《反比例函数的图像和性质》观课报告

《反比例函数的图像与性质》教学案一、教材分析：本节课学习的主要内容是画反比例函数的图象，让学生经历画图、观察、猜测、思考等数学活动，初步理解具体的反比例函数图象的特征。

反比例函数的图象是在学生已经知道了研究函数图象的一般方法，以及一次函数的图象是一条直线的基础之上进一步去研究的。

同时，反比例函数的图象也与众不同。

针对教材及学生的实际情况，本节课的设计是让学生多动手去探索规律。

二、教学目标： 1：会画出反比例函数的图象。

2：经历画图、观察、猜测、思考等数学活动，向学生渗透数形结合的思想方法，让学生初步理解具体的反比例函数图象的特征。

3：让学生体会事物是有规律地变化着的观点。

三、教学重点和难点：教学重点：会画出反比例函数的图象。

教学难点：会出画反比例函数的图象。

（因为前面学习过的一次函数的图象是一条直线，而反比例函数的图象有两个分支，并且是曲线。

学生初次接触有一定的难度。

）四、教学过程：（一）、创设情境、提出问题：我们已经知道一次函数的图象是一条直线，那么反比例函数 (k为常数，k≠0)的图象是什么呢？猜猜看，应该怎么画呢? 让学生根据已有的知识经验，回忆画函数图象的一般方法与步骤，类比一次函数的图象实行猜测（二）、动手实践、解决问题：1：画图：画出反比例函数的图象在教师的引导下，让学生通过亲自动脑、动手实践去科学地验证自己的猜测，培养学生科学的态度与精神。

师：画函数图象的第一个步骤是什么？生：列表。

师：（大屏幕投影：表格）根据前面学习一次函数的经验，列表时应注意什么？生：应注意自变量x的取值范围，此题当中x≠0。

师：是不是把所有的x不等于零的值全都列举出来？生：不是。

师：那怎么取值呢？（学生讨论）生：为了便于计算和描点，我们通常取x>0和x<0的一些整数值。

师：（大屏幕投影）那么，对应的y值分别是多少呢？ (学生填表、口答答案。

)这里有同学们画的一些反比例函数的图象，我从中选出了四幅图象，请同学们仔细观察并实行讨论这四幅图象画得对还是不对？假如不对，它们分别错在哪里？为什么？（学生分析讨论）生：第一幅图象是对的；第二、三、四幅图象都是错误的，错误的原因是：没有注意到自变量x的取值范围是x≠0的全体实数师：一位同学有这样一种想法：“在相邻的两点之间用线段来连接。

本文部分内容来自网络整理，本司不为其真实性负责，如有异议或侵权请及时联系，本司将立即删除！== 本文为word格式，下载后可方便编辑和修改！ ==反比例观课报告篇一：《反比例函数的图像和性质》观课报告《反比例函数的图像和性质》观课报告听了袁老师的反比例函数的授课，我总结了几大学习点。

1、她很善于发现学生的“闪光点”。

数学课堂上，教师经常会安排学生之间进行合作、交流、互动。

在学生进行讨论交流的过程中，其实有很多学生已经通过操作掌握了某个知识点，但不知如何表达，因此，在操作活动中，会出现一些不容易被人发现的细节行为。

袁老师在授课过程中能及时捕捉这些细节，通过提问成为一种生成性教学资源，课堂呈现很精彩。

2、她能及时发现学生的“误点”。

课堂教学中往往会出现很多教师意想不到的内容，有时候这些内容是不够正确的，有时候甚至会出现比较尴尬的问题。

很多时候，教师在课堂上往往会忽视这样的细节，一个劲地奔向自己教学的目标，而有时这种错误恰恰有可能是一种难求的教学资源。

在教学中，教师要善于点拨、引导学生的偏差，巧妙地挖掘其中的“问题” 资源，成为课堂生成的教学资源。

例如，袁老师画出了反比例函数的图像让学生观察，分析反比例函数有什么性质。

有一位学生说：“类比一次函数的性质，反比例函数的增减性为：当K＞0时，y随x的增大而减小；当K＜0时，y随x的增大而增大。

”能看得出来，袁老师一下子就听出了错误，但她并没有立即改正，而是把问题抛给了大家：“这位同学很善于思考，提出了自己的想法，但这个想法是否正确，还需要大家来验证。

”在讨论中，有学生赞成，理由是：在K的符号确定时，函数图像的变化趋势符合增函数或减函数的特征；也有学生反对，并且举出了正确的例子。

大家的验证结果，激起了那位学生的灵感，她将自己的想法做了修改：“反比例函数的增减性为：当K＞0时，在每一个象限内，y随x的增大而减小；当K＜0时，在每一个象限内，y随x的增大而增大。

关注学习过程 搭建交流平台———对《反比例函数的图像和性质》教学的研讨与反思新课程倡导自主学习，注重学习的过程性，要求学生参加特定的数学活动，并在具体的情境中，通过观察、分析、归纳、实验等活动发现研究对象的某些特征与其他对象的区别和联系。

在一次学校常规性的教研活动中，我执教了一堂题为“反比例函数的图像和性质”的研讨课。

课堂中我通过一系列小问题地引导，为学生搭建了一个广阔而又多姿多彩的交流平台，而学生也在一次次的交流活动中，互相启发，碰撞出思维的火花，引发了组内同行教师的热烈探讨。

[案例背景]反比例函数的图像与性质是浙教版义务教育新课程标准实验教科书《数学》九年级（上）第一章内容，是初中函数知识的一个重要组成部分，本节内容的学习已有了以下知识与方法的基础准备：在八年级（上）第七章学生已学习了一次函数，已会作一次函数的图像，能利用一次函数的图像去研究函数的性质，已掌握画函数图像的列表、描点、连线三步作图法等。

在此案例教学之前，笔者听过一位教师对这部分内容的教学，该教师按照较传统的教学方式来开展教学，教师画图示范学生跟着模仿，虽然教学内容在课堂内得以完成，但总感觉欠缺点什么。

为此，笔者对该节教学进行了一次尝试，本案例记录了教学中的一个片段。

[案例描述]上课一开始，我先复习了反比例函数y=xk （k ≠0）概念，与学生一起回忆一次函数y=kx+b （k ≠0）的研究过程，然后引入当天的学习内容：反比例函数x y 4=的图像与性质。

接着布置了一个任务：回顾作一次函数图像的基本方法（列表、描点、连线）并试着画xy 4=反比例函数的图象（大胆放手，让学生自己先尝试）。

在学生初步作图后提问：刚才在作图中，你用了什么方法？应注意什么？有哪些收获？学生1：我们可以通过列表、描点、连线三步骤来作图。

学生2：列表时x 的值不可以为0。

学生3：作图时把所描的点按自变量从大到小的顺序用光滑曲线连接。

学生4：自变量的值可以选取一些互为相反数的值，这样做既简化计算又便于对称性描点。

反比例函数的图象和性质（一）说课稿一、学生分析动机,自学交流,讲练结合的教学方式,充分体现老师的引导作用和学生的主体地位.通过"自学——讨论,引导解惑——当堂练习并反馈，"的过程,再加上多媒体手段的应用,最大限度的调动学生的积极性和主动性.根据学生的认知规律,在学法上,通过学生动手,动口,动脑,采用自学,合作,探究的学习方法,提升学生解决问题的水平.二、教材分析1、地位剖析：本节课是在学习了一次函数的图象、性质和反比例函数概念的基础上，并掌握了研究函数的一般方法后，来研究反比例函数的图象和性质。

反比例函数是初中阶段研究的第二个具体函数，也是学生学习的第一种非线型函数。

它的研究方法更具有一般性和代表性，可为以后学习二次函数及其它函数打下坚实的基础。

所以，本节课在整个教材中有承上启下的作用。

2、课程目标：(1) 进一步熟悉作函数图象的主要步骤，会作反比例函数的图象.。

(2) 逐步提升从函数图象获取信息的水平，探索并掌握反比例函数的主要性质.(3)初步使用待定系数法确定反比例函数的解析式。

3、重点：反比例函数概念、图象和性质。

概念是确定解析式的前提，图象和性质是其灵魂，是数形结合思想方法的具体表现，故是本节的重点。

4、难点：画反比例函数的图象。

它的图象有两个分支，且其变化趋势又非直线，学生初次接触，会感到有些困难。

三、教学过程及指导：（一）情境引入、激发兴趣：1、创设情景，复习旧知（多媒体创设情景：图片及问题）：长方形的一边长为4，面积y和另一边长x之间有什么关系？讲述：此函数是什么函数？它的图象是什么样子的？2、设疑激情，导入新课（多媒体展示第二个问题）：如果长方形的面积为4，一边长y和另一边长x之间又有什么关系呢？讲述：请同学们想一想，此函数是什么函数？它的图象还是不是直线呢？这就需要我们动手去做一做，才能得出结论。

[设计意图]：通过对正比例函数及其图象的复习，为引入反比例函数的图象作铺垫，做到自然过渡，完成由正比例函数到反比例函数的知识迁移，从而引出课题。

反比例函数的图象和性质教学设计教材分析：反比例函数图像与性质是新人教版九年级下册内容。

反比例函数图像与性质这一节分两个课时，今天我的设计研究内容是第二课时，其主要内容是画反比例函数的图像并认识双曲线图像性质。

函数知识是初中代数的主要内容，随着学习的不断深入，函数把前面所学的方程,不等式等知识有机结合起来，是整个初中代数知识的综合，反比例函数及其图像是在学生已经初步掌握研究函数的基本方法的基础上，有别于一、二次函数的另一类函数。

通过本节课的学习为后续的反比例函数的应用作好准备，同时，它也体现了数形结合这一重要的数学思想教学目标：1、知识技能：1.能用描点法画出反比例函数y=k/x 的图象.2.能根据图象理解和掌握反比例函数y=k/x 的性质.3.能运用反比例函数的性质解决有关数学问题.2、过程方法1.经历探索和发现反比例函数的图象的特点和性质的过程,获得研究函数性质的经验.2.通过函数图象探究函数性质,进一步体会运用数形结合思想研究函数的性质.3.经历知识的形成过程,了解从特殊到一般的认识过程,培养学生观察、探究、归纳及动手能力.3、情感态度价值观1.经历画图、观察、猜想、思考、交流等活动,获得研究问题和合作交流的方法与经验,体验数学活动中的探索性和创造性.2.在数学学习过程中,体验与领悟数学发现的成功感,感受数学美,发现学习的乐趣.重点：用描点法画反比例函数的图象;探索反比例函数的图象特点和性质.难点：探究反比例函数的图象特点和性质的过程.教学准备教师准备：多媒体课件学生准备：在练习本上画两个平面直角坐标系.教学过程导入：(1)以前学习一次函数、二次函数时,是用什么思路和方法研究的?(先根据函数解析式画出函数的图象,然后观察、分析、归纳得到函数的性质)(2)一次函数、二次函数的图象分别是什么? (直线、抛物线)(3)请你说出一次函数、二次函数的性质是什么.(一次函数增减性、图象所经过象限;二次函数图象开口方向、对称轴、增减性等)(4)画函数图象的基本步骤是什么? (列表、描点、连线)【导入语】我们可以类比研究一次函数、二次函数性质的方法来研究反比例函数的性质,如果可以,应先研究什么?【设计意图】通过复习画函数图象的基本步骤,为本节课的学习做好铺垫,复习通过画函数图象来研究一次函数、二次函数性质的方法,让学生用类比的方法自然地构建出新知识,降低本节课的学习难度.新知构建一、反比例函数y=k/x 的图像【过渡语】这节课我们通过画反比例函数的图象来研究它的一般性质.【任务】同桌合作,每人在课前准备的平面直角坐标系中画一个函数图象.【师生活动】学生独立完成列表、描点、连线,画图（一半画 y=1/x，一半画y=-1/x）后,小组合作交流,发现组内成员的画图错误,并帮助改正,教师在巡视过程中及时发现常见典型错误,进行汇总,在展示完整画图过程后展示典型画图错误.(1)列表:(教师强调:列表时取值不能太少,也不能只取正值)(2)描点.(教师强调:描点时横、纵坐标易混淆)(3)连线.(教师强调:连线时用平滑曲线,不能画成折线,因为自变量x 不等于0,所以画函数图象时,不能将左右两个图象连接起来)【设计意图】通过动手操作,让学生自己经历画反比例函数图象的过程,进一步了解用描点法的方法画图象的基本步骤,培养学生动手操作能力,经历知识的形成过程.通过小组合作交流,培养学生合作精神,在讨论画图结果时互相纠错的过程中,加深了学生对画函数图象的理解和认识.二、反比例函数y=k/x(k>0)的性质【过渡语】通过函数 y=1/x 图象可以得到函数的有关性质,让我们一起观察所画的函数图象有哪些性质吧!类比以前研究的一次函数、二次函数的性质的方法,根据所列表格、函数解析式、所画函数图象,你能得到哪些结论?看看哪个小组得到的正确结论最多.【师生活动】学生观察函数图象后先独立思考,再小组合作交流,然后学生展示,教师在巡视过程中及时帮助有困难的学生,发现学生思考片面时,可以及时提醒学生从图象形状、增减性、对称性等多个角度观察思考,学生展示后,教师点评, 师生共同归纳函数的性质.【共同总结】(板书)(1)反比例函数y=k/x(k>0)的图象是双曲线;(2)双曲线的两支分别位于第一、第三象限;(3)在每个象限内,y 随着x 的增大而减小(4)双曲线两支向两边无限延伸,与坐标轴没有交点;(5)双曲线两支关于坐标原点成中心对称.[设计意图] 通过小组合作交流,归纳反比例函数的性质,学生之间的合作交流,培养了学生合作精神,同时提高分析问题的能力.类比以前学过的函数的方法和性质归纳总结,让学生体会数学中重要的学习方法——类比法,同时进一步体会数形结合思想是学习数学最常用的思想方法之一.三、反比例函数y=k/x(k<0)的图象与性质【导入语】回顾以上探究过程,你能用同样的方法探究函数y=k/x(k<0)的图象与性质吗?【师生活动】学生观察刚才画的函数y=-1/x 的图象.小组合作交流,归纳反比例函数y=k/x(k<0)的性质.教师巡视过程中帮助学习有困难的学生,引导学生归纳反比例函数的性质.【共同归纳】(1)反比例函数y=k/x(k<0)的图象是双曲线;(2)双曲线的两支分别位于第二、第四象限;(3)在每个象限内,y 随着x 的增大而增大;(4)双曲线两支向两边无限延伸,与坐标轴没有交点;(5)双曲线两支关于坐标原点成中心对称.四、归纳反比例函数y=k/x(k≠0)的图象与性质【课件展示】一般地,反比例函数y=k/x(k≠0)的图象是双曲线,它具有以下性质:(1)当k>0 时,双曲线的两支分别位于第一、第三象限,在每个象限内,y 随x 的增大而减小;(2)当k<0 时,双曲线的两支分别位于第二、第四象限,在每个象限内,y 随x 的增大而增大;(3)反比例函数图象向两边无限延伸,与两坐标轴没有交点,两支双曲线关于原点成中心对称.【追加思考】(1)反比例函数图象的位置及函数的增减性是由谁决定的?(2)反比例函数的性质“在每个象限内,y 随x 的增大而减小”中,可不可以去掉“在每个象限内”?为什么?[设计意图] 通过归纳反比例函数的性质,培养学生的归纳总结能力,追加问题的思考,强化学生对性质的理解和掌握,并强化应用性质时的易错点.五、例题讲解反比例函数y=(k2+1)/x 的图象大致是( )〔解析〕(1)反比例函数解析式y=k/x(k≠0)中,哪个量决定函数图象的位置?(比例系数k决定函数图象的位置)(2)已知函数y=(k2+1)/x 中,用哪个代数式表示比例系数k?(k2+1 表示比例系数k,决定函数图象的位置)(3)你能判断k2+1的正负吗?(因为k2≥0,所以k2+1>0)(4)你能确定函数图象的位置吗?(由k2+1>0得函数图象在第一、三象限) (5)自变量x 的取值范围是什么?(自变量x 的取值范围是x≠0)故选D.若点(-2,y1),(-1,y2),(1,y3)在反比例函数y=的图象上,则下列结论中正确的是( ) A.y1>y2>y3 B.y2>y1>y3 C.y3>y1>y2 D.y3>y2>y1〔解析〕(1)已知三点的横、纵坐标分别是什么?(2)函数值y 1,y2,y3 与已知点的横坐标有什么关系?(点的横坐标和纵坐标满足函数解析式)(3)已知函数解析式和自变量的值,怎样求出对应的函数值?(把点的横坐标代入函数解析式求出对应的函数值)(4)你能分别求出y1,y2,y3 的值吗?三者的大小关系是什么?(把x1=-2,x2=-1,x3=1 分别代入函数解析式求出y1,y2,y3)(5)反比例函数y=的图象及增减性是怎样的?(反比例函数的图象在第一、三象限,在每个象限内y 随x 的增大而减小)(6)你能根据函数增减性判断y1,y2,y3 的大小关系吗?(第三象限图象上的点的纵坐标小于 0,且y 随x 的增大而减小;第一象限图象上的点的纵坐标大于0)【师生活动】学生独立思考,并回答问题,教师及时点评,然后归纳两种比较函数值大小的方法.[知识拓展] (1)反比例函数的图象是双曲线,它有两支,它的两个分支是断开的.(2)当k>0 时,双曲线的两支分别位于第一、第三象限;当k<0 时,双曲线的两支分别位于第二、第四象限.(3)反比例函数y=K/X(k≠0)的图象的两个分支关于原点成中心对称.(4)反比例函数的图象与x 轴、y 轴都没有交点,双曲线的两个分支无限接近坐标轴,但永远不与坐标轴相交,这是因为x≠0,y≠0.(5)反比例函数图象的位置和函数的增减性都是由比例系数k 的符号决定的,反过来,由双曲线的位置或函数的增减性可以判断k 的符号.(6)反比例函数的增减性必须强调“在每一个象限内”,当k>0 时,在每一个象限内,y 随着x 的增大而减小,但不能笼统地说:当k>0 时,y 随着x 的增大而减小.同样,当k<0 时,在每一个象限内,y 随着x 的增大而增大,也不能笼统地说:当k<0 时,y 随着x 的增大而增大.课堂小结：正比例函数与反比例函数的区别与联系.检测反馈：1.当x>0 时,函数y=-2/x 的图象在( )A.第四象限B.第三象限C.第二象限D.第一象限2.对于反比例函数y=2/x,下列说法正确的是( )A.图象经过点(1,-3)B.图象在第二、四象限C.x>0 时,y 随x 的增大而增大D.x<0 时,y 随x 的增大而减小3.反比例函数y=的图象如图所示,以下结论:①常数m <-1; ②在每个象限内,y 随x 的增大而增大; ③若A(-1,h),B(2,k) 在图象上,则h<k; ④若P(x,y)在图象上,则P'(-x,-y)也在图象上. 其中正确的是( )A.①②B.②③C.③④D.①④4.设有反比例函数y=,(x1,y1),(x2,y2)为其图象上两点,若x1<0<x2,y1>y2,则k的取值范围是.作业：【必做题】教材第8 页习题26.1 第3,6 题.【选做题】教材第9 页习题26.1 第8 题.【补充题】1.若反比例函数y=K/X 的图象经过点(2,-1),则该反比例函数的图象在( )A.第一、二象限B.第一、三象限C.第二、三象限D.第二、四象限3.已知反比例函数y=2/x,下列结论不正确的是( )A.图象必经过点(1,2)B.y 随x 的增大而减小C.图象在第一、三象限D.若x>1,则0<y<24.已知反比例函数y=k/x(k 是常数,k≠0),在其图象所在的每一个象限内,y 的值随着x 的值的增大而增大,那么这个反比例函数的解析式是.(只需写一个)5.已知y=(m+1)/x 是反比例函数,若其图象位于第二、四象限,则m 的值是.8.若反比例函数y=k/x(k<0)的图象过点P(2,m),Q(1,n),则m 与n 的大小关系是:m n.(填“>”“=”或“<”)教学评价与反思：教学评价：新课程改革提出的要求是:让学生通过交流、合作、讨论的方式，积极探索，改进学习方法，提高学习质量，逐步形成正确地数学价值观。