北京市海淀区2017-2018高三文科数学期末试卷-含答案

海淀区高三年级第二学期期末练习数学（文科）2018.5第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知全集{1,2,3,4,5,6},U = 集合{1,2,4},{1,3,5}A B ==，则()U A B I ð= （A ）{1} （B ）{3,5} （C ）{1,6} （D ）{1,3,5,6} （2）已知复数z 在复平面上对应的点为(1,1)-，则（A ） 1i z =-+ （B ） 1i z =+ （C ） +i z 是实数 （D ） +i z 是纯虚数 （3）若直线0x y a ++=是圆2220x y y +-=的一条对称轴，则a 的值为 （A ） 1 （B ） 1- （C ） 2 （D ） 2- （4）已知0x y >>，则 （A ）11x y>（B ） 11()()22x y >（C ） cos cos x y >（D ） ln(1)ln(1)x y +>+（5）如图，半径为1的圆内有一阴影区域，在圆内随机撒入一大把豆子，共n 颗，其中落在阴影区域内的豆子共m 颗，则阴影区域的面积约为（A ）m n （B ） n m （C ）m n π （D ） n mπ（6）设C 是双曲线，则 “C 的方程为2214y x -=”是“C 的渐近线方程为2y x =±”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（7）某校为了解高一年级300名学生对历史、地理学科的选课情况，对学生进行编号，用1，2，……300表示，并用(,i i x y ）表示第i 名学生的选课情况.其中01,i i i x ⎧=⎨⎩第名学生不选历史第名学生选历史，，01,i i i y ⎧=⎨⎩第名学生不选地理第名学生选地理.， 根据如图所示的程序框图，下列说法中错误的是 （A ）m 为选择历史的学生人数 （B ）n 为选择地理的学生人数（C ）S 为至少选择历史、地理一门学科的学生人数（D ）S 为选择历史的学生人数与选择地理的学生人数之和（8）如图，已知直线y kx =与曲线()y f x =相切于两点，函数()(0)g x kx m m =+>，则函数()()()F x g x f x =- （A ）有极小值，没有极大值 （B ）有极大值，没有极小值（C ）至少有两个极小值和一个极大值 （D ）至少有一个极小值和两个极大值第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

北京市海淀区2018届高三上学期期末数学试题（文科）1. 已知是虚数单位，若，则实数的值为A. B. C. D.【答案】A【解析】是虚数单位，，化简得到根据复数相等的概念得到实数的值为.故答案为：A。

2. 已知，若，则A. B. C. D.【答案】D【解析】已知，若，则A：，当两个数值小于0时就不一定成立；B. ，当b=0时，不成立；C. ，当两者均小于0时，根式没有意义，故不正确；D. ，是增函数，故正确。

故答案为：D。

3. 执行如图所示的程序框图，输出的值为A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】B【解析】执行程序框图，可知：第一次循环：；第二次循环：；第三次循环：；第四次循环：，此时满足判断条件，终止循环，输出，故选B.4. 下面的茎叶图记录的是甲、乙两个班级各5各同学在一次数学测试中的选择题的成绩（单位：分，每道题5分，共8道题）：已知两组数据的平均数相等，则的值分别为A. B. C. D.【答案】B【解析】根据平均数的概念得到根据选项得到：.故答案为：B。

5. 已知直线与圆相交于两点，且为正三角形，则实数的值为A. B. C. 或 D. 或【答案】D【解析】由题意得，圆的圆心坐标为，半径.因为为正三角形，则圆心到直线的距离为，即，解得或，故选D.6. 设，则“”是“直线与直线平行”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件,【答案】C【解析】两直线平行的充要条件为且故.故是两直线平行的充分必要条件。

故答案为：C。

7. 在中，是的中点，则的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】根据向量的运算得到设BC=x,,代入上式得到结果为.故答案为：A。

点睛：这个题目考查的是向量基本定理的应用；向量的点积运算。

解决向量的小题常用方法有：数形结合，向量的三角形法则，平行四边形法则等；建系将向量坐标化；向量基底化，选基底时一般选择已知大小和方向的向量为基底。

2017年北京市海淀区高三文科上学期数学期末试卷一、选择题（共8小题；共40分）1. 已知是虚数单位，若，则实数的值为A. B. C. D.2. 已知，若，则A. B. C. D.3. 执行如图所示的程序框图，输出的值为A. B. C. D.4. 下面的茎叶图记录的是甲、乙两个班级各名同学在一次数学测试中的选择题的成绩（单位：分，每道题分，共道题）：已知两组数据的平均数相等，则，的值分别为A. ，B. ，C. ，D. ，5. 已知直线与圆相交于，两点，且为正三角形，则实数的值为A. B. C. 或 D. 或6. 设，则“”是“直线与直线平行”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7. 在中，，是边的中点，则的取值范围是A. B. C. D.8. 已知正方体的棱长为，，分别是棱，的中点，点在平面内，点在线段上．若，则长度的最小值为A. B. C. D.二、填空题（共6小题；共30分）9. 已知双曲线的一条渐近线方程为，则实数的值为．10. 若实数，满足约束条件则的最大值为．11. 在中，，，且的面积为，则．12. 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥四个面的面积中最大的值是．13. 函数的最大值为；若函数的图象与直线有且只有一个公共点，则实数的取值范围是．14. 某次高三英语听力考试中有道选择题，每题分，每道题在A，B，C三个选项中只有一个是正确的．下表是甲、乙、丙三名同学每道题填涂的答案和这道题的得分：得分甲乙丙则甲同学答错的题目的题号是；此题正确的选项是．三、解答题（共6小题；共78分）15. 已知等差数列的前项和为，且，．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和．16. 已知函数．（1）求函数的定义域；（2）求函数的值域．17. 据中国日报网报道，年月日，发布了最新一期全球超级计算机强榜单，中国超算在前五名中占据两席．其中，超算全球第一“神威太湖之光”完全使用了国产处理器．为了了解国产品牌处理器打开文件的速度，某调查公司对两种国产品牌处理器进行了次测试，结果如下：（数值越小，速度越快，单位是）测试测试测试测试测试测试测试测试测试测试测试测试品牌品牌设，分别表示第次测试中品牌A和品牌B的测试结果，记．（1）求数据，，，，的众数；（2）从满足的测试中随机抽取两次，求品牌A的测试结果恰有一次大于品牌B的测试结果的概率；（3）经过了解，前次测试是打开含有文字与表格的文件，后次测试是打开含有文字与图片的文件．请你根据表中数据，运用所学的统计知识，对这两种国产品牌处理器打开文件的速度进行评价．18. 如图，在三棱柱中，侧面底面，，，，，分别为棱，的中点．（1）求证：；（2）求三棱柱的体积；（3）在直线上是否存在一点，使得 平面．若存在，求出的长；若不存在，说明理由．19. 已知椭圆：，直线：与椭圆相交于，两点，与轴交于点，点，与点不重合．（1）求椭圆的离心率；（2）当时，求椭圆的方程；（3）过原点作直线的垂线，垂足为．若，求的值．20. 已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求证：“”是“函数有且只有一个零点”的充分不必要条件．答案第一部分1. A2. D3. D 【解析】，当时，，当时，，则，输出．4. B5. D6. C7. A8. C第二部分9.10.11. 或12.13. ，14. ，A第三部分15. （1）设等差数列的首项为，公差为．解得，，由，则，因此，通项公式为．（2）由（Ⅰ）可知：，则，，因为，所以是首项为，公比为的等比数列．记的前项和为，则16. （1），，解得：，，所以，函数的定义域为．（2）因为，，所以，，所以，所以，函数的值域为．17. （1）所以有次，有次，有次，有次，有次，则数据，，，，的众数为．（2）设事件“品牌A的测试结果恰有一次大于品牌B的测试结果”，满足的测试共有次，其中品牌A的测试结果大于品牌B的测试结果有次即测试和测试，不妨用，表示．品牌A的测试结果小于品牌B的测试结果有次即测试和测试，不妨用，表示．从中随机抽取两次，共有，，，，，六种情况，其中事件发生，指的是，，，四种情况．故．（3）标准：分别比较两种不同测试的结果，根据数据进行阐述．标准：会用测试结果的平均数进行阐述．【解析】标准：会用前次测试品牌A、品牌B的测试结果的平均值与后次测试品牌A、品牌B的测试结果的平均值进行阐述（这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件的测试结果的平均值均小于打开含有文字和图片的文件的测试结果的平均值；这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件的平均速度均快于打开含有文字和图片的文件的平均速度）．标准：会用前次测试品牌A、品牌B的测试结果的方差与后次测试品牌A、品牌B的测试结果的方差进行阐述（这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件的测试结果的方差均小于打开含有文字和图片的文件的测试结果的方差；这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件的速度的波动均小于打开含有文字和图片的文件的速度的波动）．标准：会用品牌A前次测试结果的平均值、后次测试结果的平均值与品牌B前次测试结果的平均值、后次测试结果的平均值进行阐述（品牌A前次测试结果的平均值大于品牌B前次测试结果的平均值，品牌A后次测试结果的平均值小于品牌B后次测试结果的平均值，品牌A打开含有文字和表格的文件的速度慢于品牌B，品牌A打开含有文字和图形的文件的速度快于品牌B）．标准：会用品牌A前次测试结果的方差、后次测试结果的方差与品牌B前次测试结果的方差、后次测试结果的方差进行阐述（品牌A前次测试结果的方差大于品牌B前次测试结果的方差，品牌A后次测试结果的方差小于品牌B后次测试结果的方差，品牌A打开含有文字和表格的文件的速度的波动大于品牌B，品牌A打开含有文字和图形的文件的速度的波动小于品牌B）．标准：会用品牌A这次测试结果的平均值与品牌B这次测试结果的平均值进行阐述（品牌A 这次测试结果的平均值小于品牌B这次测试结果的平均值，品牌A打开文件的平均速度快于品牌B）．标准：会用品牌A这次测试结果的方差与品牌B这次测试结果的方差进行阐述（品牌A这次测试结果的方差小于品牌B这次测试结果的方差，品牌A打开文件的速度的波动小于品牌B）．标准：会用前次测试中，品牌A测试结果大于（小于）品牌B测试结果的次数、后次测试中，品牌A测试结果大于（小于）品牌 B测试结果的次数进行阐述（前次测试结果中，品牌A小于品牌B的有次，占．后次测试中，品牌A小于品牌B的有次，占．故品牌A打开含有文字和表格的文件的速度慢于品牌B，品牌A打开含有文字和图片的文件的速度快于品牌B）．标准：会用这次测试中，品牌A测试结果大于（小于）品牌B测试结果的次数进行阐述（这次测试结果中，品牌A小于品牌B的有次，占．故品牌A和品牌B打开文件的速度相当）．参考数据：期望前次后次次品牌品牌品牌与品牌方差前次后次次品牌品牌品牌与品牌18. （1）在三棱柱中，侧面底面，，因为侧面底面，底面，所以平面，又因为平面，所以；（2）连接，在三棱柱中，．因为，所以．又因为，所以是边长为的正三角形．因为是棱的中点，所以，．又因为，，所以．因为，底面，所以底面．所以三棱柱的体积为；（3）在直线上存在点，使得 平面．证明如下：连接并延长，与的延长线相交，设交点为，连接．因为，故，由于为棱的中点，所以，故有，又为棱的中点，连接，故为的中位线，所以．又平面，平面，所以 平面．故在直线上存在点，使得 平面．此时，．19. （1），，，，故．（2）设，，得到，依题意，由得，且有原点到直线的距离，所以，解得，故椭圆方程为．（3）直线的垂线为：，由解得交点，因为，又，所以，故的值为．20. （1）依题意，，，所以切线的斜率，又因为，所以切线方程为．（2）先证不必要性．当时，，令，解得．此时，有且只有一个零点，故“有且只有一个零点则”不成立．再证充分性．方法一：当时，．令，解得，．（i）当，即时，，所以在上单调递增．又因为，，所以有且只有一个零点．（ii）当，即时，，随的变化情况如下：极大值极小值当时，，，所以，又，所以有且只有一个零点．（iii）当，即时，，随的变化情况如下：极大值极小值因为，所以时，，令，则．下面证明当时，．设，则．当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减．所以当时，取得极大值．所以当时，，即．所以．由零点存在定理，有且只有一个零点．综上，是函数有且只有一个零点的充分不必要条件．方法二：当时，注意到时，，，所以，因此只需要考察上的函数零点．（i）当，即时，时，，所以单调递增．又，，所以有且只有一个零点．（ii）当，即时，以下同方法一．方法三：令，显然不是该方程的根，所以．设，则．当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增．又，时，，时，．令，则．下面证明当时，．设，则．当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减．所以当时，取得极大值．所以当时，，即．所以．所以当时，直线与函数的图象有且只有一个交点，即当时，函数有且只有一个零点．第11页（共11 页）。

2018北京市海淀区高三数学（文科）（上）期末 2018.1本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将答题纸交回。

第一部分（选择题，共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1） 已知i 是虚数单位,若i(i)1i a +=-+，则实数a 的值为 (A) 1 （B ） 0 （C ） −1（D ） −2（2） 已知,a b ∈R ，若a b <，则(A) 2a b <（B ） 2ab b <（C ）1122a b < （D ）33a b <（3） 执行如图所示的程序框图，输出的k 值为（A ）4 （B ） 5 (C) 6 （D ）7（4） 下面的茎叶图记录的是甲、乙两个班级各5个同学在一次数学测试中的选择题的成绩(单位:分，每道题5分，共8道题) :（A ） 0，0（B ） 0，5（C ） 5，0 （D ）5，5（5）已知直线0-+=x y m 与圆22:1+=O x y 相交于,A B 两点，且∆OAB 为正三角形，则实数m 的值为（A ）23 （B ）2（C ）23或23- （D ）26或26- （6） 设a ∈R ,则“1a =”是 “直线10ax y +-=与直线10x ay ++=平行”的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（7） 在∆ABC 中，1==AB AC ，D 是AC 边的中点，则⋅u u u r u u u rBD CD 的取值范围是(A) 31(,)44-(B) 1(,)4-∞ （C ）3(,+)4-∞ （D ）13()44，（8）已知正方体1111-ABCD A B C D 的棱长为2，,M N 分别是棱11、BC C D 的中点，点P 在平面1111A B C D 内，点Q 在线段1A N 上. 若5=PM ，则PQ 长度的最小值为(A) 21- （B ）2 （C ）351- （D ）355第二部分（非选择题，共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

海淀区高三年级第二学期期末练习参考答案及评分标准数 学（文科）2018.5一． 选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分.二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．24x y = 10．1, 11．1,23π 12． 13．35 14. ①②③ 注：① 10题、11题第一个空答对给3分，第2个空答对给2分；② 14题只写出1个序号给2分，只写出2个序号给3分。

三．解答题：本大题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题13分）解：（Ⅰ）方法1：因为数列{}n a 是等差数列，所以212n n n a a a +++=.因为3221+=-+n a a n n ，所以223n a n +=+.所以，当3n ≥时，2(2)321n a n n =-+=-.所以21(1,2,3,).n a n n =-= ………………6分方法2：设等差数列{}n a 的公差为d ，因为3221+=-+n a a n n ， 所以21322527.a a a a -=⎧⎨-=⎩所以11+2537.a d a d =⎧⎨+=⎩ 所以112.a d =⎧⎨=⎩所以1(1)21(1,2,3,)n a a n d n n =+-=-= ………………6分 （Ⅱ）因为数列{}n n a b +是首项为1，公比为2的等比数列， 所以12n n n a b -+=因为21n a n =-，所以12(21)n n b n -=--.设数列{}n b 的前n 项和为n S ，则1(1242)[135(21)]n n S n -=++++-++++-12(121)122nn n -+-=--221n n =--所以数列{}n b 的前n 项和为221.n n --.………………13分 16．（本小题13分）解：（Ⅰ）1()2cos (sin )2f x x x x =2sin cos x x x =+11cos 2sin 222x x +=+sin(2)3x π=-所以函数()f x 的最小正周期22T ππ==.所以曲线()y f x =的相邻两条对称轴的距离为2T ，即2π. ………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知 ()sin(2)3f x x π=-当[0,]x α∈时，2[,2]333x πππα-∈--. 因为sin y x =在[,]22ππ-上单调递增，且()f x 在[0,]α上单调递增， 所以[,2][,]3322ππππα--⊆-， 即0232αππα>⎧⎪⎨-≤⎪⎩解得5012απ<≤. 故α的最大值为512π. …………………13分17．（本小题14分）（Ⅰ）证明：折叠前，因为四边形AECD 为菱形，所以AC DE ⊥；所以折叠后，,DE PF DE CF ⊥⊥,又,,PF CF F PF CF =⊂平面PCF ，所以DE ⊥平面PCF …………………4分 （Ⅱ）因为四边形AECD 为菱形，所以//,DC AE DC AE =.又点E 为AB 的中点，所以//,DC EB DC EB =.所以四边形DEBC 为平行四边形.所以//CB DE .又由（Ⅰ）得，DE ⊥平面PCF ,所以CB ⊥平面PCF .因为CB ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PCF . …………………9分 （Ⅲ）存在满足条件的点,M N ,且,M N 分别是PD 和BC 的中点.如图，分别取PD 和BC 的中点,M N .连接,,,EN PN MF CM .因为四边形DEBC 为平行四边形， 所以1//,2EF CN EF BC CN ==. 所以四边形ENCF 为平行四边形.所以//FC EN .在PDE ∆中，,M F 分别为,PD DE 中点，所以//MF PE .又,EN PE ⊂平面,PEN PE EN E =,,MF CF ⊂平面CFM ,所以平面//CFM 平面PEN . …………………14分18. （本小题13分）解：（Ⅰ）这10名学生的考核成绩（单位：分）分别为：93，89.5，89，88，90，88.5，91.5，91，90.5，91．其中大于等于90分的有1号、5号、7号、8号、9号、10号，共6人.所以样本中学生考核成绩大于等于90分的频率是63105=. 从该校高二年级随机选取一名学生，估计这名学生考核成绩大于等于90分的概率为0.6.…………………4分（Ⅱ）设事件A 为“从考核成绩大于等于90分的学生中任取2名同学，这2名同学两轮测试成绩均大于等于90分”，由（Ⅰ）知，考核成绩大于等于90分的学生共6人，其中两轮测试成绩均大于等于90分的学生有1号，8号，10号，共3人. 因此，从考核成绩大于等于90分的学生中任取2名同学，包含（1号，5号）、（1号，7号）、（1号，8号）、（1号，9号）、（1号、10号）、（5号，7号）、（5号，8号）、（5号，9号）、（5号，10号）、（7号，8号）、（7号，9号）、（7号，10号）、（8号，9号）、（8号，10号）、（9号，10号）共15个基本事件， 而事件A 包含（1号，8号）、（1号、10号）、（8号，10号）共3个基本事件，所以31()155P A ==. ………………9分 （Ⅲ）12=x x2212s s > ………………13分19．（本小题13分）解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞， 令()0f x =，得220,.x a x a +==-当0a ≥时，方程无解，()f x 没有零点；当0a <时，得x =…………………4分综上，当0a ≥时()f x 无零点；当0a <时，()f x 零点为（Ⅱ）2'()(1)()x x a a f x e x e x x=-++ 322()xx x ax a e x ++-=. 令32()g x x x ax a =++-(1)x >,则2'()32g x x x a =++， 其对称轴为13x =-，所以'()g x 在(1,)+∞上单调递增.所以2'()31215g x a a >⨯+⨯+=+.当5a ≥-时，'()0g x >恒成立，所以()g x 在(1,)+∞上为增函数. …………………13分20．（本小题14分） 解：（Ⅰ）椭圆C 的方程可化为2212x y +=,所以1,1a b c ===.所以长轴长为2a =，离心率c e a == …………………4分 （Ⅱ）方法1：证明：显然直线P A 1、Q A 2、Q A 1、P A 2都存在斜率，且互不相等，分别设为1234,,,.k k k k 设直线P A 1的方程为1(y k x =，Q A 2的方程为2(y k x =，联立可得M x =同理可得N x =. 下面去证明141.2k k =-设00(,)P x y ，则220022x y +=.所以22001422001222y y k k x y ====---. 同理231.2k k =-所以121211222()1122N M k k x x k k --+===---. 所以直线MN 垂直于x 轴. …………………14分方法2：设直线l 方程为1122,(,),(,)y kx m P x y Q x y =+.由2222y kx m x y =+⎧⎨+=⎩ 得222(12)4220k x kmx m +++-=. 当0∆>时，2121222422,1212km m x x x x k k --+==++. 直线1A P方程为y x =+，直线2A Q方程为y x =-，x x +=，得x=21121221[((((y x y x x y x y x+--=+其中，21122112((()(()(y x y x kx m x kx m x-=++-+1212()()x x m x x=++-+12212124()12())kmm x xkm x xm x x-=+-++=+-=-12211221(()(()(y x y x kx m x kx m x-+++-+++1212212()()kx x m x x x x=+++-22122212122242()12124()12)m kmk m x xk kkx xkx x--=++-++-=+-+=-所以2Mkxm-=，即点M的横坐标与,P Q两点的坐标无关，只与直线l的方程有关. 所以2N Mkx xm-==，直线MN垂直于x轴. …………………14分。

海淀区高三年级第二学期期末练习参考答案数 学 （文科） 5阅卷须知:1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。

2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。

一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.1.C2.B3.D4.B5.A6.A7.D8.B二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.①② 13.2，0 14.5，3.6{第13，14题的第一空3分，第二空2分}三、解答题: 本大题共6小题,共80分.15.解：（Ⅰ）()cos21f x x x a =++- --------------------------4分12cos2)12x x a =++- π2sin(2)16x a =++----------------------------6分 ∴周期2ππ.2T == ----------------------------7分（Ⅱ）令()0f x =，即π2sin(2)1=06x a ++-， ------------------------------8分则π=12sin(2)6a x -+， --------------------------------9分因为π1sin(2)16x -≤+≤， ---------------------------------11分所以π112sin(2)36x -≤-+≤， --------------------------------12分所以，若()f x 有零点，则实数a 的取值范围是[1,3]-.-----------------------------13分16.解：（Ⅰ）上半年的鲜疏价格的月平均值大于下半年的鲜疏价格的月平均值.--------------------4分（Ⅱ）从2012年2月到2017-2018年1月的12个月中价格指数环比下降的月份有4月、5月、6月、9月、10月. ------------------------------------------6分设“所选两个月的价格指数均环比下降”为事件A ， --------------------------------------7分在这12个月份中任取连续两个月共有11种不同的取法，------------------------------8分其中事件A 有（4月，5月），（5月，6月），（9月，10月），共3种情况. ---------9分 ∴3().11P A = -----------------------------------------10分（Ⅲ）从2012年11月开始，2012年11月,12月,2017-2018年1月这连续3个月的价格指数方差最大.-----------------------------------------13分17.解：（I ）1A A ⊥ 底面ABC ，1A A ∴⊥AB， -------------------------2分AB AC ⊥ ，1A A AC A = ，AB ∴⊥面11A ACC .--------------------------4分（II ） 面DEF //面1ABC ，面ABC 面DEF DE =，面ABC 面1ABC AB =，AB ∴//DE ，---------------------------7分在ABC ∆中E 是棱BC 的中点，D ∴是线段AC 的中点. ---------------------------8分（III ） 三棱柱111ABC A B C -中1A A AC =∴侧面11A ACC 是菱形，11AC AC ∴⊥， --------------------------------9分由（1）可得1AB A C ⊥， 11AB AC A = ，1AC ∴⊥面1ABC ，--------------------------------11分1AC ∴⊥1BC .-------------------------------12分又,E F 分别为棱1,BC CC 的中点，EF ∴//1BC ， ------------------------------13分1EF AC ∴⊥. ------------------------------14分18. 解：（Ⅰ）由已知可得2'()24f x x ax =++. ---------------------------------1分'(0)4f ∴=， ---------------------------------2分又(0)f b =()f x ∴在0x =处的切线方程为4y x b=+. ---------------------------------4分令321443x ax x b x b +++=+，整理得2(3)0x a x +=.0x ∴=或3x a=-， -----------------------------------5分0a ≠ 30a ∴-≠，----------------------------------------6分()f x ∴与切线有两个不同的公共点. ----------------------------------------7分（Ⅱ）()f x 在(1,1)-上有且仅有一个极值点，∴2'()24f x x ax =++在(1,1)-上有且仅有一个异号零点， ---------------------------9分由二次函数图象性质可得'(1)'(1)0f f -<， -------------------------------------10分即(52)(52)0a a -+<，解得52a >或52a <-，----------------------------12分综上，a 的取值范围是55(,)(,)22-∞-+∞ .-------------------------------13分19.解:（Ⅰ）由已知可设椭圆G 的方程为：2221(1)x y a a+=> --------------------------------------------1分由e =，可得222112a e a -==，----------------------------------------------------------------3分解得22a =, -----------------------------------------------------------4分所以椭圆的标准方程为2212x y +=.----------------------------------------------------5分（Ⅱ）法一：设00(,),C x y 则000(,),0D x y x -≠ ------------------------------------------------------6分 因为(0,1),(0,1)A B -，所以直线BC 的方程为0011y y x x +=-，------------------------------------------------------7分 令0y =，得001M x x y =+，所以00(,0)1x M y +.----------------------------------------------8分所以0000(,1),(,1),1x AM AD x y y =-=--+ -------------------------------------------9分所以200011x AM AD y y -⋅=-++ ， ---------------------------------------------10分又因为2200121x y +=，代入得200002(1)111y AM AD y y y -⋅=+-=-+ --------------------11分因为011y -<<，所以0AM AD ⋅≠ . -----------------------------------------------------------12分 所以90MAN ∠≠ ， -------------------------------------------------------13分所以点A 不在以线段MN 为直径的圆上. ---------------------------------------------14分法二：设直线BC 的方程为1y kx =-，则1(,0)M k . ------------------------------------------------6分由22220,1,x y y kx ⎧+-=⎨=-⎩化简得到222(1)20x kx +--=， 所以22(12)40k x kx +-=，所以12240,21kx x k ==+，-------------------------------------8分所以22222421112121k k y kx k k k -=-=-=++， 所以222421(,)2121k k C k k -++，所以222421(,)2121k k D k k --++ ----------------------------------------9分所以2221421(,1),(,1),2121k k AM AD k k k --=-=-++ ---------------------------------------------10分 所以2222421210212121k AM AD k k k ---⋅=-+=≠+++ ， --------------------------------------12分所以90MAN ∠≠ ， ---------------------------------------13分所以点A 不在以线段MN 为直径的圆上. ------------------------------------14分20.解：（Ⅰ）①因为5135514S =<-，数列1,3,5,2,4-不是“Γ数列”， ---------------------------------2分 ②因为31113311284S =>-，又34是数列2323333,,444中的最大项 所以数列2323333,,444是“Γ数列”.----------------------------------------------4分（Ⅱ）反证法证明：假设存在某项i a <0，则12111i i k k k i k a a a a a a S a S -+-+++++++=-> .设12111max{,,,,,,,}j i i k k a a a a a a a -+-= ，则12111k i i i k k j S a a a a a a a k a -+--=+++++++ ≤(-1)，所以(1)j k k a S ->，即1k j S a k >-， 这与“Γ数列”定义矛盾，所以原结论正确． --------------------------8分（Ⅲ）由（Ⅱ）问可知10,0b d ≥≥．①当0d =时，121m m m S S b b b m m ====<- ，符合题设； ---------------------9分②当0d >时，12m b b b <<<由“Γ数列”的定义可知1m m S b m ≤-，即111(1)[(1)](1)2m b m d mb m m d -+-≤+- 整理得1(1)(2)2m m d b --≤（*）显然当123m b =+时，上述不等式（*）就不成立所以0d >时，对任意正整数3m ≥，1(1)(2)2m m d b --≤不可能都成立.综上讨论可知{}n b 的公差0d =. --------------------------------------------------13分。

2018届高三数学文5月期末(二模)试题（北京市海淀区带
答案）
c 海淀区高三年级第二学期期末练习
数学（科）20185
本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上
作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1若集合，或，则
A B c D
2 在复平面内，复数对应的点的坐标为
A B c D
3 已知向量，若，则
A B c D
4 执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的为
A B
c D
5已知数列是等比数列，则“ ”是“数列为递增数列”的
A 充分而不必要条
B 必要而不充分条
c 充分必要条D 既不充分也不必要条
6北京市2018年12个月的P25平均浓度指数如右图所示由图判断，四个季度中P25的平均浓度指数方差最小的是
A第一季度B第二季度
c第三季度D第四季度
7函数的图象如图所示，则的解析式可以为
A B
c D
8一位手机用户前四次输入四位数字手机密码均不正确，第五次。

海淀区高三年级第二学期期末练习数学（文科）2017.5本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.若集合{2,0,1}A =-，{|1B x x =<-或0}x >，则A B =A. {2}-B. {1}C.{2,1}-D. {2,0,1}- 2. 在复平面内，复数2i1iz =-对应的点的坐标为 A. (1,1)- B. (1,1)C.(1,1)- D.(1,1)--3. 已知向量(,1),(3,2)x ==-a b ，若//a b ，则x = A. 3- B.32-C.23D.324. 执行如图所示的程序框图，若输入7,3a d =-=，则输出的S 为 A. 12S =- B .11S =- C. 10S =- D. 6S =-5.已知数列{}n a 是等比数列，则“21a a >”是“数列{}n a 为递增数列”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6.北京市2016年12个月的PM2.5平均浓度指数如右图所示.由图判断，四个季度中PM2.5的平均浓度指数方差最小的是 A.第一季度B.第二季度 C.第三季度D.第四季度7.函数()y f x =的图象如图所示，则()f x 的解析式可以为 A.21()f x x x =- B.31()f x x x =- C.1()e x f x x =- D. 1()ln f x x x=- 第一季度 第二季度第三季度 第四季度 yOx8.一位手机用户前四次输入四位数字手机密码均不正确，第五次输入密码正确，手机解锁.事后发现前四次输入的密码中，每次都有两个数字正确，但它们各自的位置均不正确.已知前四次输入密码分别为3406，1630，7364，6173，则正确的密码中一定含有数字 A. 4，6 B. 3，6 C. 3，7 D.1，7 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

北京海淀区2017~2018学年上学期高三期末数学文科试卷第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知i 是虚数单位，若()1+i a i i +=，则实数a 的值为 A. 1 B. 0 C. 1- D. 2- （2）已知,a b R ∈，若a b ，则A. 2ab B. 2ab b C. 1122ab D. 33a b（3）执行如图所示的程序框图，输出的k 值为 A.4 B.5 C.6 D.7（4）下面的茎叶图记录的是甲、乙两个班级各5各同学在一次数学测试中的选择题的成绩（单位：分，每道题5分，共8道题）：已知两组数据的平均数相等，则,x y 的值分别为 A. 0,0 B. 0,5 C. 5,0 D. 5,5（5）已知直线0x y m -+=与圆22:1O x y +=相交于,A B 两点，且AOB ∆为正三角形，则实数m 的值为 A. 32 B. 62 C. 32或32- D. 62或62-（6）设，则“1a =”是“直线10ax y +-=与直线++10x ay =平行”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件,（7）在ABC ∆中，=1,AB AC D =是AC 的中点，则BD CD ⋅的取值范围是 A. 31(,)44- B. 1(,)4-∞ C. 3(,)4-+∞ D. 13(,)44（8）已知正方体的1111ABCD A B C D -棱长为2，点,M N 分别是棱11,BC C D 的中点，点P 在平面1111A B C D 内，点Q 在线段1A N 上，若5PM =，则PQ 长度的最小值为 A.21- B. 2 C. 3515- D.355第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）已知双曲线221ax y -=的一条渐近线方程为y x =，则实数k 的值为 .（10）若变量,x y 满足约束条件010220y x y x y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则z x y =+的最大值是 .（11）ABC ∆中， 1,7,a b ==且ABC ∆的面积为32，则c = .（12）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的四个面的面积中最大的值是 .（13）函数2,0()(2),0x x f x x x x ⎧≤=⎨-⎩的最大值为 ；若函数()f x 的图像与直线(1)y k x =-有且只有一个公共点，则实数k 的取值范围是 .（14）某次高三英语听力考试中有5道选择题，每题1分，每道题在三个选项中只有一个是正确的.下表是甲、乙、丙三名同学每道题填涂的答案和这5道题的得分： 1 2 3 4 5 得分 甲 C C A B B 4 乙 C C B B C 3 丙BCCBB2则甲同学答错的题目的题号是 ，其正确的选项是 .三、解答题共6小题，共80分。

海淀区高二年级第二学期期中练习数 学（文科）参考答案及评分标准 2018.4一. 选择题.二. 填空题.9. 四，2 10. 2 11. (,1][e,)-∞+∞ 12. (0,1)(1,)+∞ 13.333222，， 14. 2 说明：9题，每个空2分，11题，两个集合，少写一个减２分，错写则没分 13题 第一个，第二空各1分，第三个空2分三. 解答题.15. 解: ( I ) 令242x x -+=，解得11x =- 21x =- …………………2分 因为点2(2), (4)A x,x B x,x -+所以2()(42)f x x x x =-+-3224x x x =--+， …………………4分其定义域为(0,1x ∈- …………………5分 （II ） 因为2'()344f x x x =--+ …………………7分 令0'()0f x =，得123x =，22x =-（舍） …………………8分 所以,'(),()x f x f x 的变化情况如下表…………………10分因为23x =是()f x在(0,1-+上的唯一的一个极大值， 所以在23x =时，()f x 取得最大值4027. …………………12分16. 证明：（Ⅰ）因为32a =，所以 232222a a a =+=， 所以 22244a a +=，解得 22a =， …………………2分 同理解得 12a =. …………………4分（Ⅱ）证明：要证 2n ≥时， 1n n a a +≤，只需证 1n n a a +- 0 ≤， …………………6分 只需证2+2n n na a a -0≤， …………………8分 只需证 2402n na a -≤,只需证n a ≥ 2 , …………………10分根据均值定理，112=22n n n a a a --+≥= 所以原命题成立.说明：上面的空，答案不唯一, 请老师具体情况具体分析17. 解：（I ）因为2'()3f x x = …………………1分 所以直线l 的斜率'(1)3k f == …………………2分所以直线l 的方程为13(1)y x -=- …………………3分 化简得到 32y x =- …………………4分(Ⅱ) 法一：把曲线和直线l 的方程联立得332y x y x ⎧=⎨=-⎩ 所以 332x x =- …………………5分 所以 3320x x -+=令3()32g x x x =-+ …………………6分 所以2'()33g x x =-，令'()0g x =，得到得11x =，21x =- …………………7分 所以,'(),()x g x g x 的变化情况如下表…………………8分 因为1x =-时，(1)40g -=>，而(3)160g -=-<所以()g x 在(,1)-∞-上有一个零点） …………………9分 而1x =时，(1)0g =，所以()g x 在[1,)+∞上只有一个零点又()g x 在(1,1)-上没有零点， …………………10分 所以()g x 只有两个不同的零点，即直线l 和曲线()f x 有两个不同的公共点. 法二：把曲线和直线l 的方程联立得332y x y x ⎧=⎨=-⎩所以 332x x =- …………………5分所以 3320x x -+=令3()32g x x x =-+ …………………6分 所以32()22(1)(2)g x x x x x x =--+=-+ …………………8分 令()0g x =，得到11x =，22x =- …………………9分 所以()g x 只有两个不同的零点，即直线l 和曲线()f x 有两个不同的公共点. …………………10分18.解：（Ⅰ）因为222222()'()2a x a x a f x x x x x--=-==，其中0x > …………………1分 当0a ≤时，'()0f x ≥对0x >成立所以函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞ …………………3分 当0a >时，令'()0f x =，1x =2x = 则,'(),()x g x g x 的变化情况如下表 所以函数()f x单调递减区间为，单调递增区间为)+∞ …………………5分（Ⅱ）法一：由（Ⅰ）知，当0a ≤时，函数()f x 是单调递增函数， 而注意到(1)10f =>， 但是当0x →时， ()f x →-∞所以函数()f x 在区间(0,1)上存在零点，矛盾 …………………7分 当0a >时，由（Ⅰ）知道，()f x在x 从而()f x在x =2ln (1ln )f a a a a a a a =-=-=-当0f >，即1ln 0a ->，即0e a <<时，函数()f x 没有零点，当0f =时，即e a =时，显然不合题意，当0f <时，因为当x →+∞时， ()f x →+∞ 从而()f x在区间)+∞上存在零点，矛盾综上，实数a 的取值范围是 0e a <<． …………………10分法二：函数()f x 没有零点，等价于方程22ln 0x a x -=无解显然1x =不是零点，所以等价于22ln x a x=无解 …………………7分设2()2ln x g x x=则222224ln 4ln 22(2ln 1)'()'()(2ln )(2ln )(2ln )x x x x x x x x x g x g x x x x -⋅--====，…………………8分 令'()0g x =，则12e x =则,'(),()x g x g x 的变化情况如下表所以函数()g x 在12e x =处取得极小值12g(e )e =， 而当0x →时， ()0g x → 当1x <且1x →时，()g x →-∞ 当1x >且1x →时，()g x →+∞ 当+x →∞时，()+g x →∞综上，实数a 的取值范围是 0e a <<． …………………10分说明：解答题有其它正确解法的请酌情给分.。

海淀区高三年级第一学期期末练习数学（文科） 2017。

1本试卷共4页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题共8小题,每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．复数i(2i)-在复平面内对应的点的坐标为A ．(2,1)-B ．(2,1)-C ．(1,2)D ．(1,2)- 2．抛物线22y x =的焦点到准线的距离为A ．12B ．1C ．2D ．33．下列函数中，既是偶函数又在区间(0+)∞，上单调递增的是 A ．1()2xy = B ．2y x =- C ．2log y x = D ．||1y x =+ 4．已知向量a,b 满足2-0a b =，()2-⋅=a b b ,则=|b |A ．12B ．1 CD ．25．右侧程序框图所示的算法来自于《九章算术》。

若输入a 的值为16,b 的值为24,则执行该程序框图输出的结果为 A ．6 B ．7 C ．8D ．96．在ABC ∆中，“30A <︒”是“1sin 2A <”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知某四棱锥的三视图如右图所示，则该几何体的体积为ABC ．2D8．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,,E F 分别是棱11,AD B C 上的动点,设1,AE x B F y ==． 若棱．1DD 与平面BEF 有公共点,则x y +的取值范围是 A ．[0,1] B ．13[,]22C ．[1,2]D ．3[,2]2二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．ABCD1D 1A 1B 1C E F主视图俯视图9．已知双曲线C :2214y x -=，则双曲线C 的一条渐近线的方程为________．10．已知数列{}na 满足12,,n n a a n +-=∈*N 且33a=，则1a =____,其前n 项和nS =____．11．已知圆C ：2220x yx +-=，则圆心C 的坐标为_____，圆C 截直线y x=的弦长为____．12．已知,x y 满足04,03,28,x y x y ≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪+≤⎩则目标函数2z x y =+的最大值为________．13．如图所示，点D 在线段AB 上，30CAD ∠=，50CDB ∠=．给出下列三组条件（给出线段的长度）：①,AD DB ; ②,AC DB ； ③,CD DB ．其中，能使ABC ∆唯一确定的条件的序号为____．（写出所有所和要求的条件的序号）14．已知A 、B 两所大学的专业设置都相同（专业数均不小于2），数据显示,A 大学的各专业的男女生比例均高于B 大学的相应专业的男女生比例（男女生比例是指男生人数与女生人数的比）． 据此，甲同学说:“A 大学的男女生比例一定高于B 大学的男女生比例”; 乙同学说：“A 大学的男女生比例不一定高于B 大学的男女生比例”;丙同学说：“两所大学的全体学生的男女生比例一定高于B 大学的ADBC男女生比例"．其中，说法正确的同学是________．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．（本小题满分13分）已知数列{}na 是各项均为正数的等比数列,且21a=，346aa +=．（Ⅰ)求数列{}na 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}nan -的前n 项和为nS ，比较4S 和5S 的大小,并说明理由．16．（本小题满分13分）已知函数2sin 22cos ()cos x xf x x +=．(Ⅰ)求()f x 的定义域及π()4f 的值;(Ⅱ）求()f x 在π(0,)2上的单调递增区间．17．（本小题满分13分)诚信是立身之本，道德之基．某校学生会创设了“诚信水站”，既便于学生用水，又推进诚信教育，并用“周实际回收水费周投入成本”表示每周“水站诚信度”．为了便于数据分析，以四周为一个周期，下表为该水站连续八周（共两个周期)的诚信度数据统计，如表1：表1第一周 第二周 第三周 第四周第一个95％98％92％88％周期94％94%83%80%第二个周期（Ⅰ）计算表1中八周水站诚信度的平均数x;（Ⅱ）从表1诚信度超过91%的数据中，随机抽取2个，求至少有1个数据出现在第二个周期的概率;（Ⅲ）学生会认为水站诚信度在第二个周期中的后两周出现了滑落,为此学生会举行了“以诚信为本”主题教育活动，并得到活动之后一个周期的水站诚信度数据,如表2：表2第一周第二周第三周第四周第三个85％92％95％96％周期请根据提供的数据,判断该主题教育活动是否有效，并根据已有数据说明理由．18．(本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD中，PD⊥底面ABCD，AB//DC，CD=2AB，AD⊥CD，E为棱PD的中点．P（Ⅰ）求证：CD⊥AE；E(Ⅱ)求证：平面PAB ⊥平面PAD ；（Ⅲ)试判断PB 与平面AEC 是否平行?并说明理由．19．（本小题满分13分）已知椭圆2222:1(0)x y G a b a b+=>>，直线l 过椭圆G 的右顶点(2,0)A ,且交椭圆G 于另一点C ．(Ⅰ）求椭圆G 的标准方程；（Ⅱ）若以AC 为直径的圆经过椭圆G 的上顶点B ，求直线l 的方程．20．（本小题满分14分）已知函数ln 1()x f x x +=．（Ⅰ）求曲线()y f x =在函数()f x 零点处的切线方程； （Ⅱ)求函数()y f x =的单调区间;(Ⅲ）若关于x 的方程()f x a =恰有两个不同的实根12,x x ，且12x x <，求证:2111xx a->-．海淀区高三年级第一学期期末练习数学（文科)答案及评分标准2017。

海淀区2018年高三年级第一学期期末练习数学 (文科)第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1．设集合{}{}2|1|1,0A x x x B x x x =+=+=+<，则A B ⋂等于 （ ）.A [)1,0-.B(1,0)- .C (]1,0- .D []1,0- 2．若曲线4y x =的一条切线l 的斜率为4，则切线l 的方程是 （ ）.A 430x y --= .B 450x y +-= .C 430x y -+=.D 430x y ++=3．已知三条不重合的直线,,m n l ，两个不重合的平面,αβ，有下列命题 ①//m n ，n α⊂⇒//m α； ②l α⊥，m β⊥，//l m ⇒//αβ； ③,,//,//m n m n ααββ⊂⊂⇒//αβ；④αβ⊥，m αβ⋂=，n β⊂，n m ⊥⇒n α⊥.其中正确的命题个数是 （ ）.A 1 .B 2 .C 3 .D 44．从圆222210x x y y -+-+=外一点()3,2P 向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为（ ）.A 0 .B12 .C 35.D 25．若关于x 的不等式x k )1(2+≤4k ＋4的解集是M ，则对任意实常数k ，总有（ ）.A 2,0M M ∉∈ .B 2,0M M ∉∉.C 2,0M M ∈∉.D 2,0M M ∈∈绘制成如图所示的频率分布直方图.则这300辆汽车中车速低于限速的汽车有 A.75辆 B.120辆 C.180辆 D.270辆 6. 一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为A ．12B ．6C ． 4D ．2 7. 已知函数1()sin ,[0,π]3f x x x x =-∈， 01cos 3x =（0[0,π]x ∈），那么下面结论正确的是A ．()f x 在0[0,]x 上是减函数 B. ()f x 在0[,π]x 上是减函数 C. [0,π]x ∃∈, 0()()f x f x > D. [0,π]x ∀∈, 0()()f x f x ≥8. 已知椭圆E ：1422=+y m x ，对于任意实数k ，下列直线被椭圆E 所截弦长与l ：1+=kx y 被椭圆E 所截得的弦长不可能．．．相等的是 A ．0kx y k ++= B ．01=--y kx C ．0kx y k +-= D ．20kx y +-=二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上.9. 若直线l 经过点（1，2）且与直线210x y +-=平行,则直线l 的方程为__________.10.某程序的框图如图所示，执行该程序，若输入4， 则输出的S 为 .11．椭圆2212516x y +=的右焦点F 的坐标为 .则顶点在原点的抛物线C 的焦点也为F ，则其标准方程为 .12．在一个边长为1000米的正方形区域的每个顶点处设有一个监测站，若向此区域内随机投放一个爆破点，则爆破点距离监测站200米内都可以被检测到.那么随机投入一个爆破点被监测到的概率为_______.13已知向量(1,),(1,)t t ==-a b .若-2a b 与b 垂直, 则||___=a .14．在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点.定义()11,P x y 、()22,Q x y 两点之间的“直角距离”为1212(,)d P Q x x y y =-+-为. 若点()1,3A -，则(,)d A O = ； 已知()1,0B ，点M 为直线20x y -+=上动点，则(,)d B M 的最小值为 .三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15．（本小题满分13分）设函数1()sin 2f x x x =+，R x ∈. （I ）求函数)(x f 的周期和值域；（II ）记ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若3(),2f A = 且a =， 求角C 的值.16. （本小题满分13分）某学校三个社团的人员分布如下表（每名同学只参加一个社团）学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查，按分层抽样的方法从社团成员中抽取30人，结果围棋社被抽出12人.(I) 求这三个社团共有多少人？(II)书法社从3名高中和2名初中成员中，随机选出2人参加书法展示，求这2人中初、高中学生都有的概率.17. （本小题满分13分）如图，棱柱ABCD —1111A B C D 的底面ABCD 为菱形 ，AC BD O =，侧棱1AA ⊥BD,点F为1DC 的中点．（I ） 证明：//OF 平面11BCC B ； （II ）证明：平面1DBC ⊥平面11ACC A .ABC1B 1C 1A D F1D O18. （本小题满分13分）已知函数322()1,a f x x x=++其中0a >.（I ）若曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线与直线1y =平行，求a 的值； （II ）求函数()f x 在区间[1,2]上的最小值. 19. （本小题满分14分）已知圆22:4O x y +=,点P 为直线:4l x =上的动点.(I)若从P 到圆O 的切线长为P 点的坐标以及两条切线所夹劣弧长； （II ）若点(2,0),(2,0)A B -，直线,PA PB 与圆O 的另一个交点分别为,M N ,求证:直线MN 经过定点(1,0).20. （本小题满分14分）已知集合{}1,2,3,,2A n =*()n N ∈.对于A 的一个子集S ，若存在不大于n 的正整数m ，使得对于S 中的任意一对元素12,s s ，都有12s s m -≠，则称S 具有性质P .（Ⅰ）当10n =时，试判断集合{}9B x A x =∈>和{}*31,C x A x k k N =∈=-∈是否具有性质P ？并说明理由.(II)若集合S 具有性质P ，试判断集合 {}(21)T n x x S =+-∈)是否一定具有性质P ？并说明理由.。

海淀区高三年级第二学期期末练习数学（文科）2018.5第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知全集，集合，，则A. B. C. D.（2）已知复数在复平面上对应的点为，则A. B. C.是实数D.是纯虚数（3）若直线是圆的一条对称轴，则的值为A. B. C. D.（4）已知，则A. B. C. D.（5）如图，半径为1的圆内有一阴影区域，在圆内随机撒入一大把豆子，共颗，其中，落在阴影区域内的豆子共颗，则阴影区域的面积约为A. B. C. D.（6）设曲线是双曲线，则“的方程为”是“的渐近线方程为”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件(7)某校为了解高一年级300名学生对历史、地理学科的选课情况，对学生进行编号，用1,2，…，300表示，并用表示第名学生的选课情况，其中根据如图所示的程序框图，下列说法错误的是A.为选择历史的学生人数；B.为选择地理的学生人数；C.为至少选择历史、地理一门学科的学生人数；D.为选择历史的学生人数与选择地理的学生人数之和（8）如图，已知直线与曲线相切于两点，函数，则函数A.有极小值，没有极大值B.有极大值，没有极小值C.至少有两个极小值和一个极大值D.至少有一个极小值和两个极大值第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）已知抛物线的焦点为，则抛物线的标准方程为.（10）已知平面向量，的夹角为，且满足，，则，.（11）将函数的图像上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图像，则,.(12)在中，，则.（13）A，B两个居民小区的居委会欲组织本小区的中学生，利用双休日去市郊的敬老院参加献爱心活动.两个校区每位同学的往返车费及服务老人的人数如下表：A小区B小区往返车费3元5元服务老人的人数5人3人根据安排，去敬老院的往返总车费不能超过37元，且B小区参加献爱心活动的同学比A小区的同学至少多1人，则接受服务的老人最多有人.（14）某几何体的主视图和俯视图如右图所示，在下列图形中，可能是该几何体左视图的图形是.（写出所有可能性的序号）三、解答题共6小题，共80分。

海淀区2018届高三期末数学(文)试题及答案(word版)海淀区高三年级第一学期期末练习数学（文科） 2018.1本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将答题纸交回。

第一部分（选择题，共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1） 已知i 是虚数单位,若i(i)1i a +=-+，则实数a 的值为(A) 1（B ） 0（C ） −（2） 已知,a b ∈R ，若a b <，则(A)2a b< （B ）2ab b<（C ）12a<（3） 执行如图所示的程序框图，输出的k 值为（A ）4 （B ） 5(C) 6 （D ）7（4）下面的茎叶图记录的是甲、乙两个班级各5个同学在一次数学测试中的选择题的成绩(单位:分，每道题5分，共8道题) :已知两组数据的平均数相等，则的值分别为 （A ） 0，0 （B ） 0，5 （C ） 5，（5）已知直线0-+=x y m 与圆22:1+=O xy 相交于,A B 两点，且∆OAB 为正三角形，则实数m 的值为（A ）23 （B（C ）23或23- （D ）26或26-（6） 设a ∈R ,则“1a =”是 “直线10ax y +-=与直线10x ay ++=平行”的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件,x y（7） 在∆ABC 中，1==AB AC ，D 是AC 边的中点，则⋅u u u r u u u r BD CD的取值范围是(A)31(,)44- (B)1(,)4-∞ （C ）3(,+)4-∞ （D ）13()44， （8）已知正方体1111-ABCD A B C D 的棱长为2，,M N 分别是棱11、BC C D 的中点，点P 在平面1111A B C D 内，点Q 在线段1A N 上. 若5=PM ，则PQ 长度的最小值为(A)21- （B ）2（C ）3515- （D ）355第二部分（非选择题，共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

2017-2018学年北京市海淀区高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知i是虚数单位，若i（a+i）=﹣1+i，则实数a的值为（）A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣22．（5分）已知a，b∈R，若a＜b，则（）A．a＜2b B．ab＜b2C．D．a3＜b33．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的k值为（）A．4 B．5 C．6 D．74．（5分）下面的茎叶图记录的是甲、乙两个班级各5各同学在一次数学测试中的选择题的成绩（单位：分，每道题5分，共8道题）：已知两组数据的平均数相等，则x，y的值分别为（）A．0，0 B．0，5 C．5，0 D．5，55．（5分）已知直线x﹣y+m=0与圆O：x2+y2=1相交于A，B两点，且△AOB为正三角形，则实数m的值为（）A．B．C．或D．或6．（5分）设a∈R，则“a=1”是“直线ax+y﹣1=0与直线x+ay+1=0平行”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）在△ABC中，AB=AC=1，D是AC的中点，则的取值范围是（）A．B．C．D．8．（5分）已知正方体的ABCD﹣A1B1C1D1棱长为2，点M，N分别是棱BC，C1D1的中点，点P在平面A1B1C1D1内，点Q在线段A1N上，若，则PQ长度的最小值为（）A．B．C．D．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）已知双曲线ax2﹣y2=1的一条渐近线方程为y=x，则实数a的值为．10．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值是．11．（5分）△ABC中，，且△ABC的面积为，则c=．12．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的四个面的面积中最大的值是．13．（5分）函数的最大值为；若函数f（x）的图象与直线y=k（x﹣1）有且只有一个公共点，则实数k的取值范围是．14．（5分）某次高三英语听力考试中有5道选择题，每题1分，每道题在三个选项中只有一个是正确的．下表是甲、乙、丙三名同学每道题填涂的答案和这5道题的得分：12345得分甲C C A B B4乙C C B B C3丙B C C B B2则甲同学答错的题目的题号是，其正确的选项是．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知等差数列{a n}的前n项和S n，且a2=5，S3=a7．（Ⅰ）数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若，求数列{a n+b n}前n项和．16．（13分）已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的定义域；（Ⅱ）求函数f（x）的值域．17．（14分）据中国日报网报道：2017年11月13日，TOP500发布的最新一期全球超级计算机500强榜单显示，中国超算在前五名中占据两席，其中超算全球第一“神威太湖之光”完全使用了国产品牌处理器．为了了解国产品牌处理器打开文件的速度，某调查公司对两种国产品牌处理器进行了12次测试，结果如下（数值越小，速度越快，单位是MIPS）设a i，b i分别表示第次测试中品牌A和品牌B的测试结果，记X i=|a i﹣b i|（i=1，2， (12)（Ⅰ）求数据X1，X2，X3，…，X12的众数；（Ⅱ）从满足X i=4的测试中随机抽取两次，求品牌A的测试结果恰好有一次大于品牌B的测试结果的概率；（Ⅲ）经过了解，前6次测试是打开含有文字和表格的文件，后6次测试是打开含有文字和图片的文件．请你依据表中数据，运用所学的统计知识，对这两种国产品牌处理器打开文件的速度进行评价．18．（13分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1⊥底面ABC，AC⊥AB，AC=AB=AA1=2，∠AA1B1=60°，E，F分别为棱A1B1BC的中点．（Ⅰ）求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积；（Ⅱ）在直线AA1上是否存在一点P，使得CP∥平面AEF？若存在，求出AP的长，若不存在，说明理由．19．（14分）已知椭圆，直线l：x+y﹣2=0与椭圆C相交于两点P，Q，与x轴交于点B，点P，Q与点B不重合．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；=2时，求椭圆C的方程；（Ⅱ）当S△OPQ（Ⅲ）过原点O作直线l的垂线，垂足为N．若|PN|=λ|BQ|，求λ的值．20．（13分）已知函数f（x）=（x﹣1）e x+ax2．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）求证：“a＜0”是“函数y=f（x）有且只有一个零点”的充分不必要条件．2017-2018学年北京市海淀区高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知i是虚数单位，若i（a+i）=﹣1+i，则实数a的值为（）A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣2【解答】解：由i（a+i）=ai﹣1=﹣1+i，得a=1．故选：A．2．（5分）已知a，b∈R，若a＜b，则（）A．a＜2b B．ab＜b2C．D．a3＜b3【解答】解：a，b∈R，若a＜b，对A，a＜b，若b=0，则b=2b；b＞0，则b＜2b；b＜0，则b＞2b，故A错误；对B，若b=0，则ab=b2；若b＞0，则ab＜b2；若b＜0，则ab＞b2，故B错误；对C，a，b＞0，则a＜b，若a，b中有负的，则不成立，故C错误；对D，y=x3在R上递增，可得a3＜b3，故D正确．故选：D．3．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的k值为（）A．4 B．5 C．6 D．7【解答】解：模拟程序的运行，可得a=1，k=1不满足条件a＞10，执行循环体，a=2，k=2不满足条件a＞10，执行循环体，a=4，k=3不满足条件a＞10，执行循环体，a=8，k=4不满足条件a＞10，执行循环体，a=16，k=5满足条件a＞10，退出循环，输出k的值为5．故选：B．4．（5分）下面的茎叶图记录的是甲、乙两个班级各5各同学在一次数学测试中的选择题的成绩（单位：分，每道题5分，共8道题）：已知两组数据的平均数相等，则x，y的值分别为（）A．0，0 B．0，5 C．5，0 D．5，5【解答】解：根据茎叶图中的数据，计算甲、乙两个班级的平均数为=×（25+35+30+x+40+40）=34+，=×（30+30+35+30+y+40）=33+，∴34+=33+，即y=x+5；由题意知，x=0，y=5．故选：B．5．（5分）已知直线x﹣y+m=0与圆O：x2+y2=1相交于A，B两点，且△AOB为正三角形，则实数m的值为（）A．B．C．或D．或【解答】解：直线x﹣y+m=0与圆O：x2+y2=1相交于A，B两点，且△AOB为正三角形，则：△AOB的边长为1，则：圆心（0，0）到直线x﹣y+m=0的距离d=，解得：m=±．故选：D．6．（5分）设a∈R，则“a=1”是“直线ax+y﹣1=0与直线x+ay+1=0平行”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由a2﹣1=0，解得a=±1．经过验证可得：a=﹣1时，两条直线重合，舍去．∴“a=1”是“直线ax+y﹣1=0与直线x+ay+1=0平行”的充分必要条件．故选：C．7．（5分）在△ABC中，AB=AC=1，D是AC的中点，则的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：=﹣（），设∠CAB=α∈（0，π），所以=﹣=﹣[]=﹣﹣cos（π﹣α）=﹣（）∈．故选：A．8．（5分）已知正方体的ABCD﹣A1B1C1D1棱长为2，点M，N分别是棱BC，C1D1的中点，点P在平面A1B1C1D1内，点Q在线段A1N上，若，则PQ长度的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，取B1C1中点O，则MO⊥面A1B1C1D1，即MO⊥OP，∵，则OP=1，∴点P在以O为圆心，1以半径的位于平面A1B1C1D1内的半圆上．可得O到A1N的距离减去半径即为PQ长度的最小值，作OH⊥A1N于N，△A1ON的面积为2×=，∴，可得OH=，∴PQ长度的最小值为．故选：C二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）已知双曲线ax2﹣y2=1的一条渐近线方程为y=x，则实数a的值为1．【解答】解：∵双曲线ax2﹣y2=1的渐近线方程为y=x，又已知一条渐近线方程为y=x，∴=1，a=1，故答案为：1．10．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值是2．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）：由z=x+y得y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A时，直线y=﹣x+z的截距最大，此时z最大．由，解得A（2，0），代入目标函数z=x+y得z=2．即目标函数z=x+y的最大值为：2．故答案为：2．11．（5分）△ABC中，，且△ABC的面积为，则c=2或．【解答】解：∵，且△ABC的面积为=absinC=，∴可得：sinC=，可得cosC==±，∴由余弦定理可得：c===2或．故答案为：2或．12．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的四个面的面积中最大的值是．【解答】解：依据三视图，可得该几何体，如图三棱锥P﹣ABC，AC=BC=1，AB=．PA=PB，面PC⊥面ABC，P到面ABC的距离为PC=1．CD=，PD==，三棱锥侧面PAB的面积取得最大值，=．故答案为：．13．（5分）函数的最大值为1；若函数f（x）的图象与直线y=k（x﹣1）有且只有一个公共点，则实数k的取值范围是[0，+∞）．【解答】解：作出f（x）的函数图象如图所示：由图象可知当x=0或x=1时，f（x）取得最大值1．又y=k（x﹣1）过点（1，0），∴当k≥0时，直线y=k（x﹣1）与y=f（x）的图象只有一个交点，当k＜0时，直线y=k（x﹣1）与y=f（x）的图象有两个或三个交点，∴k的取值范围是[0，+∞）．故答案为：1，[0，+∞）．14．（5分）某次高三英语听力考试中有5道选择题，每题1分，每道题在三个选项中只有一个是正确的．下表是甲、乙、丙三名同学每道题填涂的答案和这5道题的得分：则甲同学答错的题目的题号是5，其正确的选项是A．【解答】解：由甲得4分，则正确4个，乙得3分，正确答案为3个，则1，2，4必为正确答案，由丙答对两个，即2和4，则5为错误，∴第5题甲答错，且乙答案也错误，故第5题选A，故答案为：5，A．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知等差数列{a n}的前n项和S n，且a2=5，S3=a7．（Ⅰ）数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若，求数列{a n+b n}前n项和．【解答】（本题共13分）解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，，解得a1=3，d=2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）由a n=a1+（n﹣1）d，则a n=2n+1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）因此，通项公式为a n=2n+1．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：a n=2n+1，则，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）因为，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）所以{b n}是首项为8，公比为q=4的等比数列．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）记{a n+b n}的前n项和为T n，则T n=（a1+b1）+（a2+b2）+…+（a n+b n）=（a1+a2+…+a n）+（b1+b2+…+b n）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）16．（13分）已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的定义域；（Ⅱ）求函数f（x）的值域．【解答】解：（Ⅰ）由正切函数的性质，，k∈Z﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）解得：，k∈Z﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）所以，函数的定义域为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（Ⅱ）=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）=﹣（cosx﹣sinx）2=2sinxcosx﹣1=sin2x﹣1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）因为，所以，所以sin2x ≠﹣1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）所以，函数f （x ）的值域为（﹣2，0]．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）17．（14分）据中国日报网报道：2017年11月13日，TOP500发布的最新一期全球超级计算机500强榜单显示，中国超算在前五名中占据两席，其中超算全球第一“神威太湖之光”完全使用了国产品牌处理器．为了了解国产品牌处理器打开文件的速度，某调查公司对两种国产品牌处理器进行了12次测试，结果如下（数值越小，速度越快，单位是MIPS ）测试1测试2 测试3 测试4 测试5 测试6 测试7 测试8 测试9 测试10 测试11 测试12 品牌A 3691041121746614品牌B2 8 5 4 2 5 8 15 5 12 10 21设a i ，b i 分别表示第次测试中品牌A 和品牌B 的测试结果，记X i =|a i ﹣bi |（i=1，2， (12)（Ⅰ）求数据X 1，X 2，X 3，…，X 12的众数；（Ⅱ）从满足X i =4的测试中随机抽取两次，求品牌A 的测试结果恰好有一次大于品牌B 的测试结果的概率；（Ⅲ）经过了解，前6次测试是打开含有文字和表格的文件，后6次测试是打开含有文字和图片的文件．请你依据表中数据，运用所学的统计知识，对这两种国产品牌处理器打开文件的速度进行评价． 【解答】（本题共13分）解：（Ⅰ）求出X i =|a i ﹣b i |（i=1，2，…，12），列表如下：所以X i等于1有2次，X i=2有3次，X i=4有4次，X i=6有2次，X i=7有1次，则数据X1，X2，X3…X12的众数为4﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（Ⅱ）设事件D=“品牌A的测试结果恰有一次大于品牌B的测试结果”．满足X i=4的测试共有4次，其中品牌A的测试结果大于品牌B的测试结果有2次即测试3和测试7，不妨用M，N表示．品牌A的测试结果小于品牌B的测试结果有2次即测试6和测试11，不妨用P，Q表示．从中随机抽取两次，共有MN，MP，MQ，NP，NQ，PQ六种情况，其中事件D发生，指的是MP，MQ，NP，NQ四种情况．故．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）（Ⅲ）本题为开放问题，答案不唯一，在此给出评价标准，并给出可能出现的答案情况，阅卷时按照标准酌情给分．给出明确结论，（1分），结合已有数据，能够运用以下两个标准中的任何一个陈述得出该结论的理由，（2分）．标准1：分别比较两种不同测试的结果，根据数据进行阐述标准2：会用测试结果的平均数进行阐述．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）可能出现的作答情况举例，及对应评分标准如下：结论一：，品牌B处理器对含有文字与表格的文件的打开速度快一些，品牌A处理器对含有文字与图片的文件的打开速度快一些．理由如下：从前6次测试（打开含有文字与表格的文件）来看，对于含有文字与表格的相同文件，品牌A的测试有两次打开速度比品牌B快（数值小），品牌B 有四次比品牌A快，从后6次测试（打开含有文字与图片的文件）来看，对于含有文字与图片的相同文件，品牌A有四次打开速度比品牌B快（数值小）．结论二：从测试结果看，这两种国产品牌处理器的文件的打开速度结论：品牌A 打开文件速度快一些理由如下：品牌A处理器对文件打开的测试结果的平均数估计为，品牌B处理器对文件打开的测试结果的平均数估计为，所以品牌A打开文件速度快一些．（且品牌A方差较小）其他答案情况，比照以上情况酌情给分．18．（13分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1⊥底面ABC，AC⊥AB，AC=AB=AA1=2，∠AA1B1=60°，E，F分别为棱A1B1BC的中点．（Ⅰ）求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积；（Ⅱ）在直线AA1上是否存在一点P，使得CP∥平面AEF？若存在，求出AP的长，若不存在，说明理由．【解答】（Ⅰ）证明：三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1⊥底面ABC，AC⊥AB，∵侧面ABB1A1∩底面ABC=AB，AC⊂底面ABC，∴AC⊥平面ABB1A1，又∵AE⊂平面ABB1A1，∴AC⊥AE；（Ⅱ）解：连接AB1，∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∴A1B1=AB．∵AB=AA1=2，∴A1B1=AA1=2．又∵∠AA1B=60°，且，∴△AA1B1是边长为2的正三角形．∵E是棱A1B1的中点，∴AE⊥A1B1，又∵AE⊥AC，A1C1∥AC，∴AE⊥A1C1．∵A1C1∩A1B1=A1，A1C1，A1B1⊂底面A1B1C1，∴AE⊥底面A1B1C1．∴三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为；（Ⅲ）解：在直线AA1上存在点P，使得CP∥平面AEF．证明如下：连接BE并延长，与AA1的延长线相交，设交点为P．连接CP．∵BB1∥AA1，∴△A1PE～△B1BE，故．由于E为棱A1B1的中点，∴EA1=EB1，故有PE=EB．又F为棱BC的中点，故EF为△BCP的中位线，∴EF∥CP．又EF⊂平面AEF，CP⊄平面AEF，∴CP∥平面AEF．故在直线AA1上存在点P，使得CP∥平面AEF．此时A1P=BB1=2，AP=2AA1=4．19．（14分）已知椭圆，直线l：x+y﹣2=0与椭圆C相交于两点P，Q，与x轴交于点B，点P，Q与点B不重合．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；=2时，求椭圆C的方程；（Ⅱ）当S△OPQ（Ⅲ）过原点O作直线l的垂线，垂足为N．若|PN|=λ|BQ|，求λ的值．【解答】（本题共14分）解：（Ⅰ）a2=3m，b2=m，c2=2m，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分），故．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），，得到4x2﹣12x+12﹣3m=0，依题意，由△=（﹣12）2﹣4×4×（12﹣3m）＞0得m＞1．且有，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）原点到直线l的距离﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）所以﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）解得＞1，故椭圆方程为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）（Ⅲ）直线l的垂线为ON：y=x，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）由解得交点N（1，1），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）因为|PN|=λ|BQ|，又x1+x2=3所以=，故λ的值为1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）20．（13分）已知函数f（x）=（x﹣1）e x+ax2．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）求证：“a＜0”是“函数y=f（x）有且只有一个零点”的充分不必要条件．【解答】解：（Ⅰ）依题意，函数f（x）=（x﹣1）e x+ax2的导数为f'（x）=xe x+2ax，x∈R，所以切线的斜率k=f'（0）=0，又因为f（0）=﹣1，所以切线方程为y=﹣1；（Ⅱ）证明：当a=0时，f（x）=（x﹣1）e x，令f（x）=0，解得x=1．此时，f（x）有且只有一个零点，可得f（x）有且只有一个零点，则a＜0，不成立；当a＜0时，f'（x）=x（e x+2a）．令f'（x）=0，解得x1=0，x2=ln（﹣2a）．（i）当ln（﹣2a）=0，即时，f'（x）=x（e x﹣1）≥0，所以f（x）在R上单调增．又∵f（0）=﹣1＜0，f（2）=e2﹣2＞0，所以f（x）有且只有一个零点．（ii）当ln（﹣2a）＜0，即时，f（x），f'（x）随x的变化情况如下：x（﹣∞，ln（﹣2a））ln（﹣2a）（ln（﹣2a），0）0（0，+∞）f'（x）+0﹣0+ f（x）↗极大值↘极小值↗当x≤0时，（x﹣1）e x＜0，ax2≤0，所以f（x）＜0，又f（2）=e2+4a＞e2﹣2＞0所以f（x）有且只有一个零点．（iii）当ln（﹣2a）＞0，即时，f（x），f'（x）随x的变化情况如下：因为f（0）=﹣1＜0，所以x∈（﹣∞，ln（﹣2a）]时，f（x）＜0，令x0=1﹣a，则x0＞1．下面证明当x＞1时，e x＞x2．设，则．当x ∈（1，2）时，g'（x ）＞0，g （x ）在（1，2）上单调递增； 当x ∈（2，+∞）时，g'（x ）＜0，g （x ）在（2，+∞）上单调递减． 所以当x=2时，g （x ）取得极大值．所以当x ＞1时，g （x ）＜1，即x 2＜e x ． 所以．由零点存在定理，f （x ）有且只有一个零点．综上，a ＜0是函数f （x ）有且只有一个零点的充分不必要条件．赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔②x 1≤x 2＜k ⇔③x1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2>k f ab x 2-=xy1x 2x O∙<a 1k ∙2k 0)(1<k f 0)(2<k f ab x 2-=⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()mf q = ②02b x a->，则()m f p =． xxxx>O-=f (p) f (q)()2b f a-0x x>O -=f(p) f(q)()2b f a-0x xf xfxx<O-=f (p)f(q)()2b f a-x x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x。

北京市海淀区2017-2018学年高三上学期期末数学试卷（文科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知全集U={x∈R|x＞0}，集合A={x∈R|x≥2}，则C U A=（）A．{x∈R|x＜2} B．{x∈R|0＜x＜2} C．{x∈R|x≤2} D．{x∈R|0＜x≤2} 2．（5分）如图所示，在复平面内，点A对应的复数为z，则z=（）A．1﹣2i B．1+2i C．﹣2﹣i D．﹣2+i3．（5分）已知直线l1：ax+（a+2）y+1=0，l2：ax﹣y+2=0．若l1∥l2，则实数a的值是（）A．0或﹣3 B．2或﹣1 C．0D．﹣34．（5分）当向量==（﹣1，1），=（1，0）时，执行如图所示的程序框图，输出的i值为（）A．5B．4C．3D．25．（5分）为了解某年级女生五十米短跑情况，从该年级中随机抽取8名女生进行五十跑测试，她们的测试成绩（单位：秒）的茎叶图（以整数部分为茎，小数部分为叶）如图所示．由此可估计该年级女生五十米跑成绩及格（及格成绩为9.4秒）的概率为（）A．0.375 B．0.625 C．0.5 D．0.1256．（5分）已知函数f（x）=log2（x+a）+log2（x﹣a）（a∈R）．p：∃a∈R，函数f（x）是偶函数；q：∀a∈R，函数f（x）在定义域内是增函数．那么下列为真的是（）A．¬q B．p∧q C．（¬p）∧q D．p∧（¬q）7．（5分）某堆雪在融化过程中，其体积V（单位：m3）与融化时间t（单位：h）近似满足函数关系：（H为常数），其图象如图所示．记此堆雪从融化开始到结束的平均融化速度为．那么瞬时融化速度等于的时刻是图中的（）A．t1B．t2C．t3D．t48．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E为底面ABCD上的动点．若三棱锥B﹣D1EC 的表面积最大，则E点位于（）A．点A处B．线段AD的中点处C．线段AB的中点处D．点D处二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）抛物线y2=﹣2x的焦点坐标为．10．（5分）若双曲线的一条渐近线的倾斜角为60°，则m=．11．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积为．12．（5分）设不等式组表示的平面区域为D．则区域D上的点到坐标原点的距离的最小值是．13．（5分）在等比数列{a n}中，若a1=﹣24，a4=﹣，则公比q=；当n=时，{a n}的前n项积最大．14．（5分）已知⊙O：x2+y2=1．若直线y=kx+2上总存在点P，使得过点P的⊙O的两条切线互相垂直，则实数k的取值范围是．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．（13分）函数f（x）=cos（πx+φ）（0＜φ＜）的部分图象如图所示．（Ⅰ）写出φ及图中x0的值；（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值．16．（13分）某中学在2014-2015学年高二年级开设大学先修课程《线性代数》，共有50名同学选修，其中男同学30名，女同学20名．为了对这门课程的教学效果进行评估，学校按性别采用分层抽样的方法抽取5人进行考核．（Ⅰ）求抽取的5人中男、女同学的人数；（Ⅱ）考核前，评估小组打算从选出的5人中随机选出2名同学进行访谈，求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率；（Ⅲ）考核分答辩和笔试两项.5位同学的笔试成绩分别为115，122，105，111，109；结合答辩情况，他们的考核成绩分别为125，132，115，121，119．这5位同学笔试成绩与考核成绩的方差分别记为s12，s22，试比较s12与s22的大小．（只需写出结论）17．（14分）如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1B1B为正方形，BB1C1C是菱形，平面AA1B1B⊥平面BB1C1C．（Ⅰ）求证：BC∥平面AB1C1；（Ⅱ）求证：B1C⊥AC1；（Ⅲ）设点E，F，H，G分别是B1C，AA1，A1B1，B1C1的中点，试判断E，F，H，G四点是否共面，并说明理由．18．（13分）已知椭圆M：x2+2y2=2．（Ⅰ）求M的离心率及长轴长；（Ⅱ）设过椭圆M的上顶点A的直线l与椭圆M的另一个交点为B，线段AB的垂直平分线交椭圆M于C，D两点．问：是否存在直线l使得C，O，D三点共线（O为坐标原点）？若存在，求出所有满足条件的直线l的方程；若不存在，说明理由．19．（13分）已知函数f（x）=．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（x0，f（x0））处的切线方程为ax﹣y=0，求x0的值；（Ⅱ）当x＞0时，求证：f（x）＞x；（Ⅲ）问集合{x∈R|f（x）﹣bx=0}（b∈R且为常数）的元素有多少个？（只需写出结论）20．（14分）数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1=1，2a n+1=2a n+p（p为常数，n=1，2，3，…）．（Ⅰ）若S3=12，求S n；（Ⅱ）若数列{a n}是等比数列，求实数p的值．（Ⅲ）是否存在实数p，使得数列{}满足：可以从中取出无限多项并按原来的先后次序排成一个等差数列？若存在，求出所有满足条件的p的值；若不存在，说明理由．北京市海淀区2015届高三上学期期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知全集U={x∈R|x＞0}，集合A={x∈R|x≥2}，则C U A=（）A．{x∈R|x＜2} B．{x∈R|0＜x＜2} C．{x∈R|x≤2} D．{x∈R|0＜x≤2}考点：补集及其运算．专题：集合．分析：欲求补集，利用补集的定义求解解答：解：∵全集U={x∈R|x＞0}，集合A={x∈R|x≥2}，∴C U A={x∈R|0＜x＜2}故选：B点评：本题主要考查了集合交，并，补的混合运算，较为简单．2．（5分）如图所示，在复平面内，点A对应的复数为z，则z=（）A．1﹣2i B．1+2i C．﹣2﹣i D．﹣2+i考点：复数的基本概念．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的几何意义即可得出．解答：解：由图可知：z=﹣2+i．故选：D．点评：本题考查了复数的几何意义，属于基础题．3．（5分）已知直线l1：ax+（a+2）y+1=0，l2：ax﹣y+2=0．若l1∥l2，则实数a的值是（）A．0或﹣3 B．2或﹣1 C．0D．﹣3考点：直线的一般式方程与直线的平行关系．专题：直线与圆．分析：对a分类讨论，利用两条直线相互平行与斜率之间的关系即可得出．解答：解：当a=﹣2时，两条直线分别化为﹣2x+1=0，﹣2x﹣y+2=0，此时两条直线不平行，舍去．当a≠﹣2时，两条直线分别化为：，y=ax+2．∵l1∥l2，∴，．解得a=0，a=﹣3．综上可得：a=0或﹣3．故选：A．点评：本题考查了两条直线相互平行与斜率之间的关系、分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．（5分）当向量==（﹣1，1），=（1，0）时，执行如图所示的程序框图，输出的i值为（）A．5B．4C．3D．2考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟程序运行，依次写出每次循环得到的的值，当=（1，1），满足条件a•c=0，退出循环，输出i的值为2．解答：解：模拟程序运行，有i=1时，=（0，1），不满足条件a•c=0i=2时，=（1，1），满足条件a•c=0退出循环，输出i的值为2．故选：D．点评：本题主要考察了程序框图和算法，正确理解循环结构的功能是解题的关键，属于基本知识的考查．5．（5分）为了解某年级女生五十米短跑情况，从该年级中随机抽取8名女生进行五十跑测试，她们的测试成绩（单位：秒）的茎叶图（以整数部分为茎，小数部分为叶）如图所示．由此可估计该年级女生五十米跑成绩及格（及格成绩为9.4秒）的概率为（）A．0.375 B．0.625 C．0.5 D．0.125考点：茎叶图．专题：概率与统计．分析：由已知茎叶图得到该年级女生五十米跑成绩及格的人数，然后由古典概型的概率求解．解答：解：由已知得到该年级女生五十米跑成绩及格的有：7.8，8.6，8.1，8.8，9.1共有6人，由古典概型概率公式得P==0.625；故选B．点评：本题考查了由茎叶图找到调查数据的信息以及由此计算概率，属于基础题．6．（5分）已知函数f（x）=log2（x+a）+log2（x﹣a）（a∈R）．p：∃a∈R，函数f（x）是偶函数；q：∀a∈R，函数f（x）在定义域内是增函数．那么下列为真的是（）A．¬q B．p∧q C．（¬p）∧q D．p∧（¬q）考点：复合的真假．专题：简易逻辑．分析：先求f（x）的定义域（|a|，+∞），根据偶函数的定义域特点及对数函数的单调性知p 是假，q是真，所以便可判断（￢p）∧q是真．解答：解：函数f（x）的定义域为（|a|，+∞）；定义域不关于原点对称；∴f（x）是非奇非偶函数；∴p是假；根据对数函数的单调性知f（x）在定义域内是增函数；∴q是真；∴￢p是真，（￢p）∧q为真．故选C．点评：考查偶函数定义域的特点，以及对数函数的单调性，对于F（x）=f（x）+g（x），若f（x），g（x）在F（x）的定义域内都是增函数，则F（x）是增函数，以及￢p，p∧q的真假和p，q真假的关系．7．（5分）某堆雪在融化过程中，其体积V（单位：m3）与融化时间t（单位：h）近似满足函数关系：（H为常数），其图象如图所示．记此堆雪从融化开始到结束的平均融化速度为．那么瞬时融化速度等于的时刻是图中的（）A．t1B．t2C．t3D．t4考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：根据题意可知，平均融化速度为=，反映的是V（t）图象与坐标轴交点连线的斜率，通过观察某一时刻处瞬时速度（即切线的斜率），即可得到答案解答：解：平均融化速度为=，反映的是V（t）图象与坐标轴交点连线的斜率，观察可知t3处瞬时速度（即切线的斜率）为平均速速一致，故选：C点评：本题考查了图象的识别，关键理解平均速度表示的几何意义（即斜率），属于基础题8．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E为底面ABCD上的动点．若三棱锥B﹣D1EC 的表面积最大，则E点位于（）A．点A处B．线段AD的中点处C．线段AB的中点处D．点D处考点：棱柱的结构特征．专题：空间位置关系与距离．分析：由题意画出图形，数形结合得到使三棱锥B﹣D1EC的三个动面面积最大的点E得答案．解答：解：如图，E为底面ABCD上的动点，连接BE，CE，D1E，对三棱锥B﹣D1EC，无论E在底面ABCD上的何位置，面BCD1的面积为定值，要使三棱锥B﹣D1EC的表面积最大，则侧面BCE、CAD1、BAD1的面积和最大，而当E与A重合时，三侧面的面积均最大，∴E点位于点A处时，三棱锥B﹣D1EC的表面积最大．故选：A．点评：本题考查了空间几何体的表面积，考查了数形结合的解题思想方法，是基础题．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）抛物线y2=﹣2x的焦点坐标为．考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据抛物线的方程的标准方程，求出p值，确定开口方向，从而写出焦点坐标．解答：解：抛物线y2 =﹣2x，开口向左，p=1，故焦点坐标为（﹣，0），故答案为：（﹣，0）．点评：本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用，属于容易题．10．（5分）若双曲线的一条渐近线的倾斜角为60°，则m=3．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出双曲线的渐近线方程，由题意可得，tan60°=，计算即可得到m．解答：解：双曲线（m＞0）的渐近线方程为y=x，则有tan60°=，即有=，即为m=3．故答案为：3．点评：本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的运用，考查运算能力，属于基础题．11．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积为8．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由三视图及题设条件知，此几何体为一个三棱锥，其高为3，底面是直角边长为3，4的直角三角形，故先求出底面积，再由体积公式求解其体积即可．解答：解：由题设条件，此几何几何体为一个三棱锥，其高为3，底面是直角边长为3，4的直角三角形，故其体积是=8，故答案为：8点评：本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积．12．（5分）设不等式组表示的平面区域为D．则区域D上的点到坐标原点的距离的最小值是．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合即可得到结论．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：由图象可知，当OQ垂直直线x+y﹣1=0时，此时区域D上的点到坐标原点的距离的最小，最小值为圆心到直线x+y﹣1=0的距离d=，故答案为：．点评：本题主要考查两点间距离的应用，利用数形结合以及点到直线的距离公式是解决本题的关键．13．（5分）在等比数列{a n}中，若a1=﹣24，a4=﹣，则公比q=；当n=4时，{a n}的前n项积最大．考点：等比数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：直接由已知及等比数列的通项公式求得公比；写出等比数列的通项公式，得到前n 项积，然后根据奇数项积为负值，分析偶数项乘积得答案．解答：解：在等比数列{a n}中，由a1=﹣24，a4=﹣，得，∴q=；∴．则{a n}的前n项积：=．当n为奇数时T n＜0，∴当n为偶数时T n有最大值．又，且当n为大于等于4的偶数时，T n+2＜T n，∴当n=4时，{a n}的前n项积最大．故答案为：；4．点评：本题考查了等比数列的通项公式，考查了等比数列的性质，是中档题．14．（5分）已知⊙O：x2+y2=1．若直线y=kx+2上总存在点P，使得过点P的⊙O的两条切线互相垂直，则实数k的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪故答案为：（﹣∞，﹣1]∪上的最大值和最小值．考点：余弦函数的图象；余弦函数的定义域和值域．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）由图观察可知，函数的图象过点（0，），有=cosφ可解得φ的值是．由图观察可知，函数的图象过点（x0，），有π×x0+=2，可解得x0的值．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：．根据余弦函数的单调性即可求f（x）在区间上的最大值和最小值．解答：解：（Ⅰ）∵由图观察可知，函数的图象过点（0，），∴=cosφ，∵0＜φ＜，∴可解得φ的值是．∵由图观察可知，函数的图象过点（x0，），∴=cos（π×x0+）∴π×x0+=2∴可解得x0的值是．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：．因为，所以．所以当，即时f（x）取得最大值1；当，即时f（x）取得最小值．点评：本题主要考查了三角函数解析式的求法，余弦函数的定义域和值域，余弦函数的图象和性质，属于基础题．16．（13分）某中学在2014-2015学年高二年级开设大学先修课程《线性代数》，共有50名同学选修，其中男同学30名，女同学20名．为了对这门课程的教学效果进行评估，学校按性别采用分层抽样的方法抽取5人进行考核．（Ⅰ）求抽取的5人中男、女同学的人数；（Ⅱ）考核前，评估小组打算从选出的5人中随机选出2名同学进行访谈，求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率；（Ⅲ）考核分答辩和笔试两项.5位同学的笔试成绩分别为115，122，105，111，109；结合答辩情况，他们的考核成绩分别为125，132，115，121，119．这5位同学笔试成绩与考核成绩的方差分别记为s12，s22，试比较s12与s22的大小．（只需写出结论）考点：极差、方差与标准差；分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）按照分层抽样的方法：各层被抽到的比例相同解答；（Ⅱ）利用列举法分别明确从选出的5人中随机选出2名同学进行访谈和选出的两名同学中恰有一名女同学的所以可能，利用古典概率公式解答；（Ⅲ）按照方差的计算公式解答．解答：解：（Ⅰ）抽取的5人中男同学的人数为人，女同学的人数为人．…（4分）（Ⅱ）记3名男同学为A1，A2，A3，2名女同学为B1，B2．从5人中随机选出2名同学，所有可能的结果有A1A2，A1A3，A1B1，A1B2，A2A3，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2，B1B2，共10个．…（6分）用C表示：“选出的两名同学中恰有一名女同学”这一事件，则C中的结果有6个，它们是A1B1，A1B2，A2B1，A2B2．A3B1，A3B2…（8分）所以选出的两名同学中恰有一名女同学的概率．…（10分）（Ⅲ）．…（13分）点评：本题考查了统计与概率的问题，属于基础题．17．（14分）如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1B1B为正方形，BB1C1C是菱形，平面AA1B1B⊥平面BB1C1C．（Ⅰ）求证：BC∥平面AB1C1；（Ⅱ）求证：B1C⊥AC1；（Ⅲ）设点E，F，H，G分别是B1C，AA1，A1B1，B1C1的中点，试判断E，F，H，G四点是否共面，并说明理由．考点：平面与平面平行的性质；直线与平面平行的判定．专题：证明题；空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）由BC∥B1C1，证明BC∥平面AB1C1；（Ⅱ）先证明AB⊥平面BB1C1C，得AB⊥B1C，再证明B1C⊥平面ABC1，得出B1C⊥AC1；（Ⅲ）E，F，H，G四点不共面，通过证明点F∉平面EHG，即F∈平面AA1C1C，且平面AA1C1C∥平面EFH即可．解答：证明：（Ⅰ）在菱形BB1C1C中，BC∥B1C1，因为BC⊄平面AB1C1，B1C1⊂平面AB1C1，所以BC∥平面AB1C1；…（3分）（Ⅱ）连接BC1，在正方形ABB1A1中，AB⊥BB1，因为平面AA1B1B⊥平面BB1C1C，平面AA1B1B∩平面BB1C1C=BB1，AB⊂平面ABB1A1，所以AB⊥平面BB1C1C；…（5分）又因为B1C⊂平面BB1C1C，所以AB⊥B1C；…（6分）在菱形BB1C1C中，BC1⊥B1C；因为BC1⊂平面ABC1，AB⊂平面ABC1，且BC1∩AB=B，所以B1C⊥平面ABC1；…（8分）因为AC1⊂平面ABC1，所以B1C⊥AC1；…（10分）（Ⅲ）E，F，H，G四点不共面，理由如下；…（11分）因为E，G分别是B1C，B1C1的中点，所以GE∥CC1，同理可证：GH∥C1A1；因为GE⊂平面EHG，GH⊂平面EHG，GE∩GH=G，CC1⊂平面AA1C1C，A1C1⊂平面AA1C1C，所以平面EHG∥平面AA1C1C；又因为F∈平面AA1C1C，所以F∉平面EHG，即E，F，H，G四点不共面．…（14分）点评：本题考查了空间中的平行与垂直的判断与直线的应用问题，也考查了判断空间中的四点是否共面问题，是综合性题目．18．（13分）已知椭圆M：x2+2y2=2．（Ⅰ）求M的离心率及长轴长；（Ⅱ）设过椭圆M的上顶点A的直线l与椭圆M的另一个交点为B，线段AB的垂直平分线交椭圆M于C，D两点．问：是否存在直线l使得C，O，D三点共线（O为坐标原点）？若存在，求出所有满足条件的直线l的方程；若不存在，说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）由题意可知椭圆M的标准方程为：，可知：，b=1．c=，即可得出离心率与长轴长．（II）若C，O，D三点共线，CD是线段AB的垂直平分线，可得|OA|=|OB|．由（I）可得：A（0，1），设B（x0，y0），=1．与=2，联立解出即可得出．解答：解：（Ⅰ）由题意可知椭圆M的标准方程为：，可知：，b=1．∴c==1．∴=，2a=2．（II）若C，O，D三点共线，CD是线段AB的垂直平分线，可得|OA|=|OB|．由（I）可得：A（0，1），设B（x0，y0），∴=1．又=2，联立，解得，或（舍去）．当取点B（0，﹣1）时，直线l的方程为x=0，满足条件．∴存在直线l使得C，O，D三点共线（O为坐标原点），直线l的方程为：x=0．点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、线段的垂直平分线的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（13分）已知函数f（x）=．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（x0，f（x0））处的切线方程为ax﹣y=0，求x0的值；（Ⅱ）当x＞0时，求证：f（x）＞x；（Ⅲ）问集合{x∈R|f（x）﹣bx=0}（b∈R且为常数）的元素有多少个？（只需写出结论）考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求函数的导数，根据函数的切线方程进行求解即可求x0的值；（Ⅱ）构造函数g（x）=，求函数的导数，利用导数证明不等式f（x）＞x；（Ⅲ）根据函数和方程之间的关系直接求解即可．解答：（Ⅰ）解：，因为切线ax﹣y=0过原点（0，0），所以，解得x0=2（Ⅱ）证明：设，则．令，解得x=2，当x在（0，+∞）上变化时，g（x），g′（x）的变化情况如下表x （0，2） 2 （2，+∞）g′（x）﹣0 +g（x）↘↗所以当x=2时，g（x）取得最小值，所以当时x＞0时，即f（x）＞x．（Ⅲ）解：当b≤0时，集合{x∈R|f（x）﹣bx=0}的元素个数为0；当时，集合{x∈R|f（x）﹣bx=0}的元素个数为1；当时，集合{x∈R|f（x）﹣bx=0}的元素个数为2；当时，集合{x∈R|f（x）﹣bx=0}的元素个数为3．点评：本题主要考查导数的综合应用，以及导数的几何意义，考查学生的运算能力．20．（14分）数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1=1，2a n+1=2a n+p（p为常数，n=1，2，3，…）．（Ⅰ）若S3=12，求S n；（Ⅱ）若数列{a n}是等比数列，求实数p的值．（Ⅲ）是否存在实数p，使得数列{}满足：可以从中取出无限多项并按原来的先后次序排成一个等差数列？若存在，求出所有满足条件的p的值；若不存在，说明理由．考点：等差数列的性质；数列递推式．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）利用a1=1，2a n+1=2a n+p，求出2a2=2+p，2a3=2+2p，利用S3=12，求出p，即可求S n；（Ⅱ）若数列{a n}是等比数列，则a22=a1a3，求出实数p的值，再验证；（Ⅲ）利用反证法进行证明即可得出结论．解答：解：（Ⅰ）∵a1=1，2a n+1=2a n+p，∴2a2=2+p，2a3=2+2p，∵S3=12，∴2+2+p+2+2p=6+3p=24，∴p=6，∴a n+1﹣a n=3，∴数列{a n}是以1为首项，3为公差的等差数列，∴S n=n+=；（Ⅱ）若数列{a n}是等比数列，则a22=a1a3，∴（1+）2=1×（1+p），∴p=0，∴a n+1=a n，此时，数列{a n}是以1为首项，1为公比的等比数列；（Ⅲ）p=0时，a n=1，数列{}是等差数列，满足题意；p≠0时，a n+1﹣a n=，∴数列{a n}是以1为首项，为公差的等差数列，∴a n=n+1﹣．假设存在p0≠0，满足题意，数列记为{b n}．①p0＞0，a n＞0，数列{b n}是各项均为正数的递减数列，∴d＜0．∵b n=b1+（n﹣1）d，∴n＜1﹣时，b n=b1+（n﹣1）d＜b1+（1﹣﹣1）d=0，与b n＞0矛盾；②p0＞0，令＜0，∴n＞1﹣，a n＜0，数列{b n}是各项均为负数的递增数列，∴d＞0．∵b n=b1+（n﹣1）d，∴n＞1﹣时，b n=b1+（n﹣1）d＞b1+（1﹣﹣1）d=0，与b n＜0矛盾，综上所述，p=0是唯一满足条件的p的值．点评：本题考查数列的通项与求和，考查反证法，考查学生分析解决问题的能力，有难度．。

海淀区高三年级第一学期期末练习参考答案 2018.1数 学（理科）阅卷须知:1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数.2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分.(有两空的小题第一空3分) （9 （10）5050 （11）2 （12）6 （13 （14）① (1,1)- ② 1[2,]5-三、解答题: 本大题共6小题，共80分.15. （本小题13分）解：（Ⅰ）如图所示，366DBC ADB C πππ∠=∠-∠=-=，…………………….1分故DBC C ∠=∠，DB DC = ……………………….2分设DC x =，则DB x =，3DA x =. 在ADB ∆中，由余弦定理 2222cos AB DA DB DA DB ADB =+-⋅⋅∠ ……………………….3分即22217(3)2372x x x x x =+-⋅⋅⋅=， ……………………….4分 解得1x =，即1DC =. ……………………….5分（Ⅱ）方法一. 在ADB ∆中，由AD AB >，得60ABD ADB ∠>∠=︒，故362A B C A B D D B C πππ∠=∠+∠>+= ……………………….6分在ABC ∆中，由正弦定理sin sin AC AB ABC ACB=∠∠ ……………………….7分 A即4sin 2ABC =∠，故sin ABC ∠=， ……………………….9分 由(,)2ABC ππ∠∈，得cos ABC ∠=， ……………………….11分tan ABC ∠== ………………………13分 方法二. 在ADB ∆中，由余弦定理222cos 2AB BD AD ABD AB BD +-∠===⋅ ……………………….7分由(0,)ABD π∠∈，故sin ABD ∠= ……………………….9分故tan ABD ∠=- ……………………….11分故tan tan 6tan tan()61tan tan 6ABD ABC ABD ABD πππ-∠+∠=∠+==-∠⋅………………………13分 16. （本小题13分） （Ⅰ）从品牌A 的12次测试中，测试结果打开速度小于7的文件有：测试1、2、5、6、9、10、11，共7次设该测试结果打开速度小于7为事件A ，因此7()12P A = ……………………….3分 （Ⅱ）12次测试中，品牌A 的测试结果大于品牌B 的测试结果的次数有：测试1、3、4、5、7、8，共6次随机变量X 所有可能的取值为：0，1，2，330663121(0)11C C P X C === 21663129(1)22C C P X C === 12663129(2)22C C P X C ===03663121(3)11C C P X C === ……………………….7分 随机变量的分布列为……………………….8分19913()0123112222112E X =⨯+⨯+⨯+⨯= ……………………….10分（Ⅲ）本题为开放问题，答案不唯一，在此给出评价标准，并给出可能出现的答案情况，阅卷时按照标准酌情给分.给出明确结论，1分；结合已有数据，能够运用以下8个标准中的任何一个陈述得出该结论的理由，2分.…………………13分.标准1: 会用前6次测试品牌A 、品牌B 的测试结果的平均值与后6次测试品牌A 、品牌B 的测试结果的平均值进行阐述（这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件的测试结果的平均值均小于打开含有文字和图片的文件的测试结果平均值；这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件的平均速度均快于打开含有文字和图片的文件的平均速度）标准2: 会用前6次测试品牌A 、品牌B 的测试结果的方差与后6次测试品牌A 、品牌B 的测试结果的方差进行阐述（这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件的测试结果的方差均小于打开含有文字和图片的文件的测试结果的方差；这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件速度的波动均小于打开含有文字和图片的文件速度的波动）标准3：会用品牌A 前6次测试结果的平均值、后6次测试结果的平均值与品牌B 前6次测试结果的平均值、后6次测试结果的平均值进行阐述（品牌A 前6次测试结果的平均值大于品牌B 前6次测试结果的平均值，品牌A 后6次测试结果的平均值小于品牌B 后6次测试结果的平均值，品牌A 打开含有文字和表格的文件的速度慢于品牌B ，品牌A 打开含有文字和图形的文件的速度快于品牌B ）标准4：会用品牌A 前6次测试结果的方差、后6次测试结果的方差与品牌B 前6次测试结果的方差、后6次测试结果的方差进行阐述（品牌A 前6次测试结果的方差大于品牌B 前6次测试结果的方差，品牌A 后6次测试结果的方差小于品牌B 后6次测试结果的方差，品牌A 打开含有文字和表格的文件的速度波动大于品牌B ，品牌A 打开含有文字和图形的文件的速度波动小于品牌B ）标准5：会用品牌A 这12次测试结果的平均值与品牌B 这12次测试结果的平均值进行阐述（品牌A 这12次测试结果的平均值小于品牌B 这12次测试结果的平均值，品牌A 打开文件的平均速度快于B ）标准6：会用品牌A 这12次测试结果的方差与品牌B 这12次测试结果的方差进行阐述（品牌A 这12次测试结果的方差小于品牌B 这12次测试结果的方差，品牌A 打开文件速度的波动小于B）标准7：会用前6次测试中，品牌A测试结果大于（小于）品牌B测试结果的次数、后6次测试中，品牌A测试结果大于（小于）品牌B测试结果的次数进行阐述（前6次测试结果中，品牌A小于品牌B的有2次，占1/3. 后6次测试中，品牌A小于品牌B的有4次，占2/3. 故品牌A打开含有文字和表格的文件的速度慢于B，品牌A打开含有文字和图片的文件的速度快于B）标准8：会用这12次测试中，品牌A测试结果大于（小于）品牌B测试结果的次数进行阐述（这12次测试结果中，品牌A小于品牌B的有6次，占1/2. 故品牌A和品牌B 打开文件的速度相当）17. （本小题14分）（Ⅰ）证明：因为1BE A E ⊥，BE DE ⊥，1A E DE E =，1A E ，DE ⊂平面1A DE ……………..1分 所以BE ⊥平面1A DE ……………..2分 因为BE ⊂平面BCDE ，所以平面1A DE ⊥平面BCDE ……………..3分（Ⅱ） 解：在平面1A DE 内作EF ED ⊥，由BE ⊥平面1A DE ，建系如图. ……………..4分则11(0,,22A ，(1,0,0)B ，(1,1,0)C ，(0,1,0)D ，(0,0,0)E . 11(1,,)22A B =--11(0,,2A D =，(1,0,0)DC =， ……………..7分 设平面1ACD 的法向量为(,,)n x y z =，则 100n A D n D C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即1020y z x ⎧=⎪⎨⎪=⎩，令1z =得，y = 所以(0,3,1)n =是平面1ACD 的一个方向量. ……………..9分111cos ,||||A B n A B n A B n ⋅<>==-=⋅ ……………..10分 所以1A B 与平面1ACD 所成角的正弦值为4……………..11分 （Ⅲ）解：三棱锥1M ACD -和三棱锥1N ACD -的体积相等.……………..12分 理由如: 方法一：由1(0,4M ，1(1,,0)2N ，知1(1,,4MN =，则0MN n ⋅= 因为MN ⊂平面1ACD ，所以//MN 平面1ACD .……………..13分 x y故点M 、N 到平面1ACD 的距离相等，有三棱锥1M ACD -和1N ACD -同底等高，所以体积相等. ……………..14分方法二：如图，取DE 中点P ，连接MP ，NP ，MN .因为在1A DE ∆中，M ，P 分别是1A E ，DE 的中点，所以1//MP A D因为在正方形BCDE 中，N ，P 分别是BC ，DE 的中点，所以//NP CD 因为MP NP P =，MP ，NP ⊂平面MNP ，1A D ，CD ⊂平面1ACD 所以平面MNP //平面1ACD 因为MN ⊂平面MNP ，所以//MN 平面1ACD ……………..13分 故点M 、N 到平面1ACD 的距离相等，有三棱锥1M ACD -和1N ACD -同底等高，所以体积相等. ……………..14分DD法二 法三方法三：如图，取1A D 中点Q ，连接MN ，MQ ，CQ .因为在1A DE ∆中，M ，Q 分别是1A E ，1A D 的中点，所以//MQ ED 且12MQ ED = 因为在正方形BCDE 中，N 是BC 的中点，所以//NC ED 且12NC ED = 所以//MQ NC 且MQ NC =，故四边形MNCQ 是平行四边形，故//MN CQ 因为CQ ⊂平面1ACD ，MN ⊂平面1ACD ，所以//MN 平面1ACD . ……………..13分 故点M 、N 到平面1ACD 的距离相等，有三棱锥1M ACD -和1N ACD -同底等高，所以体积相等. ……………..14分解：（Ⅰ）C ：221992x y +=，故29a =，292b =，292c =， 有3a =，b c == ……………..3分 椭圆C的短轴长为2b =2c e a ==. ……………..5分 （Ⅱ）结论是：||||TP TM <. ……………..6分设直线l ：1x my =+，11(,)M x y ，22(,)N x y22291x y x my ⎧+=⎨=+⎩，整理得：22(2)280m y my ++-= ……………..8分 222(2)32(2)3664m m m ∆=++=+> 故12222m y y m +=-+，12282y y m =-+ ……………..10分 PM PN ⋅1212(2)(2)x x y y =--+ ……………..11分1212(1)(1)my my y y =--+21212(1)()1m y y m y y =+-++22282(1)()122m m m m m =-+⋅-⋅-+++ 22562m m +=-+0< ……………..12分故90MPN ∠>︒，即点P 在以MN 为直径的圆内，故||||TP TM < ……………..13分（Ⅰ）因为函数2()222x f x ax x =---e所以'()222x f x ax =--e ……………..2分故(0)0f =，'(0)0f = ……………..4分曲线()y f x =在0x =处的切线方程为0y = ……………..5分（Ⅱ）当0a ≤时，令()'()222x g x f x ax ==--e ，则'()220x g x a =->e……………..6分故()g x 是R 上的增函数. ……………..7分由(0)0g =，故当0x <时，()0g x <，当0x >时，()0g x >.即当0x <时，'()0f x <，当0x >时，'()0f x >.故()f x 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增. ……………..9分函数()f x 的最小值为(0)f …………….10分由(0)0f =，故()f x 有且仅有一个零点. …………….12分（Ⅲ）当1a =时，()f x 有一个零点；当0a >且1a ≠时，()f x 有两个零点.……………..14分20. （本小题13分）解：（Ⅰ）2，1，1，2，2，3，1 ……………..3分 （Ⅱ）假设存在正整数M ，使得对任意的*k ∈N ，k a M ≤. 由题意，{1,2,3,...,}k a M ∈ 考虑数列{}n a 的前21M +项：1a ，2a ，3a ，…，21M a + 其中至少有1M +项的取值相同，不妨设121M i i i a a a +==⋅⋅⋅=此时有：111M i a M M ++=+>，矛盾.故对于任意的正整数M ，必存在*k ∈N ，使得k a M >. ………….. 8分（Ⅲ）充分性：当11a =时，数列{}n a 为1，1，2，1， 3，1，4，…，1，1k -，1，k ，… 特别地，21k a k -=，21k a =故对任意的*n ∈N（1）若n 为偶数，则21n n a a +==（2）若n 为奇数，则23122n n n n a a +++=>= 综上，2n n a a +≥恒成立，特别地，取1m =有当n m ≥时，恒有2n n a a +≥成立 ………….11分必要性：方法一:假设存在1a k =（1k >），使得“存在m N *∈，当n m ≥时，恒有2n n a a +≥成立”则数列{}n a 的前21k +项为k ，1， 1，2，1， 3，1，4，…，1，1k -， 1，k2，2，3，2，4， …，2，1k -，2，k3，3，4，…，3，1k -，3，k⋅⋅⋅2k -，2k -，1k -，2k -，k1k -，1k -，kk后面的项顺次为1k +，1，1k +，2，…，1k +，k2k +，1，2k +，2，…，2k +，k3k +，1，3k +，2，…，3k +，k…… 对任意的m ，总存在n m ≥，使得n a k =，21n a +=，这与2n n a a +≤矛盾，故若存在m N *∈，当n m ≥时，恒有2n n a a +≥成立，必有11a =………….. 13分 方法二： 若存在m N *∈，当n m ≥时，2n n a a +≥恒成立，记{}12max ,,,m a a a s =. 由第（2）问的结论可知：存在k N *∈，使得k a s >（由s 的定义知1k m ≥+） 不妨设k a 是数列{}n a 中第一个．．．大于等于1s +的项，即121,,,k a a a -均小于等于s .则11k a +=.因为1k m -≥，所以11k k a a +-≥，即11k a -≥且1k a -为正整数，所以11k a -=. 记1k a t s =≥+，由数列{}n a 的定义可知，在121,,,k a a a -中恰有t 项等于1. 假设11a ≠，则可设121t i i i a a a ====，其中1211t i i i k <<<<=-， 考虑这t 个1的前一项，即12111,,,t i i i a a a ---， 因为它们均为不超过s 的正整数，且1t s ≥+，所以12111,,,t i i i a a a ---中一定存在两项相等，将其记为a ，则数列{}n a 中相邻两项恰好为（a ，1）的情况至少出现2次，但根据数列{}n a 的定义可知：第二个a 的后一项应该至少为2，不能为1，所以矛盾！ 故假设11a ≠不成立，所以11a =，即必要性得证！ ………….. 13分 综上，“11a =”是“存在m N *∈，当n m ≥时，恒有2n n a a +≥成立”的充要条件.。