等式的基本性质
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等式的基本性质
反思小结： 1、等式的两个基本性质以及在解方程中的应用 2、解方程的一般性的步骤 3、检验
3
6
学习要求： 1、抽两名三号上黑板完成即时练习3，其余同 学独立完成即时练习3，时间2分钟 2、全班分析两学生的解答过程 3、集体评价订正并思考多种方法
星级达标 学习要求： 1、独立完成1-4和6，时间6分钟 2、分组展示 3、组内组间交流 4、集体订正 5、1-6组4号黑板展示5 6、小组改错，组间改错，评价加分
（1）解方程3x-3=2x-3 解法一：两边同时加上3,得：
3x=2x 两边同时除以x,得：
3=2 因此，原方程无解
解法二：两边同时加上3,得 3x=2x
两边同时减去2x,得 x=0
因此，x=0
总结：利用等式的基本性质2解方程时应注意：除数必须非零
即时练习3：
6x 2 2x
1 (x 1) 1
第2课时 等式的基本性质
十陵中学李艳
学习目标：
1、通过观察、实验，发现等式的基本性质 2、我会说出等式的基本性质 3、我能用等式基本性质解一元一次方程
学习要求：1、组长检查预习情况 2、小组内交流订正答案
录像3.lxe 观看录像3，完成性质探索一 录像4.lxe 观看录像4，完成性质探索二
典 例例2 展运示用：等式性质解方程： 3x 2 10
解：方程两边同时加2得：
x 3
12
方程两边同时乘以-3得：x 36
学习要求： 1、学生观察老师老师解方程的步骤 2、独立完成即时练习2，时间2分钟 3、展示两学生的练习 4、集体评价订正
拓展教材
5、利用等式性质解一元一次方 程
等式的基本性质1：等ห้องสมุดไป่ตู้两边同时加上 （或减去）相同的数，所得结果仍然是相 等的。用符号表示：若a=b,则a+m=b+m
《等式的性质》
同时加
3，得到
8=10，等式仍然成
立。
即：若 a=b，则 a+c=b+c（或 ac=b-c）。
等式的乘法性质
等式两边同时乘以（或 除以） 同一个非零数，等式仍然成立 。
即：若 a=b 且 c≠0，则 ac=bc（或 a/c=b/c）。
示例：若 6=9，两边同时乘以 2，得到 12=18，等式仍然成 立。
等式与不等式在解决实际问题中的应用
等式常用于求解未知数或验证数学定理；
不等式则更常用于解决实际问题中的大小、范围、最值等问题；
举例：利用不等式求解最优化问题（如线性规划），或者通过等式和不等式联合求 解实际问题（如方程组和不等式组的综合应用）。
高级等式性质与应
04
用
移项与合并同类项
移项
通过移项操作，可以将等式中的某些项移到等式的另一侧， 从而简化等式或解决问题。在移项时，需要保持等式的平衡 ，即等号两边的数学表达式在移项后仍然相等。
实际问题解决
等式的基本性质在几何中也有应用，例如 证明几何定理时，可以通过构建等式并应 用等式性质进行推导。
等式的基本性质可以用于解决实际问题中 的方程问题，如距离、速度、时间之间的 关系等。
等式的运算性质
02
等式的加法性质
等式两边同时加上（ 或 减去）同一个数 ，等式仍然成立。
示例：若 5=7，两边
学习等式性质的意义与价值
培养逻辑思维能力
通过学习等式的性质，我们可以培养逻辑思维能力，学会 从已知条件出发，通过逻辑推理得出未知数的解。
解决实际问题的基础
等式性质在实际问题中有广泛的应用，例如工程问题、经 济问题等。掌握等式的性质，能够帮助我们更好地解决这 些实际问题。
等式的基本性质
等式的基本性质：
1、等式两边同时加上或减去 相同的数，等式不变; 2、等式两边同时乘或除以相 同的数（0除外），等式不变。
四、及时检测，深化理解
在○里填运算符号，在□里填数。 ⅹ-20=30 3.6+ⅹ=5.7 ⅹ-20+20=30○□ 3.6+ⅹ-3.6=5.7○□
ⅹ÷6=18 0.7ⅹ=3.5 ⅹ÷6×6=18○□ 0.7ⅹ÷0.7=3.5○□
等式的基本性质
逸夫小学 沈雪飞
一、比对目标，明确方向
理解等式的基本性质。
二、聚焦问题，合作交流
书第64-65页：
1、观察64页书上的情境图，天平能平衡 吗？你发现了什么？ 2、观察书上65页的情境图，你又发现了什 么？ 3、用自己的话说说等式的基本性质有哪 些？
三、交流展示，互纠互补
1、观察64页书上的情境图，天平能平衡 吗？你发现了什么？ 2、观察书上65页的情境图，你又发现了什 么？ 3、用自己的话说说等式的基本性质有哪 些？
五、课堂总结、小组评价
1、这节课你学会了什么？ 2、小组统分、登分。
等式的性质
从等式到方程一、等式的基本性质1、等式的两边同加（或同减）同一个数，结果仍然相等； 即：若则,b a =.c b c a ±=±2、等式的两边同乘同一个数，结果仍然相等； 即：若.,bc ac b a ==则3、等式的两边同除以一个数（不为零），结果仍然相等。
即：若cb c a c b a =≠=则且,0,4、等式的对称性： 即：若a b b a ==则,5、等式的传递性：（等量代换） 即：若c a c b b a ===则,,典型例题1、（考查等式的性质及其变形）判断下列说法，并说明理由。
（1）若c b b a +=+，则c a =； （2）若bc ab =，则c a =； （3）若bcb a=，则c a =；（4）若b c b a -=-，则c a =；（5）若1=xy ，则yx 1=；（6）若y xy =，则1=x 。
（7）若31x =，则31=x 。
（8）若z y y x 3,2==，则32x z =。
说明：①在使用等式的性质3时，一定要注意除数不为0的条件，②还要注意题目中的隐含条件，比如1=xy 隐含着0≠y ；而y xy =中则没有。
例 2 用适当的数或整式填空，使所得结果仍是等式，并说明是根据哪条性质以及怎样变形的：（1）如果853=+，那么-=83 ； （2）如果632=-x ，那么+=62x ；（3）如果123--=x x ，那么+x 3 1-=；（4）如果521=x ，那么=x ； （5）如果21231-=-x x ，那么-x 31 +-=21 ；（6）如果2)32(4=-x ，那么32-x = ；（7）如果22-=-y x ，那么=x ； （8）如果32y x =，那么=x 3 ．说明：本题是等式性质的应用，可以结合小学加减乘除的逆运算来加深理解。
二、方程：含有未知数的等式叫方程。
1、一元一次方程：只含有一个未知数，且未知数的指数是一次的整式方程。
等式的基本性质1和2和3
等式的基本性质1和2和3
等式是一种数学表达形式，被广泛用于求解数学问题和描述数学概念。
因此，了解等式的基本性质对于掌握数学非常重要。
首先，对等比数列性质1，当两个等式中的各项有相等的成比例关系时，这两个等式就叫做等比数列。
例如：式中x：2；y：4，则x:y=2:4，这叫做等比。
其次，性质2为线性性质，当一个等式中的各项按一定的线性关系分布时，它就叫做线性方程式。
例如：式中x：3；y：2，则x:y=3:2，这就叫做线性的。
最后，等式的性质3为一致性质，当两个等式中的术语完全相同时，这两个等式就叫做一致的。
例如：式中x：2；y：2，则x=y，这就叫做一致。
综上所述，等式的基本性质包括等比性质、线性性质和一致性质。
掌握等式的基本性质，对把握数学原理、解决数学问题有重要意义，也是数学学习的基础。
等式的基本性质
叫做方 未知数的值 )叫做方 )。 。 ) )
(2)求方程的解的过程叫做 解方程 求方程的解的过程叫做( 求方程的解的过程叫做
(3)比x多5的数是 。列方程为 X+5=10 比 多 的数是 的数是10。列方程为( (4)8与x的和是 。方程为 8+X=56 与 的和是 的和是56。方程为( (5)比x少1.06的数是 比 少 的数是21.5。列方程为 的数是 。 ( )。 。 X-1.06=21.5
同学们，你知道小学数学教科书的印刷过程吗？ 同学们，你知道小学数学教科书的印刷过程吗？
在一张大纸的 两面分别印上 16页教材。 页教材。 页教材
对折四次后， 对折四次后， 每页的面积是 689.75cm2。
经过装订、 经过装订、裁 边后就成了我 们看到的教科 书。
一、填空。 (1)使方程左右两边相等的 使方程左右两边相等的( 使方程左右两边相等的 程的解。 程的解。
等式两边同时乘或除以一个相同的数（ 除外），等式大小不变 除外），等式大小不变。 等式两边同时乘或除以一个相同的数（0除外），等式大小不变。
解方程 3x = 18
x x x
方程两边同时除以同 一个不等于0的数，左 一个不等于 的数， 的数 右两边仍然相等。 右两边仍然相等。
解：3x÷（3）= 18÷（3 ） ÷ ÷ x =（6） （
100g
100+x＝250
100+x=100+150 100+150=250, 所以x=150。
100+x＝250 x＝150
使方程左右两边相等的未知数的值，叫做 方程的解。 像上面，x=150就是方程100+x=250的解。 求方程的解的过程叫做解方程。
初中数学知识点精讲精析 等式的基本性质
5.2 等式的基本性质学习目标1. 了解等式的两条性质。
2. 会用等式的性质解简单的（用等式的一条性质）一元一次方程。
知识详解1. 等式的性质1等式两边都加上（或减去）同一个数（或式子），结果仍相等。
如果a=b ，那么a ±c=b ±c2. 等式的性质2等式的两边都乘以或都除以同一个不为零的数或式，所得结果仍是等式。
如果a=b ，那么ac=bc 或(0)a b c c c=≠ 【典型例题】例1：如果x=-3,y=x ，那么y 的值为（ ）A.3B.-3C. 13D.-13【答案】B【解析】直接将x 的值代入原方程y=x 可得。
例2：下列各式中，是一元一次方程的是（ ）A.x+y=x-2B.x+y=5C.4x=0D.6x+5【答案】C【解析】由一元一次方程的定义：只含有一个未知数，并且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数是1，这样的方程叫做一元一次方程.C.4x=0是一元一次方程。
例3：方程2x+1=5，那么6x+1等于（ ）A.13B.19C.25D.无解【答案】A【解析】先解方程2x+1=5，得x=2；把x=2代入6x+1得6x+1=6×2+1=13.【误区警示】易错点1：等式与代数式的区别1. 下列式子中哪些是等式，哪些是代数式？（1）2+3=5；（2）3x-1=0；（3）2x-1＞0；（4）7x-2；（5）2x -2x-1=0；（6）2m =0【答案】（1）、（2）、（5）、（6）是等式；（4）是代数式；（3）既不是等式，也不是代数式，是不等式。
【解析】等式与代数式的重要区别是等式有等号，而代数式仅是一个含有字母的式子。
易错点2：等式的性质2. 利用等式的性质解下列方程：（1）2x-4=0；（2）3x+15=8【答案】（1）两边同时加上4，得2x=4.两边同时除以2，得x=2.（2）两边同时减去15，得3x=8-15，即3x=-7.两边都除以3（或两边都乘以13），得x=-7×13,即x=-73. 【解析】解方程即是利用等式的性质，通过两边加减乘除变形为x=a 的形式。
等式的基本性质
(3)两边都加(2x＋6)，得5x＝－25，
两边都除以5，得x＝－5. (4)方程两边同时加上5，得－ 1 x＝6，
4 方程两边同时乘以－4，得x＝－24.
14．小明学习了《等式的基本性质》后对小 亮说：“我发现4可以等于3，你看这里有 一个方程4x－2＝3x－2，等式的两边同 时加上2，得4x＝3x，然后等式的两边再 同时除以x，得4＝3.”(1)请你想一想，小 明的说法对吗？为什么？(2)你能用等式 的基本性质求出方程4x－2＝3x－2的解 吗？
B．由4x＝－7，得x＝－ 4
C．由 1 x＝0，得x＝2 7 2
D．由3＝x－2，得x＝2＋3
等式的基本性质3、4
6．知识在点横3线上填上适当的数： (1)如果4＝x，那么x＝__4__； (2)如果x＝y，y＝5，那么x＝_5_．
等式的基本性质的应用
应知用识点1
求整式的值
4
7．如果a＋3＝0，那么a的值是( B )
解：
(1)3x＝x＋5.4. (2)一元一次方程． (3)3x＝x＋5.4，两边都减去x， 得2x＝5.4， 两边都除以2，得x＝2.7.
【思路点拨】
(1)从“形”的平衡中找相等关系列方程； (2)按方程的定义判断； (3)用等式的基本性质将方程变形成x＝ a的形式．
12．已知 ax＋b－3＝0，下列每一步 变形是否成立？若成立，说明变形 依据；若不成立，请说明理由． (1) ax＋b＝3； (2) ax＝3－b；
(3)ax＝ 1 (6－2ห้องสมุดไป่ตู้)；(4)x＝ 6－2b .
2
a
解：
(1)成立．根据等式的基本性质1，原式两边 都加上3. (2)成立．根据等式的基本性质1，在(1)的两 边都减去b. (3)成立．根据等式的基本性质2，在(2)的两 边都乘以2. (4)不一定成立．若a＝0，则a不能作除数，
《等式的基本性质》课件
归纳法
归纳法是一种通过观察和实验，从特 殊到一般的推理方法。在等式证明中 ，归纳法常常用于证明一些具有规律 性的等式。
以上是三种常见的等式证明方法，每 种方法都有其适用范围和特点。在实 际应用中，可以根据具体的情况选择 合适的方法进行等式证明。
例如，对于一些具有递推关系的等式 ，可以通过归纳法逐步推导，从简单 的情形开始，逐步推广到更一般的情 形，最终得出结论。
THANKS
感谢观看
等式的可加性
总结词
等式的可加性是指如果a=b，那么a+c=b+c。
详细描述
这是等式的另一个基本性质，表明等式具有可加性。如果两个数相等，那么在等式的两边同时加上或减去同一个 数，等式仍然成立。
等式的可乘性
总结词
等式的可乘性是指如果a=b，那么 ac=bc（c≠0）。
详细描述
这是等式的另一个重要性质，表明等 式具有可乘性。如果两个数相等，那 么在等式的两边同时乘以同一个非零 数，等式仍然成立。
数学等式
总结词
数学等式是指用数学符号表示的 等式，通常用于描述数学对象之 间的关系。
详细描述
数学等式通常用于描述数学对象 之间的关系，例如“a+b=c”表 示两个数a和b的和等于数c。数学 等式是数学逻辑和推理的基础。
物理等式
总结词
物理等式是指用物理量表示的等式，通常用于描述物理现象之间的关系。
详细描述
物理等式通常用于描述物理现象之间的关系，例如“F=ma”表示力等于质量乘 以加速度。物理等式是物理学中描述物理规律和现象的重要工具。
02
等式的基本性质
等式的传递性
总结词
等式的传递性是指如果a=b且b=c，那么a=c。
等式的基本性质_
(5)因为6a=2b,所以3a=( b )
(6)因为a=2b,所以ab= ( 2b² )
本课小结
等式的基本性质一：
等式的两边同时加上或减去相等的数， 等式不变。
等式的基本性质二：
等式的两边同时乘或除以相等的数（0 除外），等式不变。
b
Байду номын сангаас
b b b
a+b=2b+b
a a
b b a
a+a=2b+a
a=2b
a+b=2b+b
a+a=2b+a
b a
b b b b
两边都拿掉1个花瓶，天平还平衡吗？
1个花盆和（ 3 ）个花瓶同样重。
等式性质一：
等式两边都加上（或减去） 相同的数，等式仍然成立。
a
b
b
如果左边的墨水和右 边的铅笔盒，都同时 扩大2倍,天平还保持平 衡吗？
什么是方程？必须具备哪几个条件？
含有 未知数的 等式 叫方程。
必须具备的条件：①是等式。②含有
未知数。
看图列出方程。
x x
x
50g
73
166
用方程表示下面的数量关系。 （1）x加上35等于91。 （2）x的3倍等于57。
（3）x减3的差是6。
（4）7.8除以x等于1.3。
a
b b
a=2b
a
a=2b
a×2 = 2b×2
a
b
把两边的球都平均分成两份,各拿走其中 的一份,天秤还保持平衡吗?
=
等式两边都乘以或除以
相同的数（0除外），等 式仍然成立。
＝
一个苹果和几个橘子重量相等？
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方程的基本性质
一、教材分析
等式的基本性质是学生在刚刚认识了等式与方程的基础上进行教学的。
它是系统学习方程的开始，其核心思想是构建等量关系的数学模型。
本节课的学习是学生在实验的基础上，掌握等式的两个基本性质，引导学生通过比较，发现规律，并为今后运用等式的基本性质解方程打基础。
培养学生数学思维能力。
二、教学目标：
知识与技能：理解并能用语言表述等式的基本性质，能用等式的基本性质解决简单问题。
过程与方法：在用算式表示实验结果、讨论、归纳等中，经历探索等式基本性质的过程。
情感态度价值观：积极参与数学活动，体验探索等式基本性质过程的挑战性和数学结论的确定性。
三、教学重点是：引导学生探索发现等式的基本性质，利用等式的基本性质解决简单问题。
教学难点是抽象归纳出等式的基本性质。
四、教学程序（分三部分教学）
（一）联系实际，激趣引入
首先激发探究兴趣：提出问题：“同学们，你用天平做过游戏吗？”这节课我们就利用天平一起来探索天平游戏中所包含的数学知识。
”
（二）自主探索，合作交流
学习等式的基本性质1
1、具体情境，感受天平平衡
利用多媒体依次天平图的各个操作。
让学生通过观察，用语言来描述发现，与同桌交流。
这样由具体演示到抽象概括，使学生记忆深刻，充分体现了学生为主体，教师为主导的原则。
图1、图2的教学模式：先让学生观察，问：你发现了什么？然后提问：怎样变换，能使天平仍然保持平衡呢？待学生思考片刻，再进一步提问：往两边各放1个杯子，天平会发生什么变化？生口答，验证。
接下去，继续提问：如果两边各
放上2个茶杯，天平还会保持平衡吗？两边各放上同样的一把茶壶呢？生答，再一一演示验证。
图3、图4的教学模式和前面一样。
板书如下：
2、总结抽象，认识规律
通过上面的观察，先用一句话归纳图1和图2的内容。
（1、等式的两边都加上或减去相同的数，等式不变。
）再以第一句话为基础归纳出图3和图4的内容。
（2、等式的两边都乘或除以相同的数（0除外）等式不变。
）
教师指出这是等式的一个非常重要的性质。
板书：等式的基本性质
（三）巩固练习，深化认识
练习题的设计，低起点，小台阶，循序渐进，符合学生接受知识的特点，培养了学生的灵活性，使学生获得成功的满足感。
1、根据图（1）在下面每幅图的括号里填上适当的符号或数字，使天平平衡。
2、课堂作业。
(当堂完成)
填一填。
（a、b均不为0）
（1）如果x+a=b,那么x+a－a=b○
（2）如果x－a=b,那么x－a+a=b○
（3）如果ax=b,那么a x÷a=b○
（4）如果x÷a =b,那么x÷a×a=b○
3、拓展训练。
五、最后，关注学生的学习体会和感受，提出：通过本节课的学习你有什么体会？。