函数三要素

专题4 函数的概念与三要素知识点一 函数的概念解析获取vx ：lingzi980一般地，设A ，B 是非空的实数集，如果对于集合A 中的任意一个数x ，按照某种确定的对应关系f ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数(1)x ，在非空数集B 中都有(存在性)唯一(唯一性)的数y 与之对应．这三性只要有一个不满足，便不能构成函数． (2)y ＝f (x )仅仅是函数符号，不是表示“y 等于f 与x 的乘积”，f (x )也不一定就是解析式． (3)除f (x )外，有时还用g (x )，u (x )，F (x )，G (x )等符号来表示函数．知识点二 函数定义域 1.基本的函数定义域限制 （1）分式中的分母不为0；（2）偶次方根下的数（或式）大于或等于0； （3）零指数幂的底数不为0； （4）指数式的底数大于0且不等于1；（5）对数式的底数大于0且不等于1，真数大于0； （6）正切函数x y tan =R x ∈(且)2Z k k x ∈+≠，ππ．【例1】若函数)(x f y =的定义域为22{|}M xx =≤≤－，值域为02{|}N y y =≤≤，则函数)(x f y =的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【例2】下列函数()f x 与()g x 表示同一函数的是（） A ．()f x()g x = B ．()f x x =与32()1x g x x x +=+C ．y x =与2y =D ．()f x ()g x 【例3】（2022•北京）函数1()f x x=．【例4】（2022•上海）下列函数定义域为R 的是( ) A ．12yx -= B ．1y x -= C ．13y x =D ．12y x =2.可转化为二次函数定义域问题xx xx【例5】若函数()f x =R ，则实数a 的取值范围为 ． 【例6】已知函数27()43kx f x kx kx +=++的定义域是R ，求实数k 的取值范围． 归纳总结：在关于二次函数定义域为一切实数的时候，除了分析判别式以外，还要考虑二次项系数． 3.抽象函数的定义域求法此类型题目最关键的就是法则下的定义域不变，若()f x 的定义域为()a b ，，求[()]f g x 中()a g x b <<的解x 的范围，即为[()]f g x 的定义域．①．已知)(x f 的定义域，求复合函数()[]f g x 的定义域【例7】已知函数()f x 的定义域为[15]-，，求(35)f x -的定义域． ②．已知复合函数[()]f g x 的定义域，求)(x f 的定义域若[()]f g x 的定义域为x a b ∈（，），则由a x b <<确定()g x 的范围即为()f x 的定义域． 【例8】已知函数2(22)f x x -+的定义域为[03]，，求函数()f x 的定义域． ③．已知复合函数()[]f g x 的定义域，求()[]f h x 的定义域先由()[]f g x 定义域求得()f x 的定义域，再由()f x 的定义域求得()[]f h x 的定义域．【例9】已知函数(23)f x -的定义域是(13)-，，求函数1(6)2f x +的定义域．④．已知()f x 的定义域，求四则运算型函数的定义域若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集．【例10】若()f x 的定义域为[]35-，，求()()(25)g x f x f x =-++的定义域．1.函数()01(4)2||f x x x =+--的定义域为 ．2.（2019•江苏）函数y =的定义域是 ．3.（2021•全国）函数()f x = ．4.（2020•北京）函数f 1()1x lnx x =++的定义域是 ． 5.（2022•新兴区期末）若函数()y f x =的定义域是[1，3]，则函数(21)()f x h x lnx-=的定义域是( ) A ．[1，3]B ．(1，3]C ．(1，2]D ．[1，2]6，（2022•香坊区期末）已知函数2(1)f x +的定义域为[1，2]，则函数()()(2)f xg x lg x =-的定义域为( )A ．[2，5]B ．(2，3)(3⋃，5]C ．(2，5]D ．[2，3)(3⋃，5]7，（2022•兴庆区期末）若函数y =R ，则实数a 的取值范围是( )A ．1(0,]2B ．1(0,)2C ．1[0,)2D ．1[0,]28.（2022•盘龙区月考）下列每组函数不是同一函数的是( )A ．2()1,()f x x g x =-=B ．()1,()f x x g x =-C ．24(),()22x f x g x x x -==+-D ．()||,()f x x g x ==知识点三 函数的解析式 1.待定系数法求函数解析式已知函数解析式的类型时，可用待定系数法求其函数解析式． 【例11】求下列函数的解析式．（1）若一次函数()f x 满足[()]91f f x x =+，求()f x 的函数解析式；（2）已知()f x 是二次函数，且(0)2(1)()1f f x f x x =+-=-，，求()f x 的讲解析式．注意 解析式类型已知的，一般用待定系数法，对于二次函数问题要注意对一般式2y ax bx c =++，顶点式2()y a x h k =-+和两点式12()()y a x x x x =--的选择． 2.换元法求函数解析式已知复合函数[()]f g x 的表达式时，可用换元法，此时要注意“元”的取值范围． 【例12】（1）若函数()f x 满足221()f x x -=，求函数()f x 的解析式； （2）已知函数()f x 满足22112x f x x--()=，求函数f x ()的解析式．3.配凑法求函数解析式当出现大基团换元转换繁琐时，可考虑配凑法求解．【例13】已知函数()f x 满足2211()x x x f x x +++=，求()f x 的函数解析式． 4.方程组法求函数解析式若已知成对出现()f x ，1()f x或()f x ，()f x -，类型的抽象函数表达式，则常用解方程组法构造另一个方程，消元的方法求出()f x ．【例14】（1）已知函数()f x 满足3()2()3f x f x x +-=+，求()f x 的解析式；（2）已知函数()f x 满足95)1(2)(+=+x xf x f ，求)(x f 的解析式；（3）已知()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，并且1()()1f xg x x +=-，求()f x 和()g x 的函数解析式． 注意 函数方程的问题，需建立关于()f x 的方程组，如本例4，若函数方程中同时出现()f x 、1()f x，则一般x 用1x代之，构造另一个方程．5.迭代法求函数解析式当出现类似“数列”类型的抽象函数表达式时，可采用递推迭代的方法求出()f x ．【例15】已知函数()f x 的定义域是正整数集*N ，(1)1f =，且(1)()5f x f x +=+，求()f x 的函数解析式．6.分段函数的解析式分段函数问题往往需要进行分类讨论，根据分段函数在其定义域内每段的解析式不同，然后分别解决，即分段函数问题，分段解决．【例16】设函数=)(x f 22220x x x x x ⎧++≤⎪⎨->⎪⎩，，，若2))((=a f f ，则a = ．【例17】已知函数2(5)232f x x x =--，5(2)g x x =-．求：（1）)2(f ，)2(g ； （2）))2((g f ，))2((f g ；（3）(())f g x ，(())g f x ．总结 求函数值时，遇到本例题中（2）（3）这种类型的函数称为复合函数，一般有里层函数与外层函数之分，如(())f g x ，里层函数就是()g x ，外层函数就是()f x ，其对应关系可以理解为()(())g fx g x f g x −−→−−→，类似的(())g f x 为()(())f gx f x g f x −−→−−→，类似的函数，需要先求出最里层的函数值，再求出倒数第二层，直到最后求出最终结果．9.（2022•湖南月考）已知函数2(23)f x x +=，则函数()f x 的表达式为（ ） A ．2139424x x -+ B ．2119424x x ++C ．24129x x ++D ．24129x x -+10.（2022•保定二模）若函数2112()1x f x x x-=-+，则函数()()4g x f x x =-的最小值为( ) A ．1-B ．2-C ．3-D ．4-11．若一次函数()f x 满足[()]12f f x x =+，则函数()f x = ．12．已知()2f x x a =+，21()(3)4g x x =+，若2[()]1g f x x x =++，则a = ．13．（2022•盐田期中）已知2(1)lg f x x+=，则()f x = ．14．求下列函数的解析式．（1）已知2()2f x x x =+，求(21)f x +； （2）已知1)f x =+()f x ； （3）已知1()2()32f x f x x -=+，求()f x ．15.已知函数210()1()20x x f x x g x x x ->⎧=-=⎨-<⎩，，，．（1）求((2))f g ，((2))g f ，(((2)))g g g -的值； （2）求(())f g x ，(())g f x 的解析式．16.已知函数满足3(1)2(1)2f x f x x -+-=，求()f x 的解析式．知识点四 函数的值域由函数的定义知，自变量x 在对应法则f 下取值的集合叫做函数的值域． 1.函数值域的常规求法（1）与二次函数有关的函数，可用配方法（注意定义域）；（2）形如y ax b =+可用换元法．即设t =转化成二次函数再求值域（注意0t ≥）；（3）形如(0)ax by c cx d+=≠+的函数可借助反比例函数求其值域，若用变量分离法求值域，这种函数的值域为|a y y c ⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭； （4）形如22ax bx cy mx nx p++=++（a m 、中至少有一个不为零）的函数求值域，可用判别式求值域，也可以分离常数后换元．【例18】求下列函数的值域：（1）1y =；（2）213x y x +=-；（3）2211x y x -=+；（4）y = 【例19】（1）已知函数y =的最大值为M ，最小值为m ，则mM的值为（ ） A ．14B ．12C．2 D（2）设2 ||1() ||1x x f x x x ⎧≥=⎨<⎩，，，()g x 是二次函数，若[()]f g x 的值域是)0[∞+，，则()g x 的值域是（ ）A ．)1[]1(∞+--∞，，B ．)0[]1(∞+--∞，，C ．)0[∞，D ．)1[∞+，总结 函数的值域问题是每年高考必考内容，而且既有常规题型，也有创新题．解答这类问题，既要熟练掌握求函数值域的基本方法，更要根据具体问题情景，灵活地处理．如本例（3）中，其背景函数属常规函数（分段函数、二次函数、复合函数），但给出[()]f g x 的值域，要求()g x 的值域，就在常规题型基础上有所创新，解答这类问题，应利用基本方法、基本知识来分析解决问题．【例20】求函数的值域22221x x y x x -+=++．2. 函数值域的单调性求法适用类型：一般能用于求复合函数的值域或最值．（原理：同增异减） 【例21】求函数212log (4)y x x =-的值域．【例22】求函数)102(1log 235≤≤-+=-x x y x 的值域．【例23】（2022•浙江）已知函数22,1,()11,1,x x f x x x x ⎧-+⎪=⎨+->⎪⎩则1(())2f f = ；若当[x a ∈，]b 时，1()3f x ，则b a -的最大值是 ． 3. 函数值域的换元求法通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型．换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用． 适用类型：无理函数、三角函数（用三角代换）等． 【例24】求函数y x =+1-x 的值域．（注：此题可利用函数单调性直接求函数的值域）4. 函数值域的数形结合求法其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目． 适用类型：函数本身可和其几何意义相联系的函数类型．【例25】（2022•北京）设函数21,,()(2),ax x a f x x x a -+<⎧=⎨-⋅⎩若()f x 存在最小值，则a 的一个取值为 ；a 的最大值为 ．【例26】求函数22)8()2(++-=x x y 的值域． 【例27】求函数5413622++++-=x x x x y 的值域．5. 复合函数值域不变性（保值性）形如(或化为)[()]f g x 的函数的值域，抓住最关键一点就是“内值外定”就是内函数看值域是否满足外函数定义域，如果内函数值域完全填满外函数定义域，那么外函数的值域即为整个函数的值域，我们将这个原理叫做复合函数“保值性”，这个问题我们在《秒2》中关于同构式性质中已经阐述． 【例28】已知定义在R 上的函数)(x f 的值域为]32[，-，则函数(2)f x -的值域为（ ） A ．]14[，-B ．]50[，C ．]51[]04[，， -D ．]32[，-【例29】已知函数)(x f 的定义域为[01]，，值域为]21[，，则函数)2(+x f 的定义域和值域分别是 ． 【例30】（2014·重庆）函数2()log )f x x =的最小值为 ． 6.值域最值逆用【例31】已知函数y =[0+∞，)，则k 的取值范围是 ． 【例32】已知函数212()log (23)f x x ax =-+．（1）若函数)(x f 的定义域为R ，求实数a 的取值范围； （2）若函数)(x f 的值域为R ，求实数a 的取值范围． 7.值域与双变量函数不等式问题（包裹性定理）定理一 若()y f x =满足12x x D ∀∈，，12()()f x f x m -<恒成立，则在区间D 上max min ()()f x f x m -< 如图3-3-4所示，令AB m =，则12()()f x f x m -<恒成立．图3-3-4 图3-3-5xB定理二 若()()y f x y g x ==，满足1122x D x D ∀∈∈，，12()()f x g x >恒成立，则在各自区间上min max ()()f x g x >；如图3-3-5所示，()f x 的区域始终在()g x 区域上方才满足条件．图3-3-6 图3-3-7定理三（包裹性定理） 若()()y f x y g x ==，满足若1x D ∀∈，总0x D ∃∈，使得01()()f x g x =成立, 则在区间D 上min min max max ()()()()f x g x f x g x <⎧⎨>⎩；如图3-3-6，()y f x =所在区域能包含()y g x =所在区域时，满足条件．定理四 若()()y f x y g x ==，满足11x D ∀∈，总22x D ∃∈使得12()()f x g x >能成立，则在区间D 上min min ()()f x g x >；如图3-3-7，()y f x =所在区域最小值大于()y g x =所在区域最小值时，满足条件．注意 包裹性定理的关键在于区别符号∀与∃，还要看是否有两个区间与1122x D x D ∈∈，． 【例33】已知函数1()x f x e =－，2(4)3g x x x =--＋，若有()()f a g b =，则b 的取值范围为（ ） A ．]2222[+-，B ．)2222(+-，C ．]31[，D ．)31(，【例34】已知()21()lg(31)()2x f x x x g x m =++=-，，若对任意1[03]x ∈，，存在2[12]x ∈，，使12()()f x g x >，则实数m 的取值范围是 ． 【例35】已知2(2)23x f x x =-+． （1）求()f x 的解析式；（2）函数2(2)5()1x a x ag x x +-+-=-，若对任意1[24]x ∈，，总存在2[24]x ∈，，使12()()g x f x =成立，求a 的取值范围．17.（2022•兴庆区期末）函数()f x x =( ) A ．[2，)+∞B ．7[,)4+∞C ．[0，)+∞D ．(2,)+∞18.（2022•道里区期末）下列说法中正确的是( ) A ．函数2123y x x =-+的值域为1(,]2-∞ B．函数2y =[2，)+∞C．函数y =[2,x )maxx )minminD ．若函数22log (2)y ax x a =++的值域为R ，则实数a 的取值范围是[0，1]19.（2022•松原月考）设x R ∈，[]x 表示不超过x 的最大整数，例如：[3.5]4-=-，[2.1]2=，已知函数1()12x x e f x e =-+，则下列叙述中正确的是( ) A ．[()]f x 是偶函数 B ．()f x 是奇函数C ．()f x 在R 上是增函数D ．[()]f x 的值域是{1-，0，1}20.（2022•秀英区期中）设函数2log (1),2()23,2x x x f x x ->⎧=⎨-⎩，则以下结论正确的为( )A ．()f x 为R 上的增函数B ．()f x 有唯一零点0x ，且012x <<C ．若()5f m =，则33m =D ．()f x 的值域为R 21．（2022•漳州模拟）已知函数22()9xf x x =+，则( ) A ．()f x 的定义域为RB ．()f x 是偶函数C ．函数(2022)y f x =+的零点为0D ．当0x >时，()f x 的最大值为1322.（2017•浙江）已知a R ∈，函数4()||f x x a a x=+-+在区间[1，4]上的最大值是5，则a 的取值范围是 ． 23.若函数()y f x =的值域是[1，3]，则函数()1(3)F x f x =-+的值域是（ ）A ．]38[--，B ．]15[--，C ．]02[，-D ．]31[，24.函数()f x x =-（ ） A ．1(0)2，B ．1(0]2，C ．]21(，-∞D ．1()2-∞，25.（2022•香坊区期末）已知()f x 是R 上的单调函数，若[()2f f x -=，则()2()()f xg x f x -=的值域为( )A ．[1-，0)B ．[1-，1)C ．(1,1)-D ．[1-，)+∞26.（2022•阜阳期末）若函数()f x 在区间[a ，]()b a b <上的值域是[a ，]b ，则称区间[a ，]b 是函数()f x 的一个“等域区间”．下列函数存在“等域区间”的是( ) A ．21y x x =-+B ．21x y =-C ．2y lgx =+D ．sin y x =27．（2022•遵义期末）设函数21,()21,ax x a f x x ax x a -<⎧=⎨-+⎩，()f x 存在最小值时，实数a 的值可能是( )A ．2-B ．1-C ．0D ．128.（2022•高州市期末）已知函数()log (1)log (3)(0a a f x x x a =-++>且1)a ≠在定义域内存在最大值，且最大值为2，21()2x xm g x ⋅-=，若对任意1[1x ∈-，1]2，存在2[1x ∈-，1]，使得12()()f x g x ，则实数m 的取值可以是( ) A ．1-B ．0C ．2log 7D ．329.函数()f x =（ ）A ．1+B ．3C ．4D ．530．设函数()2f x =()1g x ax a =+-，若对任意1[0)x ∈+∞，都有2(1]x ∈-∞，使得12()()f x g x =，则实数a 的取值范围为 ．31. 已知函数()f x x =，2()252()g x x mx m m R =-+-∈，对于任意的1[22]x ∈-，，总存在2[22]x ∈-，，使得12()()f x g x =成立，则实数m 的取值范围是 ．。

函数一、函数的定义：1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作：y=f(x)，x∈A．（1）其中，x叫做自变量，x的取值X围A叫做函数的定义域；（2）与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域．2．函数的三要素：定义域、值域、对应法则3．函数的表示方法：（1）解析法：明确函数的定义域（2）图想像：确定函数图像是否连线，函数的图像可以是连续的曲线、直线、折线、离散的点等等。

（3）列表法：选取的自变量要有代表性，可以反应定义域的特征。

4、函数图象知识归纳(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数y=f(x),(x ∈A)的图象．C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上.(2) 画法A、描点法：B、图象变换法：平移变换；伸缩变换；对称变换，即平移。

（3）函数图像平移变换的特点：1）加左减右——————只对x2）上减下加——————只对y3）函数y=f(x) 关于X轴对称得函数y=-f(x)4）函数y=f(x) 关于Y轴对称得函数y=f(-x)5）函数y=f(x) 关于原点对称得函数y=-f(-x)6）函数y=f(x) 将x轴下面图像翻到x轴上面去，x轴上面图像不动得函数y=| f(x)|7）函数y=f(x) 先作x≥0的图像，然后作关于y轴对称的图像得函数f(|x|)二、函数的基本性质1、函数解析式子的求法（1）、函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.（2）、求函数的解析式的主要方法有：1）代入法：2）待定系数法：3）换元法：4)拼凑法：2．定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。

第三章函数3.1 函数的概念及其表示知识点一：函数的概念1.函数的有关概念2.函数的三要素一个函数的构成要素：定义域、对应关系和值域.因为值域是由定义域和对应关系决定的，所以两个函数的定义域和对应关系相同时，它们是同一个函数.3.区间的概念:设a,b∈R,a<b.实数集R可以用区间表示为(-∞,+∞).知识点二：函数的表示法1.函数的三种表示法2.分段函数已知函数y=f(x)，x∈A，如果自变量x在不同的取值范围内，函数有着不同的对应关系，那么我们称这样的函数为分段函数.【思考】1.函数的定义域和值域是否一定是无限集?2.区间是数集的另一种表示方法,是否任何数集都能用区间表示?3.根据函数的定义,任何一个自变量x是否都有唯一的函数值y与之对应?任何一个函数值y 是否都有唯一的自变量x与之对应?4.如何确定分段函数的定义域和值域?【解析】1.不一定.函数的定义域和值域也可能是有限集,如f(x)=1，x∈{1,2,3}.2.不是.如集合{0,1}就不能用区间表示.3.任何一个自变量x都有唯一的函数值y与之对应，但是函数值y不一定有唯一的自变量x 与之对应。

如f(x)=x2中，函数值4有两个自变量2、-2与之对应。

函数中x，y的对应关系是“一对一”或“多对一”,不能“一对多”.4.分段函数的定义域是每一段自变量取值范围的并集,值域也是每一段函数值取值范围的并集.3.1.1 函数的概念基础练一函数的概念1.（多选题）下面选项中,变量y是变量x的函数的是()A.x表示某一天中的时刻,y表示对应的某地区的气温B.x表示年份,y表示对应的某地区的GDP(国内生产总值)C.x表示某地区学生的某次数学考试成绩,y表示该地区学生对应的考试号D.x表示某人的月收入,y表示对应的个税2.下列四组函数中,表示同一个函数的是()3A.y=|x|与y=√x3B.y=√x2与s=(√t)2C.y=2t+1与y=2u+1D.y=1与y=x03.设集合M={x|0≤x≤2},N={y|0≤y≤2},那么下面的4个图形中,能表示以集合M为定义域,集合N为值域的函数关系的有()A.①②③④B.①②③C.②③D.②④二函数的定义域4.函数f(x)=√x−1的定义域为() x−2A.[1,+∞)B.[1,2)C.[1,2)∪(2,+∞)D.(1,2)∪(2,+∞)5.已知某矩形的周长为定值a,若该矩形的面积S是这个矩形的一边长x的函数,则这个函数的定义域是.6.已知函数y=f(x)的定义域为[-2,3],则函数y=f(2x+1)的定义域为.x+1三函数值及函数的值域7.已知集合P={x|y=√x−1},集合Q={y|y=√x−1},则()A.P=QB.P⫋QC.Q⫋PD.P∩Q=⌀8.函数y=√x2−2x+3的值域为.,则f(x)的值域为.9.已知函数f(x)=1x2−2x10.已知函数f(x)的定义域是[0,1],值域是[1,2],则这样的函数可以是f(x)=.11.已知函数f(x)=x2+x-1.);(1)求f(2), f(1x(2)若f(x)=5,求x的值.3.1.2 函数的表示法基础练一 函数的表示法及其应用 1.函数y =x x+1的图象大致是 ( )A B C D2.某同学从家里到学校,为了不迟到,先匀速跑一段时间,跑累了再匀速走余下的路,设在途中花费的时间为t ,离开家的距离为d ,则下面图象中,能正确表示d 与t 的关系的是( )A B C D3.已知函数y =f (x )的对应关系如表,函数y =g (x )的图象为如图所示的曲线ABC ,则g (f (3))的值为 .二 函数解析式的求法5.已知函数f (x +2)=x 2+6x +8,则函数f (x )的解析式为( ) A.f (x )=x 2+2x B.f (x )=x 2+6x +8 C.f (x )=x 2+4x D.f (x )=x 2+8x +66.函数f (x )满足f (1-2x )=-1x ,则f (2)=( )A.2B.-2C.12 D.-12 7.已知函数f (2x -1)=3x -5,若f (x 0)=4,则x 0= .8.已知f (x )是一次函数,2f (2)-3f (1)=5,2f (0)-f (-1)=1,则f (x )= .9.(1)已知函数g (√x +1)=2x +1,求g (x )的解析式;(2)已知f (x )为二次函数,且f (0)=2, f (2)=f (-1)=0,求f (x )的解析式.三 分段函数问题10.已知函数f (x )={√x,x >0,|x +1|,x ≤0,则f (f (-3))=( )A.√3B.1C.2D.√2 11.已知f (x )={x +2,x ≤−1,x 2,−1<x <2,2x,x ≥2,若f (x )=3,则x 的值是( )A.1B.1或32C.1,32或±√3 D.√312.函数f (x )=x +|x |x 的图象是( )A B C D13.(2022山西大同期中)已知函数f (x )={x 2,x ≤0,4−2x,x >0.(1)画出函数f (x )的图象;(2)当f (x )≥2时,求实数x 的取值范围.。

函数三要素一、定义域1．定义域：能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域。

求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x 的值组成的集合.(6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.（7）复合函数定义域 1．求下列函数的值域① y=3x+2(-1≤x ≤1) ②xx f -+=42)( ③ 1+=x x y④ xx y 1+=2. 求下列函数的定义域 （1）8|3x |15x 2xy 2-+--=（1）2|1|)43(432-+--=x x xy （2）)103(log 22327---=x x y（－≦，－3）∪（－3，－1）∪[4，+≦] [－3，－2]∪（5，6）3. 求下列函数的定义域：（1）y=x x x -+||)1(0; (2)y=232531xx -+-; (3)y=1·1-+x x .{x|x ＜0且x ≠-1}. {x|-5≤x ≤5且x ≠〒3} ［1，+≦）.复合函数定义域：已知函数()f x 的定义域为(,)a b ,函数()g x 的定义域为(,)m n ,则函数[()]f g x 的定义域为()(,)(,)g x a b x m n ∈⎧⎨∈⎩，解不等式得结果。

已知函数[()]f g x 的定义域为（a,b ），则f （x ）的定义域a ≤x≤b ，推导出…≤g （x ）≤…，即得f （x ）的定义域。

1.函数()f x 定义域为(0，2)，求下列函数的定义域：（1）y=f(3x); (2)y=f(x 1); (3)y=f()31()31-++x f x （1）2()23f x + （2）2y =（3）|1|1y x =--2.函数(2)xf 的定义域为[1,2],求2(log )f x 的定义域 3已知()f x 的定义域为［－2，2］，求2(1)f x -的定义域。

函数的三要素：定义域、对应关系和值域 函数的定义域：函数的定义域是自变量x 的取值范围，它是构成函数的重要组成部分，如果没有标明定义域，则认为定义域是使函数解析式有意义的或使实际问题有意义的x 的取值范围 函数y=f(x)的定义域的求法：①若f(x)是整式，则函数的定义域是实数集R ；②若f(x)是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集；③若f(x)是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合； ④若f(x)是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；⑤若f(x)是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题.如为半径r 与圆面积S 的函数关系为S=πr 2的定义域为{r ︱r>0} ⑥)(x f =x 0的定义域是{x ∈R ︱x ≠0}注意：列不等式（组）求函数的定义域时，考虑问题要全面，要把所有制约自变量取值的条件都找出来。

【例1】求下列函数的定义域： ① 21)(-=x x f ；② 23)(+=x x f ；③ xx x f -++=211)(.【练1】求下列函数的定义域：（1）()422--=x x x f （2）()2f x x =+ （3） y = （4）xx x y -+=||)1(0【2012高考四川文13】函数()f x =的定义域是____________。

（用区间表示）【2012高考广东文11】函数y x=的定义域为 .表达式中参数求法：根据定义域或其他的条件找到参数应满足的条件或表达式，从而求出相应参数的取值范围。

【例1】若函数aax ax y 12+-=的定义域是R ，求实数a 的取值范围【练1】已知函数()f x 的定义域为R ，求实数k 的范围复合函数1.复合函数定义定义：设函数)(u f y =，)(x g u =，则我们称))((x g f y =是由外函数)(u f y =和内函数)(x g u=复合而成的复合函数。

函数的三要素范文函数是数学中一个重要的概念，也是计算机科学中的基本构建块。

它有三个关键要素，分别是定义域、值域和对应关系。

下面我将详细介绍这三个要素。

首先，我们来讨论函数的定义域。

函数的定义域是指函数所能接受的输入值的集合，也就是函数的参数可以取的值的范围。

在数学中，常用的定义域可以是实数集、整数集或者有限集。

在计算机编程中，定义域通常是由程序员在函数定义的时候指定的，可以是任何数据类型，如整数、浮点数、字符串或者自定义的数据结构。

定义域的合法输入值将决定函数的行为和输出结果。

接着，我们来讨论函数的值域。

函数的值域是函数在定义域上的所有可能输出值的集合。

在数学中，通常通过对函数进行分析和变换来确定值域。

一般来说，值域可以是实数集、整数集或者有限集。

在计算机编程中，值域的确定往往取决于函数的实现方式和算法，可能是特定类型的值，如整数、浮点数、字符或者布尔值，也可以是自定义的数据结构。

最后，我们来讨论函数的对应关系。

函数的对应关系描述了输入值与输出值之间的对应关系。

在数学中，函数的对应关系通常表示为f(x)=y，其中x是函数的输入值，y是函数的输出值。

这个对应关系可以用一个表格、图形或者方程来表示。

在计算机编程中，函数的对应关系由函数的实现方式决定，可以是一个简单的数学运算表达式，也可以是复杂的算法或者程序流程。

对应关系的准确定义是保证函数正确性和一致性的关键。

总结起来，函数的三要素分别是定义域、值域和对应关系。

定义域是函数输入值的范围，值域是函数输出值的范围，对应关系描述了输入值与输出值之间的关系。

这些要素相互作用，决定了函数的行为和功能。

对于数学家和计算机科学家来说，理解和掌握这三个要素是研究和应用函数的基础。

一、函数定义及其定义域研究函数必须树立定义域优先考虑．．．．．．．的原则！(很重要，但又很容易忽视)1．函数的定义：设A，B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x∈A．①函数f(x)的图象与动直线x=m至多只有一个公共点！这是判断一个图象是不是函数图象的方法．②点(a，b)在函数y=f(x)的图象上⇔f(a)=b．③函数表示法——解析法、列表法、图象法．④两个函数为同一函数的充要条件是定义域与对应关系相同【即在定义域相同的条件下解析式可化为相同】．⑤设函数y=f(x)的定义域为集合P，若f(x)在集合Q上有意义，则Q⊆P．⑥区间表示法：设a<b，则{x|a≤x≤b}=[a，b]，{x|a<x<b}=(a，b)，R=(−∞，+∞)，…．2．映射的定义：设A，B是两个非空的集合，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个映射．【函数与映射都是：一对一，或多对一．】3．若A中含有m个元素，B中含有n个元素，从A到B能建立多少个映射？4．给出函数的解析式，求函数的定义域所遵循的原则是：①f(x)g(x)中要求g(x)≠0；②√f(x)2n中要求f(x)≥0；③[f(x)]0中要求f(x)≠0；④y=a x（a>0，且a≠1），x∈R；⑤y=log a x（a>0，且a≠1），x>0；⑥y=tanx，x∈R，x≠kπ+π2，k∈Z；⑦通过加、减、乘、除四则运算及有限次复合构造出新函数，则新函数的定义域是每个函数定义域的交集．⑧应用问题的定义域，除了要考虑解析式本身的定义域，还要考虑使应用问题有意义．⑨求定义域时最好不要对解析式先变形，否则容易出错．5．不给出f(x)的解析式，函数f(x)，f(g(x))，f(ℎ(x))三者之间定义域的关系：【定义域都是指x的取值范围．】①已知f(x)的定义域是(a，b)，求f(g(x))的定义域：解不等式a<g(x)<b，其解集就是f(g(x))的定义域．②已知f(g(x))的定义域是(a，b)，求f(x)的定义域：利用a<x<b求g(x)的值域，该值域就是f(x)的定义域．③已知f(g(x))的定义域是(a，b)，求f(ℎ(x))的定义域：利用x∈(a，b)先求出g(x)的值域(c，d)，然后解不等式c<ℎ(x)<d，此不等式的解集就是f(ℎ(x))的定义域．【总之，求抽象函数的定义域，关键是抓住被同一个 f 作用的对象取值范围相同．】6．①|a|={a， a≥0，−a， a<0．②|a−b|=|b−a|（数轴上a，b两点间的距离）；③|−a|=|a|，④(a−b)2=(b−a)2．C n1∙C n1∙⋯∙C n1⏟m个=n m(个)．1．定义域必须用集合或区间的形式表示！2．集合{x|y=f(x)}的含义：即函数y=f(x)的定义域．3．要养成这样一个习惯：一研究函数问题，就指出该函数的定义域！二、 函数解析式的求法【函数变量是个筐，代数式都可以装（变量替换）．例：对于f (x )=ax 2+bx +c ，f()=a 2+b +c ．】 1．函数解析式的求法：【函数与方程的思想；恒等式的变量替换，如：3x +4=(x +3)+(2x +1)．】（1）代入法【直接法，适用于①由f(x)求复合函数f[g (x )]，②由f(x +a)、f(x −a)、f(ax)、f(xa )等求f(x)； 注意：由分段函数f(x)求复合函数f[g (x )]时，首先需要根据f(x)中对x 的分段，替换为对g(x)的分段．】（2）凑配法【整体替换法，适用于f (√x +1)、f (1+1x )、f(x +1x )、f(x −1x )等类型．】 （3）换元法【如f (3x +1)=2x 2−3x +1．换元法与凑配法可以交替使用，如f (√x +1)，f (1+1x )等类型．】 （4）待定系数法【告知函数类型，就要设出该函数表达式，如f(x)是一次函数，则可设f (x )=kx +b ；然后，①利用条件得恒等式，由对应项的系数相等完成；②或利用条件得方程（组），然后解方程（组）即可．】（5）解方程组法【给出的方程同时含：①f(x)与f(−x)，或f(x)与f(a −x)； 【前者x →−x ，后者x →a −x 】②一奇一偶函数f(x)与g(x)； 【x →−x 】③f(x)与f(1x )，或f(x)与f(a x )； 【前者x →1x ，后者x →ax 】 方法：将原方程中的变量进行变量替换得新方程，联立原方程解方程组！】（6）图象变换法【根据变换过程写解析式，或根据对称关系、相关关系等用代入法求曲线（或轨迹）方程．】（7）赋值法【给出可以求出解析式的恒等式时使用．】2．二次函数的解析式的三种形式(a ≠0)：①一般式：y =ax 2+bx +c ； 对称轴是x =−b2a ； 顶点(−b2a ，4ac−b 24a )．②顶点式：y =a(x −ℎ)2+k ； 对称轴是x =ℎ； 顶点(ℎ，k)．③两根式：y =a (x −x 1)(x −x 2)； 对称轴是x =x 1+x 22； 顶点(x 1+x 22，−a (x 1−x 22)2)． 【提醒1】用待定系数法求二次函数的解析式按照③、②、①的顺序考虑去设解析式较好．【提醒2】f (x )=ax 2+bx +c =a (x −x 1)(x −x 2)：一般式与两根式的相互转化使用，常有利于解决问题．【已知一个零根x 1时，另一零根x 2可由韦达定理求出．】【提醒3】与二次函数有关的问题【值域，最值，单调性等】，要学会直接运用对称轴和图象解决！3．应用题中求函数解析式：关键是寻找等量关系，即同一个量用不同方式表达，由此就得到方程（或等式），从而就可得到函数解析式． 注意：①没有给出字母变量的，一定要先设出来．②要根据实际意义，准确求出函数定义域．③不能用一个式子表示的，则需要用分段函数表示．（几何背景的应用题常需要用分段函数表示！）4．缴纳个人所得税也可以画线段示意图分段处理（分段纳税）．(还可建立分段函数模型)常见函数的平方表示：[f(x)]2=f 2(x)，(log a x )2=log a 2x ，(sinx )2=sin 2x ，(cosx )2=cos 2x ，(tanx )2=tan 2x ．基数免税 3% 10% 20% 3500元 1500元 3000元 4500元 26000元 25% 20000元 25000元 30% 35% 45%补充1．设f (x )，g(x)均为定义域相同的两段式的分段函数，①若分段标准一致，则y =f (x )±g(x)，y =f (x )∙g(x)，y =f(x)g(x)(g (x )≠0)等函数仍为两段式的分段函数． ②若分段标准不一致，则y =f (x )±g(x)，y =f (x )∙g(x)，y =f(x)g(x)(g (x )≠0)等函数均为三段式的分段函数． 2．给出分段函数f (x )={f 1(x )，x ≤a ，f 2(x )，x >a ．如何解不等式（或方程）：f(g (x ))≥f(ℎ(x))． 方法一：就g (x )，ℎ(x)与a 的大小关系分四种情形，将两边代出后求解；方法二：令g (x )=a ，ℎ(x )=a ，解出x 的值，得到（能分段代出两边的）标准后，分段求解．3．若f (x )=a n x n +a n−1x n−1+⋯+a 2x 2+a 1x +a 0，且f (t )=0，则f(x)必含有因式(x −t)；必要时可以用竖式除法或待定系数法将f(x)因式分解；若x =x 0为f(x)的极值点，则x =x 0必为方程f (x )=f(x 0)的重根．4．y =ax 2+bx +c =a (x +b 2a )2+4ac−b 24a 在a 确定的情况下，抛物线的形状（即开口大小）也就随之确定！5．三次函数f (x )=ax 3+bx 2+cx +d 的解析式：【其图象(a >0)的各种情形你知道吗？】①若已知f (x )=0的三个根为x 1，x 2，x 3，则可设f (x )=a (x −x 1)(x −x 2)(x −x 3)．②若已知f (x )=0的两个根为x 1，x 2，则可设f (x )=a (x −x 1)(x −x 2)(x −m)．③若已知f (x )=0的一个根为x 1，则可设f (x )=a (x −x 1)(x 2+mx +n)．6．三次函数f (x )=ax 3+bx 2+cx +d 有极值的充要条件是：f′(x )=3ax 2+2bx +c =0有两个不等实根．【由f′(x )=3ax 2+2bx +c =3a (x −x 1)(x −x 2)的图象可知．】三、 值域，最值1．观察法：主要针对一些简单函数，或作简单变形后观察，即可求出值域或最值．2．配方法（对称轴法）：对于型如f (x )=ax 2+bx +c ，x ∈[m ，n]的形式的二次函数，利用配方法或直接利用对称轴x =−b2a 完成．可以结合图象完成求值域或最值．【配方其实也是为了找出对称轴！】3．换元法：代数换元法，三角换元法．运用换元法解题时要注意确定新元的取值范围和整体置换的策略．使用换元法时，一般来说，需求两次值域，一次在换元时求新元的取值范围，一次在换元后求新函数值域． ①y =ax +b +k √cx +d ，令t =√cx +d ．（注意：该函数有时可直接快速判定单调性！）②y =a f (x )，令u =f(x)，则y =a u ； ③y =log a f(x)，令u =f(x)，则y =log a u ；④y =f(a x )，令t =a x ，则y =f(t)； ⑤y =f(log a x)，令t =log a x ，则y =f(t)；⑥令a x +a −x =t ，则a 2x +a −2x =t 2−2(t ≥2)； ⑦令√1−x +√1+x =t ，则√1−x 2=t 2−22．无参函数先定性，定性之后再前行！ 定性：是指先确定函数定义域，值域，单调性，奇偶性，周期性，图象等性质；然后再结合性质去解题.a a 1 a 2 函数符号的使用：p =kV ⇒p (V )=kV ，y =ax 2+bx +c ⇒y (x )=ax 2+bx +c ，但对于后者习惯用f(x)． 在使用函数符号时，“y =⋯”，根据需要可改用“f (x )=⋯”．【y 即f(x)，f(x)即y ，因为y =f(x)．】 如：判断函数单调性和奇偶性及周期性等，就应该使用函数符号f(x)．⑧y=ax+b±k√c2−x2，令x=csinα，α∈[−π2，π2]（或令x=ccosα，α∈[0，π]）．⑨x∈R时，令x=tanα，α∈(−π2，π2)；⑩令sinx+cosx=t，则sinxcosx=t2−12．4．图象法（数形结合法）：(直观实用！)■①一些简单函数及分段函数的求值域或最值常利用图象完成．②求f(x)=max{f1(x)，f2(x)，⋯，f n(x)}或f(x)=min{f1(x)，f2(x)，⋯，f n(x)}的值域，可先分别作出其中所含函数：f1(x)，f2(x)，⋯，f n(x)的图象，再利用它们的交点分段确定f(x)的图象，从而确定值域或最值．③根据函数表达式的几何意义【分式→斜率？平方和（的算术根）→距离？等】，作出图象，求出值域或最值．5．单调性法：若函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域或最值． (优先考虑！)■6．有界性法：含x2，|x|，√x，x(x∈(m，n))，a x，sinx，cosx的函数，若可用y表示它们，则常利用其有界性来求值域或最值．7．基本（均值）不等式法：利用a+b2≥√ab或a+b+c3≥√abc3(一正二定三相等)等公式来求值域或最值，一定要看等号能否成立，否则用数形结合法、单调性法完成，如y=x+kx(k>0)．【还要注意柯西不等式的应用．】8．判别式法：用于y=f(x)=a1x2+b1x+c1a2x2+b2x+c2．（a12+a22≠0，分子、分母无公因式，且x无人为限制．）先化成(a2y−a1)x2+(b2y−b1)x+(c2y−c1)=0，再运用∆≥0求值域（但要注意讨论二次项系数为0的情况）．附：若含参数的函数f(x)=a1x 2+b1x+c1a2x2+b2x+c2的值域为[a，b]，求所含参数的值．方法①：利用判别式法；方法②：利用a≤a1x 2+b1x+c1a2x2+b2x+c2≤b恒成立且等号也可成立．9．导数法：通过求导研究函数的单调性，确定极值与端点值，从而得出值域或最值．(万能方法！)■⒑分类讨论法：对于含参数的函数求值域或最值，最常用的方法是数形结合、分类讨论．通常先作出函数的一般图象（形状），再由函数图象左右移动悟出讨论标准！二次函数f(x)=ax2+bx+c，x∈[m，n]的最值问题（对称轴含参数问题、区间含参数问题）是最典型的．注意是否需要讨论开口方向，①对称轴x=−b2a与x轴上区间[m，n]的两端点m，n的三种位置关系；②对称轴x=−b2a 与x轴上区间[m，n]的中点m+n2的两种位置关系；同理：对于函数f(x)=k|x−a|+b，x∈[m，n]的最值问题（对称轴含参数问题），可参照上述思路解决．补充1．求函数值域问题，从方程角度讲，就是关于x的方程．．在定义域内有解．．，从而求参数y的取值范围问题！求函数值域问题，从图象角度讲，就是函数图象上每一点的纵坐标．．．组成的集合！2．求函数值域与求最值方法是相同（通）的，既可求出值域而确定最值，也可求出最值而确定值域．3．可学会使用的符号：①f(x)max=f(p)，f(x)min=f(q)；②f(x)max=max{f(p)，f(q)}=⋯，f(x)min=min{f(p)，f(q)}=⋯．【含参数时可根据f(p)−f(q)的符号分类确定。

第二章函数一．函数1、函数的概念：（1）定义：设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数．记作：y =)(x f ，x ∈A ．其中，x 叫做自变量，x 的取值X 围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{)(x f | x ∈A }叫做函数的值域． （2）函数的三要素：定义域、值域、对应法则（3）相同函数的判断方法：①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；②定义域一致 (两点必须同时具备)2、定义域：（1）定义域定义：函数)(x f 的自变量x 的取值X 围。

（2）确定函数定义域的原则：使这个函数有意义的实数的全体构成的集合。

（3）确定函数定义域的常见方法：①若)(x f 是整式，则定义域为全体实数②若)(x f 是分式，则定义域为使分母不为零的全体实数 例:求函数xy 111+=的定义域。

③若)(x f 是偶次根式，则定义域为使被开方数不小于零的全体实数例1． 求函数()2143432-+--=x x xy 的定义域。

例2． 求函数()02112++-=x x y 的定义域。

④对数函数的真数必须大于零⑤指数、对数式的底必须大于零且不等于1⑥若)(x f 为复合函数，则定义域由其中各基本函数的定义域组成的不等式组来确定⑦指数为零底不可以等于零，如)0(10≠=x x⑧实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. （4）求抽象函数（复合函数）的定义域已知函数)(x f 的定义域为[0,1]求)(2x f 的定义域已知函数)12(-x f 的定义域为[0,1）求)31(x f -的定义域3、值域 :（1）值域的定义：与x 相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。

（2）确定值域的原则：先求定义域 （3）常见基本初等函数值域：一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、三角函数（正余弦、正切）（4）确定函数值域的常见方法：①直接法：从自变量x 的X 围出发，推出()y f x =的取值X 围。

1.2 函数的三要素1.2.1 函数的定义域1．对函数定义域的理解：函数的定义域是自变量x 的取值范围，它是构成函数的重要组成部分，是研究函数的重要内容.在给定函数的同时应该给定函数的定义域.如果没有标明定义域，则认为定义域是使函数解析式有意义的x 的取值范围或使实际问题有意义的x 的取值范围.2．确定函数定义域的方法：（1）如果()x f 是整式，那么函数的定义域是实数集R ;（2）如果()x f 是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合;（3）如果()x f 是偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合; （4）如果()x f 是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合，即求各集合的交集;（5）实际问题中，定义域要满足实际问题有意义. 例1求下列函数的定义域：（1）373122+++-=x x y ；（2）02)23()12lg(2)(x x x x x f -+--=.解：（1）要使函数有意义，必须⎩⎨⎧≠+≥+-.073,022x x 解得R ∈x ，且37-≠x . 所以，函数的定义域为.37,⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠∈x x x 且R（2）要使函数有意义，必须⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠-≠->-≥-.023,112,012,022x x x x x 解得221≤<x 且23,1≠≠x x .所以，函数的定义域为]2,23()23,1()1,21( .例2 用长为l 的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架（如图1.2-1），若矩形底边长为x 2，求此框架围成的面积y 与x 的函数式，并求它的定义域.解：设x AB 2=，则CD 弧长为x π，于是22xx l AD π--=. ∴221222x x x l x y ππ+--⋅=lx x ++-=224π.由题意知⎪⎩⎪⎨⎧>-->,022,02x x l x π π+<<∴20l x . 所以，所求函数式为lx x y ++-=224π,其定义域为（π+2,0l）. 例3 已知函数54322++-=kx kx x y 的定义域为R ，求实数k 的取值范围.分析：本题已知函数的定义域为R ，说明函数恒有意义，也就是分母恒不为0. 解：由题意知0542≠++kx kx 的解集为R .当0=k 时，函数53254322-=++-=x kx kx x y 的定义域为R . 当0≠k 时，由()02042<-=∆k k ，解得450<<k .所以，所求k 的取值范围是.45,0⎪⎭⎫⎢⎣⎡说明：给定定义域求参数的取值范围，要注意对二次项系数k 的讨论. 3．复合函数的定义域：（1）已知()f x 的定义域，求[()]f g x 的定义域：若()f x 的定义域为[],a b ，则函数[]()f g x 的定义域是使()a g x b ≤≤有意义的x 的集合，也就是不等式()b x g a ≤≤的解集.（2）已知[()]f g x 的定义域，求()f x 的定义域：若[()]f g x 的定义域为[],a b ，则函数()x g 在[]b a x ,∈上的取范围就是()f x 的定义域.例4 （1）已知函数()x f 的定义域为[]4,0，求函数()2xf 的定义域；（2）已知函数()12+x f 的定义域为[]3,1-，求函数()x f 的定义域； （3）已知函数()22-x f 的定义域为[)+∞,1，求函数)2(x f 的定义域.解：（1） ()x f 的定义域为[]4,0，C图1.2-1402≤≤∴x .解得22≤≤-x .所以，函数)(2x f 的定义域为[]2,2-.（2） ()12+x f 的定义域为[]3,1-，31≤≤-∴x ，7121≤+≤-∴x .所以，函数)(x f 的定义域为[]7,1-. （3） 函数()22-x f 的定义域为[)+∞,1，12≥∴x ，122-≥-∴x ，即函数()x f 的定义域为),1[+∞-.12-≥∴x，即2-≥x . 所以，函数⎪⎭⎫ ⎝⎛2x f 的定义域[)+∞-,2.方法提炼：由()x f y =的定义域，求复合函数()()x g f y =的定义域，实质上是已知中间变量()x g u =的值域，求自变量x 的取值范围.练习1： 1.函数()x x x y +-=1的定义域为(C)A ．{x |x ≥0}B ．{x |x ≥1}C ．{x |x ≥1}∪{0}D ．{x |0≤x ≤1} 2.若函数y ＝f (x )的定义域是[0,2]，则函数()()12-=x x f x g 的定义域是(B) A ．[0,1] B ．[0,1) C ．[0,1)∪(1,4] D ．(0,1) 3.函数x xy lg 21+-=的定义域为__________.答案：[)2,11.2.2 函数的解析式求函数解析式的常用方法有：（1）由实际问题建立函数关系式；（2）对函数特征已明确的函数，一般可用待定系数法；（3）对“已知()()x h x g f =][，求()x f 的解析式”的问题，一般用换元法； （4）若给出函数方程，一般可用构造方程组解出函数法； （5）复合函数，一般可用代入法.例5 （1）已知()x f 是一次函数，且有()[]89+=x x f f ，求()x f ； （2）已知()x f 是二次函数，且()()()11,00++=+=x x f x f f ，求()x f . 解：（1）设()b ax x f +=.由题意，有()[]()()b ab x a b b ax a b x af x f f ++=++=+=2.由已知，得892+=++x b ab x a .⎩⎨⎧=+=∴.8,92b ab a 解得⎩⎨⎧==,2,3b a 或⎩⎨⎧-=-=.4,3b a()23+=∴x x f 或()23--=x x f .（2）设()()02≠++=a c bx ax x f .由()00=f ，得0=c .∴()()02≠+=a bx ax x f .又由()()11++=+x x f x f ，得()()1122+++=+++x bx ax x b x a ，即()()11222+++=++++x b ax b a x b a ax .⎩⎨⎧=++=+∴.1,12b a b b a 解得.21==b a ().21212x x x f +=∴ 方法提炼：本题给出的函数是模型函数（如一次函数、二次函数等），求函数的解析式一般用待定系数法.例6 已知()x x x f21+=+，求()x f .解：方法一 (换元法) 令1+=x t ()1≥t ，则()21-=t x .()()()112122-=-+-=∴t t t t f .()()112≥-=∴x x x f .方法二（配凑法） 由题意，有()x x x f21+=+()112-+=x .所以()12-=x x f . 又11≥+x ，()()112≥-=∴x x x f .方法提炼：形如()()()x h x g f =求()x f 一般使用换元法时，换元时一定要注意所换元的取值范围. 例7 （1）已知()()232+=-+x x f x f ，求()x f 的解析式； （2）已知()x xf x f 3)1(2=+，求()x f 的解析式. 解：（1）（取反消元法）()()232+=-+x x f x f ， ① ∴()()232+-=+-x x f x f . ②由①,②，解之得().323+=x x f （2）（取倒消元法）()x xf x f 3)1(2=+， ①∴xx f x f 3)(2)1(=+. ②由①,②，消去)1(x f ，得().22xx x f -=方法提炼：“()()232+=-+x x f x f ”和“()x xf x f 3)1(2=+”是以函数为未知元的等式，叫做函数方程.一般可考虑构造方程组解出函数解析式.例8 设()x f 是R 上的函数，且满足()10=f ，并且对任意实数y x ,有()()()12+--=-y x y x f y x f ，求()x f 的解析式.解：取y x =,则()()()120+--=x x x x f f . 而()10=f ,∴().12++=x x x f方法提炼：本题给出的是抽象函数,求函数的解析式一般用赋值法.练习2：1.已知2211)11(xx x x f +-=+-，则f (x )的解析式为(C) A.x 1＋x 2 B ．－2x 1＋x 2 C.2x 1＋x 2 D ．－x 1＋x 2 2.已知幂函数)(x f 的图象过点)3,3(，则)(x f 的解析式为 ．答案：21x y =3.已知二次函数()x f y =的最小值为4，且()()620==f f ，求()x f 的解析式. 答案：().6422+-=x x x f1.2.3 函数的值域与最值1．函数值域的理解：函数的值域是全体函数值所组成的集合.是函数的三要素之一，它由定义域和对应法则确定.2．确定函数值域的方法：（1）当函数()x f y =用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y 的集合；（2）当函数()x f y =用图象给出时，函数的值域是指图象在y 轴上的投影所对应的实数y 的集合； （3）当函数()x f y =用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及对应法则唯一确定； （4）当函数()x f y =由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定. 3．常见函数的值域：（1）一次函数()0≠+=k b kx y 的值域为R .（2）二次函数()02≠++=a c bx ax y ：当0>a 时，值域为),44[2+∞-ab ac 当0<a 时，值域为]44,(2ab ac --∞.（3）反比例函数()0≠=k xky 的值域为{}0,≠∈y y y R . 4．函数的最值：最大值：一般地，设函数()x f y =)的定义域为I ，如果存在实数M 满足：①对于任意的I x ∈，都有()M x f ≤；②存在I x ∈0，使得()M x f =0.那么，称M 是函数()x f y =的最大值.最小值：一般地，设函数()x f y =)的定义域为I ，如果存在实数M 满足：①对于任意的I x ∈，都有()M x f ≥；②存在I x ∈0，使得()M x f =0.那么，称M 是函数()x f y =的最小值.注意：（1）函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在I x ∈0，使得()M x f =0；（2）函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的I x ∈，都有()M x f ≤（或()M x f ≤）.例9 求下列函数的值域:(1)xy 1=； (2)x y -=3. 解：（1）∵0x ≠，∴01≠x.所以，函数的值域是()()+∞∞-,00, . （2）∵0x ≥，3x 3,0x ≤-≤-∴. 所以，函数的值域是(]3,∞-.方法提炼：对于一些比较简单的函数，其值域可通过直接观察法得到.如利用01≠x，0≥x 等. 例10 （1）求函数[]2,1,522-∈+-=x x x y 的值域；（2）求函数2211xx x y +++=的值域. 解：（1）将函数配方，得()412+-=x y ..∵[]2,1-∈x ，由二次函数的性质可知： 当x=1时，4min =y ，当1x -=时，8max =y . 所以，函数的值域是[4，8].（2）原函数可化为()()0112=-+-x y x y .当1≠y 时，R ∈x .由()()()011412≥----=∆y y ，解得2321≤≤y . 当1=y 时，解得0=x ，此时⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈23,211. 所以，函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21.方法提炼：（1）配方法是求二次函数值域最基本的方法之一；（2）“二次型分式函数”可以转化为一元二次方程后用判别式法求值域.例11 求下列函数的值域：（1）1-+=x x y ；（2）82++-=x x y 的值域.解：（1）方法一：令t x =-1()0≥t ,则12+=t x .∴4321122+⎪⎭⎫⎝⎛+=++=t t t y .又0t ≥，由二次函数的性质可知当0=t 时，1min =y ,当+∞→t 时，+∞→y . 所以，函数的值域为[)+∞,1.方法二：易知函数在定义域),1[+∞上单调递增.()11min ==∴f y .所以函数的值域为[)+∞,1.（2）方法一：82++-=x x y 可以看成数轴上的点()x P 到定点()2A ，()8-B 间的距离之和，如图1.2-2所示.由上图可知，当点P 在线段AB 上时，1082==++-=AB x x y . 当点P 在线段AB 的延长线或反向延长线上时，1082=>++-=AB x x y . 所以，函数的值域为[)+∞,10. 方法二：原函数可化为()()⎪⎩⎪⎨⎧≥+<<--≤--=.262),28(10,862x x x x x y当8-≤x 时，1062≥--x ，即10≥y ； 当28<<-x 时，10=y ；当2≥x 时，1062≥+x ，即10≥y .图1.2-3 A B P图1.2-2图1.2-4所以，函数的值域为[)+∞,10.方法提炼：第（1）题方法一采用的换元法把一个函数变为简单函数后再求值域，对应二次函数的图象如图1.2-2所示；第（2）题函数解析式具有明显的几何意义，方法一采用的是数形结合法求值域；方法二采用的转化成分段函数后求值域，其对应分段函数的图象如图1.2-4所示.例12 已知函数()()R ∈++-=x a ax x x f 6242.（1）求函数的值域为),0[+∞时a 的值；（2）若函数的值均为非负值，求函数()32+-=a a a f 的值域. 解：(1）∵函数的值域为),0[+∞,∴()0624162=+-=∆a a ，即0322=--a a 0.∴1-=a 或23=a . （2）对一切x ∈R ，函数值均非负, ∴Δ=8(2a 2-a-3)≤0，即-1≤a≤23,∴a+3＞0. ∴()]23,1[,417)23()3(22-∈++=+-=a a a a a f . ∵二次函数()a f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23,1上单调递减，∴()419)23(min -==f a f ，()4)1(max =-=f a f . ∴()a f 的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4,419. 函数的最值与值域的关系：(1)函数的最大值和最小值统称为函数的最值；(2)函数y=f(x)的最值是函数图象最高点与最低点的纵坐标；(3)一个函数一定存在值域,但不一定存在最值(当值域是开区间时),最值是值域为闭区间时的端点值.练习3：1.函数xa x f =)(（0>a ，且1≠a ）在]2,1[上的最大值比最小值大2a，则a 的值为 ． 答案：2321或2.设函数21)(2++=x x x f 的定义域是]1,[+n n （n 是正整数），那么在)(x f 的值域中共有 个整 数．答案：22+n3.求函数y ＝3xx 2＋4的值域．答案：⎣⎡⎦⎤－34，34.习题1.2一、选择题1．（2008，全国）函数x x y +-=1的定义域为（D ）A ．{}1≤x xB ．{}0≥x xC ．{}01≤≥x x x 或D ．{}10≤≤x x 2．函数x x y 22-=的定义域为{}3,2,1,0，那么其值域为（ A ）A ．{}3,0,1-B ．{}3,2,1,0C ．{}31≤≤-y yD ．{}30≤≤y y3．已知函数()12-x f 的定义域为]3,3[-，则()x f 的定义域为（ C ）A ．[]2,2-B ．[]2,0C ．[]2,1-D ．]3,3[- 4．（2010，山东）函数()()2log 31x f x =+的值域为（ A ） A.()0,+∞ B.)0,+∞⎡⎣ C. ()1,+∞ D.)1,+∞⎡⎣5．函数()log (1)[0,1]xa f x a x =++在上的最大值与最小值之和为a,则a 的值为( B )A .41 B. 21C. 2D. 4 6． 函数()[](]⎪⎩⎪⎨⎧∈+-∈+=1,0,423,0,1,622x x x x x f 的最大值为（ B ）A ．11B ．6C ．4D ．2117．用{}b a ,m in 表示b a ,两个数中的最小值，设(){}x x x f ,2m in 2-=,则()x f 的最大值为( C )A ．-2 B.-1 C.1 D.28．函数()x f 的图象是如图所示的折线段OAB ，其中A (1,2)，B (3,0)．函数()()x f x x g ⋅=，那么函数g (x )的值域为(B)A ．[0,2]B ．[0，94]C ．[0，32] D ．[0,4]二、填空题9.已知二次函数()x f 的图象经过A(-1,3),B(0,1),C(2,3)三点,则()x f 的解析式为 .答案：()x f =x 2-x+110.已知()x f 是一次函数，且2f(x)+f(-x)=3x+1对x R 恒成立，则()x f =__________. 答案：1()33f x x =+. 11.函数962++-=x x y 在区间[]()3,<<b a b a 上有最大值9，最小值7-，则=a _______，（第8题）=b __________.答案：2-；012.（2011上海文14）设()x g 是定义在R 上，以1为周期的函数.若函数()()x g x x f +=在区间[]1,0上的值域为[]5,2-，则()x f 在区间[]3,0上的值域为________.答案：[]7,2-三、解答题13．求下述函数的定义域：（1）()()021122lg -+-+-=x x x x y ； (2)()()024534lg -++=x x x y . 解：（1）由⎪⎩⎪⎨⎧≠->-+>-,01,012,022x x x x 得⎪⎩⎪⎨⎧≠<<-<.1,43,2x x x所以-3＜x ＜2且x≠1. 所以，函数的定义域为（-3，1）∪(1,2). （2）由⎪⎩⎪⎨⎧≠-≠+>+045,134034x x x 得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≠-≠->.54,21,43x x x 所以，函数的定义域为).,54()54,21(21,43+∞-⎪⎭⎫ ⎝⎛-- 14.已知函数()x f 的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡94,83,试求函数()()x f x f y 21-+=的值域. 解:令()x f u 21-=,则0≥u ,()()2121u x f -=. ()11212+--=∴u y . ()x f 的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡94,83, ()94121832≤-≤∴u , 解得2131≤≤u . ()11212+--=u y 当2131≤≤u 时是关于u 的增函数,又31=u 时,97=y ; 21=u 时,87=y . ∴()()x f x f y 21-+=的值域是⎥⎦⎤⎢⎣⎡87,97. 15.（1）已知3311()f x x x x +=+，求()f x ； （2）已知2(1)lg f x x +=，求()f x ；（3）已知()f x 是一次函数，且满足3(1)2(1)217f x f x x +--=+，求()f x ；（4）已知()f x 满足()()x x f x f 32=-+，求()f x . 解：（1）∵3331111()()3()f x x x x x x x x +=+=+-+， ∴3()3f x x x =-（2x ≥或2x ≤-）.（2）令21t x +=（1t >），则21x t =-， ∴2()lg 1f t t =-，2()lg (1)1f x x x =>-. （3）设()(0)f x ax b a =+≠，则3(1)2(1)333222f x f x ax a b ax a b +--=++-+-5217ax b a x =++=+， ∴2a =，7b =.∴()27f x x =+.（4）()()x x f x f 32=-+ ①把①中的x 换成x -,得()()x x f x f 32-=+- ②①2⨯-②，得()x x f 93=,()x x f 3=∴.16.求下列函数的值域：（1）y =； （2）312x y x +=-；（3）y x =+ （4）|1||4|y x x =-++； （5）22221x x y x x -+=++；解：（1）设265x x μ=---（0μ≥），则原函数可化为y =.又∵2265(3)44x x x μ=---=-++≤，∴04μ≤≤[0,2]，∴y =的值域为[0,2].（2）313(2)773222x x y x x x +-+===+---. ∵702x ≠-，∴7332x +≠-. ∴函数312x y x +=-的值域为{}3≠∈y y R . （3）设0t =≥，则21x t =-.∴原函数可化为2214(2)5(0)y t t t t =-+=--+≥，∴5y ≤. ∴原函数值域为(,5]-∞. （4）23(4)|1||4|5(41)23(1)x x y x x x x x --≤-⎧⎪=-++=-<<⎨⎪+≥⎩， ∴5y ≥，∴函数值域为[5,)+∞.（5）∵210x x ++>恒成立，∴函数的定义域为R . 由22221x x y x x -+=++,得2(2)(1)20y x y x y -+++-=. （*） ①当20y -=，即2y =时，（*）即为300x +=.∴∈=0x R .②当20y -≠，即2y ≠时，∵R ∈x 时方程2(2)(1)20y x y x y -+++-=恒有实根， ∴△22(1)4(2)0y y =+-⨯-≥.∴15y ≤≤且2y ≠.∴原函数的值域为[1,5].。