数 学 建 模-捕鱼业问题

数学模型课程设计捕鱼一、课程目标知识目标：1. 理解数学模型在解决实际问题中的应用，掌握构建数学模型的基本方法。

2. 运用所学生物知识，结合数学模型，分析捕鱼问题中的数量关系和变化规律。

3. 能够运用数学模型预测捕鱼问题的解决方案，并解释结果的实际意义。

技能目标：1. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，提高数学思维和逻辑推理能力。

2. 培养学生运用生物知识分析生态问题的能力，提高跨学科综合分析问题的能力。

3. 提高学生合作探究、讨论交流的能力，培养团队协作精神。

情感态度价值观目标：1. 培养学生热爱科学、探索科学的精神，激发学生学习数学和生物的兴趣。

2. 增强学生的环保意识，让学生认识到保护生态环境的重要性。

3. 培养学生面对问题时，积极思考、主动探究的态度，提高学生的自主学习能力。

课程性质：本课程为跨学科综合实践活动，结合数学和生物知识，通过解决实际问题，培养学生综合运用知识的能力。

学生特点：六年级学生具备一定的数学和生物知识基础，具有较强的探究欲望和合作意识。

教学要求：注重培养学生的动手操作能力、合作交流能力和问题解决能力，将理论知识与实际应用相结合，提高学生的综合素养。

通过本课程的学习，使学生能够将所学知识应用于实际生活，达到学以致用的目的。

二、教学内容本课程以“捕鱼问题”为背景，结合数学和生物教材，设计以下教学内容：1. 数学模型基础知识：- 函数关系：掌握函数的定义，理解自变量与因变量之间的关系。

- 方程与不等式：运用一元一次方程、不等式解决实际问题。

2. 生物知识：- 生态平衡：了解生态系统中各生物之间的相互关系，探讨捕鱼对生态平衡的影响。

- 物种多样性：掌握物种多样性的概念，分析捕鱼对生物多样性的影响。

3. 教学大纲：- 第一阶段：引入捕鱼问题，引导学生思考如何运用数学模型解决问题。

- 第二阶段：学习数学模型基础知识，探讨捕鱼问题中的数量关系。

- 第三阶段：结合生物知识，分析捕鱼对生态平衡和物种多样性的影响。

数学建模问题： 关于捕鱼业，当捕捞量最大时，利润不是最大的原因。

模型 记时刻t 渔场中鱼量为()t x , r 是固有增长率，N是环境容许的最大鱼量，()x f 表示单位时间的增长量，比例常数E 表示单位时间捕捞率（捕捞强度），则单位时间的捕捞量为 ()Ex x h = ， 而此时渔场鱼量满足方程()Ex N x rx t x -⎪⎭⎫⎝⎛-=1 ，令()Ex N x rx t x -⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1= 0得到两个平衡点 x 0= N(( 1 –rE ), x 1= 0不难算出()r E x x -=0, x (x 1) =E r - ，由平衡点稳定性准则知 E < r （若捕捞过度即E>r 时 , 渔场鱼量将趋向x 1=0 ，则持续产量为0，不符合捕捞要求）,因E 是捕捞率，r 是最大增长率，要使渔场鱼量持续产量最大， 则x x 0=, ()Ex x h = ，设鱼的销售量单价为常数p ,单位捕捞率（如每条出海渔船）的费用为常数c, 那么单位时间的收入T 和支出S 分别为()pEx x ph T ==, cE s = ，单位时间的利润为cE pEx S T R -=-=，在稳定条件x x 0= 下，()()()cE r E pNE E S E T E R -⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=1 ，根据 ()()⎪⎭⎫⎝⎛-==N x rx t f t x 1 , ()Ex x h = ，作抛物线()x f y =和直线()Ex x h y == , 得 最大持续产量的坐标图如下所示：由图知 ，当x = 2N 时， h （x ）= h m时 ,捕捞量达到最大。

由 f ( x ) = rx ( 1 -Nx ) ,()Ex x h = ，x = 2N 联立方程组可得 h m=4rN ， E = 2r此时利润⎪⎭⎫⎝⎛-=-=c pN r cr rpN E R 2224)( ，由 ()cE r E pNE E R -⎪⎭⎫⎝⎛-=1令 R ′( E ) = 0, 得⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=pN c r E R 12，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=N p c h rN R 22214 <h m将上式代入 ()cE r E pNE E R -⎪⎭⎫⎝⎛-=1 ，得()pNrc pN r E R c 4222+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=>⎪⎭⎫⎝⎛-c pN r 22 ,以上分析表明 ，当捕捞量 ()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=N p c rN x h 22214 时 ，利润 R ( E )达到最大值 ，而此时的捕捞量小于捕捞量最大值h m ， 显然 ，当利润达到最大时，捕捞量不是最大；同样，当捕捞量达到最大时，利润不是最大 。

最优捕鱼策略1、基本假设如下:(1) 只考虑这一种鱼的繁殖和捕捞, 鱼群增长过程中不考虑鱼的迁入和迁出。

(2) 各年龄组的鱼在一年内的任何时间都会发生自然死亡。

(3) 所有的鱼都在每年最后的四个月内完成产卵和孵化的过程。

孵化成活的幼鱼在下一年初成为一龄的鱼, 进入一龄鱼组。

(4) 产卵发生于后四个月之初, 产卵期鱼的自然死亡发生于产卵之后。

(5) 相邻两个年龄组的鱼群在相邻两年之间的变化是连续的, 也就是说, 第k 年底第i 年龄组的鱼的条数等于第k+ 1 年初第i+ 1 年龄组鱼的条数。

(6) 四龄以上的鱼全部死亡。

(7) 采用固定努力量捕捞意味着捕捞的速率正比于捕捞时各年龄组鱼群中鱼的条数, 比例系数为捕捞强度系数。

2、符号和数据符号t——时间(以年计) , t∈R + ;k ——年份, k= 0, 1, 2 , ⋯N (k)i ——第k+ 1 年初i 龄鱼总条数,N (k )i ∈R + ;x i ( t) ——t 时刻i 年龄组的鱼群的大小;r——鱼的自然死亡率;f i——i 年龄组鱼的产卵力;w i——i 年龄组鱼的平均重量;E i——i 年龄组的捕捞强度系数;ai——i 龄鱼的生育率, 即平均每条i 龄鱼在一年内生育的鱼数, ai≥0 ;bi——i 龄鱼的存活率, 即i 龄鱼经过一年后到i+ 1 龄鱼数与原鱼数之比, 0<bi< 1, i= 1, 2, 3 ;n——年产卵总量;b0——卵成活率;R ——净繁殖率, 它表示平均每条鱼一生所产卵并成活为1 龄鱼的条数。

3、解题过程（1）设 N (k ) = {N (k )1 , N (k)2 , N (k)3 , N (k)4 }T;X ( t) = {x 1 ( t) , x 2 ( t) , x 3 ( t) , x 4 ( t) }T;(f 1, f 2, f 3, f 4) T= (0, 0, 0. 5 c0, c0) T;{W 1,W 2,W 3,W 4}T= (5. 07, 11. 55, 17. 86,22. 99) T;(E 1, E 2, E 3, E 4) T = (0, 0, 0. 42E , E ) , 称E 为捕捞努力量;r= 0. 8, S= 2/3 (产卵时刻) , c0= 1. 109×105,c1= 1. 220×1011, c2= exp (- r) = 0. 449 33 , c3= exp(- r S) = 0. 586 65 .（2）鱼生长期是连续的, 组建微分方程组模型:d X ( t)/d t= f (X ) , t∈[ 0, + ∞) .来描述鱼死亡随时间连续发生并具有季节性的繁殖和捕捞。

最优捕鱼模型一.问题的重述捕鱼业在当今社会中十分重要的行业，捕鱼量的大小决定着捕鱼的经济效益，其中捕鱼量与捕鱼时间有着密切关联. 所以如何利用数学模型了解捕鱼量与捕鱼时间之间的关系，是一个具有现实意义的问题.现假设在一个鱼塘中投放若干鱼苗，鱼苗尾数随着时间的增长而减少，且相对减少率为常数；每尾鱼的重量随着时间增长而增加，且由于喂养引起的每尾鱼重量增加率与鱼的表面积成正比，由于消耗引起的减少率与其重量本身成正比. 分析如下问题：问题一：建立尾数和时间的微分方程并求解；问题二：建立每尾鱼重量和时间的微分方程并求解；问题三：用控制网眼的方法不捕小鱼，从一定时刻开始捕捞，用尾数的相对减少率表示捕捞能力，分析开始捕鱼的最佳时刻，使得捕获量最大，并建立相关模型.二.问题分析1.针对问题一，根据相对减少率的数学定义，可以建立鱼尾数和时间的微分方程；2.针对问题二，将鱼体假设为球体，得出鱼的表面积与它重量的关系，使得鱼的重量完全成为一个关于时间的函数，进一步建立出鱼重量与时间的微分方程；3.针对问题三，将捕捞行为看作连续的过程，瞬时捕捞量与瞬时捕鱼尾数、每尾鱼瞬时重量呈正相关关系，瞬时捕鱼尾数与捕捞能力有关，每尾鱼瞬时重量可由对问题二的解答得出，总捕捞量即为瞬时捕捞量关于时间的积分.三.基本假设1．假设自然因素不会对鱼的尾数产生影响；2．假设在整个捕捞过程中鱼没有繁衍行为；3．假设每尾鱼都均衡生长；4．假设在捕捞过程中鱼的条数连续；5．假设鱼为球体.四．符号表示五．模型建立与求解模型一. 鱼苗尾数的相对减少率为常数r . 由相对减少率的定义得()()()t t t t n n rn t +∆-=-∆ 即()()()00lim lim t t t t t t n n rn t +∆∆→∆→-=-∆ 即()t dn rn dt=- 解得0rt n n e -=模型二. 假设鱼为球体，体积为V ，表面积为S ，半径为R ，重量为G ，初始重量为0G ，鱼的密度为ρ;且每尾鱼的重量随着时间增长而增加，其中由于喂养引起的每尾鱼重量增加率与鱼表面积成正比（比例系数为1k ），由于消耗引起的减少率与其重量本身成正比（比例系数为2k ）. 由343V R π=，2=4S R π，G V ρ=得2233S G ρ⎛⎫= ⎝⎭令23=b ρ⎛⎫ ⎝⎭又由于12=-dG k S k G dt,=0t ，0G G =所以231-11322+k t k b k b G e k k ⎡⎤⎫=⎢⎥⎪⎭⎣⎦模型三. 控制网眼不捕小鱼，鱼塘中瞬时鱼尾数用(t)n 表示，捕捞能力（E ）可以用尾数的相对减少率1dn n dt表示，从T 时刻开始捕捞，使得捕捞量W 能够最大.其中减少量包括自然减少量（即第一模型中的减少量）和捕捞量.此时，-(t)0(t)=-at n n e En-0-0(e )11=-=-=a e at at d n dn E n dt n dt所以，--00(t)==1+(1+)at aT T Tan e an W En dt dt e a a a ∞∞=⎰⎰ 则，在此模型下，捕捞时间越早，捕捞量越大.模型四. 建立在模型三的基础上，捕捞量的大小不仅取决于鱼尾数(t)n ，还取决于鱼的重量G .即(t)TW En Gdt ∞=⎰所以，231--0113(t)22=+1+at k t T T an e k b k b W En Gdt e dt a k k ∞∞⎡⎤⎫=⎢⎥⎪⎭⎣⎦⎰⎰ 可根据此函数求得最大捕捞量所对应的时刻T .感谢下载!欢迎您的下载，资料仅供参考。

最佳捕鱼方案摘要：本文解决的是一个最佳捕鱼方案设计的单目标线性规划问题，目的是制定每天的捕鱼策略，使得总收益最大。

根据题设条件，结合实际情况，我们设计了成本与损失率随天数的增加成反比变化的函数曲线（见图三所示），并导出总收益的表达式： 212121111i i i i i i i i W w p s q m =====⨯-⨯∑∑∑。

由于价格是关于供应量的分段函数（见图一所示），我们引入“0－1”变量法编写程序（程序见附录一），并用数学软件LINGO 求解，得到最大收益(W)为441291.4元，分21天捕捞完毕。

其中第1～16天，日捕捞量在1030～1070公斤之间，第17～21天的日捕捞量为1610～1670公斤之间（具体数值见正文）。

由结果分析，我们对模型提出了优化方向，例如人工放水来降低成本。

关键词：“0-1”整数规划，单目标线性规划，离散型分布。

一． 问题重述一个水库，由个人承包，为了提高经济效益，保证优质鱼类有良好的生活环境，必须对水库里的杂鱼做一次彻底清理，因此放水清库。

水库现有水位平均为15米，自然放水每天水位降低0.5米，经与当地协商水库水位最低降至5米，这样预计需要二十天时间，水位可达到目标。

据估计水库内尚有草鱼二万五千余公斤，鲜活草鱼在当地市场上，若日供应量在500公斤以下，其价格为30元/公斤；日供应量在500—1000公斤，其价格降至25元/公斤，日供应量超过1000公斤时，价格降至20元/公斤以下，日供应量到1500公斤处于饱和。

捕捞草鱼的成本水位于15米时，每公斤6元；当水位降至5米时，为3元/公斤。

同时随着水位的下降草鱼死亡和捕捞造成损失增加，至最低水位5米时损失率为10%。

承包人提出了这样一个问题：如何捕捞鲜活草鱼投放市场，效益最佳？二． 模型假设1．池塘中草鱼的生长处于稳定状态，不考虑种群繁殖以及其体重增减，即在捕捞过程中草鱼总量保持在25，000公斤不变。

2．第一天捕捞时水位为15m ，每天都在当天的初始水位捕捞草鱼，水库水位每天按自然放水0.5m 逐渐降低，20天后刚好达到最低要求水位5m 。

数理学院《数学建模》课程设计题目1、 鱼群的适度捕捞问题鱼群是一种可再生资源，若目前鱼群的总数为x 公斤，经过一年的成长与繁殖，第二年鱼群的总数变为y 公斤。

反映x 与y 之间相互关系的曲线称为再生产线，记为)(x f y =。

现设鱼群的再生产曲线为)1(Nxrx y -=，)1(>r 。

为使鱼群的数量维持稳定，在捕鱼时必须注意适度捕捞。

问鱼群的数量控制在多大时，才能使我们获得最大的持续捕获量？2、定价问题某公司考虑为某新产品定价，该产品的单价拟从每件 6元、7元、8元和 9元这四个中选取一个，每年允许价格有 1元幅度的变动，该产品预计畅销五年，据预测不同价格下各年的利润如下表所示.每年预计利润额单价 第一年 第二年 第三年 第四年 第五年7元 8元 9元12 15 16 13 16 17 17 17 16 21 18 15 23 17 143、水厂建造问题某城市拟建A 、B 两个水厂。

从建造和经营两方面考虑，水厂分小、中、大三种规模，日均贮水量分别为30万吨、40万吨及50万吨。

由于水资源的原因，A 、B 两个水厂日进水量总和不超过80万吨。

A 、B 两个水厂共同担负供应六个居民区用水任务，这六个居民区的位置及拥有的家庭户数由表1给出，每户日均用水量为1.0吨，水厂供应居民点用水的成本为1.05元/吨公里。

(1)方案使总成本最低；(2)若A 、B 两个水厂的位置尚未确定，请你确定它们的位置及供水方案使总成本最低；(3)如果该某城市要在平直河岸L(设L 位于横坐标轴)上建一抽水站P ，供应同岸的A 、B 两个水厂。

考虑到输水管道沿线地质情况等原因，假设在修建OA 、OB 、OP 三段管道（如图1）时，每公里的耗资由相应的管道日供水量决定，参见表2。

水厂按超额加价收取水费，即每户日基本用水量为0.6 吨，每吨水费1.2元，超额用水量的水费按基本用水量的水价加价20％。

试确定该城市将供水收益全部用于偿还修建OA 、OB 、OP 三段管道投资费用的最优方案。

问题一鱼群捕捞问题一、问题的提出大量的海洋生物（例如鱼、虾等）为人类所消费。

如果捕捞率大于自然增长率，则海洋生物群将减少，甚至可能导致某种群的灭绝。

许多国际机构极为关心这类问题，他们想知道能否捕捞某种特定的种群，如果允许捕捞应有什么样的限制。

试建立一个数学模型，它将有助于这些机构作出敏感性的决定。

假设某种鱼（海洋生物中的一个种群）分4个年龄组，称1龄鱼，……，4龄鱼。

各年龄组每条鱼的平均重量分别为5.07，11.55，17086，22.99（克），各年龄组鱼的自然死亡率为0.8，这种鱼为季节性集中产卵反之，平均每条4龄鱼的产卵量为1.109×105（个），3龄鱼的产卵量为这个数的一半，2龄鱼和1龄鱼不产卵，产卵孵化期为每年的最后4个月，卵孵化并成活为1龄鱼，成活率为1龄鱼条数与产卵量之比。

渔业管理部门规定只允许在产卵孵化期前的8个月内进行捕捞作业。

如果每年投入的捕捞能力（如鱼船数等）固定不变，这个单位时间捕捞量将与各年龄组鱼群条数成正比，比例系数称捕捞强度。

常使用一种只能捕捞3龄鱼和4龄鱼的网，并且其捕捞强度系数之比为0.42：1，渔业上称这种方式为固定努力量捕捞。

现在考虑对这种鱼的最优捕捞策略，使得在可持续捕获的前提下年收获量最高。

二、问题的假设与分析1. 问题假设（1）鱼群总量的增加虽然是离散的，但对大规模鱼群而言，我们可以假设鱼群总量的变化随时间是连续的。

（2）查阅有关鳀鱼的资料发现，鳀鱼一般在每年8月开始产卵，从而可以假设鱼群每年在8月底瞬间产卵完毕，卵在12月底全部孵化完毕。

（3）龄鱼到来年分别长一岁成为i + 1龄鱼，i = 1，2，3。

（4）4龄鱼在年末留存的数量占全部数量的比例相对很小，可假设全部死亡。

（5）连续捕获使各年龄组的鱼群数量呈周期性变化，周期为1年，可以只考虑鱼群数量在1年内的变化情况。

2. 问题分析 （1）符号说明x i （t ）：在t 时刻i 龄鱼的条数，i = 1，2，3，4； n ：每年的产卵量； k ：4龄鱼捕捞强度系数；2a i0：每年初i 龄鱼的数量，i = 1，2，3，4； （2）对死亡率的理解题中给出鱼的自然死亡率为0.8（/年），它指平均死亡率，即单位时间鱼群死亡数量与现有鱼群数量的比例系数，由假设知，它是一个与环境等其它因素无关的常数；另一方面，鱼群的数量是连续变化的，且1，2龄鱼在全年及3，4龄鱼在后4个月的数量只与死亡率有关。