2019四川省凉山州中考数学试题(解析版)
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2019年四川省凉山州中考数学试卷
一、选择题（共12个小题，每小题4分，共48分）在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的，把正确选项的宇母填涂在答题卡上相应的位置
1．（4分）﹣2的相反数是（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．﹣
2．（4分）2018年凉山州生产总值约为153300000000，用科学记数法表示数153300000000是（ ）
A．1.533×109 B．1.533×1010 C．1.533×1011 D．1.533×1012
3．（4分）如图，BD∥EF，AE与BD交于点C，∠B＝30°，∠A＝75°，则∠E的度数为（ ）
A．135° B．125° C．115° D．105°
4．（4分）下列各式正确的是（ ）
A．2a2+3a2＝5a4 B．a2•a＝a3
C．（a2）3＝a5 D．＝a
5．（4分）不等式1﹣x≥x﹣1的解集是（ ）
A．x≥1 B．x≥﹣1 C．x≤1 D．x≤﹣1
6．（4分）某班40名同学一周参加体育锻炼时间统计如表所示：
人数（人） 3 17 13 7
时间（小时） 7 8 9 10
那么该班40名同学一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是（ ）
A．17，8.5 B．17，9 C．8，9 D．8，8.5
7．（4分）下列命题：①直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离；②两点之间线段最短；③相等的圆心角所对的弧相等；④平分弦的直径垂直于弦．其中，真命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4 8．（4分）如图，正比例函数y＝kx与反比例函数y＝的图象相交于A、C两点，过点A作x轴的垂线交x轴于点B，连接BC，则△ABC的面积等于（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
9．（4分）如图，在△ABC中，CA＝CB＝4，cosC＝，则sinB的值为（ ）
A． B． C． D．
10．（4分）如图，在△ABC中，D在AC边上，AD：DC＝1：2，O是BD的中点，连接AO并延长交BC于E，则BE：EC＝（ ）
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．2：3
11．（4分）如图，在△AOC中，OA＝3cm，OC＝1cm，将△AOC绕点O顺时针旋转90°后得到△BOD，则AC边在旋转过程中所扫过的图形的面积为（ ）cm2．
A． B．2π C．π D．π
12．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，有以下结论：①3a﹣b＝0；②b2﹣4ac＞0；③5a﹣2b+c＞0；④4b+3c＞0，其中错误结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（共5个小题，每小题4分，共20分）
13．（4分）方程组的解是
．
14．（4分）方程+＝1的解是 ．
15．（4分）如图所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，∠A＝30°，CD＝2，则⊙O的半径是 ．
16．（4分）在▱ABCD中，E是AD上一点，且点E将AD分为2：3的两部分，连接BE、AC相交于F，则S△AEF：S△CBF是 ．
17．（4分）将抛物线y＝（x﹣3）2﹣2向左平移 个单位后经过点A（2，2）．
三、解答题（共5小题，共32分） 18．（5分）计算：tan45°+（﹣）0﹣（﹣）﹣2+|﹣2|．
19．（5分）先化简，再求值：（a+3）2﹣（a+1）（a﹣1）﹣2（2a+4），其中a＝﹣．
20．（6分）如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是OC上一点，连接EB．过点A作AM⊥BE，垂足为M，AM与BD相交于点F．求证：OE＝OF．
21．（8分）某校初中部举行诗词大会预选赛，学校对参赛同学获奖情况进行统计，绘制了如下两幅不完整的统计图．请结合图中相关数据解答下列问题：
（1）参加此次诗词大会预选赛的同学共有
人；
（2）在扇形统计图中，“三等奖”所对应的扇形的圆心角的度数为 ；
（3）将条形统计图补充完整；
（4）若获得一等奖的同学中有来自七年级，来自九年级，其余的来自八年级，学校决定从获得一等奖的同学中任选两名同学参加全市诗词大会比赛，请通过列表或树状图方法求所选两名同学中，恰好是一名七年级和一名九年级同学的概率．
22．（8分）如图，点D是以AB为直径的⊙O上一点，过点B作⊙O的切线，交AD的延长线于点C，E是BC的中点，连接DE并延长与AB的延长线交于点F．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若OB＝BF，EF＝4，求AD的长．
四、B卷填空题（共2小题，每小题5分，共10分）
23．（5分）当0≤x≤3时，直线y＝a与抛物线y＝（x﹣1）2﹣3有交点，则a的取值范围是
．
24．（5分）如图，正方形ABCD中，AB＝12，AE＝AB，点P在BC上运动（不与B、C重合），过点P作PQ⊥EP，交CD于点Q，则CQ的最大值为 ．
五、解答题（共4小题，共40分）
25．（8分）已知二次函数y＝x2+x+a的图象与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，且+＝1，求a的值．
26．（10分）根据有理数乘法（除法）法则可知：
①若ab＞0（或＞0），则或；
②若ab＜0（或＜0），则或．
根据上述知识，求不等式（x﹣2）（x+3）＞0的解集
解：原不等式可化为：（1）或（2）．
由（1）得，x＞2，
由（2）得，x＜﹣3，
∴原不等式的解集为：x＜﹣3或x＞2．
请你运用所学知识，结合上述材料解答下列问题： （1）不等式x2﹣2x﹣3＜0的解集为 ．
（2）求不等式＜0的解集（要求写出解答过程）
27．（10分）如图，∠ABD＝∠BCD＝90°，DB平分∠ADC，过点B作BM∥CD交AD于M．连接CM交DB于N．
（1）求证：BD2＝AD•CD；
（2）若CD＝6，AD＝8，求MN的长．
28．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得△PAC的周长最小，若存在，请求出点P的坐标及△PAC的周长；若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，在x轴上方的抛物线上是否存在点M（不与C点重合），使得S△PAM＝S△PAC？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
2019年四川省凉山州中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共12个小题，每小题4分，共48分）在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的，把正确选项的宇母填涂在答题卡上相应的位置
1．（4分）﹣2的相反数是（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．﹣
【分析】根据相反数的意义，只有符号不同的数为相反数．
【解答】解：根据相反数的定义，﹣2的相反数是2．
故选：A．
【点评】本题考查了相反数的意义．注意掌握只有符号不同的数为相反数，0的相反数是0．
2．（4分）2018年凉山州生产总值约为153300000000，用科学记数法表示数153300000000是（ ）
A．1.533×109 B．1.533×1010 C．1.533×1011 D．1.533×1012
【分析】利用科学记数法表示即可
【解答】解：
科学记数法表示：153 300 000 000＝1.533×1011
故选：C．
【点评】本题主要考查科学记数法的表示，把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式（1≤a＜10，n为整数），这种记数法叫做科学记数法．
3．（4分）如图，BD∥EF，AE与BD交于点C，∠B＝30°，∠A＝75°，则∠E的度数为（ ）
A．135° B．125° C．115° D．105°
【分析】直接利用三角形的外角性质得出∠ACD度数，再利用平行线的性质分析得出答案．
【解答】解：∵∠B＝30°，∠A＝75°，
∴∠ACD＝30°+75°＝105°， ∵BD∥EF，
∴∠E＝∠ACD＝105°．
故选：D．
【点评】此题主要考查了平行线的性质以及三角形的外角，正确掌握平行线的性质是解题关键．
4．（4分）下列各式正确的是（ ）
A．2a2+3a2＝5a4 B．a2•a＝a3
C．（a2）3＝a5 D．＝a
【分析】分别根据合并同类项的法则、同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则以及二次根式的性质解答即可．
【解答】解：A、2a2+3a2＝5a2，故选项A不合题意；
B、a2•a＝a3，故选项B符合题意；
C、（a2）3＝a6，故选项C不合题意；
D、＝|a|，故选项D不合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查了合并同类项的法则、幂的运算法则以及二次根式的性质，熟练掌握相关运算性质是解答本题的关键．
5．（4分）不等式1﹣x≥x﹣1的解集是（ ）
A．x≥1 B．x≥﹣1 C．x≤1 D．x≤﹣1
【分析】移项、合并同类项，系数化为1即可求解．
【解答】解：1﹣x≥x﹣1，
﹣2x≥﹣2
∴x≤1．
故选：C．
【点评】本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错．
6．（4分）某班40名同学一周参加体育锻炼时间统计如表所示：
人数（人） 3 17 13 7 时间（小时） 7 8 9 10
那么该班40名同学一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是（ ）
A．17，8.5 B．17，9 C．8，9 D．8，8.5
【分析】根据中位数、众数的概念分别求得这组数据的中位数、众数．
【解答】解：众数是一组数据中出现次数最多的数，即8；
由统计表可知，处于20，21两个数的平均数就是中位数，
∴这组数据的中位数为＝8.5；
故选：D．
【点评】本题考查了中位数、众数的概念．本题为统计题，考查众数与中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．
7．（4分）下列命题：①直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离；②两点之间线段最短；③相等的圆心角所对的弧相等；④平分弦的直径垂直于弦．其中，真命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据点到直线的距离，线段的性质，弧、弦、圆心角之间的关系以及垂径定理判断即可．
【解答】解：①直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离；假命题；
②两点之间线段最短；真命题；
③相等的圆心角所对的弧相等；假命题；
④平分弦的直径垂直于弦；假命题；
真命题的个数是1个；
故选：A．
【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
8．（4分）如图，正比例函数y＝kx与反比例函数y＝的图象相交于A、C两点，过点A作x轴的垂线交x轴于点B，连接BC，则△ABC的面积等于（ ）
