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《数列的概念与简单表示法》教案（1）
教学目标
1．理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式.
2．通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式，培养学生的观察能力和抽象概括能力.
3．通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣.
教学重点难点
1．重点：数列及其有关概念，通项公式及其应用;
2．难点：根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式.
教法与学法
1．教法选择：“设置问题情境，探索辨析，归纳应用，延伸拓展”；
2．学法指导：类比、联想、猜想、求证.
教学过程
一、设置情境，激发学生探索的兴趣
三、思维拓展，课堂交流
四、归纳小结，课堂延展
1．教材地位分析
根据新课程的标准，“数列”这一章首先通过“三角形数”、“正方形数”等大量的实例引入数列的概念，然后将数列作为一种特殊函数，介绍数列的几种简单表示法，等差数列和等比数列.这样就把生活实际与数学有机地联系在一起,这是符合人们的认识规律,让学生体会到数学就在我们身边.
作为数列的起始课，为达到新课标的要求，从一开始就培养学生的研究意识、创新意识、合作意识和应用意识，打造数列教与学的良好开端.教学中从日常生活中大量实际问题入手，探索并掌握它们的一些基本数量关系，感受数列模型的广泛应用(如存款利息、购房贷款等与人们生活联系密切的现实问题).
2．学生现实状况分析
学生目前已经学习了函数的知识，本课时的内容是数列的定义，通项公式及运用；
本课是在学习映射、函数知识基础上研究数列.。
第二章数列课题: §2.1数列的概念与简单表示法（第1课时）●教学目标知识与技能：理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式。
过程与方法：通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式，培养学生的观察能力和抽象概括能力．情感态度与价值观：通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。
●教学重点数列及其有关概念，通项公式及其应用●教学难点根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式●教学过程Ⅰ.课题导入三角形数：1，3，6，10，…正方形数：1，4，9，16，25，…Ⅱ.讲授新课⒈ 数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列.注意：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现. ⒉ 数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，….例如，上述例子均是数列，其中①中，“4”是这个数列的第1项（或首项），“9”是这个数列中的第6项.⒊数列的一般形式： ,,,,,321n a a a a ，或简记为{}n a ，其中n a 是数列的第n 项 结合上述例子，帮助学生理解数列及项的定义. ②中，这是一个数列，它的首项是“1”，“31”是这个数列的第“3”项，等等下面我们再来看这些数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系？这一关系可否用一个公式表示？（引导学生进一步理解数列与项的定义，从而发现数列的通项公式）对于上面的数列②，第一项与这一项的序号有这样的对应关系：项 1 51413121 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓序号 1 2 3 4 5 这个数的第一项与这一项的序号可用一个公式：na n 1=来表示其对应关系 即：只要依次用1，2，3…代替公式中的n ，就可以求出该数列相应的各项结合上述其他例子，练习找其对应关系⒋ 数列的通项公式：如果数列{}n a 的第n 项n a 与n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.注意：⑴并不是所有数列都能写出其通项公式，如上述数列④；⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1，0，1，0，1，0，…它的通项公式可以是2)1(11+-+=n n a ，也可以是|21cos |π+=n a n . ⑶数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项. 数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第 项，又是这个数列中所有各项的一般表示．通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项．5.数列与函数的关系数列可以看成以正整数集N *（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）为定义域的函数()n a f n =，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。
《数列的概念与简单表示法》1、知识与技能（1）理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；（2）了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；（3）对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的通项公式。
2、过程与方法（1）采用探究法，按照思考、交流、实验、观察、分析、得出结论的方法进行启发式教学；（2）发挥学生的主体作用，作好探究性学习；（3）理论联系实际，激发学生的学习积极性。
3、情感态度与价值观（1）通过日常生活中的大量实例，鼓励学生动手试验。
理论联系实际，激发学生对科学的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的辩证唯物主义观点；（2）通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。
【教学重点】数列及其有关概念，通项公式及其应用。
【教学难点】根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式。
（一）新课导入传说古代印度有一国王喜爱国际象棋，中国智者云游到此，国王得知智者棋艺高超，于是派人请来智者与其对弈，并傲慢地说：“如果你赢了,我将答应你的任何要求。
”智者心想，我应该治一治国王的傲慢，当国王输棋后，智者说：“陛下只须派人用麦粒填满象棋盘上的所有空格，第1格1粒，第2格2粒，第3格4粒，……依此下去，以后每格是前一格粒数的2倍。
”国王听后：哈哈大笑，这个问题也太简单了罢！于是国王吩咐手下马上去办，可是过了好多天，手下惊慌地报到国王，大事不好了，即使我们印度近几十年来生产的所有麦子加起来也还不够啊！国王呆了！到底有多少麦粒呢？你认为国王有能力满足上述要求吗？每个格子里的麦粒数都是前一个格子里麦粒数的2倍，总共有63个格子：得数为：18446744073709551615传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数字。
上图中各三角形表示的数排列有规律吗？由于这些数可以用三角形点阵表示，故称其为三角形数。
下图中各正方形分别表示哪些数？这些数与相应正方形的序号有什么关系？因为这些数能够表示成正方形，故称为正方形数。
2.1数列的观点与简单表示法（第 1 课时）一、课标要求：（1）理解数列及其相关观点，认识数列的简单分类；（2）认识数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的随意一项；（3）关于比较简单的数列，会依据其前几项写出它的个通项公式；（4）认识数列是一种特别的函数；（5）借助函数的背景和研究方法来研究相关数列的问题，能够进一步让学生领会数学知识间的联系，培育用已知去研究未知的能力。
二、教课要点、难点：要点：理解数列的观点，认识数列是反应自然规律的基本数学模型，探究并掌握数列的几种间单的表示法（列表、图象、通项公式）。
难点：认识数列是一种特别的函数；发现数列规律找出可能的通项公式。
三、设计思路：新课标重申数学知识产生、发展、和应用。
教课过程中注意生活实质的引入，使学生体会数学根源于生活，提升数学学习的兴趣。
重视对学生学习数列的观点及表示法的过程。
本节课经过三角形数与正方形数引入数列的观点；经过类比函数的思想认识数列的几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）。
所以设计流程以下：给出数列观点数列的分类数列的通项公式数列是特别的函数，领会数列与函数的关系典范解说归纳与小结四、教课 程：（一） 情形， 入(1)多媒体展现三角形数、正方形数，提 ： 些数有什么 律？与它所表示的 形的序号有什么关系？三角形数： 1， 3， 6， 10，⋯正方形数： 1， 4， 9， 16， 25，⋯（ 本）象 ，按必定序次摆列的一列数叫做数列（教 板 ）（二） 授新 (2)三角形数与正方形数同数集中元素的特色有何不一样？ 引 学生回 、比 ，并 ：⑴数列的数是按必定序次摆列的，所以，假如 成两个数列的数同样而摆列序次不一样，那么它 就是不一样的数列；⑵定 中并无 定数列中的数必 不一样，所以，同一个数在数列中能够重复出.归纳数列的观点：(1) 依据必定 序摆列着的一列数称 数列，数列中的每一个数叫做 个数列的 。
各 挨次叫做 个数列的第 1 （或首 ），第 2 ，⋯，第 n ，⋯ .(2) 数列的一般形式：a 1 , a 2 , a 3 , ,a n ,，或a n ，此中 a n 是数列的第n(3) 析数列的观点： 1 “1， 1 ,1 , 1 , 1”与 2 “1, 1 ,1 , 1,1”是同一个数列 ？○○23455432合上述例子，帮助学生理解数列及 的定. （它 不是同一个数列；且○1 中，它的首 是“ 1”，“ 1”是 个数列的第“3” ，等等）3数列的分 ：（ 1）依据数列 数的多少分：有 数列： 数有限的数列. 比如数列 1， 2，3， 4， 5， 6。
第二章 数列2．1 数列的概念与简单表示法【学习目标】1、了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）；了解数列是一种特殊的函数；2、通过三角形数与正方形数引入数列的概念；通过类比函数的思想了解数列的几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）；3、体会数列是一种特殊的函数；借助函数的背景和研究方法来研究有关数列的问题，可以进一步让学生体会数学知识间的联系，培养用已知去研究未知的能力。
【研讨互动 问题生成】1.数列的概念2.数列的记法3.数列的通项公式4.数列的本质5.数列的分类6.递推公式【合作探究 问题解决】1.写出下面数列的一个通项公式,使它的前4项分别是下列个数:(1)7,5,3,1 (2)515,414,313,2122222---- 2.根据下面数列}{n a 的通项公式,写出前5项. (1)1+=n n a n (2)n a n n ⋅-=)1((3)2=n a【点睛师例 巩固提高】例1 在数列}{n a 中,21,3101==a a ,通项公式是项数的一次函数.(1)求数列}{n a 的通项公式,并求2008a ;(2)若n n a b 2=,求数列}{n b 的通项公式.例2. 已知数列}{n a 的通项公式为3922++-=n n a n .(1)试问2是否是数列}{n a 中的项?(2)求数列}{n a 的最大项;(3)若0≥n a ,求n .例3 已知数列}{n a 的首项11=a ,且)1(111>+=-n a a n n ,写出这个数列的前5项.例4 已知数列}{n a 的递推公式是n n n a a a 2312-=++,且3,121==a a .求:(1)5a ; (2)127是这个数列中的第几项?例5若记数列}{n a 的前n 项和为n S ,试证明⎩⎨⎧=>-=-1111n S n S S a n n n .变式题: 已知数列}{n a 的前n 项和为n n S n -=22,求n a .【要点归纳 反思总结】（1）数列的概念，认识数列是反映自然规律的基本数学模型；（2）了解用列表、图象、通项公式、递推公式等方法表示数列；能发现数列规律找出可能的通项公式。
2.1.1 数列的概念与简单表示法一、教学目标（1）了解数列的概念通过实例，引入数列的概念，并理解数列的顺序性，感受数列是刻画自然规律的数学模型。
同时了解数列的几种分类。
（2）了解数列是一种特殊的函数了解数列是一类离散函数，体会数列之间的变量依赖关系，了解数列与函数之间的关系。
二、教学重点与难点（1）教学重点：了解数列的概念，以及数列是一种特殊函数，体会数列是反映自然规律的数学模型。
（2）教学难点：将数列作为一种特殊函数去认识，了解数列与函数之间的关系。
三、教学过程<1>创设情境，实例引入1、引导学生观察P26章节前的知识背景图片，构建自然现象中体现出的数的规律。
留下问题思考：你能发现下面这一列数的规律吗1，1，2.，3，5，8，13，21，34，55，89,...（我们先一起来观察一下课本P26的这幅大图，大家来数数这些花各有几片花瓣。
我们发现，第一朵花有3片花瓣，第二朵花有5片花瓣，第三朵花有8片花瓣，第四朵花有13片花瓣。
那大家来观察一下书上的那一组数：1，1，2.，3，5，8，13，21，34，55，89,...，你能发现它们有什么规律吗？带着这个问题，我们要来探讨一个有关数的新问题。
）2、引导学生观察课本P28的两幅图-三角形数与正方形数，进而引出数列的概念。
（大家都知道古希腊拥有着灿烂的文明，它的数学文化同样值得我们去探究。
古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，书本上的这两幅图正是他们所研究的一小部分，即三角形数与正方形数。
大家一起来观察一下，在三角形数这幅图中每个图形分别对应着数1，3，6，10....，而在正方形数这幅图中每个图形分别对应着数1，4，9，16...，大家能发现它们的共同特点吗？每个图形代表的数与在图中的序列号有没有什么联系呢？这样的一组数我们在数学上称之为数列。
现在我们一起来认识这个全新的概念：数列。
高中数学必修五《数列的概念与简单表示法》优秀教学设计数列的概念与简单表示法一、教学目标：通过日常生活中、数学史中实例的观察、分析和讨论，了解数列的概念，通过小组合作讨论，确定数列研究的内容和方向，了解数列概念的内涵和外延及几种简单的表示方法，体会数列是一种特殊的函数.在对数列抽象、观察的过程中，锻炼学生分析、探索、转化、归纳等能力，经历从特殊到一般，一般到特殊的重要数学思想方法.通过类比、联想、知识的迁移和应用等方式，使学生体会知识之间的有机联系，感受数学的整体性，进一步理解数列的本质.二、学情分析：学生学习了集合、函数的概念和性质等基本知识，初步掌握了函数的研究方法，在观察、抽象、概括等学习策略与学习能力方面，有了一定的基础.况且，数列概念的学习并不需要很多的知识基础，可以说学习数列的概念并无知识上的困难.这些都是数列概念教学的有利条件.刚开始高中数学学习的学生，自己主动地建构概念的意识还不够强，能力还不够高.同时，在建立概念的过程中，学生的辨别各种刺激模式、抽象出观察对象或事物的共同本质特征，概括形成概念，并且用数学语言（符号）表达等方面，会表现出不同的水平，从而会影响整体的教学.三、重点难点：“数列的概念与简单表示法”是人教A版普通高中课程标准实验教科书必修5第2章第1课时的内容，主要涉及数列的概念、表示方法、分类、通项公式、数列和函数之间的关系等.数列是刻画离散现象的数学模型，是一种离散型函数，在日常生活中有着重要的应用.学习数列对深化函数的学习有着积极地意义，数列是以后学习极限的基础，因此，数列在高中数学中占有重要位置.数列的概念是学习数列的起点与基础，因而建立数列的概念是本章教学的重点，更是本节课教学的重点.学生主动自我建构概念，需要经历辨析、抽象、概括等过程，影响概念学习过程的因素又是多样的，所以，数列特征的感知和描述，函数意义的概括和理解，是教学的难点.四、教学方法：运用“问题驱动”、小组合作的教学方法，创设有效问题情境，引导学生进行探究，借助多媒体课件等工具让学生“问题”的引领下，学会思考、大胆探索、建构知识和体会思想.五、教学过程：1.创设情境，激发探究兴趣思考：某位学生先后有四次考试成绩，每次对应的成绩忘了，但记得有66,86,76,96四个数字，该学生的学习成绩是进步还是退步？设计意图：通过学生熟悉的问题实例的思考，吸引学生的注意力，激发学习的兴趣，让学生充分感受到四个数字顺序的不同，该学生学习状态的巨大差异，从而明确学习“数列”的必要性，也为后续具体实例的给出做好铺垫.情境1：研究树枝的生长规律：树苗在第一年长出一条新枝，新枝成长一年后变为老枝，老枝每年都长出一条新枝.每一条树枝都按照这个规律成长，则每年的分枝数依次为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，......情境2：古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究的三角形数依次为：1，4，9，16，25，.......情境3：从1984年到2016年我国共参加了9次奥运会，各次参赛获得的金牌总数依次为：15，5，16，16，28，32，51，38，26 ；情境4：2015年黄岩区1—12月份的最低气温依次为：-3，-3，3，6，13，16，19，21，18，12，1，-1；预设：追问1：①情境3中的第7次奥运会金牌总数为多少？②情境4中最低温度比较低的月份有哪些？夏季那几个月的最低温度是多少？设计意图：结合自然界、数学史和生活中的例子，进一步让学生感受数列无处不在.初步认识到可以用数字描述、刻画客观存在的自然现象和规律.让学生从中体会到为了更好地了解大自然，发现并利用大自然和生活中的规律，我们就必须去解读这些数据，并对其进行研究.同时，这几个实例又代表了数列的不同类型，为后面讲解数列的分类、通项公式等埋下伏笔.2.总结归纳，给出数列概念数列概念：①按照一定顺序排列的一列数称为数列（sequence of number ）；②数列的一般形式：123,,,,n a a a a ，简记{}n a ；③数列中的每一个数叫做这个数列的项，1a 称为该数列的第1项（通常也叫做首项），2a 称为该数列的第2项，n a 称为该数列的第n 项.问题1：请你根据数列的定义，能否举出数列的例子？预设：①1，4，9，16和1，9，4，16是不是同一数列；②1,1,1,1,1,1是不是数列？第3项和第4项分别是什么？③小牛，小马，小强，是不是数列；设计意图：通过学生举例分析，进一步检验学生对于数列概念的理解，结合教师例子的分析，明确数列讲究的一列数的顺序.3.抽象分析，开展探究活动把上述实例的背景去掉进行抽象可得：① 96,86,76,6；② 1,4,9,16,25；③ 1,1,2,3,5,8,13,21,34,5 ④ 15,5,16,16,28,32,51 ⑤ 3,3,3,6,13,16,19,21,18--- 问题2：结合上述5个数列，哪些角度可以研究数列，并形成相应结论（小组讨论）预设：让各组形成自己的结论进行展示，教师巡查进行分组指导（1）分类：①按项数：项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列；②项的大小：递增数列、递减数列、常数列和摆动数列；（2）表示法：在数列②中，得到2n a n =,可以求出任意项的值——通项公式，例如数列③的通项公式为()10610,14,n a n n n N *=-≤≤∈（通项公式：用一个式子来表示数列{}n a 的第n 项n a 与序号n 之间的关系）追问2：通项公式相当于函数的解析式，数列③④⑤如何表示？追问3：数列是不是函数，定义域是什么？能总体说说数列与函数的区别和联系吗？追问4：数列的图像为什么是离散的点？追问5：递推公式能确定数列的每一项吗？设计意图：通过追问，明确数列与函数的关系，理解数列是定义在正整数集或其有限子集{ }()n ,321 ，，，的函数，是刻画离散的一种特殊函数.辨别每一种表示的优劣，明确不是每一个数列都是有通项公式的，图像表示数列直观，但是离散的点组成，介绍数列的另一种表示方法——递推公式.（3）数列的性质：追问6：数列是否也具有单调性、奇偶性和有界性？预设：不具有奇偶性，定义域不关于原点对称.情境3有最小值，情境4、5有最小值和最大值.设计意图：让学生经历观察、分析、探索、转化、归纳，体会特殊到一般，一般到特殊的重要数学思想方法.通过类比、联想、知识的迁移和应用等方式，使学生体会知识之间的有机联系，感受数学的整体性，进一步理解数列的本质做好铺垫.（4）总结归纳：1.从项的角度分析：①项与项的大小，可以分成递增数列、递减数列、摆动数列和常数列；②从每一项与序号的关系：通项公式；③从前后几项之间的关系：递推公式；2.从概念的内涵和外延角度分析：①数列与函数、数列与数集的区别和联系；②类比函数的表示法和性质，完善数列的表示法和类似性质；类比函数的学习经历，形成思维导图：4.例题解析，深化概念理解例1：写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：（1）4131211--，，， (2) 2，0，2，0 预设：（1）()n a n n 11+-=或()n n a n π1cos -= (3)()111+-=+n n a 或=为偶数，为奇数，n n a n 02或()π1cos 2-=n a n问题3：上述数列的通项公式为什么可以写出多个？例2：图中的三角形图案称为谢宾斯基（sierpinski ）三角形.在下图四个三角形图案中，着色的小三角形的个数依次构成一个数列的前4项，请写出这个数列的一个通项公式和递推公式设计意图：让学生体会写数列的通项公式，主要是寻找与对应关系，具体方法为：（1）整体把握，局部考虑；（2）合理变形，探求规律.如果只知道一个数列的前几项，这个数列的通项公式可能不唯一，进一步理解数列是一种特殊的函数.课堂练习：1.根据数列的通项公式填表2.若数列{}n a 的通项公式为152-+-=n n a n ,*∈N n ,求数列{}na 的最大项.5.课堂小结，形成知识体系1、对于一个新概念你会研究哪些方面，基本思路是什么？2、对于数列，你有什么样的认识？3、下节课我们将研究一些特殊数列,例如等差数列，等比数列等.。
2.1.数列的简单表示方法（2）教学目标1．理解数列概念，了解数列和函数之间的关系2．了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项3．对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式4．提高观察、抽象的能力．教学重点：1．理解数列概念；2．用通项公式写出数列的任意一项．教学难点：根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式．教学方法：发现式教学法教学步骤：一设置情景：1． 叫数列。
2．数列的一般形式是 。
3．数列的通项公式)(n f a n =反映了数列的 和 的对应关系。
二.知识运用： 例1．根据下面数列的通项公式，写出它的前五项： （1）n n a n 22-=； （2）1)1(1+-=-n na n n 。
例2．已知无穷数列：1×2，2×3，3×4，……，)1(+n n ，……。
（1）求这个数列的第10项；（2）420和421是否是这个数列的项，若是，应是第几项？例3．写出下面数列的一个通项公式，使它的前四项分别是下列各数。
（1）1， 6，12，20……（2）0，1，0，1……（3）-1，4，-9，16……（4）32，98，2726，8180……（5）9，99，999，9999，……例4在数列{}n a 中，11=a ，22-=a ，且)2(11≥+=-+n a a a n n n ；求出这个数列的前五项。
【递推公式】如果已知数列{}n a 的第一项（或前K 项）,且任一项n k a +与前K 项间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。
例5根据下列数列的首项和递推公式，写出它们的前五项，并猜想出通项公式。
（1）11=a ，1211+=-n n a a ),2(*∈≥N n n （2）01=a ，))(12(*1N n n a a nn ∈-+=+ 例6．已知数列{}na 的通项公式是782+-=n n a n ， （1） 数列中有多少项是负数？（2）n 为何值时，n a 有最小值，并求最小值。
备课资料一、数列通项公式的求法介绍求通项公式是学习数列时的一个难点.由于求通项公式时渗透多种数学思想方法，因此求解过程中往往显得方法多、灵活度大、技巧性强.现举数例1.观察法已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而 根据规律写出此数列的一个通项【例1】 已知数列21,41 ,85- ,1613 ,3229- ,6461 ,…,写出此数列的一个通项公式 解：观察数列前若干项可得通项公式为a n =(-1)n n n 232-. 2.公式法已知数列的前n 项和求通项时，通常用公式a n =⎩⎨⎧≥-=-2,,1,11n S S n S n nS n -S n -1,n ≥2.用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”,即a 1和a n 合为一个表达式【例2】 已知数列{a n }的前n 和S n 满足log 2(S n +1)=n +1,求此数列的通项公式解:由条件可得S n =2n +1-1，当n =1时，a 1=3,当n ≥2时,a n =S n -S n -1=2n +1-2n =2n所以a n =3,n n ,n ≥2.3.累差迭加法若数列{a n }满足a n +1=a n +f(n )的递推式，其中f(n )又是等差数列或等比数列，则可用累差迭加法求通项【例3】 已知数列6，9，14，21，30，…，求此数列的通项解：∵a 2-a 1=3,a 3-a 2=5,a 4-a 3=7,…，a n -a n -1=2n -各式相加得a n -a 1=3+5+7+…+(2n -∴a n =n 2+5(n ∈N ).4.连乘法若数列{a n }能写成a n =a n -1+(n )(n ≥2)的形式，则可由a n =a n -1f(n ),a n -1=a n -2f(n -1),a n -2=an -3f(n -2),…,a 2=a 1f(2)连乘求得通项公式【例4】 已知数列{a n }满足a 1=1,S n =2)1(n a n + (n ∈N )，求{a n }的通项公式 解:∵2S n =(n +1)a n (n ∈N )，2S n -1=na n -1(n ≥2,n ∈N )，两式相减得2a n =(n +1)a n -na n -1，∴11-=-n n a a n n (n ≥2,n ∈N 于是有1212=a a ,2323=a a ,3434=a a ，…,11-=-n n a a n n (n ≥2,n ∈N )， 以上各式相乘，得a n =na 1=n (n ≥2,n ∈N ).又a =1，∴a n =n (n ∈N ).5.求解方程法若数列{a n }满足方程f(a n )=0时，可通过解方程的思想方法求得通项公式【例5】 已知函数f(x)=2x -2 -x ,数列{a n }满足f(log 2a n )=-2n ,求数列{a n }的通项公式 解:由条件f(log 2a n )=2 log2an -2-an =-2n ,即n a a n n 21-=-∴an 2+2na n -1=0,又a n ＞0，∴a n =12+n -n .6.迭代法若数列{a n }满足a n =f(a n -1)，则可通过迭代的方法求得通项公式 二、阅读材料 愚公的子子孙孙《愚公移山》中愚公说过这样一段话：“即使我死了，还有儿子在；儿子又生孙子，孙子再生儿子，儿子又有儿子，儿子又有孙子，子子孙孙无穷无尽……”愚公的话，不但表达了他移山的决心，而且提出了一个有趣的无穷数列，即他的子孙后代繁殖的数列设愚公的儿子，即第一代的人数为a 1；愚公的孙子，即第二代子孙的人数为a 2；孙子的儿子，即第三代子孙的人数为a 3；一般地，第n 代子孙的人数为a n这样，我们就得到一个由正整数组成的无穷数列a 1，a 2，a 3，a n .（这个数列描述了愚公子孙生殖繁衍的“无穷无尽”的状态.这个数列的每一项显然都与它前面的项有关，但这种关系不是确定的关系，而具有随机性质.可惜我们没有任何资料来确定(1)的具体数字.如果愚公的时代人们也自觉地计划生育，例如，一对夫妇只生两个孩子(假设愚公子孙们不能互相通婚)，那么数列(1)就可成为递推数列：a n +1=2a n如果愚公有3个儿女，即a 1=3，就得到下面这个数列：3，6，12，24，48，96，（这个数列(3)，就是一个满足a n +1=2a n 的数列。
2.1 数列的概念与简单表示法2.1.1 数列的概念与简单表示法(一从容说课本节课先由教师提供日常生活实例，引导学生通过对实例的分析体会数列的有关概念，再通过对数列的项数与项之间的对应关系的探究，认识数列是一种特殊的函数，最后师生共同通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式.通过本节课的学习使学生能理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的通项公式 教学重点 数列及其有关概念，通项公式及其应用教学难点 根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式教具准备 课件三维目标一、知识与技能1.理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；2.了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；3.对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的通项公式 二、过程与方法1.采用探究法，按照思考、交流、实验、观察、分析、得出结论的方法进行启发式教学；2.发挥学生的主体作用，作好探究性学习；3.理论联系实际，激发学生的学习积极性三、情感态度与价值观1.通过日常生活中的大量实例，鼓励学生动手试验.理论联系实际，激发学生对科学的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的辩证唯物主义观点； 2.通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣教学过程导入新课师 课本图211中的正方形数分别是多少？ 生 1，3，6，10，师 图212中正方形数呢？ 生 1，4，9，16，25，师 像这样按一定次序排列的一列数你能否再举一些？ 生 -1的正整数次幂：-1，1，-1，1， 无穷多个数排成一列数：1，1，1，1，生 一些分数排成的一列数：32，154，356，638，9910，推进新课［合作探究］ 折纸问题师 请同学们想一想，一张纸可以重复对折多少次？请同学们随便取一张纸试试(学生们兴趣一定很浓生 一般折5、6次就不能折下去了，厚度太高了师 你知道这是为什么吗？我们设纸原来的厚度为1长度单位，面积为1面积单位，随依次折的次数，它的厚度和每层纸的面积依次怎样？生 随着对折数厚度依次为:2，4，8，16，…，256，…；随着对折数面积依次为21,41 ,81 ,161 ,…,2561生 对折8次以后，纸的厚度为原来的256倍，其面积为原来的分 1[]256式，再折下去太困难了师 说得很好，随数学水平的提高，我们的思维会更加理性化.请同学们观察上面我们列出的这一列一列的数，看它们有何共同特点？ 生 均是一列数 生 还有一定次序师 它们的共同特点：都是有一定次序的一列数 ［教师精讲］1.数列的定义：按一定顺序排列着的一列数叫做数列 注意：（1）数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；（2）定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现. 2.数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项(或首项)，第2项，…，第n 项，….同学们能举例说明吗？生 例如，上述例子均是数列，其中①中，“2”是这个数列的第1项(或首项)，“16”是这个数列中的第4项 3.数列的分类：1)根据数列项数的多少分：有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6是有穷数列 无穷数列：项数无限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6…是无穷数列 2)根据数列项的大小分：递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列 递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列 常数数列：各项相等的数列摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列请同学们观察：课本P 33的六组数列，哪些是递增数列、递减数列、常数数列、摆动数列？生 这六组数列分别是(1)递增数列，(2)递增数列，(3)常数数列，(4)递减数列，(5)摆动数列，(6)1.递增数列，2.递减数列 ［知识拓展］师 你能说出上述数列①中的256是这数列的第多少项？能否写出它的第n 项？生 256是这数列的第8项，我能写出它的第n 项，应为a n =2n［合作探究］同学们看数列2，4，8，16，…，256，…①中项与项之间的对应关系，项 2 4 8 16序号你能从中得到什么启示？生 数列可以看作是一个定义域为正整数集N *(或它的有限子集{1，2，3，…，n })的函数a n =f(n )，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值.反过来，对于函数y=f(x)，如果f(i)(i=1、2、3、4…)有意义，那么我们可以得到一个数列f(1),f(2),f(3),…,f(n 师 说的很好.如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式 ［例题剖析］1.根据下面数列{a n }的通项公式，写出前5项：(1)a n =1+n n ;(2)a n =(-1)n·n师 由通项公式定义可知，只要将通项公式中n 依次取1，2，3，4，5，即可得到数列的前5项生 解：(1)n =1,2,3,4,5.a 1=21;a 2=32;a 3=43;a 4=54;a 5=65(2)n =1,2,3,4,5.a 1=-1;a 2=2;a 3=-3;a 4=4;a 5=-师 好！就这样解2.根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式： (1)3，5，7，9，11，…；(2)32，154，356，638，9910，…； (3)0，1，0，1，0，1，…；(4)1，3，3，5，5，7，7，9，9，…； (5)2，-6，12，-20，30，-42，师 这里只给出数列的前几项的值，哪位同学能写出这些数列的一个通项公式？(给学生一定的思考时间生老师，我写好了！解：(1)a n ＝2n ＋1；(2)a n ＝)12)(12(2+-n n n ；(3)a n ＝2)1(1n-+；(4)将数列变形为1＋0，2＋1，3＋0，4＋1，5＋0，6＋1，7＋0，8＋1，…，∴a n ＝n ＋2)1(1n-+；(5)将数列变形为1×2，-2×3，3×4，-4×5，5×6，…，∴a n ＝(-1)n +1n (n ＋师 完全正确！这是由“数”给出数列的“式”的例子，解决的关键是要找出这列数呈现出的规律性的东西，然后再通过归纳写出这个数列的通项公式 ［合作探究］师 函数与数列的比较(由学生完成此表)：来画出其对应图象，下面同学们练习画数列 4，5，6，7，8，9，10…;② 1,21 ,31 ,41,…③的图象生 根据这数列的通项公式画出数列②、③的图象为师 数列4，5，6，7，8，9，10,…②的图象与我们学过的什么函数的图象有关？ 生 与我们学过的一次函数y=x+3的图象有关师 数列1,21 ,31 ,41,…③的图象与我们学过的什么函数的图象有关？ 生 与我们学过的反比例函数xy 1=的图象有关师 这两数列的图象有什么特点？生 其特点为：它们都是一群孤立的点生 它们都位于y 轴的右侧，即特点为：它们都是一群孤立的，都位于y 轴的右侧的点 本课时的整个教学过程以学生自主探究为主，教师起引导作用，充分体现学生的主体作用，体现新课程的理念 课堂小结对于本节内容应着重掌握数列及有关定义，会根据通项公式求其任意一项，并会根据数列的前n 项求一些简单数列的通项公式 布置作业课本第38页习题2.1 A 组第1题板书设计数列的概念与简单表示法(一)定义1.数列 例12.项3.一般形式例2 函数定义4.通项公式5.有穷数列6.无穷数列备课资料一、备用例题1.写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：(1)1，3，5，7；(2)515;414,313;2122222----(3)211⨯-,321⨯- ,431⨯- ,541⨯-分析：(1)项：1=2×1-1 3=2×2-1 5=2×3-1 7=2×4-序号：所以我们得到了a n =2n -1；(2)序号： 1 2 3 4 ↓ ↓ ↓ ↓ 项分母： 2=1+1 3=2+1 4=3+1项分子： 22-1=(1+1)2-1 32-1=(2+1)2-1 42-1=(3+1)2-1 52-1=(4+1)2-所以我们得到了a n =1)1(2++n n 或1)2(+∙+n nn ；(3)序号: 1 2 3211⨯-321⨯- 431⨯- 541⨯-)11(11+⨯-)12(21+⨯- )13(31+⨯- )14(41+⨯-所以我们得到了a n =-)1(1+⨯n n2.写出下面数列的一个通项公式，使它的前n 项分别是下列各数：(1)1,0,1,0; 〔a n =2)1(11+-+n ,n ∈N *〕(2)-32,83 ,154- ,245,356-; 〔a n =(-1)n·1)1(12-++n n 〕(3)7,77,777,7 777; 〔a n =97×(10n-1)〕 (4)-1,7,-13,19,-25,31; 〔a n =(-1)n(6n -5)〕(5)23,45 ,169 ,25617. 〔a n =12212-+n n 〕点评：上述两题都是根据数列的前几项来写出这数列的通项公式，根据数列的前几项来写出这数列的通项公式时，常可联想奇数、偶数、平方数、指数等等.遇到分数的时候，常可根据需要把分子和分母同时扩大再来看看分子和分母中数的规律性，有时可直截了当地研究分子和分母之间的关系3.已知数列{an }的通项公式是a n =2n 2-n ，那么(A.30是数列{a n }的一项 B .44是数列{a n }的一项C.66是数列{a n }的一项 D .90是数列{a n }的一项分析：注意到30，44，66，90均比较小，可以写出这个数列的前几项，如果这前几项中出现了这四个数中的某一个，则问题就可以解决了.若出现的数比较大，还可以用解方程求正整数解的方法加以解决 答案：点评：看一个数A 是不是数列{a n }中的某一项，实质上就是看能不能找出一个非零自然数n ，使得a n =A4.(链接探究题)假定有一张极薄的纸，厚度为2001就是每200张叠起来刚好为1 cm ，现在把这张纸裁一为二，叠起来，它的厚度记为a 1；再裁一为二，叠起来，它的厚度记为a 2，又裁一为二，叠起来，它的厚度记为a 3，这样一裁一叠，每次叠起来所得的厚度依次排列，就得到一个数列：a 1,a 2,a 3,…,a k你能求出这个数列的通项公式吗？你知道a ，即裁了50次、叠了50次后的厚度是多少厘米吗？是否有10层楼高呢？答案：这个数列的通项公式为a n =2002n，裁了50次、叠了50次后的厚度是5 629 499 534 213.12 cm ＞56 294 995 km ，大于地球到月球距离的146倍 二、阅读材料无法实现的奖赏相传古印度舍罕王朝有一位宰相叫达依尔，据说是他发明了国际象棋，古印度的舍罕王学会了下国际象棋以后，非常激动，他要重赏他的宰相达依尔达依尔对他的国王说：陛下，我不要您的重赏，只要您按我下面的办法赏我一些麦粒就可以了：在我的棋盘上(它有64个格)第一格赏1粒，第二格赏2粒，第三格赏4粒，第四格赏8粒……依此类推每后一格的麦粒数都是前面一格的两倍.国王答应了达依尔的要求，但是几天以后他就发现事实上这是一个无法兑现的奖赏请问国王为什么不能兑现他的奖赏呢？2.1.2 数列的概念与简单表示法(二从容说课这节课通过对数列通项公式的正确理解，让学生进一步了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；会根据数列的递推公式写出数列的前几项；通过经历数列知识的感受及理解运用的过程，作好探究性教学.发挥学生的主体作用，提高学生的分析问题以及解决问题的能力教学重点 根据数列的递推公式写出数列的前几项 教学难点 理解递推公式与通项公式的关系 教具准备 多媒体三维目标一、知识与技能1.了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；2.会根据数列的递推公式写出数列的前几项 二、过程与方法1.经历数列知识的感受及理解运用的过程2.发挥学生的主体作用，作好探究性实验3.理论联系实际，激发学生的学习积极性三、情感态度与价值观通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣教学过程导入新课师 同学们，昨天我们学习了数列的定义，数列的通项公式的意义等内容，哪位同学能谈一谈什么叫数列的通项公式？生 如果数列{a n }的第n 项与序号之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式 师 你能举例说明吗？生 如数列0，1，2，3，…的通项公式为an =n -1(n ∈N *1,1,1的通项公式为a n =1(n ∈N *,1≤n 1,21 ,31 ,41 ,…的通项公式为a n =n1 (n ∈N *［合作探究］ 数列的表示方法师 通项公式是表示数列的很好的方法，同学们想一想还有哪些方法可以表示数列？ 生 图象法，我们可仿照函数图象的画法画数列的图形.具体方法是以项数n 为横坐标，相应的项a n 为纵坐标，即以(n ,a n )为坐标在平面直角坐标系中作出点(以前面提到的数列1,21,31,41,…为例，作出一个数列的图象)，所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐标为正整数，所以这些点都在y 轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数.从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势师 说得很好，还有其他的方法吗？ 生师 下面我们来介绍数列的另一种表示方法：递推公式法知识都来源于实践，同时还要应用于生活，用其来解决一些实际问题.下面同学们来看右下图：钢管堆放示意图(投影片).观察钢管堆放示意图，寻其规律，看看能否建立它的一些数学模型. 生 模型一：自上而下第1层钢管数为4,即＝第2层钢管数为5,即＝第3层钢管数为6,即＝第4层钢管数为7,即＝第5层钢管数为8,即＝第6层钢管数为9,即＝第7层钢管数为10,即＝若用a n 表示钢管数，n 表示层数，则可得出每一层的钢管数为一数列，且a n =n +3(1≤n ≤7). 师 同学们运用每一层的钢管数与其层数之间的对应规律建立了数列模型，这完全正确，运用这一关系，会很快捷地求出每一层的钢管数.这会给我们的统计与计算带来很多方便.让同学们继续看此图片，是否还有其他规律可循？(启发学生寻找规律生 模型二：上下层之间的关系自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多即a 1=4；a 2=5=4+1=a 1+1；a 3=6=5+1=a 2依此类推：a n =a n -1+1(2≤n 师对于上述所求关系，同学们有什么样的理解生 若知其第1项，就可以求出第二项，以此类推，即可求出其他项师看来，这一关系也较为重要，我们把数列中具有这种递推关系的式子叫做递推公式 推进新课1.递推公式定义：如果已知数列{a n }的第1项(或前几项)，且任一项a n 与它的前一项a n -1(或前n 项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式 注意：递推公式也是给出数列的一种方法如下列数字排列的一个数列：3，5，8，13，21，34，55， 递推公式为：a 1=3,a 2=5,a n =a n -1+a n -2(3≤n2.数列可看作特殊的函数，其表示也应与函数的表示法有联系，函数的表示法有：列表法、图象法、解析式法.相对于数列来说也有相应的这几种表示方法：即列表法、图象法、解析式法［例题剖析］【例1】 设数列{a n }满足1,11111＞n a a a n n⎪⎩⎪⎨⎧+==-.写出这个数列的前五项师 分析：题中已给出{a n }的第1项即a 1=1，题目要求写出这个数列的前五项，因而只要再求出二到五项即可.这个递推公式：a n =1+11-n a我们将如何应用呢生 这要将n 的值2和a 1=1代入这个递推公式计算就可求出第二项，然后依次这样进行就可以了师 请大家计算一下 生 解：据题意可知：a 1=1,a 2=1+11a =2,a 3=1+21a =32,a 4=1+31a =35,a 5=58师 掌握递推公式很关键的一点就是其中的递推关系，同学们要注意探究和发现递推公式中的前项与后项，或前后几项之间的关系【例2】 已知a 1=2，a n +1=2a n ，写出前5项，并猜想an 师 由例1的经验我们先求前5项 生 前5项分别为2，4，8，16， 师 对，下面来猜想第n 项生 由a 1=2，a 2=2×2=22，a 3=2×22=23观察可得，我猜想a n =2n师 很好生 老师，本题若改为求a n 是否还可这样去解呢 师 不能.必须有求解的过程生 老师，我由a n +1=2a n 变形可得a n =2a n -1，即21=-n na a ，依次向下写，一直到第一项，然后将它们乘起来，就有⨯⨯⨯-----32211n n n n n n a a a a a a …×1122-=n a a ，所以a n =a 1·2n -1=2n师 太妙了，真是求解的好方法.你所用的这种方法通常叫迭乘法，这种方法在已知递推公式求数列通项的问题中是比较常用的方法，对应的还有迭加法 ［知识拓展］已知a 1=2，a n +1=a n -4,求a n师 此题与前例2比较，递推式中的运算改为了减法，同学们想一想如何去求解呢生1 写出：a 1=2，a 2=-2，a 3=-6，a 4=-10，观察可得：a n =2+(n -1)(n -4)=2-4(n -生2 他这种解法不行，因为不是猜出a n ，而是要求出a n我这样解：由a n +1-a n =-4依次向下写，一直到第一项，然后将它们加起来a n -a n -1=-a n -1-a n -2=-a n -2-a n -3=-)1(44a )112--=--=-+n a a a n∴a n =2-4(n -师 好极了，真是触类旁通啊，这种方法也请同学们课后多体会 ［教师精讲］(1)数列的递推公式是由初始值和相邻几项的递推关系确定的，如果只有递推关系而无初始值，那么这个数列是不能确定的例如，由数列{a n }中的递推公式a n +1=2a n +1无法写出数列{a n }中的任何一项，若又知a 1=1，则可以依次地写出a 2=3,a 3=7,a 4(2)递推公式是给出数列的一种方法，由递推公式可能求出数列的通项公式，也可能求不出通项公式［学生活动］根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳出通项公式.(投影片(1)a 1＝0，a n +1＝a n ＋(2n -1)(n ∈N )；(2)a 1＝1，a n +1＝2+n na a (n ∈N )； (3)a 1＝3，a n +1＝3a n -2(n ∈N(让学生思考一定时间后，请三位学生分别作答解：(1)a 1＝0，a 2＝1，a 3＝4，a 4＝9，a 5＝16，∴a n ＝(n -1)2(2)a 1＝1，a 2＝32，a 3＝21=42，a 4＝52，a 5＝31 =62，∴a n ＝12+n(3)a 1＝3＝1+2×30，a 2＝7＝1+2×31，a 3＝19＝1+2×32，a4＝55＝1+2×33，a 5＝163＝1+2×34，∴a n ＝1＋2·3 n -1 注：不要求学生进行证明归纳出通项公式 ［合作探究］一只猴子爬一个8级的梯子，每次可爬一级或上跃二级，最多能上跃起三级，从地面上到最上一级，你知道这只猴子一共可以有多少种不同的爬跃方式吗？析：这题是一道应用题，这里难在爬梯子有多种形式，到底是爬一级还是上跃二级等情况要分类考虑周到爬一级梯子的方法只有一种爬一个二级梯子有两种,即一级一级爬是一种，还有一次爬二级，所以共有两种若设爬一个n级梯子的不同爬法有a n种则a n=a n-1+a n-2+a n-3(n则得到a1=1,a2=2,a3=4及a n=a n-1+a n-2+a n-3(n≥4)，就可以求得a8课堂小结师这节课我们主要学习了数列的另一种给出方法，即递推公式及其用法，要注意理解它与通项公式的区别，谁能说说？生通项公式反映的是项与项数之间的关系，而递推公式反映的是相邻两项(或n项)之间的关系生对于通项公式，只要将公式中的n依次取1，2，3…,即可得到相应的项.而递推公式则要已知首项(或前n项)，才可求得其他的项(让学生自己来总结，将所学的知识，结合获取知识的过程与方法，进行回顾与反思，从而达到三维目标的整合.培养学生的概括能力和语言表达能力布置作业课本第38页习题2.1A组第4、6题预习内容：课本P41～P 44数列的概念与简单表示法(二)一、定义二、例题讲解小结：7.递推公式：例通项公式与例2 递推公式区别。
