力矩 刚体绕定轴转动定律
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力矩的功刚体动能定理
3.一根长l质量为m 的匀质细杆，其一端固定在光滑的 水平轴O，可以在竖直平面内转动。最初杆静止在水 平位置。求:杆由初始位置下摆 时的角速度?
θβ
解: 方法一用转动定律求解(略)
方法二用转动动能定理求解
杆处在β时,力矩 M mg l cos
杆转过d时, dA Md mg l cosd
2
2
A EK
k = 2.74×10-4 N·m·rad-2·s2. 求（2）吊扇由静止匀加
速的达到第二档转速经历的时间为 5s . 在此时间内阻力
矩做了多少功 ?
解: 吊扇由静止作匀角加速度运动
2
t5
t
阻力矩做功 W Mf 2d k3dt
W t k 3t3dt 1 k 3t 4
0
4
在 t ＝ 5s 时间内 W 84.8 J
EkA EpA EkB EpB
EkA EpA EkB EpB
o
m, l A
EkA EPA 0
m
EkB
1 2
J 2
J J1 J2
J 1 ml2 ml2 4 ml2
mg
B
mg
3
3
EpB
(mg
l 2
sin
mgl sin )
3 mgl sin
2
0 3 ml22 3 mgl sin 3 ( g sin )1 2
合外力矩对绕定轴转动的刚体所作的功等于刚 体转动动能的增量。
与质点运动类似，若刚体转动过程中，只有 保守力做功，同样刚体的机械能守恒。
3. 刚体的重力势能
y
N
N
mi yi
E p
mi gyi
i 1
Mg
i 1
刚体的定轴转动定律公式
刚体的定轴转动定律公式
刚体的定轴转动定律公式是描述刚体绕定轴转动的物理规律的公式。
在刚体绕定轴转动时，其角加速度与作用力矩成正比，与转动惯量成反比。
具体公式为：
M = Iα
其中，M表示作用力矩，I表示转动惯量，α表示角加速度。
这个公式的意义在于，当一个刚体绕定轴转动时，其转动惯量越大，需要的作用力矩也就越大，才能使其达到相同的角加速度。
反之，转动惯量越小，需要的作用力矩也就越小。
这个公式在实际应用中非常重要。
例如，在机械工程中，我们需要设计各种机械零件的转动部件，这时就需要考虑转动惯量的大小，以及所需的作用力矩大小。
只有在合理地设计转动部件的转动惯量和作用力矩，才能保证机械零件的正常运转。
刚体的定轴转动定律公式还可以用来解决一些物理问题。
例如，当我们需要计算一个刚体绕定轴转动的角加速度时，可以通过测量作用力矩和转动惯量，然后代入公式中进行计算。
刚体的定轴转动定律公式是描述刚体绕定轴转动的重要公式，它在机械工程和物理学等领域都有着广泛的应用。
力矩 刚体绕定轴转动定律-精品文档
力矩 刚体绕定轴转动定律
一、刚体绕定轴转动的力矩
z
F//
F
F对点O转动的力矩:
MO
O
Mz
y
x
r
P
F
F对定轴z转动的力矩:
M r F O r F r F //
M r F z
二、定轴转动定律
M β z J
M J Fr 2 M Fr 39 . 2 [ rad /s ]
mg T ma
Tr J
J
r
O
T
F
mg
(2)
ar
21 . 8 [ rad /s]
2
例: 均匀细直棒m 、l ，可绕轴 O 在竖直平面内转动 初始时它在水平位置 m l O 求: 它由此下摆 角时的
转动惯量与转轴有关
例: 求圆环绕中心轴旋转的转动惯量
2 解: dm 转动惯量 d JR d m
2 J R d m R d m mR 2 2 0 0 L L
dl R o
m
例: 求圆盘绕中心轴旋转的转动惯量 m 2 mr m d S 解: d 2 2πrdr 2 dr πR R dm 转动惯量 d J r2d m
M r d f df 的力矩 d
R
2 d M mgR 圆盘摩擦力矩 M 0 2 1 2d 3 mgR mR
d M
d 3 转动定律 MJ dt 3R0 t 0 3 R t d t d 0 4g g 04
2
d t
例: 一均质棒，长度为 l，现有一水平打 击力F 作用于距轴 l 处。 求: l =? 时, 轴对棒作用力的水平分量为 0。
一、刚体绕定轴转动的力矩
z
F//
F
F对点O转动的力矩:
MO
O
Mz
y
x
r
P
F
F对定轴z转动的力矩:
M r F O r F r F //
M r F z
二、定轴转动定律
M β z J
M J Fr 2 M Fr 39 . 2 [ rad /s ]
mg T ma
Tr J
J
r
O
T
F
mg
(2)
ar
21 . 8 [ rad /s]
2
例: 均匀细直棒m 、l ，可绕轴 O 在竖直平面内转动 初始时它在水平位置 m l O 求: 它由此下摆 角时的
转动惯量与转轴有关
例: 求圆环绕中心轴旋转的转动惯量
2 解: dm 转动惯量 d JR d m
2 J R d m R d m mR 2 2 0 0 L L
dl R o
m
例: 求圆盘绕中心轴旋转的转动惯量 m 2 mr m d S 解: d 2 2πrdr 2 dr πR R dm 转动惯量 d J r2d m
M r d f df 的力矩 d
R
2 d M mgR 圆盘摩擦力矩 M 0 2 1 2d 3 mgR mR
d M
d 3 转动定律 MJ dt 3R0 t 0 3 R t d t d 0 4g g 04
2
d t
例: 一均质棒，长度为 l，现有一水平打 击力F 作用于距轴 l 处。 求: l =? 时, 轴对棒作用力的水平分量为 0。
刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律
刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律
1、刚体定轴转动的角动量
刚体绕定轴转动的角动量等于刚体对该轴的转动惯量与角速度的乘积；方向与角速度的方向相同。
2、刚体定轴转动的角动量定理
（1）微分形式：刚体绕某定轴转动时，作用于刚体的合外力矩，等于刚体绕该定轴的角动量随时间的变化率。
（2）积分形式：当物体绕某定轴转动时，作用在物体上的冲量矩等于角动量的增量。
3、刚体定轴转动的角动量守恒定律
如果物体所受的合外力矩等于零，或者不受外力矩作用，物体的角动量保持不变。
练习：1角动量守恒的条件是 。
0=M 11222
1ωωJ J Mdt t t -=⎰刚体 ） 21J J ==ωJ 恒量
ωJ L =()ωJ dt d dt dL M ==。
定轴转动刚体的转动定律度力矩角动量转动惯量
Iz Ix Iy
z
定理证明：
对于质量平面分布的刚体， 绕 x 轴的转动惯量为：
o
yy
Ix y2dm
x
dm
绕 y 轴的转动惯量为：
I y x2dm
x
绕 z 轴的转动惯量为：
19
z
Iz z2dm (x 2 y2 )dm
y2dm x 2dm I x I y 证毕
o
yy
x z dm
0
M
绕圆环质心轴的转动惯量为
dm
oR
I MR2
例2：在无质轻杆的 b 处 3b 处各系质量为 2m 和 m 的 质点，可绕 o 轴转动，求：质点系的转动惯量I。
解：由转动惯量的定义
I
2
mi ri 2
2mb 2
m
(3b)2
11mb 2
i 1
9
例3： 如图所示，一质量为m、长为l的均质空心圆柱
体（即圆筒圆筒）其内、外半径分别为R1和R2。试求
的质元受阻力矩大，
细杆的质量密度 m
l
质元质量 dm dx
o
xl dm m dx
x
质元受阻力矩：
dM 阻 dmgx
细杆受的阻力矩
m l
M阻
dM
阻
0l
gxdx
1 2
gl 2
1 2
mgl
4
二、定轴转动刚体的角动量
1 .质点对点的角动量
L
r
P
r
mv
作圆周运动的质点的角动量L＝rmv;
l
x2dm
L
x2dx
1 L3
0
1 mL2
0
3
A
力矩刚体绕定轴转动定律
3g cos
2l
d d dt d
d
3g cos d
0
0 2l
2 3g sin / l
例: 圆盘以 0 在桌面上转动,受摩擦力而静止
求: 到圆盘静止所需时间。
解: 取宽为dr的细圆环 其质量为
dm
σdS
π
m R2
2π
rdr
dm 摩擦力 df gdm
dr r
df
df 的力矩 dM rdf
圆盘摩擦力矩 M
R
dM
2
mgR
0
3
转动定律 M J d
dM
2 mgR 1 mR2 d
3
2 dt
dt
t
0
dt
0
0
3R d 4g
t 3R0 4g
例: 一均质棒，长度为 l，现有一水平打
击力F 作用于距轴 l 处。
求: l =? 时, 轴对棒作用力的水平分量为 0。
解: 设轴对棒的水平分力为 Nx
rO
T
mg
例: 均匀细直棒m 、l ，可绕轴 O 在竖直平面内转动
初始时它在水平位置
求: 它由此下摆 角时的
解: dm 质元 dm m dx l
O
ml
dm 重力矩 dM gdm x cos
x
M
dM
1 2
mgl cos
gdm
重力对棒的合力矩等于重力全部集中于质心所产生的力矩
M
J
J 1 ml2 3
在绳端施以 F = 98 N 的拉力，不计摩擦力
求 (1) 滑轮的角加速度；
(2) 如以重量P = 98 N 的物体挂在绳端，计算滑轮 的角加速度
力矩 刚体定轴转动的转动定律
dJ R dm
2
第3章 刚体力学基础
3–2 力矩 刚体定轴转动的转动定律
12
考虑到所有质元到转轴的距离均为R，所以细圆环对 中心轴的转动惯量为
J dJ R dm R
2 m
2
m
dm mR
2
(2)求质量为m，半径为R的圆盘对中心轴的转动惯量
m 如图 dS 2 rdr , , dm dS 2 rdr 2 R
l 2
o
P
d d d d dt d dt d
代入初始条件积分 得
第3章 刚体力学基础
3g d sin d 2l 3g (1 cos ) l
1 2 J x dx ml 0 3
l 2
由此看出，同一均匀细棒，转轴位置不同，转动惯 量不同.
第3章 刚体力学基础
3–2 力矩 刚体定轴转动的转动定律
11
例3.2 设质量为m，半径为R的细圆环和均匀圆盘分 别绕通过各自中心并与圆面垂直的轴转动，求圆环和 圆盘的转动惯量. 解 (1) 在环上任 取一质元，其质量 为dm，距离为R， 则该质元对转轴的 转动惯量为
解 (1)转轴通过棒的中心并与棒垂直
m l
dm dx
dJ x 2dm x 2dx
第3章 刚体力学基础
3–2 力矩 刚体定轴转动的转动定律
10
整个棒对中心轴的转动惯量为
J dJ
l 2 l 2
1 x dx ml 2 12
2
(2)转轴通过棒一端并与棒垂直时，整个棒对该轴的 转动惯量为
解 (1) M k 2 ，故由转动定律有
k k J 即 J 2 1 k0 0 3 9J
力矩刚体绕定轴转动定律课件
03
力矩刚体绕定轴转动的实际应用
日常生活中的应用实例
自行车轮转动
方向盘控制
当我们在骑自行车时，脚踏板施加的 力量通过链条传递到车轮上，使车轮 发生转动。
在驾驶汽车时，我们通过转动方向盘 来控制车辆的方向，方向盘的转动就 是力矩刚体绕定轴转动的实例。
门把手转动
当我们握住门把手转动时，门被推开 或关闭，这是由于门把手施加的力矩 使门发生转动。
力矩的大小决定了刚体转动的速度，力矩 越大，刚体的角速度越快。
刚体转动惯量的概念
01
02
03
转动惯量定义
转动惯量是描述刚体转动 惯性大小的物理量，与刚 体的质量分布和转动轴的 位置有关。
计算公式
对于质量均匀分布的刚体 ，转动惯量I = (1/2) * m * r^2，其中m是质量，r 是到转动轴的距离。
实验结果分析和结论
实验结果分析
通过实验数据，分析角速度与力矩之间的关系，验证力矩刚体绕定轴转动定律 。同时，比较不同转动惯量下刚体的角速度变化，加深对转动惯量影响的理解 。
实验结论
通过实验验证，可以得出力矩刚体绕定轴转动定律的正确性。同时，实验结果 也表明转动惯量对刚体的角速度有影响，转动惯量越大，相同力矩作用下刚体 的角速度越小。
05
力矩刚体绕定轴转动定律的深入探讨
力矩刚体转动过程中的能量转换
机械能转换
力矩作用在刚体上，使刚体从静 止或匀速转动状态变为加速转动 状态，在此过程中，刚体的动能 增加，而势能保持不变。
能量守恒
力矩刚体转动过程中的能量转换 符合能量守恒定律，即输入的力 矩能量等于刚体动能的变化量。
力矩刚体转动过程中的动量守恒
工业生产中的应用实例
刚体定轴转动的转动定律力矩
rk
Fk
fk
在上式两边同乘以 rk Fk rk fk rk mk ak rk mk rk rk
对所有质元求和
Fk rk fk rk ( mkrk 2 )
内力矩之和为0
转动惯量 J
刚体绕定轴转动微分方程（刚体的转动定律） M J
与牛顿第二定律比较： M F, J m, a
定轴转动刚体所受合外力矩的冲量矩等于其动量矩的增量
3. 刚体定轴转动的动量矩守恒定律
对定轴转动刚体
Mz 0
Lz 0
Jω 常量
说明
变形体绕某轴转动时，若 M z 0
则变形体对该轴的动量矩 Lz Jkk C
k
动量矩守恒举例
z
rk
mk
J t ω 常量 J t ω
J t ω
探究问题:为跳水\芭蕾舞\花样滑冰项目写一篇技术报告
Nx y
v0
m
求 它由此下摆 角时的
解 M 1 mglcos
O•
ml x
2
•C
由动能定理
A
0
Md
0
l mgcosd
2
mg
lmg sin 0 1 J2 0
2
2
J 1 ml2 3
2 3gsin
l
(3gsin )1/2
l
此题也可用机械能守恒定律方便求解
3.2.3 刚体定轴转动的角动量守恒定律
1. 质点动量矩 (角动量)定理和动量矩守恒定律
行星对太阳的位矢在相等的时间内扫过相等的面积
L mvrsin m Δr rsin 2m ΔS
Δt
Δt
ΔS
•
M Δrr
mv1
•M
力矩-转动定律资料
N
解: (1) 棒在任意位置时的重力矩
o
M L d M L ld gcm osL ldgc l oL到s C转为轴质的心距
0
0
0
离
l
•c
d
dm
1 2L 2gco s mL 2g co s mC g co Ls
mg
(2)MI1m2 L, 3g cos
3
2L
ddtd d ddtd d
a2
T2
T2
m2
m2
a1
T1
g
T2
a22mm1m 1m1(2m gm1m22m 122121m2)gm 1mm333g
2m1m2g m1 m2
1 2
m2m3g
1 2
m3
谢谢！
应用于刚体 => 转动定律
F
dp
dt
dL
M外 dt
问题归结为确定刚体的角动量。
1. 定轴转动刚体的角动量 (a) 质点对点的角动量
作圆周运动质点的角动量 L＝ rmv (b) 定轴转动刚体的角动量
Lrprm v Z
在以角速度ω作定轴转动的刚体内, 取质元 mi , 则其对OZ 轴的角动量为
T m1g
N r
m2g
由(2)式:
I
T=T’= r
代入(1)式: m1g -
I = m1a
r
所以:
m1g -
I = m1r
r
m1gr
= m1r2+I
m1g - T= m1a….(1)
T’r=I…(2) T’
a = r …(3)
T=T’ …(4)
I 1 mr 2 2
m1gr
刚体绕定轴转动的转动定律和转动惯量
0 R2
1 mR2 2
Z
m R2
R1
薄圆环
dm
ds
m (R22
R12
)
ds
ds 2 rdr
dJ r2dm
J R2 r 2
m
2 rdr
R1
(R22 R12 )
1 2
m(R22
R12 )
R
m
H
空心圆柱面
dm ds m ds 2 RH
ds 2 Rdh
dJ r2dm
J H R2 m 2 Rdh
0 2 RH
mR3
r
R
H m
实心圆柱
dm
dV
m
R2H
dV
dV 2 rHdr
dJ r2dm
J R r2 m 2 rHdr
0 R2H
R2 R1
H m
同轴空心圆柱
dm
dV
mg
H (R22
R12 )
dV
dV 2 rHdr
dJ r2dm
J R2 r2
mg
2 rHdr
R1 H (R22 R12 )
R
+
T1
+
T2
N
m
4m
2m ＋ o
P1
P2
mg
4m
T1
T2
2m
分别对人、物、滑轮建立方程：
4mg-T1 4ma人地
（1 ）
T2-2mg 2ma物地 2ma绳地 （2） R
T1R -T2 R
J
1 2
mR2
（3） m
人相对 绳匀加 速a0上爬，则
a人地 a人绳 a绳地
4m
刚体定轴转动定律
于 180°的夹角 θ 转向 F 时，拇指所指的方向就是力矩的方向。
可见，力矩的方向与转轴的方向平行，只有两个可能的方向，因此，可用 M 的正负表示力矩的方向。 一般可按力矩的作用来判断其正负：由转轴 Oz 正向俯视，若力矩的作用使刚体逆时针转动，则力矩为 正，否则为负。
刚体定轴转动定律 1.1 力矩
可加性
• 对同一转轴而言，刚体各部分转动惯量之 和等于整个刚体的转动惯量。
平行轴定理
• 设有两个彼此平行的转轴，一个通过刚体 的质心，另一个不通过质心。两平行轴之 间的距离为d，刚体的质量为m。
如果此刚体对通过质心转轴的转动惯量为 Jc ，则对另一 转轴的转动惯量 J 为 J Jc md 2
刚体定轴转动定律
刚体定轴转动定律Βιβλιοθήκη ， ，，，
例题讲解 2
如图所示，一轻绳跨过一轴承光滑的定滑轮。绳两边分别悬有质量为 m1 和 m2 的两个物体 A，B。已知 m1
小于 m2 ，滑轮可看作质量均匀分布的等厚圆盘，其质量为 m，半径为 r，设绳与滑轮间无相对滑动。求：① 物
体的加速度；② 滑轮的角加速度；③ 绳的张力。
i 1
n
用 M 表示，即 M (Δmiri2 ) β
i 1
n
n
式中的 (Δmiri2 ) 称为转动惯量，用 J 表示，即 J (Δmiri2 )
i 1
i 1
于是，式可写为 M Jβ
刚体定轴转动定律 1.2 转动定律
转动定律：刚体定轴转动时，刚体的角加速度与刚体所受的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量 成反比。
r 2 dm
Ω
式中 r ——质元 dm 到转轴的距离（m）。 在国际单位制中，转动惯量的单位为 kg m2 。
可见，力矩的方向与转轴的方向平行，只有两个可能的方向，因此，可用 M 的正负表示力矩的方向。 一般可按力矩的作用来判断其正负：由转轴 Oz 正向俯视，若力矩的作用使刚体逆时针转动，则力矩为 正，否则为负。
刚体定轴转动定律 1.1 力矩
可加性
• 对同一转轴而言，刚体各部分转动惯量之 和等于整个刚体的转动惯量。
平行轴定理
• 设有两个彼此平行的转轴，一个通过刚体 的质心，另一个不通过质心。两平行轴之 间的距离为d，刚体的质量为m。
如果此刚体对通过质心转轴的转动惯量为 Jc ，则对另一 转轴的转动惯量 J 为 J Jc md 2
刚体定轴转动定律
刚体定轴转动定律Βιβλιοθήκη ， ，，，
例题讲解 2
如图所示，一轻绳跨过一轴承光滑的定滑轮。绳两边分别悬有质量为 m1 和 m2 的两个物体 A，B。已知 m1
小于 m2 ，滑轮可看作质量均匀分布的等厚圆盘，其质量为 m，半径为 r，设绳与滑轮间无相对滑动。求：① 物
体的加速度；② 滑轮的角加速度；③ 绳的张力。
i 1
n
用 M 表示，即 M (Δmiri2 ) β
i 1
n
n
式中的 (Δmiri2 ) 称为转动惯量，用 J 表示，即 J (Δmiri2 )
i 1
i 1
于是，式可写为 M Jβ
刚体定轴转动定律 1.2 转动定律
转动定律：刚体定轴转动时，刚体的角加速度与刚体所受的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量 成反比。
r 2 dm
Ω
式中 r ——质元 dm 到转轴的距离（m）。 在国际单位制中，转动惯量的单位为 kg m2 。
大学物理-力矩-转动定律-转动惯量
F
p
18
2 – 5 刚体的定轴转动
第二章 动力学基础
解 (1) Fr J
Fr 98 0.2 39.2 rad/s2
J 0.5
mg T ma
(2) Tr J
a r
两者区别?
rO
F T
T
J
mgr mr 2
98 0.2 0.5 10 0.22
i
J r2dm
9
2 – 5 刚体的定轴转动
第二章 动力学基础
四. J 的计算
质量连续分布刚体的转动惯量
J mjrj2 r2dm dm ：质量元 j
对质量线分布的刚体： dm dl
：质量线密度
对质量面分布的刚体：
：质量面密度
对质量体分布的刚体：
在圆规迹切线方向
mk ak mk rk Fk fk
两边乘以rk，并对整个刚体求和
第二章 动力学基础
z
o
vk
mk
( mk rk2 ) Fk rk fk rk
k
k
k
5
2 – 5 刚体的定轴转动
第二章 动力学基础
( mk rk2 ) Fk rk fk rk
17
2 – 5 刚体的定轴转动
第二章 动力学基础
四、转动定律的应用举例
例1 一轻绳绕在半径 r =20 cm 的飞轮边缘， 在绳端施以F=98 N 的拉力，飞轮的转动惯量 J=0.5 kg·m2,飞轮与转轴间的摩擦不计 。
rO
求: (1) 飞轮的角加速度。
(2) 如以重量P =98 N的物体挂在 绳端,试计算飞轮的角加速度。
力矩的功转动动能动能定理
第四章 刚体的转动
8
物理学
第五版
4-4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理
例2 一长为 l , 质量为m’ o 的竿可绕支点O自由转动．一 30 / m 质量为m 、速率为v 的子弹 a m 射入竿内距支点为a 处，使竿 o 的偏转角为30 . 问子弹的初 v 速率为多少? 解 子弹、竿组成一系统，应用角动量守恒
第四章 刚体的转动
4
物理学
第五版
4-4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理
解 (1) 如图取面 积元ds = drdl，该面元 所受的摩擦力为
df
df
mg
πR
2
drdl
R
o
r
dl dr
此力对点o的力矩为
rdf
mg
πR
2
rdrdl
刚体的转动
5
第四章
物理学
第五版
4-4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理
物理学
第五版
4-4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理
一
力矩作功 dW F dr Ft ds
v
d
Ft
F
Ft rd
dW Md
力矩的功 W
dr
o
r
x
2
1
Md
刚体的转动
1
第四章
物理学
第五版
4-4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理
二
dW d 力矩的功率 P M M dt dt 比较 W F dr P F v
——刚体绕定轴转动的动能定理
比较
1 1 2 2 W F dr mv2 mv1 2 2
8
物理学
第五版
4-4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理
例2 一长为 l , 质量为m’ o 的竿可绕支点O自由转动．一 30 / m 质量为m 、速率为v 的子弹 a m 射入竿内距支点为a 处，使竿 o 的偏转角为30 . 问子弹的初 v 速率为多少? 解 子弹、竿组成一系统，应用角动量守恒
第四章 刚体的转动
4
物理学
第五版
4-4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理
解 (1) 如图取面 积元ds = drdl，该面元 所受的摩擦力为
df
df
mg
πR
2
drdl
R
o
r
dl dr
此力对点o的力矩为
rdf
mg
πR
2
rdrdl
刚体的转动
5
第四章
物理学
第五版
4-4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理
物理学
第五版
4-4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理
一
力矩作功 dW F dr Ft ds
v
d
Ft
F
Ft rd
dW Md
力矩的功 W
dr
o
r
x
2
1
Md
刚体的转动
1
第四章
物理学
第五版
4-4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理
二
dW d 力矩的功率 P M M dt dt 比较 W F dr P F v
——刚体绕定轴转动的动能定理
比较
1 1 2 2 W F dr mv2 mv1 2 2
(完整版)转动定律讲解
d力臂:转轴到力作用线的垂直距离
方向: r F 的方向 单位: N m
对于定轴转动；
z
M
r
Od
F
P*
规定转动正方向,力矩使刚体绕
正方向转动, M 取正,反之取负。
第四章 刚体的定轴转动
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
大学物理学
讨论 1）与转轴平行的力对转轴不产生力矩;
2）与转 轴垂直但通过转轴的力对转轴不产生力矩； 3）若力 F 不在转动平面内，把力分解为平行和垂
直于转轴方 向的两个分 量 F Fz F
其中 Fz 对转轴的力
矩为零，故 F 对转轴的
力矩
M r F
M z rF sin
4）合 力矩 等于各分力矩的矢量和
M M1 M2 M3
第四章 刚体的定轴转动
z
k
Fz
F
O r
F
定轴转动：（规定转动 正方向）
M Mi
i
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
力矩可以反映力的作用点的位置对物体运动的影响.
第四章 刚体的定轴转动
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
大学物理学
一 力矩
刚体绕 O z 轴旋 转 , 力 F 作用在刚体上点 P ,
r 且在转动平面内, 为由点O 到力的作用点 P 的径
矢 .
F 对转轴 Z 的力矩 M rF
M
力矩是矢量
大小: M Frsin Fd
M i Fitri (mi )atri
at ri
Mi (mi )ri2
z
Fit
O
ri
mi
M Mi (mi )ri2 (mi )ri2
➢ 转动惯量
方向: r F 的方向 单位: N m
对于定轴转动；
z
M
r
Od
F
P*
规定转动正方向,力矩使刚体绕
正方向转动, M 取正,反之取负。
第四章 刚体的定轴转动
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
大学物理学
讨论 1）与转轴平行的力对转轴不产生力矩;
2）与转 轴垂直但通过转轴的力对转轴不产生力矩； 3）若力 F 不在转动平面内，把力分解为平行和垂
直于转轴方 向的两个分 量 F Fz F
其中 Fz 对转轴的力
矩为零，故 F 对转轴的
力矩
M r F
M z rF sin
4）合 力矩 等于各分力矩的矢量和
M M1 M2 M3
第四章 刚体的定轴转动
z
k
Fz
F
O r
F
定轴转动：（规定转动 正方向）
M Mi
i
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
力矩可以反映力的作用点的位置对物体运动的影响.
第四章 刚体的定轴转动
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
大学物理学
一 力矩
刚体绕 O z 轴旋 转 , 力 F 作用在刚体上点 P ,
r 且在转动平面内, 为由点O 到力的作用点 P 的径
矢 .
F 对转轴 Z 的力矩 M rF
M
力矩是矢量
大小: M Frsin Fd
M i Fitri (mi )atri
at ri
Mi (mi )ri2
z
Fit
O
ri
mi
M Mi (mi )ri2 (mi )ri2
➢ 转动惯量
转动定理的积分形式力矩对时间和空间的累积效应
刚体绕定轴转动的动能 定理：合外力矩对绕定
0
轴转动的刚体所作的功
W＝
1 2
J
2－
1 2
J
2 0
等于刚体的转动动能的 增量。
例题：如图所示，一质量为M、半径为R的圆盘，可绕一无摩擦的水平轴转动。圆盘上 绕有轻绳，一端悬挂质量为m的物体。问物体由静止下落高度h时，其速度的大小为多
少？设绳的质量忽略不计。
dW
Fvgdrv
F
drv
cos
2
Frd
sin
dW Md
W Md
说明：力矩作功的实质仍然是力作功。只是
对于刚体转动的情况，这个功不是用力的位移来 表示，而是用力矩的角位移来表示。
0
2、力矩的功率
（1）定义：
单位时间内力矩对刚体所作的功。
（2）公式
P dW ＝M d M
dt
dt
功率一定时，转速越大，力矩越小； 转速越小，力矩越大。
一、刚体定轴转动的角动量定理
v
定轴转动定理
v M
v dL
同牛顿第二定律
v F
dpv
dt
dt
类似，以微分形式反映了力或力矩对刚体质点或 质点系的瞬时作用规律。如果我们要考虑一段时 间内外力矩对刚体的作用效果，则可对转动定理
表式对时间积分可得积分形式——刚体定轴转 动的角动量定理
由
M
dL
dt
得
Mdt dL
（3）意义
表示力矩对刚体作功的快慢
3、刚体的转动动能
刚体以角速度ω作定轴转动，取一质元Δmi，距转轴 ri，则此质元的速度为vi=riω，
动能为ห้องสมุดไป่ตู้
力矩_刚体定轴转动定律
m2
m1
1 2
m
r
当不计滑轮质量及摩擦阻力矩即令m=0、M=0时，
有
T1
T2
2m1m2 m2 m1
g
a m2 m1 g m2 m1
上题中的装置叫阿特伍德机，是一种可用来测量
重力加速度g的简单装置。因为在已知m1、 m2 、r和 J的情况下，能通过实验测出物体1和2的加速度a，
再通过加速度把g算出来。在实验中可使两物体的m1 和m2相近，从而使它们的加速度a和速度v都较小， 这样就能角精确地测出a来。
注 （1）在定轴动问题中 ，如不加说明，所指的力矩 是指力在转动平面内的分力 对转轴的力矩。
力矩
（2） M Z rF2 sin F2d
d r s是in转轴到力作用线
F1 F
的距离，称为力臂。
（3） F1 对转轴的力矩为零，
在定轴转动中不予考虑。
转动 平面
rF2ຫໍສະໝຸດ （4）在转轴方向确定后，力对 转轴的力矩方向可用+、-号表示。
的质量dm=rddre，所受到的阻力矩是rdmg 。
定轴转动定律
此处e是盘的厚度。圆盘所受阻力矩就是
M rdmg g rreddr
ge02
d
R
0
r
2dr
2 geR3
3
因m=eR2，代入得
M
2 mgR
3
根据定轴转动定律，阻力矩使圆盘减速，即
获得负的角加速度.
定轴转动定律
2 mgR J 1 mR2 d
N
firi sin i 0
i1
定轴转动定律
得到：
N
Firi
sin i
N
(mi
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l C
Nx
acx
质心运动定理 F Nx mac
F
Hale Waihona Puke 转动定律Fl' ( 1 ml2)β
3
ac
l 2
Nx
F (3l ' 2l
1)
Nx 0
l' 2 l 3
打击中心
圆盘摩擦力矩 M
R
dM
2
mgR
0
3
转动定律 M J d
dM
2 mgR 1 mR2 d
3
2 dt
dt
t
0
dt
0
0
3R d 4g
t 3R0 4g
例: 一均质棒，长度为 l，现有一水平打
击力F 作用于距轴 l 处。
求: l =? 时, 轴对棒作用力的水平分量为 0。
解: 设轴对棒的水平分力为 Nx
动惯量。
解：质元质量 dm M dx L
质元转动惯量 dJ z x2dm
z
z
dx
x
o
x L/2-x
Jz
dJ L x2 M dx ML2
0L
3
Jz'
L
(
L
x)2 dm
ML2
02
12
转动惯量与转轴有关
例: 求圆环绕中心轴旋转的转动惯量 dl
m
解: dm 转动惯量 dJ R2dm
R
J L R2dm R2 L dm mR2
力矩 刚体绕定轴转动定律
一、刚体绕定轴转动的力矩
z
F//
MO
Mz
x
O r P
F
F对点O转动的力矩:
MO
r
F
y
F对定轴 zr转动F//的力r 矩F:
F
M z r F
二、定轴转动定律
M z Jβ
三、 转动惯量的计算
J miri2
质量连续分布物体 J r2dm
例: 求均质细棒(L, M )，绕端点轴 z 和质心轴 z 的转
0
0
o
例: 求圆盘绕中心轴旋转的转动惯量
解:
dm
dS
m πR2
2πrdr
2mr R2
dr
dm 转动惯量 dJ r 2dm
J
m
dJ
0
R 0
2m R2
r 3dr
1 2
mR2
dr m
r o
R
转动惯量取决于转轴、刚体形状及质量，它反映了 质量相对转轴在空间的分布。
平行轴定理
J z Jc md 2
在绳端施以 F = 98 N 的拉力，不计摩擦力
求 (1) 滑轮的角加速度；
(2) 如以重量P = 98 N 的物体挂在绳端，计算滑轮 的角加速度
解: (1) M J
M Fr Fr 39.2[rad / s2 ]
J
(2) mg T ma
Tr J
a r
21.8[rad / s2 ]
rO
T
F
mg
例: 均匀细直棒m 、l ，可绕轴 O 在竖直平面内转动
初始时它在水平位置
求: 它由此下摆 角时的
解: dm 质元 dm m dx l
O
ml
dm 重力矩 dM gdm x cos
x
M
dM
1 2
mgl cos
gdm
重力对棒的合力矩等于重力全部集中于质心所产生的力矩
M
J
J 1 ml2 3
z
dC m
J z :刚体绕任意轴的转动惯量
JZ ? JC
Jc :刚体绕通过质心C轴的转动惯量
d :两轴间垂直距离
z
z
例: 求均匀细棒的转动惯量
J Z
JZ
m
L 2
2
1 mL2 3
Lm
L/ 2
Jz
1 12
ML2
四、 转动定律的应用举例 例：滑轮半径 r =20 cm ，转动惯量 J = 0.5 kg ·m2。
3g cos
2l
d d dt d
d
3g cos d
0
0 2l
2 3g sin / l
例: 圆盘以 0 在桌面上转动,受摩擦力而静止
求: 到圆盘静止所需时间。
解: 取宽为dr的细圆环 其质量为
dm
σdS
π
m R2
2π
rdr
dm 摩擦力 df gdm
dr r
df
df 的力矩 dM rdf