培优讲义一《集合》

适用于教育机构高考数学专题辅导讲义年级：辅导科目：数学课时数：课题集合与简易逻辑教学目的教学内容1.知识网络1、集合2、简易逻辑二、命题分析1．高考对集合的考查主要有两种形式：一种是考查集合的概念、集合之间的关系和运算；另一种是以集合为工具，考查对集合语言、集合思想的理解和运用，往往与映射、函数、方程、不等式等知识融合在一起，体现出一种小题目综合化的命题趋势，预计2012年高考仍会采用选择题或填空题的方式进行考查，且难度不大．2．高考对常用逻辑用语的考查主要体现在以下三个方面：一是考查对四种命题之间关系的理解；二是考查对充分、必要条件的推理与判断；三是考查常用逻辑联结词及全称命题、特称命题的理解、掌握情况．命题时一般以基本概念为考查对象，综合三角、不等式、函数、数列、立体几何、解析几何中的相关知识进行考查，题型以选择、填空题为主打题型，预计2012年这里出解答题的可能性不大．三、复习建议1．重视对概念的理解，提高计算速度，强化书写的规范性，注意解题中Venn图或数轴的应用．提高以集合的概念、关系、运算等为考查对象的题目的得分率．2．重视与函数、方程、不等式、三角函数、数列、解析几何、立体几何等各类知识的融汇贯通，可在一轮复习中，循序渐进地提高解这类题目的能力和水平．3．对于四种命题的复习，要注意结合实际问题，明确等价命题的意义，认真体会其中涉及的化归思想和等价转化思想．4．全称量词、存在量词以及全称命题、特称命题的复习，要遵循新课标及考纲的要求，理解要到位、判断要准确，A ．M ＝NB ．M ⊂NC ．M ⊃ND ．M ⊆N [分析] 根据集合的表示法可先将集合化简，而后看其关系便可获解． [答案] A[解析] 由x ＝5－4a ＋a 2(a ∈R)，得x ＝(a －2)2＋1≥1，故M ＝{x |x ≥1}．由y ＝4a 2＋4a ＋2(a ∈R)，得y ＝(2a ＋1)2＋1≥1. 故N ＝{y |y ≥1}，故M ＝N .故选A.[点评] 一般地，对于两个或两个以上集合，要判断它们之间的关系，应先将集合进行化简，弄清每一个集合中的元素的个数或范围，然后判断集合间的关系.3.命题方向：集合的运算[例3] (2011·广东中山质检)设集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋(a 2－5)＝0}． (1)若A ∩B ＝{2}，求实数a 的值； (2)若A ∪B ＝A ，求实数a 的取值范围．[分析] 对于含参数的集合的运算，首先解出不含参数的集合，而后根据已知条件求参数． [解析] 由x 2－3x ＋2＝0得x ＝1或x ＝2，故集合A ＝{1,2}． (1)∵A ∩B ＝{2}，∴2∈B ，代入B 中的方程，得a 2＋4a ＋3＝0⇒a ＝－1或a ＝－3； 当a ＝－1时，B ＝{x |x 2－4＝0}＝{－2,2}，满足条件； 当a ＝－3时，B ＝{x |x 2－4x ＋4＝0}＝{2}，满足条件； 综上，a 的值为－1或－3； (2)对于集合B ，Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－5)＝8(a ＋3)． ∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，①当Δ<0，即a <－3时，B ＝∅满足条件； ②当Δ＝0，即a ＝－3时，B ＝{2}，满足条件； ③当Δ>0，即a >－3时，B ＝A ＝{1,2}才能满足条件，则由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧1＋2＝－2(a ＋1)1×2＝a 2－5⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－52a 2＝7，矛盾；综上，a 的取值范围是a ≤－3.[点评] (1)在解答过程中易出现求得a 值后不验证是否适合题意或在B ⊆A 中漏掉B ＝∅的情况，导致此种错误的原因是：没有熟练掌握集合的概念或集合与空集之间的关系；(2)解决含参数问题的集合运算，首先要理清题目要求，看清集合间存在的相互关系，注意分类整合、数形结合思想的应用以及空集作为一个特殊集合与非空集合间的关系，在解题中漏掉它极易导致错解．(2)四种命题间的逆否关系(3)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性 没有关系 ． 3．充分条件与必要条件(1)如果p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的 ． (2)如果p ⇒q ，q ⇒p ，则p 是q 的 ．4．特别注意：命题的否命题是既否定命题的条件，又否定命题的结论；而命题的否定是只否定命题的结论． （三）基础自测1．(2010·江西文)对于实数a ，b ，c ，“a >b ”是“2ac >2bc ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 [答案] B[解析] 本题考查了充要条件的判定及不等式的性质，难度不大，2ac >2bc ⇒a >b (已认可2c >0)成立， 而a >b ⇒2ac >2bc ，∵c ＝0，不适合，故选B.2．(2010·天津理)命题“若f (x )是奇函数，则f (－x )是奇函数”的否命题是( ) A ．若f (x )是偶函数，则f (－x )是偶函数 B ．若f (x )不是奇函数，则f (－x )不是奇函数 C ．若f (－x )是奇函数，则f (x )是奇函数 D ．若f (－x )不是奇函数，则f (x )不是奇函数 [答案] B[解析] “若p 则q ”的否命题为“若¬p 则¬q ”，故选B.3．(2011·银川模拟)关于命题“若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下，则{x |ax 2＋bx ＋c <0}≠∅”的逆命题、否命题、p ：α<β，q ：tan α<tan β.[解析] (1)若a ＋b ＝2，圆心(a ，b )到直线x ＋y ＝0的距离d ＝|a ＋b |2＝2＝r ，所以直线与圆相切．反之，若直线与圆相切，则|a ＋b |＝2，∴a ＋b ＝±2， 故p 是q 的充分不必要条件．(2)若|x |＝x ，则x 2＋x ＝x 2＋|x |≥0成立；反之，若x 2＋x ≥0，即x (x ＋1)≥0，则x ≥0或x ≤－1. 当x ≤－1时，|x |＝－x ≠x ， 因此，p 是q 的充分不必要条件． (3)∵l ∥α⇒ l ∥m ，但l ∥m ⇒l ∥α， ∴p 是q 的必要不充分条件．(4)∵x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2时， 正切函数y ＝tan x 是单调递增的，∴当α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，且α<β时，tan α<tan β，反之也成立． ∴p 是q 的充要条件．[点评] 充分条件与必要条件的判断方法有： 1．利用定义判断(1)若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件； (2)若q ⇒p ，则p 是q 的必要条件； (3)若p ⇒q 且q ⇒p ，则p 是q 的充要条件； (4)若p ⇒q 且q ⇒ p ，则p 是q 的充分不必要条件； (5)若p ⇒ q 且q ⇒p ，则p 是q 的必要不充分条件；(6)若p ⇒ q ，且q ⇒ p ，则p 是q 的既不充分也不必要条件． 2．利用集合判断记条件p 、q 对应的集合分别为A 、B ，则： 若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件； 若A ⊂B ，则p 是q 的充分不必要条件； 若A ⊇B ，则p 是q 的必要条件；。

第一章 集合1.1 集合的含义及其表示1．集合的概念：一般地，指定的某些对象的全体称为集合。

集合常用大写的拉丁字母来表示，如集合A 、集合B ……集合中的每一个对象称为该集合的元素。

集合的元素常用小写的拉丁字母来表示。

如a 、b 、c 、p 、q …… 指出下列对象是否构成集合，如果是，指出该集合的元素。

（1）我国的直辖市； （2）五中高一（1）班全体学生；（3）较大的数 2．关于集合的元素的特征（1）确定性：设A 是一个给定的集合，x 是某一个具体对象，则或者是A 的元素，或者不是A 的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。

（2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素。

（3）无序性：一般不考虑元素之间的顺序，但在表示数列之类的特殊集合时，通常按照习惯的由小到大的数轴顺序书写。

3．集合元素与集合的关系用“属于”和“不属于”表示； （1）如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a ∈A（2）如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作a ∉A （“∈”的开口方向，不能把a ∈A 颠倒过来写）4．集合的分类：一般地，我们把含有限个元素的集合叫有限集； 把含无限个元素的集合叫无限集；把不含有任何元素的集合叫作空集，记为∅。

空集就是不含任何元素的集合。

注：1，区分{0}和∅ 2，区分∅和{∅} 5．数的集合简称数集。

常用数集的记法：（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合记作N ，{} ,2,1,0=N（2）正整数集：非负整数集内排除0的集记作N *或N + {} ,3,2,1*=N（3）整数集：全体整数的集合记作Z , {} ，，，210±±=Z （4）有理数集：全体有理数的集合记作Q , {}整数与分数=Q（5）实数集：全体实数的集合记作R {}数数轴上所有点所对应的=R6．集合的表示方法：（1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内。

第01讲集合一、知识梳理1.元素与集合(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.(2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉.(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法.2.集合间的基本关系文字语言符号语言集合间的基本关系相等集合A与集合B中的所有元素都相同A＝B 子集集合A中任意一个元素均为集合B中的元素A⊆B 真子集集合A中任意一个元素均为集合B中的元素，且集合B中至少有一个元素不是集合A中的元素BA⊂≠空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集3.集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集符号表示A∪B A∩B 若全集为U，则集合A 的补集为∁U A图形表示集合表示{x|x∈A，或x∈B}{x|x∈A，且x∈B}{x|x∈U，且x∉A} 4.集合的运算性质(1)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A.(2)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A.(3)A∩(∁U A)＝∅，A∪(∁U A)＝U，∁U(∁U A)＝A.[方法技巧]1.若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个.2.子集的传递性：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C.3.A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁U A⊇∁U B.4.∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)，∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B).二、经典例题考点一 集合的基本概念【例1-1】（2020·海南省海南中学高三月考）若S 是由“我和我的祖国”中的所有字组成的集合，则S 的非空真子集个数是（ ） A ．62B ．32C ．64D ．30规律方法 1.研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义.2.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合中的元素是否满足互异性. 考点二 集合间的基本关系【例2-1】（2020·天津市滨海新区塘沽第一中学高三二模）已知集合|03x A x Z x ⎧⎫=∈≤⎨⎬+⎩⎭，则集合A 真子集的个数为（ ） A ．3B ．4C ．7D ．8规律方法 1.若B ⊆A ，应分B ＝∅和B ≠∅两种情况讨论.2.已知两个集合间的关系求参数时，关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系.解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn 图，化抽象为直观进行求解. 考点三 集合的运算【例3-1】（2020·全国高三一模（文））已知集合{}|15A x x =-≤≤，{}2|23B x x x =->，则A B =（ ）A ．5}|3{x x <≤B ．{|15}x x -≤≤C ．{|1x x <-或3}x >D ．R【例3-2】（2020·安徽省六安一中高一月考）已知集合{}2230A x x x =-->，(){}lg 11B x x =+≤，则()R A B =（ ）A ．{}13x x -≤< B ．{}19x x -≤≤ C ．{}13x x -<≤D ．{}19x x -<<规律方法 1.进行集合运算时，首先看集合能否化简，能化简的先化简，再研究其关系并进行运算.2.注意数形结合思想的应用.(1)离散型数集或抽象集合间的运算，常借助Venn图求解.(2)连续型数集的运算，常借助数轴求解，运用数轴时要特别注意端点是实心还是空心.(3)集合的新定义问题：耐心阅读，分析含义，准确提取信息是解决这类问题的前提，剥去新定义、新法则、新运算的外表，利用所学的集合性质等知识将陌生的集合转化为我们熟悉的集合，是解决这类问题的突破口.[思维升华]1.集合中的元素的三个特征，特别是无序性和互异性在解题时经常用到.解题后要进行检验，要重视符号语言与文字语言之间的相互转化.2.对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续数集间的关系，求其中参数的取值范围时，要注意单独考察等号能否取到.3.对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助Venn图.这是数形结合思想的又一体现.[易错防范]1.集合问题解题中要认清集合中元素的属性(是数集、点集还是其他类型集合)，要对集合进行化简.2.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防止漏解.3.解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系.4.Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心.。

1.1 集合的含义及其表示一、知识梳理1．集合的定义2．元素与集合的关系3．集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性4．常用数集及其记法：5．集合的表示方法：二、例题讲解例1：集合M中的元素为1，x，x2-x，求x的范围？例2：三个元素的集合1，a，ba，也可表示为0，a2，a+b，求a2005+ b2006的值．例3：集合A中的元素由(a∈Z,b∈Z)组成，判断下列元素与集合A的关系？（1）0 （2（3例4．用描述法表示下列集合：（1）所有被3整除的整数的集合；（2）使yx=有意义的x的集合；（3）方程x2+x+1=0所有实数解的集合；（4）抛物线y=-x2+3x-6上所有点的集合；例5．已知A={a|6,3N a Za∈∈-}，试用列举法表示集合A．例6．已知集合P={-1,a,b}，Q={-1,a2,b2}，且Q=P，求1+a2+b2的值．三、巩固练习1、用∈或∉填空________N________R0_______N* π________R 227_______Q cos300_______Z2、由实数-x，|x|x，组成的集合最多含有元素的个数是_________________个.3、用列举法表示下列集合：(1) {x|x为不大于10的正偶数}(2){(x,y)|0≤x ≤2，0≤y<2，x ，y ∈Z}4、用描述法表示下列集合：(1)不等式2x-3>5的解集；(2)直角坐标平面内属于第四象限的点的集合；5、集合A={x|y=x 2+1}，B={t|p=t 2+1}，，这三个集合的关系？ 6、已知A={x|12,6N x N x∈∈-}，试用列举法表示集合A ．1.2 子集、全集、补集一、知识梳理1．子集的概念及记法：2．子集的性质：① A ⊆ A② A ∅⊆3．真子集的概念及记法：4．真子集的性质：①∅是任何非空集合的真子集5．全集的概念：6． 补集的概念：二、例题讲解例1：以下各组是什么关系，用适当的符号表示出来．（1）a 与{a} 0 与 ∅（2）∅与{20，35，∅} （3）S={-2，-1，1，2}，A={-1，1}，B={-2，2}；（4）S=R ，A={x|x ≤0，x ∈R}，B={x|x>0 ，x ∈R }；例2：设集合A={x|x 2+4x=0，x ∈R}，B={x|x 2+2(a+1)x+a 2-1=0，x ∈R}，若B ⊆A ，求实数a 的取值范围．例3：①方程组210360x x +>⎧⎨-≤⎩的解集为A ，U=R ，试求A 及u C A ． ②设全集U=R ，A={x|x>1}，B={x|x+a<0}，B 是R C A 的真子集，求实数a 的取值范围．三、巩固练习1．指出下列各组中集合A 与B 之间的关系．(1) A={-1，1}，B=Z ；(2)A={1，3，5，15}，B={x|x 是15的正约数}；(3) A = N*，B=N(4) A ={x|x=1+a 2,a ∈N*}，B={x|x=a 2-4a+5,a ∈N*}2．（1）已知{1，2 }⊆M ⊆{1，2，3，4，5}，则这样的集合M 有多少个？（2）已知M={1，2，3，4，5，6， 7,8，9}，集合P 满足：P ⊆M ，且若P α∈，则10-α∈P ，则这样的集合P 有多少个？3.若U=Z ，A={x|x=2k ，k ∈Z}，B={x|x=2k+1， k ∈Z}，则U C A ___________ U C B ___________：4．设全集是数集U={2，3，a 2+2a-3}，已知A={b ，2}，U C A ={5}，求实数a ，b 的值．5．已知集合A={x|x 2-1=0 }，B={x|x 2-2ax+b=0},B ⊆ A ，求a ，b 的取值范围．1.3 交集、并集一、知识梳理1．交集的定义：注意： 当集合A 与B 没有公共元素时，不能说A 与B 没有交集，而是A ∩B=∅.2．交集的常用性质：（1）(A ∩B)∩C =A ∩(B ∩C)；（2） A ∩B ⊆A ， A ∩B ⊆B3．区间的表示法：4．并集的定义：注意：并集（A ∪B ）实质上是A 与B 的所有元素所组成的集合，但是公共元素在同一个集合中要注意元素的互异性.5．并集的常用性质：（1）(A ∪B)∪C =A ∪(B ∪C)；（2） A ⊆A ∪B ， B ⊆A ∪B二、例题讲解例1． （1）设A={-1，0，1}，B={0，1，2，3}，求A ∩B ；（2）设A={x|x>0}，B={x|x≤1}，求A∩B；（3）设A={x|x=3k，k∈Z}，B={y|y=3k+1 k∈Z }，C={z|z=3k+2，k∈Z}，D={x|x=6k+1，k∈Z}，求A∩B；A∩C；C∩B；D∩B；例2：已知数集 A={a2，a+1，-3}，数集B={a-3,a-2，a2+1}，若A∩B={-3}，求a的值．例3：（1）设集合A={y|y=x2-2x+3，x∈R}，B={y|y=-x2+2x+10，x∈R}，求A∩B；（2）设集合A={(x,y)|y=x+1，x∈R}，B={(x,y)|y=-x2+2x+34，x∈R}，求A∪B；例4：已知集合A={x|x2-1=0 }，B={x|x2-2ax+b=0}，A∪B=A，求a，b的值或a,b所满足的例5：若A={x|x2-ax+a2-19=0}，B={x|x2-5x+6=0}，C={x|x2+2x-8=0}，（1）若A∪B=A∩B，求a的值；（2）∅ A∩B，A∩C=∅，求a的值．例6：已知集合A={2，5}，B={x|x2+px+q=0，x∈R}（1）若B={5}，求p，q的值．（2）若A∩B= B ，求实数p，q满足的条件．例10、已知集合A={x|－2<x<－1，或x>0}，B={x|a≤x≤b}，满足A∩B={x|0<x≤2}，A∪B={x|x>－2}，求a、b的值。

第1讲集合理清双基1、集合的有关概念（1）、集合的含义与表示：研究对象的全体称为集合。

对象为集合的元素。

通常用大写字母A 、B 、C 、D 表示。

元素与集合的关系∈与∉（2）、集合元素的特征（三要素）：①确定性：②互异性：③无序性：【例】1.设R b a ∈,，集合},,0{},,1{b aba b a =+，则=-a b ________.（3）、集合的分类：①有限集②无限集③空集：∅（4）、集合的表示方法:①自然语言②列举法③描述法④venne 法【例】2.分析下列集合间的关系}1{2+==x y y A }1{2+==x y x B }1),{(2+==x y y x C }1{2+==x t t D 3.集合}{抛物线=A }{直线=B ，则B A 的元素个数下列说法正确的是（）一个（B ）二个（C ）一个、二个或没有（D ）以上都不正确变式：集合})0(),{(2≠++==a c bx ax y y x A })0(|),{(≠+==k b kx y y x B ，则B A 的元素个数为（）说明：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。

2.集合间的关系（1）子集：（2）相等关系：（3）真子集：说明：任何一个集合是它本身的子集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

【例】4.设⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z k k x x M ,412,⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z k k x x N ,214，则M 与N 的关系正确的是（）A.NM = B.NM ≠⊂ C.NM ≠⊃ D.以上都不对5.已知集合}.121|{},72|{-<<+=≤≤-=m x m x B x x A 。

若A B ⊆，则实数m 的取值范围是()A ．43≤≤-m B ．43<<-m C ．42≤<m D ．4≤m 3.集合的基本运算（1）交集（2）并集（3）补集全集【例】6.已知集合}1{2+==x y y M ，}9{2x y x N -==，则=N M ________4、集合运算中常用结论（1）等价关系B A A B A ⊆⇔= AB A B A ⊆⇔=【例】7.已知集合}{},1{a x x B x x A ≥=≤=，且R B A = ，则实数a 的取值范围为____（2）反演律（德摩根定律）)()()(B C A C B A C U U U =)()()(B C A C B A C U U U =【例】8.设全集}5,4,3,2,1{=U ，集合S 与T 都是U 的子集，满足}2{=T S ，}4{)(=T S C U ，}5,1{)()(=T C S C U U 则有()A ．TS ∈∈3,3B ．TC S U ∈∈3,3C ．TS C U ∈∈3,3D ．TC S C U U ∈∈3,39.由)(+∈N n n 个元素组成的集合A 的子集个数：A 的子集有n2个，非空子集有)12(-n 个，真子集有)12(-n 个，非空真子集有)22(-n 个【考点分析】考点一集合的基本概念【例1】1.已知集合},,|),{(},5,4,3,2,1{A y x A y A x y x B A ∈+∈∈==则B 中所含元素的个数为()A ．3B ．6C ．8D ．102.集合A 是由形如()Z n Z m n m ∈∈+,3的数构成的，判断321-是不是集合A 中的元素.3.数集A 满足条件：若A a ∈，则)1(11≠∈-+a A a a ．若A ∈31，求集合中的其他元素.4.已知},,2|{R k N x k x x P ∈∈<<=，若集合P 中恰有3个元素，则实数k 的取值范围是________.5.已知集合}023|{2=+-=x ax x A .（1）若A 是单元素集合，求集合A ；（2）若A 中至少有一个元素，求a 的取值范围．►归纳提升解答集合的概念问题应关注两点(1)研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性，对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合的元素是否满足互异性。

第1章集合与常用逻辑用语第1节集合1．元素与集合(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．(2)集合中元素与集合的关系：元素与集合之间的关系有属于和不属于两种，表示符号为∈和∉.(3)集合的表示法：列举法、描述法、Venn图．2．集合间的基本关系描述关系文字语言符号语言集合间的基本关系子集A中任意一元素均为B中的元素A⊆B或B⊇A 真子集A中任意一元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素A中没有A B或B A 相等集合A与集合B中的所有元素都相同A＝B集合与集合之间的关系：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C，空集是任何集合的子集，含有n个元素的集合的子集数为2n，真子集数为2n－1，非空真子集数为2n－23．集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集符号表示A∪B A∩B 若全集为U，则集合A的补集为∁U A图形表示意义{x|x∈A，或x∈B}{x|x∈A，且x∈B}{x|x∈U，且x∉A}1．认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件．2．要注意区分元素与集合的从属关系；以及集合与集合的包含关系．3．易忘空集的特殊性，在写集合的子集时不要忘了空集和它本身．4．运用数轴图示法易忽视端点是实心还是空心．5．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误．考点一集合的含义与表示1. 正确理解集合的概念研究一个集合，首先要看集合中代表元素的属性(是点集、数集或其他情形)，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么．注意区分{x|y ＝f(x)}、{y|y＝f(x)}、{(x，y)|y＝f(x)}三者的不同．对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合的元素是否满足互异性．2. 注意元素的互异性对于集合相等首先要分析已知元素与另一个集合中哪一个元素相等，分几种情况列出方程(组)进行求解，要注意检验是否满足互异性．3．注意空集的特殊性空集是不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集．在解题时，若未明确说明集合非空时，要考虑到集合为空集的可能性．例如：A⊆B，则需考虑A＝∅和A≠∅两种可能的情况．1．（2013福建，5分）若集合A＝{1,2,3}，B＝{1,3,4}，则A∩B的子集个数为() A．2B．3 C．4 D．16解析：本题主要考查集合的交集及子集的个数等基础知识，意在考查考生对集合概念的准确理解及集合运算的熟练掌握．A∩B＝{1,3}，故A∩B的子集有4个．答案：C2．（2013江西，5分）若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}中只有一个元素，则a＝() A．4 B．2 C．0 D．0或4解析：本题主要考查集合的表示方法(描述法)及其含义，考查化归与转化、分类讨论思想．由ax2＋ax＋1＝0只有一个实数解，可得当a＝0时，方程无实数解；当a≠0时，则Δ＝a2－4a＝0，解得a＝4(a＝0不合题意舍去)．答案：A3．（2013山东，5分）已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A, y∈A}中元素的个数是()A．1 B．3 C．5 D．9解析：本题考查集合的含义，考查分析问题、解决问题的能力．逐个列举可得．x＝0，y ＝0,1,2时，x－y＝0，－1，－2；x＝1，y＝0,1,2时，x－y＝1,0，－1；x＝2，y＝0,1,2时，x －y＝2,1,0.根据集合中元素的互异性可知集合B的元素为－2，－1,0,1,2.共5个．答案：C4．（2011广东，5分）已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y 为实数，且x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|x ，y 为实数，且x ＋y ＝1}，则A ∩B 的元素个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1x ＋y ＝1消去y 得x 2－x ＝0，解得x ＝0或x ＝1，这时y ＝1或y ＝0，即A ∩B ＝{(0,1)，(1,0)}，有两个元素．答案：C5．已知集合M ＝{1，m }，N ＝{n ，log 2n }，若M ＝N ，则(m －n )2 013＝________.解析：由M ＝N 知⎩⎪⎨⎪⎧ n ＝1，log 2n ＝m 或⎩⎪⎨⎪⎧ n ＝m ，log 2n ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝0，n ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝2. 答案：－1或06．已知集合A ＝{m ＋2,2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为________．解析：因为3∈A ，所以m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3.当m ＋2＝3，即m ＝1时，2m 2＋m ＝3， 此时集合A 中有重复元素3，所以m ＝1不符合题意，舍去；当2m 2＋m ＝3时，解得m ＝－32或m ＝1(舍去)，此时当m ＝－32时，m ＋2＝12≠3符合题意．所以m ＝－32. 答案：－327．（2010福建，5分）设非空集合S ＝{x |m ≤x ≤l }满足：当x ∈S 时，有x 2∈S .给出如下三个命题：①若m ＝1，则S ＝{1}；②若m ＝－12，则14≤l ≤1；③若l ＝12，则－22≤m ≤0. 其中正确命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：若m ＝1，则x ＝x 2，可得x ＝1或x ＝0 (舍去)，则S ＝{1}，因此命题①正确；若m ＝－12，当x ＝－12时，x 2＝14∈S ，故l min ＝14，当x ＝l 时，x 2＝l 2∈S ，则l ＝l 2可得，可得l ＝1或l ＝0(舍去)，故l max ＝1，∴14≤l ≤1，因此命题②正确；若l ＝12，则⎩⎨⎧ m ≤12m ≤m 2≤12，得－22≤m ≤0，因此命题③正确． 答案：D考点二 集合的基本关系1．已知两集合的关系求参数时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图帮助分析．2．当题目中有条件B⊆A时，不要忽略B＝∅和A=B的情况．1．（2013新课标全国Ⅰ，5分）已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{x|x＝n2，n∈A}，则A∩B ＝()A．{1,4}B．{2,3} C．{9,16} D．{1,2}解析：本题主要考查集合的基本知识，要求认识集合，能进行简单的运算．n＝1,2,3,4时，x＝1,4,9,16，∴集合B＝{1,4,9,16}，∴A∩B＝{1,4}．答案：A2.(2013新课标全国Ⅱ，5分)已知集合M＝{x|－3<x<1}，N＝{－3，－2，－1,0,1}，则M∩N ＝()A．{－2，－1,0,1}B．{－3，－2，－1,0}C．{－2，－1,0} D．{－3，－2，－1}解析：本题主要考查集合的基本运算，意在考查考生对基本概念的理解．由交集的意义可知M∩N＝{－2，－1,0}．答案：C3．(2013山东，5分)已知集合A，B均为全集U＝{1,2,3,4}的子集，且∁U(A∪B)＝{4}，B＝{1,2}，则A∩∁U B＝()A．{3} B．{4} C．{3,4} D．∅解析：本题主要考查集合的交集、并集和补集运算，考查推理判断能力．由题意知A∪B ＝{1,2,3}，又B＝{1,2}，所以A中必有元素3，没有元素4，∁U B＝{3,4}，故A∩∁U B＝{3}．答案：A4．(2013广东，5分)设集合S＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}，T＝{x|x2－2x＝0，x∈R}，则S∩T ＝()A．{0}B．{0,2} C．{－2,0} D．{－2,0,2}解析：本题主要考查集合的运算知识，意在考查考生的运算求解能力．因为S＝{－2,0}，T＝{0,2}，所以S∩T＝{0}．答案：A5．(2013安徽，5分)已知A＝{x|x＋1>0}，B＝{－2，－1,0,1}，则(∁R A)∩B＝() A．{－2，－1} B．{－2} C．{－1,0,1} D．{0,1}解析：本题主要考查集合的基本运算，意在考查考生的运算能力和对基本概念的理解能力．集合A＝{x|x>－1}，所以∁R A＝{x|x≤－1}，所以(∁R A)∩B＝{－2，－1}．答案：A6．(2013浙江，5分)设集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，则S∩T＝()A．[－4，＋∞)B．(－2, ＋∞) C．[－4,1] D．(－2,1]解析：本题主要考查集合、区间的意义和交集运算等基础知识，属于简单题目，意在考查考生对基础知识的掌握程度．由已知得S∩T＝{x|x>－2}∩{x|－4≤x≤1}＝{x|－2<x≤1}＝(－2,1]．答案：D7．(2013辽宁，5分)已知集合A＝{0,1,2,3,4}，B＝{x||x|＜2}，则A∩B＝()A．{0}B．{0,1} C．{0,2} D．{0,1,2}解析：本题主要考查集合的概念和运算，同时考查了绝对值不等式的解法，意在考查考生对集合运算的掌握情况，属于容易题．由已知，得B＝{x|－2＜x＜2}，所以A∩B＝{0,1}，选B.答案：B8．(2013天津，5分)已知集合A＝{x∈R| |x|≤2}, B＝{x∈R| x≤1}，则A∩B＝() A．(－∞，2]B．[1,2] C．[－2,2] D．[－2,1]解析：本题主要考查简单不等式的解法、集合的运算．意在考查考生对概念的理解能力．解不等式|x|≤2得，－2≤x≤2，所以A＝[－2,2]，又B＝(－∞，1]，所以A∩B＝[－2,1]．答案：D9．(2013北京，5分)已知集合A＝{－1,0,1}，B＝{x|－1≤x<1}，则A∩B＝()A．{0}B．{－1,0} C．{0,1} D. {－1,0,1}解析：集合A中共有三个元素－1,0,1，而其中符合集合B的只有－1和0，故选B.答案：B10．(2013陕西，5分)设全集为R，函数f(x)＝1－x的定义域为M, 则∁R M为() A．(－∞，1)B．(1，＋∞) C．(－∞，1] D．[1，＋∞)解析：本题主要考查集合的概念和运算，函数的定义域与不等式的求解方法．从函数定义域切入，1－x≥0，∴x≤1，依据补集的运算知识得所求集合为(1，＋∞)．答案：B11．(2013湖北，5分)已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3,4}，则B∩∁U A ＝()A．{2}B．{3,4} C．{1,4,5} D．{2,3,4,5}解析：本题主要考查集合的补集和交集运算．由题得，∁U A＝{3,4,5}，则B∩∁U A＝{3,4}．答案：B12. (2013四川，5分)设集合A＝{1,2,3}，集合B＝{－2,2}，则A∩B＝()A．∅B．{2} C．{－2,2} D．{－2,1,2,3}解析：本题主要考查集合的运算，意在考查考生对基础知识的掌握．A，B两集合中只有一个公共元素2，∴A∩B＝{2}，选B.答案：B13．(2013重庆，5分)已知全集U ＝{1,2,3,4}，集合A ＝{1,2}，B ＝{2,3}，则∁U (A ∪B )＝( )A ．{1,3,4}B ．{3,4}C ．{3}D ．{4}解析：本题主要考查集合的并集与补集运算．因为A ∪B ＝{1,2,3}，所以∁U (A ∪B )＝{4}，故选D.答案：D14．(2012新课标全国，5分)已知集合A ＝{x |x 2－x －2<0}，B ＝{x |－1<x <1}，则( )A ．A ⊆B B ．B ⊆AC ．A ＝BD ．A ∩B ＝∅解析：A ＝{x |x 2－x －2<0}＝{x |－1<x <2}，B ＝{x |－1<x <1}，所以B ⊆A .答案：B15．(2012湖北，5分)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0<x <5，x ∈N }，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：因为集合A ＝{1,2}，B ＝{1,2,3,4}，所以当满足A ⊆C ⊆B 时，集合C 可以为{1,2}、{1,2,3}、{1,2,4}、{1,2,3,4}，故集合C 有4个．答案：D16．(2011浙江，5分)若P ＝{x |x ＜1}，Q ＝{x |x ＞－1}，则( )A ．P ⊆QB ．Q ⊆PC ．∁R P ⊆QD ．Q ⊆∁R P 解析：∵P ＝{x |x ＜1}，∴∁R P ＝{x |x ≥1}，又Q ＝{x |x ＞－1}，∴∁R P ⊆Q .答案：C17．(2013·福建高考)已知集合A ＝{1，a }，B ＝{1,2,3}，则“a ＝3”是“A ⊆B ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 因为A ＝{1，a }，B ＝{1,2,3}，若a ＝3，则A ＝{1,3}，所以A ⊆B ；若A ⊆B ，则a ＝2或a ＝3，所以A ⊆B ⇒/a ＝3，所以“a ＝3”是“A ⊆B ”的充分而不必要条件． 18．已知集合A ＝{x |－3≤x ≤4}，B ＝{x |2m －1<x <m ＋1}，且B ⊆A .则实数m 的取值范围为________．解析：∵B ⊆A ，(1)当B ＝∅时，m ＋1≤2m －1，解得m ≥2.(2)当B ≠∅时，有⎩⎪⎨⎪⎧ －3≤2m －1，m ＋1≤4，2m －1<m ＋1，解得－1≤m <2，综上得m ≥－1.答案：[－1，＋∞)考点三集合的基本运算集合的基本运算的关注点(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn 图．1．（2012广东，5分）设集合U ＝{1,2,3,4,5,6}，M ＝{1,3,5}，则∁U M ＝( )A ．{2,4,6}B ．{1,3,5}C ．{1,2,4}D ．U解析：因为集合U ＝{1,2,3,4,5,6}，M ＝{1,3,5}，所以2∈∁U M,4∈∁U M,6∈∁U M ，所以∁U M ＝{2,4,6}．答案：A2．（2012安徽，5分）设集合A ＝{x |－3≤2x －1≤3}，集合B 为函数y ＝lg(x －1)的定义域，则A ∩B ＝( )A ．(1,2)B ．[1,2]C ．[1,2)D ．(1,2]解析：由题可知A ＝{x |－1≤x ≤2}，B ＝{x |x >1}，故A ∩B ＝(1,2]．答案：D3．（2012浙江，5分）设全集U ＝{1,2,3,4,5,6}，集合P ＝{1,2,3,4}，Q ＝{3,4,5}，则P ∩(∁U Q )＝( )A ．{1,2,3,4,6}B ．{1,2,3,4,5}C ．{1,2,5}D ．{1,2}解析：∁U Q ＝{1,2,6}，故P ∩(∁U Q )＝{1,2}．答案：D4.(2013·山东高考)已知集合A ，B 均为全集U ＝{1,2,3,4}的子集，且∁U (A ∪B )＝{4}，B ＝{1,2}，则A ∩∁U B ＝( )A ．{3}B ．{4}C ．{3,4}D ．∅[解析] ∵U ＝{1,2,3,4}，∁U (A ∪B )＝{4}，∴A ∪B ＝{1,2,3}．又∵B ＝{1,2}，∴{3}⊆A ⊆{1,2,3}．又∁U B ＝{3,4}，∴A ∩∁U B ＝{3}．[答案] A4．（2012湖南，5分）设集合M ＝{－1,0,1}，N ＝{x |x 2＝x }，则M ∩N ＝( )A ．{－1,0,1}B ．{0,1}C ．{1}D ．{0}解析：N ＝{x |x 2＝x }＝{0,1}，所以M ∩N ＝{0,1}．答案：B5．（2012江西，5分）若全集U ＝{}x ∈R |x 2≤4，则集合A ＝{}x ∈R ||x ＋1|≤1的补集∁U A 为( )A.{}x ∈R |0<x <2B.{}x ∈R |0≤x <2C.{}x ∈R |0<x ≤2D.{}x ∈R |0≤x ≤2解析：因为U ＝{x ∈R |x 2≤4}＝{x ∈R |－2≤x ≤2}，A ＝{x ∈R |x ＋1|≤1}＝{x ∈R |－2≤x ≤0}．借助数轴易得∁U A ＝{x ∈R |0<x ≤2}．答案：C6．（2011新课标全国，5分）已知集合M ＝{0,1,2,3,4，}，N ＝{1,3,5，}，P ＝M ∩N ，则P 的子集共有( )A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个解析：P ＝M ∩N ＝{1,3}，故P 的子集有22＝4个．答案：B7．（2011山东，5分）设集合M ＝{x |(x ＋3)(x －2)<0}，N ＝{x |1≤x ≤3}，则M ∩N ＝( )A ．[1,2)B ．[1,2]C ．(2,3]D ．[2,3]解析：集合M ＝(－3,2)，M ∩N ＝(－3,2)∩[1,3]＝[1,2)．答案：A8．（2011北京，5分）已知全集U ＝R ，集合P ＝{x |x 2≤1}，那么∁U P ＝( )A ．(－∞，－1)B ．(1，＋∞)C ．(－1,1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：集合P ＝[－1,1]，所以∁U P ＝(－∞，－1)∪(1，＋∞)．答案：D9．（2010新课标全国，5分）已知集合A ＝{x | |x |≤2，x ∈R }，B ＝{x |x ≤4，x ∈Z }，则A ∩B ＝( )A ．(0,2)B ．[0,2]C ．{0,2}D ．{0,1,2}解析：由题可知，集合A ＝{x |－2≤x ≤2}，集合B={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16}，所以集合A ∩B ＝{0,1,2}．答案：D(2014·武汉市武昌区联考)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |lg(x ＋1)≤0}，B ＝{x |3x ≤1}，则∁U (A ∩B )＝( )A ．(－∞，0)∪(0，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，－1]∪(0，＋∞)D ．(－1，＋∞)[解析] lg(x ＋1)≤0⇒0<x ＋1≤1⇒－1<x ≤0,3x ≤1⇒x ≤0，则A ∩B ＝(－1,0]，∁U (A ∩B )＝(－∞，－1]∪(0，＋∞)．[答案] C6．已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－2x>0}，B＝{x|y＝lg(x－1)}，则(∁U A)∩B＝() A．{x|x>2或x<0} B．{x|1<x<2}C．{x|1<x≤2} D．{x|1≤x≤2}解析：解不等式x2－2x>0，即x(x－2)>0，得x<0或x>2，故A＝{x|x<0或x>2}；集合B是函数y＝lg(x－1)的定义域，由x－1>0，解得x>1，所以B＝{x|x>1}．如图所示，在数轴上分别表示出集合A，B，则∁U A＝{x|0≤x≤2}，所以(∁U A)∩B＝{x|0≤x≤2}∩{x|x>1}＝{x|1<x≤2}．答案：选C10．(2009·山东，5分)集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}．若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为()A．0B．1 C．2 D．4解析：∵A∪B＝{0,1,2，a，a2}，又A∪B＝{0,1,2,4,16}，∴{a，a2}＝{4,16}，∴a＝4，故选D.答案：D11.设全集U是自然数集N，集合A＝{x|x2>4，x∈N}，B＝{0,2,3}，则图中阴影部分所表示的集合是()A．{x|x>2，x∈N}B．{x|x≤2，x∈N}C．{0,2}D．{1,2}解析：选C由图可知，图中阴影部分所表示的集合是B∩(∁U A)，∁U A＝{x|x2≤4，x∈N}＝{x|－2≤x≤2，x∈N}＝{0,1,2}，∵B＝{0,2,3}，∴B∩(∁U A)＝{0,2}，选C.考点四抽象集合与新定义集合以集合为背景的新定义问题是近几年高考命题创新型试题的一个热点，此类题目常常以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的，这类试题只是以集合为依托，考查考生理解问题、解决创新问题的能力.归纳起来常见的命题角度有：(1)创新集合新定义；(2)创新集合新运算；(3)创新集合新性质.解决新定义问题应注意的问题(1)遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质；(2)按新定义的要求，“照章办事”逐步分析、验证、运算，使问题得以解决；(3)对于选择题，可以结合选项通过验证，排除、对比、特值等方法解决．角度一 创新集合新定义创新集合新定义问题是通过重新定义相应的集合，对集合的知识加以深入地创新，结合原有集合的相关知识和相应数学知识，来解决新定义的集合创新问题．1．若x ∈A ，则1x ∈A ，就称A 是伙伴关系集合，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，12，2，3的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是( )A ．1B ．3C ．7D ．31解析：选B 具有伙伴关系的元素组是－1；12，2，所以具有伙伴关系的集合有3个：{－1}，⎭⎬⎫⎩⎨⎧2,21，⎭⎬⎫⎩⎨⎧2,211-，.角度二 创新集合新运算创新集合新运算问题是按照一定的数学规则和要求给出新的集合运算规则，并按照此集合运算规则和要求结合相关知识进行逻辑推理和计算等，从而达到解决问题的目的．2.如图所示的Venn 图中，A ，B 是非空集合，定义集合A ⊕B 为阴影部分表示的集合．若x ，y ∈R ，A ＝{x |y ＝2x －x 2}，B ＝{y |y ＝3x ，x >0}，则A ⊕B 为( )A ．{x |0<x <2}B ．{x |1<x ≤2}C ．{x |0≤x ≤1或x ≥2}D ．{x |0≤x ≤1或x >2} 解析：选D 因为A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |y >1}，A ∪B ＝{x |x ≥0}，A ∩B ＝{x |1<x ≤2}，所以A B ＝∁A ∪B (A ∩B )＝{x |0≤x ≤1或x >2}，故选D.角度三 创新集合新性质创新集合新性质问题是利用创新集合中给定的定义与性质来处理问题，通过创新性质，结合相应的数学知识来解决有关的集合性质的问题．3．对于复数a ，b ，c ，d ，若集合S ＝{a ，b ，c ，d }具有性质“对任意x ，y ∈S ，必有xy∈S ”，则当⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b 2＝1，c 2＝b 时，b ＋c ＋d 等于( )A ．1B ．－1C ．0D ．i解析：选B ∵S ＝{a ，b ，c ，d }，由集合中元素的互异性可知当a ＝1时，b ＝－1，c 2＝－1，∴c ＝±i ，由“对任意x ，y ∈S ，必有xy ∈S ”知±i ∈S ，∴c ＝i ，d ＝－i 或c ＝－i ，d ＝i ，∴b ＋c ＋d ＝(－1)＋0＝－1.1．（2011福建，5分）在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n＋k|n∈Z}，k＝0,1,2,3,4.给出如下四个结论：①2011∈[1]，②－3∈[3]，③Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④“整数a，b属于同一‘类’”的充要条件是“a－b∈[0]”．其中，正确结论的个数是()A．1 B．2 C．3 D．4解析：因为2011＝402×5＋1，又因为[1]＝{5n＋k|n∈Z}，所以2011∈[1]，故命题①正确，又因为－3＝5×(－1)＋2，所以－3∈[2]，故命题②不正确，又因为所有的整数Z除以5可得余数的结果为：0,1,2,3,4，所以命题③正确；若a－b属于同一类，则有a＝5n1＋k.b＝5n2＋k，所以a－b＝5(n1－n2)∈[0]，反过来如果a－b∈[0]，也可以得到a－b属于同一类，故命题④正确，所以有3个命题正确．答案：C2．（2010湖南，5分）若规定E＝{a1，a2，…，a10}的子集{a i1，a i2，…，a in}为E的第k个子集，其中k＝2i1－1＋2i2－1＋…＋2i n－1，则(1){a1，a3}是E的第________个子集；(2)E的第211个子集为________．解析：此题是一个创新试题，定义了一个新的概念．(1)根据k的定义，可知k＝21－1＋23－1＝5；(2)此时k＝211，是个奇数，所以可以判断所求子集中必含元素a1，又28,29均大于211，故所求子集不含a9，a10.然后根据2j(j＝1,2，…，7)的值易推导所求子集为{a1，a2，a5，a7，a8}．答案：5{a1，a2，a5，a7，a8}（注：文档可能无法思考全面，请浏览后下载，供参考。

集合【知识点】 一、集合与元素1．概念：一般地，我们把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合（简称集）．集合通常用大写的拉丁字母表示，如 Q P C B A 、、、、元素通常用小写的拉丁字母表示，如 q p c b a 、、、、 例如：{}c b a A ,,=2．元素对于集合的隶属关系：（1）属于：∈；（2）不属于：∉． 3．特定集合的表示 常用数集及其记法：①非负整数集（即自然数集）记作：N ；②正整数集*N 或+N ；③整数集Z ；④有理数集Q ；⑤实数集R ． 4．集合的分类：（1）有限集；（2）无限集．5．集合中元素的特征：（1）互异性；（2）无序性；（3）确定性． 6．集合的表示方法： （1）自然语言法； （2）列举法；注：元素不重复，不计次序，且元素之间用“，”隔开 （3）描述法；①写清集合中代表的元素符号，如实数或实数对； ②说明该集合中元素的性质，如方程、不等式等． 例如：{}(){}1,,21=+>+y x y x x x （4）Venn 图法；用平面上封闭曲线的内部表示集合．二、集合间的基本关系1．子集：对于两个集合A 和B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，则说集合A 与集合B 有包含关系，称集合A 是集合B 的子集，记作B A ⊆（或A B ⊇），读作“A 包含于B ”（或“B 包含A ”）． （1）“A 是B 的子集”的含义是：集合A 中的任意一个元素都是集合B 中的元素 课程类型：☐ 1对1课程 Mini 课程 ☐ MVP 课程BA2．真子集：对于两个集合A 与B ，如果B A ⊆，并且B A ≠，我们就说集合A 是集合B 的真子集，记作：A B或BA ，读作A 真包含于B （或B 真包含A ）．3．集合相等：对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，同时，集合B 的任何一个元素都是集合A 的元素，即：A 是B 的子集且B 是A 的子集，则集合A 与集合B 相等，记作：A =B ． 4．空集：把不含有任何元素的集合叫做空集，记作∅． （1）空集是任何集合的子集 （2）空集是任何非空集合的真子集 5．有限集合的子集个数：①一个元素的集合：子集共有2个、真子集有1个； ②两个元素的集合：子集共有4个、真子集有3个； ③三个元素的集合：子集共有8个、真子集有7个；以此类推，n 个元素的集合有n2个子集；有12-n 个非空子集；有12-n 个真子集；有22-n个非空真子集．三、集合之间的运算 1．并集（1）观察下面两个图的阴影部分，它们同集合A 、集合B 有什么关系？（2）观察集合{}{4,3,2,3,2,1==B A 与集合4,3,2,1=C 之间的关系 在上述两个例子中，集合A ，B 与集合C 之间都具有这样的一种关系：集合C 是由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的．一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，称为集合A 与B 的并集（Union ），记作：B A ，读作：“A 并B ”，即：{}AB x x A x B =∈∈或，它的Venn 图表示如上图．说明：两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A 与B 的所有元素组成的集合（重复元素只看成一个元素）．2．交集（1）观察下面两个图的阴影部分，它们同集合A ，集合B 有什么关系？（2）观察集合{}{}4,3,2,3,2,1==B A 与集合{}3,2=C 之间的关系． 一般地，由属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合，叫做集合A 与B 的交集（intersection ）．记作：B A ，读作：“A 交B ”即：{}B x A x x B A ∈∈=且 ，交集的Venn 图表示如上图．说明：两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A 与B 的公共元素组成的集合． 3．补集全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集（Universe ），通常记作U补集：对于全集U 的一个子集A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集（complementary set ），简称为集合A 的补集， 记作：UA ，即：{}UA x x U x A =∈∉且，补集的Venn 图表示如下A UC U A说明：补集的概念必须要有全集的限制，例如UA 与I A 不一定相等，因为全集可能不一样．4．集合基本运算的结论：（可通过V enn 图来理解） （1）若A B A = ，则B A ⊆，反之也成立 （2）若B B A = ，则B A ⊆，反之也成立【课堂演练】题型一 集合与元素的关系 ➢ 集合的概念例1 下面各组对象可以构成集合的是 ． （1）快乐学习期暑期班个子较高的学员； （2）和2007非常接近的数； （3）1，2，4，5，2，3； （4）暑期集训营所有带队老师．练1 下面四个命题正确的是（ ） A ．10以内的质数集合是{}7,5,3,0B ．“个子较高的人”不能构成集合C ．方程0122=+-x x 的解集是{}1,1 D ．偶数集为{}N x k x x ∈=,2|练2 下列各组对象能确定一个集合吗？ （1）所有很大的实数； （2）好心的人； （3）1，2，2，3，4，5．➢ 元素与集合的关系 例2 用符号“∈”或“∉”填空： （1）14.3_____Q ； （2）π_____Q ； （3）0_____+N ； （4）0)2(-_____N +； （5）32_____Q ；（6）32_____R ．练3 用符号“∈”或“∉”填空： （1）2_____N ； （2）0_____N ； （3）0_____Z ； （4）3_____Q ；（5）2_____Q ； （6）1.5_____Z ．练4 下列关系中正确的是（ ） A ．(){}100，∈ B ．(){}101，∈C ．{}100，∈D ．{}101，∉练5 已知321-=a ，},,3{Z n m n m x x A ∈+==，则a A （填“∈”或“∉”）．➢ 集合中元素的特征例3 集合{}x x A 5,12+=，集合{}6,1=B ，且集合A 与集合B 相等，则x = ．练6 若以集合{}c b a S ,,=中三个元素为边可以构成一个三角形，那么该三角形一定不是（ ） A ．锐角三角形 B ．等腰三角形C ．钝角三角形D ．直角三角形练7 已知{}x x ,0,12∈，则实数x 的值为 ．练8 下列各组中的两个集合P 和Q ，表示同一集合的是（ ） A ．{}{}3,1,,,3,1-==ππQ P B ．{}{}14159.3,==Q P πC ．{}(){}3,2,3,2==Q PD ．{}{}1,,11=∈≤<-=Q N x x x P练9 已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-∈=*56N a Za M ，则M 是（ ） A ．{}4,3,2,1-B ．{}8,7,3,2C ．{}3,2D ．{}11,8,7,6,3,2,1-➢ 集合的表示方法例4 用列举法表示下列集合： （1）{}的约数是15x N x ∈（2）(){}{}{}2,1,2,1,∈∈y x y x（3）()⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧=-=+422,y x y x y x（4）{}N n x x n∈-=,)1(练10 用列举法表示下列集合：（1）方程2690x x ++=的解集（2）{}以内的质数20（3）(){}N y N x y x y x ∈∈=+,,6, （4）{}的整数小于大于30例5 用描述法表示下列集合： （1）大于4的全体奇数构成的集合 （2）坐标平面内，两坐标轴上点的集合．练11 用描述法表示下列集合（1）{}13,10,7,4,1；（2）{}10,8,6,4,2-----例6 若集合,,A B C 可能为{}{}{}平行四边形，正方形，矩形，且如右图所示的包含关系成立，则,,A B C 应分别为 ．【正方形，矩形，平行四边形】练12 已知全集U R =，则正确表示集合{}1,0,1M =-和{}2=0N x x x +=的关系的韦恩图是（ ）MNUUNMU NMNMUA ．B ．C ．D ．➢ 空集的概念例7 下列四个集合中，是空集的是（ ） A ．{}33=+x xB ．(){}R y x x y y x ∈-=,,,22 C ．{}02≤x xD ．{}R x x x x ∈=+-,012练13 ∅与0的关系是 ．（用∉∈，填写）➢ 元素与集合中的含参问题例8 已知集合{}0232=+-∈=x ax R x A ， （1）若A 是单元素集，求a 的值及集合A ；（2）求集合}{至少含有一个元素使得A a R a P ∈=．练14 已知集合{}R x x ax x A ∈=--=,0122，若集合A 中至多有一个元素，实数a 的取值范围 ．C B A例9 若{}4,12,332---∈-a a a ，实数a = ．练15 已知{}1,152,122+++-=a a a a A ，且A ∈-2，实数a = ．题型二 集合之间的关系 ➢ 集合与集合的关系例10 用列举法表示集合：{}的正约数6=A ，{}的正约数10=B ，{}的正公约数与106=C ，并用适当的符号表示它们之间的关系．例11 填空N _____Z ， N _____Q ，R _____Z ， R _____Q ，∅_____{}0，∅_____{}∅，0_____{}0， {}a _____{}{}{}{}c b a ,,练16 若集合{}|2M x x =≥，则下列结论中正确的是（ ） A ．}2{MB ．2MC ．{}2M ∈D ．2M ∉练17 在下列各式中错误的个数是（ ） （1）{}2,1,01∈ （2）{}{}2,1,01∈ （3）{}{}2,1,01,2,0⊆ （4）{}{}1,0,22,1,0= A ．1 B ．2C ．3D ．4练18 已知集合{}10，=A ，则下列式子错误的是（ ） A ．A ∈0B ．{}A ∈1C ．A ⊆∅D ．{}A ⊆10，练19 集合{}6,5,4,3,2,1=A ，{}x B ,5,4,3=，若B A ⊆，则x 可以取的值为（ ） A ．1,2,3,4,5,6 B ．1,2,3,4,6C ．1,2,3,6D ．1,2,6➢ 子集个数问题例12 若集合{}0)1(|2=-++=k x x k x A 有且仅有两个子集，则实数k 的值是 ．例13 满足{}M b a ⊆,{}e d c b a ,,,,的集合M 的个数是（ ）A ．2个B ．4个C ．7个D ．8个练20 已知集合M 满足{}{},6,5,4,3,2,12,1⊆⊆M 则满足的集合M 有 个．练21 同时满足（1）{}5,4,3,2,1⊆M ，（2）M a M a ∈-∈6,则的非空集合M 共有 个．➢ 集合关系中的含参问题例14 已知{}52≤≤-=x x A ，{}121-≤≤+=m x m x B ，B A ⊆，求m 的取值范围．练22 已知集合{}5<<=x a x A ，{}2≥=x x B ，且满足A B ⊆，求实数a 的取值范围．练23 若数集{}5312-≤≤+=a x a x A ，{}223≤≤=x x B ，则能使A B ⊆成立的所有a 的集合是（ ） A ．{19}a a ≤≤B ．{}96≤≤a a C ．{}9≤a aD ．∅例15 设集合{}240A x x x =+=，{}222(1)10B x x a x a =+++-=，若B A ⊆，求实数a 的集合．练24 已知集合{}{}1,12====ax x B x x A ，若B A ，求实数a 的集合．题型三 集合之间的运算 ➢ 并集例16 若集合{}0,1,2,3A =，{}1,2,4B =，则集合A B =（ ）A ．{}0,1,2,3,4B ．{}1,2,3,4C ．{}1,2D ．{}0练25 已知集合{}{}1,0,1,0,1,2,M N =-=则M N =（ ）A ．{}1,0,1-B ．{}1,0,1,2-C ．{}1,0,2-D ．{}0,1练26 设集合{}2|20,M x x x x =+=∈R ，{}2|20,N x x x x =-=∈R ，则M N =（ ）A ．{}0B ．{}0,2C ．{}2,0-D ．{}2,0,2-例17 集合{}34M x x =-<，{}220N x x x =+-<，则M N 等于（ ）A ．{}17x x -<<B ．{}27x x -<<C ．{}11x x -<<D ．{}27x x ≤≤练27 设集合()(){}120A x x x =+-<，集合{}13B x x =<<，则A B =（ ）A ．{}13x x -<< B ．{}11x x -<<C ．{}12x x <<D ．{}23x x <<练28 设集合{|2,}x A y y x ==∈R ，2{|10}B x x =-<，则A B =（ ）A ．(1,1)-B ．(0,1)C ．(1,)-+∞D ．(0,)+∞例18 设集合{}2,1=A ，则满足{}3,2,1=B A 的集合B 的个数是（ ） A ．1 B ．3 C ．4 D ．8练29 满足{}{}5,11=A 的集合A 的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4练30 若集合},,3,1{},,1{},,3,1{2x B A x B x A === 则满足条件的实数x 的个数为 ． ➢ 交集例19 已知集合{}2,1,3,4A =--，{}1,2,3B =-，则A B = ．练31 已知集合{}{}220,0,1,2A x x x B =-==，则AB =（ ）A ．{}0B ．{}0,1C ．{}0,2D ．{}0,1,2例20 设集合{}2340M x x x =--<，{}05N x x =≤≤，则M N =（ ）A ．(]04，B ．[)04，C ．[)10-，D ．(]10-，练32 设集合{}=(3)(2)0M x x x +-<，{}13N x x =≤≤，则MN = ．练33 已知集合{}40<log <1A x x =，{}2B x x =≤，则A B =（ ）A ．()01，B ．(]02，C ．()12，D ．(]12，练34 已知集合(){},2M x y x y =+=，(){},4N x y x y =-=，那么集合N M 为（ ）A ．1,3-==y xB ．)1,3(-C ．{}1,3-D ．{})1,3(-练35 若集合{}6,A x x x N =≤∈，{}B x x =是非质数，B AC =，则C 的非空子集的个数为 ．例21 已知集合{}24,21,A a a =--，{}5,1,9B a a =--，若{}9A B =，则a 的值为 ．练36 集合{}1,0,1-=A ，{}a a B 2,1+=，若{}0=B A ，则实数a 的值为 ．练37 设{}21<≤-=x x A ，{}a x x B <=，若∅≠B A ，则a 的取值范围是（ ） A ．2a < B ．2a >- C ．1a >- D ．12a -<≤➢ 补集例22 若{}Z x x x U ∈≤≤=,60，{}531，，=A ，{}41，=B ，则UA = ，UB = ．练38 已知全集U ，集合{}1,3,5,7,9A =，{}2,4,6,8UA =，{}1,4,6,8,9UB =，求集合B ．例23 设全集{}2U x N x =∈≥，集合{}25A x N x =∈≥，则UA =（ ）A ．∅B ．{}2C ．{}5D ．{}2,5练39 已知全集U R =，{}0A x x =≤，{}1B x x =≥，则集合()UA B =（ ）A ．{}0x x ≥ B ．{}0x x ≥C ．{}01x x ≤≤D ．{}01x x <<练40 设集合{}9,7,5,4=A ，{}9,8,7,4,3=B ，全集B A U =，则集合()UA B 中的元素共有（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个练41 已知全集{}2,1,0=U 且{}2UA =，则集合A 的真子集共有（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个例24 已知全集{}32,3,22-+=a a U ，{}7,2+=a A ，{}5UA =，求a 的值．练42 已知全集{}3,3,2+=a I ，若{}2,b A =，{5}I A =，求实数b a ,．➢ 韦恩图例25 已知R U =，集合}1|{>=x x A ，集合}21|{<<-=x x B ，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A ．}1|{>x x B ．}1|{->x xC ．}11|{<<-x xD ．{|112}x x x -<≤≥或练43 设全集R U =，集合{}|1M x x =>，{}|02N x x =<<，则右图中阴影部分表示的集合为（ ） A ．{}|1x x ≤ B ．{}|12x x <≤ C ．{}|01x x <≤D ．{}|01x x <<练44 右图，U 是全集，M ，P ，S 是U 的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ） A ．()S P M B ．()S P M C ．()()S C P M UD ．()()UMP S➢ 综合运算例26 设全集{}{}{}110,1,2,3,5,8,1,3,5,7,9U n N n A B =∈≤≤==，则()UA B = ．练45 已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，集合{}2,3,5,6A =，集合{}1,3,4,6,7B =，则集合UA B =（ ）A ．{}2,5B ．{}3,6C ．{}2,5,6D ．{}2,3,5,6,8例27 已知全集为R ，集合112xA x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，{}2680B x x x =-+≤，则ARB =（ ）A ．{}|0x x ≤B ．{}|24x x ≤≤C ．{|02x x ≤<或4}x >D ．{|02x x <≤或4}x ≥练46 已知集合2{20},{12}P x x x Q x x =-≥=<≤，则()P Q =R（ ）A ．[0,1)B ．(0,2]C ．(1,2)D ．[1,2]练47 设集合{}R x x x A ∈≤-=,22，{}2,12B y y x x ==--≤≤，则()RA B 等于（ ）A ．RB ．{}0,≠∈x R x xC ．{}0D ．∅练48 设{}{}023,02222=++==++=a x x x B ax x x A ，且{}2=B A ． （1）求a 的值及集合A ，B ； （2）设全集B A U =，求()()UUA B ；（3）写出()()UUA B 的所有子集．例28 已知集合A ={}82≤≤x x ，B ={}61<<x x ，C ={}a x x >，R U =． （1）求(),U AB A B ；（2）如果∅≠C A ，求a 的取值范围．练49 已知{|13}A x x =-≤＜，{|13}B x m x m =≤+＜ （1）当1m =时，求AB ；（2）若A C B R ⊆，求实数m 的取值范围．练50 已知全集是实数集R ，{}22321+<<=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤=a x a x B x xA ，． （1）当1=a 时，求B A B A ,； （2）若()R A B B =，求实数a 的取值范围．【课后巩固1】1．下列命题正确的有（ ） （1）很小的实数可以构成集合；（2）集合{}12-=x y y 与集合(){}1,2-=x y y x 是同一个集合； （3）1，23，46，21-，5.0这些数组成的集合有5个元素；（4）集合(){}R y x xy y x ∈≤,,0,是指第二和第四象限内的点集． A ．0个 B ．1个C ．2个D ．3个2．用描述法表示下列集合 （1）{}1,3,5,7，...；（2）非负偶数；（3）数轴上离开原点的距离大于3的点； （4）方程组11x y x y +=⎧⎨-=⎩的解的集合；3．若{}1->=x x A ,则（ ） A ．0⊆A B ．{0}∈AC ．{0}⊆AD ．∅∈A4．集合{}1,0,1-共有 个子集．5．（2015山东文1）已知集合{}|24A x x =<<，{}|(1)(3)0B x x x =--<，则A B =（ ）A ．(1,3)B ．(14),C ．(2,3)D ．(2,4)6．（2015陕西理1）设集合2{|}M x x x ==，{|lg 0}N x x =≤，则M N =（ ）A ．[0,1]B ．(0,1]C ．[0,1)D ．(,1]-∞7．（2016天津文1）已知集合{1,2,3}A =，{|21,}B y y x x A ==-∈，则A B =（ ）A ．{1,3}B ．{1,2}C ．{2,3}D ．{1,2,3}8．（2014山东理2）设集合{}[]{}12,2,0,2xA x xB y y x =-<==∈，则=B A （ ）A ．[]0,2B ．()1,3C ．[)1,3D ．()1,49．（2013重庆）已知全集{}1234U =，，，，集合{}{}1223A B ==，，，，则()UA B =（ ）A ．{}134，，B ．{}34，C ．{}3D ．{}410．（2016浙江理1）已知集合{}13P x R x =∈≤≤，{}24Q x R x =∈≥，则()P Q =R（ ）A ．[]2,3B ．(]2,3-C ．[)1,2D ．(,2][1,)-∞-+∞11．（2015全国Ⅰ文1）已知集合{32,},{6,8,10,12,14}A x x n n N B ==+∈=，则集合A B 中元素的个数为（ ） A ．5 B ．4 C ．3 D ．212．已知}31|{},06|{2m x m x B x x x A +≤≤=≤-+= （1）当1=m 时，求A B ；（2）RA B B =，求实数m 的取值范围．【课后巩固2】1．下列集合中表示同一集合的是（ ） A ．(){}(){}3,2,2,3==N MB ．(){}{}1,1,=+==+=y x y N y x y x M C ．{}{}4,5,5,4==N M D ．{}(){}2,1,2,1==n M2．下列式子中，正确的是（ ） A ．R R ∈+B ．{}Z x x x N ∈≤⊇,0|C ．空集是任何集合的真子集D ．{}∅∈∅3．（2015重庆理1）已知集合{}1,2,3A =，{}2,3B =，则（ ） A ．A B = B ．AB =∅C ．A BD ．BA4．已知集合{}{}121,72-<<+=≤≤-=m x m x B x x A ，若A B ⊆，求实数m 的取值范围为 ．5．（2016全国甲理2）已知集合{123}A =，,，{|(1)(2)0}B x x x x Z =+-<∈，，则A B =（ ）A ．{}1B ．{12}，C ．{}0123，，， D ．{10123}-，，，，6．（2013四川）设集合{}|20A x x =+=，集合{}2|40B x x =-=，则A B =（ ）A ．{}2-B ．{}2C ．{}2,2-D ．∅7．（2014四川）已知集合{}220A x x x =--≤，集合B 为整数集，则A B =（ ）A ．{}1,0,1,2-B ．{}2,1,0,1--C ．{}0,1D ．{}1,0-8．（2013浙江）设集合{}|2S x x =>-，{}|41T x x =-≤≤，则S T =（ ）A ．[)4-+∞，B ．2-+∞（，）C ．[]41-，D ．(]21-，9．已知全集{}4,≤∈=x N x x U ，{}2,1=A ，则UA 为（ ）A ．{}3B ．{}3,0C ．{}43，D ．{}4,3,010．设集合{}{}{}4,3,2,3,2,1,2,1===C B A ，则()C B A = ．11．（2013山东）已知集合A ，B 均为全集{}1,2,3,4U =的子集，且(){}4UA B =，{}1,2B =，则()UA B =（ ）A ．{}3B ．{}4C ．{}3,4D ．12．集合{}a A ,2,0=，集合{}2,02-=a B ，若B A B =，则实数a 的取值集合为（ ）A ．{}2,2-B ．{}1,2--C ．{}2,1-D ．{}2,1,2--13．已知全集R U =，集合}0|{2=++=n mx x x A ，}02)(|{2=--+=n x n m x x B ，(){2}UA B =-，(){1}U A B =，求B A ．【课后巩固3】1．下列关系正确的是（ ） A ．∅∈0 B ．{}0⊆∅ C ．{}0=∅ D ．{}0∈∅2．用列举法表示下列集合 （1）⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈∈+=N x Z x B 16； （2）{}N y R x x x y y ∈∈+--=,,322；（3）(){}22,1,,x y xy x Z y Z +=∈∈；（4）{}20以内的合数；3．设集合{}{}a x x B x x A <=<<=,21，若B A ⊆，则a 的范围是（ ） A ．2≥a B ．1≤a C ．1≥a D ．2≤a4．（2014新课标Ⅱ）设集合{}0,1,2M =，{}2320x x x N -+≤=，则MN =（ ）A ．{}1B ．{}2C ．{}0,1D ．{}1,25．（2014新课标Ⅰ）已知集合{}2230A x x x =--≥，{}22B x x =-≤<，则A B =（ ）A ．[]2,1--B ．[)1,2-C ．[]1,1-D ．[)1,26．（2015广东理1）若集合()(){}410M x x x =++=，()(){}410N x x x =--=，则M N =（ ）A ．{}1,4B ．{}1,4--C ．{}0D ．∅7．（2016全国乙理1）设集合2{|430}A x x x =-+<，{|230}B x x =->，则A B =（ ）A ．33,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．33,2⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．31,2⎛⎫⎪⎝⎭D ．3,32⎛⎫ ⎪⎝⎭8．（2017天津理1）设集合{}1,2,6A =，{}2,4B =，{}|15C x R x =∈-≤≤，则()A B C =（ ）A ．{}2B ．{}1,2,4C ．{}1,2,4,6D ．{}|15x R x ∈-≤≤9．（2017全国2理2）设集合{}1,2,4A =，{}240B x x x m =-+=．若1AB =，则B =（ ）A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,510．（2014辽宁理1）已知全集U R =，{|0}A x x =≤，{|1}B x x =≥，则集合()UA B =（ ）A ．{|0}x x ≥B ．{|1}x x ≤C ．{|01}x x ≤≤D ．{|01}x x <<11．已知集合B ={}042≥-x x 集合C ={}0≤-a x x ，若C B 是单元素集，则实=a ．12．已知集合{}3+≤≤=a x a x A ，{}01242>--=x x B ．（1）若∅=B A ，求a 的取值范围； （2）若B B A = ，求a 的取值范围．。

高一数学同步辅导 培优拔高讲义 第一讲 集合【知识方法导航】1.元素与集合：集合的含义；元素的特征；集合的表示方法；常见数集的表示；元素与集合的关系；集合的分类。

2.集合的基本关系和基本运算：子集、真子集、集合相等；空集的概念与性质；交集与并集、全集与补集。

3.集合的性质：子集性质；交集性质、并集性质、补集性质；有限子集的相关性质。

4.简单的不等式：一元一次不等式；简单的绝对值不等式；简单的一元二次不等式；简单的分式不等式5.一元二次方程：根与系数关系；配方法；简单的二次方程根的分布。

【题型策略导航】1.若集合2{|210}A x ax x =++=是单元素集合，则a = 。

变式：已知集合2{|320,}A x ax x a R =-+=∈中至多一个元素，则a 的取值集合是 。

2.集合6{|}6A x N N x =∈∈=- ; 变式：8{|}6A x Z Z x=∈∈=- 3.集合2{|6,}A y N y x x N =∈=-+∈的非空真子集的个数是________________变式：1.若集合{(,)|25,,}A x y x y x N y N =+=∈∈,则A 的非空真子集的个数为__________2.若{2,4,10}{2,4,6,8,10,12}M ⊆⊆，则集合M 的个数为 。

4.已知全集{|8}U x N x +=∈≤，(){2,8},()(){1,2,3,4,5,6,7,8}U U U A C B C A C B ==，则A = 。

变式：已知全集{|4}U x x =≤，集合{|23}A x x =-<<，集合{|33}B x x =-<≤,求()U C A B =_________5. 已知集合},8,2{a A =,}43,2{2+-=a a B ,又B A ⊇，求实数a 的值。

变式：1.已知集合}045|{2≤+-=x x x P ,}02)2(|{2≤++-=b x b x x Q 且有Q P ⊇，求实数b 取值范围。

第一章：集合与简易逻辑讲义第一节：集合的概念Part One ：基础知识（记住有以下6点） 1、集合的概念①集合：由一些数、一些点、一些图形、一些整式、一些物体、一些人组成的.我们说，每一组对象的全体形成一个集合，或者说，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集. ②元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素 2、常用数集及记法（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合记作N ，{} ,2,1,0=N（2）正整数集：非负整数集内排除0的集记作N*或N+{} ,3,2,1*=N （3）整数集：全体整数的集合记作Z , } ，，，210±±=Z （4）有理数集：全体有理数的集合记作Q , {}整数与分数=Q （5）实数集：全体实数的集合记作R {}数数轴上所有点所对应的=R 3、元素与集合的关系（1）属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a ∈A（2）不属于：如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作A a ∉ 4、集合中元素的特性（1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可 （2）互异性：集合中的元素没有重复（3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）5.集合的表示方法：集合通常用大写的拉丁字母表示，如A 、B 、C 、P 、Q ……元素通常用小写的拉丁字母表示，如a 、b 、c 、p 、q ……①列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合例如，由方程012=-x 的所有解组成的集合，可以表示为{-1，1} ②描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的方法格式：{x ∈A| P （x ）}含义：在集合A 中满足条件P （x ）的x 的集合例如，不等式23>-x 的解集可以表示为：}23|{>-∈x R x 或23|{>-x x所有直角三角形的集合可以表示为：}|{是直角三角形x x 注：（1）在不致混淆的情况下，可以省去竖线及左边部分 如：{直角三角形}；{大于104的实数} （2）错误表示法：{实数集}；{全体实数}③文氏图：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法 6.集合的分类：a:以元素的个数分类：①有限集：含有有限个元素的集合 ②无限集：含有无限个元素的集合③空集：不含任何元素的集合记作Φ，如：}01|{2=+∈x R x b:以元素的种类分：点集，数集，等Part Two ：例题解析（注意领悟每一个题目与基础知识点的对应关系，通过题目再次深刻理解基础知识） 题型一：集合的三大性的考查1.下列各组对象能确定一个集合吗？（1）所有很大的实数 （2）好心的人 （3）1，2，2，3，4，5．2.设a,b 是非零实数，那么b ba a+可能取的值组成集合的元素是3、由实数x,－x,｜x ｜,332,x x -所组成的集合，最多含（ ） （A ）2个元素 （B ）3个元素 （C ）4个元素 （D ）5个元素4. 集合}1|),{(2+=x y y x 与集合}1|{2+=x y y 是同一个集合吗？题型二：集合的表示方法的考查 1、用描述法表示下列集合①{1，4，7，10，13} ②{-2，-4，-6，-8，-10}③{ 1, 5, 25, 125, 625 }= ;④ { 0,±21, ±52, ±103, ±174, ……}=2、用列举法表示下列集合 ①{x ∈N|x 是15的约数}②{（x ，y ）|x ∈{1，2}，y ∈{1，2}}③⎩⎨⎧=-=+}422|),{(y x y x y x ④},)1(|{N n x x n∈-= ⑤},,1623|),{(N y N x y x y x ∈∈=+⑥}4,|),{(的正整数约数分别是y x y x 题型三：集合的分类的考查1、关于x 的方程ax ＋b=0，当a,b 满足条件____时，解集是有限集；当a,b 满足条件_____时，解集是无限集第二节：子集 全集 补集（集合与集合的关系） Part One ：基础知识（记住有以下8点）1.子集：一般地，对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们就说集合A 包含于集合B ，或集合B 包含集合A :A B B A ⊇⊆或 ，A ⊂B 或B ⊃A 读作：A 包含于B 或B 包含AB A B x A x ⊆∈⇒∈，则若任意当集合A 不包含于集合B ，或集合B 不包含集合A 时，则记作A ⊆/B 或B ⊇/A注：B A ⊆有两种可能（1）A 是B 的一部分，；（2）A 与B 是同一集合2.集合相等：一般地，对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，同时集合B 的任何一个元素都是集合A 的元素，我们就说集合A 等于集合B ，记作A=B3.真子集：对于两个集合A 与B ，如果B A ⊆，并且B A ≠，我们就说集合A 是集合B 的真子集，记作：A B 或B A, 读作A 真包含于B 或B 真包含A4..人为规定：空集是任何集合的子集Φ⊆A 空集是任何非空集合的真子集Φ A 若A ≠Φ，则Φ A （在考虑集合问题时千万不能忘记空集这个特殊集合） 任何一个集合是它本身的子集A A ⊆5.含n 个元素的集合{}n a a a ,,21 的所有子集的个数是n 2，所有真子集的个数是n 2-1，非空真子集数为2-n6.易混符号①“∈”与“⊆”：元素与集合之间是属于关系；集合与集合之间是包含关系如,,1,1R N N N ⊆∉-∈Φ⊆R ，{1}⊆{1，2，3}②{0}与Φ：{0}是含有一个元素0的集合，Φ是不含任何元素的集合 如 Φ⊆{0}Φ={0}，Φ∈{0} 7、全集：如果集合S 含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，全集通常用U 表示8. 补集：一般地，设S 是一个集合，A 是S 的一个子集（即S A ⊆），由S 中所有不属于A 的元素组成的集合，叫做S 中子集A的补集（或余集），记作AC S ，即CSA=},|{A x S x x ∉∈且 2、性质：CS （CSA ）=A ，CSS=φ，CS φ=S Part Two ：例题解析（注意领悟每一个题目与基础知识点的对应关系，通过题目再次深刻理解基础知识） 题型一：对子集等基本概念的考查1. 写出N ，Z ，Q ，R 的包含关系，并用文氏图表示2.判断下列写法是否正确①Φ⊆A ②Φ A ③A A ⊆ ④A A 3.（1）填空：N___Z, N___Q, R___Z, R___Q ， Φ___{0}（2）若A={x ∈R|x 2-3x-4=0},B={x ∈Z||x|<10},则A ⊆B 正确吗？ （3）是否对任意一个集合A ，都有A ⊆A ，为什么？ （4）集合{a,b}的子集有那些？（5）高一（1）班同学组成的集合A ，高一年级同学组成的集合B ，则A 、B 的关系为 . 题型二：利用集合的关系来求解具体问题（重点！）1．若{}{}A B m x m x B x x A ⊆+≤≤-=≤≤-=,112|,43|，求是实数m 的取值范围.)1(-≥m2．已知{}{}A C B C A B A 求,8,4,2,0,5,3,2,1,,==⊆⊆ 题型三：全集与补集有关问题1.已知全集U ＝R ，集合A ＝｛x ｜1≤2x ＋1＜9｝，求C U A2. 已知S ＝｛x ｜－1≤x ＋2＜8｝，A ＝｛x ｜－2＜1－x ≤1｝，B ＝｛x ｜5＜2x －1＜11｝，讨论A 与C S B 的关系Part Three ：练习1、已知全集U ＝｛x ｜－1＜x ＜9｝，A ＝｛x ｜1＜x ＜a ｝，若A ≠φ，则a 的取值范围是 （A ）a ＜9 （B ）a ≤9 （C ）a ≥9 （D ）1＜a ≤92、已知全集U ＝｛2，4，1－a ｝，A ＝｛2，a2－a ＋2｝如果CUA ＝｛－1｝，那么a 的值为3、已知全集U ，A 是U 的子集，φ是空集，B ＝CUA ，求CUB ，CU φ，CUU4、设U=｛梯形｝,A=｛等腰梯形｝,求CUA.5、已知U=R ，A=｛x|x2+3x+2<0｝, 求CUA.6、集合Ｕ=｛（x ，y ）|x ∈｛1,2｝,y ∈｛1,2｝｝ , Ａ=｛（x ，y ）|x ∈N*,y ∈N*,x+y=3｝，求CUA.7、设全集U （U ≠Φ），已知集合M ，N ，P ，且M=CUN ，N=CUP ，则M 与P 的关系是（ ） M=CUP ，（B ）M=P ，（C ）M ⊇P ，（D ）M ⊆P.8、设全集U={2,3,322-+a a },A={b,2},A C U ={b,2},求实数a 和b 的值.9.已知S ＝｛a ，b ｝，A ⊆S ，则A 与CSA 的所有组对共有的个数为 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 （D ）10..设全集U （U ≠φ），已知集合M 、N 、P ，且M ＝CUN ，N ＝CUP ，则M 与P 的关系是 11..已知U=﹛（x ，y ）︱x ∈﹛1，2﹜，y ∈﹛1，2﹜﹜，A=﹛（x ，y ）︱x-y=0﹜，求UA12..设全集U=﹛1，2，3，4，5﹜，A=﹛2，5﹜，求U A 的真子集的个数13. 若S={三角形}，B={锐角三角形}，则CSB= .14.. 已知A={0，2，4}，CUA={-1，1}，CUB={-1，0，2}，求B= 15.. 已知全集U={1，2，3，4}，A={x|x2-5x+m=0，x ∈U}，求CUA 、m 第二节:交集和并集Part One ：基础知识（记住有以下6点）1．交集的定义 一般地，由所有属于A 且属于B 的元素所组成的集合,叫做A,B 的交集．记作A B （读作‘A 交B ’）， 即A B=｛x|x ∈A ，且x ∈B ｝．如：｛1,2,3,6｝ ｛1,2,5,10｝=｛1,2｝．又如：Ａ＝｛a,b,c,d,e ｝,B={c,d,e,f}.则A B={c,d,e}． 2．并集的定义 一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，叫做A,B 的并集．记作：A B （读作‘A 并B ’）， 即A B ={x|x ∈A ，或x ∈B})．如：｛1,2,3,6｝ ｛1,2,5,10｝=｛1,2,3,5,6,10｝． 3..交集、并集的性质 用文图表示 (1)若A ⊇B,则A B=B, A B=B(2)若A ⊆B 则A B=A A B=A(3)若A=B, 则A A=A A A=A(4)若A,B 相交，有公共元素，但不包含 则A B A,A B B A BA, A BB(5) )若A,B 无公共元素，则A B=Φ①交集的性质 (1)A A=A A Φ=ΦA B=B A (2)A B ⊆A, A B ⊆B ．BA②并集的性质 (1)A A=A (2)A Φ=A (3)A B=B A (4)A B ⊇Ａ,A B ⊇B 联系交集的性质有结论：Φ⊆A B ⊆A ⊆A B ．4. 德摩根律：(CuA) (CuB)= Cu (A B), (CuA) (CuB)= Cu(A B)(可以用韦恩图来理解)． 结合补集，还有①A (CuA)=U, ②A (CuA)= ΦPart Two ：例题解析（注意领悟每一个题目与基础知识点的对应关系，通过题目再次深刻理解基础知识） 题型一：基础的交集与并集的计算：注意数集的交集和并集运算的图像法 例1 设A=｛x|x>-2｝,B=｛x|x<3｝，求A B.例2 设A=｛x|x 是等腰三角形｝，B=｛x|x 是直角三角形｝，求A B.例3 A=｛4,5,6,8｝,B=｛3,5,7,8｝，求A B.例4设A=｛x|x 是锐角三角形｝，B=｛x|x 是钝角三角形｝，求A B.例5设A=｛x|-1<x<2｝,B=｛x|1<x<3｝，求A ∪B. 例6设A=｛(x,y)|y=-4x+6｝,｛(x,y)|y=5x-3｝,求A B.例7已知A 是奇数集,B 是偶数集，Z 为整数集，求A B,A Z,B Z,A B,A Z,B Z.8 已知U={},8,7,6,5,4,3,2,1()B C A U ⋂{},8,1=()BA C U ⋂{}6,2= ()(){},7,4=⋂BC A C U U 则集合A=例9．设集合A={-4，2m-1,m2}，B={9，m-5，1-m}，又A B={9},求实数m 的值.例10.设A={x|x2+ax+b=0},B={x|x2+cx+15=0},又A B={3，5}，A ∩B={3}，求实数a,b,c 的值.. 例11. 已知集合A={y|y=x2-4x+5},B={x|y=x -5}求A ∩B,A ∪B ．Part Three ：练习1．P=｛a2,a+2,-3｝,Q=｛a-2,2a+1,a2+1｝,P Q=｛-3｝,求a ．2..已知全集U=A B=｛1,3,5,7,9｝,A (CUB)=｛3,7｝, (CUA) B=｛5,9｝.则A B=____．3 已知A ＝{x| x2－ax ＋a2－19=0}, B={x| x2－5x ＋8=2}, C={x| x2＋2x －8=0},若ο/⊂A ∩B ，且A ∩C ＝ο/，求a 的值4.. 已知元素(1, 2)∈A ∩B ，并且A ＝{(x, y)| mx －y2＋n=0},B={(x, y)| x2－my －n=0},求m, n 的值5. 已知集合A={x|x2+4x-12=0}、B={x|x2+kx-k=0}.若B B A = ，求k 的取值范围6. 若集合M 、N 、P 是全集S 的子集，则图中阴影部分表示的集合是（ ） A.P N M )( B ．P N M )( C ．P C N M S )( D ．P C N M S )(集合中段测试 一、选择题1、下列六个关系式：①{}{}a b b a ,,⊆ ②{}{}a b b a ,,= ③Φ=}0{ ④}0{0∈ ⑤}0{∈Φ ⑥}0{⊆Φ 其中正确的个数为( ) (A) 6个 (B) 5个 (C) 4个 (D) 少于4个 2．下列各对象可以组成集合的是（ ）MN P第9题（A ）与1非常接近的全体实数 （B ）某校2002-2003学年度笫一学期全体高一学生 （C ）高一年级视力比较好的同学 （D ）与无理数π相差很小的全体实数3、已知集合P M ,满足M P M = ，则一定有（ ）(A) P M = (B)P M ⊇ (C) M P M = (D) P M ⊆4、集合A 含有10个元素，集合B 含有8个元素，集合A ∩B 含有3个元素，则集合A ∪B 的元素个数为（ ） (A)10个 (B)8个 (C)18个 (D) 15个5．设全集U=R ，M={x|x.≥1}， N ={x|0≤x<5},则（C U M ）∪（C U N ）为（ ）（A ）{x|x.≥0} （B ）{x|x<1 或x≥5} （C ）{x|x≤1或x≥5} （D ）{x| x 〈0或x≥5 }6．设集合{}x A ,4,1=，{}2,1x B =，且{}x B A ,4,1=⋃，则满足条件的实数x 的个数是（ ） （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个.7．已知集合M ⊆{4,7,8},且M 中至多有一个偶数，则这样的集合共有（ ） （A ）3个 （B ）4个 （C ）5个 （D ）6个8．已知全集U ＝{非零整数}，集合A ＝{x||x+2|>4, x ∈U}, 则C U A ＝（ ） （A ）{-6 , -5 , -4 , -3 , -2 , -1 , 0 , 1 , 2 } （B ）{-6 , -5 , -4 , -3 , -2 , -1 , 1 , 2 } （C ）{ -5 , -4 , -3 , -2 , 0 , -1 , 1 } （D ）{ -5 , -4 , -3 , -2 , -1 , 1 }9、已知集合{}}8,7,3{},9,6,3,1{,5,4,3,2,1,0===C B A ，则C B A )(等于 (A){0,1,2,6} (B){3,7,8,} (C){1,3,7,8} (D){1,3,6,7,8}10、满足条件{}{}1,01,0=A 的所有集合A 的个数是（ ） (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个11、如右图，那么阴影部分所表示的集合是（ ）(A))]([C A C B U (B))()(C B B A (C))()(B C C A U (D)B C A C U )]([ 12．定义A －B={x|x ∈A 且x ∉B}, 若A={1，2，3，4，5}，B={2，3，6}，则A －（A －B ）等于（ ）(A)B (B){}3,2 (C) {}5,4,1 (D) {}6 二．填空题13．集合P=(){}0,=+y x y x ，Q=(){}2,=-y x y x ，则A ∩B= 14．不等式|x-1|>-3的解集是 15．已知集合A= 用列举法表示集合A=16 已知U={},8,7,6,5,4,3,2,1(){},8,1=⋂B C A U {},6,2=B ()(){},7,4=⋂B C A C U U 则集合A= 三．解答题17．已知集合A={}.,0232R a x ax R x ∈=+-∈1）若A 是空集，求a 的取值范围； 2）若A 中只有一个元素，求a 的值，并把这个元素写出来； 3）若A 中至多只有一个元素，求a 的取值范围18．已知全集U=R ，集合A={},022=++px xx {},052=+-=q x x x B {}2=⋂B A C U 若，试用列举法表示集合A集合单元小结基础训练 参考答案C ；2．B ；3.B ；4.D ；5.B ；6.C ；7.D ；8.B ；9.C ；10.D ；11.C ；12.B;13. (){}1,1-; 14.R; 15. {}5,4,3,2,0; 16{}8,5,3,1 ,⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈∈N x17.1)a>89 ; 2）a=0或a=89；3）a=0或a≥89 18.⎭⎬⎫⎩⎨⎧32,319*．CUA={}321≤≤=x x x 或 CUB={}2=x x A ∩B=A A ∩（CUB ）=φ （CUA ）∩B={}3212≤<=x x x 或1 20*． a=－1或2≤a≤3.。

第一章集合1.1集合的含义与表示集合：由一个或多个确定的元素所构成的整体叫做集合。

（课本：指定的某些对象的全体是集合）（数的集合叫数集）A={a,b,c} O={1,6}元素：集合中的每个对象叫集合的元素。

属于&不属于对O来说，1∈O，5∉O。

N Z Q R N*/N+注意正整数集中*的位置（星星在天上）列举法&描述法A={1,2,3} B={x|x<9}有限集：含有有限个元素无限集：含有无限个元素怪胎——空集Φ:不含任何元素的集合。

※小测试：-2__Z 3__R 1.5__N 0__N* π__Q __ Q e__Q ?e是极为常用的超越数之一，它的值大约是e = 2.7182818284590……e = （1+）n （当n→∞时）（∞，无穷大，分为+∞与-∞，统称为无穷大∞）1.2集合的关系包含&包含于A ⊆B 读作A包含于B B A 读作B包含A子集&真子集当A包含于B时，说A是B的子集，当B中还含有A中没有的元素时，称A是B的真子集（或称A真包含于B），否则有A=B。

空集∅是任何集合的子集空集∅是任何非空集合的真子集Venn图（韦恩）图在数轴上表示集合※小测试：1.写出下列集合的所有子集{a,b} {1,2,6,8} {x|x=2且x≠3}2n 2n-12.若A={x|(x+2)(x-6)<0},B={y|y∈N},C={x|x∈Z}，则A B A C B Z3.判断正误1∈{1，2} a∈{1,2,3} {1}∈{1,2,3}2∈{1,2.3} {b}⊆{a,c,b} {x|x=2}⊆{x|x≥2}1.3集合的基本运算交集&并集A与B的所有相同元素组成的集合为A与B的交集记作A∩BA与B的所有元素组成的集合为A与B的交集记作A∪B全集&补集给出一个集合U，定义为全集，再给出集合A，若A是U的真子集，则U中除去所有A 元素后剩下的元素组成的集合称为A的补集，记作∁U A 。

第一讲 集合一、集合中元素的互异性1、设集合 A={2 , a 2-a+2,1-a}, 且 4 A,求 a 的值.2、已知集合A =dx-‘x 2 _3卜求实数x 应满足的条件•二、集合的描述法表示3、已知集合 X={0,1}, Y={x|x -X}, 写出集合Y.四、分类讨论29、已知集合 A={x|x +4x=0},B={x|x 2+2(a+1)x+a 2-仁0}, 若 B_ A, 求实数a 的值.4、与集合 A={x ・R|x _3}相等的集合是•••( )2 2A. {x|y=x +3}B. {y|y=x +3}C. {(x,y)|y=x 2+3}D. {y=x 2+3}5、画出下列集合所表示的图形：(1) {P|PO=3cm} (O 为定点，P 为平面内动点) (2) {(x,y)|y=x};⑶{(x,y)| y =1}x2 210、已知集合 A={a ,a+1,-3},B={a-3,2a-1,a +1},若A n B={-3}，求实数a 的值.6、已知 a Z,A={(x,y)|ax-y < 3},且(2,1)A , (1,-4)- A,求 a 的值.7、已知集合A={x|-2<x<5},B={x|m+1<x<3m+5}满足 B 二A,求实数m 的取值范围._ 28、已知 M={x|x +2x+1=0}, N={x|ax-仁0},且N M,求a 的值.2五、注意韦恩图的应用11、已知全集 U={x|x <50,x N},L n (C u M)={1,6}, Mn (CU_)={2,3},C u (M U N)={0,5},求集合 M 和 L.12、下列表示图形中的阴影部分的是 A. (A U C) n (B U C) B. (A U B) n (A U C) C. (A U B) n (B U C) D. (A U B) n C13、集合U, M N, P 如图所示，则图中阴影部分 所表示的集合是 A . Mn ( N U P ) C.M U C ( N n P )B.M n C ( N U P )14、设全集为u,用集合A B 、C 的交、并、补集 符号表图中的阴影部分：(1) ________________________________ (2) __________________________ (3) ___________________________六、注意一些等价关系的应用 15、 填空:(1)若 B,则 A n B= _________ , A U B= ________ ;⑵ 若 A n B=A ，则 A __ B, A U B=A,则 A _____B; ⑶若 A n B=A U B,则 A _____ B;(4)若©呈A,意味着什么？ ______________________ 16、 填空(1) _____________ C U (A n B) (C U A ) U (C U B); (2) _____________ C u (A U B) (C u A) n (C u B).17、已知集合 A={x|x 2-3X +2=0},2B={x|x -ax+3a-5=0},若 A n B =B,求实数 a 的取值 范围•2 218、已知 A={x|x +px+q=O},B={x|x— 3x+2=0},且A U B=B,求p 、q 的关系或p 、q 的值.2 219、已知集合 A ={ x € R | x +2ax+2a -4a+4 = 0}, 若空=A ,求实数a 的取值范围.2 220、集合 A ={ x | x — ax + a — 19 = 0},2B ={ x | x — 5x + 6= 0},2C ={ x | x + 2x — 8= 0}.(1)若 A n B = A U B,求 a 的值； ⑵若』-A n B, A n C = •一，求a 的值.七、补集思想(正难则反)221、已知集合 A={x|x -4mx+2m=6=0},B={x|x<0},若An B= '■,求实数m 的取值范围2例22集合A={x|mx -2x+仁0,x - R},若集合A 中至 多有一个元素，求实数m 的取值范围.(1)y=-2x; (2)y=-2x+3; (3)y=2x;(4)y=x 2; (5)y=-x2 2;(6)y=x +1;2(7)y=x -1 :(8)y=(x+1)2 2+1; (9)y=(x-1) -1(五)对称法作函数图像函数y=f(x)与函数y=-f(x)的图像关于x 轴对称， 函数y=f(x)与函数y=f(-x)的图像关于y 轴对称. 例 5 已知 f(x)=x 2-6X +5,(1)作出函数y=-f(x)的图像；⑵作出函数y=f(-x)的图像.总结：一次函数作图方法是二次函数图像作法是 作图要求:(六)翻折法作图函数y=|f(x)|的图像可由函数 y=f(x)的图像 把x 轴下方部分向上翻折而得到；函数y=f(|x|)的图像关于y 轴对称，而且其在 y 轴右侧的图像与函数 y=f(x)在y 轴右侧的图像完全相同.例6 已知函数f(x)=-x -2x+3,(1)作出函数y=|f(x)|的图像； ⑵作出函数y=f(|x|) 的图像.(三)作分段函数的图像例3作出函数y=|x-1|+|x+1| 的图像.第二讲 函数一、函数的图像的作法 (一)基本函数的图像 基本函数是指： 1、正比例函数 2、一次函数 3、反比例函数 4、二次函数 例题1作出下列函数图像：(四)平移法作函数图像函数y=f(x f a) 士 b 的图像可由函数 y=f(x)的 图像进行左右或上下平移得到 例4 作出下列函数的图像: 1(i)y=; (2)X +1(二)作限制自变量取值范围的基本函数图像 例2作出下列函数的图像： (1)y=x 2-4x+3,x[0,3]; 2⑵y=x -4x+3,x[-1,1];2⑶二、函数图像的应用 (一)求函数的值域 例7求出下列函数的值域：2⑴y=|x-3|+|x-5|; (2)y=-x+6x-5,x[0,7];1⑶y= — ,x [-1,0) U (0,1].x1 2 1例 10 已知 f (x ) = x 2 1 求 f(x).x x(二) 待定系数法例 11 一次函数 f(x)满足 f[f(x)]=2x+1, 求 f(x).(三) 赋值消元法1例12 已知函数f(x)满足f(x)-2f( ) = x ， x 求f(x)的解析式•例13已知函数f(x)满足2f(x)-f(-x)=2x, 求 f(x).1(1)y=; (2)y=x —2(3) y=-x 2+8X -7,X ：=[1,6]; 2(4) y=x -3|x|+2; (5)y=|xx 1 x - 32-4X +3|.三、求函数的解析式常见题型与方法 (一)换元法例 9 已知 f(x+1)=x -2x-15,求 f(x).(二)求函数的单调区间 例8求下列函数的单调区间:四抽象函数定义域问题抽象函数是指未给出函数解析式的函数•(一) 已知f(x)的定义域，求f[h(x)] 的定义域例14已知f(x)的定义域是[-1,4], 求f(x 2-2x-4) 的定义域.五二次函数在闭区间上的最值问题(一) 定区间定对称轴型例17 已知f(x)=x 2+2X-1,X三[1, I3],求函数f(x)的最大值与最小值.__ 2例18 函数f(x)=ax -2ax+2+b(a > 0)在区间[2,3] 上的最大值为5最小值为2,求a,b的值.(二) 已知f[h(x)] 的定义域，求f(x)的定义域例15已知函数f(2x-1)的定义域是[1,2],求函数f(x)的定义域.(二)定轴动区间型例19 设二次函数f(x)=x -2x-1在区间[t,t+1] 上的最小值是g(t),求g(t)的解析式.(三) 已知f[h(x)] 的定义域，求f[g(x)] 的定义域例16 若f(x+1)的定义域是[-1,2], 求函数f(2x-1)的定义域.(三)动轴定区间型2例20 已知函数f(x)=x +ax+3在区间[-2,2]上的最大值为g(a),求g(a).例22函数f(x)的定义域为(0, +R ),对任意x i , X 2 三(0, +8)都有 f(x i X 2)=f(X i )+f(x 2),当 x>1 时，f(x)>0,且 f(2)=2,求 f(x)在区间［8,i6］上的 最大与最小值.七抽象函数的奇偶性 (一)奇偶性的判定例25已知函数f(x)定义域为R,且对任意实数 a,b 都有f(a+b)=f(a)+f(b), 求证函数f(x)为奇函数•例26 已知f(x)是定义在 R 上的不恒为零的函 数，且对任意 a,b - R 都有 f(ab)=bf(a)+af(b). (i)求 f(i),f(-i)；⑵判断f(x)的奇偶性.六抽象函数的单调性 (一)利用单调性求最值例21已知函数f(x)满足f(-x)=-f(x), 对任意 x i , X 2 .二 R 都有 f(x 1+ x 2)=f(x i )+f(x 2),且 x>0 时, f(x)<0,f(1)=-2, 求 f(x)在区间［-3,3］上的最值.例24已知函数f(x)定义域为(0, +8),且对任 意的 X i , X 2 二(0 , +8)都有 f(x i X 2)=f(X i ) + f(x 2), 且当 x>i 时，f(x)>0,又知 f(4)=i.i(i)求证：f(i)=0；(2) 求 f( )；i6⑶解不等式f(3)+f(x-i) w i.(二)利用单调性解不等式或比较大小 例23已知函数f(x)是定义在(-i,i )上的增函 数，且f(t-i)<f(i-2t), 求实数t 的取值范围.例28定义在区间［-2,2］上的奇函数f(x)为减函 数，且f(a)+f(a-1)>0, 求实数a 的取值范围•例32已知函数f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，2且 f(x)-g(x)=-x +3x-2,求 f(x),g(x) 的解析式•九分段函数的单调性与奇偶性‘X —1,x 兰0例29求证函数f(x)=丿在R 上是增x+1, XA O函数•x -1,x 0* 0, x = 0的奇偶性•X +1,X co八函数单调性与奇偶性综合例27已知函数f(x)为定义在［-5,5］上的奇函数， 且在［0.5］上单调递减，比较 f(-二)与f(3)的大小.例31已知函数f(x)是定义在［-3,3］上的偶函数， 且当x 三［0,3］时，f(x)=-2x+1 ，求函数f(x)的解析式•例30判断函数f(x)=。

学科教师辅导讲义学员编号：年级：高一课时数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：授课主题第01讲---集合授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标①了解集合的含义、元素与集合的属于关系；②理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；③理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；④理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；⑤能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算。

授课日期及时段T（Textbook-Based）——同步课堂知识概念（一）元素与集合(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．（二）集合间的基本关系表示关系文字语言符号语言集合间的基本关系相等集合A与集合B中的所有元素都相同A＝B 子集A中任意一个元素均为B中的元素A⊆B真子集A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素不是A中的元素A B 空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集体系搭建（三）集合间的基本运算集合的并集 集合的交集 集合的补集图形 语言符号 语言A ∪B ＝{x |x ∈A ，或x ∈B } A ∩B ＝{x |x ∈A ，且x ∈B }∁U A ＝{x |x ∈U ，且x ∉A }（四）集合的运算性质并集的性质：A ∪∅＝A ；A ∪A ＝A ；A ∪B ＝B ∪A ；A ∪B ＝A ⇔B ⊆A ．交集的性质：A ∩∅＝∅；A ∩A ＝A ；A ∩B ＝B ∩A ；A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ．补集的性质：A ∪(∁U A )＝U ；A ∩(∁U A )＝∅；∁U (∁U A )＝A ．考点一：集合的含义与表示例1、设集合A ＝{1,2,3}，B ＝{4,5}，M ＝{x|x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B}，则M 中的元素个数为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6例2、设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，ba ，b ，则b －a ＝________.例3、现有三个实数的集合，既可以表示为{,,1}b a a，也可以表示为2{,,0}a a b +，则20142014a b +=________例4、设非空集合{|}S x m x l =≤≤满足：当x S ∈时，有2x S ∈.给出如下三个命题：①若1m =，则{1}S =；②若12m =-，则114l ≤≤；③若12l =，则202m -≤≤.其中正确命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3典例分析考点二：集合间的基本关系例1、已知集合A ＝{x|y ＝ln(x ＋3)}，B ＝{x|x≥2}，则下列结论正确的是( ) A ．A ＝B B ．A∩B＝∅ C ．A ⊆B D ．B ⊆A例2、若{1},{1}P x x Q x x =<>-，则（ ）A. P Q ⊆B. Q P ⊆C. Q P C R ⊆D. P C Q R ⊆考点三：集合的运算例1、角度1 50名同学参加跳远和铅球测验，测验成绩及格的分别为40人和31人，2项测验成绩均不及格的有4人，2项测验成绩都及格的人数是 （ ）A ．35B ．25C ．28D ．15例2、若全集{1,2,3,4,5,6},{2,3},{1,4}U M N ===,则集合{5,6}等于（ ）A. MN B. MN C. )()(N C M C U U ⋃ D. )()(N C M C U U ⋂例3、已知全集U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A ＝{2,3,5,6}，集合B ＝{1,3,4,6,7}，则集合A ∩(∁UB)等于( ) A ．{2,5} B ．{3,6} C ．{2,5,6} D ．{2,3,5,6,8}考点四：补集思想的应用例1、已知集合2{|20},{|49},A x x x a B x a x a =++≤=≤≤-若,A B 中至少有一个不是空集，则a 的取值范围是__________考点五：集合创新问题的探究例1、设数集31{|},{|},43M x m x m N x n x n =≤≤+=-≤≤且,M N 都是集合{|01}Q x x =≤≤的子集，如果把b a -叫做集合{|}x a x b ≤≤的“长度”，那么集合M N 的“长度”的最小值是（ ）A ．13B ．23 C ．112 D ．512考点六：忽视空集例1、设{|26},{|23},A x x B x a x a =≤≤=≤≤+若B A ⊆，则实数a 的取值范围是_________ 易失分提示：由B A ⊆可知，有B =∅和B ≠∅两种情况，容易忽略空集的情况.考点七：忽视集合中元素的三特性 例1、设数集2{1,3,},{,1},A x B x ==且{1,3,}AB x =，则x 的不同取值的个数是（）A ．2B ．3C ．4D ．5P (Practice-Oriented)——实战演练➢ 课堂狙击1、已知集合A={1，2，3，4}，B={y|y=3x ﹣2，x ∈A}，则A∩B=（ ） A ．{1} B ．{4} C ．{1，3} D ．{1，4}实战演练2、已知集合P={n|n=2k ﹣1，k ∈N +，k ≤50}，Q={2，3，5}，则集合T={xy|x ∈P ，y ∈Q}中元素的个数为（ ） A ．147 B ．140 C ．130 D ．1173、已知全集U=R ，A=，B={x|lnx ＜0}，则A∪B=（ ）A ．{x|﹣1≤x ≤2}B ．{x|﹣1≤x ＜2}C ．{x|x ＜﹣1或x ≥2}D ．{x|0＜x ＜2} 4、若集合，B={1，m}，若A ⊆B ，则m 的值为（ ）A ．2B ．﹣1C ．﹣1或2D ．2或5、已知集合A={1，2}，B={x|ax ﹣1=0}，若A∩B=B，则实数a 的取值个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．36、已知全集U ＝{－2，－1,0,1,2}，集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ＝2n －1，x ，n ∈Z ，则∁UA ＝________.7、已知有限集A={a 1，a 2，a 3…，a n }（n ≥2）．如果A 中元素a i （i=1，2，3，…，n ）满足a 1a 2…a n =a 1+a 2+…+a n ，就称A 为“复活集”，给出下列结论： ①集合{，}是“复活集”；②若a 1，a 2∈R ，且{a 1，a 2}是“复活集”，则a 1a 2＞4； ③若a 1，a 2∈N *则{a 1，a 2}不可能是“复活集”； ④若a i ∈N *，则“复合集”A 有且只有一个，且n=3．其中正确的结论是 ．（填上你认为所有正确的结论序号）➢ 课后反击1、已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ∈Z ，且32－x ∈Z ，则集合A 中的元素个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．52、已知集合A={1，2，3}，B={y|y=2x ﹣1，x ∈A}，则A∩B=（ ） A ．{1，3} B ．{1，2}C ．{2，3}D ．{1，2，3}3、设集合P={x|0≤x ≤}，m=，则下列关系中正确的是（ ）A ．m ⊆PB ．m ⊈PC ．m ∈PD ．m ∉P4、设集合A ＝{x|21－x >1，x ∈R}，B ＝{x|y ＝1－x2}，则(∁RA)∩B 等于( )A ．{x|－1≤x≤1}B ．{x|－1<x<1}C ．{－1,1}D ．{1}5、用C （A ）表示非空集合A 中的元素个数，定义A*B=，若A={x|x 2﹣ax﹣2=0，a ∈R}，B={x||x 2+bx+2|=2，b ∈R}，且A*B=2，则b 的取值范围（ ） A ．b ≥2或b ≤﹣2B ．b ＞2或b ＜﹣2C ．b ≥4或b ≤﹣4D ．b ＞4或b ＜﹣46、已知集合A ＝{x|1≤x<5}，C ＝{x|－a<x≤a＋3}．若C∩A＝C ，则a 的取值范围是________．7、设M 是一个非空集合，#是它的一种运算，如果满足以下条件： （Ⅰ）对M 中任意元素a ，b ，c 都有（a#b ）#c=a#（b#c ）； （Ⅱ）对M 中任意两个元素a ，b ，满足a#b ∈M ． 则称M 对运算#封闭．下列集合对加法运算和乘法运算都封闭的为 ． ①{﹣2，﹣1，1，2} ②{1，﹣1，0} ③Z ④Q．集合新定义题解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：(1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；(2)用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质．1、【2016高考新课标1理数】设集合{}2430A x x x =-+< ,{}230x x ->,则AB = （ ）（A ）33,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭ （B ）33,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ （C ）31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ （D ）3,32⎛⎫⎪⎝⎭战术指导直击高考2、【2016年高考四川理数】设集合{|22}A x x =-≤≤，Z 为整数集，则AZ 中元素的个数是（ ）（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）63、【2016高考新课标2理数】已知集合{1,}A =2,3，{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ，则A B =（ ）（A ）{1} （B ）{12}， （C ）{0123}，，， （D ）{10123}-，，，，4、【2016高考浙江理数】已知集合{}{}213,4,P x x Q x x =∈≤≤=∈≥R R 则()P Q ⋃=R （ ）A ．[2,3]B ．( -2,3 ]C ．[1,2)D ．(,2][1,)-∞-⋃+∞5、【2015高考浙江，理1】已知集合2{20}P x x x =-≥，{12}Q x x =<≤，则()R P Q =（ ）A.[0,1)B. (0,2]C. (1,2)D. [1,2]S (Summary-Embedded)——归纳总结考点一：集合的含义与表示 考点二：集合间的基本关系 考点三：集合的运算 考点四：补集思想的应用 考点五：集合创新问题的探究 考点六：忽视空集考点七：忽视集合中元素的三特性重点回顾名师点拨集合题目的方法总结：一： (1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解；(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系．常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．二：(1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型集合；(2)集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．三：一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn图表示；集合中的元素若是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．(2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化．学霸经验➢本节课我学到了➢我需要努力的地方是学科教师辅导讲义学员编号：年级：高一课时数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：授课主题第02讲---函数的基本概念授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标了解构成函数的要素，会求函数的定义域和值域。

广东省佛山市升高中数学讲义第一讲集合新人教A版必修1【知识要点】二、要点分析1、集合的含义与表示：（1）集合的含义：把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合（简称集）。

（2）集合中元素的特性：①性：给定的集合，它的元素是确定的。

②性：一个给定集合中的元素是互不相同的。

③性：集合与其中元素的排列次序无关。

（3）集合的表示：①列举法：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法。

②描述法：用集合所含元素的表示集合的方法。

具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。

③韦恩图法：为了形象地表示集合，常画一条封闭的曲线，用它的内部来表示一个集合。

2、集合间的关系（1）子集：对于两个集合A、B，如果集合A中都是集合B中的元素，则这两个集合有关系，称集合A是集合B的，记。

（2）集合相等：若A⊆B，B⊆A，则集合A与集合B相等，记作。

（3）真子集：若A⊆B，但存在元素x∈B，且，则称A是B的，记作。

（4）性质：①任何一个集合A都是它本身的子集，即A⊆A。

②空集是任何集合的，是任何非空集合的。

③n 个元素的集合有 个子集，有 个真子集。

3、集合的运算（1）并集：由所有属于集合A 集合B 的元素所组成的集合，称为集合A 与B 的 ，记作 ，即A∪B＝{x | }。

（2）交集：由所有属于集合A 属于集合B 的元素组成的集合，称为A 与B 的 ，记作 ，即A∩B＝{x | }。

（3）补集：对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为A 相对于全集U 的 ，简称A 的补集，记作 ，即C u A ＝{x | }。

（4）重要性质：A∩B＝A ⇒A ⊆B ；A∪B＝A ⇒B ⊆A三、方法指导【学法指导】1、在进行集合运算时，不能忘了∅。

2、在进行集合运算时，要确定好集合属于哪一类集合（数集、点集或图形等）。

一、集合的含义与表示1、集合与元素的含义(1)集合：一般地，指定的某些对象的全体称为集合，集合常用大写字母A，B，C，D，…标记．(2)元素：集合中的每个对象叫作这个集合的元素，元素常用小写字母a，b，c，d，…标记．2、元素与集合的关系集合中元素的特性：确定性，互异性，无序性。

3、数的集合称为数集，常用数集及表示符号4．集合常用表示法有列举法和描述法(1)列举法：把集合中的元素一一列举出来写在大括号内的方法．(2)描述法：用确定的条件表示某些对象属于一个集合并写在大括号内的方法．5、例题讲解：例1 用列举法表示下列集合：（1）由大于3小于10的整数组成的集合；{4，5，6，7，8，9}（2）方程x2-9=0的解的集合。

{－3，3}例2 用描述法表示下列集合：（1）小于10的所有有理数组成的集合；{x∈Q|x<10}（2）所有偶数组成的集合。

{x|x=2n,n∈z}5．集合的分类(1)有限集：含有限个元素的集合。

(2)无限集：含无限个元素的集。

(3)空集：不含任何元素的集，记作φ。

【达标训练】1、下列所给关系正确的个数是（ ）A.1B.2C.3D.42、用列举法表示集合{x|x 2-2x+1=0}为（ ） A.{1,1} B.{1} C.{X=1} D.{X 2-2X+1=0}4、已知集合{x |x (x －1)=0}，那么（ ）5、下列集合中不是空集的是（ ）6、7、已知{}21,0,x x ∈，求实数x 的值．【拓展延伸】1、已知集合A={0，1}，B=｛－1，0，a +3｝，且A ⊆B ，则a 等于（ ） A 、1B 、0C 、－2D 、－32、设A=11,ab a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，，B=｛0，1，a ｝，若A=B ，则a =，b =．二、集合的基本关系1、Venn 图为了直观地表示集合间的关系，我们常用封闭曲线的内部表示集合，称为Venn 图。

那么集合的表示方法就有3种：描述法，列举法，图象法。