人教版初一数学下册《实际问题与二元一次方程组》第三课时教学设计

8.3 实际问题与二元一次方程组(第三课时)教学反思教学目标1.会用列表法分析应用题中的数量关系，列出相应的二元一次方程组解决较复杂的实际问题，并进一步提高解方程组的技能.2.通过探究3的学习，使学生学会从图表中获取信息的方法，进一步感受间接设未知数解决问题的解题策略.3.在解决问题的过程中，体会方程组是解决实际问题的重要模型，发展学生的数学建模能力.教学重难点重点：用列表的方式分析题目中的各个量的关系，列二元一次方程组.难点：从图表中获取有用信息，借助列表分析问题中所蕴含的数量关系.课前准备多媒体课件教学过程导入新课教师：前面我们利用二元一次方程组解决了许多实际问题，这些问题的条件是用文字语言给出的.还有些问题，条件由文字、图表共同给出，这就需要我们能读懂图表.今天，我们继续研究实际问题与二元一次方程组(板书课题).设计意图教师通过讲解，导入新课.探究新知探究点：列二元一次方程组解决实际问题教师：我们来看下面这个问题：为鼓励居民节约用电，某市自2012年以来对家庭用电收费实行阶梯电价，即每月对每户居民的用电量分为三个档级收费.第一档为用电量在180千瓦时(含180千瓦时)以内的部分，执行基本价格；第二档为用电量在180千瓦时到450千瓦时(含450千瓦时)的部分，实行提高电价；第三档为用电量超出450千瓦时的部分，执行市场调节价格.该市一名同学家今年2月份用电330千瓦时，电费为213元，3月份用电240千瓦时，电费为150元.已知该市的一位居民今年4，5月份的家庭用电量分别为160和410千瓦时，请你依据该同学家的缴费情况，计算这位居民4，5月份的电费分别为多少元？教师：本题信息量比较多，为更好地理解各个量之间的关系，请根据已知5月 180 230学生回答，如有不足，其他同学补充.教师：分析表格中的未知量，找出相等关系，求出4，5月份的电价总费用. 学生小组交流讨论，教师引导，学生上台板演，教师规范解答过程： 解：设基本电价为x 元/千瓦时，提高电价为y 元/千瓦时. 根据题意，得 {180x +150y ＝213，180x +60y ＝150，解得 {x ＝0.6，y ＝0.7.所以4月份的电费为160×0.6＝96(元)；5月份的电费为180×0.6+230×0.7＝108+161＝269(元).答：这位居民4，5月份的电费分别为96元和269元.新知应用教材第100页探究3如图1所示，长青化工厂与A ，B 两地有公路、铁路相连.这家工厂从A 地购买一批每吨1 000元的原料运回工厂，制成每吨8 000元的产品运到B 地.已知公路运价为1.5元/(t ·km)，铁路运价为1.2元/(t ·km)，且这两次运输共支出公路运费15 000元，铁路运费97 200元.这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元?图1 教师：探究3最终要解决的问题是什么?学生：产品的销售款-(原料费+运输费)＝?教师：销售款、原料费、运输费各是多少？学生：根据题目条件，销售款、原料费都不能直接求出，运输费＝(15 000+97200)元.教师：产品的销售款、原料费、运输费与哪些量有关?是什么关系?学生回答，如有不足，其他同学补充，最终得出结论：销售款＝产品数量×产品单价，原料费＝原料数量×原料单价，运输费＝路程×运价×货物质量. 教师：销售款与产品数量、销售单价有关，原料费与原料数量、原料单价有关，而公路运费和铁路运费与产品数量和原料数量都有关.因此需要先求出产品数量和原料数量.设制成x t 产品，购买y t 原料，填写下表并分析数量关系：产品x t原料y t 合计公路运费(元) 1.5×20x 1.5×10y 1.5×(20x+10y) 铁路运费(元) 1.2×110x1.2×120y 1.2×(110x+120y) 价值(元) 8 000x1 000y学生独立完成，小组交流合作并展示交流成果，得到如上表中的关系. 教师：由上表你能否利用相等关系，列出方程组，求得未知数的值？学生回答，如有不足，其他同学补充，最终得出结论：铁路运费＝1.2×(110x+120y)＝97 200， 公路运费＝1.5×(20x+10y)＝15 000.教师总结：求出x ，y 的值以后，原料款1 000y ，销售款8 000x 可求，于是问题获解.学生独立解答，写出规范的解答过程，一名同学板演，教师巡视时，及时为学习有困难的同学提供帮助，最终得到如下解答过程：解：设制成x t 产品，购买y t 原料.根据题意，得 {1.5×(20x +10y )＝15 000，1.2×(110x +120y )＝97 200，解得 {x ＝300，y ＝400.故制成300 t 产品，购买400 t 原料.所以销售款-原料费-运输费＝8 000×300-1 000×400-15 000-97 200＝1 887 800(元).答：这批产品的销售款比原料费与运输费的和多1 887 800元. 总结与反思教师：通过探究3的解决，你学到了哪些方法?在以后的学习中需要注意些什么?师生活动引导学生积极回答，畅所欲言，教师给予积极地鼓励. 设计意图由于探究3题目较长，数量关系比较多且不易理清，所以先通过几个问题引导学生准确把握题意，找出题目中的相等关系，为列方程组解决问题扫清障碍，在师生讨论交流之后，让学生写出规范的解答过程，一方面进一步熟悉分析问题的方法及题目中的数量关系，另一方面训练规范的解答格式及提高运算的速度、准确度.课堂练习(见导学案“当堂达标”)参考答案1.A2.A3.54.4 cm ，5 cm5.解：(1)三(2)设A ，B 两种商品的标价分别为x 元，y 元. 根据题意，得 {6x +5y ＝1 140，3x +7y ＝1 110，解得 {x ＝90，y ＝120.答：A ，B 两种商品的标价分别为90元，120元.(3)设A ，B 两种商品均打a 折出售. 根据题意，得(9×90+8×120)×a10＝1 062， 解得a ＝6.答：商店是打6折出售这两种商品的. (见导学案“课后提升”)参考答案1.解： 方案一：只对蔬菜进行粗加工，易知15天内能全部加工完，获利为4 500×140＝630 000(元)；方案二：尽可能多地对蔬菜进行精加工，即精加工的数量为6×15＝90(吨). 获利为7 500×90+1 000×(140-90)＝725 000(元)；方案三：设将x 吨蔬菜进行精加工，y 吨蔬菜进行粗加工.根据题意，得 {x +y ＝140，x 6+y 16＝15， 解得 {x ＝60，y ＝80.所以获利为7 500×60+4 500×80＝810 000(元).因为630 000<725 000< 810 000， 所以方案三获利最多.2.解：(1)设1辆A 型车和1辆B 型车都装满货物一次可分别运货x 吨，y 吨.根据题意，得 {2x +y ＝10，x +2y ＝11，解得 {x ＝3，y ＝4.答：1辆A 型车和1辆B 型车都装满货物一次可分别运货3吨，4吨.(2)根据题意可得3a+4b ＝31，使a ，b 都为正整数的情况共有a ＝1，b ＝7或a ＝5，b ＝4或a ＝9，b ＝1三种，故租车方案分别为①A 型车1辆，B 型车7辆；②A 型车5辆，B 型车4辆；③A 型车9辆，B 型车1辆.(3)方案①花费为100×1+120×7＝940(元)； 方案②花费为100×5+120×4＝980(元)； 方案③花费为100×9+120×1＝1 020(元).故租用A 型车1辆，B 型车7辆最省钱，最少租车费用为940元.课堂小结1.本节主要学习从图表中获取信息及利用列表法分析数量关系，进而利用二元一次方程组解决实际问题.2.主要用到的思想方法是方程思想：将实际问题转化成二元一次方程组解决.3.注意的问题：(1)读懂图表的含义，从中获取有用信息.(2)根据题目特点确定直接设未知数或间接设未知数.(3)解方程组时要选择适当的方法，运算速度要快，准确度要高.布置作业教材第102页习题8.3第7，8，9题. 设计意图及时布置作业是巩固课堂学习知识的重要环节.板书设计。

实际问题与二元一次方程组【教学目标】1．能够找出实际问题中的已知数和未知数，分析它们之间的数量关系，列出方程组。

2．经历用方程组解决实际问题的过程，体会方程组是刻画现实世界中含有多个未知数的问题的有效数学模型。

3．培养分析、解决问题的能力，体会二元一次方程组的应用价值，感受数学文化。

4．经历用方程组解决实际问题的过程，体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型5．能够找出实际问题中的已知数和未知数，分析它们之间的数量关系，列出方程组【教学重难点】重点：以方程组为工具分析，解决含有多个未知数的实际问题。

经历和体验用方程组解决实际问题的过程。

难点：确定解题策略，比较估算与精确计算，用方程组刻画和解决实际问题的过程。

【课时安排】3课时【教学过程】【第一课时】一、创设情境前面我们结合实际问题，讨论了用方程组表示问题中的条件以及如何解方程组。

本节我们继续探究如何用方程组解决实际问题。

问题：养牛场原有30头大牛和15头小牛，一天约需用饲料675 kg；一周后又购进12头大牛和5头小牛，这时一天约需用饲料940 kg。

饲养员李大叔估计平均每头大牛1天约需用饲料18～20 kg，每头小牛1天约需用饲料7～8 kg。

你能否通过计算检验他的估计？二、探索分析，解决问题判断李大叔的估计是否正确的方法有两种：1．先假设李大叔的估计正确，再根据问题中给定的数量关系来检验。

2．根据问题中给定的数量关系求出平均每头大牛和每头小牛1天各约需用饲料量，再来判断李大叔的估计是否正确。

设问1：如何计算平均每头大牛和每头小牛1天各约需用饲料量？列方程组求解。

学生先独立思考，然后师生共同讨论解题过程。

解：设平均每头大牛和每头小牛1天各约需用饲料x kg 和y kg 。

找出相等关系列方程组⎩⎨⎧=+=+94020426751530y x y x 解这个方程组，得⎩⎨⎧==520y x 这就是说，平均每头大牛和每头小牛1天各约需用饲料20kg 和5kg 。

8.3.3 实际问题与二元一次方程组简介：本节课的内容是人教版义务教育教科书《数学》七年级（下）§8.3实际问题与二元一次方程组，主要内容是掌握用二元一次方程组解决实际问题，了解二元一次方程组是解决实际问题的非常有效的数学模型．在本节学习之前，学生已经学习了两个课时的用二元一次方程组解实际问题，进一步理解掌握方程组解应用问题的一般步骤，学生已经对应用二元一次方程组解实际问题有了进一步的认识，会问题中的数量关系列出二元一次方程组。

本节内容是继续探究用列表法分析问题中的数量关系，熟练地运用二元一次方程组解决生活中的实际问题，使学生会根据实际问题中的数量关系列方程组解决问题。

教材分析本节课是用二元一次方程组解实际应用问题，深入理解方程组的应用思想，通过对实际问题中数量关系的理解分析，进一步探究掌握二元一次方程组的应用。

老师要引导学生分析总结归纳，让学生熟练掌握用二元一次方程组解实际问题的一般步骤。

本节课教学重点为：用列表的方式分析题目中的各个量的关系。

教学难点：借助列表分问题中所蕴含的数量关系。

教学目标1、知识与技能进一步经历用方程组解决实际问题的过程，体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型；会用列表的方式分析问题中所蕴涵的数量关系，列出二元一次方程组；2、过程与方法熟练掌握列方程组解实际问题的一般步骤，培养和提高学生运用方程组模型分析并解决实际问题能力。

3、情感态度与价值观培养学生分析问题、解决问题的能力，进一步体会二元一次方程组的应用价值．重点难点教学重点：用列表的方式分析题目中的各个量的关系。

教学难点：借助列表分问题中所蕴含的数量关系。

教学方法引导比较发现法、小组合作探究法。

教学准备教学过程设计程序时间创教师行为期望的学生行为（要素）设情景创设情境引入新课8分钟创设问题情境知识回顾1复习列方程组解决实际问题的一般步骤。

①审；②设；③列；④解；⑤验；⑥答。

2.布置学生自主探究教材第100页的探究3，独立完成教材上的分析。

初中数学人教新版七年级下册实用资料《实际问题与二元一次方程组》教案教学目标：1、使学生会借助二元一次方程组解决简单的实际问题，让学生再次体会二元一次方程组与现实生活的联系和作用2、使学生进一步使用代数中的方程去反映现实世界中等量关系，体会代数方法的优越性3、体会列方程组比列一元一次方程容易4、进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题，解决问题的能力重点与难点：重点：能根据题意列二元一次方程组；根据题意找出等量关系难点：正确发找出问题中的两个等量关系课前自主学习：1、列方程组解应用题是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的（）2、一般来说，有几个未知量就必须列几个方程，所列方程必须满足：（1）方程两边表示的是（）量（2）同类量的单位要（）（3）方程两边的数值要相符.3、列方程组解应用题要注意检验和作答，检验不仅要求所得的解是否（），更重要的是要检验所求得的结果是否（）4、一个笼中装有鸡兔若干只，从上面看共42个头，从下面看共有132只脚，则鸡有（），兔有（）新课探究：看一看：课本探究1问题：1、题中有哪些已知量？哪些未知量？2、题中等量关系有哪些？3、如何解这个应用题？本题的等量关系是（1）（）（2）（）解：设平均每只母牛和每只小牛1天各需用饲料为x kg和y kg根据题意列方程，得解这个方程组得答：每只母牛和每只小牛1天各需用饲料为（ ）和（ ），饲料员李大叔估计每天母牛需用饲料18—20千克，每只小牛一天需用7到8千克与计算（ ）出入.（“有”或“没有”）练一练：1、某所中学现在有学生4200人，计划一年后初中在样生增加8%，高中在校生增加11%，这样全校学生将增加10%，这所学校现在的初中在校生和高中在校生人数各是多少人？2、有大小两辆货车，两辆大车与3辆小车一次可以支货15.50吨，5辆大车与6辆小车一次可以支货35吨，求3辆大车与5辆小车一次可以运货多少吨？3、某工厂第一车间比第二车间人数的54少30人，如果从第二车间调出10人到第一车间，则第一车间的人数是第二车间的43，问这两车间原有多少人？ 4、某运输队送一批货物，计划20天完成，实际每天多运送5吨，结果不但提前2天完成任务并多运了10吨，求这批货物有多少吨？原计划每天运输多少吨？小结用方程组解应用题的一般步骤是什么？。

【课题】8.3实际问题与二元一次方程组（探究三）教学设计【教学目标】✧知识与技能（1）会用列表的方法分析问题中所含的复杂数量关系，列出二元一次方程组，培养学生分析问题解决问题的能力，进一步体会二元一次方程组的应用价值。

（2）能对一些问题进行间接设未知数使问题难度降低。

✧过程与方法（1）经历探索运用方程组解决实际问题的过程，体会方程组是刻画现实世界的有效地数学模型;（2）培养学生抽象概括的能力；（3）通过学生小组合作，提高学生交流合作的意识。

✧情感态度价值观使学生学会采取有效的措施分析数量关系的方法，培养分析问题解决问题的能力。

培养学生迎难而上的学习品质和坚强的毅力。

【教学重点】经历和体验用方程组这一模型解决实际问题的过程，并体验用列表的方法分析数量关系。

【教学难点】利用表格理清题目中复杂的数量关系，正确找出问题中的两个相等关系。

【教学方法】讲练结合、讨论交流。

【教学手段】PPT。

【教学过程设计】二、教学过程设计教学环节教学内容教师活动学生活动设计意图一情境引入约3分钟出示问题一：篮球联赛中,每场比赛都要分出胜负,每队胜一场得2分,负一场得1分.某队为了争取较好名次,想在全部16场比赛中得到28分,那么这个队胜负场数分别是多少?设计意图：使学生们建立二元一次方程组的思想，为解决探究三打下基础。

教师讲解，引入课题学生和教师互动使学生们建立二元一次方程组的思想，为解决探究三打下基础。

二探究发现如图，长青化工厂与A，B两地有公路、铁路相连．这家工厂从A地购买一批每吨1000元的原料运回工厂，制成每吨8 000元的产品运到B地．公路运价为1.5元/（吨·千米），铁路运价为1.2元/（吨·千米），这两次运输共支出公路运费15000元，铁路运费97200元．这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？分析：1、你能找出表示相等关系的语句吗？2、你能用文字表示这些相等关系吗？3、怎么设未知数？4、填写下表出示思考问题，提出要求，和同学交流自己的探究过程和探究心得。

8.3.3 实际问题与二元一次方程组（3）教学设计一、内容和内容解析1.内容本节课是人教版《义务教育教科书•数学》七年级下册（以下统称“教材”）第八章“二元一次方程组”8.3.3 实际问题与二元一次方程组（3），内容包括：利用二元一次方程组解决图表信息、决策、商品等问题.2.内容解析实际问题与二元一次方程组选择了三个具有一定综合性的问题：“牛饲料问题”、“种植计划问题”、“成本与产出问题”.使学生利用方程组为工具进行一定深度的思考，增加运用方程组解决实际问题的实践.把全章强调的以方程组为工具，把实际问题模型化的思想提到新的高度.为切实提高利用方程组解决实际问题的能力，这节内容的问题形式包括：估算与精确计算的比较(探究1) ，开放地寻求设计方案(探究2)，根据图表所表示的实际问题的数据信息列方程组(探究3).安排这节的目的在于：一方面通过实际生活中的问题，进一步突出方程组这种数学模型应用的广泛性和有效性；另一方面使学生能在解决实际问题的情境中运用所学数学知识，进一步提高分析问题和解决问题的综合能力.基于以上分析，确定本节课的教学重点为：学会利用二元一次方程组解决图表信息、决策、商品等问题.二、目标和目标解析1.目标(1)能够根据具体的数量关系，列出二元一次方程组解决复杂的实际问题.(2)学会利用二元一次方程组解决图表信息、决策、商品等问题.2.目标解析使学生能够探索事物之间的数量关系，利用方程或方程组解决实际问题；通过问题探究，使学生进一步使用代数中的方程来反映现实世界的等量关系，体会代数方法的优越性；进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力，培养严谨缜密的科学习惯，继续渗透转化的数学思想；使学生能够根据实际问题，寻找其中的相等关系，最终转化为数学问题求解.三、教学问题诊断分析受阅读能力，分析能力的制约；怎样从实际问题中提取数学信息，并转化为数学语言，对七年级的学生来说是个难点，本节课涉及的实际问题都有两个未知数，含有两个等量关系，列二元一次方程组，数量关系比一元问题复杂，需要学生更好地分析问题，抓住关键词，发现等量关系，列方程组.“探究1”都没有明确地未知数，“探究1”学生要理解需要计算来.检验“估计值，”进而明确要求的未知数.“探究2”要从“怎样划分”中来理解题意，选出适当的未知数.基于以上学情分析，确定本节课的教学难点为：能够根据具体的数量关系，列出二元一次方程组解决复杂的实际问题.四、教学过程设计 复习回顾用二元一次方程组解决实际问题的步骤： (1)审题：弄清题意和题目中的_________； (2)设元：用___________表示题目中的未知数； (3)列方程组：根据___个等量关系列出方程组；(4)解方程组：利用__________法或___________解出未知数的值； (5)检验并答：检验所求的解是否符合实际意义，然后作答.自学导航试一试一批货物要运往某地，货主准备租用汽车运输公司的甲、乙两种货车，已知过去两次租用这两种货车的情况如下表：问：甲、乙两种货车每辆各装货多少吨？解：设甲、乙两种货车每辆分别装货x 吨、y 吨，根据题意，列得方程组 ⎩⎨⎧=+=+27635.2854y x y x 解这个方程组，得 ⎩⎨⎧==5.24y x 答：甲种货车每辆装货4吨，乙种货车每辆装货2.5吨.探究：如图，长青化工厂与A 、B 两地有公路、铁路相连.这家工厂从A 地购买一批每吨1000元的原料运回工厂，制成每吨8000元的产品运到B 地.公路运价为1.5元/(t ·km)，铁路运价为1.2元/(t ·km)，且这两次运输共支出公路运费15000元，铁路运费97200元.这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？ 讨论：(1)购进的原材料与制成的成品在质量上一样重吗？正常情况下生产都会有损耗或是残渣，所以原材料与成品质量不一样重. (2)运费的单位“元/(t ·km)”的含义. 运费=运价×数量(t )×里程数(km) (3)15000元的公路运费是如何算出来的？原料从A 地运往工厂的公路运费+产品从工厂运往B 地的公路运费=15000 (4)97200元的铁路运费是如何算出来的？原料从A 地运往工厂的铁路运费+产品从工厂运往B 地的铁路运费=97200分析：销售款与产品数量有关，原料费与原料数量有关，而公路运费和铁路运费与产品数量和原料数量都有关. 因此设_______________________.解：设置成x t 产品，购买y t 原料.由上表，列得方程组 ⎩⎨⎧=+=+97200120·2.1110·2.11500010·5.120·5.1y x y x 解这个方程组，得 ⎩⎨⎧==400300y x 销售款(原料费+运输费)=8000x(1000y+15000+97200)=1887800(元) 答：这批产品的销售款比原料费与运输费的和多1887800元.典例解析考点1：图表信息问题例1.请你根据图中的对话信息，求中性笔和笔记本的单价. 解：设中性笔和笔记本的单价分别是x 元、y 元. 根据题意，得{12y +20x =11212x +20y =144解得{x =2y =6答：中性笔的单价是2元，笔记本的单价是6元. 【迁移应用】1.某中学七年级( 1)班40名同学为灾区共捐款2000元，捐款情况如表所示：表格中捐款40元和50元的人数不小心被污渍污染已看不清楚，若设捐款40元的有x 名同学，捐款50元的有y 名同学，根据题意，可列方程组为( )A.{x +y =22 40x +50y =2000B. {x +y =22 50x +40y =2000C. {x +y =22 40x +50y =1000D. {x +y =22 50x +40y =1000 2.小甘到文具超市去买文具.请你根据如图中的对话信息，求中性笔和笔记本的单价分别是多少元. 解：设中性笔和笔记本的单价分别是x 元、y 元. 根据题意可得{12y +20x =11212x +20y =144解得{x =2y =6答：中性笔和笔记本的单价分别是2元、6元. 3.某景点的门票价格如下表：某校八、九年级学生自愿报名游览该景点，其中八年级的报名人数不超过50，九年级的报名人数超过50但不超过80.若两个年级分别购票，总计支付门票费4914元；若合在一起作为一个团体购票，总计支付门票费4452元.八、九年级的报名人数各是多少？ 解：因为4452÷45=981415 981415不是整数，所以两个年级人数之和超过99.设八年级的报名人数是x ，九年级的报名人数是y. 依题意，得{48x +45y =491442(x +y )=4452解得{x =48y =58答：八年级的报名人数是48，九年级的报名人数是58. 考点2：经济生活问题例2.某服装店用6000元购进A ，B 两种服装，按标价全部售出后可获得利润3800元，这两种服装的进价、标价如表所示.(1)求这两种服装各购进的件数；(2)如果A 种服装按标价的八折出售，B 种服装按标价的七折出售，那么这批服装全部售完后，相比按标价出售，利润减少多少元？解：(1)设A 种服装购进x 件，B 种服装购进y 件. 由题意，得{60x +100y =6000(100−60)x +(160−100)y =3800解得{x =50y =30答：A 种服装购进50件，B 种服装购进30件. (2)由题意，得380050(100×0.860) 30(160×0.7100)=3800 I 000 360=2440(元). 答：相比按标价出售，利润减少2440元. 【迁移应用】1.某商场为迎接店庆进行促销，羊绒衫每件按标价的八折出售，每件赚70元，后因库存太多，每件羊绒衫按标价的六折出售，每件亏损110元，则该商场每件羊绒衫的进价为______元，标价为______元.2.某工厂现向银行申请了两种贷款，共计35万元，每年需付利息2.25万元，甲种贷款每年的利率是7%，乙种贷款每年的利率是6%.若设甲、乙两种贷款的数额分别为x 万元和y 万元，则x=_____，y=_____.3.某商场按标价销售某种商品时，每件可获利40元；按标价的八折销售该商品5件与将标价降低30元销售该商品3件所获得的利润相等.求该商品每件的进价和标价. 解：设该商品每件的进价为x 元，标价为y 元. 根据题意，得{y −x =405(80%y −x )=3(y −30−x)解得{x =130y =170答：该商品每件的进价和标价分别是130 元、170元.4.在某体育用品商店购买50根跳绳和80个毽子共需1120元，购买30根跳绳和50个毽子共需680元. (1)跳绳、 毽子的单价各是多少元？(2)在“元旦”期间，该店开展促销活动，所有商品按同样的折扣打折销售，若购买100 根跳绳和100个毽子只需1700元，则该店的商品按原价的几折进行销售？ 解：(1)设跳绳的单价为x 元，毽子的单价为y 元. 依题意，得{50x +80y =112030x +50y =680解得{x =16y =4答：跳绳的单价为16元，毽子的单价为4元. (2)设该店的商品按原价的m 折进行销售. 依题意，得16×m10×100+4×m10×100=1700， 解得 m=8.5.答：该店的商品按原价的八五折进行销售.考点3：利用二元一次方程组进行决策例3.某生态柑橘园现有柑橘21吨，计划租用A 、B 两种型号的货车将柑橘运往外地销售.已知满载时，用3辆A 型车和2辆B 型车一次可运柑橘13吨；用4辆A 型车和3辆B 型车一次可运柑橘18吨. (1)1辆A 型车和1辆B 型车满载时，一次分别运柑橘多少吨？(2)若计划租用A 型货车m 辆，B 型货车n 辆，一次运完全部柑橘，且每辆车均为满载，请帮柑橘园设计租车方案.(1)解：设满载时1辆A 型车一次可运柑橘x 吨，1辆B 型车一次可运柑橘y 吨. 依题意，得{3x +2y =134x +3y =18解得{x =3y =2答：1辆A 型车满载时一次可运柑橘3吨，1辆B 型车满载时一次可运柑橘2吨. (2)解：依题意，得3m+2n=21，∴m=723n.又∵m ，n 均为非负整数，∴{m =1n =9或{m =3n =6或{m =5n =3或{m =7n =0答：共有4种租车方案.方案1：租用1辆A 型车，9辆B 型车；方案2：租用3辆A 型车，6辆B 型车；方案3：租用5辆A 型车，3辆B 型车；方案4：只租用7辆A 型车. 【迁移应用】1.某中学组织一批学生开展社会实践活动，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满，已知45座客车租金为每辆220元，60座客车租金为每辆300元.(1)这批学生的人数是多少？原计划租用45座客车多少辆？(2)若租用同一种客车，要使每位学生都有座位，应该怎样租用才合算？ (1)解：设这批学生的人数是x ，原计划租用45座客车y 辆. 根据题意，得{45y +15=x 60(y −1)=x解得{x =240y =5答：这批学生的人数为240，原计划租用45座客车5辆. (2)解：租45座客车：240÷45≈5.3(辆)， 所以需租6辆，租金为220×6=1320(元)； 租60座客车： 240÷60=4(辆)，所以需租4辆，租金为300×4=1200(元).因为1200<1320，所以租用4辆60座客车才合算.答：租用4辆60座客车才合算.2.妈妈去超市买牙刷和牙膏，已知购买4支牙刷和2盒牙膏需付68元；购买10支牙刷和7盒牙膏需付210元.(1)求牙刷和牙膏的单价；(2)正好赶上甲、乙两个超市打折优惠，两个超市的每个物品的原价均相同.甲超市：牙刷打九折，牙膏打八折；乙超市：每购买满10盒牙膏送3支牙刷.如果妈妈打算买13 盒牙膏和18支牙刷，那么去哪家超市比较划算？并说明理由.(1)解：设牙刷的单价为x元，牙膏的单价为y元.依题意得{4x+2y=6810x+7y=210解得{x=7y=20答：牙刷的单价为7元，牙膏的单价为20元.(2)解：去甲超市比较划算.理由如下：在甲超市购买所需费用为18×7×0.9+13×20×0.8=321.4(元)；在乙超市购买所需费用为13×20+(183)×7=365(元).∵365>321.4，∴去甲超市比较划算.。

第八章二元一次方程组《实际问题与二元一次方程组》教学设计第3课时一、教学目标1．会用二元一次方程组解决简单的实际问题，体会二元一次方程组与现实生活的联系.2．利用方程去反映现实生活中等量关系，体会方程方法的优越性.3．培养分析、解决问题的能力，体会二元一次方程组的应用价值，感受数学文化.二、教学重点及难点重点：能够根据具体的数量关系，列出二元一次方程组解决的实际问题.难点：学会利用二元一次方程组解决实际问题.三、教学用具多媒体课件.四、相关资源《实际问题与二元一次方程组--销售利润问题》微课等.五、教学过程【课堂导入】前面我们学习了利用二元一次方程组解决和差倍分、数字、年龄、生产配套等一些实际问题，下面继续学习利用二元一次方程组解决实际问题.设计意图：复习旧知识，引入新课.【新知讲解】1．探究.如图，长青化工厂与A，B两地有公路、铁路相连．这家工厂从A地购买一批每吨1 000元的原料运回工厂，制成每吨8 000元的产品运到B地．公路运价为1. 5元/(t·km)，铁路运价为1.2元/(t·km)，这两次运输共支出公路运费15 000元，铁路运费97 200元．这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？（1）要求“这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？”我们必须知道什么？销售款与产品数量有关，原料费与原料数量有关，而公路运费和铁路运费与产品数量和原料数量都有关．因此，我们必须知道产品的数量和原料的数量.（2）因为涉及的量较多，这种情况下常用列表的方式来处理，列表直观、简洁.本题涉及哪两类量呢？一类是公路运费，铁路运费，价值；另一类是产品数量，原料数量. （3）如何设未知数？销售款与产品数量有关，原料费与原料数量有关，而公路运费和铁路运费与产品数量和原料数量都有关．因此设产品重x 吨，原料重y 吨.（4）如何确定题中数量关系？ 列表分析⎩⎨⎧⨯⨯972001201102.11500010205.1）＝＋（）＝＋（y x y x 解这个方程组，得⎩⎨⎧400300＝＝y x 因为毛利润－销售款－原料费－运输费所以这批产品的销售款比原料费与运输的和多 元.设计意图：通过实例使学生初步学会设计适当的图表，帮助我们理清题目中的数量关系．再结合学生在以前的学习中已掌握的通过相等关系列方程的方法，使学生基本掌握运用图表去解决有关应用题的方法，从而提高学生分析问题和解决问题的能力．2．拓展学习下面我们来一起看下关于销售利润的问题是如何解答的.出示《实际问题与二元一次方程组--销售利润问题》，学生分析并回答.【典型例题】例1 体育文化用品商店购进篮球和排球共20个，进价和售价如下表，全部销售完后共获利润260元.（1）购进篮球和排球各多少个？（2）销售6个排球的利润与销售几个篮球的利润相等？分析：（1）设购进篮球x 个，购进排球y 个. 等量关系：①篮球数＋排球数＝20， ②篮球利润＋排球利润＝260（2）销售6个排球的利润与销售m 个篮球的利润相等. 等量关系：6个排球的利润＝m 个篮球的利润 用式子表示等量关系中的各量，即可得到方程. 解：（1）设购进篮球x 个，购进排球y 个. 依题意，得 ⎩⎨⎧2605060809520＝）－＋（）－（＝＋y x y x解此方程组，得 ⎩⎨⎧812＝＝y x 答：购进篮球12个，购进排球8个。

人教版数学七年级下册8.3《实际问题与二元一次方程组》教学设计一. 教材分析人教版数学七年级下册8.3《实际问题与二元一次方程组》这一节主要介绍了如何利用二元一次方程组解决实际问题。

学生在学习了二元一次方程组的基本概念和求解方法后，通过本节内容的学习，能够将理论知识应用于实际问题的解决，培养学生的数学应用能力。

本节内容主要包括二元一次方程组的建立、求解以及实际应用。

在建立方程组时，需要注意找出实际问题中的等量关系；在求解方程组时，要学会运用代入法、消元法等方法；在实际应用中，要能够将方程组的知识运用到生活中的各种问题中，如购物问题、行程问题等。

二. 学情分析七年级的学生已经掌握了二元一次方程组的基本概念和求解方法，具备了一定的数学基础。

但在解决实际问题时，部分学生可能还存在着将理论知识与实际问题脱节的情况，不知道如何将数学知识运用到生活中。

因此，在教学过程中，教师需要引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高学生的数学应用能力。

三. 教学目标1.理解二元一次方程组的实际意义，能够从实际问题中建立方程组。

2.掌握二元一次方程组的求解方法，能够灵活运用代入法、消元法等解决实际问题。

3.培养学生的数学应用能力，提高学生解决实际问题的积极性。

四. 教学重难点1.重难点：如何从实际问题中建立二元一次方程组，以及如何运用代入法、消元法求解方程组。

2.难点点：将理论知识与实际问题相结合，提高学生的数学应用能力。

五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生从实际问题中发现数学规律，建立方程组。

2.运用案例教学法，通过具体案例的分析，让学生掌握二元一次方程组的求解方法。

3.采用小组合作学习的方式，培养学生的团队协作能力和沟通能力。

4.利用多媒体辅助教学，增强课堂的趣味性，提高学生的学习兴趣。

六. 教学准备1.准备相关的生活案例，用于引导学生从实际问题中建立方程组。

2.准备PPT课件，用于展示解题过程和巩固知识点。