数学人教版九年级下册第27章相似三角形专题复习

人教版数学九年级下册第二十七章相似期中专项复习一、单选题1．如图，取一张长为a ，宽为b 的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边a 、b 应满足的条件是（ ）A ．a ＝bB ．a ＝2bC ．a ＝2bD ．a ＝4b2．将矩形按照如图所示的方式向外扩张得到新矩形，每条对角线向其延长线两个方向各延伸(0)a a > ，若所得新矩形与原矩形相似，则a 的值的个数可以是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．无数个3．如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC 的顶点 O 在坐标原点，边 OA 在 x 轴上， OC 在y 轴上， 如果矩形 OA B C ''' 与矩形 OABC 关于点 O 位似，且矩形 OA B C ''' 的面积等于矩形 OABC 面积的14，那么点 B 的坐标是( )A ．3,12⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．3,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ 或 3,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．3,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．(3，2)或（-3，-2）4．如图,要判定ABC 与AED 相似,欲添加一个条件,下列可行的条件有( 1 )::AE BE AD DC =;(2)::AE AD AC AB =;(3)::AD AC DE BC =;(4)180BED C ︒∠+∠=;(5)BED C ∠=∠.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．如图，在Rt ABC 纸片中，90,4,3ACB AC BC ∠=︒==，点,D E 分别在,AB AC 上，连结DE ，将ADE 沿DE 翻折，使点A 的对应点F 落在BC 的延长线上，若FD 平分EFB ∠，则AD的长为（ ）A ．259B ．258C ．157D ．2076．如图，等边三角形ABC 中，AB=3，点D 在边AB 上，且AD=1，点E 是边B 上的一动点，作射线ED ．射线ED 绕点E 顺时针旋转60°得到射线EF ，交AC 于点F ，则点E 从B→C 的运动过程中，CF 的最大值是（ ）A B ．1C ．98D 7．如图，已知点M 是△ABC 的重心，AB ＝18，MN ∥AB ，则MN 的值是（ ）A．9B．94C．92D．68．如图，在△ABC与△ADE中，∠ACB=∠AED=90°，∠ABC=∠ADE，连接BD、CE，若AC︰BC=3︰4，则BD︰CE为（ ）A．5︰3B．4︰3C︰2D．2︰9．如图，已知△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，且AB：DE＝3：2，则△ABC的面积与△DEF面积之比为（ ）A．3：2B．3：5C．9：4D．9：510．如图，正方形ABCD和正方形CGFE的顶点C、D、E在同一直线上，顶点B、C、G在同一条直线上.O是EG的中点，∠EGC的平分线GH过点D，交BE于点H，连接FH交EG于点M，连接OH，以下四个结论：①GH⊥BE；②△EHM∽△FHG；③BCCG=-1；④2HOMHOGSS=正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题11．在矩形ABCD 中，AB=12cm ，BC=6cm ，点P 沿AB 边从点A 出发向B 以2cm 秒的速度移动；点Q 沿DA 边从点D 开始向A 以1cm/秒的速度移动．如果P 、Q 同时出发，用t 秒表示移动的时间（0<x<6）那么，当t 为何值时，以点Q 、A 、P 为顶点的三角形与ABC 相似？　　．12．在ABC 中，14AB BC sin ABC ==∠=，，点P 在直线AC 上，点P 到直线AB 的CP 的长为　　．13．已知：3(0)2x y y =≠，则x x y=+ ．14．我们知道：四个角对应相等，四条边对应成比例的两个四边形是相似四边形．如图，已知梯形ABCD 中，AD BC ，AD ＝1，BC ＝2，E 、F 分别是边AB 、CD 上的点，且EF BC ，如果四边AEFD 与四边形EBCF 相似，那么AEEB的值是 ．15．在平面直角坐标系中，已知点E （-4，2），F （-2，-2），以原点O 为位似中心，相似比为2，把△EFO 放大，则点E 的对应点E′的坐标是 ．16．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，2BC =，AB =D 在边AC 上， :1:3CD AD =，联结BD ，点E 在线段BD 上，如果BCE A ∠=∠，那么CE = ．17．如图，在 ABCD 中，E 是 AB 的中点，F 在 AD 上，且 13AF AD =：： ， EF 交AC 于G.若 40AC = ，则 AG = .18．将边长分别为2、3、5的三个正方形按图所示的方式排列，则图中阴影部分的面积为 .三、解答题19．如图，a ∥b ∥c ，直线m ，n 交于点O ，且分别与直线a ，b ，c 交于点A 、B 、C 和点D 、E 、F ，已知OA ＝1，OB ＝2，BC ＝4，EF ＝5，求DE 的长度是？20．已知91114x y z== ，且x+y+z ＝68．求x ，y ，z 的值． 21．已知：如图，在△ABC 中，D 为AB 中点，E 为AC 上一点，延长DE 、BC 交于点F ．求证：BF·EC=CF·AE ．22．如图，点 E 是平行四边形 ABCD 的边 AB 的中点，连接 DE 交对角线 AC 于点F ，若 AEF ∆ 的面积为1，求平行四边形 ABCD 的面积．23．如图，已知点 D 为 ABC 的边 AB 上一点，过点 B 作 BE //AC ， BE 交 CD 的延长线于点 E ，且 ACD ABC ∠=∠ ， ABC BED S :S 4:9= ， AC 10= ，求 AD 的长．24．已知：如图，在 ABC 中， 6AB = ， 8AC = ， D 、 E 分别在 AB 、 AC 上，2BD = ， 5CE = ．求证： AED ABC ∽ ．25．请阅读下列材料，并完成相应的任务．正方形网格是认识数和形的绝好途径．在网格中构造几何图形具有直观性和可操作性，网格中的数学问题具有显著的数形结合和转化的特征．下面网格图中每个小正方形的边长都为1．如图1，点A 、B 、C 、D 都是格点，连接AC ，BD 交于点O ，则AC ，BD 互相平分．如图2，点A 、B 、C 、D 都是格点，连接AC ，BD 交于点M ，则点M 是线段AC 的四等分点．任务一：请你观察图1，连接AD 、DC 、CB 、AB ，则AC ，BD 互相平分，其理由是 ▲ ．任务二：请你观察图2，说明点M 是AC 的四等分点的理由．任务三：在下面网格图中按要求作图．要求：①仅用无刻度直尺；②保留必要的思考痕迹．在图3中的线段BC 上做两点M 、N ，使得△ABM 与△ABN 都为等腰三角形．答案解析部分1．【答案】B2．【答案】D3．【答案】B4．【答案】C5．【答案】D6．【答案】C7．【答案】D8．【答案】A9．【答案】C10．【答案】C11．【答案】1.2s或3s12．13．【答案】3 514．15．【答案】（-8，4）或（8，-4）16．17．【答案】818．【答案】15 419．【答案】解：∵OA=1，OB=2，∴AB=3，∵a∥b∥c，∴AB DE BC EF=，即345DE =，∴154 DE=；∴DE 的长度是154．20．【答案】解：设 91114k y zk === ， 则x ＝9k ，y ＝11k ，z ＝14k ，∴9k+11k+14k ＝68，解得：k ＝2，∴x ＝18，y ＝22，z ＝28．答：x ，y ，z 的值分别为18，22，28．21．【答案】证明：作DG ∥BC ，DH ∥AC ，则△ADG ∽△ABC ，∵D 是AB 中点，∴G 是AC 中点，H 是BC 中点，BC=2DG ，AC=2AG ，∵△DGE ∽△FCE ，∴DG EGCF CE = ，∴22DG EG CF CE = ，即 2BC EGCF EC = ，∴211BC EGCF EC+=+ ，即BC CF EG EG ECCF EC+++= ，∵EG+EC=GC=AG ，∴EG+EG+EC=EG+AG=AE ，∴BC CF AE CF EC += ，即 BF AECF EC= ，∴BF·EC=CF·AE ．22．【答案】解：∵四边形 ABCD 为平行四边形，∴,//AB CD AB CD = ，∴AEF CDF ∆~∆ ，∵点 E 是 AB 的中点，∴12AF AE AE FC CD AB === ，∴21124AEF CDF S S ∆∆⎛⎫== ⎪⎝⎭ ，∵AEF ∆ 的面积为1，∴14422CDF AEF ADF CDF S S S S ∆∆∆∆====， ，∴6ACD ADF CDF S S S ∆∆∆=+= ，∴平行四边形 ABCD 的面积= 212ACD S ∆= ．23．【答案】解：∵BE ∥AC ，∴∠EBD=∠A ，∠E=∠ACD ，∵∠ACD=∠ABC ，∴∠E=∠ABC ，∴△BED ∽△ABC.∵ABC BED S :S 4:9= ，∴24()9AC BD = ，∴23AC BD = .∴1023BD = ，解得BD=15.∵∠ACD=∠ABC ，∠A=∠A ，∴△ACD ∽△ABC ，∴AC ADAB AC= ，即 2AC AD AB =⋅ ，设AD=x ，则 210(15)x x =+ ，解这个方程，得 15x = ， 220x =- （不合题意，舍去），∴AD=5.24．【答案】证明：∵6AB = ， 2BD = ，∴4AD = ，∵8AC = ， 5CE = ，∴3AE = ，∴3162AE AB == ， 4182AD AC == ．∴AE ADAB AC= ，∵EAD BAC ∠=∠∴AED ABC ∽ ．25．【答案】解：任务一：矩形的对角线互相平分；任务二：如图，连接AD ，BC∵//AD BC∴,DAM BCM DMA BMC ∠=∠∠=∠∴ADM CBM ∆~∆∴13AD AM CB CM ==∴M 是AC 的四等分点；任务三：如图，取点D ，E ，连接DE ，交BC 于点M ，连接MA ，则△MBA 是等腰三角形，如图：理由是：∵,DE AB BE AE ⊥=即DE 是AB 的垂直平分线，∴MA=MB∴△MBA 是等腰三角形；取点F ，连接AF ，AF 与BC 交于点N ，△ABN 是等腰三角形，如图：理由是：AB=4，AC=3，由勾股定理得，BC= 5=又CF=1，CF//AB∴1=4CN CFNB AB=，即445BN BC==∴AB=NB=4∴△ABN是等腰三角形．。

《第27章相似》复习课教学设计1.教材内容义务教育课程标准实验教科书（人教版）《数学》九年级下册第27章相似的全章复习。

2.知识背景分析本章隶属于“空间与图形”领域，本章共有三节内容第1节图形的相似主要介绍相似图形，相似多边形的概念，并探索相似多边形的性质；第2节相似三角形主要研究相似三角形的判定方法、相似三角形在测量中的应用及相似三角形的周长和面积；第3节位似研究了一种特殊的相似－位似，研究了位似图形的画法及平面直角坐标系中的位似变化。

本节课是在学习前三节的基础上进行的，通过对一些图形性质的探索、证明等，进一步发展学生的探究能力，培养学生的逻辑思维能力等。

3.学情背景分析教学对象是九年级学生，学生的逻辑思维能力得到了一定的发展。

本章正处于学生对于掌握的推理论证方法的进一步巩固和提高阶段，要求学生能熟练运用综合法证明命题，熟悉探索法德推理过程，因此在教学中要注意多帮助学生复习已有的知识，做到以新带旧，新旧结合。

要加强解题思路的分析，帮助学生树立已知与未知，简单与复杂，特殊与一般在一定的条件下可以转换的思想，使学生学会把未知化为已知，把复杂问题化为简单问题，把一般问题化为特殊问题的思考方法。

通过小结对于学生推理证明的训练，进一步提高学生的逻辑思维能力和分析解决问题的能力。

4.学习目标4.1知识与技能目标（1）通过复习,梳理本章知识,构建知识网络.（2）通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，知道相似多边形的对应角相等，对应边成比例，面积的比等于对应边的比的平方。

（3）了解两个三角形相似的概念，探索两个三角形相似的条件。

（4）了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小。

（5）通过典型实例观察和认识现实生活中物体的相似，使学生综合运用图形的相似解决一些实际问题。

（5）在同一直角坐标系中，感受图形变换后点的坐标的变化特点。

4.2过程与方法目标经历小结的过程，使学生学会建立本章的知识结构图。

九年级下册数学第27章知识点汇总（人教
版）
27.1图形的相似
gt;gt;gt;gt;图形的相似知识点
27.2相似三角形
相似三角形定理：平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似。

相似三角形判定定理1：两角对应相等，两三角形相似(ASA)
gt;gt;gt;gt;相似三角形知识点
27.3位似
位似图形(Homothetic figures)的任意一对对应点与位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比。

把幻灯片上的图形放大到屏幕上，形成的新图形和原图形就是典型的位似图形。

两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，像这样的两个图形叫做位似图形(homothetic figures)，这个交点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。

gt;gt;gt;gt;位似图形知识点
九年级下册数学第27章知识点整理的很及时吧，提高学习成绩离不开知识点和练习的结合，因此大家想要取得更好的成绩一定要注重从平时中发现问题查缺补漏~请关注数学知识点。

九年级数学下册第二十七章相似知识点归纳总结(精华版)单选题1、如图，在四边形ABDC中，不等长的两对角线AD、BC相交于O点，且将四边形ABDC分成甲、乙、丙、丁四个三角形．若OA：OB＝OC：OD＝2：3，则此四个三角形的关系，下列叙述正确的是（）A．甲与丙相似，乙与丁相似B．甲与丙相似，乙与丁不相似C．甲与丙不相似，乙与丁相似D．甲与丙不相似，乙与丁不相似答案：A分析：利用已知条件得到即OAOC =OBOD，加上对顶角相等，则可判断△AOB∽△COD；再利用比例性质得到AOOB=OCOD，而∠AOC＝∠BOD，所以△AOC∽△BOD．解：∵OA：OB＝OC：OD＝2：3，即OAOC =OBOD，而∠AOB＝∠COD，∴△AOB∽△COD，∵OAOC =OBOD，∴AOOB =OCOD，∵∠AOC＝∠BOD，∴△AOC∽△BOD．故选：A．小提示：本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．2、两个相似六边形，若对应边之比为3：2，则这两个六边形的周长比为（）A．9：4B．9：2C．3：1D．3：2答案：D分析：根据相似图形的性质求解即可．解：因为这两个六边形相似，所以这两个六边形的周长比＝对应边之比＝3：2，故选：D．小提示：本题考查相似多边形的性质，熟练掌握相似多边形的周长比等于相似比，即相似多边形的周长比等于对应边的比是解题的关键．3、若ab =cd=−2，则a−cb−d＝（）A．−2B．2C．−12D．12答案：A分析：根据ab =cd=−2，可知a＝﹣2b，c＝﹣2d，将a和c的值代入求值的代数式化简即可．解：∵ab =cd=−2，∴a＝﹣2b，c＝﹣2d，∴a−cb−d =−2b+2db−d=−2(b−d)(b−d)=−2．故选：A．小提示：本题考查了比例的性质，解题的关键是根据已知将a和c用b和d正确表示．4、在比例尺为1：50的图纸上，长度为10cm的线段实际长为（）A．50cmB．500cmC．150cm D．1500cm答案：B分析：根据成比例线段的性质求解即可．解：∵1：50=10:500，∴长度为10cm 的线段实际长为500cm ， 故选B ．小提示：本题考查了成比例线段，掌握比例的性质是解题的关键．5、线段AB 的长为2，点C 是线段AB 的黄金分割点，则线段AC 的长可能是（ ） A ．√5+1B ．2﹣√5C ．3﹣√5D ．√5﹣2 答案：C分析：根据黄金分割点的定义，知AC 可能是较长线段，也可能是较短线段，分别求出即可． 解：分两种情况讨论 （1）如图，∵点C 是线段AB 的黄金分割点，AB ＝2， ∴AC ＝√5−12AB ＝√5−12×2＝√5﹣1， 或如图，AC ＝2﹣（√5﹣1）＝3﹣√5，故选：C ．小提示：本题主要考查了黄金分割的定义，熟记黄金分割的比值是解题的关键．6、如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，以点A 为圆心，以AB 的长为半径作弧交AC 于点D ，连接BD ，再分别以点B ，D 为圆心，大于12BD 的长为半径作弧，两弧交于点P ，作射线AP 交BC 于点E ，连接DE ，则下列结论正确的是（ ）A．DE垂直平分AC B．△ABE∽△CBAC．BD2=BC⋅BE D．CE⋅AB=BE⋅CA答案：D分析：根据作图可知AP是∠BAC的角平分线，AB=AD，根据SAS证明△ABE≌△ADE，可得EB=ED，∠ADE=∠ABE=90°，根据面积法可得S△ABES△AEC =12AB⋅BE12AC⋅DE=12AB⋅BE12AB⋅EC，可得ABAC=BEEC即可判断D选项正确，其他选项无法证明．解：根据作图可知AP是∠BAC的角平分线，AB=AD，∴∠EAB=∠EAD，在△ABE与△ADE中，{AE=AE∠EAB=∠EADAB=AD，∴△ABE≌△ADE，∴EB=ED，∵∠ABC=90°，∴∠ADE=∠ABE=90°，∴BE⊥AB,ED⊥C，∵S△ABES△AEC =12AB⋅BE12AC⋅DE=12AB⋅BE12AB⋅EC，∴ABAC =BEEC，即CE⋅AB=BE⋅CA．A,B,C选项无法证明．故选：D．小提示：本题考查了作角平分线，全等三角形的性质与判定，三角形面积公式，证明两三角形相似，垂直平分线的性质，理解基本作图是解题的关键．7、如图，AG:GD=3:1，BD:DC=2:3，则AE:EC的值是（）A．8:7B．6:5C．3:2D．8:5答案：B分析：过点作DF∥BE交AC于点F，根据平行线分线段成比例定理分别求出CFFE =CDDB=32，AEFE=AGGD=3，进而得到答案．解：如图，过点作DF∥BE交AC于点F，由平行线分线段成比例定理得，则CFEF =CDDB=32，AEEF=AGGD=3，∴CF＝32EF，AE＝3EF∴EC＝CF＋EF＝52EF∴AE∶EC＝3EF∶52EF＝6：5，故选：B小提示：本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．8、如图，l1∥l2∥l3，若ABBC =23，DF=15，则EF=（）A．5B．6C．7D．9答案：D分析：根据平行线分线段成比例定理可得ABBC =DEEF，根据题意，DE=DF−EF，进而求解．∵l1∥l2∥l3，∴ABBC =DEEF．∵ABBC =23，∴DEEF =23，∵DE=DF−EF，DF=15，∴15−EFEF =23，∴EF=9．故选：D．小提示：本题考查的是平行线分线段成比例定理的应用，灵活运用平行线分线段成比例定理是解本题的关键．9、如图，C为线段AB的黄金分割点（AC＜BC），且BC＝2，则AB的长为（）A．2√5＋2B．2√5﹣2C．√5＋1D．√5﹣3答案：C分析：黄金分割比定理：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，它们的比值为√5−12，叫黄金分割比，由此进行求解即可．解：C为线段AB的黄金分割点，BC＝2 ，AC＜BC∴ACBC =BCAB=√5−12∴AC=2×√5−12=√5−1∴AB=AC+BC=√5−1+2=√5+1故选：C小提示：本题考查黄金分割定理，理解黄金分割定理的概念，熟悉比值是解题的关键．10、如图，点D、E分别在△ABC的边AB、BC上，下列条件中一定能判定DE∥AC的是（）A．ADDB =BECEB．BDAD=BEECC．ADAB=CEBED．BDBA=DEAC答案：B分析：如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．根据平行线分线段成比例定理对各个选项进行判断即可．A．由ADDB =BECE，不能得到DE∥BC，故本选项不合题意；B．由BDAD =BEEC，能得到DE∥BC，故本选项符合题意；C．由ADAB =CEBE，不能得到DE∥BC，故本选项不合题意；D．由BDBA =DEAC，不能得到DE∥BC，故本选项不符合题意；故选B．小提示：本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．填空题11、如图，在△ABC中，点E在BC上，且BE＝3EC．D是AC的中点，AE、BD交于点F，则AFEF的值为______．答案：43分析：过E点作EH∥AC交BD于点H，根据平行线分线段成比例定理，由EH∥CD得到EHCD =34,由于AD=CD，则EH AD =34，然后利用平行线分线段成比例定理得到AFEF的值.过E点作EH∥AC交BD于点H，如图：∵EH∥AC，∴EHCD =BEBC，∵BE＝3EC，∴EHCD =3CE4CE=34，∵D为AC的中点，∴AD=CD，∴EHCD =EHAD=34，∵EH∥AD，∴AFEF =ADEH=43.故答案为43.小提示：本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.12、如图是测量河宽的示意图，AE与BC相交于点D，∠B=∠C=90°，测得BD=120m，DC=60m，EC=50m，求得河宽AB=______m．答案：100分析：由两角对应相等可得△BAD∽△CED，利用对应边成比例即可得两岸间的大致距离AB的长．解：∵∠ADB=∠EDC，∠ABC=∠ECD=90°，∴△ABD∽△ECD，∴ABEC =BDCD，即AB=BD×ECCD，解得：AB=120×5060=100（米）．故答案为100．小提示：本题主要考查了相似三角形的应用，用到的知识点为：两角对应相等的两三角形相似；相似三角形的对应边成比例．13、如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，对角线BD的垂直平分线EF交AD于点E、交BC于点F，则线段EF的长为 __．答案：152##7.5分析：根据矩形的性质和勾股定理求出BD，证明△BOF∽△BCD，根据相似三角形的性质得到比例式，求出EF即可．解：如图：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，又AB=6，AD=BC=8，∴BD=√AB2+AD2=10，∵EF是BD的垂直平分线，∴OB=OD=5，∠BOF=90°，又∠C=90°，∴ΔBOF∽ΔBCD，∴OFCD =BOBC，∴OF6=58，解得，OF=154，∵四边形ABCD是矩形，∴AD//BC，∠A=90°，∴∠EDO=∠FBO，∵EF是BD的垂直平分线，∴BO=DO，EF⊥BD，在ΔDEO和ΔBFO中，{∠EDO=∠FBOBO=DO∠EOD=∠FOB，∴ΔDEO≅ΔBFO(ASA)，∴OE=OF，∴EF=2OF=15．2．所以答案是：152小提示：本题考查的是矩形的性质、线段垂直平分线的性质以及勾股定理的应用，掌握矩形的四个角是直角、对边相等以及线段垂直平分线的定义是解题的关键．14、如图，在▱ABCD中，点E在AB上，CE，BD交于点F，若AE:BE=4:3，且BF=2，则DF=_________．答案：143分析：由四边形ABCD是平行四边形，可得AB∥CD，AB=CD，继而可判定△BEF∽△DCF，根据相似三角形的对应边成比例，即可得BF：DF=BE：CD问题得解．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∵AE：BE=4：3，∴BE：AB=3：7，∴BE：CD=3：7．∵AB∥CD，∴△BEF∽△DCF，∴BF：DF=BE：CD=3：7，即2：DF=3：7，∴DF=14．3故答案为14．3小提示：此题考查了相似三角形的判定与性质与平行四边形的性质．此题比较简单，解题的关键是根据题意判定△BEF∽△DCF，再利用相似三角形的对应边成比例的性质求解．15、如图，已知AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F，且AB＝1，CD＝3，则EF的长为_______．答案：34分析：易证△DEF∽△DAB，△BEF∽△BCD，根据相似三角形的性质可得EFAB =DFDB，EFCD=BFBD，从而可得EFAB+EFCD=BF BD +DFBD=1，然后把AB=1，CD=3代入即可求出EF的值．解：∵AB、CD、EF都与BD垂直，∴AB∥CD∥EF，∴△DEF∽△DAB，△BEF∽△BCD，∴EFAB =DFDB，EFCD=BFBD，∴EFAB +EFCD=BFBD+DFBD=1，∵AB=1，CD=3，∴EF1+EF3=1，∴EF=34，所以答案是：34．小提示：本题考查相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握相似三角形对应边成比例．解答题16、如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上、已知纸板的两条边DF＝0.5m，EF＝0.3m，测得边DF离地面的高度AC ＝1.5m，CD＝10m，求树高AB．答案：树高AB是9米分析：先证得△DEF∽△DCB，可得BCEF =DCDE，再由勾股定理可得DE=0.4m，可得BC＝7.5m，即可求解．解：∵∠DEF＝∠BCD＝90°，∠D＝∠D，∴△DEF∽△DCB，∴BCEF =DCDE，∵DF＝0.5 m，EF＝0.3 m，AC＝1.5m，CD＝10 m，由勾股定理得DE＝√DF2−EF2＝0.4 m，∴BC0.3=100.4，∴BC＝7.5m，∴AB＝AC+BC＝1.5+7.5＝9（m），答：树高AB是9m．小提示：本题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．17、如图，ΔABC内接于⊙O，∠CBG=∠A，CD为直径，OC与AB相交于点E，过点E作EF⊥BC，垂足为F，延长CD交GB的延长线于点P，连接BD．（1）求证：PG与⊙O相切：（2）若EFAC =58，求BEOC的值；（3）在（2）的条件下，若⊙O的半径为4，PD=OD，求EC的长．答案：（1）见解析；（2）54；（3）6−√13．分析：（1）要证PG与⊙O相切只需证明∠OBG=90°，由∠BAC与∠BDC是同弧所对圆周角且∠BDC=∠DBO可得∠CBG=∠DBC，结合∠DBC+∠OBC=90°即可得证；（2）求BEOC需将BE与OC或OC相等线段放入两三角形中，通过相似求解可得，作OM⊥AC、连接OA，证△BEF∽△OAM得EFAM =BEOA，由AM=12AC、OA=OC知EF12AC=BEOC，结合EFAC=58即可得；（3）Rt△DBC中求得BC=4√3、∠DCB=30°，在Rt△EFC中设EF=x，知EC=2x、FC=√3x、BF=4√3﹣√3x，继而在Rt△BEF中利用勾股定理求出x的，从而得出答案．（1）证明：如图，连接OB，∵OB=OD，∴∠BDC=∠DBO，∵∠BAC=∠GBC、∠BDC=∠BAC，∴∠GBC=∠BDC，∵CD是⊙O的直径，∴∠DBC=90°，∴∠DBO+∠OBC=90°，∴∠GBC+∠OBC=90°，∴∠GBO=90°，∴PG与⊙O相切；（2）解：过点O 作OM ⊥AC 于点M ，连接OA ，∵OC =OA ，OM ⊥AC ，∴∠AOM =∠COM =12∠AOC ，∵ AC ⌢=AC ⌢，∴∠ABC =12∠AOC ，∴∠EBF =∠AOM ，又∵∠EFB =∠OMA =90°，∴ΔBEF ∽ΔOAM ，∴ EF AM =BE OA ，∵AM =12AC ，OA =OC ，∴ EF 12AC =BE OC ，又∵ EF AC =58，∴ BE OC =2×EF AC =2×58=54；（3）解：∵PD =OD ，∠PBO =90°，∴BD =OD =4，在RtΔDBC中，BC=√CD2−BD2=√82−42=4√3，又∵OD=OB，∴ΔDOB是等边三角形，∴∠DOB=60°，∵∠DOB=∠OBC+∠OCB，OB=OC，∴∠OCB=12∠DOB=30°，∴EC=2EF，由勾股定理FC=√EC2−EF2=√4EF2−EF2=√3EF ∴设EF=x，则EC=2x、FC=√3x，∴BF=4√3−√3x，∵BEOC =54，且OC=4，∴BE=5，在RtΔBEF中，BE2=EF2+BF2，∴25=x2+(4√3−√3x)2，整理得4x2−24x+23=0△=242-16×23=208＞0解得：x=24±4√132×4=6±√132，∵6+√132>4，舍去，∴x=6−√132，∴EC=6−√13．小提示：本题主要考查圆的综合问题，涉及圆周角定理、圆心角定理、相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质，一元二次方程的解法等知识，熟练掌握和运用相关的性质与定理进行解题是关键.18、如图，矩形ABCD中，点E在DC上，DE=BE，AC与BD相交于点O．BE与AC相交于点F．(1)若BE平分∠CBD，求证：BF⊥AC；(2)找出图中与△OBF相似的三角形，并说明理由;(3)若OF=3，EF=2，求DE的长度．答案：(1)证明见解析(2)△ECF，△BAF与△OBF相似，理由见解析(3)3+√19分析：（1）根据矩形的性质和角平分线的定义即可得出结论；（2）根据判定两个三角形相似的判定定理，找到相应的角度相等即可得出；（3）根据△OBF∽△ECF得出3OA=2BF+9，根据△OBF∽△BAF得出BF2=3(OA+3)，联立方程组求解即可．（1）证明：如图所示：∵四边形ABCD为矩形，∴∠2=∠3=∠4，∵DE=BE，∴∠1=∠2，∴∠1=∠3，又∵BE平分∠DBC，∴∠1=∠6，∴∠3=∠6，又∵∠3与∠5互余，∴∠6与∠5互余，∴BF⊥AC；（2）解：△ECF，△BAF与△OBF相似．理由如下：∵∠1=∠2，∠2=∠4，∴∠1=∠4，又∵∠OFB=∠BFO，∴△OBF∽△BAF，∵∠1=∠3，∠OFB=∠EFC，∴△OBF∽△ECF；（3）解：∵△OBF∽△ECF，∴EFOF =CFBF，∴23=CFBF，∴3CF=2BF，∵在矩形ABCD中对角线相互平分，图中OA=OC=OF+FC=3+FC，∴3OA=2BF+9①，∵△OBF∽△BAF，∴OFBF =BFAF，∴BF2=OF⋅AF，∵在矩形ABCD中AF=OA+OF=OA+3，∴BF2=3(OA+3)②，由①②，得BF=1±√19（负值舍去），∴DE=BE=2+1+√19=3+√19．小提示：本题考查矩形综合问题，涉及到矩形的性质、角平分线的性质、角度的互余关系、两个三角形相似的判定与性质等知识点，熟练掌握两个三角形相似的判定与性质是解决问题的关键．。

初中数学九年级知识点总结：27相似一、知识框架二、知识点、概念总结 1. 相似：每组图形中的两个图形形状相同，大小不同，具有相同形状的图形叫相似图形。

相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关。

相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况。

我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的．若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例——全等形．2.相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。

互为相似形的三角形叫做相似三角形相似形的识别：对应边成比例，对应角相等。

成比例线段（简称比例线段）：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即dcb a （或a ：b=c ：d ），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。

黄金分割：用一点P 将一条线段AB 分割成大小两条线段，若小段与大段的长度之比等于大段与全长之比，则可得出这一比值等于0·618…。

这种分割称为黄金分割，分割点P 叫做线段AB 的黄金分割点，较长线段叫做较短线段与全线段的比例中项。

3.相似三角形的判定方法:根据相似图形的特征来判断。

（对应边成比例，对应角相等）○1.平行于三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似；○2.如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似；3.如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似；○4.如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似；○4.直角三角形相似判定定理:○1.斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。

○2.直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似。

5. 一定相似的三角形（1）两个全等的三角形一定相似。

九年级数学下册第二十七章相似知识点总结(超全)单选题1、△DEF和△ABC是位似图形，点O是位似中心，点D，E，F分别是OA，OB，OC的中点，若△DEF的面积是2，则△ABC的面积是( )A．2B．4C．6D．8答案：D分析：先根据三角形中位线的性质得到DE=12AB，从而得到相似比，再利用位似的性质得到△DEF∽△ABC，然后根据相似三角形的面积比是相似比的平方求解即可．∵点D，E分别是OA，OB的中点，∴DE=12AB，∵△DEF和△ABC是位似图形，点O是位似中心，∴△DEF∽△ABC，∴SΔDEFSΔABC =1 4，∴△ABC的面积=2×4=8故选D．小提示：本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．2、下列图形中不一定相似的是（）A．两个矩形B．两个圆C．两个正方形D．两个等边三角形答案：A分析：两个多边形相似，是指边数相同的两个多边形，对应角相等，对应边成比例，根据此定义即可判断．A、两个矩形不一定相似，由于对应边不一定成比例，故符合题意；B、两个圆一定相似，故不满足题意；C、根据两个图形相似的定义，两个正方形相似，故不满足题意；D、根据两个图形相似的定义，两个等边三角形相似，故不满足题意；故选：A．小提示：本题考查两个图形的相似，关键是掌握两个图形相似的概念．3、如图所示，网格中相似的两个三角形是（）A．①与②B．①与③C．③与④D．②与③答案：B分析：分别根据网格的特点求得各三角形三边的长，根据三边对应成比例判断两三角形相似即可．解：根据网格的特点，①号三角形的三边长分别为：√2，2，√10，②号三角形的三边长分别为：√2，√5，3，③号三角形的三边长分别为：2，2√2，2√5，④号三角形的三边长分别为：√2，3，√17，∵√22=2√2=√102√5√22，∴①与③相似，故B选项正确，符合题意；其他选项不正确故选：B．小提示：本题考查了网格中判断相似三角形，分别求得各三角形的边长是解题的关键．4、如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高1.5m，测得AB=1.2m，BC=12.8m，则建筑物CD的高是( )A ．17.5mB ．17mC ．16.5mD ．18m答案：A分析：先求得AC ，再说明△ABE ∽△ACD ，最后根据相似三角形的性质列方程解答即可．解：∵AB =1.2m ，BC =12.8m∴AC=1.2m+12.8m=14m∵标杆BE 和建筑物CD 均垂直于地面∴BE//CD∴△ABE ∽△ACD∴AB BE =AC CD ,即1.21.5=14CD ,解得CD=17.5m ． 故答案为A ．小提示：本题考查了相似三角形的应用，正确判定相似三角形并利用相似三角形的性质列方程计算是解答本题的关键．5、已知线段AB 的长为2厘米，点P 是AB 的黄金分割点，线段PB 的长是（ ）A ．√5−12B ．√5−1或3−√5C ．3−√5D ．√5−1答案：B分析：根据黄金分割的定义和黄金比值√5−12，分PB 为较长线段和PB 为较短线段求解即可．解：∵线段AB 的长为2厘米，点P 是AB 的黄金分割点，∴PB = √5−12AB = √5−12×2=√5−1，或PB =2－（√5−1）=3−√5，故选：B ．小提示：本题考查黄金分割的定义：把线段AB 分成两条线段AC 和CB （AC ＞BC ），且AC 为AB 和BC 的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中AC= √5−12AB，熟记黄金比值√5−12是解答的关键．6、如图，△ABC与△A1B1C1位似，位似中心是点O，若OA:OA1=1:2，则△ABC与△A1B1C1的周长比是（）A．1:2B．1:3C．1:4D．1:√2答案：A分析：根据位似图形的概念得到ΔABC∽△A1B1C1，AC//A1C1，进而得出ΔAOC∽△A1OC1，根据相似三角形的性质解答即可．解：∵ΔABC与△A1B1C1位似，∴ΔABC∽△A1B1C1，AC//A1C1，∴ΔAOC∽△A1OC1，∴ACA′C′=OAOA′=12，∴ΔABC与△A1B1C1的周长比为1:2，故选：A．小提示：本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，掌握位似图形是相似图形、位似图形的对应边平行是解题的关键．7、如图，在等腰△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝α，BC＝12，点D是边AB上一点，且BD＝4，点P是边BC上一动点，作∠DPE＝α，射线PE交边AC于点E，当CE＝9时，则满足条件的P点的个数是（）A．1B．2C．3D．以上都有可能答案：A分析：由已知得∠ABC＝∠ACB＝α，再证明∠EPC＝∠PDB，则可判断△PDB∽△EPC，利用相似比得到BD：PC ＝PB：CE，设PB＝x，则PC＝10﹣x，CE＝9时，所以x2﹣12x+36＝0，根据判别式的意义得到Δ＝0，即原方程只有一个实数根即可选出答案．解：∵△ABC为等腰三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝α，∵∠DPC＝∠B+∠PDB，即∠DPE+∠EPC＝∠B+∠PDB，而∠DPE＝α，∴∠EPC＝∠PDB，而∠ABC＝∠ACB，∴△PDB∽△EPC，∴BDPC =PBCE，设PB＝x，则PC＝12﹣x，当CE＝9时，∴412−x =x9，∴x2﹣12x+36＝0，∵Δ＝（﹣12）2﹣4×36＝0，原方程只有一个实数根，∴点P有且只有一个，故选A．小提示：本题主要考查了三角形外角的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的性质与判定，一元二次方程根的判别式，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．8、如图，直线AB ∥CD ∥EF ，若AC =3，CE =4，则BD BF 的值是（ ）A ．34B ．43C ．37D ．47 答案：C分析：由平行线分线段成比例直接得到答案．解：∵AB ∥CD ∥EF∴BD BF =AC AE ∵AC =3，CE =4∴BD BF =37， 故选C ．小提示：本题考查的是平行线分线段成比例，解题的关键在于能够熟练掌握平行线分线段成比例．9、神奇的自然界处处蕴含着数学知识．动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618．这体现了数学中的（ ）A ．平移B ．旋转C ．轴对称D ．黄金分割答案：D分析：根据黄金分割的定义即可求解．解：动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618．这体现了数学中的黄金分割．故选：D小提示：本题考查了黄金分割的定义，黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为√5−12，约等于0.618，这个比例被公认为是最能引起美感的比例，因此被称为黄金分割．熟知黄金分割的定义是解题关键．10、若ab =cd=−2，则a−cb−d＝（）A．−2B．2C．−12D．12答案：A分析：根据ab =cd=−2，可知a＝﹣2b，c＝﹣2d，将a和c的值代入求值的代数式化简即可．解：∵ab =cd=−2，∴a＝﹣2b，c＝﹣2d，∴a−cb−d =−2b+2db−d=−2(b−d)(b−d)=−2．故选：A．小提示：本题考查了比例的性质，解题的关键是根据已知将a和c用b和d正确表示．填空题11、如图，已知△ABC与△DEF位似，位似中心为O，且△ABC的面积与△DEF的面积之比是16：9，则AO：OD＝_____．答案：4:3##43分析：根据位似图形具有相似三角形的性质即可得出结果．解：∵△ABC与△DEF位似，位似中心为O，且△ABC的面积与△DEF的面积之比是16：9，∴AO：OD=4：3，所以答案是：4：3．小提示：本题考查了位似变换，正确掌握位似变换的性质是解题的关键．12、如图，已知一组平行线a//b//c，被直线m、n所截，交点分别为A、B、C和D、E、F，且AB＝3，BC＝4，EF＝4.8，则DE的长为__．答案：3.6分析：根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入数据进行计算即可得到答案．解：∵a∥b∥c，∴DEEF =ABBC，即DE4.8=34，∴DE＝3.6，所以答案是：3.6．小提示：本题考查了平行线分线段成比例，根据题目特点，灵活选择比例式计算是解题的关键．13、如图，在△ABC中，AB=8cm，BC=16cm，动点P从点A开始沿AB边运动，速度为2cm/s；动点Q 从点B开始沿BC边运动，速度为4cm/s；如果P、Q两动点同时运动，那么经过______秒时△QBP与△ABC 相似．答案：0.8或2##2或0.8分析：设经过t秒时，△QBP与△ABC相似，则AP=2tcm,BP=(8−2t)cm,BQ=4tcm,利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似进行分类讨论：BPBA =BQBC时，△BPQ∽△BAC，即8−2t8=4t16；当BPBC=BQ BA 时，△BPQ∽△BCA，即8−2t16=4t8，然后解方程即可求出答案．解：设经过t秒时，△QBP与△ABC相似，则AP=2tcm,BP=(8−2t)cm,BQ=4tcm, ∵∠PBQ=∠ABC，∴当BPBA =BQBC时，△BPQ∽△BAC，即8−2t8=4t16，解得：t=2；当BPBC =BQBA时，△BPQ∽△BCA，即8−2t16=4t8，解得：t=0.8；综上所述：经过0.8s或2s秒时，△QBP与△ABC相似，小提示：本题考查了相似三角形的判定：两组对应边成比例且夹角相等的两个三角形相似，解题的关键是准确分析题意列出方程求解．14、已知a2=b3=c5，则a+bc的值为_____．答案：1分析：由比例的性质，设a2=b3=c5=k，则a=2k，b=3k，c=5k，然后代入计算，即可得到答案．解：根据题意，设a2=b3=c5=k，∴a=2k，b=3k，c=5k，∴a+bc =2k+3k5k=1，所以答案是：1．小提示：本题考查了比例的性质，解题的关键是掌握比例的性质进行解题．15、如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且ADDB =32，AEEC=12，射线ED和CB的延长线交于点F，则FBFC的值为________．答案：13分析：过B作BG∥AC交EF于G，得到△DBG∽△ADE，由相似三角形的性质得到BGAE =BDAD=23，推出BG：CE=13，根据相似三角形的性质即可得到结论．解：过B作BG∥AC交EF于G，∴△DBG∽△DAE，∴BGAE =BDAD=23，∵AEEC =12，∴BGCE =13，∵BG∥AC，∴△BFG∽△CFE，∴BFFC =BGCE=13．故答案是：13．小提示：本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．解答题16、如图，BD，AC相交于点P，连接AB，BC，CD，DA，∠DAP＝∠CBP．(1)求证：△ADP∽△BCP；(2)直接回答△ADP与△BCP是不是位似图形；(3)若AB＝8，CD＝4，DP＝3，求AP的长．答案：(1)见解析；(2)不是位似图形；(3)6分析：（1）根据两角对应相等的两个三角形相似证明；（2）根据位似图形的定义判断，即可；（3）根据△ADP∽△BCP，得到APDP =BPCP，再证明△APB∽△DPC，根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算得到答案．（1）证明：∵∠DAP＝∠CBP，∠DPA＝∠CPB，∴△ADP∽△BCP．（2）解：△ADP与△BCP不是位似图形．理由是：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．△ADP与△BCP的对应点的连线交于一个点，∴△ADP与△BCP不是位似图形．（3）解：∵△ADP∽△BCP，∴APDP =BPCP，∵∠APB＝∠DPC，∴△APB∽△DPC，∴APPD =ABCD，∴AP3=84，解得AP＝6．小提示：本题考查的是位似变换的概念、相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．17、已知线段a、b满足a：b＝3：2，且a＋2b＝28（1）求a、b的值．（2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值．答案：（1）a＝12，b＝8；（2）x＝4√6．分析：（1）利用a:b=3:2，可设a=3k，b=2k，则3k+4k=28，然后解出k的值即可得到a、b的值；（2）根据比例中项的定义得到x2=ab，即x2=96，然后根据算术平方根的定义求解．解：（1）∵a:b=3:2∴设a=3k，b=2k，∵a+2b=28，∴3k+4k=28，∴k=4，∴a=12，b=8；（2）∵x是a:b的比例中项，∴x2=ab=96，∵x是线段，x>0，∴x=4√6．小提示：本题考查了比例线段，解题的关键是掌握对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如a:b=c:d（即ad=bc)，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．注意利用代数的方法解决较为简便．18、已知△OAB在平面直角坐标系中的位置如图所示．(1)将△ABO绕原点O顺时针旋转90°得△OA1B1；(2)以原点O为位似中心，将△OA1B1在原点异侧按位似比2：1进行放大得到△OA2B2．答案：(1)见解析(2)见解析分析：（1）先找到A、B的对应点A1、B1，然后顺次连接O、A1、B1即可；（2）先找到A1、B1的对应点A2、B2，然后顺次连接O、A2、B2即可；．（1）解：如图所示，△OA1B1即为所求；（2）解：如图所示，△OA2B2即为所求．小提示：本题主要考查了再坐标系中画旋转图形，画位似图形，熟知画旋转图形和画位似图形的方法是解题的关键．。

第二十七章 相似三角形期末复习一、 知识点回顾： （一）相似三角形的定义三边对应成________，三个角对应 _的两个三角形叫做相似三角形． （二）相似三角形的判定方法1. 若DE ∥BC （A 型和X 型）则______________．2.双直角图形：若CD 为Rt △ABC 斜边上的高则Rt △ABC ∽Rt △ACD ∽Rt △CBD 且AC 2=________，CD 2=_______，BC 2=__ ____．3. 两个角对应相等的两个三角形__________．4. 两边对应成_________且夹角相等的两个三角形相似．5. 三边对应成比例的两个三角形___________． （三）相似三角形的性质1. 相似三角形的对应边_________，对应角________．2. 相似三角形的对应边的比叫做________，一般用k 表示．3. 相似三角形的对应角平分线，对应边的________线，对应边上的_______•线的比等于_______比，周长之比也等于________比，面积比等于_________． 二、典型例题：1．用一个2倍的放大镜照一个ΔABC ，下列命题中正确的是（ ）A.ΔABC 放大后角是原来的2倍B.ΔABC 放大后周长是原来的2倍C.ΔABC 放大后面积是原来的2倍D.以上的命题都不对2.如图，已知，那么下列结论正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．E A D CBEADCBAD CBAB CD EF ∥∥AD BC DF CE =BC DF CE AD =CD BC EF BE =CD ADEF AF=ABD C EFECDAFBA ．B ．C ．D ．A BC3.如图所示，给出下列条件：①； ②③； ④．其中单独能够判定的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44.如图，D 、E 分别是ABC ∆的AB 、 AC 边上的点，,DE BC //且1ADEDBCE S S :=:8,四边形那么:AE AC 等于（ ）A ．1 : 9B ．1 : 3C ．1 : 8D ．1 : 25.已知AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，C 是线段BD 中点，且AC ⊥CE ，ED=1，BD=4，那么AB=6.已知矩形ABCD 中，AB=1，在BC 上取一点E ，将△ABE 沿AE 向上折叠，使B 点落在AD 上的F 点．若四边形EFDC 与矩形ABCD 相似，则AD= ________ ．7.如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与左图中ABC △相似的是（ ）8.如图，P 是Rt ΔABC 的斜边BC 上异于B 、C 的一点，过点P 做直线截ΔABC ，使截得的三角形与ΔABC 相似，满足这样条件的直线共有 条.9.如图5，平行四边形ABCD 中，E 是边BC 上的点，AE 交BD 于点F ，如果23BE BC =，那么BFFD= ． 10如图，△ABC 中，AD 、BE 是两条中线，则S △EDO ：S △ABO =（ ） A ．1：2 B ． 2：3C ． 1：3D ． 1：411.如图，在边长为9的正三角形ABC 中，BD=3，∠ADE=60°，则AE 的长 .B ACD ∠=∠ADC ACB ∠=∠AC ABCD BC=2AC AD AB =ABC ACD △∽△ABCDBA CDEO12.在Rt △ABC内有边长分别为,,a b c 的三个正方形，则,,a b c满足的关系式（）A、b a c=+B、b ac=C、222b a c=+D、22b a c==13.如图在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为（4，0）（8，2），（6，4）。

专题1 相似三角形的基本模型模型1 A 字型及其变形(1)如图1，公共角所对的边平行(DE ∥BC)，则△ADE ∽△ABC ；(2)如图2，公共角的对边不平行，且有另一组角相等(∠AED ＝∠ABC 或∠ADE ＝∠ACB)，则△AED ∽△ABC.【例1】 如图，在△ABC 中，AB ＝5，D ，E 分别是边AC 和AB 上的点，且∠ADE ＝∠B ，DE ＝2，求AD ·BC 的值．解：∵∠ADE ＝∠B ，∠EAD ＝∠CAB ， ∴△ADE ∽△ABC. ∴DE BC ＝AD AB. ∴AD ·BC ＝DE ·AB. 又∵DE ＝2，AB ＝5， ∴AD ·BC ＝2×5＝10.1．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DF ∥AC ，AE ＝3，AC ＝5，BC ＝10，则BF 的长为 .2．如图，在锐角△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF＝∠GAC.求证：△ADE∽△ABC.模型2 X字型及其变形(1)如图1，对顶角的对边平行(AB∥CD)，则△ABO∽△DCO；(2)如图2，对顶角的对边不平行，且有另一对角相等(∠B＝∠D或∠A＝∠C)，则△ABO∽△CDO.【例2】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC与BD相交于点O.求证：△ABO∽△CDO.证明：∵AB∥CD，∴∠OAB＝∠OCD，∠OBA＝∠ODC.∴△ABO∽△CDO.【补充设问】△AOD与△BOC相似吗？试说明理由．解：△AOD 与△BOC 不相似． 理由如下：∵∠AOD ＝∠COB ， 要使△AOD 与△BOC 相似， ∴当满足DO CO ＝AO BO 或DO BO ＝AOCO时，即DO ·BO ＝AO ·CO 或DO ·CO ＝AO ·BO 时，△AOD 与△BOC 相似．由已证可知△ABO ∽△CDO ，∴AO CO ＝BO DO， 即AO ·DO ＝BO ·CO ，不满足证明△AOD 与△BOC 相似的条件． ∴△AOD 与△BOC 不相似．【变式】 如图，在四边形ABDC 中，若AB 不平行于CD ，∠ABC ＝∠ADC ，则图中的相似三角形有△COD ∽△AOB ，△AOC ∽△BOD ．3．如图，在正方形ABCD 中，G 为CD 边中点，连接AG 并延长交BC 边的延长线于点E ，对角线BD 交AG 于点F ，已知FG ＝2，则线段AE 的长度为( )A ．6B ．8C ．10D ．124．将一副三角尺如图所示叠放在一起，则BEEC的值是 ．5．如图，已知∠ADE ＝∠ACB ，BD ＝8，CE ＝4，CF ＝2，求DF 的长．模型3 子母型若两个三角形有一个公共角和一条公共边，且有另一对角相等，则这两个三角形相似．如图，若∠ACD ＝∠B ，则△ACD ∽△ABC ，从而可得结论：AC 2＝AD ·AB.【例3】 如图，P 是△ABC 的边AB 上的一点．(1)如果∠ACP ＝∠B ，△ACP 与△ABC 是否相似？为什么？(2)如果AP AC ＝AC AB ，△ACP 与△ABC 是否相似？为什么？如果AC CP ＝BCAC呢？解：(1)△ACP ∽△ABC.理由如下： ∵∠ACP ＝∠ABC ， ∠PAC ＝∠CAB ， ∴△ACP ∽△ABC.(2)AP AC ＝ACAB 时，△ACP ∽△ABC.理由如下：∵∠PAC ＝∠CAB ，且AP AC ＝ACAB ，∴△ACP ∽△ABC.由AC CP ＝BCAC不能得到△ACP 与△ABC 相似． ∵AC 与CP 的夹角为∠ACP ，BC 与AC 的夹角为∠ACB ， 而∠ACP 与∠ACB 不相等，∴由AC CP ＝BCAC不能得到△ACP 与△ABC 相似．6．如图，在△ABC 中，AD 是中线，BC ＝8，∠B ＝∠DAC ，则线段AC 的长为( )A ．4B ．4 2C ．6D ．4 37．如图，在△ABC 中，D 为AB 边上一点，且∠BCD ＝∠A ，若BC ＝22，AB ＝3，则BD 的长为 ．模型4 双垂直型直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．如图，Rt △ABC 中，CD 为斜边AB 上的高，则有△ACD ∽△ABC ∽△CBD ，从而可得结论：CD 2＝BD ·AD ，BC 2＝BD ·AB ，AC 2＝AD ·AB.【例4】 如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC ，垂足为D. (1)请指出图中所有的相似三角形；(2)你能得出AD2＝BD·DC吗？解：(1)△BAD∽△BCA∽△ACD.(2)能得出AD2＝BD·DC.理由如下：∵∠BAC＝90°，∴∠BAD＋∠DAC＝90°.∵AD⊥BC，∴∠DAC＋∠ACD＝90°，∠BDA＝∠ADC＝90°.∴∠BAD＝∠ACD.又∵∠BDA＝∠ADC，∴△BAD∽△ACD.∴ADCD＝BDAD，即AD2＝BD·DC.8．如图，在Rt△ABC中，CD⊥AB，D为垂足，且AD＝3，AC＝35，则斜边AB的长为() A．3 6B．15C．9 5D．3＋3 59．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，AD＝9，BD＝4，那么CD＝，AC＝．模型5 一线三等角型(1)如图1，AB⊥BC，CD⊥BC，AP⊥PD，垂足分别为B，C，P，且三个垂足在同一直线上，则有△ABP∽△PCD(此图又叫作“三垂图”)．(2)如图2，∠B＝∠APD＝∠C，且B，P，C在同一直线上，则①△ABP∽△PCD；②连接AD，当点P为BC的中点时，△ABP∽△PCD∽△APD.【例5】如图，在正方形ABCD中，E为边AD上的点，点F在边CD上，且CF＝3FD，∠BEF ＝90°.(1)求证：△ABE∽△DEF；(2)若AB＝4，延长EF交BC的延长线于点G，求BG的长．解：(1)证明：∵四边形ABCD为正方形，∴∠A＝∠D＝90°.∴∠ABE＋∠AEB＝90°.又∵∠BEF＝90°，∴∠AEB＋∠DEF＝90°.∴∠ABE＝∠DEF.∴△ABE∽△DEF.(2)∵AB＝BC＝CD＝AD＝4，CF＝3FD，∴DF ＝1，CF ＝3. ∵△ABE ∽△DEF ， ∴AE DF ＝AB DE ，即4－DE 1＝4DE . ∴DE ＝2.又∵ED ∥CG ，∴△EDF ∽△GCF. ∴ED GC ＝DFCF.∴GC ＝6. ∴BG ＝BC ＋CG ＝10.10．如图，在等腰△ABC 中，点E ，F ，O 分别是腰AB ，AC 及底BC 边上任意一点，且∠EOF ＝∠B ＝∠C.求证：OE ·FC ＝FO ·OB.1．如图，在矩形ABCD 中，作DF ⊥AC ，垂足为F ，延长DF 交AB 于点E ，在图中一定和△DFC 相似的三角形有 个．2．如图，已知△ABC，△DCE，△FEG，△HGI是4个全等的等腰三角形，底边BC，CE，EG，GI在同一条直线上，且AB＝2，BC＝1，连接AI，交FG于点Q，则QI＝.3．【分类讨论思想】如图，在△ABC中，AC＝6，AB＝4，点D，A在直线BC同侧，且∠ACD ＝∠ABC，CD＝2，点E是线段BC延长线上的动点．若△DCE和△ABC相似，则线段CE的长为.4．如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在边BC上移动(点E不与点B，C重合)，满足∠DEF＝∠B，且点D，F分别在边AB，AC上．(1)求证：△BDE∽△CEF；(2)当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分∠DFC.专题2 相似三角形的性质与判定类型1 利用相似三角形求线段长1．如图，在△ABC 中，AB ＝6，点D 是AB 的中点，过点D 作DE ∥BC ，交AC 于点E ，点M 在DE 上，且ME ＝13DM.当AM ⊥BM 时，则BC 的长为 .2．如图，已知菱形BEDF 内接于△ABC ，点E ，D ，F 分别在AB ，AC 和BC 上．若AB ＝15 cm ，BC ＝12 cm ，则菱形的边长为 cm.3．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D ，E 分别在边BC ，AB 上，且∠ADE ＝∠B.如果DE ∶AD ＝2∶5，BD ＝3，那么AC ＝ .4．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，在Rt △MPN 中，∠MPN ＝90°，点P 在AC 上，PM 交AB 于点E ，PN 交BC 于点F ，当PE ＝2PF 时，AP ＝ .5．如图，在△ABC 中，点D 是BA 边延长线上一点，过点D 作DE ∥BC ，交CA 的延长线于点E ，点F 是DE 延长线上一点，连接AF. (1)如果AD AB ＝23，DE ＝6，求边BC 的长；(2)如果∠FAE ＝∠B ，FA ＝6，FE ＝4，求DF 的长．类型2 利用相似三角形求角度6．如图，A ，B ，C ，P 四点均在边长为1的小正方形网格格点上，则∠BAC 的度数是 .7．如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，D 为CB 延长线上一点，E 为BC 延长线上一点，且AB 2＝BD ·CE.若∠BAC ＝40°，则∠DAE ＝ . 类型3 利用相似三角形求比值8．如图，AB ∥DC ，AC 与BD 交于点E ，EF ∥DC 交BC 于点F ，CE ＝5，CF ＝4，AE ＝BC ，则DCAB 等于( )A.23B.14C.13D.359．如图，D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，且DE ∥AC ，AE ，CD 相交于点O.若S △DOE ∶S △COA ＝1∶25，则S △BDE 与S △CDE 的比是( )A ．1∶3B ．1∶4C ．1∶5D ．1∶2510．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，过点A 作EA ⊥CA 交DB 的延长线于点E.若AB ＝3，BC ＝4，则AOAE的值为 .类型4 利用相似三角形证明等积式与比例式11．如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 上的点，且BD ＝2AD ，CE ＝2AE.求证： (1)△ADE ∽△ABC ； (2)DF ·BF ＝EF ·CF.12．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，E 为AC 的中点，ED ，CB 的延长线交于点F.求证：DF CF ＝BCAC.类型5 利用相似求点的坐标13．如图，在平面直角坐标系xOy 中，A(－4，0)，B(0，2)，连接AB 并延长到点C ，连接CO.若△COB ∽△CAO ，则点C 的坐标为( )A ．(1，52)B ．(43，83)C ．(5，25)D ．(3，23)14．如图，已知直线y ＝－12x ＋2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，在x 轴上有一点C ，使B ，O ，C 三点构成的三角形与△AOB 相似，则点C 的坐标为专题3 圆与相似1．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，已知AD 平分∠BAC 交⊙O 于点D ，交BC 边于点E ，AD ＝5，BD ＝2，则DE 的长为( )A.35B.425 C.225 D.452．如图，已知⊙O 是等腰Rt △ABC 的外接圆，D 是AC ︵上一点，BD 交AC 于点E.若BC ＝4，AD ＝45，则AE 的长是( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．1.23．如图，⊙O 的两弦AB ，CD 交于点P ，连接AC ，BD ，得S △ACP ∶S △DBP ＝16∶9，则AC ∶BD ＝ ．4．如图，已知AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，∠ACB 的平分线交⊙O 于点D ，作PD ∥AB ，交CA 的延长线于点P ，连接AD ，BD.求证： (1)PD 是⊙O 的切线； (2)△PAD ∽△DBC.5．如图，以△ABC的边AC为直径的⊙O交AB边于点M，交BC边于点N，连接AN，过点C 的切线交AB的延长线于点P，∠BCP＝∠BAN.求证：(1)△ABC为等腰三角形；(2)AM·CP＝AN·CB.6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BE平分∠ABC交AC于点E，作ED⊥EB交AB于点D，⊙O是△BED的外接圆．(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)已知⊙O的半径为2.5，BE＝4，求BC，AD的长．参考答案：专题1 相似三角形的基本模型1． 4.2．证明：∵AF ⊥DE ，AG ⊥BC ，∴∠AFE ＝∠AGC ＝90°. ∵∠EAF ＝∠GAC ， ∴∠AEF ＝∠ACG. 又∵∠DAE ＝∠BAC ， ∴△ADE ∽△ABC.3．D4．35．解：∵∠ADE ＝∠ACB ，∴180°－∠ADE ＝180°－∠ACB ， 即∠BDF ＝∠ECF. 又∵∠BFD ＝∠EFC ， ∴△BDF ∽△ECF. ∴BD EC ＝DF CF ，即84＝DF 2. ∴DF ＝4. 6．B7．83． 8．B910．证明：∵∠EOC ＝∠EOF ＋∠FOC ，∠EOC ＝∠B ＋∠BEO ，∠EOF ＝∠B ， ∴∠FOC ＝∠OEB. 又∵∠B ＝∠C ， ∴△BOE ∽△CFO. ∴OE OF ＝OB FC， 即OE ·FC ＝FO ·OB.1． 5 ． 2．43. 3．43或3. 4．解：(1)证明：∵AB ＝AC ， ∴∠B ＝∠C.∵∠BDE ＝180°－∠B －∠DEB ，∠CEF ＝180°－∠DEF －∠DEB ，且∠DEF ＝∠B ， ∴∠BDE ＝∠CEF. ∴△BDE ∽△CEF.(2)∵△BDE ∽△CEF ，∴BE CF ＝DEEF.∵点E 是BC 的中点，∴BE ＝CE. ∴CE CF ＝DE EF .∴CE DE ＝CF EF. ∵∠DEF ＝∠B ＝∠C ，∴△DEF ∽△ECF. ∴∠DFE ＝∠CFE ，即FE 平分∠DFC.专题2 相似三角形的性质与判定1．8. 2．203.3．152.4．3.5．解：(1)∵DE ∥BC ， ∴△ADE ∽△ABC. ∴AD AB ＝DE BC .∴23＝6BC . ∴BC ＝9.(2)∵∠FAE ＝∠B ，∠B ＝∠D ， ∴∠FAE ＝∠D. 又∵∠F ＝∠F ， ∴△FAE ∽△FDA. ∴FE FA ＝FA DF.∴DF ＝FA2FE ＝9.6．135°. 7．110°. 8．B 9．B 10．724.11．证明：(1)∵BD ＝2AD ，CE ＝2AE ，∴AB ＝3AD ，AC ＝3AE. ∴AD AB ＝AE AC ＝13. ∵∠A ＝∠A ， ∴△ADE ∽△ABC. (2)∵AD AB ＝AE AC ＝13，∴DE ∥BC. ∴△DEF ∽△CBF. ∴DF CF ＝EF BF. ∴DF ·BF ＝EF ·CF.12．证明：∵∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，∴∠A ＋∠ACD ＝∠ACD ＋∠BCD ，∠ACB ＝∠BDC ＝90°. ∴∠A ＝∠BCD. ∴△ABC ∽△CBD.∴BC BD ＝AC CD ，即BC AC ＝BD CD. 又∵E 为AC 的中点，∴AE ＝CE ＝ED.∴∠A ＝∠EDA.∵∠EDA ＝∠BDF ，∴∠FCD ＝∠BDF.又∵∠F 为公共角，∴△FDB ∽△FCD.∴DF CF ＝BD CD. ∴DF CF ＝BC AC. 13．B14． (－4，0)或(4，0)或(－1，0)或(1，0)．专题3 圆与相似1．D2．C3．4∶3．4．证明：(1)连接OD.∵∠DCA ＝∠DCB ，∴AD ︵＝BD ︵.∴OD ⊥AB.∵AB ∥PD ，∴OD ⊥PD.∵点D 在⊙O 上，OD 为⊙O 的半径，∴PD 是⊙O 的切线．(2)∵∠PAD ＋∠CAD ＝180°，∠DBC ＋∠CAD ＝180°，∴∠PAD ＝∠DBC.由(1)可得：∠PDA ＝∠BCD ＝45°，∴△PAD ∽△DBC.5．证明：(1)∵AC 为⊙O 的直径，∴∠ANC ＝90°.∵PC 是⊙O 的切线，∴∠BCP ＝∠CAN.∵∠BCP ＝∠BAN ，∴∠BAN ＝∠CAN.又∵AN ⊥BC ，∴AB ＝AC.∴△ABC 为等腰三角形．(2)连接MN ∵△ABC 为等腰三角形，AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB.∵∠PBC ＋∠ABC ＝∠AMN ＋∠ACN ＝180°，∴∠PBC ＝∠AMN.由(1)知∠BCP ＝∠BAN ，∴△BPC ∽△MNA.∴CB AM ＝CP AN，即AM ·CP ＝AN ·CB. 6．解：(1)证明：连接OE ，∵OB ＝OE ，∴∠OBE ＝∠OEB.∵BE 平分∠ABC ，∠OBE ＝∠EBC.∴∠OEB ＝∠EBC.∴OE ∥BC.又∵∠C ＝90°，∴∠OEA ＝90°，即AC ⊥OE.又∵OE 是⊙O 的半径，∴AC 是⊙O 的切线．(2)在△BCE 与△BED 中，∵∠C ＝∠BED ＝90°，∠EBC ＝∠DBE ，∴△BCE ∽△BED.∴BE BD ＝BC BE ，即BC ＝BE 2BD. ∵BE ＝4，BD 是⊙O 的直径，即BD ＝5，∴BC ＝165. 又∵OE ∥BC ，∴AO AB ＝OE BC .∵AO ＝AD ＋2.5，AB ＝AD ＋5，∴AD ＋2.5AD ＋5＝2.5165. 解得AD ＝457.。