗素提出了这样一个理论：以M 表示是其自身成员的集合的集合，N 表示不是其自身成员的集合的集合．然后问N 是否为它自身的成员？如果N 是它自身的成员，则N 属于M 而不属于N ，也就是说N 不是它自身的成员；另一方面，如果N 不是它自身的成员，则N 属于N 而不属于M ，也就是说N 是它自身的成员．无论出现哪一种情况都将导出矛盾的结论．1919年罗素给出了上述悖论的通俗形式，即“理发师悖论”：一天，萨维尔村理发师挂出一块招牌：“村里所有不自己理发的男人都由我给他们理发，我也只给这些人理发．”于是有人问他：“您的头发由谁理呢?”理发师顿时哑口无言．因为，如果他给自己理发，那么他就属于自己给自己理发的那类人．但是，招牌上说明他不给这类人理发，因此他不能自己理．如果由另外一个人给他理发，他就是不给自己理发的人，而招牌上明明说他要给所有不自己理发的男人理发，因此，他应该自己理．由此可见，不管怎样的推论，理发师所说的话总是自相矛盾的．课外活动·自己找借助图书馆或电脑网络系统查阅资料，了解集合论的有关著名悖论和英国哲学家、数学家罗素．习题练习·自己练1. 设集合{}{}31,,32,M x x m m Z N y y n n Z ==+∈==+∈,若,,x M y N ∈∈则x y 与集合M 、N 的关系是( )A ．x y M ∈B ．x y M ∉C ．x y N ∈D ．x y N ∉2. 设集合,,,22k M x x k Z N t t n t n n Z ππππ⎧⎫⎧⎫==∈===+∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭或，则集合M 、N 的有怎样的关系？为什么？3. 已知{}{}A C B C A B A 求,8,4,2,0,5,3,2,1,,==⊆⊆． 4. 已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧=1,,m n m M ，{}0,,2n m m N +=，若M=N ，求m 2008+n 2009． 5. 已知集合A={0，1}，B={x | x ∈A ，x ∈N ﹡} ，C={x | x ⊆ A } 则A 、B 、C 之间有怎样的关系？6. 已知集合A=},,53|{Z b a b a x x ∈+=，B=},,107|{Z n m n m y y ∈+=，判断A 与B 的关系并说明理由．7. 已知集合A={}Z b a b a x x ∈+=,,812|，B={}Z d c d c x x ∈+=,,1620|，求证A=B ．8. 已知集合A={x |－2k+6< x <k 2－3}，B={x |－k < x < k }，若AB ，求实数k 的取值范围． 9. 设含有10个元素的集合的全部子集数为S ，其中有3个元素组成的子集数为T ，则求ST的值．10. 已知集合A={ m | m=n 2+1，n ∈N *}，B={y |y=x 2－2x +2，x ∈N *}，研究A 与B 的关系，并给予证明．11. 已知A={ x | 22≤≤-x }，①若集合B={ x | a x ≤ }，满足A ⊆B ，求a 范围；②若集合C={x | 152+≤≤-a x a }，满足A ⊆C ，求a 的取值范围；③若把②中条件“A ⊆C ”改为“C ⊆A ”，求a 的取值范围．12. 设集合{123456}M =，，，，，， 12k S S S ，，，都是M 的含两个元素的子集，且满足：对任意的{}i i i S a b =，，{}j j j S a b =，（i j ≠，{123}i j k ∈、，，，，），都有min min j j i i i i j j a b a b b a b a ⎧⎫⎧⎫⎪⎪≠⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩⎭，，（min{}x y ，表示两个数x y ，中的较小者），求k 的最大值．1.3集合之间的运算 （Operation of Sets ）1. 交集考察集合A={ x | x 是我校在校女生}，B={ x | x 我校高一学生}与C={ x | x 是我校高一女生}之间的关系，易知集合C 是由所有既属于集合A 又属于集合B 的元素组成的．一般地，由集合A 和集合B 的所有公共元素组成的集合，叫做A 与B 的交集(intersection)．记作A ∩B ，读作“A 交B ”，即A ∩B=｛x |x ∈A 且x ∈B 用文氏图可以直观地表示A ∩B 的一般情况．由交集运算的定义，容易得到以下一些基本性质：(1)A ∩B= B ∩A ； (2)A ∩A=A ； (3)A ∩∅=∅；(4)A ∩B ⊆A ，A ∩B ⊆B ；(5)若A ∩B=A ，则有A ⊆B ；反之若A ⊆B ，则A ∩B=A ．例1. 设集合A={(x ，y )|3x －y=7}，集合B={(x ，y )|2x+y=3}，求A ∩B ．解：A ∩B =⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧=+=-32,73),(y x y x y x =⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧-==1,2),(y x y x ={(2,－1)}． 2. 并集一般地，由所有属于集合A 或者属于集合B 的元素组成的集合,叫做A 与B 的并集(union)．记作A ∪B ，读作“A 并B ”，即A ∪B=｛x |x ∈A 或x ∈B ｝．用文氏图可以直观地表示A ∪B 的一般情况．由并集运算的定义，容易得到以下一些基本性质：(1)A ∪B= B ∪A ； (2)A ∪A=A ； (3)A ∪∅= A ；(4)A ⊆A ∪B ，B ⊆A ∪B ；(5)若A ∪B=B ，则有A ⊆B ；反之若A ⊆B ，则A ∪B=B ．例2．设A=｛x |－1<x <2｝，B=｛x |1<x <3｝，求A ∩B ，A ∪B ．解：A ∩B=｛x |1<x <2｝，A ∪B=｛x |－1<x <3｝．例3．已知关于x 的方程3x 2+px －7=0的解集为A ，方程3x 2－7x +q =0的解集为B ， 若A ∩B =⎭⎬⎫⎩⎨⎧-31，求A ∪B ． 解： ∵A ∩B =⎭⎬⎫⎩⎨⎧-31，∴－31∈A 且－31∈B ． ∴3(－31)2+p (－31)－7=0且3(－31)2－7(－31)+q =0， ∴p =－20,q =－38． 由3x 2－20x －7=0得A ={－31，7}，由3x 2－7x －38=0得B ={－31，38}． ∴A ∪B ={－31，38，7}．3. 补集在给定的问题中，若研究的所有集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集(universe)．若A 是全集U 的子集，由U 中不属于A 的元素组成的集合，叫做集合A 在全集U 中的补集(complementary set)，记作A C U ，读作“A 补”，即{}A x U x x A C U ∉∈=,． 用文氏图可以直观地表示A C U 的一般情况．由并集运算的定义，容易得到以下一些基本性质：(1)=A C A U ∅； (2)U A C A U = ； (3)A A C C U U =)(．例4. 已知全集I={－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4}，A={－3，a 2，a +1}， B={a －3，2a －1，a 2+1}，其中a ∈R ，若A ∩B ={－3}，求C I （A ∪B ）．解：由a －3=－3或2a －1=－3，可求得A={－3，0，1}，B={－4，－3，2}，则A ∪B={－4，－3，0，1，2}，C I （A ∪B ）={－2，－1，3，4}．例5. 设U ={x | x <10，x ∈N *}，A ∩B={3}，(C u A )∩B={4，6，8}，A ∩(C u B )={1，5}， 求C u(A ∪B )，A ，B ．解： A ∪B 中的元素可分为三类：一类属于A 不属于B ；一类属于B 不属于A ；一类既属于A 又属于B ．由(C u A )∩B ={4,6,8}，即4,6,8属于B 不属于A ；由(C u B )∩A ={1,5}，即1,5属于A 不属于B ；由A ∩B ={3}，即3既属于A 又属于B ；又U ={x | x <10，x ∈N *}={1,2,3,4,5,6,7,8,9}， 若2属于A 不属于B ，则与(C u B )∩A ={1,5}矛盾，若2属于B 不属于A ，则与(C u A )∩B ={4,6,8}矛盾，而2∉ A ∩B ，∴2既不属于A 也不属于B ，同理7，9既不属于A 也不属于B ．综上，C u （A ∪B ）={2，7，9}，A={1,3,5}，B={3,4,6,8}．课堂活动·大家谈1. 关于集合的交、并、补的三种运算的性质是如何证明的？2. 设全集U={a ,b ,c ,d ,e }，A={a ,c ,d }，B={b ,d ,e }，通过计算A C U ，B C U ，)(B A C U ，)(B A C U ，B C A C U U 和B C A C U U ，在发现这些集合之间的关系后给予证明，并将结论推广到一般情形．课堂活动·自己想1. 思考性质“=A C A U ∅”的意义及作用，并进一步深刻理解引入空集概念的意义和作用．2. 思考集合A ，B ，A ∩B 和A ∪B 中元素的个数有何关系？课外活动·自己学容斥原理及其应用在计数时，为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理．对于有限集合P ，我们用n (P )表示P 中的元素个数．容斥原理（1）如果被计数的事物有A 、B 两类，那么，A 类或B 类元素个数= A 类元素个数+B 类元素个数－既是A 类又是B 类的元素个数．即 )()()()(B A n B n A n B A n ⋂-+=⋃． 容斥原理（2）如果被计数的事物有A 、B 、C 三类，那么，A 类或B 类或C 类元素个数= A 类元素个数+ B 类元素个数+C 类元素个数－既是A 类又是B 类的元素个数－既是A 类又是C 类的元素个数－既是B 类又是C 类的元素个数+既是A 类又是B 类而且是C 类的元素个数．即 )()()()()()()()(C B A n A C n C B n B A n C n B n A n C B A n +---++=．例6 对某学校的100名学生进行调查，了解他们喜欢看球赛、看电影和听音乐的情况．其中58人喜欢看球赛，38人喜欢看电影，52人喜欢听音乐，既喜欢看球赛又喜欢看电影的有18人，既喜欢听音乐又喜欢看电影的有16人，三种都喜欢的有12人，问有多少人只喜欢听音乐？解：设A ＝｛x | x 为喜欢看球赛的人｝，B ＝｛x | x 为喜欢看电影的人｝，C ＝｛x | x 为喜欢听音乐的人｝，则A ∩B ＝｛x | x 为既喜欢看球赛的人又喜欢看电影的人｝，B ∩C ＝｛x | x 为既喜欢听音乐又喜欢看电影的人｝，A ∩B ∩C ＝｛x | x 为三种都喜欢的人｝，A ∪B ∪C ＝｛x | x 为看球赛和电影、听音乐至少喜欢一种｝．则)(A n =58，)(B n =38，)(C n =52，)(B A n =18，)(C B n =16，)(C B A n =12，)(C B A n =100，由)()()()()()()()(C B A n A C n C B n B A n C n B n A n C B A n +---++=得)()()()()()()()(C B A n C B n B A n C B A n C n B n A n A C n +---++= ＝148－（100＋18＋16－12）＝26，所以，只喜欢听音乐的人共有n (C )－n (B ∩C )－n (C ∩A )＋n (A ∩B ∩C )＝52－16－26＋12＝22． 课外活动·自己找借助图书馆或电脑网络系统查阅英国数学家德·摩根的简介及德·摩根定理．习题练习·自己练1. 分别用集合符号表示下图的阴影部分：(1) (2)(3) (4)2. 设A={x | x ＞－2}, B={x |x ＜3}, 求A ∩B , A ∪B ．3. 已知A={2，－1，x 2－x +1}，B={2y ，－4，x +4}，C={－1，7}， 且A ∩B=C ，求A ∪B ．4. 若A 、B 、C 为三个集合，C B B A =，则一定有（ ）(A)C A ⊆ (B)A C ⊆ (C)C A ≠ (D)=A ∅5. 已知集合A={x ︱x ≤ 2}，B ={x ︱x > a }，在下列条件下分别求实数a 的取值范围：(1) A ∩B ＝∅；(2) A ∪B ＝R ；(3) 1∈A ∩B ．6. 设(){}N a a a A x x x f ∈≤≤=+-=,101|,36122，B A C =，{}A a a f b b B ∈==),(|，求：(1)集合C ；(2)C 的所有子集中的各个元素和的总和．7. 全集I={ x | x 为三角形}，A={ x | x 为锐角三角形}，B={ x | x 为钝角三角形}，C={ x | x为直角三角形}，D={ x | x 为斜角三角形}，求()()D C C B A C I I ．8. 设全集为U=Z ，{}Z k k x x M ∈==,2|，{}Z k k x x P ∈==,3|，求()P C M U ．9. 已知全集I=}32,3,2{2-+a a ，若}2,{b A =，}5{=A C I ，求实数b a ,．10. 已知全集U={}20|≤X x x 是质数且，A ，B 是U 的子集，且同时满足(){}5,3=B C A U ，(){}197，=B A C U ，()(){}17 2，=B C A C U U ，求A 和B ．11. 设全集(){}R y x y x U ∈=,|,，集合()⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈=--=R x x y y x A ,123|,， ①若(){}R y x x y y x B ∈+=,,1|,＝，B A U 求Ｃ；②若(){}R y x x y y x B ∈+≠=,,1|,，求()B A C U ．12. 某公司有120人，其中乘轨道交通上班的84人，乘汽车上班的32人，两种都乘的18人，求：（1）只乘轨道交通上班的人数；（2）不乘轨道交通上班的人数；（3）乘坐交通工具的人数；（4）不乘交通工具而步行的人数；（5）只乘一种交通工具的人数．二、四种命题的形式（Four Forms of Propositions ）1.4命题的形式及等价关系（The Forms of Propositions and Equivalent Relationship ）1. 命题与推出关系在初中，我们已经知道，判断真假的语句叫做命题(proposition)．命题通常用陈述句表述．正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题．一般地，命题是由题设（条件）和结论两部分组成的．题设是已知事项；结论是由已知事项推出的事项．命题常写成“如果…，那么…”的形式．具有这种形式的命题中，用“如果”开始的部分是题设，用“那么”开始的部分是结论．有些命题，没有写成“如果…，那么…”的形式，题设和结论不明显．对于这样的命题，要经过分折才能找出题设和结论，也可以将它们改写成“如果…，那么…”的形式． 命题的题设(条件)部分，有时也可用“已知……”或者“若……”等形式表述；命题的结论部分，有时也可用“求证……”或“则……”等形式表述．例1. 判断下列语句是否为命题？如果是命题，判断它们是真命题还是假命题？为什么？(1) 你是高一学生吗？(2) 过直线AB 外一点作该直线的平行线．(3) 个位数是5的自然数能被5整除．(4) 互为余角的两个角不相等．(5)竟然得到5＞9的结果!(6)如果两个三角形的三个角分别对应相等，那么这两个三角形相似．解：(1)、(2)、(5)不是命题，(3)、(4)、(6)是命题，其中(4)是假命题．(1)语句“你是高一学生吗？”是疑问句，不是判断语句，所以它不是命题．(2)语句“过直线AB外一点作该直线的平行线．”是祈使句，不是判断语句，所以它也不是命题．(3)此命题为真命题．这是因为个位数是0的自然数总可以表示为10k(k∈N)的形式，而10k=5·2k，所以10k能被5整除．(4)取一个角为45°，另一个角也为45°，它们互为余角，但是它们是相等的．所以“互为余角的两个角不相等．”是假命题．(5)语句“竟然推出6＞8的结果！”是感叹句，不是判断语句，所以它不是命题．(6)此命题为真命题．它是三角形相似的判定定理，在初中数学中已经给出证明．由例1的(4)可以看到，要确定一个命题是假命题，只要举出一个满足命题的条件，而不满足其结论的例子即可，这在数学中称为“举反例”．要确定一个命题是真命题，就必须作出证明，证明若满足命题的条件就一定能推出命题的结论．一般地，如果事件α成立可以推出事件β也成立，那么就说由α可以推出β，并用记号α⇒β表示，读作“α推出β”．换言之，α⇒β表示以α为条件，β为结论的命题是真命题．如果事件α成立，而事件β不能成立，那么就说事件α不能推出事件β成立，可记作αβ．换言之，α表示以α为条件，β为结论的命题是一个假命题．如果α⇒β，并且β⇒α，那么记作α⇔β，叫做α与β等价．显然，推出关系满足传递性：α⇒β，β⇒γ，那么α⇒γ．2.四种命题形式一个命题由条件和结论两部分组成，如果把原命题的条件和结论互换，所得的命题是原命题的逆命题( inverse proposition)，显然它们互为逆命题．例如，命题(1)“对顶角相等”和命题(2)“相等的角是对顶角”互为逆命题．如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定与结论的否定，则称这两个命题为互否命题，其中一个命题是另一个命题的否命题( negative proposition)．像命题(3)“不是对顶角的角不相等”与命题(1)是互否命题．如果将一个命题的结论的否定作为条件，而将此命题的条件的否定作为结论所得到的命题叫做原命题的逆否命题( inverse negative proposition)．如命题(4)“不相等的角不是对顶角”与命题(1)是互为逆否命题．若α为原命题条件，β为原命题结论，则其四种命题的形式及关系为：原命题：若α，则β；逆命题：若β，则α；否命题：若α，则β；逆否命题：若β，则α．例2. 写出命题：“若x + y = 5，则x = 3且y = 2”的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假．解：原命题：若x + y = 5，则x = 3且y = 2．。
第一章随机事件及其概率概率论是研究随机现象统计规律性的数学学科，它的理论与方法在自然科学、社会科学、工程技术、经济管理等诸多领域有着广泛的应用.从17世纪人们利用古典概型来研究人口统计、产品检查等问题到20世纪30年代概率论公理化体系的建立，概率论形成了自己严格的概念体系和严密的逻辑结构.本章重点介绍概率论的两个最基本的概念：随机事件与概率.主要内容包括：随机事件与概率的定义，古典概型与几何概型，条件概率，乘法公式，全概率公式与贝叶斯公式以及事件的独立性等.§1 随机事件1.1随机现象在自然界和人类社会生活中普遍存在着两类现象：必然现象和随机现象.在一定条件下必然出现的现象称为必然现象.例如，没有受到外力作用的物体永远保持原来的运动状态，同性电荷相互排斥等，都是必然现象.在相同的条件下可能出现也可能不出现的现象称为随机现象.例如，抛掷一枚硬币出现正面还是出现反面，检查产品质量时任意抽取的产品是合格品还是次品等，都是随机现象.在对随机现象进行大量重复观测时我们发现，一方面，在每次观测之前不能预知哪个结果出现，这是随机现象的随机性；另一方面，在进行了大量重复观测之后，其结果往往会表现出某种规律性.例如，抛掷一枚硬币，可能出现正面也可能出现反面，抛掷之前无法预知哪个结果出现，但在反复多次抛掷之后，正面出现的频率（即正面出现的次数与抛掷总次数的比值）在0.5附近摆动，这表明随机现象存在其固有的量的规律性.我们把随机现象在大量重复观测时所表现出来的量的规律性称为随机现象的统计规律性.表1.1记录了历史上研究随机现象统计规律性的最著名的试验——抛掷硬币的试验结果.表1.11.2 随机事件为了研究和揭示随机现象的统计规律性，我们需要对随机现象进行大量重复的观察、测量或者试验.为了方便，将它们统称为试验.如果试验具有以下特点，则称之为随机试验，简称为试验：1. 可重复性 试验可以在相同的条件下重复进行；2. 可观测性 每次试验的所有可能结果都是明确的、可观测的，并且试验的可能结果有两个或更多个；3. 随机性 每次试验将要出现的结果是不确定的，试验之前无法预知哪一个结果出现.我们用字母E 表示一个随机试验，用ω表示随机试验E 的可能结果，称为样本点，用Ω表示随机试验E 的所有可能结果组成的集合，称为样本空间.例1.1 抛掷一枚硬币，观察正面H 和反面T 出现的情况（将这两个结果依次记作1ω和2ω）,则试验的样本空间为1Ω ={出现H ，出现T } = {1ω,2ω}.例1.2 将一枚硬币抛掷三次，观察正面H 和反面T 出现的情况，则试验的样本空间为{,,,,,,,}2HHH HHT HTH THH HTT THT TTH TTT Ω=.例 1.3 将一枚硬币抛掷三次，观察正面出现的次数，则试验的样本空间为3Ω =}{3,2,1,0.例1.4 抛掷一枚骰子，观察出现的点数，则试验的样本空间为4Ω = }{6,5,4,3,2,1. 例 1.5 记录某机场问讯处一天内收到的电话次数，则试验的样本空间为5Ω = }{,2,1,0. 例 1.6 从一批电子元件中任意抽取一个，测试它的寿命（单位：小时），则试验的样本空间为6Ω = {t +∞<≤t 0}[0,)=+∞.在随机试验中，我们常常关心试验的结果是否满足某种指定的条件.例如，在例1.6中，若规定电子元件的寿命小于5000小时为次品，那么我们关心试验的结果是否有5000≥t .满足这一条件的样本点组成6Ω的子集{}5000≥=t t A ，我们称A 为该试验的一个随机事件.显然，当且仅当子集A 中的一个样本点出现时，有5000≥t .一般地，我们称随机试验E 的样本空间Ω的子集为E 的随机事件，简称为事件，用大写字母A ,B ,C 等表示.在每次试验中，当且仅当子集中的一个样本点发生时，称这一事件发生.特别地，由一个样本点组成的单点子集，称为基本事件.样本空间Ω作为它自身的子集，包含了所有的样本点，每次试验总是发生，称为必然事件.空集∅作为样本空间的子集，不包含任何样本点，每次试验都不发生，称为不可能事件.例1.7 在例1.3中，子集}0{=A 表示事件“三次均不出现正面”， 子集}3{=B 表示事件“三次均出现正面”，A 与B 都是基本事件.子集}1,0{=C 表示事件“正面出现的次数小于2”，子集}3,2,1{=D 表示事件“正面至少出现一次” .而事件“正面出现的次数不大于3”为必然事件，事件“正面出现的次数大于3”为不可能事件.1.3 随机事件的关系及运算在一个随机试验中，往往存在很多随机事件，每一事件具有各自的特征，彼此之间可能存在某种联系.为了通过对简单事件的研究来掌握复杂事件，我们需要研究事件间的关系及运算.由于事件是一个集合，因此事件的关系及运算与集合的关系及运算是相互对应的.在以下的讨论中，试验E 的样本空间为Ω，A ，B ，),2,1( =k A k 是试验E 的事件，也是Ω的子集.1. 事件的包含如果事件A 发生必然导致事件B 发生，即属于A 的每一个样本点一定也属于B ，则称事件B 包含事件A ，记作B A ⊂.显然，事件B A ⊂的含义与集合论中的含义是一致的，并且对任意事件A ,有A Ω∅⊂⊂.在例1.7中，有C A ⊂.2. 事件的相等如果事件A 包含事件B ，事件B 也包含事件A ，即A B ⊂且B A ⊂，则称事件A 与事件B 相等（或等价），记作B A =.显然，事件A 与事件B 相等是指A 和B 所含的样本点完全相同，这等同于集合论中的相等，实际上事件A 和事件B 是同一事件.3．事件的和“事件A 和事件B 至少有一个发生”这一事件称为事件A 和事件B 的和（或并），记作B A ，即B A ={事件A 发生或事件B 发生}={}B A ∈∈ωωω或. 在例1.7 中，{}3,1,0=C B . 事件的和可以推广到多个事件的情形：n i i A 1=={事件n A A A ,,,21 中至少有一个发生}，∞=1i i A ={事件12,,,,n A A A 中至少有一个发生}.4. 事件的积“事件A 和事件B 同时发生”这一事件称为事件A 与事件B 的积（或交），记作B A (或AB )，即B A ={事件A 发生且事件B 发生}={}B A ∈∈ωωω且，这与集合论中的交集的含义一致.在例1.7中，{}3=BD .事件的积可以推广到多个事件的情形： n i i A 1=={事件n A A A ,,,21 同时发生}，∞=1i i A ={事件 nA A A ,,,21同时发生}. 5. 事件的差“事件A 发生而事件B 不发生”这一事件称为事件A 与事件B 的差，记作B A -，即B A -={事件A 发生但事件B 不发生}={}B A ∉∈ωωω但.在例1.7中，{}3,2=-C D .6. 事件的互不相容如果事件A 与事件B 不能同时发生，也就是说，AB 是不可能事件，即AB =∅，则称事件A 与事件B 是互不相容的（或互斥的）.在例1.7中，事件B 与事件C 是互不相容的.7. 事件的互逆如果在每一次试验中事件A 与事件B 都有一个且仅有一个发生，则称事件A 与事件B 是互逆的（或对立的），并称其中的一个事件为另一个事件的逆事件（或对立事件）,记作B A =或A B =.显然互逆的两个事件A ，B 满足A B Ω=， AB =∅.在例1.7中，事件A 与事件D 是互逆的.图1.1（文氏图）直观地表示了上述关于事件的各种关系及运算.B A ⊂ B A B AB A - A 与 B 互不相容 A B =图1.1与集合的运算类似，事件的运算有如下的运算规律：（1）交换律 A B B A =,BA AB =；（2）结合律 )()(C B A C B A =,)()(BC A C AB =；（3）分配律 )()()(AC AB C B A =,）（C A B A BC A )()(=；（4）对偶律 B A B A = ，AB A B =.上述各种事件运算的规律可以推广到多个事件的情形.例１.８ 甲，乙，丙三人射击同一目标，令1A 表示事件“甲击中目标”，2A 表示事件“乙击中目标”， 3A 表示事件“丙击中目标” .用1A ,2A ,3A 的运算表示下列事件.（1） 三人都击中目标；（2） 只有甲击中目标；（3） 只有一人击中目标；（4） 至少有一人击中目标；（5） 最多有一人击中目标.解 用E D C B A ,,,,分别表示上述（1）~（5）中的事件.（1）三人都击中目标，即事件1A ,2A ,3A 同时发生，所以321A A A A =；（2）只有甲击中目标，即事件1A 发生，而事件2A 和3A 都不发生，所以321A A A B =；（3）只有一人击中目标，即事件1A ,2A ,3A 中有一个发生，而另外两个不发生，所以321321321A A A A A A A A A C =；（4）至少有一人击中目标，即事件1A ,2A ,3A 中至少有一个发生，所以321A A A D =；“至少有一人击中目标”也就是恰有一人击中目标，或者恰有两人击中目标，或者三人都击中目标，所以事件D 也可以表示成)(321321321A A A A A A A A A D =)()(321321321321A A A A A A A A A A A A ；（5）最多有一人击中目标，即事件1A ,2A ,3A 或者都不发生，或者只有一个发生，所以)()(321321321321A A A A A A A A A A A A E =；“最多有一人击中目标”也可以理解成“至少有两人没击中目标”，即事件321,,A A A 中至少有两个发生，所以313221A A A A A A E =.§2 随机事件的概率对于随机事件而言，在一次试验中可能发生也可能不发生，那么我们希望知道一个随机事件A 在一次试验中发生的可能性有多大，也就是事件A 在一次试验中出现的机会有多大.我们把用来表征事件A 在一次试验中发生的可能性大小的数值p 称为事件A 的概率.2.1 频率将随机试验在相同的条件下重复进行n 次，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事件A 发生的频数，而比值nn A 称为事件A 发生的频率，记作)(A f n ，即 nn A f A n =)(. 容易证明，频率)(A f n 满足下列性质：(1) 对于任一事件A ，0)(≥A f n ；(2) 对于必然事件Ω，()1n f Ω=；(3) 对于两两互不相容的事件 n A A A ,,,21（即当j i ≠时，有i j A A =∅， ,2,1,=j i ），有 ∑∞=∞==11)()(i i n i in A f A f .事件A 的频率反映了在n 次试验中事件A 发生的频繁程度.频率越大，表明事件A 的发生越频繁，这意味着事件A 在一次试验中发生的可能性越大；频率越小，意味着事件A 在一次试验中发生的可能性越小.然而频率)(A f n 依赖于试验次数以及每次试验的结果，而试验结果具有随机性，所以频率也具有随机性.大量试验表明，当n 较小时，频率的波动性较大，当n 增大时，频率的波动幅度随之减小，即频率)(A f n 呈现出稳定性，稳定地在某一常数p 附近摆动，而且摆动幅度越来越小.我们用p 这一数值表征事件A 在一次试验中发生的可能性的大小，称为事件A 的概率，记作()P A ，即()P A p =.表 1.1是历史上几位著名的科学家重复抛掷硬币的试验结果.不难看出，随着n 的增大，“正面朝上”这一事件的频率)(A f n 呈现出稳定性，在数值5.0附近摆动，所以事件“正面朝上”的概率为5.0.这种用频率的稳定值定义事件的概率的方法称之为概率的统计定义.随着对概率研究的深入，经过近三个世纪的漫长探索， 1933年前苏联数学家柯尔莫哥洛夫（Kolmogorov ）提出了概率的公理化体系，明确定义了基本概念，使得概率论成为严谨的数学分支，推动了概率论研究的发展.2.2 概率定义2.1 设试验E 的样本空间为Ω，如果对E 的每一个事件A ，都有唯一的实数)(A P 与之对应，并且)(A P 满足下列条件：（1）非负性 对于任一事件A ，有0)(≥A P ；（2）规范性 对于必然事件Ω，()1P Ω=；（3）可列可加性 对于两两互不相容的事件 n A A A ,,,21（即当j i ≠时，有i j A A =∅，（ ,2,1,=j i ），有∑∞=∞==11)()(i i i i A P A P ， 则称)(A P 为事件A 的概率.概率的这一定义称为公理化定义，它高度抽象因而具有广泛的适应性.在第五章我们将证明，当∞→n 时，频率)(A f n 在一定意义下收敛于概率)(A P ，可见概率的公理化定义涵盖了概率的统计定义.根据定义2.1，我们可以推出概率的重要性质，这些性质有助于我们进一步理解概率的概念，同时它们也是概率计算的重要依据.性质1 对于不可能事件∅，有()0P ∅=.证明 令(1,2,)i A i =∅=，则 n A A A ,,,21是两两互不相容的事件，且1i i A ∞==∅，根据概率的可列可加性有111()()()()i i i i i P P A P A P ∞∞∞===∅===∅∑∑. 由于实数()P 0∅≥，因此()0P ∅=.性质2 对于两两互不相容的事件n A A A ,,,21 （即当j i ≠时，有i j A A =∅，,1,2,,i j n =），有11()()nni i i i P A P A ===∑. 证明 令(1,2,)i A i n n =∅=++，根据概率的可列可加性有 ∑∑=∞=∞=====ni ii i i i n i i A P A P A P A P 1111)()()()( . 性质3 对于任一事件A ，有 )(1)(A P A P -=.证明 因为A A Ω=,AA =∅,由概率的规范性和性质2，有 1)()(=+A P A P ，于是 )(1)(A P A P -=.性质4 如果事件B A ⊂,则有)()(B P A P ≤,且)()()(A P B P A B P -=-.证明 因为B A ⊂，所以)(A B A B -= ,且()A B A -=∅,由性质2，有)()()(A B P A P B P -+=.又0)(≥-A B P , 所以)()(B P A P ≤，并且)()()(A P B P A B P -=-.对于任意两个事件A 与B ，由于AB B A B -=-,且B AB ⊂,根据性质4，可得)()()()(AB P B P AB B P A B P -=-=-.上式称为概率的减法公式.性质5 对任一事件A ，有 1)(≤A P .证明 因为A Ω⊂，由性质4和概率的规范性，可得1)(≤A P .性质6 对于任意两个事件A 与B ，有)()()()(AB P B P A P B A P -+= .证明 因为)(AB B A B A -= ,且()A B AB -=∅,B AB ⊂,由性质2和性质4，可得)()()()()()(AB P B P A P AB B P A P B A P -+=-+= . 上式称为概率的加法公式.加法公式可以推广到有限个事件的情形.例如，对任意三个事件C B A ,,，有)()()()(C P B P A P C B A P ++=)()()()(ABC P AC P BC P AB P +---.例2.1 设C B A ,, 是同一试验E 的三个事件，)()()(C B P A P == 31=,=)(AB P 81)(=AC P ,()P BC 0=.求： （1）)(A B P -；（2）)(C B P ；（3）)(C B A P .解 由概率的性质，可得 (1) 2458131)()()(=-=-=-AB P B P A B P ； (2) 3203131)()()()(=-+=-+=BC P C P B P C B P ； (3) 由于ABC BC ⊂,所以()()P ABC P BC ≤,亦即()P ABC 0=. 于是)()()()(C P B P A P C B A P ++=)()()()(ABC P AC P BC P AB P +--- 081081313131+---++=43=. 例2.2 已知4.0)(,2.0)(,5.0)(===B P B A P A P ，求：(1) )(AB P ；（2）)(B A P .解 （1）由题意，,2.0)()()()(=-=-=AB P B P A B P B A P )(B P 4.0=， 所以2.02.04.0)(=-=AB P ；（2） 由于5.05.01)(=-=A P ,2.0)(=AB P ，所以()()()()0.5+0.4-0.2=0.7P A B P A P B P AB =+-=，再由对偶律，有 3.07.01)(1)()(=-=-==B A P B A P B A P .2.3 古典概型概率的公理化定义只规定了概率必须满足的条件，并没有给出计算概率的方法和公式.在一般情形之下给出概率的计算方法和公式是困难的.下面我们讨论一类最简单也是最常见的随机试验，它曾经是概率论发展初期的主要研究对象.如果随机试验E 满足下列两个条件：（1）有限性 试验E 的基本事件总数是有限个；（2）等可能性 每一个基本事件发生的可能性相同，则称试验E 为古典概型（或等可能概型）.下面我们讨论古典概型中事件概率的计算公式.设试验E 的样本空间为{},,,12n Ωωωω=.显然基本事件{}1ω，{}2ω，··· ，{}n ω是两两互不相容的，且 {}{}{}12n Ωωωω=.由于()1P Ω=及)()()(21n P P P ωωω=== ，根据概率的性质，有)()()()(121i n nP P P P ωωωω=+++= （n i ,2,1=）， 即nP P P n 1)()()(21====ωωω .如果事件A 包含k 个基本事件，即{}{}{}k i i i A ωωω 21=，其中k i i i i ,,21是n ,,2,1 中的某k 个数，则有n k P P P A P k i i i =+++=)()()()(21ωωω ， 即()A P A Ω=包含的基本事件个数包含的基本事件总数. (2.1) 按公式（2.1），要计算古典概型中事件A 的概率，只需计算样本空间Ω所包含的基本事件总数n 以及事件A 所包含的基本事件个数k .这时常常要用到加法原理、乘法原理和排列组合公式.例2.3 将一枚硬币抛掷三次，求“恰有一次出现正面”的概率. 解 设A 表示事件“恰有一次出现正面” .由于试验的样本空间为{,,,,,,,H H H H H T H T H T H H H T T T H T T T H T T TΩ= ， 所以,基本事件总数8=n .又},,{TTH THT HTT A =, 即A 所包含的基本事件个数3=k .因此 83)(=A P . 在例2.3中，我们写出了试验的样本空间以及事件A 的集合表示，从而得到基本事件总数n 和事件A 所包含的基本事件个数k ，最后算出事件A 的概率.其实很多时候我们并不需要写出样本空间来，只要算出基本事件总数n 和A 所包含的基本事件数k ，就可以利用（2.1）式计算事件A 的概率.例2.4 一只箱子中装有10个同型号的电子元件，其中3个次品，7 个合格品.(1) 从箱子中任取1个元件，求取到次品的概率；(2) 从箱子中任取2个元件，求取到1个次品1个合格品的概率. 解 （1）从10个元件中任取1个，共有110C n =种不同的取法，每一种取法所得到的结果是一个基本事件，所以110C n =. 又10个元件中有3个次品，所以取到次品有13C 种不同的取法，即13C k =.于是取到次品的概率为131110C 3C 10p ==； (2) 从10个元件中任取2个，共有210C 种不同的取法, 所以210C n =.而恰好取到1个次品1个合格品的取法有1137C C 种，即1137C C k =,于是取到1个次品1个合格品的概率为 11372210C C 217C 4515p ===. 一般地，在N 件产品中有M 件次品，从中任取)(N n n ≤件，则其中恰有}),min{(M n k k ≤件次品的概率为 C C C kn k M N M n Np --=. 例2.5 某城市电话号码从七位数升至八位数，方法是在原先号码前加 6或8，求：（1）随机取出的一个电话号码是没有重复数字的八位数的概率1p ；（2）随机取出的一个电话号码末尾数是8的概率2p .解 电话号码的第一位数字只能是6或8，第一位有2种可能结果，而其余各位数字都可以是0到9这十个数中的任何一个，因此，每一位数字均有10种可能结果，于是基本事件总数7102⨯=n .（1） 取到没有重复数字的八位数号码有34567892⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯种不同的结果，所以0181.01023456789271=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=p ； （2）取到尾数是8的号码有11026⨯⨯种不同的结果，所以1.0102102762=⨯⨯=p . 例2.6 从9,8,7,6,5,4,3,2,1,0中任取三个数字，求下列概率：（1） 取到的三个数字不含0和5；（2） 取到的三个数字不含0或5.解 设A 表示事件“取到的三个数字不含0和5”，B 表示事件“取到的三个数字不含0或5”，基本事件总数为310C .（1）事件A 包含了38C 个基本事件，所以38310C 7()C 15P A ==； （2）设C 表示事件“取到的三个数字不含0”，D 表示事件“取到的三个数字不含5”，则D C B =，所以，事件B 发生的概率为)()()()()(CD P D P C P D C P B P -+== )()()(A P D P C P -+=333998333101010C C C C C C =+- 1514=. 在例2.6中我们看到，计算古典概型中事件的概率，有时需要和概率的性质结合在一起.事实上，题中事件B 的概率还有更简单的计算方法：B 表示事件“取到的三个数字既含0也含5”，从而18310C 14()1()1C 15P B P B =-=-=. 例 2.7 将n 个球随机地放入N （n N ≥）个箱子中，其中每个球都等可能地放入任意一个箱子，求下列事件的概率：（1）每个箱子最多放入1个球；（2）某指定的箱子不空.解 将n 个球随机地放入N 个箱子中，共有nN 种不同的放法，记（1）和（2）中的事件分别为A 和B .（1） 事件A 相当于在N 个箱子中任意取出n 个，然后再将n 个球放入其中，每箱1球，所以共有C !nN n ⋅ 种不同的放法，于是 C !()n Nn n P A N⋅=； （2） 事件B 的逆事件B 表示“某指定的箱子是空的”，它相当于将n 个球全部放入其余的1-N 个箱子中，所以 nnN N B P )1()(-=， 进而 (1)(1)()1()1n n nn n N N N P B P B N N---=-=-=. 例2.7的问题可以应用到其他不同的情形.例如，某班级有50名学生，一年按365天计算，则这50名学生生日各不相同的概率为P （生日各不相同）= 5036550C (50)!=0.03365⋅. 这里，50名学生的生日相当于“50个球”，一年365天相当于“365个箱子”，那么“50名学生生日各不相同”相当于 “每个箱子中最多放入1个球” .需要指出的是，人们在长期的实践活动中总结出这样的事实：小概率事件在一次试验中几乎不可能发生.这一事实通常被称作实际推断原理.由于上述50名学生生日各不相同的概率仅为03.0，所以我们可以预测这50名学生中至少有2人生日相同.例 2.8 某商场为促销举办抽奖活动，投放的n 张奖券中有)(n k k <张是有奖的，每位光临的顾客均可抽取一张奖券，求第)(n i i ≤位顾客中奖的概率.解 设A 表示事件“第i 位顾客中奖” .到第i 位顾客为止，试验的基本事件总数为(1)(2)(1)n n n n i ⋅-⋅-⋅⋅-+，而第i 个顾客中奖可以抽到k 张有奖券中的任意一张，其他顾客在剩余的1-n 张奖券中任意抽取，所以事件A 包含的基本事件数为(1)(2)(1)n n n i -⋅-⋅⋅-+k ⋅,于是 nk i n n n n k i n n n A P =+---+---=)1()2)(1()1()2)(1()( . 在上述解题过程中，我们只考虑了前i 个顾客的情形.如果把所有顾客的情形都考虑进去，那么试验的基本事件总数为!n .第i 个顾客中奖有k 种取法，其余1-n 位顾客将余下来的1-n 张奖券抽完，所以事件A 所包含的基本事件个数为)!1(-n k ，进而事件A 的概率为nk n n k A P =-=!)!1()(. 例2.8的结果表明，顾客中奖与否同顾客出现的次序i 无关，也就是说抽奖活动对每位参与者来说都是公平的，进而说明在现实生活中普遍存在的抽签活动是公平的：一组签中有若干好签和若干坏签，不论是先抽还是后抽，抽到好签的概率总是相同的.2.4 几何概型以有限性和等可能性为前提我们讨论了古典概型中事件概率的计算公式，下面我们将其推广到无限多个基本事件的情形，而这些基本事件也具有某种等可能性.如果试验相当于向面积为()S Ω的平面区域Ω内任意投掷一点（如图2.1），而这个点（称为随机点）落在Ω内任意一点的可能性相等，进而随机点落在Ω内任意子区域A 的可能性大小与A 的面积成正比，而与A 的位置和形状无关，我们称这样的试验为平面上的几何概型.设A 表示事件“随机点落在区域A 内”，)(A S 为区域A 的面积，并且事件A 的概率为)()(A kS A P =，其中k 为比例系数.由于()1P Ω=，所以()()1P k S ΩΩ==, 于是1()k S Ω=，进而有 ()()()S A P A S Ω= ， 即 图2.1()A P A Ω=的面积的面积. （2.2） 需要指出的是，如果试验相当于向直线上的区间内投掷随机点，则只需将（2.2）式中的面积改为长度，上述讨论依然成立；如果试验相当于向空间区域内投掷随机点，则只需将面积改成体积.例2.9 某人午觉醒来发现自己的表停了，便打开收音机收听电台报时.已知电台每个整点报时一次，求他（她）能在10分钟之内听到电台报时的概率.解 由于上一次报时和下一次报时的时间间隔为60分钟，而这个人可能在)60,0(内的任一时刻打开收音机，所以这是一个直线上的几何概型问题.用x 表示他（她）打开收音机的时刻，A 表示事件“他（她）能在10分钟之内听到电台报时”，则{060}x x Ω=<<，{5060}A x x Ω=<<⊂.于是 610605060)(=--=A P . 例 2.10 甲、乙两船在某码头的同一泊位停靠卸货，每只船都可能在早晨七点至八点间的任一时刻到达，并且卸货时间都是20分钟，求两只船使用泊位时发生冲突的概率.解 因为甲、乙两船都在七点至八点间的60分钟内任一时刻到达，所以甲到达的时刻x 和乙到达的时刻y 满足600<<x ，600<<y ，A Ω即),(y x 为平面区域{(,)060,060}x y x y Ω=<<<<概型问题.{(,A x y =（如图2.2=)(A P§3 条件概率3.1 条件概率假设A 和B 是随机试验E 的两个事件，那么事件A 或B 的概率是确定的，而且不受另一个事件是否发生的影响.但是，如果已知事件A 已经发生，那么需要对另一个事件B 发生的可能性的大小进行重新考虑.例3.1 一只盒子中装有新旧两种乒乓球，其中新球有白色4个和黄色3个，旧球有白色2个和黄色1个.现从盒子中任取一球.（1） 求取出的球是白球的概率1p ；（2）已知取出的球是新球，求它是白球的概率2p .解 设A 表示“取出的球是新球”，B 表示“取出的球是白球” .由古典概型有（1）53106)(1===B P p ； （2）2p 是在事件A 已经发生的条件下事件B 发生的概率.由于新球共有7个，其中有4个白球，因此，742=p . 由此可见，21p p ≠.为了区别，称2p 为在事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率，记作)(A B P ，即74)(2==A B P p . 由于AB 表示事件”取出的球是新球并且是白球”，而在10个球中，是新球并且是白球共有4个，所以104)(=AB P .又107)(=A P ,所以有 )(A B P =74=107104=)()(A P AB P . 容易验证，在一般的古典概型中，只要0)(>A P ，总有)(A B P =)()(A P AB P . 在几何概型中（以平面的情形为例），如果向平面区域Ω内投掷随机点（图2.3），A 表示事件“随机点落在区域A 内”，B 表示事件“随机点落在区域B 内”，那么图2.3)(A B P =AB AB A A ΩΩ=的面积的面积的面积的面积的面积的面积=)()(A P AB P . 一般地，我们有下面的定义.定义3.1 设A 和B 是试验E 的两个事件，且0)(>A P ，称)(A B P =)()(A P AB P （3.1） 为在事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率.容易验证，条件概率)(A B P 满足概率定义中的三个条件，即(1) 非负性 对于任意事件B ，有0)(>A B P ；(2) 规范性 对于必然事件Ω，有()1P A Ω=；(3) 可列可加性 对于两两互不相容的事件,,,21 B B 有 {()}()i i i 1i 1P B A P B A ∞∞===∑， 进而也满足概率的重要性质，例如()0P A ∅=；)(1)(A B P A B P -=；121212(())()()()P B B A P B A P B A P B B A =+-.在计算条件概率时，有时可以根据试验的结构，从条件概率的本质含义直接得到条件概率，有时则需要用定义3.1来计算条件概率.例3.2 口袋中有10个乒乓球，3个黄球，7个白球，从中任取一球观察颜色后不放回，然后再任取一球.（1）已知第一次取到的是黄球，求第二次取到的仍是黄球的概率；（2）已知第二次取到的是黄球，求第一次取到的也是黄球的概率. 解 设i A 表示“第i 次取到黄球”（2,1=i ），则1A 表示“第一次取到白球” .（1）已知1A 发生，即第一次取到的是黄球，那么第二次就在剩余的2个黄球和7个白球中任取一个，根据古典概型概率的计算公式，取到黄球的概率为92，即有 92)(12=A A P ； （2）已知2A 发生，即第二次取到的是黄球.由于第一次取球发生在第二次取球之前，所以问题的结构不像（1）那么直观，我们采用（3.1）式计算)(21A A P .15191023)(21=⨯⨯=A A P )()()()(121212122A A P A A P A A A A P A P +== =1039103791023=⨯⨯+⨯⨯， 所以 92103151)()()(22121===A P A A P A A P . 在例3.2中我们发现，“已知第一次取到的是黄球，第二次取到的仍是黄球”的概率与“已知第二次取到的是黄球，第一次取到的也是黄球” 的概率相等.事实上，尽管第一次取球时，可能取到的是10个球中的任意一个，但当我们知道第二次取到的是黄球之后，反过来推断，第一次取到的是2个黄球和7个白球中的一个，从而结果与（1）相同.例3.2中的这一现象是具有一般性的，作为练习，读者可以考虑a 个黄球和b 个白球的情形.3.2 乘法公式由条件概率的定义 3.1可知，对于任意两个事件A 和B ，如果0)(>A P ，则有 )()()(A B P A P AB P =. （3.2） 对称地，如果0)(>B P ，由)()()(B P AB P B A P = 有 ()()()P AB P B P A B =. （3.3） （3.2）和（3.3）式称为概率的乘法公式.对于有限个事件n A A A ,,,21 ，当0)(121≠-n A A A P 时，有。
