几何计算题选讲

高二数学几何选讲试题答案及解析1.如图，在梯形中，，若，，，则梯形与梯形的面积比是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】延长，相交于，由相似三角形知识，则有，设，，（），则梯形的面积，梯形的面积，所以梯形与梯形的面积比是，故选择D.【考点】平面几何中的相似三角形.2.如图⊙O的半径OB垂直于直径AC，M为AO上一点，BM的延长线交⊙O于点N，过点N的切线交CA的延长线于P.（1）求证：;（2）若⊙O的半径为，OA=OM,求MN的长.【答案】（1）证明见解析；（2）2．【解析】解题思路：（1）利用等腰三角形与切割线定理进行证明；（2）利用三角形的相似性进行求解. 规律总结：直线与圆的位置关系，是平面几何问题的常见题型，常考知识由：圆内接四边形、切割线定理、相似三角形、全等三角形等.试题解析：（1）连结ON，则ON⊥PN，且△OBN为等腰三角形，则∠OBN=∠ONB，∵∠PMN=∠OMB=900-∠OBN，∠PNM=900-∠ONB∴∠PMN=∠PNM, ∴PM=PN由条件，根据切割线定理，有所以（2）OM=2，在Rt△BOM中，延长BO交⊙O于点D，连接DN由条件易知△BOM∽△BND，于是即，得BN=6所以MN=BN-BM=6-4=2.【考点】1.切割线定理；2.相似三角形.3.如图所示，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，直线XY切⊙O于点C，BD∥XY，AC、BD相交于E.(1)求证：△ABE≌△ACD；(2)若AB＝6 cm，BC＝4 cm，求AE的长．【答案】（1）见解析；（2）.【解析】（1）欲证三角形全等，需牢牢掌握这种证明方法和所需要的条件.本小题,(已知)，下寻找另外的边和角，考虑到这里有圆，所以运用同弧所对应的圆周角相等可得(弧所对)，接着证明(其他角和边不好证，同时这里有弦切角可以利用).（2）欲求,因,则可转化为求,考虑到，需将联系起来就得考虑三角形相似.注意到,.试题解析：(1)证明因为XY是⊙O的切线，所以.因为，所以，∴. 2分因为，所以. 4分因为，又因为，所以. 5分(2)解因为，，所以， 7分所以，即 8分因为，，所以.所以. 10分【考点】（1）三角形全等的证明；（2）三角形相似的证明与应用；（3）圆性质的应用.4.如图，是⊙的直径延长线上一点，与⊙相切于点，的角平分线交于点，则的大小为_________．【答案】【解析】如图所示，连接OC，则又因为∠APC的角平分线为PQ，，在中，又【考点】圆的切线的性质及判定定理5.如图所示，在△ABC中，AH⊥BC于H，E是AB的中点，EF⊥BC于F，若HC＝BH，则FC∶BF等于A．B．C．D．【答案】D【解析】由AH⊥BC，EF⊥BC知EF∥AH，又∵AE＝EB，∴BF＝FH，∴HC＝BH＝BF，∴FC＝BF.6.如图所示，⊙O的两条弦AD和CB相交于点E，AC和BD的延长线相交于点P，下面结论：①PA·PC＝PD·PB；②PC·CA＝PB·BD；③CE·CD＝BE·BA；④PA·CD＝PD·AB.其中正确的有A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【解析】根据割线定理知①式正确，②③④不正确．7.如图所示，PA切圆于A，PA＝8，直线PCB交圆于C、B，连接AB、AC，且PC＝4，AD⊥BC于D，∠ABC＝α，∠ACB＝β，则的值等于A. B. C．2 D．4【答案】B【解析】要求，注意到sin α＝，sin β＝，即＝，又△PAC∽△PBA，得＝＝＝.8.如图，AB是圆O的直径，直线CE和圆O相切于点C，AD⊥CE于D，若AD＝1，∠ABC＝30°，则圆O的面积是________．【答案】4π【解析】∵在⊙O中，∠ACD＝∠ABC＝30°，且在Rt△ACD中，AD＝1，∴AC＝2，AB＝4，又∵AB是⊙O的直径，∴⊙O的半径为2，∴圆O的面积为4π.9.若三角形的三条边之比为3∶5∶7，与它相似的三角形的最长边为21 cm，则其余两边的长度之和为A．24 cm B．21 cm C．19 cm D．9 cm【答案】A【解析】设其余两边的长度分别为x cm，y cm，则＝＝，解得x＝15 cm，y＝9 cm.故x＋y＝24 cm.10.如图所示，设l1∥l2∥l3，AB∶BC＝3∶2，DF＝20，则DE＝________.【答案】8【解析】EF∶DE＝AB∶BC＝3∶2，∴＝，又DF＝20，∴DE＝8.11.若两个相似三角形的对应高的比为2∶3，且周长的和为50 cm，则这两个相似三角形的周长分别为________．【答案】20 cm,30 cm【解析】设较大的三角形的周长为x cm，则较小的三角形的周长为(50－x)cm.由题意得＝，解得x＝30,50－x＝50－30＝20.12.如图所示，D为△ABC中BC边上的一点，∠CAD＝∠B，若AD＝6，AB＝8，BD＝7，求DC的长．【答案】9【解析】解∵∠CAD＝∠B，∠C＝∠C，∴△CAD∽△CBA.∴＝＝.∴AC＝，AC＝.∴＝.设CD＝x，则＝，解得x＝9.故DC＝9.13.如图所示，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，连接OP交AB于C，连接OA、OB，则图中等腰三角形、直角三角形的个数分别为A．1,2 B．2,2 C．2,6 D．1,6【答案】C【解析】∵PA、PB为⊙O切线，∴OA⊥AP，OB⊥PB，PA＝PB，OP平分∠APB，∴OP⊥AB.∴直角三角形有6个，等腰三角形有2个．即直角三角形有：△OAP，△OBP，△OCA，△OCB，△ACP，△CBP；等腰三角形有：△OAB，△ABP.14.如图所示，AB为⊙O的直径，CB切⊙O于B，CD切⊙O于D，交BA的延长线于E，若EA＝1，ED＝2，则BC的长为________．【答案】3【解析】∵CE为⊙O切线，D为切点，∴ED2＝EA·EB.又∵EA＝1，ED＝2，∴EB＝4，又∵CB、CD均为⊙O切线，∴CD＝CB.在Rt△EBC中，设BC＝x，则EC＝x＋2.由勾股定理：EB2＋BC2＝EC2得42＋x2＝(x＋2)2，得x＝3，∴BC＝3.15.如图，⊙O内切于△ABC，切点分别为D、E、F.已知∠B＝50°，∠C＝60°，连接OE、OF、DE、DF，那么∠EDF等于A．40° B．55°C．65° D．70°【答案】B【解析】∵∠B＝50°，∠C＝60°，∴∠A＝70°，∴∠EOF＝110°，∴∠EDF＝55°.16.如图所示，AD切⊙O于点F，FB，FC为⊙O的两弦，请列出图中所有的弦切角________________________．【答案】∠AFB、∠AFC、∠DFC、∠DFB【解析】弦切角的三要素：(1)顶点在圆上，(2)一边与圆相交，(3)一边与圆相切．三要素缺一不可．17.如图所示，已知BC是⊙O的弦，P是BC延长线上一点，PA与⊙O相切于点A，∠ABC＝25°，∠ACB＝80°，求∠P的度数．【答案】55°【解析】解因为PA与⊙O相切于点A，所以∠PAC＝∠ABP＝25°.又因为∠ACB＝80°，所以∠ACP＝100°.又因为∠PAC＋∠PCA＋∠P＝180°，所以∠P＝180°－100°－25°＝55°.18.如图，点A、B、C是圆O上的点，且AB＝4，∠ACB＝30°，则圆O的面积等于A．4π B．8πC．12π D．16π【答案】D【解析】连接OA、OB，∵∠ACB＝30°，∴∠AOB＝60°，又∵OA＝OB，∴△AOB为等边三角形，又AB＝4，∴OA＝OB＝4，∴S＝π·42＝16π.⊙O19.如图所示，AB是⊙O的直径，弦AC＝3 cm，BC＝4 cm，CD⊥AB，垂足为D，求AD、BD 和CD的长．【答案】cm cm cm【解析】解∴AB是⊙O的直径，∵AC⊥BC.∵CD⊥AB，∴AC2＝AD·AB，BC2＝BD·AB.∵AC＝3 cm，BC＝4 cm，∴AB＝5 cm.∴AD＝cm，BD＝cm.∵CD2＝AD·BD＝×＝cm2.∴CD＝＝cm，AD＝cm，BD＝cm.20.如图所示，四边形ABCD是矩形，∠BEF＝90°，①②③④这四个三角形能相似的是__________．【答案】①③【解析】因为四边形ABCD为矩形，所以∠A＝∠D＝90°.因为∠BEF＝90°，所以∠1＋∠2＝90°.因为∠1＋∠ABE＝90°，所以∠ABE＝∠2.又因为∠A＝∠D＝90°，所以△ABE∽△DEF.21.如图，已知Rt△ABC的周长为48 cm，一锐角平分线分对边为3∶5两部分．(1)求直角三角形的三边长；(2)求两直角边在斜边上的射影的长．【答案】(1) 20 cm,12 cm,16 cm (2)cm， cm【解析】解(1)如图，设CD＝3x，BD＝5x，则BC＝8x，过D作DE⊥AB，由Rt△ADC≌Rt△ADE可知，DE＝3x，BE＝4x，∴AE＋AC＋12x＝48，又AE＝AC，∴AC＝24－6x，AB＝24－2x，∴(24－6x)2＋(8x)2＝(24－2x)2，解得：x1＝0(舍去)，x2＝2，∴AB＝20，AC＝12，BC＝16，∴三边长分别为：20 cm,12 cm,16 cm.(2)作CF⊥AB于F点，∴AC2＝AF·AB，∴AF＝＝＝ (cm)；同理：BF＝＝＝ (cm)．∴两直角边在斜边上的射影长分别为cm， cm.22.如图，设AA1与BB1相交于点O，AB∥A1B1且AB＝A1B1.若△AOB的外接圆的直径为1，则△A1OB1的外接圆的直径为__________．【答案】2【解析】∵AB∥A1B1且AB＝A1B1，∴△AOB∽△A1OB1，∴两三角形外接圆的直径之比等于相似比．∴△A1OB1的外接圆直径为2.23.如图所示，AD是△ABC的中线，E是CA边的三等分点，BE交AD于点F，则AF∶FD为A．2∶1B．3∶1C．4∶1D．5∶1【答案】C【解析】要求AF∶FD的比，需要添加平行线寻找与之相等的比．注意到D是BC的中点，可过D作DG∥AC交BE于G，则DG＝EC，又AE＝2EC，故AF∶FD＝AE∶DG＝2EC∶EC＝4∶1.24.如图所示，在△ABC中，MN∥DE∥BC，若AE∶EC＝7∶3，则DB∶AB的值为________．【答案】3∶10【解析】由AE∶EC＝7∶3，有EC∶AC＝3∶10.根据MN∥DE∥BC，可得DB∶AB＝EC∶AC，即得DB∶AB＝3∶10．25.如图所示，在△ABC中，AE∶EB＝1∶3，BD∶DC＝2∶1，AD与CE相交于F，求＋的值．【答案】【解析】解过点D作DG∥AB交EC于G，则＝＝＝，而＝，即＝，所以AE＝DG，从而有AF＝DF，EF＝FG＝CG，故＋＝＋＝＋1＝.26.如图所示，已知a∥b∥c，直线m、n分别与a、b、c交于点A、B、C和A′、B′、C′，如果AB＝BC＝1，A′B′＝，则B′C′＝________.【答案】【解析】由平行线等分线段定理可直接得到B′C′＝.27.已知梯形的中位线长10 cm，一条对角线将中位线分成的两部分之差是3 cm，则该梯形中的较大的底是________ cm.【答案】13【解析】设梯形较大，较小的底分别为a，b，则有可得：a＝13.28.如图，在▱ABCD中，设E和F分别是边BC和AD的中点，BF和DE分别交AC于P、Q 两点．求证：AP＝PQ＝QC.【答案】见解析【解析】证明∵四边形ABCD是平行四边形，E、F分别是BC、AD边上的中点，∴DF綉BE，∴四边形BEDF是平行四边形．∵在△ADQ中，F是AD的中点，FP∥DQ.∴P是AQ的中点，∴AP＝PQ.∵在△CPB中，E是BC的中点，EQ∥BP，∴Q是CP的中点，∴CQ＝PQ，∴AP＝PQ＝QC.29.如图，直线交圆于两点，是直径，平分，交圆于点，过作丄于.(1)求证：是圆的切线；(2)若,求的面积【答案】（1）连结OD，则OA＝OD，所以∠OAD＝∠ODA．，然后利用∠EDA＋∠ODA＝90°，即DE⊥OD来得到证明。

图31、如图，M 是平行四边形ABCD 的边AB 的 中点，直线l 过点M 分别交,AD AC 于点,E F ． 若3AD AE =，则:AF FC = ．2、如图3，在⊙O 中，直径AB 与弦CD 垂直，垂足为E ，EF ⊥BC ，垂足为F ，若AB=6，CF ·CB=5，则AE= 。

3、如右图所示，⊙O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，CD =4,BD =8，则⊙O 的半径等于4、如图，PA 切⊙O 于点A ，割线PBC 经过圆心O ，1OB PB ==，OA 绕点O 逆时针旋转60 到OD ，则PD 的长为 ．5、如图，四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，延长AB 和DC 相交于点P .若1,3PB PD ==,则BCAD的值为 .6、如图4，已知圆O 的半径为2，从圆O 外一点A 引切线AB 和割线AD ，C 为AD 与圆O 的交点，圆心O 到AD 的距离AB =AC 的长为__ __.7、如图3,△ABC 的外角平分线AD 交外接圆于D,4BD =，则CD = .8、如图3，已知AB 是⊙O 的一条弦，点P 为AB 上一点，PC OP ⊥，PC 交⊙O 于C ，若4AP =，2PB =， 则PC 的长是第1题图FABCDEMlP图3DA9、如图3，圆O 的割线PAB 交圆O 于A 、B 两点，割线PCD 经过圆心。

已知6=PA ，317=AB ，12=PO 。

则圆O 的半径____=R ．10、如图，圆O 内的两条弦AB 、CD 相交于P ，4==PB PA ，PC PD 4=．若O 到AB 的距离为4，则O到CD 的距离为 ．11、如图，⊙O 的直径6AB cm =，P 是AB 延长线上的一点，过P 点作⊙O 的切线，切点为C ，连接AC ，若30CPA ∠= ，PC ＝_____________12、如右图，O 是半圆的圆心，直径AB =PB 是圆的 一条切线，割线PA 与半圆交于点C ，AC=4，则PB=____.13、如图，正ABC ∆的边长为2，点,M N 分别是边,AB AC 的中点，直线MN 与ABC ∆的外接圆的交点为P 、Q ，则线段PM = ．14、如图3，AB 的延长线上任取一点C ，过C 作圆的切线CD ，切点为D ，ACD ∠的平分线交AD 于E ,则CED ∠= .15、如图PM 为圆O 的切线，T 为切点， 3ATM π∠=，圆O 的面积为2π，则PA =．第13题图APMNBC。

数学高考综合能力题选讲14立体几何中的有关计算100080 北京中国人民大学附中 梁丽平题型预测立体几何中的计算主要是求角和距离．其中二面角的平面角和点到平面的距离（体积）常常作为考查的重点．范例选讲例1 长方体1111D C B A ABCD -中，1==BC AB ，21=AA ，E 是侧棱1BB 中点．（1）求直线1AA 与平面E D A 11所成角的大小；（2）求二面角B AC E --1的大小； （3）求三棱锥E D C A 11-的体积．讲解：（1）要求线面所成角，首先需要找到这个角，为此，我们应该先作出面E D A 11的一条垂线．不难发现，AE 正为所求．由长方体1111D C B A ABCD -知：1111A ABB A D 面⊥，又11A A B B AE 面⊂，所以，AE A D ⊥11．在矩形11A ABB 中，E 为1BB 中点且21=AA ，1=AB ，所以，21==E A AE ，所以，AE A 1∆为等腰直角三角形，AE EA ⊥1．所以，⊥AE 面E D A 11．所以，AE A 1∠就是直线1AA 与平面E D A 11所成的角，为︒45．（2）要作出二面角的平面角，一般的思路是最好能找到其中一个面的一条垂线，则可利用三垂线定理（或逆定理）将其作出．CA C 1注意到11B C CB AB 面⊥，所以，面⊥1A B C 11B C C B 面，所以，只需在11BCC B 面内过点E 作1BC EF ⊥于F ，则⊥EF 面1ABC ．过F 作1AC FG ⊥于G ，连EG ，则EGF ∠就是二面角B AC E --1的平面角．在1EBC ∆中，55211111=⋅==∆BC B C EB BC S EF EBC ，所以，5532211=-=EF E C F C ．在1ABC ∆中，1030sin 1111=⋅=∠⋅=AC AB F C G FC F C FG ． 在EFG Rt ∆中，36tan ==∠FG EF EGF ． 所以，二面角B AC E --1的平面角的大小为36arctan．（3）要求三棱锥E D C A 11-的体积，注意到（2）中已经求出了点E 到平面11D AC 的距离EF ．所以，61613111111111=⋅⋅=⋅==∆--EF CD AD EF S V V D AC D AC E E D C A ．另一方面，也可以利用等积转化．因为11//C D AB ，所以，//AB E D C 11面．所以，点A 到平E D C 11面的距离就等于点B 到平E D C 11面的距离．所以，6161311111111111111=⋅⋅=⋅===∆---C D B C EB C D S V V V EBC EBC D E D C B E D C A ．点评：求角的一般方法是：先作出所求角，然后再解三角形．利用三垂线定理作出二面角的平面角是很常用的方法．AC A C 1例2 如图：三棱台111C B A ABC -中，侧棱1CC ⊥底面ABC ，︒=∠120ACB ，a BC a AC 2,==，a C B =11，直线1AB 与1CC 所成的角等于60°．（1）求二面角B AC B --1的大小； （2）求点B 到平面AC B 1的距离．讲解 无论从已知（直线1AB 与1CC 所成的角等于60°）的角度还是从所求（二面角B AC B --1）的角度，过1B 作1CC 的平行线都是当然之举．在平面CB C B 11中，过1B 作C C D B 11//交CB 于点D ，连接AD ，则1ADB ∠就是直线1AB 与1CC 所成的角．所以，︒=∠601ADB ．又因为1CC ⊥底面ABC ，所以，D B 1⊥底面ABC ．在平面ABC 内过点D 作AC DE ⊥于E ，连E B 1，则AC E B ⊥1，所以，ED B 1∠就是二面角B AC B --1的平面角． 在ACD ∆中，a CD AC CD AC AD 3120cos 222=︒⋅-+=．在Rt D AB 1∆中，a AD D B =︒⋅=60cot 1．在Rt CED ∆中，a CE DE 2360sin =︒⋅=．在Rt D EB 1∆中，33223tan 1==∠a a ED B ． AC ABC所以，二面角B AC B --1的平面角的大小为：332arctan．（2）由D 为BC 中点，故点B 到平面AC B 1的距离等于点D 到平面AC B 1的距离的2倍，作E B DH 1⊥于H ．由（1）知ED B AC 1面⊥，所以，DH AC ⊥，所以，AC B DH 1面⊥，所以，DH 就是点D 到平面AC B 1的距离．在Rt D EB 1∆中，a DB DE DB DE EB DB DE DH 721212111=+⋅=⋅=．所以，点B 到平面AC B 1的距离等于a 7212． 另外，我们也可以用体积法求出这个距离．设点B 到平面AC B 1的距离为h ．则由=-ACB B V 11ACB B V -及31163sin 2131311a D B ACB BC AC D B S V ABC ACB B =⋅⎪⎭⎫⎝⎛∠⋅⋅⋅=⋅=∆-， 221214721211a D B ED AC E B AC S ACB =+⋅=⋅=∆可得： =⋅==∆-4763332311a a S V h ACB ACB B a 7212．所以，点B 到平面AC B 1的距离等于a 7212．点评 等积变形是求体积和求距离时常用的方法．高考真题1．（1998年全国高考）已知斜三棱柱ABC －A'B'C'的侧面A'ACC'与底面ABC 垂直,∠ABC ＝︒90,BC ＝2,AC ＝32且AA'⊥A'C,AA'＝A'C.①求侧棱AA'与底面ABC 所成角的大小;②求侧面A'ABB'与底面ABC 所成二面角的大AB小;③求顶点C 到侧面A'ABB'的距离. 2．（1999年全国高考）如图,已知四棱柱ABCD －A'B'C'D',点E 在棱D'D 上,截面EAC ∥D'B,且面EAC 与底面ABCD 所成的角为45°,AB ＝a(1)求截面EAC 的面积；(2)求异面直线A'B'与AC 之间的距离； (3)求三棱锥B'－EAC 的体积．3．(2001年全国高考)如图：在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD 中，∠ABC=90°，SA ⊥面ABCD ，SA=AB=BC=1，AD=21.（1） 求四棱锥S-ABCD 的体积； （2） 求面SCD 与面SBA 所成的二面角的平面角的正切值．[答案与提示：1．︒45；︒60；3． 2．222a ；a 2；342a ． 3．2241；． ] SB C A DAC。

几何证明选讲专题1．如图所示，在四边形ABCD 中，//,//EF BC FG AD ，则EF FGBC AD+=1 由平行线分线段成比例可知,EF AF FG FC BC AC AD AC ==，所以1EF FG AF FCBC AD AC++==2．在平行四边形ABCD 中，点E 在边AB 上，且:1:2,AE EB DE =与AC 交于点F ，若AEF ∆的面积为6cm 2，则ABC ∆的面积为 cm 272 不妨设,AEF ABC ∆∆,AE AB 边上的高分别为12,h h ，因为四边形ABCD 为平行四边 形，:1:2,AE EB =，所以12:1:3,:1:3,:1:4AE AB EF FD h h ===，所以:1:12AEF ABC S S ∆∆=，从而ABC ∆的面积为72 cm 23．如图，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，4,8CD BD ==，则圆O 的半径等于5 由直角三角形射影定理2CD BD DA =⋅可知2DA =，10AB =，即半径为5 4．如图，从圆O 外一点P 作圆O 的割线,,PAB PCD AB 是圆O 的直径，若4,5,3PA PC CD ===，则CBD ∠=30 由割线定理知PA PB PC PD ⋅=⋅，即4(4)5(53)AB ⨯+=⨯+，得6AB =即圆O 的半径为3，因为弦3CD =，所以60COD ∠=，从而1302CBD COD ∠=∠= 5．已知PA 是圆O 的切线，切点为A ，2,PA AC =是圆O 的直径，PC 与圆O 交于点B ，1PB =，则圆O 的半径R =由切割线定理知2PA PB PC =⋅，即221PC =⨯，4PC =，所以AC =6．如图，PC 切圆O 于点C ，割线PAB 经过圆心O ，弦C D A B ⊥于E ，4,8PC PB ==，则CD =245由切割线定理知2PC PA PB =⋅得2,826PA AB ==-=，圆O 半径为3，连接CO ，则在直角三角形PCO 中，有3512,235CO CP OP CE CE ⨯⋅=⋅==+，从而245CD = 7．如图，,AB CD 是圆O 的两条弦，交点为E 且AB 是线段CD 的中垂线，已知6,AB CD ==AD 的长度为由条件可知AB 为圆O 的直径，所以3r =，连接OD ，则2OE ==，所以5,AE AD ===8．如图，在梯形ABCD 中，////AD BC EF ，E 是AB 的中点，EF 交BD 于G ，交AC 于H ，若5,7AD BC ==，则GH =1 由条件可知EF 为梯形ABCD 的中线，且1(57)62EF =+=；由相似三角形的相似比可知,57EG BG GF DG BD BD ==，从而6157EG EG -+=，解得52EG =，同理可解得52HF =，所以1GH =9．如图，圆的内接ABC ∆的C ∠的平分线CD 延长后交圆于点E ，连接BE ，已知3BD =，7,5CE BC ==，则线段BE =215因为CD 为C ∠的平分线，所以BCE ECA ∠=∠，又圆周角EBA ECA ∠=∠，所以BCE EBA ∠=∠，又E E ∠=∠，所以EBC EBD ∆∆ ，从而BE BD EC BC =，即375BE =，所以215BE =10．如图，四边形ABCD 内接于圆O ，BC 是直径，MN 切圆O 于A ，25MAB ∠=， 则D ∠=115 连接AC ，由条件可知25C MAB ∠=∠= ，又BC 为直径，所以90BAC ∠= ，、从而180902565B ∠=--= ，又180B D ∠+∠= ，所以115D ∠=11．如图，在ABC ∆中，D 是AC 的中点，E 是BD 的中点，AE 交BC 于F ，则BFBC=12过E 作//EG DC 交BC 于G ，因为E 是BD 的中点，D 是AC 的中点，所以1124EG DC AC ==，BG GC =，又1143FG FC GC ==，所以2132BF BG FG GC FC =-==12．如图，圆'O 和圆O 相交于A 和B ，PQ 切圆O 于P ，交圆'O 于,Q M ，交AB 的延长线于N ，3,15,MN NQ ==则PN =由割线定理、切割线定理，有2NM NQ NB NA NP ⋅=⋅=，所以2315PN =⨯，即PN =13．如图，,EB EC 是圆O 的两条切线，,B C 是切点，,A D 是圆上两点，如果46E ∠=32DCF ∠= ，则A ∠的度数是因为,EB EC 是圆O 的两条切线，所以EB EC =，又46E ∠=，所以1(18046)672EBC ECB ∠=∠=-= ，又32DCF ∠= ，所以180673281BCD ∠=--= ，从而1808199A ∠=-=14．已知圆O 的半径为3，从圆O 外一点A 引切线AD 和割线ABC ，圆心O 到AC 的距离为3AB =，则切线AD 的长为依题意，2BC ==，所以5AC =，由215AD AB AC =⋅=，得AD =15．如图，已知P 是O 外一点，PD 为O 的切线，D 为切点，割线PEF 经过圆心O ，若12,PF PD ==则EFD ∠的度数为30由切割线定理得2PD PE PF =⋅2163412PD PE PF ⨯⇒===8EF ⇒=,4OD =, ∵OD PD ⊥,12OD PO =∴30P ∠= ,60,30POD PDE EFD ∠=∠=∠=。

几何证明选讲练习 姓名_______________1．如图，在中，，，过作的外接圆的切线，，与外接圆交于点，则的长为__________．【答案】2．如图， △ABC 为圆的内接三角形， BD 为圆的弦， 且BD //AC ． 过点A 做圆的切线与DB 的延长线交于点E ， AD 与BC 交于点F ． 若AB = AC ， AE = 6， BD = 5， 则线段CF 的长为______．【答案】833．如图，AB 是圆O 的直径，点C 在圆O 上，延长BC 到D 使BC CD =，过C 作圆O 的切线交AD 于E ．若6AB =，2ED =，则BC =_________．【答案】4．如图， 弦AB 与CD 相交于O 内一点E ， 过E 作BC 的平行线与AD 的延长线相交于点P ． 已知PD =2DA =2， 则PE =_____．【答案】.6 ABC 090C ∠=060,20A AB ∠==C ABC CD BD CD ⊥BD EDE5.A ED CB O 第15题图5．如图2，O 中，弦,AB CD 相交于点,2P PA PB ==，1PD =，则圆心O 到弦CD 的距离为____________．【答案】23 6．如图，圆O 上一点C 在直线AB 上的射影为D ，点D 在半径OC 上的射影为E ．若3AB AD =，则CEEO的值为___________．【答案】8 7．如图，AB 为圆O 的直径，P A 为圆O 的切线，PB 与圆O 相交于D ．若PA=3，916PD DB =：：，则PD=_________；AB=___________．【答案】95；4 解三角形练习1．如图，△ABC 中，AB=AC=2，BC=点D在BC 边上，∠ADC=45°，则AD 的长度等于______．【命题意图】本题考查运用正余弦定理解三角形，是中档题．【解析】（法1）过A 作AE ⊥BC,垂足为E ，∵AB=AC=2，BC=∴E 是BC 的中点，且EC=O D EBACRt AEC ∆中，AE=又∵∠ADE=45°，∴DE=1，∴AD=（法2） ∵AB=AC=2，BC=由余弦定理知，cos C =2222AC BC AB AC BC +-⨯∴C=30°， 在△ADC 中，∠ADE=45°，由正弦定理得，sin sin AD AC C ADC=∠， ∴AD=sin sin AD C ADC ∠=12⨯2．如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB AD =，2AB =，2BC BD =，则sin C 的值为（ ）A．3 B．6 C3 D6【答案】D【解析】设BD a =,则由题意可得:2,BC a =2AB AD a ==,在ABD ∆中,由余弦定理得： 222cos 2AB AD BD A AB AD +-==⋅2232a a ⨯-=13，所以sin A=，在△ABC 中，由正弦定理得，sin sin AB BC C A =，所以2sin C =，解得sin CD ． 3．,EF 是等腰直角ABC ∆斜边AB 上的三等分点，则tan ECF ∠=（ ）A ．1627B ．23 CD ．34【答案】D4．在△ABC 中， 4ABC π∠=，AB 3BC =，则sin BAC ∠ =（ ） （A ）（B ）（C ）（D ）【答案】C5．ABC ∆中，90C ∠=，M 是BC 的中点，若31sin =∠BAM ，则=∠BAC sin ________．【答案】36．在△ABC 中，已知AB=4，AC=7，BC 边的中线27=AD ，求边BC 的长．7．如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠DAB ，∠ABC=60°，AC=7，AD=6，S △ADC =2315，求AB 的长．排列组合练习题1．有6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品，已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到份纪念品的同学人数为（ ） 或 或 或 或【解析】选①设仅有甲与乙，丙没交换纪念品，则收到份纪念品的同学人数为人②设仅有甲与乙，丙与丁没交换纪念品，则收到份纪念品的同学人数为人．2．将字母排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种答案A【命题意图】本试题考查了排列组合的用用．4()A 13()B 14()C 23()D 24D 261315132C -=-=4244,,,,,a a b b c c【解析】利用分步计数原理，先填写最左上角的数，有3种，再填写右上角的数为2种，在填写第二行第一列的数有2种，一共有．3．现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这些卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为（A ）232 (B)252 (C)472 (D)484解析：,答案应选C ． 另解：． 4． 两人进行乒乓球比赛，先赢三局着获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形（各人输赢局次的不同视为不同情形）共有（ ）A ．10种B ．15种C ．20种D ．30种【解析】甲赢和乙赢的可能情况是一样的，所以假设甲赢的情况如下：若两人进行3场比赛，则情况只有是甲全赢1种情况；若两人进行4场比赛，第4场比赛必为甲赢前3场任选一场乙赢为种情况；若两人进行5场比赛，第5场比赛必为甲赢前4场任选一场乙赢为种情况；综上，甲赢有10种情况，同理，乙赢有10种情况，则所有可能出现的情况共20种，故选C ．5．若从1，2，2，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有A ．60种B ．63种C ．65种D ．66种【解析】1，2，2，…，9这9个整数中有5个奇数，4个偶数．要想同时取4个不同的数其和为偶数，则取法有：4个都是偶数：1种；2个偶数，2个奇数：种； 4个都是奇数：种．∴不同的取法共有66种．【答案】D6．某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课个1节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为 （用数字作答）．【解析】概率为 语文、数学、英语三门文化课间隔一节艺术课，排列有种排法，语文、数学、英语三门文化课相邻有种排法，语文、数学、英语三门文化课两门相邻有种排法． 32212⨯⨯=472885607216614151641122434316=-=--⨯⨯=--C C C C 472122642202111241261011123212143431204=-+=⨯⨯+-⨯⨯=+-C C C C C 313=C 624=C 225460C C =455C =3____53344A A 3312122223A C C A C3故所有的排法种数有在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为5。

第12讲立体几何问题选讲【赛点突破】常用思想：转化与化归新的工具：空间向量【范例解密】例1一个平面与正方体相交所得的截面可能是正五边形吗？解：不能为正五边形，因为截面必然和正方体的五个面相交，必有两个面是相对的平行面，故截得的五边形必有两条边互相平行，而正五边形中没有两条边平行，故结论成立。

注：本答案是刘未末同学首创。

例2与三条异面直线,,a b c都相交的直线有多少条？解：有无数条。

在直线a上选一点A，在直线b上选一点B，当B在直线b上运动时，所有的直线轨迹是过点A和直线b的平面，如果这个平面和直线c有交点C，则过A，B，C的直线和三条异面直线都相交。

如果变换A的位置，将有无数个过直线b的平面，而这些平面中至多只有一个平面和直线c平行（否则直线c和直线b平行），故满足条件的直线有无数条。

注：本题运用了动态变化的观点。

例3如果一个四面体的三组对棱分别相等，则称这个四面体为等腰四面体。

若一个等腰四面体的三组对棱长分别为,,a b c。

（1）证明四面体的每个面都是锐角三角形；（2）求四面体的体积。

分析与解：（1）如图，取BD的中点E，则AE CE==AE CE AC+>，故c>，即222a b c+>，同理222b c a+>，222a c b+>，故每个面都是锐角三角形；(2)如图，将四面体放入长方体内，即可求得体积。

注：第一问比较难于说明，第二问得构造值得学习。

例4用平面截一个四棱锥，使平面与棱锥的四条侧棱分别相交，则一定能使截面为平行四边形吗？分析与解：如图，设两组相对侧面的两条交线分别为,l m，直线,l m确定的平面为α，则平行于α的平面与四棱锥截得的四边形为平行四边形。

注：本题的交线比较隐蔽，需注意。

例5如图，四面体PABC 中，,PA BC PB AC ⊥⊥，证明：PC AB ⊥。

证明：作PH ⊥面ABC 于H 。

由于PA BC ⊥，由三垂线定理逆定理知AH BC ⊥，同理 BH AC ⊥，故H 为ABC ∆垂心，CH AB ⊥，由三垂线定理得PC AB ⊥。

高二数学几何选讲试题答案及解析于点，过点作两1.如图，已知⊙与⊙相交于、两点，过点A作⊙的切线交⊙O2圆的割线，分别交⊙、⊙于点、，与相交于点.（1）求证：；（2）若是⊙的切线，且，，求的长．【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）圆的切线的性质定理圆的切线垂直于过切点的半径，推论1经过圆心且垂直于切线的直线必过切点，推论2经过切点且垂直于切线的直线必过圆心；（2）圆的切线的性质定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直径是圆的切线；若已知条件中直线与圆的公共点不明确，则应过圆心作直线的垂线，得到垂线段，设法证明这条垂线段的长等于圆的半径；（3）掌握与圆有关的比例线段，如相交弦定理，割线定理，切割线定理，切线长定理.试题解析：解：（I）∵AC是⊙O的切线，∴∠BAC＝∠D，1又∵∠BAC＝∠E，∴∠D＝∠E，∴AD∥EC. 5分（II）设BP＝x，PE＝y，∵PA＝6，PC＝2，∴＝12 ①∵AD∥EC，∴，∴②由①、②解得（∵x>0，y>0）∴DE＝9＋x＋y＝16，∵AD是⊙O的切线，∴AD2＝DB·DE＝9×16，∴AD＝12. 11分2【考点】（1）证明直线与直线平行；（2）求切线长.2.如图，在△ABC中，AB=8，AC=7，BC=6，D是AB的中点，∠ADE=∠ACB，则DE=_________．【答案】.【解析】首先由知，∽，所以.然后因为AB=8，D是AB的中点，所以.又AC=7，BC=6，所以，即.【考点】相似三角形的性质.3.如图，AC为⊙O的直径，OB⊥AC，弦BN交AC于点M．若OC=，OM=1，则MN=_________．【答案】1.【解析】因为AC为⊙O的直径，OB⊥AC，且OC=，OM=1，所以，. 设，由相交弦定理知，即，所以，即.【考点】与圆有关的比例线段.4.如图，四边形是圆的内接四边形，延长和相交于点，若，，则的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】四边形是圆的内接四边形，它的两对对角互补，进而得到∽，因而有，故选择B.【考点】平面几何中的圆与四边形.5.如图在△中,∥,,交于点,则图中相似三角形的对数为( ).A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】,;又,,故选B.【考点】相似三角形.6.如图所示，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，直线XY切⊙O于点C，BD∥XY，AC、BD相交于E.(1)求证：△ABE≌△ACD；(2)若AB＝6 cm，BC＝4 cm，求AE的长．【答案】（1）见解析；（2）.【解析】（1）欲证三角形全等，需牢牢掌握这种证明方法和所需要的条件.本小题,(已知)，下寻找另外的边和角，考虑到这里有圆，所以运用同弧所对应的圆周角相等可得(弧所对)，接着证明(其他角和边不好证，同时这里有弦切角可以利用).（2）欲求,因,则可转化为求,考虑到，需将联系起来就得考虑三角形相似.注意到,.试题解析：(1)证明因为XY是⊙O的切线，所以.因为，所以，∴. 2分因为，所以. 4分因为，又因为，所以. 5分(2)解因为，，所以， 7分所以，即 8分因为，，所以.所以AE. 10分【考点】（1）三角形全等的证明；（2）三角形相似的证明与应用；（3）圆性质的应用.7.如图，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长线上一点，且DF＝CF＝，AF∶FB∶BE＝4∶2∶1，若CE与圆相切，求线段CE的长.【答案】【解析】利用相交弦定理可得到的等量关系，并结合已知条件可计算出,利用切割线定理可得到的等量关系，并结合前面所得可得结果.试题解析：由相交弦定理得，由于，可解得，所以.由切割线定理得，即.【考点】相交弦定理，切割线定理.8.若一个直角三角形的一条直角边为3 cm，斜边上的高为2.4 cm，则这个直角三角形的面积为A．7.2 cm2B．6 cm2C．12 cm2D．24 cm2【答案】B【解析】长为3 cm的直角边在斜边上的射影为＝1.8 (cm)，故由射影定理知斜边长为＝5 (cm)，∴三角形的面积为×5×2.4＝6 (cm2)．9.如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB＝AD＝a，CD＝，点E，F分别为线段AB，AD的中点，则EF＝________.【答案】【解析】连接BD、DE，由题意可知DE⊥AB，DE＝a，即BC＝DE＝a，∴BD＝＝a，∴EF＝BD＝.10.如图所示，圆内的两条弦AB、CD相交于圆内一点P，已知PA＝PB＝4，PC＝PD.求CD 的长．【答案】10【解析】解设CD＝x，则PD＝x，PC＝x.由相交弦定理，得PA·PB＝PC·PD，∴4×4＝x·x，x＝10.∴CD＝10.11.如图所示，PA是⊙O的切线，切点为A，PA＝2.AC是⊙O的直径，PC与⊙O交于点B，PB＝1，则⊙O的半径r＝________.【答案】【解析】依题意，△PBA∽△ABC，所以＝，即r＝＝＝.12.如图所示，P、Q分别在BC和AC上，BP∶CP＝2∶5，CQ∶QA＝3∶4，则等于A．3∶14B．14∶3C．17∶3D．17∶14【答案】B【解析】过Q点作QM∥AP交BC于M，则＝＝，又∵＝，∴＝.又＝＝，＝＝，∴＝，∴＝.13.如图所示，点D、E分别在AB、AC上，下列条件能判定△ADE与△ACB相似的有①∠AED＝∠B②＝③＝④DE∥BCA．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【解析】由判定定理1知①正确，由判定定理2知②正确，由预备定理1知④正确，③不符合相似三角形的判定定理，故不正确，从而选C.14.如图所示，在直角梯形ABCD中，AB＝7，AD＝2，BC＝3.设边AB上的一点P，使得以P、A、D为顶点的三角形和以P、B、C为顶点的三角形相似，那么这样的点P有A．1个 B．2个C．3个 D．4个【答案】C【解析】设AP＝x，则PB＝7－x.(1)若△PAD∽△PBC，则＝，即＝，得x＝<7，符合条件．(2)若△PAD∽△CBP，即＝，x2－7x＋6＝0，解得x1＝1，x2＝6也符合条件，故满足条件的点P 有3个．15. 在四边形ABCD 中，∠A ＝135°，∠B ＝∠D ＝90°，BC ＝2，AD ＝2，则四边形ABCD 的面积是______． 【答案】4【解析】因∠B ＝∠D ＝90°，于是设想构造直角三角形，延长BA 与CD 的延长线交于E ，则得到Rt △BCE 和Rt △ADE ，由题目条件知，△ADE 为等腰直角三角形，所以DE ＝AD ＝2，所以S △ADE ＝×2×2＝2. 又可证Rt △EBC ∽Rt △EDA ， 所以＝2＝2＝3.∴S △EBC ＝3S △EDA ，∴S 四边形ABCD ＝S △EBC －S △ADE ＝4.16. 如图所示，D 为△ABC 中BC 边上的一点，∠CAD ＝∠B ，若AD ＝6，AB ＝8，BD ＝7，求DC 的长．【答案】9【解析】解 ∵∠CAD ＝∠B ，∠C ＝∠C ， ∴△CAD ∽△CBA.∴＝＝.∴AC ＝，AC ＝.∴＝.设CD ＝x ， 则＝，解得x ＝9.故DC ＝9.17. 如图所示，已知⊙O 的两条弦AB 、CD 相交于AB 的中点E ，且AB ＝4，DE ＝CE ＋3，则CD 的长为________．【答案】5【解析】由相交弦定理知 EA·EB ＝EC·ED. (*)又∵E 为AB 中点，AB ＝4，DE ＝CE ＋3， ∴(*)式可化为22＝EC(CE ＋3)＝CE 2＋3CE ， ∴CE ＝－4(舍去)或CE ＝1.∴CD ＝DE ＋CE ＝2CE ＋3＝2＋3＝5.18. 如图所示，已知BC 是⊙O 的弦，P 是BC 延长线上一点，PA 与⊙O 相切于点A ，∠ABC ＝25°，∠ACB＝80°，求∠P的度数．【答案】55°【解析】解因为PA与⊙O相切于点A，所以∠PAC＝∠ABP＝25°.又因为∠ACB＝80°，所以∠ACP＝100°.又因为∠PAC＋∠PCA＋∠P＝180°，所以∠P＝180°－100°－25°＝55°.19.(拓展深化)如图所示，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，直线XY切⊙O于点C，BD∥XY，AC、BD相交于E.(1)求证：△ABE≌△ACD；(2)若AB＝6 cm，BC＝4 cm，求AE的长．【答案】(1)见解析 (2)cm【解析】(1)证明因为XY是⊙O的切线，所以∠1＝∠2.因为BD∥XY，所以∠1＝∠3，∴∠2＝∠3.因为∠3＝∠4，所以∠2＝∠4.因为∠ABD＝∠ACD，又因为AB＝AC，所以△ABE≌△ACD.(2)解因为∠3＝∠2，∠ABC＝∠ACB，所以△BCE∽△ACB，＝，AC·CE＝BC2.因为AB＝AC＝6 cm，BC＝4 cm，所以6·(6－AE)＝16.所以AE＝cm.20.如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，以BC上一点O为圆心作⊙O与AB相切于E，与AC相切于C，又⊙O与BC的另一个交点为D，则线段BD的长为A．1B．C．D．【答案】C【解析】⊙O与AC相切于C，则∠ACB＝90°，又AC＝4，BC＝3，∴AB＝5，连接OE，且设⊙O的半径为R，则由△OEB∽△ACB，∴OB＝＝R，∴BC＝OC＋OB＝R＋R＝R＝3，∴R＝，∴BD＝BC－2R＝3－＝.21.若两条直线(a＋2)x＋(1－a)y－3＝0，(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0与两坐标轴围成的四边形有一个外接圆，则实数a＝________.【答案】1或－1【解析】由圆内接四边形的性质，知(a＋2)(a－1)＋(1－a)·(2a＋3)＝0，整理得a2＝1，∴a＝±1. 22.(拓展深化)如图，已知△ABC中的两条角平分线AD和CE相交于H，∠B＝60°，F在AC上，且AE＝AF.(1)证明：B、D、H、E四点共圆；(2)证明：CE平分∠DEF.【答案】见解析【解析】证明(1)在△ABC中，因为∠B＝60°，所以∠BAC＋∠BCA＝120°.因为AD，CE是角平分线，所以∠HAC＋∠HCA＝60°，故∠AHC＝120°.于是∠EHD＝∠AHC＝120°.因为∠EBD＋∠EHD＝180°，所以B、D、H、E四点共圆．(2)连接BH，则BH为∠ABC的平分线，得∠HBD＝30°.由(1)知B、D、H、E四点共圆．所以∠CED＝∠HBD＝30°.又∵∠AHE＝∠EBD＝60°，由已知可得EF⊥AD，可得∠CEF＝30°，所以CE平分∠DEF.23.如图，点A、B、C是圆O上的点，且AB＝4，∠ACB＝30°，则圆O的面积等于A．4π B．8πC．12π D．16π【答案】D【解析】连接OA、OB，∵∠ACB＝30°，∴∠AOB＝60°，又∵OA＝OB，∴△AOB为等边三角形，又AB＝4，∴OA＝OB＝4，∴S＝π·42＝16π.⊙O24.在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D.若BC＝m，∠B＝α，则AD的长为A．m sin2α B．m cos2αC．m sin αcos α D．m sin αtan α【答案】C【解析】由射影定理，得AB2＝BD·BC，AC2＝CD·BC，即m2cos2α＝BD·m，m2sin2α＝CD·m，即BD＝mcos2α，CD＝msin2α.又∵AD2＝BD·DC＝m2cos2αsin2α，∴AD＝mcos αsin α.故选C.25.如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，AF⊥DE于点O，则等于________．【答案】【解析】在Rt△DAO及Rt△DEA中，∠ADO为公共角，∴Rt△DAO∽Rt△DEA，∴＝，即＝.∵E为AB的中点，∴＝＝，∴＝.26. (拓展深化)如图，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME＝∠A＝∠B＝α.且DM交AC于F，ME交BC于G，(1)写出图中三对相似三角形，并证明其中的一对；(2)连接FG，如果α＝45°，AB＝4，AF＝3，求FG的长．【答案】(1)△AMF∽△BGM，△DMG∽△DBM，△EMF∽EAM，证明见解析 (2)【解析】解(1)△AMF∽△BGM，△DMG∽△DBM，△EMF∽EAM.以下证明：△AMF∽△BGM.∵∠AFM＝∠DME＋∠E＝∠A＋∠E＝∠BMG，∠A＝∠B，∴△AMF∽△BGM.(2)当α＝45°时，可得AC⊥BC且AC＝BC.∵M为AB的中点，∴AM＝BM＝2.又∵△AMF∽△BGM，∴＝∴BG＝＝＝.又AC＝BC＝4×sin 45°＝4，∴CG＝4－＝.∵CF＝4－3＝1，∴FG＝＝＝.27.如图所示，已知DE∥BC，BF∶EF＝3∶2，则AC∶AE＝________，AD∶DB＝________.【答案】3∶22∶1【解析】∵DE∥BC，∴＝＝.∵BF∶EF＝3∶2，∴＝＝.∴AC∶AE＝3∶2.又DE∥BC，得AB∶AD＝3∶2，即＝.∴＝.即＝＝2，即＝2.∴AD∶BD＝2∶1.28.如图，以梯形ABCD的对角线AC及腰AD为邻边作平行四边形ACED，DC的延长线交BE于点F，求证：EF＝BF.【答案】见解析【解析】证明如图所示，连接AE交DC于O.∵四边形ACED是平行四边形．∴O是AE的中点．∵在梯形ABCD中，DC∥AB，在△EAB中，OF∥AB，又∵O是AE的中点，∴F是EB的中点，∴EF＝BF.29.如图甲,四边形是等腰梯形,.由4个这样的等腰梯形可以拼出图乙所示的平行四边形,则四边形中度数为 ( )A．B．C．D．【答案】C【解析】由于上底和两腰长已知，故要求梯形面积，关键是要找出底边上和高，由于图形中无法再分析出边与边的关系，所以我们可以从角的方向入手，求梯形的内角。

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考点52 几何证明选讲一、填空题1.(2013·天津高考理科·T13)如图,△ABC 为圆的内接三角形,BD 为圆的弦,且BD ∥AC.过点A 作圆的切线与DB 的延长线交于点E,AD 与BC 交于点F.若AB=AC,AE=6,BD=5,则线段CF 的长为 .【解题指南】利用圆以及平行线的性质计算.【解析】因为AE 与圆相切于点A,所以AE 2=EB ·(EB+BD),即62=EB ·(EB+5),所以BE=4,根据切线的性质有∠BAE=∠ACB,又因为AB=AC,所以∠ABC=∠ACB,所以∠ABC=∠BAE,所以AE ∥BC,因为BD ∥AC,所以四边形ACBE 为平行四边形,所以AC=BE=4,BC=AE=6.设CF=x,由BD ∥AC 得=AC CF BDBF,即456=-xx,解得x=83,即CF=83. 【答案】83.2. （2013·湖南高考理科·Ｔ11）0中,弦,,2,AB CD P PA PB ==相交于点1PD O =，则圆心到弦CD 的距离为 .【解题指南】本题要利用相交弦定理:PA ·PB=PD ·PC 和解弦心三角形22)21(CD r d -=【解析】由相交弦定理PC PD PB PA ∙=∙得4=PC ，所以弦长5=CD ，故圆心O 到弦CD 的距离为234257)21(22=-=-CD OC .【答案】23. 3. （2013·陕西高考文科·Ｔ15）如图, AB 与CD 相交于点E , 过E 作BC 的平行线与AD 的延长线相交于点P . 已知A C ∠=∠, PD = 2DA = 2, 则PE = .【解题指南】先通过A C ∠=∠及线线平行同位角相等，找出三角形相似,再由比例线段求得答案.【解析】..//BAD PED C A PED BCD PE BC ∠=∠⇒∠=∠∠=∠且所以因为.6.623∽2==⋅=⋅=⇒=⇒∆∆⇒PE PD PA PE PEPD PA PE APE EPD 所以4. (2013·北京高考理科·T11)如图,AB 为圆O 的直径,PA 为圆O 的切线,PB 与圆O 相交于D.若PA=3,PD ∶DB=9∶16,则PD= ,AB= .【解题指南】利用切割线定理求出PD,再在Rt △PBA 中利用勾股定理求出AB. 【解析】由于PD ∶DB=9∶16,设PD=9a,DB=16a,根据切割线定理有PA 2=PD ·PB,有a=15,所以PD=95,在Rt △PBA 中,有AB=4. 【答案】95 4. 5. （2013·湖北高考理科·Ｔ15）如图，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，点D 在半径OC 上的射影为E ，若AB=3AD,则EOCE的值为【解题指南】先用半径表示,再求比值. 【解析】设半径为R ，AB=3AD=2R. AD=23R ,OD=13R,3R =3cos ,3RC R ==228cos ,339CE CD C R R === 所以EO=R ―CE ―R ―81,99R R =898.19RCE EO R== 【答案】8.6. （2013·陕西高考理科·Ｔ15）如图, 弦AB 与CD 相交于圆O 内一点E , 过E 作BC 的平行线与AD 的延长线相交于点P . 已知PD ＝2DA ＝2, 则PE ＝ .【解题指南】先通过圆周角相等及线段平行同位角相等得出,∽APE EPD ∆∆再由比例线段求得答案.【解析】..//BAD PED BAD BCD PED BCD PE BC ∠=∠⇒∠=∠∠=∠且在圆中所以因为.6.623∽2==⋅=⋅=⇒=⇒∆∆⇒PE PD PA PE PEPDPA PE APE EPD 所以 【答案】.67.（2013·广东高考理科·Ｔ15）如图，AB 是圆O 的直径，点C 在圆O 上，延长BC 到D 使BC=CD ，过C 作圆O 的切线交AD 于E.若AB=6，ED=2，则BC=______.【解题指南】本题考查几何证明选讲，可先作ABD ∆的中位线OC 再计算. 【解析】设BC x =，连接OC ，因为,BC CD AC BD =⊥，ABD ∆是等腰三角形，,6,2,4BC CD x AB AD ED AE ======，在ACD ∆中，CE AD ⊥，则22222CE AC AE AD DE =-=-，即2236164x x --=-，解得x =【答案】8.（2013·广东高考文科·Ｔ15）如图，在矩形ABCD 中，AB 3BC =，BE AC ⊥，垂足为E ，则ED = ．【解题指南】本题考查几何证明选讲，可先利用射影定理再结合余弦定理计算. 【解析】3,30,AB BC AC ACB AC BE ==∠=⊥，BEC ∆是直角三角形，由射影定理2,BC AC EC EC =⋅=ECD ∆中，由余弦定理可得222212cos 604ED EC CD EC CD =+-⋅=，即ED =. 9. （2013·天津高考文科·Ｔ13）如图, 在圆内接梯形ABCD 中, AB //DC , 过点A 作圆的切线与CB 的延长线交于点E . 若AB = AD = 5, BE = 4, 则弦BD 的长为 .【解题指南】 首先利用圆的性质，得出角的关系，再分别在△ABE 与△ABD 中利用正弦定理求解.【解析】设∠=BAE α，因为AE 与圆相切于点A ，所以,∠=∠BAE ADB 又因为AB = AD ，所以∠=∠=ABD ADB α，因为AB //DC ,所以∠=∠=ABD CDB α,所以2∠=∠=ABE ADC α.在△ABE 中，由正弦定理得sin sin =∠BE ABBAE E ，即45sin sin(3)=-απα，解得3cos .4=α在△ABD中，由正弦定理得sin sin =∠∠BD AB BAD ADB ，即5sin(2)sin =-BD παα，解得15.2=BD【答案】152. 10. （2013·重庆高考理科·Ｔ14）如图，在△ABC 中，090C ∠=，060A ∠=，20AB =，过C 作△ABC 的外接圆的切线CD ，BD ⊥CD ，BD 与外接圆交于点E ，则DE 的长为【解题指南】 直接根据圆的切线及直角三角形的相关性质进行求解【解析】由题意知AB 是圆的直径,设圆心为O ,连接OC ,因为CD 是圆的切线,则CDOC ⊥又因为BD ⊥CD ,所以BD OC //.因为 60,=∠=A OC OA ,所以30,60=∠=∠OCB ACO ,因为20=AB ,所以310=BC ,因为BD OC //,所以30=∠CBD 所以15=BD ,又因为AB 是圆的直径, 点E 在圆上, 20=AB 且 60=∠ABD ,所以10=BE ,故51015=-=-=BE BD DE【答案】5. 二、解答题11. （2013·辽宁高考文科·Ｔ22）与（2013·辽宁高考理科·Ｔ22）相同 如图，AB 为O 的直径，直线CD 与O 相切于E , AD 垂直CD 于D ，BC 垂直CD 于C ，EF 垂直AB 于F，连接,AE BE .证明： ()I FEB CEB ∠=∠;()II 2.EF AD BC =⋅【解题指南】 借助等量代换，证明相等关系；利用全等三角形的对应边，角相等.【证明】()I 由直线CD 与O 相切于E ,得EAB CEB ∠=∠ 由AB 为O 的直径，得AE EB ⊥，从而2EAB EBF π∠+∠=又EF 垂直AB 于F ，得2FEB EBF π∠+∠=，从而FEB CEB ∠=∠()II 由BC 垂直CD 于C ，得BC CE ⊥又EF 垂直AB 于F EF AB ⇒⊥，FEB CEB ∠=∠，BE 为公共边， 所以Rt BCE ∆≌Rt BFE ∆，所以BC BF = 同理可证，Rt ADE ∆≌Rt AFE ∆，所以AD AF = 又在Rt AEB △中, EF AB ⊥,所以2.EF AF BF =⋅ 综上，2.EF AD BC =⋅12. （2013·新课标Ⅰ高考文科·Ｔ22）与（2013·新课标Ⅰ高考理科·Ｔ22）相同如图，直线AB 为圆的切线，切点为B ，点C 在圆上，∠ABC 的角平分线BE 交圆于点E ，DB 垂直BE 交圆于D 。