社会统计学第六章

N
i
X
N
第 i 个单位 的变量值
总体单 位总数
总体算术 平均数
【例A】某售货小组5个人，某天的销售额分别为440元、480元、 520元、600元、750元，求该售货小组销售额的平均差。
解：
X
N
440 480 520 600 750 2790 558 元 5 5
i
A D
X X

（二）变量与算术平均数计算的方差小于变量与任何其他常 数的方差 （三）两个独立随机变量和的方差，等于这两个随机变量方 差的和 2 2 2
( x y ) x y
（四）变量线性变换的方差等于变量的方差乘以变量系数的 平方 2 2 2
y a bx, y b x
第二节 全距、分位差和平均差 一、全距 指所研究的数据中，最大值与最小值之差， 又称极差。
R X max X min
最大变量值或最 高组上限或开口 组假定上限 最小变量值或最 低组下限或开口 组假定下限
【例A】某售货小组5人某天的销售额分别为 440元、480元、520元、600元、750元，则
4. 反映了中间50%数据的离散程度;
5. 不受极端值的影响;
甲城市家庭对住房状况评价的频数分布 甲城市 回答类别 户数 (户) 非常不满意 不满意 一般 满意 非常满意 24 108 93 45 30 累计频数 24 132 225 270 300 —
解：设非常不满意为 1,不满意为2, 一般为 3, 满意为 4, 非常满 意为5 。 已知
一、离中趋势的涵义 指总体中各单位标志值背离 离中趋势 分布中心的规模或程度，用 标志变异指标来反映。
反映统计数据差异程度的综 合指标，也称为标志变动度

maxLeabharlann 第一节 正态分布f(x)
二、正态分布的特点 （二）正态分布是对称的
0
µ
正态分布曲线位于横轴上方，呈钟形。中间大，两头小，左 右对称。 正态分布曲线以均数所在处最高，且以均数（x=μ）为中心 左右对称。 在正态分布中，平均数=中数=众数，此点对应y值最大。 X=μ ±σ为图像的拐点，在（μ-σ，μ+σ）内是凹的，其他范 围是秃的。 x轴是渐近线。
( x) 1 ( x).
P(x1<X<x2）=P(X<x2)-P（x1<X）=F(x2)-F(x1)
例题1
• 已知X~N（1.5,4），求P（X<-4）和P(|X|>2)。 • 解：因为X服从μ=1,5，σ=4的正态分布，故：
- 4 1.5 P( X -4 ) ( ) (-2.75 ) 1 (2.75 ) 0.003 2 P ( X 2 ) P ( X 2 ) P ( X 2 )
X

~N（0,1），
Z=（X—μ）/σ
• 某班同学平均体重为50公斤，标准差为10，某同学体重为70 公斤，将这个分数转化为Z值。 • Z=（X—μ）/σ=（70—50）/10= 2 • 表明这个同学的体重在分布中高于均值2个标准差。
68—95—99.7规则（重要）
• 约有68%的数据在平均数加减1个标准差的范围之内； • 约有95%的数据在平均数加减2个标准差的范围之内； • 约有99.7%的数据在平均数加减3个标准差的范围之内。 • 这就是68—95—99.7规则，由此可见，X的取值几乎全部落 在（μ—3σ，μ+3σ）之间，即在均值的3个标准差范围之 内。X值几乎不可能在区间

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第六章 抽样法
序号
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
13 14 15 16 合计
样本变量x
40、40 40、50 40、70 40、80
50、40 50、50 50、70 50、80
70、40 70、50 70、70 70、80
80、40 80、50 80、70 80、80
－
x
x E(x)
总体
研究如何利用 样本数据来 推断总体特 征。
内容包括：参 数估计和假 设检验。
目的：对总体
特征作出推
样 本
断。
这是推断统计学研 究的问题
5
第六章 抽样法
描述统计与推断统计的关系
反映客观 现象的数
据
概率论
（包括分布理论、大 数定律和中心极限定
理等）
样本数
描述统计
推断统计
据
总体数 据
（统计数据的搜集 、整理、显示和分
13
第六章 抽样法
第二节 有关抽样的基本概念（2）
（二）抽样总体
也称子样，样本或样本总体，它是从全 及总体中随机抽取出来的，代表全及总体的 那部分单位的集合体。抽样总体的单位数称 为样本容量，用n表示，对于N来说，n是很 小的。
总体
样 本
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第六章 抽样法
第二节 有关抽样的基本概念（3）
• 二 全及指标和抽样指标p.249 （一） 全及指标
研究总体中 的品质标志
总体成数 P N1
N
总体成数标准差 P
P1 P
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第六章 抽样法
第二节 有关抽样的基本概念（5）
（二）抽样指标
抽样指标是由样本总体各单位标志值 或标志特征计算的综合指标，也称统计量。 与全及指标相对应有：样本平均数，样本 标准差；样本成数，样本成数的标准差。

• 上例中，由于每个样本均是大样本，样本均值的方差仅为２，这 说明大样本对总体的代表性要优于小样本。样本方差的均值为34， 较总体方差为36这一数值存在2个单位的差距，这正好是样本均值 的方差，这2个单位的差距是由抽样误差导致的。
• 总之，大样本下的均值的方差要小于小样本很多，反映出任意抽 到一个有代表性样本的可能性提高，样本的代表性在增强。
的分布样本估计量是样本的一个函数，在统计学中称作统计量， 因此抽样分布也是指统计量的分布。当我们要对某一总体的参数 进行估计时，就要研究来自该总体的所有可能的样本统计量的分 布，比如样本均值的分布、样本比例的分布，从而概括有关统计 量抽样分布的一般规律。因而抽样分布也是随机变量函数分布。
• 我们希望利用样本，特别是通过作为样本函数的样本统计量来了 解总体，对总体进行推断，这些样本统计量包括前文提到的样本 均值、样本中位数、样本标准差以及样本相关系数等组成的函数。 这些样本统计量对于不同的样本会计算出不同的值，也就是说， 具有相同样本量的样本统计量作为随机样本的函数也是随机的， 也有自己的分布，这些分布就成为抽样分布。
• （３）计算所有样本均值的均值，为80。
• （４）计算每一个样本的方差 （组内方差），共有16个方差。
• （５）计算所有样本均值的方差 （均值的抽样方差），为0.5。
• （６）计算所有样本方差的均值，为35.5。
• （７）样本方差的均值与样本均值的方差合计为36，等于总体方差。
• 不难发现，经过分层抽样计算的均值分布更加集中，全部样本的 均值为80，其中最小值为79，最高值为81，样本均值的方差仅为 0.5，即随机抽到某个样本均对总体具有很好的代表性。（见表6.5、 表6.6和图6.4）。在样本量一定的情形下，分层抽样较不分层抽样 抽到的样本更加能够反映总体的特征,样本方差的均值为35.5，更 接近总体方差36这一取值。较小样本和未分层的大样本来说，它 的抽样误差更小，也更加近似于所有可能样本方差的均值。

第三节 标准正态分布
• 一、标准值与标准正态分布
。 • 以标准差为单位的好处，是可以使正态分布标准化，从而不受变量的度量单位的影响
以标准差为单位，就是要将原先的变量值 x 转化为标准值：
Z x
Z 称作 x 的标准值（或标准分，standard scores）。
依据标准值所得到的分布就是标准正态分布，它的概率密度为
• 所谓正态曲线是一种对称平滑的钟形曲线，它是一种非常重要的理论性曲线，可以反 映变量的概率分布的情况，许多自然现象和社会现象都可近似看作服从正态分布，即可以 用正态曲线来描述。正态分布（又称常态分布或高斯分布）最早是由德国数学家高斯在研 究误差理论时所发现的。需要注意的是，概率分布是一种基于理论（概率论）而建立起来 的，它反映的是随机变量的各个可能的取值及其相对应的概率，它和由现实世界中通过观 测得到的频数分布虽然相似但并不相同。在概率分布中，概率代表各个变量值的可能性大 小，类似于频数分布中的百分比。
关于正态分布的两个定理也很重要：
（1）若随机变量 X1, X 2 , X n 相互独立，并且都服从正态分布 X i :
N
(i
,

2 i
)
，则它
们的和
n
X i 仍然服从正态分布，并且有
n
Xi :
N

n
i ,
n

2 i

。
i 1
i1
i1 i1
（2）服从正态分布的随机变量的线性函数 kX b仍然服从正态分布，并且有
第一节 正态分布的含义及性质
• 一、频数分布与正态曲线
•
前面章节中反复提到的频数分布，依据的是实际观察的结果（经验数据）。对于现实

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其他权数形式的综合指数的编制
在指数编制理论的发展和实践过程中,除了拉斯贝尔和派许 提出了以基期和报告期为权数以外,还有不少统计学家曾提出 或采用过其他形式的权数计算总指数的综合形式。
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(1) 采用平均权数。即在研究数量指标指数时,其同度量 因素质量指标以拉式和派式指数分析法中的基期和报告期 的质量指标的简单算数平均数为权数;而在研究质量指标指 数时,其同度量因素数量指标也以拉式和派式指数分析法中 的基期和报告期的数量指标的简单算术平均数为权数。
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(1) 采用基期权数。即把同度量因素固定在基期,以基期的 数量指标作为权数。则销售单价的综合指数公式为:
这个指数公式是由德国经济学家拉斯贝尔(Laspeyres)在 1864年提出的,简称拉氏指数公式。从以上公式可以看出:p1q0 为基期的销售量(数量指标)按报告期销售单价(质量指标)计算 所得的销售额,分母∑p0q0是基期的销售额。
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指数分析法在实际工作中有着极其重要的作用
1) 综合反映复杂的社会经济现象总体的变动方向和程度 2) 分析和测定现象的各个构成因素对现象发展变动的影响程度和
绝对效果 3) 研究事物在长时间内的变动趋势
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6.1.3 统计指数的种类
由于划分的标准不同,统计指数有很多种类: 按照研究对象的范围不同,可分为个体指数和总指数
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从上表可知,可以编制三个总指数,即销售量总指数、价格 总指数和销售额总指数。
在分析该商店三种商品的销售额变动时,只要把报告期的 销售额与基期销售额直接进行对比。

n
ˆ 为总体成数p的点估计值 • 其中，P p(1 p) • 1-α为置信度。 p ˆ n ˆ • 当p未知情况下，可用 ˆ 代替：p≈ P P
ˆ Z P
ˆ ， P Z 2 P ˆ ˆ 2 p

• 例：某厂对一批产品的质量进行抽样检验，采用重复抽样抽取 样品200只，样本优质率为85%，试计算当把握程度为95%时优 质品率的区间范围。 • 解：由题意可知： ˆ 1 p ˆ 0.15 ˆ 0.85；q • n=200， p • 1-α=0.95,α=0.05,Zα/2=Z0.025=1.96

• 即μ的的置信度为95%的置信区间为（497.26，508.58）。 • 从上例可以看出：当置信度1-α较大时，置信区间也较大； 当置信度1-α较小时，置信区间也较小。
• （二） 2为未知 • 公式：
• 例：有一大批糖果，现从中随机抽取16袋，称得重量（克） 如下： • 506 508 499 502 504 510 497 512 • 514 505 493 496 506 502 509 496 • 设袋装糖果的重量服从正态分布，试求总体均值μ的置信 度为0.95的置信区间。 • 解：α=0.05，k=n-1=15 • 查t（n-1）分布表可知：t0.025（15）=2.1315， • 计算得 x 503.75, s 6.2022 • 得μ的置信度为95%的置信区间
[503.75 6.2022 2.1315 ]即（500.4， 507.1 ） 16 就是说估计袋装糖果重 量的均值在 500.4克与507.1克之间， 这个估计值的可信度为 95%。
• 二、总体频率π的区间估计 • 设π为总体频率，P为样本频率，n为样本容量。 • 总体频率的置信区间为：

例如，一个国家的资源存储量、人口数、生产力水 平和消费水平等总量指标是该国资源开发、利用和 管理的重要参考依据。
再如，城乡居民储蓄存款余额、全社会固定资产投 资总额、货币流通量等总量指标是国家制定货币发 行量、存贷款利率、存贷款额度、基本建设投资规 模等各项金融政策和财政政策的基础。
3．它是计算相对指标和平均指标的基础。 相对指标和平均指标一般是由两个有联系 的总量指标对比计算出来的，是总量指标 的派生指标。
结构相对指标总 总体 体全 部表示， 其计算公式的分子和分母既可以是单位 总量指标，也可以是标志总量指标。
我国2019年第一、二、三产业的比重分 别为11.7%，48.9%和39.4%
运用结构相对数时，要以统计分组为前提。 只有将总体区分为不同性质的各个部分，才 能计算结构相对数，求出各组总量在总体总 量中所占的比重，反映总体的构成。
劳动指标主要在企业范围内使用，是企 业编制和检查计划的重要依据。
不同类型、不同经营水平企业的劳动指 标不能直接相比。
第二节 相对指标
一、相对指标的意义及其表现形式 1、概念 相对指标是说明现象之间数量对比关系的指
标，用两个或两个以上有联系的指标数值对 比来求得，其结果表现为相对数，故也将相 对指标称为相对数。
从比较相对数中发现问题
第五次人口普查的结果表明，我国新生儿性别比 高达117：100。中国人民大学人口与发展研究中 心发布的报告显示，2019年中国男性已比女性多 出3700万，其中0岁至15岁的男比女多出了1800 万。
资料来源：中国法院网
（/html/article/201903/13/29 1594.shtml）
标志总量即总体中各单位标志值总和，它表 明总体某一方面的数量特征。 如全国工业总产值、某地区工业上缴利税 总额等。

6．2002 年某地城市消费品零售额 200 亿元，比上年增长 10．5%，农村消费品零售额 135
亿元，增长 8．8%，扣除物价因素后，实际分别增长 9．2%和 7．3%。试问该地城、乡消
费品价格分别上涨多少？
解：
地区
2002 年消费品零售额 （亿元）
2002 年比 2001 年零售额 2002 年比 2001 年零售额
计算平均成本指数，并分析由于平均成本变动对总成本的影响绝对额；
（2）在平均成本的总变动中，分析各分厂成本水平变动及各分厂产量结构的影响程度和
影响绝对额。
∑∑ 解：（1） x1 =
x1 f1 = 258.5 = 5.17 （元） f1 50
∑∑ x0 =
x0 f0 = 161 = 5.37 （元） f0 30
（3）单位成本总指数；
（4）出厂价格总指数。
∑∑ 解：（1） kq =
q1c0 = 2200×10.5 + 6000× 6 = 59100 = 115.88% q0c0 2000×10.5 + 5000× 6 51000
基期 12．0 6．2
报告期 12．5 6．0
∑∑ （2） kq =
q1 p0 = 2200×12 + 6000× 6.2 = 63600 = 115.64% q0 p0 2000×12 + 5000× 6.2 55000
（3）蔬菜价格变动使得居民增加支出的金额=（2.2-2.0）×5.20×1000=1040（万）
猪肉价格变动使得居民增加支出的金额=（17.8-17）×5.52×1000=4416（万）
鲜蛋价格变动使得居民增加支出的金额=（9.2-5.2）×1.15×1000=4600（万） 水产品价格变动使得居民增加支出的金额=（18数