初三数学开学考试试卷

2024-2025学年陕西师大附中九年级（上）开学数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项是正确的）1．a ， b ，c ，d 是成比例线段，若 a = 3cm ， b = 2cm ，c = 6cm ，则线段d 的长为（ ）A ．3cmB ．4cmC ．5cmD ．6cm2．用配方法解方程2810x x -+=，变形后的结果正确的是（ ）A ．()245x -=B ．()2416x -=C ．()347x -=D ．()2415x -=3．若32x y =，则x y y+的值为（ ）A ．12B ．32C ．25D ．524．用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏（其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色），其中A 转盘被分成相等的两个扇形，B 转盘被分成相等的三个扇形．如果同时转动两个转盘，那么转盘停止时指针所指的颜色可配成紫色的概率是（ ）A ．12B ．13C ．14D ．165．已知反比例函数()0ky k x=¹与一次函数2y x =-的图象的一个交点的横坐标为3，则k 的值为（ ）A ．3-B ．1-C ．1D ．36．如图，在Rt ABC △中，4AB =，点D 是斜边BC 的中点，以AD 为边作正方形ADEF ．若正方形ADEF 的面积为16，则ABC V 的周长为（ ）A ．B ．12+C ．12D ．247．为执行“两免一补”政策，某地区2010年投入教育经费2500万元，预计2012年投入3600万元．设这两年投入教育经费的年平均增长率为x ，则下列方程正确的是（ ）A ．()2250013600x +=B ．225003600x =C ．()25001%3600x =+D ．()()225001250013600x x +++=8．若关于x 的一元二次方程2230kx x -+=有两个实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．13k <B ．13k £C ．13k <且0k ¹D ．13k £且0k ¹9．密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积y （单位：3m ）变化时，气体的密度r （单位：3kg /m ）随之变化．已知密度p 与体积y 是反比例函数关系，它的图象如图所示．则下列说法正确的是（ ）A ．函数解析式为7vr =B ．容器内气体密度r 随着气体的体积v 的增大而增大C ．当38kg /m r £时，31.25m v ³D ．当34kg /m r =时，33m v =10．如图，在菱形ABCD 和菱形BEFG 中，点A 、B 、E 在同一直线上，P 是线段DF 的中点，连接PG PC ，．若60ABC BEF Ð=Ð=°，则PGPC＝（ ）A B C D 二、填空题（共7小题，每小题3分，共21分）11．如图，123l l l ∥∥，342DE EF AB ===，，，则BC 的长为 ．12．已知菱形ABCD 的周长为40cm ，它的一条对角线长10cm ，则这个菱形较小的一个内角的度数为 ．13．为了估计暗箱里白球的数量(箱内只有白球)，将6个红球放进去，随机摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀后再摸出一个球记下颜色，多次重复后发现红球出现的频率约为0.4，那么可以估计暗箱里白球的数量大约为个.14．如图，在矩形ABCD 中，点E ，F 分别是AD ，BC 边的中点，连接EF ，若矩形ABFE 与矩形ABCD 相似，4AB =，则矩形ABCD 的面积为 ．15．如图，矩形OABC 的顶点B 和正方形ADEF 的顶点E 都在反比例函数()0ky k x=¹的图象上，点B 的坐标为()3,6，则点E 的坐标为 ．16．如图，已知等腰三角形ABC 中，20cm,30cm AB AC BC ===，点P 从点B 出发沿BA 以4cm/s 的速度向点A 运动；同时点Q 从点C 出发沿CB 以3cm/s 的速度向点B 运动，在运动过程中，当BPQ V 与AQC V 相似时，BP =cm ．17．如图，在矩形ABCD 中，8AB =，5BC =，点M 是AB 边的中点，点N 是AD 边上任意一点，将线段MN 绕点M 顺时针旋转90°，点N 旋转到点N ¢，则MBN ¢△周长的最小值为．三、解答题（共8小题，共69分）18．解下列方程：(1)()22118x +=；(2)2611x x -=；(3)23420x x --=；(4)()2155x x --=．19．如图，在ABC V 中，AM BC ∥．请用尺规作图法，在射线AM 上求作一点D ，使得DCA ABC :△△．（保留作图痕迹，不写作法）20．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 、F 分别在BC AD 、上，BE DF =， AC EF =．请判断四边形AECF 的形状，并说明理由．21．已知关于x 的方程()24240x k x k -+++=．(1)求证：无论k 为何值，方程总有实数根；(2)若方程的两个实数根为12,x x ，求代数式()()1222--x x 的值．22．如图，在ABC V 中，90ACB Ð=°，D 为边AB 上一点，且CD CA =，过点D 作DE AB ^．交BC 于点E ．求证：CDE CBD ∽△△．23．我校为落实国家“双减”政策，丰富课后服务内容．为学生开设五类社团活动（要求每人必须参加且只参加一类活动）音乐社团、体育社团、美术社团、文学社团、电脑编程社团．(1)小明从中任选一类社团活动，选到“体育社团”的概率是 ；(2)现从“文学社团”里表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加演讲比赛，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙两名同学的概率．24．某品牌纪念品每套成本为30元，当售价为40元时，平均每天的销售量为500套，经试销统计发现，如果该品牌纪念品售价每上涨1元，那么平均每天的销售量将减少10套，为了维护消费者利益，物价部门规定：该品牌纪念品售价不能超过进价的200%．设这种纪念品每套上涨x 元．(1)平均每天的销售量为______套（用含x 的代数式表示）：(2)商家想要使这种纪念品的销售利润平均每天达到8000元，求每套纪念品应定价多少元？25．数学活动课上，老师让同学们根据下面情境提出问题并解答．问题情境：在ABCD Y 中，点P 是边AD 上一点，将PDC △沿直线PC 折叠，点D 的对应点为E ．数学思考：（1）“兴趣小组”提出的问题是：如图1，若点P 与点A 重合，过点E 作EF AD ∥，与PC 交于点F ，连接DF ，则四边形AEFD 的形状为 ．拓展探究：（2）“智慧小组”提出的问题是：如图2，当点P 为AD 的中点时，延长CE 交AB 于点F ，连接PF ．试判断PF 与PC 的位置关系，并说明理由；问题解决：（3）“创新小组”在前两个小组的启发下，提出的问题是：如图3，当点E 恰好落在AB 边上时，6AP =，8PD =，30DC =，求AE 的长为 ．1．B【分析】根据a、b、c、d是成比例线段，得a：b＝c：d，再根据比例的基本性质，求出d 的值即可；【详解】解：∵a、b、c、d是成比例线段，∴a：b＝c：d，∵a＝3cm，b＝2cm，c＝6cm，∴d＝4cm；故选：B．【点睛】本题考查了比例线段，写比例式的时候一定要注意顺序，再根据比例的基本性质进行求解．2．D【分析】本题考查了解一元二次方程－配方法．利用解一元二次方程-配方法，进行计算即可解答．【详解】解：2810x x-+=，281x x-=-，2816116x x-+=-+，()2415x-=，故选：D．3．D【分析】本题考查了比例的性质，能灵活运用比例的性质进行变形是解此题的关键．根据题意求出32x y=，代入所求式子中，即可求出答案．【详解】解：∵32xy=，∴32 x y =∴3522y yx yy y++==，故选：D．4．D【分析】本题考查列表法或树状图法以及概率的计算方法，列举出所有等可能出现的结果是正确解答的关键．用树状图表示同时转动两个转盘指针所指颜色所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可．【详解】解：用树状图表示同时转动两个转盘指针所指颜色所有等可能出现的结果如下：共有6种等可能出现的结果，其中能配成紫色的有1种，所以同时转动两个转盘，那么转盘停止时指针所指的颜色可配成紫色的概率是16，故选：D ．5．A【分析】题目主要考查一次函数与反比例函数的交点问题，根据题意得出231y =-=-，代入反比例函数求解即可【详解】解：∵反比例函数()0ky k x=¹与一次函数2y x =-的图象的一个交点的横坐标为3，∴231y =-=-，∴13k-=，∴3k =-，故选：A 6．B【分析】此题重点考查正方形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理等知识，正确地求出BC 的长是解题的关键．由四边形ADEF 是面积为16的正方形，求得4=AD ，由Rt ABC △中，点D 是斜边BC 的中点，求得28BC AD ==，则AC ==12AB BC AC ++=+【详解】解：∵四边形ADEF 是面积为16的正方形，∴216=AD ，且0AD >，∴4=AD ，∵Rt ABC △中，4AB =，点D 是斜边BC 的中点，∴1,902AD BC BAC =Ð=°，∴28BC AD ==，∴AC ==∴12AB BC AC ++=+∴ABC V 的周长为12+，故选：B ．7．A【分析】由平均增长率公式为()1na xb += (a 为原来数，x 为平均增长率，n 为增长次数，b 为增长后的量)可列方程．【详解】设这两年投入教育经费的年平均增长率为x ，根据题意有：()2250013600x +=，故选：A ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程中增长率问题，求平均变化率的方法为：若设变化前的量为a ，变化后的量为b ，平均变化率为x ，则经过两次变化后的数量关系为()21a x b +=．8．D【分析】根据一元二次方程的定义及根的判别式即可解答．【详解】解：∵2230kx x -+=为一元二次方程，∴0k ¹，∵该一元二次方程有两个实数根，∴()22430k D =--´³，解得13k £，∴13k £且0k ¹，故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义及根的判别式，解题的关键是熟知当判别式的值大于0时，方程有两个不相等的实数根，同时要满足二次项的系数不能是0．9．C【分析】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是根据题意确定反比例函数的解析式，难度不大．利用待定系数法确定反比例函数的解析式，再逐一判定即可．【详解】解：设()0kk vr =>，将()2,5代入k vr =得52k =，解得10k =，10vr \=，故A 选项错误，不符合题意；容器内气体密度r 随着气体的体积v 的增大而减小，故B 选项说法错误，不符合题意；将8r =代入108r =得108v=，解得： 1.25v =，\当38kg/m r £时，31.25m v ³，故C 选项正确，符合题意；将34kg/m r =代入10vr =得104v =，解得32.5m v =，故D 选项错误，不符合题意．故选：C ．10．B【分析】本题考查了菱形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，正确的添加辅助线是解题的关键．延长PG 交CD 于点H ，证明DHP FGP △≌△，继而证明CH CG =，根据三线合一可知CP PG ^，进一步可得60PCG Ð=°，继而 可得答案．【详解】解：如图，延长PG 交CD 于点H ，∵P 是线段DF 的中点，∴FP DP =，由题意可知DC GF AE ∥∥，∴GFP HDP Ð=Ð，∵GPF HPD Ð=Ð，∴GFP HDP △≌△，∴GP HP GF HD ==，，∵四边形ABCD 是菱形，∴CD CB =，∴CG CH =，∴CHG △是等腰三角形，∴PG PC ^，又∵60ABC BEF Ð=Ð=°，∴18060120BCD Ð=°-°=°，∴60GCP Ð=°，∴PG PC=故选：B ．11．83【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算得到答案．【详解】解：∵123l l l ∥∥，∴DE AB EF BC=，∵342DE EF AB ===，，，∴324BC=，解得：83BC =，故答案为：83．12．60°##60度【分析】此题重点考查菱形的性质，等边三角形的判定与性质，正确地画出图形，并且推导出AB AD BD ==是解题的关键．由菱形的性质得AB CB AD CD ===，则440cm AB CB AD CD AB +++==，所以10cm AB AD ==，而10cm BD =，所以AB AD BD ==，则60A Ð=°，于是得到问题的答案．【详解】解：如图，四边形ABCD 是菱形，10cm BD =，∴AB CB AD CD ===，∵菱形ABCD 的周长为40cm ，∴440cm AB CB AD CD AB +++==，∴10cm AB AD ==，∵AB AD BD ==，∴ABD △是等边三角形，∴60A Ð=°，故答案为：60°．13．9【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．【详解】解：设暗箱里白球的数量是n ，则根据题意得：66n +=0.4，解得：n =9，经检验n =9为方程的解且符合题意，故答案为9．【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．14．【分析】根据相似多边形的性质列出比例式，计算即可．【详解】解：设AE ＝x ，则AD ＝2AE ＝2x ，∵矩形ABFE 与矩形ABCD 相似，∴AE AB AB AD=，即442x x =，解得，x 1＝，2x =-舍)，∴AD ＝2x ＝，∴矩形ABCD 的面积为AB •AD ＝，故答案为：【点睛】考查了相似多边形的性质，解题的关键是根据相似多边形的性质列出比例式，难度不大．15．()6,3【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质的应用，求反比例函数的解析式，由题意，首先根据B 的坐标求出k ，然后可设18,E a a æöç÷èø，再由正方形ADEF ，建立关于a 的方程，进而得解．【详解】解：Q 点B 的坐标为()3,6，且在反比例函数()0k y k x=¹的图象上，6318k =´=\，\反比例函数的解析式为18y x=，Q 点E 在反比例函数图像上，\设18,E a a æöç÷èø，183AD a ED a\=-==，16a \=或23a =-，0a >Q ，6a \=，()6,3E \，故答案为：()6,3．16．409或20【分析】本题考查了相似三角形的判定，等腰三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．分两种情况进行讨论．由等腰三角形的性质得出B Ð和C Ð对应相等，那么就要分成BP 和CQ 为对应边以及BP 和AC 为对应边两种情况．【详解】解：设运动时间为s x ，当BPQ CQA ∽V V 时，有BP BQ CQ AC=，即4303320x x x -=，解得：109x =，∴404cm 9BP x ==，当BPQ CAQ ∽V V 时，有BP BQ AC CQ=，即4303203x x x -=，解得：5x =或10x =-（舍去），∴420cm BP x ==，综上所述，当40cm 9BP =或20cm 时，BPQ V 与AQC V 相似，故答案为：409或20．17．4##4+【分析】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，勾股定理，确定点N ¢的轨迹是解题的关键．由旋转的性质结合AAS 证明AMN GMN ¢≌△△，推出4MG AM ==，得到点N ¢在平行于AB ，且与AB 的距离为4的直线上运动，作点M 关于直线EF 的对称点M ¢，连接M B ¢交直线EF 于点N ¢，此时MBN ¢△周长取得最小值，由勾股定理可求解．【详解】解：过点N ¢作EF AB ∥，交AD BC 、于E F 、，过点M 作MG EF ^垂足为G ，∵矩形ABCD ，∴AB CD ∥，∴AB EF CD ∥∥，∴四边形AMGE 和BMGF 都是矩形，∴90A MGN ¢Ð=Ð=°，由旋转的性质得90NMN ¢Ð=°，MN MN ¢=，∴90AMN NMG GMN ¢Ð=°-Ð=Ð，∴()AAS AMN GMN ¢V V ≌，∴142MG AM AB ===，∴点N ¢在平行于AB ，且与AB 的距离为4的直线上运动，作点M 关于直线EF 的对称点M ¢，连接M B ¢交直线EF 于点N ¢，此时MBN ¢△周长取得最小值，最小值为BM BM ¢+，∵142BM AB ==，448MM ¢=+=，∴44BM BM ¢+=+=+，故答案为：4+18．(1)122,4x x ==-(2)1233x x =+=-(3)12x x ==(4)121,6x x ==【分析】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，配方法，公式法，直接开平方法，准确熟练地进行计算是解题的关键．（1）利用解一元二次方程﹣直接开平方法进行计算，即可解答；（2）利用解一元二次方程﹣配方法进行计算，即可解答；（3）利用解一元二次方程﹣公式法进行计算，即可解答；（4）利用解一元二次方程﹣因式分解法进行计算，即可解答．【详解】（1）解：()22118x +=()219x +=13x +=±，13x +=或13x +=-，122,4x x ==-；（2）解：2611x x -=269119x x -+=+()2320x -=3x -=±3x -=3x -=-，1233x x =+=-（3）解：23420x x --=，()()24432400D =--´´-=>∴x =1x x =；（4）解：()2155x x --=()()2151x x -=-()()21510x x ---=()()1150x x ---éùû=ë()()160x x --=10x -=或60x -=，121,6x x ==．19．见详解【分析】作ACD B Ð=Ð，交AM 于点D ，点D 即为所求．【详解】如图所示，作ACD B Ð=Ð，交AM 于点D ，点D 即为所求，∵AM BC ∥，∴DAC ACB Ð=Ð，∵ACD B Ð=Ð，∴DCA ABC :△△．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，作一个角等于已知角，掌握以上知识是解题的关键．20．矩形，理由见解析【分析】此题考查了矩形的判定、平行四边形的性质，熟记矩形的判定、平行四边形的性质是解题的关键．根据平行四边形的性质可得AD BC =，AD BC ∥，再根据平行四边形的判定可得四边形AECF 是平行四边形，最后由矩形的判定方法可得结论．【详解】解：四边形AECF 是矩形，理由如下：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC =，AD BC ∥，∵BE DF =，∴AD DF BC BE -=-，即AF EC =，∵AF EC ∥，∴四边形AECF 是平行四边形，∵AC EF =，∴平行四边形AECF 是矩形．21．(1)见解析(2)0【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系等知识点，掌握相关结论即可．（1）根据一元二次方程根的判别式计算即可求解；（2）根据一元二次方程根与系数的关系可得，124x x k +=+，1224x x k ×=+，再整理代入()()()1212122224x x x x x x --=×-++即可求解．【详解】（1）解：∵()()22Δ44240k k k éù=-+-+=³ëû，∴方程总有实数根；（2）解：由根与系数的关系可得，124x x k +=+，1224x x k ×=+，∴()()1222x x --()121224x x x x =×-++()24244k k =+-++0=．22．见解析【分析】此题考查了相似三角形的判定，熟记相似三角形的判定定理是解题的关键．根据直角三角形的性质及垂直定义求出9090A B ADC CDE Ð+Ð=°Ð+Ð=°，，根据等腰三角形的性质求出A ADC Ð=Ð，进而求出CDE B Ð=Ð，再根据“两角对应相等的两个三角形相似”即可得证．【详解】证明：∵90ACB Ð=°，∴A B ÐÐ=°+90，∵DE AB ^，∴90ADE ADC CDE Ð=Ð+Ð=°，∵CD CA =，∴A ADC Ð=Ð，∴CDE B Ð=Ð，又∵DCE BCD Ð=Ð，∴CDE CBD ∽△△．23．(1)15(2)16【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后利用概率公式求出事件A 或B 的概率．（1）直接利用概率公式计算；（2）先画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出恰好选中甲和乙两名同学的结果数，然后根据概率公式计算．【详解】（1）解：根据题意：小明从中任选一类社团活动，选到“体育社团”的概率是15；（2）解：画树状图为：共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲和乙两名同学的结果数为2种，所以恰好选中甲和乙两名同学的概率21126=．24．(1)()50010x -(2)每套纪念品应定价50元．【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．（1）由题意即可得出结论；（2）设这种纪念品每套上涨x 元，则每套纪念品应定价为()40x +元，平均每天的销售量为()50010x -套，根据这种纪念品的销售利润平均每天达到8000元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．【详解】（1）解：由题意可知，平均每天的销售量为()50010x -套，故答案为：()50010x -；（2）解：设这种纪念品每套上涨x 元，则每套纪念品应定价为(40)x +元，平均每天的销售量为(50010)x -套，由题意得：()()4030500108000x x +--=，整理得：2403000x x -+=，解得：110x =，230x =（不符合题意，舍去），4050x \+=，答：每套纪念品应定价50元．25．（1）菱形；（2）PF PC ^，见解析；（3）152【分析】（1）由折叠的性质可知，AD AE DF EF DAF EAF ==Ð=Ð，，，再根据平行线的性质推出EFA EAF Ð=Ð，则EA EF =，进而推出AD DF EF AE ===，即可证明四边形AEFD 是菱形；（2）连接AE ．由折叠的性质可知，PD PE PEC PDC DPC EPC =Ð=ÐÐ=Ð，，，由180ADC DAB Ð+Ð=°，180PEC PEF Ð+Ð=°，得到DAB PEF Ð=Ð；由点P 是AD 的中点，得到PA PD PE ==，则PAE PEA Ð=Ð，进一步证明AEF EAF Ð=Ð，得到AF EF =，证明PAF PEF △≌△，得到APF EPF Ð=Ð，再根据平角的定义得到90FPC Ð=°，则PF PC ^；（3）延长CP 交BA 的延长线于点T ．设AE x =．由折叠的性质可知，30PCD PCE CD CE Ð=Ð==，，再证明T PCE Ð=Ð，得到30,30EC ET AT x ===-，证明PDC PAT △∽△，得到630830x -=，即可求出152AE =．【详解】解：（1）由折叠的性质可知，AD AE DF EF DAF EAF ==Ð=Ð，，，∵EF AD ∥，∴DAF EFA Ð=Ð，∴EFA EAF Ð=Ð，∴EA EF =，∴AD DF EF AE ===，∴四边形AEFD 是菱形；故答案为：菱形．（2）解：结论：PF PC ^．理由：连接AE ．由折叠的性质可知，PD PE PEC PDC DPC EPC =Ð=ÐÐ=Ð，，，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴180ADC DAB Ð+Ð=°，∵180PEC PEF Ð+Ð=°，∴DAB PEF Ð=Ð，∵点P 是AD 的中点，∴PA PD PE ==，∴PAE PEA Ð=Ð，∴DAB PAE PEF PEA Ð-Ð=Ð-Ð，∴AEF EAF Ð=Ð，∴AF EF =，∵PF PF =，∴()SSS PAF PEF V V ≌，∴APF EPF Ð=Ð，∵180DPC CPE EPF APF Ð+Ð+Ð+Ð=°，∴22180CPE FPE Ð+Ð=°，∴90FPC Ð=°，∴PF PC ^；（3）解：延长CP 交BA 的延长线于点T ．设AE x =．由折叠的性质可知，30PCD PCE CD CE Ð=Ð==，，∵CD BT ∥，∴T DCP Ð=Ð，∴T PCE Ð=Ð，∴30,30EC ET AT x ===-，∵AT CD ∥，∴PDC PAT △∽△，∴AP AT PD CD =，∴630830x -=，∴152x =，∴152AE =．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，折叠的性质，等腰三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，菱形的判定，全等三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线是解题的关键．。

初三数学假期反馈一、选择题（每小题3分，共24分）1. 下列运算正确的是（ ）A. 33a a a ⋅=B. 2()2a b a b −=−C. 325()a a =D. 2222a a a −=−【答案】D【解析】【详解】试题分析：A ．34a a a ⋅=，错误；B ．2()22a b a b −=−，错误；C ．326()a a =，错误；D ．2222a a a −=−，正确；故选D ．考点：1．幂的乘方与积的乘方；2．合并同类项；3．去括号与添括号；4．同底数幂的乘法．2. 用3个完全相同的小正方体组成如图所示的几何体，则它的俯视图是（ ）A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】试题分析：从上边看左边一个小正方形，右边一个小正方形，故B 符合题意．故选B ． 考点：简单组合体的三视图．3. 在一个不透明的布袋中装有3个白球和5个红球，它们除了颜色不同外，其余均相同．从中随机摸出一个球，摸到红球的概率是（ ）A. 15B.13C.38D.58【答案】D【解析】【详解】解：从装有3个白球和5个红球的布袋中随机摸出一个球，摸到红球的概率是55 358=+．故选：D．4. 在正方形、矩形、菱形、平行四边形、等腰梯形中，其中中心对称图形的个数是（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】C【解析】【详解】试题分析：正方形、矩形、菱形、平行四边形是中心对称图形，共4个，故选C．考点：中心对称图形．5. 如图，在半径为5cm的⊙O中，弦AB=6cm，OC⊥AB于点C，则OC等于（）A. 3 cmB. 4cmC. 5cmD. 6cm 【答案】B【解析】【分析】连接OA，根据垂径定理求出AC的长，根据勾股定理求出答案．【详解】连接OA，∵OC⊥AB，∴AC=12AB=3cm，∴OC=4．故选：B．6. 如图，在△ABC中，AC=4cm，线段AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN的周长是7cm，则BC的长为（）A. 1cmB. 2cmC. 3cmD. 4cm【答案】C【解析】【分析】利用线段垂直平分线的性质证得AN=BN即可求解.【详解】∵MN是线段AB的垂直平分线，∴AN=BN，∵△BCN的周长是7cm，∴BN+NC+BC=7（cm），∴AN+NC+BC=7（cm），∵AN+NC=AC，∴AC+BC=7（cm），又∵AC=4cm，∴BC=7﹣4=3（cm）．故选C．【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答的关键.7. 遂宁市某生态示范园，计划种植一批核桃，原计划总产量达36万千克，为了满足市场需求，现决定改良核桃品种，改良后平均每亩产量是原计划的1.5倍，总产量比原计划增加了9万千克，种植亩数减少了20亩，则原计划和改良后平均每亩产量各是多少万千克？设原计划每亩平均产量为x万千克，则改良后平均每亩产量为1.5x 万千克，根据题意列方程为( ) A. 36x －36+91.5x ＝20 B. 36x －361.5x ＝20 C. 36+91.5x －36x ＝20 D. 36x ＋36+91.5x ＝20 【答案】A【解析】【分析】根据题意可得等量关系：原计划种植的亩数﹣改良后种植的亩数=20亩，根据等量关系列出方程即可．【详解】解：设原计划每亩平均产量x 万千克，由题意得：36369201.5x x+−=， 故选A ．【点睛】本题考查列分式方程，掌握题目数量关系是解题关键．8. 二次函数2y ax bx c ++（0a ≠）的图象如图所示，下列结论：①20a b +>；②<0abc ；③240b ac −>；④0a b c ++<；⑤420a b c −+<，其中正确的个数是（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】 【分析】由二次函数的开口方向，对称轴1x >，以及二次函数与y 的交点在x 轴的上方，与x 轴有两个交点等条件来判断各结论的正误即可．【详解】解：① 二次函数的开口向下，<0a ∴，对称轴在1的右边，12b a∴−>， 20a b ∴+>，故①正确；②观察图象，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，0c ∴<，又 对称轴为2b x a =−在x 轴的正半轴上，故b x 02a=−>， 0a < ，>0b ∴．0abc ∴>，故②错误．③ 二次函数与x 轴有两个交点，∴△240b ac =−>，故③正确．④观察图象，当1x =时，函数值0y a b c =++>，故④错误；⑤观察图象，当2x =−时，函数值420y a b c =−+<，故⑤正确．故选：B ．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，解题的关键是要明确：①二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小：当0a >时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；②一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时（即0)ab >，对称轴在y 轴左；当a 与b 异号时（即0)ab <，对称轴在y 轴右．（简称：左同右异）③常数项c 决定抛物线与y 轴交点．抛物线与y 轴交于(0,)c ．二、填空题（本大题5小题，每小题4分，满分20分）9. 把96000000用科学记数法表示为___．【答案】79.610×【解析】【分析】根据科学记数法的定义：将一个数写成10n a ×（110a ≤<，n 为整数）的方法叫科学记数法直接求解即可得到答案；【详解】解：由题意可得，7960000009.610=×，故答案为：79.610×；【点睛】本题考查科学记数法的定义：将一个数写成10n a ×（110a ≤<，n 为整数）的方法叫科学记数法．10. 一个n 边形的内角和为1080°，则n =________．【答案】8【解析】【分析】直接根据内角和公式()2180n −⋅°计算即可求解．【详解】解：（n ﹣2）•180°=1080°，解得n =8．故答案为8．【点睛】主要考查了多边形内角和公式.多边形内角和公式：()2180n −⋅°．11. 某射击运动员在一次射击训练中，共射击了6次，所得成绩（单位：环）为：6、8、7、7、8、9，这组数据的中位数是_____．【答案】7.5．【解析】【分析】试题分析：根据中位数的概念求解．【详解】解：这组数据按照从小到大的顺序排列为：6、7、7、8、8、9， 则中位数为：782+=7.5． 故答案为7.5．12. 在半径为5cm 的⊙O 中，45°的圆心角所对的弧长为______cm ． 【答案】54π．【解析】【详解】试题分析：L=455180π×=54π．故答案为54π． 考点：弧长的计算．13. 如图，在ABC 中，90,6C AC BC ∠=°==．P 为边AB 上一动点，作PD BC ⊥于点D ，PE AC ⊥于点E ，则DE 的最小值为___________．的【答案】【解析】【分析】连接CP ，利用勾股定理列式求出AB ，判断出四边形CDPE 是矩形，根据矩形的对角线相等可得DE CP =，再根据垂线段最短可得CP AB ⊥时，线段DE 的值最小，然后根据直角三角形的面积公式列出方程求解即可．【详解】解：如图，连接CP ，∵90,6C AC BC ∠=°==，∴AB ，∵PD BC ⊥于点D ，PE AC ⊥于点E ，90ACB ∠=°， ∴四边形CDPE 是矩形，∴DE CP =，由垂线段最短可得CP AB ⊥时，线段CP 的值最小，此时线段DE 的值最小， 此时，1122ABC S AC BC AB CP ==△⋅⋅，代入数据：116622CP ⨯⨯=⨯，∴CP =，∴DE 的最小值为故答案为：【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理，判断出CP AB ⊥时，线段DE 的值最小是解题的关键．三、解答题（共56分）14. 先化简，再求值：211241m m m m m +÷−−−+，其中3m =−【答案】21m +，1− 【解析】 【分析】原式第一项利用除法法则变形，约分后利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，把m 的值代入计算即可求出值． 【详解】解：原式112(2)(2)1m m m m m m +=÷−−+−+ 1(2)(2)211m m m m m m +−=⋅−−++ 211m m m m +−++ 21m m m +−=+ 21m =+． 当3m =−时，原式221131m ===−+−+． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．15. 解不等式组()263125x x x −< +<+ ①②并将解集在数轴上表示出来．【答案】32x −<<，在数轴上表示见解析【解析】【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了”的原则是解答此题的关键．分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集并在数轴上表示出来即可．【详解】解：()263125x x x −< +<+ ①②， 由①得，3x >−，由②得，2x <，故此不等式组的解集为：32x −<<．在数轴上表示为：．16. 小明在学校组织的校园安全知识竞赛中，通过自己的努力，一路过关斩将，走到了最后一个环节．最后环节中，他还需要回答三道判断题，每道题只有正确和错误两种选择．由于三道题的答案小明均不确定；于是随机给出了三个结果．（1）小明回答第一道判断题，答对的概率是；（2）如果小明在最后一个环节中至少答对两道题就能获胜，那么他获胜的概率是多少？请用树状图来说明．【答案】（1）1 2（2）1 2【解析】【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．（1）直接利用概率公式求解可得；（2）画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得．【小问1详解】小明回答第一道判断题，答对的概率是12，故答案为：12；【小问2详解】画树状图如下：由树状图知共有8种等可能结果，其中至少答对两道题的有4种结果，所以他获胜的概率为4182=． 17. 如图，一次函数y kx b =+与反比例函数m y x=的图象交于A （1，4），B （4，n ）两点．（1）求反比例函数解析式；（2）求一次函数的解析式；（3）点P 是x 轴上的一动点，试确定点P 并求出它的坐标，使PA+PB 最小．【答案】（1）4y x =；（2）5y x =−+；（3）P （175，0）． 【解析】【分析】（1）把A 的坐标代入m y x =即可求出结果； （2）先把B 的坐标代入4y x =得到B （4，1），把A 和B 的坐标，代入y kx b =+即可求得一次函数的解析式；（3）作点B 关于x 轴的对称点B′，连接AB′交x 轴于P ，则AB′的长度就是PA+PB 的最小值，求出直线AB′与x 轴的交点即为P 点的坐标．【详解】（1）把A （1，4）代入m y x =得：m=4， ∴反比例函数的解析式为：4y x=； （2）把B （4，n ）代入4y x=得：n=1，∴B （4，1），把A （1，4），B （4，1）代入y kx b =+，得：414k b k b =+=+ ， ∴1{5k b =−=， ∴一次函数的解析式为：5y x =−+；的（3）作点B 关于x 轴的对称点B′，连接AB′交x 轴于P ，则AB′的长度就是PA+PB 的最小值，由作图知，B′（4，﹣1），∴直线AB′的解析式为：51733y x =−+，当y=0时，x=175， ∴P （175，0）．18. 如图，AB 为⊙O 的直径，直线CD 切⊙O 于点D ，AM ⊥CD 于点M ，BN ⊥CD 于N ．（1）求证：∠ADC=∠ABD ；（2）求证：AD 2=AM•AB ；（3）若AM=185，sin ∠ABD=35，求线段BN 的长． 【答案】（1）证明见试题解析；（2）证明见试题解析；（3）325． 【解析】【详解】试题分析：（1）连接OD ，由切线性质和圆周角定理即可得到结果；（2）证明△ADM ∽△ABD ，即可得到结论；（3）根据三角函数和勾股定理即可得到结果．试题解析：（1）连接OD ，∵直线CD 切⊙O 于点D ，∴∠CDO=90°，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB=90°，∴∠1+∠2=∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3，∵OB=OD ，∴∠3=∠4，∴∠ADC=∠ABD ； （2）∵AM ⊥CD ，∴∠AMD=∠ADB=90°，∵∠1=∠4，∴△ADM ∽△ABD ，∴AM AD AD AB=，∴AD 2=AM•AB ；的（3）∵sin ∠ABD=35，∴sin ∠1=35，∵AM=185，∴AD=6，∴AB=10，∴=8，∵BN ⊥CD ，∴∠BND=90°，∴∠DBN+∠BDN=∠1+∠BDN=90°，∴∠DBN=∠1，∴sin ∠NBD=35，∴DN=245，∴=325．考点：1．切线的性质；2．相似三角形的判定与性质．19. 如图，已知抛物线y =﹣x 2+2x +3与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，点P 是抛物线上一动点，连接PB ，PC ．（1）点A 坐标为___________，点B 的坐标为___________；（2）如图1，当点P 在直线BC 上方时，过点P 作PD ⊥x 轴于点D ，交直线BC 于点E ．若PE =2ED ，求△PBC 的面积； （3）抛物线上存在一点P ，使△PBC 是以BC 为直角边的直角三角形，求点P 的坐标．【答案】（1）(﹣1,0)，(3,0)（2）3 （3）(1,4)或(−2,−5)【解析】【分析】(1)根据抛物线解析式令y =0，求出A ，B 的坐标即可；(2)先求得点C 的坐标，再用待定系数法求得直线BC 的解析式；由PE =2ED 可得PD =3ED ，设P (m ,-m 2+2m +3)，则E (m ,-m +3)，用含m 的式子表示出PD 和DE ，根据PD =3ED 得出关于m 的方程，解得m 的值，则可得PE 的长，然后按照三角形的面积公式计算即可；的(3)分两种情况：①点C 为直角顶点；②点B 为直角顶点．过点C 作直线P 1C ⊥BC ，交抛物线于点P 1，连接P 1B ，交x 轴于点D ；过点B 作直线BP 2⊥BC ，交抛物线于点P 2，交y 轴于点E ，连接P 2C ，分别求得直线P 1C 和直线BP 2的解析式，将它们分别与抛物线的解析式联立，即可求得点P 的坐标．【小问1详解】解：令抛物线y =0，则−x 2+2x +3=0，解得：x 1=−1，x 2=3，∴A (−1,0)，B (3,0)；故答案为：(−1,0)，(3,0)；【小问2详解】解：在y =−x 2+2x +3中，当x =0时，y =3，∴C (0,3)，设直线BC 的解析式为y =kx +b ，将B (3,0)，C (0,3)代入，得：330b k b = +=， 解得13k b =− =， ∴直线BC 的解析式为y =−x +3，若PE =2ED ，则PD =3ED ，设P (m ,−m 2+2m +3)，∵PD ⊥x 轴于点D ，∴E (m ,−m +3)，∴−m 2+2m +3=3(−m +3)，∴m 2−5m +6=0，解得m 1=2，m 2=3(舍)，∴m =2，此时P (2,3)，E (2,1)，∴PE =2， ∴11112332222PBC S PE OD PE DB PE OB =⋅+⋅=⋅=××= ，∴△PBC 的面积为3；【小问3详解】解：∵△PBC 是以BC 为直角边的直角三角形，∴有两种情况：①点C 为直角顶点，如图，过点C 作直线P 1C ⊥BC ，交抛物线于点P 1，交x 轴于点D ，连接P 1B ，∵B (3,0)，C (0,3)，∴OB =OC =3，∴∠BCO =∠OBC =45°，∵P 1C ⊥BC ，∴∠DCB =90°，∴∠DCO =45°，又∵∠DOC =90°，∴∠ODC =45°=∠DCO ，∴OD =OC =3，∴D (−30)，∴直线P 1C 的解析式为y =x +3，联立2233y x x y x =−++ =+ ，解得14x y = = 或03x y = = (舍)；∴P 1(1,4)；,②点B 为直角顶点，如图，过点B 作直线BP 2⊥BC ，交抛物线于点P 2，交y 轴于点E ，连接P 2C ，∵P 1C ⊥BC ，BP 2⊥BC ，∴12PC BP ∥，∴设直线BP 2的解析式为y =x +b ，将B (3,0)代入，得0=3+b ，∴b =−3，∴直线BP 2的解析式为y =x −3，联立2233y x x y x =−++ =−， 解得25x y =− =− 或30x y = = (舍)， ∴P 2(−2,−5),综上，点P 的坐标为(1,4)或(−2,−5) ．【点睛】本题考查了抛物线与坐标轴的交点，用待定系数法求一次函数的解析式，抛物线与三角形有关的综合问题，解题的关键是能熟练运用数形结合的思想、分类讨论的思想熟练进行转化并求解．。

浙江省瑞安市安阳实验中学2024-2025学年九年级上开学考试数学试题一、单选题1．23的相反数是（ ）A ．32B ．23C ．32-D ．23-2．下列银行图标，属于中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．2024年巴黎奥运会开幕式选择在塞纳河举行．塞纳河包括支流在内的流域总面积为78700平方公里．其中数据78700用科学记数法表示为（ ） A ．278710⨯B ．37.8710⨯C ．47.8710⨯D ．50.78710⨯4．某校九年级学生中考体育选考项目组合情况的统计图如图所示．若九年级学生共有1000人，则选择跳远、游泳、篮球项目组合的有（ ）A ．350人B ．300人C ．200人D ．150人5．抛物线2(2)1y x =-++的顶点坐标是（ ） A ．(2,1)-B ．(2,1)C ．(1,2)D ．(1,2)-6．下列计算结果正确的是（ ）A ．236x y xy +=B ．112x y x y+=+C D ．222()xy x y =7．把一些图书分给某班学生阅读，若每人分3本，则剩余20本；若每人分4本，则缺25本．设这个班有学生x 人，则可以列方程为（ ） A ．320425x x -=+ B ．320425x x +=- C ．202534x x +-=D ．202534x x+=-8．如图，在ABC V 中，AB AC =，AD ，BE 均为ABC V 的高，连结DE 交AB 于点O ．若25C ∠=︒，则OEB ∠的度数为（ ）A ．65︒B ．60︒C ．55︒D ．50︒9．已知反比例函数(0)ky k x=<图象上有三个点()()()123,,1,,2,A b y B b y C b y +-，且满足123y y y <<，则b 的值可以为（ ）A ．2B ．1-C ．1D ．310．如图，在正方形ABCD 中，1AB =，点E 在AB 边上，以BE 为边向上作正方形BEFG ．在AE 上取点H ，连结HF ，以HF 为边作正方形NFHM ，连结DN ．若点M 落在边AD 上，则DN 的最小值为（ ）A ．15B C ．13D二、填空题11．分解因式：29a -=．12．甲，乙两位射箭运动员最近5次射击成绩的平均数均为8环，方差分别为：20.8S =甲环2，20.6S =乙环2，则（填“甲”或“乙”） 的射击成绩更为稳定．三、解答题13．不等式组26010x x -<⎧⎨+≥⎩的解集为．四、填空题14．若关于x 的方程2240x x m -+=有两个相等的实数根，则m 的值为．15．如图，在平面直角坐标系中，已知AOCB Y 的顶点(2,3)A -，顶点B ，C 均在反比例函数6(0)y x x=>图象上，且点B 在C 的左侧，则B 点的横坐标为．16．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点A ，C 分别在x 轴和y 轴的正半轴上，610OA OC ==，，点A ，B 关于直线()0y kx k =>的对称点分别为点E ，F ，当k 为时，直线EF 恰好经过点C ．五、解答题17．（1）计算：0(2024)|3|-． （2）化简：(3)(3)(1)a a a a +--+． 18．解方程（组）(1)2233x y x y +=⎧⎨+=⎩ (2)2450x x --=19．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC BD ，相交于点O ，AE BD ⊥于点E ，CF BD ⊥于点F ，连接AF CE ，．(1)求证：四边形AECF 是平行四边形；(2)若608AOB AC ∠=︒=，，求四边形AFCE 的面积．20．在学校组织的计算达人比赛中，每班参赛人数相同，成绩分为五个等级，依次为100分，90分，80分，70分和60分，王老师选取了甲、乙两个班级的成绩整理并绘制了统计图：（单位：分）(1)根据以上信息，求出表中a ，b 的值：a =______，b =______； (2)请分别求出甲、乙两个班级计算成绩的平均分；(3)根据（1）（2）中的统计量，你认为在此次计算比赛中，哪个班级的成绩更好？请说明理由．21．如图，在6×5的方格纸中，A ，B ，C 为三个格点，请按要求画出格点四边形．(1)在图1中作一个以A ，B ，C ，D 为顶点的平行四边形，使点D 落在格点上； (2)在图2中，连结AB ，AC ，作格点BCDE Y ，使BCDE ABC S S =Y △． 22．已知抛物线2y x bx c =++经过(2,0),(4,0)-． (1)求抛物线的表达式及对称轴；(2)若()()123,,,y n y 是抛物线上不同的两点，且1214y y +=，求n 的值；(3)将抛物线沿x 轴向左平移m （0m >）个单位长度，当21x -≤≤时，它的函数值y 的最小值为7，求m 的值．23．曹村灯会于2023年被评为浙江省级非物质文化遗产．为了扩大影响力，曹村镇人民政府准备举办为期1个月左右的花灯会．某商家看准商机，准备购进A ，B 两款音乐发光灯笼．已知B 款灯笼的进价比A 款贵6元，该商家用900元购进的A 款灯笼和用1080元购进的B 款灯笼的数量相同．(1)求A ，B 两款灯笼的进价分别为多少元？(2)该商家计划购进A ，B 两款灯笼共300个，并将A 款灯笼的售价定为35元/个，B 款灯笼的售价定为40元/个．设购进A 款灯笼x 个，售完这两款灯笼可获得利润为w 元． ①求w 与x 的函数关系式；②受市场影响，A 款灯笼进价上调m 元（12m <<），B 款灯笼的进价不变．该商家发现若购进B 款灯笼的数量不少于A 款数量的23时，则销售完这批灯笼至少可获得1110元利润，请求出m 的值？24．如图1，在平面直角坐标系中，四边形OABC 的顶点A 的坐标为 0,4 ，顶点C 在x 轴的正半轴上，且AB OA =，90ABC ∠=︒．过点C 的直线MN OB ∥，D 是直线MN 上的一个动点，BE OD ∥，交直线MN 于点E ．(1)求证：BC OC =；(2)当90OAB ∠=︒时，D 在x 轴的上方且OD OB =（如图2），求BED ∠的度数； (3)当120OAB ∠=︒时，点F ，G 分别在OC ，BC 上，60FAG ∠=︒（如图3）． ①试猜想OF ，BG ，GF 的数量关系，并加以证明．②当FG OA ∥，点D 正好落在射线AF 上时，求点E 到FG 的距离．。

浙江省浙派联盟2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题一、单选题1．下列各数中，最小的数是（ ） A ．2B ．1C ．12-D ．2-2．下列计算正确的是（ ） A ．523a a -=B ．632a a a ÷=C ．235a a a ⋅=D ．()325b b =3．近年来浙江全省数字产业保持年均两位数的增长，去年数字经济核心产业增加值达8977亿元，占地区生产总值比重达11.6％，数字经济核心产业营业收入达3.28万亿元，其中8977亿用科学记数法表示为（ ） A ．118.77910⨯B ．1089.7710⨯C ．120.897710⨯D ．108.97710⨯4．如图，有6个相同的立方体搭成的几何体，它的左视图是（ ）A ．B ．C ．D ．5．不等式组32x +≥的解集在数轴上表示为（ ） A ． B ． C ．D ．6．为了建设“书香校园”，某校开展捐书活动．某班40名学生捐书情况统计如下表：则该班学生所捐书本的中位数和众数分别是（ ）A ．3，3B ．4，12C ．3.5，3D ．4，127．如图，已知AB 是O e 的弦，C 为O e 上的一点，且OC AB ⊥于点D ，若25ABC ∠=︒，则OBD ∠的度数为（ ）A ．30︒B ．35︒C ．40︒D ．45︒8．我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题：今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百．今并买一顷，价钱一万．问善、恶各几何？意思是：今有好田1亩价值300钱，坏田7亩价值500钱．今用10000钱购入好、坏田共1顷（1顷100=亩）．问好田、坏田各有多少亩？如果设好田为x 亩，坏田为y 亩，那么可列方程组为（ ） A ．130050010000x y x y +=⎧⎨+=⎩B ．10030050010000x y x y +=⎧⎨+=⎩C ．1730010000500x y x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩D ．100500300100007x y x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩9．已知抛物线()20y ax bx a =+≠和直线()0y kx b k =+≠交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，其中120x x <<，且满足12x x <，则直线y ax k =+一定经过（ ） A ．第一、二象限 B ．第二、三象限C ．第三、四象限D ．第一、四象限10．如图，矩形ABCD ∽矩形DEFG ，连接AF 、CG 、DF ，要求出CDG V 的面积，只需要知道下面哪个图形的面积（ ）A ．矩形ABCD 的面积B ．四边形ABCG 的面积C ．DEF V 的面积D ．ADF △的面积二、填空题11．分解因式：24=a a -．12．某校计划组织研学活动，现有三个地点可供选择：博物馆、影视城、动物园．若从中随机选择一个地点，则选择动物园的概率为· 13．要使分式12x -有意义，x 的取值应满足． 14．我国木雕艺术历史悠久．如图1为一木雕的实物图，如图2此木雕可以近似的看作扇环，其中OC 长为0.2米，AC 长为0.5米，COD ∠为100︒，则木雕的面积（镂空部分忽略不计）为平方米．（结果保留π）15．如图，已知平行于y 轴的直线与双曲线()0,0a y a x x =>>，双曲线()0,0by b x x=>>分别相交于点A 、B ，AC 平行x 轴交双曲线()0,0by b x x=>>于点C ，BD 平行x 轴交y 轴于点D ，连接,AD CD ，且满足2BD AB =，AD 平分BDC ∠，则ba的值为．16．如图，正方形ABCD 的边长为2，以AB 边上的动点O 为圆心，OB 为半径作圆，将AOD △沿OD 翻折至A OD 'V ，若O e 过A OD 'V 一边上的中点，则O e 的半径为．三、解答题 17．计算：(1)()()()2213232x x x +++-(021-+18．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．ABC V 的顶点均在格点上，请用无刻度的直尺分别按要求画出下列图形．(1)将图1中的ABC V 绕点A 逆时针旋转90︒，画出旋转后的AB C ''△； (2)如图2，在AC 上找一点D ，使ABD △的面积与BCD △的面积之比为3:1．19．出行是人们日常生活必不可少的组成部分，某市多部门联合深化城市交通治理，塑造生态友好、文明友善的城市绿色出行体系，使城市交通向更低碳、更绿色、更高质量发展．为了了解本市市民出行情况，某数学兴趣小组对本市市民的出行方式进行了随机抽样调查．根据调查结果统计的数据，绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图．由图中给出的信息解答下列问题：(1)求此次调查的市民总人数，并补全条形统计图．(2)若本市某天的出行人次约为300万，则乘坐地铁或公交车这两种公共交通出行的人次约为多少万？(3)根据调查结果对市民的绿色出行提一条合理化的建议．20．如图1是我国古代提水的器具桔槔，创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿，大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直），小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井．当放松大竹竿时，小竹竿下降水桶就会回到井里．如图2是桔槔的示意图，大竹竿6AB =米，O 为AB 的中点，支架OD 垂直地面EF ．(1)当水桶在井里时，120AOD ∠=︒，求此时支点O 到小竹竿AC 的距离（结果精确到0.1m ）； (2)如图2，当水桶提到井口时，大竹竿AB 旋转至11A B 的位置，小竹竿AC 至11AC 的位置，此时1143AOD ∠=︒，求点A 上升的高度（结果精确到0.1m ）． 1.73，sin370.6︒≈，cos370.8︒≈，tan370.75︒≈）21．如图，已知矩形ABCD ，E 为BC 边上的一点，将ABE V 沿AE 翻折至AFE △，延长AF 交BC 于点G ，连接DG ．若5CG =，5cos 13ADG ∠=．(1)求AB 的长； (2)当45BE EG =时，求证：G 是EC 的中点． 22．手机已经成为现代人生活的重要组成部分，小明想重新选择一个合适的话费套餐． 素材1：小明通过收集并整理自己近六个月的话费账单得到如下数据：素材2：小明通过咨询话费套餐得到如下数据：套餐说明：①月手机资费=月租费+套餐外通话费+套餐外流量费； ②套餐外通话不足1分钟时按1分钟算；套餐外流量不足1G 时按1G 算． 请根据以上信息，解决下列问题：(1)小明每月的通话时长与月手机资费有关系吗？为什么？(2)小明分析账单发现自己每月上网流量波动较大，设每月上网流量为x (1020GB x <≤，x 为整数），每月手机资费为y 元，分别写出套餐A 、套餐B 中y 与x 之间的关系式； (3)从节省费用的角度考虑，小明应选择哪个套餐？ 23．在二次函数21y x ax =-++中()0a ≠， (1)当2a =时，①求该二次函数图象的顶点坐标； ②当03x ≤≤时，求y 的取值范围；(2)若()2,A a b -，(),B a c 两点都在这个二次函数的图象上，且b c <，求a 的取值范围． 24．如果过三角形一个顶点的线段将三角形分成两个三角形，其中的一个三角形与原三角形相似，且该三角形与原三角形的相似比为(1)如图1，已知BD 是ABC V 中AC 边上的中线，BC =4AC =，求证：ABC V 是和谐三角形；(2)如图2，在5×5的方格纸中，A 、B 在格点上，请画出一个符合条件的和谐ABC V ； (3)如图3，在（1）的条件下，作ABD △的外接圆O e ，E 是O e 上一点，且满足»»AE AB =，连接DE ，①设BD x =，BE y =，求y 关于x 的函数表达式； ②当AE BC ∥时，求O e 的半径．。

2024北京景山学校初三（下）开学考数 学2024年2月本试卷共8页，共100分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将答题卡交回．第一部分 选择题一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1. 根据北京市统计局发布的统计数据，2022年首都的各项事业都取得了新进展，其中GDP 总量达到41600亿元，数字41600用科学记数法可表示为（ ）A. 44.1610⨯B. 441.610⨯C. 54.1610⨯D. 50.41610⨯ 2. 有理数a 在数轴上的对应点的位置如图所示，若有理数b 满足b a <−，则b 的值可能是（ ）A. 2B. 2−C. 0D. 3−3. 下列图形中，是轴对称图形不是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D. 4. 若正多边形的内角和是540︒，则该正多边形的一个外角为（ ）A. 45︒B. 60︒C. 72︒D. 90︒ 5. 关于x 的一元二次方程2(3)210x k x k −+++=根的情况是（ ）A. 无实根B. 有实根C. 有两个不相等实根D. 有两个相等实根6. 为庆祝中国共产主义青年团成立100周年，某区举办了团课知识竞赛，甲、乙两所中学各派5名学生参加，两队学生的竞赛成绩如图所示，下列关系完全正确的是（ ）A. 22甲乙<S S ，x x =乙甲B. 22S S =甲乙，x x >甲乙 C. 22S S >甲乙，x x =乙甲 D. 22S S =甲乙，x x <甲乙 7. 不透明的袋子中装有两个红球和一个绿球，除颜色外三个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么两次都摸到红球的概率是（ ） A. 29 B. 13 C. 49 D. 238. 已知在正方形ABCD 中，P 是对角线BD 上一个动点，过P 作CD 、AD 的平行线分别交正方形ABCD 的边于E 、F 和M 、N ，若BP x =，图中阴影部分的面积为y ，则y 与x 之间的函数关系图象大致是（ ）A. B. C. D.二、填空题（本题共16分，每题2分）9. 方程3042x x=+的解是_______． 10. 分解因式：24x 8x 4−+=_______．11. 已知点()11,A m y −，()2,B m y 都在一次函数21y x =−+的图象上，那么1y 与2y 的大小关系是1y _____2y （填“>”，“=”“<”）12. 如图（示意图）所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE 测量建筑物的高度，已知标杆BE 的高为2.4m ，测得 1.8m AB =，13.2m BC =，则建筑物CD 的高为__________m ．13. .如图，在 Rt △ABC 中，∠B ＝90°，以点 A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB 、AC 于点 D ，E ，再分别以点 D、E 为圆心，大于DE 为半径画弧，两弧交于点F，作射线AF交边BC于点G，若 BG＝1，AC＝4，则△ACG 的面积是________.∠的值为__________．14. 如图，ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则cos ACB=．只需添加一个条件即可证明四15. 如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，BE DF边形AECF是矩形，这个条件可以是_______（写出一个即可）．16. 一次数学考试共有8道判断题，每道题5分，满分40分．规定正确的画√，错误的画×．甲、乙、丙、丁四名同学的解答及得分情况如下表所示，则m的值为__________．第三部分解答题三、解答题（共68分，第17－22题，每题5分，第23－26题，每题6分，第27－28题，每题7分）．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17.计算：113tan 304−⎛⎫︒− ⎪⎝⎭．18. 解不等式组：2631213x x x x −<⎧⎪−⎨−+≤⎪⎩． 19. 已知2310x x −−=，求代数式(23)(23)2(1)x x x x +−−−的值．20. 同学们在做题时，经常用到“在直角三角形中，30︒角所对的直角边等于斜边的一半”这个定理，下面是两种添加辅助线的证明方法，请你选择一种进行证明．已知在ABC 中，90,30∠=︒∠=︒C A ，求证：12BC AB =．法一：如图1，在AB 上取一点D ，使得BC BD =，接CD ．法二：如图2，延长BC 到D ，使得BC CD =，连接AD ．图1 图2你选择方法_______证明：21. 如图，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，BC ，EO 为矩形BECO 对角线，,BC AD AD EO =∥．（1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）连接DE ，若4,120AC BCD =∠=︒，DE 的值．22. 在平面直角坐标系xOy 中，直线121y x =−+与反比例函数()20k y k x=−≠图象的一个交点为点M ．（1）当点M 的坐标为()2,m 时，求k 的值；（2）当1x <−时，对于x 的每一个值，都有12y y >，直接写出k 的取值范围．23. 第二十四届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日至2月20日在北京举行，北京成为历史上第一座既举办夏奥会又举办冬奥会的城市．北京冬奥会的成功兴办掀起了全民“冬奥热”，某校九年级举行了两次“冬奥知识”竞赛．该校九年级共有学生480人参加了竞赛，从中随机抽取30名学生的两次竞赛成绩，小明对两次数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息：a ．小明在统计第二次竞赛成绩各分数段人数时，不小心污染了统计表：b ．将竞赛成绩按四舍五入取整后，得出的频数分布折线图如下（数据分组：45x ≤，4546x <≤，4647x <≤，4748x <≤，4849x <≤，4950x <≤）某校抽取30名学生的两次“冬奥知识”竞赛成绩折线统计图c ．两次竞赛成绩的平均数、中位数如下：（1）请补全折线统计图，并标明数据；（2）请完善c 中的统计表，m 的值是 ．（3）若成绩为46.5分及以上为优秀， 根据以上信息估计，第二次竞赛九年级约有 名学生成绩达到优秀；（4）通过观察、分析，小明得出这样的结论“在抽取30名学生的第一次竞赛成绩中，众数一定出现在4546x <≤这一组”．请你判断小明的说法 ．（填“正确”或“错误”），你的理由是 ． 24. 学校组织九年级学生进行跨学科主题学习活动，利用函数的相关知识研究某种化学试剂的挥发情况．在两种不同的场景A 和场景B 下做对比实验，设实验过程中，该试剂挥发时间为x 分钟时，在场景A ，B 中的剩余质量分别为1y ，2y (单位：克)．下面是某研究小组的探究过程，请补充完整：记录1y ，2y 与x 的几组对应值如下：（1）在同一平面直角坐标系xOy 中，描出上表中各组数值所对应的点()()12x y x y ，，，，并画出函数12y y ，的图象；（2）进一步探究发现，场景A 的图象是抛物线的一部分，1y 与x 之间近似满足函数关系210.04+y x bx c =−+．场景B 的图象是直线的一部分，2y 与x 之间近似满足函数关系()20y ax c a =+≠．请分别求出场景A ，B 满足的函数关系式；（3）查阅文献可知，该化学试剂的质量不低于4克时，才能发挥作用．在上述实验中，记该化学试剂在场景A ，B 中发挥作用的时间分别为A B x x ，，则A x B x (填“＞”，“=”或“＜”)． 25. 如图，AB 是O 的直径，C 为AB 延长线上一点．CD 为O 切线，D 为切点，OE BD ⊥于点H ，交CD 于点E ．（1）求证：BDC BOE ∠=∠；（2）若1sin 3C =，4=AD ， 求EH 和半径的长． 26. 在平面直角坐标系xOy 中，点()()12,,,x m x n 在抛物线2(0)y ax bx c a =++>上，设抛物线的对称轴为x t =．（1）若对于11x =，23x =，有m n =，求t 的值；（2）若对于11t x t −<<，223x <<，存在m n >，求t 的取值范围．27. 如图，在ABC 中，AB AC =，点D ，E 分别在边AC ，BC 上，连接DE ，EDC B ∠=∠．（1）求证：ED EC =；（2）连接BD ，点F 为BD 的中点，连接AF ，EF ．①依题意补全图形；②若AF EF ⊥，求BAC ∠的大小．28. 在平面直角坐标系xOy 中，将中心为T 的正方形记作正方形T ，对于正方形T 和点P （不与O 重合）给出如下定义：若正方形T 的边上存在点Q ，使得直线OP 与以TQ 为半径的T 相切于点P ，则称点P 为正方形T 的“伴随切点”．（1）如图，正方形T 的顶点分别为点O ，(2,2),(4,0),(2,2)A B C −．①在点123(2,1),(1,1),(1,1)P P P −中，正方形T 的“伴随切点”是_______；②若直线y x b =+上存在正方形T 的“伴随切点”，求b 的取值范围；（2）已知点(,1)T t t +，正方形T 的边长为2．若存在正方形T 的两个“伴随切点”M ，N ，使得OMN 为等边三角形，直接写出t 的取值范围．参考答案第一部分 选择题一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1. 【答案】A【分析】科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中110a ≤<，n 为整数，确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值>10时，n 是正数；当原数的绝对值<1时， n 是负数.【详解】解：41600用科学记数法表示为44.1610⨯；故选：A.【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法，解题的关键要记住科学记数法的表示形式，正确确定a 的值以及n 的值.2. 【答案】D【分析】根据a 的范围确定出b 的范围，进而判断出b 可能的取值．【详解】解：根据数轴上的位置得：23a <<，32a ∴−<−<−，b a <−，3b ∴≤−，故b 的值可能为3−，故选：D ．【点睛】此题考查了数轴，掌握用数轴比较大小是解本题的关键．3. 【答案】C【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可.【详解】解：A ．不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项A 不符合题意；B ．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故选项B 不符合题意；C ．是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项C 符合题意；D ．不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项D 不符合题意．故选：C ．【点睛】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180︒，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．4. 【答案】C【分析】根据多边形的内角和公式()2180n −•︒求出多边形的边数，再根据多边形的外角和是固定的360︒，依此可以求出多边形的一个外角． 【详解】正多边形的内角和是540︒，∴多边形的边数为54018025︒÷︒+＝，多边形的外角和都是360︒，∴多边形的每个外角360572÷︒＝＝．故选C ．【点睛】本题主要考查了多边形的内角和与外角和之间的关系，关键是记住内角和的公式与外角和的特征，难度适中．5. 【答案】C【分析】先求出24b ac −，再根据结果判断即可．【详解】根据题意，得222224(3)4(21)698425(1)44b ac k k k k k k k k −=+−+=++−−=−+=−+≥，∴这个方程有两个不相等的实数根．故选：C ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握24b ac −与一元二次方程根之间的关系是解题的关键．即当240b ac −＞时，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根；当240b ac −=时，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根；当240b ac −＜时，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠没有实数根．6. 【答案】D【分析】本题主要考查了求平均数和方差，分别求出两所中学5名学生的成绩的平均数和方差，即可求解．【详解】解：根据题意得：甲所中学5名学生的成绩为60，70，70，60，80，乙所中学5名学生的成绩为70，80，80，70，90， ∴()16070706080685x =++++=甲，()17080807090785x =++++=乙， ()()()()()222222160687068706860688068565S ⎡⎤=−+−+−+−+−=⎣⎦甲， ()()()()()222222170788078807870789078565S =⎡⎤−+−+−+−+−=⎣⎦乙， ∴22S S =甲乙，x x <甲乙．故选：D7. 【答案】C【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，其中两次都摸到红球的结果有4种，再由概率公式求解即可．【详解】解：画树状图如下：共有9种等可能的结果，其中两次都摸到红球的结果有4种， ∴两次都摸到红球的概率为49， 故选：C ．8. 【答案】D【分析】设在正方形ABCD 的边长为a ，首先可证得四边形AMPE 、FCNP 都是矩形，四边形BFPM 、EPND 都是正方形，可求得22BF FP PM BM BP x =====，2EP PN ND DE a x ====−，再由ABCD BFPM EPND S S S S =−−阴影正方形正方形正方形，即可求得则y 与x 之间的函数关系，据此即可判定．【详解】解：设在正方形ABCD 的边长为a ，四边形ABCD 是正方形，AB BC ∴=，45MBP FBP ∠=∠=︒，AB CD ∥，BC AD ∥，过P 作CD 、AD 的平行线分别交正方形ABCD 的边于E 、F 和M 、N ，∴四边形AMPE 、FCNP 都是矩形，∴四边形BFPM 、EPND 都是正方形，22BF FP PM BM BP x ∴=====，2EP PN ND DE a x ====−， ABCD BFPM EPND S S S S ∴=−−阴影正方形正方形正方形22222a x a x ⎛⎫⎛⎫=−−− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22221122a x a x =−−+−2x =−+()20,0y x x y ∴=−+≥≥，∴该函数的图象是开口向下的抛物线，故选：D ．【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，求函数解析式，几何问题与二次函数，准确求得函数解析式是解决本题的关键．二、填空题（本题共16分，每题2分）9. 【答案】0x =【分析】本题考查了解分式方程，根据解分式方程的步骤进行求解，即可． 【详解】解：3042x x =+ ∴30x =解得：0x =，经检验，0x =是原方程的解，故答案为：0x =．10. 【答案】()24x 1−．【分析】先提取公因式4后继续应用完全平方公式分解即可．【详解】解： ()()2224x 8x 44x 2x 14x 1−+=−+=−． 故答案为：()24x 1−．【点睛】本题考查因式分解，要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．11. 【答案】>【分析】根据一次函数解析式得出20k =−<，得出y 随着x 的增大而减小，根据1m m −<，即可求解．【详解】解：∵21y x =−+，20k =−<，∴y 随着x 的增大而减小，∵1m m −<，∴12y y >，故答案为：>．【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．12. 【答案】20【分析】根据正切等于对边比邻边，即可得到答案．【详解】解：由题意可得， tan BE DC A AB AC∠==，2.41.8 1.813.2DC =+， 解得20DC =，故答案为：20．【点睛】本题考查直角三角形正切的定义：直角三角形中一个锐角的正切等于对边比邻边．13.【答案】2【分析】先作GH ⊥AC 于H ，由题意可得BG=GH ，再根据面积公式即可得出答案.【详解】作GH ⊥AC 于H根据题意可得AG 是∠BAC 的角平分线∴BG=GH=1 ∴1114222ABC S GH AC =⨯⨯=⨯⨯=故答案为2.【点睛】本题考查的是角平分线，需要熟练掌握角平分线的做法.14. 【答案】5【分析】取格点D ，连接BD ，根据勾股定理分别求出BD =，CD =，BC =，即得出222BD CD BC +=，说明BCD △为直角三角形，最后根据余弦的定义求解即可．【详解】解：如图，取格点D ，连接BD ．∴BD ==CD ==221310BC ，∴222BD CD BC +=， ∴BCD △为直角三角形，∴cos5CD ACB BC ∠===．． 【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理，余弦的定义．正确的连接辅助线是解题关键．15. 【答案】AE BC ⊥（答案不唯一）【分析】根据矩形的判定方法即可求解．【详解】解：菱形ABCD ，BE DF =，∴AD DF BC BE −=−，即CE AF =，且AF CE =，∴四边形AECF 是平行四边形，根据矩形的判定，①四边形AECF 是平行四边形，AE BC ⊥，∴90AEC ∠=︒，平行四边形AECF 是矩形；②四边形AECF 是平行四边形，若CF AD ⊥，∴90AFC ∠=︒，平行四边形AECF 是矩形；故答案为：AE BC ⊥（答案不唯一）．【点睛】本题主要考查矩形，掌握矩形的判定方法是解题的关键．16. 【答案】30【分析】由乙丙的答案和得分可知第2,5题答案正确，进而判断其余6道题目的答案，再根据正确的答案判断丁的得分即可．【详解】因为乙丙的第2，525分，所以第2，5两题答案正确．又因为甲得30分，且第2，5题错误，可知其余6题答案均正确，可知这8道题目的答案为：×，×，×，√，√，×，√，×，可知丁的第2，8两题错误，所以得分为6530⨯=，则30m =．故答案为：30．【点睛】本题主要考查了推理论证，培养了学生阅读能力和逻辑推理能力，属于基础题型．第三部分 解答题三、解答题（共68分，第17－22题，每题5分，第23－26题，每题6分，第27－28题，每题7分）．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17. 【答案】4−【分析】首先根据特殊角的三角函数值、负整数指数幂的运算、二次根式的性质、去绝对值符号法则，进行运算，再进行二次根式的混合运算，即可求解．【详解】解：113tan304−⎛⎫︒− ⎪⎝⎭34=−−4=−−4=−【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值、负整数指数幂的运算、二次根式的性质、去绝对值符号法则、二次根式的混合运算，熟练掌握和运用各运算法则是解决本题的关键．18. 【答案】562x−<≤【分析】先求解每个不等式的解集，再求它们的公共部分即为不等式组的解集．【详解】解：2631213x xxx−<⎧⎪⎨−−+≤⎪⎩①②，解不等式①，得：6x>−解不等式②，得：52x≤，∴不等式组的解集为：562x−<≤【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的解法步骤并正确求解是解题关键．19. 【答案】7−【分析】根据2310x x−−=，得出231x x−=，将()()()232321x x x x+−−−化为()2239x x−−，求出结果即可．【详解】解：∵2310x x−−=，∴231x x−=，∴()()()232321x x x x+−−−224922x x x=−−+2629x x=−−()2239x x=−−219=⨯−7=−．【点睛】本题主要考查了化简求值，解题的关键是熟练掌握整式混合运算法则，准确计算．20. 【答案】见解析【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质；法一：在AB 上取一点D ，使得BC CD =，连接CD ，推出BCD △是等边三角形，再利用等角对等边证明AD CD =，据此即可证明12BC AB =； 法二：延长BC 到D ，使得BC CD =，连接AD ，推出AC 垂直平分BD ，证明ABD △是等边三角形，据此即可证明12BC AB =． 【详解】解：法一：在AB 上取一点D ，使得BC CD =，连接CD ，∵9030，∠=︒∠=︒C A ，=60B ∴∠︒，BCD ∴△是等边三角形，60BDC ∴∠=︒，CD BD =，6030DCA A A ∴∠=︒−∠=︒=∠，AD CD DB BC ∴===，12BC AB =∴; 法二：延长BC 到D ，使得BC CD =，连接AD ，∵90ACB ∠=︒，∴AC 垂直平分BD ，∴AD AB =，∵在ABC 中，90ACB ∠=︒，30BAC ∠=︒，60B ∴∠=︒，ABD ∴是等边三角形，2AB BD BC ∴==，即12BC AB =．21. 【答案】（1）见解析 （2）DE =【分析】（1）由矩形的性质可得OE CB =，90BOC ∠=︒，结合AD EO =可得AD CB =，结合BC AD ∥，可证四边形ABCD 是平行四边形，再根据90BOC ∠=︒可证四边形ABCD 是菱形；（2）先根据已知条件和（1）中结论证明ABC 是等边三角形，进而求出AO ，BO ，再利用勾股定理解Rt DBE 即可．【小问1详解】 证明：四边形BECO 是矩形，OE CB ∴=，90BOC ∠=︒，AD EO =，AD CB ∴=，AD BC ∴∥，∴四边形ABCD 是平行四边形．90BOC ∠=︒，∴平行四边形ABCD 是菱形．【小问2详解】解：如图，连接DE ，四边形ABCD 是菱形，∴AB BC CD AD ===，AB CD ∥，AC BD ⊥，∴180BCD ABC ∠+∠=︒，120BCD ∠=︒，∴18060ABC BCD ∠=︒−∠=︒，∴ABC 是等边三角形，AC BD ⊥，4AC =，∴122AO OC AC ===，∴BO ===，∴2BD BO ==，四边形BECO 是矩形，2BE OC ∴==，90OBE ∠=︒，∴DE ===．【点睛】本题考查菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理解直角三角形等，难度一般，解题的关键是掌握菱形的判定方法．22. 【答案】（1）6k =（2）0k <或03k <≤【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数的综合；（1）把点M 的坐标为()2,m 代入一次函数，可求出m 的值，再代入反比例函数即可求解；（2）根据题意算出一次函数过=1x −时的函数值，再根据当1x <−时，对于x 的每一个值，都有12y y >，分类讨论：①当0k >时；②当0k <时．由此即可求解．【小问1详解】解：∵点M 的坐标为()2,m ，且点M 在直线121y x =−+的图像上，∴221m −⨯+=，即3m =−，∴(2,3)M −，把(2,3)M −代入反比例函数得，2(3)6k xy −==⨯−=−，∴反比例函数解析式为6y x=−， ∴6k =．【小问2详解】解：当=1x −时，1212(1)13y x =−+=−⨯−+=，如图所示，∴当1x <−时，13y >，若当1x <−时，对于x 的每一个值，都有12y y >，∴①当0k <时，反比例函数在第一、三象限，当1x <−时，对于x 的每一个值，都有12y y >； ②当0k >时，反比例函数在第二、四象限，要使12y y >，则当1x <−时，203y <≤，即03k <≤， ∴03k <≤；综上所述，当0k <或03k <≤时，当1x <−时，对于x 的每一个值，都有12y y >．23. 【答案】（1）见解析 （2）49.5m =（3）384 （4）错误，成绩 4546x <≤的分数可以是45.5或46这两个分数，虽然这一组人数最多，但也可能出现在45x ≤或4950x <≤这两组中【分析】(1）计算出成绩为4546x <≤的学生人数，补全折线统计图即可；(2）根据平均数和中位数即可得到结论；(3）求出成绩为26.5分及以上的人数占调取的30名学生的百分数x 九年级的总人数即可得到结论； (4）根据众数的定义即可得到结论．【小问1详解】成绩为46分的学生人数为：301821324−−−−−=；补全折线统计图如图【小问2详解】49.5m =；故答案为：49.5．【小问3详解】1321848038430+++⨯=（名）； 故答案为：384．【小问4详解】错误，理由：成绩 4546x <≤的分数可以是45.5或46这两个分数，虽然这一组人数最多，但也可能出现在45x ≤或4950x <≤这两组中．【点睛】本题考查了频数（率）分布折线图，平均数，中位数，众数，正确的理解题意是解题的关键． 24. 【答案】（1）见详解 （2）210.040.125y x x =−−+，225y x =−+（3）＞【分析】本题主要考查了二次函数的应用，读懂题意是解答本题的关键．（1）依据题意，根据表格数据描点，连线即可作图得解；（2）根据函数图象确定点的坐标，利用待定系数法解答即可；（3）依据题意，分别求出当4y =时x 的值，即可得出答案．【小问1详解】解：由题意，作图如下．；【小问2详解】解：由题意，场景A 的图象是抛物线的一部分，1y 与x 之间近似满足函数关系210.04y x bx c =−++. 又点()()0251020，，，在函数图象上， ∴250.041021020c b c =⎧⎨−⨯++=⎩． 解得：0.125b c =−⎧⎨=⎩． ∴场景A 函数关系式为210.040.125y x x =−−+．对于场景B 的图象是直线的一部分，2y 与x 之间近似满足函数关系2.y ax c =+又()()0251020，，，在函数图象上， ∴251015c a c =⎧⎨+=⎩． 解得：251c a =⎧⎨=−⎩． ∴场景B 函数关系式为225y x =−+．【小问3详解】解：由题意，当4y =时，场景A 中，20A x =，场景B 中，425B x =−+，解得：21B x =，∴A B x x <．25. 【答案】（1）见解析 （2）1EH =【分析】（1）连接OD ，根据圆周角定理得到90ADB ∠=︒，根据平行线的判定与性质得到BOE ADO ∠=∠，根据切线的性质得到90CDO ∠=︒，通过等量代换即可得到结论；（2）根据等腰三角形的性质及三角形中位线定理，得到122OH AD ==，设OD r =，3OC r =，证明COE CAD ∽，根据相似三角形的性质，可求得OE 的长，即可求得EH 的长；再根据相似三角形的判定，可证得EDH BOH ∽，利用相似三角形的性质及勾股定理，即可求得半径的长．【小问1详解】证明：如图：连OD ，OA OD =，A ADO ∴∠=∠ AB 为直径，90ADB ∴∠=︒，AD BD ∴⊥，ADO ODB 90∠+∠=︒OE BD ⊥OE AD ∴∥，BOE A ∴∠=∠，BOE ADO ∴∠=∠ CD 为O 切线，OD CD ∴⊥，90ODE ∠=︒，90BDC ODB ∴∠+∠=︒，BDC ADO ∴∠=∠，BDC BOE ∴∠=∠；【小问2详解】解：OE BD ⊥，OB OD =，∴点H 是BD 的中点，OE AD ∥∵，点O 是AB 的中点，OH ∴是ABD △的中位线，122OH AD ∴==，BH DH =，1sin 3OD C OC ==，∴设OD r =，则3OC r =，34AC r r r ∴=+=，//OE AD ，COE CAD ∴∽，A CO CA OE D ∴=， 344r OE r ∴=， 解得3OE =，321EH OE OH ∴=−=−=，EHD BHO ∠=∠，EDH BOH ∠=∠EDH BOH ∴∽，EH DH BH OH∴=，BH DH EH OH ⋅=⋅， H 为BD 的中点，BH DH ∴=，2122DH EH OH ∴=⋅=⨯=∴在Rt ODH 中，OD ===，O ∴．【点睛】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，平行线的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．26. 【答案】（1）2t =（2）t 的取值范围是14t <<【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键．（1）根据二次函数的性质求的对称轴即可求解．（2）根据题意可得当x t ≥时，y 随x 的增大而增大；当x t ≤时，y 随x 的增大而减小，设抛物线上的四个点的坐标为()1,A A t m −，(),B B t m ，()2,C C n ，()3,D D n 可得A B m m >，分情况讨论是否存在m n >即可解答．【小问1详解】解：由题意知，93a b c a b c ++=++．4b a ∴=−．22b t a∴=−=． 【小问2详解】0a >，∴当x t ≥时，y 随x 的增大而增大；当x t ≤时，y 随x 的增大而减小．设抛物线上的四个点的坐标为()1,A A t m −，(),B B t m ，()2,C C n ，()3,D D n ．∴点A 关于对称轴x t =的对称点为()1,A A t m '+．抛物线开口向上，点B 是抛物线顶点，A B m m ∴>．ⅰ．当1t ≤时，C D n n <．12t ∴+≤．A C m n ∴≤．∴不存在m n >，不符合题意．ⅱ．当12t <≤时，C D n n <．213t ∴<+≤．A C m n ∴>．∴存在m n >，符合题意．ⅲ．当23t <≤时，n ∴的最小值为B m ．A B m m >，∴存在m n >，符合题意．ⅳ．当34t <<时，D C n n <．213t ∴<−<．A D m n ∴>．∴存在m n >，符合题意．ⅴ．当4t ≥时，D C n n <．13t ∴−≥．A D m n ∴≤．∴不存在m n >，不符合题意．综上所述，t 的取值范围是14t <<．27. 【答案】（1）见解析 （2）①见解析 ②90BAC ∠=︒【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．（1）根据等边对等角得到B C ∠=∠，进而得到EDC C ∠=∠，再根据等校对等边即可得到结论； （2）①根据题意补图即可；②延长EF 至点G ，使GF EF =，连接,,,AG BG DG AE ，则四边形BEDG 是平行四边形，然后推导ABG ACE ≌，得到ABG ACE ∠=∠，然后得到BAC BED CED ∠=∠=∠，180BED CED ∠+∠=︒即可得到结论．【小问1详解】证明：∵AB AC =，∴B C ∠=∠，又∵EDC B ∠=∠，∴EDC C ∠=∠，∴ED EC =；【小问2详解】①如图所示,②延长EF 至点G ，使GF EF =，连接,,,AG BG DG AE ，∵点F 为BD 的中点，∴四边形BEDG 是平行四边形，∴BG DE =，BG DE ，∵,GF EF AF EF =⊥，∴AF 垂直平分EG ，∴AG AE =，由（1）得:DE CE =，又∵BG DE =，∴BG CE =，∴ABG ACE ≌，∴ABG ACE ∠=∠，又∵180ACE ABE BAC ∠+∠+∠=︒，∴180ABG ABE BAC ∠+∠+∠=︒，∴180EBG BAC ∠+∠=︒，∴180EBG BAC ∠+∠=︒，∵BG DE ，∴180EBG BED ∠+∠=︒，又∵180EBG BAC ∠+∠=︒，∴BAC BED ∠=∠，∵180BAC ABC C ∠+∠+∠=︒，180CED EDC C ∠+∠+∠=︒，EDC ABC ∠=∠，∴BAC CED ∠=∠，又∵BAC BED ∠=∠，∴BAC BED CED ∠=∠=∠，∵180BED CED ∠+∠=︒，∴2180BAC ∠=︒，∴90BAC ∠=︒．28. 【答案】（1）①23,P P ；②42b −≤≤−−或02b ≤≤（2）1122t −−−≤≤或1122t −+−≤≤ 【分析】（1）①根据新定义，即可求解；②分0b ≥，0b ≤时，分别讨论，设直线y x b =+与坐标轴分别交于点,D E ，作EF DE ⊥交x 轴于点F ，过点T 作TQ DE ⊥于点Q ，则DEF DQT ∽2TQ ≤≤，即可得出b 的范围；（2）依题意，1TQ ≤≤，进而得出OT ≤≤，即()2221OT t t =++，解一元二次方程，结合图形，即可求解．【小问1详解】解：①正方形T 的顶点分别为点O ，()2,2A ，()4,0B ，()2,2C −∴()2,0T ，则正方形T 的边长为42⨯=42TQ ≤≤，∵23TP TP ===T 到23,OP OP ，而T 到1OP∴在点()12,1P ，()21,1P ，()31,1P −中，正方形T 的“伴随切点”是()21,1P ，()31,1P− 故答案为：23,P P ．2TQ ≤≤，如图所示，当0b ≥时设直线y x b =+与坐标轴分别交于点,D E ，作EF DE ⊥交x 轴于点F ，过点T 作TQ DE ⊥于点Q ∴OE OD b ==，DE EF ===，2DF b =∵EF QT ∥，∴DEF DQT ∽ ∴EF DF QT DT= 当2TQ =时，∴222b b=+解得：2b =或0b =（舍去）当TQ =22b b=+，解得：0b =，2TQ ≤≤∴02b ≤≤当0b ≤时，如图所示，过点O 作OF DE ⊥于点F ，∵OF TQ ∥，∴DTQ DOF ∽ ∴TQ TD OF OD= 当2TQ =时，2b b −−−解得：2b =−当TQ =2b b −−−， 解得：4b =−，∴42b −≤≤−；综上所述，42b −≤≤−或02b ≤≤；【小问2详解】解：∵点(),1T t t +，正方形T 的边长为2．∴1TQ ≤≤`∴2MN ≤≤T 在MN 上时取得等于号，∵OMN 为等边三角形，T 为正方形的中心，则TM TN =∴OT MN ⊥∴12TM OM =，则OT ==OT ≤≤∵()2221OT t t =++，即()22316t t ≤++≤∴当()2221t t ++=12t =或12t =当()2221t t ++=，解得：12t =或12t =∴()22316t t ≤++≤的解集为：1122t −−−≤≤或1122t −−≤≤．∴1122t −−≤≤或1122t −−+≤≤． 【点睛】本题考查了新定义，相似三角形的性质与判定，切线的性质，正方形的性质，勾股定理，解一元二次方程，理解新定义是解题的关键．。

黑龙江省齐齐哈尔市2023-2024学年九年级上学期开学考试数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列计算正确的是( )A.2．下列各组数作为三角形的三边长,不能构成直角三角形的是( )3．下列说法,正确的是( )A.有一个角是直角的四边形是矩形B.两条对角线互相垂直的四边形是菱形C.一个角是直角的菱形是正方形D.对角线相等且互相平分的四边形是菱形4．若直线经过第一、二、四象限,则函数的大致图象是( )A. B.C. D.5．某健步走运动爱好者用手机软件记录了某个月(30天)每天健步走的步数(单位：万步),将记录结果绘制成了如图所示的统计图.在每天所走的步数这组数据中,众数和中位数分别是( )3+=1==3=y kx b =+y bx k =-A.1.2,1.3B.1.3,1.3C.1.4,1.35D.1.4,1.36．下列方程中,没有实数根的是( )A. B.C. D.7．如图,在中,,D ,E 分别为,的中点,平分,交于点F ,若,则的长为( )D.28．如图1,点P 从矩形的顶点A 出发,沿以2cm/s 的速度匀速运动到点B ,图2是点P 运动时,的面积随时间变化的关系图像,则a 的值为( )A.8 B.6 C.4 D.39．如图,在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,矩形的顶点、,点P为矩形内一点,且满足,则的最小值是( )230x x -=26100x x +=-2690x x -+=21x =Rt ABC △90C ∠=︒CA CB BF ABC ∠DE AC =4BC =DF ABCD A D B →→PBC △()2cm y ()s x OABC ()16,0A ()0,12C 13POA OABC S S =矩形△PO PA +A.10．已知a是方程的根,则11．如图,矩形中,,的平分线交于点E ,,垂足为F ,连接,,下列结论：①；②；③；④；其中正确的结论有( )A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题12．函数中自变量x 的取值范围是______.13．如图,在正方形ABCD 中,点E 、F 分别在对角线BD 上,请你添加一个条件______,使四边形AECF 是菱形.14．若,是方程的两个根,则的值为______.15．已知一次函数的图象经过点,与y 轴交于点B ,O 为坐标原点.若的面积为6,则该一次函数的解析式为______.2220x x --=111a ⎛⎫- ⎪+⎝⎭ABCD AD =BAD ∠BC DF AE ⊥BF CF AD AE =DAE DEC ∠=∠DE CF ⊥BF FC =y =+αβ2250x x --=ααββ-+(0)y kx b k =+≠()3,0A AOB △16．如果关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根,则m 的取值范围是______.17．如图,在矩形中,点E 在边上,于F ,若,,则线段的长是______.18．矩形的对角线交于点O ,为的高,,,则______.19．如图,在平面直角坐标系中,等腰直角三角形①沿x 轴正半轴滚动并且按一定规律变换,每次变换后得到的图形仍是等腰直角三角形.第一次滚动后点变换到点,得到等腰直角三角形②；第二次滚动后点变换到点,得到等腰直角三角形③；第三次滚动后点变换到点,得到等腰直角三角形④；第四次滚动后点变换到点,得到等腰直角三角形⑤…依此规律,则第2023个等腰直角三角形的面积是______.(2)解方程：①；②.21．“足球运球”是中考体育必考项目之一.某校为了解今年九年级学生足球运球的掌握2(1)210m x x -++=ABCD BC DF AE ⊥1EF CE ==3AB =AF ABCD AE ABD △2OD OE =3AB =AD =()10,2A ()26,0A 2A ()36,0A 3A (410,A 4A ()510A +)1012023----210x x --=()3122x x x -=-情况,随机抽取部分九年级学生足球运球的测试成绩作为一个样本,按A 、B 、C 、D 四个等级进行统计,制成了如下不完整的统计图.(说明：A 级：分,B 级：分,C 级：分,D 级：分),根据所给信息,解答以下问题：(1)在扇形统计图中,D 对应的扇形的圆心角是______度.(2)补全条形统计图.(3)所抽取学生的足球运球测试成绩的中位数会落在级.(4)该校九年级有450名学生,请估计足球运球测试成绩达到A 级的学生有多少人？22．为推进美丽乡村建设,改善人居环境,创建美丽家园.我市甲、乙两工厂积极生产了某种建设物资共800吨,甲工厂的生产量是乙工厂的2倍少100吨,这批建设物资将运往A 地420吨,B 地380吨,运费如下：(单位：吨)(2)设这批物资从甲工厂运往A 地x 吨,全部运往A ,B 两地的总运费为y 元,求y 与x 之间的函数关系式,写出x 的取值范围并设计使总运费最少的调运方案；(3)由于甲工厂到A 地的路况得到了改善,缩短了运输距离和运输时间,运费每吨降低m元,其余路线运费不变.若到A ,B 两市的总运费的最小值不小于14020元,求m 的取80100-7079-6069-1059-()015m <≤23．骑行是现在流行的健身方式之一,周末“绿色骑行俱乐部”组织了一次从甲地出发,目的地为乙地的骑行活动,在“俱乐部”自行车队出发1小时后,恰有一辆摩托车从甲地出发,沿自行车队行进路线前往乙地,到达乙地后立即按原路返回甲地.自行车队与摩托车行驶速度均保持不变,并且摩托车行驶速度是自行车队行驶速度的3倍.如图所示的是自行车队、摩托车离甲地的路程与自行车队离开甲地的时间的关系图象,请根据图象提供的信息,回答下列问题.(1)摩托车行驶的速度是__________；____________；(2)求出自行车队离甲地的路程与自行车队离开甲地的时间的关系式,并求出自行车队出发多少小时与摩托车相遇；(3)直接写出当摩托车与自行车队相距时,此时离摩托车出发经过了多少小时.24．综合与实践【课本再现】在一次课题学习活动中,老师提出了如下问题：如图1,四边形是正方形,点E 是边的中点,,且交正方形外角平分线于点F .请你探究与存在怎样的数量关系,并证明你的结论.经过探究,小明得出的结论是.而要证明结论,就需要证明和所在的两个三角形全等,但和显然不全等(一个是直角三角形,一个是钝角三角形),考虑到点E 是边的中点,小明想到的方法是如图2,取的中点M ,连接,证明.从而得到.(1)小明的证法中,证明的条件可以为( )A.边边边()km y ()h x a =()km y ()h x 10km ABCD BC 90AEF ∠=︒EF CF AE EF AE EF =AE EF =AE EF ABE △ECF △BC AB EM AEM EFC ≌△△AE EF =AEM EFC ≌△△C.角边角D.斜边直角边【类比迁移】(2)如图3,若把条件“点E 是边的中点”改为“点E 是边上的任意一点”,其余条件不变,是否仍然成立？若成立,请写出证明过程；若不成立,请说明理由.(3)如图4,如果点E 是边延长线上的任意一点,其他条件不变,是否仍然成立___________(填“是”或“否”,不需证明)；【拓展应用】(4)已知：四边形是正方形,点E 是直线上的一点,,且交正方形外角平分线于点F ,若,,则的长为___________.25．综合与探究如图,在平面直角坐标系中,函数的图象分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点,过点A 的直线交y 轴正半轴于点M ,且点M 为线段的中点.(1)A 点坐标为____________,B 点坐标为________________(2)求直线的函数解析式.(3)在直线上找一点P ,使得,请直接写出点P 的坐标.(4)在坐标平面内是否存在点C ,使以A 、B 、M 、C 为顶点的四边形是平行四边形？若存在,请直接写出点C 的坐标；若不存在,请说明理由.BC BC AE EF =BC AE EF =ABCD BC 90AEF ∠=︒EF CF 4AB =2CE =EF 212y x =-+OB AM AM ABP AOM S S =△△参考答案1．答案：D解析：A 、3和,计算正确,符合题意；故选D.2．答案：A解析：A.,不能构成直角三角形；B.,构成直角三角形；C.,构成直角三角形；D.,构成直角三角形.故选：A .3．答案：C解析：A.有一个角是直角的四边形不一定是矩形,故该选项错误,不符合题意；B.两条对角线互相垂直的四边形是菱形,也可能是等腰梯形,故该选项错误,不符合题意；C.一个角是直角的菱形是正方形,故该选项正确,符合题意；D.对角线互相相等平分的四边形是矩形,故该选项错误,不符合题意.故选C.4．答案：B解析：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限,∴,,∴,,∴一次函数图象第一、二、三象限,故选：B.5．答案：D÷==3=22269368111714412+=+=≠=2225122514416913+=+==2221123+=+==2220.30.40.090.160.250.5+=+==y kx b =+0k <0b >0b >0k ->y bx k =-解析：∵这组数据中1.4出现的次数最多,∴在每天所走的步数这组数据中,众数是1.4；每天所走的步数的中位数是：,∴在每天所走的步数这组数据中,众数和中位数分别是1.4、1.3.故选：D.6．答案：B解析：A.,所以原方程有两个不相等的实数根,故A 不符合题意.B.,所以原方程没有实数根,故B 符合题意.C.,所以原方程有一个实数根,故C 不符合题意.D.,所以原方程有两个不相等的实数根,故D 不符合题意.故选：B.7．答案：B 解析：在中,,由勾股定理得：,平分,,,E 分别为,的中点,,,,,,,,故选：B.8．答案：C解析：∵矩形中,,∴当点P 在边上运动时,y 的值不变,由图像可知,当时,点P 与点D 重合,∴,即矩形的长是,()1.3 1.32 1.3+÷=2(3)090∆=--=>2(6)41040∆=--⨯=-<2(6)490∆=--⨯=0(1)10∆=--=>Rt ABC △AC =4=6AB ==BF ABC ∠ABF EBF ∴∠=∠D CA CB //DE AB ∴132DE AB ==122BE BC ==ABF EFB ∴∠=∠EFB EBF ∴∠=∠2EF BE ∴==1DF DE EF ∴=-=ABCD //AD BC AD x a =2AD BC a ==2a,即.当点P 在上运动时,y 逐渐减小,由图像可知：点P 从点D 运动到点B 共用了,∴,在中,,∴,解得.故选：C.9．答案：A 解析：过点P 作交、于点M 、N ,∵,,即,作O 点关于的对称点,连接,则长即为的最小值；则,∴故选A.10．答案：B解析：∵a 是方程的根,∴,即26a AB a ⋅=6AB =DB ()55s a a +-=5210DB =⨯=Rt ABD △222AD AB BD +=()2222610a +=4a =//MN OA OC AB 13POA OABC S S =矩形△13OM OA OC ⨯=⨯2212833OM OC ==⨯=MN 1O 1O A 1O A PO PA +1216O O OM ==1O A ===2220x x --=2220a a --=()221a a =+,故选B.11．答案：C解析：四边形是矩形,,,,平分,,,,,,,故①正确；,,,,,,,,,又,,,3211121a a a a ⎛⎫-÷ ⎪+++⎝⎭1111a a a +⎛⎫=- ⎪++⎝⎭1a a =+21a a +=== ABCD AB CD ∴=AD BC =90ABC BAD ∠=∠=︒AE BAD ∠45BAE DAE ∴∠=∠=︒45AEB BAE ∴∠=∠=︒AB BE ∴=AE ∴=AD = AD AE ∴=45BAE DAE ∠=∠=︒ AD AE =90ABE AFD ∠=∠=︒(AAS)ABE AFD ∴≌△△AB AF ∴=BE DF =AB BE AF DF CD ∴====EF CE ∴=45ADF ∠=︒DE DE = (SSS)DEC DEF ∴≌△△DEA DEC ∴∠=∠∴,故②错误；,,垂直平分,故③正确；,,又,,,,故④正确,综上所述：正确的结论有①③④,共3个,故选：C.12．答案：解析：由题意得：,,解得：,故答案为：.13．答案：解析：添加的条件为：,理由：正方形ABCD 中,对角线BD ,∴,.∵,∴.∴∴四边形AECF 是菱形；故答案为：.14．答案：7解析：∵,是方程的两个根,∴,,∴,故答案为：7.()11804567.52DEA DEC ∴∠=∠=︒-︒=︒DAE DEC ∠≠∠DF DC = EF EC =DE ∴FC 9045CDF ADF ∠=︒-∠=︒ 45BAE FDC ∴∠=∠=︒AB DF = AF CD =(SAS)ABF DFC ∴≌△△BF CF ∴=35x -<≤30x +>50x -≥35x -<≤35x -<≤BE DF=BE DF =AB BC CD DA ===45ABE CBE CDF ADF ∠=∠=∠=∠=︒BE DF =()SAS ABE CBE DCF DAF ≌≌≌△△△△AE CE CF AF===BE DF =αβ2250x x --=221αβ-+=-=551αβ-==-()257ααββ-+=--=15．答案：或解析：点,,的面积为6,,,,或,将,代入得：,解得：一次函数的解析式为：,将,代入得：,解得：,一次函数的解析式为：,综上所述：一次函数的解析式为：或,故答案为：或.16．答案：且解析：∵关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根,∴且,即且,∴且.443y x =--443y x =+ (3,0)A 3OA ∴=AOB △∴162OA OB ⋅=∴1362OB ⨯⋅=4OB ∴=(0,4)B ∴(0,4)-(3,0)A (0,4)B (0)y kx b k =+≠304k b b +=⎧⎨=⎩4k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩∴443y x =-+(3,0)A (0,4)B -(0)y kx b k =+≠304k b b +=⎧⎨=-⎩434k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩∴443y x =-443y x =-+443y x =-443y x =-+443y x =-2m <1m ≠2(1)210m x x -++=0∆>10m -≠()22410m -->10m -≠2m <1m ≠故答案为：且17．答案：4解析：如图所示,连接,∵四边形是矩形,∴,,,,∴,∵,∴,又∵,,∴,∴,,∴,∴,∴,设,则在中,由勾股定理可得,即,解得,即,∴,故答案为：4.18．答案：解析：如图,∵四边形是矩形,2m <1m ≠DE ABCD //AD BC 90BCD ∠=︒3CD AB ==AD BC =ADE DEC ∠=∠DF AE ⊥90DFE ∠=︒FE CE =DE DE =()Rt Rt HL DEF DEC ≌△△3DF DC ==FED CED ∠=∠FED ADE ∠=∠AE AD BC ==BE BC EC AE EC =-=-AE BC x ==1BE x =-Rt ABE △222AB BE AE +=2223(1)x x +-=5x =5AE =514AF AE EF =-=-=ABCD∴,∵,∴,∴,∵为的高,∴,∴,又∵,∴,∴,∴是等边三角形,∴,∴,∴故答案为：19．答案：解析：∵点,∴第1个等腰直角三角形的两腰长为2,∴第1个等腰直角三角形的面积,∵,∴第2个等腰直角三角形的面积,∵,∴第3个等腰直角三角形的边长为,∴第3个等腰直角三角形的面积,…第n 个等腰直角三角形的面积OD OB OA ==2OD OE =2OB OE =BE OE =AE ABD △AE BO ⊥90AEB AEO ∠=∠=︒AE AE =()SAS ABE AOE ≌△△AB OA OB ==AOB △3OB AB ==6BD =AD ==20232()10,2A 12222=⨯⨯=()26,0A =21422=⨯==(410,A 1064-=3144822=⨯⨯==2n=则第2023个等腰直角三角形的面积是；故答案为：.(2)①②(2)①,∴∴②整理得：,即,∴或,解得：.21．答案：(1)86.4(2)图见解析(3)C(4)27人解析：(1),故答案为：86.4.(2)样本总人数(人),20232202321x =2x =1x =21=)10120232-----312=+---=210x x --=()()22Δ414111450b ac =-=--⨯⨯-=+=>x ==1x =2=()3122x x x-=-2320x x --=()()3210x x +-=320x +=10x -=1x =21=3602486.4︒⨯=︒％122450=÷=％C 级人数(人),∴统计图为：(3)∵共有50个数据,其中第25、26个数据的平均数为中位数,而第25、26个数据均在C 级,∴所抽取学生的足球运球测试成绩的中位数会落在C 级,故答案为：C.(4)(人),∴估计足球运球测试成绩达到A 级的学生有27人.22．答案：(1)甲、乙两厂分别生产了这批建设物资500吨和300吨(2)(),甲工厂运往A 地120吨,运往B 地380吨；乙工厂运往A 地300吨(3)解析：(1)设这批建设物资甲厂生产了a 吨,乙厂生产了b 吨.根据题意,得,.解得,.答：甲、乙两厂分别生产了这批建设物资500吨和300吨.(2).解不等式组得,,∴y 与x 之间的函数关系式为,503151220=---=34502750⨯=1413420y x =+120420x ≤≤09m <≤8001002a b a b +=⎧⎨+=⎩500300a b =⎧⎨=⎩()()()252050015420243004201413420y x x x x x =+-+-+--⎡=+⎤⎣⎦()0500042003004200x x x x ≥⎧⎪-≥⎪⎨-≥⎪⎪--≥⎩120420x ≤≤()1413420120420y x x =+≤≤∴y 是关于x 的一次函数.∵,y 随x 的增大而增大,∴当时,总运费最小.此时,,,.∴总运费最少的调运的方案是：甲工厂运往A 地120吨,运往B 地380吨；乙工厂运往A 地300吨.(3)由题意可得,.分三种情况：(i)当时,,y 随x 的增大而增大.∴当时,y 取得最小值,此时有.解得,；(ii)当时,,,不合题意,舍去；(iii)当时,,y 随x 的增大而减少.∴当时,y 取得最小值,此时有,.此不等式组无解.∴当时,这种情况不符合题意,舍去.综合上述三种情况,可得m 的取值范围是.23．答案：(1)(2)(3)摩托车与自行车队相距小时.解析：(1)自行车队行驶的速度为则摩托车行驶的速度为140k =>120x =500380x -=420300x -=()3004200x --=⎡⎤⎣⎦()14134201413420y x mx m x =+-=-+014m <<140m ->120x =()141201342014020014m m ⎧-⨯+≥⎨<<⎩09m <≤14m =140m -=1342014020y =<1415m <≤140m -<420x =()1442013420140201415m m ⎧-⨯+≥⎨<≤⎩1415m <≤09m <≤60km/h 20y =()140720km/h ÷=()20360km/h ⨯=故答案(2)设自行车队出发x 小时与摩托车相遇,自行车队的函数关系式为：,根据图像可得：,∴∴自行车队的函数关系式为：,,①首次相遇由题意得,解得②摩托车在返程中与自行车队再次相遇根据题意得,解得(3)设离摩托车出发经过了m 小时与自行车队相距.①当解得②当摩托车在自行车队前面时,,解得当,解得②摩托车从乙地返回,与自行车队相遇后,.解得即摩托车与自行车队相距小时.101140603a =+÷=60km/h y kx =1407k =⨯20k =20y x =()20601x x =-32x =()206011402x x +-=⨯x =10km m <()16010m m +-=m =()6020110m m -+=m =m >()2016014014010m m ++-=-m =()2016014014010m m ++-=+m =1024．答案：(1)C(2)成立,证明见解析(3)是,理由见解析(4)解析：(1)取的中点M ,连接.正方形中,,又,,,是等腰直角三角形,,,又.,在和中,,,故选：C.(2)成立.证明：如图,在上截取,连接,AB ME ABCD AB BC =12AM MB AB ==12BE CE BC ==MB BE ∴=MBE ∴△45BME ∴∠=︒135AME ∴∠=︒180********ECF FCG ∠=︒-∠=︒-︒=︒ AME ECF ∴∠=∠∴AME △ECF △BAE FEC AM ECAME ECF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()ASA AME ECF ∴≌△△AE EF =AB BM BE =ME∵四边形是正方形,∴,,∴,,∴.∵是正方形的外角平分线,∴,∴.∵,∴,∴.∵,,∴,在和中,,∴,∴.(3)理由：连接,过点F 作,交BC 延长于G ,在上截取,连接,如图4,∵四边形是正方形,∴,,∴,,∵,∴,∵,ABCD AB BC =90B DCB ∠=∠=︒180452B BME BEM ︒-∠∠=∠==︒90BAE AEB ∠+∠=︒135AME ∠=︒CF 190452DCF ∠=⨯︒=︒135ECF ∠=︒90AEF ∠=︒90AEB FEC ∠+∠=︒BAE FEC ∠=∠AB BC =BM BE =AM EC =AME △ECF △BAE FEC AM EC AME ECF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()ASA AME ECF ≌△△AE EF =AC FG BC ⊥FG FH CE =EH ABCD 90B BCD ∠=∠=︒45ACD ∠=︒135ACE ACD DCE ∠=∠+∠=︒90BAE AEB ∠+∠=︒AE EF ⊥90AEB FEG ∠+∠=︒FG BC ⊥∴,∴,∵是正方形的外角平分线,∴,∵,∴,∴,∵,∴,即,∴,∴,∴,在和中,,∴,∴.(4)分两种情况：当点E 在边上时,如图1,∵四边形是正方形,∴,,∴,由勾股定理,得由(2)知,90FEG EFG ∠+∠=︒EFG AEB ∠=∠CF 190452ECF ∠=⨯︒=︒FG BC ⊥45GFE ECF ∠=∠=︒CG FG =FH CE =CG CE FG FH -=-GE GH =45GHE GEH ∠=∠=︒18045135FHE ∠=︒-︒=︒ACE FHE ∠=∠ACE △FHE △AEC EFH CE FHACE FHE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()ASA ACE EHF ≌△△AE EF =BC ABCD 90B ∠=︒4BC AB ==422BE BC CE =-=-=AE ===EF AE ==当点E 是直线上的一点时,如图4,∵四边形是正方形,∴,,∴,由勾股定理,得由(3)知,综上,的长为25．答案：(1),(2)(3)和(4)或或解析：(1)∵函数的图象分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点,∴令,得,即：,令,得,即：,故答案为：,；(2)∵点M 为线段的中点,,∴,设直线的函数解析式,将和代入得：,解得：,∴直线的函数解析式：；(3)∵,,BC ABCD 90B ∠=︒4BC AB ==426BE BC CE =+=+=AE ===EF AE ==EF (6,0)(0,12)6y x =-+(0,6)(12,)6-(6,6)(6,6)-(6,18)-212y x =-+0x =12y =(0,12)B 0y =6x =(6,0)A (6,0)(0,12)OB (0,12)B (0,6)M AM (0)y kx b k =+≠(6,0)A (0,6)M 606k b b +=⎧⎨=⎩16k b =-⎧⎨=⎩AM 6y x =-+6OA =6OM =设,∵,∴,解得：,∴,∵点P 关于点A 的对称点为,∴满足条件的点P 坐标为：和；(4)存在点C ,使以A 、B 、M 、C 为顶点的四边形是平行四边形,∵,,,①以,为对角线,根据平移的性质,点,②以,为对角线,根据平移的性质,点,③以,为对角线,根据平移的性质,点,综上所述：点C 的坐标为或或.6(),P x x -+ABP AOM S S =△△18318x -=0x =(0,6)P (12,)6-(0,6)(12,)6-(6,0)A (0,12)B (0,6)M AB CM (6,6)C AM BC (6,6)C -AC BM (6,18)C -(6,6)(6,6)-(6,18)-。

2023~2024学年度湖北省部分学校九年级调研考试数学试卷湖北省新中考命题研究课题组亲爱的同学，在你答题前，请认真阅读下面的注意事项：1.本试卷共6页，三大题，满分120分，考试用时120分钟．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2.答题前，请将你的姓名、准考证号填写在“答题卡”相应位置，并在“答题卡”背面左上角填写姓名和座位号．3.答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答在“试卷”上无效．4.答非选择题时，答案用0.5毫米黑色笔迹签字笔书写在“答题卡”上，答在“试卷”上无效．5.认真阅读答题卡的注意事项．预祝你取得优异成绩！一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑．1.4的算术平方根是（）（A）－2（B）2C）±2（D）2.下列图形是轴对称图形的是（）（A）（B）（C）（D）3.x的取值范围是（）（A）x≥－1（B）x≥1（C）x≤－1（D）x≠－14.某运动鞋品牌店试销一种新款男鞋，试销期间销售情况如下表：鞋的尺码/cm2424.52525.52626.5销售量/双38181062该品牌店店主为了促销再次进货，此次进货应参考的是试销期间所售出鞋的尺码的（）（A）平均数（B）众数（C）中位数（D）方差5.分解因式a3－2a2b＋ab2，结果正确的是（）（A）a（a2－2ab＋b2）（B）a（a－b）2（C）a（a－b）（a＋b）（D）a2（a－2b）＋ab26.如图，2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标其原型是我国古代数学家赵爽的《勾股弦图》，它是由四个全等的直角三角形拼接而成如．果大正方形的面积是16，直角三角形的直角边长分别为a，b，且a2＋b2＝ab＋10，那么图中小正方形的面积是（）（A）2（B）3（C）4（D）57.甲、乙两人从A地出发前往B地，其中甲先出发2h，如图是甲、乙行驶路程y甲（单位：km），y乙（单位：km）随甲行驶时间x（单位：h）变化的图象，当乙追上甲时，乙行驶的时间是（A）1h（B）2h（C）1.5h（D）3h8.①四个内角都相等，且有一组邻边相等；②四边都相等，且有一个内角是直角；③对角线互相垂直平分且相等；④对角线相等，且每一条对角线平分一组对角．能判定这个四边形为正方形的条件的个数是（）（A）1（B）2（C）3（D）49.如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成四边形ABCD．得A，B的距离为6，A、C的距离为4，则B、D的距离是（）（A ）（B ）8（C ） （D ）10.有10条不同的直线y ＝n k x ＋b ，（n ＝1，2，3，4，5，6，7，8，9，10），其中1k ＝2k ＝3k ，4b ＝5b ＝6b ，则这10条直线的交点个数最多是（ ） （A ）38（B ）39（C ）40（D ）41二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填写在答题卡指定的位置．11.= ．12.甲、乙两队参加“传承红色基因，推动绿色发展”为主题的合唱比赛，每队均由20名队员组成，其中两队队员的平均身高为x x =甲乙＝168cm ，身高的方差分别为2s 甲＝10.5，2s 乙＝1.2，如果单从队员的身高考虑，你认为演出形象效果较好的是 队．13.如图，以正方形BCD 边AD 为边作等边△ADE ，则∠AEB 的大小是 ．14.《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”，竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部三尺远，那么原处还有 尺高的竹子．15.杆秤是我国传统的计重工具，如图，可以用秤砣到秤纽的水平距离，来得出秤钩上所挂物体的质量．称重时，若秤砣到秤纽的水平距离为x （单位：cm ）时，秤钩所挂物重为y （单位：kg ），则y 是x 的一次函数．下表记录了四次称重的数据，其中只有一组数据记录错误，它是第 组． 组数 1 2 3 4 x /cm1247y /kg 0.60 0.85 1.45 2.1016.如图，三角形材料ABC，∠B＝90°，BC＝4，AC＝5，点D在边BC上，添加一块三角形材料ACE，加工成 ADCE的材料，则 ADCE的对角线DE的最小值是．三、解答题（共8小题，共72分）下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形．17.（本小题8分）观察以下等式：第1个等式＝211111=+，第2个等式：211326=+，第3个等式：2115315=+，第4个等式：2117428=+，第5个等式：2119545=+，第6个等式：21111666=+，……按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第7个等式；（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并证明你的猜想．18.（本小题8分）为了保护学生的视力，课桌椅的高度都是按一定的关系配套设计的，研究表明：假设课桌高度为y cm，椅子的高度（不含靠背）为x cm，则y是x的一次函数．下表列出两套符合条件的课桌椅的对应高度：第一套第二套椅子高度x（cm）40.042.0课桌高度y（cm）75.078.2（1）求y与x的函数关系式；（2）现有一把高37.0cm的椅子和一张高70.2cm的课桌，它们是否配套？请说明理由．19.（本小题8分）某单位招聘员工，采取笔试与面试相结合的方式进行，两项成绩的原始分均为100分．有3名选手的得分如下：根据规定，笔试成绩和面试成绩分别按一定的百分比折合成综合成绩（综合成绩的满分仍为100分）．序号123笔试成绩/分859288面试成绩/分908890现得知1号选手的综合成绩为88分．（1）求笔试成绩和面试成绩各占的百分比；（2）求出其余两名选手的综合成绩，并以综合成绩排序确定第一名人选．20.（本小题8分）如图，E，F是 ABCD的对角线AC上的两点，且BE⊥AC，DF⊥AC，连接ED，FB．（1）求证：AE＝CF；（2）连接BD交AC于点O，若BE＝8，EF＝12，求BD的长．21.（本小题8分）正多边形是轴对称图形．请仅用无刻度的直尺在如图的正七边形ABCDEFG，分别按下列要求画图．（1）（2）（3）（1）在图（1）中，画出一条与AB平行的直线；（2）在图（2）中，画出一个以AB为边的平行四边形；（3）在图（3）中，画出一个以AC为边的菱形．22.（本小题10分）转化是一种重要的数学思想方法，化未知为已知，化陌生为熟悉，请你运用这种思想方法解决如下问题．（1）叙述三角形中位线定理，并运用平行四边形的知识证明；（2）如图，在四边形ABCD中，AD//BC，E，F分别是AB，CD的中点，求证：EF＝12（AD＋BC）．23.（本小题10分）根据学习函数的经验，对函数y＝|x|－1的图象与性质进行探究，请补充完整下面的探究过程：（1）下表是y与x的几组对应值．x… －3－2－10123…y… 210－101m…①m＝；②若A（n，8），B（9，8）为该函数图象上不同的两点，则n＝；（2）在下面的平面直角坐标系xOy中，描出以上表中各对对应值为坐标的点．并根据描出的点，画出该函数的图象．根据函数图象：①写出该函数图象的两点性质；②在同一个平面直角坐标系中画出y1＝12x的图象，并直接写出当y1＜y时，x的取值范围．24.（本小题12分）实践操作：第一步：如图（1），正方形纸片ABCD边AD上有一点P，将正方形纸片ABCD沿BP对折，点A落在点E处；第二步：如图（2），将正方形ABCD沿AE对折，得到折痕AF，把纸片展平；第三步：如图（3），将图（1）中纸片沿PE对折，得到折痕PG，把纸片展平；第四步：如图（4），将图（3）中纸片对折，使AD与BC重合，得到折痕MN，把纸片展平，发现点E刚好在折痕MN上．问题解决：（1）在图（2）中，判断BP与AF的数量关系，并证明你的结论；（2）在图（3）中，求证：△PDC的周长不变；（3）在图（4，直接写出CG的长．（1）（2）（3）（4）2023－2024学年度湖北省部分学校九年级数学调研考试答案一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）题号12345678910答案B D A B B C A D C C 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11.12.乙13.15°或75° 14.4.5515.316.3三、解答题（共8小题，共72分）17.解：（1）第7个等式：21113791=+…………3分（2）第n个等式为：21121(21)n n n n=+−−………………5分证明：∵右边＝1121122(21)(21)(21)21n nn n n n n n n n−++===−−−−＝左边∴等式成立………………8分18.解：（1）设y与x的函数关系式为y＝kx＋b，由题意得40754278.2k bk b+=+=………………3分解得1.611kb==∴y＝1.6x＋11……………………6分（2）当x ＝37时，y ＝1.6×37＋11＝70.2，∴高37.0cm 的椅子和一张高70.2cm 的课桌，它们是配套的…………………8分 19.解：（1）设笔试成绩和面试成绩各占的百分比是x 和y ，根据题意得：1859088x y x y +=+= ………………2分 解得：0.40.6x y = =∴笔试成绩和面试成绩各占的百分比是40%和60%；……………………4分 （2）2号选手的综合成绩是92×0.4＋88×0.6＝89.6（分）， 3号选手的综合成绩是88×0.4＋90×0.6＝89.2（分）， ∵89.6＞89.2＞88∴综合成绩排序第一名人选是2号，…………………8分 20.（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB //CD ，AB ＝CD ， ∴∠BAE ＝∠DCF ， ∵BE ⊥AC ，DF ⊥AC ， ∴∠AEB ＝∠CFD ＝90°，在△ABE 和△CDF 中，BAE DCF AEB CFD AB CD ∠=∠∠=∠ =∴△ABE ≌△CDF （AAS ）， ∴AE ＝CF ；……………………4分另解：证明△BOE ≌△DOF ，∴ OE ＝OF ，得AE ＝CF 也可． （2）解：由△ABE ≌△CDF 得BE ＝DF ， 又∵∠BEF ＝∠DFE ＝90°，∴BE //DF ， ∴四边形BEDF 为平行四边形， ∴OB ＝OD ，OE ＝OF ＝12EF ＝6， ∵∠BEF ＝90°，BE ＝8 ∴OB＝10，∴BD ＝2OB ＝20…………………………8分21.（1）如图（1），画CG，DF都可以，…………………2分（2）如图（2），…………………5分（3）如图（3），……………………8分（1）（2）（3）22.（1）三角形中位线定理：三角形的中线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．如图，D，E别是△ABC的边AB，AC的中点，求证：DE//BC，且DE＝12 BC．证明：如图，延长DE到点F，使EF＝DE，连接FC，DC，AF．∵AE＝EC，DE＝EF，∴四边形ADCF是平行四边形，……………………3分∴CF//DA且CF＝DA．∴CF//CF＝BD．∴四边形DBCF是平行四边形，∴DF//BC且DF＝BC．又DE＝12 DF，∴DE//BC，且DE＝12 BC．…………………………6分（2）如图，连接AF，并延长交BC的延长线于点G，∵AD//BC，∴∠DAF＝∠G，又∵DF＝CF，∠AFD＝∠CFG，∴△ADF≌△GCF，则AF＝FG，AD＝CG 又∵AE＝EB，∴EF是△ABG的中位线，由（1）的结论可证EF＝12BG＝12（AD＋BC）． (10)23.解：（1）①m＝2……………………1分②n＝－9……………………2分（2）该函数的图象如图…………………4分①该函数图象的两点性质：（1）该函数的最小值为－1；（2）该函数图象关于y轴对称；（3）当x＞0时，y随x的增大而增大；或当x＜0时，y随x的增大而减小．（任意写两条即可，其它合理性质参照给分．）……………………6分②如图所示，……………………7分由图象可知，x的取值范围是x＜－23或x＞2……………………10分24.解：（1）BP＝AF………………1分证明：由折叠的性质知AE⊥BP，∴∠ABP＝∠DAF＝90°－∠BAF，在△ABP和△DAF中，ABP DAF AB DABAP D ∠=∠=∠=∠∴△ABP≌△DAF（ASA），∴BP＝AF……………………4分（2）如图，连接BG ，由折叠的性质知AB ＝BE ，AP ＝PE ，∠A ＝∠BEP ， 又∵AB ＝BC ，∠A ＝∠C ＝90°，∴BE ＝BC ，∠C ＝∠BEP ＝∠BEG ＝90°，在Rt △BEG 和Rt △BCG 中，BE BC BG BG== ∴△BEG ≌△BCG （HL ），∴GE ＝GC ，∴PDG C ＝PE ＋DP ＋EG ＋DG ＝（AP ＋DP ）＋（GC ＋DG ）＝AD ＋CD ＝2AD ， 又∵AD 为正方形ABCD 的边长，∴△PDG 的周长不变；………………………9分（3）3．……………………12分。

重庆市第一中学2024-2025学年九年级上学期数学开学自测模拟试卷一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．（4分）在四个实数，0，﹣1，中，最小的数是（）A．B．0C．﹣1D．2．（4分）我国传统文化中的“福禄寿喜”图（如图）由四个图案构成，这四个图案中是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．（4分）为了解江北区2024年初中毕业年级体育考试成绩情况，从全区20000名初三参考学生中随机抽取1500名学生的体育考试成绩进行分析，下列说法正确的是（）A．该调查方式是普查B．该调查中的总体是全区初三学生C．该调查中个体是江北区每位初三学生的体考成绩D．该调查中的样本是抽取的1500名学生4．（4分）估计的值应在（）A．2和3之间B．3和4之间C．﹣3和﹣4之间D．﹣3和﹣2之间5．（4分）如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O为位似中心，已知BO：OE＝2：1，则△ABC与△DEF的面积比是（）A．2：1B．3：1C．4：1D．5：16．（4分）关于x的一元二次方程x2+mx﹣8＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根7．（4分）已知如图，在▱ABCD中，点E为AD上一点，DE：AE＝1：2，CE交对角线BD于点F，若△CDF的面积为3，则△BCF的面积为（）A．18B．12C．9D．68．（4分）用字母“C“，“H”按如图所示的规律拼图案，则第⑧个图案中字母“H”的个数为（）A．16B．17C．18D．199．（4分）如图，正方形ABCD中，E为BC边上一点，连接DE，将DE绕点E逆时针旋转90°得到EF，连接DF、BF，若∠ADF＝α，则∠EFB一定等于（）A．αB．45°﹣αC．90°﹣3αD．10．（4分）将x﹣y÷z×m+n（所有字母均不为0）中的任意两个字母对调位置，称为“对调操作”．例如：“x、y 对调操作”的结果为y﹣x÷z×m+n，且“x、y对调操作”和“y、x对调操作”是同一种“对调操作”．下列说法：①只有“x、n对调操作”的结果与原式相等；②若“x、y对调操作”与“n、y对调操作”的结果相等，则x＝n或m+z＝0；③若y＝m＝z，则所有的“对调操作”共有5种不同运算结果．其中正确的个数是（）A．0B．1C．2D．3二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）11．（4分）计算：||+30＝．12．（4分）在同一平面内，等边△ABC和正五边形BCDEF如图所示，则∠ABF的度数为．13．（4分）已知三角形的两边长为3和5，第三边的长为方程x2﹣5x+4＝0的根，则该三角形的周长为．14．（4分）有四张背面完全相同，正面分别是“诚”、“勤”、“立”、“达”的卡牌，洗匀后背面朝上，小明随机抽取一张卡牌后记录卡牌上的汉字并放回，洗匀后再随机抽取一张卡牌，小明第二次抽取的卡牌上的汉字和第一次相同的概率是．15．（4分）如图，△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，BD⊥AD，垂足为D，过D作DE∥AC交AB于点E，过D作DF⊥DE交AC于点F，连接EF，已知AB＝4，BD＝3，则EF＝．16．（4分）如图，在正方形ABCD中，AE平分∠BAC，F为CD上一点，连接BF，交AC于点G，连接DG，若DF＝CE，则∠DGF＝．17．（4分）若关于x的不等式组有解且至多有2个偶数解且关于y的分式方程＝3 的解为非负整数，则所有满足条件的整数a的值之和为．18．（4分）一个四位自然数N，各个数位上的数字均不等于0且互不相等，当N的十位数字减去个位数字的差等于N的千位数字减去百位数字的差的2倍时，我们称自然数N为“倍差数”；当N的十位数字与个位数字的和等于N的千位数字与百位数字的和的2倍时，我们称自然数N为“倍和数”；则最小的“倍差数”与最大的“倍和数”的和是；将“倍差数”N的千位数字与百位数字交换位置，十位数字与个位数字交换位置后得到的新“倍差数”为N′，且规定F（N）＝，G（N）＝，自然数M既是“倍差数”又是“倍和数”，且F（M）和G（M）均为正整数，则满足条件的数M为．三．解答题（共8小题，满分78分）19．（8分）计算：（1）﹣b（2a﹣b）+（a+b）2；（2）．20．（10分）学习了菱形后，小莉进行了拓展性研究：过菱形的一个顶点分别向两条对边作垂线，则这两条垂线与对角线产生两个交点，那么这两交点到此顶点的距离关系如何？她的解决思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空：用直尺和圆规，过点A作CD的垂线，垂足为点M，交BD于点N．（只保留作图痕迹）已知：如图，四边形ABCD是菱形，过A作AE⊥BC于点E，并交对角线BD于点F，作AM⊥CD于点M，交对角线BD于点N．求证：AF＝AN．证明：∵四边形ABCD是菱形∴AB＝∠ABC＝∠ADC∵AE⊥BC，AM⊥CD∴∠AEB＝∠AMD＝90°∵∠AEB+∠ABC+∠BAE＝180°∠AMD+∠ADC+∠DAM＝180°∴∴△ABF≌∴AF＝AN请你依照题意完成下面命题：过菱形的一个顶点向两条对边作垂线，与对角线产生两个交点，则.21．（10分）近年来，诈骗分子较为猖狂，诈骗手段不断更新，据有关部门统计，2022年全年全国电信诈骗共计达到2万亿元．为有效提高学生防诈反诈能力，学校开展了“防诈反诈”讲座后进行了“防诈反诈”知识竞赛，并从七、八年级各随机选取了20名同学的竞赛成绩进行了整理、描述和分析（成绩得分用x表示，其中A：0≤x ＜85，B：85≤x＜90，C：90≤x＜95，D：95≤x≤100，得分在90分及以上为优秀）．下面给出了部分信息：七年级C组同学的分数分别为：94，92，93，91；八年级C组同学的分数分别为：91，92，93，93，94，94，94，94，94．七、八年级选取的学生竞赛成绩统计表：（1）填空：a＝，b＝，m＝；（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级学生在“防诈反诈”知识竞赛中，哪个年级学生对“防诈反诈”的了解情况更好？请说明理由；（写出一条理由即可）（3）该校现有学生七年级780名，八年级800名，请估计这两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数．22．（10分）如图，平行四边形ABCD中，AD＝6，CD＝4，∠ADC＝30°，动点P从点A出发沿折线A→B→C运动，到达点C停止运动．在运动过程中，过点P作PH⊥CD于点H，设点P的运动路程为x，BP+PH记为y1．（1）请直接写出y1关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围；（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数图象，并写出该函数的一条性质；（3）结合函数图象，直接写出y1的图象与的图象有1个公共点时m的取值范围．23．（10分）4月，正是春暖花开，踏青徒步的好时节，某校初三年级开展了“踏青觅春，走进自然”的春游活动．甲、乙两班都从学校出发沿相同路线去距学校7.5千米的徒步终点，已知甲班的步行速度是乙班的1.5倍．（步行过程为匀速运动）（1）若乙班比甲班先走750米，甲班才开始从学校出发，半小时后两班相遇，则两班的速度分别为多少千米/小时？（2）若乙班在出发后第一小时内按原计划的速度匀速前进，一小时后将速度提高到与甲班一致，并比原计划提前10分钟到达徒步终点，求乙班到达终点用了多少小时？24．（10分）如图，车站A在车站B的正西方向，它们之间的距离为100千米，修理厂C在车站B的正东方向．现有一辆客车从车站B出发，沿北偏东45°方向行驶到达D处，已知D在A的北偏东60°方向，D在C的北偏西30°方向．（1）求车站B到目的地D的距离（结果保留根号）；（2）客车在D处准备返回时发生了故障，司机在D处拨打了救援电话并在原地等待，一辆救援车从修理厂C 出发以35千米每小时的速度沿CD方向前往救援，同时一辆应急车从车站A以60千米每小时的速度沿AD方向前往接送滞留乘客，请通过计算说明救援车能否在应急车到达之前赶到D处．（参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx+2与y轴交于点A，与x轴负半轴交于点B，OB＝2，直线y ＝2x与直线AB交于点C．（1）求直线AB的表达式；（2）如图1，点P为直线OC上一动点，连接P A，PB，求P A+PB的最小值及此时点P的坐标；（3）将直线OC沿射线BA方向平移个单位长度得到新直线y'，在新直线y'上是否存在点M，使得AM与新直线y的夹角为45°，若存在，请写出点M的横坐标，选一种情况写出求解过程，若不存在，说明理由．26．（10分）已知△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，D为平面内一点．（1）如图1，当D点在AB的中点时，连接CD，将CD绕点D逆时针旋转90°，得到ED，若AB＝4，求△ADE 的周长；（2）如图2，当D点在△ABC外部时，E、F分别是AB、BC的中点，连接EF、DE、DF，将DE绕E点逆时针旋转90°得到EG，连接CG、DG、FG，若∠FDG＝∠FGE，请探究FD、FG、CG之间的数量关系并给出证明；（3）如图3，当D在△ABC内部时，连接AD，将AD绕点D逆时针旋转90°，得到ED，若ED经过BC中点F，连接AE、CE，G为CE的中点，连接GF并延长交AB于点H，当AG最大时，请直接写出的值．重庆市第一中学2024-2025学年九年级上学期数学开学自测模拟试卷（答案）参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．（4分）在四个实数，0，﹣1，中，最小的数是（）A．B．0C．﹣1D．【答案】C2．（4分）我国传统文化中的“福禄寿喜”图（如图）由四个图案构成，这四个图案中是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】B3．（4分）为了解江北区2024年初中毕业年级体育考试成绩情况，从全区20000名初三参考学生中随机抽取1500名学生的体育考试成绩进行分析，下列说法正确的是（）A．该调查方式是普查B．该调查中的总体是全区初三学生C．该调查中个体是江北区每位初三学生的体考成绩D．该调查中的样本是抽取的1500名学生【答案】C4．（4分）估计的值应在（）A．2和3之间B．3和4之间C．﹣3和﹣4之间D．﹣3和﹣2之间【答案】D5．（4分）如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O为位似中心，已知BO：OE＝2：1，则△ABC与△DEF的面积比是（）A．2：1B．3：1C．4：1D．5：16．（4分）关于x的一元二次方程x2+mx﹣8＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根【答案】A7．（4分）已知如图，在▱ABCD中，点E为AD上一点，DE：AE＝1：2，CE交对角线BD于点F，若△CDF的面积为3，则△BCF的面积为（）A．18B．12C．9D．6【答案】C8．（4分）用字母“C“，“H”按如图所示的规律拼图案，则第⑧个图案中字母“H”的个数为（）A．16B．17C．18D．19【答案】C9．（4分）如图，正方形ABCD中，E为BC边上一点，连接DE，将DE绕点E逆时针旋转90°得到EF，连接DF、BF，若∠ADF＝α，则∠EFB一定等于（）A．αB．45°﹣αC．90°﹣3αD．10．（4分）将x﹣y÷z×m+n（所有字母均不为0）中的任意两个字母对调位置，称为“对调操作”．例如：“x、y 对调操作”的结果为y﹣x÷z×m+n，且“x、y对调操作”和“y、x对调操作”是同一种“对调操作”．下列说法：①只有“x、n对调操作”的结果与原式相等；②若“x、y对调操作”与“n、y对调操作”的结果相等，则x＝n或m+z＝0；③若y＝m＝z，则所有的“对调操作”共有5种不同运算结果．其中正确的个数是（）A．0B．1C．2D．3【答案】C二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）11．（4分）计算：||+30＝．【答案】．12．（4分）在同一平面内，等边△ABC和正五边形BCDEF如图所示，则∠ABF的度数为48° ．【答案】48°．13．（4分）已知三角形的两边长为3和5，第三边的长为方程x2﹣5x+4＝0的根，则该三角形的周长为12．【答案】12．14．（4分）有四张背面完全相同，正面分别是“诚”、“勤”、“立”、“达”的卡牌，洗匀后背面朝上，小明随机抽取一张卡牌后记录卡牌上的汉字并放回，洗匀后再随机抽取一张卡牌，小明第二次抽取的卡牌上的汉字和第一次相同的概率是．【答案】．15．（4分）如图，△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，BD⊥AD，垂足为D，过D作DE∥AC交AB于点E，过D作DF⊥DE交AC于点F，连接EF，已知AB＝4，BD＝3，则EF＝．【答案】．16．（4分）如图，在正方形ABCD中，AE平分∠BAC，F为CD上一点，连接BF，交AC于点G，连接DG，若DF＝CE，则∠DGF＝45° ．【答案】45°．17．（4分）若关于x的不等式组有解且至多有2个偶数解且关于y的分式方程＝3 的解为非负整数，则所有满足条件的整数a的值之和为7．【答案】7．18．（4分）一个四位自然数N，各个数位上的数字均不等于0且互不相等，当N的十位数字减去个位数字的差等于N的千位数字减去百位数字的差的2倍时，我们称自然数N为“倍差数”；当N的十位数字与个位数字的和等于N的千位数字与百位数字的和的2倍时，我们称自然数N为“倍和数”；则最小的“倍差数”与最大的“倍和数”的和是7532；将“倍差数”N的千位数字与百位数字交换位置，十位数字与个位数字交换位置后得到的新“倍差数”为N′，且规定F（N）＝，G（N）＝，自然数M既是“倍差数”又是“倍和数”，且F（M）和G（M）均为正整数，则满足条件的数M为3162．【答案】7532；3162．三．解答题（共8小题，满分78分）19．（8分）计算：（1）﹣b（2a﹣b）+（a+b）2；（2）．【答案】（1）a2+2b2；（2）．20．（10分）学习了菱形后，小莉进行了拓展性研究：过菱形的一个顶点分别向两条对边作垂线，则这两条垂线与对角线产生两个交点，那么这两交点到此顶点的距离关系如何？她的解决思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空：用直尺和圆规，过点A作CD的垂线，垂足为点M，交BD于点N．（只保留作图痕迹）已知：如图，四边形ABCD是菱形，过A作AE⊥BC于点E，并交对角线BD于点F，作AM⊥CD于点M，交对角线BD于点N．求证：AF＝AN．证明：∵四边形ABCD是菱形∴AB＝AD∠ABC＝∠ADC∵AE⊥BC，AM⊥CD∴∠AEB＝∠AMD＝90°∵∠AEB+∠ABC+∠BAE＝180°∠AMD+∠ADC+∠DAM＝180°∴∠BAE＝∠DAN∴△ABF≌△ADN∴AF＝AN请你依照题意完成下面命题：过菱形的一个顶点向两条对边作垂线，与对角线产生两个交点，则两交点到顶点的距离相等.【答案】作图见解析，①AD；②∠BAE＝∠DAN；③△ADN；④两交点到顶点的距离相等．21．（10分）近年来，诈骗分子较为猖狂，诈骗手段不断更新，据有关部门统计，2022年全年全国电信诈骗共计达到2万亿元．为有效提高学生防诈反诈能力，学校开展了“防诈反诈”讲座后进行了“防诈反诈”知识竞赛，并从七、八年级各随机选取了20名同学的竞赛成绩进行了整理、描述和分析（成绩得分用x表示，其中A：0≤x＜85，B：85≤x＜90，C：90≤x＜95，D：95≤x≤100，得分在90分及以上为优秀）．下面给出了部分信息：七年级C组同学的分数分别为：94，92，93，91；八年级C组同学的分数分别为：91，92，93，93，94，94，94，94，94．七、八年级选取的学生竞赛成绩统计表：年级平均数中位数众数优秀率七91a95m八9193b65%（1）填空：a＝92.5，b＝94，m＝60%；（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级学生在“防诈反诈”知识竞赛中，哪个年级学生对“防诈反诈”的了解情况更好？请说明理由；（3）该校现有学生七年级780名，八年级800名，请估计这两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数．【答案】（1）92.5，94，60%；（2）八年级学生对“防诈反诈”的了解情况更好；（3）这两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数为988人．22．（10分）如图，平行四边形ABCD中，AD＝6，CD＝4，∠ADC＝30°，动点P从点A出发沿折线A→B→C运动，到达点C停止运动．在运动过程中，过点P作PH⊥CD于点H，设点P的运动路程为x，BP+PH记为y1．（1）请直接写出y1关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围；（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数图象，并写出该函数的一条性质；（3）结合函数图象，直接写出y1的图象与的图象有1个公共点时m的取值范围．【答案】（1）y1＝；（2）函数图象见解答，函数的最小值为3（答案不唯一）；（3）7≤m≤11．23．（10分）4月，正是春暖花开，踏青徒步的好时节，某校初三年级开展了“踏青觅春，走进自然”的春游活动．甲、乙两班都从学校出发沿相同路线去距学校7.5千米的徒步终点，已知甲班的步行速度是乙班的1.5倍．（步行过程为匀速运动）（1）若乙班比甲班先走750米，甲班才开始从学校出发，半小时后两班相遇，则两班的速度分别为多少千米/小时？（2）若乙班在出发后第一小时内按原计划的速度匀速前进，一小时后将速度提高到与甲班一致，并比原计划提前10分钟到达徒步终点，求乙班到达终点用了多少小时？【答案】（1）甲班的步行速度为4.5km/h，乙班的步行速度为3km/h；（2）乙班到达终点用了小时．24．（10分）如图，车站A在车站B的正西方向，它们之间的距离为100千米，修理厂C在车站B的正东方向．现有一辆客车从车站B出发，沿北偏东45°方向行驶到达D处，已知D在A的北偏东60°方向，D在C的北偏西30°方向．（1）求车站B到目的地D的距离（结果保留根号）；（2）客车在D处准备返回时发生了故障，司机在D处拨打了救援电话并在原地等待，一辆救援车从修理厂C 出发以35千米每小时的速度沿CD方向前往救援，同时一辆应急车从车站A以60千米每小时的速度沿AD方向前往接送滞留乘客，请通过计算说明救援车能否在应急车到达之前赶到D处．（参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）【答案】（1）车站B到目的地D的距离为（50+50）千米；（2）救援车能在应急车到达之前赶到D处．25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx+2与y轴交于点A，与x轴负半轴交于点B，OB＝2，直线y ＝2x与直线AB交于点C．（1）求直线AB的表达式；（2）如图1，点P为直线OC上一动点，连接P A，PB，求P A+PB的最小值及此时点P的坐标；（3）将直线OC沿射线BA方向平移个单位长度得到新直线y'，在新直线y'上是否存在点M，使得AM与新直线y的夹角为45°，若存在，请写出点M的横坐标，选一种情况写出求解过程，若不存在，说明理由．【答案】（1）y＝x+2；（2）P（，）、P A+PB的最小值为：；（3）存在，点M的坐标为：（，）或（，﹣）．26．（10分）已知△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，D为平面内一点．（1）如图1，当D点在AB的中点时，连接CD，将CD绕点D逆时针旋转90°，得到ED，若AB＝4，求△ADE 的周长；（2）如图2，当D点在△ABC外部时，E、F分别是AB、BC的中点，连接EF、DE、DF，将DE绕E点逆时针旋转90°得到EG，连接CG、DG、FG，若∠FDG＝∠FGE，请探究FD、FG、CG之间的数量关系并给出证明；（3）如图3，当D在△ABC内部时，连接AD，将AD绕点D逆时针旋转90°，得到ED，若ED经过BC中点F，连接AE、CE，G为CE的中点，连接GF并延长交AB于点H，当AG最大时，请直接写出的值．【答案】。

2023-2024学年第一学期九年级开学考试数学试卷一．选择题（每题3分，共30分）1．“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶．下列四幅标识图，其中文字上面图案是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．若分式的值为0，则x＝（）A．－1 B．1 C．±1 D．03．下列四个命题中，假命题是（）A．顺次连接四边形各边中点所得四边形是平行四边形B．斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等C．等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合D．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形4．若函数y＝ax和函数y＝bx＋c的图象如图所示，则关于x的不等式ax－bx＞c的解集是（）A．x＜2 B．x＜1 C．x＞2 D．x＞15．已知多项式x2－x＋m因式分解后得到一个因式为x＋2，则m的值为（）A．－5 B．5 C．－6 D．66．某口罩厂六月份的口罩产量为100万只，由于市场需求量减少，八月份的产量减少到81万只，设该厂七八月份的口罩产量的月平均减少率为x，可列方程为（）A．100（1＋x）2＝81B．100（1－x）2＝81C．81（1－x）2＝100D．100＋100（1－x）＋100（1－x）2＝817．关于x的一元二次方程kx2－4x＋1＝0有两个实数根，则k的取值范围是（）A．k＞4 B．k≤4 C．k＜4且k≠0 D．k≤4且k≠0 8．如图，长方形花圃ABCD面积为4m2，它的一边AD利用已有的围墙（围墙足够长），另外三边所围的栅栏的总长度是5m．EF处开一门，宽度为1m．设AB的长度是xm，根据题意，下面所列方程正确的是（）A．x（5－2x）＝4 B．x（5＋1－2x）＝4C．x（5－2x－1）＝4 D．x（2.5－x）＝49．如图，在四边形纸片ABCD中，AB∥DC，AB＝DC＝4，AD＝9，∠BCD＝30°，点E是线段DC的中点，点F在线段BC上，将△CEF沿EF所在的直线翻折得到△C'EF，连接AC'，则AC'长度的最小值是（）A．B．C．D．10．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E，F分别为边AB，BC的中点，连接AF，DE，点G，H分别为DE，AF的中点，连接GH，则GH的长为（）A．B．1 C．D．2二．填空题（每题3分，共18分）11．分解因式：xy2－4x＝．12．关于x的不等式组恰有3个整数解，那么a的取值范围为．13．若关于x的方程有增根，则m的值是．14．若m，n是一元二次方程x2＋2022x－2023＝0的两个实数根，则＋＝．15．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD＝60°，AB＝4，对角线AC、BD交于点O，经过点O的直线交AD于点E，且平分△ABD的周长，则OE＝．16．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，过点B作BE⊥AC，延长BE到点D，使得BD＝AC，连接AD，CD，若AB＝4，AD＝5，则CD的长为．三．解答题（共52分）17．（5分）先化简，再求值：，其中x＝2．18．（4分）解方程：．19．（8分）（1）用配方法解方程：2x2－x－1＝0．（2）公式法解方程：2x2－7x＋3＝0．20．（8分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交AD、AC、BC于点E、O、F，连接CE和AF．（1）求证：四边形AECF为菱形；（2）若AB＝8，BC＝16，求菱形AECF的周长．21．（8分）某超市用1200元购进一批甲玩具，用500元购进一批乙玩具，所购甲玩具件数是乙玩具件数的2倍，已知甲玩具的进货单价比乙玩具的进货单价多1元．（1）求甲、乙玩具的进货单价各是多少元？（2）玩具售完后，超市决定再次购进甲、乙玩具（甲、乙玩具的进货单价不变），购进乙玩具的件数比甲玩具件数的2倍多40件，求该超市用不超过1400元最多可以采购甲玩具多少件？22．（9分）如图1，OA＝2，OB＝4，以A点为顶点、AB为腰在第三象限作等腰Rt△ABC．（1）求C点的坐标；（2）如图1，在平面内是否存在一点H，使得以A、C、B、H为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出H点坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图1点M（1，－1）是第四象限内的一点，在y轴上是否存在一点F，使得|FM－FC|的值最大？若存在，请求出F点坐标；若不存在，请说明理由23．（10分）【课本重现】已知：如图1，D，E分别是等边△ABC的两边AB，AC上的点，且AD＝CE．若BE，CD交于点F，则∠EFD＝°；【迁移拓展】如图2，已知点D是等边△ABC的AB边上一点，点E是AC延长线上一点，若AD＝CE，连接ED，EB．求证：ED＝EB；【拓展延伸】如图3，若点D，E分别是BA，AC延长线上一点，且连接DE，以DE 为边向右侧作等边△DEF，连接AF，求△ADF的面积．深圳高级中学九年级开学考参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶．下列四幅标识图，其中文字上面图案是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：选项A、B、C的图形均不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；选项D的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．故选：D．2．若分式的值为0，则x＝（）A．－1 B．1 C．±1 D．0【解答】解：由分式的值为零的条件得x－1＝0，x＋1≠0，解得，x＝1．故选：B．3．下列四个命题中，假命题是（）A．顺次连接四边形各边中点所得四边形是平行四边形B．斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等C．等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合D．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形【解答】解：A、顺次连接四边形各边中点所得四边形是平行四边形，是真命题，不符合题意；B、斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，是真命题，不符合题意；C、等腰三角形的底边上的高、底边上的中线、顶角平分线互相重合，故本选项说法是假命题，符合题意；D、一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，是真命题，不符合题意；故选：C．4．若函数y＝ax和函数y＝bx＋c的图象如图所示，则关于x的不等式ax－bx＞c的解集是（）A．x＜2 B．x＜1 C．x＞2 D．x＞1【解答】解：观察函数图象得x＞1时，ax＞bx＋c，所以关于x的不等式ax－bx＞c的解集为x＞1．故选：D．5．已知多项式x2－x＋m因式分解后得到一个因式为x＋2，则m的值为（）A．－5 B．5 C．－6 D．6【解答】解：令x＋2＝0，即x＝－2，把x＝－2代入多项式得：4－（－2）＋m＝0，解得：m＝－6．故选：C．6．某口罩厂六月份的口罩产量为100万只，由于市场需求量减少，八月份的产量减少到81万只，设该厂七八月份的口罩产量的月平均减少率为x，可列方程为（）A．100（1＋x）2＝81B．100（1－x）2＝81C．81（1－x）2＝100D．100＋100（1－x）＋100（1－x）2＝81【解答】解：依题意得：100（1－x）2＝81．故选：B．7．关于x的一元二次方程kx2－4x＋1＝0有两个实数根，则k的取值范围是（）A．k＞4 B．k≤4 C．k＜4且k≠0 D．k≤4且k≠0 【解答】解：∵方程有两个实数根，∴根的判别式Δ＝b2－4ac＝16－4k≥0，即k≤4，且k≠0．故选：D．8．如图，长方形花圃ABCD面积为4m2，它的一边AD利用已有的围墙（围墙足够长），另外三边所围的栅栏的总长度是5m．EF处开一门，宽度为1m．设AB的长度是xm，根据题意，下面所列方程正确的是（）A．x（5－2x）＝4 B．x（5＋1－2x）＝4C．x（5－2x－1）＝4 D．x（2.5－x）＝4【解答】解：设AB＝xm，则BC＝（5＋1－2x）m，根据题意可得，x（5＋1－2x）＝4，故选：B．9．如图，在四边形纸片ABCD中，AB∥DC，AB＝DC＝4，AD＝9，∠BCD＝30°，点E是线段DC的中点，点F在线段BC上，将△CEF沿EF所在的直线翻折得到△C'EF，连接AC'，则AC'长度的最小值是（）A．B．C．D．【解答】解：连接AE，过点E作EM⊥AD的延长线于点M，∵AE≥AC'－EC'，当点A、C'、E在一条直线上时，AC'的值最小，由翻折可知EC＝EC'，∵，点E是线段DC的中点，∴，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠MDE＝∠BCD＝30°，在Rt△MDE中，∠MDE＝30°，，∴，由勾股定理得，∵AD＝9，∴AM＝AD＋MD＝12，在Rt△AME中，由勾股定理得，∴，即AC'长度的最小值是，故选：C．10．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E，F分别为边AB，BC的中点，连接AF，DE，点G，H分别为DE，AF的中点，连接GH，则GH的长为（）A．B．1 C．D．2【解答】解：连接AG并延长交CD于M，连接FM，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CD＝BC＝4，AB∥CD，∠C＝90°，∴∠AEG＝∠GDM，∠EAG＝∠DMG，∵G为DE的中点，∴GE＝GD，在△AEG和MDG中，，∴△AEM≌△GDM（AAS），∴AG＝MG，AE＝DM＝AB＝CD，∴CM＝CD＝2，∵点H为AF的中点，∴GH＝FM，∵F为BC的中点，∴CF＝BC＝2，∴FM＝＝2，∴GH＝，故选：C．二．填空题（共6小题）11．分解因式：xy2－4x＝x（y＋2）（y－2）．【解答】解：xy2－4x＝x（y2－4）＝x（y＋2）（y－2）．故答案为：x（y＋2）（y－2）．12．关于x的不等式组恰有3个整数解，那么a的取值范围为－4≤a＜－3．【解答】解：，解不等式①，得：x＞a，解不等式②，得：x≤－1，∵不等式组恰有3个整数解，∴这三个整数解为－1，－2，－3，∴－4≤a＜－3，故答案为：－4≤a＜－3．13．若关于x的方程有增根，则m的值是2．【解答】解：方程两边都乘（x－1），得m－1－x＝0，∵方程有增根，∴最简公分母x－1＝0，即增根是x＝1，把x＝1代入整式方程，得m＝2．故答案为：2．14．若m，n是一元二次方程x2＋2022x－2023＝0的两个实数根，则＋＝．【解答】解：∵m，n是一元二次方程x2＋2022x－2023＝0的两个实数根，∴m＋n＝－2022，mn＝－2023，∴＋＝＝＝．故答案为：．15．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD＝60°，AB＝4，对角线AC、BD交于点O，经过点O的直线交AD于点E，且平分△ABD的周长，则OE＝2．【解答】解：如图，延长DA至H，使AH＝AB，连接BH，过点A作AN⊥BH于N，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OD＝OB，∵OE平分△ABD的周长，∴AE＋AB＋OB＝OD＋DE，∴AH＋AE＝DE，即HE＝DE，又∵BO＝DO，∴BH＝2OE，∵AH＝AB，∠BAD＝60°，∴∠H＝∠ABH＝30°，∵AH⊥BH，∴AN＝AB＝2，HN＝BN＝AN＝2，∴BH＝4，∴OE＝2，故答案为：2．16．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，过点B作BE⊥AC，延长BE到点D，使得BD＝AC，连接AD，CD，若AB＝4，AD＝5，则CD的长为．【解答】解：过D点分别作DG⊥BC于点G，DF⊥AB交BA的延长线于点F，∴∠DGC＝90°，∵∠ABC＝90°，∴四边形BGDF为矩形，∠BAC＋∠ACB＝90°，∴BG＝DF，DG＝FB，∵BE⊥AC，∴∠BAC＋∠ABE＝90°，∴∠ABE＝∠ACB，在△ABC和△DFB中，，∴△ABC≌△DFB（AAS），∴FD＝AB＝4，BC＝FB，∴BG＝4，在Rt△F AD中，AD＝5，∴AF＝，∴BF＝AB＋AF＝4＋3＝7，∴DG＝BF＝BC＝7，∴CG＝BC－BG＝7－4＝3，在Rt△DCG中，CD＝．故答案为：．三．解答题（共7小题）17．先化简，再求值：，其中x＝2．【解答】解：÷（＋1）＝÷＝÷＝•＝，当x＝2时，原式＝＝．18．解方程：．【解答】解：去分母得：3－x－1＝x－2，移项合并得：2x＝4，解得：x＝2，经检验x＝2是分式方程的增根．∴原分式方程无解．19．（1）用配方法解方程：2x2－x－1＝0．（2）公式法解方程：2x2－7x＋3＝0．【解答】解：（1）两边都除以2，得．移项，得．配方，得，，∴或，∴x1＝1，；（2）∵2x2－7x＋3＝0，∴b2－4ac＝（－7）2－4×2×3＝25＞0，则x＝＝，∴x1＝，x2＝3．20．如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交AD、AC、BC于点E、O、F，连接CE和AF．（1）求证：四边形AECF为菱形；（2）若AB＝8，BC＝16，求菱形AECF的周长．【解答】（1）证明：∵EF是AC的垂直平分线，∴AO＝OC，∠AOE＝∠COF＝90°，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠EAO＝∠FCO，在△AEO和△CFO中，，∴△AEO≌△CFO（ASA）；∴OE＝OF，又∵OA＝OC，∴四边形AECF是平行四边形，又∵EF⊥AC，∴平行四边形AECF是菱形；（2）解：设AF＝x，∵EF是AC的垂直平分线，AB＝8，BC＝16，∴AF＝CF＝x，BF＝16－x，在Rt△ABF中，由勾股定理得：AB2＋BF2＝AF2，82＋（16－x）2＝x2，解得x＝10．∴AF＝10，∴菱形AECF的周长为40．21．某超市用1200元购进一批甲玩具，用500元购进一批乙玩具，所购甲玩具件数是乙玩具件数的2倍，已知甲玩具的进货单价比乙玩具的进货单价多1元．（1）求甲、乙玩具的进货单价各是多少元？（2）玩具售完后，超市决定再次购进甲、乙玩具（甲、乙玩具的进货单价不变），购进乙玩具的件数比甲玩具件数的2倍多40件，求该超市用不超过1400元最多可以采购甲玩具多少件？【解答】解：（1）设甲种玩具的进货单价为x元，则乙种玩具的进价为（x－1）元，根据题意得：＝×2，解得：x＝6，经检验，x＝6是原方程的解，∴x－1＝5．答：甲种玩具的进货单价6元，则乙种玩具的进价为5元．（2）设购进甲种玩具y件，则购进乙种玩具（2y＋40）件，根据题意得：6y＋5（2y＋40）≤1400，解得：y≤75，∵y为整数，∴y最大值＝75，答：该超市用不超过1400元最多可以采购甲玩具75件．22．如图1，OA＝2，OB＝4，以A点为顶点、AB为腰在第三象限作等腰Rt△ABC．（1）求C点的坐标；（2）如图1，在平面内是否存在一点H，使得以A、C、B、H为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出H点坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图1点M（1，－1）是第四象限内的一点，在y轴上是否存在一点F，使得|FM－FC|的值最大？若存在，请求出F点坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）如图1，过C作CM⊥x轴于M点，…1分∵∠MAC＋∠OAB＝90°，∠OAB＋∠OBA＝90°，则∠MAC＝∠OBA，…2分在△MAC和△OBA中，，∴△MAC≌△OBA（AAS），…3分∴CM＝OA＝2，MA＝OB＝4，∴OM＝OA＋AM＝2＋4＝6，∴点C的坐标为（－6，－2）…4分（2）答：如图2，存在三个H点，∵A（－2，0），B（0，－4），C（－6，－2），∴根据B到A的平移规律可得C到H1的平移规律，则H1（－8，2），同理得H2（－4，－6）、H3（4，－2）…7分（3）答：存在，F（0，－），如图3，作点M（1，－1）关于y轴的对点M'（－1，－1），设y轴上存在一点F1，连接CF1、M'F1，由于|FM－FC|≤CM'，当C、M'、F三点共线时取等号，…8分连接CM'，与y轴交于点F即为所求，设CM'的解析式为：y＝kx＋b，把C（－6，－2）、M'（－1，－1）代入得，，解得：，∴y＝，（9分）当x＝0时，y＝－，∴F（0，－）．（10分）23．【课本重现】已知：如图1，D，E分别是等边△ABC的两边AB，AC上的点，且AD＝CE．若BE，CD交于点F，则∠EFD＝120°；【迁移拓展】如图2，已知点D是等边△ABC的AB边上一点，点E是AC延长线上一点，若AD＝CE，连接ED，EB．求证：ED＝EB；【拓展延伸】如图3，若点D，E分别是BA，AC延长线上一点，且连接DE，以DE 为边向右侧作等边△DEF，连接AF，求△ADF的面积．【解答】【课本重现】解：∵△ABC是等边三角形，∴AC＝CB，∠A＝∠BCE＝60°，在△ACD和△CBE中，，∴△ACD≌△CBE（SAS），∴∠ACD＝∠CBE，∴∠DFB＝∠CBE＋∠BCF＝∠ACD＋∠BCF＝∠ACB＝60°，∴∠DFE＝180°－∠DFB＝120°．故答案为：120；【迁移拓展】证明：如图2中，过点E作EJ∥BC交AB的延长线于点J．∵BC∥EJ，∴∠ABC＝∠AJE＝60°，∠ACB＝∠AEJ＝60°，∴△AEJ是等边三角形，∴AJ＝AE，∵AB＝AC，∴BJ＝EC，∴四边形BCEJ是等腰梯形，∴BE＝CJ，由（1）可知由AD＝CE，可得CJ＝DE，∴DE＝BE．【拓展延伸】解：过点F作FM⊥AC于点M，FN⊥AD交AD的延长线于点N，过点D作DH⊥AF于点H．∵△DEF是等边三角形，∴FD＝FE，∠DFE＝60°，∵∠BAC＝60°，∴∠MAN＝120°，∵∠N＝∠FMA＝90°，∴∠MFN＝∠DFE＝60°，∴∠DFN＝∠MFC，∵∠N＝∠FME＝90°，∴△FND≌△FME（AAS），∴FM＝FN，DN＝EM，∵FN⊥AN．FM⊥AM，∴∠NAF＝∠MAF＝60°，∵AD＝CE＝2，AB＝AC＝6，∴AE＝8，∵AD＋AE＝AN－DN＋AM＋ME＝2AM＝10，∴AM＝5，∵∠AFM＝30°，∴AF＝2AM＝10，∵DH⊥AF，∴DH＝AD•sin60°＝，∴△ADF的面积＝•AF•DH＝×10×＝5．。