数学建模论文-传染病模型)

数学建模_传染病模型第一篇：数学建模_传染病模型传染病模摘要: 本次实验是让同学们进一步了解、巩固、加强微分方程模型的建模、求解能力；学习掌握用MATLAB进行二维和三维基本图形绘制。

因为MATLAB具有很强的图形处理功能和丰富的图形表现方法。

它提供了大量的二维、三维图形函数，使得数学计算结果可以方便地、多样性地实现可视化，这是其它语言所不能比拟的。

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MATLAB不仅具有高层绘图能力，而且还具有底层绘图能力——句柄绘图方法。

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描述传染病的传播过程，分析受感染人数的变化规律，预报传染病高潮到来的时刻，预防传染病蔓延的手段，按照传播过程的一般规律，用机理分析方法建立模型。

数学建模问题重述问题: 有一种传染病（如SARS、甲型H1N1）正在流行。

现在希望建立适当的数学模型，利用已经掌握的一些数据资料对该传染病进行有效地研究，以期对其传播蔓延进行必要的控制，减少人民生命财产的损失。

考虑如下的几个问题，建立适当的数学模型，并进行一定的比较分析和评价展望。

1、不考虑环境的限制，设单位时间内感染人数的增长率是常数，建立模型求t时刻的感染人数。

2、假设环境条件下所允许的最大可感染人数为。

单位时间内感染人数的增长率是感染人数的线性函数，最大感染时的增长率为零。

建立模型求t时刻的感染人数。

3、现有卫生防疫部门采集到的某地区一定时间内一定间隔区间的感染人数数据（见下表），利用该数据确定上述两个模型中的相关参数，并将它们的预测值与实际数据进行比较分析（计算仿真偏差）并对两个模型进行适当的评价。

（注：该问题中，设最大可感染人数为2000人）4、假设总人口可分为传染病患者和易感染者，易感染者因与患病者接触而得病，而患病者会因治愈而减少且对该传染病具有很强的免疫功能，建立模型分析t时刻患病者与易感染者的关系，并对传染情况（如流行趋势，是否最终消灭）进行预测。

第五章 微 分 方 程 模 型如果实际对象的某特性是随时间（或空间）变化的，那么分析它的变化规律，预测它的未来性态时，通常要建立此实际对象的动态模型，这就是微分方程模型.§1 传 染 病 模 型建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程，分析受感染人数的变化规律，预报传染病高潮的到来等，一直是各国有关专家和官员关注的课题.考虑某地区的传染病的传染情况，设该地区人口总数为N ，既不考虑生死，也不考虑迁移，时间以天为计量单位.一. SI 模 型假设条件：1. 人群分为易感染者(Susceptible )和已感染者(Infective )两类人，简称为健康人和病人，在时刻t 这两类人在总人数中所占比例分别记作()t s 和()t i .2. 每个病人每天有效接触的平均人数是λ(常数)，λ称为日接触率，当病人与健康人有效接触时，使健康者受感染变为病人.试建立描述()t i 变化的数学模型.解： ()()1=+t i t s ()()N N t i N t s =+∴由假设2知，每个病人每天可使()t s λ个健康者变为病人，又由于病人数为()t i N ，∴每天共有()()t i N t s λ个健康人被感染.于是i s N λ就是病人数i N 的增加率，即有i s N dt di Nλ=………………………………………………(1) i s dtdi λ=∴ 而1=+i s .又记初始时刻(0=t )病人的比例为0i ，则()()⎪⎩⎪⎨⎧=-=001i i i i dt di λ 这就是Logistic 模型，其解为 ()t e i t i λ-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=1111［结果分析］作出()t t i ~和i dt di ~的图形如下：1. 当21=i 时，dt di 取到最大值m dt di ⎪⎭⎫ ⎝⎛，此时刻为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-11ln 01i t m λ2. 当∞→t 时，1→i 即所有人终将被传染，全变为病人（这是不实际的）.二. SIS 模 型在前面假设1、2之下，再考虑病人可以医治，并且有些传染病如伤风、痢疾等愈后免疫力很低，可以假定无免疫性，于是病人被治愈后变成健康者，健康者还可以被感染再变成病人，此模型称SIS 模型.假设1、2同SI 模型，增加假设:3. 病人每天被治愈的人数占病人总数的比例为μ，称为日治愈率.病人治愈后成为易感染者（健康人）.显然μ1是这种传染病的平均传染期.解：在假设1、2、3之下，模型（1）修正为i N i Ns dtdi N μλ-= 于是 ()()⎪⎩⎪⎨⎧=--=001i i i i i dt di μλ解得()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+≠⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-=---　＝ －μλλμλμλλμλλμλ,1,11010i t e i t i t ［结果分析］1. 令μλσ=. 注意到λ和μ1的含义，可知σ是一个传染期内每个病人有效接触的平均人数，称为接触数.()⎪⎩⎪⎨⎧-=∞　011σi 11≤>σσ1-2. 接触数1=σ是一个阈值.当1≤σ时，病人比例()t i 越来越小，最终趋于零.当1>σ时，()t i 的增减性取决于0i 的大小，其极限值()σ11-=∞i .3. SI 模型是SIS 模型中0=μ的情形. 三. SIR 模 型大多数传染病如天花、流感、肝炎、麻疹等治愈后均有很强的免疫力，所以病愈的人既非健康者,也非病人,他们已经退出传染系统，此时模型的假设为1.人群分为健康者、病人和病愈免疫的移出者三类，称为SIR 模型.三类人在总人数N 中占的比例分别记作()i s 、()t i 和()t r .1. 病人的日接解率为λ，日治愈率为μ（与SIS 模型相同），传染期接触数为μλσ＝.解：由假设1，有()()()1=++t r t i t s 0=++∴dtdr dt di dt ds 由假设2，得i N dt dr N μ= N i N i s dt di N μλ-= ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==∴i i s dtdi i dt dr μλμ 又设()()()00,0,000===r i i s s 于是()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=-=00s 0s ,0i i i s dt ds ii s dt di λμλ (2)我们在相平面上来讨论解的性质.相轨线的定义域为(){}1s ,0,0s ,s ≤+≥≥=i i i D 由(2)式消去dt ，得⎪⎩⎪⎨⎧=-==0s s 01s 1s i i d di σ 这里 μλσ= 解得()000s s ln 1s -i s σ++=i ………………………………………(3) 在定义域D 内，(3)式表示的曲线即为相轨线..。

传染病感染问题研究一、 摘要:面对严重影响人类生活甚至生存的传染病感染问题，越来越多的人意识到研究其传染的严峻性和重要性。

许多学者和专家都投入了巨大的精力花费了许多时间来研究各种传染病的传播规律和预防手段,目的就是争取将其对人类的损害降到最低.利用数学模型，建立适当的假设然后对传染病感染问题进行适模拟然后进行研究,找出适当的预防手段是目前研究传染病传播比较流行的做法。

诚然对于现实的复杂和不可预测性我们在建立模型时是无法进行完整的模拟，只能对现实进行适当合理的假设。

因此本文就是就是在对传染病感染进行简单假设(孤岛疾病问题)的基础上对传染病感染问题进行数学建模并根据给出数据验证建模的准确性，分析模型的优缺点并给出改进方案。

二、 关键词：传染病 数学模型 微积分三、 引言:在人类生活中,一直受到各种传染病的困扰，造成各种影响范围巨大人数众多的死亡事件,如十四世纪四十年代肆虐欧洲的“黑死病”，共造成了全世界大约7500万人死亡，其中2500万为欧洲人约占欧洲总人口的三分之一,期间让整个欧洲出现了许多“空城"“死城”影响巨大。

虽然随着医学的进步，诸如霍乱、天花等曾肆虐全球的疾病已经得到了有效的控制，但是一些全新的,不断变异升级的传染病却不间断的向人类袭来,如二十世纪八十年代开始迅速传播艾滋病;以及2003年席卷全球肆虐整个中国的“非典型肺炎（SARS ）"和此后陆续出现的疯牛病、禽流感和猪流感都给人们的生活和生命带来极大的危害和困扰.长期以来，建立传统的传染病模型，模拟和描述传染病的传播过程，解释传播规律，分析受感染人群以及人数的变化规律，探索抑制和制止传染病传播和蔓延手段等,都是世界各国政府和专家学者们关注的课题之一。

研究传染病模型不可能通过实验获得数据，而且从医疗部门和卫生组织得到资料也是十分有限的，而且这些资料绝大多数是不完全和不充分的，同时由于不同的传染病传播的过程方式传染源各有不同，所以，我们只能按照一般的机理建立简单的模型。

甲型H1N1流感传播模型研究摘要本文采用了SIR模型对的甲型h1n1流感病毒的传播规律进行了研究和预测，文章收集了美国地区的甲流实验室确认病例数量的数据，对模型进行了验证，并提出了如何降低流感在人群中发病率的俩种可靠方法。

一、问题重述近年来由墨西哥发端的甲型h1n1型流感（又称猪流感）正成为人们关注的焦点，通过相关网站获得数据，建立一个模型对甲型h1n1流感的走势进行预测。

二、问题分析甲型h1n1流感的传播是一道传染病问题。

在数学建模领域已经有很多关于这方面的研究，其中SIR模型是比较完整的模型。

SIR模型通过建立微分方程组，按照一般的传播机理建立集中模型。

本文选取美国地区的甲流实验室确认病例数量，建立SIR模型，对甲型h1n1流感的传播规律进行预测。

美国甲型H1N1流感实验室确认病例数量：三、建立模型（一）、不考虑潜伏期的数学模型1、模型假设（1）、在甲型H1N1流感传播期内，美国境内的总人数为N亿不变，既不考虑生死，也不考虑迁移，人群分为易感染者S ，发病人群I 和退出人群R(括死亡者和治愈者)四类，时刻t 内这三类人在总人数中所占比例分别为s(t)、i(t)、r(t)。

（2）、i(t)关于时间的增长率与s(t)成正比，比例常数为λ。

病人的数量减少速度与当时的病人总人数成正比，比例常数为ν。

治愈的病人具有了免疫力，即治愈后不再会成为二次患者。

（3）、s(t)、r(t)、i(t)之和是一个常数1。

2、模型构成易感者和发病者有效接触后成为发病者者。

设每个发病者平均每天有效接触的易感者数为()S t λ，()NI t 个发病者平均每天能使()()S t NI t λ个易感者成为病毒潜伏者。

所以有：()()()dS t S t I t dtλ=- （1） 单位时间内退出者的变化等于发病人群的减少，即()()dR t I t dtν= （2） 发病人群的变化等于易感人群转入的数量，即()()()()dI t S t I t I t dtλν=- （3） 记初始时刻的健康者和病人的比例分别为0S 、0R （不妨设0R =0）。

传染病的传播及控制分析摘要为进一步探索传染病的传播和流行规律及其与防治措施的关系，本文通过建立传染病的传播模型，了解传染病的扩散传播规律，为预测和控制传染病提供可靠、足够的信息。

本文针对该问题建立了SEIR微分方程模型，对病毒的传播过程进行了模拟分析，得出了患者人数随时间的变化规律。

我们将人群分为五类：患者、疑似患者、正常人、治愈者和死亡者。

前三者作为传染系统。

我们认为治愈者获得终身免疫，和死亡者一样移出传染系统，即后两者合并为移出者。

本模型将病毒的传染与扩散分为两个部分：控制前和控制后。

在控制前，相当于没有对病毒扩散做任何限制，患者数量短时间内大量增长，并以死亡的形式退出传染系统；在控制后，由于对潜伏者进行了一定强度的隔离，与此同时，确诊患者得到有效的治疗，使得传染源数量减少，患者平均每天接触的人数减少，治愈者增多，并作为主要的移出者移出传染系统。

在模型建立的基础上，通过Matlab软件拟合出患者人数随时间变化的曲线关系图，得到如下结果：控制前，患者人数呈指数增长趋势；控制后，在p=0.4时，患者人数大致在7天时到达最大值，在25天时基本没有患者；在p=0.3时，患者人数大概在第8天到达最大值186383，大概在28天之后基本没有患者；在p=0.6时，大概在第5天患者人数到达峰值为47391，在21天时基本没有患者。

综上分析，对隔离强度的处理是控制传染病的一个重要手段。

针对所得结果，对H7N9的传播控制时提出了医院、政府和个人应有的一些控制措施。

关键词：隔离强度潜伏期SEIR模型一、问题重述：2013年中，H7N9是网上的热点，尤其是其高致死率，引起了人们的恐慌，最近又有研究显示，H7N9有变异的可能。

假设已知有一种未知的现病毒[1]潜伏期为a:a天，患病者的治愈时间为a天，假设该病毒可以通过人与人之间的直接接123触进行传播，患者每天接触的人数为r，因接触被感染的概率为λ(λ为感染率)。

为了控制疾病的传播与扩散，将人群分成五类，患者、疑似患者、治愈者、死亡者、正常人。

传染病的传播摘要：本文先根据材料提供的数据建立了指数模型，并且全面地评价了该模型的合理性与实用性。

而后对模型与数据做了较为扼要地分析了指数模型的不妥之处。

并在对问题进行较为全面评价的基础上引入更为全面合理的假设和建立系统分析模型。

运用联立微分方程组体现疫情发展过程中各类人的内在因果联系，并在此基础上建立方程求解算法结合MATLAB 编程(程序在附件二)拟合出与实际较为符合的曲线并进行了疫情预测。

同时运用双线性函数模型对卫生部的措施进行了评价并给出建议以及指出建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型，这样做的困难本文的最后，通过本次建模过程中的切身体会，说明建立如SARS 预测模型之类的传染病预测模型的重要意义。

关键词：微分方程 SARS 数学模型 感染率1问题的重述SARS （Severe Acute Respiratory Syndrome ，严重急性呼吸道综合症, 俗称：非典型肺炎）是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。

SARS 的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响，我们从中得到了许多重要的经验和教训，认识到定量地研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性。

请你们对SARS 的传播建立数学模型，具体要求如下：1)建立传染病传播的指数模型，评价其合理性和实用性。

2)建立你们自己的模型，说明为什么优于指数模型；特别要说明怎样才能建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型，这样做的困难在哪里？对于卫生部门所采取的措施做出评论，如：提前或延后5天采取严格的隔离措施，对疫情传播所造成的影响做出估计。

附件1提供的数据供参考。

3)说明建立传染病数学模型的重要性。

2 定义与符号说明N …………………………………表示为SARS 病人的总数；K （感染率）……………………表示为平均每天每人的传染他人的人数；L …………………………………表示为每个病人可能传染他人的天数；dt dN(t)………………………… 表示为每天（单位时间）发病人数；N(t)-N(t-L)………………………表示可传染他人的病人的总数减去失去传染能力的病人数；t …………………………………表示时间；R 2………………………………表示拟合的均方差； 3 建立传染病传播的指数模型3.1模型假设1) 该疫情有很强的传播性，病人（带菌者）通过接触（空气，食物，……）将病菌传播给健康者。

甲型H1N1流感传播模型研究摘要本文采用了SIR模型对的甲型h1n1流感病毒的传播规律进行了研究和预测，文章收集了美国地区的甲流实验室确认病例数量的数据，对模型进行了验证，并提出了如何降低流感在人群中发病率的俩种可靠方法。

一、问题重述近年来由墨西哥发端的甲型h1n1型流感（又称猪流感）正成为人们关注的焦点，通过相关网站获得数据，建立一个模型对甲型h1n1流感的走势进行预测。

二、问题分析甲型h1n1流感的传播是一道传染病问题。

在数学建模领域已经有很多关于这方面的研究，其中SIR模型是比较完整的模型。

SIR模型通过建立微分方程组，按照一般的传播机理建立集中模型。

本文选取美国地区的甲流实验室确认病例数量，建立SIR模型，对甲型h1n1流感的传播规律进行预测。

美国甲型H1N1流感实验室确认病例数量：三、建立模型（一）、不考虑潜伏期的数学模型1、模型假设（1）、在甲型H1N1流感传播期内，美国境内的总人数为N 亿不变，既不考虑生死，也不考虑迁移，人群分为易感染者S ，发病人群I 和退出人群R(括死亡者和治愈者)四类，时刻t 内这三类人在总人数中所占比例分别为s(t)、i(t)、r(t)。

（2）、i(t)关于时间的增长率与s(t)成正比，比例常数为λ。

病人的数量减少速度与当时的病人总人数成正比，比例常数为ν。

治愈的病人具有了免疫力，即治愈后不再会成为二次患者。

（3）、s(t)、r(t)、i(t)之和是一个常数1。

2、模型构成易感者和发病者有效接触后成为发病者者。

设每个发病者平均每天有效接触的易感者数为()S t λ，()NI t 个发病者平均每天能使()()S t NI t λ个易感者成为病毒潜伏者。

所以有：()()()dS t S t I t dtλ=- （1） 单位时间内退出者的变化等于发病人群的减少，即()()dR t I t dtν= （2） 发病人群的变化等于易感人群转入的数量，即()()()()dI t S t I t I t dtλν=- （3） 记初始时刻的健康者和病人的比例分别为0S 、0R （不妨设0R =0）。

§12 传染病模型建立传染病模型的目的是描述传染过程、分析受感染人数的变化规律、预报高潮期到来的时间等等。

为简单起见假定，传播期间内所观察地区人数N 不变，不计生死迁移，时间以天为计量单位。

模型（一）（SI 模型） 模型假设1、人群分为健康者和病人，在时刻t 这两类人中所占比例分别为)(t s 和)(t i ，即1)()(=+t i t s 。

2、平均每个病人每天有效接触人数是常数λ，即每个病人平均每天使)(t s λ个健康者受感染变为病人，λ称为日接触率。

模型建立与求解据假设，在时刻t ，每个病人每天可使)(t s λ个健康者变成病人，病人数为)(t Ni ，故每天共有)()(t i t Ns λ个健康者被感染，即Nsi dtdiNλ= 又由假设1和设0=t 时的比例0i ，则得到模型⎪⎩⎪⎨⎧=-=0)0()1(i i i i dt diλ （1）（1）的解为te i t i λ--+=)11(11)(0（2）21i m dtdi )(m 21i模型解释1、当21=i 时，dt di 达最大值，这个时刻为)11ln(01-=-i t m λ，即高潮到来时刻，λ越大，则m t 越小。

2、当∞→t 时1→i ，这即所有的人都被感染，主要是由于没有考虑病人可以治愈，只有健康者变成病人，病人不会再变成健康者的缘故。

模型（二）（SIS 模型） 在模型（一）中补充假设3、病人每天被治愈的占病人总数的比例为μ，称为日治愈率。

模型修正为⎪⎩⎪⎨⎧=--=0)0()1(i i ii i dt diμλ （t 时刻每天有μNi 病人转变成健康者） （3）（3）的解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+≠--+-=----μλλμλμλλμλλμλ101)(0)1(])1([)(i t e i t i t （4） 可以由（3）计算出使dt di 达最大的高潮期m t 。

（dt di 最大值m dt di )(在λμλ2-=i 时达到）。