幂函数和函数的图像【知识导图】知识讲解知识点1 幂函数的定义一般地，形如()y x R αα=∈的函数称为幂函数，其中α是常数．自变量x 是幂的底数，换句话说，幂的底数是单变量x ，幂指数是个常数，幂的系数是1，符合上述形式的函数，就是幂函数．这些函数虽然定义域不同，但有公共区间()0+∞，．为了更好地观察函数图象特征，总结幂函数的性质，我们把6个幂函数的图象画在同一平面直角坐标系中．虽然这6个幂函数图象所分布的象限不同，但是我们还是不难发现它们共同的特征．这6个幂函数在()0+∞，都有定义，图象都过点(1)1，．讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性)；其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点)；最后：描点，连线．知识点3 利用基本函数的图像作图1.平移变换(1)水平平移：)0)((>±=a a x f y 的图象，可由)(x f y =的图象向左()＋或向右()－平移a 个单位而得到．(2)竖直平移：)0()(>±=b b x f y 的图象，可由)(x f y =的图象向上()＋或向下()－平移b 个单位而得到．2.对称变换(1))(x f y -=与)(x f y =的图象关于y 轴对称． (2))(x f y -=与)(x f y =的图象关于x 轴对称． (3))(x f y --=与)(x f y =的图象关于原点对称．(4)要得到|)(|x f y =的图象，可将)(x f y =的图象在x 轴下方的部分以x 轴为对称轴翻折到x 轴上方，其余部分不变．(5)要得到|)(|x f y =的图象，可将)(x f y =，0≥x 的部分作出，再利用偶函数的图象关于y 轴的对称性，作出0<x 时的图象． 3.伸缩变换(1))0)((>=A x Af y 的图象，可将)(x f y =图象上所有点的纵坐标变为原来的A 倍，横坐标不变而得到．(2))0)((>=a ax f y 的图象，可将)(x f y =图象上所有点的横坐标变为原来的a1倍，纵坐标不变而得到．例题精解类型1 幂函数的概念【例题1】函数()()2231m m f x m m x+-=--⋅是幂函数，且当()0,x ∈+∞时，()f x 是增函数，求()f x 的解析式．【答案】根据幂函数定义得，211m m --=，解得2m =或1m =-， 当2m =时，()3f x x =在()0,+∞上是增函数，当1m =-时，()3f x x -=，在()0+∞，上是减函数，不合要求．∴()f x 的解析式为()3f x x =．【例题2】已知幂函数()f x x α=的图象经过点()93，，则()100f =________．【答案】由题意可知()93f =，即93α=，12α∴=，()12f x x ∴=，∴()1210010010010f ===． 类型2 幂函数的图象【例题3】如图所示，图中的曲线是幂函数n y x =在第一象限的图象，已知n 取2±，12±四个值，则相应于1234c c c c ，，，的n 依次为( )A ．2-，12-，12，2B ．2，12，12-，2- C ．12-，2-，2，12 D ．2，12，－2，12- 【答案】考虑幂函数在第一象限内的增减性．注意当0n >时，对于ny x =，n 越大，ny x=增幅越快，0n <时看n 的大小．根据幂函数ny x =的性质，在第一象限内的图象当0n >时，n 越大，n y x =递增速度越快，故1c 的2n =，2c 的12n =，当0n <时，n 越大，曲线越陡峭，所以曲线3c 的12n =-，曲线4c 的2n =-，故选B ． 【例题4】如图是幂函数m y x =与n y x =在第一象限内的图象，则( )A ．101n m -<<<<B ．1n <-，01m <<C ．10n -<<，1m >D ．1n <-，1m >【答案】在(0)1，内取同一值0x ，作直线0x x =，与各图象有交点，如图所示．根据点低指数大，有01m <<，1n <-．故选B类型3 比较幂的大小【例题5】比较下列各组数中两个数的大小：(1)1213⎛⎫ ⎪⎝⎭与1214⎛⎫ ⎪⎝⎭；(2)123-⎛⎫- ⎪⎝⎭与135-⎛⎫- ⎪⎝⎭；(3)140.25-与146.25；(4)0.20.6与0.30.4． 【答案】(1)∵12y x =是[0,)+∞上的增函数，且1134>，∴11221134⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． (2)∵1y x -=是()0-∞，上的减函数，且2335-<-，∴112335--⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．(3) 11144210.2524--⎛⎫== ⎪⎝⎭，11426.25 2.5=∵12y x =是[0,)+∞上的增函数，且2 2.5<，11222 2.5∴<，即11440.25 6.25-<．(4)由幂函数的性质，知0.60.60.20.3<，又0.3x y =是减函数，0.40.60.30.3>∴，从而0.60.40.20.3<．【例题6】比较下列各组数的大小： (1)0.523⎛⎫ ⎪⎝⎭与0.535⎛⎫⎪⎝⎭；(2) 33.14-与3π-；(3)3412⎛⎫ ⎪⎝⎭与1234⎛⎫ ⎪⎝⎭．【答案】】(1)∵0.5y x =在[0,)+∞上是增函数且2335>，∴0.50.52335⎛⎫⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭． (2)∵3y x =是R 上的增函数，且3.14π<，333.14π<∴，333.14π∴>--．(3)∵12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是减函数，∴31421122⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．12y x =是[0,)+∞上的增函数，∴11223142⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴13243142⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 类型4 含绝对值的函数【例题7】若关于x 的方程x a x -=||只有一个解，则实数a 的取值范围是________．【答案】由题意x x a +=||令⎩⎨⎧<≥=+=0002||x x x x x y ，，图象如图所示，故要使x x a +=||只有一解则0>a .答案：),0(+∞【例题8】分别画出下列函数的图象： （1）|lg |x y =；（2）22+=x y ；（3）1||22--=x x y .【答案】(1)⎩⎨⎧<<-≥=10lg 1lg x x x x y ，，图象如图1.(2)将xy 2=的图象向左平移2个单位．图象如图2.(3)⎩⎨⎧<-+≥--=01201222x x x x x x y ，，图象如图3.类型五 判断函数的图象【例题9】已知定义在区间]2,0[上的函数)(x f y =的图象如图所示，则)2(x f y --=的图象为( )【答案】B由)(x f y =的图象知⎩⎨⎧≤<≤≤=21,110)(x x x x f ，当]2,0[∈x 时，]2,0[2∈-x ， 所以⎩⎨⎧≤<-≤≤=-21,210,1)2(x x x x f故⎩⎨⎧≤<-≤≤-=--=21,2101)2(x x x x f y ，【例题10】在下列图象中，二次函数bx ax y +=2与指数函数xab y )(=的图象只可能是（ ）A. B. C. D.【答案】方法一：由指数函数图象可以看出10<<a b .抛物线方程是2224)2(a b a b x a y -+=，其顶点坐标为)4,2(2ab a b --，又由10<<a b ，可得0221<-<-a b .观察选择支，可选A.方法二：求bx ax y +=2与x 轴的交点，令02=+bx ax ，解得0=x 或abx -=，而01<-<-ab.故选A. 课堂练习【基础】1．下列函数是幂函数的是( )A ．5x y =B ．5y x =C ．5y x =D ．()31y x =+ 【答案】B【解析】函数5x y =是指数函数，不是幂函数；函数5y x =是正比例函数，不是幂函数；函数()31y x =+的底数不是自变量x ，不是幂函数；函数5y x =是幂函数． 2．下列函数中，其定义域和值域不同的函数是( ) A ．13y x = B ．12y x -= C ．53y x = D ．23y x =【答案】A【解析】23y x ==R ，值域为[0,)+∞，故定义域与值域不同．3．设11,1,,32α⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，则使函数y x α=的定义域为R 且为奇函数的所有α值为( )A ．13，B ．11-，C ．13-，D ．11,3-，【答案】A【解析】可知当113α=-，，时，y x α=为奇函数，又∵y x α=的定义域为R ，则13α=，．4．若3512a ⎛⎫=⎪⎝⎭，3515b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()32c =-，则a b c 、、的大小关系为________． 【答案】a b c >>【解析】∵35y x =在()0,+∞上为增函数．∴33551125⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即0a b >>． 而332(2)0c -=-<=，∴a b c >>． 5．幂函数()()22231m m f x m m x--=--⋅在()0,+∞上是减函数，则实数m =________．【答案】2【解析】∵()()22231m m f x m m x--=--⋅为幂函数，∴21m m --，∴2m =或1m =-．当2m =时，()3f x x -=在()0,+∞上是减函数，当1m =-时，()01f x x ==不符合题意．综上可知2m =．6．已知幂函数()f x 的图象经过点22⎛ ⎝⎭，，则()4f 的值为( ) A ．16 B ．116 C ．12D ．2 【答案】C【解析】设()f x x α=，则有2α=，解得12α=-，即()12f x x -=，所以()121442f -==．7．下列命题中正确的是( )A ．当0α=时，函数y x α=的图象是一条直线B ．幂函数的图象都经过(0)0，、(1)1，两点C ．若幂函数y x α=的图象关于原点对称，则y x α=在定义域上是增函数D ．幂函数的图象不可能在第四象限 【答案】D【解析】当0α=时，函数y x α=的定义域为0{|}x x x R ≠∈，，其图象为两条射线，故A 选项不正确；当0α<时，函数y x α=的图象不过(0)0，点，故选项B 不正确；幂函数1y x -=的图象关于原点对称，但其在定义域内不是增函数，故选项C 不正确；当0x >，R α∈时， 0y x α=>，则幂函数的图象都不在第四象限，故选项D 正确．8．下列幂函数中①1y x -=；②12y x =；③y x =；④2y x =；⑤3y x =，其中在定义域内为增函数的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】B【解析】由幂函数性质知②③⑤在定义域内为增函数． 9.函数|1|)(-=x x f 的图象是( )【答案】B【解析】直接先画出1-=x y 的图像，再将x 轴下方的图像往上翻折即可.10.已知函数⎩⎨⎧>-≤+=02012x x x x y ，，则使函数值为5的x 的值是( )A.2-B.2或25-C.2或2-D.2或2-或25-【答案】A【解析】画出函数的图像，则)(x f 与5=y 只有1个交点，2-=x ，选A.11.函数)10(||<<=a x xa y x的图象的大致形状是( )【答案】D【解析】分类讨论：当0>x 时，xa y =单调递减，排除A,B 选项；当0<x 时，xa y -=单调递增，选D.【巩固】1．当01x <<时，()2f x x =，()12g x x =，()2h x x -=的大小关系是( )A ．()()()h x g x f x <<B ．()()()h x f x g x <<C ．()()()g x h x f x <<D ．()()()f x g x h x << 【答案】D【解析】在同一坐标系中，画出当01x <<时，函数2y x =，12y x =，2y x -=的图象，如下图所示．∴当01x <<时，有1222xx x ->>，即()()()f x g x h x <<．2．下列函数中，既是偶函数，又在区间()0,+∞上单调递减的函数是( ) A ．2y x -= B ．1y x -= C ．2y x = D ．13y x = 【答案】A【解析】由于1y x -=和13y x =都是奇函数，故B 、D 不合题意．又2y x =虽为偶函数，但在()0,+∞上为增函数，故C 不合题意．221y x x -==在()0,+∞上为减函数，且为偶函数，故A 满足题意．3．幂函数()y f x =的图象经过点128⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则满足()27f x =-的x 值等于________． 【答案】13-【解析】设()f x x α=，由题意可知218α=，3α=-，即()3f x x -=．由327x -=-可知13x =-．4．比较下列各组中两个值的大小：(1)351.5与351.6；(2) 1.30.6与 1.30.7；(2) 233.5-与235.3-；(4)0.30.18－与0.30.15－．【答案】略【解析】(1)∵幂函数35y x =在()0,+∞上单调递增，且1.5 1.6<，33551.5 1.6∴<． (2)∵幂函数 1.3y x =在()0,+∞上单调递增，且0.60.7<， 1.3 1.30.60.7<∴． (3)∵幂函数23y x-=在()0,+∞上单调递减，且3.5 5.3<，22333.55.3--∴>．(4)∵幂函数0.3y x=－在()0,+∞上单调递减，且0.180.15>，0.30.30.180.15∴<－－5．设322555223,,555a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a b c >> B ．c a b >> C ．a b c << D ．b c a >> 【答案】C【解析】∵函数25xy ⎛⎫=⎪⎝⎭在R上是减函数，又2355<，32552355⎛⎫⎛⎫∴< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即a ＜b ． 又∵函数25y x =在R 上是增函数，且2355<，22553255⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎭∴⎝，即c b >，∴a b c << 6．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”．那么函数解析式为()2f x x =，值域为{1}4，的“同族函数”共有( )A ．7个B ．8个C ．9个D ．无数个 【答案】C【解析】值域为{1}4，，∴其定义域由1,1,2,2--组成，∴有{}{}{}{}{}{121,2121,211211212212,21,12,2}{},{}{}------------，，，，，，，，，，，，，，，，，，共有9种情况． x【答案】D【解析】分类讨论，当0>x 时，1+=x y ，当0<x 时，1-=x y ，所以选D.8.设函数⎩⎨⎧>≤++=020)(2x x c bx x x f ，，，若)0()2(f f =-，3)1(-=-f ，则方程x x f =)(的解集为________． 【答案】}2,2{-【解析】因为02<-，01<-，则⎩⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧-=+-=+-223124c b c b c c b ，画出图像，可知)(x f 与x y =有两个交点，横坐标分别是2-=x 和2=x .9.画出函数1||22++-=x x y 的图象并写出函数的单调区间． 【答案】单调增区间为)1,(--∞，]1,0[，单调减区间为)0,1(-，),1(+∞【解析】⎩⎨⎧<+--≥++-=01201222x x x x x x y ，，，即⎩⎨⎧<++-≥+--=02)1(02)1(22x x x x y ，，函数的大致图象如图所示，单调增区间为)1,(--∞，]1,0[，单调减区间为)0,1(-，),1(+∞【拔高】1．已知幂函数()f x 的图象过点(25)5，． (1)求()f x 的解析式；(2)若函数()()2g x f lgx =-，求()g x 的定义域、值域． 【答案】同解析【解析】(1)设()af x x =，则由题意可知255a=，12a ∴=，()12f x x ∴=．(2)()()2g x f lgx =-=∴要使()g x 有意义，只需20lgx -≥， 即2lgx ≤，解得0100x <≤．∴()g x 的定义域为(0]100，，又20lgx -≥， ∴()g x 的值域为[0,)+∞． 2．已知幂函数()223m m y f x x-+==，其中2{}2|m x x x Z <<-∈∈，，满足：(1)是区间()0,+∞上的增函数；(2)对任意的x R ∈，都有()0()f x f x -+=．求同时满足(1)，(2)的幂函数()f x 的解析式，并求]3[0x ∈，时()f x 的值域． 【答案】同解析【解析】因为2{}2|m x x x Z <<-∈∈，，所以101m =-，，． 因为对任意x R ∈，都有()0()f x f x -+=， 即()()f x f x -=-，所以()f x 是奇函数．当1m =-时，()2f x x =只满足条件(1)而不满足条件(2)；当1m =时，()0f x x =条件(1)、(2)都不满足．当0m =时，()3f x x =条件(1)、(2)都满足，且在区间[0]3，上是增函数．所以]3[0x ∈，时，函数()f x 的值域为[]027，．3．已知幂函数()()223m m f x xm N --∈=的图象关于y 轴对称，且在()0,+∞上函数值随着x 的增大而减小，求满足()()33132m m a a --+<-的a 的取值范围．【答案】同解析【解析】∵函数()f x 在()0,+∞上的函数值随着x 的增大而减小，2230m m ∴-<-，利用二次函数的图象可得13m -<<． 又m N ∈，012m ∴=，，．又函数的图象关于y 轴对称，223m m ∴--是偶数，故1m =，()()1133132a a --∴+<-．又13y x -=在()0-∞，和()0,+∞上均单调递减， ∴有以下三种情况： ①当10320a a +<⎧⎨->⎩即1a <-时，不等式的左边为负数，右边为正数，不等式成立；②当10320a a +>⎧⎨->⎩时，必有132a a +>-，即10320132a a a a+>⎧⎪->⎨⎪+>-⎩解得2332a <<；③当10320a a +<⎧⎨-<⎩时，必有132a a +>-，即10320132a a a a +<⎧⎪-<⎨⎪+>-⎩此不等式组无解， 综上可得a 的取值范围是23,1,32()⎛⎫ ⎪⎝-∞-⎭． 4.求k 为何值时，方程k x =-|13|无解？有一解？有两解？ 【答案】见解析【解析】函数|13|-=x y 的图象是由函数x y 3=的图象向下平移一个单位后，再把位于x 轴下方的图象沿x 轴翻折到x 轴上方得到，函数图象如图所示．当0<k 时，直线k y =与函数|13|-=x y 的图象无交点，即方程无解；当0=k 或1≥k 时，直线k y =与函数|13|-=xy 的图象有唯一的交点，所以方程有一解； 当10<<k 时，直线k y =与函数|13|-=xy 的图象有两个不同交点，所以方程有两解．5.已知0>a ，且1≠a ，函数x ya log =，xa y =，a x y +=在同一坐标系中的图象可能是( )【答案】C【解析】若10<<a ，则x y a log =单调递减，x a y =单调递减，a x y +=单调递增，感觉D 选项是符合的，但是a x y +=与y 轴的交点的纵坐标是小于1的，所以D 错误；选C.若1>a ，则x y a log =单调递增，x a y =单调递增，a x y +=单调递增，A 错误，所以最后答案选C.6.已知b a <，函数))(()(b x a x x f --=的图象如图所示，则函数)(log )(a x x g b +=的图象可能为( )【答案】B【解析】通过图象可以得出：10<<a ，1>b ，所以根据函数图像的平移变换，答案选B.小结1．幂函数y x α=的底数是自变量，指数是常数，而指数函数正好相反，底数是常数，指数是自变量．2．幂函数在第一象限内指数变化规律在第一象限内直线1x =的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小；在直线1x =的左侧，图象从下到上，相应的指数由大变小． 3．简单幂函数的性质(1)所有幂函数在()0,+∞上都有定义，并且当自变量为1时，函数值为1，即()11f =． (2)如果0α>，幂函数在[0,)+∞上有意义，且是增函数． (3)如果0α<，幂函数在0x =处无意义，在()0,+∞上是减函数． 函数的图象（1）作图方法：以解析式表示的函数作图象的方法有两种，即列表描点法和图象变换法，掌握这两种方法是本讲座的重点.作函数图象的步骤：①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质即单调性、奇偶性、周期性、最值（甚至变化趋势）；④描点连线，画出函数的图象.运用描点法作图象应避免描点前的盲目性，也应避免盲目地连点成线要把表列在关键处，要把线连在恰当处这就要求对所要画图象的存在范围、大致特征、变化趋势等作一个大概的研究.而这个研究要借于函数性质、方程、不等式等理论和手段，是一个难点用图象变换法作函数图象要确定以哪一种函数的图象为基础进行变换，以及确定怎样的变换，这也是个难点. （2）三种图象变换：平移变换、对称变换和伸缩变换等等； （3）识图：分布范围、变化趋势、对称性、周期性等等方面.课后练习【基础】1．设0.60.6a =， 1.50.6b =，0.61.5c =，则a b c 、、的大小关系是( )A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．b c a << 【答案】C【解析】(1)060∈．，，06x y ∴=．是减函数，06150606>∴．．．．，又06y x =．在()0,+∞是增函数，06061506>∴．．．．，∴b a c <<，故选C ．2．下列幂函数在(0),-∞上为减函数的是( )A ．13y x = B ．2y x = C ．3y x = D ．12y x = 【答案】B【解析】函数13y x =，3y x =，12y x =在各自定义域上均是增函数，2y x =在(0),-∞上是减函数．3．设11,13{,,}2α∈-，则使函数y x α=的定义域为R 且为奇函数的所有α的值为( )A ．13，B ．11-，C ．13-，D ．113-，， 【答案】A【解析】函数1y x -=的定义域是{|}0x x ≠，函数12y x =的定义域是[0,)+∞，函数y x =和3y x =的定义域为R 且为奇函数． 4．函数()()22231m m f x m m x+-=-+⋅是幂函数，且在()0,+∞上是减函数，则实数m =( )A ．0B ．1C ．2D ．0或1 【答案】A【解析】由211m m -+=，得0m =或1m =，再把0m =和1m =分别代入2230m m -<+检验，得0m =，故选A ．5．函数y x α=与11,({,)2},23y x αα=-∈的图象只可能是下面中的哪一个( )【答案】C【解析】直线对应函数y x =，曲线对应函数为1y x -=，11≠-．故A 错；直线对应函数为2y x =，曲线对应函数为12y x =，122≠．故B 错；直线对应函数为2y x =，曲线对应函数为2y x =，22=．故C 对；直线对应函数为y x =-，曲线对应函数为3y x =，13-≠．故D 错． 6.函数xx y ||ln =的图像大致是（ ）A B. C. D.【答案】D【解析】首先判断函数的奇偶性，()f x 为奇函数，排除A,B 选项，又(1)0f =，所以选D. 7.若函数)1,0(1)(≠>-=-a a ax f kx 过定点)0,2(，且)(x f 在定义域R 上是减函数，则)(log )(k x x g a +=的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由题意可知，函数)(x f 恒过)0,2(，所以2=k ，又)(x f 单调递减，则10<<a ，所以答案选A.8.函数13)(||+-=x x f 的图像大致是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由函数解析式可知，该函数为偶函数，又0)0(=f ，故选A.【巩固】1．已知幂函数()21mf x x-=()m Z ∈的图象与x 轴，y 轴都无交点，且关于原点对称，则函数()f x 的解析式是________． 【答案】()1f x x=－【解析】∵函数的图象与x 轴，y 轴都无交点，210m ∴-<，解得11m -<<；图象关于原点对称，且m Z ∈，0m ∴=，∴()1f x x =－．2．下列函数中，在(0)1，上单调递减，且为偶函数的是________．①12y x =；②4y x =；③2y x =－；④13y x =-．【答案】③【解析】①中函数12y x =不具有奇偶性；②中函数4y x =是偶函数，但在[0,)+∞上为增函数；③中函数2y x =－是偶函数，且在()0,+∞上为减函数；④中函数13y x =-是奇函数．故填③．3．已知函数()253()1m f x m m x---=-，m 为何值时，()f x ：(1)是幂函数；(2)是正比例函数；(3)是反比例函数；(4)是二次函数． 【答案】同解析【解析】(1)∵()f x 是幂函数，故211m m --=，即220m m --=，解得2m =或1m =-．(2)若()f x 是正比例函数，则531m --=，解得m ＝－45．此时210m m --≠，故45m =-．(3)若()f x 是反比例函数，则531m --=-， 则25m =-，此时210m m --≠，故25m =-． (4)若()f x 是二次函数，则532m --=，即1m =-，此时210m m --≠，故1m =-． 4．已知函数()2mf x x x =-且()742f =． (1)求m 的值；(2)判定()f x 的奇偶性；(3)判断()f x 在()0,+∞上的单调性，并给予证明． 【答案】同解析 【解析】(1)因为()742f =，所以42742m-=，所以1m =． (2)由(1)知()2f x x x=-，因为()f x 的定义域为{|}0x x ≠， 又()22()x f x x f x x x ⎛⎫-=--=--=- ⎪-⎝⎭．所以()f x 是奇函数． (3)()f x 在()0,+∞上单调递增，设120x x >>， 则()()1212121212222()()()1f x f x x x x x x x x x -=-=---+，因为120x x >>， 所以120x x ->，12210x x +>，所以()()12f x f x >， 所以()f x 在()0,+∞上为单调递增函数．5．如图所示，曲线1C 与2C 分别是函数m y x =和n y x =在第一象限内的图象，则下列结论正确的是( )A ．0n m <<B ．0m n <<C ．0n m >>D ．0m n >> 【答案】A【解析】由图象可知，两个函数在第一象限内单调递减，所以0m <，0n <．6．当1()x ∈+∞，时，幂函数y x α=的图象在直线y x =的下方，则α的取值范围是( )A ．(0)1，B ．()0-∞，C ．0(0)1()-∞⋃，，D ．1(()0)-∞⋃+∞，， 【答案】C【解析】幂函数12y x =，1y x -=在(1)+∞，上时图象在直线y x =的下面， 即0α<或01α<<，故选C ． 7．函数13y x =的图象是( )【答案】B【解析】显然代数表示式“()()f x f x -=-”，说明函数是奇函数，同时由当01x <<时，13x x >，当1x >时，13x x <，故选B ．8．已知幂函数()y f x =的图象过点(2)2，，则()216f log =( )A ．2B 2C 2D ．12【答案】A【解析】设()f x x α=，则22α=12α∴=，()x f x ∴=， ()()216442f log f ===，故选A ．9.作出函数⎩⎨⎧>+-≤--=13)2(13)(2x x x x x f ，，的图象，并指出函数的单调区间． 【答案】见解析 【解析】⎩⎨⎧>+-≤--=13)2(13)(2x x x x x f ，，的图象如图所示．由图象可知：函数的单调减区间为]1,(-∞和]2,1(；单调递增区间为),2(+∞．10.若1>a ，01<<-b ，则函数b a y x+=的图象一定在( )A.第一、二、三象限B.第一、三、四象限C.第二、三、四象限D.第一、二、四象限 【答案】A【解析】因为1>a ，则xa y =单调递增，又01<<-b ，所以函数的图象经过一、二、三象限，选A.11.函数⎪⎩⎪⎨⎧>+≤+=0)91(log 0)(x x x b ax x f c ，，的图象如图所示，则=++c b a ______.【答案】313 【解析】由图可知函数经过)0,1(-和)2,0(，所以2=b ，2=a ，31291log =⇒=c c ， 所以=++c b a 313. 【拔高】1．已知幂函数()14f x x -=，若()()1102f a f a <+-，则a 的取值范围是________．、【答案】(3)5， 【解析】∵())140f x xx -==>，易知()f x 在()0,+∞上为减函数， 又()()1102f a f a <+-，∴1010201102a a a a +>⎧⎪->⎨⎪+>-⎩解得153a a a >-⎧⎪<⎨⎪>⎩，35a ∴<<．2．若231()2a =，231()5b =，131()2c =，则a b c 、、的大小关系是________．【答案】b a c <<【解析】设()312f x x =，则()1f x 在()0,+∞上为增函数，1125>，a b ∴>．又()21()2x f x =在(,)-∞+∞上为减函数，a c ∴<． 3．幂函数()f x的图象经过点)，点12,4⎛⎫- ⎪⎝⎭在幂函数()g x 的图象上．(1)求()f x ，()g x 的解析式；(2)x 为何值时()()f x g x >？x 为何值时()()f x g x <? 【答案】同解析【解析】(1)设()f x x α=，则2α=，2α∴=，()2f x x ∴=， 设()g x x β=，则1(2)4β-=，2β∴=-，()20()g x x x -∴≠=．(2)从图象可知，当1x >或1x <-时，()()f x g x >；当10x -<<或01x <<时，()()f x g x <．4．已知幂函数()()223m m f x x m -++=∈Z 为偶函数，且在区间()0,+∞上是单调增函数．(1)求函数()f x 的解析式；(2)设函数()()2g x f x x c =+，若()2g x >对任意的x R ∈恒成立，求实数c 的取值范围．【答案】同解析【解析】(1) ()f x 在区间()0,+∞上是单调增函数，2230m m ∴++->，即2230m m -<-，解得13m -<<．又m Z ∈，012m ∴=，，， 而02m =，时，()3f x x =不是偶函数，1m =时，()4f x x =是偶函数．∴()4f x x =． (2)由(1)知()4f x x =，则()22()(21)1g x x x c x c +=++-=+． ()2g x >对任意的x R ∈恒成立，()2min g x ∴>，且x R ∈，则12c ->，解得3c >．故实数c 的取值范围是(3,)+∞．5.直线1y =与曲线2y x x a =-+有四个交点，则a 的取值范围是 ______________．【答案】)45,1(【解析】曲线2y x x a =-+关于y 轴对称，当0x ≥时，221124y x x a x a ⎛⎫=-+=-+- ⎪⎝⎭，结合图象，要使直线1y =与曲线2y x x a =-+有四个交点，需1114a a >⎧⎪⎨-<⎪⎩，解得514a <<.故a 的取值范围是51,4⎛⎫ ⎪⎝⎭.6.若关于x 的方程a x x =-|2|2在]3,1[-上有只有2个解，则a 的取值范围为________.【答案】0=a 或31≤<a【解析】根据解析式作出图像，如下，则)(x f 与a y =有两个交点，所以0=a 或31≤<a .。
