第2章 波浪理论(4版)

拉格朗日法
全面法，以空间某一质点为研究对象，研究该质点相对于初始条 件的各个不同时刻的位置、速度和加速度等 研究某一质点的运动特性，可给出质点运动轨迹(迹线，Path line)
2.1 波动的概念
2.1.2.2.波浪运动控制方程和定解(边界)条件
座标定义：沿 x正方向以波速 c 向前传播的二维运动的自由振荡 推进波， x 轴位于静水面上， z 轴竖直向上为正。波浪在 xz 平面 内运动 H
2 T
①
②
③
2 O ( aL / T ) O a 第一项量纲： t
u 2 w2 O a / T

2

第二项量纲：
aL a O 2 O T L
a O aO L
gz O aL / T 2 O a
<<1
g 0 t , z ( x, t )
第三项量纲：
2.2 微幅波理论
到此为止了？线性化大功告成？
w, z ( x, t ) wenku.baidu.comt
g 0, z ( x, t ) t
② 边界位置未知，自由表面位移η在边界上的 值未知的，即自由表面边界条件是不确定的
2.1 波动的概念
2.1.1、波浪分类
1.波浪的生成机理(扰动力之来源)

表面张力波：外界扰动，表面张力恢复

重力波：风的剪切力扰动，重力恢复

风浪：风区内，处于风控制下的强迫运动 涌浪：风区外，脱离风控制的自由波动


风暴潮:台风、气旋
海啸：地壳运动 潮波: 天体引潮力


2.1 波动的概念
表面张力波
第二章
波浪理论
1
本章总纲
2.1 概述-波动的概念
2.2 微幅波理论 2.3 斯托克斯波理论 2.4 浅水非线性波理论
2.5 随机波理论简介
2.1 波动的概念
波浪理论的发展历史
•简单波浪理论
• Airy(艾利)： 1845年，微幅波
• Stokes(斯托克斯)：1847年，有限振幅波 • Korteweg(科特威格)和De Vries(德夫里斯)：1895年，椭圆余弦波(适 于浅水) • Rusell(拉塞尔)：1834年，孤立波(椭圆余弦波极限，适于浅水) • Dean(迪安)：1965年，流函数波(有限振幅非线性波) • Reinercker和Fenton:1982,Fourier级数数值计算波理论 •二次世界大战前后 • 军事需要促进了波浪理论的发展-诺曼底登陆 •新的理论及实验方法 • 小波分析、远程遥测、PIV
2.1 波动的概念
波浪运动的机理
•波动是一种普遍的物理现象 •波动的必要条件
• 平衡状态 • 扰动力 • 恢复力 • 声波、电磁波，水波（海浪）只是其中之一
•船行波的例子
• 平衡状态-静水 • 扰动力-船舶运动 • 恢复力-重力、表面张力
2.1 波动的概念
波浪特征参数


三个基本参数 (其他参数可由此推导出，P30) 水深d；波高H(波谷底←→波峰顶的垂直距离)；波周期T (波 浪推进一个波长所需的时间) 传递的波动量 能量，动量，波形 质量?
底部边界条件
w z h z
z h
0
海底水平、不透水→水质点垂直速度为零
2.1 波动的概念
波浪运动的定解(边界)条件
自由表面边界条件=动力边界条件+运动边界条件 I.动力学边界条件:波面z=η 伯努利方程
2 2 1 p gz f (t ) t 2 x z
② 自由表面位移η在边界上的值是未知的，即自由表面边界条 件是不确定的 要求得上述波动方程的边值解，最简单的方法是先将边界条件线性化， 将问题化为线性问题求解。
2.2 微幅波理论
核心假定
波高远小于波长L或水深d（H<<L or H<<h） a<<L or a<<h→a/L<<1 η=O(a)；u=w=O(a/T)
II.运动学边界条件:波面z=η
自由表面
dx dt x dz w dt z
F x, z, t x, t z 0
u
DF F F F u w 0 Dt t x z
F t t F x x
on z ( x, t ) z t x x 非线性项
2.1 波动的概念
4.波浪传播海域的水深 (h为水深，L为波长)-波浪能否影响海床 深水波: h/L≥0.5 有限水深波：0.5＞h/L＞0.05 浅水波：h/L≤0.05 5.波浪水质点的运动状态 振荡波：水质点围绕静止位置沿固定轨迹周期性往复运动 - 推进波 ( 波形 向前传播)、立波(波形不向前传播) 推移波：水质点以几乎相同的速度沿波向运动-孤立波、地震波、洪水波 6.波浪破碎与否 未破碎波、破碎波、破后波 7.波浪理论的简化程度 微小振幅波(线性波)和有限振幅波(非线性波)
2.2微幅波理论
w t
g 0 on t
z
w 2 w ( x , , t ) w ( x , 0 , t ) ( x , z 0 , t ) O ( ) 泰勒级数 z
其中：
w a T ( x, z 0, t ) O z L
O (a / T ) 第二项量纲： t
a a a a O( ) O ( ) O ( ) 第三项量纲： x T L T L u
w t , z ( x, t )
<<1
2.2 微幅波理论
自由表面动力学边界条件的线性化
2 2 1 gz 0,z ( x, t ) t 2 x z
t g 0 w
z 0
a a a O O T L
t
真正大功告成！
z
z 0

1 , z0 g t
2 29 z 0 g 0, t 2 z
2.2微幅波理论
控制方程
底部边界
波浪沿x正向以波速c推进
波浪运动的求解思路
控制方程
2 6
2 10
动力
底部边界
2 11
2 12 2 13
自由表面 运动 侧面边界

u x
w z
(流速场)
(压力场)
p
2 2 1 p gz t 2 x z
2.1 波动的概念
波浪运动求解的两个困难：
① 自由表面边界条件是非线性的
2 2 1 gz 0,z ( x, t ) t 2 x z
,z ( x, t ) z t x x
④ 水流运动是无旋的:即存在势函数 u w x z ⑤ 自由水面的压力均匀且为常数:大气压力 ⑥ 海底水平、不透水:海底水质点垂向速度=0 ⑦ 波浪为二维(xz)运动：不考虑第三维方向上的变化
2.1 波动的概念
2.1.2.2.波浪运动的控制方程
不可压缩流体的连 续方程
u w 0 x z
2 2 2 2 2 0 x z
2 18a 2 18b 2 18c
w
z h
z
z h
0
自由表面
2 g 0, z 0 2 t z
侧面边界
( x, z, t ) ( x ct , z) 2 18e
2.2 微幅波理论
2.2.2 微幅波的求解-分离变量法
规则波条件下：
( x, z, t ) X x Z z T t
将上式代入控制方程，并利用边界条件确定系数，求解 二阶线性常微分方程，得到微幅波势函数：
Hg cosh(kz kh) sin(kx t ) 速度势函数 ( x, z, t ) 2 cosh(kh)
2.1 波动的概念
2.1.2.1、波浪运动的描述方法
欧拉法 局部法，以空间某一固定点为研究对象，研究任一质点流过固定 点的运动特性 研究流场的变化，可给出某一固定时刻空间各点的速度大小和方 向，亦即给出流线(Stream line)
Du u u u u u v w Dt t x y z
32
2.2 微幅波理论
2.2.2微幅波的求解-色散方程

根据线性化自由表面运动边界条件
z
z 0
t
σ2 kC1 sinh(kh) sin(kx t ) C1cosh(kh)si n(kx t ) g
gk tanh( kh)
2
色散方程 33
色散方程等价关系式
无穷远处无波浪φ=0，大气压pa=0
f (t ) 0, z , p pa 0
z
t
z
2 2 1 2 x z
g 0
非线性项
2.1 波动的概念
波浪运动的定解(边界)条件
2.1 波动的概念
风浪形成示意
2.1 波动的概念
涌浪(风区外)形成示意
2.1 波动的概念
海啸
2.1 波动的概念
2.1.1、波浪分类
2.波浪周期之长短
5-15S
2.1 波动的概念
3.波浪形态的规则性 规则波:离开风区后自由传播的涌浪，波形规则，波峰波谷明显 不规则波(随机波):大洋风区内的风浪，波形杂乱，波高周期波向不定， 空间上有三维性 混合浪：风浪+涌浪
( x, t ) A cos kx t
L c T
2
cos kx t
2 1
2.1 波动的概念
简单波浪理论假设：势波之前提
① 流体上的质量力唯一:重力(忽略表面张力、柯氏力)
② 流体是无粘性的:理想流体，流体间无剪应力
③ 流体是均质和不可压缩的:密度处处相等且为常数
u x
2 2
w z
势波运动控制方程
2 6 0 2 2 x z
0
2
或记作 适用范围
拉普拉斯方程
h z , x
2.1 波动的概念
波浪运动的定解(边界)条件
波浪场边界
2.1 波动的概念
波浪运动的定解(边界)条件
波面方程
H ( x, t ) cos(kx t ) 2
详细推导见P34
波幅 a = H/2
2.2 微幅波理论
基础知识储备-双曲函数的定义及图形
e e sinh x 2
x x
e x e x cosh x 2
sinh x e x e x tanh x x x cosh x e e
F 1 z
2.1 波动的概念
波浪运动的定解(边界)条件
侧面边界条件
空间上 时间上
( x, z, t ) ( x L, z, t )
( x, z, t ) ( x, z, t T )
简单波浪在时间和空间上都是周期性的
二维推进波
( x, z, t ) ( x ct , z)
φ=

O(aL / T )
T 2 L O 1
?
a O( ) x T
2.2 微幅波理论
自由表面运动学边界条件的线性化
w u ,z ( x , t ) z t x x t x
① ②
③
第一项量纲： w O( a / T )