1995年全国初中数学联赛试题

1995年全国初中数学联赛试题第一试一、选择题1．已知a＝355,b＝444,c＝533,则有［]A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜bA．1B．2 C．3 D．43．如果方程(x－1)(x2－2x－m)＝0的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数m的取值范围是4．如果边长顺次为25、39、52与60的四边形内接于一圆，那么此圆的周长为［]A．62πB．63πC．64πD．65π5．设AB是⊙O的一条弦，CD是⊙O的直径，且与弦AB相交，记M＝｜S△CAB－S△DAB｜，N＝2S△OAB，则[ ]A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．M、N的大小关系不确定6．设实数a、b满足不等式｜｜a｜－(a＋b)｜＜｜a－|a＋b｜｜，则[ ]A．a＞0且b＞0B．a＜0且b＞0C．a＞0且b＜0D．a＜0且b＜0二、填空题1．在12，22，32…，952这95个数中，十位数字为奇数的数共有____个。

4．以线段AB为直径作一个半圆，圆心为O，C是半圆周上的点，且OC2＝AC·BC，则∠CAB＝______．第二试一、已知∠ACE＝∠CDE＝90°，点B在CE上，CA＝CB＝CD，经A、C、D三点的圆交AB于F（如图）求证F为△CDE的内心。

二、在坐标平面上，纵坐标与横坐标都是整数的点对称为整点，试在二次函数的图象上找出满足y≤|x|的所有整点（x，y），并说明理由。

三、试证：每个大于6的自然数n，都可以表示为两个大于1且互质的自然数之和。

1995年全国初中数学联赛参考答案及详解第一试一、选择题1．讲解：这类指数幂的比较大小问题，通常是化为同底然后比较指数，或化为同指数然后比较底数，本题是化为同指数，有c＝(53)11＝12511＜24311＝(35)11＝a＜25611＝(44)11＝b。

选C。

利用lg2＝0.3010，lg3＝0.4771计算lga、lgb、lgc也可以，但没有优越性。

1995年全国初中数学联合竞赛(民族卷)
刘玉翘
【期刊名称】《中等数学》
【年(卷),期】1995(000)004
【摘要】第一试一、选择题(共42分) 1.已知梯形的两对角线长分别为m与n,两对角线的夹角为60°,则该梯形的面积为( )。

【总页数】2页(P22-23)
【作者】刘玉翘
【作者单位】天津
【正文语种】中文
【中图分类】G634.605
【相关文献】
1.1995年全国初中数学联合竞赛试卷及解答 [J],
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1995年全国初中数学联赛试题第一试一、选择题本题共有6个小题，每一个小题都给出了以（A ）、（B ）、（C ）、（D ）为代号的四个答案， 其中只有一个答案是正确的，请将正确的答案用代号填在各小题的括号内。

1．已知553=a ，444=b ，335=c 则有（ ）（A ）c b a << ；（B ） a b c << ； （C ）b a c <<； （D ）b c a << 2．方程组⎩⎨⎧=+=+2363yz xz yz xy 的正整数解的组数是（ ） （A ）1； （B ）2； （C ）3； （D ）4 3．如果方程0)2)(1(2=+--m x x x 的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数m 的取值范围是（ ）（A ）10≤≤m ； （B ）43≥m ； （C ）143≤<m ； （D ）143≤≤m 4．如果边长顺次为25，39，52和60的四边形内接于一圆，那么此圆的周长为（ ）（A ）62π （B ）63π （C ）64π （D ）65π5．AB 是圆O 的一条弦，CD 是圆O 的直径，且与弦AB 相交，记OAB DAB CAB S N S S M ∆∆∆=-=2.||，则（ ）（A ）N M >； （B ）M=N ； （C ）N M < （D ）M ，N 的大小关系不确定6．设实数a ，b 满足不等式|||||)(|||b a a b a a +-<+-（ ）（A ）0>a 且0>b （B ）0<a 且0>b（C ）0>a 且0<b （D ）0<a 且0<b二、填空题1． 在12，22，33，…，952 这95个数中，十位数字为奇数的数共有________个。

2． 已知α是方程0412=-+x x 的根，则234521ααααα--+-的值等于________。

历年(95-10)年全国数学竞赛(联赛)分类题型详解 - 几何(1)选择题(30道题)1. 若是边长按序为25、39、52与60的四边形内接于一圆，那么此圆的周长为［ ]A．62πB．63π C．64πD．65π1995年全国初中数学联赛试题答案: D详解：四个选择支说明，圆的周长存在且唯一，从而直径也存在且唯一．又由AB2＋AD2 ＝252＋602 ＝52×（52＋122）＝52×132＝(32＋42)×132 ＝392＋522 ＝BC2＋CD2故可取BD＝65为直径，得周长为65π，选D．2. 设AB是⊙O的一条弦，CD是⊙O的直径，且与弦AB相交，记M＝｜S△CAB－S△DAB｜，N＝2S△OAB，那么[ ]A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．M、N的大小关系不确信1995年全国初中数学联赛试题答案: B详解1: 不失一样性，设CE≥ED，在CE上取CF＝ED，那么有OF＝OE，且S△ACE－S△ADE＝S△AEF＝2S△AOE．同理，S△BCE－S△BDE＝2S△BOE．相加，得S△ABC－S△DAB＝2S△OAB，即M＝N．选B．详解2: 假设过C、D、O别离作AB的垂线（图3），CE⊥AB、DF⊥AB、OL⊥AB，垂足别离为E、F、L．连CF、DE，可得梯形CEDF．又由垂径分弦定理，知L是EF的中点．依照讲义上做过的一道作业：梯形对角线中点的连线平行底边，而且等于两底差的一半，有｜CE－DF｜＝2OL．即M＝N．选B．3．如图，A是半径为1的圆O外的一点，OA=2，AB是圆O的切线，B是切点，弦BC∥OA，连结AC，那么阴影部份的面积等于[ ]1996年全国初中数学联赛试题答案: B4．若是一个三角形的面积和周长都被一直线所平分，那么该直线必通过那个三角形的[ ]A．内心B．外心C．重心D．垂心1996年全国初中数学联赛试题答案: A5．若是20个点将某圆周20等分，那么极点只能在这20个点当选取的正多边形的个数有[ ]A．4个B．8个 C．12个 D．24个1996年全国初中数学联赛试题答案: C6. 在△ABC中，已知BD和CE别离是两边上的中线，而且BD⊥CE，BD=4，CE=6，那么△ABC的面积等于（）（Ａ）12（Ｂ）14（Ｃ）16（Ｄ）181998年全国数学联赛试卷答案: C详解: 连ED，那么又因为DE是△ABC两边中点连线，因此应选C．7．一个凸n边形的内角和小于1999°，那么n的最大值是（）．A．11 B．12 C．13 D．141999年全国初中数学竞赛答案: C8．在三角形ABC中，D是边BC上的一点，已知AC=5，AD=6，BD=10，CD=5，那么三角形ABC的面积是（）．A．30 B．36 C．72 D．1251999年全国初中数学竞赛答案: B9．在正五边形ABCDE 所在的平面内能找到点P ，使得△PCD 与△BCD 的面积相等，而且△ABP 为等腰三角形，如此的不同的点P 的个数为（ ）．A ．2B ．3C ．4D ．51999年全国初中数学竞赛答案: D10. 设a ，b ，c 别离是△ABC 的三边的长，且cb a b a b a +++=，那么它的内角∠A、∠B 的关系是（ ）。

1995年全国初中数学联赛试题第一试一、选择题1．已知a ＝355，b ＝444，c ＝533，则有［ ］ A ．a ＜b ＜c B ．c ＜b ＜a C ．c ＜a ＜b D ．a ＜c ＜b2． 方程组6323xy yz xz yz +=⎧⎨-=⎩的正整数解的组数是［ ］A ．1B ．2C ．3D ．43．如果方程(x －1)(x 2－2x －m )＝0的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数m 的取值范围是［ ］A ．0≤m ≤1B ．m ≥34C ． 34＜m ≤1D ． 34≤m ≤14．如果边长顺次为25、39、52与60的四边形内接于一圆，那么此圆的周长为［ ］A ．62πB ．63πC ．64πD ．65π5．设AB 是⊙O 的一条弦，CD 是⊙O 的直径，且与弦AB 相交，记M ＝｜S △ABC －S △ABD ｜，N ＝2 S △OAB ，则［ ］A ．M ＞NB ．M ＝NC ．M ＜ND ．M 、N 的大小关系不确定GABCDEF6．设实数a 、b 满足不等式｜｜a ｜－(a ＋b )｜＜｜a －|a ＋b ｜｜，则［ ］ A ．a ＞0且b ＞0 B ．a ＜0且b ＞0 C ．a ＞0且b ＜0 D ．a ＜0且b ＜0二、填空题1．在12，22，32……，952这95个数中，十位数字为奇数的数共有______个。

2．已知a 是方程2104x x +-=的根，则354321a a a a a -+--的值等于______．3． 设x 为正实数，则函数21y x x x=-+的最小值是______．4．以线段AB 为直径作一个半圆，圆心为O ，C 是半圆周上的点，且OC 2＝AC ·BC ，则∠CAB ＝______．第二试一、已知∠ACE ＝∠CDE ＝90°，点B 在CE 上，CA ＝CB ＝CD ，经过A 、C 、D 三点的圆交AB 于F （如图）交CB 于G求证：F 为△CDE 的内心二、在坐标平面上，纵坐标与横坐标都是整数的点为整点，试在二次函数2510109x xy=-+的图像上找出满足y≤|x|的所有整点（x，y），并说明理由。

1995第十二届全国九年级义务教育初中中考数学联赛第一试一、选择题1.已知553a =,444b =,335c =,则有( ) A.a b c << B.c b a << C.c a b <<D.a c b <<2.方程组6323xy yz xz yz +=⎧⎨+=⎩的正整数解的组数是( )A.1B.2C.3D.43.如果方程2(1)(2)0x x x m ---=的三根可以作为一个三角形的三边之长,那么实数m 的取值范围是( )A.01m ≤≤B.34m ≥ C.314m <≤ D.314m ≤≤4.如果边长顺次为25,39,52与60的四边形内接于一圆,那么此圆的周长为( ) A.62π B.63π C.64π D.65π5.设AB 是O e 的一条弦,CD 是O e 的直径,且与弦AB 相交,记||CAB DAB M S S =-△△,2OAB N S =△,则( )A.M N >B.M N =C.M N <D.M ,N 的大小关系不确定6.设实数a ,b 满足不等式|||()|||||a a b a a b -+<-+,则( ) A.0a >且0b > B.0a <且0b > C.0a >且0b < D.0a <且0b <二、填空题1.在21,22,23,…,295这95个数中,十位数字为奇数的数共有_______个.2.已知a 是方程2104x x +-=的根,则354321a a a a a -+--的值等于_______. 3.设x 为正实数,则函数21y x x x=-+的最小值是_________.4.以线段AB 为直径作一个半圆,圆心为O ,C 是半圆周上的点,且2OC AC BC =⋅,则CAB ∠=________.第二试一、已知90ACE CDE ∠=∠=︒,点B 在CE 上,CA CB CD ==,经A ,C ,D 三点的圆交AB 于F (如图1),求证F 为CDF △的内心.二、在坐标平面上,纵坐标与横坐标都是整数的点称为整点,试在二次函数2910105x x y =-+的图像上找出满足||y x ≤的所有整点()x y ，,并说明理由. 三、试证:每个大于6的自然数n ,都可以表示为两个大于1且互质的自然数之和.1995第十二届全国九年级义务教育初中中考数学联赛GFED B CA解答第一试一、选择题1.C【解析】 很明显a b c ，，的具体值我们是无法算出来的,但是它们的指数有共同的因子11,当我们提取它们的共同因子后就很容易进行比较大小了:()113115125c ==()111152433a <==()111142564b <==.故选C.【点评】 这类指数幂的比较大小问题,通常是化为同底然后比较指数,或化为同指然后比较底数,本题是化为同指数.2.B【解析】 这类方程是熟知的,先由第二个方程确定1z =,进而可求出两个解:()()22112031，，，，，.也可以不解方程组26323xy y x y⎧+=⎨+=⎩，① 直接判断:因为x y ≠(否则不是正整数),故方程组①或无解或有两个解,对照选择支,故选B.【点评】 这是一个典型的求不定方程的整数解问题,观察到23是质数可以得出z 值,x y ，得解也就不难得出.3.B 【解析】 显然,方程的一个根为1,另两根之和为1221x x +=>.三根能作为一个三角形的三边,当且仅当121x x -<又121x x -=<,有0441m -<≤. 解得314m <≤. 但作为选择题,只须取34m =代入,得方程的根为31122，，,不能组成三角形,故包括34的A,B,D 均可否定,选C.【点评】 利用已知条件求一元二次方程的系数范围在联赛中经常出现,这种问题要考虑得全面,尤其是不要忘了考虑判别式非负.4.D 【解析】 四个选择表明,圆的周长存在且唯一,从而直径也存在且唯一.又由 22AB AD +222560=+()2225512=++22513=+()2223413=+⨯223952=+图 1ACBD22BC CD +.故可取65BD =为直径,得同长为65π,选D.【点评】 这道题的方法比较明显从给出的四边形的边长可推出BD 为直径,具体的证明要利用余弦定理.5.B【解析】 此题的得分率最高,但并不表明此题最容易,因为有些考生的理由是错误的.比如有的考生取AB 为直径,则0M N ==,于是就选B 其实,这只能排除A,C 不能排除D.不失一般性,设CE ED ≥,在CE 上取CF ED =,则有OF OE =,且2ACE ADE AEF AOE S S S S -==△△△△.同理,2BCE BDE BQE S S S -=△△△.相加,得2ABC DAB OAB S S S -=△△△,即M N =.选B. 若过C D O ，，分别作AB 的垂线(图2),CE AB DF AB OL AB ⊥，⊥，⊥,垂足分别为E F L ，，.连CF DE ，，可得梯形CEDF .又由垂径分弦定理,知L 是EF 的中点.根据课本上做过的一道作业:梯形对角线中的连线平行底边,并且等于两底差的一半,有2CE DF OL -=.两边乘以12AB ,可得2ABC DAB DAB S S S -=△△△,即M N =.选B. 【点评】 这是一道很容易猜出结果的题目,但是严格的推导并不容易,本题可以作为大题进行练习.6.B【解析】 取12a b =-=，可否定A,C,D,选B 一般地,对已知不等式平方,有()a a b a a b +>+.显然()0a a b +>(若等于0,则与上式矛盾),有a b aa b a+>+. 两边都只能取1或1-,故只有11>-,即有0a <且0a b +>,从而0b a >->.选B.【点评】 这种绝对值的题目直接解比较繁琐,利用排除法是比较可行的方法.二、填空题1.19【解析】 本题虽然以计算为载体,但首先要有试验观察的能力.经计算2221210L ，，，,知十位数字为奇数的只有22416636==，.然后,对两位数10a b +,有()()2210205a b a a b b +=++.其十位数字为2b 的十位数字加上一个偶数,故两位数的平方中,只有4b =或6时,其十位数字才会为奇数,问题转化为,在1,2,…,95中个位数出现了几次4或6,有29119⨯+=.【点评】 这道题一上来不容易发现突破口,可以先看看前十个个数,发现了一定规律再进行分析比较容易得到结果.2.20【解析】 这类问题一般都先化简后代值,直接把a 代入将导致复杂的计算.由已知,有214a a +=, ①原式()()()()2221111a a a a a a -++=-+()()222211142014a a a a +++===⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 图 2OL FED C BA同学们在这道题上的错误主要是化简的方向不明确,最后又不会将2a a +作为整体代入.这里关键是整体代入,抓住这一点,计算可以灵活.由①有3214a a a +=， ②54314a a a += ③由②-①,得()3114a a a -=- ④由③-②并将④代入,得()()54323111416a a a a a a a +--=-=-. ⑤于是,原式()()32111611612014116a a a a -⎛⎫==++=+= ⎪⎝⎭-. 3.1【解析】 这个题目是将二次函数2y x x =-与反比例函数1y x=作叠加,前面已经说过要求极值一般情况下是要配方的,这里出现了1x ,可以联想到公式212x x +-=,这样我们进行两次配方可得:()()22211111y x x x x =-++-=-++. 因而1x =时,y 有最小值1.【点评】 这个题目是将二次函数2y x x =-与反比例函数1y x=作叠加,要求大家在掌握二次函数求最值的基础上,综合灵活的运用.4.15︒【解析】 由21122ABC S AC BC OC =⋅=△, 2122sin 2ABC AOC S S OC AOC ==⋅∠△△,得1sin 2AOC ∠=.当30AOC ∠=︒时,()118030752CAB ∠=︒-︒=︒；当150AOC ∠=︒时,()1180150152CAB ∠=︒-︒=︒.【点评】 面积法是平面几何题中很常用的方法,本题用面积法就很简单.第二试一、 【解析】 首先指出,本题有IM0295-(1989年)的背景,该题是:在直角ABC △中,斜边BC 上的高,过ABD △的内心与ACD △的内心的直线分别交边AB 和AC 于K 和L ,ABC △和AKL △的面积分别记为S 和T .求证2S T ≥.G 图 3ACB D EF图 4LK DC B A在这个题目的证明中,要用到AK AL AD ==.2004年的初中联赛题相当于反过来,先给出AK AL AD ==(斜边上的高),再求证KL 通过ABD ADC ，△△的内心(图4). 证法1:如图5,连DF ,则由已知,有1452CDF CAB CDE ∠=∠=︒=∠,故DF 为CDE ∠的平分线.连BD CF ，，由CD CB =,知145452FBD CBD CDB FDB ∠=∠-︒=∠-︒=∠,得FB FD =,即F 到B D ，和距离相等,F 在线段BD 的垂直平分线上,从而也在等腰三角形CBD 的顶角平分线上,CF 是ECD∠的平分线.由于F 是CDE △上两条角平分线的交点,因而就是CDE △的内心.证法2:同证法1,得出459045CDF FDE ∠=︒=︒-︒=∠之后,由于ABC FDE ∠=∠,故有B E D F ，，，四点共圆.连EF ,在证得FBD FDB ∠=∠之后, 立即有FED FBD FDB FEB ∠=∠=∠=∠,即EF 是CED ∠的平分线.本来,点E 的信息很少,证EF 为角平分线应该是比较难的,但四点共圆把许多已知信息集中并转移到E 上来了,因而证法2并不比证法1复杂.由以上证明可知,F 是DCB △的外心.1452CDF CAB CDE ∠=∠=︒=∠,知DF 是CDE ∠的平分线,故F 为CDE △的内心.证法3:如图6,只证CF 为DCE ∠的平分线.由1451AGC ADC CAD CAB ∠=∠=∠=∠+∠=︒+∠, 得12∠=∠.从而DCF GCF ∠=∠,得CF 为DCE ∠的平分线.证法4:首先DF 是CDE ∠的平分线,故CDE △的外心I 在直线DF 上. 现以CA 为y 轴、CB 为x 轴建立坐标系,并记CA CB CD d ===,则直线AB 是一次函数 y x d =-+ ①的图像(图7).若记内心I 的坐标为11()x y ，,则11x y CH IH CH HB CB d +=+=+==满足①,即I 在直线AB 上,但I 在DF 上,故I 是AB 与DF 的交点.由交点的惟一性知I 就是F ,从而证得F 为Rt CDE △的内心.不可延长ED 交O ⊙于P ,利用CP 为直径来证.【点评】 本题的证法很多,但思路主要有两个:其一,连FC FD FE ，，,然后证其中两个为相应的角平分线；其二是过F 作三边的垂线,然后证明其中两条垂线段相等.二、【解析】 解法1:已知即21810x x x -+≤,有21810x x x -+≤.当0x ≥时,有211180x x -+≤,得29x ≤≤,代入二次函数,得合乎条件的4个整点:()()()()22437699，，，，，，，；当0x <时,有29180x x ++≤,得63x --≤≤,代入二次函数,得合乎条件的2个整点:()()6633--，，，.F EDB C A 图 5G G 图 6A CB D EF 图 7解法2:由()11810x x y -+=为整数,知x 关于模10的余数只能为2(或8-)、7(或3-)、9(或1-).对0x ≥,取24791214x =L ，，，，，，顺次代入,得()()()()22437699，，，，，，，,且当9x >时,由2211149111499010141024y x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-->--=⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦,知y x >-,再无满足y x ≤的解.对0x <,取1x =-,368---L ，，，顺次代入,得()33-，,()66-，,且当6x <-时,由21991024y x x ⎡⎤⎛⎫+=+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦2199601044⎡⎤⎛⎫>-+-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦,知y x >-,再无满足y x ≤的解.故一共有6个整点,图示略.解法3:先找满足条件y x =的整点()x y ，,即分别解方程 211180x x -+=, ① 29180x x ++=, ②可得()()()()22996633--，，，，，，，.再找满足y x <的整点()x y ，,这时29x <<或63x -<<-, 依次检验得()()4376，，，.故共有6个整点.【点评】 这道题的思路比较明显,就是分情况讨论,求出这个绝对值不等式的解集,再求出整点即可.三、【解析】 直观上可以这样看,当6n >时,在2,3,…,2n -中,必有一个数A 与n 互质()22A n -≤≤,记2B n A =-≥,有n A B =+.此时,A 与B 必互质,否则A 与B 有公约数1d >,根据n A B =+则d 也是n 的约数,从而A 与n 有大于1的公约数,与A n ，互质矛盾.但是,对于初中生来说,这个A 的存在性有点抽象,下面分情况,把它具体打出来.⑴ 当n 为奇数时,有()22n n =+-,或4122n n n -+=+. ⑵ 当n 为偶数,但不是4的倍数时,有1422n n n -+=+. 由6n >知412n ->,且42n -,42n -均为奇数,44441222n n n -+-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，.⑶ 当n 为偶数,且又是4的倍数时,有2222n n n -+=+, 由6n >知212n ->,且222n n n -+，均为奇数,22221222n n n -+-⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，，. 【点评】 本题用到了构造法,这是这种问题最常用的证明方法,在二试的题目中很容易出现.。

1995年全国初中数学联赛参考答案及详解第一试一、选择题1．讲解：这类指数幂的比较大小问题，通常是化为同底然后比较指数，或化为同指数然后比较底数，本题是化为同指数，有c＝(53)11＝12511＜24311＝(35)11＝a＜25611＝(44)11＝b。

选C。

利用lg2＝0.3010，lg3＝0.4771计算lga、lgb、lgc也可以，但没有优越性。

2．讲解：这类方程是熟知的。

先由第二个方程确定z＝1,进而可求出两个解：(2，21，1)、(20，3，1)．也可以不解方程组直接判断：因为x≠y(否则不是正整数)，故方程组①或无解或有两个解，对照选择支，选B。

3．讲解：显然，方程的一个根为1，另两根之和为x1＋x2＝2＞1。

三根能作为一个三角形的三边，须且只须｜x1－x2｜＜1又有0≤4－4m＜1．4．讲解：四个选择支表明，圆的周长存在且唯一，从而直径也存在且唯一．又由AB2＋AD2＝252＋602＝52×（52＋122）＝52×132＝(32＋42)×132＝392＋522＝BC2＋CD2故可取BD＝65为直径，得周长为65π，选D．5．讲解：此题的得分率最高，但并不表明此题最容易，因为有些考生的理由是错误的．比如有的考生取AB为直径，则M＝N＝0，于是就选B．其实，这只能排除A、C，不能排除D．不失一般性，设CE≥ED，在CE上取CF＝ED，则有OF＝OE，且S△ACE －S△ADE＝S△AEF＝2S△AOE．同理，S△BCE－S△BDE＝2S△BOE．相加，得S△ABC －S△DAB＝2S△OAB，即M＝N．选B．若过C、D、O分别作AB的垂线（图3），CE⊥AB、DF⊥AB、OL⊥AB，垂足分别为E、F、L．连CF、DE，可得梯形CEDF．又由垂径分弦定理，知L是EF的中点．根据课本上做过的一道作业：梯形对角线中点的连线平行底边，并且等于两底差的一半，有｜CE－DF｜＝2OL．即M＝N．选B．6．讲解：取a＝-1、b＝2可否定A、C、D，选B．一般地，对已知不等式平方，有｜a｜(a＋b)＞a｜a＋b｜．显然｜a｜｜(a＋b)｜＞0（若等于0，则与上式矛盾），有两边都只能取1或-1，故只有1＞-1，即有a＜0且a＋b＞0，从而b＞-a＞0．选B．二、填空题1．讲解：本题虽然以计算为载体，但首先要有试验观察的能力．经计算12，22，…，102，知十位数字为奇数的只有42＝16，62＝36．然后，对两位数10a＋b，有（10a＋b）2＝20a（5a＋b)＋b2．其十位数字为b2的十位数字加上一个偶数，故两位数的平方中，也中有b＝4或6时，其十位数字才会为奇数，问题转化为，在1，2， (95)个位数出现了几次4或6，有2×9＋1＝19．2.讲解：这类问题一般都先化简后代值，直接把a学生在这道题上的错误主要是化简的方向不明确，最后又不会将a2＋a作为整体代入．这里关键是整体代入，抓住这一点，计算可以灵活．比如，由①有由②－①，得由③－②并将④代入，得还可由①得⑥÷⑤即得所求．3．讲解：这个题目是将二次函数y＝x2－x与反比例函数因而x＝1时，y有最小值1．4．讲解：此题由笔者提供，原题是求sin∠CAB，让初中生用代数、几何相结合的方法求特殊角的三角函数值sin75°、sin15°．解法如下：与AB2＝AB2＋AC2②联立，可推出而式①、③表明，AB、AC是二次方程改为求∠CAB之后，思路更宽一些．如，由第二试一、讲解：首先指出，本题有IMO29-5（1989年）的背景，该题是：在直角△ABC中，斜边BC上的高，过△ABD的内心与△ACD的内心的直线分别交边AB和AC于K和L，△ABC和△AKL的面积分别记为S和T．求证S ≥2T．在这个题目的证明中，要用到AK ＝AL＝AD．今年的初中联赛题相当于反过来，先给出AK＝AL＝AD(斜边上的高)，再求证KL通过△ABD、△ADC的内心（图7）．其次指出，本题的证法很多，但思路主要有两个：其一，连FC、FD、FE，然后证其中两个为相应的角平分线；其二是过F作三边的垂线，然后证明其中两条垂线段相等．下面是几个有代表性的证法．证法1：如图6，连DF，则由已知，有连BD、CF，由CD＝CB，知∠FBD＝∠CBD－45°＝∠CDB－45°＝∠FDB，得FB＝FD，即F到B、D和距离相等，F在线段BD的垂直平分线上，从而也在等腰三角形CBD的顶角平分线上，CF是∠ECD的平分线．由于F是△CDE上两条角平分线的交点，因而就是△CDE的内心．证法2：同证法1，得出∠CDF＝45°＝90°－45°＝∠FDE之后，由于∠ABC=∠FDE，故有B、E、D、F四点共圆．连EF，在证得∠FBD=∠FDB之后，立即有∠FED＝∠FBD＝∠FDB＝∠FEB，即EF是∠CED的平分线．本来，点E的信息很少，证EF为角平分线应该是比较难的，但四点共圆把许多已知信息集中并转移到E上来了，因而证法2并不比证法1复杂．由这个证明可知，F是△DCB的外心．证法4：如图8，只证CF为∠DCE的平分线．由∠AGC＝∠GBA＋∠GAB＝45°＋∠2，∠AGC=∠ADC=∠CAD=∠CAB+∠1=45°+∠1得∠1＝∠2．从而∠DCF＝∠GCF，得CF为∠DCE的平分线．证法5：首先DF是∠CDE的平分线，故△CDE的外心I在直线DF上．现以CA为y轴、CB为x轴建立坐标系，并记CA＝CB＝CD＝d,则直线AB是一次函数y＝-x＋d①的图象（图9）．若记内心I的坐标为（x1，y1），则x1＋y1＝CH＋IH＝CH＋HB＝CB＝d满足①，即I在直线AB上，但I在DF上，故I是AB与DF的交点．由交点的唯一性知I就是F，从而证得F为Rt△CDE的内心．还可延长ED交⊙O于P1，而CP为直径来证．二、讲解：此题的原型题目是：于第一象限内，纵坐标小于横坐标的格点．这个题目的实质是解不等式求正整数解．直接解，数字较繁．但有巧法，由及1≤y＜x，知1＋2＋...＋(x－1)＜1995＜1＋2＋ (x)但1953＝1＋2＋…＋62＜1995＜1＋2＋…＋62＋63＝2016，得x＝63，从而y＝21，所求的格点为(21，63)．经过命题组的修改之后，数据更整齐且便于直接计算．有x2－x＋18≤10｜x｜．当x≥0时，有x2－11x＋18≤0，得2≤x≤9，代入二次函数，得合乎条件的4个整点：(2,2),(4,3),(7,6),(9,9);当x＜0时，有x2＋9x＋18≤0，得-6≤x≤-3，代入二次函数，得合乎条件的2个整点：(-6,6),(-3,3)．对x≥0，取x＝2,4,7,9,12,14,…顺次代入，得(2，2)、(4，3)、(7，6)、(9，9)，且当x＞9时，由对x<0，取x＝-1,-3,-6,-8,…顺次代入，得(-3，3)、(-6，6)，且当x<-6时，由知y>-x，再无满足y≤｜x｜的解．故一共有6个整点，图示略．解法3：先找满足条件y＝｜x｜的整点，即分别解方程x2－11x＋18＝0①x2＋9x＋18＝0②可得(2，2)、(9，9)、(-6，6)、(-3，3)．再找满足y＜｜x｜的整点，这时2＜x＜9或-6＜x＜-3，依次检验得(4，3)、(7，6)．故共有6个整点．三、讲解：直观上可以这样看，当n＞6时，在2，3，…，n－2中，必有一个数A与n互质(2≤A≤n－2)，记B＝n－A≥2，有n＝A＋B．此时，A与B必互质，否则A与B有公约数d＞1，则d也是n的约数，从而A与n有大于1的公约数，与A、n互质矛盾．但是，对于初中生来说，这个A的存在性有点抽象，下面分情况，把它具体找出来．(1)当n为奇数时，有n＝2＋(n－2)，(2)当n为偶数，但不是4的倍数时，有(3)当n为偶数，且又是4的倍数时，有。

1995年全国初中数学联赛试题第一试一、选择题1．已知a＝355,b＝444,c＝533,则有［]A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜bA．1B．2 C．3 D．43．如果方程(x－1)(x2－2x－m)＝0的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数m的取值范围是4．如果边长顺次为25、39、52与60的四边形内接于一圆，那么此圆的周长为［]A．62πB．63πC．64πD．65π5．设AB是⊙O的一条弦，CD是⊙O的直径，且与弦AB相交，记M＝｜S△CAB－S△DAB｜，N＝2S△OAB，则[ ]A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．M、N的大小关系不确定6．设实数a、b满足不等式｜｜a｜－(a＋b)｜＜｜a－|a＋b｜｜，则[ ]A．a＞0且b＞0B．a＜0且b＞0二、填空题1．在12，22，32…，952这95个数中，十位数字为奇数的数共有____个。

4．以线段AB为直径作一个半圆，圆心为O，C是半圆周上的点，且OC2＝AC·BC，则∠CAB＝______．第二试一、已知∠ACE＝∠CDE＝90°，点B在CE上，CA＝CB＝CD，经A、C、D三点的圆交AB于F（如图）求证F为△CDE的内心。

二、在坐标平面上，纵坐标与横坐标都是整数理由。

三、试证：每个大于6的自然数n，都可以表示为两个大于1且互质的自然数之和。

1995年全国初中数学联赛参考答案第一试一、选择题1．讲解：这类指数幂的比较大小问题，通常是化为同底然后比较指数，或化为同指数然后比较底数，本题是化为同指数，有c＝(53)11＝12511＜24311＝(35)11＝a＜25611＝(44)11＝b。

选C。

利用lg2＝0.3010，lg3＝0.4771计算lga、lgb、lgc也可以，但没有优越性。

2．讲解：这类方程是熟知的。

先由第二个方程确定z＝1,进而可求出两个解：(2，21，1)、(20，3，1)．也可以不解方程组直接判断：因为x≠y(否则不是正整数)，故方程组①或无解或有两个解，对照选择支，选B。

历年(95-10)年全国数学竞赛(联赛)分类题型详解 - 几何(1)选择题(30道题)1. 如果边长顺次为25、39、52与60的四边形内接于一圆，那么此圆的周长为［ ]A．62πB．63π C．64πD．65π1995年全国初中数学联赛试题答案: D详解：四个选择支表明，圆的周长存在且唯一，从而直径也存在且唯一．又由AB2＋AD2 ＝252＋602 ＝52×（52＋122）＝52×132＝(32＋42)×132 ＝392＋522 ＝BC2＋CD2故可取BD＝65为直径，得周长为65π，选D．2. 设AB是⊙O的一条弦，CD是⊙O的直径，且与弦AB相交，记M＝｜S△CAB－S△DAB｜，N＝2S△OAB，则[ ]A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．M、N的大小关系不确定1995年全国初中数学联赛试题答案: B详解1: 不失一般性，设CE≥ED，在CE上取CF＝ED，则有OF＝OE，且S△ACE－S△ADE＝S△AEF＝2S△AOE．同理，S△BCE－S△BDE＝2S△BOE．相加，得S△ABC－S△DAB＝2S△OAB，即M＝N．选B．详解2: 若过C、D、O分别作AB的垂线（图3），CE⊥AB、DF⊥AB、OL⊥AB，垂足分别为E、F、L．连CF、DE，可得梯形CEDF．又由垂径分弦定理，知L是EF的中点．根据课本上做过的一道作业：梯形对角线中点的连线平行底边，并且等于两底差的一半，有｜CE－DF｜＝2OL．即M＝N．选B．3．如图，A是半径为1的圆O外的一点，OA=2，AB是圆O的切线，B是切点，弦BC∥OA，连结AC，则阴影部分的面积等于[ ]1996年全国初中数学联赛试题答案: B4．如果一个三角形的面积和周长都被一直线所平分，那么该直线必通过这个三角形的[ ]A．内心B．外心C．重心D．垂心1996年全国初中数学联赛试题答案: A5．如果20个点将某圆周20等分，那么顶点只能在这20个点中选取的正多边形的个数有[ ]A．4个B．8个 C．12个 D．24个1996年全国初中数学联赛试题答案: C6. 在△ABC中，已知BD和CE分别是两边上的中线，并且BD⊥CE，BD=4，CE=6，那么△ABC的面积等于（）（Ａ）12（Ｂ）14（Ｃ）16（Ｄ）181998年全国数学联赛试卷答案: C详解: 连ED，则又因为DE是△ABC两边中点连线，所以故选C．7．一个凸n边形的内角和小于1999°，那么n的最大值是（）．A．11 B．12 C．13 D．141999年全国初中数学竞赛答案: C8．在三角形ABC 中，D 是边BC 上的一点，已知AC=5，AD=6，BD=10，CD=5，那么三角形ABC 的面积是（ ）．A ．30B ．36C ．72D ．1251999年全国初中数学竞赛答案: B9．在正五边形ABCDE 所在的平面内能找到点P ，使得△PCD 与△BCD 的面积相等，并且△ABP 为等腰三角形，这样的不同的点P 的个数为（ ）．A ．2B ．3C ．4D ．51999年全国初中数学竞赛答案: D10. 设a ，b ，c 分别是△ABC 的三边的长，且cb a b a b a +++=，则它的内角∠A 、∠B 的关系是（ ）。