概率习题解答5-1

5．1.3　数据的直观表示必备知识基础练进阶训练第一层1．下列四个图中，用来表示不同品种的奶牛的平均产奶量最为合适的是( )2．如图是两户居民家庭全年各项支出的统计图．根据统计图，下列对两户居民家庭教育支出占全年总支出的百分比作出的判断中，正确的是( )A.甲户比乙户大 B．乙户比甲户大C.甲、乙两户一样大 D．无法确定哪一户大3．端午节期间，某市一周每天最高气温(单位：℃)情况如图所示，则这组表示最高气温数据的中位数是( )A.22 B．24C.25 D．274．甲、乙两名同学12次考试中数学成绩的茎叶图如图所示，则下列说法正确的是( )A.甲同学比乙同学发挥稳定，且平均成绩也比乙同学高B.甲同学比乙同学发挥稳定，但平均成绩比乙同学低C.乙同学比甲同学发挥稳定，且平均成绩也比甲同学高D.乙同学比甲同学发挥稳定，但平均成绩比甲同学低5．某市共有5 000名高三学生参加联考，为了了解这些学生对数学知识的掌握情况，现从中随机抽出若干名学生在这次测试中的数学成绩，制成如下频率分布表：分组频数频率[80，90)①②[90，100)0.050[100，110)0.200[110，120)360.300[120，130)0.275[130，140)12③[140，150]0.050合计④根据上面的频率分布表，可知①处的数值为________，②处的数值为________．6．某幼儿园根据部分同年龄段女童的身高数据绘制了频率分布直方图，其中身高的变化范围是[96，106](单位：厘米)，样本数据分组为[96，98)，[98，100)，[100，102)，[102，104)，[104，106].(1)求出x的值；(2)已知样本中身高小于100厘米的人数是36，求出样本总量N的数值；(3)根据频率分布直方图提供的数据，求出样本中身高大于或等于98厘米并且小于104厘米的学生数．关键能力综合练进阶训练第二层7．(多选)某班数学测试成绩及班级平均分关系的图如下所示．其中说法正确的是( )A.王伟同学的数学学习成绩高于班级平均水平，且较稳定B.张诚同学的数学学习成绩波动最小C.赵磊同学的数学学习成绩低于班级平均水平D.在6次测验中，每一次成绩都是王伟第1，张诚第2，赵磊第38．如图所示的是民航部门统计的某年春运期间12个城市售出的往返机票的平均价格以及相比上年同期变化幅度的数据统计图，根据统计图判断下面叙述不正确的是( )A.深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高B.深圳和厦门的平均价格同去年相比有所下降C.平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州D.平均价格的涨幅从高到低居于前三位的城市为天津、西安、厦门9．(多选)某调查机构对某地互联网行业进行了调查统计，得到整个互联网行业从业者的年龄分布扇形图、90后从事互联网行业的岗位分布条形图如图，则下列结论中一定正确的是( )A.互联网行业从业者中90后占一半以上B.互联网行业从事技术岗位的人数超过总人数的20%C.互联网行业从事运营岗位的人数90后比80前多D.互联网行业从事运营岗位的人数90后比80后多10．已知甲、乙两组数可分别用图(1)、(2)表示，估计这两组数的平均数的相对大小是x甲______x乙，方差的相对大小是s________s(填“>”或“<”或“＝”).11．“校园安全”受到全社会的广泛关注，某校政教处对部分学生及家长就校园安全知识的了解程度，进行了随机抽样调查，并绘制成如图所示的两幅统计图，请根据统计图中的信息，解答下列问题：(1)参与调查的学生及家长共有________人；(2)在扇形统计图中，“基本了解”所对应的圆心角的度数是________；(3)在条形统计图中，“非常了解”所对应的学生有________人；(4)若全校有1 200名学生，请你估计对“校园安全”知识达到“非常了解”和“基本了解”的学生共有________人．12．某高二(1)班一次阶段考试数学成绩的茎叶图和频率分布直方图的可见部分如图所示，根据图中的信息，可确定被抽测的人数为________，分数在[90，100]内的人数为_ _______．13．某车站在春运期间为了了解旅客购票情况，随机抽样调查了100名旅客从开始在售票窗口排队到购到车票所用的时间t(以下简称为购票用时，单位为min)，下面是这次调查统计分析得到的频率分布表和频率分布直方图：分组频数频率一组0≤t<500二组5≤t<10100.10三组10≤t<1510②四组15≤t<20①0.50五组20≤t≤25300.30合计100 1.00解答下列问题：(1)这次抽样的样本容量是多少？(2)在表中填写出缺失的数据并补全频率分布直方图；(3)旅客购票用时的平均数可能落在哪一组？核心素养升级练进阶训练第三层14．(多选)给出如图所示的三幅图：则下列说法中，正确的有( )A.从折线图能看出世界人口的变化情况B.2050年非洲人口将达到大约15亿C.2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多D.从1957年到2050年各洲中北美洲人口增长速度最慢15．随着移动互联网的发展，与餐饮美食相关的手机应用软件层出不穷．现从使用A 和B两款订餐软件的商家中分别随机抽取50个商家，对它们的“平均送达时间”进行统计，得到频率分布直方图如图所示．(1)试估计使用A款订餐软件的50个商家的“平均送达时间”的众数及平均数．(2)根据以上抽样调查数据，将频率视为概率，回答下列问题：①能否认为使用B款订餐软件“平均送达时间”不超过40分钟的商家达到75%?②如果你要从A和B两款订餐软件中选择一款订餐，根据平均数你会选择哪款？说明理由．5．1.3　数据的直观表示1．答案：D解析：用统计图表示不同品种的奶牛的平均产奶量，即从图中可以比较各种数量的多少，因此“最为合适”的统计图是柱形统计图．注意B选项中的图不能称为统计图．2．答案：B解析：由条形统计图可知，甲户居民全年总支出为1 200＋2 000＋1 200＋1 600＝6 000(元)，教育支出占总支出的百分比为×100%＝20%，乙户居民教育支出占总支出的百分比为25%，则乙户居民比甲户居民教育支出占总支出的百分比大．故选B.3．答案：B解析：中位数是一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(最中间两个数的平均数).由此将这组数据重新排序为20，22，22，24，25，26，27，∴中位数是按从小到大排列后第4个数为24.4．答案：C解析：由茎叶图的性质可知乙同学比甲同学发挥稳定，且平均成绩比甲同学高．5．答案：3　0.025解析：由位于[110，120)的频数为36，频率为＝0.300，得样本容量n＝120，所以[130，140)的频率为＝0.100，故②处应为1－0.050－0.200－0.300－0.275－0.100－0.050＝0.025，①处应为0.025×120＝3.6．解析：(1)由于频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小，且频率之和等于1，∴0.050×2＋0.100×2＋0.125×2＋0.150×2＋x×2＝1，∴x＝0.075.(2)样本中身高小于100厘米的频率为(0.050＋0.100)×2＝0.3.∴样本容量N＝＝120.(3)样本中身高大于或等于98厘米并且小于104厘米的频率为(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.75.∴学生数为120×0.75＝90(人).7．答案：AC解析：从图中看出王伟同学的数学学习成绩始终高于班级平均水平，学习情况比较稳定而且成绩优秀．张诚同学的数学成绩不稳定，总是在班级平均水平上下波动，而且波动幅度较大．赵磊同学的数学学习成绩低于班级平均水平，但他的成绩曲线呈上升趋势，表明他的数学成绩在稳步提高，第6次考试张诚没有赵磊的成绩好．8．答案：D解析：由图可知，A、B、C均正确，对于D，涨幅从高到低居于前三位的是天津、西安和南京，所以D错误．9．答案：ABC解析：A中，根据扇形图可知互联网行业从业者中90后占了56%，故正确；B中，互联网行业中从事技术岗位的90后人数占总人数的0.396×0.56≈0.222，故正确；C 中，互联网行业中从事运营岗位的90后人数占总人数的0.17×0.56≈0.095，而80前从事互联网行业的人数才占总人数的0.03，故正确；D中，因为互联网行业中从事运营岗位的80后人数占总人数的比例不能确定，所以无法判断．10．答案：＝　<解析：x甲＝(10×2＋20×6＋30×6＋40×2)＝25，x乙＝(10×3＋20×5＋30×5＋40×3)＝25，s＝[(10－25)2×2＋(20－25)2×6＋(30－25)2×6＋(40－25)2×2]＝75，s＝[(10－25)2×3＋(20－25)2×5＋(30－25)2×5＋(40－25)2×3]＝100，故x甲＝x乙，s<s.11．答案：(1)400　(2)135°　(3)62　(4)790解析：(1)根据参加调查的人中，不了解的占5%，人数是16＋4＝20人，据此即可求参与调查的学生及家长总人数是：(16＋4)÷5%＝400(人).(2)利用360°乘以对应的比例即可求解：基本了解的人数是：73＋77＝150(人)，则对应的圆心角的底数是：360°×＝135°.(3)利用总人数减去其它的情况的人数即可求解：400－83－77－73－54－31－16－4＝62(人).(4)学生人数：62＋73＋54＋16＝205(人)，“非常了解”和“基本了解”的人数：62＋73＝135(人).当全校有1 200名学生，“非常了解”和“基本了解”的学生共有：1 200×≈790(人).12．答案：25　2解析：由频率分布直方图知，分数在[90，100]内的频率和[50，60)内的频率相同，所以分数在[90，100]内的人数为2人，总人数为＝25人．13．解析：(1)样本容量是100.(2)①50　②0.10　所补频率分布直方图如图中的阴影部分：(3)设旅客平均购票用时为t min，则有≤t<，即15≤t<20.所以旅客购票用时的平均数可能落在第四组．14．答案：AC解析：从折线图能看出世界人口的变化情况，故A正确；从柱形图中可得到：2050年非洲人口大约将达到17亿，故B错误；从扇形图中能够明显地得到结论：2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多，故C正确；由题中三幅图并不能得出从1957年到2050年中哪个洲人口增长速度最慢，故D错误．15．解析：(1)由已知，使用A款订餐软件的50个商家的“平均送达时间”的众数为55.使用A款订餐软件的50个商家的“平均送达时间”的平均数为15×0.06＋25×0.34＋35×0.12＋45×0.04＋55×0.4＋65×0.04＝40.(2)①使用B款订餐软件“平均送达时间”不超过40分钟的商家的比例估计值为0.04＋0.20＋0.56＝0.80＝80%>75%.故可以认为使用B款订餐软件“平均送达时间”不超过40分钟的商家达到75%.②使用B款订餐软件的50个商家的“平均送达时间”的平均数为15×0.04＋25×0.2＋35×0.56＋45×0.14＋55×0.04＋65×0.02＝35<40，所以选B款订餐软件．11。

习题五1.设抽样得到样本观测值为：计算样本均值、样本标准差、样本方差与样本二阶中心矩。

10__110__2221__2211:(38.2+40.0+42.4+37.6+39.2+41.0+44.0+43.2+38.8+40.6)40.5;10102.1587;1() 2.1587 4.66;91()10i i i i i x x s s x x x x σ=========-===-∑∑解102194.194.10i S ===∑ 2.设抽样得到100计算样本均值、样本方差与样本二阶中心矩。

解：由书上127页（）（）（）式可知：6___16___222216___22111(11522132542051267) 3.14;10010011()[(1 3.14)15(6 3.14)7] 2.1216;9999199() 2.1216 2.1004.100100i i i i i i i ii x x n s x x n x x n σ=====⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==-=-⨯++-⨯==-=⨯=∑∑∑3.略4.从总体中抽取容量为n 的样本1,,n X X ，设c 为任意常数，k 为任意正数，作变换(),1,2,,.i i Y k X c i n =-=证明：（1）;Y X c k=+（2）222;y x S S k =其中X 及2x S 分别是1,,n X X 的样本均值及样本方差；Y 及2y S 分别是1,,n Y Y 的样本均值及样本方差。

证明（1） 11,ni i X X n ==∑由()i i Y k X c =-得i i Y X c k =+11111()n n i i i i Y YX c Y nc c n k k n nk==∴=+=+⋅=+⋅∑∑（2）()()()22211222221122211()11()n n y i i i i n ni i x i i yxS Y Y k X c kX kc n n kX kX k X X k S n n S S k ====⎡⎤=-=---⎣⎦=-=⋅-=⋅∴=∑∑∑∑5. 从总体中抽取两组样本，其容量分别为1n 及2n ，设两组的样本均值分别为1X 及2X ，样本方差分别为21S 及22S ，把这两组样本合并为一组容量为12n n +的联合样本。

概率论习题解答（第5章）第5章习题答案三、解答题1. 设随机变量X 1，X 2，…，X n 独⽴同分布，且X ～P (λ)，∑==ni i X n X 11，试利⽤契⽐谢夫不等式估计}2|{|λλ<-X P 的下界。

解：因为X ～P (λ)，∑∑===?===n i i n i i n nX E n X n E X E 111)(1)1()(λλλλn n nX D n X n D X D n i i n i i 11)(1)1()(2121====∑∑==由契⽐谢夫不等式可得nn X P 4114/1}2|{|-=-≥<-λλλλ 2. 设E (X ) = – 1，E (Y ) = 1，D (X ) = 1，D (Y ) = 9，ρ XY = – 0.5，试根据契⽐谢夫不等式估计P {|X + Y | ≥ 3}的上界。

解：由题知()()()Y X Y X E E E +=+=()11+-=0Cov ()Y X ,=()()Y D X D xy ??ρ=()915.0??-= -1.5()()()()()75.1291,2=-?++=++=+Y X Cov Y D X D Y X D所以{}{}97303≤≥-+P =≥+)(Y X Y X P 3. 据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为100⼩时的指数分布．现随机地取16只，设它们的寿命是相互独⽴的．求这16只元件的寿命的总和⼤于1920⼩时的概率．解：设i 个元件寿命为X i ⼩时，i = 1 ,2 , ...... , 16 ，则X 1 ，X 2 ，... ，X 16独⽴同分布，且 E (X i ) =100，D (X i ) =10000，i = 1 ,2 , ...... , 16 ，4161161106.1)(,1600)(?==∑∑==i i i i D E X X ，由独⽴同分布的中⼼极限定理可知：∑=16i iX近似服从N ( 1600 , 1.6?10000)，所以>∑=1920161i i X P =≤-∑=19201161i i X P ???-≤?--=∑=16000016001920100006.116001161i i X P()8.01Φ-==1- 0.7881= 0.21194. 某商店负责供应某地区1000⼈商品，某种商品在⼀段时间内每⼈需要⽤⼀件的概率为0.6，假定在这⼀时间段各⼈购买与否彼此⽆关，问商店应预备多少件这种商品，才能以99.7%的概率保证不会脱销（假定该商品在某⼀时间段内每⼈最多可以买⼀件）．解：设商店应预备n 件这种商品，这⼀时间段内同时间购买此商品的⼈数为X ，则X ~ B （1000，0.6），则E (X ) = 600，D (X ) = 240，根据题意应确定最⼩的n ，使P {X ≤n }= 99.7%成⽴. 则P {X ≤n })75.2(997.0)240600(240600240600ΦΦP ==-≈-≤-=n n X 所以6.64260024075.2=+?=n ，取n =643。