第12讲_函数

第12讲幂函数1．理解幂函数的概念；2．会画幂函数y x =，2y x =，3y x =，1y x -=，12y x =的图象，结合这几个幂函数的图象，理解幂函数图象的变化规律和性质；3．能解决与幂函数有关的复合函数问题。

一、幂函数的概念1、幂函数的概念：把形如函数y ＝x α的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数．2、幂函数需要满足三个条件：（1）系数为1；（2）指数α为常数；（3）后面不加任何项。

例如3y x =，1x y x +=，21y x =+等的函数都不是幂函数．二、幂函数的图象同一坐标系中，幂函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x －1，=12的图象(如图)．三、幂函数的性质1、所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)；2、如果α＞0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增；3、如果α＜0，那么幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减，在第一象限内，当x 从右边趋向于原点时，图象在y 轴右方无限接近y 轴，当x 从原点趋向于＋∞时，图象在x 轴上方无限接近x 轴；4、在(1，＋∞)上，随幂指数的逐渐增大，图象越来越靠近y 轴．四、画幂函数图象的技巧（类比具体幂函数）1、当0a <时，函数图象与坐标轴没有交点，类似于1y x -=的图象；2、当01a <<时，函数的图象向x 轴弯曲，类似于的12y x =图象；3、当1a >时，函数的图象向y 轴弯曲，类似于3y x =的图象。

再结合函数的奇偶性就容易知道它们的图象了。

考点一：判断是否为幂函数例1．下列函数为幂函数的是（）A ．22y x =B ．221y x =-C ．2y x=D ．2=y x 【变式训练】现有下列函数：①3y x =；②12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭；③24y x =；④51y x =+；⑤()21y x =-；⑥y x =；⑦(1)x y a a =>，其中幂函数的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4考点二：根据函数是幂函数求参数例2．已知幂函数f(x)＝x(α为常数)的图象经过点(，则f(9)＝（）A ．3-B ．13-C ．3D ．13【变式训练】幂函数()()23mx m x f =-在第一象限内是减函数，则m =（）A ．2BC ．D ．2-考点三：幂函数的定义域问题例3．函数()112f x x x -=+的定义域为（）A ．(),-∞+∞B ．()(),00,∞-+∞U C ．[)0,∞+D ．()0,∞+【变式训练】给出5个幂函数：①2y x -=；②45y x =；③14y x =；④23y x =；⑤45y x -=，其中定义域为R 的是（）A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④考点四：幂函数的图象判断与应用例4．如图，下列3个幂函数的图象，则其图象对应的函数可能是（）A ．①1y x -=，②12y x =，③13y x =B ．①1y x -=，②13y x =，③12y x =C ．①13y x =，②12y x =，③1y x-=D ．①13y x =，②1y x -=，③12y x=【变式训练】如图所示，图中的曲线是幂函数n y x =在第一象限的图象，已知n 取2±，12±四个值，则相应于1C ，2C ，3C ，4C 的n 依次为（）A ．2-，12-，12，2B ．2，12，12-，2-C ．12-，2-，2，12D ．2，12，2-，12-考点五：幂函数图象过定点例5．当R α∈时，函数2y x α=-的图象恒过定点A ，则点A 的坐标为________．【变式训练】不论实数a 取何值，函数()12ay x =-+恒过的定点坐标是___________．考点六：幂函数的单调性与奇偶性例6．下列函数中，在区间(,0]-∞上为增函数的是（）A ．1y x=B ．2y x =-C ．y x=D ．3y x =-【变式训练1】已知幂函数()f x 的图象经过点19,3⎛⎫⎪⎝⎭，则()f x 在定义域内（）A ．单调递增B ．单调递减C ．有最大值D ．有最小值【变式训练2】已知幂函数()()21mf x m m x =+-的图象关于y 轴对称，则m 的值为_________．考点七：利用幂函数单调性解不等式例7．已知幂函数1101 ()f x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，若()()182f a f a -<-，则a 的取值范围是__________.【变式训练】若幂函数()f x 过点()42，，则满足不等式()()21f a f a ->-的实数a 的取值范围是______．考点八：幂函数的综合应用例8．已知幂函数()223(22mm y f x x m --+==-<<，且)m Z ∈满足：①在区间()0,∞+上是增函数；②对任意的x ∈R ，都有()()0f x f x -+=.（1）求同时满足①②的幂函数()f x 的解析式，（2）在（1）条件下，求[]0,3x ∈时()f x 的值域.【变式训练】已知幂函数()223m m f x x --=(m ∈Z)的图象关于y 轴对称，且在()0,+∞上是单调递减函数．（1）求m 的值；（2）解不等式()()122f x f -≥．1．下列函数，既是幂函数，又是奇函数的是（）A ．()3f x x=-B ．()f x x=C ．()41f x x =D ．()5f x x=2．已知幂函数的图象经过点116,4P ⎛⎫⎪⎝⎭，则该幂函数的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．3．幂函数的图象过点12,4⎛⎫⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（）A ．偶函数，单调递增区间()0,+∞B ．偶函数，单调递减区间[)0,+∞C ．偶函数，单调递增区间(),0-∞D ．奇函数，单调递增区间(),-∞+∞4．幂函数a b c d y x y x y x y x ====，，，在第一象限的图像如图所示，则a b c d ，，，的大小关系是（）A ．a b c d >>>B ．d b c a >>>C ．d c b a >>>D ．b c d a>>>5．（多选）下列关于函数的描述中，正确的是（）A ．y =是幂函数B ．12x y +=是指数函数C ．22log y x =是对数函数D ．21)y =不是二次函数6．（多选）下列函数为幂函数的是（）A ．132y x=B ．0y x =C ．()21y x =+D ．1y x -=7．（多选）下列关于幂函数说法正确的是（）A ．图像必过点(1,1)B ．可能是非奇非偶函数C ．都是单调函数D ．图像不会位于第四象限8．已知幂函数()f x 的图象经过点2⎛⎫⎪⎝⎭，则(4)f 的值为________．9．已知函数()2+af x x =（a 为不等于0的常数）的图象恒过定点P ，则P 点的坐标为_______.10．已知幂函数()()2211mm f x m m x+-=--在()0,∞+上是减函数，则实数m 值是______.11．已知函数()nf x x =的图像经过点()2,8，若()()210f x f x +-<，则x 的取值范围为__________.12．已知幂函数()f x 的图像经过111(1,1),3,,,924A B C D ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭四点中的两点，且()f x 在(0,)+∞上为减函数．（1）求()f x 的解析式；（2）若(1)(23)f a f a +=-，求实数a 的值．13．已知幂函数()()()2246101,Z,R nnf x m m xn n m -+=-+>∈∈的图象关于y 轴对称，且在()0,∞+上单调递增.（1）求m 和n 的值；（2）求满足不等式()()32231nma a --+<-的a 的取值范围.1．下列函数中不是幂函数的是()A ．y =B ．3y x =C ．3y x =D ．1y x -=2．下列函数是幂函数的是（）A ．22y x =B ．1y x -=-C ．31y x =D ．2xy =3．若幂函数()()223265m f x m m x --+＝的图象与x 轴没有交点，则()f x 的图象（）A ．关于原点对称B ．关于x 轴对称C ．关于y 轴对称D ．不具有对称性4．在下列幂函数中，是偶函数且在()0,∞+上是严格增函数的是（）．A ．2y x -=B ．12y x -=C ．13y x =D ．23y x =5．已知幂函数()y f x =的图象过点22,4⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，则下列关于()f x 说法正确的是（）A ．奇函数B ．偶函数C ．在(0,)+∞单调递减D ．定义域为[0,)+∞6．函数54y x =的图像可能是（）A ．B ．C ．D ．7．如图是幂函数y x α=的部分图像，已知α分别取113333--、、、这四个值，则与曲线1234C C C C 、、、相应的α依次为（）A ．113333--、、、B ．113333--、、、C ．113333--、、、D ．113333--、、、8．已知幂函数()f x 的图像过点(，则()8f =______.9．若函数25(3)m y m x -=-是幂函数，则当12x =时的函数值为______．10．已知()(21)1n f x x =-+，则函数()y f x =的图象恒过的定点P 的坐标为__．11．已知幂函数()()211432()1t t f x t t x --=-+(Z t ∈)是偶函数，且在(0,)+∞上是增函数，则函数的解析式为_______．12．已知幂函数()()()2157R m f x m m x m --=-+∈为奇函数.（1）求12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）若()()21f a f a +>，求实数a 的取值范围.13．已知幂函数()()226Z mm f x x m --=∈在区间()0,∞+上是减函数．（1）求函数()f x 的解析式；f x的奇偶性和单调性；（2）讨论函数()f x的值域．（3）求函数()。

第十二讲：函数的图象一、知识梳理：1．函数作图的画图原则：（1）直接画——当函数的表达式是熟悉的函数就能够直接画。

（2）利用图象变换。

（3）描点法——当上述两种方法都失效时，只好用描点法。

移、对称或伸缩得到所需的函数的图象) （1）平移变换： 设0>a ，0>b○1要得到函数)(a x f y +=的图象，可将函数)(x f y =的图象_______________________________________________________；. ○2要得到函数)(a x f y -=的图象，可将函数)(x f y =的图象_______________________________________________________； ○3要得到函数b x f y +=)(的图象，可将函数)(x f y =的图象_______________________________________________________； ○4要得到函数b x f y -=)(的图象，可将函数)(x f y =的图象_______________________________________________________. （2）对称变换： ○1)(x f y =与)(x f y -=的图象关于__________________对称； ○2)(x f y =与)(x f y -=的图象关于__________________对称； ○3)(x f y =与)(x f y --=的图象关于_________________对称。

作函数|)(|x f y =图象的基本步骤是：________________________ _________________________________________________________. 作函数|)(|x f y =图象的基本步骤是：_______________________ _________________________________________________________. （3）伸缩变换：○1)(x Af y =（0>A ）的图象，可将)(x f y =的图象上的所有的点的横坐标___________，纵坐标变为原来的_________倍得到； ○2)(ax f y =（0>a ）的图象，可将)(x f y =的图象上的所有的点的横坐标变为原来的__________倍，纵坐标_________得到。

新高考数学一轮复习考点知识归类讲义第12讲对数与对数函数1.对数的概念如果a x＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N，其中a 叫做对数的底数，N叫做真数.2.对数的性质、运算性质与换底公式(1)对数的性质：①a log a N＝N；②log a a b＝b(a>0，且a≠1).(2)对数的运算性质如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么①log a(MN)＝log a M＋log a N；②log a MN ＝log a M－log a N；③log a M n＝n log a M(n∈R).(3)换底公式：log a b＝log c blog c a(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1).3.对数函数及其性质(1)概念：函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞).(2)对数函数的图象与性质a>10<a<1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0)当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0 在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数4.指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称.它们的定义域和值域正好互换.➢考点1 对数的化简求值[名师点睛]1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并.2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.3.a b ＝N ⇔b ＝log a N (a >0，且a ≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化. 1．（2022·浙江绍兴·模拟预测）己知lg 2,10b a b a +==，则=a _______；b =_________． 【答案】 10 1【解析】10log 10=⇒=ba ab ，∴1lg log 102log 10a a a b +=+=，解得log 10110=⇒=a a ，∴1b =﹒故答案为：10；1﹒2．（2022·全国·高三专题练习）化简求值（1）()3lg1log 233536log log 32145+-+；（2）()2lg 2lg5lg 2lg5ln1+⨯++；.（3）23722ln 2log 7log 81ln 2log 2log 8e +⋅--．（4）2log 33718182log 7log 9log 6log 3-⋅++.【解】（1）)3lg1log 233536log log 3145+-+03log 921)2211=-+=-+=；（2）()2lg 2lg5lg 2lg5ln1+⨯++()lg2lg5lg2lg50lg2lg51=+⨯++=+=；（3）23722ln 2log 7log 81ln 2log log e +⋅--13422222ln 7ln 3ln 2ln ln 2log 2log 2ln 3ln 7e =++⋅---13ln 224ln 2422=++---=；（4）2log 33718182log 7log 9log 6log 3-⋅++()218lg 7lg 33log 633212lg 3lg 7=-⋅+⨯=-+=3．（2022·全国·高三专题练习）（1）计算331log 2327lg 50lg 2+++；（2）已知()23log log lg 1x ⎡⎤=⎣⎦，求实数x 的值； （3）若185a =，18log 9b =，用a ，b ，表示36log 45．【解】（1）原式=()23lg 510lg25lg51lg26lg5lg26lg107++⨯+=+++=++=+=；（2）因为()23log log lg 1x ⎡⎤=⎣⎦，所以()3log lg 2x =，所以2lg 39x ==，所以x =109；（3）因为185a =，所以18log 5a =，所以()()()181818183618181818log 59log 45log 5log 9log 45log 36log 182log 18log 189⨯+====⨯+÷ 1818181818log 5log 9log 18log 18log 92a bb++=+--．[举一反三]1．（多选）（2021·全国·高三专题练习）设a ，b ，c 都是正数，且469a b c ==，那么（ ） A ．2ab bc ac +=B ．ab bc ac +=C ．221cab=+D ．121cba=-【答案】AD【解析】由于a ，b ，c 都是正数，故可设469a b c M ===，∴4log a M =，6log b M =，9log c M =，则1log 4M a =，1log 6M b=，1log 9M c =.log 4log 92log 6M M M +=，∴112a c b +=，即121c b a=-，去分母整理得，2ab bc ac +=. 故选AD.2．（2022·山东滨州·二模）212log sin15log cos345︒-︒=__________． 【答案】2-【解析】解：因为()cos345cos 36015cos15︒=︒-︒=︒， 所以()212222log sin15log cos345log sin15log cos15log sin15cos15︒-︒=︒+︒=︒︒2211log sin 30log 224⎛⎫=︒==- ⎪⎝⎭，故答案为：2-.3．（2022·全国·高三专题练习）（1）2log 32－log 3329＋log 38－5log 35； （2）(log 2125＋log 425＋log 85)·(log 52＋log 254＋log 1258)． 【解】（1）原式＝2log 32－5log 32＋2＋3log 32－3＝－1.（2）原式35522252255log 4log 8log 25log 5log 5log 2log 4log 8log 25log 125⎛⎫⎛⎫=++⋅++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()5522252522552log 23log 22log 5log 513log 5log 231log 53log 22log 23log 22log 53log 53⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅++=++⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭222log 213log 513log 5=⋅=. 4．（2022·全国·高三专题练习）化简求值： （1）()32log 533351log 5log 15log 53log 3⋅--+．（2）()92log 4lg 2lg 20lg53+⨯+；（3）ln 229lg 20lg 2log 3log 162sin 330e -+⋅-+.（4）22lg 25lg8lg5lg 20(lg 2).3++⋅+ （5）()()2539log 3log 3log 5log 5lg2+⋅+．【解】（1）()32log 533351log 5log 15log 53log 3⋅--+()()23333log 5log 53log 5log 55=⨯⨯--+ ()()23333log 51log 5log 5log 55=⨯+--+ ()()223333log 5log 5log 5log 555=+--+=；（2）()92log 4lg 2lg 20lg53+⨯+()()32log 2lg 2lg 21lg53=++⋅+ ()2lg 2lg 2lg5lg52=+⋅++()lg2lg2lg5lg52=+++lg 2lg523=++=；（3）ln 229lg 20lg 2log 3log 162sin 330e -+⋅-+︒()242320lglog 3log 222sin 302=+⋅-+-︒ 231lg10log 32log 222122102⎛⎫=+⋅⋅-+⋅-=+--= ⎪⎝⎭；（4）22lg25lg8lg5lg20(lg2)3++⋅+22lg52lg 2lg5lg(102)(lg 2)=++⋅⨯+()22(lg5lg2)lg51lg2(lg2)=++++2lg5lg 2(lg5lg 2)3=+++=；（5）()()2539log 3log 3log 5log 5lg2+⋅+lg3lg3lg5lg5lg 2lg 2lg5lg3lg9⎛⎫⎛⎫=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭lg3(lg 2lg5)lg5(lg3lg9)lg 2lg 2lg5lg3lg9++=⋅⋅⋅⋅lg 32lg 332lg 32+⋅==．5．（2022·全国·高三专题练习）（1）求23151log log 8log 2725⋅⋅的值. （2）已知9log 5=a ，37b =，试用a ，b 表示21log 35【解】（1）原式()()()1233232355log 5log 2log 32log 53log 23log 3--=⋅⋅=-⋅⋅-lg5lg 2lg31818lg 2lg3lg5=⋅⋅⋅= （2）由37b =得到3log 7b =，由9log 5=a ，得到31log 52=a ，即3log 52=a .33321333log 35log 5log 72log 35log 21log 7log 31a bb ++===++.➢考点2 对数函数的图象及应用1．（2022·山东潍坊·二模）已知函数()()log a f x x b =-（0a >且1a ≠）的图像如图所示，则以下说法正确的是（ ）A ．0a b +<B ．1ab <-C ．01b a <<D ．log 0a b > 【答案】C【解析】由图象可知()f x 在定义域内单调递增，所以1a >，令()()log 0a f x x b =-=，即1x b =+，所以函数()f x 的零点为1b +，结合函数图象可知011b <+<，所以10b -<<，因此0a b +>，故A 错误；0-<<a ab ，又因为1a >，所以1a -<-，因此1ab <-不一定成立，故B 错误；因为10b a a a -<<，即11ba a <<，且101a<<，所以01b a <<，故C 正确；因为01b <<，所以log log 1a a b <，即log 0a b <，故D 错误， 故选：C.2．（2022·广东广州·二模）函数()sin ln 23f x x x π=--的所有零点之和为__________． 【答案】9【解析】由()0sin ln |23|x x f x π=⇔=-，令sin y x =π，ln 23y x =-， 显然sin y x =π与ln 23y x =-的图象都关于直线32x =对称， 在同一坐标系内作出函数sin y x =π，ln 23y x =-的图象，如图，观察图象知，函数sin y x =π，ln 23y x =-的图象有6个公共点，其横坐标依次为123456,,,,,x x x x x x ，这6个点两两关于直线32x =对称，有1625343x x x x x x +=+=+=，则1234569x x x x x x +++++=， 所以函数()sin ln 23f x x x π=--的所有零点之和为9. 故答案为：9 [举一反三]1．（2022·浙江绍兴·模拟预测）在同一直角坐标系中，函数()log a y x =-，()10a y a x-=>，且1a ≠的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】解：因为函数()log a y x =-的图象与函数log a y x =的图象关于y 轴对称，所以函数()log a y x =-的图象恒过定点()1,0-，故选项A 、B 错误；当1a >时，函数log a y x =在()0,∞+上单调递增，所以函数()log a y x =-在(),0∞-上单调递减， 又()11a y a x-=>在(),0∞-和()0,∞+上单调递减，故选项D 错误，选项C 正确. 故选：C.2．（2022·江苏·二模）已知实数a ，b ，c 满足12ln 2b a c -==，则下列关系式中不可能成立的是（ ） A ．a b c >>B ．a c b >> C ．c a b >>D ．c b a >> 【答案】D【解析】设12ln 2b a c t -===，0t >， 则e t a =，2log b t =，21c t =，在同一坐标系中分别画出函数e x y =，2log y x =，21y x =的图象，当1t x =时，c a b >>， 当2t x =时，a c b >>， 当3t x =时，a b c >>，由此可以看出，不可能出现c b a >>这种情况，故选：D ．➢考点3 对数函数的性质及应用1．（2022·浙江金华·三模）若函数()()22x x f x x -=-，设12a =，41log 3b =，51log 4c =，则下列选项正确的是（ ）A ．()()()f a f b f c <<B ．()()()f a f c f b <<C ．()()()f b f a f c <<D ．()()()f c f a f b << 【答案】A【解析】由题可知()()22x x f x x -=-()x R ∈，故()()22()x xf x x f x --=--=，∴函数()f x 为偶函数；易知，当0x >时，()f x 在(0,)+∞为单调递增函数； 又441log log 33b ==-，∴44()(log 3)(log 3)f b f f =-=，同理，5()(log 4)f c f =； 又441log 2log 32=<，222524lg 4log 4lg 4lg 4(lg 4)lg51lg3log 3lg5lg3lg5lg3lg 42⋅==≥=>⋅+⎛⎫ ⎪⎝⎭， 故451log 3log 42<<，故()()()f a f b f c <<. 故选：A.2．（2022·福建莆田·三模）已知0.1542,log 3,log 2a b c ===，则（ ）A ．a c b >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．b a c >> 【答案】C【解析】0.10221a =>=124324>>=，124411log 3log 42b ∴>=>=， 1225<12551log 2log 52c ∴=<= a b c ∴>>故选：C.3．（2022·湖北·二模）已知函数()lg(||1)22x x f x x -=-++，则使不等式(1)(2)f x f x +<成立的x 的取值范围是（ ） A ．,1(),)1(-∞-⋃+∞B ．(2,1)--C ．1,(1,)3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭D ．(,2)(1,)-∞-+∞【答案】D【解析】由||10x ->得()f x 定义域为,1(),)1(-∞-⋃+∞，)lg(||1)22()(x x f x f x x -+=-+-=，故()f x 为偶函数，而lg(||1)y x =-，122x xy =+在(1,)+∞上单调递增， 故()f x 在(1,)+∞上单调递增，则(1)(2)f x f x +<可化为121121x xx x ⎧+<⎪+>⎨⎪>⎩，得222141111x x x x x ⎧++<⎨+>+<-⎩或 解得12x x ><-或 故选：D4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()2()log 14xf x x =+-，则下列说法正确的是（ ）A ．函数()f x 在(],0-∞上为增函数B ．函数()f x 的值域为RC ．函数()f x 是奇函数D ．函数()f x 是偶函数 【答案】D【解析】根据题意，函数()()2log 14f x x x =+-，其定义域为R ， 有()()()221log 1log 144xf x x x x f x ⎛⎫-=++=+-= ⎪⎝⎭，所以函数()f x 是偶函数，则D 正确，C 错误，对于A ，()()251log 102f f -=>=，()f x 不是增函数，A 错误， 对于B ，22()log (14)log (x f x x =+-=12)2x x +，设1222x xt =+，当且仅当0x =时等号成立，则t 的最小值为2，故2()log 21f x =，即函数的值域为[1，)+∞，B 错误， 故选：D5．（2022·全国·高三专题练习）知函数()()()2log 260,1a f x kx x a a =-+>≠（1）若函数的定义域为R ，求实数k 的取值范围； （2）若函数()f x 在[1,2]上恒有意义，求k 的取值范围；（3）是否存在实数k ，使得函数()f x 在区间[2,3]上为增函数，且最大值为2？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由 【解】解：（1）因为函数的定义域为R ， 则2260kx x -+>在R 上恒成立，当0k =时，260x -+>，得3x <，不合题意舍去； 当0k ≠时，04240k k >⎧⎨∆=-<⎩，解得16k >，综合得16k >；（2）函数()f x 在[1,2]上恒有意义，即2260kx x -+>在[1,2]上恒成立226kx x ∴>-，226k x x ∴>-恒成立， 令1t x =，1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则262y t t =-+，当12t =时，2max 11162222y ⎛⎫=-⨯+⨯=- ⎪⎝⎭，12k ∴>-；（3）当1a >时，()012log 92362a k k k >⎧⎪⎪≤⎨⎪-⨯+=⎪⎩或()013log 92362a k k k <⎧⎪⎪≥⎨⎪-⨯+=⎪⎩，解得21,99a k k =>，当01a <<时，()013log 92362a k k k >⎧⎪⎪≥⎨⎪-⨯+=⎪⎩或()012log 92362a k k k <⎧⎪⎪≤⎨⎪-⨯+=⎪⎩，解得21,099a k k =<<．故存在实数29a k =，使得函数()f x 在区间[2,3]上为增函数，且最大值为2．[举一反三]1．（2022·湖南·岳阳一中一模）设5log 4a =，4log 3b =，0.614c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ）A ．a b c >>B ．c b a >>C ．b a c >>D ．a c b >> 【答案】A【解析】22254lg3lg5lg 4()lg 4lg3lg 4lg3lg52log 4log 3lg5lg 4lg 4lg5lg 4lg5+---=-=≥0=>, 所以54log 4log 3>，441log 3log 22>=，而0.6 1.2111()()422=<，所以a b c >>． 故选：A ．2．（2022·北京房山·二模）已知函数2()log x f x =，则不等式()2f x 的解集为( )A ．(4,0)(0,4)-⋃B ．(0,4)C ．1,44⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】2222()log 22l 222og f x x x x x -<⇒<<⇒∈=<⇒-<1,44⎛⎫ ⎪⎝⎭．故选：C ﹒3．（2022·北京昌平·二模）已知函数2()42(0)f x ax ax a =-+<，则关于x 的不等式2()log f x x >的解集是（ ）A ．(,4)-∞B ．(0,1)C ．(0,4)D ．(4,)+∞ 【答案】C【解析】由题设，()f x 对称轴为2x =且图象开口向下，则()f x 在(0,2)上递增，(2,)+∞上递减，由2()42(4)2f x ax ax ax x =-+=-+，即()f x 恒过(4,2)且(0)2f =， 所以(0,4)上()2f x >，(4,)+∞上()2f x ，而2log y x =在(0,)+∞上递增，且(0,4)上2y <，(4,)+∞上2y >， 所以2()log f x x >的解集为(0,4). 故选：C4．（2022·北京丰台·二模）已知偶函数()f x 在区间[)0,∞+上单调递减．若()()lg 1f x f >，则x 的取值范围是（ ）A ．1,110⎛⎫⎪⎝⎭B ．()10,1,10⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭C ．1,1010⎛⎫⎪⎝⎭D ．()10,10,10∞⎛⎫⋃+ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】解：偶函数()f x 在区间[)0,∞+上单调递减，所以()f x 在区间(],0-∞上单调递增； 则()()lg 1f x f >等价于lg 1x <，即1lg 1x -<<， 即1lglg lg1010x <<，解得11010x <<，即原不等式的解集为1,1010⎛⎫ ⎪⎝⎭； 故选：C5．（2022·河北·高三阶段练习）已知函数()41,12log 1,11xx x x ⎧⎛⎫≥⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪+-<<⎩，则()12f x x ≤的解集为（ ）A ．(],0-∞B ．(]1,0-C ．(][1,01,)-⋃+∞D ．[)1,+∞ 【答案】C【解析】作出函数()y f x =与12y x =的图象，如图，当1≥x 时，1122xx ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，作出函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与12y x =的图象，由图象可知，此时解得[1,)x ∈+∞；当11x -<<时，()41log 12x x +≤，作出函数()4log 1y x =+与12y x =的图象，它们的交点坐标为()0,0、11,2⎛⎫⎪⎝⎭，结合图象知此时(]1,0x ∈-.所以不等式1()2f x x ≤的解集为(]1,0-[1,)+∞. 故选：C6．（2022·重庆·模拟预测）若函数()2()log 341a f x x ax =-+-有最小值，则实数a 的取值范围是（ ）A ．3⎫⎪⎪⎝⎭B ．3)C ．3⎛ ⎝⎭D ．(3,)+∞ 【答案】A【解析】解：依题意()()0,11,a ∈+∞且23410x ax -+->，所以216120a ∆=->，解得3a >或3a <()31,a ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭，令23410x ax -+-=的根为1x 、2x 且12x x <，()2341u x x ax =-+-，log a y u =， 若()1,a ∈+∞，则log a y u =在定义域上单调递增，()2341u x x ax =-+-在12,3a x ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在22,3a x ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减， 根据复合函数的单调性可知，()2()log 341a f x x ax =-+-在12,3a x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在22,3a x ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，函数不存在最小值，故舍去；若3a ⎫∈⎪⎪⎝⎭，则log a y u =在定义域上单调递减，()2341u x x ax =-+-在12,3a x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在22,3a x ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减， 根据复合函数的单调性可知，()2()log 341a f x x ax =-+-在12,3a x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在22,3a x ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以函数在23ax =取得最小值，所以a ⎫∈⎪⎪⎝⎭； 故选：A7．（2022·江苏·高三专题练习）已知函数22414ax x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为10,16⎛⎤⎥⎝⎦，若不等式()()log 4log 2x a x a t t ⋅<-在[]1,2x ∈上恒成立，则t 的取值范围是（ ） A ．2,25⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．2,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．(,2)-∞D ．()0,2【答案】A【解析】由题意，函数22414ax x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为10,16⎛⎤ ⎥⎝⎦，可得函数y 的最大值为116， 当0a =时，函数2414x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭显然不存在最大值；当0a >时，函数22414ax x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭在1,x a ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,x a⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，当1x a=时，函数y 有最大值，即12411416a a-+⎛⎫=⎪⎝⎭，解得12a =；当0a <时，22414ax x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭在1,x a ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,x a⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，此时函数y 无最大值，所以()()1122log 4log 2x xt t ⋅<-在[]1,2x ∈上恒成立， 即402042x xx x t t t t ⎧⋅>⎪->⎨⎪⋅>-⎩在[]1,2x ∈上恒成立， 由40x t ⋅>在[]1,2x ∈上恒成立，可得0t >；由20x t ->在[]1,2x ∈上恒成立，即2x t <在[]1,2上恒成立，可得2t <；由42x x t t ⋅>-在[]1,2x ∈上恒成立，即2114122x x x xt >=++在[]1,2上恒成立，令()122x xf x =+，可得函数()f x 在[]1,2上单调递增，所以()()min512f x f ==，即25t >， 综上可得225t <<，即实数t 的取值范围是2,25⎛⎫⎪⎝⎭.故选：A.8．（多选）（2022·江苏·高三专题练习）已知函数()2log f x x =-，下列四个命题正确的是（ ）.A ．函数()f x 为偶函数B ．若()()f a f b =，其中0a >，0b >，1a b <<，则1ab =C ．函数()22f x x -+在()1,3上为单调递增函数D ．若01a <<，则()()11f a f a +<- 【答案】ABD【解析】解：函数()2log f x x =-对于A ，()2log f x x =-，()()22log log f x x x f x -=--=-=，所以函数()f x 为偶函数，故A 正确；对于B ，若()()f a f b =，其中0a >，0b >，1a b <<，所以()()()f a f b f b ==-，22log log a b -=，即222log log log 0a b ab +==，得到1ab =，故B 正确；对于C ，函数()()2222log 2f x x x x -+=--+，由220x x -+>，解得02x <<，所以函数()22f x x -+的定义域为()0,2，因此在()1,3上不具有单调性，故C 错误；对于D ，因为01a <<，21110,011a a a ∴+>>-><-<，()()22log 10log 1a a ∴+>>-，故()()()()2211log 1log 1f a f a a a +--=-+---()()()2222log 1log 1log 10a a a =++-=-<，故D正确. 故选：ABD.9．（多选）（2022·全国·高三专题练习）已知()f x 为定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，有()()1f x f x +=-，且当[)0,1x ∈时，()()2log 1f x x =+.给出下列命题，其中正确的命题的为（ ）A ．()()201620170f f +-=B ．函数()f x 在定义域上是周期为2的周期函数C ．直线y x =与函数()f x 的图像有1个交点D ．函数()f x 的值域为()1,1- 【答案】ACD【解析】根据题意，可在同一平面直角坐标系中画出直线y x =和函数()f x 的图象如图所示，根据图象可知选项A 中，()()()()20162017010f f f f +-=+=正确； 对于选项B ，函数()f x 在定义域上不是周期函数，所以B 不正确；对于选项C ，根据函数图象可知y x =与()f x 的图象有个交点，所以C 正确； 对于选项D ，根据图象，函数()f x 的值域是()1,1-，所以D 正确. 故选：ACD.10．（2022·全国·高三专题练习）已知函数2()23=-+f x x x ，2()log g x x m =+，对任意的1x ，2[1x ∈，4]有12()()f x g x >恒成立，则实数m 的取值范围是___________.【答案】(,0)-∞【解析】函数22()23(1)2=-+=-+f x x x x 在[1，4]上单调递增，2()log g x x m =+在[1，4]上单调递增，∴()()min 12f x f ==，()()max 42g x g m ==+， 对任意的1x ，2[1x ∈，4]有12()()f x g x >恒成立， ∴()()min max f x g x >，即22m >+，解得0m <， ∴实数m 的取值范围是(),0-∞． 故答案为：(,0)-∞.11．（2022·北京·高三专题练习）已知函数()log (0),1)a f x x a a =>≠且，设1a >，函数log a y x =的定义域为[m ，n ] (m <n )，值域为[0，1]，定义“区间[m ，n ]的长度等于n －m ”，若区间[m ，n ]长度的最小值．．．为5,6求实数a 的值； 【解】画出函数log a y x =的图像，如图所示，结合图像可知，要使log a y x =的值域是[0，1]，其定义域可能是1,1a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦、[]1,a 、1,a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，且1111a a a a--=<-， 因此结合题意可知1516a -=，所以6a =.12．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()log 3a f x ax =-(0a >，且1a ≠). （1）求()f x 的定义域.（2）是否存在实数a ，使函数()f x 在区间[]1,2上单调递减，并且最大值为2？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由. 【解】（1）由题意可得30ax ->，即3ax <， 因为0a >，所以解得3x a<.故()f x 的定义域为3,a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭. （2）假设存在实数a ，使函数()f x 在区间[]1,2上单调递减，并且最大值为2. 设函数()3g x ax =-，由0a >，得0a -<，所以()g x 在区间[]1,2上为减函数且()0g x >恒成立， 因为()f x 在区间[]1,2上单调递减， 所以1a >且320a ->，即312a <<.又因为()f x 在区间[]1,2上的最大值为2， 所以()()()max 1log 32a f x f a ==-=，整理得230a a +-=，解得)0a a =>.因为34<，所以31,2a ⎛⎫⎪⎝⎭，所以存在实数a =，使函数()f x 在区间[]1,2上单调递减，并且最大值为2. 13．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()log (2)log (4)a a f x x x =-++，其中1a >. （1）求函数()f x 的定义域； （2）求函数()f x 图像所经过的定点；（3）若函数()f x 的最大值为2，求a 的值.【解】解：（1）因为()log (2)log (4)a a f x x x =-++，所以2040x x ->⎧⎨+>⎩，解得42x -<<，所以函数()f x 的定义域{}42x x -<<.（2）因为()log (2)log (4)a a f x x x =-++， 所以()log (2)(4)a f x x x =-+，当()()241x x -+=时，即1x =-±时，()0f x =，函数图像所经过的定点()1-+，()1--.（3）令()(2)(4)g x x x =-+，()4,2x ∈-，则()22()2819g x x x x =--+=-++，所以(]()0,9g x ∈，若函数()log (2)(4)a f x x x =-+的最大值为2， 因为1a >，则()9g x =时最大值为2， 即max ()log 92a f x ==，则29a =，故3a =.14．（2022·北京·高三专题练习）已知函数()()4412log 2log 2f x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.(1)当[]1,16x ∈时，求该函数的值域； (2)求不等式()2f x >的解集；(3)若()4log f x m x <于[]4,16x ∈恒成立，求m 的取值范围． 【解】(1)令4t log x =，[]1,16x ∈，则[]0,2t ∈， 函数()f x 转化为()1222y t t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，[]0,2t ∈，则二次函数()1222y t t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，在10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在]1,24⎛ ⎝上单调递增，所以当14t =时，y 取到最小值为98-，当2t =时，y 取到最大值为5，故当[]1,16x ∈时，函数()f x 的值域为9,58⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.(2)由题得()4412220,2log x log x ⎛⎫-+-> ⎪⎝⎭，令4t log x =，则()122202t t ⎛⎫-+-> ⎪⎝⎭，即2230t t -->，解得32t >或1t <-，当32t >时，即432log x >，解得8x >；当1t <-时，即41log x <-，解得104x <<，故不等式()2f x >的解集为104x x ⎧<<⎨⎩或}8x >．(3)由于()4441222log x log x mlog x ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭对于[]4,16x ∈上恒成立，令4t log x =，[]4,16x ∈，则[]1,2t ∈即()1222t t mt ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭在[]1,2t ∈上恒成立，所以121m t t>--在[]1,2t ∈上恒成立，因为函数1y t=-在[]1,2上单调递增，2y t =也在[]1,2上单调递增， 所以函数121y t t =--在[]1,2上单调递增，它的最大值为52， 故52m >时，()4f x mlog x <对于[]4,16x ∈恒成立。

第十二讲 一次函数考点概述：一次函数的概念、图象和性质是中考的必考内容，一次函数的应用是中考的热点内容。

中考对这部分内容的要求是结合具体情境体会一次函数的意义，根据已知条件确定一次函数的表达式；会画一次函数的图象，根据图象与表达式探索并理解其性质；根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解；用一次函数解决实际问题。

中考课标要求考点精析考点1 一次函数（1）一次函数与正比例函数的概念若两个变量x 、y 间的关系式可以表示成b kx y +=（k 、b 为常数，0≠k ）的形式，则称y 是x 的一次函数（x 是自变量，y 是因变量），特别地，当0=b 时，称y 是x 的正比例函数。

注意：①一次函数解析式的结构特征：b kx +是关于x 的一次二项式，其中，常数项b 可以是任意实数，一次项系数k 必须是非0数，即0≠k 。

②当0=b ，而0≠k 时，kx y =仍是一次函数。

③当0=k 时，b y =（b 是常数），这样的函数叫做常函数，它不是一次函数。

（2）正比例函数与一次函数的关系：正比例函数是一次函数的特例，一次函数包含正比例函数。

（3）一次函数的分类⎩⎨⎧+=≠==≠+=是非正比例函数时，当是正比例函数时，当一次函数b kx y b kx y b k b kx y 00)0(考点2 一次函数的图像与性质（1）一次函数图像的概念：把一个函数的自变量x 与对应的函数y 的值分别作为点的横坐标与纵坐标，在直角坐标系中描出它的对应点，那么所有这些点组成的图形叫做该函数的图像。

注意：通常，我们把一次函数)0(≠+=k b kx y 的图像叫做直线b kx y +=。

①一次函数)0(≠+=k b kx y 的图像是经过点),0(b 的直线。

②正比例函数)0(≠=k kx y 的图像是经过原点)0,0(的直线。

（2）一次函数图像的画法当0≠b 时，通常取),0(b 、)0,(kb -两点，就可以画出一次函数)0(≠+=k b kx y 的图像。

第12讲 二次函数第1课时 二次函数的图象与性质知识点1 二次函数的概念1．关于x 的函数y ＝(m ＋1)x 2＋(m －1)x ＋m ，当m ＝0时，它是二次函数；当m ＝－1时，它是一次函数．知识点2 二次函数的图象与性质2．已知h 与t 的函数关系式为h ＝12gt 2(g 为常数，t 为时间)，则函数图象为(A )3．抛物线y ＝12x 2，y ＝x 2，y ＝－x 2的共同性质是：①都是开口向上；②都以(0，0)为顶点；③都以y 轴为对称轴；④都关于x 轴对称．其中正确的个数有(B )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．如图，抛物线顶点坐标是P(1，3)，则函数y 随自变量x 的增大而减小的x 的取值范围是(C )A ．x ＞3B ．x ＜3C ．x ＞1D ．x ＜15．二次函数y ＝x 2－2x －3的最小值是－4．知识点3 二次函数图象的平移6．抛物线y ＝(x ＋2)2－3由抛物线y ＝x 2先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到．7．将抛物线y ＝2(x －1)2＋2向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，那么得到的抛物线的表达式为y ＝2(x ＋2)2－2．知识点4 确定二次函数的解析式8．已知二次函数的图象如图，则其解析式为(B)A．y＝x2－2x＋3B．y＝x2－2x－3C．y＝x2＋2x－3D．y＝x2＋2x＋39．若抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点是A(2，1)，且经过点B(1，0)，则抛物线的函数关系式为y＝－x2＋4x－3．知识点5二次函数与方程、不等式10．抛物线y＝x2＋2x＋m－1与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围是(A)A．m＜2 B．m＞2C．0＜m≤2 D．m＜－211．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，当y＜0时，x的取值范围是(A)A．－1＜x＜3B．x＞3C．x＜－1D．x＞3或x＜－1重难点1二次函数的图象和性质(2017·枣庄)已知函数y＝ax2－2ax－1(a是常数，a≠0)，下列结论正确的是(D)A．当a＝1时，函数图象经过点(－1，1)B．当a＝－2时，函数图象与x轴没有交点C．若a＜0，函数图象的顶点始终在x轴的下方D．若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而增大【思路点拨】(1)将a＝1代入原函数解析式，令x＝－1求出y值，由此得出A选项不符合题意；(2)将a＝2代入原函数解析式，令y＝0，根据根的判别式Δ＝8＞0，可得出当a＝－2时，函数图象与x轴有两个不同的交点，即B选项不符合题意；(3)利用配方法找出二次函数图象的顶点坐标，令其纵坐标小于零，可得出a的取值范围，由此可得出C选项不符合题意；(4)利用配方法找出二次函数图象的对称轴，结合二次函数的性质，即可得出D选项符合题意．【变式训练1】(2016·兰州)点P1(－1，y1)，P2(3，y2)，P3(5，y3)均在二次函数y＝－x2＋2x＋c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是(D)A．y3>y2>y1B．y3>y1＝y2C．y1>y2>y3D．y1＝y2>y3【变式训练2】(2017·泰安)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的y与x的部分对应值如下表：x －1 0 1 3y －3 1 3 1下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为x ＝1；③当x<1时，函数值y 随x 的增大而增大；④方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根大于4.其中正确的结论有(B )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个,方法指导解决二次函数图象和性质相关题，首先需明确二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标等与解析式中相关字母的关系，若确定解析式，也可通过将解析式配方，得出函数的对称轴，顶点坐标，函数图象与坐标轴的交点等，从而画出函数大致图象，再利用数形结合思想解题．方法指导比较抛物线上点的纵坐标大小的基本方法有以下三种：(1)利用抛物线上对称点的纵坐标相等，把各点转化到对称轴的同侧，再利用二次函数的增减性进行比较； (2)当已知抛物线的解析式及相应点的横坐标时，可先求出相应点的纵坐标，然后比较大小；(3)利用“开口向上，抛物线上的点距离对称轴越近，点的纵坐标越小，开口向下，抛物线上的点距离对称轴越近，点的纵坐标越大”比较大小．重难点2 同一坐标系中的函数图象共存问题(2016·毕节)一次函数y ＝ax ＋c(a ≠0)与二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)在同一个坐标系中的图象可能是(D )【变式训练3】 函数y ＝kx与y ＝－kx 2＋k(k ≠0)在同一直角坐标系中的图象可能是(B )方法指导解决函数图象共存问题主要有以下三种方法：(1)排除法：根据已知条件中得出的结论直接排除某选项，如：本例由已知条件可知两个函数的常数项都是c ，说明两个函数图象与y 轴交于同一个点，所以排除A 选项；(2)同一法：一般可以先假定其中一种函数的图象(如：一次函数，反比例函数)，再根据函数图象得到该函数解析式中字母的范围，去判断另一个函数图象是否正确．如：本例B 选项，若一次函数图象正确，则a<0，c<0，这与抛物线开口向上相矛盾．故B 选项错误．重难点3 二次函数图象与字母系数的关系(2016·随州)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的部分图象如图所示，图象过点(－1，0)，对称轴为直线x＝2，下列结论：(1)4a ＋b ＝0；(2)9a ＋c>3b ；(3)8a ＋7b ＋2c>0；(4)若点A(－3，y 1)，点B(－12，y 2)、点C(72，y 3)在该函数图象上，则y 1<y 3<y 2；(5)若方程a(x ＋1)(x －5)＝－3的两根为x 1和x 2，且x 1<x 2，则x 1<－1<5<x 2.其中正确的结论有(B )A．2个B．3个C．4个D．5个【思路点拨】(1)利用对称轴公式判别；(2)观察形式发现当x＝－3时，y＝9a－3b＋c＜0，可得9a＋c＜3b；(3)根据对称轴为x＝2，得b＝－4a，则8a＋7b＋2c＝－20a＋2c，由a＜0，c>0，可得－20a＋2c>0；(4)抛物线的开口向下，距离对称轴越远，纵坐标越小；(5)方程a(x＋1)(x－5)＝－3的两根x1和x2为直线y＝－3与抛物线y＝a(x ＋1)(x－5)的两个交点的横坐标，这两个交点在抛物线y＝a(x＋1)(x－5)与x轴两交点的两侧，因此x1<－1<5<x2.【变式训练4】(2017·荆门)在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的大致图象如图所示，则下列结论正确的是(D)A．a<0，b<0，c>0B．－b2a＝1C．a＋b＋c<0D．关于x的方程ax2＋bx＋c＝－1有两个不相等的实数根变式训练4图变式训练5图【变式训练5】(2017·广安)如图所示，抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点为B(－1，3)，与x轴的交点A在点(－3，0)和(－2，0)之间，以下结论：①b2－4ac＝0；②a＋b＋c>0；③2a－b＝0；④c－a＝3，其中正确的有(B)A．1个B．2个C．3个D．4个方法指导解答二次函数的图象信息问题，通常先抓住抛物线的对称轴和顶点坐标，再依据图象与字母系数之间的关系求解．常考的一些式子的判断方法如下：(1)判断2a＋b与0的关系，需比较对称轴与1的大小；判断2a－b与0的关系，需比较对称轴与－1的大小；(2)判断a＋b＋c与0的关系，需看x＝1时的纵坐标，即比较x＝1时函数值与0的大小；判断a－b＋c与0的关系，需看x＝－1时的纵坐标，即比较x＝－1时函数值与0的大小；(3)判断4a＋2b＋c与0的关系，需看x＝2时的纵坐标，即比较x＝2时函数值与0的大小；判断4a－2b＋c与0的关系，需看x＝－2时的纵坐标，即比较x＝－2时函数值与0的大小．1．(人教九上教材P37练习的变式题)(2017·长沙)抛物线y＝2(x－3)2＋4的顶点坐标是(A)A．(3，4) B．(－3，4)C．(3，－4) D．(2，4)。

正、反比例函数是八年级数学上学期第十八章内容，主要对正、反比例函数的图像及性质综合题型进行讲解，重点是正、反比例函数性质的灵活运用，难点是数形结合思想的应用的归纳总结．通过这节课的学习为我们后期学习一次函数的应用提供依据．一、正比例函数1、如果两个变量的每一组对应值的比值是一个常数（这个常数不等于零），那么就说这两个变量成正比例，用数学式子表示两个变量x、y成正比例，就是ykx=，或表示为y kx=，k是不等于零的常数．2、解析式形如y kx=（k是不等于零的常数）的函数叫做正比例函数，其中常数k叫做比例系数；正比例函数y kx=的定义域是一切实数．确定了比例系数，就可以确定一个正比例函数的解析式．3、一般地，正比例函数y kx=（k是常数，k≠0）的图象是经过（0，0），（1，k）这两点的一条直线，我们把正比例函数y kx=的图象叫做直线y kx=．正反比例综合知识结构模块一：正反比例函数图像和性质知识精讲内容分析4、正比例函数图像的性质：（1）当k>0时，正比例函数的图像经过第一、三象限；自变量x的值逐渐增大时，y 值也随着逐渐增大．（2）当k<0时，正比例函数的图像经过第二、四象限；自变量x的值逐渐增大时，y 值反而逐渐减小．二、反比例函数1、如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例，用数学式子表示两个变量x、y成反比例，就是xy k=，或表示为kyx=，其中k是不等于零的常数．2、解析式形如kyx=（k是常数，0k≠）的函数叫做反比例函数，其中k也叫做比例系数．反比例函数kyx=的定义域是不等于零的一切实数．3、反比例函数的图像：按照作函数图像的一般步骤，通过列表、描点、连线，来画反比例函数kyx=（k是常数，k≠0）的图像．反比例函数kyx=（k是常数，k≠0）的图像叫做双曲线，它有两支．4、反比例函数图像的性质：（1）当k>0时，函数图像的两支分别在第一、三象限；在每个象限内，当自变量x的值逐渐增大时，y的值随着逐渐减小；（2）当k<0时，函数图像的两支分别在第二、四象限；在每个象限内，当自变量x的值逐渐增大时，y的值随着逐渐增大；（3）图像的两支都无限接近于x轴和y轴，但不会与x轴和y轴相交．【例1】函数25(1)my m x-=+：（1）当m为_______时，它是正比例函数，且y随x的增大而增大；（2）当m为_______时，它是反比例函数，且在各个象限中，y随x的增大而增大．【难度】★【答案】【解析】例题解析【例2】 （1）函数2y x =与3y x=的图像的交点坐标是_______________； （2）函数121y x y x=-=与的图像的交点坐标是___________． 【难度】★ 【答案】 【解析】【例3】 已知直线2y mx =与双曲线1k y x-=的一个交点A 的坐标为(12)--，，则m k +=________；它们的另一个交点坐标是___________．【难度】★ 【答案】 【解析】【例4】 若y 与1x成正比例关系，z 与x 成正比例关系，则y 与z 成___________关系． 【难度】★ 【答案】【例5】 若正比例函数和反比例函数的图像经过点A （-2，1）和点B (312)a b -+，，则2a b 的值为 ___________． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例6】 若直线1100x y =-与双曲线2(0)my m x=≠的图像有两个交点，则m 的取值范围是___________． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例7】 如图，正比例函数1(0)y kx k =≠和反比例函数2(00)ky k x x=≠>，的图像在同一平面直角坐标系中大致是（ ）．【难度】★★ 【答案】 【解析】【例8】 若A 、B 两点关于y 轴对称，点A 在双曲线14y x=上，点B 在2y x =-上，则B 点坐标是_________． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例9】 正比例函数1(0)y kx k =>和反比例函数21y x=的图像交于A 、C 两点，过A 作x 轴的垂线交x 轴于B 点，连接BC ，若△ABC 的面积是S ，求S 的值． 【难度】★★ 【答案】 【解析】AxyO By xODyxOCyxO【例10】 已知正比例函数1(1)y k x =+与反比例函数21m y x-=交于A 、B 两点，且点A 的横坐标是-1，点B 的纵坐标是2，求这两个函数的解析式． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例11】 已知反比例函数11k y x=和正比例函数22y k x =的图像交于点（2，3）， （1） 求这两个函数解析式；（2） 判断点（1，6）是否在反比例函数的图像上； （3） 求两个函数图像的另一个交点． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例12】 已知函数(1)y k x =-的图像上一点A (03)-，，并且它和反比例函数的图像交于点B （2，m ）求反比例函数的解析式． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例13】 已知函数124my mx y x-==，的图像有两个交点，其中一个交点的横坐标是1，求这两个函数图像的交点坐标． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例14】 已知直角坐标系内一个正方形的边长为2，中心位于点（2，2），各边与坐标轴平行，双曲线ky x =与正方形有公共点，求k 的取值范围．【难度】★★ 【答案】 【解析】【例15】 已知12y y y =+，其中1y 与x 成正比例，2y 且当1x =时，5y =，当4x =时，18y =，求： （1）y 与x 的函数解析式； （2）当2x =时，y 的值． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例16】 已知：1223y y y =-，1y 与3x -成正比例，2y 与x+8成反比例，且当1x =和5x =-时，y 的值分别是3和-11，求y 和x 之间的函数关系式． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例17】在同一平面直角坐标系中，已知正比例函数12y x=-和正反比例函数26yx=-的图像相交于P 、Q两点，点A在x 轴的负半轴上，且与原点的距离是4，（1）求P、Q两点的坐标；（2）求△APQ的面积．【难度】★★【答案】【解析】【例18】A、B是双曲线3yx=上的点，分别过A、B两点向x、y轴作垂线段，重叠部分的面积为1S=阴，如图所示，求空白部分的面积之和，即12S S+的值．【难度】★★【答案】【解析】【例19】如图，已知正方形OABC的面积是9，点O为坐标原点，点A在x轴上，点C 在y轴上，点B是双曲线kyx=上的点，P（m，n）是图像上任意一点，过点P分别作x、y轴的垂线段，垂足分别为E、F，若矩形OEPF和正方形OABC重合的部分的面积是S，求出S和m的函数关系式．【难度】★★【答案】【解析】ABO xyABCO EFGPyx【例20】 已知函数2(0)a y x x =>的图象与13(0)y x x-=<的图象关于y 轴对称．在2(0)ay x x =>的图象上取一点P （P 点的横坐标大于2)，过P 作PQ ⊥x 轴，垂足是Q ，若存在两点B 、C ，且B (0，2)，C (2，0)，使得四边形BCQP 的面积等于2，求P 点的坐标． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例21】 如图，正比例函数1y kx =（k >0）与反比例函数21y x=的图像交于A 、C 两点，过点A 作x 轴的垂线交x 轴于B ，连接BC ．若△ABC 的面积是S ，试指出S 是否为定值?若为定值，请求出这个定值；若不是定值，请说明理由． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例22】 如图，直线l 和双曲线(0)ky k x=>交于A 、B 两，P 是线段AB 上的点（不与A 、B 重合），过点A 、B 、P 分别向x 轴作垂线，垂足分别是C 、D 、E ,连接OA 、OB 、OP ， 设△AOC 面积是1S ，△BOD 面积是2S ，△POE 面积是3S ，试比较123S S S ，，的大小 关系． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】ABCP QxyOA B CDOxyABC DEPx y OL【例23】 已知：关于x 的一元二次方程22(21)0x k x k +-+=的两根12x x ，满足22120x x -=，双曲线4(0)ky x x=>经过Rt △OAB 斜边OB 的中点D ，与直角边AB 交于点C ，求OBC S ∆． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】【例24】 已知：在矩形AOBC 中，OB =4，OA =3，分别以OB ，OA 所在直线为x 轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F 是边BC 上的一个动点（不与B ，C 重合），过F点的反比例函数ky x =的图像与AC 边交于点E ．（1）求出满足题意的k 的取值范围；（2）记OEF ECF S S S =-△△，求S 关于k 的函数解析式；（3）是否存在这样的实数k ，使△OEF 和△ECF 面积相等?若存在，求出点F 的坐标；若不存在，说明理由． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】【例25】 如图，11POA ∆、212P A A ∆都是等腰直角三角形，点1P 、2P 在函数9(0)y x x=<的图像上，斜边1OA 、ky x=都在x 轴上，则点2P 的坐标为_________． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】ABCDOxyOxABC OyEF【例26】 在平面直角坐标系xOy 中，直线1l 过点A (1，0)且与y 轴平行，直线2l 过点B (0，2)且与x 轴平行，直线1l 与2l 相交于P ．点E 为直线2l 一点，反比例函数(0)ky x x =>的图象过点E 且与直线1l 相交于点F . （1）若点E 与点P 重合，求k 的值；（2）连接OE 、OF 、EF ，若2k >，且△OEF 的面积为△PEF 的面积2倍，求点E 的坐标．【难度】★★★ 【答案】 【解析】yA B xO PE ABxyOP F【例27】 如图，已知直线112y x =与双曲线2(0)ky k x=>交于A 、B 两点，且点A 的横坐标是4，过原点O 的另一条直线L 交双曲线2(0)ky k x =>于P 、Q 两点（点P 在第一象限），若由点A 、B 、P 、Q 为顶点组成的四边形的面积是24，求点P 的坐标． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】【习题1】 已知正比例函数与反比例函数的图像有一个交点()215-，，那么这两个函数的另一个交点的坐标为________，两个函数解析式分别是_________________________． 【难度】★ 【答案】 【解析】【习题2】 若正比例函数和反比例函数都经过1(0)y mx m =≠和2(0)ny n x=≠都经过点（2，3）则m =___________，n =__________． 【难度】★ 【答案】 【解析】随堂检测ABOxy【习题3】 已知：221(+2)mm y m m x +-=：（1）如果y 是x 的正比例函数，则m ______，函数解析式为_________； （2）如果y 是x 的反比例函数，则m ______，函数解析式为_________． 【难度】★ 【答案】 【解析】【习题4】 点P 是反比例函数图像2y x=-上的一点，PD ⊥x 轴，则△POD 的面积为_______． 【难度】★ 【答案】 【解析】【习题5】 如图，A 是反比例函数ky x=图像上的一点，过点A 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为P 、C ，若矩形ACOP 的面积是3，则反比例函数的解析式是________． 【难度】★ 【答案】 【解析】【习题6】 已知函数1y ax =与反比例函数2by x=的图像在同一直角坐标系中无交点，则a 和b 的关系式（）． A ．0ba >B ．0a b ->C ．0a b +=D ．0ab <【难度】★★ 【答案】 【解析】POxDyAxCO P y【习题7】 已知函数1(0)y x x =>与反比例函数24(0)y x x=>的图像在如图所示，下列结论正确的是（）．① 两函数的交点坐标为（2，2）； ② 当212x y y >>时；③ 直线x=1分别与两函数的图像交于B 、C 两点，则线段BC 的长为3； ④ 当x 逐渐增大时，1y 随x 的增大而增大，2y 随x 的增大而减小． A ．只有①② B ．只有①③ C ．只有②④ D ．只有①③④【难度】★★ 【答案】 【解析】【习题8】 已知12y y y =-，1y 与2x 成正比例，2y 与2x -成反比例，当x = 1时，1y =-；当x = 3时，y = 5；（1）求y 与x 之间的函数关系式； （2）当22x =-时，求y 的值． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【习题9】 点P 是反比例函数与正比例函数2y x =-的图像的交点，PQ ⊥x 轴于点Q （2，0）．（1） 求这个反比例函数的解析式；（2） 如果点M 在这个反比例函数的图像上，且△MPQ 的面积是6，求M 点的坐标． 【难度】★★ 【答案】 【解析】AB C Oxy【习题10】 已知：如图，等腰Rt △ABC 的直角边BC 在x 轴的正半轴上，斜边AC 上的中线BD 的反向延长线交y 轴的负半轴于点E ，且B 恰好是DE 的中点，双曲线(0)ky k x=>经过点A ，若△BEC 的面积为5，求k 的值． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】【习题11】 两个反比例函数1k y x =和21y x =在第一象限内的图象如图所示，点P 在1k y x=的图象上，PC ⊥x 轴于点C ，交21y x =的图象于点A ，PD ⊥y 轴于点，交21y x=的图象于点B ，当点P 在1ky x=的图象上运动时，以下结论:①△ODB 与△OCA 的面积相等；②四边形PAOB 的面积不会发生变化；③PA 与PB 始终相等；④当点A 是PC 的中点时，点B 一定是PD 的中点. 其中一定正确的是( )A ．①②③④B ． ①②③C ．①②④D ． ①③④【难度】★★★ 【答案】 【解析】ABCDP xyOABCDExyO【习题12】已知：正方形1112A B PP的顶点12P P，在反比例函数2(0)y xx=>的图象上，顶点11A B，分别在x轴、y轴的正半轴上，再在其右侧作正方形2223A B P P，顶点3P在反比例函数2(0)y xx=>的图象上，顶点2A在x轴的正半轴上，则点3P的坐标为______．【难度】★★★【答案】【解析】【作业1】已若y与3x-成反比例，x与4z成正比例，则y是z的__________．【难度】★【答案】【解析】【作业2】正比例函数113y x=和反比例函数2kyx=的图像都经过A(m，1)，则m= _________，反比例函数的解析式为______________．【难度】★【答案】【解析】课后作业xOy【作业3】 A 是反比例函数ky x=图像上的一点，AB ⊥x 轴于点B ，若3AOB S ∆=，则k 的值是__________． 【难度】★ 【答案】 【解析】【作业4】 设直线(0)y kx k =<与双曲线5y x=-相交于11()A x y ，、22()B x y ，两点，则12213x y x y -的值为() A ．-10 B ．-5C ．5D ．10【难度】★★ 【答案】 【解析】【作业5】 在同一坐标系中函数1y kx =和2-1k y x=的大致图像是（ ）ABC D【难度】★★ 【答案】 【解析】-11-1 1 1-1 1xy xyx yxy-1【作业6】 如图，正比例函数y x =与反比例函数1y x=的图象相交于点A 、C 两点， AB ⊥x 轴于B ，CD ⊥x 轴于D ，求四边形ABCD 的面积． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【作业7】 已知12y y y =+，1y 与22x 成正比例，2y 与x 成反比例，当x =1时，y 的值为5；当x =4时，y 的值为18，求当x =9时，y 的值． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【作业8】 如图，直线(0)x t x =>与反比例函数1221y y x x==-，的图象分别交于B ，C 两点，A 为y 轴上的任意一点，求△ABC 的面积 【难度】★★ 【答案】 【解析】ABCD O xyABCx=txyO【作业9】 如图所示，正方形OABC 、ADEF 的顶点A 、D 、C 在坐标轴上，点F 在AB上，点B 、E 在函数1(0)y x x =>的图像上，求点E 【难度】★★★ 【答案】 【解析】【作业10】 如图所示，已知正比例函数1y ax =的图像和反比例函数2ky x=的图像交于A （3，2）．（1） 试确定正比例函数和反比例函数的解析式；（2） 根据图像回答，在第一象限内，当x 取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值；（3） M （m ，n ）是反比例函数上的动点，其中03m <<，过点M 坐MN ∥x 轴，交y轴于点B ，过点A 作直线AC ∥y 轴交x 轴于点C ，交直线BM 于点D ，当四边形OADM 的面积是6时，请判断BM 与DM 的大小关系，并说明理由．【难度】★★★ 【答案】 【解析】A F BC DExy OABM D C xyO【作业11】 如图（a )双曲线1(0)ky k x=>与直线`2y k x =交于A 、B 两点，点A 在第一象限，试回答一下问题（1）若点A 的坐标为（4，2），则点B 的坐标为______________；若A 的横坐标为m ，则点 B 的坐标可以表示为______________；（2）如图（b ）所示，过原点O 作另一条直线l ，交双曲线1(0)ky k x=>于P 、Q 两点，点P 在第一象限，①说明四边形APBQ 一定是平行四边形②设点A 、P 的横坐标分别是m 、n 四边形APBQ 可能是矩形吗?可能是正方形吗?若可能，直接写出m 、n 应满足的条件；若不可能，请说明理由． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】ABOxyAQPOyBx。

第12讲复合函数零点问题在数学中，复合函数是由两个或更多个函数组成的函数。

具体地说，设y=f(t)，t=g(x)，且函数g(x)的值域为f(t)定义域的子集，那么y通过t的联系而得到自变量x的函数，称y是x的复合函数，记为y=f(g(x))。

复合函数函数值计算的步骤：求y=g(f(x))函数值遵循“由内到外”的顺序，一层层求出函数值。

例如：已知f(x)=2x，g(x)=x^2-x，计算g(f(2))解：f(2)=4，因此g(f(2))=g(4)=12.已知函数值求自变量的步骤：若已知函数值求x的解，则遵循“由外到内”的顺序，一层层拆解直到求出x的值。

例如：已知f(x)=2，g(x)=x-2x，若g(f(x))=x^2，求x。

解：令t=f(x)，则g(t)=t-2t=-t。

解得t=0或t=2.当t=0时，f(x)=2，此时x∈Ø。

当t=2时，f(x)=2，此时x=1.复合函数零点问题的特点：考虑关于x的方程g(f(x))=0的根的个数，在解此类问题时，要分为两层来分析，第一层是解关于f(x)的方程，观察有几个f(x)的值使得等式成立；第二层是结合着第一层f(x)的值求出每一个f(x)被几个x对应，将x的个数汇总后即为g(f(x))的根的个数。

求解复合函数y=g(f(x))零点问题的技巧：此类问题与函数图象结合较为紧密，在处理问题的开始要作出f(x),g(x)的图像。

若已知零点个数求参数的范围，则先估计关于f(x)的方程g(f(x))中f(x)解的个数，再根据个数与f(x)的图像特点，分配每个函数值fi(x)被几个x所对应，从而确定fi(x)的取值范围，进而决定参数的范围。

例1：设定义域为R的函数$f(x)$如下，若关于$x$的方程$2+\frac{x}{3}=f^2(x)+bf(x)+c$有$3$个不同的解$x_1,x_2,x_3$，则$x_1+2x_2$的值为多少？解析：先作出$f(x)$的图像，观察可发现对于任意的$y$，满足$y=f(x)$的$x$的个数分别为$2$个（$y>0,y\neq 1$）和$3$个（$y=1$），已知有$3$个解，从而可得$f(x)=1$必为$f^2(x)+bf(x)+c$的根，而另一根为$1$或者是负数。