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一元二次方程——动点问题(课堂PPT)

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一元二次方程的应用——动点问题

一元二次方程的应用——动点问题
分析： 点P的运动方向是由A
点Q的运动方向是由B 运动速度都是1cm⁄s C C
运动时间未定
运动距离
点P的运动距离即 AP的长度 点Q的运动距离即 BQ的长度
例：在Rt△ABC中，∠C=90°， AC=8,BC=6.点P由A点出发沿AC方向向点C 匀速移动，点Q由B点出发沿BC方向向点C匀 速移动，它们的速度都是1cm⁄s，几秒后 △PCQ的面积为△ABC面积的一半？
设时间为x，, 则可表示出CP=2x，BQ=x，QC=25-x
等量关系：P、Q两点相距25cm
解：设x秒后P、Q两点相距25cm.
在Rt△QCP中 QC2+PC2=PQ2
（25-x）2+（2x）2=252
5x2-50x=0
x1=0 （舍） ，x2=10 答：10秒后PQ相距25cm。
答：2秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半.
例2：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=30cm， BC=25cm，动点P沿CA方向运动，速度是 2cm⁄s；动点Q从B点出发，沿BC方向运动， 速度是1cm⁄s，几秒后P、Q两点相距25cm？
分析
运动 点P的运动方向是由C 方向
A问题需要注意几个问题： 1、有几个动点？
2、怎样运动？即向哪儿运动？
3、运动的速度、时间、距离分别是多少？
例1：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6. 点P由A点出发沿AC方向向点C匀速移动，点Q 由B点出发沿BC方向向点C匀速移动，它们的速 度都是1cm⁄s，几秒后△PCQ的面积为 △ABC面积的一半？
若设时间为x， 则可表示出AP=x，BQ=x 所以PC=8-x， QC=6-x
等量关系：△PCQ的面积为△ABC面积的一半

一元二次方程的应用动点问题(共8张PPT)

一元二次方程的应用动点问题(共8张PPT)
（2）点P，Q出发几秒后， 可使△PCQ 的面积为9 cm2 ? △PCQ的面积能为10cm2?
（3）当点P、Q出发几秒后，
PQ的长度为 4 2 cm？
有关“动点”的运动问题”
1)关键—— 以静代动把动的点进行转换,
2)方法—— 时间变路程
变为线段的长度,
2、在直角三角形ABC中,AB=BC=12cm，点D从点A开始以2cm/s的速度沿AB边向点B移动,过点D做DE平行于BC,DF平行于AC,点E.
Ｅ
Ａ
Ｄ
Ｂ
一个长为10m的梯子斜靠在墙上， 梯子的顶端距地面的垂直距离为8m， 如果梯子的顶端下滑1m，梯子的底端 滑动xm，可列方程为:__________
：如图，△ABC是边长3cm的等边三角形， 动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、 BC方向匀速移动，点P的速度为1cm/s,点Q的 速度为2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点 停顿运动，设点P的运动时间为t〔s〕，解答 以下问题： 〔1〕当t为何值时，△PBQ是直角三角形？ (2)△PBQ能否为等边三角形？假设能，请求出t 的值，假设不能，说明理由.
点D从点A开始以2cm/s的速度沿AB边 向点B移动,过点D做DE平行于BC,DF平 一元二次方程的应用动点问题
2、在直角三角形ABC中,AB=BC=12cm，点D从点A开始以2cm/s的速度沿AB边向点B移动,过点D做DE平行于BC,DF平行于AC,点E. 点 P 沿 AC 边从点 A 向终点 C 以 1 cm/s的速度移动； 有关“动点”的运动问题”
一元二次方程的应用动点问题
3）常找的数量关系——面积，勾股定理等； （3）当点P、Q出发几秒后，
F分别在AC,BC上,问：点D出发几秒后四边形DFCE的面积为20cm2？ 点 P 沿 AC 边从点 A 向终点 C 以 1 cm/s的速度移动；

《一元二次方程》PPT课件

《一元二次方程》PPT课件

的值为多少?
?
解 :∵ x 0是方程的解 代入得m2 4 0 m 2,且m 2 0 m 2 2m2 4m 3 2 22 4 2 3 3 代数式的值为3.
பைடு நூலகம் 例例题题讲讲解解
(2)关于x的 一方元程二次方程
(m 2)2 x2 3m2x m2 4 0
有一根为0,则2m2 4m 3
解:设邀请了x队参加比赛,根据题意得:
1 x(x 1) 28 2
即:x2-x=56
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 …
X2-x 0 2 6 12 20 30 42 56 72 90 …
由表中数值可以发现,当x=8时是方程x2-x=56的解. 是否只有x=8是方程的根呢? X= -7呢?
分析: 全部比赛共 4×7=28场
设应邀请x个队参赛,每个队要与其他 (x-1) 个队
各赛1场, 由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛
是同一场比赛,所以全部比赛共
1 x(x 1) 28 2
场.
即
x2 x 56
?
一块四周镶有宽度相等的花边的地毯如下图，它的 长为８m，宽为５m．如果地毯中央长方形图案的面 积为１８m2 ，则花边多宽?
B. (x+7)(x+6)=0
C. x2－x+42=0
D. x2+x－42=0
练习
1)若a b c 0,则一元二次方程 ax2 bx c 0必有一解为_X_=_
1
2)若a b c 0,则一元二次方程 ax2 bx c 0必有一解为X_=_-_1
3)若4a 2b c 0,则一元二次方程
是 2 ___ ,等号两边是 整 __ 式。
2、和以前所学的方程比较它们叫什么方程？ 请定义。

人教版九年级数学上册《一元二次方程》PPT优秀课件

人教版九年级数学上册《一元二次方程》PPT优秀课件

③
①都是整式方程; ②都只含一个未知数; ③未知数的最高次数都是2.
那么这三个方程与一元一次方程的区别在哪里？ 它们有什么共同特点呢？
知识要点
一元二次方程的概念 等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知
数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.
一元二次方程的一般形式是 ax2+bx +c = 0(a，b，c为常数， a≠0)
想一想： 还有其他的方法吗？试说明原因. (20-x)(32-2x)=570
32-2x
32
20-x 20
归纳小结
建立一元二次方程模型的一般步骤
审
审题，弄 清已知量 与未知量 之间的关 系
设 设未知数
找
找出等量 关系
列
根据等量 关系列方 程
随堂演练
1.下列关于x的方程一定是一元二次方程的是( D )
解：当x＝－3时，左边＝9－(－3)－2＝10， 则左边≠右边， 所以－3不是方程x2－x－2＝0的解； 下面几个数同理可证. 经检验得－1，2为原方程的根.
获取新知
知识点三：建立一元二次方程模型
问题 在一块宽20m、长32m的矩形空地上，修筑三条宽相等 的小路（两条纵向，一条横向，纵向与横向垂直），把矩形空 地分成大小一样的六块，建成小花坛.如图要使花坛的总面积 为570m2，问小路的宽应为多少？
4.如图,在一块长12 m,宽8 m的矩形空地上,修建同样宽的两条互 相垂直的道路(两条道路各与矩形的一条边平行),剩余部分栽种 花草,且栽种花草的面积为77 m2.设道路的宽为x m,则根据题意, 可列方程为 (12-x)(8-x)=77.
样的正方形，再将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的

人教版数学九年级上册21.1 一元二次方程课件(共24张PPT)

人教版数学九年级上册21.1 一元二次方程课件(共24张PPT)
解：设小道的宽度为x米，得(20－2x)(10－x)＝120整理得x2-要建造一个长10m，宽5m玻璃顶观景亭，如图所示在它的四角建造四个截面为正方形的承重柱. 已知需要用到玻璃的面积为45m2，那么承重柱的宽度多少？
解：设承重柱的宽度为x米，得(10－x)(5-x)＝45整理得x2-15x+5＝0.
等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.
ax2 称为二次项， a 称为二次项系数， bx 称为一次项， b 称为一次项系数， c 称为常数项.
为什么一般形式 ax2 + bx + c = 0 中要限制 a ≠ 0？b，c 可以为 0 吗？
21.1 一元二次方程
1.能根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程(2022年版课标调整为“能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出一元二次方程”)2.理解一元二次方程的概念及一元二次方程根的意义；3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题.
某社区按照“崇尚自然、接近自然、回归自然”的原则，打造独具特色的“幸福林”，要对社区公园景观化进行改造.任务1 打造“郁金香”观赏带为了增加观赏性，要在一个占地面积为10000km2的正方形郁金香观赏园，求郁金香种植园的边长是多少呢？
例1 根据问题列出方程，判断是否为一元二次方程，若是请指出二次项系数，一次项系数和常数项
解：根据题意列方程为4x(x+2)=100去括号化为一般式为x2＋2x-25=0该方程是一元二次方程二次项系数为1，一次项系数为2，常数项为-25
(2)若公园的长比宽长2，周长为100，求公园边长x;
解：根据题意列方程为2x+(x+2)=100去括号得3x-98=0该方程不是一元二次方程

一元二次方程(PPT课件)

一元二次方程(PPT课件)

x2 5 . x1 1， 所以：
解法3：利用配方法。将方程左边配方，有：
x 2 6 x 9 9 5 0 ，即 x 32 4
x2 5 . x 3 2 即 x1 1， 所以：
想一想
例题中的三种解法各具有哪些特点？本题 中使用哪种方法比较简洁？
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(1) x 2 4 x 12 0 ；(2) 3x 2 4 x 1 0；
(3) x 2 2 x 2 0 ；(4) x 2 4 x 2 0 .
再 见！
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§3.3
一元二次方程
安溪华侨职校数学组
目 录
知 识 讲 授 典 型 例 题
课 堂 练 习
课 外 作 业
1、一元二次方程：
含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整 式方程叫做一元二次方程。其一般形式为：
ax2 bx c 0
a 0 .
2、解一元二次方程的基本方法:
公式法、配方法和因式分解法
_______ ⑷方程 x 2 2 x 8 0中， ，此方程
_______实数根；
课堂练习
2、解下列各方程：
(1) x 2 3x 10 0 ； (2) 2 x 2 3x 9 0； (3)பைடு நூலகம்3x 2 4 x 4 0 .
返回目录
课外作业
用适当的方法解下列各方程：
3、一元二次方程的求根公式：
一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。求根公 式为：
b b 2 4ac x . 2a
4、一元二次方程解得讨论：
2 b 4ac ，则： 判别式为
(1) 当 0 时，一元二次方程有两个不相等的实 数解； (2) 当 0 时，一元二次方程有两个相等的实数解； (3) 当 0 时，一元二次方程没有实数解。

第4讲 一元二次方程动点问题

第4讲 动点问题例1、如图：在Rt △ACB 中，∠C=90°，点P 、Q 同时由A 、B 两点出发分别沿AC 、BC 方向向点C 匀速移动，它们的速度都是1m/s ，几秒后△PCQ 的面积为Rt △ACB 面积的一半？变式训练1．如图，在△ABC 中，∠B=90°，点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1cm/s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度移动。

若点P 、Q 分别从点A 、B同时出发，经过多少时间，使△PBQ 的面积等于8cm 2？变式训练2．如图△ABC 中，∠C=90°AB=10cm,AC=8cm,点P 从点A 开始出发，向点C 以2cm/s 的速度移动，点Q 从B 点出发向点C 以1cm/s 的速度移动。

若P 、Q 分别同时从A 、B 出发，几秒后四边形APQB 是△ABC 面积的32。

A CBPQ6cm8cmA QP CB变式训练3：已知：如图①，在Rt ACB △中，90C ∠=，4cm AC =，3cm BC =，点P 由B 出发沿BA 方向向点A 匀速运动，速度为1cm/s ；点Q 由A 出发沿AC 方向向点C 匀速运动，速度为2cm/s ；连接PQ ．若设运动的时间为(s)t （02t <<），解答下列问题：1）设AQP △的面积为y （2cm ），求y 与t 之间的函数关系式；当t 为何值时y 是△ABC 面积的3/5变式训练4：已知：把Rt△ABC 和Rt△DEF 按如图（1）摆放（点C 与点E 重合），点B 、C （E ）、F 在同一条直线上．∠ACB = ∠EDF = 90°，∠DEF = 45°，AC = 8 cm ，BC = 6 cm ，EF = 9 cm ．△DEF 从图（1）的位置出发，以1 cm/s 的速度沿CB 向△ABC 匀速移动，在△DEF 移动的同时，点P 从△ABC 的顶点B 出发，以2 cm/s 的速度沿BA 向点A 匀速移动.当△DEF 的顶点D 移动到AC 边上时，△DEF 停止移动，点P 也随之停止移动．DE 与AC 相交于点Q ，连接PQ ，设移动时间为t （s ）（0＜t ＜4.5）．解答下列问题：（2）连接PE ，当t 为何值时四边形APEC 的面积为三角形面积的4/5已知：把Rt△ABC 和Rt△DEF 按如图（1）摆放（点C 与点E 重合），点B 、C （E ）、F 在同一条直线上。

二次函数动点问题(共9张PPT)

•〔2〕在BC上方的抛物线上是否存在一点K，使四边形ABKC的面积最大？ 假设存在，求出K点的坐标及最大面积；
•〔3〕连接CP，在第一象限的抛物线上是否存在一点R，使△RPM与△RMB的 面积相等？假设存在，求出点R的坐标；假设不存在，说明理由．
3、二次函数中四边形问题：
①抛物线上的点能否构成平行四边形； ②抛物线上的点能否构成矩形、菱形或正方形。
解二次函数动点问题 解题方法及解题步骤
•解题方法：
•一般的，在二次函数动点问题中应用的解题方法： 待定系数法、数形结合、分类讨论、联系与转化、图像 的平移
变化等思想方法，并且要与平面图形的性质有机结 合，从而使得复 杂的、综合的二次函数动点问题化整为零，逐一击破。
①习抛题物 从线局〔上部3的到〕点整能体求否的构联〔成系平更2行清〕四晰中边，形列面；出相积应的S关〔系平式；方单位〕与t时间〔秒〕的函数关系式及面积S取 〔1〕求最正方大形A值BC时D的P边点长．的坐标．
〔2〕在BC上方的抛物线上是否存在一点K，使四边形ABKC的面积最大？假设存在，求出K点的坐标及最大面积；
x
图① 〔2〕设点P是直线l上的一个动点，当△PAC是以AC为斜边的Rt△时，求点P的坐标；
例1抛物线y=ax2+bx+c经过A〔-1，0〕、B〔3，0〕、C〔0，3〕三点，直线l是抛物线的对称轴．
②习题各个量、未知量的联系，对习题进展解剖，使
〔0，3〕三点，对称轴与抛物线相交于点P、与直线BC相交于点M．
二次函数动点问题
解二次函数动点问题 应用知识点
•二次函数动点问题所包含的知识点及考点：
1、二次函数中最短问题：
①是否存在一点到某两点的距离和为最短；
②是否存在一点使某三角形周长最短；

一元二次方程ppt课件

21.1 一元二次方程
考
点 ■考点一 一元二次方程的定义
清
单
等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次
解
定义
读
数是 2（二次）的方程，叫做一元二次方程
一元二次方程必须同时满足三个条件：①是整式方程；②“一元”：只
含有一个未知数；③“二次”：未知数的最高次数是 2.三者缺一不可 最高次数是 2
是
D 左边=22=4，右边=4×2-3=5，左边≠右边
不是
［答案］ C 方法点拨 通过代入法可以判断一个数是不是方程的解，代入之后看方 程左右两边得到的结果是否相等进而判断.
21.1 一元二次方程
考
点 ■考点四 根据实际问题列一元二次方程 清
单
审题（理解题目的含义）→找等量关系（通过已知量、未知量来找等量
题 型
思路点拨 根据一元二次方程和一元一次方程的概念，对照解决问题.
突
题型解法 判断一个方程是一元一次方程还是一元二次方程的时候，关键要
破 考虑两点，一是未知数的最高次数，二是最高次项的系数是否为 0.
21.1 一元二次方程
重
难 ■题型二 利用一元二次方程的根求未知字母的值
题
型
例 2 ［黑龙江中考］已知 2+
重要警示 a≠0 是一元二次方程一般形式的重要条件，不可丢掉.
21.1 一元二次方程
考
点
典例 2 把下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出它的二次项系
清 单
数、一次项系数和常数项.
解
（1）2x2=1-3x； （2）5x（x-2）=4x2-3x．
读
［解题思路］
原式
去分母、去括号 移项、合并同类项
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D
C
Q
A
P
B 7
5．如图所示，已知在△ABC中，∠B=90°，AB=5，点 Q从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点P从 点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动． （1）如果P、Q分别从A、B两点出发，那么几秒后， △PBQ的面积等于4cm2？ （2）在（1）中，△PBQ的面积能否等于7cm2？试说明 理由．
D
C
2
整理，得 x26x80
解这个方程，得 x1 2,x2 4
Q
0x6所以2秒或4秒后⊿ PBQ的面
积等于8cm2
A
9B
P
例2：等腰直角⊿ ABC中,AB=BC=8cm,动点P从A 点出发,沿AB向B移动,通过点P引平行于BC,AC的 直线与AC,BC分别交于R、Q.当AP等于多少厘米 时,平行四边形PQCR的面积等于16cm2?
4
2．如图，用一块长为50cm、宽为30cm的长方形铁片制 作一个无盖的盒子，若在铁片的四个角截去四个相同的小 正方形，设小正方形的边长为xcm． （1）底面的长AB=_______cm，宽BC=__________cm （用含x的代数式表示） （2）当做成盒子的底面积为300cm2时，求该盒子的容 积． （3）该盒子的侧面积S是否存在最大的情况？若存在， 求出x的值及最大值是多少？若不存在，说明理由．
5
3、如图,已知A、B、C、D为矩形的四个顶
点,AB=16㎝,AD=6㎝,动点P、Q分别从点A、C同时 出发,点P以3㎝/s的速度向点B移动,一直到点B为止,
点Q以2㎝/s的速度向点D移动.
（1）P、Q两点从出发开始几秒时, 四边形PBCQ的面积是33c㎡
A
D
P
（2）P、Q两点从出发开始到几秒时，
450cm2?
B
Q
C
P
A
11
练习2:在直角三角形ABC
中,AB=BC=12cm，点D从点A开始以 Ｄ 2cm/s的速度沿AB边向点B移动,过点D
做DE平行于BC,DF平行于AC,点E.F分别
在AC,BC上,问：点D出发几Ｆ秒后四边形
DFCE的面积为20cm2？
Ｃ
F Ｅ
Ａ
Ｄ
12 Ｂ
有关“动点”的运动问题
1)关键—— 以静代动
把动的点进行转换,变为线段的长度,
2)方法—— 时间变路程
求“动点的运动时间”可以转化为求“动点 的运动路程”，也是求线段的长度;
3）常找的数量关系——
面积，勾股定理等； 由此,学会把动点的问题转化为静点的问题,
是解这类问题的关键.
1
想一想
n 1. 某商场将进货价为30元的台灯以40元售出,平均每
月能售出600个.市场调研表明:当销售价为每上涨1
元时,其销售量就将减少10个.商场要想销售利润平均
每月达到10000元,每个台灯的定价应为多少元?这时
应进台灯多少个?
解价 30)(600
x元, 10
根 x据) 题1意00,0得0.
整理得
:
x2
50
x
400
1
0.
解这个方程,得 x1 10, x2 40.
40 x1 40 10 50;40 x2 40 40 80. 600 10 x1 600 100 500;600 10 x2 600 400 200.
答 : 每个台灯的定价应为50元或80元,
进货量相应为5000个或 200个.
2
3
（2）经过多少时间后，S△PCQ的面积为15cm2？ （3）请用配方法说明，何时△PCQ的面积最大， 最大面积是多少？
解：设AP=x，则PR=x，PB=8-x
根据题意得：x8-x 16
整理得：x2 8x 16 0 解这个方程得：x1 x2 4 答：当AP 4cm时，四边形面积为16cm2
CQ
A
R
P
10
B
练习1： 在△ABC中, AC=50cm, CB=40cm, ∠C=90°,点P从点A开始沿AC边向点C以2cm/s 的速度移动, 同时另一点Q由C点以3cm/s的速度 沿着CB边移动,几秒钟后, PCQ的面积等于
点P和点Q的距离是10cm？
Q
B
C
6
4.如图，在矩形ABCD中，AB=12cm， BC=6cm.点P沿AB边从点A开始向点B以 2cm/s的速度移动，点Q沿DA边从点D开始 向点A以1cm/s的速度移动.如果P、Q同时 出发，用t（s）表示移动的时间（0≤t≤6）. 那么当t为何值时，ΔQAP的面积等于8cm2？
C
AP
Q
B
8
例1 在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=12cm,点P从 点A开始以1cm/s的速度沿AB边向点B移动,点Q 从点B开始以2cm/s的速度沿BC边向点C移动,如 果P、Q分别从A、B同时出发，几秒后⊿ PBQ的 面积等于8cm2 ？
解：设x秒后⊿ PBQ的面积等于8cm2
根据题意，得 12x(6x) 8