中心对称与中心对称图形

中心对称和中心对称图形关键信息项：1、中心对称和中心对称图形的定义2、中心对称和中心对称图形的性质3、中心对称和中心对称图形的判定方法4、常见的中心对称图形举例5、中心对称和中心对称图形在实际生活中的应用11 中心对称的定义在平面内，如果把一个图形绕着某个点旋转 180°后，能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点成中心对称，这个点叫做它们的对称中心。

111 中心对称图形的定义如果一个图形绕着一个点旋转 180°后，能够与自身重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。

12 中心对称的性质121 中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心平分。

122 中心对称的两个图形是全等图形。

13 中心对称图形的性质131 对称中心平分中心对称图形内通过该点的任意直线。

132 中心对称图形上每一对对称点所连成的线段都被对称中心平分。

14 中心对称的判定方法141 如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。

142 如果两个图形的对应点到某一点的距离相等，并且对应点的连线都经过该点且被该点平分，那么这两个图形关于该点成中心对称。

15 中心对称图形的判定方法151 如果一个图形绕着某一点旋转 180°后能与自身重合，那么这个图形就是中心对称图形。

152 如果一个图形上的每一对对应点所连成的线段都被某一点平分，那么这个图形就是中心对称图形。

16 常见的中心对称图形举例161 平行四边形：包括矩形、菱形、正方形等。

162 圆形：绕圆心旋转 180°后能与原来的图形重合。

163 正六边形：旋转 180°后能与原图形重合。

17 中心对称和中心对称图形在实际生活中的应用171 在建筑设计中，许多建筑的结构和布局采用了中心对称的形式，以达到美观和平衡的效果。

172 在图案设计中，中心对称图形常常被运用，创造出富有对称美感的作品。

中心对称和中心对称图形一、中心对称中心对称是数学中的基本概念之一，在几何学中有广泛的应用。

中心对称是指存在一个中心点，通过该中心点可以将图形分成两个部分，这两个部分相互镜像，并且对称点与中心点的距离相等。

换句话说，如果将图形绕着中心点旋转180度，那么图形还是与原图形完全重合。

二、中心对称图形中心对称图形是指具有中心对称性质的图形。

常见的中心对称图形包括正方形、圆形、五角星等。

1. 正方形正方形是一种具有中心对称性质的图形。

它有四个二等边的直角三角形组成，每个直角三角形的两条直角边都是正方形的一条边。

正方形的对称中心位于正方形的中心点，通过对称中心可以将正方形分成两个对称的部分。

2. 圆形圆形也是一种具有中心对称性质的图形。

圆形的对称中心位于圆心，通过对称中心可以将圆形分成两个对称的部分。

无论从任何角度看，圆形都具有中心对称性，因为无论如何旋转都可以使圆形与原来的位置完全重合。

3. 五角星五角星是一种常见的中心对称图形。

它由两个五边形组成，每个五边形的五个顶点与另一个五边形的对称顶点相连，形成一个具有中心对称性质的图形。

五角星的对称中心位于两个五边形的重心，通过对称中心可以将五角星分成两个对称的部分。

三、应用举例中心对称和中心对称图形在日常生活中有很多应用，下面举几个例子。

1. 建筑设计中心对称在建筑设计中得到了广泛运用。

比如，很多教堂、宫殿等建筑物采用中心对称布局，将整个建筑划分成两个对称的部分。

这样的布局不仅使建筑物更加美观，而且在视觉上给人一种稳定和和谐的感觉。

2. 服装设计中心对称也在服装设计中被广泛应用。

比如，一些裙子、外套等服装的剪裁会采用中心对称设计，使得服装的左右两侧完全对称。

这种设计不仅美观，而且方便穿着，给人带来舒适的感觉。

3. 艺术创作中心对称在艺术创作中也有重要地位。

很多绘画作品和雕塑作品都运用了中心对称来构图，使得作品更加平衡和谐。

例如，著名画家达芬奇的作品《蒙娜丽莎》就采用了中心对称的构图，使得人物形象更加生动和真实。

学习目标：1、知道中心对称和中心对称图形的意义。

2、知道中心对称的两个图形的特征。

3、能运用中心对称的性质做出一个图形关于某点对称的中心对称图形。

重点：1、中心对称图形和中心对称的概念及特征。

2、作已知图形关于某点为对称中心的中心对称图形。

难点：中心对称图形与中心对称之间的区别与联系。

一、自主学习阅读教材P51— 53, 完成下列问题 1. 探索中心对称的定义：(1)：这些图形有什么共同的特征？(2)：你能将上图中的图形绕某点旋转180°，使旋转后的图形与原图形完全重合吗？请选取其中的一个图形加以解释。

总结：像这样，如果一个图形绕一个点O 旋转180°，所得到的像与原来的图形重合，那么这个图形叫作图形，这个点O叫作它的。

（3）如图，将线段AB绕它的中点O旋转180°，你有什么发现？由上可得：线段是中心对称图形，线段的中点是它的对称中心.成中心对称的两个图形，对应点的两个图形中，对应点的连线经过，且。

2、如图2-35，平行四边形ABCD的两条对角线的交点为O，则OA=OC，OB=OD. 把□ABCD绕点O旋转180°，则：1）点A的像是（2）点B的像是。

（3）点C的像是。

（4）点D的像。

（5）边AB的像是。

（6）边BC的像是。

（7）边CD的像是。

（8）边DA的像是从上述结果看出，□ABCD绕点O旋转180°，它的像与自身重合，因此平行四边形是图形，是它的对称中心.3.如图，选择点O为对称中心，画出与△ABC关于点O对称的△A′B′C′.二、交流提升1、下列图形是中心对称图形的是（）2．从数学对称的角度看，下面几组大写英文字母：①ANEG ；②GBXM ；③XIHO ；④ZDWH ．不同于另外三组的-组是_________，这-组英文字母的特点是__________．3.如图，已知△ABC与△A′B′C′中心对称，求出它们的对称中心O．三、浏览巩固四、抽测达标教学目标：1、知道中心对称和中心对称图形的意义。

中心对称与中心对称图形【知识梳理】⒈概念：如果把一个图形绕着某一点旋转180度后能与另一个图形重合，那么我们就说，这两个图形成中心对称，这个点叫做对称中心，两个图形中的对应点叫做对称点中心对称图形：平面内，如果把一个图形绕着某一点旋转180度后能与自身重合，那么这个图形叫做中心对称图形。

这个点就是它的对称中心。

说一说：观察你生活的周围各处，指出几个中心对称的现象，并指出生活中几个中心对称图形2、成中心对称的两个图形有哪些特征？。

3、利用中心对称基本性质作图操作1 作点A关于O点的对称点操作2 作线段AB关于O点成中心对称的图形操作3 作三角形ABC关于点O成中心对称的图形3、中心对称与轴对称进行类比4. 对比轴对称图形与中心对称图形轴对称图形中心对称图形有一条对称轴——直线有一个对称中心——点沿对称轴对折绕对称中心旋转180O对折后与原图形重合旋转后与原图形重合【例题精讲】【例1】下列图形中，哪些是旋转对称图形，哪些不是旋转对称图形？如果是旋转对称图形，请在图中标出旋转中心，并在括号内填入“是”，以及所有的旋转角和最小旋转角；如果不是旋转对称图形，请在括号内填入“不是”．(1)等边的三角形ABC，且AO=BO=OC．(2)正方形ABCD，且AC与BD相交于点0．(3)由圆的五等分点画出的五角星图形．(4)由六个相同的平行四边形及圆拼成的图形．(5)直角三角形．(6)梯形．【例2】(1)在第1题中，哪些图形是中心对称图形？中心对称图形与旋转对称图形的主要区别是什么？【例3】(1)画出下列中心对称图形的对称中心．红十字会标2002年国际数学家大会会标的一部分图案【例4】(1)在下图中，画出五边形ABCDE关于点0的中心对称图形．(2)五边形ABCDE是不是旋转对称图形？为什么？【例5】已知下列两个图形关于某点中心对称，画出对称中心．【课堂练习】一、选细心选一选1．如图：下列四个图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．下列图形中，是中心对称图形的是（）A B．C．D．3．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．平行四边形 B．圆C．正五边形D．等腰三角形4．下列图形中，既是轴对称又是中心对称的图形是（）A．直角三角形B．正五边形C．正六边形D．等腰梯形5．在平面直角坐标系中，点A（l，3）关于原点D对称的点A′的坐标为（）A．（﹣1，3）B．（1，﹣3）C．（3，1）D．（﹣1，﹣3）6．民间剪纸在我国有着悠久的历史，下列图案是中心对称图形的是（）A．B．C．D．7、“俄罗斯方块”同学们一定玩过吧，下面给出几种基本图形，请你利用它们设计一个中心对称图案，试一试，你一定行！（除了给出的四种基本图案，你还可以在方框内自主设计其他图案，可以重复使用某种基本图案）综合提高练习1.下面这几个车标中，是中心对称图形而不是轴对称图形的共有（）A 、1B 、2C 、3D 、4巩固：如图，是4×4的正方形网格，把其中一个标有数字的白色小正方形涂黑，就可以使图中的黑色部分构成一个中心对称图形，则这个白色小正方形内的数字是_________．2.小明把如图所示的扑克牌放在一张桌子上，请一位同学避开他任意将其中一张牌倒过来，然后小明很快辨认出被倒过来的那张扑克牌是（）A 、方块5B 、梅花6C 、红桃7D 、黑桃8巩固：4张扑克牌如图1所示放在桌子上，小明将其中一张旋转180°后得到如图2所示，那么他所旋转的牌从左起是（）A 、第一张B 、第二张C 、第三张D 、第四张3.如图，△ABC与△A1B1C1关于点O成中心对称，下列说法：①∠BAC=∠B1A1C1；②AC=A1C1；③OA=OA1；④△ABC与△A1B1C1的面积相等，其中正确的有（）4.如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，左上角阴影部分是一个以格点为顶点的正方形(简称格点正方形)．若再作一个格点正方形，并涂上阴影，使这两个格点正方形无重叠面积，且组成的图形是轴对称图形，又是中心对称图形，则这个格点正方形的作法共有()变式：如图①是3×3正方形方格，将其中两个方格涂黑，并且使涂黑后的整个图案是轴对称图形，约定绕正方形ABCD的中心旋转能重合的图案都视为同一种图案，例如图②中的四幅图就视为同一种图案，则得到的不同图案共有（）5.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点是网格线的交点）和点A1．（1）画出一个格点△A1B1C1，并使它与△ABC全等且A与A1是对应点；（2）画出点B关于直线AC的对称点D，并指出AD可以看作由AB绕A点经过怎样的旋转而得到的．巩固：如图，是一个4×4的正方形网格，每个小正方形的边长为1．请你在网格中以左上角的三角形为基本图形，通过平移、对称或旋转变换，设计一个精美图案，使其满足：①既是轴对称图形，又是以点O为对称中心的中心对称图形；②所作图案用阴影标识，且阴影部分面积为4．。

第五讲中心对称与中心对称图形一、知识要点1.中心对称：中心对称的性质：成中心对称的两个图形对称点连线都过，并且被对称中心。

2.中心对称图形：中心对称图形的作图方法；中心对称与中心对称图形之间的关系；轴对称图形与中心对称图形区别与联系二、知识运用典型例题例1：如图，在Rt△ABC中，斜边AB长为10，直角边BC长为8，若扇形ACE与扇形BDE 关于点E中心对称，则图中阴影部分的面积为()A．12 B．24 C．48 D．80例2：如图，已知△ABC与△A′B′C′成中心对称，作出它们的对称中心O.例3：如图,是由4个全等的正方形组成的L形图案，请按下列要求画图：(1)在图案①中添加1个正方形，使它是轴对称图形(不能是中心对称图形)．(2)在图案②中添加1个正方形，使它是中心对称图形(不能是轴对称图形)．(3)在图案③中改变1个正方形的位置，使它既是中心对称图形，又是轴对称图形．例4: 如图,所示，在7×6的正方形网格中，选取14个格点，以其中三个格点为顶点画出△ABC，请你以选取的格点为顶点再画出一个三角形，且分别满足下列条件：(1)图①中所画的三角形与△ABC组成的图形是轴对称图形．(2)图②中所画的三角形与△ABC组成的图形是中心对称图形．(3)图③中所画的三角形与△ABC的面积相等，但不全等．例5:图①、图②均为76⨯的正方形网格，点A B C、、在格点上．（画一个即可）在图①，②中分别确定格点D，E并画出以A B C D、、、和A B C E、、、为顶点的四边形，使其为轴对称图形。

例6：作出ABC△关于点O的中心对称图形A B C'''△．三、知识运用课堂训练1．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则图中成中心对称的三角形共有()图①图②A．4对B．3对C．2对D．1对2．如图，△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是()A．点A与点A′是对称点B．BO＝B′OC．AB∥A′B′D．∠ACB＝∠C′A′B′3．如图，△ABC与△DEF关于O点成中心对称，则AB________DE，BC∥________，AC＝________．4．下列图案中，不是中心对称图形的是()A B C D5．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是平行四边形圆正五边形等腰三角形6．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有()A．4个B．3个C．2个D．1个7．如图,是一个以点A为对称中心的中心对称图形，若∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝1，则BB′的长为()A．2 B．4 C．4 3 D．8第5讲知识运用课后训练等级1.如图，▱ABCD中，点A关于点O的对称点是点________2.把图2－3－12中的三角形ABC绕着AB边的中点O旋转180°后，整个组合图形是__________形．3.下列图形分别是桂林、湖南、甘肃、佛山电视台的台徽，其中为中心对称图形的是()A B C D4.下面4张扑克牌中，属于中心对称图形的有________个．5．在四边形ABCD中，AB＝CD，要使四边形ABCD是中心对称图形，只需添加一个条件，这个条件可以是___________________________．(只要填写一种情况)。

9.2 中心对称与中心对称图形【中档题】（满分100分时间：40分钟）班级姓名得分【知识点回顾】1、中心对称：一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于这点对称，也称这两个图形成中心对称。

这个点叫做对称中心。

2、成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分。

3、中心对称图形：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形；这个点就是它的对称中心。

【课时练习】一、单项选择题：（本题共6小题，每小题5分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.）1．（2021·重庆北碚区·西南大学附中九年级期末）下列图形是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的定义求解．【详解】解：A、是轴对称图形不是中心对称图形，不符合题意；B、既是轴对称图形也是中心对称图形，不符合题意；C、是中心对称图形不是轴对称图形，符合题意；D、是轴对称图形不是中心对称图形，不符合题意；故选C ．【点睛】本题考查轴对称与中心对称的应用，熟练掌握轴对称与中心对称的意义是解题关键．2．（2020·浙江杭州市·八年级其他模拟）若4y kx =-的函数值y 随x 的增大而增大，则(,3)k 关于原点的对称点在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【分析】根据函数的性质确定k ＞0，判断点(,3)k 在第一象限，根据中心对称的性质即可求解．【详解】解：∵4y kx =-的函数值y 随x 的增大而增大，∴k ＞0，∴点(,3)k 在第一象限，∴(,3)k 关于原点的对称点在第三象限．故选：C【点睛】本题考查了一次函数的增减性，中心对称的性质，根据一次函数的增减性判断k 的符号是解题关键．3．（2020·广州白云广雅实验学校九年级月考）如图，0MON 9°Ð=，ABC V 关于OM 的对称图形是111A B C V ，111A B C V 关于ON 的对称图形是222A B C V ，则ABC V 与222A B C V 的关系是（ ）A．平移关系B．关于O点成中心对称Ð的平分线成轴对称D．关于直线ON成轴对称C．关于MON【答案】B【分析】可设OM所在直线为y轴，ON所在直线为x轴，再根据平面直角坐标系中轴对称与中心对称的对称点的坐标关系便可求解．【详解】不妨设OM所在直线为y轴，ON所在直线为x轴，∵△ABC关于OM的对称图形是△A1B1C1，∴A与A1、B与B1、C与C1的纵坐标相同，横坐标互为相反数，∵△A1B1C1关于ON的对称图形是△A2B2C2，∴A1与A2、B1与B2、C1与C2的横坐标相同，纵坐标互为相反数，∴A与A2、B与B2、C与C2的横坐标、纵坐标都互为相反数，则由中心对称图形在平面直角坐标系中对称点的坐标关系可知：△ABC与△A2B2C2关于O点成中心对称．故答案为：B．【点睛】本题考查了轴对称图形的特征和中心对称图形的识别，正确区分两种对称变换的特征是解题的关键．4．（2020·山东淄博市·鲁村中学八年级月考）在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成中心对称图形，该小正方形的序号是（）A．④B．③C．②D．①【答案】C【分析】将一个图形旋转180度后能与原图形重合的图形是中心对称图形，根据定义解答．【详解】A、涂④后构成轴对称图形，不符合题意；B、涂③后构成轴对称图形，不符合题意；C、涂②后构成中心对称图形，符合题意；D、涂①后既不是轴对称图形也不是中心对称图形，不符合题意；故选：C．．【点睛】此题考查中心对称图形的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的特点及区别是解题的关键．5．（2020·全国九年级课时练习）如图，线段AC与BD相交于点O，且△ABO和△CDO关于点O成中心对称，则下列结论，其中正确的个数是（）△≌△；④AC＝BD．①OB＝OD；②AB＝CD；③ABO CDOA．4B．3C．2D．1【答案】B【分析】根据成中心对称的两个图形的性质解答．【详解】解：∵△ABO和△CDO关于点O成中心对称，∴△ABO≌△CDO，∴OB＝OD，AB＝CD，而AC＝BD不一定成立，故选：B．【点睛】此题考查成中心对称的两个图形的性质：成中心对称的两个图形全等，熟记性质是解题的关键．6．（2020·上海嘉定区·七年级期末）下列说法中正确的是（）A．如果一个图形是旋转对称图形，那么这个图形一定也是轴对称图形；B．如果一个图形是中心对称图形，那么这个图形一定也是轴对称图形；C．如果一个图形是中心对称图形，那么这个图形一定也是旋转对称图形；D．如果一个图形是旋转对称图形，那么这个图形一定也是中心对称图形；【答案】C【分析】根据旋转对称图形、轴对称图形、中心对称图形的定义及性质判断各选项即可得出答案．【详解】A、如果一个图形是旋转对称图形，那么这个图形不一定是轴对称图形，故选项不符合题意；B、如果一个图形是中心对称图形，那么这个图形不一定是轴对称图形，如平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形，故选项不符合题意；C、如果一个图形是中心对称图形，那么这个图形一定也是旋转对称图形，故选项符合题意；D、如果一个图形是旋转对称图形，那么这个图形不一定也是中心对称图形，当一个旋转对称图形没有旋转180°则不是中心对称图形，故选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了旋转对称图形、轴对称图形、中心对称图形，属于基础题，注意掌握把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称．二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）-关于原点对称的点的坐标为______．7．（2021·福建莆田市·九年级期末）在平面直角坐标系中，点(2,4)-【答案】(2,4)【分析】关于原点对称的点的横纵坐标都互为相反数，据此解答．【详解】点(2,4)-关于原点对称的点的坐标为(2,4)-，故答案为：(2,4)-．【点睛】此题考查关于原点对称的点的坐标特点：横纵坐标都互为相反数．8．（2021·重庆市璧山中学校九年级月考）已知点(,3)-A m 与(6,1)B n -关于原点对称，则m n +=____________．【答案】-8【分析】关于原点对称的点的横纵坐标都互为相反数，据此解答．【详解】∵点(,3)-A m 与(6,1)B n -关于原点对称，∴m=-6，1-n=3，∴n=-2，∴m+n=-6-2=-8，故答案为：-8．【点睛】此题考查关于原点对称的点的坐标特征：横纵坐标互为相反数，求代数式的值，熟记坐标特征是解题的关键．A a b+关于原点O对称的点的坐标是9．（2020·富顺县北湖实验学校九年级月考）直角坐标系里，点(,1)(4,3)，则点A的坐标为____．【答案】（-4，-3）【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案．【详解】A a b+关于原点O对称的点的坐标是(4,3)，解：∵点(,1)∴a=-4，b+1=-3∴点A的坐标为(-4，-3) ．故答案为：(-4，-3)．【点睛】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．10．（2020·孝感市孝南区教学研究室九年级期中）如图，O是正方形ABCD的中心，M是ABCD内一点，V绕O点旋转180°后得到BNACM=，则MN的长为V．若390DMCÐ=°，将DMCMD=，4______．【分析】延长BN交CM与E，判定△NME为等腰直角三角形，求出NE的长，再据勾股定理可计算得MN的长．【详解】解：如下图在正方形ABCD中延长BN交CM于E，由题意据中心对称的性质，得∠ABE=∠CDM，∠MDC与∠MCD互余，∠ABE与∠EBC互余∴∠EBC=∠DCM；同理可得∠MCB=∠ABN又∠ABN=∠CDM∴∠MCB=∠MDC又BC=CD∴△BEC≌△CMD∴∠BEC=∠CMD=90° BE=CM=4 CE=DM=3∴ME=CM-CE=1，NE=BE-BN=1所以△MNE为等腰直角三角形，且∠NEM是直角，ME=NE=1，由勾股定理得=．【点睛】此题考查综合运用中心对称的性质解决问题．其关键是要运用中心对称的性质找全等条件，证明△BEC ≌△CMD ．三、解答题：（本题共4小题，共50分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）11．（2021·山东淄博市·八年级期末）如图，平面直角坐标系的原点在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格的格点上，ABC V 为格点三角形（三角形的顶点在网格的格点上）（1）直接写出下列点的坐标：A （______，______），B （______，______），C （______，______）．（2）直接画出经过下列变换后的图形：将ABC V 向右平移1个单位，再向下平移6个单位后，得到111A B C △（其中：点A 移动后为点1A ，点B 移动后为点1B ，点C 移动后为点1C ）再将其绕点1A 顺时针旋转180°得到222A B C △．（3）通过观察分析判断ABC V 与222A B C △是否关于某点成中心对称？如果是，直接写出对称中心的坐标；如果不是，说明理由．【答案】（1）(3,2)A ，(1,1)B ，(4,0)；（2）见解析；（3）ABC V 与222A B C △关于点P 成中心对称，点P 的坐标为 7,12öæ-ç÷èø．【分析】（1）根据平面直角坐标系写出各点的坐标即可；（2）根据网格结构分别找出点A 、B 、C 平移后的对称点A 1、B 1、C 1的位置，然后顺次连接即可；分别找出点A 1、B 1、C 1绕点A 1顺时针旋转180°的对应点A 2、B 2、C 2的位置，然后顺次连接即可；（3）根据网格结构和中心对称的性质确定出对称中心，并根据对称中心的位置写出坐标即可．【详解】解：（1）(3,2)A ，(1,1)B ，(4,0)C ．（2）111A B C △如图所示，222A B C △如图所示．（3）如图所示，ABC V 与222A B C △关于点P 成中心对称，∵C（4,0），C2（3，-2），CP=C2P，点P的横坐标为：12×（4+3）＝72，纵坐标为：12×（0-2）＝-1，∴P7,12öæ-ç÷èø．【点睛】本题考查了利用平移、旋转变换作图及中心对称等知识，解题的关键是理解题意，熟练掌握平移、旋转及中心对称的性质并准确找出对应点的位置．12．（2020·浙江杭州市·八年级其他模拟）在66´的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，请在图1、图2、图3中各画一个以A，B为顶点的四边形，满足以下要求：（1）在图1中画出一个面积为6，且是中心对称的四边形；（2）在图2中画出一个面积为9，且是轴对称的四边形；（3）在图3中画出一个既是轴对称又是中心对称的四边形．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【分析】（1）画一个底为2，高为3的平行四边形即可；（2）画一个上底为2，下底为4，高为3的梯形即可；（3）以AB为边画一个正方形即可．【详解】解：（1）如图，四边形ABCD即为所作；（2）如图，四边形ABCD即为所作；（3）如图，四边形ABCD即为所作．【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键是掌握相应图形的性质，以及网格的性质．V各顶点坐标为：13．（2021·朝阳县羊山实验中学九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，ABCA-，(4,0)(2,3)B-，(1,1)C-．（1）作ABC V 关于原点O 成中心对称的111A B C △；（2）将111A B C △向上平移5个单位，作出平移后的222A B C ；（3）在x 轴上求作一点P ，使2PA PA +的值最小，并求出点P 的坐标【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）见详解，2,05æöç÷èø【分析】(1)根据关于原点对称的点的坐标特征分别作出点A 、B 、C 关于原点的对称点A 1、B 1、C 1，即可得到△A 1B 1C 1；(2)根据平移的性质分别作出点A 1、B 1、C 1向上平移5个单位的对称点A 2、B 2、C 2，即可得到△A 2B 2C 2；(3)由于点A′和A 关于x 轴对称，连结A′A 2交x 轴于P ，则PA′=PA ，所以PA+PA 2=PA′+PA 2=A′A 2，根据两点之间线段最短得到PA 2+PA 的值最小，接着利用待定系数法求出直线A′A 2的解析式为5142y x =-，然后计算函数值为0时的自变量的值即可得到点P 的坐标．【详解】(1)如图，△A 1B 1C 1为所求；(2)如图，△A 2B 2C 2为所求；(3) 作点A 关于x 轴对称的对称点A′，连结A′A 2交x 轴于P ，则P 点为所求，则PA′=PA ，所以PA+PA 2=PA′+PA 2=A′A 2，根据两点之间线段最短得到PA 2+PA 的值最小，设直线2A A ¢的解析式为y kx b =+，把(2,3)A ¢--，2(2,2)A 代入得：2322k b k b -+=-ìí+=î，解得5412k b ì=ïïíï=-ïî，∴直线2A A ¢的解析式为5142y x =-，当0y =时，51042x -=，解得25x =，P 点坐标为2,05æöç÷èø．【点睛】本题考查了作图-中心对称变换和平移变换．根据中心对称的性质可知，作对应点与中心O连线并延长，利用对应线段相等，由此可以射线上的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出成中心对称的图形．14．（2020·长沙市中雅培粹学校）阅读下列材料并完成题目：类似于平移变换是在原有横、纵坐标上加减一个数，在平面直角坐标系xOy中，点P（x，y）经过变换φ得到P′（x′，y′），把这种变换记作φ（x，y）＝（x′，y′），其中''x ax byy ax by=+ìí=-î（a，b为常数），例如：当a＝1，且b＝1时，则φ（﹣2，3）＝（1，﹣5）．（1）①当a＝2，且b＝1时，φ（﹣2，1）＝ ．②若φ（3，1）＝（﹣3，﹣3），则a＝ ，b＝ ．（2）点P（2，1）经过变换φ得到点P′（x′，y′），若点P′与点P关于原点对称，求a和b的值．（3）对任意横、纵坐标满足二元一次方程2x﹣y＝0的点P（x，y），点P经过变换φ得到点P′（x′，y′），若点P与点P′重合，求a和b的值．【答案】（1）①（﹣3，﹣5）；②﹣1，0；（2）31,42a b=-=-；（3）32a=，14b=-．【分析】（1）①根据变换φ的定义解答即可；②根据变换φ的定义构建方程组即可解决问题；（2）先根据关于原点对称的点的坐标特点求出点P′的坐标，再根据变换φ的定义构建方程组即可解决问题；（3）由题意可设P（x，2x），然后根据变换φ的定义构建方程组即可解决问题．【详解】解：（1）①x′＝2×（﹣2）+1×1＝﹣3，y′＝2×（﹣2）﹣1×1＝﹣5，∴φ（﹣2，1）＝（﹣3，﹣5），故答案为：（﹣3，﹣5）；②由题意，得3333a ba b+=-ìí-=-î，解得1ab=-ìí=î，故答案为：﹣1，0；（2）∵点P′与点P关于原点对称，P（2，1），∴P′（﹣2，﹣1），由题意，得2221a ba b+=-ìí-=-î，解得3412abì=-ïïíï=-ïî；所以31,42 a b=-=-；（3）由题意可设P（x，2x），则有222ax bx xax bx x+=ìí-=î，解得3214abì=ïïíï=-ïî．所以32a=，14b=-．【点睛】本题是新定义题目，以φ变换为载体，主要考查了二元一次方程组的解法和关于原点对称的点的坐标特点，正确理解变换法则、熟练掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键．。

中心对称和中心对称图形中心对称是一种几何性质，用来描述一个图形相对于某个中心点的对称性。

中心对称图形是一种具有中心对称性质的图形。

在数学和几何学中，中心对称常常被用于解决各种问题，同时也有着广泛的应用。

1. 中心对称的定义和性质一个图形具有中心对称性，当且仅当它的每个点与一个中心点的连线，将该点与中心点的连线延长相等，而与原来图形上对应的点的连线重合。

这意味着沿着这条连线可以将图形折叠成自身。

具体来说，设图形为G，中心点为O。

如果对于图形G中的任意一点P，存在中心对称点P’，使得OP=OP’，则称图形G具有中心对称性。

中心对称具有以下性质： - 中心对称是自反性的，即一个点关于自身对称。

-中心对称是可逆的，即如果一个图形关于某个中心对称，那么该图形的中心对称点关于同一个中心也与原来的点重合。

2. 中心对称图形的特点中心对称图形是一种特殊的图形，具有一些独特的特点： - 所有的点都具有与中心对称点关于中心点对称的性质。

换句话说，如果一个点在图形中，那么它的对称点也在图形中。

- 中心对称图形的中心对称轴是图形上每个点与其对称点所在直线的中垂线。

- 中心对称图形可以通过沿着中心对称轴折叠成自身，即与图形上的任何一点P对称的点P’都在图形上。

中心对称图形广泛应用于各个领域，特别是在几何学和艺术设计中。

在几何学中，中心对称图形可以帮助我们研究图形的对称性质，解决各种关于对称性的问题。

在艺术设计中，中心对称图形常常被用于创作图案、平面设计和装饰品，给人以和谐、平衡的美感。

3. 中心对称图形的例子中心对称图形有许多种类，下面列举一些常见的例子：3.1 正方形正方形示意图正方形示意图正方形是一个具有四条边长度相等、四个内角均为直角的图形。

正方形具有中心对称性，其中心对称轴为对角线的中垂线，将正方形分为两个对称部分。

3.2 圆圆示意图圆示意图圆是一个由所有与中心点距离相等的点构成的图形。

圆具有中心对称性，其中心对称轴为任意直径的中垂线，将圆分为两个对称部分。