中考数学《二次函数中的新定义问题》专项训练含答案解析

专题10 代几综合题中的新定义目录【题型一】 二次函数中的新定义【典例分析】﹣x，其顶点（2023青浦区一模）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y＝x22为A．（1）写出这条抛物线的开口方向、顶点A的坐标；（2）我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“不动点”．①试求抛物线y＝x22﹣x的“不动点”的坐标；②向左或向右平移抛物线y＝x22﹣x，使所得新抛物线的顶点B是该抛物线的“不动点”，其对称轴与x轴交于点C，且四边形OABC是梯形，求新抛物线的表达式．【分析】（1）∵a＝1＞0，故该抛物线开口向上，顶点A的坐标为（1，﹣1）；﹣t，即可求解；（2）①设抛物线“不动点”坐标为（t，t），则t＝t22②新抛物线顶点B为“不动点”，则设点B（m，m），则新抛物线的对称轴为：x＝m，与x轴的交点C（m，0），四边形OABC是梯形，则直线x＝m在y轴左侧，而点A （1，﹣1），点B （m ，m ），则m ＝﹣1，即可求解．【解答】解：（1）∵a ＝1＞0，y ＝x 22﹣x ＝（x 1﹣）21﹣故该抛物线开口向上，顶点A 的坐标为（1，﹣1），（2）①设抛物线“不动点”坐标为（t ，t ），则t ＝t 22﹣t ，解得：t ＝0或3，故“不动点”坐标为（0，0）或（3，3）；②当OC ∥AB 时，∵新抛物线顶点B 为“不动点”，则设点B （m ，m ），∴新抛物线的对称轴为：x ＝m ，与x 轴的交点C （m ，0），∵四边形OABC 是梯形，∴直线x ＝m 在y 轴左侧，∵BC 与OA 不平行，∴OC ∥AB ，又∵点A （1，﹣1），点B （m m ），∴m ＝﹣1，故新抛物线是由抛物线y ＝x 22﹣x 向左平移2个单位得到的；当OB ∥AC 时，同理可得：抛物线的表达式为：y ＝（x 2﹣）2+2＝x 24﹣x +6，当四边形OABC 是梯形，字母顺序不对，故舍去，综上，新抛物线的表达式为：y ＝（x +1）21﹣．【点评】本题为二次函数综合运用题，正确利用二次函数基本知识、梯形基本性质进行分析是解题关键．【提分秘籍】所谓“新定义”型问题，主要是指在问题中定义了初中数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求同学们读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型。

专题10二次函数的新定义问题专训【精选最新30道二次函数的新定义问题】1．（2023·广西柳州·校联考二模）我们定义一种新函数：形如y ＝|ax 2+bx +c |（a ≠0，b 2﹣4ac ＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．小腾同学画出了“鹊桥”函数y ＝|x 2﹣2x ﹣3|的图象（如图所示），并写出下列四个结论：其中正确结论的个数是（）①图象与坐标轴的交点为(﹣1，0)和(3，0)；②当﹣1≤x ≤1或x ≥3时，函数值y 随x 值的增大而增大；③当x ＝1时，函数有最大值是4；④函数与直线y ＝m 有4个公共点，则m 的取值范围是0＜m ＜4．A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】由2|23|y x x 可得函数图象的对称轴为直线x =1，与坐标轴交点坐标为(1,0) ，(3,0)和(0,3)，可判断①错误，根据图象及函数性质可判断②正确；由从图象上看，当1x 或3x ，函数值有大于4的值，因此③是错误的；由图象可知，函数与直线y m 有4个公共点，则m 的取值范围是04m ，故④正确．【详解】解：如图：∵2|23|y x x ，∴函数图象的对称轴为直线x =1，与坐标轴交点坐标为(1,0) ，(3,0)和(0,3)，①是错误的；②根据函数的图象和性质，发现当11x 或3x 时，函数值y 随x 值的增大而增大，因此②是正确的；③由图象可知，当1x 时，函数值随x 的减小而增大，当3x 时，函数值随x 的增大而增大，均存在大于顶点坐标的函数值，故当1x 时的函数值4并非最大值，故③错误．④由图象可知，函数与直线y m 有4个公共点，则m 的取值范围是04m ，故④正确．故选：B ．【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是主要通过题干信息理解“鹊桥”函数2||y ax bx c ，2(0,40)a b ac 的定义，掌握它与2y ax bx c 之间的关系以及两个函数性质的联系和区别．2．（2023·山东济南·统考二模）新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点．若二次函数2y x x c （c 为常数）在24 x 的图像上存在两个二倍点，则c 的取值范围是（）A ．124c B ．944cC ．144cD ．9104c【答案】B【分析】由点的纵坐标是横坐标的2倍可得二倍点在直线y =2x 上，由-2＜x ＜4可得二倍点所在线段AB 的端点坐标，结合图象，通过求抛物线与线段交点求解．【详解】解：由题意可得二倍点所在直线为y =2x ，将x =-2代入y =2x 得y =-4，将x =4代入y =2x 得y =8，设A （-2，-4），B （4，8），如图，联立方程x 2-x +c =2x ，当Δ＞0时，抛物线与直线y=2x有两个交点，即9-4c＞0，解得c＜9 4，此时，直线x=-2和直线x=4与抛物线交点在点A，B上方时，抛物线与线段AB有两个交点，把x=-2代入y=x2-x+c得y=6+c，把x=4代入y=x2-x+c得y=12+c，∴64 128cc，解得c＞-4，∴-4＜c＜94满足题意．故选：B．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题关键掌握函数与方程及不等式的关系，将代数问题转化为图形问题求解．3．（2023·山东济南·校联考二模）定义：在平面直角坐标系中，若点A满足横、纵坐标都为整数，则把点A 叫做“整点”．如：B（3，0）、C（﹣1，3）都是“整点”．抛物线y＝ax2﹣2ax+a+2（a＜0）与x轴交于点M，N两点，若该抛物线在M、N之间的部分与线段MN所围的区域（包括边界）恰有5个整点，则a的取值范围是（）A．﹣1≤a＜0B．﹣2≤a＜﹣1C．﹣1≤a＜12D．﹣2≤a＜0【答案】B【分析】画出图象，找到该抛物线在M、N之间的部分与线段MN所围的区域（包括边界）恰有5个整点的边界，利用与y交点位置可得a的取值范围．【详解】解：抛物线y＝ax2﹣2ax+a+2（a＜0）化为顶点式为y＝a（x﹣1）2+2，故函数的对称轴：x＝1，M和N两点关于x＝1对称，根据题意，抛物线在M、N之间的部分与线段MN所围的区域（包括边界）恰有5个整点，这些整点是（0，0），（1，0），（（1，1），（1，2），（2，0），如图所示：∵当x ＝0时，y ＝a+2∴0≤a+2＜1当x ＝﹣1时，y ＝4a+2＜0即：021420a a ，解得﹣2≤a ＜﹣1故选B ．【点睛】本题考查抛物线与x 轴的交点、配方法确定顶点坐标、及数形结合等知识，利用函数图象确定与y 轴交点位置是本题的关键．4．（2023·湖南株洲·统考一模）对于实数a 、b ，定义一种运算“ ”为：22a b a ab ，有下列命题：①132 ；②方程10x 的根为：1221x x ，；③不等式组 240{130x x 的解集为：14x ；④点15 22，在函数 1 y x 的图象上．其中正确的是（）A ．①②③④B ．①③C ．①②③D ．③④【答案】C【分析】根据新定义和解一元二次方程、解不等式组、，二次函数等知识对各选项进行判断【详解】根据新定义21311322 ，所以命题①正确；∵10x ，∴220x x ，解得1221x x ，，所以命题②正确；∵ 244224221 31234x x x x x x ，，∴2201{{14404x x x x x ，所以命题③正确；∵ 212y x x x ，∴当12x 时，2119522242y ，∴点15 22，不在函数 1 y x 的图象上，所以命题④错误，综上所述，命题①②③正确．故选C ．【点睛】本题考查了命题：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题；错误的命题称为假命题，涉及到解一元二次方程、解不等式组、，二次函数等知识，此题需要熟练掌握新定义．5．（2023·重庆九龙坡·重庆市育才中学校联考二模）定义一种新运算：(0)(0)@(0)aa b a b b ab a ，下列说法：①若3@2x x ，则13x ，21x ；②若 1@22x ，则该不等式的解集为35x ；③代数式 2@123@21@2x x x取得最小值时，12x ；④函数 11@y x ，函数 222@y x x ，当102x 时，12y y ．以上结论正确的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【分析】根据新定义运算运算法则进行判断即可．【详解】解：①由题意得：32x x，2230x x ，解得：13x ，21x ；检验：当13x ，21x 时，0x ；13x ，21x 是原分式方程的解，故①正确；②当10x 时，1x ，0(2)0 ，此情况成立；当10x 时，1x ，10x ，故 121@2x x ，122x，14x 解得：35,1x x ，综上所述：35x ，故②正确；③由题意得：112126226223x x x x x x ，取得最小值时，13x，故③错误；④212,22y x y x x ，在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，11(,)22A ，当102x 时，12y y ，故④正确．故选：C ．【点睛】本题考查了新定义运算，一元一次不等式组的解法，绝对值的意义，一次函数与二次函数的交点问题，分类讨论思想，正确理解新定义运算是本题的关键．6．（2023春·重庆永川·九年级重庆市永川萱花中学校校考阶段练习）若一列数含有n 个数，除第一个数和最后一个数外，其余每个数都等于与它相邻的两个数之和，则称这列数为“n 级浪花数”．比如一列数为5，7，2，-5，满足752 ， 275 ，所以5，7，2，-5为四级浪花数．根据定义给出下列四个结论：①12，3，a 为三级浪花数，则a 的值为-9②若四级浪花数中第1个数为1，则这列数的积的最大值可能为12③任意组100级浪花数，第36个数和第63个数一定互为相反数④2022级浪花数中的所有数之和为0下列说法正确的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】根据定义：除第一个数和最后一个数外，其余每个数都等于与它相邻的两个数之和，则称这列数为“n 级浪花数”，进行一一判断即可【详解】解：①∵12，3，a 为三级浪花数，∴a +12=3，解得：a =-9，故①正确；②设这四级浪花数分别为1，x +1，x ，-1，则其积为：211(1)()24x x x ，当x =12 时，其积最大值为14，所以这列数的积的最大值不可能为12，故②错误；③设任意组100级浪花数中第一个数为x ，第二个数为y ，由题意得这一列数依次为：x ，y ，y -x ，-x ，-y ，x -y ，x ，y ，y -x ，-x ，-y ，x -y ，……可以看出每六个数一次循环，36÷6=6，所以第36个数为x -y ，63÷6=10余3，所以第63个数为y -x ，所以第36个数和第63个数一定互为相反数，故③正确；④2022级浪花数中第一个数为x ，第二个数为y ，则一列数依次为：x ，y ，y -x ，-x ，-y ，x -y ，x ，y ，y -x ，-x ，-y ，x -y ，……，可以看出每六个数一次循环，这六个数的和为：x +y +y -x -x -y +x -y =0，且2022÷6=337，所以2022级浪花数中的所有数之和为0由④正确；故选：C【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，根据数的变化，找出该数列连续六个数相加等于零是解题的关键．7．（2023·湖南岳阳·校考模拟预测）定义：对于已知的两个函数，任取自变量x 的一个值，当x ≥0时，它们对应的函数值相等；当x ＜0时，它们对应的函数值互为相反数，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：正比例函数y x ，它的相关函数为00x x y x x．已知点M ，N 的坐标分别为1,12 ，9,12 ，连接MN ，若线段MN 与二次函数24y x x n 的相关函数的图象有两个公共点，则n 的取值范围为（）A ．31n 或514nB ．31n 或514nC ．31n 或514n D ．31n 或514n 【答案】B【分析】求出二次函数24y x x n 的相关函数的解析式，结合图像分析选项中的几个关键点1,12，9,12，再解方程结合图象判断即可．【详解】二次函数24y x x n 的相关函数为 224040x x n x y x x n x，大致函数图像如下：如图1所示，当线段MN 与二次函数24y x x n 的相关函数的图象有1个公共点时，∴当x =2时，1y ，则-4+8+n =1,解得n =-3，如图2所示，当线段MN 与二次函数24y x x n 的相关函数的图象有3个公共点时，∵抛物线y =24x x n 与y 轴交点纵坐标为1，∴-n =1，解得n =-1；∴当31n 时，线段MN 与二次函数24y x x n 的相关函数的图象有2个公共点；如图3所示：线段MN 与二次函数24y x x n 的相关函数的图象有3个公共点，∵二次函数24y x x n 经过点（0，1），∴n =1，如图4所示：线段MN 与二次函数24y x x n 的相关函数的图象有2个公共点，∵抛物线y =24x x n 经过点1,12，∴14+2-n =1，解得n =54，∴514n时，线段MN 与二次函数24y x x n 的相关函数的图象有2个公共点．综上所述，n 的取值范围是31n 或514n ．故选：B ．【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数与一元二次方程的关系，理解互为相关函数的定义是解题的关键，本题是选择题使用排除法更简单．8．（2023春·广东广州·九年级铁一中学校考阶段练习）在平面直角坐标系中，对图形F 给出如下定义：若图形F 上的所有点都在以原点为顶点的角的内部或边界上，在所有满足条件的角中，其度数的最小值称为图形的坐标角度，例如，如图中的矩形ABCD 的坐标角度是90°．现将二次函数 213y ax a 的图象在直线1y 下方的部分沿直线1y 向上：翻折，则所得图形的坐标角度 的取值范围是（）A ．3060B ．120150C ．90120D ．6090【答案】D【分析】分a=1和a=3两种情况画出图形，根据图形的坐标角度的定义即可解决问题．【详解】解：当a=1时，如图1所示，∵角两边分别过点A （-1,1），B （1,1），作BE ⊥x 轴于点E ，∴BE ＝OE ，∴∠BOE ＝45°，根据对称性可知：∠AOB ＝90°，∴此时坐标角度 ＝90°；当a=3时，如图2所示，角两边分别过点A （33,1），B （33,1），作BE ⊥x 轴于点E ，∵3tan 3BOE，∴∠BOE ＝60°，根据对称性可知：∠AOB ＝60°，∴此时坐标角度 ＝90°,∴60°≤ ≤90°，故选：D ．【点睛】本题考查二次函数综合题，图形的坐标角度定义等知识，解题的关键是理解题意，学会画图，利用特殊点或者特殊位置解决问题．9．（2023·山东济宁·统考二模）定义：在平面直角坐标系中，点(,)P x y 的横、纵坐标的绝对值之和叫做点(,)P x y 的勾股值，记P x y ．若抛物线21y ax bx 与直线y x 只有一个交点C ，已知点C 在第一象限，且24C ，令2242020t b a ，则t 的取值范围为（）A ．20172018t B ．20182019t C ．20192020t D ．20202021t 【答案】B【分析】由题意△=0，故（b-1）2-4a=0，4a=（b-1）2，用方程可以化为（b-1）2+4（b-1）x+4=0，则x 1=x 2=21b ，故C （21b ，21b ），而且2≤C ≤4，即1≤21b ≤2或-2≤21b≤-1，解得：-1≤b≤0或2≤b≤3，t=2b 2-4a+2020=2b 2-（b-1）2+2020=b 2+2b+2019=（b+1）2+2018，即可求解．【详解】由题意得方程组21y x y ax bx＝＝只有一组实数解，消去y 得ax 2+（b-1）x+1=0，由题意△=0，∴（b-1）2-4a=0，∴4a=（b-1）2，∴用方程可以化为（b-1）x 2+4（b-1）x+4=0，∴x 1=x 2=21b，∴C （21b ，21b），∵且2≤C ≤4，∴1≤21b ≤2或-2≤21b≤-1，解得：-1≤b≤0或2≤b≤3，∵点C 在第一象限，∴-1≤b≤0，t=2b 2-4a+2020，∵t=2b 2-4a+2020=2b 2-（b-1）2+2020=b 2+2b+2019=（b+1）2+2018，∵-1≤b≤0∴2018≤t≤2019．故选：B ．【点睛】本题考查二次函数综合题，解题的关键是理解题意，学会把问题转化为方程或方程组解决，学会构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题．10．（2023·河北石家庄·统考模拟预测）定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如图，在正方形OABC 中，点 0,2A ，点 2,0C ，则互异二次函数 2y x m m 与正方形OABC 有交点时m 的最大值和最小值分别是（）A ．4，-1B ．5172，-1C ．4，0D ．5172，-1【答案】D【分析】分别讨论当对称轴位于y 轴左侧、位于y 轴与正方形对称轴x =1之间、位于直线x =1和x =2之间、位于直线x =2右侧共四种情况，列出它们有交点时满足的条件，得到关于m 的不等式组，求解即可．【详解】解：由正方形的性质可知：B （2,2）；若二次函数 2y x m m 与正方形OABC 有交点,则共有以下四种情况:当0m 时，则当A 点在抛物线上或上方时，它们有交点，此时有202m m m，解得：10m ；当01m 时，则当C 点在抛物线上或下方时，它们有交点，此时有 20120m m m ，解得：01m ；当12m 时，则当O 点位于抛物线上或下方时，它们有交点，此时有2120m m m，解得：12m ；当m>2时，则当O 点在抛物线上或下方且B 点在抛物线上或上方时，它们才有交点，此时有 222022m m m m m，解得：51722m；综上可得：m 的最大值和最小值分别是5172，1 ．故选：D ．【点睛】本题考查了抛物线与正方形的交点问题，涉及到列一元一次不等式组等内容，解决本题的关键是能根据图像分析交点情况，并进行分类讨论，本题综合性较强，需要一定的分析能力与图形感知力，因此对学生的思维要求较高，本题蕴含了分类讨论和数形结合的思想方法等．11．（2023·湖北武汉·校联考模拟预测）我们定义一种新函数：形如 220,40y ax bx c a b ac 的函数叫做“鹊桥”函数．已知某“鹊桥”函数2y ax bx c 过(1,0),(3,0) 两点．关于下列结论：①图像具有对称性，对称轴是直线1x ；②当1x 时，函数的最大值是4a ；③当11x 或3x 时，函数值y 随x 值的增大而增大；④当1a 时，2ax bx c t 有两个实数根，则4t ．其中正确结论的序号是．【答案】①③【分析】先根据题意画出函数图像，再运用抛物线的对称性结合过(1,0),(3,0) 两点可得对称轴，即可判定①；求出当1x 时，4y a b c a ，当1x 或3x ，函数值有大于4a 的值，即可判断②；由函数图像可知：当11x 或3x 时，函数值y 随x 值的增大而增大，即可判断③；由图像可得当1a 时，2ax bx c t 有两个实数根，则0 t 或4t 即可判定④．【详解】解：根据题意画出图像如图：由二次函数图像的对称性可得：对称轴为1312x，则①正确；∵函数2y ax bx c 过(1,0),(3,0) 两点，∴0930a b c a b c，∴3c a ，∵对称轴为12bx a，∴2b a ，∴当1x 时，4y a b c a ，∴由函数图像可知：当1x 或3x ，函数值有大于4a 的值，则②错误；由函数图像可知：当11x 或3x 时，函数值y 随x 值的增大而增大，则③正确；当1a 时，44a ，∵2ax bx c t 有两个实数根，∴由函数图像可知：0 t 或4t ，则④错误．故答案为：①③．【点睛】本题主要考查了二次函数的图像与性质，根据题意正确画出函数图像是解答本题的关键．12．（2023·云南昭通·统考二模）如下图，正方形ABCD 的边AB 在x 轴上，A （﹣4，0），B （﹣2，0），定义：若某个抛物线上存在一点P ，使得点P 到正方形ABCD 四个顶点的距离相等，则称这个抛物线为正方形ABCD 的“友好抛物线”．若抛物线y=2x 2﹣nx ﹣n 2﹣1是正方形ABCD 的“友好抛物线”，则n 的值为．【答案】-3或6【分析】到A 、B 、C 、D 四个点距离都相等的点为AC 、BD 的交点点E ，求出点E 的坐标，将点E 的坐标代入二次函数解析式，求出n 的值即可.【详解】连接AC 、BD 交于点E ，作EF ⊥AB 交AB 于点F ，由题意得，抛物线必经过点E ，∵A （﹣4，0），B （﹣2，0），∴AB =2，BO =2，∵正方形ABCD ，∴∠ABE =45°，AE ⊥BE ，AE =BE ，∴AF =BF =EF =1，∴E （﹣3，﹣1），∴﹣1=2×9+3n ﹣n 2﹣1，解得n =﹣3或6.故答案为﹣3或6.【点睛】确定出到A 、B 、C 、D 四个点距离相等的点的位置是解题的关键.13．（2022·全国·九年级专题练习）定义新运算：对于任意实数m ，n 都有2m n m mn n ☆，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算．例如： 232332217 ☆．根据以上知识解决问题：（1）若x ☆3=1，则x 的值为．（2）抛物线 21y x ☆的顶点坐标是．（3）若2a ☆的值小于0，则方程220x bx a 有个根．【答案】x 1=1，x 2=2（52，−54）2【分析】（1）利用新定义运算法则列出方程x 2-3x +3=1，然后解方程即可；（2）利用新定义运算法则列出方程，然后利用配方法写出顶点式解析式，可以直接得到答案；（3）由2☆a 的值小于0知22-2a +a ＜0，解之求得a ＞4．再在方程-2x 2-bx +a =0中由Δ=（-b ）2+8a ≥8a ＞0可得答案．【详解】解：（1）根据题意，得x 2-3x +3=1，移项、合并同类项，得x 2-3x +2=0，整理，得（x ，-1）（x -2）=0，解得x 1=1，x 2=2；故答案为：x 1=1，x 2=2；（2）根据题意知，y =（2-x ）2-（2-x ）（-1）+（-1）=x 2-5x +5=（x -52）2-54．所以，顶点坐标（52，−54）；故答案为：（52，−54）；（3）∵2☆a 的值小于0，∴22-2a +a ＜0，解得a ＞4．在方程-2x 2-bx +a =0中，∵Δ=（-b ）2+8a ≥8a ＞0，∴方程-2x 2-bx +a =0有两个不相等的实数根．故答案为：2．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解，二次函数的性质，抛物线与x 轴的交点，解题的关键是掌握新定义运算法则，难度不大．14．（2022秋·上海浦东新·九年级统考期末）定义：直线与抛物线两个交点之间的距离称作抛物线关于直线的“割距”，如图，线段MN 长就是抛物线关于直线的“割距”．已知直线3y x 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，点B 恰好是抛物线 2y x m n 的顶点，则此时抛物线关于直线y 的割距是．【答案】2【分析】先求出B 点坐标，从而求出抛物线解析式，然后求出直线与抛物线的两个交点，利用两点距离公式即可求出答案．【详解】解：∵B 直线3y x 与y 轴的交点，∴B 点坐标为（0，3），∵B 是抛物线 2y x m n 的顶点，∴抛物线解析式为23y x ，∴233y x y x，解得03x y或12x y ，∴直线3y x 与抛物线23y x 的两个交点坐标为（0，3），（1，2），∴抛物线关于直线y 的割距是2201322 ，故答案为：2．【点睛】本题主要考查了求一次函数与y 轴交点，二次函数与一次函数的交点，两点距离公式，二次函数图像的性质，熟知相关知识是解题的关键．15．（2022·山东济南·模拟预测）定义[a ，b ，c ]为二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的特征数，下面给出特征数为[2m ，1－m ，－1－m ]的函数的一些结论：①当m ≠0时，点(1，0)一定在函数的图象上；②当m ＞0时，函数图象截x 轴所得的线段长度大于32；③当m ＜0时，函数在14x 时，y 随x 的增大而减小；④当m ＞0，若抛物线的顶点与抛物线与x 轴两交点组成的三角形为等腰直角三角形，则13m ，正确的结论是．（填写序号）【答案】①②④【分析】根据函数特征数确定二次函数解析式为 2211y mx m x m ，当m ≠0时，把x =1代入函数，求得=0y 可判断①，当m ＞0时， 2211=0mx m x m ,求出121,12m x x m作差可判断②；当m ＜0时，20m <，抛物线开口向下，在对称轴右侧y 随x 的增大而减小，对称轴为111444x m可判断③；当m ＞0，若抛物线的顶点与抛物线与x 轴两交点组成的三角形为等腰直角三角形，根据两交点关于对称轴对称构造方程21+6+9312=82m m m m m，解得13m ，可判断④．【详解】解：由题意得：二次函数解析式为 2211y mx m x m当m ≠0时，x =1， 2112110y m m m m m m ∴点(1，0)一定在函数的图象上；故①正确；当m ＞0时， 2211=0mx m x m ,因式分解得 211=0mx m x 解得121,12m x x m函数图象截x 轴所得的线段长度=1+1313=+2222m m m 故②正确；当m ＜0时， 2211y mx m x m∴20m <，抛物线开口向下，在对称轴右侧y 随x 的增大而减小，对称轴为111124444b m x a m m 函数在14x时，可能x 在对称轴左侧，y 随x 的增大而增大；故③不正确；④当m ＞0，抛物线顶点的纵坐标为 2228114169488m m m ac b m m y a m m，由②知抛物线与x 轴的两个交点坐标为解得 10,102m m，，，∴两交点的距离为1311+=22m m m m∵抛物线的顶点与抛物线与x 轴两交点组成的三角形为等腰直角三角形，列方程得21+6+9312=82m m m m m 解得13m ，∵m ＞0，则13m ，经检验13m 符合题意，是原方程的根，故④正确；∴正确的结论是①②④．故答案为：①②④．【点睛】本题考查抛物线的特征数，利用特征数研究抛物线的性质过定点，交点间弦长，增减性，等腰直角三角形性质等知识，掌握以上知识，灵活应用数形结合的思想是解题关键．16．（2022·江苏·九年级专题练习）定义：在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，设点P 的坐标为 ,x y ，当x <0时，点P 的变换点P 的坐标为 ,x y ；当0x 时，点P 的变换点P 的坐标为 ,y x ．抛物线 22y x n 与x 轴交于点C ，D （点C 在点D 的左侧），顶点为E ，点P 在该抛物线上．若点P 的变换点P 在抛物线的对称轴上，且四边形ECP ′D 是菱形，则满足该条件所有n 值的和为．【答案】-13【分析】根据四边形ECP ′D 是菱形,点E 与点P′关于x 轴对称，可求P′（2，-n ）,根据变换当点P 在y 轴左侧，P （-2，-n ）,当点P 在y 轴右侧，P（-n ,-2），点P 在 22y x n 上， 222n n 或 222n n 解方程即可．【详解】解：∵四边形ECP ′D 是菱形,点E 与点P′关于x 轴对称，∵E （2，n ）,∴P′（2，-n ）,当点P 在y 轴左侧，0x ,P 的坐标为 ,x y ，点P 的变换点P 的坐标为 ,x y ；∴P （-2，-n ）,∵点P 在 22y x n 上，∴ 222n n ，∴18n ；当点P 在y 轴右侧，0x ,P 的坐标为 ,x y ，点P 的变换点P 的坐标为 ,y x ．∴P （-n ,-2），∵点P 在 22y x n 上，∴ 222n n ，整理得2560n n ，因式分解得 230n n ，解得232,3n n ；∴n =-8或-2或-3．∴-8-2-3=-13，故答案为-13．【点睛】本题考查点的变换，二次函数性质，菱形性质，掌握点的变换特征，二次函数性质，菱形性质是解题关键．17．（2022秋·山东菏泽·九年级校考期末）定义： ,,a b c 为二次函数2y ax bx c （0a ）的特征数，下面给出特征数为 ,1,2m m m 的二次函数的一些结论：①当1m 时，函数图象的对称轴是y 轴；②当2m 时，函数图象过原点；③当0m 时，函数有最小值；④如果0m ，当12x 时，y 随x 的增大而减小，其中所有正确结论的序号是．【答案】①②③．【分析】利用二次函数的性质根据特征数 ,1,2m m m ，以及m 的取值，逐一代入函数关系式，然判断后即可确定正确的答案．【详解】解：当1m 时，把1m 代入 ,1,2m m m ，可得特征数为 1,0,1∴1a ，0b ，1c ，∴函数解析式为21y x ，函数图象的对称轴是y 轴，故①正确；当2m 时，把2m 代入 ,1,2m m m ，可得特征数为 2,1,0 ∴2a ，1b =-，0c =，∴函数解析式为22y x x ，当0x 时，0y ，函数图象过原点，故②正确；函数212y mx m x m 当0m 时，函数 212y mx m x m 图像开口向上，有最小值，故③正确；当0m 时，函数 212y mx m x m 图像开口向下，对称轴为：1121112222m m m x m m ∴12x时，x 可能在函数对称轴的左侧，也可能在对称轴的右侧，故不能判断其增减性，故④错误；综上所述，正确的是①②③，故答案是：①②③．【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数的对称轴等知识点，牢记二次函数的基本性质是解题的关键．18．（2022·湖北武汉·统考一模）（定义[a,b,c]为函数的特征数,下面给出特征数为[2m,1－m,－1－m]的函数的一些结论：①当m ＝－3时,函数图象的顶点坐标是（13,83）;②当m>0时,函数图象截x 轴所得的线段长度大于32;③当m<0时,函数在14x时,y 随x 的增大而减小;④当m≠0时,函数图象经过x 轴上一个定点．其中正确的结论有．（只需填写序号）【答案】①②④．【详解】试题分析：因为函数y=ax 2+bx+c 的特征数为[2m,1﹣m,﹣1﹣m];①当m=﹣3时,y=﹣6x 2+4x+2=﹣6（x ﹣13）2+83,顶点坐标是（13,83）;此结论正确;②当m ＞0时,令y=0,有2mx 2+（1﹣m ）x+（﹣1﹣m ）=0,解得x=(1)(31)4m m m ,x 1=1,x 2=12mm,|x 2﹣x 1|=1313222m m m ＞32,所以当m ＞0时,函数图象截x 轴所得的线段长度大于32,此结论正确;③当m ＜0时,y=2mx 2+（1﹣m ）x+（﹣1﹣m ）是一个开口向下的抛物线,其对称轴是：14m m,在对称轴的右边y 随x 的增大而减小．因为当m ＜0时,14m m =1144m＞14,即对称轴在x=14右边,因此函数在x=14右边先递增到对称轴位置,再递减,此结论错误;④当x=1时,y=2mx 2+（1﹣m ）x+（﹣1﹣m ）=2m+（1﹣m ）+（﹣1﹣m ）="0"即对任意m,函数图象都经过点（1,0）那么同样的：当m=0时,函数图象都经过同一个点（1,0）,当m≠0时,函数图象经过同一个点（1,0）,故当m≠0时,函数图象经过x 轴上一个定点此结论正确．根据上面的分析,①②④都是正确的,③是错误的．故答案是①②④．考点：二次函数综合题．19．（2022秋·九年级单元测试）我们定义：关于x 的函数y =ax 2+bx 与y =bx 2+ax （其中a ≠b ）叫做互为交换函数．如y =3x 2+4x 与y =4x 2+3x 是互为交换函数．如果函数y =2x 2+bx 与它的交换函数图象顶点关于x 轴对称，那么b =．【答案】﹣2【分析】根据题意可以得到交换函数，由顶点关于x 轴对称，从而得到关于b 的方程，可以解答本题．【详解】解：由题意函数y =2x 2+bx 的交换函数为y =bx 2+2x ．∵y =2x 2+bx =222()48b b x ，y =bx 2+2x =211()b x b b，函数y =2x 2+bx 与它的交换函数图象顶点关于x 轴对称，∴﹣4b =﹣1b 且218b b，解得：b =﹣2．故答案为﹣2．【点睛】本题考查了二次函数的性质．理解交换函数的意义是解题的关键．20．（2022·全国·九年级假期作业）对于实数a ，b ，定义新运算“ ”：a b= 22a ab a b b ab a b；若关于x 的方程 211x x t 恰好有两个不相等的实根，则t 的值为．【答案】2.25或0【分析】令y= 211x x ，并画出函数的图象，根据函数图象的交点个数就是对应的方程根的个数，即可得到直线y=t 与函数y 的图象的位置关系，进而即可求解．【详解】∵当 211x x 时，即：2x 时， 2221121211252x x x x x x x ，当 211x x 时，即：2x 时， 2221112112x x x x x x x ，∴令y= 211x x = 22222252x x x x x x，画出函数图象，从图象上观察当关于x 的方程 211x x t 恰好有两个不相等的实根时，函数y 的图象与直线y=t 有两个不同的交点，即直线y=t 过抛物线y=22x x 的顶点或直线y=t 与x 轴重合．∴t=2.25或t=0．故答案是：2.25或0．【点睛】本题主要考查函数图象的交点与方程的根的关系，掌握二次函数的图象和性质，学会画二次函数的图象，理解函数图象的交点个数就是对应的方程根的个数，是解题的关键．21．（2023·江苏南通·统考二模）定义：在平面直角坐标系xOy 中，对于某函数图象上的一点P ，先向右平移1个单位长度，再向上平移 0n n 个单位长度得到点Q ，若点Q 也在该函数图象上，则称点P 为该函数图象的“n 倍平点”．(1)函数①2y x ；②2y x ；③2y x 中，其图象存在“2倍平点”的是_______（填序号）；(2)若反比例函数2y x，图象恰有1个“n 倍平点”，求n 的值；(3)求函数22430430x x x y x x x图象的“3倍平点”的坐标．【答案】(1)②(2)8n (3) 4,3 或3,0【分析】（1）根据函数图象的“n 倍平点”的定义逐个进行判断即可；（2）设2,P a a，则21,Q a n a ，把21,Q a n a代入2y x 得220na na ，根据图象恰有1个“n倍平点”，得出280n n ，即可求出答案；（3）当0x 时，243y x x ，当0x 时，243y x x ，分两种情况，根据函数图象的“n 倍平点”的定义分别计算即可得出结论．【详解】（1）当2n 时，①设 ,2P a a ，则 1,22Q a a ，当1x a 时， 2212222y x a a a ，∴点Q 不在2y x 的图象上．∴该函数图象不存在“2倍平点”．②设 ,2P a a ，则 1,22Q a a ，当1x a 时， 22122y x a a ，∴点Q 在2y x 的图象上．∴该函数图象存在“2倍平点”．③设 ,2P a a ，则 1,4Q a a ，当1x a 时，21234y x a a a ，∴点Q 不在2y x 的图象上．∴该函数图象不存在“2倍平点”．故答案是②；（2）设2,P a a，则21,Q a n a，把21,Q a n a代入2y x 得，221n a a ，即220na na ，∵图象恰有1个“n 倍平点”，∴280n n ．∴120,8n n ．∵0n ，∴8n ．（3）当0x 时，243y x x ，设 2,43P a a a ，则 21,46Q a a a ，把 21,46Q a a a 代入243y x x 得，22461413a a a a ，解得：3a ，∴14a ，2463a a ．∴ 4,3Q ， 3,0P ．当0x 时，243y x x ，设 2,43P b b b ，则 21,4Q b b b ，把 21,4Q b b b 代入243y x x 得，2241413b b b b ，解得：4b ，∴13b ，240b b ．∴ 3,0Q ， 4,3P ．综上所述，函数22430430x x x y x x x图象的“3倍平点”的坐标是 4,3 或 3,0．【点睛】本题主要考查了新定义，正确理解新定义：函数图象的“n 倍平点”是解题的关键．22．（2023·贵州遵义·统考三模）定义：二次项系数之和为1，对称轴相同，且图象与y 轴交点也相同的两个二次函数互为友好同轴二次函数．例如：2245y x x 的友好同轴二次函数为225y x x ．(1)函数2221y x x 的对称轴为__________．其友好同轴二次函数为__________．(2)已知二次函数21:44C y ax ax （其中0a 且1a 且12a），其友好同轴二次函数记为2C ．①若函数1C 的图象与函数2C 的图象交于A 、B 两点（点A 的横坐标小于点B 的横坐标），求线段AB 的长；②当30x 时，函数2C 的最大值与最小值的差为8，求a 的值．【答案】(1)直线12x ，2331y x x (2)①4；②1 或3【分析】（1）将函数画出顶点式即可得函数的对称轴，再根据友好同轴二次函数的定义求解即可得；（2）①根据友好同轴二次函数的定义求出函数2C ，联立函数1C ，2C ，解方程可求出点,A B 的坐标，由此即可得；②分1a 且0a 且12a、1a 两种情况，利用二次函数的性质求解即可得．【详解】（1）解：函数2213y 2x 2x 12x 22的对称轴为直线12x ，因为 123 ，所以设函数2221y x x 的友好同轴二次函数为221333324y x m x x m，所以314m ，解得14m ，所以函数2221y x x 的友好同轴二次函数为2331y x x ，故答案为：直线12x，2331y x x ．（2）解：①二次函数 221444:24C y ax ax a x a ，则设 22212141:44C y a x b a x a x a b ，所以444a b ，解得4b a ，所以 22:1414C y a x a x ，联立 22441414y ax ax y a x a x 得： 2214210a x a x ，解得0x 或4x ，当0x 时，4y ；当4x 时，161644y a a ，所以 4,4,0,4A B ，所以 044AB ；②函数 22214141:24C y a x a x a x a 的对称轴为直线2x ，（Ⅰ）当1a 且0a 且12a时，抛物线的开口向上，当32x ≤≤时，y 随x 的增大而减小；当20x 时，y 随x 的增大而增大，则当2x 时，y 取得最小值，最小值为4a ，当0x 时，y 取得最大值，最大值为4，所以448a ，解得1a ，符合题设；（Ⅱ）当1a 时，抛物线开口向下，当32x ≤≤时，y 随x 的增大而增大；当20x 时，y 随x 的增大而减小，则当2x 时，y 取得最大值，最大值为4a ，当0x 时，y 取得最小值，最小值为4，所以448a ，解得3a ，符合题设；综上，a 的值为1 或3．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，掌握理解友好同轴二次函数的定义是解题关键．23．（2021春·贵州贵阳·九年级贵阳市第二实验中学校考阶段练习）定义：同时经过x 轴上两点 ,0A m ， ,0B n m n 的两条抛物线称为同弦抛物线．如抛物线1C ： 13y x x 与抛物线2C ：213y x x 是都经过 1,0， 3,0的同弦抛物线．(1)任意写出一条抛物线1C 的同弦抛物线3C ．(2)已知抛物线4C 是1C 的同弦抛物线，且过点 4,5，求抛物线4C 对应函数的最大值或最小值．【答案】(1) 3:313C y x x （答案不唯一）(2)最小值为53。

1 / 2中考数学专题训练：关于二次函数的新定义（附参考答案）1．若将抛物线平移，有一个点既在平移前的抛物线上，又在平移后的抛物线上，则称这个点为“平衡点”．现将抛物线C1：y ＝(x －2)2－4向右平移m(m ＞0)个单位长度后得到新的抛物线C2，若(4，n)为“平衡点”，则m 的值为( )A ．2B ．1C ．4D ．32．新定义：[a ，b ，c]为二次函数y ＝ax2＋bx ＋c(a ≠0，a ，b ，c 为实数)的“图象数”，如：y ＝x2－2x ＋3的“图象数”为[1，－2，3].若“图象数”是[m ，2m ＋4，2m ＋4]的二次函数的图象与x 轴只有一个交点，则m 的值为( )A ．－2B ．14C ．－2或2D ．23．定义：在平面直角坐标系中，过一点P 分别作坐标轴的垂线，这两条垂线与坐标轴围成一个矩形，若矩形的周长值与面积值相等，则点P 叫做“和谐点”，所围成的矩形叫做“和谐矩形”．已知点P 是抛物线y ＝x2＋k 上的“和谐点”，所围成的“和谐矩形”的面积为16，则k 的值可以是( )A ．16B ．4C ．－12D ．－184．定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如图，在正方形OABC 中，点A(0，2)，点C(2，0)，则互异二次函数y ＝(x －m)2－m 与正方形OABC 有交点时m 的最大值和最小值分别是( )A ．4，－1B ．5−√172，－1 C ．4，0 D ．5+√172，－15．定义：[a ，b ，c]为二次函数y ＝ax2＋bx ＋c(a ≠0)的特征数，下面给出特征数为[m ，1－m ，2－m]的二次函数的一些结论：①当m ＝1时，函数图象的对称轴是y 轴；②当m ＝2时，函数图象过原点；③当m ＞0时，函数有最小值；④如果m ＜0，当x ＞12时，y 随x 的增大而减小．其中所有正确结论的序号是__________．6．定义：在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，设点P 的坐标为(x ，y)，当x ＜0时，点P 的变换点P ′的坐标为(－x ，y)；当x ≥0时，点P 的变换点P ′的坐标为(－y ，x)．抛物线y ＝(x －2)2＋n 与x 轴交于点C ，D(点C 在点D 的左侧)，顶点为E ，点P 在该抛物线上．若点P 的变换点P ′在抛物线的对称轴上，且四边形ECP ′D 是菱形，则满足该条件的所有n 值的和为________．7．对某一个函数给出如下定义：若存在实数m ＞0，对于任意的函数值y ，都满足－m ≤y ≤m ，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的m 中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，2 / 2 如图中的函数是有界函数，其边界值是1.将函数y ＝－x2＋1(－2≤x ≤t ，t ≥0)的图象向上平移t 个单位长度，得到的函数的边界值n 满足94≤n ≤52时，则t 的取值范围是________________________．参考答案1．C 2．C3．C 4．D 5．①②③ 6．－13 7．≤t ≤34或54≤t ≤32。

【中考数学压轴题专题突破11】二次函数中的新定义问题-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN【中考压轴题专题突破】二次函数中的新定义问题1．定义：在平面直角坐标系中，图形G上点P（x，y）的纵坐标y与其横坐标x的差y﹣x称为点P的“坐标差”，而图形G上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形G的“特征值”．（1）求点A（2，1）的“坐标差”和抛物线y＝﹣x2+3x+4的“特征值”．（2）某二次函数＝﹣x2+bx+c（c≠0）的“特征值”为﹣1，点B与点C分别是此二次函数的图象与x轴和y轴的交点，且点B与点C的“坐标差”相等，求此二次函数的解析式．（3）如图所示，二次函数y＝﹣x2+px+q的图象顶点在“坐标差”为2的一次函数的图象上，四边形DEFO是矩形，点E的坐标为（7，3），点O为坐标原点，点D在x轴上，当二次函数y＝﹣x2+px+q的图象与矩形的边有四个交点时，求p的取值范围．2．定义：我们把点（m，m）称为直线y＝﹣x+m（其中m为常数）的“对应点”比如，直线y＝﹣x+5的“对应点”为（5，5）．在平面直角坐标系xOy 中，（1）若抛物线y＝ax2经过直线y＝﹣x+3的“对应点”A，请指出该抛物线的开口方向，并说明理由；（2）设点P在曲线y＝（x＞0）上，直线l：y＝﹣x+m的“对应点”为点B，连接PB，记点P到直线l的距离为d（d为正实数）①当m＝2，k＝2，且d＝时，求点P的坐标；②当m＝1，k＝时，求BP的长（用含d的式子表示）．3．我们定义：两个二次项系数之和为1，对称轴相同，且图象与y轴交点也相同的二次函数互为友好同轴二次函数．例如：y＝2x2+4x﹣5的友好同轴二次函数为y＝﹣x2﹣2x﹣5．（1）请你分别写出y＝﹣，y＝+x﹣5的友好同轴二次函数；（2）满足什么条件的二次函数没有友好同轴二次函数满足什么条件的二次函数的友好同轴二次函数是它本身（3）如图，二次函数L1：y＝ax2﹣4ax+1与其友好同轴二次函数L2都与y轴交于点A，点B、C分别在L1、L2上，点B，C的横坐标均为m（0＜m＜2），它们关于L1的对称轴的对称点分别为B′，C′，连结BB′，B′C′，C′C，CB．①若a＝3，且四边形BB′C′C为正方形，求m的值；②若m＝1，且四边形BB′C′C的邻边之比为1：2，直接写出a的值．4．定义：给定两个函数，我们约定：任取自变量x的一个值，当x＜0时，另一个函数对应的函数值比原函数的函数值大1；当x≥0时，另一个函数对应的函数值比原函数的函数值小1，我们称这样的两个函数互为伴随函数．例如：一次函数y＝2x+3．它的伴随为y＝（1）已知点M（3，6）在一次函数y＝ax﹣2的伴随函数的图象上时，求a 的值；（2）已知二次函数y＝﹣x2+4x﹣3①当点N（m，﹣3）在这个函数的伴随函数的图象上时，求m的值；②当﹣2≤x≤3时，求函数y＝﹣x2+4x﹣3的伴随函数的最大值和最小值；（3）在平面直角坐标系中，点A、D的坐标分别为（﹣1，﹣1）、（﹣1，2），连接AD，以AD为边向右作正方形ABCD．直接写出正方形ABCD与二次函数y＝﹣x2+4x+n的伴随函数的图象有两个公共点时n的取值范围．5．定义：若函数y＝x2+bx+c（c≠0）与x轴的交点A，B的横坐标为x A，x B，与y轴交点的纵坐标为y C，若x A，x B中至少存在一个值，满足x A＝y C（或x B ＝y C），则称该函数为友好函数．如图，函数y＝x2+2x﹣3与x轴的一个交点A的横坐标为3，与y轴交点C的纵坐标为﹣3，满足x A＝y C，称y＝x2+2x ﹣3为友好函数．（1）判断y＝x2﹣4x+3是否为友好函数，并说明理由；（2）请探究友好函数y＝x2+bx+c表达式中的b与c之间的关系；（3）若y＝x2+bx+c是友好函数，且∠ACB为锐角，求c的取值范围．6．在平面直角坐标系xOy中，对于点P（a，b）和点Q（a，b'），给出如下定义：若b'＝，则称点Q为点P的限变点．例如：点（3，﹣2）的限变点的坐标是（3，﹣2），点（﹣1，5）的限变点的坐标是（﹣1，﹣5）．（1）①点（﹣，1）的限变点的坐标是；②在点A（﹣1，2），B（﹣2，﹣1）中有一个点是函数y＝图象上某一个点的限交点，这个点是；（2）若点P在函数y＝﹣x+3的图象上，当﹣2≤x≤6时，求其限变点Q的纵坐标b'的取值范围；（3）若点P在关于x的二次函数y＝x2﹣2tx+t2+t的图象上，其限变点Q的纵坐标b'的取值范围是b'≥m或b'＜n，其中m＞n．令s＝m﹣n，求s关于t 的函数解析式及s的取值范围．【中考压轴题专题突破】二次函数中的新定义问题参考答案与试题解析1．解：（1）1﹣2＝﹣1，故“坐标差”为﹣1，y﹣x＝﹣x2+3x+4﹣x＝﹣（x﹣1）2+5，故“特征值”为5；（2）由题意得：点C（0，c），故点B、C的“坐标差”相等，故点B（﹣c，0），把点B的坐标代入y＝﹣x2+bx+c得：0＝﹣（﹣c）2+b（﹣c）+c，解得：b＝1﹣c，故：y＝﹣x2+（1﹣c）x+c，故抛物线的“特征值”为﹣1，∴y﹣x＝﹣x2+（1﹣c）x+c﹣x＝﹣x2﹣cx+c，故＝﹣1．∴c＝﹣2，b＝3，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+3x﹣2；（3）“坐标差”为2的一次函数为：y＝x+2，∵抛物线y＝﹣x2+px+q的图象的顶点在y＝x+2上，∴设抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣m）2+m+2，当抛物线与矩形有3个交点时，如图1、2，对于图1，直线与矩形边的交点为：（1，3），则对称轴为：﹣＝1，解得：p＝2，对于图2，把点E（7，3）代入y＝﹣（x﹣m）2+m+2并解得：m＝5或10（舍去10），故﹣＝5，解得：p＝10，故二次函与矩形的边有四个交点时，求p的取值范围：2＜p＜10．2．解：（1）点A（3，3），将点A的坐标代入抛物线表达式并解：a＝0，故抛物线的开口向上；（2）过点P作PH∥y轴交直线l于点H，则∠DPH＝45°，则PH＝d，设点P（s，t），则点H（s，﹣s+m），则st＝k，PH＝t﹣（﹣s+m），①当m＝2，k＝2，且d＝时，反比例函数表达式为：y＝，设点P（x，），d＝，PH＝2，即|+x﹣2|＝2，解得：x＝2，故点P（2，2）；②PH＝t+s﹣1＝d，且st＝，则1＝2st，PB2＝（s﹣1）2+（t﹣1）2＝s2+t2﹣2（s+t）+2＝（s+t）2﹣2（s+t）+1＝（s+t﹣1）2，故PB＝d．3．解：（1）∵1﹣（﹣）＝，∴函数y＝﹣的友好同轴二次函数为y＝x2；∵1﹣＝，1×（÷）＝2，∴函数y＝+x﹣5的友好同轴二次函数为y＝x2+2x﹣5．（2）∵1﹣1＝0，∴二次项系数为1的二次函数没有友好同轴二次函数；∵1÷2＝，∴二次项系数为的二次函数的友好同轴二次函数是它本身．（3）二次函数L1：y＝ax2﹣4ax+1的对称轴为直线x＝﹣＝2，其友好同轴二次函数L2：y＝（1﹣a）x2﹣4（1﹣a）x+1．①∵a＝3，∴二次函数L1：y＝ax2﹣4ax+1＝3x2﹣12x+1，二次函数L2：y＝（1﹣a）x2﹣4（1﹣a）x+1＝﹣2x2+8x+1，∴点B的坐标为（m，3m2﹣12m+1），点C的坐标为（m，﹣2m2+8m+1），∴点B′的坐标为（4﹣m，3m2﹣12m+1），点C′的坐标为（4﹣m，﹣2m2+8m+1），∴BC＝﹣2m2+8m+1﹣（3m2﹣12m+1）＝﹣5m2+20m，BB′＝4﹣m﹣m＝4﹣2m．∵四边形BB′C′C为正方形，∴BC＝BB′，即﹣5m2+20m＝4﹣2m，解得：m1＝，m2＝（不合题意，舍去），∴m的值为．②当m＝1时，点B的坐标为（1，﹣3a+1），点C的坐标为（1，3a﹣2），∴点B′的坐标为（3，﹣3a+1），点C′的坐标为（3，3a﹣2），∴BC＝|3a﹣2﹣（﹣3a+1）|＝|6a﹣3|，BB′＝3﹣1＝2．∵四边形BB′C′C的邻边之比为1：2，∴BC＝2BB′或BB′＝2BC，即|6a﹣3|＝2×2或2＝2|6a﹣3|，解得：a1＝﹣，a2＝，a3＝，a4＝，∴a的值为﹣、、或．4．解：（1）由已知一次函数y＝ax﹣2的伴随函数为y＝∵M（3，6）∴代入y＝ax﹣3，得6＝3a﹣3∴a＝3（2）由已知二次函数y＝﹣x2+4x﹣3的伴随函数为y＝①当m＜0时，代入y＝﹣x2+4x﹣2，得﹣3＝﹣m2+4m﹣2解得m1＝2+（舍去），m2＝2﹣当m≥0时，代入y＝﹣x2+4x﹣2，得﹣3＝﹣m2+4m﹣4解得m3＝2+m3＝2﹣故m的值为2﹣、2+或2﹣②当3≥x≥0时，抛物线y＝﹣x2+4x﹣4的顶点为最高点∴函数最大值为0当∵a＝﹣1∴抛物线开口向下∴当﹣2≤x＜0时，x＝﹣2函数有最小值为﹣（﹣2）2+4×（﹣2）﹣2＝﹣14（3）3＜n＜6或0＜n＜1或﹣4＜n＜﹣2理由：由已知二次函数y＝﹣x2+4x+n的伴随函数为y＝设AB边、DC边与y轴交点为分别为F、E则E点坐标为（0，2），F点坐标为（0，﹣1）①若y＝﹣x2+4x+n+1过点D，则代入D（﹣1，2）求得n＝6，则x≥0时，y＝﹣x2+4x+n﹣1＝﹣x2+4x+5与y轴交点为（0，5）此时二次函数y＝﹣x2+4x+n的伴随函数与正方形ABCD有一个交点②若y＝﹣x2+4x+n+1过点A，则代入A（﹣1，﹣1）可求得n＝3，则x≥0时，y＝﹣x2+4x+n﹣1＝﹣x2+4x+2与y轴交点为（0，2）则此时二次函数y＝﹣x2+4x+n的伴随函数与正方形ABCD有3个交点③若y＝﹣x2+4x+n+1过点E（0，2），则代入E（0，2）则n＝1，则x≥0时，y＝﹣x2+4x+n﹣1＝﹣x2+4x与y轴交点为（0，0）则此时，此时二次函数y＝﹣x2+4x+n的伴随函数与正方形ABCD有3个交点④若y＝﹣x2+4x+n﹣1过点F（0，﹣1），则代入F（0，﹣1）则n＝0，则x＜0时，y＝﹣x2+4x+n+1＝﹣x2+4x+1与y轴交点为（0，1）则此时二次函数y＝﹣x2+4x+n的伴随函数与正方形ABCD有3个交点⑤若y＝﹣x2+4x+n+1过点F（0，﹣1），则代入F（0，﹣1）则n＝﹣2，则y＝﹣x2+4x+n﹣1＝﹣x2+4x﹣3与y轴交点为（0，﹣3）则此时二次函数y＝﹣x2+4x+n的伴随函数与正方形ABCD有3个交点⑥若y＝﹣x2+4x+n﹣1过点B（2，﹣1），则代入B（2，﹣1）则n＝﹣4则x＜0时，y＝﹣x2+4x+n+1＝﹣x2+4x﹣3y轴交点为（0，﹣3）则此时二次函数y＝﹣x2+4x+n的伴随函数与正方形ABCD有1交点综上所述，正方形ABCD与二次函数y＝﹣x2+4x+n的伴随函数的图象有两个公共点时的n取值范围为3＜n＜6或0＜n≤1或﹣4＜n≤﹣25．解：（1）y＝x2﹣4x+3是友好函数，理由如下：当x＝0时，y＝3；当y＝0时，x＝1或3，∴y＝x2﹣4x+3与x轴一个交点的横坐标和与y轴交点的纵坐标都是3，∴y＝x2﹣4x+3是友好函数；（2）当x＝0时，y＝c，即与y轴交点的纵坐标为c，∵y＝x2+bx+c是友好函数，∴x＝c时，y＝0，即（c，0）在y＝x2+bx+c上，代入得：0＝c2+bc+c，∴0＝c（c+b+1），而c≠0，∴b+c＝﹣1；（3）①如图1，当C在y轴负半轴上时，由（2）可得：c＝﹣b﹣1，即y＝x2+bx﹣b﹣1，显然当x＝1时，y＝0，即与x轴的一个交点为（1，0），则∠ACO＝45°，∴只需满足∠BCO＜45°，即BO＜CO∴c＜﹣1；②如图2，当C在y轴正半轴上，且A与B不重合时，∴显然都满足∠ACB为锐角，∴c＞0，且c≠1；③当C与原点重合时，不符合题意，综上所述，c＜﹣1或c＞0，且c≠1．6．解：（1）①根据限变点的定义可知点点（﹣，1）的限变点的坐标为（﹣，﹣1）；故答案是：（﹣，﹣1）；②（﹣1，﹣2）限变点为（﹣1，2），即这个点是点A．故答案是：A；（2）依题意，y＝﹣x+3（x≥﹣2）图象上的点P的限变点Q必在函数y＝的图象上．当x＝﹣2时，y＝﹣2﹣3＝﹣5，当x＝1时，y＝﹣1+3＝2，当x＝6时，y＝﹣6+3＝﹣3，∴当﹣2≤x≤6时，﹣5≤b′≤2；（3）∵y＝x2﹣2tx+t2+t＝（x﹣t）2+t，∴顶点坐标为（t，t）．若t＜1，b′的取值范围是b′≥m或b′＜n，与题意不符．若t≥1，当x≥1时，y的最小值为t，即m＝t；当x＜1时，y的值小于﹣[（1﹣t）2+t]，即n＝﹣[（1﹣t）2+t]．∴s＝m﹣n＝t+（1﹣t）2+t＝t2+1．∴s关于t的函数解析式为s＝t2+1（t≥1），当t＝1时，s取最小值2，∴s的取值范围是s≥2．。

2024中考数学新定义及探究题专题《二次函数及新定义》（学生版）【类型1二次函数问题中的新定义问题】1．（2023春·山东济南·九年级统考期末）新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点．若二次函数（c为常数）在的图象上存在两个二倍点，则c的取值范围是（）A．B．C．D．2．（2023春·湖北咸宁·九年级统考期中）定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．若互异二次函数的对称轴为直线x＝1且图象经过点（﹣1，0），则这个互异二次函数的二次项系数是（）A．B．C．1D．﹣13．（2023春·广西南宁·九年级统考期中）新定义：在平面直角坐标系中，对于点P（m，n）和点P′（m，n′），若满足m≥0时，n′=n-4；m＜0时，n′=-n，则称点P′（m，n′）是点P（m，n）的限变点．例如：点P1（2，5）的限变点是P1′（2，1），点P2（-2，3）的限变点是P2′（-2，-3）．若点P（m，n）在二次函数y=-x2+4x+2的图象上，则当-1≤m≤3时，其限变点P′的纵坐标n'的取值范围是（）A．B．C．D．4．（2023春·湖南长沙·九年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考期末）定义：我们不妨把纵坐标是横坐标2倍的点称为“青竹点”．例如：点、……都是“青竹点”．显然，函数的图象上有两个“青竹点”：和．(1)下列函数中，函数图象上存在“青竹点”的，请在横线上打“√”，不存在“青竹点”的，请打“×”．①________；②________；③________．(2)若抛物线（m为常数）上存在两个不同的“青竹点”，求m的取值范围；(3)若函数的图象上存在唯一的一个“青竹点”，且当时，a的最小值为c，求c的值．5．（2023春·江苏泰州·九年级统考期中）定义：两个二次项系数之和为，对称轴相同，且图像与轴交点也相同的二次函数互为友好同轴二次函数.例如：的友好同轴二次函数为．(1)函数的友好同轴二次函数为．(2)当时，函数的友好同轴二次函数有最大值为，求的值．(3)已知点分别在二次函数及其友好同轴二次函数的图像上，比较的大小，并说明理由．6．（2023春·浙江金华·九年级校考期中）定义：若抛物线y＝ax2+bx+c与x轴两交点间的距离为4，称此抛物线为定弦抛物线．(1)判断抛物线y＝x2+2x﹣3是否是定弦抛物线，请说明理由；(2)当一定弦抛物线的对称轴为直线x＝1，且它的图像与坐标轴的交点间的连线所围成的图形是直角三角形，求该抛物线的表达式；(3)若定弦抛物线y＝x2+bx+c（b＜0）与x轴交于A、B两点（A在B左边），当2≤x≤4时，该抛物线的最大值与最小值之差等于OB之间的距离，求b的值．7．（2023春·浙江·九年级期末）定义：若抛物线与抛物线．同时满足且，则称这两条抛物线是一对“共轭抛物线”．(1)已知抛物线与是一对共轭抛物线，求的解析式；(2)如图1，将一副边长为的正方形七巧板拼成图2的形式，若以BC中点为原点，直线BC为x轴建立平面直角坐标系，设经过点A，E，D的抛物线为，经过A、B、C的抛物线为，请立接写出、的解析式并判断它们是否为一对共轭抛物线．8．（2023春·湖南长沙·九年级校联考期末）定义：如果抛物线与轴交于点，，那么我们把线段叫做雅礼弦，两点之间的距离称为抛物线的雅礼弦长．(1)求抛物线的雅礼弦长；(2)求抛物线的雅礼弦长的取值范围；(3)设，为正整数，且，抛物线的雅礼弦长为，抛物线的雅礼弦长为，，试求出与之间的函数关系式，若不论为何值，恒成立，求，的值．9．（2023春·河南濮阳·九年级统考期中）小明在课外学习时遇到这样一个问题：定义：如果二次函数y=a1x2+b1x+c1（a1≠0）与y=a2x2+b2x+c2（a2≠0）满足a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，则称这两个函数互为“旋转函数”．求函数y=x2-3x-2的“旋转函数”．小明是这样思考的：由函数y=x2-3x-2可知，a1=1，b1=-3，c1=-2，根据a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，求出a2，b2，c2，就能确定这个函数的“旋转函数”．请参考小明的方法解决下面问题：(1)直接写出函数y=x2-3x-2的“旋转函数”；(2)若函数与y=x2-2nx+n互为“旋转函数”，求(m+n)2020的值；(3)已知函数的图象与x轴交于点A、B两点（A在B的左边），与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分别是A1，B1，C1，试证明经过点A1，B1，C1的二次函数与函数互为“旋转函数”10．（2023春·山西大同·九年级统考期中）请阅读下列材料，并完成相应的任务：定义：我们把自变量为的二次函数与（，）称为一对“亲密函数”，如的“亲密函数”是．任务：（1）写出二次函数的“亲密函数”：______；（2）二次函数的图像与轴交点的横坐标为1和，它的“亲密函数”的图像与轴交点的横坐标为______，猜想二次函数（）的图像与轴交点的横坐标与其“亲密函数”的图像与轴交点的横坐标之间的关系是______；（3）二次函数的图像与轴交点的横坐标为1和，请利用（2）中的结论直接写出二次函数的图像与轴交点的横坐标．【类型2二次函数与一次函数综合问题中的新定义问题】1．（2023春·九年级课时练习）定义：由a，b构造的二次函数叫做一次函数y＝ax＋b的“滋生函数”，一次函数y＝ax＋b叫做二次函数的“本源函数”（a，b为常数，且）．若一次函数y＝ax＋b的“滋生函数”是，那么二次函数的“本源函数”是．2．（2023春·浙江湖州·九年级统考期中）定义：如果函数图象上存在横､纵坐标相等的点，则称该点为函数的不动点．例如，点是函数的不动点．已知二次函数（是实数）．(1)若点是该二次函数的一个不动点，求的值；(2)若该二次函数始终存在不动点，求的取值范围．3．（2023·安徽·模拟预测）已知函数与函数，定义“和函数”．(1)若，则“和函数”；(2)若“和函数”为，则，；(3)若该“和函数”的顶点在直线上，求．4．（2023·北京·模拟预测）城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系，对两点和，用以下方式定义两点间距离：．(1)①已知点，则______．②函数的图象如图①所示，是图象上一点，，求点的坐标．(2)函数的图象如图②所示，是图象上一点，求的最小值及对应的点的坐标．5．（2023春·上海·九年级上海市民办新复兴初级中学校考期中）我们定义【，，】为函数的“特征数”，如：函数的“特征数”是【2，，5】，函数的“特征数”是【0，1，2】(1)若一个函数的“特征数”是【1，，1】，将此函数图像先向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得到一个图像对应的函数“特征数”是______；(2)将“特征数”是【0，，】的图像向上平移2个单位，得到一个新函数，这个函数的解析式是______；(3)在（2）中，平移前后的两个函数图像分别与轴交于A、两点，与直线分别交于、两点，在给出的平面直角坐标系中画出图形，并求出以A、、、四点为顶点的四边形的面积；(4)若（3）中的四边形与“特征数”是【1，，】的函数图像有交点，求满足条件的实数的取值范围．6．（2023春·福建龙岩·九年级校考期末）定义：对于给定的两个函数，任取自变量x的一个值，当x<0时，它们对应的函数值互为相反数；当x≥0时，它们对应的函数值相等．我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：一次函数，它的相关函数为(1)已知点A（-2，1）在一次函数的相关函数的图象上时，求a的值．(2)已知二次函数．当点B（m，）在这个函数的相关函数的图象上时，求m的值．7．（2023春·江苏南通·九年级统考期末）定义：若图形与图形有且只有两个公共点，则称图形与图形互为“双联图形”，即图形是图形的“双联图形”，图形是图形的“双联图形”．(1)若直线与抛物线互为“双联图形”，且直线不是双曲线的“双联图形”，求实数的取值范围；(2)如图2，已知，，三点．若二次函数的图象与互为“双联图形”，直接写出的取值范围．8．（2023春·北京·九年级北京市第三中学校考期中）定义：在平面直角坐标系中，图形G 上点P（x，y）的纵坐标y与其横坐标x的差y﹣x称为P点的“坐标差”，而图形G上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形G的“特征值”．（1）①点A（1，3）的“坐标差”为；②抛物线y＝﹣x2+3x+3的“特征值”为；（2）某二次函数y＝﹣x2+bx+c（c≠0）的“特征值”为1，点B（m，0）与点C分别是此二次函数的图象与x轴和y轴的交点，且点B与点C的“坐标差”相等．①直接写出m＝；（用含c的式子表示）②求b的值．9．（2023春·北京·九年级人大附中校考期中）对某一个函数给出如下定义：若存在实数，对于任意的函数值，都满足，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，如图中的函数是有界函数，其边界值是．(1)直接写出有界函数的边界值；(2)已知函数是有界函数，且边界值为3，直接写出的最大值；(3)将函数的图象向下平移个单位，得到的函数的边界值是，直接写出的取值范围，使得．10．（2023春·湖南长沙·九年级校考期中）若定义：若一个函数图像上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该函数称为“明德函数”，该点称为“明德点”，例如：“明德函数”，其“明德点”为（1，2）．(1)①判断：函数__________“明德函数”（填“是”或“不是”）；②函数的图像上的明德点是___________；(2)若抛物线上有两个“明德点”，求m的取值范围；(3)若函数的图像上存在唯一的一个“明德点”，且当时，的最小值为，求的值．【类型3二次函数与几何图形综合问题中的新定义问题】1．（2023春·四川绵阳·九年级统考期末）定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如图，在正方形中，点，点，则互异二次函数与正方形有交点时的最大值和最小值分别是（）A．4，-1B．，-1C．4，0D．，-1 2．（2023春·山东济南·九年级统考期末）定义：关于x轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫作“同轴对称抛物线”．例如：y1＝（x﹣1）2﹣2的“同轴对称抛物线”为y2＝﹣（x﹣1）2+2．（1）请写出抛物线y1＝（x﹣1）2﹣2的顶点坐标；及其“同轴对称抛物线”y2＝﹣（x﹣1）2+2的顶点坐标；（2）求抛物线y＝﹣2x2+4x+3的“同轴对称抛物线”的解析式．（3）如图，在平面直角坐标系中，点B是抛物线L：y＝ax2﹣4ax+1上一点，点B的横坐标为1，过点B作x轴的垂线，交抛物线L的“同轴对称抛物线”于点C，分别作点B、C关于抛物线对称轴对称的点、，连接BC、、、．①当四边形为正方形时，求a的值．②当抛物线L与其“同轴对称抛物线”围成的封闭区域内（不包括边界）共有11个横、纵坐标均为整数的点时，直接写出a的取值范围．3．（2023春·北京门头沟·九年级大峪中学校考期中）定义：对于平面直角坐标系上的点和抛物线，我们称是抛物线的相伴点，抛物线是点的相伴抛物线．如图，已知点，，．（1）点的相伴抛物线的解析式为______；过，两点的抛物线的相伴点坐标为______；（2）设点在直线上运动：①点的相伴抛物线的顶点都在同一条抛物线上，求抛物线的解析式．②当点的相伴抛物线的顶点落在内部时，请直接写出的取值范围．4．（2023春·浙江绍兴·九年级校联考期中）定义：如图1，抛物线与x轴交于A，B两点，点P在该抛物线上(P点与A．B两点不重合)，如果△ABP中PA与PB两条边的三边满足其中一边是另一边倍，则称点P为抛物线的“好”点．（1）命题：P(0，3)是抛物线的“好”点．该命题是_____（真或假）命题．（2）如图2，已知抛物线C:与轴交于A，B两点，点P(1，2)是抛物线C的“好”点，求抛物线C的函数表达式．=S△AB P的Q点(异于点P)的（3）在（2）的条件下，点Q在抛物线C上，求满足条件S△ABQ坐标．5．（2023·安徽安庆·九年级统考期末）在平面直角坐标系中，我们定义直线y=ax-a为抛物线y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的“梦想直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y轴上的三角形为其“梦想三角形”．已知抛物线y=-与其“梦想直线”交于A、B两点（点A在点B的左侧），与x轴负半轴交于点C．（1）填空：该抛物线的“梦想直线”的解析式为______，点A的坐标为______，点B的坐标为______．（2）如图，点M为线段CB上一动点，将△ACM以AM所在直线为对称轴翻折，点C的对称点为N，若△AMN为该抛物线的“梦想三角形”，求点M的坐标．6．（2023春·湖南长沙·九年级统考期中）定义：在线段MN上存在点P、Q将线段MN分为相等的三部分，则称P、Q为线段MN的三等分点．已知一次函数y＝﹣x+3的图象与x、y轴分别交于点M、N，且A、C为线段MN的三等分点（点A在点C的左边）．（1）直接写出点A、C的坐标；（2）①二次函数的图象恰好经过点O、A、C，试求此二次函数的解析式；②过点A、C分别作AB、CD垂直x轴于B、D两点，在此抛物线O、C之间取一点P（点P不与O、C重合）作PF⊥x轴于点F，PF交OC于点E，是否存在点P使得AP＝BE？若存在，求出点P的坐标？若不存在，试说明理由；（3）在（2）的条件下，将△OAB沿AC方向移动到△O'A'B'（点A'在线段AC上，且不与C重合），△O'A'B'与△OCD重叠部分的面积为S，试求当S＝时点A'的坐标．7．（2023春·安徽合肥·九年级统考期中）定义：在平面直角坐标系中，图形G上点P（x，y）的纵坐标y与其横坐标x的差y﹣x称为点P的“坐标差”，而图形G上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形G的“特征值”．（1）求点A（2，1）的“坐标差”和抛物线y＝﹣x2+3x+4的“特征值”．（2）某二次函数＝﹣x2+bx+c（c≠0）的“特征值”为﹣1，点B与点C分别是此二次函数的图象与x轴和y轴的交点，且点B与点C的“坐标差”相等，求此二次函数的解析式．（3）如图所示，二次函数y＝﹣x2+px+q的图象顶点在“坐标差”为2的一次函数的图象上，四边形DEFO是矩形，点E的坐标为（7，3），点O为坐标原点，点D在x轴上，当二次函数y＝﹣x2+px+q的图象与矩形的边有四个交点时，求p的取值范围．8．（2023·浙江杭州·九年级统考期中）新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形．（1）初步尝试如图1，已知等腰直角△ABC，∠ACB=90°，请将它分成两个三角形，使它们成为偏等积三角形．（2）理解运用如图2，已知△ACD为直角三角形，∠ADC=90°，以AC，AD为边向外作正方向ACFB和正方形ADGE，连接BE，求证：△ACD与△ABE为偏等积三角形．（3）综合探究如图3，二次函数y=x2–x–5的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，在二次函数的图象上是否存在一点D，使△ABC与△ABD是偏等积三角形？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．9．（2023春·江西赣州·九年级统考期末）我们给出如下定义：在平面直角坐标系xOy中，如果一条抛物线平移后得到的抛物线经过原抛物线的顶点，那么这条抛物线叫做原抛物线的过顶抛物线．如下图，抛物线F2都是抛物线F1的过顶抛物线，设F1的顶点为A，F2的对称轴分别交F1、F2于点D、B，点C是点A关于直线BD的对称点．（1）如图1，如果抛物线y=x2的过顶抛物线为y=ax2+bx，C（2，0），那么①a=，b=．②如果顺次连接A、B、C、D四点，那么四边形ABCD为（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形（2）如图2，抛物线y=ax2+c的过顶抛物线为F2，B（2，c－1）．求四边形ABCD的面积．（3）如果抛物线的过顶抛物线是F2，四边形ABCD的面积为，请直接写出点B的坐标．10．（2023春·江西赣州·九年级校考期末）定义：在平面直角坐标系中，抛物线y＝a+bx+c （a≠0）与直线y＝m交于点A、C（点C在点A右边）将抛物线y＝a+bx+c沿直线y＝m翻折，翻折前后两抛物线的顶点分别为点B、D．我们将两抛物线之间形成的封闭图形称为惊喜线，四边形ABCD称为惊喜四边形，对角线BD与AC之比称为惊喜度（Degreeofsurprise），记作|D|＝．（1）图①是抛物线y＝﹣2x﹣3沿直线y＝0翻折后得到惊喜线．则点A坐标，点B 坐标，惊喜四边形ABCD属于所学过的哪种特殊平行四边形，|D|为．（2）如果抛物线y＝m﹣6m（m＞0）沿直线y＝m翻折后所得惊喜线的惊喜度为1，求m的值．（3）如果抛物线y＝﹣6m沿直线y＝m翻折后所得的惊喜线在m﹣1≤x≤m+3时，其最高点的纵坐标为16，求m的值并直接写出惊喜度|D|2024中考数学新定义及探究题专题《二次函数及新定义》（解析版）【类型1二次函数问题中的新定义问题】1．（2023春·山东济南·九年级统考期末）新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点．若二次函数（c为常数）在的图象上存在两个二倍点，则c的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】由点的纵坐标是横坐标的2倍可得二倍点在直线上，由可得二倍点所在线段的端点坐标，结合图象，通过求抛物线与线段的交点求解．【详解】解：由题意可得二倍点所在直线为，将代入得，将代入得，设，，如图，联立与，得方程，即抛物线与直线有两个交点，，解得，当直线和直线与抛物线交点在点A，上方时，抛物线与线段有两个交点，把代入，得，把代入得，，解得，．故选D．【点睛】本题考查二次函数图象与正比例函数图象的交点问题，解题关键掌握函数与方程及不等式的关系，将代数问题转化为图形问题求解．2．（2023春·湖北咸宁·九年级统考期中）定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．若互异二次函数的对称轴为直线x＝1且图象经过点（﹣1，0），则这个互异二次函数的二次项系数是（）A．B．C．1D．﹣1【答案】B【分析】根据函数的对称轴和互异二次函数的特点计算即可；【详解】由题可知：此函数的横坐标与纵坐标互为相反数，且对称轴为直线x＝1且图象经过点（﹣1，0），设此函数为，∴，解得：，∴此函数的二次项系数为；故选B．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，准确计算是解题的关键．3．（2023春·广西南宁·九年级统考期中）新定义：在平面直角坐标系中，对于点P（m，n）和点P′（m，n′），若满足m≥0时，n′=n-4；m＜0时，n′=-n，则称点P′（m，n′）是点P（m，n）的限变点．例如：点P1（2，5）的限变点是P1′（2，1），点P2（-2，3）的限变点是P2′（-2，-3）．若点P（m，n）在二次函数y=-x2+4x+2的图象上，则当-1≤m≤3时，其限变点P′的纵坐标n'的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据新定义得到当m≥0时，n′=-m2+4m+2-4=-（m-2）2+2，在0≤m≤3时，得到-2≤n′≤2；当m＜0时，n′=m2-4m-2=（m-2）2-6，在-1≤m＜0时，得到-2≤n′≤3，即可得到限变点P′的纵坐标n'的取值范围是-2≤n′≤3．【详解】解：由题意可知，当m≥0时，n′=-m2+4m+2-4=-（m-2）2+2，∴当0≤m≤3时，-2≤n′≤2，当m＜0时，n′=m2-4m-2=（m-2）2-6，∴当-1≤m＜0时，-2＜n′≤3，综上，当-1≤m≤3时，其限变点P′的纵坐标n'的取值范围是-2≤n′≤3，故选：D．【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据限变点的定义得到n′关于m的函数．4．（2023春·湖南长沙·九年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考期末）定义：我们不妨把纵坐标是横坐标2倍的点称为“青竹点”．例如：点、……都是“青竹点”．显然，函数的图象上有两个“青竹点”：和．(1)下列函数中，函数图象上存在“青竹点”的，请在横线上打“√”，不存在“青竹点”的，请打“×”．①________；②________；③________．(2)若抛物线（m为常数）上存在两个不同的“青竹点”，求m的取值范围；(3)若函数的图象上存在唯一的一个“青竹点”，且当时，a的最小值为c，求c的值．【答案】(1)×；√；×(2)(3)【分析】（1）根据“青一函数”的定义直接判断即可；（2）根据题意得出关于的一元二次方程，再根据根的判别式得出关于m的不等式，即可求解；（3）根据题意得出关于的一元二次方程，再根据根的判别式得出关于a的二次函数，利用二次函数最值求解即可．【详解】（1）解：①令，方程无解，∴函数图像上不存在“青竹点”，故答案为：×；②令，解得：，，∴函数图像上存在“青竹点”和，故答案为：√；③令，方程无解，∴函数图像上不存在“青竹点”，故答案为：×；（2）解：由题意得，整理，得，∵抛物线（m为常数）上存在两个不同的“青竹点”，∴，解得；（3）解：由题意得整理，得∵函数的图像上存在唯一的一个“青竹点”，∴整理，得∴当时，a的最小值为，∵当时，a的最小值为c，∴∴，【点睛】本题属于函数背景下新定义问题，主要考查二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系，一元二次方程根的判别式．5．（2023春·江苏泰州·九年级统考期中）定义：两个二次项系数之和为，对称轴相同，且图像与轴交点也相同的二次函数互为友好同轴二次函数.例如：的友好同轴二次函数为．(1)函数的友好同轴二次函数为．(2)当时，函数的友好同轴二次函数有最大值为，求的值．(3)已知点分别在二次函数及其友好同轴二次函数的图像上，比较的大小，并说明理由．【答案】(1)；(2)；(3)当时，；当时，；当时，【分析】（1）根据友好同轴二次函数的定义，找出的友好同轴二次函数即可；（2）根据友好同轴二次函数的定义，找出的友好同轴二次函数，判断函数图像开口方向，利用函数的对称轴和自变量范围进行最大值讨论；（3）先根据友好同轴二次函数的定义，找出的友好同轴二次函数，再把两点代入，作差后比较大小，为含参数的二次不等式，求解的范围即可．【详解】（1）设友好同轴二次函数为，由函数可知，对称轴为直线，与轴交点为，，，对称轴为直线，，友好同轴二次函数为；（2）由函数可求得，该函数的友好同轴二次函数为；①当时，时，，解得：；②当时，时，，解得：；综上所述，；（3）由函数可求得，该函数的友好同轴二次函数为，把分别代入可得，，，则，，，①当时，，即，，解得：；②当时，，即，，解得：；③当时，，即，，解得：；综上所述，当时，；当时，；当时，．【点睛】本题考查二次函数的性质以及新定义问题，掌握二次函数的基本性质以及研究手段，准确根据题意求出符合要求的友好同轴二次函数是解题关键．6．（2023春·浙江金华·九年级校考期中）定义：若抛物线y＝ax2+bx+c与x轴两交点间的距离为4，称此抛物线为定弦抛物线．(1)判断抛物线y＝x2+2x﹣3是否是定弦抛物线，请说明理由；(2)当一定弦抛物线的对称轴为直线x＝1，且它的图像与坐标轴的交点间的连线所围成的图形是直角三角形，求该抛物线的表达式；(3)若定弦抛物线y＝x2+bx+c（b＜0）与x轴交于A、B两点（A在B左边），当2≤x≤4时，该抛物线的最大值与最小值之差等于OB之间的距离，求b的值．【答案】(1)是定弦抛物线，理由见解析(2)或(3)b＝﹣4或【分析】（1）令y＝0，求出与x轴的交点坐标，可判断；（2）分开口向上向下讨论，利用定弦抛物线的定义和对称轴可求出与x轴交点坐标，用相似求出与y轴交点坐标，代入可得答案；（3）根据对称轴和所给范围分情况讨论即可．【详解】（1）解：当y＝0时，x2+2x﹣3＝0，解得：x1＝1，x2＝﹣3，则|x1-x2|＝4，即该抛物线是定弦抛物线；（2）：当该抛物线开口向下时，如图所示．∵该定弦抛物线的对称轴为直线x＝1，设则解得：∴C（﹣1，0），D（3，0），∵△CED为直角三角形∴由题意可得∠CED＝90°，∵EO⊥CD，∴△CEO∽△EDO，∴OE2＝OC·OD＝3，∴E（0，）设该定弦抛物线表达式为，把E（0，）代入求得∴该定弦抛物线表达式为，当该抛物线开口向上时，同理可得该定弦抛物线表达式为，∴综上所述，该定弦抛物线表达式为或；（3）解：若≤2，则在2≤x≤4中，当x＝4时该定弦抛物线取最大值，当x＝2时该定弦抛物线取最小值．∴l6+4b+c-(4+2b+c)＝+2，解得：b＝﹣4，∵≤2，∴b≥﹣4，即b＝﹣4，若≤3，则在2≤x≤4中，当x＝4时该定弦抛物线取最大值，当x＝时该定弦抛物线取最小值．∴16+4b+c﹣＝+2，解得：b1＝﹣4，b2＝﹣14，∵2≤≤3，∴﹣6≤b≤﹣4，∴b1＝﹣4，b2＝﹣14（舍去），若≤4，则在2≤x≤4中，当x＝2时该定弦抛物线取最大值，当x＝时该定弦抛物线取最小值．∴4+2b+c﹣＝+2，解得：b＝﹣5，∵≤4，∴﹣8≤b＜﹣6，∴b＝﹣5不合题意，舍去，若＞4，则在2≤x≤4中，当x＝2时该定弦抛物线取最大值，当x＝4时该定弦抛物线取最小值．∴4+2b+c-(16+4b+c)＝+2，解得：b＝-，∵＞4，∴b＜﹣8，∴b＝﹣，∴综上所述b＝﹣4或．【点睛】本题考查了二次函数的综合性质，包括与x轴交点问题，最值问题，以及和相似的结合，准确地理解定弦抛物线的定义以及分类讨论是解决本题的关键．7．（2023春·浙江·九年级期末）定义：若抛物线与抛物线．同时满足且，则称这两条抛物线是一对“共轭抛物线”．(1)已知抛物线与是一对共轭抛物线，求的解析式；(2)如图1，将一副边长为的正方形七巧板拼成图2的形式，若以BC中点为原点，直线BC为x轴建立平面直角坐标系，设经过点A，E，D的抛物线为，经过A、B、C的抛物线为，请立接写出、的解析式并判断它们是否为一对共轭抛物线．【答案】(1)(2)，，、是一对共轭抛物线【分析】（1）将化作顶点式，可求出，和的值，根据“共轭抛物线”的定义可求出，和的值，进而求出的解析式；（2）根据七巧板各个图形之间的关系可求出各个图形的边长，进而可表示点，，，，的坐标，分别求出和的解析式，再根据“共轭抛物线”的定义可求解．【详解】（1）解：，∴，，，∵抛物线与是一对共轭抛物线，∴，且，．（2）解：如图，由题意得，，则，，，，，∵点为的中点，∴，∴，，，，，∴可设抛物线，与抛物线，∴，，解得：，，∴抛物线，抛物线，∴，，，，，，∵，，∴满足且，∴、是一对共轭抛物线．【点睛】本题属于二次函数的新定义类问题，主要考查利用待定系数法求函数表达式，二次函数的顶点式，一般式及交点式三种方式的变换，熟知相关运算是解题关键．8．（2023春·湖南长沙·九年级校联考期末）定义：如果抛物线与轴交于点，，那么我们把线段叫做雅礼弦，两点之间的距离称为抛物线。

【中考压轴题专题突破】二次函数中的新定义问题1．定义：在平面直角坐标系中，图形G上点P（x，y）的纵坐标y与其横坐标x的差y﹣x 称为点P的“坐标差”，而图形G上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形G的“特征值”．（1）求点A（2，1）的“坐标差”和抛物线y＝﹣x2+3x+4的“特征值”．（2）某二次函数＝﹣x2+bx+c（c≠0）的“特征值”为﹣1，点B与点C分别是此二次函数的图象与x轴和y轴的交点，且点B与点C的“坐标差”相等，求此二次函数的解析式．（3）如图所示，二次函数y＝﹣x2+px+q的图象顶点在“坐标差”为2的一次函数的图象上，四边形DEFO是矩形，点E的坐标为（7，3），点O为坐标原点，点D在x轴上，当二次函数y＝﹣x2+px+q的图象与矩形的边有四个交点时，求p的取值范围．2．定义：我们把点（m，m）称为直线y＝﹣x+m（其中m为常数）的“对应点”比如，直线y＝﹣x+5的“对应点”为（5，5）．在平面直角坐标系xOy中，（1）若抛物线y＝ax2经过直线y＝﹣x+3的“对应点”A，请指出该抛物线的开口方向，并说明理由；（2）设点P在曲线y＝（x＞0）上，直线l：y＝﹣x+m的“对应点”为点B，连接PB，记点P到直线l的距离为d（d为正实数）①当m＝2，k＝2，且d＝时，求点P的坐标；②当m＝1，k＝时，求BP的长（用含d的式子表示）．3．我们定义：两个二次项系数之和为1，对称轴相同，且图象与y轴交点也相同的二次函数互为友好同轴二次函数．例如：y＝2x2+4x﹣5的友好同轴二次函数为y＝﹣x2﹣2x﹣5．（1）请你分别写出y＝﹣，y＝+x﹣5的友好同轴二次函数；（2）满足什么条件的二次函数没有友好同轴二次函数？满足什么条件的二次函数的友好同轴二次函数是它本身？（3）如图，二次函数L1：y＝ax2﹣4ax+1与其友好同轴二次函数L2都与y轴交于点A，点B、C分别在L1、L2上，点B，C的横坐标均为m（0＜m＜2），它们关于L1的对称轴的对称点分别为B′，C′，连结BB′，B′C′，C′C，CB．①若a＝3，且四边形BB′C′C为正方形，求m的值；②若m＝1，且四边形BB′C′C的邻边之比为1：2，直接写出a的值．4．定义：给定两个函数，我们约定：任取自变量x的一个值，当x＜0时，另一个函数对应的函数值比原函数的函数值大1；当x≥0时，另一个函数对应的函数值比原函数的函数值小1，我们称这样的两个函数互为伴随函数．例如：一次函数y＝2x+3．它的伴随为y ＝（1）已知点M（3，6）在一次函数y＝ax﹣2的伴随函数的图象上时，求a的值；（2）已知二次函数y＝﹣x2+4x﹣3①当点N（m，﹣3）在这个函数的伴随函数的图象上时，求m的值；②当﹣2≤x≤3时，求函数y＝﹣x2+4x﹣3的伴随函数的最大值和最小值；（3）在平面直角坐标系中，点A、D的坐标分别为（﹣1，﹣1）、（﹣1，2），连接AD，以AD为边向右作正方形ABCD．直接写出正方形ABCD与二次函数y＝﹣x2+4x+n的伴随函数的图象有两个公共点时n的取值范围．5．定义：若函数y＝x2+bx+c（c≠0）与x轴的交点A，B的横坐标为x A，x B，与y轴交点的纵坐标为y C，若x A，x B中至少存在一个值，满足x A＝y C（或x B＝y C），则称该函数为友好函数．如图，函数y＝x2+2x﹣3与x轴的一个交点A的横坐标为3，与y轴交点C的纵坐标为﹣3，满足x A＝y C，称y＝x2+2x﹣3为友好函数．（1）判断y＝x2﹣4x+3是否为友好函数，并说明理由；（2）请探究友好函数y＝x2+bx+c表达式中的b与c之间的关系；（3）若y＝x2+bx+c是友好函数，且∠ACB为锐角，求c的取值范围．6．在平面直角坐标系xOy中，对于点P（a，b）和点Q（a，b'），给出如下定义：若b'＝，则称点Q为点P的限变点．例如：点（3，﹣2）的限变点的坐标是（3，﹣2），点（﹣1，5）的限变点的坐标是（﹣1，﹣5）．（1）①点（﹣，1）的限变点的坐标是；②在点A（﹣1，2），B（﹣2，﹣1）中有一个点是函数y＝图象上某一个点的限交点，这个点是；（2）若点P在函数y＝﹣x+3的图象上，当﹣2≤x≤6时，求其限变点Q的纵坐标b'的取值范围；（3）若点P在关于x的二次函数y＝x2﹣2tx+t2+t的图象上，其限变点Q的纵坐标b'的取值范围是b'≥m或b'＜n，其中m＞n．令s＝m﹣n，求s关于t的函数解析式及s的取值范围．【中考压轴题专题突破】二次函数中的新定义问题参考答案与试题解析1．解：（1）1﹣2＝﹣1，故“坐标差”为﹣1，y﹣x＝﹣x2+3x+4﹣x＝﹣（x﹣1）2+5，故“特征值”为5；（2）由题意得：点C（0，c），故点B、C的“坐标差”相等，故点B（﹣c，0），把点B的坐标代入y＝﹣x2+bx+c得：0＝﹣（﹣c）2+b（﹣c）+c，解得：b＝1﹣c，故：y＝﹣x2+（1﹣c）x+c，故抛物线的“特征值”为﹣1，∴y﹣x＝﹣x2+（1﹣c）x+c﹣x＝﹣x2﹣cx+c，故＝﹣1．∴c＝﹣2，b＝3，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+3x﹣2；（3）“坐标差”为2的一次函数为：y＝x+2，∵抛物线y＝﹣x2+px+q的图象的顶点在y＝x+2上，∴设抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣m）2+m+2，当抛物线与矩形有3个交点时，如图1、2，对于图1，直线与矩形边的交点为：（1，3），则对称轴为：﹣＝1，解得：p＝2，对于图2，把点E（7，3）代入y＝﹣（x﹣m）2+m+2并解得：m＝5或10（舍去10），故﹣＝5，解得：p＝10，故二次函与矩形的边有四个交点时，求p的取值范围：2＜p＜10．2．解：（1）点A（3，3），将点A的坐标代入抛物线表达式并解：a＝0，故抛物线的开口向上；（2）过点P作PH∥y轴交直线l于点H，则∠DPH＝45°，则PH＝d，设点P（s，t），则点H（s，﹣s+m），则st＝k，PH＝t﹣（﹣s+m），①当m＝2，k＝2，且d＝时，反比例函数表达式为：y＝，设点P（x，），d＝，PH＝2，即|+x﹣2|＝2，解得：x＝2，故点P（2，2）；②PH＝t+s﹣1＝d，且st＝，则1＝2st，PB2＝（s﹣1）2+（t﹣1）2＝s2+t2﹣2（s+t）+2＝（s+t）2﹣2（s+t）+1＝（s+t﹣1）2，故PB＝d．3．解：（1）∵1﹣（﹣）＝，∴函数y＝﹣的友好同轴二次函数为y＝x2；∵1﹣＝，1×（÷）＝2，∴函数y＝+x﹣5的友好同轴二次函数为y＝x2+2x﹣5．（2）∵1﹣1＝0，∴二次项系数为1的二次函数没有友好同轴二次函数；∵1÷2＝，∴二次项系数为的二次函数的友好同轴二次函数是它本身．（3）二次函数L1：y＝ax2﹣4ax+1的对称轴为直线x＝﹣＝2，其友好同轴二次函数L2：y＝（1﹣a）x2﹣4（1﹣a）x+1．①∵a＝3，∴二次函数L1：y＝ax2﹣4ax+1＝3x2﹣12x+1，二次函数L2：y＝（1﹣a）x2﹣4（1﹣a）x+1＝﹣2x2+8x+1，∴点B的坐标为（m，3m2﹣12m+1），点C的坐标为（m，﹣2m2+8m+1），∴点B′的坐标为（4﹣m，3m2﹣12m+1），点C′的坐标为（4﹣m，﹣2m2+8m+1），∴BC＝﹣2m2+8m+1﹣（3m2﹣12m+1）＝﹣5m2+20m，BB′＝4﹣m﹣m＝4﹣2m．∵四边形BB′C′C为正方形，∴BC＝BB′，即﹣5m2+20m＝4﹣2m，解得：m1＝，m2＝（不合题意，舍去），∴m的值为．②当m＝1时，点B的坐标为（1，﹣3a+1），点C的坐标为（1，3a﹣2），∴点B′的坐标为（3，﹣3a+1），点C′的坐标为（3，3a﹣2），∴BC＝|3a﹣2﹣（﹣3a+1）|＝|6a﹣3|，BB′＝3﹣1＝2．∵四边形BB′C′C的邻边之比为1：2，∴BC＝2BB′或BB′＝2BC，即|6a﹣3|＝2×2或2＝2|6a﹣3|，解得：a1＝﹣，a2＝，a3＝，a4＝，∴a的值为﹣、、或．4．解：（1）由已知一次函数y＝ax﹣2的伴随函数为y＝∵M（3，6）∴代入y＝ax﹣3，得6＝3a﹣3∴a＝3（2）由已知二次函数y＝﹣x2+4x﹣3的伴随函数为y＝①当m＜0时，代入y＝﹣x2+4x﹣2，得﹣3＝﹣m2+4m﹣2解得m1＝2+（舍去），m2＝2﹣当m≥0时，代入y＝﹣x2+4x﹣2，得﹣3＝﹣m2+4m﹣4解得m3＝2+m3＝2﹣故m的值为2﹣、2+或2﹣②当3≥x≥0时，抛物线y＝﹣x2+4x﹣4的顶点为最高点∴函数最大值为0当∵a＝﹣1∴抛物线开口向下∴当﹣2≤x＜0时，x＝﹣2函数有最小值为﹣（﹣2）2+4×（﹣2）﹣2＝﹣14（3）3＜n＜6或0＜n＜1或﹣4＜n＜﹣2理由：由已知二次函数y＝﹣x2+4x+n的伴随函数为y＝设AB边、DC边与y轴交点为分别为F、E则E点坐标为（0，2），F点坐标为（0，﹣1）①若y＝﹣x2+4x+n+1过点D，则代入D（﹣1，2）求得n＝6，则x≥0时，y＝﹣x2+4x+n﹣1＝﹣x2+4x+5与y轴交点为（0，5）此时二次函数y＝﹣x2+4x+n的伴随函数与正方形ABCD有一个交点②若y＝﹣x2+4x+n+1过点A，则代入A（﹣1，﹣1）可求得n＝3，则x≥0时，y＝﹣x2+4x+n﹣1＝﹣x2+4x+2与y轴交点为（0，2）则此时二次函数y＝﹣x2+4x+n的伴随函数与正方形ABCD有3个交点③若y＝﹣x2+4x+n+1过点E（0，2），则代入E（0，2）则n＝1，则x≥0时，y＝﹣x2+4x+n﹣1＝﹣x2+4x与y轴交点为（0，0）则此时，此时二次函数y＝﹣x2+4x+n的伴随函数与正方形ABCD有3个交点④若y＝﹣x2+4x+n﹣1过点F（0，﹣1），则代入F（0，﹣1）则n＝0，则x＜0时，y＝﹣x2+4x+n+1＝﹣x2+4x+1与y轴交点为（0，1）则此时二次函数y＝﹣x2+4x+n的伴随函数与正方形ABCD有3个交点⑤若y＝﹣x2+4x+n+1过点F（0，﹣1），则代入F（0，﹣1）则n＝﹣2，则y＝﹣x2+4x+n﹣1＝﹣x2+4x﹣3与y轴交点为（0，﹣3）则此时二次函数y＝﹣x2+4x+n的伴随函数与正方形ABCD有3个交点⑥若y＝﹣x2+4x+n﹣1过点B（2，﹣1），则代入B（2，﹣1）则n＝﹣4则x＜0时，y＝﹣x2+4x+n+1＝﹣x2+4x﹣3y轴交点为（0，﹣3）则此时二次函数y＝﹣x2+4x+n的伴随函数与正方形ABCD有1交点综上所述，正方形ABCD与二次函数y＝﹣x2+4x+n的伴随函数的图象有两个公共点时的n取值范围为3＜n＜6或0＜n≤1或﹣4＜n≤﹣25．解：（1）y＝x2﹣4x+3是友好函数，理由如下：当x＝0时，y＝3；当y＝0时，x＝1或3，∴y＝x2﹣4x+3与x轴一个交点的横坐标和与y轴交点的纵坐标都是3，∴y＝x2﹣4x+3是友好函数；（2）当x＝0时，y＝c，即与y轴交点的纵坐标为c，∵y＝x2+bx+c是友好函数，∴x＝c时，y＝0，即（c，0）在y＝x2+bx+c上，代入得：0＝c2+bc+c，∴0＝c（c+b+1），而c≠0，∴b+c＝﹣1；（3）①如图1，当C在y轴负半轴上时，由（2）可得：c＝﹣b﹣1，即y＝x2+bx﹣b﹣1，显然当x＝1时，y＝0，即与x轴的一个交点为（1，0），则∠ACO＝45°，∴只需满足∠BCO＜45°，即BO＜CO∴c＜﹣1；②如图2，当C在y轴正半轴上，且A与B不重合时，∴显然都满足∠ACB为锐角，∴c＞0，且c≠1；③当C与原点重合时，不符合题意，综上所述，c＜﹣1或c＞0，且c≠1．6．解：（1）①根据限变点的定义可知点点（﹣，1）的限变点的坐标为（﹣，﹣1）；故答案是：（﹣，﹣1）；②（﹣1，﹣2）限变点为（﹣1，2），即这个点是点A．故答案是：A；（2）依题意，y＝﹣x+3（x≥﹣2）图象上的点P的限变点Q必在函数y ＝的图象上．当x＝﹣2时，y＝﹣2﹣3＝﹣5，当x＝1时，y＝﹣1+3＝2，当x＝6时，y＝﹣6+3＝﹣3，∴当﹣2≤x≤6时，﹣5≤b′≤2；（3）∵y＝x2﹣2tx+t2+t＝（x﹣t）2+t，∴顶点坐标为（t，t）．若t＜1，b′的取值范围是b′≥m或b′＜n，与题意不符．若t≥1，当x≥1时，y的最小值为t，即m＝t；当x＜1时，y的值小于﹣[（1﹣t）2+t]，即n＝﹣[（1﹣t）2+t]．∴s＝m﹣n＝t+（1﹣t）2+t＝t2+1．∴s关于t的函数解析式为s＝t2+1（t≥1），当t＝1时，s取最小值2，∴s的取值范围是s≥2．第11页（共11页）。

中考数学复习----《二次函数之定义、图像以及性质》知识点总与专项练习题（含答案解析）知识点总结1. 二次函数的定义：形如()02≠++=a c bx ax y 的函数叫做二次函数。

2. 二次函数的图像：二次函数的图像是一条抛物线。

3. 二次函数的性质与图像：x 的增大而增大； 的增大而减小； 的增大而增大； 的增大而减小；①若二次函数是一般形式时，则二次函数与y 轴的交点坐标为()c ，0。

若0＞c ，则二次函数与y 轴交于正半轴；若0＜c ，则二次函数与y 轴交于负半轴。

②二次函数开口向上时，离对称轴越远的点函数值越大；二次函数开口向下时，离对称轴越远的函数值越小。

③二次函数函数值相等的两个点一定关于对称轴对称。

④二次函数的一般式化为顶点式：利用一元二次方程的配方法。

专项练习题1．（2022•济南）某学校要建一块矩形菜地供学生参加劳动实践，菜地的一边靠墙，另外三边用木栏围成，木栏总长为40m ．如图所示，设矩形一边长为xm ，另一边长为ym ，当x 在一定范围内变化时，y 随x 的变化而变化，则y 与x 满足的函数关系是（ ）A ．正比例函数关系B ．一次函数关系C ．反比例函数关系D ．二次函数关系【分析】根据题意列出y 与x 的关系式可得答案． 【解答】解：由题意得，y ＝40﹣2x ， 所以y 与x 是一次函数关系， 故选：B ．2．（2022•株洲）已知二次函数y ＝ax 2+bx ﹣c （a ≠0），其中b ＞0、c ＞0，则该函数的图象可能为（ ）A ．B ．C．D．【分析】根据c＞0，可知﹣c＜0，可排除A，D选项，当a＞0时，可知对称轴＜0，可排除B选项，当a＜0时，可知对称轴＞0，可知C选项符合题意．【解答】解：∵c＞0，∴﹣c＜0，故A，D选项不符合题意；当a＞0时，∵b＞0，∴对称轴x＝＜0，故B选项不符合题意；当a＜0时，b＞0，∴对称轴x＝＞0，故C选项符合题意，故选：C．3．（2022•阜新）下列关于二次函数y＝3（x+1）（2﹣x）的图象和性质的叙述中，正确的是（）A．点（0，2）在函数图象上B．开口方向向上C．对称轴是直线x＝1D．与直线y＝3x有两个交点【分析】A、把x＝0代入y＝3（x+1）（2﹣x），求函数值再与点的纵坐标进行比较；B、化简二次函数：y＝﹣3x2+3x+6，根据a的取值判断开口方向；C、根据对称轴公式计算；D、把函数的问题转化为一元二次方程的问题，根据判别式的取值来判断．【解答】解：A、把x＝0代入y＝3（x+1）（2﹣x），得y＝6≠2，∴A错误；B 、化简二次函数：y ＝﹣3x 2+3x +6， ∵a ＝﹣3＜0，∴二次函数的图象开口方向向下， ∴B 错误；C 、∵二次函数对称轴是直线x ＝﹣＝， ∴C 错误；D 、∵3（x +1）（2﹣x ）＝3x ， ∴﹣3x 2+3x +6＝3x ， ∴﹣3x 2+6＝0， ∵b 2﹣4ac ＝72＞0，∴二次函数y ＝3（x +1）（2﹣x ）的图象与直线y ＝3x 有两个交点， ∴D 正确； 故选：D ．4．（2022•衢州）已知二次函数y ＝a （x ﹣1）2﹣a （a ≠0），当﹣1≤x ≤4时，y 的最小值为﹣4，则a 的值为（ ） A ．21或4 B ．34或﹣21 C ．﹣34或4 D ．﹣21或4 【分析】分两种情况讨论：当a ＞0时，﹣a ＝﹣4，解得a ＝4；当a ＜0时，在﹣1≤x ≤4，9a ﹣a ＝﹣4，解得a ＝﹣．【解答】解：y ＝a （x ﹣1）2﹣a 的对称轴为直线x ＝1， 顶点坐标为（1，﹣a ），当a ＞0时，在﹣1≤x ≤4，函数有最小值﹣a ， ∵y 的最小值为﹣4， ∴﹣a ＝﹣4， ∴a ＝4；当a ＜0时，在﹣1≤x ≤4，当x ＝4时，函数有最小值， ∴9a ﹣a ＝﹣4， 解得a ＝﹣；综上所述：a的值为4或﹣，故选：D．5．（2022•荆门）抛物线y＝x2+3上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），若y1＜y2，则下列结论正确的是（）A．0≤x1＜x2B．x2＜x1≤0C．x2＜x1≤0或0≤x1＜x2D．以上都不对【分析】根据二次函数的性质判断即可．【解答】解：∵抛物线y＝x2+3上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），且y1＜y2，∴|x1|＜|x2|，∴0≤x1＜x2或x2＜x1≤0或0＜﹣x1＜x2或0＜x1＜﹣x2，故选：D．6．（2022•兰州）已知二次函数y＝2x2﹣4x+5，当函数值y随x值的增大而增大时，x的取值范围是（）A．x＜1B．x＞1C．x＜2D．x＞2【分析】将二次函数解析式化为顶点式，由抛物线对称轴及开口方向求解．【解答】解：∵y＝2x2﹣4x+5＝2（x﹣1）2+3，∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，∴x＞1时，y随x增大而增大，故选：B．7．（2022•广州）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x＝﹣2，下列结论正确的是（）A．a＜0B．c＞0C．当x＜﹣2时，y随x的增大而减小D．当x＞﹣2时，y随x的增大而减小【分析】根据图象得出a，c的符号即可判断A、B，利用二次函数的性质即可判断C、D．【解答】解：∵图象开口向上，∴a＞0，故A不正确；∵图象与y轴交于负半轴，∴c＜0，故B不正确；∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣2，∴当x＜﹣2时，y随x的增大而减小，x＞﹣2时，y随x的增大而增大，故C正确，D不正确；故选：C．8．（2022•郴州）关于二次函数y＝（x﹣1）2+5，下列说法正确的是（）A．函数图象的开口向下B．函数图象的顶点坐标是（﹣1，5）C．该函数有最大值，最大值是5D．当x＞1时，y随x的增大而增大【分析】通过分析二次函数顶点式判断函数图象开口方向、顶点坐标、最值以及增减性即可求解．【解答】解：y＝（x﹣1）2+5中，x2的系数为1，1＞0，函数图象开口向上，A错误；函数图象的顶点坐标是（1，5），B错误；函数图象开口向上，有最小值为5，C错误；函数图象的对称轴为x＝1，x＜1时y随x的增大而减小；x＞1时，y随x的增大而增大，D正确．故选：D．9．（2022•哈尔滨）抛物线y＝2（x+9）2﹣3的顶点坐标是（）A．（9，﹣3）B．（﹣9，﹣3）C．（9，3）D．（﹣9，3）【分析】由抛物线解析式可得抛物线顶点坐标．【解答】解：∵y＝2（x+9）2﹣3，∴抛物线顶点坐标为（﹣9，﹣3），故选：B．10．（2022•岳阳）已知二次函数y＝mx2﹣4m2x﹣3（m为常数，m≠0），点P（x p，y p）是该函数图象上一点，当0≤x p≤4时，y p≤﹣3，则m的取值范围是（）A．m≥1或m＜0B．m≥1C．m≤﹣1或m＞0D．m≤﹣1【分析】先求出抛物线的对称轴及抛物线与y轴的交点坐标，再分两种情况：m＞0或m ＜0，根据二次函数的性质求得m的不同取值范围便可．【解答】解：∵二次函数y＝mx2﹣4m2x﹣3，∴对称轴为x＝2m，抛物线与y轴的交点为（0，﹣3），∵点P（x p，y p）是该函数图象上一点，当0≤x p≤4时，y p≤﹣3，∴①当m＞0时，对称轴x＝2m＞0，此时，当x＝4时，y≤﹣3，即m•42﹣4m2•4﹣3≤﹣3，解得m≥1；②当m＜0时，对称轴x＝2m＜0，当0≤x≤4时，y随x增大而减小，则当0≤x p≤4时，y p≤﹣3恒成立；综上，m的取值范围是：m≥1或m＜0．故选：A．11．（2022•陕西）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3的自变量x1，x2，x3对应的函数值分别为y1，y2，y3．当﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，x3＞3时，y1，y2，y3三者之间的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y3＜y1C．y3＜y1＜y2D．y2＜y1＜y3【分析】首先求出抛物线的对称轴，根据二次函数的增减性即可解决问题．【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴对称轴x＝1，顶点坐标为（1，﹣4），当y＝0时，（x﹣1）2﹣4＝0，解得x＝﹣1或x＝3，∴抛物线与x轴的两个交点坐标为：（﹣1，0），（3，0），∴当﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，x3＞3时，y2＜y1＜y3，故选：D．12．（2022•新疆）已知抛物线y＝（x﹣2）2+1，下列结论错误的是（）A．抛物线开口向上B．抛物线的对称轴为直线x＝2C．抛物线的顶点坐标为（2，1）D．当x＜2时，y随x的增大而增大【分析】根据抛物线a＞0时，开口向上，a＜0时，开口向下判断A选项；根据抛物线的对称轴为x＝h判断B选项；根据抛物线的顶点坐标为（h，k）判断C选项；根据抛物线a＞0，x＜h时，y随x的增大而减小判断D选项．【解答】解：A选项，∵a＝1＞0，∴抛物线开口向上，故该选项不符合题意；B选项，抛物线的对称轴为直线x＝2，故该选项不符合题意；C选项，抛物线的顶点坐标为（2，1），故该选项不符合题意；D选项，当x＜2时，y随x的增大而减小，故该选项符合题意；故选：D．13．（2022•盐城）若点P（m，n）在二次函数y＝x2+2x+2的图象上，且点P到y轴的距离小于2，则n的取值范围是．【分析】由题意可知﹣2＜m＜2，根据m的范围即可确定n的范围．【解答】解：∵y＝x2+2x+2＝（x+1）2+1，∴二次函数y＝x2+2x+2的图象开口向上，顶点为（﹣1，1），对称轴是直线x＝﹣1，∵P（m，n）到y轴的距离小于2，∴﹣2＜m＜2，而﹣1﹣（﹣2）＜2﹣（﹣1），当m＝2，n＝（2+1）2+1＝10，当m＝﹣1时，n＝1，∴n的取值范围是1≤n＜10，故答案为：1≤n＜10．14．（2022•长春）已知二次函数y＝﹣x2﹣2x+3，当a≤x≤时，函数值y的最小值为1，则a的值为．【分析】函数配方后得y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，当y＝1时，﹣（x+1）2+4＝1，可得x＝﹣1±，因为﹣1+＞，所以﹣1﹣≤x≤时，函数值y的最小值为1，进而可以解决问题．【解答】解：∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，∴图象开口向下，顶点坐标为（﹣1，4），根据题意，当a≤x≤时，函数值y的最小值为1，当y＝1时，﹣（x+1）2+4＝1，∴x＝﹣1±，∵﹣1+＞，∴﹣1﹣≤x≤时，函数值y的最小值为1，∴a＝﹣1﹣．故答案为：﹣1﹣．15．（2022•黔东南州）若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝ax+b与反比例函数y＝﹣在同一坐标系内的大致图象为（）A．B．C．D．【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置及抛物线与y轴交点位置判断a，b，c的符号，从而可得直线与反比例函数图象的大致图象．【解答】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线对称轴在y轴左侧，∴b＞0，∵抛物线与y轴交点在x轴下方，∴c＜0，∴直线y＝ax+b经过第一，二，三象限，反比例函数y＝﹣图象经过一，三象限，故选：C．16．（2022•湖北）二次函数y＝（x+m）2+n的图象如图所示，则一次函数y＝mx+n的图象经过（）A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限【分析】由抛物线顶点式可得抛物线顶点坐标，由图象可得m，n的符号，进而求解．【解答】解：∵y＝（x+m）2+n，∴抛物线顶点坐标为（﹣m，n），∵抛物线顶点在第四象限，∴m＜0，n＜0，∴直线y＝mx+n经过第二，三，四象限，故选：D．17．（2022•南充）已知点M（x1，y1），N（x2，y2）在抛物线y＝mx2﹣2m2x+n（m≠0）上，当x1+x2＞4且x1＜x2时，都有y1＜y2，则m的取值范围为（）A．0＜m≤2B．﹣2≤m＜0C．m＞2D．m＜﹣2【分析】根据题意和题目中的抛物线，可以求得抛物线的对称轴，然后分类讨论即可得到m的取值范围．【解答】解：∵抛物线y＝mx2﹣2m2x+n（m≠0），∴该抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝m，∵当x1+x2＞4且x1＜x2时，都有y1＜y2，∴当m＞0时，0＜2m≤4，解得0＜m≤2；当m＜0时，2m＞4，此时m无解；由上可得，m的取值范围为0＜m≤2，故选：A．18．（2022•呼和浩特）在平面直角坐标系中，点C和点D的坐标分别为（﹣1，﹣1）和（4，﹣1），抛物线y＝mx2﹣2mx+2（m≠0）与线段CD只有一个公共点，则m的取值范围是．【分析】根据抛物线求出对称轴x＝1，y轴的交点坐标为（0，2），顶点坐标为（1，2﹣m），直线CD的表达式y＝﹣1，分两种情况讨论：m＞0时或m＜0时，利用抛物线的性质分析求解．【解答】解：抛物线的对称轴为：x＝﹣＝1，当x＝0时，y＝2，∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，2），顶点坐标为（1，2﹣m），直线CD的表达式y＝﹣1，当m＞0时，且抛物线过点D（4，﹣1）时，16m﹣8m+2＝﹣1，解得：m＝﹣（不符合题意，舍去），当抛物线经过点（﹣1，﹣1）时，m+2m+2＝﹣1，解得：m＝﹣1（不符合题意，舍去），当m＞0且抛物线的顶点在线段CD上时，2﹣m＝﹣1，解得：m＝3，当m＜0时，且抛物线过点D（4，﹣1）时，16m﹣8m+2＝﹣1，解得：m＝﹣，当抛物线经过点（﹣1，﹣1）时，m+2m+2＝﹣1，解得：m＝﹣1，综上，m的取值范围为m＝3或﹣1＜m≤﹣，故答案为：m＝3或﹣1＜m≤﹣．19．（2022•包头）已知实数a，b满足b﹣a＝1，则代数式a2+2b﹣6a+7的最小值等于（）A．5B．4C．3D．2【分析】由题意得b＝a+1，代入代数式a2+2b﹣6a+7可得（a﹣2）2+5，故此题的最小值是5．【解答】解：∵b﹣a＝1，∴b＝a+1，∴a2+2b﹣6a+7＝a2+2（a+1）﹣6a+7＝a2+2a+2﹣6a+7＝a2﹣4a+4+5＝（a﹣2）2+5，∴代数式a2+2b﹣6a+7的最小值等于5，故选：A．20．（2022•贺州）已知二次函数y＝2x2﹣4x﹣1在0≤x≤a时，y取得的最大值为15，则a 的值为（）A．1B．2C．3D．4【分析】先找到二次函数的对称轴和顶点坐标，求出y＝15时，x的值，再根据二次函数的性质得出答案．【解答】解：∵二次函数y＝2x2﹣4x﹣1＝2（x﹣1）2﹣3，∴抛物线的对称轴为x ＝1，顶点（1，﹣3），∴当y ＝﹣3时，x ＝1，当y ＝15时，2（x ﹣1）2﹣3＝15，解得x ＝4或x ＝﹣2，∵当0≤x ≤a 时，y 的最大值为15，∴a ＝4，故选：D ．21．（2022•嘉兴）已知点A （a ，b ），B （4，c ）在直线y ＝kx +3（k 为常数，k ≠0）上，若ab 的最大值为9，则c 的值为（ ）A ．1B ．23C ．2D ．25 【分析】由点A （a ，b ），B （4，c ）在直线y ＝kx +3上，可得，即得ab ＝a （ak +3）＝ka 2+3a ＝k （a +）2﹣，根据ab 的最大值为9，得k ＝﹣，即可求出c ＝2．【解答】解：∵点A （a ，b ），B （4，c ）在直线y ＝kx +3上，∴，由①可得：ab ＝a （ak +3）＝ka 2+3a ＝k （a +）2﹣， ∵ab 的最大值为9，∴k ＜0，﹣＝9，解得k ＝﹣，把k ＝﹣代入②得：4×（﹣）+3＝c ，∴c ＝2，故选：C ．22．（2022•凉山州）已知实数a 、b 满足a ﹣b 2＝4，则代数式a 2﹣3b 2+a ﹣14的最小值是 ．【分析】根据a ﹣b 2＝4得出b 2＝a ﹣4，代入代数式a 2﹣3b 2+a ﹣14中，然后结合二次函数的性质即可得到答案．【解答】解：∵a ﹣b 2＝4，∴b2＝a﹣4，∴原式＝a2﹣3（a﹣4）+a﹣14＝a2﹣3a+12+a﹣14＝a2﹣2a﹣2＝a2﹣2a+1﹣1﹣2＝（a﹣1）2﹣3，∵1＞0，又∵b2＝a﹣4≥0，∴a≥4，∵1＞0，∴当a≥4时，原式的值随着a的增大而增大，∴当a＝4时，原式取最小值为6，故答案为：6．。

2016年中考数学二次函数综合题练习【二次函数中新定义问题】1、在平面直角坐标系xOy 中，对于点P （x ，y ）和Q （x ，y ′），给出如下定义：如果()()0'0y x y y x ⎧⎪=⎨-⎪⎩≥＜，那么称点Q 为点P 的“关联点”． 例如：点（5，6）的“关联点”为点（5，6），点（－5，6）的“关联点”为点（－5，－6）．（1）下面哪个点的“关联点”在函数3y x=的图象上？ （ ） A 、（0，0）B 、（3，－1）A 、（－1，3）D 、（－3，1）（2）如果一次函数y = x + 3图象上点M 的“关联点”是N （m ，2)，求点M 的坐标；（3）如果点P 在函数24y x =-+（－2＜x ≤a ）的图象上，其“关联点”Q 的纵坐标y ′的取值范围是－4＜y ′≤4，求实数a 的取值范围．xyOxyOO x y D 1D 2B 3A 3D 3CA B A 2B 2A 1B 1C 2C 12、在平面直角坐标系xOy 中，对于任意三点A ，B ，C ，给出如下定义： 若矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且A ，B ，C 三点 都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点A ，B ，C 的外延矩形。

点A ，B ，C 的所有外延矩形中，面积最小的矩形称为点A ，B ， C 的最佳外延矩形．例如，图中的矩形1111D C B A ，2222D C B A ，333CD B A 都是点A ，B ，C 的外延矩形，矩形333CD B A 是点A ，B ，C 的最佳外延矩形．（1）如图1，已知A （－2，0），B （4，3），C （0，t ）． ①若2=t ，则点A ，B ，C 的最佳外延矩形的面积为； ②若点A ，B ，C 的最佳外延矩形的面积为24，则t 的值为；（2）如图2，已知点M （6，0），N （0，8）．P （x ，y ）是抛物线542++-x x y ＝上一点，求点M ，N ，P 的最佳外延矩形面积的最小值，以及此时点P 的横坐标x 的取值范围；（3）如图3，已知点D （1，1）．E （m ，n ）是函数)0(4>=x xy 的图象上一点，矩形OFEG 是点O ，D ，E 的一个面积最小的最佳外延矩形，⊙H 是矩形OFEG 的外接圆，请直接写出⊙H 的半径r 的取值范围．3、在平面直角坐标系中，如果点P 的横坐标和纵坐标相等，则称点P 为和谐点．例如点（1，1），(31-，31-)，(2-，2-)，…，都是和谐点． （1）分别判断函数12+-=x y 和12+=x y 的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标；（2）若二次函数)0(42≠++=a c x ax y 的图象上有且只有一个和谐点(23，23)，且当m x ≤≤0 时，函数)0(4342≠-++=a c x ax y 的最小值为－3，最大值为1，求m 的取值范围． （3）和谐点为P 的直线2+=kx y 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，与反比例函数xny =的图象交于M ，N 两点（点M 在点N 的左侧），若点P 的横坐标为1，且23<+AN AM ，请直接写出n 的取值范围．yxO11yxO114、（北京房山模拟）【探究】如图1，点()N m ,n是抛物线21114y x =-上的任意一点，l 是过点()02,-且与x 轴平行的直线，过点N 作直线NH ⊥l ，垂足为H .①计算: m=0时，NH=;m =4时，NO =.②猜想: m 取任意值时，NONH (填“＞”、“＝”或“＜”).【定义】我们定义：对于平面内一个定点F 和一条不经过点F 的定直线l ，如果抛物线上任意一点到点F 的距离和它到直线l 的距离都相等，则称点F 叫做抛物线的“焦点”，直线l 叫做抛物线的“准线”.如图1中的点O 即为抛物线21114y x =-的“焦点”，直线l :2y =-即为抛物线1y 的“准线”.可以发现“焦点”F 在抛物线的对称轴上.【应用】（1）如图2，“焦点”为F (-4，-1)、“准线”为l 的抛物线()221+44y x k =+与y 轴交于点N （0，2），点M 为直线FN 与抛物线的另一交点，MQ ⊥l 于点Q ，直线l 交y 轴于点H .①直接写出抛物线y 2的“准线”l ：； ②计算求值：NHMQ 11+ （2）如图3，在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为圆心，半径为1的⊙O 与x 轴分别交于A 、B 两点（A 在B 的左侧），直线y =33x +n 与⊙O 只有一个公共点F ，求以F 为“焦点”、x 轴为“准线”的抛物线23y ax bx c =++的表达式.图2y xMNF O图3yxBAO图1yx l-2H ON5、如图1，抛物线2y ax bx c(a 0)=++>的顶点为M ，直线y=m 与x 轴平行，且与抛物线交于点A ，B ，若△AMB 为等腰直角三角形，我们把抛物线上A 、B 两点之间的部分与线段AB 围成的图形称为该抛物线对应的准蝶形，线段AB 称为碟宽，顶点M 称为碟顶，点M 到线段AB 的距离称为碟高.（1）抛物线21y x 2=对应的碟宽为；抛物线2y 4x =对应的碟宽为；抛物线2y ax =（a>0）对应的碟宽为；抛物线2y a(x 2)3(a 0)=-+>对应的碟宽； （2）若抛物线25y ax 4ax (a 0)3=-->对应的碟宽为6，且在x 轴上，求a 的值；（3）将抛物线2n n n n n y a x b x c (a 0)=++>的对应准蝶形记为F n （n=1,2,3，…），定义F 1，F 2，…..F n 为相似准蝶形，相应的碟宽之比即为相似比. 若F n 与F n-1的相似比为12，且F n 的碟顶是F n-1的碟宽的中点，现在将（2）中求得的抛物线记为y 1，其对应的准蝶形记为F 1. ①求抛物线y 2的表达式② 若F 1的碟高为h 1,F 2的碟高为h 2，…F n 的碟高为h n 。

专题训练与二次函数相关的新定义问题►类型之一应用型：阅读——理解——建模——应用1．如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，点A，B，C，D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，AB为半圆的直径，且抛物线的函数表达式为y＝x2－2x－3，则半圆圆心M点的坐标为________.2．一个函数的图象关于y轴成轴对称图形时，我们称该函数为“偶函数”．如果二次函数y＝x2＋bx－4是“偶函数”，该函数的图象与x轴交于点A和点B，顶点为P，那么△ABP的面积是________．3．如果两个二次函数的图象关于y轴对称，我们就称这两个二次函数互为“关于y轴对称二次函数”，如图所示，二次函数y1＝x2＋2x＋2与y2＝x2－2x＋2是“关于y轴对称二次函数”．(1)直接写出两条图中“关于y轴对称二次函数”图象所具有的特点．(2)二次函数y＝2(x＋2)2＋1的“关于y轴对称二次函数”表达式为____________；二次函数y＝a(x－h)2＋k的“关于y轴对称二次函数”表达式为____________．(3)平面直角坐标系中，记“关于y轴对称二次函数”的图象与y轴的交点为A，它们的两个顶点分别为B，C，且BC＝6，顺次连结点A，B，O，C得到一个面积为24的菱形，求“关于y 轴对称二次函数”的表达式．►类型之二探究型：阅读——理解——尝试——探究4．若抛物线y＝ax2＋bx＋c过定点M(1，1)，则称此抛物线为定点抛物线．(1)张老师在投影屏幕上出示了一个题目：请你写出一条定点抛物线的函数表达式．小敏写出了一个答案：y＝2x2＋3x－4，请你写出一个不同于小敏的答案；(2)张老师又在投影屏幕上出示了一个思考题：已知定点抛物线y＝－x2＋2bx＋c＋1，求该抛物线顶点纵坐标的值最小时的函数表达式．请你解答．5．定义：如图①，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A，B两点，点P在该抛物线上(点P与A，B两点不重合)，若△ABP的三边满足AP2＋BP2＝AB2，则称点P为抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的勾股点．(1)直接写出抛物线y＝－x2＋1的勾股点的坐标；(2)如图②，已知抛物线C：y＝ax2＋bx(a≠0)与x轴交于A，B两点，点P(1，3)是抛物线C 的勾股点，求抛物线C的函数表达式；(3)在(2)的条件下，点Q在抛物线C上，求满足条件S△ABQ ＝S△ABP的点Q(异于点P)的坐标．6．在平面直角坐标系中，我们把直线y＝ax＋c称为抛物线y＝ax2＋bx＋c的生成线，抛物线与它生成线的交点称为抛物线的生成点，例如：抛物线y＝x2－2的生成线是直线y＝x－2，生成点是(0，－2)和(1，－1)．(1)若抛物线y＝mx2－5x－2的生成线是直线y＝－3x－n，求m与n的值．(2)已知抛物线y＝x2－3x＋3如图所示，若它的一个生成点是(m，m＋3)．①求m的值．②若抛物线y＝x2＋px＋q是由抛物线y＝x2－3x＋3平移所得(不重合)，且同时满足以下两个条件：一是这两个抛物线具有相同的生成线；二是若抛物线y＝x2－3x＋3的生成点为点A，B，抛物线y＝x2＋px＋q的生成点为点C，D，则AB＝CD.求p与q的值．7．在平面直角坐标系中，我们定义直线y＝ax－a为抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)的“梦想直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y轴上的三角形为其“梦想三角形”．已知抛物线y＝－2 33x2－4 33x＋2 3与其“梦想直线”交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与x轴负半轴交于点C.(1)填空：该抛物线的“梦想直线”的函数表达式为__________________，点A的坐标为________，点B的坐标为________．(2)如图，M为线段CB上一动点，将△ACM以AM所在直线为对称轴翻折，点C的对称点为N，若△AMN为该抛物线的“梦想三角形”，求点N的坐标．(3)当点E在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“梦想直线”上，是否存在点F，使得以点A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E，F的坐标；若不存在，请说明理由．►类型之三概括型：阅读——理解——概括——拓展8．设a，b是任意两个实数，用max{a，b}表示a，b两数中较大者，例如：max{－1，－1}＝－1，max{1，2}＝2，max{4，3}＝4，参照上面的材料，解答下列问题：(1)max{5，2}＝________，max{0，3}＝________；(2)若max{3x＋1，－x＋1}＝－x＋1，求x的取值范围；(3)求函数y＝x2－2x－4与y＝－x＋2的图象的交点坐标，函数y＝x2－2x－4的图象如图所示，请你在图中作出函数y＝－x＋2的图象，并根据图象直接写出max{－x＋2，x2－2x－4}的最小值．详解详析1．(1，0) [解析] 解x2－2x－3＝0得x1＝－1，x2＝3，所以抛物线与x轴交于点A(－1，0)，B(3，0)，所以AB＝4，所以点M的坐标为(1，0)．2．8 [解析] ∵二次函数y＝x2＋bx－4是“偶函数”，∴－b2×1＝0，∴b＝0，∴函数表达式为y＝x2－4，令y＝0，则x2－4＝0，解得x1＝－2，x2＝2，∴A(－2，0)，B(2，0)，∴AB＝2－(－2)＝4.令x＝0，则y＝－4，∴点P的坐标为(0，－4)，∴△ABP的面积＝12×4×4＝8.3．解：(1)顶点关于y轴对称，对称轴关于y轴对称．(答案不唯一)(2)y＝2(x－2)2＋1 y＝a(x＋h)2＋k(3)(答案不唯一)如图，由BC＝6，顺次连结点A，B，O，C得到一个面积为24的菱形，得OA＝8，点A的坐标为(0，8)，点B的坐标为(－3，4)．设左侧抛物线的函数表达式为y＝a(x ＋3)2＋4，将点A 的坐标代入，得9a ＋4＝8， 解得a ＝49，故y ＝49(x ＋3)2＋4，其“关于y 轴对称二次函数”的表达式为y ＝49(x －3)2＋4.根据对称性，开口向下的抛物线也符合题意，“关于y 轴对称二次函数”的表达式为y ＝－49(x ＋3)2－4和y ＝－49(x －3)2－4.4．解：(1)答案不唯一，合理即可．(2)因为抛物线的函数表达式可化为y ＝－(x 2－2bx ＋b 2)＋b 2＋c ＋1＝－(x －b)2＋b 2＋c ＋1，所以此定点抛物线的顶点坐标为(b ，b 2＋c ＋1)．因为抛物线过定点M(1，1)，将其代入函数表达式可得－1＋2b ＋c ＋1＝1，解得c ＝1－2b ，则顶点纵坐标b 2＋c ＋1＝b 2＋1－2b ＋1＝(b －1)2＋1，所以当b ＝1时，b 2＋c ＋1的值最小为1，此时c ＝1－2b ＝1－2×1＝－1.故抛物线的函数表达式为y ＝－x 2＋2x.5．解：(1)抛物线y ＝－x 2＋1的勾股点的坐标为(0，1)． (2)抛物线y ＝ax 2＋bx 过原点，即点A(0，0)． 如图，过点P 作PG ⊥x 轴于点G.∵点P 的坐标为(1，3)，∴AG ＝1，PG ＝3，PA ＝AG 2＋PG 2＝12＋（3）2＝2，∴∠PAG＝60°，∴AB＝2PA＝4，∴点B的坐标为(4，0)．设抛物线C的函数表达式为y＝ax(x－4)，将P(1，3)代入得a＝－3 3，∴y＝－33x(x－4)＝－33x2＋4 33x.(3)①当点Q在x轴上方时，由S△ABQ ＝S△ABP知点Q的纵坐标为3，则有－33x2＋4 33x＝3，解得x1＝3，x2＝1，∴点Q的坐标为(3，3)；②当点Q在x轴下方时，由S△ABQ ＝S△ABP知点Q的纵坐标为－3，则有－33x2＋4 33x＝－3，解得x1＝2＋7，x2＝2－7，∴点Q的坐标为(2＋7，－3)或(2－7，－3)．综上，满足条件的点Q有3个，其坐标为(3，3)或(2＋7，－3)或(2－7，－3)．6．解：(1)∵抛物线y＝mx2－5x－2的生成线是直线y＝－3x－n，∴m＝－3，－n＝－2，∴n＝2.(2)①∵抛物线y＝x2－3x＋3的一个生成点是(m，m＋3)，∴m＋3＝m2－3m＋3，整理，得m2－4m＝0，解得m＝0或4.②∵抛物线y＝x2＋px＋q是由抛物线y＝x2－3x＋3平移所得(不重合)，且这两个抛物线具有相同的生成线，∴q＝3.∵抛物线y＝x2－3x＋3与它生成线y＝x＋3的生成点为(0，3)，(4，7)，∴AB2＝(4－0)2＋(7－3)2＝32.∵抛物线y＝x2＋px＋3与它生成线y＝x＋3的生成点为(0，3)，(1－p，4－p)，∴CD2＝(1－p－0)2＋(4－p－3)2＝2(1－p)2.∵AB＝CD，∴2(1－p)2＝32，∴p＝5或－3.∵抛物线y＝x2＋px＋3与抛物线y＝x2－3x＋3不重合，∴p＝－3不合题意，应舍去，∴p＝5.7．解：(1)y＝－2 33x＋2 33(－2，2 3) (1，0)(2)∵抛物线与x轴负半轴交于点C，∴C(－3，0)．过点A作AG⊥y轴，垂足为G. 当点N在y轴上时，△AMN为“梦想三角形”．设N(0，n)，∵A(－2，2 3)，C(－3，0)，∴AC＝13，∴AN＝AC＝13.在Rt △AGN 中，AG 2＋GN 2＝AN 2，AG ＝2，GN ＝|n －2 3|， ∴4＋(n －2 3)2＝13，解得n ＝2 3－3或n ＝2 3＋3. 设M(m ，0)，当n ＝2 3－3时，在Rt △MNO 中，(2 3－3)2＋m 2＝(m ＋3)2，解得m ＝2－2 3； 当n ＝2 3＋3时，在Rt △MNO 中，(2 3＋3)2＋m 2＝(m ＋3)2，解得m ＝2＋2 3. ∵－3＜m ≤1，∴m ＝2＋2 3不合题意，舍去． ∴m ＝2－2 3，此时n ＝2 3－3， ∴N(0，2 3－3)；当点M 在y 轴上时，△AMN 为“梦想三角形”，此时点M 与点O 重合，在Rt △AGM 中，AG ＝2，GM ＝2 3， ∴AG GM ＝33，∴∠AMG ＝30°， ∴∠AMC ＝∠AMN ＝∠NMB ＝60°.过点N 作NP ⊥x 轴于点P ，在Rt △NMP 中，MN ＝CM ＝3， ∴NP ＝3 32，OP ＝32，∴N ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3 32. 综上所述，点N 的坐标为(0，2 3－3)或⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3 32.(3)E 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－4 33，F 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2 33； E 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－4 33，F 2⎝⎛⎭⎪⎫－4，10 33. 8．解：(1)5 3(2)由题意可得3x ＋1≤－x ＋1，解得x ≤0.(3)由题意得⎩⎨⎧y ＝－x ＋2，y ＝x 2－2x －4， 解得⎩⎨⎧x 1＝－2，y 1＝4， ⎩⎨⎧x 2＝3，y 2＝－1，∴交点坐标为(－2，4)和(3，－1)．所作的函数y ＝－x ＋2的图象如图所示．由图象可知：当x ＝3时，max{－x ＋2，x 2－2x －4}有最小值－1.。

一、选择题1.（2019·岳阳）对于一个函数，自变量x 取a 时，函数值y 也等于a ，我们称a 为这个函数的不动点．如果二次函数y =x 2+2x +c 有两个相异的不动点x 1、x 2，且x 1＜1＜x 2，则c 的取值范围是（） A ．c ＜－3 B ．c ＜－2 C ．14c <D ．c ＜1 【答案】B【解析】 当y =x 时，x =x 2+2x +c ，即为x 2+x +c =0，由题意可知：x 1，x 2是该方程的两个实数根，所以12121x x x x c+=-⎧⎨⋅=⎩∵x 1＜1＜x 2，∴（x 1－1）（x 2－1）＜0， 即x 1x 2－(x 1＋x 2) ＋1＜0， ∴c －(－1)＋1＜0， ∴c ＜－2.又知方程有两个不相等的实数根，故Δ＞0， 即12－4c ＞0， 解得：c ＜14.∴c 的取值范围为c ＜－2 .2.（2019·济宁）−1，－1的差类推，那么a 1＋a 2＋…＋a 100的值是（） A ．－7.5 B ．7.5 C ．5.5 D ．－5.5 【答案】A【解析】二、填空题18．（2019·娄底） 已知点P()00,x y 到直线y kx b =+的距离可表示为d =0，1）到直线y ＝2x+6的距离d ==y x =与4y x =-之间的距离为___________． 【答案】．【解析】在直线y x =上任取点，不妨取（0，0），根据两条平行线之间距离的定义可知，（0，0）到直线4y x =-的距离就是两平行直线y x =与4y x =-之间的距离．d ===． 16．（2019·常德）规定：如果一个四边形有一组对边平行，一组邻边相等，那么四边形为广义菱形．根据规定判断下面四个结论：①正方形和菱形都是广义菱形；②平行四边形是广义菱形；③对角线互相垂直，且两组邻边分别相等的四边形是广义菱形；④若M 、N 的坐标分别为(0，1)，(0，－1)，P 是二次函数y ＝x 2的图象上在第一象限内的任意一点，PQ 垂直直线y ＝－1于点Q ，则四边形PMNQ 是广义菱形．其中正确的是 ．（填序号）【答案】①④【解析】正方形和菱形满足一组对边平行，一组邻边相等，故都是广义菱形，故①正确；平行四边形虽然满足一组对边平行，但是邻边不一定相等，因此不是广义菱形，故②错误；对角线互相垂直，且两组邻边分别相等的四边形的对边不一定平行，邻边也不一定相等，因此不是广义菱形，故③错误；④中的四边形PMNQ 满足MN ∥PQ ，设P (m ，0)（m ＞0），∵PM＝＋1，PQ ＝－(－1)＝＋1，∴PM ＝PQ ，故四边形PMNQ 是广义菱形．综上所述正确的是①④．17．（2019·陇南）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k 称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC 中，∠A ＝80°，则它的特征值k ＝ ．【答案】85或14． 【解析】当∠A 是顶角时，底角是50°，则k=808505=o o ；当∠A 是底角时，则底角是20°，k=201804=o o ，故答案为：85或14．三、解答题1.（2019·重庆A 卷）《道德经》中的“道生一，一生二，二生三，三生万物”道出了自然数的特征．在数的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时，我们研究了奇数、偶数、质数、合数等．现在我们来研究另一种特珠的自然数—“纯数”．定义：对于自然数n ，在计算n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)时，各数位都不产生进位，则称这个自然数n 为“纯数”，例如：32是”纯数”，因为计算32＋33＋34时，各数位都不产生进位；23不是“纯数”，因为计算23＋24＋25时，个位产生了进位．（1）判断2019和2020是否是“纯数”？请说明理由； （2）求出不大于100的“纯数”的个数．解：（1）2019不是“纯数”，2020是“纯数”，理由如下：∵在计算2019＋2020＋2021时，个位产生了进位，而计算2020＋2021＋2022时，各数位都不产生进位，∴2019不是“纯数”，2020是“纯数”．（2）由题意可知，连续三个自然数的个位不同，其他位都相同，并且连续的三个自然数个位为0、1、2时，不会产生进位；其他位的数字为0、1、2、3时，不会产生进位．现分三种情况讨论如下：①当这个数为一位自然数时，只能是0、1、2，共3个；14214m 214m 214m②当这个数为二位自然数时，十位只能为1、2、3，个位只能为0、1、2，即10、11、12、20、21、22、30、31、32共9个； ③当这个数为100时，易知100是“纯数”． 综上，不大于100的“纯数”的个数为3＋9＋1＝13．2.（2019·重庆B 卷）在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时，我们研究了偶数、奇数、合数、质数等. 现在我们来研究一种特殊的自然数——“纯数”.定义：对于自然数，在通过列竖式进行的运算时各位都不产生进位现象，则称这个自然数为“纯数”.例如：是“纯数”，因为在列竖式计算时各位都不产生进位现象； 不是“纯数”，因为在列竖式计算时个位产生了进位. ⑴请直接写出1949到2019之间的“纯数”；⑵求出不大于100的“纯数”的个数，并说明理由.解：（1）1949到2019之间的“纯数”为2000、2001、2002、2010、2011、2012 . （2）由题意：不大于100的“纯数”包含：一位数、两位数和三位数100若n 为一位数，则有n +（n +1）+（n +2）＜10，解得：n ＜3，所以：小于10的“纯数数”有0、1、2，共3个．两位数须满足：十位数可以是1、2、3，个位数可以是0、1、2，列举共有9个分别是10、11、12、20、21、22、30、31、32；三位数为100，共1个所以：不大于100的“纯数”共有13个.3.（2019·衢州）定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A （a ，b ），B （c ，d ），若点T （x ，y ）满是x =3a c +，y =3b d +，那么称点T 是点A ，B 的融合点。

2024年九年级中考数学专题复习：新定义型问题与二次函数相关的问题一、单选题1在R 上定义运算⊗:x ⊗y =x (1-y )，若不等式(x -a )⊗x +a <1对任意实数x 成立，则实数a 的取值范围()A.-1<a <1B.0<a <2C.-12<a <32D.-32<a <12【答案】C【分析】本题的考点是函数恒成立问题，主要考查了函数恒成立问题，关键是理解新定义的运算，掌握将不等式转化为二次不等式，解决恒成立问题转化成图象恒在x 轴上方，从而有△<0，解△<0即可.【详解】根据运算法则得x -a ⊗x +a =x -a 1-x -a <1化简得：x 2-x -a 2+a +1>0在R 上恒成立,即Δ<0，1-4-a ²+a +1 <0，即4a 2-4a -3<0,解得-12<a <32，故选:C .2我们定义一种新函数：形如y =ax 2+bx +c a ≠0,b 2-4ac >0 的函数叫做“鹊桥”函数．数学兴趣小组画出一个“鹊桥”函数y =x 2+bx +c 的图象如图所示，则下列结论正确的是()A.bc <0B.当x =1时，函数的最大值是4C.当直线y =x +m 与该图象恰有三个公共点时，则m =1D.关于x 的方程x 2+bx +c =3的所有实数根的和为4【答案】D【分析】本题考查二次函数的应用、新定义、二次函数的性质，由-1，0 ，3，0 是函数图象和x 轴的交点，利用待定系数法求得b 、c 的值可判断A 错误；根据图象可判断B 错误；由图象可判断C 错误；由题意可得x 2-2x -3=3或x 2-2x -3=-3，利用根与系数的关系可判断D 正确．利用数形结合的思想解答是解题的关键．【详解】解：∵-1，0 ，3，0 是函数图象和x 轴的交点，∴1-b +c =09+3b +c =0，解得：b =-2c =-3 ，∴bc =-2 ×-3 =6>0，故A 错误；由图象可得，函数没有最大值，故B 错误；如图，当直线y =x +m 与该图象恰有三个公共点时，应该有2条直线，故C 错误；关于x 的方程x 2+bx +c =3，即x 2-2x -3=3或x 2-2x -3=-3，当x 2-2x -3=3时，x 1+x 2=--21=2，当x 2-2x -3=-3时，x 3+x 4=--21=2，∴关于x 的方程x 2+bx +c =3的所有实数根的和为2+2=4，故D 正确，故选：D ．3我们定义：若点A 在某一个函数的图象上，且点A 的横纵坐标相等，我们称点A 为这个函数的“好点”.若关于x 的二次函数y =ax 2+tx -3t 对于任意的常数t ，恒有两个“好点”，则a 的取值范围为()A.0<a <13B.0<a <12C.13<a <12D.12<a <1【答案】A【分析】“好点”A 的横纵坐标相等，即：x =y =ax 2+tx -3t a ≠0 ，Δ=(t -1)2+12at >0，整理得：t 2-2-12a t +1=0，△1=(2-12a )2-4<0，即可求解．【详解】解：“好点”A 的横纵坐标相等，∴x =y =ax 2+tx -3t a ≠0 ，∴ax 2+t -1 x -3t =0，Δ=b 2-4ac =(t -1)2+12at >0，整理得：t 2-2-12a t +1>0，∵1>0，故当Δ<0时，抛物线开口向上，且与x 轴没有交点，故上式成立，△1=(2-12a )2-4<0，解得：0<a <13，故选：A ．【点睛】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，要求学生熟悉函数的基本性质，能熟练求解函数与坐标轴的交点及顶点的坐标等．4对于实数a ,b ，定义符号min a ,b ，其意义为：min a ,b =ba ≥baa <b ．例如：min =2,-1 =-1，若关于x 的函数y =min 2x -1,-x +3,x 2-ax 则使该函数的最大值小于0时a 的范围是()A.a >2B.-1<a <0C.1<a <2D.a >3【答案】D【分析】画出y =2x -1,y =-x +3,y =x 2-ax 的函数图象，根据题意，最大值小于0时，结合函数图象，即可求解．【详解】解：如图所示，y =min 2x -1,-x +3,x 2-ax 即为函数图象的红色部分，由y=x2-ax，令y=0，则x2-ax=0解得：x1=0,x2=a∵y=x2-ax经过原点，y=-x+3与x轴的交点为3，0，∴当y=min2x-1,-x+3,x2-ax最大值小于0时，则y=x2-ax与x轴的交点在3,0的右侧，∴a>3故选：D【点睛】本题考查了新定义、一元一次不等式以及二次函数、一次函数的交点问题，认真阅读理解其意义，并利用数形结合的思想解决函数的最值问题．5定义：两个不相交的函数图象在平行于y轴方向上的最短距离称为这两个函数的“完美距离”．抛物线y=2x2-5x+3与直线y=-2x-1的“完美距离”为()A.238B.3 C.278D.218【答案】A【分析】先判断抛物线与直线无交点，再根据定义和二次函数的性质求解即可．【详解】解：由2x2-5x+3=-2x-1得2x2-3x+4=0，∵Δ=-32-4×2×4=-23<0，∴方程2x2-3x+4=0没有实数根，∴抛物线y=2x2-5x+3与直线y=-2x-1不相交，设w=2x2-5x+3--2x-1=2x2-3x+4=2x-342+238，∵2>0，∴当x=34时，w有最小值为23 8，即抛物线y=2x2-5x+3与直线y=-2x-1的“完美距离”为23 8，故选：A．【点睛】本题考查二次函数的性质、一元二次方程根的判别式，理解题中定义，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键．6定义运算“※”为：a※b=ab2(b>0)-ab2b≤0，如：1※-2 =-1×(-2)2=-4，则函数y=2※x的图象大致是()A. B.C. D.【答案】D【分析】根据定义运算“※”为：a※b=ab2(b>0)-ab2b≤0，可得y=2※x的函数解析式，根据函数解析式，可得函数图象．【详解】解：y=2※x=2x2(x>0) -2x2x≤0，x>0时，图象是y=2x2对称轴右侧的部分；x≤0时，图象是y=-2x2对称轴左侧的部分，故选：D．【点睛】本题考查了二次函数的图象，利用定义运算“※”为：a※b=ab2(b>0)-ab2b≤0得出分段函数是解题关键．7新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点．若二次函数y=x2-x+c(c为常数)在-2<x<4的图象上存在两个二倍点，则c的取值范围是()A.-2<c<14B.-2<c<94C.-4<c<14D.-4<c<94【答案】D【分析】由点的纵坐标是横坐标的2倍可得二倍点在直线y=2x上，由-2<x<4可得二倍点所在线段AB的端点坐标，结合图象，通过求抛物线与线段交点求解．【详解】解：由题意可得二倍点所在直线为y=2x，将x=-2代入y=2x得y=-4，将x=4代入y=2x得y=8，设A(-2,-4)，B(4,8)，如图，联立方程x2-x+c=2x，当△>0时，抛物线与直线y=2x有两个交点，即9-4c>0，解得c<9 4，此时，直线x=-2和直线x=4与抛物线交点在点A，B上方时，抛物线与线段AB有两个交点，把x=-2代入y=x2-x+c得y=6+c，把x=4代入y=x2-x+c得y=12+c，∴6+c>-4 12+c>8 ，解得c>-4，∴-4<c<94满足题意．故选：D．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键掌握函数与方程及不等式的关系，将代数问题转化为图形问题求解．8对于任意实数a和b，定义新运算，a#b=a2-ab a≥bb2-ab a<b有下列四个结论，其中正确的结论个数为()①2#-1的运算结果为6；②方程3x#x-2=0的解为x1=0，x2=-1；③当x<5时，函数y=2#x-3的图像经过第一、二、四象限；④函数y=2x#x-1的图像不经过第二、四象限．A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C【分析】本题主要考查了实数的运算，解一元二次方程，二次函数的性质，熟练掌握解一元二次方程的方法以及二次函数的性质是解题的关键．根据新定义的运算即可判断①；分两种情况讨论得到一元二次方程，解方程即可判断②；根据二次函数的性质即可判断③；利用二次函数的图像即可判断④．【详解】解：①∵2>-1，∴2#-1=22-2×-1=6，故正确；②当3x≥x-2时，即x≥-1时，方程为9x2-3x x-2=0，整理得6x2+6x=0，解得x1=0，x2=-1，当3x <x -2时，即x <-1时，方程为x -2 2-3x x -2 =0，整理得x 2-x -2=0，解得x =2或x =-1(不符合题意，舍去)，∴方程3x #x -2 =0的解为x 1=0，x 2=-1，故正确；③∵当x <5时，函数y =2#x -3 =4-2x -3 =-2x +10，∴函数y =2#x -3 的图像经过第一、二象限，故错误；④当2x ≥x -1时，即x ≥-1时，函数为y =4x 2-2x x -1 =2x +12 2-12，当2x <x -1时，即x <-1时，函数为y =x -1 2-2x x -1 =-x 2+1，画出函数图像如下：由图可知函数图像不经过第二、四象限，故正确；故选：C ．二、填空题9定义：两个不相交的函数图象在竖直方向上的最短距离，叫做这两个函数的“向心值”．则抛物线y =x 2-2x +3与直线y =x -2的“向心值”为．【答案】114【分析】此题考查了一次函数，二次函数的性质以及新定义问题，解题的关键是熟练掌握正确分析“向心值”的概念．根据“向心值”的概念让两个表达式相减，然后求解得到的二次函数最小值即可．【详解】解：∵两个不相交的函数图象在竖直方向上的最短距离为这两个函数的“向心值”，∴设“向心值”为w ，∴w =x 2-2x +3-x -2 =x 2-3x +5=x -322+114，∴w 的最小值为114．故答案为：114．10定义一种新的运算“早”，运算规则如下：(1)当a ≥b 时，a ♀b =a ；(2)当a <b 时，a ♀b =b 2．那么当-2≤x ≤2时，1♀x ♀x -2♀x 的最大值是．【答案】2【分析】本题主要考查了新运算法则、二次函数的性质等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键．分-2≤x ≤1和1≤x ≤2两种情况，分别根据新运算法则求出最值，然后进行比较即可解答．【详解】解：当-2≤x ≤1时，1♀x ♀x -2♀x =1♀x -2=1-2=-1；当1≤x≤2时，1♀x=x2♀x-2=x2-2；♀x-2♀x∵a=1>0，对称轴为x=0，1≤x≤2，∴当x=2时，x2-2有最大值，22-2=2，∴1♀x的最大值是2．♀x-2♀x故答案为：2．11对于实数a，b，定义运算：“☆”为a☆b=a2-ab-2a，如：2☆3=22-2×3-2×2=-6，若m，n 是二次函数y=x2-2x-3的图象与x轴的交点的横坐标，则m☆n=．【答案】6【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，新定义下的实数运算．熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．由题意知，m，n是x2-2x-3=0的两个根，解得x=-1或x=3，分当m=-1，n=3时；当m=3，n=-1时两种情况计算求解即可．【详解】解：由题意知，m，n是x2-2x-3=0的两个根，x+1=0，x-3∴x+1=0或x-3=0，解得x=-1或x=3，当m=-1，n=3时，m☆n=m2-mn-2m=m m-n-2=-1×-1-3-2=6；当m=3，n=-1时，m☆n=m2-mn-2m=m m-n-2=6；=3×3+1-2故答案为：6．12定义新运算：对于任意实数a，b，都有a⊗b=ab-a+b=1．若y关，例如 2⊗=2×3-2+3于x的函数y=kx+1的图象与x轴仅有一个公共点，则实数k的值为．⊗x-1【答案】-1或0/0或-1【分析】由定义的新运算求得y关于x的函数为：y=-x2+kx+k，再由y关于x函数的图象与x轴仅有一个公共点得到，求解即可．【详解】解：∵a⊗b=ab-a+b，∴y=kx+1⊗x-1=kx+1+x-1-kx+1x-1=kx2-2kx-1即y=kx2-2kx-1，∵y=kx2-2kx-1的图象与x轴仅有一个公共点，令y=0，得kx2-2kx-1=0，∴Δ=b2-4ac=4k2+4k=0，∴k2+k=0，解得：k=0或k=-1．故答案为：-1或0．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根与二次函数图像和x轴交点坐标的关系，解题关键是熟记：一元二次方程有两个根，说明二次函数图像和x轴的横坐标有两个交点；一元二次方程有一个根，说明二次函数图像和x轴的横坐标有一个交点；一元二次方程(在实数范围)无解，说明二次函数图像和x轴的横坐标没有交点．13新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点．若二次函数y=x2-x+c(c(c 为常数)在-2<x<4的图象上存在两个二倍点，则c的取值范围是．【答案】-4<c <94【分析】由点的纵坐标是横坐标的2倍可得二倍点在直线y =2x 上，由-2<x <4可得二倍点所在线段AB 的端点坐标，结合图象，通过求抛物线与线段交点求解．【详解】解：由题意可得二倍点所在直线为y =2x ，将x =-2代入y =2x 得y =-4，将x =4代入y =2x 得y =8，设A (-2,-4)，B (4,8)，如图，联立方程x 2-x +c =2x ，当∆>0时，抛物线与直线y =2x 有两个交点，即9-4c >0，解得c <94，此时，直线x =-2和直线x =4与抛物线交点在点A ，B 上方时，抛物线与线段AB 有两个交点，把x =-2代入y =x 2-x +c 得y =6+c ，把x =4代入y =x 2-x +c 得y =12+c ，∴6+c >-412+c >8 ，解得c >-4，∴-4<c <94满足题意．故答案为：-4<c <94．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键掌握函数与方程及不等式的关系，将代数问题转化为图形问题求解．14新定义：任意两数m ，n ，按规定y =mn-m +n 得到一个新数y ，称所得新数y 为数m ，n 的“愉悦数”．则当m =2x +1，n =x -1，且m ，n 的“愉悦数”y 为正整数时，正整数x 的值是．【答案】2【分析】根据“愉悦数”的定义，将m 、n 代入y =mn-m +n 得到一个关于x 的方程，然后再求解即可．【详解】解：当m =2x +1，n =x -1，且m ，n 的“愉悦数”y =2x +1x -1-2x +1 +x -1 >0化简得：-x 2+x +3x -1>0∵x 是正整数∴x -1>0即：x -1>0-x 2+x +3>0解得：1<x <1+132∵x 是正整数∴x =2．故答案是2．【点睛】本题主要考查运用二次函数解不等式、分式的混合运算等知识点，正确运用二次函数解不等式成为解答本题的关键．15定义：在平面直角坐标系中，若点A 满足横、纵坐标都为整数，则把点A 叫做“整点”．如：B 3,0 、C -1,3 都是“整点”．抛物线y =ax 2+2ax +a -2a >0 与x 轴交于点M ，N 两点，若该抛物线在M 、N 之间的部分与线段MN 所围的区域(包括边界)恰有5个整点，则a 的取值范围是．【答案】1<a ≤2【分析】画出图象，找到该抛物线在M 、N 之间的部分与线段MN 所围的区域(包括边界)恰有5个整点的边界，利用与y 交点位置可得a 的取值范围．【详解】解：抛物线y =ax 2+2ax +a -2(a >0)化为顶点式为y =a (x +1)2-2，∴函数的对称轴：x =-1，顶点坐标为(-1，-2)，∴M 和N 两点关于x =-1对称，根据题意，抛物线在M 、N 之间的部分与线段MN 所围的区域(包括边界)恰有5个整点，这些整点是(0，0)，(-1，0)，(-1，-1)，(-1，-2)，(-2，0)，如图所示：∵当x =0时，y =a -2，∴-1<a -2≤0，当x =1时，y =4a -2>0，即：-1<a -2≤04a -2>0 ，解得1<a ≤2，故答案为：1<a ≤2．【点睛】本题考查抛物线与x 轴的交点、配方法确定顶点坐标、待定系数法等知识，利用函数图象确定与y 轴交点位置是本题的关键．16定义：对角线互相垂直的四边形为垂美四边形．已知垂美四边形ABCD 的对角线AC 、BD 满足AC +BD =12，则当AC =时，四边形ABCD 的面积最大．【答案】6【分析】根据垂美四边形的性质列出函数解析式，进行求解即可．【详解】解：∵四边形ABCD 的对角线互相垂直，∴S ABCD =12AC ∙BD ，∵AC +BD =12，∴BD =12-AC ，∴S 四边形ABCD =12AC ∙BD =12AC 12-AC =-12AC 2+6AC ，∵-12<0且0<AC <12，当AC =-62×-12 =6时，函数有最大值，∴AC =6时，面积有最大值；故答案是6．【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，准确分析计算是解题的关键．三、解答题17新定义：[a ,b ,c ]为二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0，a ，b ，c 为实数)的“图象数”，如：y =-x 2+2x +3的“图象数”为[-1,2,3]．(1)图像数为[1,-1,0]的二次函数表达式为．(2)求证：“图象数”为[1,m +3,m ]的二次函数的图象与x 轴恒有两个交点．【答案】(1)y =x 2-x (2)见详解【分析】本题考查了抛物线与轴的交点：(1)根据新定义得到二次函数的解析式即可；(2)根据新定义得到二次函数的解析式为y =x 2+m +3 x +m ，然后根据判别式的意义得到Δ=m +3 2-4m =m +1 2+8>0，从而求证.【详解】(1)解：图像数为[1,-1,0]的二次函数表达式为：y =x 2-x .(2)解：“图象数”为[1,m +3,m ]的二次函数表达式为：y =x 2+m +3 x +m .当y =0时，x 2+m +3 x +m =0Δ=m +3 2-4m =m +1 2+8>0∴该一元二次方程有两个不相等的实数根，即“图象数”为[1,m +3,m ]的二次函数的图象与x 轴恒有两个交点．18定义：若x ，y 满足x 2=4y +t ，y 2=4x +t 且x ≠y (t 为常数)，则称点M (x ,y )为“和谐点”．(1)请直接判断点(1,-5)是否为“和谐点”；(2)P (2,m )是“和谐点”，求m 值；(3)若双曲线y =kx(-3<x <-1)的图象上存在“和谐点”，求k 的取值范围．【答案】(1)点1,-5 是“和谐点”(2)m =-6(3)k 的取值范围为3<k ≤4【分析】(1)由题意得，x 2-4y =y 2-4x ，由12-4×-5 =-5 2-4×1，可得点1,-5 是“和谐点”；(2)由题意知，22-4m =m 2-8，即m 2+4m -12=0，计算求出满足要求的解即可；(3)设点a,b为双曲线y=kx(-3<x<-1)上的“和谐点”，则a2=4b+t，b2=4a+t，b=ka(-3<a<-1)，即a-ba+b+4=0，可得b=-a-4，由b=ka，可得k=ab=a-a-4=-a2-4a=-a+22+4，且-3<a<-1，然后利用二次函数的图象与性质求取值范围即可．【详解】(1)解：∵x2=4y+t，y2=4x+t，∴x2-4y=t，y2-4x=t，∴x2-4y=y2-4x，∵12-4×-5=-52-4×1，∴点1,-5是“和谐点”；(2)解：∵P2,m是“和谐点”，∴22=4m+t，m2=4×2+t，∴22-4m=t，m2-8=t，∴22-4m=m2-8，即m2+4m-12=0，解得m1=-6，m2=2(不合题意，舍去)∴m=-6；(3)解：设点a,b为双曲线y=kx(-3<x<-1)上的“和谐点”，∴a2=4b+t，b2=4a+t，b=ka(-3<a<-1)，∴a2-4b=b2-4a，即a2-b2+4a-4b=0，∴a-ba+b+4=0，∵a≠b，∴a+b+4=0，即b=-a-4，∵b=ka(-3<a<-1)，∴k=ab=a-a-4=-a2-4a=-a+22+4，且-3<a<-1，∵-1<0，∴图象开口向下，当a=-2时，k max=4，当a=-1时，k=--1+22+4=3；当a=-3时，k=--3+22+4=3；∴k的取值范围为3<k≤4．【点睛】本题考查了新定义下的实数运算，因式分解法解一元二次方程，二次函数的图象与性质，平方差公式，二次函数的最值，反比例函数解析式等知识．理解题意，熟练掌握因式分解法解一元二次方程，平方差公式，二次函数的图象与性质是解题的关键．19某网店有(万件)商品，计划在元旦旺季售出商品x(万件)，经市场调查测算，花费t(万元)进行促销后，商品的剩余量3-x与促销费t之间的关系为3-x=kt+1(其中k为常数)，如果不搞促销活动，只能售出1(万件)商品．(1)要使促销后商品的剩余量不大于0.1(万件)，促销费t至少为多少(万元)？(2)已知商品的进价为32(元/件)，另有固定成本3(万元)，定义每件售出商品的平均成本为32+3x(元)，若将商品售价为：“每件售出商品平均成本的1.5倍”与“每件售出商品平均促销费的一半”之和，则当促销费t为多少(万元)时，该网店售出商品的总利润最大？此时商品的剩余量为多少？【答案】(1)至少为19万元(2)当促销费为7万元时，网店利润最大为42万元，此时商品的剩余量为0.25万件【分析】题目主要考查不等式的应用及函数的应用，(1)根据题意得出k=2，代入原不等式求解即可；(2)设网店的利润y(万元)，根据题意得出相应的函数关系式，然后再由其性质求解即可；理解题意列出相应的函数关系式是解题关键．【详解】(1)解：∵3-x=kt+1，当t=0时，x=1，∴k=2，∴3-x=2t+1，∵2t+1≤0.1，解得：t≥19；(2)设网店的利润y(万元)，根据题意得：y=x3+32xx×1.5+t2x-3+32x+t=992-32t+1-t2=50-32t+1+t+12≤50-232t+1×t+12=42，当且仅当32t+1=t+12即t=7时，等号成立，此时3-x=0.25，当促销费为7万元时，网店利润最大为42万元，此时商品的剩余量为0.25万件．20我们定义一种新函数：形如y=ax2+bx+ca≠0,b2-4ac>0的函数叫作“华为”函数．如图，小丽同学画出了“华为”函数y=x2-2x-3的图像，根据该图像解答下列问题：(1)求该函数图像与x轴和y轴的交点坐标．(2)当函数值y随x值的增大而减小时，求自变量x的取值范围．【答案】(1)与x轴交点坐标-1,0，3,0，与y轴交点坐标0,3(2)x≤-1或1≤x≤3【分析】(1)分别令y=0和x=0，然后求解，即可获得答案；(2)首先确定该函数图像的对称轴，然后结合图像，即可获得答案．【详解】(1)解：令y=0，即x2-2x-3=0，可得x2-2x-3=0，∴x+1x-3=0，解得x1=-1，x2=3，∴函数图像与x轴的交点坐标为-1,0和3,0，令x=0，则y=x2-2x-3=-3=3，∴函数图像与y轴的交点坐标为0,3；(2)该图像具有对称性，对称轴是直线x=-b=1，2a函数图像与x轴的交点坐标为-1,0，和3,0观察图像可知，当x≤-1或1≤x≤3时，函数值y随x值的增大而减小．【点睛】本题主要考查了二次函数图像与x轴交点、二次函数图像与y轴交点、解一元二方程、二次函数图像与性质等知识，解题关键是运用数形结合的思想分析问题．。

考点1 一次函数新定义问题【例1】．定义：我们把一次函数y ＝kx +b （k ≠0）与正比例函数y ＝x 的交点称为一次函数y ＝kx +b （k ≠0）的“不动点”．例如求y ＝2x ﹣1的“不动点”：联立方程，解得，则y ＝2x ﹣1的“不动点”为（1，1）．（1）由定义可知，一次函数y ＝3x +2的“不动点”为 （﹣1，﹣1）　；（2）若一次函数y ＝mx +n 的“不动点”为（2，n ﹣1），求m 、n 的值；（3）若直线y ＝kx ﹣3（k ≠0）与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，且直线y ＝kx ﹣3上没有“不动点”，若P 点为x 轴上一个动点，使得S △ABP ＝3S △ABO ，求满足条件的P 点坐标．解：（1）联立，解得，∴一次函数y ＝3x +2的“不动点”为（﹣1，﹣1），故答案为：（﹣1，﹣1）；（2）∵一次函数y ＝mx +n 的“不动点”为（2，n ﹣1），∴n ﹣1＝2，∴n ＝3，∴“不动点”为（2，2），∴2＝2m +3，解得m ＝﹣；（3）∵直线y ＝kx ﹣3上没有“不动点”，∴直线y ＝kx ﹣3与直线y ＝x 平行，∴k ＝1，例题精讲∴y＝x﹣3，∴A（3，0），B（0，﹣3），设P（t，0），∴AP＝|3﹣t|，∴S△ABP＝×|t﹣3|×3，S△ABO＝×3×3，∵S△ABP＝3S△ABO，∴|t﹣3|＝9，∴t＝12或t＝﹣6，∴P（﹣6，0）或P（12，0）．变式训练【变1-1】．在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式一一利用函数图象研究其性质一一运用函数解决问题”的学习过程．在画函数图象时，我们通过描点或平移的方法画出了所学的函数图象．同时，我们也学习了绝对值的意义．结合上面经历的学习过程，现在来解决下面的问题：在函数y＝|kx﹣3|+b中，当x＝2时，y＝﹣4；当x＝0时，y＝﹣1．（1）求这个函数的表达式；（2）在给出的平面直角坐标系中，请用你喜欢的方法画出这个函数的图象，并写出这个函数的一条性质；（3）已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式的解集．（4）若方程|x2﹣6x|﹣a＝0有四个不相等的实数根，则实数a的取值范围是　0＜a＜9　．解：（1）∵在函数y＝|kx﹣3|+b中，当x＝2时，y＝﹣4；当x＝0时，y＝﹣1，∴，解得，∴这个函数的表达式是y＝|﹣3|﹣4；（2）∵y＝|﹣3|﹣4，∴，∴函数y＝x﹣7过点（2，﹣4）和点（4，﹣1）；函数y＝﹣x﹣1过点（0，﹣1）和点（﹣2，2），该函数的图象如图所示，性质：当x＞2时，y的值随x的增大而增大；（3）由函数的图象可得，不等式的解集是：1≤x≤4；（4）由|x2﹣6x|﹣a＝0得a＝|x2﹣6x|，作出y＝|x2﹣6x|的图象，由图象可知，要使方程|x2﹣6x|﹣a＝0有四个不相等实数根，则0＜a＜9，故答案为：0＜a＜9．考点2 反比例函数新定义问题【例2】．探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程，以下是我们研究函数y＝x+|﹣2x+6|+m性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．x…﹣2﹣1012345…y…654a21b7…（1）写出函数关系式中m及表格中a，b的值；m＝　﹣2　，a＝　3　，b＝　4　；（2）根据表格中的数据在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象；（3）已知函数y＝﹣（x﹣2）2+8的图象如图所示，结合你所画的函数图象，不等式x+|﹣2x+6|+m＞﹣（x﹣2）2+8的解集为　x＜0或x＞4．　．解：（1）由表格可知，点（3，1）在该函数图象上，∴将点（3，1）代入函数解析式可得：1＝3+|﹣2×3+6|+m，解得：m＝﹣2，∴原函数的解析式为：y＝x+|﹣2x+6|﹣2；当x＝1时，y＝3；当x＝4时，y＝4；∴m＝﹣2，a＝3，b＝4，故答案为：﹣2，3，4；（2）通过列表—描点—连线的方法作图，如图所示；（3）要求不等式x+|﹣2x+6|+m＞﹣（x﹣2）2+8的解集，实际上求出函数y＝x+|﹣2x+6|+m的图象位于函数y＝﹣（x﹣2）2+8图象上方的自变量的范围，∴由图象可知，当x＜0或x＞4时，满足条件，故答案为：x＜0或x＞4．变式训练【定义】在平面内，把一个图形上任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离的最小值，称为这两个图形之间的距离，即A，B分别是图形M和图形N上任意一点，当AB的长最小时，称这个最小值为图形M与图形N之间的距离．例如，如图1，AB⊥l1，线段AB的长度称为点A与直线l1之间的距离，当l2∥l1时，线段AB 的长度也是l1与l2之间的距离．【应用】（1）如图2，在等腰Rt△BAC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D为AB边上一点，过点D作DE∥BC交AC于点E．若AB＝6，AD＝4，则DE与BC之间的距离是 ；（2）如图3，已知直线l3：y＝﹣x+4与双曲线C1：y＝（x＞0）交于A（1，m）与B两点，点A与点B之间的距离是　2　，点O与双曲线C1之间的距离是 ；【拓展】（3）按规定，住宅小区的外延到高速路的距离不超过80m时，需要在高速路旁修建与高速路相同走向的隔音屏障（如图4）．有一条“东南﹣西北”走向的笔直高速路，路旁某住宅小区建筑外延呈双曲线的形状，它们之间的距离小于80m．现以高速路上某一合适位置为坐标原点，建立如图5所示的直角坐标系，此时高速路所在直线l4的函数表达式为y＝﹣x，小区外延所在双曲线C2的函数表达式为y＝（x＞0），那么需要在高速路旁修建隔音屏障的长度是多少？解：（1）如图，过点D作DH⊥BC于点H，∵∠A＝90°，AB＝AC，∴∠B＝45°，∵DH⊥BC，∴△BDH是等腰直角三角形，∴DH＝BD，∵AB＝6，AD＝4，∴BD＝AB﹣AD＝6﹣4＝2，∴DH＝×2＝；故答案为：；（2）把A（1，m）代入y＝﹣x+4中，得：m＝﹣1+4＝3，∴A（1，3），把A（1，3）代入y＝，得：3＝，∴k＝3，∴双曲线C1的解析式为y＝，联立，得：﹣x+4＝，即x2﹣4x+3＝0，解得：x1＝1，x2＝3，∴B（3，1），∴AB＝＝2；如图，作FG∥AB，且FG与双曲线y＝只有一个交点，设直线FG的解析式为y＝﹣x+b，则﹣x+b＝，整理得：x2﹣bx+3＝0，∴Δ＝（﹣b）2﹣4×1×3＝b2﹣12＝0，∴b＝2或b＝﹣2（不符合题意，舍去），∴直线FG的解析式为y＝﹣x+2，由﹣x+2＝，解得：x1＝x2＝，∴K（，），∴OK＝＝；故答案为：2，；（3）如图，设点S（a，b）是双曲线y＝（x＞0）上任意一点，且a＜b，以点S 为圆心，80为半径作⊙S交l4于E，过点S作SF⊥直线l4于F，交y轴于W，SH⊥x轴于H，SG⊥y轴于G，则SG＝a，SH＝b，ab＝2400，∵直线y＝﹣x平分第二、四象限角，∴∠FOW＝45°，∵∠OFW＝∠SGW＝90°，∴∠OWF＝90°﹣45°＝45°，∴∠SWG＝∠OWF＝45°，∴△WOF 和△SWG 是等腰直角三角形，∴SW ＝SG ，WF ＝OW ，∴SF ＝SW +WF ＝SG +OW ＝a +（b ﹣a ）＝（a +b ），∵EF＝＝＝＝，∵OF ＝OW ＝（b ﹣a ），∴OE ＝（b ﹣a ）+，设b ﹣a ＝m （m ＞0），则OE ＝m +≤＝40，∴需要在高速路旁修建隔音屏障的长度＝2OE ＝2×40＝80，答：需要在高速路旁修建隔音屏障的长度是80米．考点3 二次函数新定义问题【例3】．小爱同学学习二次函数后，对函数y ＝﹣（|x |﹣1）2进行了探究．在经历列表、描点、连线步骤后，得到如图的函数图象．请根据函数图象，回答下列问题：（1）观察探究：①写出该函数的一条性质：　函数图象关于y轴对称　；②方程﹣（|x|﹣1）2＝﹣1的解为：　x＝﹣2或x＝0或x＝2　；③若方程﹣（|x|﹣1）2＝m有四个实数根，则m的取值范围是　﹣1＜m＜0　．（2）延伸思考：将函数y＝﹣（|x|﹣1）2的图象经过怎样的平移可得到函数y1＝﹣（|x﹣1|﹣1）2+2的图象？写出平移过程，并直接写出当1＜y1≤2时，自变量x的取值范围．解：（1）观察探究：①该函数的一条性质为：函数图象关于y轴对称；②方程﹣（|x|﹣1）2＝﹣1的解为：x＝﹣2或x＝0或x＝2；③若方程﹣（|x|﹣1）2＝m有四个实数根，则a的取值范围是﹣1＜m＜0．故答案为：函数图象关于y轴对称；x＝﹣2或x＝0或x＝2；﹣1＜m＜0．（2）将函数y＝﹣（|x|﹣1）2的图象向右平移1个单位，向上平移2个单位可得到函数y1＝﹣（|x﹣1|﹣1）2+2的图象，当1＜y1≤2时，自变量x的取值范围是﹣1＜x＜3且x≠1，变式训练【变3-1】．我们定义一种新函数：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数y＝|ax2+bx+c|的图象（如图所示），下列结论正确的是（ ）A．图象具有对称性，对称轴是直线x＝1.5B．有且只有﹣1≤x≤1时，函数值y随x值的增大而增大C．若a＜0，则8a+c＞0D．若a＜0，则a+b≥m（am+b）（m为任意实数）解：由图象可得，图象具有对称性，对称轴是直线x＝＝1，故选项A错误，不符合题意；当﹣1≤x≤1或x＞3时，函数值y随x值的增大而增大，故选项B错误，不符合题意；∵﹣＝1，∴b＝﹣2a，当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＜0，∴4a﹣2b+c＝4a﹣2×（﹣2a）+c＝4a+4a+c＝8a+c＜0，故选项C错误，不符合题意；∵y＝ax2+bx+c开口向下，对称轴为直线x＝1，∴a+b+c≥am2+bm+c（m为任意实数），∴a+b≥m（am+b）+c，故选项D正确，符合题意；故选：D．【变3-2】．已知抛物线y＝ax2+c过点A（﹣2，0）和D（﹣1，3）两点，交x轴于另一点B．（1）求抛物线解析式；（2）如图1，点P是BD上方抛物线上一点，连接AD，BD，PD，当BD平分∠ADP时，求P点坐标；（3）将抛物线图象绕原点O顺时针旋转90°形成如图2的“心形”图案，其中点M，N 分别是旋转前后抛物线的顶点，点E、F是旋转前后抛物线的交点．①直线EF的解析式是　y＝x　；②点G、H是“心形”图案上两点且关于EF对称，则线段GH的最大值是　　．解：（1）∵抛物线y＝ax2+c过点A（﹣2，0）和D（﹣1，3）两点，∴，解得，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+4；（2）过点B作BE⊥x轴交DP延长线于点E，过D作DF⊥x于点F，由y＝﹣x2+4，令y＝0，则﹣x2+4＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝2，则B（2，0），∵DF＝3，BF＝2﹣（﹣1）＝3，∴DF＝BF，∴∠DBF＝45°，∴∠DBE＝45°，又∵DB＝DB，BD平分∠ADP，∴△DAB≌△DEB（ASA），∴BA＝BE，∵B（2，0），∴E（2，4），设直线DE的解析式为y＝kx+b，则，解得，∴直线DE的解析式为y＝x+，联立，解得或，则P（，）；（3）①∵抛物线关于y轴对称，所以旋转后图形关于x轴对称，∴对于抛物线上任意一点P（a，b）关于原点旋转90°后对应点为P1（b，﹣a）在旋转后图形上，P1（b，﹣a）关于x轴对称的点P2（b，a）在旋转后图形上，∵P（a，b）与P2（b，a）关于y＝x对称，∴图形2关于y＝x对称，∴直线EF的解析式为y＝x，故答案为：y＝x；②如图，连接GH，交EF与点K，则GH＝2GK，过点G作x轴的垂线，交EF于点I，∴当GK最大时，△GFE面积最大，又∵S△GFE＝GI•（x E﹣x F），设G（m，﹣m2+4），则I（m，m），∴GI＝y G﹣y I＝﹣m2+4﹣m＝﹣（m+）2+，∴当m＝﹣时，△GFE面积最大，∴G（﹣，），由①可知G（﹣，）关于y＝x的对称点H（，﹣），∴K（，），∴GK＝＝，∴GH＝2GK＝，∴GH的最大值为，故答案为：．1．对于实数a，b，定义符号max|a，b|，其意义为：当a≥b时，max|a，b|＝a，当a＜b时，max|a，b|＝b．例如max|2，﹣1|＝2，若关于x的函数y＝max|2x﹣1，﹣x+5|，则该函数的最小值为（ ）A．B．1C．D．3解：当2x﹣1≥﹣x+5时，即x≥2，y＝max|2x﹣1，﹣x+5|＝2x﹣1，此时x＝2时，y有最小值，最小值为2×2﹣1＝3；当2x﹣1≤﹣x+5时，即x≤2，y＝max|2x﹣1，﹣x+5|＝﹣x+5，此时x＝2时，y有最小值，最小值为﹣2+5＝3；综上所述，该函数的最小值为3．故选：D．2．在平面直角坐标系xOy中，对于点P（a，b），若点P′的坐标为（ka+b，a+）（其中k为常数且k≠0），则称点P′为点P的“k关联点”．已知点A在反比例函数y＝的图象上运动，且点A是点B的“关联点”，当线段OB最短时，点B的坐标为　（，）或（﹣，﹣）　．解：设B（x，y），∵点A是点B的“关联点”，∴A（x+y，x+）∵点A在函数y＝（x＞0）的图象上，∴（x+y）（x+）＝，即：x+y＝或x+y＝﹣，当点B在直线y＝﹣x+上时，设直线y＝﹣x+与x轴、y轴相交于点M、N，则M（1，0）、N（0，），当OB⊥MN时，线段OB最短，此时OB＝＝，由∠NMO＝60°，可得点B（，）；设直线y＝﹣x﹣时，同理可得点B（﹣，﹣）；故答案为：（，）或（﹣，﹣）．3．定义：由a，b构造的二次函数y＝ax2+（a+b）x+b叫做一次函数y＝ax+b的“滋生函数”，一次函数y＝ax+b叫做二次函数y＝ax2+（a+b）x+b的“本源函数”（a，b为常数，且a≠0）．若一次函数y＝ax+b的“滋生函数”是y＝ax2﹣3x+a+1，那么二次函数y＝ax2﹣3x+a+1的“本源函数”是　y＝﹣2x﹣1　．解：∵y＝ax+b的“滋生函数”是y＝ax2﹣3x+a+1，∴ax2﹣3x+a+1＝ax2+（a+b）x+b，即，解得，∴y＝ax2﹣3x+a+1的“本源函数”是y＝﹣2x﹣1，故答案为：y＝﹣2x﹣1．4．在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“不动点”．例如（﹣3，﹣3）、（1，1）、（2023，2023）都是“不动点”．已知双曲线．（1）下列说法不正确的是　C　．A．直线y＝x的图象上有无数个“不动点”B．函数的图象上没有“不动点”C．直线y＝x+1的图象上有无数个“不动点”D．函数y＝x2的图象上有两个“不动点”（2）求双曲线上的“不动点”；。

专题22二次函数与新定义综合问题【例1】（2022•湘西州）定义：由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”，如图①，抛物线C1：y＝x2+2x﹣3与抛物线C2：y＝ax2+2ax+c组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线C1和抛物线C2与x轴有着相同的交点A （﹣3，0）、B（点B在点A右侧），与y轴的交点分别为G、H（0，﹣1）．（1）求抛物线C2的解析式和点G的坐标．（2）点M是x轴下方抛物线C1上的点，过点M作MN⊥x轴于点N，交抛物线C2于点D，求线段MN与线段DM的长度的比值．（3）如图②，点E是点H关于抛物线对称轴的对称点，连接EG，在x轴上是否存在点F，使得△EFG是以EG为腰的等腰三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．【例2】（2022•南通）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于n（n≥0）的点叫做这个函数图象的“n阶方点”．例如，点（，）是函数y＝x图象的“阶方点”；点（2，1）是函数y＝图象的“2阶方点”．（1）在①（﹣2，﹣）；②（﹣1，﹣1）；③（1，1）三点中，是反比例函数y＝图象的“1阶方点”的有（填序号）；（2）若y关于x的一次函数y＝ax﹣3a+1图象的“2阶方点”有且只有一个，求a的值；（3）若y关于x的二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1图象的“n阶方点”一定存在，请直接写出n的取值范围．【例3】（2022春•芙蓉区校级期末）在y关于x的函数中，对于实数a，b，当a≤x≤b且b ＝a+3时，函数y有最大值y max，最小值y min，设h＝y max﹣y min，则称h为y的“极差函数”（此函数为h关于a的函数）；特别的，当h＝y max﹣y min为一个常数（与a无关）时，称y 有“极差常函数”．（1）判断下列函数是否有“极差常函数”？如果是，请在对应（）内画“√”，如果不是，请在对应（）内画“×”．①y＝2x（）；②y＝﹣2x+2（）；③y＝x2（）．（2）y关于x的一次函数y＝px+q，它与两坐标轴围成的面积为1，且它有“极差常函数”h＝3，求一次函数解析式；（3）若，当a≤x≤b（b＝a+3）时，写出函数y＝ax2﹣bx+4的“极差函数”h；并求4ah的取值范围．【例4】（2022•武侯区校级模拟）【阅读理解】定义：在平面直角坐标系xOy中，对于一个动点P（x，y），若x，y都可以用同一个字母表示，那么点P的运动路径是确定的．若根据点P坐标求出点P运动路径所对应的关系式是函数，则称由点坐标求函数表达式的过程叫做将点“去隐”．例如，将点M（m+1，﹣m+1）（m为任意实数）“去隐”的方法如下：设x＝m+1①，y＝﹣m+1②由①得m＝x﹣1③将③代入②得y＝﹣（x﹣1）+1，整理得y＝﹣x+2则直线y＝﹣x+2是点M的运动路径．【迁移应用】在平面直角坐标系xOy中，已知动点Q（﹣a，﹣a2﹣a+3）（a为任意实数）的运动路径是抛物线．（1）请将点Q“去隐”，得到该抛物线表达式；（2）记（1）中抛物线为W（如图），W与x轴交于点A，B（A在B的左侧），其顶点为点C，现将W进行平移，平移后的抛物线W'始终过点A，点C的对应点为C'．ⅰ）试确定点C'运动路径所对应的函数表达式；ⅱ）在直线x＝﹣2的左侧，是否存在点C'，使△ACC'为等腰三角形？若存在，求出点C'的坐标；若不存在，请说明理由．一．解答题（共20题）1．（2022•甘井子区校级模拟）定义：将函数C1的图象绕点P（m，0）旋转180o，得到新的函数C2的图象，我们称函数C2是函数C1关于点P的相关函数．例如：当m＝1时，函数y＝（x﹣3）2+9关于点P（1，0）的相关函数为y＝﹣（x+1）2﹣9．（1）当m＝0时，①一次函数y＝﹣x+7关于点P的相关函数为．②点A（5，﹣6）在二次函数y＝ax2﹣2ax+a（a≠0）关于点P的相关函数的图象上，求a 的值．（2）函数y＝（x﹣2）2+6关于点P的相关函数是y＝﹣（x﹣10）2﹣6，则m＝．（3）当m﹣1≤x≤m+2时，函数y＝x2﹣6mx+4m2关于点P（m，0）的相关函数的最大值为8，求m的值．2．（2022•江都区二模）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“梅岭点”．（1）若点P（3，p）是一次函数y＝mx+6的图象上的“梅岭点”，则m＝；若点P（m，m）是函数的图象上的“梅岭点”，则m＝；（2）若点P（p，﹣2）是二次函数y＝x2+bx+c的图象上唯一的“梅岭点”，求这个二次函数的表达式；（3）若二次函数y＝ax2+bx+c（a，b是常数，a＞0）的图象过点（0，2），且图象上存在两个不同的“梅岭点”A（x1，x1），B（x2，x2），且满足﹣1＜x1＜1，|x1﹣x2|＝2，如果k＝﹣b2+2b+2，请直接写出k的取值范围．3．（2022•梁子湖区二模）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”．例如，点（2，2）是函数y＝2x﹣2的图象的“等值点”．（1）函数y＝2x+2的图象的“等值点”坐标是；函数y＝x2﹣3x的图象的“等值点”坐标是；（直接填结果）（2）设函数y＝，y＝﹣x+b图象的“等值点”分别为点A，B，过点B作BC⊥x轴，垂足为C．当△ABC的面积为4时，求b的值．4．（2022•洛阳模拟）定义：如果两个函数代入同一个自变量，可以得到两个相等的函数值，我将这样的函数称为“凤凰函数”，对应的自变量的值称为这两个函数的“凤凰根”．（1）函数y1＝﹣x+m与y2＝﹣是否互为“凤凰函数”？如果是，求出当m＝1时，两函数的“凤凰根”；如果不是，请说明理由．（2）如图所示的是y＝|x2+2x|的图象，它是由二次函数y＝x2+2x的图象x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分保持不变得到的．若y1＝﹣x+m与y2＝|x2+2x|互为“凤凰函数”，且有两个“凤凰根”，求m的取值范围．5．（2022•淮安二模）我们把函数图象上横坐标与纵坐标互为相反数的点定义为这个函数图象上的“互反点”．例如在二次函数y＝x2的图象上，存在一点P（﹣1，1），则P为二次函数y＝x2图象上的“互反点”．（1）分别判断y＝﹣x+3、y＝x2+x的图象上是否存在“互反点”？如果存在，求出“互反点”的坐标；如果不存在，说明理由．（2）如图①，设函数y＝（x＜0），y＝x+b的图象上的“互反点”分别为点A，B，过点B作BC⊥x轴，垂足为C．当△ABC的面积为5时，求b的值；（3）如图②，Q（m，0）为x轴上的动点，过Q作直线l⊥x轴，若函数y＝﹣x2+2（x≥m）的图象记为W1，将W1沿直线l翻折后的图象记为W2，当W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“互反点”时，直接写出m的取值范围．6．（2022•荷塘区校级模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于A（x1，0），B （x2，0）两点，且（x1＜0＜x2），交y轴于点C，顶点为D．（1）a＝﹣1，b＝2，c＝4，①求该二次函数的对称轴方程及顶点坐标；②定义：若点P在某函数图象上，且点P的横纵坐标互为相反数，则称点P为这个函数的“零和点”，求证：此二次函数有两个不同的“零和点”；（2）如图，过D、C两点的直线交x轴于点E，满足∠ACE＝∠CBE，求ac的值．7．（2022秋•海安市校级月考）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”．例如，点（1，1）是函数y＝x+的图象的“等值点”．（1）判断函数y＝x+2的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，说明理由；（2）求函数y＝x2﹣2的图象的“等值点”坐标；（3）若函数y＝x2﹣2（x≥m）的图象记为W1，将其沿直线x＝m翻折后的图象记为W2．当W1，W2两部分组成的图象上恰有3个“等值点”时，求出m的值．8．（2022秋•长沙期中）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于n（n≥0）的点叫做这个函数图象的“n阶方点”．例如，点（，）是函数y＝x图象的“阶方点”；点（﹣1，1）是函数y＝﹣x图象的“1阶方点”．（1）在①（﹣1，2）；②（0，0）；③（，﹣1）三点中，是正比例函数y＝﹣2x图象的“1阶方点”的有（填序号）；（2）若y关于x的一次函数y＝ax﹣3a+1图象的“2阶方点”有且只有一个，求a的值；（3）若函数图象恰好经过“n阶方点”中的点（n，n），则点（n，n）称为此函数图象的“不动n阶方点”，若y关于x的二次函数y＝x2+（p﹣t+1）x+q+t﹣2的图象上存在唯一的一个“不动n阶方点”，且当2≤p≤3时，q的最小值为t，求t的值．9．（2022秋•如皋市校级月考）定义：一个函数图象上若存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“1倍点”，若存在纵坐标是横坐标的2倍的点，则称该点为这个函数图象的“2倍点”．例如，点（﹣1，﹣1）是函数y＝4x+3图象的“1倍点”，点（，﹣3）是函数y＝4x+3图象的“2倍点”．（1）函数y＝x2﹣8的图象上是否存在“2倍点”？如果存在，求出“2倍点”；（2）若抛物线y＝ax2+5x+c上有且只有一个“1倍点”E，该抛物线与x轴交于M、N两点（点M在点N的左侧）．当a＞1时，求：c的取值范围．（3）将函数y＝x2﹣8（x≥m）的图象记为W1，其沿直线x＝m翻折后的图象记为W2，W1和W2构成的整体记为W，若W恰有2个“2倍点”，请直接写出m的取值范围．10．（2022秋•通州区校级月考）定义：将函数C的图象绕点P（0，n）旋转180°，得到新的函数C1的图象，我们称函数C1是函数C关于点P的相关函数．例如：当n＝1时，函数关于点P（0，1）的相关函数为．（1）当n＝0时．①二次函数y＝x2关于点P的相关函数为；②点A（2，3）在二次函数y＝ax2﹣2ax+a（a≠0）关于点P的相关函数的图象上，求a的值．（2）函数关于点P的相关函数是，则n＝．11．（2022秋•如皋市校级月考）定义：一个函数图象上若存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“1倍点”，若存在纵坐标是横坐标的2倍的点，则称该点为这个函数图象的“2倍点”．例如，点（﹣1，﹣1）是函数y＝4x+3图象的“1倍点”，点（﹣，﹣3）是函数y＝4x+3图象的“2倍点”．（1）函数y＝x2﹣8的图象上是否存在“2倍点”？如果存在，求出“2倍点”；（2）若抛物线y＝ax2+5x+c上有且只有一个“1倍点”E，该抛物线与x轴交于M、N两点（点M在点N的左侧）．当a＞1时，求：①c的取值范围；②直接写出∠EMN的度数．12．（2022秋•汉阴县校级月考）如图，已知抛物线y＝﹣x2+2x+4交y轴于点C，顶点为D．（1）求点C、D的坐标；（2）定义：若点P在某函数图象上，且点P的横纵坐标互为相反数，则称点P为这个函数的“零和点”，求证：此二次函数有两个不同的“零和点”；（3）连接CD，点Q是第一象限直线CD上的点，过Q作QM⊥x轴，交x轴于点M，若Q 点的横坐标为x，△QMO的面积为S，求S关于x的函数解析式．13．（2022•红河州二模）有一组邻边相等的凸四边形叫做“和睦四边形”，如菱形，正方形等都是“和睦四边形”．（1）如图1，BD平分∠ABC，AD∥BC，求证：四边形ABCD为“和睦四边形”；（2）如图2，直线AB与x轴，y轴分别交于A（12，0），B（0，9）两点，点P、Q分别是线段OA、AB上的动点．点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度向点O运动．点Q 从点A出发，以每秒5个单位长度的速度向点B运动．P，Q两点同时出发，设运动时间为t秒，当四边形BOPQ为“和睦四边形”时，求t的值；（3）如图3，抛物线y＝ax2+与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为点D．当四边形COBD为“和睦四边形”，且CD＝OC，求a的值．14．（2022•工业园区模拟）定义：若一个函数的图象上存在横、纵坐标之和为零的点，则称该点为这个函数图象的“好点”．例如，点（﹣1，1）是函数y＝x+2的图象的“好点”．（1）在函数①y＝﹣x+3，②y＝③y＝x2+2x+1的图象上，存在“好点”的函数是；（填序号）（2）设函数y＝﹣（x＜0）与y＝kx+3的图象的“好点”分别为点A、B，过点A作AC⊥y轴，垂足为C．当△ABC为等腰三角形时，求k的值；（3）若将函数y＝x2+2x的图象在直线y＝m下方的部分沿直线y＝m翻折，翻折后的部分与图象的其余部分组成了一个新的图象．当该图象上恰有3个“好点”时，求m的值．15．（2022•海曙区校级模拟）在平面直角坐标系中，我们定义直线y＝ax﹣a为抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的“梦想直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y轴上的三角形为其“梦想三角形”．已知抛物线与其“梦想直线”交于A，B两点（点A在点B的左侧），与x轴负半轴交于点C．（1）填空：该抛物线的“梦想直线”的函数表达式为，点A的坐标为，点B的坐标为．（2）如图，M为线段CB上一动点，将△ACM以AM所在直线为对称轴翻折，点C的对称点为N，若△AMN为该抛物线的“梦想三角形”，求点N的坐标．（3）当点E在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“梦想直线”上，是否存在点F，使得以点A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E，F的坐标；若不存在，请说明理由．16．（2022•岳麓区校级模拟）我们定义：若点P在一次函数y＝ax+b（a≠0）图象上，点Q在反比例函数（c≠0）图象上，且满足点P与点Q关于y轴对称，则称二次函数y＝ax2+bx+c为一次函数y＝ax+b与反比例函数的“衍生函数”，点P称为“基点”，点Q 称为“靶点”．（1）若二次函数y＝x2+2x+1是一次函数y＝ax+b与反比例函数的“衍生函数”，则a ＝，b＝，c＝；（2）若一次函数y＝x+b和反比例函数的“衍生函数”的顶点在x轴上，且“基点”P 的横坐标为1，求“靶点”的坐标；（3）若一次函数y＝ax+2b（a＞b＞0）和反比例函数的“衍生函数”经过点（2，6）．①试说明一次函数y＝ax+2b图象上存在两个不同的“基点”；②设一次函数y＝ax+2b图象上两个不同的“基点”的横坐标为x1、x2，求|x1﹣x2|的取值范围．17．（2022•庐阳区校级三模）在数学活动课上，小明兴起小组对二次函数的图象进行了深入的探究，如果将二次函数，y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上的点A（x，y）的横坐标不变，纵坐标变为A点的横、纵坐标之和，就会得到的一个新的点A1（x，x+y）．他们把这个点A：定义为点A的“简朴”点．他们发现：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）所有简朴点构成的图象也是一条抛物线，于是把这条抛物线定义为y＝ax2+bx+c（a≠0）的“简朴曲线”．例如，二次函数y＝x2+x+1的“简朴曲线”就是y＝x2+x+1+x＝x2+2x+1，请按照定义完成：（1）点P（1，2）的“简朴”点是；（2）如果抛物线y＝ax2﹣7x+3（a≠0）经过点M（1，﹣3），求该抛物线的“简朴曲线”；（3）已知抛物线y＝x2+bx+c图象上的点B（x，y）的“简朴点”是B1（﹣1，1），若该抛物线的“简朴曲线”的顶点坐标为（m，n），当0≤c≤3时，求n的取值范围．18．（2022•香洲区一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（ac≠0）与x 轴交于点A和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．若线段OA、OB、OC的长满足OC2＝OA•OB，则这样的抛物线称为“黄金”抛物线．如图，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）为“黄金”抛物线，其与x轴交点为A，B（其中B在A的右侧），与y轴交于点C，且OA ＝4OB．（1）求抛物线的解析式；（2）若P为AC上方抛物线上的动点，过点P作PD⊥AC，垂足为D．①求PD的最大值；②连接PC，当△PCD与△ACO相似时，求点P的坐标．19．（2022•抚州模拟）我们约定[a，﹣b，c]为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的“相关数”．特例感知“相关数”为[1，4，3]的二次函数的解析式为y1＝x2﹣4x+3；“相关数”为[2，5，3]的二次函数的解析式为y2＝2x2﹣5x+3；“相关数”为[3，6，3]的二次函数的解析式为y3＝3x2﹣6x+3；（1）下列结论正确的是（填序号）．①抛物线y1，y2，y3都经过点（0，3）；②抛物线y1，y2，y3与直线y＝3都有两个交点；③抛物线y1，y2，y3有两个交点．形成概念把满足“相关数”为[n，n+3，3]（n为正整数）的抛物线y n称为“一簇抛物线”，分别记为y1，y2，y3，…，y n．抛物线y n与x轴的交点为A n，B n．探究问题（2）①“一簇抛物线”y1，y2，y3，…，y n都经过两个定点，这两个定点的坐标分别为．②抛物线y n的顶点为∁n，是否存在正整数n，使△A n B n∁n是直角三角形？若存在，请求出n 的值；若不存在，请说明理由．③当n≥4时，抛物线y n与x轴的左交点A n，与直线y＝3的一个交点为D n，且点D n不在y轴上．判断A n A n+1和D n D n+1是否相等，并说明理由．20．（2022•兰山区二模）如图，直线l：y＝﹣m与y轴交于点A，直线a：y＝x+m与y轴交于点B，抛物线y＝x2+mx的顶点为C，且与x轴左交点为D（其中m＞0）．（1）当AB＝12时，在抛物线的对称轴上求一点P使得△BOP的周长最小；（2）当点C在直线l上方时，求点C到直线l距离的最大值；（3）若把横坐标、纵坐标都是整数的点称为“整点”．当m＝2022时，求出在抛物线和直线a所围成的封闭图形的边界上的“整点”的个数．【例1】（2022•湘西州）定义：由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”，如图①，抛物线C1：y＝x2+2x﹣3与抛物线C2：y＝ax2+2ax+c组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线C1和抛物线C2与x轴有着相同的交点A （﹣3，0）、B（点B在点A右侧），与y轴的交点分别为G、H（0，﹣1）．（1）求抛物线C2的解析式和点G的坐标．（2）点M是x轴下方抛物线C1上的点，过点M作MN⊥x轴于点N，交抛物线C2于点D，求线段MN与线段DM的长度的比值．（3）如图②，点E是点H关于抛物线对称轴的对称点，连接EG，在x轴上是否存在点F，使得△EFG是以EG为腰的等腰三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将A（﹣3，0）、H（0，﹣1）代入y＝ax2+2ax+c中，即可求函数的解析式；（2）设M（t，t2+2t﹣3），则D（t，t2+t﹣1），N（t，0），分别求出MN，DM，再求比值即可；（3）先求出E（﹣2，﹣1），设F（x，0），分两种情况讨论：①当EG＝EF时，2＝，可得F（﹣2，0）或（﹣﹣2，0）；②当EG＝FG时，2＝，F点不存在．【解答】解：（1）将A（﹣3，0）、H（0，﹣1）代入y＝ax2+2ax+c中，∴，解得，∴y＝x2+x﹣1，在y ＝x 2+2x ﹣3中，令x ＝0，则y ＝﹣3，∴G （0，﹣3）；（2）设M （t ，t 2+2t ﹣3），则D （t ，t 2+t ﹣1），N （t ，0），∴NM ＝﹣t 2﹣2t +3，DM ＝t 2+t ﹣1﹣（t 2+2t ﹣3）＝﹣t 2﹣t +2，∴＝＝；（3）存在点F ，使得△EFG 是以EG 为腰的等腰三角形，理由如下：由（1）可得y ＝x 2+2x ﹣3的对称轴为直线x ＝﹣1，∵E 点与H 点关于对称轴x ＝﹣1对称，∴E （﹣2，﹣1），设F （x ，0），①当EG ＝EF 时，∵G （0，﹣3），∴EG ＝2，∴2＝，解得x ＝﹣2或x ＝﹣﹣2，∴F （﹣2，0）或（﹣﹣2，0）；②当EG ＝FG 时，2＝，此时x 无实数根；综上所述：F 点坐标为（﹣2，0）或（﹣﹣2，0）．【例2】（2022•南通）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于n （n ≥0）的点叫做这个函数图象的“n 阶方点”．例如，点（，）是函数y ＝x 图象的“阶方点”；点（2，1）是函数y ＝图象的“2阶方点”．（1）在①（﹣2，﹣）；②（﹣1，﹣1）；③（1，1）三点中，是反比例函数y ＝图象的“1阶方点”的有②③（填序号）；（2）若y 关于x 的一次函数y ＝ax ﹣3a +1图象的“2阶方点”有且只有一个，求a 的值；（3）若y 关于x 的二次函数y ＝﹣（x ﹣n ）2﹣2n +1图象的“n 阶方点”一定存在，请直接写出n 的取值范围．【分析】（1）根据定义进行判断即可；（2）在以O为中心，边长为4的正方形ABCD中，当直线与正方形区域只有唯一交点时，图象的“2阶方点”有且只有一个，结合图象求a的值即可；（3）在以O为中心，边长为2n的正方形ABCD中，当抛物线与正方形区域有公共部分时，二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1图象的“n阶方点”一定存在，结合函数图象求解即可．【解答】解：（1）①（﹣2，﹣）到两坐标轴的距离分别是2＞1，＜1，∴（﹣2，﹣）不是反比例函数y＝图象的“1阶方点”；②（﹣1，﹣1）到两坐标轴的距离分别是1≤1，1≤1，∴（﹣1，﹣1）是反比例函数y＝图象的“1阶方点”；③（1，1）到两坐标轴的距离分别是1≤1，1≤1，∴（1，1）是反比例函数y＝图象的“1阶方点”；故答案为：②③；（2）∵y＝ax﹣3a+1＝a（x﹣3）+1，∴函数经过定点（3，1），在以O为中心，边长为4的正方形ABCD中，当直线与正方形区域只有唯一交点时，图象的“2阶方点”有且只有一个，由图可知，C（2，﹣2），D（2，2），∵一次函数y＝ax﹣3a+1图象的“2阶方点”有且只有一个，当直线经过点C时，a＝3，此时图象的“2阶方点”有且只有一个，当直线经过点D时，a＝﹣1，此时图象的“2阶方点”有且只有一个，综上所述：a的值为3或a＝﹣1；（3）在以O为中心，边长为2n的正方形ABCD中，当抛物线与正方形区域有公共部分时，二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1图象的“n阶方点”一定存在，如图2，当n＞0时，A（n，n），B（n，﹣n），C（﹣n，﹣n），D（﹣n，n），当抛物线经过点D时，n＝﹣1（舍）或n＝；当抛物线经过点B时，n＝1；∴≤n≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1图象有“n阶方点”；综上所述：≤n≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1图象的“n阶方点”一定存在．【例3】（2022春•芙蓉区校级期末）在y关于x的函数中，对于实数a，b，当a≤x≤b且b ＝a+3时，函数y有最大值y max，最小值y min，设h＝y max﹣y min，则称h为y的“极差函数”（此函数为h关于a的函数）；特别的，当h＝y max﹣y min为一个常数（与a无关）时，称y 有“极差常函数”．（1）判断下列函数是否有“极差常函数”？如果是，请在对应（）内画“√”，如果不是，请在对应（）内画“×”．①y＝2x（√）；②y＝﹣2x+2（√）；③y＝x2（×）．（2）y关于x的一次函数y＝px+q，它与两坐标轴围成的面积为1，且它有“极差常函数”h＝3，求一次函数解析式；（3）若，当a≤x≤b（b＝a+3）时，写出函数y＝ax2﹣bx+4的“极差函数”h；并求4ah的取值范围．【分析】（1）①由一次函数的性质可知h＝2（a+3）﹣2a＝6，则y＝2x是“极差常函数”；②由一次函数的性质可知h＝﹣2a+2﹣[﹣2（a+3）+2]＝6，则y＝﹣2x+2是“极差常函数”；③由二次函数的性质可知，当a+3≤0时，h＝﹣9﹣6a不是常数，则y＝x2不是“极差常函数”，（2）根据一次函数的图象及性质可得＝2，再分两种情况讨论：当p＞0时，h＝p（a+3）+q﹣（pa+q）＝3；当p＜0时，h＝pa+q﹣[p（a+3）+q]＝3；分别求出p、q的值即可求函数的解析式；（3）函数的对称轴为直线x＝+，由a的范围确定≤+≤，≤a+3≤，由（a+3﹣﹣）﹣（+﹣a）＝2a+2﹣＞0，可知a+3到对称轴的距离大于a到对称轴的距离，则当x＝a+3时，y有最大值a（a+3）2﹣（a+3）2+4，当x＝时，y有最小值4﹣＝4﹣，求出h，再由a的范围确定4ah的范围即可．【解答】解：（1）①∵y＝2x是一次函数，且y随x值的增大而增大，∴h＝2（a+3）﹣2a＝6，∴y＝2x是“极差常函数”，故答案为：√；②∵y＝﹣2x+2是一次函数，且y随x值的增大而减小，∴h＝﹣2a+2﹣[﹣2（a+3）+2]＝6，∴y＝﹣2x+2是“极差常函数”，故答案为：√；∵y＝x2是二次函数，函数的对称轴为直线x＝0，当a+3≤0时，h＝a2﹣（a+3）2＝﹣9﹣6a；当a≥0时，h＝（a+3）2﹣a2＝9+6a；∴y＝x2不是“极差常函数”，故答案为：×；（2）当x＝0时，y＝q，∴函数与y轴的交点为（0，q），当y＝0时，x＝﹣，∴函数与x轴的交点为（﹣，0），∴S＝×|q|×|﹣|＝1，∴＝2，当p＞0时，h＝p（a+3）+q﹣（pa+q）＝3，∴p＝1，∴q＝±，∴函数的解析式为y＝x；当p＜0时，h＝pa+q﹣[p（a+3）+q]＝3，∴p＝﹣1，∴q＝±，∴函数的解析式为y＝﹣x；综上所述：函数的解析式为y＝x或y＝﹣x；（3）y＝ax2﹣bx+4＝a（x﹣）2+4﹣，∴函数的对称轴为直线x＝，∵b＝a+3，∴x＝＝+，∵，∴≤+≤，≤a+3≤，∵（a+3﹣﹣）﹣（+﹣a）＝2a+2﹣，∵，∴2a+2﹣＞0，∴a+3到对称轴的距离，大于a到对称轴的距离，∴当x＝a+3时，y有最大值a（a+3）2﹣（a+3）2+4，当x＝时，y有最小值4﹣＝4﹣，∴h＝a（a+3）2﹣（a+3）2+4﹣4+＝（a+3）2（a﹣1+），∴4ah＝（2a2+5a﹣3）2，∵2a2+5a﹣3＝2（a+）2﹣，，∴≤2a2+5a﹣3≤9，∴≤4ah≤81．【例4】（2022•武侯区校级模拟）【阅读理解】定义：在平面直角坐标系xOy中，对于一个动点P（x，y），若x，y都可以用同一个字母表示，那么点P的运动路径是确定的．若根据点P坐标求出点P运动路径所对应的关系式是函数，则称由点坐标求函数表达式的过程叫做将点“去隐”．例如，将点M（m+1，﹣m+1）（m为任意实数）“去隐”的方法如下：设x＝m+1①，y＝﹣m+1②由①得m＝x﹣1③将③代入②得y＝﹣（x﹣1）+1，整理得y＝﹣x+2则直线y＝﹣x+2是点M的运动路径．【迁移应用】在平面直角坐标系xOy中，已知动点Q（﹣a，﹣a2﹣a+3）（a为任意实数）的运动路径是抛物线．（1）请将点Q“去隐”，得到该抛物线表达式；（2）记（1）中抛物线为W（如图），W与x轴交于点A，B（A在B的左侧），其顶点为点C，现将W进行平移，平移后的抛物线W'始终过点A，点C的对应点为C'．ⅰ）试确定点C'运动路径所对应的函数表达式；ⅱ）在直线x＝﹣2的左侧，是否存在点C'，使△ACC'为等腰三角形？若存在，求出点C'的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）设x＝﹣a，y＝﹣a2﹣a+3，可得y＝﹣x2+x+3；（2）ⅰ）设抛物线W'的解析式为y＝﹣（x﹣h）2+k，由k＝（2+h）2，可得y＝（x+2）2；ⅱ）C（2，4）在y＝（x+2）2上，则C点关于直线x＝﹣2的对称点为C'（﹣6，4），此时AC＝AC'，△ACC'为等腰三角形；设C'（m，m2+m+1），当AC'＝CC'时，C（﹣4﹣2，6+2）；当CA＝CC'时，C'只能在x＝﹣2右侧不符合题意．【解答】解：（1）设x＝﹣a①，y＝﹣a2﹣a+3②，由①得a＝﹣x③，∴y＝﹣x2+x+3；（2）∵y＝﹣x2+x+3＝﹣（x﹣2）2+4，∴C（2，4），令y＝0，则﹣x2+x+3＝0，解得x＝﹣2或x＝6，∴A（﹣2，0），B（6，0），ⅰ）设抛物线W'的解析式为y＝﹣（x﹣h）2+k，∴C'（h，k），∵经过点A（﹣2，0），∴k＝（2+h）2，令x＝h，y＝k＝（2+h）2，∴y＝（x+2）2；ⅱ）存在点C'，使△ACC'为等腰三角形，理由如下：∵C（2，4）在y＝（x+2）2上，∴C点关于直线x＝﹣2的对称点为C'（﹣6，4），此时AC＝AC'，△ACC'为等腰三角形；设C'（m，m2+m+1），当AC'＝CC'时，（m+2）2+（m2+m+1）2＝（m﹣2）2+（m2+m+1﹣4）2，解得m＝﹣4﹣2或m＝﹣4+2（舍），∴C（﹣4﹣2，6+2）；当CA＝CC'时，C'只能在x＝﹣2右侧，此时不符合题意；综上所述：（﹣6，4）或（﹣4﹣2，6+2）．一．解答题（共20题）1．（2022•甘井子区校级模拟）定义：将函数C1的图象绕点P（m，0）旋转180o，得到新的函数C2的图象，我们称函数C2是函数C1关于点P的相关函数．例如：当m＝1时，函数y＝（x﹣3）2+9关于点P（1，0）的相关函数为y＝﹣（x+1）2﹣9．（1）当m＝0时，①一次函数y＝﹣x+7关于点P的相关函数为y＝﹣x﹣7．②点A（5，﹣6）在二次函数y＝ax2﹣2ax+a（a≠0）关于点P的相关函数的图象上，求a 的值．（2）函数y＝（x﹣2）2+6关于点P的相关函数是y＝﹣（x﹣10）2﹣6，则m＝6．（3）当m﹣1≤x≤m+2时，函数y＝x2﹣6mx+4m2关于点P（m，0）的相关函数的最大值为8，求m的值．【分析】（1）①由相关函数的定义，将y＝﹣x+7旋转变换可得相关函数为y＝﹣x﹣7；②先求出二次函数的相关函数，然后求出相关函数，再把点A代入，即可得到答案；（2）两函数顶点关于点P中心对称，可用中点坐标公式获得点P坐标，从而获得m的值；（3）先确定相关函数，然后根据m的取值范围，对m进行分类讨论，以对称轴在给定区间的左侧，中部，右侧，三种情况分类讨论，获得对应的m的值．【解答】解：（1）①根据相关函数的定义，y＝﹣x+7关于点P（0，0）旋转变换可得相关函数为y＝﹣x﹣7，故答案为：y＝﹣x﹣7；②y＝ax2﹣2ax+a＝a（x﹣1）2，∴y＝ax2﹣2ax+a关于点P（0，0）的相关函数为y＝﹣a（x+1）2，∵点A（5，﹣6）在二次函数y＝﹣a（x+1）2的图象上，∴﹣6＝﹣a（5+1）2，解得：a＝；（2）y＝（x﹣2）2+6的顶点为（2，6），y＝﹣（x﹣10）2﹣66的顶点坐标为（10，﹣6）；∵两个二次函数的顶点关于点P（m，0）成中心对称，∴m＝＝6，故答案为：6；（3）y＝x2﹣6mx+4m2＝（x﹣3m）2﹣5m2，∴y＝x2﹣6mx+4m2关于点P（m，0）的相关函数为y＝﹣（x+m）2+5m2．①当﹣m≤m﹣1，即m≥时，当x＝m﹣1时，y有最大值为8，∴﹣（m﹣1+m）2+5m2＝8，解得m1＝﹣2﹣（不符合题意，舍去），m2＝﹣2+；②当m﹣1＜﹣m≤m十2，即﹣1≤m＜时，当x＝﹣m时，y有最大值为8，∴5m2＝8，解得：m＝±（不合题意，舍去）；③当﹣m＞m+2，即m＜﹣1时，当x＝m+2，y有最大值为8，∴﹣（m+2+m）2+5m2＝8，解得：m＝4﹣2或，m＝4+2（不符合题意，舍去），综上，m的值为﹣2+或4﹣2．2．（2022•江都区二模）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“梅岭点”．（1）若点P（3，p）是一次函数y＝mx+6的图象上的“梅岭点”，则m＝﹣1；若点P（m，m）是函数的图象上的“梅岭点”，则m＝3或﹣1；（2）若点P（p，﹣2）是二次函数y＝x2+bx+c的图象上唯一的“梅岭点”，求这个二次函数的表达式；（3）若二次函数y＝ax2+bx+c（a，b是常数，a＞0）的图象过点（0，2），且图象上存在两个不同的“梅岭点”A（x1，x1），B（x2，x2），且满足﹣1＜x1＜1，|x1﹣x2|＝2，如果k＝﹣b2+2b+2，请直接写出k的取值范围．【分析】（1）根据“梅岭点”的定义，P（3．p）的横纵坐标相等，即p＝3m+6＝3；P（m，m）的横纵坐标相等，即m＝，分别求解即得答案；（2）由题意得：抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝x的唯一交点为P（﹣2，﹣2），方程x2+bx+c ＝﹣2，即方程x2+（b﹣1）x+c＝0可写为（x+2）2＝0，对比两个方程的＝x的根为：x1＝x2系数，即可求出b，c，进而得出答案：y＝x2+5x+4；（3）先由“梅岭点”的定义证明x1、x2是方程ax2+（b﹣1）x+2＝0的两个实数根，利用根与系数的关系得出x1+x2＝，x1•x2＝，进而利用|x1﹣x2|＝2，推出k＝﹣b2+2b+2＝﹣4a2﹣8a+3＝﹣4（a+1）2+7，再由﹣1＜x1＜1计算出a的取值范围，即可求出k的取值范围．【解答】解：（1）∵点P（3，p）是一次函数y＝mx+6的图象上的梅岭点，∴p＝3m+6＝3，解得：m＝﹣1，∵点P（m，m）是函数的图象上的“梅岭点”，∴m＝，整理得：m2﹣2m﹣3＝0，解得：m1＝3，m2＝﹣1，经检验，m1＝3，m2＝﹣1都是m＝的根，∴m＝3或﹣1；故答案为：﹣1；3或﹣1；（2）点P（p，﹣2）是二次函数y＝x2+bx+c的图象上唯一的“梅岭点”，即抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝x的唯一交点为P（﹣2，﹣2），∴方程x2+bx+c＝x的根为：x1＝x2＝﹣2，即方程x2+（b﹣1）x+c＝0可写为（x+2）2＝0，∴x2+（b﹣l）x+c＝x2+4x+4．∴b﹣1＝4，c＝4，∴b＝5，∴二次函数的表达式为y＝x2+5x+4；（3）∵二次函数y＝ax2+bx+c（a，b是常数，a＞0）的图象过点（0，2），∴c＝2，∴y＝ax2+bx+2，∵y＝ax2+bx+2图象上存在两个不同的“梅岭点”A（x1，x1），B（x2，x2），∴x1＝ax12+bx1+2，x2＝ax22+bx2+2，∴ax12+（b﹣1）x1+2＝0，ax22+（b﹣1）x2+2＝0，∴x1、x2是方程ax2+（b﹣1）x+2＝0的两个实数根，∴x1+x2＝，x1•x2＝，∵|x1﹣x2|＝2，∴（x1﹣x2）2＝4，∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝（）2﹣4×＝4，∴b2﹣2b+1﹣8a＝4a2，∴k＝﹣b2+2b+2＝﹣4a2﹣8a+3＝﹣4（a+1）2+7，∵|x1﹣x2|＝2，∴x1﹣x2＝﹣2或x2﹣x1＝2，∵﹣1＜x1＜1，∴﹣3＜x2＜﹣1或1＜x2＜3∴﹣3＜x1•x2＜3，∴﹣3＜＜3，∵a＞0，∴a＞，∴﹣4（a+1）2+7＜﹣4×（+1）2+7＝﹣，∴．3．（2022•梁子湖区二模）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”．例如，点（2，2）是函数y＝2x﹣2的图象的“等值点”．（1）函数y＝2x+2的图象的“等值点”坐标是（﹣2，﹣2）；函数y＝x2﹣3x的图象的“等值点”坐标是（0，0）或（4，4）；（直接填结果）（2）设函数y＝，y＝﹣x+b图象的“等值点”分别为点A，B，过点B作BC⊥x轴，垂足为C．当△ABC的面积为4时，求b的值．【分析】（1）根据“等值点”的定义建立方程求解即可得出答案；（2）先根据“等值点”的定义求出函y＝的图象上有“等值点”A（2，2），同理求出B（b，b），根据△ABC的面积为4可得×|b|×|2﹣b|＝4，分类求解即可．【解答】解：（1）在y＝2x+2中，令x＝2x+2，解得x＝﹣2∴函数y＝2x+2的图象的“等值点”坐标是（﹣2，﹣2）；在y＝x2﹣3x中，令x2﹣3x＝x，解得：x1＝0，x2＝4，∴函数y＝x2﹣3x的图象上有两个“等值点”（0，0）或（4，4）；故答案为：（﹣2，﹣2）；（0，0）或（4，4）；（2）在函数y＝中，令x＝，解得：x＝2，∴A（2，2），在函数y＝﹣x+b中，令x＝﹣x+b，解得：x＝b，∴B（b，b），∵BC⊥x轴，∴C（b，0），∴BC＝|b|，∵△ABC的面积为4，∴×|b|×|2﹣b|＝4，当b＜0时，b2﹣4b﹣32＝0，解得b＝﹣4，当0≤b＜2时，b2﹣4b+32＝0，∵Δ＝（﹣4）2﹣4×1×32＝﹣112＜0，∴方程b2﹣4b+32＝0没有实数根，当b≥2时，b2﹣4b﹣32＝0，解得：b＝8，综上所述，b的值为﹣4或8．4．（2022•洛阳模拟）定义：如果两个函数代入同一个自变量，可以得到两个相等的函数值，我将这样的函数称为“凤凰函数”，对应的自变量的值称为这两个函数的“凤凰根”．（1）函数y1＝﹣x+m与y2＝﹣是否互为“凤凰函数”？如果是，求出当m＝1时，两函数的“凤凰根”；如果不是，请说明理由．（2）如图所示的是y＝|x2+2x|的图象，它是由二次函数y＝x2+2x的图象x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分保持不变得到的．若y1＝﹣x+m与y2＝|x2+2x|互为“凤凰函数”，且有两个“凤凰根”，求m的取值范围．。

专题2.7 二次函数中的新定义问题专项训练（30道）【北师大版】考卷信息：本套训练卷共30题，选择10题，填空10题，解答10题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对新定义函数的理解！一．选择题（共10小题）1．（2022•市中区校级模拟）定义：在平面直角坐标系中，点P （x ，y ）的横、纵坐标的绝对值之和叫做点P （x ，y ）的勾股值，记[P ]＝|x |+|y |．若抛物线y ＝ax 2+bx +1与直线y ＝x 只有一个交点C ，已知点C 在第一象限，且2≤[C ]≤4，令t ＝2b 2﹣4a +2020，则t 的取值范围为（ ）A ．2017≤t ≤2018B ．2018≤t ≤2019C ．2019≤t ≤2020D ．2020≤t ≤2021【分析】联立方程组求得C 点坐标，并由只有一个交点条件求得a 、b 的关系式，再由新定义和2≤[C ]≤4列出b 的不等式，求得b 的取值范围，由t ＝2b 2﹣4a +2020，得出t 关于b 的函数解析式，再根据函数的性质求得t 的取值范围．【解答】解：由题意方程组y =x y =ax 2+bx +1只有一组实数解，消去y 得ax 2+（b ﹣1）x +1＝0，由题意得Δ＝0，∴（b ﹣1）2﹣4a ＝0，∴4a ＝（b ﹣1）2，即a =14(b−1)2，∴方程ax 2+（b ﹣1）x +1＝0可以化为14(b−1)2x 2+(b−1)x +1=0，即（b ﹣1）2x 2+4（b ﹣1）x +4＝0，∴x 1＝x 2=21−b ，∴C （21−b ，21−b ），∵点C 在第一象限，∴1﹣b ＞0，∵2≤[C ]≤4，∴2≤|21−b |+|21−b |≤4，∴1≤21−b ≤2，解得：﹣1≤b ≤0，∵t ＝2b 2﹣4a +2020，∴t ＝2b 2﹣（b ﹣1）2+2020＝b 2+2b +2019＝（b +1）2+2018，∵﹣1≤b ≤0，∴t 随b 的增大而增大，∵b ＝﹣1时，t ＝2018，t ＝0时，t ＝2019，∴2018≤t ≤2019．故选：B ．2．（2022•市中区二模）定义：对于已知的两个函数，任取自变量x 的一个值，当x ≥0时，它们对应的函数值相等；当x ＜0时，它们对应的函数值互为相反数，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：正比例函数y ＝x ，它的相关函数为y =x(x ≥0)−x(x ＜0)．已知点M ，N 的坐标分别为(−12，1)，(92，1)，连结MN ，若线段MN 与二次函数y ＝﹣x 2+4x +n 的相关函数的图象有两个公共点，则n 的取值范围为（ ）A ．﹣3≤n ≤﹣1或1＜n ≤54B ．﹣3＜n ＜﹣1或1＜n ≤54C ．﹣3＜n ≤﹣1或1≤n ≤54D ．﹣3≤n ≤﹣1或1≤n ≤54【分析】首先确定出二次函数y ＝﹣x 2+4x +n 的相关函数与线段MN 恰好有1个交点、2个交点、3个交点时n 的值，然后结合函数图象可确定出n 的取值范围．【解答】解：如图1所示：线段MN 与二次函数y ＝﹣x 2+4x +n 的相关函数的图象恰有1个公共点，=2，∵二次函数y＝﹣x2+4x+n的对称轴为x=−42×(−1)∴当x＝2时，y＝1，即﹣4+8+n＝1，解得n＝﹣3，如图2所示：线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰好3个公共点．∵抛物线y＝x2﹣4x﹣n与y轴交点纵坐标为1，∴﹣n＝1，解得：n＝﹣1；∴当﹣3＜n≤﹣1时，线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点，如图3所示：线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点．∵抛物线y＝﹣x2+4x+n经过点（0，1），∴n＝1，如图4所示：线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．∵抛物线y＝x2﹣4x﹣n经过点M（−12，1），∴14+2﹣n＝1，解得：n=54，∴1≤n≤54时，线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．综上所述，n的取值范围是﹣3＜n≤﹣1或1≤n≤54，故选：C．3．（2022•青秀区校级一模）新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点．若二次函数y＝x2﹣x+c（c为常数）在﹣2＜x＜4的图象上存在两个二倍点，则c的取值范围是（ ）A．﹣2＜c＜14B．﹣4＜c＜94C．﹣4＜c＜14D．﹣10＜c＜94【分析】由点的纵坐标是横坐标的2倍可得二倍点在直线y＝2x上，由﹣2＜x＜4可得二倍点所在线段AB的端点坐标，结合图象，通过求抛物线与线段交点求解．【解答】解：由题意可得二倍点所在直线为y＝2x，将x＝﹣2代入y＝2x得y＝﹣4，将x＝4代入y＝2x得y＝8，设A（﹣2，﹣4），B（4，8），如图，联立方程x2﹣x+c＝2x，当Δ＞0时，抛物线与直线y＝2x有两个交点，即9﹣4c＞0，解得c＜94，此时，直线x＝﹣2和直线x＝4与抛物线交点在点A，B上方时，抛物线与线段AB有两个交点，把x＝﹣2代入y＝x2﹣x+c得y＝6+c，把x＝4代入y＝x2﹣x+c得y＝12+c，∴6+c＞−4 12+c＞8，解得c＞﹣4，∴﹣4＜c＜94满足题意．故选：B．4．（2022秋•汉阳区期中）我们定义：若点A在某一个函数的图象上，且点A的横纵坐标相等，我们称点A为这个函数的“好点”．若关于x的二次函数y＝ax2+tx﹣2t对于任意的常数t恒有两个“好点”，则a 的取值范围为（ ）A．0＜a＜1B．0＜a＜12C．13＜a＜12D．12＜a＜1【分析】“好点”A的横纵坐标相等，即：x＝y＝ax2+tx﹣2t（a≠0），△＝（t﹣1）2+8at＞0，整理得：t2﹣（2﹣8a）t+1＝0，△′＝（2﹣8a）2﹣4＜0，即可求解．【解答】解：“好点”A的横纵坐标相等，即：x＝y＝ax2+tx﹣2t（a≠0），Δ＝b2﹣4ac＝（t﹣1）2+8at＞0，整理得：t2﹣（2﹣8a）t+1＞0，∵1＞0，故当△′＜0时，抛物线开口向上，且与x轴没有交点，故上式成立，△′＝（2﹣8a）2﹣4＜0，解得：0＜a＜12，故选：B．5．（2022秋•和平区校级月考）对于实数a，b，定义运算“*”：a*b=a 2−ab(a≥b)b2−ab(a＜b)，例如：4*2，因为4＞2，所以4*2＝42﹣4×2＝8．若函数y＝（2x）*（x+1），则下列结论：①方程（2x）*（x+1）＝0的解为﹣1和1；②关于x的方程（2x）*（x+1）＝m有三个解，则0＜m≤1；③当x＞1时，y随x的增大而增大；④直线y＝kx﹣k与函数y＝（2x）*（x+1）图象只有一个交点，则k＝﹣2；⑤当x＜1时，函数y＝（2x）*（x+1）的最大值为1．其中正确结论的序号有（ ）A．②④⑤B．①②⑤C．②③④D．①③⑤【分析】①根据题意，2x≥x+1时，（2x）*（x+1）＝2x2﹣2x，2x＜x+1时，（2x）*（x+1）＝﹣x2+1，分别求解即可；②由①可知，画出函数图象，数形结合即可求解；③x＝1时，y＝0，结合图象可知，当x＞1时，y随x的增大而增大；④先求出函数与y＝kx﹣k有一个交点时k的取值，再结合函数图象可知，当k≤﹣2时，直线y＝kx﹣k 与函数y＝（2x）*（x+1）图象只有一个交点；⑤当x＝0时，函数有最大值1，由此可得⑤正确．【解答】解：①由题意得：当2x≥x+1，即x≥1，（2x）*（x+1）＝（2x）2﹣2x（x+1）＝4x2﹣2x2﹣2x＝2x2﹣2x，∴2x2﹣2x＝0的解为x＝0或x＝1，∴x＝1；当2x＜x+1，即x＜1，（2x）*（x+1）＝（x+1）2﹣2x（x+1）＝x2+1+2x﹣2x2﹣2x＝﹣x2+1．∴﹣x2+1＝0，∴x＝1或x＝﹣1，∴x＝﹣1，故①正确；②由①可知，x≥1，（2x）*（x+1）＝2x2﹣2x，x＜1，（2x）*（x+1）＝﹣x2+1，如图，0＜m＜1时，关于x的方程（2x）*（x+1）＝m有三个解，故②不正确；③由②函数图象可知，x＝1时，y＝0，结合图象可知，当x＞1时，y随x的增大而增大，故③正确；④当y＝kx﹣k经过定点（1，0），kx﹣k＝﹣x2+1时，Δ＝（k+2）2＝0，∴k＝﹣2，当k≤﹣2时，直线y＝kx﹣k与函数y＝（2x）*（x+1）图象只有一个交点，故④不正确；⑤当x＜1时，函数（2x）*（x+1）＝﹣x2+1，当x＝0时，函数有最大值1，∴当x＜1时，函数y＝（2x）*（x+1）的最大值为1．故⑤正确；故选：D．6．（2022•莱芜区二模）定义：平面直角坐标系中，点P （x ，y ）的横坐标x 的绝对值表示为|x |，纵坐标y 的绝对值表示为|y |，我们把点P （x ，y ）的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做点P （x ，y ）的折线距离，记为|M |＝|x |+|y |（其中的“+”是四则运算中的加法），若抛物线y ＝ax 2+bx +1与直线y ＝x 只有一个交点M ，已知点M 在第一象限，且2≤|M |≤4，令t ＝2b 2﹣4a +2022，则t 的取值范围为（ ）A ．2018≤t ≤2019B ．2019≤t ≤2020C ．2020≤t ≤2021D ．2021≤t ≤2022【分析】根据二次函数图象性质直接判断．【解答】解：∵抛物线y ＝ax 2+bx +1与直线y ＝x 只有一个交点M ，∴方程组y =x y =ax 2+bx +1只有一组解．消去y 得：ax 2+（b ﹣1）x +1＝0，∴Δ＝（b ﹣1）2﹣4a ＝0，∴a =14（b ﹣1）2，∴ax 2+（b ﹣1）x +1＝0可化为：14（b ﹣1）2x 2+（b ﹣1）x +1＝0，∴[（b ﹣1）x +2]2＝0，∴x 1＝x 2=21−b ．∴M （21−b ，21−b ），∵M 在第一象限，∴1﹣b ＞0，∴b ＜1．∵2≤|M |≤4，≤2，∴1≤|21−b≤2∴1≤21−b∴﹣1≤b≤0，|∴t＝2b2﹣4a+2022＝2b2﹣（b﹣1）2+2022＝（b+1）2+2020，∵﹣1≤b＜0，抛物线开口向下，对称轴是b＝﹣1，∴t随b的增大而增大，∴2020≤t≤2021．故选：C．7．（2022•岳阳模拟）在平面直角坐标系中，对于点P（m，n）和点P′（m，n′），给出如下新定义，若n'=|n|(当m＜0时)n−2(当m≥0时)，则称点P′（m，n′）是点P（m，n）的限变点，例如：点P1（1，4）的限变点是P′1（1，2），点P2（﹣2，﹣1）的限变点是P′2（﹣2，1），若点P（m，n）在二次函数y＝﹣x2+4x+1的图象上，则当﹣1≤m≤3时，其限变点P′的纵坐标n'的取值范围是（ ）A．﹣1≤n'＜3B．1≤n'＜4C．1≤n'≤3D．﹣1≤n'≤4【分析】由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根据函数新定义分类讨论m＜0和m≥0时n′的取值范围．【解答】解：∵抛物线y＝﹣x2+4x+1，∴抛物线对称轴为直线x＝2，开口向下，∴x＜2时，y随x增大而增大，x＞2时，y随x增大而减小，∵点P（m，n）在二次函数y＝﹣x2+4x+1的图象上，∴n＝﹣m2+4m+1，∴﹣1≤m＜0时，n′＝|﹣m2+4m+1|，将m＝﹣1代入n＝﹣m2+4m+1得n＝﹣4，∴m＝﹣1时，n′＝4，将m＝0代入n＝﹣m2+4m+1得n＝1，∵﹣4＜0＜1，∴﹣1≤m＜0时，0≤n′≤4，当m≥0时，n′＝n﹣2＝﹣m2+4m﹣1，将m ＝0代入n ′＝﹣m 2+4m ﹣1得n ′＝﹣1，将m ＝2代入n ′＝﹣m 2+4m ﹣1得n ′＝3，∴当m ≥0时，﹣1≤n ′≤3，综上所述，﹣1≤≤n ′≤4，故选：D ．8．（2022•自贡模拟）定义：若抛物线的顶点与x 轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就称为：“美丽抛物线”．如图，直线l ：y =13x +b 经过点M （0，14），一组抛物线的顶点B 1（1，y 1），B 2（2，y 2），B 3（3，y 3），…B n （n ，y n ） （n 为正整数），依次是直线l 上的点，这组抛物线与x 轴正半轴的交点依次是：A 1（x 1，0），A 2（x 2，0），A 3（x 3，0），…A n +1（x n +1，0）（n 为正整数）．若x 1＝d （0＜d ＜1），当d 为（ ）时，这组抛物线中存在美丽抛物线．A ．512或712B ．512或1112C ．712或1112D ．712【分析】由抛物线的对称性可知，所构成的直角三角形必是以抛物线顶点为直角顶点的等腰三角形，所以此等腰三角形斜边上的高等于斜边的一半．又0＜d ＜1，所以等腰直角三角形斜边的长小于2，所以等腰直角三角形斜边的高一定小于1，即抛物线的定点纵坐标必定小于1．【解答】解：直线l ：y =13x +b 经过点M （0，14），则b =14；∴直线l ：y =13x +14．由抛物线的对称性知：抛物线的顶点与x 轴的两个交点构成的直角三角形必为等腰直角三角形；∴该等腰三角形的高等于斜边的一半．∵0＜d ＜1，∴该等腰直角三角形的斜边长小于2，斜边上的高小于1（即抛物线的顶点纵坐标小于1）；∵当x ＝1时，y 1=13×1+14=712＜1，当x ＝2时，y 2=13×2+14=1112＜1，当x ＝3时，y 3=13×3+14=54＞1，∴美丽抛物线的顶点只有B 1、B 2．①若B 1为顶点，由B 1（1，712），则d ＝1−712=512；②若B 2为顶点，由B 2（2，1112），则d ＝1﹣[（2−1112）﹣1]=1112，综上所述，d 的值为512或1112时，存在美丽抛物线．故选：B ．9．（2022秋•诸暨市期中）定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如图，在正方形OABC 中，点A （0，2），点C （2，0），则互异二次函数y ＝（x ﹣m ）2﹣m 与正方形OABC 有交点时m 的最大值和最小值之差为（ ）A ．5B C ．4D 【分析】画出图象，从图象可以看出，当函数图象从左上向右下运动时，当跟正方形有交点时，先经过点A ，再逐渐经过点O ，点B ，点C ，最后再经过点B ，且在运动的过程中，两次经过点A ，两次经过点O ，点B 和点C ，只需算出当函数经过点A 及点B 时m 的值，即可求出m 的最大值及最小值．【解答】解：如图，由题意可得，互异二次函数y ＝（x ﹣m ）2﹣m 的顶点（m ，﹣m ）在直线y ＝﹣x 上运动，在正方形OABC中，点A（0，2），点C（2，0），∴B（2，2），从图象可以看出，当函数图象从左上向右下运动时，若抛物线与正方形有交点，先经过点A，再逐渐经过点O，点B，点C，最后再经过点B，且在运动的过程中，两次经过点A，两次经过点O，点B和点C，∴只需算出当函数经过点A及点B时m的值，即可求出m的最大值及最小值．当互异二次函数y＝（x﹣m）2﹣m经过点A（0，2）时，m＝2或m＝﹣1；当互异二次函数y＝（x﹣m）2﹣m经过点B（2，2）时，m m∴互异二次函数y＝（x﹣m）2﹣m与正方形OABC有交点时m1．（﹣1）=故选：B．10．（2022秋•亳州月考）定义：在平面直角坐标系中，过一点P分别作坐标轴的垂线，这两条垂线与坐标轴围成一个矩形，若矩形的周长值与面积值相等，则点P叫做和谐点，所围成的矩形叫做和谐矩形．已知点P是抛物线y＝x2+k上的和谐点，所围成的和谐矩形的面积为16，则k的值可以是（ ）A．16B．4C．﹣12D．﹣18【分析】根据和谐点的定义与二次函数的性质列出m，n的方程，求解m，n即可．【解答】解：∵点P（m，n）是抛物线y＝x2+k上的点，∴n＝m2+k，∴k＝n﹣m2，∴点P（m，n）是和谐点，对应的和谐矩形的面积为16，∴2|m|+2|n|＝|mn|＝16，∴|m|＝4，|n|＝4，当n≥0时，k＝n﹣m2＝4﹣16＝﹣12；当n＜0时，k＝n﹣m2＝﹣4﹣16＝﹣20；故选：C．二．填空题（共10小题）11．（2022•芦淞区模拟）定义[a，b，c]为函数y＝ax2+bx+c的特征数，下面给出特征数位[2m，1﹣m，﹣1﹣m]的函数的一些结论：①当m ＝﹣3时，函数图象的顶点坐标是（13，83）；②当m ＝1时，函数图象截x 轴所得的线段长度等于2；③当m ＝﹣1时，函数在x ＞14时，y 随x 的增大而减小；④当m ≠0时，函数图象经过同一个点．上述结论中所有正确的结论有　①②④　．（填写所有正确答案的序号）【分析】①把m ＝﹣3代入[2m ，1﹣m ，﹣1﹣m ]，求得[a ，b ，c ]，求得解析式，利用顶点坐标公式解答即可；②令函数值为0，求得与x 轴交点坐标，利用两点间距离公式解决问题；③首先求得对称轴，利用二次函数的性质解答即可；④根据特征数的特点，直接得出x 的值，进一步验证即可解答．【解答】解：因为函数y ＝ax 2+bx +c 的特征数为[2m ，1﹣m ，﹣1﹣m ]；①当m ＝﹣3时，y ＝﹣6x 2+4x +2＝﹣6（x −13）2+83，顶点坐标是（13，83）；此结论正确；②当m ＝1时，y ＝2x 2﹣2，令y ＝0，则有2x 2﹣2＝0，解得，x 1＝1，x 2＝﹣1，|x 2﹣x 1|＝2，所以当m ＝1时，函数图象截x 轴所得的线段长度等于2，此结论正确；③当m ＝﹣1时，y ＝﹣2x 2+2x ，是一个开口向下的抛物线，其对称轴是直线x =−b2a =−22×(−2)=12，在对称轴的右边y 随x 的增大而减小，14＜12，右边，因此函数在x =14右边先递增到对称轴位置，再递减，此结论错误；④当x ＝1时，y ＝2mx 2+（1﹣m ）x +（﹣1﹣m ）＝2m +（1﹣m ）+（﹣1﹣m ）＝0 即对任意m ，函数图象都经过点（1，0）那么同样的：当m ＝0时，函数图象都经过同一个点（1，0），当m ≠0时，函数图象经过同一个点（1，0），故当m ≠0时，函数图象经过x 轴上一个定点此结论正确．根据上面的分析，①②④都是正确的，③是错误的．故答案为：①②④．12．（2022秋•浦东新区期末）定义：直线与抛物线两个交点之间的距离称作抛物线关于直线的“割距”，如图，线段MN 长就是抛物线关于直线的“割距”．已知直线y ＝﹣x +3与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，点B 恰好是抛物线y ＝﹣（x ﹣m ）2+n 的顶点，则此时抛物线关于直线y 的割距是【分析】根据直线y＝﹣x+3，可以求出该直线与y轴的交点，从而可以得到点B的坐标，再根据点B恰好是抛物线y＝﹣（x﹣m）2+n的顶点，即可得到m、n的值，然后将抛物线与直线建立平面直角坐标系，求出它们的交点，即可求得抛物线关于直线y的割距．【解答】解：（1）∵y＝﹣x+3，∴当x＝0时，y＝3，∴点B的坐标为（0，3），∵点B恰好是抛物线y＝﹣（x﹣m）2+n的顶点，∴m＝0，n＝3，∴抛物线y＝﹣x2+3，y=−x+3y=−x2+3，解得x=0y=3或x=1y=2，∴抛物线与直线y的交点为（0，3），（1，2），∴此时抛物线关于直线y13．（2022•宣州区校级自主招生）对某一个函数给出如下定义：若存在实数m＞0，对于任意的函数值y，都满足﹣m≤y≤m，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的m中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，如图中的函数是有界函数，其边界值是1．将函数y＝﹣x2+1（﹣2≤x≤t，t≥0）的图象向上平移t个单位，得到的函数的边界值n满足94≤n≤52时，则t的取值范围是　12≤t≤34或54≤t≤32　．【分析】根据题干定义可得函数最大值94≤y ≤52或函数最小值−52≤y ≤−94，由t ＞0可得函数最大值为y ＝1+t 可得0＜t ≤32，进而可得函数最小值为直线x ＝﹣2与抛物线交点纵坐标，进而求解．【解答】解：由题干可得函数y ＝﹣x 2+1+t 在﹣2≤x ≤t 时，函数最大值或最小值为n ，94≤n ≤52，∵t ＞0，抛物线y ＝﹣x 2+1+t 开口向下，顶点坐标为（0，1+t ），∴1+t 为函数最大值，当1+t =52时，t =32，∴0＜t ≤32，当t ＝2时，直线x ＝﹣2与直线x ＝t 与抛物线交点关于对称轴对称，∴0＜t ≤32时，直线x ＝﹣2与抛物线交点为最低点，把x ＝﹣2代入y ＝﹣x 2+1+t 得y ＝﹣3+t ，当﹣3+t =−52时，t =12，∴t ≥12，当94≤1+t ≤52时，54≤t ≤32，当−52≤−3+t ≤−94时，12≤t ≤34，∴12≤t ≤34或54≤t ≤32满足题意．故答案为：12≤t ≤34或54≤t ≤32．14．（2022秋•德清县期末）定义：在平面直角坐标系中，我们将横、纵坐标都是整数的点称为“整点”．若抛物线y ＝ax 2﹣2ax +a +3与x 轴围成的区域内（不包括抛物线和x 轴上的点）恰好有8个“整点”，则a 的取值范围是　−12＜a ≤−14　．【分析】如图所示，a ＜0，图象实心点为8个“整点”，则符合条件的抛物线过点A 、B 之间（含点B ），即可求解．【解答】解：y ＝ax 2﹣2ax +a +3＝a （x ﹣1）2+3，故抛物线的顶点为：（1，3）；如图所示，a ＜0，图象实心点为8个“整点”，则符合条件的抛物线过点A 、B 之间（含点B ），当抛物线过点A （3，1）时，将点A 的坐标代入抛物线表达式并解得：a =−12；当抛物线过点（2，2）时，则2＝a （2﹣1）2+3，解得：a ＝﹣1；当抛物线过点（3，2）时，同理可得：a =−14同理当抛物线过点B （4，1）时，a =−29．故答案为：−12＜a ≤−14．15．（2022秋•鄞州区校级期末）定义：在平面直角坐标系中，若点A 满足横、纵坐标都为整数，则把点A 叫做“整点”．如：B （3，0）、C （﹣1，3）都是“整点”．当抛物线y ＝ax 2﹣4ax +1与其关于x 轴对称的抛物线围成的封闭区域内（包括边界）共有9个整点时，a 的取值范围 23≤a ＜34　．【分析】通过抛物线的解析式可得对称轴为x ＝2，过点（0，1），对a 分情况讨论，分别求解即可．【解答】解：由y ＝ax 2﹣4ax +1可得，其图象对称轴为直线x ＝2，且其图象必过点（0，1），当a ＜0时，此时整点有（0，0）（1，0），（2，0），（3，0），（4，0），（5，0），...，等等，显然超过9个，∴a ＜0不符合题意，舍去；当a ＞0时，若过点（1，﹣1）时，则﹣1＝a ﹣4a +1，解得a =23，此时刚好9个整点，若过点（2，﹣2）时，则﹣2＝4a ﹣8a +1，解得a =34，此时有10个整点，∴23≤a ＜34．故答案为：23≤a ＜34．16．（2022秋•思明区校级期中）在直角坐标系xOy 中，对于点P （x ，y ）和Q （x ，y ′），给出如下定义：若y ′=y(x ≥0)−y(x ＜0)，则称点Q 为点P 的“可控变点”．请问：若点P 在函数y ＝﹣x 2+16（﹣5≤x ≤a ）的图象上，其“可控变点”Q 的纵坐标y ′的取值范围是﹣16＜y ′≤16，则实数a ≤【分析】本题先理解定义，依据题意画出函数图象即可求解．【解答】解：依题意，y ＝﹣x 2+16图象上的点P 的“可控变点”必在函数y ′=−x 2+16(x ≥0)x 2−16(−5≤x ＜0)的图象上（如图），当x ＝﹣5时，y ＝25﹣16＝9，当y ＝9时，x 2＝7，∵x ＞0，∴x ∵﹣16≤y ′≤16，当y ′＝16，代入y ′=−x 2+16(x ≥0)x 2−16(−5≤x ＜0)，得：x ＝当y ＝﹣16，代入上式得：x ＝若a＜y取不到﹣16；当a＞y取值超过范围；≤a＜17．（2022•徐汇区模拟）定义：将两个不相交的函数图象在竖直方向上的最短距离称为这两个函数的“和谐值”．如果抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与抛物线y＝（x﹣1）2+1的“和谐值”为2，试写出一个符合条件的函数解析式：　y＝x2﹣2x+4　．【分析】抛物线y＝（x﹣1）2+1向上或向下平移2个单位求解．【解答】解：将抛物线y＝（x﹣1）2+1向上平移2个单位可得抛物线y＝（x﹣1）2+1y＝（x﹣1）2+3＝x2﹣2x+4，故答案为：y＝x2﹣2x+4．18．（2022•二道区校级模拟）定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如图，在正方形OABC中，点A（0，2），点C（2，0），则互异二次函数y＝（x﹣m）2﹣m 与正方形OABC有公共点时m的最大值是 ．【分析】根据抛物线顶点坐标可得抛物线顶点的运动轨迹，从而可得当抛物线经过点B时m取最大值，进而求解．【解答】解：∵y＝（x﹣m）2﹣m，∴抛物线顶点坐标为（m，﹣m），∴抛物线顶点在直线y＝﹣x上，∵四边形AOBC为正方形，∴点B坐标为（2，2），点A（0，2），点C（2，0），如图，当抛物线经过点B时，m取最大值，将（2，2）代入y ＝（x ﹣m ）2﹣m 得2＝（2﹣m ）2﹣m ，解得m m19．（2022•郫都区模拟）定义：由a ，b 构造的二次函数y ＝ax 2+（a +b ）x +b 叫做一次函数y ＝ax +b 的“滋生函数”，一次函数y ＝ax +b 叫做二次函数y ＝ax 2+（a +b ）x +b 的“本源函数”（a ，b 为常数，且a ≠0）．若一次函数y ＝ax +b 的“滋生函数”是y ＝ax 2﹣3x +a +1，那么二次函数y ＝ax 2﹣3x +a +1的“本源函数”是 y ＝﹣2x ﹣1　．【分析】根据“滋生函数”的定义可得ax 2﹣3x +a +1＝ax 2+（a +b ）x +b ，从而可得关于a ，b 的二元一次方程组，求出a ，b 的值，进而求解．【解答】解：∵y ＝ax +b 的“滋生函数”是y ＝ax 2﹣3x +a +1，∴ax 2﹣3x +a +1＝ax 2+（a +b ）x +b ，即a +b =−3b =a +1，解得a =−2b =−1，∴y ＝ax 2﹣3x +a +1的“本源函数”是y ＝﹣2x ﹣1，故答案为：y ＝﹣2x ﹣1．20．（2022•亭湖区校级开学）定义{a ，b ，c }＝c （a ＜c ＜b ），即（a ，b ，c ）的取值为a ，b ，c 的中位数，例如：{1，3，2}＝2，{8，3，6}＝6，已知函数y ＝{x 2+1，﹣x +2，x +3}与直线y =13x +b 有3个交点时，则b 的值为 73或83　．【分析】画出函数的数y ＝{x 2+1，﹣x +2，x +3}的图象，观察图象，利用图象法解决问题即可．【解答】解：由题意：函数y ＝{x 2+1，﹣x +2，x +3}的图象如图所示（图中实线）．由图象可得，当直线y =13x +b 经过点A 和点B 时，函数y ＝{x 2+1，﹣x +2，x +3}与直线y =13x +b 有3个交点，令x 2+1＝x +3，解得x ＝﹣1或x ＝2（舍去），∴A （﹣1，2），令x +3＝﹣x +2，解得x =−12，∴B （−12，52），当直线y =13x +b 经过点A 时，13×（﹣1）+b ＝2，解得b =73；当直线y =13x +b 经过点B 时，13×（−12）+b =52，解得b =83．故答案为：73或83．三．解答题（共10小题）21．（2022•工业园区模拟）定义：若一个函数的图象上存在横、纵坐标之和为零的点，则称该点为这个函数图象的“好点”．例如，点（﹣1，1）是函数y ＝x +2的图象的“好点”．（1）在函数①y ＝﹣x +3，②y =3x ③y ＝x 2+2x +1的图象上，存在“好点”的函数是 ③　；（填序号）（2）设函数y =−4x （x ＜0）与y ＝kx +3的图象的“好点”分别为点A 、B ，过点A 作AC ⊥y 轴，垂足为C ．当△ABC 为等腰三角形时，求k 的值；（3）若将函数y＝x2+2x的图象在直线y＝m下方的部分沿直线y＝m翻折，翻折后的部分与图象的其余部分组成了一个新的图象．当该图象上恰有3个“好点”时，求m的值．【分析】（1）判断y＝﹣x与各个函数图像是否有公共点即可；（2）先得出y=−4x的“好点”，从而得出AC的长，在y＝﹣x上的点B，使得AB＝AC，从而求得点B 坐标，将B点坐标代入y＝kx+3求得k的值；（3）折叠前的抛物线上有两个“好点”，所以折叠后的抛物线上有一个“好点”即可，即y＝﹣x与折叠后抛物线只有一个公共点，从而求得折叠后的抛物线解析式，进一步求得结果．【解答】解：（1）∵y＝﹣x+3，∴y+x＝3，∴①不是“好点”的函数，∵y=3x，x＞0，∴xy＝3＞0∴x+y≠0，∴②不是“好点”的函数，∵y=x2+2x+1 x+y=0，∴x2+3x+1＝0，∴Δ＝32﹣4×1×1＞0，∴方程组有解，∴③是“好点”的函数，故答案为：③；（2）∵y=−4xx+y=0，x＜0，∴x=−2 y=2，∴A（﹣2，2），由题意得，当△ABC为等腰三角形时，只有AB＝AC＝2，∵y＝﹣x，∴B（x，﹣x），∴（x+2）2+（﹣x﹣2）2＝22，∴x1=2，x2=2，当x2时，y=2，2）k+3=2，∴k当x=2时，y=2，∴（2）k+3=2，∴k=∴k=±（3）设翻折后的抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+k，∵y＝x2+2x的图像上有两个“好点”：（0，0）和（﹣3，0），当y＝﹣x2﹣2x+k上有一个“好点”时，把y＝﹣x代入得，﹣x＝﹣x2﹣2x+k，化简整理得，x2+x﹣k＝0，∵Δ＝1+4k＝0，∴k=−14，∴y＝﹣x2﹣2x−14，由y=x2+2xy=−x2−2x−14得，2y=−14，∴y=−18，∴m=−18．当（0，0）在y＝﹣x2﹣2x+k上时，此时﹣x2﹣2x＝﹣x，x＝0或x＝﹣1，这时也有三个“好点”：（﹣3，﹣3），（0，0），（﹣1﹣1），∴m =−18或0．22．（2022春•荷塘区校级期中）如图1，若关于x 的二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ，b ，c 为常数且a ＜0）与x 轴交于两个不同的点A （x 1，0），B （x 2，0）（x 1＜0＜x 2），与y 轴交于点C ，抛物线的顶点为M ，O 是坐标原点．（1）若a ＝﹣1，b ＝2，c ＝3．①求此二次函数图象的顶点M 的坐标；②定义：若点G 在某一个函数的图象上，且点G 的横纵坐标相等，则称点G 为这个函数的“好点”．求证：二次函数y ＝ax 2+bx +c 有两个不同的“好点”．（2）如图2，连接MC ，直线MC 与x 轴交于点P ，满足∠PCA ＝∠PBC ，且tan∠PBC =12，△PBC 的面积为13，求二次函数的表达式．【分析】（1）①利用配方法可得顶点M 的坐标；②根据x ＝y 列方程，计算Δ＞0可得结论；（2）由tan ∠PBC =12，点C 的坐标为（0，c ），则BO ＝2c ，点B 坐标为（2c ，0），利用一元二次方程根与系数的关系：x 1•x 2=c a ，可得x 1•2c =c a ，求出x 1=12a ，标表示出点A 坐标为（12a ，0），由顶点坐标M （−b 2a ，4ac−b 24a ），C （0，c ），用待定系数法表示出直线MC 的解析式为：y =b 2x +c ，点P 坐标为（−2c b ，0），再相似得PC 2＝PA •PB ，勾股定理得PC 2＝OP 2+OC 2，列等式利用整体思想先求出b 的值，再利用二次函数图象上点的坐标特征即可求出a ，c 的值，从而写出解析式即可．【解答】解：（1）①∵a ＝﹣1，b ＝2，c ＝3，∴二次函数的解析式为：y ＝﹣x 2+2x +3＝﹣（x ﹣1）2+4，∴顶点M 的坐标为（1，4）；（2）当x ＝y 时，﹣x 2+2x +3＝x ，∴x 2﹣x ﹣3＝0，Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣3）＝13＞0，∴二次函数y ＝﹣x 2+2x +3有两个不同的“好点”；（3）∵tan ∠PBC =12，点C 的坐标为（0，c ），则BO ＝2c ，点B 坐标为（2c ，0），由一元二次方程根与系数的关系：x 1•x 2=c a 可得x 1•2c =c a ，∴x 1=12a ，∴点A 坐标为（12a ，0），∵顶点坐标M （−b 2a ，4ac−b 24a ），C （0，c ），设直线MC 的函数关系式为：y ＝mx +n ，根据题意得：−b 2a m +n =4ac−b 24a n =c，解得：m =b 2n =c，∴直线MC 的解析式为：y =b 2x +c ，∴点P 坐标为（−2c b ，0），由此可得PA =12a +2c b ，PB ＝2c +2c b ，∵∠PCA ＝∠PBC ，∠CPA ＝∠BPC ，∴△PCA ∽△PBC ，∴PC PA =PB PC ，∴PC 2＝PA •PB ，∵PC 2＝OP 2+OC 2＝（−2c b ）2+c 2=4c 2b 2+c 2，∴4c 2b 2+c 2＝（12a +2c b ）（2c +2c b ），∴c2=ca +cab+4c2b，∴c=1a +1ab+4cb=b14acab①，把点B（2c，0）代入二次函数解析式，得：4ac2+2bc+c＝0，∴4ac+2b+1＝0，∴4ac+b+1＝﹣b②，将②式代入①式得，c=−bab =−1a，将c=−1a代入4ac+2b+1＝0，得，﹣4+2b+1＝0，解得：b=32，∴P的坐标为（−4c3，0），又∵S△PBC =12PB•CO=12（2c+4c3）•c=13，∴5c23=13，解得，c又∵c=−1a，a=∴二次函数的表达式为：y=2+32x+23．（2022春•海门市期中）定义：在平面直角坐标系xOy中，若某函数的图象上存在点P（x，y），满足y＝mx+m，m为正整数，则称点P为该函数的“m倍点”．例如：当m＝2时，点（﹣2，﹣2）即为函数y＝3x+4的“2倍点”．（1）在点A（2，3），B（﹣2，﹣3），C（﹣3，﹣2）中，　点A（2，3）和C（﹣3，﹣2）　是函数y=6x的“1倍点”；（2）若函数y＝﹣x2+bx存在唯一的“4倍点”，求b的值；（3）若函数y＝﹣x+2m+1的“m倍点”在以点（0，10）为圆心，半径长为2m的圆外，求m的所有值．【分析】（1）根据函数的“m倍点”的定义可作判断；（2）先确定函数y＝﹣x2+bx存在唯一的“4倍点”，则m＝4，满足y＝4x+4，两函数有唯一一个交点，Δ＝0，可解答；（3）根据定义可知：“m倍点”的横纵坐标是y＝mx+m与y＝﹣x+2m+1的公共解，计算可得其解为x=1y=2m，根据函数y＝﹣x+2m+1的“m倍点”在以点（0，10）为圆心，半径长为2m的圆外，列不等式可得结论．【解答】解：（1）当m＝1时，∵mx+m＝2×1+1＝3，2×3＝6，∴点A（2，3）是函数y=6x的“1倍点”；∵mx+m＝﹣2×1+1＝﹣1≠﹣3，∴点B（﹣2，﹣3）不是函数y=6x的“1倍点”；∵mx+m＝﹣3×1+1＝﹣2，﹣3×（﹣2）＝6，∴点C（﹣3，﹣2）是函数y=6x的“1倍点”；综上，点A（2，3）和C（﹣3，﹣2）是函数y=6x的“1倍点”；故答案为：点A（2，3）和C（﹣3，﹣2）；（2）当m＝4时，y＝4x+4，∵函数y＝﹣x2+bx存在唯一的“4倍点”，∴4x+4＝﹣x2+bx，∴x2+（4﹣b）x+4＝0，∴Δ＝（4﹣b）2+4×1×4＝0，∴b＝0或8；（3）∵y=−x+2m+1 y=mx+m，∴x=1y=2m，∴函数y＝﹣x+2m+1的“m倍点”为（1，2m），如图所示，直线x＝1与⊙A交于点B，连接AB，过点B作BC⊥y轴于C，∴AC =∴102m ，∴m ＜23140，∵m 为正整数，∴m ＝1或2．24．（2022•费县一模）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”，例如，点（2，2）是函数y ＝2x ﹣2的图象的“等值点”．（1）分别判断函数y =5x ，y =x +2的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，说明理由；（2）写出函数y ＝﹣x 2+2的等值点坐标；（3）若函数y ＝﹣x 2+2（x ≤m ）的图象记为W 1，将其沿直线x ＝m 翻折后的图象记为W 2．当W 1，W 2两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，请写出m 的取值范围．【分析】（1）根据“等值点”的定义建立方程求解即可得出答案；（2）根据“等值点”的定义建立方程求解即可得出答案；（3）由函数y ＝﹣x 2+2的等值点坐标为（﹣2，﹣2），（1，1），再利用翻折的性质分类讨论即可．【解答】解：（1）在y =5x 中，令y ＝x 得x =5x ，解得x =x =∴y =5x 的图象上存在两个“等值点”在y ＝x +2中，令y ＝x 得x ＝x +2，得0＝2不成立，∴函数y＝x+2的图象上不存在“等值点”；的图象上存在两个“等值点”y＝x+2的图象上不答：函数y=5x存在“等值点”；（2）在y＝﹣x2+2中，令y＝x得x＝﹣x2+2，解得x＝﹣2或x＝1，∴函数y＝﹣x2+2的等值点坐标为（﹣2，﹣2），（1，1）；（3）①当m＞1时，由（2）知，W1，W2两部分组成的图象上总有有2个“等值点”：（﹣2，﹣2），（1，1）在W1上，若W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“等值点”，则W2上无“等值点“，由W1：y＝﹣x2+2（x≤m）沿直线x＝m翻折后的图象记为W2，可得W2的解析式为y＝﹣（x﹣2m）2+2（x＞m），在y＝﹣（x﹣2m）2+2（x＞m）中，令y＝x得：x＝﹣（x﹣2m）2+2，整理得：x2+（1﹣4m）x+4m2﹣2＝0，∵Δ＜0，∴（1﹣4m）2﹣4（4m2﹣2）＜0，解得m＞9，8；∴此时m＞98②当m＝1时，W1，W2两部分组成的图象上有3个等值点：（﹣2，﹣2），（1，1），（2，2）；③当﹣2＜m＜1时，W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“等值点”；④当m＝﹣2时，W1，W2两部分组成的图象上只有1个“等值点”：（﹣2，﹣2）；⑤当m＜﹣2时，W1，W2两部分组成的图象上没有“等值点”，或﹣2＜m＜1．综上所述，当W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，m＞9825．（2022春•武侯区校级月考）如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（5，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣5）．（1）求抛物线解析式；（2）如图2，作出如下定义：对于矩形DEFG，其边长EF＝1，DE＝2k（k为常数，且k＞0），其矩形长和宽所在直线平行于坐标轴，矩形可以在平面内自由的平移，且EG所在直线与抛物线无交点，则称该矩形在“游走”，每一个位置对应的矩形称为“悬浮矩形”；对与每一个“悬浮矩形”，若抛物线上有一点P，使得△PEG的面积最小，则称点P是该“悬浮矩形”的核心点．①请说明“核心点”P不随“悬浮矩形”的“游走”而变化，并求出“核心点”P的坐标（用k表示）；②若k＝1，DF所在直线与抛物线交于点M和N（M在N的右侧），是否存在这样的“悬浮矩形”，使得△PMN是直角三角形，若存在，并求出“悬浮矩形”中对角线DF所在直线的表达式；若不存在，说明理由．【分析】（1）把点坐标代入解析式，用待定系数法即可求得二次函数解析式；（2）①过抛物线上P点作直线EG的平行线，△PEG的面积=12EG乘以点P到直线EG的距离，当点P 到直线EG距离最短时，△PEG的面积最小，由图象可知，当过P点的直线与抛物线只有一个交点时，点P到直线EG距离最短，联立一次函数与二次函数求出交点坐标即可；②将直线DF解析式设为y＝﹣2x+m，联立一次函数与二次函数，得到点M和点N的坐标，分别求出MN，MP，NP长，分类讨论解出m即可．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（5，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣5）．∴把A（﹣1，0），B（5，0），C（0，﹣5）代入y＝ax2+bx+c得：a−b+c=025a+5b+c=0c=−5，解得a=1b=−4 c=−5．∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x﹣5．（2）①过抛物线上P点作直线EG的平行线，△PEG的面积=12EG乘以点P到直线EG的距离，当点P 到直线EG距离最短时，△PEG的面积最小，由图象可知，当过P点的直线与抛物线只有一个交点时，点P到直线EG距离最短，这样的P点只有一个，“核心点”P不随“悬浮矩形”的“游走”而变化；∵EF＝1，DE＝2k，∴EG所在直线的解析式可设为：y＝2kx+m，∴过点P与直线EG平行的直线解析式为：y＝2kx+b，令2kx+b＝x2﹣4x﹣5，得x2﹣（4+2k）x﹣（5+b）＝0，∵过P点的直线与抛物线只有一个交点，∴Δ＝（4+2k）2+4（5+b）＝0，可得（2+k）2＝﹣（5+b），∴x2﹣（4+2k）x+（2+k）2＝0，解得x＝2+k，∴y＝（k+2）2﹣4（2+k）﹣5＝k2﹣9，∴P（k+2，k2﹣9）；②当k＝1时，P（3，﹣8），∴设直线DF的解析式为：y＝﹣2x+n，令﹣2x+n＝x2﹣4x﹣5，得x2﹣2x﹣5﹣n＝0，解得x=1或x=1，∵DF所在的直线与抛物线交于点M，N，∴Δ＝4+4（5+n）＞0，即n＞﹣6，∵点M在点N的右侧，∴M+1，﹣n﹣2），N（+1，+n﹣2），∴MN2＝20（n+6），MP22）2+（n﹣6）2，NP2＝（2）2+（m+6）2，当∠MPN＝90°时，MP2+NP2＝MN2，解得n＝﹣2或n＝﹣5，∴直线DF的解析式为：y＝﹣2x﹣2或y＝﹣2x﹣5；当∠PMN＝90°时，MP2+MN2＝NP2，，解得n＝﹣2或n=−234；∴直线DF的解析式为：y＝﹣2x﹣2或y＝﹣2x−234当∠PNM＝90°时，NP2+MN2＝MP2，无解；．综上，直线DF的解析式为：y＝﹣2x﹣2或y＝﹣2x﹣5或y＝﹣2x−23426．（2022•武侯区模拟）【阅读理解】定义：在平面直角坐标系xOy中，点P为抛物线C的顶点，直线l与抛物线C分别相交于M，N两点（其中点M在点N的右侧），与抛物线C的对称轴相交于点Q，若记S（l，C）＝PQ•MN，则称S（l，C）是直线l与抛物线C的“截积”．【迁移应用】根据以上定义，解答下列问题：如图，若直线l的函数表达式为y＝x+2．（1）若抛物线C的函数表达式为y＝2x2﹣1，分别求出点M，N的坐标及S（l，C）的值；（2）在（1）的基础上，过点P作直线l的平行线l'，现将抛物线C进行平移，使得平移后的抛物线C'的顶点P′落在直线l'上，试探究S（l，C'）是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由；（3）设抛物线C的函数表达式为y＝a（x﹣h）2+k，若S（l，C）＝MN＝P在点Q的下方，求a的值．。

26题第四讲⼆次函数新定义问题上次作业：2、在平⾯直⾓坐标系xOy 中，抛物线y=ax 2+bx+c 的开⼝向上，且经过点A （0，32）.（1）若此抛物线经过点B （2，-12），且与x 轴相交于点E 、F ①填空：b=_________（⽤含a 的代数式表⽰）②当EF 2的值最⼩时，求抛物线的解析式。

（2）若a=12，当0≤x ≤1，抛物线上的点到x 轴距离的最⼤值为3时，求b 的值2、在平⾯直⾓坐标系xOy 中，抛物线y=ax 2+bx+c 的开⼝向上，且经过点A （0，32）.（2）若a=12，当0≤x ≤1，抛物线上的点到x 轴距离的最⼤值为3时，求b 的值第四讲⼆次函数——新定义问题1、定义：将函数l 的图像绕点P （m ，0）旋转180°，得到新的函数l ’的图像，我们称函数l ’是函数l 关于点P 的相关函数。

例如：当m=1时，函数y=(x+1)2+5关于点P （1，0）的相关函数为y=-(x-3)2-5。

（1）当m=0时，①⼀次函数y=x-1关于点P 的相关函数为____y=x+1______②点A （12，-89）在⼆次函数y=-ax 2-ax+1（a ≠0）关于点P 的相关函数的图像上，求a 的值。

（2）函数y=(x-1)2+2关于点P 的相关函数是y=-(x+3)2-2，则m=_______（3）当m-1≤x ≤m+2时，函数y=x 2-mx-12m 2关于点P （m ，0）的相关函数的最⼤值为6，求m 的值。

函数l ’是函数l 关于点P 的相关函数。

例如：当m=1时，函数y=(x+1)2+5关于点P （1，0）的相关函数为y=-(x-3)2-5。

（1）当m=0时，①⼀次函数y=x-1关于点P 的相关函数为__________②点A （12，-89）在⼆次函数y=-ax 2-ax+1（a ≠0）关于点P 的相关函数的图像上，求a 的值。

（2）函数y=(x-1)2+2关于点P 的相关函数是y=-(x+3)2-2，则m=_______（3）当m-1≤x ≤m+2时，函数y=x 2-mx-12m 2关于点P （m ，0）的相关函数的最⼤值为6，求m 的值。

2021年中考数学二次函数压轴题专题新定义问题一．解答题（共6小题）1．（2018春•雨花区校级月考）对于直线l1：y＝ax+b（a＜0，b＞0），有如下定义：我们把直线l2：y=−1a(x+b)称为它的“姊线”，若l1与x、y轴分别相交于A、B两点，l2与x、y轴分别相交于C、D两点，我们把经过点A、B、C的抛物线C叫做l1的“母线”．（1）若直线l1：y＝ax+b（a＜0，b＞0）的“母线”为C：y=−12x2−x+4，求a、b的值；（2）如图，若l1：y＝mx+1（m＜0），G为AB中点，H为CD中点，连接GH，M为GH中点，连接OM，若OM=√56，求出l1的“姊线”l2与“母线”C表示的函数解析式；（3）将l1：y＝﹣3x+3的“姊线”绕着D点旋转得到新的直线l3：y＝kx+n，若点P（x，y1）与点Q（x，y2）分别是“母线”C与直线l3上的点，当0≤x≤1时，|y1﹣y2|≤3，求k的取值范围．2．（2017秋•吉林期中）定义：对于给定的二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）和一次函数y＝kx+b （k≠0），任取自变量x的一个值，当x＜0时，y＝ax2+bx+c﹣（kx+b）；当x≥0时，y＝ax2+bx+c+（kx+b），我们称这样的函数为函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的“再生函数”．例如：二次函数y＝x2与一次函数y＝x，二次函数y＝x2的“再生函数”是y={x2−x(x＜0)x2+x(x≥0)．（1）已知二次函数y＝x2+3x与一次函数y＝x，求二次函数y＝x2+3x的“再生函数”对应的函数解析式；（2）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣2与一次函数y＝2x﹣2．①当﹣2≤x≤2时，求二次函数y＝x2﹣2x﹣2的“再生函数”的最大值和最小值；②M是二次函数y＝x2﹣2x﹣2的“再生函数”图象与x轴正半轴的交点，P是图象上任意一点，其横坐标为m ，连接PO 、PM ，当△OMP 的面积为1时，求m 的值． 3．（2016•宜春模拟）定义：若抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴的两个交点和顶点构成直角三角形，则称这条抛物线为“勾股抛物线”．（1）下列抛物线：①y ＝x 2﹣2x ；②y ＝﹣x 2﹣6x ﹣8；③y ＝x 2﹣4x +2是勾股抛物线的有 （填序号）．（2）①观察你得到的勾股解析式，试猜想，在勾股抛物线y ＝ax 2+bx +c 中，b 2﹣4ac ＝ （不必证明）；②若y ＝x 2+4x +c 是勾股抛物线，求c 的值；（3）如图，勾股抛物线y ＝﹣x 2+1交y 轴于点C ，现有一直线绕O 点旋转，在旋转过程中，始终保持与抛物线交M 、N 两点（M 在N 的左侧）试判断△MCN 的形状，并证明你的结论．4．（2019•玉田县一模）如图1，我们把一个半圆和抛物线的一部分围成的封闭图形成为“果圆”，已知A ，B ，C ，D 分别为“果圆”与坐标轴的交点，直线y =34x ﹣3与“果圆”中的抛物线y =34x 2+bx +c 交于BC 两点．（1）求“果圆”中的抛物线的解析式，并直接写出“果圆”被y 轴截得的线段BD 的长； （2）如图2，E 为直线BC 下方“果圆”上一点，连接AE 、AB 、BE ，设AE 与BC 交于F ，△BEF 的面积记为S △BEF ，△ABF 的面积记为S △ABF ，求S △ABF S △BEF的最小值．（3）“果圆”上是否存在点P ，使∠APC ＝∠CAB ，如果存在，直接写出点P 坐标，如果不存在，请说明理由．5．（2018•如东县一模）定义：形如y ＝|G |（G 为用自变量表示的代数式）的函数叫做绝对值函数．例如，函数y ＝|x ﹣1|，y =|6x|，y ＝|﹣x 2+2x +3|都是绝对值函数．绝对值函数本质是分段函数，例如，可以将y ＝|x |写成分段函数的形式：y ={x(x ≥0)−x(x ＜0)探索并解决下列问题：（1）将函数y ＝|x ﹣1|写成分段函数的形式；（2）如图1，函数y ＝|x ﹣1|的图象与x 轴交于点A （1，0），与函数y =|6x |的图象交于B ，C 两点，过点B 作x 轴的平行线分别交函数y =|6x |，y ＝|x ﹣1|的图象于D ，E 两点．求证△ABE ∽△CDE ；（3）已知函数y ＝|﹣x 2+2x +3|的图象与y 轴交于F 点，与x 轴交于M ，N 两点（点M 在点N 的左边），点P 在函数y ＝|﹣x 2+2x +3|的图象上（点P 与点F 不重合），PH ⊥x 轴，垂足为H ．若△PMH 与△MOF 相似，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标． 6．（2020秋•临沭县期中）阅读以下材料，并解决相应问题： 小明在课外学习时遇到这样一个问题：定义：如果二次函数y ＝a 1x 2+b 1x +c 1（a 1≠0，a 1、b 1、c 1是常数）与y ＝a 2x 2+b 2x +c 2（a 2≠0，a 2、b 2、c 2是常数）满足a 1+a 2＝0，b 1＝b 2，c 1+c 2＝0，则称这两个函数互为“旋转函数”．求函数y＝2x2﹣3x+1的旋转函数，小明是这样思考的，由函数y＝2x2﹣3x+1可知，a1＝2，b1＝﹣3，c1＝1，根据a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2，b2，c2就能确定这个函数的旋转函数．请思考小明的方法解决下面问题：（1）写出函数y＝x2﹣4x+3的旋转函数．（2）若函数y＝5x2+（m+1）x+n与y＝﹣5x2﹣nx﹣3互为旋转函数，求（m+n）2020的值．（3）已知函数y＝2（x﹣1）（x+3）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分别是A1、B1、C1，试证明：经过点A1、B1、C1的二次函数与y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”．2021年中考数学二次函数压轴题专题新定义问题参考答案与试题解析一．解答题（共6小题）1．（2018春•雨花区校级月考）对于直线l 1：y ＝ax +b （a ＜0，b ＞0），有如下定义：我们把直线l 2：y =−1a (x +b)称为它的“姊线”，若l 1与x 、y 轴分别相交于A 、B 两点，l 2与x 、y 轴分别相交于C 、D 两点，我们把经过点A 、B 、C 的抛物线C 叫做l 1的“母线”． （1）若直线l 1：y ＝ax +b （a ＜0，b ＞0）的“母线”为C ：y =−12x 2−x +4，求a 、b 的值；（2）如图，若l 1：y ＝mx +1（m ＜0），G 为AB 中点，H 为CD 中点，连接GH ，M 为GH 中点，连接OM ，若OM =√56，求出l 1的“姊线”l 2与“母线”C 表示的函数解析式；（3）将l 1：y ＝﹣3x +3的“姊线”绕着D 点旋转得到新的直线l 3：y ＝kx +n ，若点P （x ，y 1）与点Q （x ，y 2）分别是“母线”C 与直线l 3上的点，当0≤x ≤1时，|y 1﹣y 2|≤3，求k 的取值范围．【解答】解：（1）对于抛物线y =−12x 2−x +4，令x ＝0，得到y ＝4， ∴B （0，4），令y ＝0，得到−12x 2−x +4＝0，解得x ＝﹣4或2， ∴A （2，0），C （﹣4，0）， ∵y ＝ax +b 经过A 、B ， ∴{b =42a +b =0， 解得{a =−2b =4．（2）如答图2所示，连接OG 、OH ． ∵点G 、H 为斜边中点， ∴OG =12AB ，OH =12CD ．由题意，l 1的“姊线”l 2为y =−1m （x +1）可得：B （0，1），A （−1m ，0），D （﹣1，0），C （0，−1m）， ∴OA ＝OD ，OB ＝OC ， ∵∠AOB ＝∠COD ， ∴△AOB ≌△DOC ，∴AB ＝CD ，∠ABO ＝∠DCO ， ∴OG ＝OH ，∵OG ＝GB ，OH ＝HD ，∴∠GOB ＝∠ABO ，∠HOD ＝∠ODC ， ∵∠OCD +∠ODC ＝90°， ∴∠ABO +∠ODC ＝90°， ∴∠GOB +∠GOC ＝90°， ∴∠HOG ＝90° ∴OG ⊥OH ，∴△OGH 为等腰直角三角形． ∵点M 为GH 中点，∴△OMG 为等腰直角三角形， ∴OG =√2OM =√106， ∴AB ＝2OG =√103， ∴OA =(103)2−12=13，∴A （13，0），∴D （0，13），C （﹣1，0）．∴l 1的“姊线”l 2为y =13x +13，“母线”C 表示的函数的解析式为y ＝﹣3x 2﹣2x +1．（3）l 1：y ＝﹣3x +3的“姊线”的解析式为y =13x +1，“母线”C 的解析式为y ＝﹣x 2﹣2x +3， ∴直线l 3：y ＝kx +1，∵当0≤x ≤1时，|y 1﹣y 2|≤3， 不妨设x ＝1，则y 1＝0，y 2＝k +1， 由题意k +1＝±3， 解得k ＝2或﹣4，∴满足条件的k 是取值范围为：﹣4≤k ≤2．2．（2017秋•吉林期中）定义：对于给定的二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）和一次函数y ＝kx +b （k ≠0），任取自变量x 的一个值，当x ＜0时，y ＝ax 2+bx +c ﹣（kx +b ）；当x ≥0时，y ＝ax 2+bx +c +（kx +b ），我们称这样的函数为函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的“再生函数”．例如：二次函数y ＝x 2与一次函数y ＝x ，二次函数y ＝x 2的“再生函数”是y ={x 2−x(x ＜0)x 2+x(x ≥0)．（1）已知二次函数y ＝x 2+3x 与一次函数y ＝x ，求二次函数y ＝x 2+3x 的“再生函数”对应的函数解析式；（2）已知二次函数y ＝x 2﹣2x ﹣2与一次函数y ＝2x ﹣2．①当﹣2≤x ≤2时，求二次函数y ＝x 2﹣2x ﹣2的“再生函数”的最大值和最小值； ②M 是二次函数y ＝x 2﹣2x ﹣2的“再生函数”图象与x 轴正半轴的交点，P 是图象上任意一点，其横坐标为m ，连接PO 、PM ，当△OMP 的面积为1时，求m 的值． 【解答】解：（1）当x ＜0时，y ＝x 2+3x ﹣x ＝x 2+2x ， 当x ≥0时，y ＝x 2+3x +x ＝x 2+4x ．∴二次函数y ＝x 2+3x 的“再生函数”对应的函数解析式为y ={x 2+2x(x ＜0)x 2+4x(x ≥0)．（2）①当﹣2≤x ＜0时，y ＝x 2﹣2x ﹣2﹣（2x ﹣2）＝x 2﹣4x ＝（x ﹣2）2﹣4．∴此时，当x ＝﹣2时，y 有最大值，最大值为12，当x ＝0时有最小值，最小值为0． 当0≤x ≤2时，y ＝x 2﹣2x ﹣2+2x ﹣2＝x 2﹣4．∴此时，当x ＝0时，y 有最小值，最小值为﹣4，当x ＝2时，有最大值，最大值0． ∴当﹣2≤x ≤2时，二次函数y ＝x 2﹣2x ﹣2的“再生函数”的最大值为12，最小值为﹣4． ②由①可知二次函数y ＝x 2﹣2x ﹣2的“再生函数”的解析式为y ={(x −2)2−4(x ＜0)x 2−4(x ≥0)∴二次函数y ＝x 2﹣2x ﹣2的“再生函数”的图象如下图所示：把y ＝0代入y ＝x 2﹣4得：x 2﹣4＝0，解得x ＝2或x ＝﹣2（舍去）， ∴M （2，0）． ∵△OMP 的面积为1，∴12OM •|P y |＝1，即12×2•|P y |＝1，解得P y ＝±1，将y ＝1代入y ＝（x ﹣2）2﹣4得：（x ﹣2）2﹣4＝1，解得：x =−√5+2或x =√5+2（舍去）．将y ＝1代入y ＝x 2﹣4得：x 2﹣4＝1，解得：x =√5或x =−√5（舍去）． 将y ＝﹣1代入y ＝x 2﹣4得：x 2﹣4＝﹣1，解得：x =√3或x =−√3（舍去）． 综上所述，点P 的横坐标分别为−√5+2或√5或√3． ∴m 的值为−√5+2或√5或√3．3．（2016•宜春模拟）定义：若抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴的两个交点和顶点构成直角三角形，则称这条抛物线为“勾股抛物线”．（1）下列抛物线：①y ＝x 2﹣2x ；②y ＝﹣x 2﹣6x ﹣8；③y ＝x 2﹣4x +2是勾股抛物线的有 ①② （填序号）．（2）①观察你得到的勾股解析式，试猜想，在勾股抛物线y ＝ax 2+bx +c 中，b 2﹣4ac ＝ 4 （不必证明）；②若y ＝x 2+4x +c 是勾股抛物线，求c 的值；（3）如图，勾股抛物线y＝﹣x2+1交y轴于点C，现有一直线绕O点旋转，在旋转过程中，始终保持与抛物线交M、N两点（M在N的左侧）试判断△MCN的形状，并证明你的结论．【解答】解：（1）设抛物线与x轴的两个交点为A、B，顶点为C．①令y＝0，得x2﹣2x＝0，解得x1＝0，x2＝2，∴A（0，0），B（2，0），AB＝2．由y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1得顶点C（1，﹣1），∴AC＝BC=√2，∴AC2+BC2＝4＝AB2，∴△ABC是直角三角形．②令y＝0，得﹣x2﹣6x﹣8＝0，解得x1＝﹣4．x2＝﹣2，∴A（﹣4，0），B（﹣2，0），AB＝2．由y＝﹣x2﹣6x﹣8＝﹣（x+3）2+1得顶点C（﹣3，1），∴AC＝BC=√2，∴AC2+BC2＝4＝AB2，∴△ABC是直角三角形．③令y＝0，得x2﹣4x+2＝0，解得x1＝2−√2，x2＝2+√2，∴A（2−√2，0），B（2+√2，0），AB＝2√2．由y＝x2﹣4x+2＝（x﹣2）2﹣2得顶点C（2，﹣2），∴AC＝BC=√(√2)2+22=√6，∴AC2+BC2＝12≠AB2，∴△ABC不是直角三角形．故答案为①②；（2）①对于抛物线y＝x2﹣2x，有b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣0＝4；②对于抛物线y＝﹣x2﹣6x﹣8，有b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4×（﹣1）×（﹣8）＝4．故猜想：b2﹣4ac＝4，故答案为4；②由①可知b2﹣4ac＝4，∴16﹣4c＝4，∴c＝3；（3）设点M（x1，y1），N（x2，y2），则x1，x2分别是方程kx＝﹣x2+1即x2+kx﹣1＝0的两根，则有x1+x2＝﹣k，x1x2＝﹣1．由y＝﹣x2+1可得点C（0，1），∵点M、N在直线y＝kx上，∴M（x1，kx1），N（x2，kx2），∴MN2＝（x1﹣x2）2+k2（x1﹣x2）2＝（1+k2）[（x1+x2）2﹣4x1x2]＝（1+k2）（k2+4）＝k4+5k2+4，MC2+CN2＝x12+（kx1﹣1）2+x22+（kx2﹣1）2＝x12+k2x12﹣2kx1+1+x22+k2x22﹣2kx2+1＝（1+k2）（x12+x22）﹣2k（x1+x2）+2＝（1+k2）（k2+2）﹣2k•（﹣k）+2＝k4+5k2+4，∴MN2＝MC2+CN2，∴△MCN为直角三角形．4．（2019•玉田县一模）如图1，我们把一个半圆和抛物线的一部分围成的封闭图形成为“果圆”，已知A ，B ，C ，D 分别为“果圆”与坐标轴的交点，直线y =34x ﹣3与“果圆”中的抛物线y =34x 2+bx +c 交于BC 两点．（1）求“果圆”中的抛物线的解析式，并直接写出“果圆”被y 轴截得的线段BD 的长； （2）如图2，E 为直线BC 下方“果圆”上一点，连接AE 、AB 、BE ，设AE 与BC 交于F ，△BEF 的面积记为S △BEF ，△ABF 的面积记为S △ABF ，求S △ABF S △BEF的最小值．（3）“果圆”上是否存在点P ，使∠APC ＝∠CAB ，如果存在，直接写出点P 坐标，如果不存在，请说明理由．【解答】解：（1）对于直线y =34x ﹣3，令x ＝0， ∴y ＝﹣3， ∴B （0，﹣3）， 令y ＝0， ∴34x ﹣3＝0，∴x ＝4， ∴C （4，0），∵抛物线y =34x 2+bx +c 过B ，C 两点，∴{34×16+4b +c =0c =−3，∴{b =−94c =−3， ∴抛物线的解析式为y =34x 2−94x ﹣3； 令y ＝0，∴34x 2−94x ﹣3＝0，∴x ＝4或x ＝﹣1， ∴A （﹣1，0）， ∴AC ＝5，如图2，记半圆的圆心为O '，连接O 'D ， ∴O 'A ＝O 'D ＝O 'C =12AC =52， ∴OO '＝OC ﹣O 'C ＝4−52=32，在Rt △O 'OD 中，OD =√O′D 2−OO′2=2， ∴D （0，2），∴BD ＝2﹣（﹣3）＝5；（2）如图3，∵A （﹣1，0），C （4，0）， ∴AC ＝5，过点E 作EG ∥BC 交x 轴于G ，∵△ABF 的AF 边上的高和△BEF 的EF 边的高相等，设高为h ， ∴S △ABF =12AF •h ，S △BEF =12EF •h ，∴S △ABF S △BEF =12AF⋅ℎ12EF⋅ℎ=AF EF，∵S △ABF S △BEF 的最小值，∴AF EF最小，∵CF ∥GE ， ∴AF EF =AC CG=5CG，∴5CG最小，即：CG 最大，∴EG 和果圆的抛物线部分只有一个交点时，CG 最大， ∵直线BC 的解析式为y =34x ﹣3，设直线EG 的解析式为y =34x +m ①， ∵抛物线的解析式为y =34x 2−94x ﹣3②， 联立①②化简得，3x 2﹣12x ﹣12﹣4m ＝0， ∴△＝144+4×3×（12+4m ）＝0， ∴m ＝﹣6，∴直线EG 的解析式为y =34x ﹣6， 令y ＝0， ∴34x ﹣6＝0，∴x ＝8， ∴CG ＝4， ∴S △ABF S △BEF=AF EF=AC CG=54；（3）如图1，∵AC 是半圆的直径，∴半圆上除点A ，C 外任意一点Q ，都有∠AQC ＝90°， ∴点P 只能在抛物线部分上， ∵B （0，﹣3），C （4，0）， ∴BC ＝5， ∵AC ＝5， ∴AC ＝BC ， ∴∠BAC ＝∠ABC ，当∠APC ＝∠CAB 时，点P 和点B 重合，即：P （0，﹣3）， 由抛物线的对称性知，另一个点P 的坐标为（3，﹣3）， 即：使∠APC ＝∠CAB ，点P 坐标为（0，﹣3）或（3，﹣3）．5．（2018•如东县一模）定义：形如y ＝|G |（G 为用自变量表示的代数式）的函数叫做绝对值函数．例如，函数y ＝|x ﹣1|，y =|6x |，y ＝|﹣x 2+2x +3|都是绝对值函数．绝对值函数本质是分段函数，例如，可以将y ＝|x |写成分段函数的形式：y ={x(x ≥0)−x(x ＜0)探索并解决下列问题：（1）将函数y ＝|x ﹣1|写成分段函数的形式；（2）如图1，函数y ＝|x ﹣1|的图象与x 轴交于点A （1，0），与函数y =|6x |的图象交于B ，C 两点，过点B 作x 轴的平行线分别交函数y =|6x |，y ＝|x ﹣1|的图象于D ，E 两点．求证△ABE ∽△CDE ；（3）已知函数y ＝|﹣x 2+2x +3|的图象与y 轴交于F 点，与x 轴交于M ，N 两点（点M 在点N 的左边），点P 在函数y ＝|﹣x 2+2x +3|的图象上（点P 与点F 不重合），PH ⊥x 轴，垂足为H ．若△PMH 与△MOF 相似，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标． 【解答】解：（1）y =|x −1|={x −1(x ≥1)−x +1(x ＜1)；（2）∵函数y ＝|x ﹣1|与函数y =|6x |的图象交于B ，C ，过点B 作x 轴的平行线分别交函数y =|6x |，y ＝|x ﹣1|的图象于D ，E 两点．∴根据条件得各点坐标为：B （3，2），C （﹣2，3），E （﹣1，2），D （﹣3，2）． ∴BE ＝3﹣（﹣1）＝4，DE ＝﹣1﹣（﹣3）＝2，AE =√4+4=2√2，CE =√1+1=√2， ∴在△AEB 和△CED 中，∠AEB ＝∠CED ，BE DE=AE CE=2，∴△PMB ∽△PNA ． （3）P 的坐标为（6，21），（103，139），（83，119）．当x ＝0时，y ＝|﹣x 2+2x +3|＝3，∴F （0，3）．当y ＝0时，|﹣x 2+2x +3|＝0，∴x 1＝﹣1，x 2＝3，∴M （﹣1，0），N （3，0）． 由题意得y ＝|﹣x 2+2x +3|={x 2−2x −3(x ＜−1)−x 2+2x +3(−1≤x ≤3)x 2−2x −3(x ＞3)，设P 的横坐标为x ，当x ＜﹣1时，由题意得P （x ，x 2﹣2x ﹣3）， 若△PMH ∽△FMO ，PH MH=FO MO=3，x 2−2x−3−1−x=3．解得x 1＝﹣1（舍去），x 2＝0（舍去）． 若△PMH ∽△MFO ，PH MH=MO FO=13，x 2−2x−3−1−x=13．解得x 1=−1(舍去)，x 2=83(舍去)．当﹣1＜x ＜3时，由题意得P （x ，﹣x 2+2x +3）， 若△PMH ∽△MFO ，PH MH=MO FO=13，−x 2+2x+3x+1=13．解得x 1=−1(舍去)，x 2=83． ∴P 的坐标为（83，119）．若△PMH ∽△MFO ，PHMH=MO FO=3，−x 2+2x+3x+1=3．解得x 1＝﹣1（舍去），x 2＝0（舍去）． 当x ＞3时，由题意P （x ，x 2﹣2x ﹣3）， 若△PMH ∽△FMO ，PH MH=FO MO=3，x 2−2x−3x+1=3．解得x 1＝﹣1（舍去），x 2＝6． ∴P 的坐标为（6，21）． 若△PMH ∽△MF ，PH MH=MO FO =13，x 2−2x−3x+1=13．解得x 1=−1(舍去)，x 2=103． ∴P 的坐标为（103，139）．综上：P 的坐标为（6，21），（103，139），（83，119）．6．（2020秋•临沭县期中）阅读以下材料，并解决相应问题： 小明在课外学习时遇到这样一个问题：定义：如果二次函数y ＝a 1x 2+b 1x +c 1（a 1≠0，a 1、b 1、c 1是常数）与y ＝a 2x 2+b 2x +c 2（a 2≠0，a 2、b 2、c 2是常数）满足a 1+a 2＝0，b 1＝b 2，c 1+c 2＝0，则称这两个函数互为“旋转函数”．求函数y ＝2x 2﹣3x +1的旋转函数，小明是这样思考的，由函数y ＝2x 2﹣3x +1可知，a 1＝2，b 1＝﹣3，c 1＝1，根据a 1+a 2＝0，b 1＝b 2，c 1+c 2＝0，求出a 2，b 2，c 2就能确定这个函数的旋转函数． 请思考小明的方法解决下面问题： （1）写出函数y ＝x 2﹣4x +3的旋转函数．（2）若函数y ＝5x 2+（m +1）x +n 与y ＝﹣5x 2﹣nx ﹣3互为旋转函数，求（m +n ）2020的值．（3）已知函数y ＝2（x ﹣1）（x +3）的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，点A 、B 、C 关于原点的对称点分别是A 1、B 1、C 1，试证明：经过点A 1、B 1、C 1的二次函数与y ＝2（x ﹣1）（x +3）互为“旋转函数”．【解答】解：（1）由函数y ＝x 2﹣4x +3知，a 1＝1，b 1＝﹣4，c 1＝3， ∵a 1+a 2＝0，b 1＝b 2，c 1+c 2＝0， ∴a 2＝﹣1，b 2＝﹣4，c 2＝﹣3， ∴y ＝﹣x 2﹣4x ﹣3；（2）根据题意得：{m +1=−nn −3=0，解得{m =−4n =3．∴（m +n ）2020＝（﹣4+3）2020＝1；（3）证明：化简y ＝2（x ﹣1）（x +3）得y ＝2x 2+4x ﹣6，则A、B、C三点的坐标分别为A（1，0），B（﹣3，0），C（0，﹣6），∴A、B、C三点关于原点对称的点坐标分别为A1（﹣1，0），B1（3，0），C1（0，6），∴经过A1、B1、C1三点的函数解析式为y＝﹣2x2+4x+6，∴y＝﹣2x2+4x+6与原函数y＝2（x﹣1）（x+3）是旋转函数．。