实变函数与泛函分析基础
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《实变函数与泛函分析基础》目录简介
《实变函数与泛函分析基础》目录简介内容简介本次修订是在第二版的基础上进行的，作者根据多年来的使用情况以及数学的近代发展，做了部分但是重要的修改。
《实变函数与泛函分析基础(第3版)》共11章：实变函数部分包括集合、点集、测度论、可测函数、积分论、微分与不定积分；泛函分析则主要涉及赋范空间、有界线性算子、泛函、内积空间、泛函延拓、一致有界性以及线性算子的谱分析理论等内容。
这次修订继续保持简明易学的风格，力图摆脱纯形式推演的论述方式，着重介绍实变函数与泛函分析的基本思想方法，尽量将枯燥的数学学术形态呈现为学生易于接受的教育形态；同时，补充了一些现代化的内容，如“分形”的介绍。
《实变函数与泛函分析基础(第3版)》可作为高等院校数学类专业学生的教学用书，也可作为自学参考书。
目录第一篇实变函数第一章集合1 集合的表示2 集合的运算3 对等与基数4 可数集合5 不可数集合第一章习题第二章点集1 度量空间，n维欧氏空间2 聚点，内点，界点3 开集，闭集，完备集4 直线上的开集、闭集及完备集的构造5 康托尔三分集第二章习题第三章测度论1 外测度2 可测集3 可测集类4 不可测集第三章习题第四章可测函数1 可测函数及其性质2 叶果洛夫定理3 可测函数的构造4 依测度收敛第四章习题第五章积分论1 黎曼积分的局限性，勒贝格积分简介2 非负简单函数的勒贝格积分3 非负可测函数的勒贝格积分4 一般可测函数的勒贝格积分5 黎曼积分和勒贝格积分6 勒贝格积分的几何意义·富比尼定理第五章习题第六章微分与不定积分1 维它利定理2 单调函数的可微性3 有界变差函数4 不定积分5 勒贝格积分的分部积分和变量替换6 斯蒂尔切斯积分7 L-S测度与积分第六章习题第二篇泛函分析第七章度量空间和赋范线性空间1 度量空间的进一步例子2 度量空间中的极限，稠密集，可分空间3 连续映射4 柯西点列和完备度量空间5 度量空间的完备化6 压缩映射原理及其应用7 线性空间8 赋范线性空间和巴拿赫空间第七章习题第八章有界线性算子和连续线性泛函1 有界线性算子和连续线性泛函2 有界线性算子空间和共轭空间3 广义函数第八章习题第九章内积空间和希尔伯特(Hilbert)空间1 内积空间的基本概念2 投影定理3 希尔伯特空间中的规范正交系4 希尔伯特空间上的连续线性泛函5 自伴算子、酉算子和正常算子第九章习题第十章巴拿赫空间中的基本定理1 泛函延拓定理2 C[a，b]的共轭空间3 共轭算子4 纲定理和一致有界性定理5 强收敛、弱收敛和一致收敛6 逆算子定理7 闭图像定理第十章习题第十一章线性算子的谱1 谱的概念2 有界线性算子谱的基本性质3 紧集和全连续算子4 自伴全连续算子的谱论5 具对称核的积分方程第十一章习题附录一内测度，L测度的另一定义附录二半序集和佐恩引理附录三实变函数增补例题参考书目。
实变函数与泛函分析基础之课程论文提纲
◦
∀ {xn} ⊂ U (x0, λ) ⊂ Df , xn → a, 成立：f (xn) → a
特别地，当 f (x) 在 x0 ∈ X 点连续，即：limx→x0 ∈ Y f (x) = f (x0) ∈ Y ，则上述去心领域均可 改成含心领域。
Theorem 1 复合映照极限定理 设有：
(1) limy→y0 ∈ Y g(y) = c ∈ Z
《实变函数与泛函分析基础》之课程论文提纲
2007 年 7 月 5 日1 赋范线性空间基本概念
Problem 1 (Ck(Ω) 空间) 设 Ω ⊂ Em，Ck(Ω) 表示 Ω 上具有有界连续的 k 阶各类偏导数
的 函 数 全 体 按 通 常 函 数 加 法 和 数 乘 所 成 的 线 性 空 间 。 用 p = (p1, · · · , pn) 表 示 非 负 整 数
注： 1. 上述可测简单函数列中的每一个均可取成具有紧支集的函数。 2. 若 f (x) 是有界的，则上述收敛是都是一致的。
Problem 8 按周民强著《实变函数论》整理 Rm 上测度理论的建立。 Problem 9 按夏道行等著《实变函数论与泛函分析》（上册）整理一般集类上测度理论的建 立。 Problem 10 按周民强著《实变函数论》或夏道行等著《实变函数论与泛函分析》（上册）进 行有关问题（习题）的解答。
注：本学期本课程采用课题论文形式进行考核。可参考上述的提纲进行相关内容的整理 （可以扩充内容或更改上述提纲所反映的思路）：（1）澄清概念；（2）完成性质的证明及 问题解答。要求：正本清源；思想清晰，证明推理严谨，并尽量体现微积分及线性代数的思 想和方法在本课程中的应用。
3
f (x0 + h) = f (x) + Df (x0) · h + o(|h|X ), h ∈ X
∀ {xn} ⊂ U (x0, λ) ⊂ Df , xn → a, 成立：f (xn) → a
特别地，当 f (x) 在 x0 ∈ X 点连续，即：limx→x0 ∈ Y f (x) = f (x0) ∈ Y ，则上述去心领域均可 改成含心领域。
Theorem 1 复合映照极限定理 设有：
(1) limy→y0 ∈ Y g(y) = c ∈ Z
《实变函数与泛函分析基础》之课程论文提纲
2007 年 7 月 5 日1 赋范线性空间基本概念
Problem 1 (Ck(Ω) 空间) 设 Ω ⊂ Em，Ck(Ω) 表示 Ω 上具有有界连续的 k 阶各类偏导数
的 函 数 全 体 按 通 常 函 数 加 法 和 数 乘 所 成 的 线 性 空 间 。 用 p = (p1, · · · , pn) 表 示 非 负 整 数
注： 1. 上述可测简单函数列中的每一个均可取成具有紧支集的函数。 2. 若 f (x) 是有界的，则上述收敛是都是一致的。
Problem 8 按周民强著《实变函数论》整理 Rm 上测度理论的建立。 Problem 9 按夏道行等著《实变函数论与泛函分析》（上册）整理一般集类上测度理论的建 立。 Problem 10 按周民强著《实变函数论》或夏道行等著《实变函数论与泛函分析》（上册）进 行有关问题（习题）的解答。
注：本学期本课程采用课题论文形式进行考核。可参考上述的提纲进行相关内容的整理 （可以扩充内容或更改上述提纲所反映的思路）：（1）澄清概念；（2）完成性质的证明及 问题解答。要求：正本清源；思想清晰，证明推理严谨，并尽量体现微积分及线性代数的思 想和方法在本课程中的应用。
3
f (x0 + h) = f (x) + Df (x0) · h + o(|h|X ), h ∈ X
实变函数与泛函分析基础(第三版)
主要内容本章讨论的点集理论，不仅是以后学习测度理论和新积分理论的基础，也为一般的抽象空间的研究提供了具体的模型. 学习本章时应注意以下几点.1、本章的基本概念较多，且有些概念（如内点、聚点、边界点等）相互联系，形式上也常有类似之处，因而容易混淆. 学习这些概念时要细心认真，注意准确牢固地掌握每一个概念的实质，学习时可同其类似的概念对照，注意区别概念间的异同点.尤其要注意的是，本章对有些概念（如聚点），给出了多种等价（充要）条件，这将有利于理解概念的本质，特别是在讨论某些具体问题时，如能恰当地选用某种条件，常常会给问题的解决带来方便. 所以对等价条件必须深刻理解，熟练灵活地运用.2、在开集、闭集和完备集的性质的讨论中，开集是基础，因为闭集是开集的补集，完备集是一种特殊的闭集，所以弄清了开集的性质，闭集和完备集的性质也就自然得到了.3、本章中定理亦较多，对定理的学习，要注意弄清下述三点：一是定理的条件和要证的结论；二是定理的证明方法和推理过程；三是定理的意义和作用. 要特别注意论证思路和方法，这样才能逐步提高分问题和解决问题的能力. 同是定理， 然它们的意义和作用也会不尽相同.本章有些定理，如有限覆盖定理（定理），聚点存在定理（定理）以及直线上开集的结构定理（定理）等都是本章中的重要定理，在今后的学习中常有应用.4、康托集是本章给出的一个重要例子. 对它的一些特殊性质，在直观上是难以想象的，比如它既是不包含任何区间的完备集，同时它还具有连续基数 ，下章中我们还将证明它的测度为零. 正是因为它的这些“奇怪”性质，使得它在许多问题的讨论中起着重要作用.复习题一、判断题1、设P ，n Q R ∈，则(,)0P Q ρ=⇔P Q =。
（× ）2、设P ，nQ R ∈，则(,)0P Q ρ>。
（× ）3、设123,,n P P P R ∈，则121323(,)(,)(,)P P P P P P ρρρ≥+。
实变函数与泛函分析基础ppt课件
证明：不妨设f单调增，对任意a∈R
令Ia inf{ x | f (x) a}
由f单调增知下面的集合为可测集
E { [ f a]
E [ I a ,) 当I a {x| f ( x)a} E ( I a ,) 当I a {x| f ( x)a}
a
1
/ I a x1 x2
10
⒊可测函数的等价描述
定理1：设f(x)是可测集E上的广义实函数，则 f(x)在E上可测
16
⑵可测函数类关于四则运算封闭
即:若f(x),g(x)是E上的可测函数,
则f(x)+g(x) , f(x) -g(x) , f(x)g(x) , f(x)/g(x)
仍为E上的可测函数。
a-g(x) r f(x)
证明：先证： a
R, E[
f
ga]
E[ f
可测，
a g ]
猜想：E[ f ag] rQ(E[ f r] E[agr] )。
可测集E上的连续函数f(x)定为可测函数
证明：任取x∈E[f>a], 则f(x)>a,由连续性假设知，
对 f (x) a, x 0, 使得f (O(x,x ) E) O( f (x), ) (a,)
即O( x,x ) E E[ f a]
令G O xE[ f a] ( x,x )
1 ， n
）
E[ f
为可测集。
]
12
注：重要方法：将集合分解为某些集合
的并、交、差等，从而利用已知条件。
如：用分解法证明：
f , g均为E上可测函数，则E[ f g]为E上可测集。
事实上，E[
f
g]
(
rQ
E[
实变函数与泛函分析基础》习题解答
α∈Γ
α∈Γ
U ⇔ x ∈ f −1(Cα ) ． α∈Γ
②
x ∈ f −1(C − D) ⇔ f (x) ∈C − D ⇔ f (x) ∈C
，
且
f (x) ∈ D ⇔ x ∈ f −1(C) ，且 x ∈ f −1(D) ⇔ x ∈ f −1(C) − f −1(D) ．
③ f −1(C C ) = f −1(Y − C) = f −1(Y ) − f −1(C) = [ f −1(C)]C ．
α∈Γ
α∈Γ
α∈Γ
α∈Γ
U U U U U Bα ⊂ ( Aα U Bα ) ，所以 ( Aα ) U ( Bα ) ⊂ ( Aα U Bα ) ．
α∈Γ
α∈Γ
α∈Γ
α∈Γ
α∈Γ
∩ ∩ ② 因 ∀ α ∈ Γ ： ( Aα ) ∩ ( Bα ) ⊂ Aα ∩ Bα ， 所 以
α∈Γ
α∈Γ
∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ( Aα ) ∩ ( Bα ) ⊂ ( Aα ∩ Bα ) ． 另 方 面 ： 因 ( Aα ∩ Bα ) ⊂ Aα ，
(4) ⇒ (1) ： 因 { f (x1)} = f ( X ) − f ( X −{x}) ， 所 以
f (x1) ∈ f ( X −{x}) ．故 x ≠ x1时 f (x) ≠ f (x1) ．
5.
y
=
π tan
x．
2
6. N (0,0,1), A(ξ ,η,ζ ), B(x, y,0) ， A 为 单 位 球 面 上 的 点 ， 即
④ x ∈ A ⇒ f (x) ∈ f ( A) ⇒ x ∈ f −1[ f ( A)] ．
⑤ y ∈ f [ f −1(C)] ⇒ ∃ x ∈ f −1(C) : f (x) = y ⇒ y = f (x) ∈ C ．
第一章 集合
§4 可数集合
1、可数集合（可列集合） 凡是和全体正整数所成之集合N对等的集合都称为可数 集合或可列集合。
一个集合A为可数集的充要条件是A的一切元素可以用自然
数加以编号，使之成为无穷序列的形式，即 A a1, a2,..., an,...
通常记为可列集的基数为 a或0 。
例如： 1n
,
cos nx 都是可数集，因为它们的元素可以排成如下的无限序列
按照基数的说法就是：A B, B A ，则 A B
该定理提供了判断两个集合对等的方法。
设A B C,且A ~ C,则A ~ B ~ C
说明：对有限集来讲，基数就是集合所含元素的个数。基数是一切彼此 对等的集合之间的某种共同属性，是有限集的元素个数概念的推广。
例如：自然数集与正偶数集对等，虽然正偶数集是自然数集的真子 集，但是它们的基数相等，认为他们的元素是“一样多“的。
(2) lim An UI Am
n
n1 mn
U
若
An
为增加集列，则
lim
n
An
An
n 1
I 若
An
为减少集列，则
lim
nAnAn源自n 1例题 3 设An如下一列点集：
A 2 m 1
0,
2
1 2m 1
,
m 0,1, 2,...
A2m
0, 1
1 2m
,
m 1, 2,...
试确定An的上极限和下极限。
遍可列集Z的那些元素所组成，所以An为可数集。让n分别取0,1,2,…， 得一列可数集A0,A1,…，于是整系数多项式的全体就是可列个可数集之 并，也为可数集。
4、逆映射
设 为A到B上的一一映射.作B到A的映射如下:如果 : x | y
实变函数与泛函分析基础第七章ppt课件
k1
k1 k1
再令左端的 n→∞，即得
kn 1xkyk2
xk2 yk2
k1 k1
由此可得
xkyk2 xk 22 xkyk yk 2
k1
k1
k1
k1
为了规范事业单位聘用关系，建立和 完善适 应社会 主义市 场经济 体制的 事业单 位工作 人员聘 用制度 ，保障 用人单 位和职 工的合 法权益
(x,y)m axx(t)y(t) atb
与例3同理可证 ρ(x, y) 是 C[a, b] 上的度量.
为了规范事业单位聘用关系，建立和 完善适 应社会 主义市 场经济 体制的 事业单 位工作 人员聘 用制度 ，保障 用人单 位和职 工的合 法权益
例6 l2.
记 l2 x x k x k 2 .设 x x k l2 ,y y k l2 ，
因此 (S, ρ) 是距离空间。
例3 有界函数空间 B(A).
设 A 是个给定的集合，B(A)表示 A 上有 界实值(或复值)函数全体，对 B(A) 中的任意 两点 x, y, 定义
(x,y)supx(t)y(t)
tA
为了规范事业单位聘用关系，建立和 完善适 应社会 主义市 场经济 体制的 事业单 位工作 人员聘 用制度 ，保障 用人单 位和职 工的合 法权益
k 1
定义
1
d(x,
y)
yk
xk
22
k1
则 d 是 l2 上的距离。距离条件10 是容易得 出的，现检验条件 20
为了规范事业单位聘用关系，建立和 完善适 应社会 主义市 场经济 体制的 事业单 位工作 人员聘 用制度 ，保障 用人单 位和职 工的合 法权益
对任何正整数 n，
x n x 1 , x 2 , x n 和 y n y 1 , y 2 , , y n
大学数学实变函数与泛函分析
大学数学实变函数与泛函分析实变函数与泛函分析是大学数学中的重要内容。
实变函数研究的是定义在实数域上的函数，而泛函分析则是研究函数的泛函（即对函数的函数）。
这两个领域相辅相成，共同构成了大学数学中的重要组成部分。
本文将从以下几个方面进行探讨：实变函数的基本概念、实变函数的性质、泛函分析的基本概念以及实变函数与泛函分析的应用。
一、实变函数的基本概念在进一步深入实变函数之前，我们首先需要了解实变函数的基本概念。
实变函数是定义在实数域上的函数，通常用f(x)来表示。
在实变函数中，我们常常会遇到连续性、可导性、积分等概念。
例如，连续性是实变函数的重要性质之一，它描述了函数在给定区间上的光滑程度。
另外，我们还需要了解实变函数的极限、导数、微分等概念，并掌握它们的计算方法与性质。
二、实变函数的性质实变函数有许多重要的性质，这些性质在数学推导和证明中起着重要的作用。
其中，实变函数的一致收敛性是一项十分重要的性质。
一致收敛性涉及到了数列与函数之间的关系，在实际应用中具有广泛的应用。
此外，我们还需要探讨实变函数的极值、凸函数、泰勒展开等性质，并了解它们的应用与意义。
三、泛函分析的基本概念泛函分析是实变函数的推广，它研究的是定义在函数空间中的函数。
在泛函分析中，我们需要学习函数空间的结构、度量、拓扑等概念。
函数空间是泛函分析中的核心概念，它描述了不同函数之间的关系与性质。
此外，我们还需要了解泛函的概念与性质，学习泛函的极值、约束条件等问题，并掌握泛函分析的基本定理与方法。
四、实变函数与泛函分析的应用实变函数与泛函分析在科学研究与工程技术中有着广泛的应用。
在数学领域，实变函数与泛函分析的理论为其他分支学科提供了重要的工具与方法。
在物理学中，实变函数的泰勒展开与级数求和等技术被广泛应用于物理问题的建模与求解。
在工程技术中，泛函分析的优化理论与方法为工程问题的优化与设计提供了理论支持。
因此，实变函数与泛函分析的应用在现代科学与技术中具有重要的地位与作用。
实变函数与泛函分析基础完整版
bi
ai
bi ai
f(x), 当xF,
g(x)f(ai)
f(bbi)i afi(ai（ ) xai),当x(ai,bi),ai,bi有限 ,,
f(ai), 当x(ai,bi),bi , f(bi), 当x(ai,bi),ai .
则g(x)满足要求，且在R上连续.（参见课本p91）
0 ,及 E i ， 每 E i中 作 个 的 F i ， m ( 闭 E i 使 F i) n 子 ( i 1 ,2 , 集 ,n
当x∈Ei时，f(x)=ci，所以f(x)在Fi上连续，而Fi为两
两不交闭集，故f(x)在 n 上连续，显然F为闭集，
且有
F
i 1
Fi
m ( i n 1 E i i n 1 F i) m ( i n 1 ( E i F i) )i n 1 m ( E i F i) i n 1 n
kj
若 fk:Ek R为连续f函 (x)数 fk(x)， :xE 令 k，f则 (x)： k 1Ek R上的连
事实上x0， k 1， 由 Ek, 于 x0为开 (k 1， 集 Ek)c的内点，
kk0
kk0
20，使U 得 (x0,： 2） (k 1， Ek)c，即 U(x： 0,2） k 1， Ek。
注2：鲁津定理的逆定理成立。
设f(x)为E上几乎处处有限的实函数，若 0,闭F 集 E，
使得 m(E-F)<ε且f(x)在F上连续，则f(x)在E上为可 测函数。
证明： 1n,则闭集 Fn F,使得m： (EFn)1n, f(x)在Fn上连续（可测函数
k
，必有
实变函数与泛函分析基础
实变函数和函数分析的基础是高等教育出版社2003年出版的一本书。
作者是程启祥。
本书重点介绍了实变函数和泛函分析的思想和方法，并在每章的导言部分作了一些说明。
此外，为了帮助学生克服做实变函数的困难，本书增加了一些实例并作了评述。
本书第一版出版于1983年，在高等师范院校和其他院校得到了广泛的应用。
进入21世纪以后，高等教育发生了许多变化。
根据多年来对该书的使用情况和数学的现代发展，作者进行了全面的修订。
实变量函数是修正的重点，在函数分析中只做了少量的修改。
总体而言，原书的基本框架保持不变，这次修改的原则是: 首先，保持原书简洁易学，删去jordan 测度和peano 曲线等分支，减少过度形式化。
本书共11章，包括: 集合、点集、测度理论、可测函数、积分理论、微分与不定积分，以及度量空间与barnach 空间、线性泛函与线性算子、hilbert 空间、barnach 空间与线性算子谱等基本定理。
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《实变函数与泛函分析基础》是2003年高等教育出版社出版的图书，作者是程其襄。
本书是着重阐述实变函数和泛函分析的思想方法，在每章的引言中作一些说明。
此外，为了帮助学生克服做实变函数题目的困难，书中增加了，部分例题，并进行评讲。
本书初版于1983年，为高师院校和其他高校广泛采用。
进人21世纪之后，高等教育发生了很多变化。
本书作者根据多年来的使用情况，以及数学的近代发展，进行了全面的修订。
实变函数部分是修订的重点，泛函分析只作了少量的改动。
总体来看，原书的基本框架不变。
这次修订的原则是，首先是继续保持原书简明易学的风格，删除了若尔当测度、佩亚诺曲线等枝蔓，减少过度形式化的论述。
一些较难的题目与简解作为附录三附在书后，供有兴趣的读者参考。
本书共计11章：集合、点集、测度论、可测函数、积分论、微分和不定积分；以及度量空间和巴拿赫空间、线性泛函与线性算子、希尔伯特空间、巴拿赫空间的基本定理、线性算子的谱。
本书可作为高等师范院校和其他高校数学系的教学用书，也可以作为自学参考书。
第一篇实变函数
第一章集合
1.集合概念
2.集合的运算
3.对等与基数
4.可数集合
5.不可数集合
第一章习题
第二章点集
1.度量空间，n维欧氏空间
2.聚点，内点，界点
3.开集，闭集，完备集
4.直线上的开集、闭集及完备集的构造第二章习题
第三章测度论。