基于MATLAB切比雪夫I型滤波器设计摘要在现代通信系统中，由于信号中经常混有各种复杂成分，所以很多信号的处理和分析都是基于滤波器而进行的。
而滤波器的种类很多，从功能上可将滤波器分为低、带、高、带阻类型。
从实现方法上可分为FIR、IIR类型。
从设计方法上可分为Chebyshev(切比雪夫）,Butterworth（巴特沃兹）。
而本次课程设计上要用到的切比雪夫滤波器是在通带或阻带上频率响应幅度等波纹波动的滤波器。
在通带波动的为“I型切比雪夫滤波器”，在阻带波动的为“II型切比雪夫滤波器”。
关键词模拟；低通滤波器；IIR；1 引言IIR滤波器设计技术依靠现有的模拟滤波器得到数字滤波器，工程实际当中把这些模拟滤波器叫做滤波器原型。
在工程实际中应用最广泛的有两种模拟滤波器，即巴特沃斯滤波器和切比雪夫滤波器。
本次课程设计就讨论切比雪夫滤波器的特性以及用MATLAB实现的方法。
1.1课程设计目的本课程设计主要是使学生增进对MATLAB的认识，加深对数字信号处理理论方面的理解，使学生了解数字信号处理IIR滤波器的设计和掌握用MATLAB 实现IIR滤波器的设计方法、过程，为以后的工程设计打下良好基础。
1.2 课程设计要求设计程序时，应以理论作为指导，构思设计方案；设计完成后应进行调试，仿真和分析；处理结果和分析结论应该一致，而且应符合理论；独立完成课程设计并按要求编写课程设计报告书。
1.3 课程设计内容进一步学习低通滤波器的原理，在通信系统仿真软件MATLAB 平台上，设计出IIR 模拟低通滤波器，对设计项目进行调试，对程序进行仿真，对结果结合理论进行分析。
2 IIR 滤波器预备知识2.1 滤波器介绍IIR 滤波器具有无限长脉冲响应，因此能够与模拟滤波器相匹敌；一般来说，所有的模拟滤波器都有无限长脉冲响应。
因此，IIR 滤波器设计的基本方法是利用复值映射将大家熟知的模拟滤波器变换为数字滤波器。
这一方法的优势在于各种模拟滤波器设计（AFD ）表格和映射在文献中普遍能够获得。
这个基本方法也称为A/D （模拟-数字）滤波器变换。
然而，AFD 表格仅对低通滤波器适用，而同时也想要设计其他频率选择滤性波器。
为此，需要对低通滤波器实行频带变换，这些变换也是复值映射，在各种文献中也能得到。
这种IIR 滤波器设计的基本方法存在两种主要途径。
途径一：1.设计模拟低通滤波器，2.实行频带变换，3.实行滤波器变换。
途径二：1.设计模拟低通滤波器，2.实行滤波器变换，3.实行频带变换。
模拟滤波器的设计指标以及在模拟滤波器的技术要求中所用到的幅度平方响应，这将导致三种广泛采用的模拟滤波器特性，即巴特沃兹（Butterworth ），切比雪夫（Chebyshev ）和椭圆（Elliptic ）滤波器。
然后再将这些原型模拟滤波器转换到不同的频率选择性数字滤波器。
2.2 相对线性标尺设a H ()j Ω是某个模拟滤波器的频率响应，那么低通滤波器在幅度平方响应上的技术指标给出为：2a 21|H ()|11j ε≤Ω≤+，|Ω|≤p Ω 2a 210|H ()|j A≤Ω≤ ，||s Ω≤Ω式中ε是通带波纹参数，p Ω是通带截止频率一rad/s （弧度/秒）计，A 是阻带衰减参数，以及s Ω是阻带截止频率以rad/s 计。
这些参数如图2.1所示。
图2.1 模拟低通滤波器技术指标要求由图可见，2|H ()|a j Ω必须满足221|H ()|1a p j εΩ=+，p Ω=Ω 221|H ()|a p j AΩ= ，s Ω=Ω参数ε和A 是分别与以dB 计的参数p R 和s A 有关的，这些关系是10102110log 1011pR p R εε=-⇒=-+2-1） 20102110log 10sA s A A A=-⇒= （2-2）波纹1δ和2δ的绝对标尺是通过下式与ε和A 有关的：1122121111δδεδε-=⇒=++ 2112111A A δδδδ+=⇒=+3 切比雪夫I 型滤波器3.1 切比雪夫滤波器参数切比雪夫I 型滤波器的振幅平方函数为：22a 221A()=H ()1NCj v εΩΩ=⎛⎫Ω+⎪Ω⎝⎭式中C Ω为有效带通截止频率，ε是与带通波纹有关的参量，ε大，波纹大，0<ε<1;N ()νX 为N 阶切比雪夫多项式。
有关参数的确定：（1）预先给定带通截止频率C Ω； （2）确定ε。
通带波纹表示成：22max max 22minmin()()10lg20lg20lg()()a a a a H j H j H j H j δΩΩ===ΩΩ所以220.110lg(1),101δδεε=+=-给定通带波纹值()dB δ分贝数后，可求得2ε。
（3）由阻带的边界条件确定阶数N.设s Ω，2A 为事先给定的边界条件，即在阻带中的频率点s Ω处，要求滤波器频响衰减达到21A 以上。
即 s Ω=Ω，2()a H j Ω≤21A由此得2211N C v ε⎛⎫Ω+ ⎪Ω⎝⎭≤21A因此，N C v ⎛⎫Ω ⎪Ω⎝⎭ε≥1X ↑>, N ()1νX ≤=cosh(arccos )N hxN ≥因此，要求阻带边界频率出衰减越大，N 也越大。
参数N ，c Ω，ε给定后，查阅有关模拟滤波器手册，就可以求得系统函数()a H s 。
MATLAB 提供了[Z ，P ，K]=cheblap （N ，Rp ）函数来设计N 阶通带波纹为Rp 的归一化切比雪夫I 型模拟原型滤波器，并得到数组Z 和P （即零点和极点）以及增益值K 。
我们需要一个具有任意c Ω的非归一化的切比雪夫I 型滤波器。
这可以通过将这个归一化滤波器的数组P 倍乘以c Ω来完成。
和巴特沃兹原型滤波器相类似，这个滤波器没有零点。
新的增益K 利用式子：(0)a H j =1，N为奇数或(0)a H j =N 为偶数确定这可通过将原来的K 倍乘以非归一化分母多项式对归一化分母多项式的比在s=0的求值来完成。
下面的函数称为U-chblap （N ，Rp ，Omegac ），用于设计一个非归一化的切比雪夫I 模拟原型滤波器，得到直接的()a H s 。
function[b ，a] = u -chblap(N ，Rp ，Omegac); %[b ，a] = u -chblap(N ，Rp ，Omegac) % b = numerator polynomial coefficients% a = denominator polynomial coefficients % N = order of the elliptic filter% Rp = passband ropple in dB; Rp > 0 % Omegac = cutoff frequency in radians/sec % [z ，p ，k] = cheblap （N ，Rp ）； % a = real(poly(p)); % aNn = a(N+1); % p = p*Omegac; % aNu = a(N+1);% k = k*aNu/aNn; % b0 = k;% B = real(poly(z)); % b = k*B ；3.2 滤波器设计方程已知p Ω，s Ω，p R 和s A ，有三个参数就可以确定一个切比雪夫I 型滤波器，根据相对线性标尺中的2-1与2-2式我们可得到：ε=2010sA A =根据上面以前讨论的性质有：c Ω=p Ω和psr ΩΩ=Ω 阶N 给出为g =10log g N ⎡⎤⎡+=4 滤波器设计实现4.1 滤波器设计过程设计一个低通的切比雪夫I 型低通滤波器满足： 通带截止频率：p Ω=0.2π；通带波纹：p R =1dB阻带截止频率：ε=π；阻带波纹：s A =16dB 我们首先计算必要的参数：ε=，A= 162010=6.3096c Ω= p Ω=0.2π, r Ω= 0.30.2ππ=1.5 g =现在能确定()a H s ，α =1ε+ = 0.41702a= 0.5 (b = 0.5(+) = 1.0644()a H s 有四个极点：0.3P =（a c Ω）cos 28∏∏⎡⎤+±⎢⎥⎣⎦(b c Ω)sin 28∏∏⎡⎤+⎢⎥⎣⎦ = -0.0877±j0.61791.2P = （a c Ω）3cos 28∏∏⎡⎤+⎢⎥⎣⎦±(b c Ω)3sin 28∏∏⎡⎤+⎢⎥⎣⎦= -0.2117±j0.2559 因此，3()()a kk KH s s p==-∏ =220.891250.11030.3895(0.17540.3895)(0.42340.1103)s s s s ⨯⨯++++分子是要使得有：(0)a H j == 0.891254.2 MATLAB 的实现已知滤波器的技术要求，利用U-chblap 函数，我们提供了一个称为afd-chb1的函数用于设计一个模拟切比雪夫I 型低通滤波器。
这个函数给出如后面的目录所示。
为了展示模拟滤波器的频域图，我们提供的一个称为freqs_m 的函数，它是有MATLAB 提供的函数freqs 的修正形式。
这个函数以绝对值和相对值dB 尺度计算幅度响应以及相位响应，在freqs_m 函数中响应是一直要计算到最大频率max Ω。
freqs_m 函数见附录。
这个模拟滤波器的脉冲响应h a (t)是用MATLAB 的impulde 函数计算出来的。
通过MATLAB 实现的系统函数为()a H s =220.891250.11030.3895(0.17540.3895)(0.42340.1103)s s s s ⨯⨯++++ 这个H a (s)与计算的结果稍有不同，这是因为在计算中用了c Ω=0.5，而在asfd_butt 函数中c Ω是按满足在p Ω的要求选定的，有关这个滤波器所画出的图如下所示。
图4-1 幅度响应图4-2 幅度图4-3 相位响应图4-4 脉冲响应5结束语在这次课程设计中，通过查找相关书籍和相关资料，使得自己增长了不少相关知识。
了解到了滤波器分为两大类，确定信号滤波器和随机信号滤波器。
通常我们用滤波器是来降低噪声，估计信号的，不过滤波器也可以用来处理一些其它的问题，如图象压缩等。
滤波器本质上是一个输入输出系统，可以是线性的，也可以是非线性的。
确定信号滤波器是指在滤波器设计时没有用到统计理论，不考虑信号与噪声的统计特性。
象常见的低通，高通，带通滤波器等都属于确定信号滤波器，它们针对确定的信号来进行处理。
这三种频域滤波器设计的原理是根据噪声与有用信号的频率分布是基本分开的，通过确定一个频率开关值，将噪声的频率去掉，再进行傅立叶反变换就得到有用信号。
