高一数学解三角形复习学案

解三角形班级姓名学号一．复习要点1．正弦定理:2sin sin sin abcR A B C ===或变形：::sin :sin :sin a b c A B C =.2．余弦定理： 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩ 或 222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bca cb B acb ac C ab⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩.3．（1）两类正弦定理解三角形的问题：1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角.（2）两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角.2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.4．判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.5．解题中利用ABC ∆中A B C π++=，以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换的运算，如：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=-sin cos ,cos sin ,tan cot 222222A B C A B C ABC+++===.6．求解三角形应用题的一般步骤：（1）分析：分析题意，弄清已知和所求；（2）建模：将实际问题转化为数学问题，写出已知与所求，并画出示意图；（3）求解：正确运用正、余弦定理求解；（4）检验：检验上述所求是否符合实际意义。

二．例题分析例1、在ABC 中，已知5,8,30b c B ===︒，求,,C A a 。

例2、在四边形ABCD 中，120A ∠=，90B D ∠=∠=，5,8BC CD ==，求四边形ABCD 的面积S 。

例3、在ABC 中，已知22(cos cos )()cos a b B c C b c A -=-，试判断ABC 的形状 例4、隔河看两目标A 和Bkm 的C 和D 两点，同时，测得75ACB ∠=，45BCD ∠=，30ADC ∠=，45ADB ∠=（,,,A B C D 在同一个平面），求两目标,A B 之间的距离。

必修五第一章解三角形复习学案一、知识梳理： 解斜三角形时可用的定理和公式适用类型 备注余弦定理222a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩①已知三边；②已知两边及其夹角；类型①②有解时只有一个正弦定理：sin ac B===③已知两角和一边； ④已知两边及其中一边的对角； 类型③有解时只有一个，类型④可有解、一解或无解 三角形面积公式：S ⎧⎪=⎨⎪⎩⑤已知两边及其夹角（1）余弦定理变形：cos A = ；cos B = ；cos C = .（2）正弦定理变形：C B A c b a sin :sin :sin ::= ………………………适用边角互化。

（3）22a b +<2c 则角C 为 角 22a b +＞2c 则角C 为 角。

二、试题训练：选择填空试题（每小题5分共计60分）1、在ABC ∆中，已知2=a ，2=c ，︒=30A ，那么B 等于（ ）A ．︒15B ．︒15或︒105C ．︒45D ．︒45或︒1352、 在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，其面积为3，则C B A cb a sin sin sin ++++等于( )A ．33B ．3392 C ．338 D ．2393、在ABC ∆中，下列关系式不一定成立的是（ ） A ．sin sin a B b A =B ．cos cos a bC c B =+C ．2222cos a b c ab C +-=D ． sin sin b c A a C =+4、在△ABC 中，A B B A 22sin tan sin tan ⋅=⋅，那么△ABC 一定是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形 5、已知ABC ∆的三边长3=a ，5=b ，6=c ，则ABC ∆的面积是（ ） A ．14 B ．142 C ．15 D ．152 6、在ABC ∆中，若cCb B a A sin cos cos ==，则ABC ∆是（ ） A ．有一内角为︒30的直角三角形 B ．等腰直角三角形 C ．有一内角为︒30的等腰三角形 D ．等边三角形7、△ABC 中，∠A=60°, a= 6 , b=4, 那么满足条件的△ABC ( )A 有 一个解B 有两个解C 无解D 不能确定8、如图，从气球A 测得正前方的河流上的桥梁两端B 、C 的俯角分别为α、β，如果这时气球的高度是h ，则桥梁BC 的长度为（ ） A.sin()sin sin h αβαβ- B. sin sin sin()h αβαβ-C. sin sin sin()h αβαβ-D. sin sin sin()h βααβ-9、如果ABC ∆中，222c bc b a ++=，那么A 等于__________。

三角形的初步认识复习教案一、教学目标：1. 复习并巩固学生对三角形的基本概念、性质和分类的理解。

2. 提高学生运用三角形知识解决实际问题的能力。

3. 培养学生的逻辑思维能力和团队协作精神。

二、教学内容：1. 三角形的基本概念：三角形的定义、三角形的组成。

2. 三角形的性质：三角形的内角和、三角形的边长关系。

3. 三角形的分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。

4. 三角形的画法：如何准确地画出一个三角形。

5. 三角形在实际生活中的应用：举例说明三角形在现实生活中的应用。

三、教学重点与难点：1. 教学重点：三角形的基本概念、性质和分类，以及三角形在实际生活中的应用。

2. 教学难点：三角形内角和、边长关系的理解和运用。

四、教学方法：1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生通过思考和讨论来复习三角形的相关知识。

2. 利用实物模型、图片等教学资源，帮助学生直观地理解三角形的性质和分类。

3. 设计具有挑战性的练习题，激发学生的学习兴趣，提高学生解决问题的能力。

五、教学过程：1. 导入：通过提问方式引导学生回顾三角形的基本概念，激发学生的学习兴趣。

2. 讲解：详细讲解三角形的基本概念、性质和分类，并通过实物模型、图片等进行展示。

3. 练习：设计一些具有针对性的练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。

4. 讨论：组织学生进行小组讨论，分享彼此的学习心得和解决问题的方法。

5. 总结：对本节课的主要内容进行总结，强调三角形的内角和、边长关系等关键知识点。

6. 作业布置：布置一些有关三角形应用的问题，让学生在课后思考和解决。

六、教学评价：1. 课堂表现评价：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答情况以及小组讨论表现，评估学生的学习积极性。

2. 练习题评价：对学生的练习题进行批改，评估学生对三角形基本概念、性质和分类的掌握程度。

3. 课后作业评价：对学生的课后作业进行批改，了解学生对三角形在实际生活中应用的理解和运用能力。

专题09 解三角形（一） 三角形中的求值问题1.例题【例1】设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝2，c ＝23，cos A ＝32，且b <c ，则b ＝( )A ． 3B ．2C ．2 2D ．3【例2】在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若1a =，cos )cos 0A C C b A ++=，则角A =（ ）A ．23π B ．3π C ．6π D ．56π 【例3】在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，4a =，b =cos (2)cos c B a b C =-，则ABC ∆的面积为______．【例4】（2017·全国高考真题（理））△ABC 的内角、、A B C 的对边分别为a b c 、、, 已知△ABC 的面积为23sin a A．(1)求sin sin B C ;(2)若6cos cos 1,3,B C a ==求△ABC 的周长.【例5】如图，在△ABC 中，∠B ＝π3，AB ＝8，点D 在BC 边上，且CD ＝2，cos ∠ADC ＝17.(1)求sin ∠BAD ； (2)求BD ，AC 的长.2.巩固提升综合练习【练习1】（2019·全国高考真题）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A －b sin B =4c sin C ，cos A =－14，则bc =（ ）A ．6B ．5C ．4D ．3【练习2】（2018·全国高考真题）△ABC 的内角A ， B ， C 的对边分别为a ， b ， c ，已知bsinC +csinB =4asinBsinC ，b 2+c 2−a 2=8，则△ABC 的面积为________． 【练习3】 在ABC ∆中，已知AB 边上的中线1CM =，且1tan A ，1tan C ，1tan B成等差数列，则AB 的长为________.【练习4】在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝5，tan ∠BAC ＝－3，则BC 边上的高等于( ) A ．1 B ．2 C ． 3 D ．2【练习5】已知圆内接四边形ABCD 的边长AB ＝2，BC ＝6，CD ＝DA ＝4，求四边形ABCD 的面积S ．【练习6】 △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 已知c cos B ＝(3a －b )cos C ． (1)求sin C 的值；(2)若c ＝26，b －a ＝2，求△ABC 的面积．（二）三角形中的最值或范围问题1.例题【例1】在△ABC中，已知c＝2，若sin2A＋sin2B－sin A sin B＝sin2C，则a＋b的取值范围为________．【例2】已知在锐角ABC∆中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2cos cosb Cc B=，则111tan tan tanA B C++的最小值为（）A B C D．【例3】已知△ABC的外接圆半径为R，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a sin B cos C ＋32c sin C＝2R，则△ABC面积的最大值为( )A．25B．45C．255D．125【例4】在ABC∆中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos Ccos cos cos2ab Ac A B+=，ABC∆，则ABC∆周长的最小值为______.2.巩固提升综合练习【练习1】 设锐角三角形ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2,2a B A ==，则b 的取值范围为（ ）A ．(0,4)B ．(2,C ．D ．4)【练习2】 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若bc ＝1，b ＋2c cos A ＝0，则当角B 取得最大值时，△ABC 的周长为( ) A ．2＋3 B ．2＋2 C ．3D ．3＋2【练习3】已知ABC ∆1,且满足431tan tan A B+=，则边AC 的最小值为_______.【练习4】在ABC ∆中，23BAC π∠=，已知BC 边上的中线3AD =，则ABC ∆面积的最大值为__________．（三）解三角形的实际应用必备知识：实际测量中的有关名称、术语南偏西60°指以正南方向为始边，转向目标方向线形成的角1.例题【例1】在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离A处(3－1)n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A 2 n mile的C处的缉私船奉命以10 3 n mile的速度追截走私船．此时，走私船正以10 n mile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？【例2】如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，测出A，B的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D，测得CD＝a，同时在C，D两点分别测得∠BCA＝α，∠ACD＝β，∠CDB＝γ，∠BDA＝δ.在△ADC和△BDC中，由正弦定理分别计算出AC和BC，再在△ABC中，应用余弦定理计算出AB.若测得CD＝32km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，求A，B两点间的距离．【例3】某人在点C测得塔顶A在南偏西80°，仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进100米到D，测得塔顶A的仰角为30°，则塔高为____________米．2.巩固提升综合练习【练习1】甲船在A处，乙船在甲船正南方向距甲船20海里的B处，乙船以每小时10海里的速度向正北方向行驶，而甲船同时以每小时8海里的速度由A处向北偏西60°方向行驶，问经过多少小时后，甲、乙两船相距最近？【练习2】如图，一艘船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔68海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这艘船航行的速度为( )A.1762海里/时B ．346海里/时 C.1722海里/时D ．342海里/时【练习3】某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：A 、B 、C 三地位于同一水平面上，在C 处进行该仪器的垂直弹射，观测点A 、B 两地相距100米，∠BAC ＝60°，在A 地听到弹射声音的时间比在B 地晚217秒．在A 地测得该仪器弹至最高点H 时的仰角为30°，求该仪器的垂直弹射高度CH .(声音的传播速度为340米/秒)1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等比数列，且a 2＝c 2＋ac －bc ，则cb sin B ＝( )A ．32B ．233C ．33D ．32．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a ＝3，c ＝23，b sin A ＝a cos ⎪⎭⎫⎝⎛+6πB 则b ＝( ) A ．1 B.2 C.3D.53．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，c ＝32，tan B ＝2tan A ，则△ABC 的面积为( ) A ．2 B ．3 C ．32D ．423．如图，在△ABC 中，∠C ＝π3，BC ＝4，点D 在边AC 上，AD ＝DB ，DE ⊥AB ，E 为垂足．若DE ＝22，则cos A 等于( ) A ．223B ．24C ．64D ．634．在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若B ＝2A ，则2ba的取值范围是( ) A ．(2，2) B ．(2，6) C ．(2，3)D ．(6，4)5．在ΔABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，a =2，B =45°，若三角形有两解，则b 的取值范围是_______.6．已知a ，b ，c 是△ABC 中角A ，B ，C 的对边，a ＝4，b ∈(4，6)，sin 2A ＝sin C ，则c 的取值范围为________．7．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 成等比数列，cos(A －C )－cos B ＝12，延长BC至点D ，若BD ＝2，则△ACD 面积的最大值为________．8．(2019·高考全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若b ＝6，a ＝2c ，B ＝π3，则△ABC 的面积为________． 9．若满足3ABC π∠=， AC =3， ,BC m ABC =恰有一解，则实数m 的取值范围是______．10．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，外接圆的半径为1，且tan A tan B ＝2c －bb ，则△ABC 面积的最大值为________．11．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2＋c 2－b 2＝ab cos A ＋a 2cos B ． (1)求角B ；(2)若b ＝27，tan C ＝32，求△ABC 的面积．12．已知ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别为a b c ，，，若cos sin a b C c B =+（Ⅰ）求B ；（Ⅰ）若2b = ，求ABC ∆面积的最大值。

六、在△ABC 中，a 、b 和A 时，解的情况如下：A 为锐角A 为钝角或直角图形关系式 a ＝b sin A b sin A <a <b a ≥b a >b 解的 个数一解两解一解一解【典型例题】考点1 求解斜三角形中的根本元素：是指两边一角(或二角一边或三边)，求其它三个元素问题，进而求出三角形的三线(高线、角平分线、中线)及周长等根本问题．【例1】〔1〕在∆ABC 中，︒=30A ，︒=75B ，42.9a cm =，解三角形；〔2〕在∆ABC 中，23=a ，62=+c ，060=B ，求b 及A ；【变式1】⑴在ABC ∆中，1a =，2b =，1cos 4C =，则c = ；sin A = . ⑵在ABC ∆中，3,2,60==︒=BC AC A ,则AB 等于__________.⑶在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，6π=A ，1=a ，3=b ，则=B .【例2】 ABC ∆中，3π=A ，BC ＝3，则ABC ∆的周长为〔 〕A ．33sin 34+⎪⎭⎫ ⎝⎛+πB B ．36sin 34+⎪⎭⎫ ⎝⎛+πBC ．33sin 6+⎪⎭⎫ ⎝⎛+πBD ．36sin 6+⎪⎭⎫ ⎝⎛+πB⋅=．AB AC3】ABC 的三内角(p a =+(,q b a =-的大小为 〔 (B)πABCD2．要测量底部不能到达的电视塔AB 的高度,在C 点测得塔顶A 的仰角是45°,在D 点测得塔顶A 的仰角是30°,并测得水平面上的∠BCD =120°,CD =40m,则电视塔的高度为 〔 〕A ．102mB ．20mC ．203mD ．40m3.在△ABC 中，内角A,B,C 的对边分别是a , b ,c ，假设223a b bc -=，sin 23sin C B =，则A=〔 〕 〔A 〕030 〔B 〕060 〔C 〕0120 〔D 〕01504.在△ABC 中，三个角,,A B C 的对边边长分别为3,4,6a b c ===,则cos cos cos bc A ca B ab C ++的值为 .5.设ABC ∆的内角C B A ,,所对的边分别为,,,c b a 且b c C a =+21cos . 〔1〕求角A 的大小；〔2〕假设1=a ，求ABC ∆的周长l 的取值范围.6、如下图，在△ABC ，463AB =,6cos 6B =，AC 边上的中线5BD =, 求：〔1〕BC 的长度； 〔2〕sin A 的值。

解三角形复习教案教案标题：解三角形复习教案教案目标：1. 复习学生在解三角形方面的基本知识和技能。

2. 强化学生对三角形相关概念的理解。

3. 提供学生机会通过练习和解决问题来巩固所学内容。

教学资源：1. 教科书2. 白板/黑板和彩色粉笔/白板笔3. 幻灯片或投影仪（可选）4. 三角形练习题和解答教学步骤：引入：1. 向学生复习三角形的定义和基本概念，例如三边、三角形内角和外角的性质等。

2. 提示学生，解三角形是通过已知条件来确定三角形的各个要素，如边长、角度等。

主体：3. 讲解解三角形的基本方法，包括使用正弦、余弦和正切函数以及三角恒等式。

4. 通过示例演示如何解决已知三边、两边一角和两角一边的三角形问题。

5. 提供学生机会进行实践，解决一些简单的三角形问题，如计算未知边长或角度。

6. 引导学生思考和讨论解决复杂三角形问题的策略，如使用余弦定理或正弦定理。

巩固：7. 分发练习题给学生，让他们独立或合作解决问题。

8. 鼓励学生互相检查答案，并解释他们的解决方法。

9. 与学生一起回顾和讨论练习题的解答，解释正确答案的推理过程。

总结：10. 总结本节课所学的内容，强调解三角形的重要性和应用领域。

11. 提醒学生复习并巩固所学内容，以便在考试中能够应用。

扩展活动（可选）：12. 鼓励学生在课后进一步探索三角形的性质和解决问题的方法，可以使用在线资源或相关书籍。

13. 提供一些挑战性的三角形问题，以激发学生的兴趣和思考能力。

教学提示：1. 在讲解过程中，使用图示和实例来帮助学生更好地理解和记忆。

2. 鼓励学生积极参与课堂讨论和问题解决，并及时给予肯定和鼓励。

3. 根据学生的学习进度和理解程度，调整教学节奏和难度。

教案评估：1. 观察学生在课堂上的参与度和理解程度。

2. 检查学生在解决练习题和问题时的准确性和推理过程。

3. 提供反馈和指导，帮助学生改进和巩固所学内容。

高一数学教案解三角形5篇最新高一数学教案解三角形1[教学重、难点] 认识直角三角形、锐角三角形、钝角三角形、等腰三角形和等边三角形，体会每一类三角形的特点。

[教学准备] 学生、老师剪下附页2中的图2。

[教学过程] 一.画一画，说一说1.学生各自借助三角板或直尺分别画一个锐角、直角、钝角。

2.教师巡查练习情况。

3.学生展示练习，说一说为什么是锐角、直角、钝角?二.分一分 1.小组活动;把附页2中的图2中的三角形进行分类，动手前先观察这些三角形的特点，然后小组讨论怎样分? 2.汇报：分类的标准和方法。

可以按角来分，可以按边来分。

二.按角分类： 1.观察第一类三角形有什么共同的特点，从而归纳出三个角都是锐角的'三角形是锐角三角形。

2.观察第二类三角形有什么共同的特点，从而归纳出有一个角是直角的三角形是直角三角形3.观察第三类三角形有什么共同的特点，从而归纳出有一个角是钝角的三角形是钝角三角形。

三.按边分类： 1.观察这类三角形的边有什么共同的特点，引导学生发现每个三角形中都有两条边相等，这样的三角形叫等腰三角形，并介绍各部分的名称。

2.引导学生发目前的三角形三条边都相等，这样的三角形是等边三角形。

讨论等边三角形是等腰三角形吗?四.填一填：24.25页让学生辨认各种三角形。

五.练一练：第1题：通过“猜三角形游戏”让学生体会到看到一个锐角，不能决定是一个锐角三角形，必须三个角都是锐角才是锐角三角形。

第2题：在点子图上画三角形第3题:剪一剪。

六.完成26页实践活动。

[板书设计] 三角形的分类按角分类：按边分类：高一数学教案解三角形2教学目标： 1.通过观察、想象、推理、交流等活动，发展空间观念、推理能力和有条理地表达能力;2.了解三角形的高，并能在具体的三角形中作出它们.教学重点：在具体的三角形中作出三角形的高.教学难点：画出钝角三角形的三条高.活动准备：学生预先剪好三种三角形，一副三角板.教学过程：过三角形的一个顶点A，你能画出它的对边BC的垂线吗?试试看，你准行!从而引出新课：1.三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高.如图，线段AM是BC边上的高.∵AM是BC边上的高，∴AM⊥BC.做一做：每人准备一个锐角三角形纸片：(1)你能画出这个三角形的高吗?你能用折纸的方法得到它吗?(2)这三条高之间有怎样的位置关系呢?小组讨论交流.结论：锐角三角形的'三条高在三角形的内部且交于一点.3.议一议：每人画出一个直角三角形和一个钝角三角形.(1)画出直角三角形的三条高，并观察它们有怎样的位置关系?(2)你能折出钝角三角形的三条高吗?你能画出它们吗?(3)钝角三角形的三条高交于一点吗?它们所在的直线交于一点吗?小组讨论交流.结论：1.直角三角形的三条高交于直角顶点处.2.钝角三角形的三条高所在直线交于一点，此点在三角形的外部.4.练习：如图，(1)共有___________个直角三角形;(2)高AD、BE、CF相对应的底分别是_______，_____，____;(3)AD=3，BC=6，AB=5，BE=4.则S△ABC=___________，CF=_________，AC=_____________.5.小结：(1)锐角三角形的三条高在三角形的内部且交于一点.(2)直角三角形的三条高交于直角顶点处.(3)钝角三角形的三条高所在直线交于一点，此点在三角形的外部. 作业：P127 1.2.3高一数学教案解三角形3《三角形中位线》教案一.教学目标：1.使学生掌握三角形中位线概念,理解中位线定理,会利用它进行关于论证和计算2.掌握添加辅助线解题的技巧.3.提升学生分析问题,解决问题的能力,加强学习兴趣.二.教学方法探究式自主学习：以学生的自主探究为主，教师加以引导启发，在师生的共同探究活动中，完成本课的教学目标，提升学生的能力,使学生更好的适应新课程标准三.教学内容﹑教材重、难点分析：三角形中位线定理的学习是继学习-平行四边形与平行线等分线段定理后的一个新内容,教材首先给出了三角形中位线的定义,并与三角形中线加以区分,接着以同一法的思想探索出三角形中位线定理,最后是利用中位线定理解答例一所给的问题. 在今后的学习中要经常利用这个定理解决关于直线平行和线段倍分等问题. 本节课的重点是三角形中位线定理,难点是定理的证明,关键在于如何添加辅助线,在今后的学习中要经常利用这个定理解决关于直线平行和线段倍分等问题.四.教学媒体的选择和设计通过多媒体课件，打开学生的思路,增多课堂的容量,提升课堂效率。

瑞安五中高一解三角形复习导学案一、知识储备1、正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等变形：_________________________________________2、余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。

3、两类正弦定理解三角形的问题：（1）_________________________________________（2）_________________________________________ 两类余弦定理解三角形的问题：（1）_________________________________________（2）_________________________________________4、三角形面积公式：___________________________（已知两边及其夹角）5、判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.6、解题中利用中，以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换的运算，如：二、知识导学题型1：正、余弦定理（1）在ABC ∆中，已知2=b ，︒=30B ，︒=135C ，求a 的长（2）在ABC ∆中，AB=3，AC=2，BC=10，则AB AC ⋅= ( )A ．23-B ．32-C ．32D ．23（3）在△ABC 中，内角A,B,C 的对边分别是a,b,c ，若，，则A=( )（A ） （B ） （C ） （D ）ABC ∆A B C π++=sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=-sin cos ,cos sin ,tan cot 222222A B C A B C A B C +++===22ab -=sin C B =03006001200150题型2：三角形面积在ABC ∆中，8b =，c =，ABCS = A ∠。

解三角形一.正弦定理：1.正弦定理： （其中R 是三角形外接圆的半径）2.变形：①C B A c b a sin :sin :sin ::= ②角化边 C R c B R b A R a sin 2sin 2sin 2===③边化角 RcC R b B R a A 2sin 2sin 2sin ===练习：△ABC 中，①B b A a cos cos =②B a A b cos cos =3.三角形内角平分线定理：如图△ABC 中，AD 是A ∠4.判断三角形解的个数：△ABC 中，已知锐角A ，边b ，则 ①A b a sin <时，无解；②A b a sin =或b a ≥时，有一个解； ③b a A b <<sin 时，有两个解。

二.三角形面积 1.B ac A bc C ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆ 2. r c b a S ABC)(21++=∆,其中r 是三角形内切圆半径. 注:由面积公式求角时注意解的个数 三.余弦定理1.余弦定理：=2a )cos 1(2)(2A bc c b +-+= =2b )cos 1(2)(2B ac c a +-+= =2c )cos 1(2)(2C ab b a +-+=注：后面的变形常与韦达定理结合使用。

2.变形： =A cos=B cos=C cos注意整体代入，练习：=⇒=-+B ac b c a cos 222。

3.三角形中线：△ABC 中， D 是BC 的中点，则222221BC AC AB AD -+= 4.三角形的形状①若222c b a >+时,角C 是 角 ②若222c b a =+时,角C 是 角 ③若222c b a <+时,角C 是 角练习:锐角三角形的三边为x ,2,1,求x 的取值范围; 钝角三角形的三边为x ,2,1,求x 的取值范围;5.应用用余弦定理求角时只有一个解 四.应用题1.步骤：①由已知条件作出图形，②在图上标出已知量和要求的量；③将实际问题转化为数学问题； ④作答2.注意方位角；俯角；仰角；张角；张角等如：方位角是指北方向顺时针转到目标方向线的角。

第一章 《解三角形（复习）》 【学习目标】能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题．【知识链接】 复习1： 正弦定理和余弦定理（1）用正弦定理：①知两角及一边解三角形；②知两边及其中一边所对的角解三角形（要讨论解的个数）．（2）用余弦定理： ①知三边求三角；②知道两边及这两边的夹角解三角形．复习2：应用举例① 距离问题，②高度问题，③ 角度问题，④计算问题．练：有一长为2公里的斜坡，它的倾斜角为30°，现要将倾斜角改为45°，且高度不变. 则斜坡长变为___ ．【学习过程】※ 典型例题例1. 在ABC ∆中tan()1A B +=，且最长边为1，tan tan A B >，1tan 2B =，求角C 的大小及△ABC 最短边的长．例2. 如图，当甲船位于A 处时获悉，在其正东方向相距20海里的B 处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30o ，相距10海里C 处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B 处救援（角度精确到1o ）？例3. 在∆ABC 中，设tan 2,tan A c b B b-= 求A 的值． 北 20 10 A B • •C※ 动手试试练1. 如图，某海轮以60 n mile/h 的速度航行，在A 点测得海面上油井P 在南偏东60°，向北航行40 min 后到达B 点，测得油井P 在南偏东30°，海轮改为北偏东60°的航向再行驶80 min 到达C 点，求P 、C 间的距离．练2. 在△ABC 中，b ＝10，A ＝30°，问a 取何值时，此三角形有一个解？两个解？无解？【学习反思】※ 学习小结1. 应用正、余弦定理解三角形；2. 利用正、余弦定理解决实际问题（测量距离、高度、角度等）；3．在现实生活中灵活运用正、余弦定理解决问题. （边角转化）．※ 知识拓展设在ABC ∆中，已知三边a ，b ，c ，那么用已知边表示外接圆半径R 的公式是 ()()()R p p a p b p c =--- 【基础达标】）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：60°30°60°ABP 北1. 已知△ABC中，AB＝6，∠A＝30°，∠B＝120︒，则△ABC的面积为（）.A．9 B．18 C．9D．1832.在△ABC中，若222c a b ab=++，则∠C=（）.A． 60° B． 90° C．150° D．120°3. 在∆ABC中，80a=，100b=，A=30°，则B的解的个数是（）.A．0个 B．1个 C．2个 D．不确定的4. 在△ABC中，32a=，23b=，1cos3C=，则ABCS=△_______5. 在∆ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，若2222sina b c bc A=+-，则A=___ ____.【拓展提升】1. 已知A、B、C为ABC∆的三内角，且其对边分别为a、b、c，若1 cos cos sin sin2B C B C-=．（1）求A；（2）若23,4a b c=+=，求ABC∆的面积．2. 在△ABC中，,,a b c分别为角A、B、C的对边，2228 5 bca c b-=-，a=3，△ABC的面积为6，（1）求角A的正弦值；（2）求边b、c.。