2.1.3方程的根与函数的零点

方程的根与函数的零点（精选7篇）方程的根与函数的零点篇1第一课时： 3.1.1教学要求：结合二次函数的图象，推断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系；把握零点存在的判定条件.教学重点：体会函数的零点与方程根之间的联系，把握零点存在的判定条件.教学难点：恰当的使用信息工具，探讨函数零点个数.教学过程：一、复习预备：思索：一元二次方程 +bx+c=o(a 0)的根与二次函数y=ax +bx+c的图象之间有什么关系？.二、讲授新课：1、探讨函数零点与方程的根的关系：① 探讨：方程x -2x-3=o 的根是什么？函数y= x -2x-3的图象与x轴的交点?方程x -2x+1=0的根是什么？函数y= x -2x+1的图象与x轴的交点？方程x -2x+3=0的根是什么？函数y= x -2x+3的图象与x轴有几个交点？② 依据以上探讨，让同学自己归纳并发觉得出结论：→推广到y=f(x)呢？一元二次方程 +bx+c=o(a 0)的根就是相应二次函数y=ax +bx+c的图象与x轴交点横坐标.③ 定义零点：对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.④ 争论：y=f(x)的零点、方程f(x)=0的实数根、函数y=f(x) 的图象与x 轴交点的横坐标的关系？结论：方程f(x)=0有实数根函数y=f(x) 的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点⑤ 练习：求下列函数的零点；→ 小结：二次函数零点状况2、教学零点存在性定理及应用：① 探究：作出的图象，让同学们求出f(2),f(1)和f(0)的值, 观看f(2)和f(0)的符号②观看下面函数的图象，在区间上______(有/无)零点； _____0（＜或＞）. 在区间上______(有/无)零点； _____0（＜或＞）. 在区间上______(有/无)零点； _____0（＜或＞).③定理：假如函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a).f(b)0,那么，函数y=f(x)在区间（a,b）内有零点，即存在c (a,b),使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根.④ 应用：求函数f(x)=lnx+2x-6的零点的个数. （试争论一些函数值→分别用代数法、几何法）⑤小结：函数零点的求法代数法：求方程的实数根；几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点.⑥ 练习：求函数的零点所在区间.3、小结：零点概念；零点、与x轴交点、方程的根的关系；零点存在性定理三、巩固练习：1. p97, 1,题 2,题（老师计算机演示，同学回答）2. 求函数的零点所在区间，并画出它的大致图象.3. 求下列函数的零点：；；；.4.已知：（1）为何值时，函数的图象与轴有两个零点；（2）假如函数至少有一个零点在原点右侧，求的值.5. 作业：p102, 2题；p125 1题其次课时： 3.1.2用二分法求方程的近似解教学要求：依据详细函数图象，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解. 通过用二分法求方程的近似解，使同学体会函数零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识.教学重点：用二分法求方程的近似解.教学重点：恰当的使用信息工具.教学过程：一、复习预备：1. 提问：什么叫零点？零点的等价性？零点存在性定理？零点概念：对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.方程f(x)=0有实数根函数y=f(x) 的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点假如函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a).f(b)0,那么，函数y=f(x)在区间（a,b）内有零点，即存在c (a,b),使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根.2. 探究：一元二次方程求根公式？三次方程？四次方程？材料：高次多项式方程公式解的探究史料：在十六世纪，已找到了三次和四次函数的求根公式，但对于高于4次的函数，类似的努力却始终没有胜利，到了十九世纪，依据阿贝尔（abel）和伽罗瓦（galois）的讨论，人们熟悉到高于4次的代数方程不存在求根公式，亦即，不存在用四则运算及根号表示的一般的公式解.同时，即使对于3次和4次的代数方程，其公式解的表示也相当简单，一般来讲并不相宜作详细计算.因此对于高次多项式函数及其它的一些函数，有必要寻求其零点的近似解的方法，这是一个在计算数学中非常重要的课题二、讲授新课：1. 教学二分法的思想及步骤：① 出示例：有12个小球，质量匀称，只有一个是比别的球重的，你用天平称几次可以找出这个球的，要求次数越少越好. （让同学们自由发言，找出最好的方法）解：第一次，两端各放六个球，低的那一端肯定有重球其次次，两端各放三个球，低的那一端肯定有重球第三次，两端各放一个球，假如平衡，剩下的就是重球，否则，低的就是重球.其实这就是一种二分法的思想，那什么叫二分法呢？② 探究：的零点所在区间？如何找出这个零点？→ 师生用二分法探究③ 定义二分法的概念：对于在区间[a,b]上连续不断且f(a).f(b)0的函数y=f(x)，通过不断的把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步靠近零点，进而得到零点近似值的方法叫二分法(bisection)④ 探究：给定精度ε，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下：a.确定区间，验证，给定精度ε；b. 求区间的中点；c. 计算：若，则就是函数的零点；若，则令（此时零点）；若，则令（此时零点）；d. 推断是否达到精度ε；即若，则得到零点零点值a（或b）；否则重复步骤2~4.2. 教学例题：① 出示例：借助计算器或计算机用二分法求方程2 +3x=7的近似解. （师生共练）② 练习：求函数的一个正数零点（精确到）3. 小结：二分法的概念, 二分法的步骤；注意二分法思想三、巩固练习：1. p100, 1,题 2,题； 2. 求方程的解的个数及其大致所在区间.3. 用二分法求的近似值；4. 求方程的实数解个数：；5. 作业：p102 3，4题，阅读p105框图方程的根与函数的零点篇2一、教学内容解析本节课的主要内容有函数零点的的概念、函数零点存在性判定定理。

方程的根与函数的零点教案第一章：方程的根与函数的零点概念引入1.1 教学目标让学生理解方程的根与函数的零点的概念。

让学生掌握方程的根与函数的零点之间的关系。

培养学生运用数形结合的思想方法解决问题的能力。

1.2 教学内容引入方程的根的概念，引导学生理解方程的根是使方程左右两边相等的未知数的值。

引入函数的零点的概念，引导学生理解函数的零点是使函数值为零的未知数的值。

引导学生理解方程的根与函数的零点之间的关系。

1.3 教学活动通过实际例子，让学生初步理解方程的根与函数的零点的概念。

引导学生进行思考和讨论，深化对方程的根与函数的零点之间关系的理解。

布置练习题，巩固学生对方程的根与函数的零点的理解和运用。

第二章：一元二次方程的根与二次函数的零点2.1 教学目标让学生掌握一元二次方程的根与二次函数的零点之间的关系。

让学生学会运用一元二次方程的根的判别式解决实际问题。

培养学生运用数形结合的思想方法解决问题的能力。

2.2 教学内容引导学生理解一元二次方程的根与二次函数的零点之间的关系。

引导学生掌握一元二次方程的根的判别式及其应用。

引导学生运用一元二次方程的根的判别式解决实际问题。

2.3 教学活动通过实际例子，让学生理解一元二次方程的根与二次函数的零点之间的关系。

引导学生进行思考和讨论，深化对一元二次方程的根的判别式的理解和运用。

布置练习题，巩固学生对一元二次方程的根与二次函数的零点的理解和运用。

第三章：方程的根与函数的零点的判定定理3.1 教学目标让学生掌握方程的根与函数的零点的判定定理。

培养学生运用判定定理判断方程的根与函数的零点的情况。

3.2 教学内容引导学生掌握方程的根与函数的零点的判定定理。

引导学生运用判定定理判断方程的根与函数的零点的情况。

3.3 教学活动通过实际例子，让学生理解方程的根与函数的零点的判定定理。

引导学生进行思考和讨论，深化对判定定理的理解和运用。

布置练习题，巩固学生对判定定理的掌握。

第四章：方程的根与函数的零点的求解方法4.1 教学目标让学生掌握方程的根与函数的零点的求解方法。

高中数学常见题型解法归纳 函数的零点个数问题的求解方法【知识要点】一、方程的根与函数的零点（1）定义：对于函数()y f x =（x D ∈），把使f(x)=0成立的实数x 叫做函数()y f x =（x D ∈）的零点.函数的零点不是一个点的坐标，而是一个数，类似的有截距和极值点等.（2）函数零点的意义：函数()y f x =的零点就是方程f(x)=0的实数根，亦即函数()y f x =的图像与x 轴的交点的横坐标，即：方程f(x)=0有实数根⇔函数()y f x =的图像与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点.（3）零点存在性定理：如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图像是一条连续不断的曲线，并且有0)()(<⋅b f a f ，那么函数()y f x =在区间(,)a b 内至少有一个零点，即存在(,c a b ∈）使得()0f c =，这个c 也就是方程的根.函数()y f x =在区间[,]a b 上的图像是一条连续不断的曲线，并且有0)()(<⋅b f a f 是函数()y f x =在区间(,)a b 内至少有一个零点的一个充分不必要条件.零点存在性定理只能判断是否存在零点，但是零点的个数则不能通过零点存在性定理确定，一般通过数形结合解决. 二、二分法（1）二分法及步骤对于在区间[,]a b 上连续不断，且满足0)()(<⋅b f a f 的函数()y f x =，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到函数零点近似值的方法叫做二分法. （2）给定精确度ε，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下： 第一步：确定区间[,]a b ，验证0)()(<⋅b f a f ，给定精确度ε. 第二步：求区间(,)a b 的中点1x .第三步：计算1()f x ：①若1()f x =0，则1x 就是函数的零点；②若1()()0f a f x <，则令1b x = （此时零点01(,)x a x ∈）③若1()()0f x f b <，则令1a x =（此时零点01(,)x x b ∈）第四步：判断是否达到精确度ε即若a b ε-<，则得到零点值a 或b ，否则重复第二至第四步.三、一元二次方程2()0(0)f x ax bx c a =++=≠的根的分布讨论一元二次方程2()0(0)f x ax bx c a =++=≠的根的分布一般从以下个方面考虑列不等式组： （1）a 的符号； （2）对称轴2bx a=-的位置； （3）判别式的符号； （4）根分布的区间端点的函数值的符号.四、精确度为0.1指的是零点所在区间的长度小于0.1，其中的任意一个值都可以取；精确到0.1指的是零点保留小数点后一位数字，要看小数点后两位，四舍五入. 五、方法总结函数零点问题的处理常用的方法有：(1) 方程法；（2）图像法；（3）方程+图像法. 【方法点评】方法一 方程法使用情景 方程可以直接解出来. 解题步骤 先解方程，再求解.【例1 】已知函数2()32(1)(2)f x x a x a a 区间(1,1)-内有零点，求实数a 的取值范围.【点评】（1）本题如果用其它方法比较复杂，用这种方法就比较简洁.关键是能发现方程能直接解出来.（2）对于含有参数的函数要尝试因式分解，如果不好因式分解，再考虑其它方法.【反馈检测1】函数2()(1)cos f x x x =-在区间[0,4]上的零点个数是（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ． 7方法二 图像法使用情景 一些简单的初等函数或单调性容易求出，比较容易画出函数的图像.解题步骤先求函数的单调性，再画图分析.【例2】（2017全国高考新课标I 理科数学）已知函数2()(2)xx f x ae a e x =+--.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.(2) ①若0,a ≤由（1）知()f x 至多有一个零点.②若0a >，由（1）知当ln x a =-时，()f x 取得最小值，1(ln )1ln f a a a-=-+. （i ）当1a =时，(ln )f a -=0，故()f x 只有一个零点. （ii ）当(1,)a ∈+∞时，由于11ln a a-+>0，即(ln )0f a ->，故()f x 没有零点. （iii ）当0,1a ∈（）时，11ln 0a a-+<，即(ln )0f a -<. 422(2)(2)2220,f ae a e e ----=+-+>-+>故()f x 在(,ln )a -∞-只有一个零点.00000000003ln(1),()(2)203ln(1)ln ,()n n n n n n f n e ae a n e n n aa f x a>-=+-->->->->-∞设正整数满足则由于因此在（-lna,+)有一个零点.综上所述，a 的取值范围为（0,1）.【点评】（1）本题第2问根据函数的零点个数求参数的范围，用的就是图像法. 由于第1问已经求出了函数的单调性，所以第2问可以直接利用第1问的单调性作图分析. (2) 当0,1a ∈（）时，要先判断(,ln )a -∞的零点的个数，此时考查了函数的零点定理，(ln )0f a -<，还必须在该区间找一个函数值为正的值，它就是422(2)(2)2220,f aea e e ----=+-+>-+>要说明(2)0f ->，这里利用了放缩法，丢掉了42ae ae --+.(3) 当0,1a ∈（）时，要判断(ln ,)a -+∞上的零点个数，也是在考查函数的零点定理，还要在该区间找一个函数值为正的值，它就是03ln(1)n a>-，再放缩证明0()f n >0. （4）由此题可以看出零点定理在高考中的重要性.【例3】已知3x =是函数()()2ln 110f x a x x x =++-的一个极值点. （Ⅰ）求a ；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）若直线y b =与函数()y f x =的图象有3个交点，求b 的取值范围.（Ⅲ）由（Ⅱ）知，()f x 在()1,1-内单调增加，在()1,3内单调减少，在()3,+∞上单调增加，且当1x =或3x =时，()'0f x =所以()f x 的极大值为()116ln 29f =-，极小值为()332ln 221f =- 因此()()21616101616ln 291f f =-⨯>-=()()213211213f e f --<-+=-<所以在()f x 的三个单调区间()()()1,1,1,3,3,-+∞直线y b =有()y f x =的图象各有一个交点，当且仅当()()31f b f <<，因此，b 的取值范围为()32ln 221,16ln 29--【点评】本题第(3)问，由于函数()f x 中没有参数，所以可以直接画图数形结合分析解答.【反馈检测2】已知函数2()1x e f x ax=+，其中a 为实数，常数 2.718e =.(1) 若1 3x=是函数()f x的一个极值点，求a的值；(2) 当4a=-时，求函数()f x的单调区间；(3) 当a取正实数时，若存在实数m，使得关于x的方程()f x m=有三个实数根，求a的取值范围.方法三方程+图像法使用情景函数比较复杂，不容易求函数的单调性.解题步骤先令()0f x=,重新构造方程()()g x h x=,再画函数(),()y g x y h x==的图像分析解答.【例4】函数()lg cosf x x x=-的零点有（）A．4 个 B．3 个 C．2个 D．1个【点评】调性不是很方便，所以先令()lg cos0f x x x=-=,可化为lg cosx x=,再在同一直角坐标系下画出lgy x=和cosy x=的图像分析解答.（2）方程+图像是零点问题中最难的一种，大家注意理解掌握和灵活应用.【反馈检测3】设函数()()()221ln,1,02f x x m xg x x m x m=-=-+>．（1）求函数()f x的单调区间；（2）当1m≥时，讨论函数()f x与()g x图象的交点个数．422510152025oy=cosxy=lgxyx参考答案【反馈检测1答案】C【反馈检测2答案】（1）95a =；（2）()f x 的单调增区间是51(1)2-，15(,12+； ()f x 的单调减区间是1(,)2-∞-，15(,12-，5(1)++∞；（3）a 的取值范围是(1,)+∞. 【反馈检测2详细解析】(1)222(21)()(1)xax ax e f x ax -+'=+ 因为13x =是函数()f x 的一个极值点，所以1()03f '=，即12910,935a a a -+==. 而当95a =时，229591521(2)()()59533ax ax x x x x -+=-+=--，可验证：13x =是函数()f x 的一个极值点.因此95a =.(2) 当4a =-时，222(481)()(14)xx x e f x x -++'=-令()0f x '=得24810x x -++=，解得51x =，而12x ≠±.所以当x 变化时，()f x '、()f x 的变化是x1(,)2-∞-15(,1)22-- 512-51(1,)22-15(,1)22+ 512+5(1,)2++∞ ()f x '--++-()f x极小值极大值因此()f x 的单调增区间是51(1,)22-，15(,1)22+；()f x 的单调减区间是1(,)2-∞-，15(,1)2--，5(1,)++∞； 【反馈检测3答案】（1）单调递增区间是),m +∞, 单调递减区间是(m ；（2）1．【反馈检测3详细解析】（1）函数()f x 的定义域为()()(0,,'x m x m f x x+∞=．当0x m <<()'0f x <,函数()f x 单调递减，当x m >时，()'0f x >函数()f x 单调递增，综上，函数()f x 的单调递增区间是),m +∞, 单调递减区间是(m ．（2）令()()()()211ln ,02F x f x g x x m x m x x =-=-++->,问题等价于求函数()F x 的零点个数，()()()1'x x m F x x--=-,当1m =时，()'0F x ≤，函数()F x 为减函数，F x有唯一零点，即两函数图象总有一个交点．综上，函数()。

《方程的根与函数的零点》说课稿一、教材分析普通高中课标教材必修1共安排了三章内容，第一章是《集合与函数的概念》，第二章是《基本初等函数（Ⅰ）》，第三章是《函数的应用》。

第三章编排了两块内容，第一部分是函数与方程，第二部分是函数模型及其应用。

本节课方程的根与函数的零点，正是在这种建立和运用函数模型的大背景下展开的。

本节课的主要教学内容是函数零点的定义和函数零点存在的判定依据，这两者显然是为下节“用二分法求方程近似解”这一“函数的应用”服务的，同时也为后续学习的算法埋下伏笔。

由此可见，它起着承上启下的作用，与整章、整册综合成一个整体，学好本节意义重大。

函数在数学中占据着不可替代的核心地位，根本原因之一在于函数与其他知识具有广泛的联系，而函数的零点就是其中的一个链结点,它从不同的角度,将数与形,函数与方程有机地联系在一起。

方程本身就是函数的一部分，用函数的观点来研究方程，就是将局部放入整体中研究，进而对整体和局部都有一个更深层次的理解，并学会用联系的观点解决问题，为后面函数与不等式和数列等其他知识的联系奠定基础。

二、教学目标分析本节内容包含三大知识点：一、函数零点的定义；二、方程的根与函数零点的等价关系；三、零点存在性定理。

结合本节课引入三大知识点的方法，设定本节课的知识与技能目标如下：1.结合方程根的几何意义，理解函数零点的定义；2.结合零点定义的探究，掌握方程的实根与其相应函数零点之间的等价关系；3.结合几类基本初等函数的图象特征，掌握判断函数的零点个数和所在区间的方法.本节课是学生在学习了函数的性质，具备了初步的数形结合知识的基础上，通过对特殊函数图象的分析进行展开的，是培养学生“化归与转化思想”，“数形结合思想”，“函数与方程思想”的优质载体。

结合本节课教学主线的设计，设定本节课的过程与方法目标如下：1.通过化归与转化思想的引导，培养学生从已有认知结构出发，寻求解决棘手问题方法的习惯；2.通过数形结合思想的渗透，培养学生主动应用数学思想的意识；3.通过习题与探究知识的相关性设置，引导学生深入探究得出判断函数的零点个数和所在区间的方法；4.通过对函数与方程思想的不断剖析，促进学生对知识灵活应用的能力。

2023年《方程的根与函数的零点》教学设计2023年《方程的根与函数的零点》教学设计1一、教学目标（1）知识与技能：结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及个数，从而了解函数的零点与方程的根的联系.理解并会用零点存在性定理。

（2）过程与方法：培养学生观察、思考、分析、猜想，验证的能力，并从中体验从特殊到一般及函数与方程思想。

（3）情感态度与价值观：在引导学生通过自主探究，发现问题，解决问题的过程中，激发学生学习热情和求知欲，体现学生的主体地位，提高学习数学的兴趣。

二、教学重难点重点：体会函数零点与方程根之间的联系，掌握零点的概念难点：函数零点与方程根之间的联系三、教法学法以问题为载体，学生活动为主线，以多媒体辅助教学为手段利用探究式教学法，构建学生自主探究、合作交流的平台四、教学过程1．创设问题情境，引入新课问题1求下列方程的根师生互动:问题1让学生通过自主解前3小题，复习一元二次方程根三种情形。

问题2填写下表，探究一元二次方程的根与相应二次函数与x轴的交点的关系？师生互动:让学生自主完成表格，观察并总结数学规律问题3完成表格，并观察一元二次方程的根与相应二函数图象与x轴交点的关系？师生互动:让学生通过探究，归纳概括所发现结论，并能用相对准确的数学语言表达。

2．建构函数零点概念函数零点的概念：对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。

思考：（1）零点是一个点吗？（2）零点跟方程的根的关系？(3)请你说出问题2中3个函数的零点及个数？（投影问题2的表格）师生互动:教师逐一给出3个问题，让学生思考回答，教师对回答正确学生给予表扬，不正确学生给予提示与鼓励。

3．知识的延伸，得出等价关系(1)方程f(x)=0有实数根(2)函数y=f(x)有零点(3)函数y=f(x)的图象与x轴有交点2023年《方程的根与函数的零点》教学设计2一、背景分析1、学习任务分析函数与方程是中学数学的重要内容，既是初等数学的基础，又是初等数学与高等数学的连接纽带。

方程的根与函数的零点1. 引言在数学中，方程的根和函数的零点是非常重要的概念。

它们在代数、微积分、几何等多个领域中都有着广泛的应用。

本文将详细介绍方程的根和函数的零点的概念及其在数学中的应用。

2. 方程的根2.1 什么是方程的根？方程是通过等号连接的两个算式，其中包含一个或多个未知数。

方程的根指的是能够使方程等式成立的未知数的取值。

比如，对于一元二次方程ax2+bx+c=0来说，方程的根就是使等式成立的x的值。

2.2 方程的根的分类根据方程的次数和复数域中的性质，方程的根可以分为以下分类：•一元一次方程：ax+b=0，其中a eq0。

该方程的根为$x=-\\frac{b}{a}$。

•一元二次方程：ax2+bx+c=0，其中a eq0。

该方程的根可以通过求解二次方程的判别式来得到：–当b2−4ac>0时，方程有两个不相等的实根。

–当b2−4ac=0时，方程有两个相等的实根。

–当b2−4ac<0时，方程有两个共轭复根。

•一元三次方程、一元四次方程以及更高次的方程，求解根的方法相对复杂。

2.3 方程根的性质方程根的性质是研究方程的重要内容之一。

以下是一些常见的方程根的性质：•一元一次方程的根：即线性方程ax+b=0的根，其中a和b为常数。

该方程的根为 $x=-\\frac{b}{a}$。

由此可见，一元一次方程的根只有一个，且是唯一的。

•一元二次方程的根：即二次方程ax2+bx+c=0的根，其中a、b和c为常数。

根据判别式b2−4ac的值，可以分为实数根和复数根。

当判别式大于零时，方程有两个不相等的实数根；当判别式等于零时，方程有两个相等的实数根；当判别式小于零时，方程有两个共轭复数根。

3. 函数的零点3.1 什么是函数的零点？函数是自变量和因变量之间的关系，函数的零点即函数取值为零的点。

对于实数域上的函数f(x)，其零点即满足f(x)=0的x的值。

3.2 函数的零点与方程的根的联系函数的零点与方程的根有很密切的联系。

函数与方程中的根与零点的概念与计算根据数学的定义，函数是一种将一个集合的元素映射到另一个集合的规则。

方程则是描述了两个表达式之间相等的关系。

在函数和方程的应用中，我们经常会遇到根与零点的概念。

本文将详细介绍根与零点的含义以及它们在函数与方程中的计算方法。

一、根与零点的概念1. 根的定义在函数中，根是指使得函数的值等于零的输入值。

简而言之，根是函数的解，它使得函数的取值为零。

2. 零点的定义在方程中，零点是指使得方程两边相等的解。

换句话说，零点是使得方程取值为零的横坐标值。

在函数与方程中，根与零点可以说是同义词，它们描述了使得函数值或方程两边等式成立的输入值。

二、根与零点的计算方法1. 函数中的根与零点计算对于函数而言，计算根或零点的方法取决于函数的形式。

下面以一次函数和二次函数为例，介绍它们的计算方法。

（1）一次函数的根与零点计算一次函数的一般形式为 f(x) = ax + b，其中 a 和 b 是已知常数。

要计算一次函数的根，令 f(x) = 0，然后解方程 ax + b = 0，可以得到 x 的值。

这个 x 就是一次函数的根或零点。

（2）二次函数的根与零点计算二次函数的一般形式为 f(x) = ax^2 + bx + c，其中 a、b 和 c 是已知常数。

要计算二次函数的根，可以使用求根公式或配方法。

- 求根公式：对于二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，根的计算公式为 x= (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)。

将方程 f(x) = 0 代入公式中，可以得到二次函数的根。

- 配方法：对于二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，可以通过配方法将其转化为完全平方的形式。

然后再通过提取平方根的方式得到根。

2. 方程中的根与零点计算方程中的根与零点计算依然是解方程。

根据方程的形式，选择适当的方法进行计算。

例如，对于线性方程 ax + b = 0，可以直接通过移项和除以系数 a 得到根。

《方程的根与函数的零点》说课沁水中学赵海涌1、说教材1.1地位与作用本节内容为人教版《普通高中课程标准实验教科书》A版必修1第三章《函数的应用》第一节《函数与方程》的第一课时，主要内容是函数零点概念、函数零点与相应方程根的关系、函数零点存在性定理，是一节起始课，也是一节概念课．新课标教材新增了二分法，也因而设置了本节课．所以本节课首先是为“用二分法求方程的近似解”打基础．之前的教材虽然没有设置本节内容，但方程的根与函数的关系从来是重要且无法回避的，所以将本节课直接编入教材很有必要．本节课也就不仅为二分法的学习做准备，而且为方程与函数提供了零点这个连接点，从而揭示了两者之间的本质联系，这种联系正是“函数与方程思想”的理论基础．用函数的观点研究方程，本质上就是将局部的问题放在整体中研究，将静态的结果放在动态的过程中研究，这为今后进一步学习函数与不等式等其它知识的联系奠定了坚实的基础．从研究方法而言，零点概念的形成和零点存在性定理的发现，符合从特殊到一般的认识规律，有利于培养学生的概括归纳能力，也为数形结合思想提供了广阔的平台．1.2教学目标1、知识与技能目标：⑴了解函数零点的概念：能够结合具体方程说明方程的根、函数的零点、函数图象与x轴的交点三者的关系；⑵理解函数零点存在性定理：了解图象连续不断的意义及作用；知道定理只是函数存在零点的一个充分条件；了解函数零点可能不止一个；⑶能利用函数图象和性质判断某些函数的零点个数，及所在区间．2、过程与方法目标：⑴经历―类比—归纳—应用‖的过程，感悟由具体到抽象的研究方法，培养归纳概括能力．⑵初步体会函数方程思想、数形结合思想，能将方程求解问题转化为函数零点问题．3、情感、态度和价值观目标：⑴体会函数与方程的―形‖与―数‖、―动‖与―静‖、―整体‖与―局部‖的内在联系．⑵体验规律发现的快乐．1.3教学重点零点的概念及零点存在性的判定．1.4教学难点零点存在性定理的发现及理解．2、说教法、学法2.1学情学生具备的：(1)基本初等函数的图象和性质；(2)一元二次方程的根和相应二次函数图像与x轴的联系；(3)具备将“数”与“形”相结合及转化的意识．学生欠缺的：(1)应用函数解决问题的意识还不强；(2)由特殊到一般的归纳总结能力还不够；(3)理论型思维能力需进一步培养．2.2 教法数学是一门培养人的思维，发展人的思维的重要学科．因此，在教学中，不仅要使学生―知其然‖，而且要使学生―知其所以然‖．我们在以学生为主体原则下，展现获取知识和方法的思维过程．基于本节课的特点，应采用“提出问题——引导探究——得出结论——实际应用”的教学方法．2.3学法我们常说：―现代的文盲不是不识字的人，而是没有掌握学习方法的人‖，因而在教学中要特别重视学法的指导．在课堂上我指导学生应用―自主探究、观察发现、合情推理、合作交流、归纳总结、实际应用‖的学习方法．3、说教学过程3.1开门见山 引入课题这节课我们来学习第三章函数的应用．通过第二章的学习，我们已经认识了指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等函数的图象和性质．而这一章我们就要运用函数思想，建立函数模型，去解决现实生活中的一些简单问题．为此，我们还要做一些基本的知识储备．方程的根，我们在初中已经学习过了，而我们在初中研究的“方程的根”只是侧重“数”的一面来研究，那么，我们这节课就主要从“形”的角度去研究“方程的根与函数零点的关系”．板书标题（方程的根与函数的零点）．3.2类比推广 形成概念问题一：对于一元一次方程0=+b kx 的根为：k b x -=；一元二次方程()002≠=++a c bx ax ，当042>-ac b 时，方程的根为a ac b b x 242-±-=；当042=-ac b 时，方程的根为a bx x 221-==；当042<-ac b 时，方程无根．你能从方程相应的函数图象解释方程根的几何意义吗？设计意图：从熟悉的一、二次函数入手，对函数图象与方程的根的关系有初步的认识，从简单入手顺应学生的认知结构,调动学生的知识储备 ．问题二：对于一般的函数与方程是否也有上述的结论成立呢？请举例说明．设计意图：帮助学生回忆所学的初等函数，为下一步的推广打一个坚实的基础．问题三：把上述结论推广可得：任意一个函数()x f y =的图象与x 轴的交点的横坐标都是方程()0=x f 的根．如果我们把方程的根叫做函数的零点．由此你能给函数的零点下一个准确的定义吗？设计意图：引导学生得出函数零点定义．问题四：试比较函数的零点和方程的根，并说明两者之间的联系和区别．区别：针对的对象不同，零点的对象是函数，根针对的对象是方程．联系：零点和方程的根具有相同的数值函数的零点⇔函数的图象与x 轴交点的横坐标⇔方程的根设计意图：通过对比分析，来加深学生对概念的理解．目的要学生明确零点是一个实数，不是一个点．其次要通过对比分析得出三个重要的等价关系，体现了“转化”和“数形结合”的数学思想，这也是解题的关键 ．问题五：你能用上述的方法求下列函数的零点吗？()()111-=x x f ；()()1ln 2-=x x f ；()()933-=x x f ；()()62ln 4-+=x x x f设计意图：1、 巩固函数零点的定义．2、学生不能解的前提下，引发认知冲突，为了引出下面的新内容．3.3讨论探究 揭示定理问题六：下图甲乙两组镜头，哪一组镜头能说明人的行程一定曾渡过河流？设计意图：创设情境把抽象的数学知识放在学生熟悉的生活背景下，这样即提高了学生的学习兴趣，又使得数学问题变得简单具体．问题七：将河流抽象成x 轴，将前后的两个位置视为A 、B 两点，人的行进路线抽象成A 、B 间的一段连续不断的函数的图象．请问当A 、B 与x 轴怎样的位置关系时，函数图象与x 轴一定会有交点？如何用数学式子表示？设计意图：由原来的图象语言转化为数学语言．培养学生的观察能力和提取有效信息的能力．体验语言转化的过程．问题八：你能总结出函数()x f y =满足什么条件时在区间()b a ,上一定有零点？为什么？条件（1）()()0<b f a f ，它可以保证函数图象在x 轴上下方都有点；（2）函数图象在[]b a ,内连续不断，它可以保证函数图象穿越x 轴．由此我们可得出函数的零点的存在性定理：如果函数()x f y =在区间[]b a ,上的图象是连续不断的一条曲线，并且有()()0<b f a f ，那么，函数()x f y =在区间()b a ,内有零点．即存在()b a c ,∈，使得()0=c f ，这个c 也就是方程()0=x f 的根．设计意图：通过分解，得出函数零点的存在性定理．并分析其中各条件的作用，将抽象的问题转化为实际问题，更利于学生理解定理的本质．问题九：满足在[]b a ,上图象连续不断，且()()0<b f a f ，函数()x f y =在区间()b a ,上只有一个零点吗？你能举例说明吗？增加什么条件可确定函数在区间上只有一个零点？设计意图：帮助学生认识定理只保证了零点的存在性而不能保证零点唯一性．问题十：函数在区间()b a ,有零点，则一定满足上述条件吗？请举例说明．设计意图：从不同的角度看问题，这样不仅帮助学生掌握了知识，更培养学了生缜密思考的良好习惯．3.4观察感知 知识应用问题十一：你能用所学知识求函数()62ln -+=x x x f 的零点的个数吗？教师活动：在计算机上用几何画板作函数的图象．并让学生观察函数零点个数． 学生活动：学生用Excel 作出自变量x 与函数值f(x)的对应值表．设计意图：通过用几何画板作图象，使学生感知现代信息技术与数学的完美结合．通过Excel 使学生动手实践获得对课本P88的表格有认同感，在观察图象，发现图象与X 轴有一个交点，从而对函数有一个零点形成直观地认识，从而理解和掌握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法．3.5拓展训练 反思小结（1）拓展训练：学生独立自主完成下面题目．1.函数()()162-=x x x f 的零点为( ) A. (0,0),(4,0) B.0,4 C. (–4,0),(0,0),(4,0) D.–4,0,42.已知函数()x f 是定义域为R 的奇函数，且()x f 在 ()+∞,0上有一个零点，则()x f 的零点个数为( )A.3B.2C.1D.不确定3.已知函数()x f 的图象是连续不断的，有如下对应值表：那么函数在区间[1，6]上的零点至少有（ ）个A.5个B.4个C.3个D.2个（2）反思小结：请学生对本节课所学内容进行小结：三个知识：函数的零点、方程的根与函数的零点的关系、函数零点的存在性定理 三种思想：数形结合思想、函数方程思想、化归思想三种题型：求函数零点、判断零点个数、求零点所在区间3.6布置作业，举一反三1.P88练习2题，P92习题3.1A 组2题2.函数()533+--=x x x f 的零点所在的大致区间为（ ）A.( – 2 ，0)B. (1，2)C. (0，1)D. (0，0.5)3.已知a x x x f ---=32)(2，求a 取何值时能分别满足下列条件．①有2个零点;②3个零点;③4个零点.4、说信息技术《新课标》中明确指出“高中数学课程应提倡利用信息技术呈现以往教学中难以呈现的课程内容，尽可能使用科学型计算器、各种数学教育技术平台，加强数学教学与信息技术的结合，鼓励学生运用计算机、计算器等进行探索发现．”由于本届内容涉及超越方程求解、复杂函数作图等问题，因此如果没有信息技术的支持，教学是很难展开的．具体的说我主要在以下两方面注重信息技术的使用．第一方面是在作函数的图象上．比如在讨论方程的根和函数的图象的关系时，我用几何画板的有关功能动态的展示了这一关系；再比如我用几何画板快速准确的作出了函数()6xxf的图象．第二方面是在数据的2ln-+=x处理上．比如求函数零点所在区间时要绘制自变量和函数值的对应取值表，这里我用EXCEL的计算功能快速准确的得出结论．这样不仅节约了大量的课堂时间，而且提高了学生学习的兴趣．5、说教学反思1．关于信息技术运用的反思．信息技术的运用已经成为教师教学中必不可少的工具，但还有许多不成熟的地方．从本节课的实际情况出发我主要思考以下三方面的问题：①高中数学中什么内容适合运用信息技术；②用信息技术时用什么软件平台更有利于教学；③使用信息技术时采用“先做后演”还是“先演后做”．2．逐层铺垫，降低难度．本节课实际上是《数学分析》中的介值定理下放到中学课程，如何把理论性很强的内容深入浅出地让学生理解是这节课的着力点，因此设计符合学生认知规律，从具体到抽象，从特殊到一般，从学生熟悉的经验和有兴趣的问题开始，通过设疑迁疑让学生逐步理解本课程及一些高等数学思想方法．如反例、条件的变换与结论的关系等等，对学生今后学习和分析数学问题很有帮助．3．数学思想方法的教学任重而道远．数学思想方法是一种策略性知识，是数学的精髓．策略性知识的学习有一个初步感知，逐渐领会，再到灵活运用的过程，教学中不能毕其功于一役．教师必须体谅学生，多给学生时间和领悟的机会．。