天津市新四区2016-2017学年高三上学期期末数学试卷(理科)Word版含解析

天津市南开区2016-2017学年高三上学期期末试卷（理科数学）一、选择题：只有选项是正确的．1．复数=（）A．1﹣2i B．1+2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i2．已知全集U=R，集合M={x|﹣1≤x≤3}和集合N={x|x=2k﹣1，k∈N}的关系的韦恩（Venn）图如图所示，则阴影部分所示的集合为（）A．{x|﹣1≤x≤3}B．{﹣3，﹣1，1，3，5} C．{﹣1，1，3} D．{﹣1，1，3，5}3．等差数列{an }的前n项和为Sn，a5=11，S12=186，则a8=（）A．18 B．20 C．21 D．224．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是（）A．4 B．5 C．6 D．75．已知向量=（1，2），=（﹣3，2），如果k+与﹣3垂直，那么实数k的值为（）A．﹣19 B．﹣C．D．196．一个俯视图为正方形的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．2 B．C．D．7．已知双曲线﹣=1的一个焦点在圆x2+y2﹣4x﹣5=0上，则双曲线的渐近线方程为（）A．B．y=x C．D．8．下列四个条件中，p是q的充要条件的是（）A．p：a＞b，q：a2＞b2B．p：ax2+by2=c为双曲线，q：ab＜0C．p：ax2+bx+c＞0，q：﹣+a＞0D．p：m＜﹣2或m＞6；q：y=x2+mx+m+3有两个不同的零点二、填空题每题5分，共30分9．某高中共有学生900人，其中高一年级300人，高二年级200人，高三年级400人，现采用分层抽样抽取容量为45的样本，那么高二年级抽取的人数为．10．设变量x、y满足约束条件，则z=2x+3y的最大值为．11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=1，b=，，则B= ．12．若tanα=2，则= ．13．已知函数f （x ）=a x （a ＞0且a≠1），其关于y=x 对称的函数为g （x ）．若f （2）=9，则g （）+f （3）的值是 ．14．已知点C 在圆O 直径BE 的延长线上，CA 切圆O 于点F ，DC 是∠ACB 的平分线交AE 于点F ，交AB 于点D ，则∠ADF 的度数为 ．三、解答题，本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．某篮球队规定，在一轮训练中，每人最多可投篮4次，一旦投中即停止该轮训练，否则一直试投到第四次为止．已知一个投手的投篮命中概率为， （Ⅰ）求该选手投篮3次停止该轮训练的概率；（Ⅱ）求一轮训练中，该选手的实际投篮次数ξ的概率分布和数学期望．16．函数y=sin （ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）在同一个周期内，当x=时y 取最大值1，当x=时，y 取最小值﹣1．（Ⅰ）求函数的解析式y=f （x ）（Ⅱ）函数y=sinx 的图象经过怎样的变换可得到y=f （x ）的图象？（Ⅲ）求函数f （x ）的单调递减区间．17．已知数列{a n }满足a 1=9，其前n 项和为S n ，对n ∈N *，n≥2，都有S n =3（S n ﹣1﹣2）（Ⅰ）求数列{a n }的通项；（Ⅱ）求证：数列{S n +}是等比数列；（Ⅲ）若b n =﹣2log 3a n +20，n ∈N *，求数列{b n }的前n 项和T n 的最大值．18．已知长方体AC 1中，棱AB=BC=1，棱BB 1=2，连接B 1C ，过B 点作B 1C 的垂线交CC 1于E ，交B 1C 于F （1）求证：A1C⊥平面EBD ； （2）求点A 到平面A 1B 1C 的距离；（3）求平面A 1B 1C 与直线DE 所成角的正弦值．19．已知圆C ：x 2+y 2=4．（Ⅰ）直线l 过点P （1，2），且与圆C 相切，求直线l 的方程；（Ⅱ）过圆C 上一动点M 作平行于y 轴的直线m ，设m 与x 轴的交点为N ，若向量=+，求动点Q 的轨迹方程．（Ⅲ） 若点R （1，0），在（Ⅱ）的条件下，求||的最小值．20．已知函数f （x ）=（a+1）lnx+ax 2+1．（Ⅰ）若函数f （x ）在x=1处切线的斜率k=﹣，求实数a 的值；（Ⅱ）讨论函数f （x ）的单调性；（Ⅲ）若xf′（x ）≥x 2+x+1，求a 的取值范围．天津市南开区2016-2017学年高三上学期期末试卷（理科数学）参考答案与试题解析一、选择题：只有选项是正确的．1．复数=（）A．1﹣2i B．1+2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i【分析】首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分子和分母都进行复数的乘法运算，得到最简结果．【解答】解： =故选B．【点评】本题考查复数的代数形式的乘除运算，本题解题的关键是正确进行复数的乘除运算，注意运算法则，本题是一个基础题．2．已知全集U=R，集合M={x|﹣1≤x≤3}和集合N={x|x=2k﹣1，k∈N}的关系的韦恩（Venn）图如图所示，则阴影部分所示的集合为（）A．{x|﹣1≤x≤3}B．{﹣3，﹣1，1，3，5} C．{﹣1，1，3} D．{﹣1，1，3，5} 【分析】根据Venn图表达集合的交集运算，再根据两个集合的交集的意义求解．【解答】解：由Venn图可知，阴影部分所示的集合为M∩N，∵集合M={x|﹣1≤x≤3}和集合N={x|x=2k﹣1，k∈N}，∴M∩N={﹣1，1，3}，故选：C．【点评】本题主要考查了Venn图表达集合的关系及运算，以及集合交集的运算，属于基础题．3．等差数列{an }的前n项和为Sn，a5=11，S12=186，则a8=（）A．18 B．20 C．21 D．22【分析】由数列的性质得a 1+a 12=a 5+a 8又因为×（a 1+a 12）=186所以a 1+a 12=a 5+a 8=31所以a 8=20【解答】解：由数列的性质得a 1+a 12=a 5+a 8 又因为×（a 1+a 12）=186所以a 1+a 12=a 5+a 8=31 因为a 5=11所以a 8=20 故选B ．【点评】本题主要考查数列的性质即若m+n=l+k 则a m +a n =a l +a k ．4．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k 的值是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量k 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【解答】解：当S=0时，满足继续循环的条件，故S=1，k=1； 当S=1时，满足继续循环的条件，故S=3，k=2； 当S=3时，满足继续循环的条件，故S=11，k=3； 当S=11时，满足继续循环的条件，故S=2059，k=4；当S=2049时，不满足继续循环的条件，故输出的k 值为4， 故选：A【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．5．已知向量=（1，2），=（﹣3，2），如果k+与﹣3垂直，那么实数k的值为（）A．﹣19 B．﹣C．D．19【分析】先求出两个向量的坐标，根据向量垂直的充要条件及数量积公式列出方程解得．【解答】解：，∵k+与﹣3垂直∴=0∴10（k﹣3）﹣4（2k+2）=0解得k=19故选项为D【点评】本题考查两向量垂直的充要条件是：数量积为0．6．一个俯视图为正方形的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．2 B．C．D．【分析】几何体为四棱锥，底面正方形的对角线为2，棱锥的高为1，带入体积公式计算即可．【解答】解：由三视图可知该几何体为四棱锥，棱锥的高为1，棱锥底面正方形的对角线为2，∴棱锥底面正方形的边长为．∴V==．故选C．【点评】本题考查了棱锥的三视图即体积计算，是基础题．7．已知双曲线﹣=1的一个焦点在圆x2+y2﹣4x﹣5=0上，则双曲线的渐近线方程为（）A．B．y=x C．D．【分析】确定双曲线﹣=1的右焦点为（，0）在圆x2+y2﹣4x﹣5=0上，求出m的值，即可求得双曲线的渐近线方程．【解答】解：由题意，双曲线﹣=1的右焦点为（，0）在圆x2+y2﹣4x﹣5=0上，∴（）2﹣4﹣5=0∴=5∴m=16∴双曲线方程为=1∴双曲线的渐近线方程为故选B．【点评】本题考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．8．下列四个条件中，p是q的充要条件的是（）A．p：a＞b，q：a2＞b2B．p：ax2+by2=c为双曲线，q：ab＜0C．p：ax2+bx+c＞0，q：﹣+a＞0D．p：m＜﹣2或m＞6；q：y=x2+mx+m+3有两个不同的零点【分析】A．a＞b与a2＞b2相互推不出，即可判断出正误；B．p：ax2+by2=c为双曲线，则＜0，可得：ab＜0，反之不一定成立，即可判断出正误；C．p与q相互推不出，即可判断出正误；D．q：y=x2+mx+m+3有两个不同的零点，可得△＞0，解出m即可判断出结论．【解答】解：A．a＞b与a2＞b2相互推不出，因此不满足条件；B．p：ax2+by2=c为双曲线，则＜0，可得：ab＜0，⇒q：ab＜0，反之不一定成立，不满足条件；C．p与q相互推不出，因此不满足条件；D．q：y=x2+mx+m+3有两个不同的零点，可得△=m2﹣4（m+3）＞0，解得m＞6或m＜﹣2．∴p是q的充要条件．故选：D．【点评】本题考查了不等式的性质、圆锥曲线的性质、充要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题每题5分，共30分9．某高中共有学生900人，其中高一年级300人，高二年级200人，高三年级400人，现采用分层抽样抽取容量为45的样本，那么高二年级抽取的人数为10 ．【分析】根据分层抽样的定义求出在各层中的抽样比，即样本容量比上总体容量，按此比例求出在高三年级中抽取的人数．【解答】解：根据题意得，用分层抽样在各层中的抽样比为=，则在高二年级抽取的人数是200×=10人，故答案为：10．【点评】本题的考点是分层抽样方法，根据样本结构和总体结构保持一致，求出抽样比，再求出在各层中抽取的个体数目．10．设变量x、y满足约束条件，则z=2x+3y的最大值为18 ．【分析】本题主要考查线性规划问题，由线性约束条件画出可行域，然后求出目标函数的最大值．【解答】解：画出可行域，得在直线2x﹣y=2与直线x﹣y=﹣1的交点A（3，4）处，目标函数z最大值为18故答案为18．【点评】本题只是直接考查线性规划问题，是一道较为简单的送分题．近年来高考线性规划问题高考数学考试的热点，数形结合是数学思想的重要手段之一，是连接代数和几何的重要方法．随着要求数学知识从书本到实际生活的呼声不断升高，线性规划这一类新型数学应用问题要引起重视．11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=1，b=，，则B= ．【分析】根据余弦定理可得b2=a2+c2﹣2accosB，求出cosB的值，利用特殊角的三角函数值求出B即可．【解答】解：由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB，且a=1，b=，c=，所以cosB===﹣，得到B为钝角即B∈（，π），所以B=故答案为【点评】考查学生灵活运用余弦定理化简求值的能力，以及会根据特殊角的三角函数值求角的能力．12．若tanα=2，则= ．【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．【解答】解：∵tanα=2，∴==，故答案为：．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，属于基础题．13．已知函数f（x）=a x（a＞0且a≠1），其关于y=x对称的函数为g（x）．若f（2）=9，则g（）+f （3）的值是25 ．【分析】根据题意可知f（x）与g（x）化为反函数，再依据f（2）=9求得a值，代值计算即可．【解答】解：函数f（x）=a x（a＞0且a≠1），其关于y=x对称的函数为g（x）．x，则函数f（x）=a x反函数为：y=loga∴g（x）=logx，a又f（2）=9，∴a2=9，∴a=3，x，∴g（x）=log3+33=25，∴g（）+f（3）=）=log3故答案为：25．【点评】本小题主要考查反函数的应用、反函数等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于基础题．14．已知点C在圆O直径BE的延长线上，CA切圆O于点F，DC是∠AC B的平分线交AE于点F，交AB于点D，则∠ADF的度数为45°．【分析】根据直径上的圆周角是直角、弦切角定理以及三角形内内角和定理等通过角的关系求解．【解答】解：设∠EAC=α，根据弦切角定理，∠ABE=α．根据三角形外角定理，∠AEC=90°+α．根据三角形内角和定理，∠ACE=90°﹣2α．由于CD是∠ACB的内角平分线，所以FCE=45°﹣α．再根据三角形内角和定理，∠CFE=180°﹣（90°+α）﹣（45°﹣α）=45°．根据对顶角定理，∠AFD=45°．由于∠DAF=90°，所以∠ADF=45°．故答案为：45°．【点评】本题的涉及很独到，试题涉及成动态的，即点C是可变的，在这个动态中求解其中的一个不变量．解决这类试题要善于抓住主要的变化关系，如本题中主要的变量就是∠AEC，抓住这个变量后，其余的角可以使用这个变量进行表达，通过各个角的关系证明求解的目标与这个变量没有关系．三、解答题，本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．某篮球队规定，在一轮训练中，每人最多可投篮4次，一旦投中即停止该轮训练，否则一直试投到第四次为止．已知一个投手的投篮命中概率为，（Ⅰ）求该选手投篮3次停止该轮训练的概率；（Ⅱ）求一轮训练中，该选手的实际投篮次数ξ的概率分布和数学期望．【分析】（Ⅰ）该选手投篮3次停止该轮训练即第三次投中事件为A，由相互独立事件乘法概率公式能求出该选手投篮3次停止该轮训练的概率．（Ⅱ）由题意ξ的可能取值为1、2、3、4，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和E（ξ）．【解答】解：（Ⅰ）该选手投篮3次停止该轮训练即第三次投中事件为A，概率为P（A）=（1﹣）2=．由题意ξ的可能取值为1、2、3、4，（5分）P（ξ=1）=，P（ξ=2）=（1﹣）=，P（ξ=3）=（1﹣）2=，P（ξ=4）=（1﹣）3+（1﹣）4=，（11分）∴ξ的分布列为ξ 1 2 3 4PE（ξ）=1×+2×+3×+4×=．（13分）【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年高考中都是必考题型之一．16．函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）在同一个周期内，当x=时y取最大值1，当x=时，y取最小值﹣1．（Ⅰ）求函数的解析式y=f（x）（Ⅱ）函数y=sinx的图象经过怎样的变换可得到y=f（x）的图象？（Ⅲ）求函数f（x）的单调递减区间．【分析】（Ⅰ）通过当x=时y取最大值1，当x=时，y取最小值﹣1．求出函数的周期，利用最值求出φ，即可求函数的解析式y=f（x）．（Ⅱ）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律即可得解．（Ⅲ）根据正弦函数的单调区间，即可得到函数的单调区间．【解答】解：（Ⅰ）∵当x=时y取最大值1，当x=时，y取最小值﹣1．∴T==，∴ω=3．﹣﹣﹣﹣（4分）∵sin（π+φ）=1，∴π+φ=2kπ+（k∈Z），即φ=2kπ﹣，又∵|φ|＜，∴可得φ=﹣，﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）∴函数 f（x）=sin（3x﹣）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）（Ⅱ）y=sinx的图象向右平移个单位得y=sin（x﹣）的图象再由y=sin（x﹣）图象上所有点的横坐标变为原来的．纵坐标不变，得到y=sin （3x ﹣）的图象，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）（Ⅲ）令2k≤3x﹣≤2k，（k ∈Z ），求得函数f （x ）的单调递减区间为：[，]．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）【点评】本题主要考查了函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，考查了数形结合思想，属于中档题．17．已知数列{a n }满足a 1=9，其前n 项和为S n ，对n ∈N *，n≥2，都有S n =3（S n ﹣1﹣2）（Ⅰ）求数列{a n }的通项；（Ⅱ）求证：数列{S n +}是等比数列；（Ⅲ）若b n =﹣2log 3a n +20，n ∈N *，求数列{b n }的前n 项和T n 的最大值．【分析】（Ⅰ）由S n =3（S n ﹣1﹣3），S n+1=3（S n ﹣3），相减可得a n+1=3a n ．利用等比数列的通项公式即可得出．（Ⅱ）利用等比数列的前n 项和公式可得S n ，变形即可得出．（Ⅲ）由（Ⅰ）可知b n =﹣2log 3a n +20=﹣2n+18，利用等差数列的前n 项和公式，二次函数的单调性即可得出．【解答】解：（Ⅰ）∵S n =3（S n ﹣1﹣3），S n+1=3（S n ﹣3），∴a n+1=3a n ．故{a n }是公比为3，首项为9的等比数列，，（Ⅱ）∵，∴，∴，．故数列是为首项，公比为3的等比数列． （Ⅲ）由（Ⅰ）可知b n =﹣2log 3a n +20=﹣2n+18，∴{b n }是公差为﹣2．首项为16的等差数列．∴，∵b 8＞0，b 9=0，b 10＜0， ∴T 8或T 9最大，最大值为72．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n 项和公式、二次函数的单调性、递推关系的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．已知长方体AC 1中，棱AB=BC=1，棱BB 1=2，连接B 1C ，过B 点作B 1C 的垂线交CC 1于E ，交B 1C 于F ．（1）求证：A 1C⊥平面EBD ； （2）求点A 到平面A 1B 1C 的距离；（3）求平面A 1B 1C 与直线DE 所成角的正弦值．【分析】（1）以A 为原点，分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，然后求出与，然后根据向量的数量积判定垂直关系，A 1C⊥BD，A 1C⊥BE，又BD∩BE=B 满足线面垂直的判定定理所需条件；（2）连接AE 1，A 到平面A 1B 1C 的距离，即三棱锥A ﹣A 1B 1C 的高，根据等体积法可知，求出高即可；（3）连接DF ，根据BE⊥平面A 1B 1C ，可知DF 是DE 在平面A 1B 1C 上的射影，从而∠EDF 是DE 与平面A 1B 1C 所成的角，最后在Rt△FDE 中，求出此角的正弦值即可．【解答】解：（1）证明：以A 为原点，分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，那么A （0，0，0）、B （1，0，0）、C （1，1，0）、D （0，1，0）、A 1（0，0，2）、B 1（1，0，2）、C 1（1，1，2）、D 1（0，1，2），，，…（2分）设E （1，1，z ），则：，，∵BE⊥B 1C∴，，∴，，∵，，∴A 1C⊥BD，A 1C⊥BE，…（4分）又BD∩BE=B∴A 1C⊥平面EBD ．…（5分）（2）连接AE 1，A 到平面A 1B 1C 的距离，即三棱锥A ﹣A 1B 1C 的高，设为h ，…（6分），，由得：，，…（8分）∴点A 到平面A 1B 1C 的距离是．…（9分）（3）连接DF ，∵A 1C⊥BE，B 1C⊥BE，A 1C∩B 1C=C ，∴BE⊥平面A 1B 1C ，∴DF 是DE 在平面A 1B 1C 上的射影，∠EDF 是DE 与平面A 1B 1C 所成的角，…（11分）设F （1，y ，z ），那么，∵∴y﹣2z=0①∵，∴z=2﹣2y②由①、②得，，…（12分）在Rt△FDE 中，．∴，因此，DE 与平面A 1B 1C 所成的角的正弦值是．…（14分）【点评】本题主要考查了用空间向量求直线与平面的夹角，以及点面间的距离计算，属于中档题．19．已知圆C ：x 2+y 2=4．（Ⅰ）直线l 过点P （1，2），且与圆C 相切，求直线l 的方程；（Ⅱ）过圆C 上一动点M 作平行于y 轴的直线m ，设m 与x 轴的交点为N ，若向量=+，求动点Q 的轨迹方程．（Ⅲ） 若点R （1，0），在（Ⅱ）的条件下，求||的最小值．【分析】（Ⅰ）直线l 过点P （1，2），且与圆C 相切，圆心到此直线的距离=半径，即可求直线l 的方程；（Ⅱ）设出M 及Q 的坐标，根据题意表示出N 的坐标，利用平面向量的数量积运算法则化简已知的等式，用x 与y 分别表示出x 0及y 0，将表示出的x 0及y 0代入圆C 的方程，得到x 与y 的关系式，再根据由已知，直线m∥y 轴，得到x≠0，即可得出Q 的轨迹方程；（Ⅲ）由Q 及R 的坐标，表示出，利用平面向量模的计算法则表示出||2，由圆C 的方程表示出y 2，将y 2代入表示出的||2中，得到关于x 的二次三项式，配方后根据二次函数的性质，可得出||2的最小值，开方即可得出||的最小值，以及此时x 的值．【解答】解：（Ⅰ）显然直线l 不垂直于x 轴，设其方程为y ﹣2=k （x ﹣1），即kx ﹣y ﹣k+2=0…（2分）设圆心到此直线的距离为d ，则d==2，得k=0或k=﹣ …（4分） 故所求直线方程为y=2或4x+3y ﹣10=0．…（5分） （Ⅱ）设点M 的坐标为（x 0，y 0），Q 点坐标为（x ，y ），则N 点坐标是（x 0，0），∵=+，∴（x ，y ）=（2x 0，y 0），即x 0=，y 0=y ，又∵x 02+y 02=4，∴+y 2=4，（8分）由已知，直线m∥y 轴，得到x≠0，∴Q 点的轨迹方程是+y 2=4（x≠0）；（9分）（Ⅲ）设Q 坐标为（x ，y ），R （1，0），∴=（x ﹣1，y ），∴||2=（x ﹣1）2+y 2，（10分）又+y 2=4（x≠0），∴||2=（x ﹣1）2+y 2=（x ﹣1）2+4﹣=≥，（12分）∵x∈[﹣4，0）∪（0，4]，∴x=时，||取到最小值．（14分）【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：垂径定理，勾股定理，点到直线的距离公式，直线的点斜式方程，动点的轨迹方程，平面向量的数量积运算法则，以及二次函数的性质，利用了数形结合及转化的思想，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．20．已知函数f（x）=（a+1）lnx+ax2+1．（Ⅰ）若函数f（x）在x=1处切线的斜率k=﹣，求实数a的值；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅲ）若xf′（x）≥x2+x+1，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，根据f′（1）=﹣，求出a的值即可；（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，判断导函数的符号，从而求出函数的单调区间；（Ⅲ）分离参数得到a≥，令g（x）=，求出其最大值即可．【解答】解：（Ⅰ）因为f′（x）=，f′（1）==﹣，解得：a=﹣．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）（Ⅱ）f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=，当a≥0时，f′（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）单调增加；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）当a≤﹣1时，f′（x）＜0，故f（x）在（0，+∞）单调减少；﹣﹣﹣﹣﹣（6分）当﹣1＜a＜0时，令f′（x）=0，解得x=，当x∈（0，）时，f′（x）＞0；单调增，x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，单调减﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）（Ⅲ）xf′（x）≥x2+x+1，得：a≥﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）令g（x）=，则g′（x）=，当0＜x＜时，g（x）单调递增，当x＞时，g（x）单调递减，=g=，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）所以，g（x）max故a≥﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．。

天津市五区县2017届高三上学期期末考试（理）数学试卷答 案1~5．DACBD6~8．ACD9．810．24-11．32+12．4ln3-1314．(,e)-∞三、解答题:15．（本小题满分13分）解：（I）函数2()2cos cos cos212f x x x x a x x a =++=++π2sin(2)16x a =+++，……………………4分 故函数()f x 的最小正周期为πT =．………………………6分（II ）由题意得πππ7π0,,2,2666x x ⎡⎤⎡⎤∈+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，……………………10分 故min ()112f x a =-++=，所以2a =．……………………13分16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题意知，7名队员中分为两部分，3人为女棋手，4人为男棋手，设事件A =“恰有1位女棋手”，则()1334471235C C P A C ==，………………………4分 所以参加第一阶段的比赛的队员中，恰有1位女棋手的概率为1235．…………5分 （Ⅱ）随机变量X 的所有可能取值为0,2,4.其中()22344718035C C P X C ===， ()133134344716235C C C C P X C +===， ()0434471435C C P X C ===．………………………………9分所以，随机变量X 分布列为随机变量X 的数学期望()181613602435353535E X =⨯+⨯+⨯=．………………………………13分 17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）法一：∵~AGD CGE △△，知23DG AD AG GE EC GC ===，且AC =， 故35GC AC == 同理可得35GE DE ==，且3EC =，222GC GE EC +=，ED AC ⊥．………2分 又∵PA ⊥平面ABCD ∴PA ED ⊥……3分而PA AC A =∴ED ⊥平面PAC ．ED ⊂平面PDE ，故平面PDE ⊥平面PAC ；……4分法二：∵PA ⊥平面ABCD ∴AB PA ⊥ 又∵AB AD ⊥，故可建立建立如图所示坐标系．由已知(0,2,0)D ，(2,1,0)E ，(2,4,0)C ，(0,0,)P λ（0λ>）∴(2,4,0)AC =，(0,0,)AP λ=，(2,1,0)DE =- ∴4400DE AC ⋅=-+=，0DE AP ⋅=．……3分，∴DE AC ⊥，DE AP ⊥，∴ED ⊥平面PAC，ED ⊂平面PDE ，平面PDE ⊥平面PAC ；……4分 （Ⅱ）（i ）由（Ⅰ），平面PAC 的一个法向量是(2,1,0)DE =-，因为PAB △为等腰直角三角形，故2PA =，(2,1,2)PE =-． 设直线PE 与平面PAC 所成的角为θ，则sin cos ,PE DE θ=<>=8分 （ii ）设平面PCD 的一个法向量为000(,,)n x y z =，(2,2,0)DC =，(0,2,2)DP =-由n DC ⊥，n DP ⊥∴0000220220x y y z +=⎧⎨-+=⎩，令01x =，则(1,1,1)n =--，………10分 ∴cos ,n DE <>==．………11分显然二面角A PC D --的平面角是锐角，∴二面角A PC D --．………13分（其他方法可酌情给分） 18．（本小题满分13分）解：（I ）当2n ≥时，2n A n =，21(1)n A n -=-，两式相减：121n n n a A A n -=-=-；当1n =时，111a A ==，也适合21n a n =-，故数列{}n a 的通项公式为21n a n =-．………3分 （II ）由题意知：2122n n n n a n c -==，12n n C c c c =+++，123135212222n n n C -=++++， 23411352122222n n C n +-=++++，两式相减可得：1231122221222222n n n C n +-=++++-，……… 4分 即123-111111121()2222222n n n C n +-=+++++-， -111121(1)2222n n n C n +-=+--，2332n n n C +=-．………7分 （III ）21212121n n n b n n -+=++-，显然212122121n n n n -++>=+-， 即2n b >，122n n B b b b n =+++>；………9分 另一方面，21212222112212121212121n n n n n n n n -++=-++=+-+-+--+， 即122213b =+-，222235b =+-，…，11222121n b n n ⎛⎫=+- ⎪-+⎝⎭，2222222(2)(2)(2)22221335212121n B n n n n n =+-++-+++-=+-<+-++， 即：222n n B n <<+．………13分19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知得2222262c a cb ab a b c ⎧+=⎪=⎨⎪=+⎩，解得21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆C 的方程为22143x y +=．……………5分 （Ⅱ）由题意知12(2,0),(2,0)A A -，……………6分设00(,)P x y ，则100:(2)2A P y l y x x =++，得00(,(2))2y M m m x ++． 且由点P 在椭圆上，得22003(1)4x y =-．……………8分若以MP 为直径的圆过点2A ，则220A M A P ⋅=，……………9分 所以20000000(2,(2))(2,)(2)(2)(2)022y y m m x y m x m x x -+⋅-=--++=++ 2000000033(4)(2)(2)44(2)(2)(2)(2)(2)(2)022x x x m x m m x m x x --+--++=---+=++……………12分 因为点P 是椭圆C 上不同于12,A A 的点，所以02x ≠±． 所以上式可化为3(2)(2)04m m --+=，解得14m =．……………14分20．（本小题满分14分）解法一：（Ⅰ）2()2f x x x c '=-+，当[0,)x ∈+∞时2()20f x x x c '=-+≥ 所以：2min (2)0x x c -+≥，而22x x c -+在1x =处取得最小值，所以：120c -+≥，1c ≥；……………4分（Ⅱ）因为x α=为()f x 的极值点，所以21()20k f c ααα'==-+=，所以22c αα=-+，又因为()y f x m =-有不同的零点,αβ，所以()()f f αβ=， 即32321133c d c d ααααββ-++=-++， 整理得：21(23)()03αβαβ+--=，所以23αβ+=．……………9分（Ⅲ）满足条件的实数c 存在，由2()2f x x x c '=-+，知过00(,())A x f x 点与曲线相切的直线1l 为：000()()+()y f x x -x f x '=，且21002k x x c =-+ 将000()()+()y f x x -x f x '=与()y f x =联立即得B 点的横坐标，所以000()()+(())f x x -x f x f x '= 即：3223200000011(2)()33x x cx d x x c x x x x cx d -++=-+-+-++ 整理得：2001(23)()03x x x x +--= 由已知0x x ≠，所以0230x x +-=所以032x x =-，即B 点的横坐标为032x -所以过点B 的曲线的切线斜率为22()2k f x x x c '==-+200(32)2(32)x x c =---+2004(2)33x x c c =-++-1433k c =+-因此当且仅当330c -=时，1k 、1k 成比例，这时1c =即存在实数1c =，使12k k 为定值……………14分 解法二：（Ⅰ）2()2f x x x c '=-+，当[0,)x ∈+∞时2()20f x x x c '=-+≥， 所以2(2)c x x ≥--对任意的[0,)x ∈+∞恒成立，故2max [(2)]c x x ≥--， 即2max [(2)]1x x --=，故c 的取值范围是[1,)+∞；…………… 4分（Ⅱ）因为x α=为()f x 的极值点，且()y f x m =-有两个零点,()αβαβ≠， 所以()0f x m -=的三个实数根分别为,,ααβ， 由根与系数的关系得12313ααβαβ-++=+=-=；……………9分 （Ⅲ）满足条件的实数c 存在，因为2()2f x x x c '=-+，所以过00(,())A x f x 点且与曲线C 相切的直线1l 为：000()()+()y f x x -x f x '=，其中21002k x x c =-+．设1l 与C 交于另一点11(,)B x y ，则001,,x x x 必为方程000()()()()f x f x x x f x '=-+的三个实数根，由000()()()()f x f x x x f x '=-+，得32200001(2)()()3x x cx d x x c x x f x -++=-+-+ 因为上述方程的右边不含三次项和二次项， 所以0011313x x x -++=-=，所以1032x x =- 所以22111()2k f x x x c '==-+200(32)2(32)x x c =---+2004(2)33x x c c =-++-1433k c =+-．因此当且仅当330c -=时，1k 、1k 成比例，这时1c =，即存在实数1c =，使12k k 为定值．……………14分。

天津市部分区2016～2017学年度第一学期期末考试高三数学（理科）试卷温馨提示：使用答题卡的区，学生作答时请将答案写在答题卡上；不使用答题卡的区，学生作答时请将答案写在试卷上..第I 卷1至2页，第Ⅱ卷2至4页.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并在规定位置粘帖考试用条形码.答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷（选择题，共40分）注意事项：1．选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.2．本卷共8小题，每小题5分，共40分. 参考公式：如果事件,A B 互斥，那么()()()P AB P A P B =+．如果事件,A B 相互独立，那么()()()P A B P A P B =．锥体的体积公式13V Sh =，其中S 表示锥体的底面面积，h 表示锥体的高. 柱体的体积公式V Sh =，其中S 表示柱体的底面面积，h 表示柱体的高.一、选择题:在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）已知集合2{1,4},{|log ,}A B y y x x A ===∈，则A B =U（A ）{}1,4（B ）{}0,1,4（C ）{}0,2 （D ）{}0,1,2,4（2）设变量x ，y 满足约束条件240,330,10.x y x y x y +-⎧⎪+-⎨⎪--⎩≤≥≤则目标函数2z x y =-的最小值为（A ）165-（B ）3-（C ）0 （D ）1（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出v 的值为（A ）4（B ）5 （C ）6 （D ）7（4）已知ABC ∆是钝角三角形，若2,1==BC AC ，且ABC ∆的面积为2， 则=AB（A （B（C ）D ）3（5）设{n a }是公比为q 的等比数列，则“1q >” 是“{n a }为单调递增数列”的 （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件（6）已知双曲线22221x y a b-=（0,0a b >>）的焦点到渐近线的距离为2，且双曲线的一条渐近线与直线230x y -+=平行，则双曲线的方程为（A ）221164x y -=（B ）22194x y -= （C ）22149x y -=（D ）22184x y -= （7）在ABC ∆中，D 在AB 上，:1:2AD DB =，E 为AC 中点，CD 、BE 相交于点P ，连结AP ．设AP xAB yAC =+u u u r u u u r u u u r,x y ∈R （），则x ，y 的值分别为（A ）11,23（B ）12,33（C ）12,55 （D ）11,36（8）已知2()(3)e xf x x =-（其中x ∈R ，e 是自然对数的底数），当10t >时，关于x 的方程12[()][()]0f x t f x t --=恰好有5个实数根，则实数2t 的取值范围是（A ）(2e,0)- （B ）(]2e,0-（C ）32e,6e -⎡⎤-⎣⎦（D ）(32e,6e -⎤-⎦第Ⅱ卷（非选择题，共110分）注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 2．本卷共12小题，共110分.二、填空题：本大题共有6小题，每小题5分，共30分.（9）已知a，∈b R，i是虚数单位，若(12i)(2i)2ia b-+=-，则a b+的值为__________. （10）在261(4)xx-的展开式中，3x-的系数为__________. （用数字作答）（11）某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是__________.（12）在平面直角坐标系xOy中，由曲线1yx=（0x>）与直线y x=和3y=所围成的封闭图形的面积为__________.（13）在直角坐标系xOy中，已知曲线1:C11x tty tt⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(t为参数)，曲线2:Ccossinx ayθθ=⎧⎨=⎩(θ为参数，1a>)，若1C恰好经过2C的焦点，则a的值为__________.（14）已知24,1,()e, 1.xx x xf xx⎧-<⎪=⎨≥⎪⎩若方程()f x kx=有且仅有一个实数解，则实数k的取值范围为__________.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（15）（本小题满分13分）已知函数()2cos(cos)f x x x x a=+（a∈R）.（I）求()f x的最小正周期；（II）当[0,]2xπ∈时，()f x的最小值为2，求a的值.（16）（本小题满分13分）某区选派7名队员代表本区参加全市青少年围棋锦标赛，其中3名来自A学校且1名为女棋手，另外4名来自B学校且2名为女棋手.从这7名队员中随机选派4名队员参加第一阶段的比赛．（I）求在参加第一阶段比赛的队员中，恰有1名女棋手的概率；（II）设X为选出的4名队员中A、B两校人数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望.（17）（本小题满分13分）如图，在四棱锥P ABCD-中，底面ABCD为直角梯形，AB AD⊥，//AD BC，122AD BC==，E在BC上，且PAB E CD112BE AB ==，侧棱PA ⊥平面ABCD . （I ）求证：平面PDE ⊥平面PAC ； （II ）若PAB ∆为等腰直角三角形.（i ）求直线PE 与平面PAC 所成角的正弦值； （ii ）求二面角A PC D --的余弦值.（18）（本小题满分13分）已知数列{}n a 的前n 项和2=n A n （n *∈N ），11n n n n na ab a a ++=+（n *∈N ），数列{}n b 的前n 项和为n B .（I ）求数列{}n a 的通项公式； （II ）设2n n n a c =（n *∈N ），求数列{}n c 的前n 项和n C ； （III ）证明：222<<+n n B n （n *∈N ）. （19）（本小题满分14分）已知椭圆2222: 1 (0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，上顶点为B ，若12BF F ∆的周长为6，且点1F 到直线2BF 的距离为b .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设12,A A 是椭圆C 长轴的两个端点，点P 是椭圆C 上不同于12,A A 的任意一点，直线1A P 交直线x m =于点M ，若以MP 为直径的圆过点2A ，求实数m 的值. （20）（本小题满分14分）已知函数321()3f x x x cx d =-++（,c d ∈R ），函数()f x 的图象记为曲线C . （I ）若函数()f x 在[0,)+∞上单调递增，求c 的取值范围；（II ）若函数()y f x m =-有两个零点,()αβαβ≠，且x α=为()f x 的极值点，求2αβ+的值；（III ）设曲线C 在动点00(,())A x f x 处的切线1l 与C 交于另一点B ，在点B 处的切线为2l ，两切线的斜率分别为12,k k ，是否存在实数c ，使得12k k 为定值？若存在，求出c 的值；若不存在，说明理由.天津市部分区2016～2017学年度第一学期期末考试高三数学（理科）参考答案一、选择题:1-4 DACB5-8DACD 二、填空题:9.810.24-11.32+4ln 3-(,e)-∞ 三、解答题:15.（本小题满分13分）解：（I）函数2()2cos cos cos 212f x x x x a x x a =++=+++2sin(2)16x a π=+++，……………………4分故函数()f x 的最小正周期为T π=. ………………………6分 （II ）由题意得70,,2,2666x x ππππ⎡⎤⎡⎤∈+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，……………………10分故min ()112f x a =-++=，所以2a =. ……………………13分 16.（本小题满分13分）解：（I ）由题意知，7名队员中分为两部分，3人为女棋手，4人为男棋手，设事件A =“恰有1位女棋手”，则()1334471235C C P A C ==，………………………4分 所以参加第一阶段的比赛的队员中，恰有1位女棋手的概率为1235.…………5分 （II ）随机变量X 的所有可能取值为0,2,4.其中()22344718035C C P X C ===， ()133134344716235C C C C P X C +===， ()0434471435C C P X C ===. ………………………………9分 所以，随机变量X 分布列为()1816136024********E X =⨯+⨯+⨯=. ………………………………13分 17.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）法一：∵△AGD△CGE ，知23DG AD AG GE ECGC ===，且AC = 故35GC AC ==. 同理可得355GE DE ==，且3EC =，222GC GE EC +=,ED AC ⊥. ………2分 又∵PA ⊥平面ABCD ∴PA ED ⊥……3分 而PAAC A =∴ED ⊥平面PAC .ED ⊂平面PDE ,故平面PDE ⊥平面PAC ； ……4分法二：∵PA ⊥平面ABCD ∴AB PA ⊥又∵AB AD ⊥，故可建立建立如图所示坐标系.由已知(0,2,0)D ，(2,1,0)E ，(2,4,0)C ，(0,0,)P λ（0λ>）∴(2,4,0)AC =，(0,0,)AP λ=，(2,1,0)DE =-∴4400DE AC ⋅=-+=，0DE AP ⋅=.……3分， ∴DE AC ⊥，DE AP ⊥，∴ED ⊥平面PAC ，ED ⊂平面PDE ,平面PDE ⊥平面PAC ；……4分（Ⅱ）（i）由（Ⅰ），平面PAC 的一个法向量是(2,1,0)DE =-，因为PAB ∆为等腰直角三角形，故2PA =，(2,1,2)PE =-.设直线PE 与平面PAC 所成的角为θ，则sin cos ,5PE DE θ=<>=………8分 （ii ）设平面PCD 的一个法向量为n 000(,,)x y z =，(2,2,0)DC =，(0,2,2)DP =- 由n DC ⊥，n DP ⊥∴0000220220x yy z +=⎧⎨-+=⎩，令01x =，则n (1,1,1)=--，………10分∴cos <n，DE >==.………11分 显然二面角A PC D --的平面角是锐角，∴二面角A PC D --的余弦值为515.………13分（其他方法可酌情给分） 18．（本小题满分13分）解：（I ）当2n ≥时，2=n A n ，21(1)-=-n A n ， 两式相减：121-=-=-n n n a A A n ；当1n =时，111==a A ，也适合21=-n a n ，故数列{}n a 的通项公式为21=-n a n ；. ………3分 （II ）由题意知：2122-==n n n na n c ，12n n C c c c =+++，123135212222-=++++n nn C ， 23411352122222+-=++++n n C n ，两式相减可得：1231122221222222+-=++++-n n n C n ， ……… 4分 即123-111111121()2222222+-=+++++-n n n C n ， -111121(1)2222+-=+--n n n C n ，2332+=-n n n C . ………7分 （III ）21212121-+=++-n n n b n n ，显然212122121-++>=+-n n n n ， 即2n b >，122n n B b b b n =+++>； ………9分另一方面，21212222112212*********-++=-++=+-+-+--+n n n n n n n n ， 即122213=+-b ，222235=+-b ，…，11222121⎛⎫=+- ⎪-+⎝⎭n b n n ，2222222(2)(2)(2)22221335212121=+-++-+++-=+-<+-++n B n n n n n ， 即：222<<+n n B n . ………13分 19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知得2222262c a cb ab a b c ⎧+=⎪=⎨⎪=+⎩，解得21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆C 的方程为22143x y +=. ……………5分（Ⅱ）由题意知12(2,0),(2,0)A A -， ……………6分 设00(,)P x y ，则100:(2)2A P y l y x x =++，得00(,(2))2yM m m x ++. 且由点P 在椭圆上，得22003(1)4x y =-. ……………8分 若以MP 为直径的圆过点2A ，则220A M A P ⋅=， ……………9分所以20000000(2,(2))(2,)(2)(2)(2)022y y m m x y m x m x x -+⋅-=--++=++2000000033(4)(2)(2)44(2)(2)(2)(2)(2)(2)022x x x m x m m x m x x --+--++=---+=++……………12分因为点P 是椭圆C 上不同于12,A A 的点，所以02x ≠±. 所以上式可化为3(2)(2)04m m --+=，解得14m =. ……………14分 20．（本小题满分14分）解法一:（I ）2()2f x x x c '=-+，当[0,)x ∈+∞时2()20f x x x c '=-+≥所以2min (2)0x x c -+≥，而22x x c -+在1x =处取得最小值，所以120c -+≥，1c ≥；……………4分 （II ）因为x α=为()f x 的极值点，所以21()20k f c ααα'==-+=，所以22c αα=-+， 又因为()y f x m =-有不同的零点,αβ，所以()()f f αβ=，即32321133c d c d ααααββ-++=-++， 整理得：21(23)()03αβαβ+--=， 所以23αβ+=．……………9分 （III ）满足条件的实数c 存在，由2()2f x x x c '=-+，知过00(,())A x f x 点与曲线相切的直线1l 为：000()()+()y f x x -x f x '=，且21002k x x c =-+将000()()+()y f x x -x f x '=与()y f x =联立即得B 点得横坐标，所以000()()+(())f x x -x f x f x '=即：3223200000011(2)()+33x x cx d x x c x -x x x cx d -++=-+-++ 整理得：2001(23)()03x x x x +--= 由已知0x x ≠,所以0230x x +-=所以032x x =-，即B 点的横坐标为032x - 所以过点B 的曲线的切线斜率为22()2k f x x x c '==-+200(32)2(32)x x c =---+2004(2)33x x c c =-++-1433k c =+-因此当且仅当 330c -=时，1k 、1k 成比例， 这时1c =即存在实数1c =，使12k k 为定值．……………14分 解法二：（I ）2()2f x x x c '=-+，当[0,)x ∈+∞时2()20f x x x c '=-+≥，所以2(2)c x x ≥--对任意的[0,)x ∈+∞恒成立，故2max [(2)]c x x ≥--， 即2max [(2)]1x x --=，故c 的取值范围是[1,)+∞；…………… 4分（II ）因为x α=为()f x 的极值点，且()y f x m =-有两个零点,()αβαβ≠， 所以()0f x m -=的三个实数根分别为,,ααβ， 由根与系数的关系得12313ααβαβ-++=+=-=；……………9分 （III ）满足条件的实数c 存在，因为2()2f x x x c '=-+，所以过00(,())A x f x 点且与曲线C 相切的直线1l 为：000()()+()y f x x -x f x '=，其中21002k x x c =-+.设1l 与C 交于另一点11(,)B x y ，则001,,x x x 必为方程'000()()()+()f x f x x -x f x =的三个实数根由'000()()()+()f x f x x -x f x =得32200001(2)()+()3x x cx d x x c x -x f x -++=-+ 因为上述方程的右边不含三次项和二次项， 所以0011313x x x -++=-= ，所以1032x x =- 所以'22111()2k f x x x c ==-+ 200(32)2(32)x x c =---+2004(2)33x x c c =-++-1433k c =+-.因此当且仅当 330c -=时，1k 、1k 成比例， 这时1c =，即存在实数1c =，使12k k 为定值. ……………14分天津市部分区2016～2017学年度第一学期期末考试高三数学（理科）参考答案一、选择题:1-4 DACB5-8DACD 二、填空题:9.810.24-11.32+4ln 3-(,e)-∞ 三、解答题:15.（本小题满分13分）解：（I）函数2()2cos cos cos 212f x x x x a x x a =++=+++2sin(2)16x a π=+++，……………………4分故函数()f x 的最小正周期为T π=. ………………………6分 （II ）由题意得70,,2,2666x x ππππ⎡⎤⎡⎤∈+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，……………………10分故min ()112f x a =-++=，所以2a =. ……………………13分 16.（本小题满分13分）解：（I ）由题意知，7名队员中分为两部分，3人为女棋手，4人为男棋手，设事件A =“恰有1位女棋手”，则()1334471235C C P A C ==，………………………4分 所以参加第一阶段的比赛的队员中，恰有1位女棋手的概率为1235.…………5分 （II ）随机变量X 的所有可能取值为0,2,4.其中()22344718035C C P X C ===， ()133134344716235C C C C P X C +===， ()0434471435C C P X C ===. ………………………………9分 所以，随机变量X 分布列为()181613602435353535E X =⨯+⨯+⨯=. ………………………………13分 17.（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）法一：∵△AGD△CGE ，知23DG AD AG GE EC GC ===，且AC = 故35GC AC ==. 同理可得35GE DE ==，且3EC =，222GC GE EC +=,ED AC ⊥. ………2分 又∵PA ⊥平面ABCD ∴PA ED ⊥……3分 而PAAC A =∴ED ⊥平面PAC .ED ⊂平面PDE ,故平面PDE ⊥平面PAC ； ……4分法二：∵PA ⊥平面ABCD ∴AB PA ⊥又∵AB AD ⊥，故可建立建立如图所示坐标系.由已知(0,2,0)D ，(2,1,0)E，(2,4,0)C ，(0,0,)P λ（0λ>）∴(2,4,0)AC =，(0,0,)AP λ=，(2,1,0)DE =-∴4400DE AC ⋅=-+=，0DE AP ⋅=.……3分，∴DE AC ⊥，DE AP ⊥，∴ED ⊥平面PAC ，ED ⊂平面PDE ,平面PDE ⊥平面PAC ；……4分（Ⅱ）（i ）由（Ⅰ），平面PAC 的一个法向量是(2,1,0)DE =-，因为PAB ∆为等腰直角三角形，故2PA =，(2,1,2)PE =-.设直线PE 与平面PAC 所成的角为θ，则sin cos ,PE DE θ=<>=………8分 （ii ）设平面PCD 的一个法向量为n 000(,,)x y z =，(2,2,0)DC =，(0,2,2)DP =- 由n DC ⊥，n DP ⊥∴0000220220x y y z +=⎧⎨-+=⎩，令01x =，则n (1,1,1)=--，………10分∴cos <n，DE >==.………11分 显然二面角A PC D --的平面角是锐角， ∴二面角A PC D --的余弦值为515.………13分（其他方法可酌情给分） 18．（本小题满分13分）解：（I ）当2n ≥时，2=n A n ，21(1)-=-n A n ， 两式相减：121-=-=-n n n a A A n ；当1n =时，111==a A ，也适合21=-n a n ，故数列{}n a 的通项公式为21=-n a n ；. ………3分 （II ）由题意知：2122-==n n n na n c ，12n n C c c c =+++，123135212222-=++++n nn C ， 23411352122222+-=++++n n C n ，两式相减可得：1231122221222222+-=++++-n n n C n ， ……… 4分 即123-111111121()2222222+-=+++++-n n n C n ， -111121(1)2222+-=+--n n n C n ，2332+=-n n n C . ………7分 （III ）21212121-+=++-n n n b n n ，显然212122121-++>=+-n n n n ， 即2n b >，122n n B b b b n =+++>； ………9分另一方面，21212222112212*********-++=-++=+-+-+--+n n n n n n n n ， 即122213=+-b ，222235=+-b ，…，11222121⎛⎫=+- ⎪-+⎝⎭n b n n ，2222222(2)(2)(2)22221335212121=+-++-+++-=+-<+-++n B n n n n n ， 即：222<<+n n B n . ………13分 19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知得2222262c a cb ab a b c ⎧+=⎪=⎨⎪=+⎩，解得21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆C 的方程为22143x y +=. ……………5分 （Ⅱ）由题意知12(2,0),(2,0)A A -， ……………6分 设00(,)P x y ，则100:(2)2A P y l y x x =++，得00(,(2))2yM m m x ++. 且由点P 在椭圆上，得22003(1)4x y =-. ……………8分 若以MP 为直径的圆过点2A ，则220A M A P ⋅=， ……………9分所以20000000(2,(2))(2,)(2)(2)(2)022y y m m x y m x m x x -+⋅-=--++=++2000000033(4)(2)(2)44(2)(2)(2)(2)(2)(2)022x x x m x m m x m x x --+--++=---+=++……………12分因为点P 是椭圆C 上不同于12,A A 的点，所以02x ≠±. 所以上式可化为3(2)(2)04m m --+=，解得14m =. ……………14分 20．（本小题满分14分）解法一:（I ）2()2f x x x c '=-+，当[0,)x ∈+∞时2()20f x x x c '=-+≥所以2min (2)0x x c -+≥，而22x x c -+在1x =处取得最小值，所以120c -+≥，1c ≥；……………4分 （II ）因为x α=为()f x 的极值点，所以21()20k f c ααα'==-+=，所以22c αα=-+， 又因为()y f x m =-有不同的零点,αβ，所以()()f f αβ=，即32321133c d c d ααααββ-++=-++， 整理得：21(23)()03αβαβ+--=， 所以23αβ+=．……………9分 （III ）满足条件的实数c 存在，由2()2f x x x c '=-+， 知过00(,())A x f x 点与曲线相切的直线1l 为：000()()+()y f x x -x f x '=，且21002k x x c =-+ 将000()()+()y f x x -x f x '=与()y f x =联立即得B 点得横坐标，所以000()()+(())f x x -x f x f x '=即：3223200000011(2)()+33x x cx d x x c x -x x x cx d -++=-+-++ 整理得：2001(23)()03x x x x +--= 由已知0x x ≠,所以0230x x +-=所以032x x =-，即B 点的横坐标为032x - 所以过点B 的曲线的切线斜率为22()2k f x x x c '==-+200(32)2(32)x x c =---+2004(2)33x x c c =-++-1433k c =+-因此当且仅当 330c -=时，1k 、1k 成比例， 这时1c =即存在实数1c =，使12k k 为定值．……………14分解法二：（I ）2()2f x x x c '=-+，当[0,)x ∈+∞时2()20f x x x c '=-+≥， 所以2(2)c x x ≥--对任意的[0,)x ∈+∞恒成立，故2max [(2)]c x x ≥--，即2max [(2)]1x x --=，故c 的取值范围是[1,)+∞；…………… 4分（II ）因为x α=为()f x 的极值点，且()y f x m =-有两个零点,()αβαβ≠， 所以()0f x m -=的三个实数根分别为,,ααβ， 由根与系数的关系得12313ααβαβ-++=+=-=；……………9分 （III ）满足条件的实数c 存在，因为2()2f x x x c '=-+，所以过00(,())A x f x 点且与曲线C 相切的直线1l 为：000()()+()y f x x -x f x '=，其中21002k x x c =-+.设1l 与C 交于另一点11(,)B x y ，则001,,x x x 必为方程'000()()()+()f x f x x -x f x =的三个实数根由'000()()()+()f x f x x -x f x =得32200001(2)()+()3x x cx d x x c x -x f x -++=-+ 因为上述方程的右边不含三次项和二次项， 所以0011313x x x -++=-= ，所以1032x x =- 所以'22111()2k f x x x c ==-+ 200(32)2(32)x x c =---+2004(2)33x x c c =-++-1433k c =+-.因此当且仅当 330c -=时，1k 、1k 成比例， 这时1c =，即存在实数1c =，使12k k 为定值. ……………14分。

天津市五区县2017届高三上学期期末考试（理）第Ⅰ卷（选择题 共40分）参考公式：如果事件,A B 互斥，那么()()()P A B P A P B =+ . 如果事件,A B 相互独立，那么()()()P A B P A P B = 锥体的体积公式13V Sh =，其中S 表示锥体的底面面积，h 表示锥体的高. 柱体的体积公式V Sh =，其中S 表示柱体的底面面积，h 表示柱体的高 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合{}{}21,4,|log ,A B y y x x A ===∈，则A B = （ ）A ． {}14,B ． {}0,14,C ． {}0,2D ．{}0,1,24, 2.设变量,x y 满足约束条件24033010x y x y x y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，则目标函数2z x y =-的最小值为（ ）A ．165-B ． 3-C ．0D ．1 3.阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出v 的值为（ ）A ．4B ． 5C ． 6D ． 74.已知ABC ∆是钝角三角形，若1,2AC BC ==，且ABC ∆，则AB =（ ） ABC. D ．35.设{}n a 是公比为q 的等比数列，则“1q >”是“{}n a 为单调递增数列”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件6.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的焦点的渐近线的距离为2，且双曲线的一条渐近线与直线230x y -+=平行，则双曲线的方程为（ ）A ．221164x y -=B ．22194x y -= C. 22149x y -= D ．22184x y -=7.在ABC ∆中，D 在AB 上，:1:2AD DB =，E 为AC 中点，CD BE 、相交于点P ，连结AP .设(),AP xAB y AC x y R =+∈，则,x y 的值分别为（ ）A ．1123，B ．1233， C.1255， D ．1136， 8.已知()()23x f x x e =-（其中,x R e ∈是自然对数的底数），当10t >时，关于x 的方程()()120f x t f x t --=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦恰好有5个实数根，则实数2t 的取值范围是（ ）A ．()2,0e -B ． (]2,0e - C. 32,6e e -⎡⎤-⎣⎦ D ．(32,6e e -⎤-⎦第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共有6小题，每小题5分，满分30分.9.已知,,a b R i ∈是虚数单位，若()()1222i ai b i -+=-，则a b +的值为__________．10.在6214x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，3x -的系数为__________.（用数字作答）11.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是____________．12.在平面直角坐标系xOy 中，由曲线()10y x x=>与直线y x =和3y =所围成的封闭图形的面积为__________.13.在直角坐标系xOy 中，已知曲线11:1x t tC y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），曲线2cos :sin x a C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，1a >），若1C 恰好经过2C 的焦点，则a 的值为 ．14.已知()24,1,1xx x x f x e x ⎧-<=⎨≥⎩，若方程()f x kx =有且仅有一个实数解，则实数k 的取值范围为 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （本小题满分13分）已知函数()()()2cos cos f x x x x a a R =++∈. （1）求()f x 的最小正周期； （2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 的最小值为2，求a 的值.16. （本小题满分13分）某区选派7名队员代表本区参加全市青少年围棋锦标赛，其中3名来自A 学校且1名为女棋手，另外4名来自B 学校且2名为女棋手.从这7名队员中随机选派4名队员参加第一阶段的比赛.（1）求在参加第一阶段比赛的队员中，恰有1名女棋手的概率；（2）设X 为选出的4名队员中A B 、两校人数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列和数学期望.17. （本小题满分13分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，1,//,2,2AB AD AD BC AD BC E ⊥==在BC 上，且112BE AB ==，侧棱PA ⊥平面ABCD .（1）求证：平面PDE ⊥平面PAC ； （2）若PAB ∆为等腰直角三角形.（i ）求直线PE 与平面PAC 所成角的正弦值； （ii ）求二面角A PC D --的余弦值.18. （本小题满分13分）已知数列{}n a 的前n 项和()()2**11,n n n n n na a A n n Nb n N a a ++=∈=+∈，数列{}n b 的前n 项和为n B .（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()*2nn n a c n N =∈，求数列{}n c 的前n 项和n C ； （3）证明：()*222n n B n n N <<+∈.19. （本小题满分14分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，上顶点为B ，若12BF F ∆的周长为6，且点1F 到直线2BF 的距离为b . （1）求椭圆C 的方程；（2）设12,A A 是椭圆C 长轴的两个端点，点P 是椭圆C 上不同于12,A A 的任意一点，直线1A P 交直线x m =于点M ，若以MP 为直径的圆过点2A ，求实数m 的值.20. （本小题满分14分） 已知函数()()321,,3f x x x cx d c d R =-++∈，函数()f x 的图像记为曲线C . （1）若函数()f x 在[)0+∞，上单调递增，求c 的取值范围； （2）若函数()y f x m =-有两个零点(),αβαβ≠，且x α=为()f x 的极值点， 求2αβ+的值；（3）设曲线C 在动点()()00,A x f x 处的切线1l 与C 交于另一点B ，在点B 处的切线为2l ，两切线的斜率分别为12,k k ，是否存在实数c ，使得12k k 为定值？若存在，求出c 的值；若不存在，说明理由.参考答案一、选择题1-4: DACB 5-8: DACD 二、填空题9.8 10. 24-11. 32+ 12. 4ln 3-14. (,e)-∞ 三、解答题15.（本小题满分13分）解：（I）函数2()2cos cos cos 212f x x x x a x x a =++=+++2sin(2)16x a π=+++， ……………………4分16.（本小题满分13分）解：（I ）由题意知，7名队员中分为两部分，3人为女棋手，4人为男棋手，设事件A =“恰有1位女棋手”，则()1334471235C C P A C ==，………………………4分 所以参加第一阶段的比赛的队员中，恰有1位女棋手的概率为1235.…………5分 （II ）随机变量X 的所有可能取值为0,2,4.其中()22344718035C C P X C ===， ()133134344716235C C C C P X C +===，()0434471435C C P X C ===. ………………………………9分 所以，随机变量X 分布列为随机变量X 的数学期望()1816136024********E X =⨯+⨯+⨯=. ………………………………13分 17.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）法一：∵△AGD △CGE ，知23DG AD AG GE EC GC ===，且AC =故35GC AC ==同理可得33555GE DE ==，且3EC =，222GC GE EC +=,. ………2分又∵平面∴ ……3分 而∴平面.ED ⊂平面PDE ,故平面PDE ⊥平面PAC ； ……4分法二：∵平面∴又∵，故可建立建立如图所示坐标系.由已知，，，（）∴，，∴，.……3分， ∴，，∴平面，ED ⊂平面PDE ,平面PDE ⊥平面PAC ；……4分（Ⅱ）（i ）由（Ⅰ），平面的一个法向量是，因为PAB ∆为等腰直角三角形，故2PA =，(2,1,2)PE =-.设直线与平面所成的角为，则5sin cos ,5PE DE θ=<>= ………8分（ii ）设平面的一个法向量为，，由，∴，令，则， ………10分∴，. ………11分显然二面角的平面角是锐角， ∴二面角的余弦值为.………13分（其他方法可酌情给分）18．（本小题满分13分）解：（I ）当2n ≥时，2=n A n ，21(1)-=-n A n ， 两式相减：121-=-=-n n n a A A n ；当1n =时，111==a A ，也适合21=-n a n ，故数列{}n a 的通项公式为21=-n a n ；. ………3分 （II ）由题意知：2122-==n n n n a n c ，12n n C c c c =+++ ，123135212222-=++++ n nn C ， 23411352122222+-=++++ nn C n ，两式相减可得：1231122221222222+-=++++- nn n C n ， ……… 4分 即123-111111121()2222222+-=+++++- nn n C n ， -111121(1)2222+-=+--nn n C n ，2332+=-n n n C . ………7分（III ）21212121-+=++-n n n b n n ，显然212122121-++>=+-n n n n ， 即2n b >，122n n B b b b n =+++> ； ………9分 另一方面，21212222112212*********-++=-++=+-+-+--+n n n n n n n n ， 即122213=+-b ，222235=+-b ，…，11222121⎛⎫=+- ⎪-+⎝⎭n b n n ，2222222(2)(2)(2)22221335212121=+-++-+++-=+-<+-++ n B n n n n n ， 即：222<<+n n B n . ………13分19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知得2222262c a cb ab a b c ⎧+=⎪=⎨⎪=+⎩，解得21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩.所以椭圆C 的方程为22143x y +=. ……………5分（Ⅱ）由题意知12(2,0),(2,0)A A -， ……………6分 设00(,)P x y ，则100:(2)2A P y l y x x =++，得00(,(2))2yM m m x ++. 且由点P 在椭圆上，得22003(1)4x y =-. ……………8分若以MP 为直径的圆过点2A ，则220A M A P ⋅=， ……………9分 所以20000000(2,(2))(2,)(2)(2)(2)022y y m m x y m x m x x -+⋅-=--++=++2000000033(4)(2)(2)44(2)(2)(2)(2)(2)(2)022x x x m x m m x m x x --+--++=---+=++……………12分 因为点P 是椭圆C 上不同于12,A A 的点，所以02x ≠±. 所以上式可化为3(2)(2)04m m --+=，解得14m =. ……………14分 20．（本小题满分14分）解法一:（I ）2()2f x x x c '=-+，当[0,)x ∈+∞时2()20f x x x c '=-+≥所以2min (2)0x x c -+≥，而22x x c -+在1x =处取得最小值，所以120c -+≥，1c ≥；……………4分 （II ）因为x α=为()f x 的极值点，所以21()20k f c ααα'==-+=，所以22c αα=-+， 又因为()y f x m =-有不同的零点,αβ，所以()()f f αβ=，即32321133c d c d ααααββ-++=-++，整理得：21(23)()03αβαβ+--=， 所以23αβ+=．……………9分 （III ）满足条件的实数c 存在， 由2()2f x x x c '=-+，知过00(,())A x f x 点与曲线相切的直线1l 为：000()()+()y f x x -x f x '=，且21002k x x c =-+将000()()+()y f x x -x f x '=与()y f x =联立即得B 点得横坐标，所以000()()+(())f x x -x f x f x '=即：3223200000011(2)()+33x x cx d x x c x -x x x cx d -++=-+-++ 整理得：2001(23)()03x x x x +--= 由已知0x x ≠,所以0230x x +-=所以032x x =-，即B 点的横坐标为032x - 所以过点B 的曲线的切线斜率为22()2k f x x x c '==-+ 200(32)2(32)x x c =---+2004(2)33x x c c =-++-1433k c =+-因此当且仅当 330c -=时，1k 、1k 成比例， 这时1c = 即存在实数1c =，使12k k 为定值．……………14分解法二：（I ）2()2f x x x c '=-+，当[0,)x ∈+∞时2()20f x x x c '=-+≥， 所以2(2)c x x ≥--对任意的[0,)x ∈+∞恒成立，故2max [(2)]c x x ≥--， 即2max [(2)]1x x --=，故c 的取值范围是[1,)+∞；…………… 4分（II ）因为x α=为()f x 的极值点，且()y f x m =-有两个零点,()αβαβ≠， 所以()0f x m -=的三个实数根分别为,,ααβ，由根与系数的关系得12313ααβαβ-++=+=-=；……………9分 （III ）满足条件的实数c 存在，因为2()2f x x x c '=-+，所以过00(,())A x f x 点且与曲线C 相切的直线1l 为：000()()+()y f x x -x f x '=，其中21002k x x c =-+.设1l 与C 交于另一点11(,)B x y ，则001,,x x x 必为方程'000()()()+()f x f x x -x f x =的三个实数根由'000()()()+()f x f x x -x f x =得32200001(2)()+()3x x cx d x x c x -x f x -++=-+ 因为上述方程的右边不含三次项和二次项， 所以0011313x x x -++=-= ，所以1032x x =- 所以'22111()2k f x x x c ==-+200(32)2(32)x x c =---+2004(2)33x x c c =-++-1433k c =+-.因此当且仅当 330c -=时，1k 、1k 成比例，这时1c =，即存在实数1c =，使12k k 为定值. …14分。

天津市部分区2017-2018学年度第一学期期末考试高三数学（理）（附答案）第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合}04|{2≤-=x x A ，集合}01|{>-=x x B ，则=B A （ ） A ． )2,1( B ． ]2,1( C ．)1,2[- D ．)1,2(-2.“4πα=”是“02cos =α”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要3.设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-+≥01209320y x y x x ，则目标函数y x z 2+=的取值范围是（ ）A ．),6[+∞B ．),5[+∞C ．]6,5[D ． ]5,0[4.阅读如图所示的程序框图，若输入的b a ,分别为1，2，运行相应的程序，则输出S 的值为（ ）A ．320 B ．516 C. 27 D ．815 5.已知双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的一个焦点为)0,2(-F ，且双曲线的两条渐近线的夹角为060，则双曲线的方程为（ ）A ．1322=-y x B ．12622=-y x C. 1322=-y x 或1322=-y x D ．1322=-y x 或12622=-y x 6.在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知B C 2sin sin =，且2=b ，3=c ，则a 等于（ ） A ．21B ．3 C. 2 D ．32 7.如图，平面四边形ABCD 中，090=∠=∠ADC ABC ，2==CD BC ，点E 在对角线AC 上，44==AE AC ，则∙的值为（ ）A ． 17B ．13 C. 5 D ．18.已知函数x x e e x f -+=)(（其中e 是自然对数的底数），若当0>x 时，1)(-+≤-m e x mf x 恒成立，则实数m 的取值范围为（ ）A ．)31,0( B ．]31,(--∞ C. ),31[+∞ D ．]31,31[-第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9.已知i 为虚数单位，则=+-ii12 ． 10.在6)12(xx -的展开式中2x 的系数为 ．（用数字作答）11.一个四棱柱的三视图如图所示，该四棱柱的体积为 ．12.已知曲线3x y =与直线)0(>=k kx y 在第一象限内围成的封闭图形的面积为4，则k ．13.在平面直角坐标系xoy 中，已知抛物线⎩⎨⎧==t y t x 442（t 为参数）的焦点为F ，动点P 在抛物线上，动点Q在圆⎩⎨⎧=+=ααsin cos 3y x （α为参数）上，则||||PQ PF +的最小值为 ．14.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤+=0|,ln |0,131)(x x x x x f ，若函数0)(=-ax x f 恰有3个零点，则实数a 的取值范围为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知函数x x x x x f cos sin 32sin cos )(22+-=，R x ∈. （1）求)(x f 的最小正周期； （2）求)(x f 在区间]4,6[ππ-上的最大值与最小值.16.某大学现有6名包含A 在内的男志愿者和4名包含B 在内的女志愿者，这10名志愿者要参加第十三届全运会支援服务工作，从这些人中随机抽取5人参加田赛服务工作，另外5人参加径赛服务工作. （1）求参加田赛服务工作的志愿者中包含A 但不包含B 的概率；（2）设X 表示参加径赛服务工作的女志愿者人数，求随机变量X 的分布列与数学期望.17. 在如图所示的几何体中，AC DE //，090=∠=∠ACD ACB ，32==DE AC ，2=BC ，1=DC ，二面角E AC B --的大小为060.（1）求证：⊥BD 平面ACDE ；（2）求平面BCD 与平面BAE 所成的角（锐角）的大小；（3）若F 为AB 的中点，求直线EF 与平面BDE 所成的角的大小.18. 已知}{n a 是等比数列，满足21=a ，且432,2,a a a +成等差数列. （1）求}{n a 的通项公式；（2）设n n na b 2=，数列}{n b 的前n 项和为n S ，4792)(2-+-=n S n n n g ),2(*N n n ∈≥，求正整数k 的值，使得对任意2≥n 均有)()(n g k g ≥.19. 设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为1F ，离心率为21，1F 为圆0152:22=-++x y x M 的圆心.（1）求椭圆的方程；（2）已知过椭圆右焦点2F 的直线l 交椭圆于B A ,两点，过2F 且与l 垂直的直线1l 与圆M 交于D C ,两点，求四边形ACBD 面积的取值范围.20. 已知函数)1(ln )(x a x x f -+=，R a ∈. （1）讨论)(x f 的单调性； （2）当21-=a 时，令)(21)(2x f x x g --=，其导函数为)('x g ，设21,x x 是函数)(x g 的两个零点，判断221x x +是否为)('x g 的零点？并说明理由.天津市部分区2017～2018学年度第一学期期末考试高三数学（理）参考答案一、选择题: 1－8CABDC CDB 二、填空题： 9．1322i - 10．240 11．36 12．4 13．3 14．11,3e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭三、解答题：（15）解：（Ⅰ）()22cos sin cos f x x x x x =-+cos22x x =12cos 222sin 2226x x x π⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以22T ππ==，所以()f x 的最小正周期为π． （Ⅱ）由,64x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，得22,663x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦， 所以当2,662x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，即,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 单调递增； 当22,623x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，即,64x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 单调递减； 且当266x ππ+=-，即6x π=-时，1sin 262x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，此时()=1f x -； 当262x ππ+=，即6x π=时，sin 216x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，此时()=2f x ;当2263x ππ+=，即4x π=时，sin 262x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，此时()f x 所以当6x π=-时，()f x 取得最小值1-；当6x π=时，()f x 取得最大值2（16）解：（I ）记参加田赛服务工作的志愿者中包含A 但不包含B 的事件为M ，则基本事件的总数为510C ， 事件M 包含基本事件的个数为48C ，则()48510518C P M C ==.(II)由题意知X 可取的值为：0,1,2,3,4.则()5651010,42C P X C === ()416451051,21C C P X C === ()3264510102,21C C P X C ===()236451053,21C C P X C === ()146451014,42C C P X C ===因此X 的分布列为X 的数学期望是()()()()()()0011223344E X P X P X P X P X P X =⨯=+⨯=+⨯=+⨯=+⨯==151******** 2.4221212142⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= （17）解：方法一：（I ）因为90ACB ACD ∠=∠=，则AC CD ⊥，AC CB ⊥， 所以BCD ∠为二面角B AC E --的平面角，即60BCD ∠=， 在BCD ∆中，2BC =，1DC =，60BCD ∠=，所以214122132BD =+-⨯⨯⨯=，所以222BD DC BC +=，即BD DC ⊥， 由AC CD ⊥，AC CB ⊥，且BC DC C =，可知AC ⊥平面BCD ，又BD ⊂平面BCD ，所以AC BD ⊥， 又因为ACDC C =，AC ⊂平面ACDE ，DC ⊂平面ACDE ，所以BD ⊥平面ACDE ．（II ）由BD ⊥平面ACDE 得BD DC ⊥，BD DE ⊥，又AC CD ⊥，即DB ，DC ，DE 两两垂直，则以DB ，DC ，DE 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示．由（I）知BD =， 则()0,0,0D，)0,0B ，()0,1,0C ，由23AC DE ==得30,0,2E ⎛⎫⎪⎝⎭，()0,1,3A 依题意30,1,2AE ⎛⎫=--⎪⎝⎭，()31,3AB =--，设平面BAE 的一个法向量为(),,n x y z =，则00n AE n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即30230y z y z ⎧--=⎪--=，不妨设3y =，可得()3,3,2n =--，由AC ⊥平面BCD 可知平面BCD 的一个法向量为()0,0,3AC = 设平面BCD 与平面BAE 所成的角（锐角）为θ，所以61cos cos ,432n AC n AC n ACθ⋅====⨯，于是=3πθ，所以平面BCD 与平面BAE 所成的角（锐角）为3π． （III ）若F 为AB 的中点，则由（II ）可得13,,22F ⎫⎪⎪⎝⎭，所以31,,02EF ⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭，依题意CD ⊥平面BDE ，可知平面BDE 的一个法向量为()0,1,0DC =， 设直线EF 与平面BDE 所成角为α，则1sin cos ,2DC EF DC EF DC EFα⋅===，所以直线EF 与平面BDE 所成角的大小6π． 方法二：（I ）因为90ACB ACD ∠=∠=，则AC CD ⊥，AC CB ⊥， 所以BCD ∠为二面角B AC E --的平面角，即60BCD ∠=， 在BCD ∆中，2BC =，1DC =，60BCD ∠=，所以214122132BD =+-⨯⨯⨯=，所以222BD DC BC +=，即BD DC ⊥， 由AC CD ⊥，AC CB ⊥，且BC DC C =，可知AC ⊥平面BCD ，又BD ⊂平面BCD ，所以AC BD ⊥， 又因为ACDC C =，AC ⊂平面ACDE ，DC ⊂平面ACDE ，所以BD ⊥平面ACDE ．（Ⅱ）令CD AE ,的延长线的交点为G ，连BG 。

绝密★启用前天津市部分区2017~2018学年度第一学期期末考试高三数学（理）温馨提示：使用答题卡的区，学生作答时请将答案写在答题卡上；不使用答题卡的第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}240A x x=-…，集合{}10B x x=->，则A B=A. (1, 2)B. (1, 2]C. [-2, 1)D. (-2, 1)2. “4πα=”是“cos 2α= 0”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 设变量x，y满足约束条件0,2390,210,xx yx y⎧⎪+-⎨⎪--⎩………则目标函数z=x+ 2y的取值范围是A. [6,+∞)B. [5,+∞)C. [5, 6]D. [0, 5]4. 阅读如图所示的程序框图，若输入的a，b分别是1，2，运行相应的程序，则输出S的值为A.203B.165C.72D.1585.已知双曲线22221x y a b-=（a > 0，b > 0）的一个焦点为F (-2, 0)，且双曲线的两条渐近线的夹角为60︒，则双曲线的方程为 A. 2213x y -=B. 22162x y -= C. 2213x y -=或2213y x -= D. 2213x y -=或22162x y -= 6.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知sin C = sin 2B ，且b = 2，c =，则a 等于A.12B. C. 2D. 7.如图，平面四边形ABCD ，∠ABC = ∠ADC = 90︒，BC = CD = 2，点E 在对角线AC 上，AC = 4AE = 4，则EB ED ⋅的值为A. 17B. 13C. 5D. 18.已知函数f (x ) = e x + e -x （其中e 是自然对数的底数），若当x > 0时，mf (x )≤e -x + m - 1恒成立，则实数m 的取值范围为A. 1(0,)3B. 1(,]3-∞-C. 1[,)3+∞D. 11[,]33-第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.已知i 为虚数单位，则2i1i-=+__________. 10. 在61(2)x x-的展开式中x 2的系数为__________.（用数字作答）11. 一个四棱柱的三视图如图所示，该四棱柱的体积为__________.12. 已知曲线y = x 3与直线y= kx （k >0）在第一象限内围成的封闭图形的面积为4，则k= __________.B正视图侧视图俯视图13. 在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线244x t y t ⎧=⎨=⎩（t 为参数）的焦点为F ，动点P在抛物线上，动点Q 在圆3cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）上，则⎪PF ⎪+⎪PQ ⎪的最小值为__________.14. 已知函数11,0,()3ln ,0.x x f x x x ⎧+⎪=⎨⎪>⎩… 若函数f (x ) - ax = 0恰有3个零点，则实数a 的取值范围为__________.5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分13分）已知函数22()cos sin cos f x x x x x =-+（x ∈R ）. （Ⅰ）求f (x )的最小正周期； （Ⅱ）求f (x )在区间[,]64ππ-上的最大值与最小值.16.（本小题满分13分）某大学现有6名包括A在内的男志愿者和4名包括B在内的女志愿者，这10名志愿者要参加第十三届全运会志愿服务工作，从这些人随机抽取5人参加田赛服务工作，另外5人参加径赛服务工作.（Ⅰ）求参加田赛服务工作的志愿者中包含A但不包含B的概率；（Ⅱ）设X表示参加径赛服务工作的女志愿者人数，求随机变量X的分布列和数学期望.17.（本小题满分13分）在如图所示的几何体中，DE∥AC，∠ACB=∠ACD= 90︒，AC= 2DE= 3，BC= 2，DC= 1，二面角B-AC-E的大小为60︒.（Ⅰ）求证：BD⊥平面ACDE；（Ⅱ）求平面BCD与平面BAE所成角（锐角）的大小；（Ⅲ）若F为AB的中点，求直线EF与平面BDE所成角的大小.B DC EA18.（本小题满分13分）已知{a n }是等比数列，满足a 1 = 2，且a 2，a 3 + 2，a 4成等差数列. （Ⅰ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）设b n = 2na n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，2297()4n n n g n S -+=-（n ≥2，n ∈N *），求正整数k 的值，使得对任意n ≥2均有g (k )≥g (n ).19.（本小题满分14分）设椭圆22221x ya b+=（a>b> 0）的左焦点为F1，离心率为12.F1为圆M：x2+y2+ 2x- 15 = 0的圆心.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知过椭圆右焦点F2的直线l交椭圆于A，B两点，过F2且与l垂直的直线l1与圆M交于C，D两点，求四边形ABCD面积的取值范围.20.（本小题满分14分）已知函数f (x ) = ln x + a (1 - x )（a ∈R ）. （Ⅰ）讨论f (x )的单调性； （Ⅱ）当12a =-时，令g (x ) = x 2 - 1 - 2f (x )，其导函数为g ′(x ).设x 1，x 2是函数g (x )的两个零点，判断122x x +是否为g ′(x )的零点？并说明理由.天津市部分区2017～2018学年度第一学期期末考试高三数学（理）参考答案一、选择题:在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1－8CABDC CDB二、填空题：本大题共有6小题，每小题5分，共30分. 9．1322i - 10．240 11．36 12．4 13．3 14．11,3e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）()22cos sin cos f x x x x x =-+cos22x x = ……………………2分12cos 222sin 226x x x π⎛⎫⎛⎫==+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭……………………4分 所以22T ππ==，所以()f x 的最小正周期为π．……………………6分 （Ⅱ）由,64x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，得22,663x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦， ……………………7分 所以当2,662x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，即,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 单调递增； 当22,623x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，即,64x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 单调递减；……………9分 且当266x ππ+=-，即6x π=-时，1sin 262x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，此时()=1f x -； 当262x ππ+=，即6x π=时，sin 216x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，此时()=2f x ;当2263x ππ+=，即4x π=时，sin 26x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，此时()f x ………12分 所以当6x π=-时，()f x 取得最小值1-；当6x π=时，()f x 取得最大值2 (13)分（16）（本小题满分13分）解：（I ）记参加田赛服务工作的志愿者中包含A 但不包含B 的事件为M ，则基本事件的总数为510C ， ……………………1分 事件M 包含基本事件的个数为48C ， ……………………2分则()48510518C P M C ==. ……………………4分(II)由题意知X 可取的值为：0,1,2,3,4. ……………………5分则()5651010,42C P X C === ()416451051,21C C P X C === ()3264510102,21C C P X C ===()236451053,21C C P X C === ()146451014,42C C P X C === ……………………10分因此X 的分布列为……………………11分X 的数学期望是()()()()()()0011223344E X P X P X P X P X P X =⨯=+⨯=+⨯=+⨯=+⨯==151******** 2.4221212142⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= ……………………13分 （17）（本小题满分13分）解：方法一：（I ）因为90ACB ACD ∠=∠=，则AC CD ⊥，AC CB ⊥，所以BCD ∠为二面角B AC E --的平面角，即60BCD ∠=，………………1分在BCD ∆中，2BC =，1DC =，60BCD ∠=，所以214122132BD =+-⨯⨯⨯=，所以222BD DC BC +=，即BD DC ⊥，…………2分由AC CD ⊥，AC CB ⊥，且BC DC C = ，可知AC ⊥平面BCD ，又BD ⊂平面BCD ，所以AC BD ⊥，…………………………………………………3分又因为AC DC C = ，AC ⊂平面ACDE ，DC ⊂平面ACDE ，所以BD ⊥平面ACDE ． ………………………4分（II ）由BD ⊥平面ACDE 得BD DC ⊥，BD DE ⊥，又AC CD ⊥，即DB ，DC ，DE 两两垂直，则以DB ，DC ，DE分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示．由（I）知BD ， 则()0,0,0D，)0,0B ，C 由23AC DE ==得30,0,2E ⎛⎫⎪⎝⎭，()0,1,3A …………6依题意30,1,2AE ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，)1,3AB =--，设平面BAE 的一个法向量为(),,n x y z =，则00n AE n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即30230y z y z ⎧--=⎪--=，不妨设3y =，可得()3,2n =-， …………8分由AC ⊥平面BCD 可知平面BCD 的一个法向量为()0,0,3AC =………………9分设平面BCD 与平面BAE 所成的角（锐角）为θ，所以61cos cos ,432n AC n AC n ACθ⋅====⨯，于是=3πθ， 所以平面BCD 与平面BAE 所成的角（锐角）为3π． ………………10分 （III ）若F 为AB 的中点，则由（II ）可得13,,222F ⎛⎫⎪⎪⎝⎭，所以1,,02EF ⎫=⎪⎪⎝⎭，………11分依题意CD ⊥平面BDE ，可知平面BDE 的一个法向量为()0,1,0DC =，……………12分设直线EF 与平面BDE 所成角为α，则1sin cos ,2DC EF DC EF DC EFα⋅===，所以直线EF 与平面BDE 所成角的大小6π．……13分 方法二：（I ）因为90ACB ACD ∠=∠= ，则AC CD ⊥，AC CB ⊥，所以BCD ∠为二面角B AC E --的平面角，即60BCD ∠= ，…………1分 在BCD ∆中，2BC =，1DC =，60BCD ∠= ，所以214122132BD =+-⨯⨯⨯=，所以222BD DC BC +=，即BD DC ⊥，…2分 由AC CD ⊥，AC CB ⊥，且BC DC C = ，可知AC ⊥平面BCD ，又BD ⊂平面BCD ，所以AC BD ⊥， …………………………………3分 又因为AC DC C = ，AC ⊂平面ACDE ，DC ⊂平面ACDE ，所以BD ⊥平面ACDE ． ………………4分（Ⅱ）令CD AE ,的延长线的交点为G ，连BG 。

2016-2017学年天津市和平区高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A={x|x2﹣x﹣6＞0}，B={x|﹣3≤x≤1}，则A∩B=（）A．（﹣2，1]B．（﹣3，﹣2]C．[﹣3，﹣2）D．（﹣∞，1]∪（3，+∞）2．设变量x，y满足约束条件则目标函数z=4x+y的最大值为（）A．4 B．11 C．12 D．143．如图，在△ABC中，若AB=5，AC=7，∠B=60°，则BC等于（）A．B．C．8 D．4．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出的T的值为（）A．57 B．120 C．183 D．2475．已知log a2，log b2∈R，则“2a＞2b＞2”是“log a2＜log b2”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．已知双曲线（a＞0，b＞0）的两条渐进线与抛物线y2=﹣8x的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点，若△ABO的面积为，则双曲线的离心率为（）A．B．2 C． D．47．如图，在平行四边形ABCD中，，AB=2，AD=1，若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足，其中λ∈[0，1]，则的取值范围是（）A．[0，3]B．[1，4]C．[2，5]D．[1，7]8．已知函数若关于x的方程恰有三个不相等的实数解，则m的取值范围是（）A． B． C．D．二、填空题已知z1=a+3i，z2=3﹣4i，若为纯虚数，则实数a的值为．10．的展开式中的常数项为．（用数学作答）11．几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为cm3．12．直线y=kx+3（k≠0）与圆x2+y2﹣6x﹣4y+9=0相交于A、B两点，若，则k的值是．13．已知a＞b＞0，那么a2+的最小值为．14．定义在R上的奇函数f（x）是周期为2的周期函数，当x∈[0，1）时，f（x）=2x﹣1，则f（log23）的值为．三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．（13分）已知函数．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在上的单调递增区间．16．（13分）甲、乙两人各进行3次射击，甲、乙每次击中目标的概率分别为和．（1）求甲至多击中目标2次的概率；（2）记乙击中目标的次数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．17．（13分）如图，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，EB∥PA，AB=PA=4，EB=2，F为PD的中点．（1）求证：AF⊥PC；（2）求证：BD∥平面PEC；（3）求锐角二面角D﹣PC﹣E的余弦值．=a n+3•2n﹣1．18．（13分）设数列{a n}满足条件a1=1，a n+1（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若=n，求数列{b n}的前n项和S n．19．（14分）已知椭圆E：（a＞b＞0）经过点A（2，3），离心率．（1）求椭圆E的方程；（2）若∠F1AF2的角平分线所在的直线l与椭圆E的另一个交点为B，C为椭圆E 上的一点，当△ABC的面积最大时，求C点的坐标．20．（14分）已知函数（a∈R且a≠0）．（1）当a=﹣1时，求曲线y=f（x）在（﹣2，f（﹣2））处的切线方程；（2）当a＞0时，求函数y=f（x）的单调区间和极值；（3）当x∈[2a，2a+2]时，不等式|f'（x）|≤3a恒成立，求a的取值范围．2016-2017学年天津市和平区高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A={x|x2﹣x﹣6＞0}，B={x|﹣3≤x≤1}，则A∩B=（）A．（﹣2，1]B．（﹣3，﹣2]C．[﹣3，﹣2）D．（﹣∞，1]∪（3，+∞）【考点】交集及其运算．【分析】化简集合A，再由集合的交集运算即可得到所求．【解答】解：集合A={x|x2﹣x﹣6＞0}={x|﹣2＜x＜3}=（﹣2，3），B={x|﹣3≤x≤1}=[﹣3，1]，则A∩B=（﹣2，1]．故选：A．【点评】本题考查集合的交集运算，同时考查二次不等式的解法，属于基础题．2．设变量x，y满足约束条件则目标函数z=4x+y的最大值为（）A．4 B．11 C．12 D．14【考点】简单线性规划．【分析】利用线性规划的内容作出不等式组对应的平面区域，然后由z=4x+y得y=﹣4x+z，根据平移直线确定目标函数的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=4x+y得y=﹣4x+z，平移直线y=﹣4x+z，由图象可知当直线经过点A时，直线的截距最大，此时Z最大，由，解得，即A（2，3），代入z=4x+y得最大值为z=4×2+3=11．故选：B．【点评】本题主要考查二元一次不等式组表示平面区域的知识，以及线性规划的基本应用，利用数形结合是解决此类问题的关键．3．如图，在△ABC中，若AB=5，AC=7，∠B=60°，则BC等于（）A．B．C．8 D．【考点】余弦定理的应用．【分析】由已知利用余弦定理即可解得BC的值．【解答】解：∵在△ABC中，∠ABC=60°，且AB=5，AC=7，∴由余弦定理AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC，可得：72=52+BC2﹣2×5×BC×，∴整理可得：BC2﹣5BC﹣24=0，解得：BC=8或﹣3（舍去）．故选：C．【点评】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力，属于基础题．4．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出的T的值为（）A．57 B．120 C．183 D．247【考点】程序框图．【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的T，k的值，可得当k=63时满足条件k＞60，退出循环，输出T的值为120，即可得解．【解答】解：模拟程序的运行，可得T=0，k=1T=1不满足条件k＞60，k=3，T=4不满足条件k＞60，k=7，T=11不满足条件k＞60，k=15，T=26不满足条件k＞60，k=31，T=57不满足条件k＞60，k=63，T=120满足条件k＞60，退出循环，输出T的值为120．故选：B．【点评】本题考查的知识点是循环结构，当循环次数不多时，多采用模拟循环的方法，本题属于基础题．5．已知log a2，log b2∈R，则“2a＞2b＞2”是“log a2＜log b2”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】分别由2a＞2b＞2，得到a＞b＞1，由log a2＜log b2，得到a＞b，结合集合的包含关系判断即可．【解答】解：由2a＞2b＞2，得：a＞b＞1，得：log a2＜log b2，是充分条件，由log a2＜log b2得：＜，即＜，故a＞b，故”2a＞2b＞2”是“log a2＜log b2”的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题考查了充分必要条件，考查集合的包含关系以及指数函数、对数函数的性质，是一道基础题．6．已知双曲线（a＞0，b＞0）的两条渐进线与抛物线y2=﹣8x的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点，若△ABO的面积为，则双曲线的离心率为（）A．B．2 C． D．4【考点】双曲线的简单性质．【分析】由已知条件，分别求出抛物线的准线方程和双曲线的渐近线，由三角形的面积求出b=a，由此能求出双曲线的离心率．【解答】解：y2=﹣8x的准线方程为l：x=2，∵双曲线（a＞0，b＞0）的两条渐进线与抛物线y2=﹣8x的准线分别交于A，B两点，△ABO的面积为，∴=，∴b=a，∴c=2a，∴e==2．故选：B．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，是中档题，解题时要熟练掌握抛物线、双曲线的简单性质．7．如图，在平行四边形ABCD中，，AB=2，AD=1，若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足，其中λ∈[0，1]，则的取值范围是（）A．[0，3]B．[1，4]C．[2，5]D．[1，7]【考点】平面向量数量积的运算．【分析】画出图形，建立直角坐标系，利用比例关系，求出M，N的坐标，然后通过二次函数求出数量积的范围．【解答】解：建立如图所示的直角坐标系，则B（2，0），A（0，0），D（，）．∵，λ∈[0，1]，=+λ=+λ=M（2+，λ），即M（2+，λ）；==+（﹣λ）=（，）+（1﹣λ）•（2，0）=（﹣2λ，），即N（﹣2λ，）．所以=（2+，λ）•（﹣2λ，）=﹣λ2﹣2λ+5=﹣（λ+1）2+6．因为λ∈[0，1]，二次函数的对称轴为：λ=﹣1，故当λ∈[0，1]时，﹣λ2﹣2λ+5∈[2，5]．故选：C．【点评】本题考查向量的综合应用，平面向量的坐标表示以及数量积的应用，二次函数的最值问题，考查计算能力，属于中档题．8．已知函数若关于x的方程恰有三个不相等的实数解，则m的取值范围是（）A． B． C．D．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】若关于x的方程f（x）=x+m恰有三个不相等的实数解，则函数f（x）的图象与直线y=x+m有三个交点，数形结合可得答案．【解答】解：函数的图象如下图所示：若关于x的方程f（x）=x+m恰有三个不相等的实数解，则函数f（x）的图象与直线y=x+m有三个交点，当直线y=x+m经过原点时，m=0，由y=﹣x2+2x的导数y′=﹣2x+2=得：x=，当直线y=x+m与y=﹣x2+2x相切时，切点坐标为：（，），当直线y=x+m经过（，）时，m=，故m∈（0，），故选：D．【点评】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，数形结合思想，难度中档．二、填空题（2016秋•和平区期末）已知z1=a+3i，z2=3﹣4i，若为纯虚数，则实数a的值为4．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把z1=a+3i，z2=3﹣4i，代入，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0求得a值．【解答】解：∵z1=a+3i，z2=3﹣4i，∴=，又为纯虚数，∴3a﹣12=0，即a=4．故答案为：4．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．10．的展开式中的常数项为．（用数学作答）【考点】二项式定理的应用．=（﹣1）r，令=0，解得r即可得【分析】通项公式T r+1出．==（﹣1）r，【解答】解：通项公式T r+1令=0，解得r=6，∴常数项为=．故答案为：．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11．几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为cm3．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，代入棱锥体积公式，可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，其底面面积S=3××22=cm2，高h=3cm，故棱锥的体积V==cm3，故答案为：【点评】本题考查的知识点是棱锥的体积和表面积，简单几何体的三视图，难度中档．12．直线y=kx+3（k≠0）与圆x2+y2﹣6x﹣4y+9=0相交于A、B两点，若，则k的值是0或．【考点】直线和圆的方程的应用；直线与圆的位置关系．【分析】由弦长公式得，当圆心到直线的距离等于1时，弦长，解此方程求出k的取值即可．【解答】解：圆x2+y2﹣6x﹣4y+9=0化为：圆（x﹣3）2+（y﹣2）2=4圆心坐标（3，2），半径为2，因为直线y=kx+3与圆（x﹣3）2+（y﹣2）2=4相交于A、B两点，，由弦长公式得，圆心到直线的距离等于1，即=1，8k（k+）=0，解得k=0或k=﹣，故答案为：0或．【点评】本题考查圆心到直线的距离公式的应用，以及弦长公式的应用．考查计算能力．13．已知a＞b＞0，那么a2+的最小值为4．【考点】基本不等式．【分析】先利用基本不等式求得b（a﹣b）范围，进而代入原式，进一步利用基本不等式求得问题答案．【解答】解：因为a＞b＞0，，所以，当且仅当，即时取等号．那么的最小值是4，故答案为：4．【点评】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．解题的时候注意两次基本不等式等号成立的条件要同时成立．14．定义在R上的奇函数f（x）是周期为2的周期函数，当x∈[0，1）时，f（x）=2x﹣1，则f（log23）的值为﹣．【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】由奇函数和周期函数的定义，转化f（log23）=﹣f（log2），再由已知条件，结合对数恒等式计算即可得到所求值．【解答】解：定义在R上的奇函数f（x）是周期为2的周期函数，可得f（log23）=﹣f（﹣log23）=﹣f（2﹣log23）=﹣f（log2），由当x∈[0，1）时，f（x）=2x﹣1，可得f（log2）=2﹣1=﹣1=，则f（log23）=﹣，故答案为：﹣．【点评】本题考查函数的奇偶性和周期性的运用，注意定义和转化思想的运用，考查运算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．（13分）（2016秋•和平区期末）已知函数．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在上的单调递增区间．【考点】正弦函数的单调性；三角函数的周期性及其求法．【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性得出结论．（2）利用正弦函数的单调性求得f（x）在上的单调递增区间．【解答】解：（1）∵函数=cos2x+sin2x+2cos（﹣x）•[﹣sin（﹣x）]===，∴f（x）的最小正周期．（2）令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，可得函数的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．再根据x∈，可得f（x）在上的单调递增区间为[﹣，]．【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性和单调性，属于中档题．16．（13分）（2016秋•和平区期末）甲、乙两人各进行3次射击，甲、乙每次击中目标的概率分别为和．（1）求甲至多击中目标2次的概率；（2）记乙击中目标的次数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）由甲3次均击中目标的概率为，利用相互对立事件的概率计算公式即可得出甲至多击中目标目标2次的概率．（2）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3．X～B．利用二项分布列的概率计算公式及其数学期望即可得出．【解答】解：（1）∵甲3次均击中目标的概率为，∴甲至多击中目标目标2次的概率为．（2）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3．X～B．∴，，，．∴随机变量X的分布列为∴随机变量X的数学期望，或E（X）==2．【点评】本题考查了相互对立事件的概率计算公式、二项分布列的概率计算公式及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．（13分）（2016秋•和平区期末）如图，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，EB∥PA，AB=PA=4，EB=2，F为PD的中点．（1）求证：AF⊥PC；（2）求证：BD∥平面PEC；（3）求锐角二面角D﹣PC﹣E的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质．【分析】（1）以A为原点，分别以、、的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系．求出相关点的坐标，通过计算，证明AF⊥PC．（2）取PC的中点M，连接EM．证明BD∥EM．然后证明BD∥平面PEC．（3）求出平面PCD的一个法向量．平面PCE的法向量，利用空间向量的数量积求解锐二面角D﹣PC﹣E的余弦值．【解答】（1）证明：依题意，PA⊥平面ABCD，如图，以A为原点，分别以、、的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系．依题意，可得A（0，0，0），B（0，4，0），C（4，4，0），D（4，0，0），P（0，0，4），E（0，4，2），F（2，0，2）．∵，，∴，∴AF⊥PC．（2）证明：取PC的中点M，连接EM．∵M（2，2，2），，，∴，∴BD∥EM．∵EM⊂平面PEC，BD⊄平面PEC，∴BD∥平面PEC．（3）解：∵AF⊥PD，AF⊥PC，PD∩PC=P，∴AF⊥平面PCD，故为平面PCD的一个法向量．设平面PCE的法向量为，∵，，∴即令y=1，得x=1，z=2，故．∴，∴锐二面角D﹣PC﹣E的余弦值为．【点评】本题考查二面角的平面角的求法，直线与平面平行，直线与直线垂直的证明方法，考查空间想象能力以及计算能力．=a n+3•2n﹣18．（13分）（2016秋•和平区期末）设数列{a n}满足条件a1=1，a n+11．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若=n，求数列{b n}的前n项和S n．【考点】数列递推式；数列的求和．【分析】（1）利用数列的递推关系式，累加求和，求解通项公式即可．（2）求出数列的通项公式，然后求解数列的和即可．【解答】解：（1）∵a1=1，，∴a n=a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（a n﹣a n﹣1）=1+3×20+3×21+…+3×2n﹣2=（n≥2），∵当n=1时，3×21﹣1﹣2=1式子也成立，∴数列{a n}的通项公式．（2）解：∵，即：，，，…∴S n=b1+b2+b3+…+b n=3（1×20+2×21+3×22+…+n•2n﹣1）﹣（2+4+6+…+2n）．设，①则，②①﹣②，得，∴，∴=3（n﹣1）•2n﹣n（n+1）+3．【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查计算能力．19．（14分）（2016秋•和平区期末）已知椭圆E：（a＞b＞0）经过点A（2，3），离心率．（1）求椭圆E的方程；（2）若∠F1AF2的角平分线所在的直线l与椭圆E的另一个交点为B，C为椭圆E 上的一点，当△ABC的面积最大时，求C点的坐标．【考点】圆锥曲线的最值问题；椭圆的标准方程；直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）利用已知条件列出方程组，求出a，b即可得到椭圆方程．（2）求出焦点坐标，得到直线AF1的方程，直线AF2的方程，设P（x，y）为直线l上任意一点，利用，求出直线l的方程为2x﹣y﹣1=0．设过C点且平行于l的直线为2x﹣y+m=0，联立直线与椭圆方程的方程组，求出m 然后求解C点的坐标．【解答】解：（1）由椭圆E经过点A（2，3），离心率，可得解得∴椭圆E的方程为．（2）由（1）可知F1（﹣2，0），F2（2，0），则直线AF1的方程为，即3x﹣4y+6=0，直线AF2的方程为x=2，由点A在椭圆E上的位置易知直线l的斜率为正数．设P（x，y）为直线l上任意一点，则，解得2x﹣y﹣1=0或x+2y﹣8=0（斜率为负数，舍去）．∴直线l的方程为2x﹣y﹣1=0．设过C点且平行于l的直线为2x﹣y+m=0，由整理得19x2+16mx+4（m2﹣12）=0，由△=（16m）2﹣4×19×4（m2﹣12）=0，解得m2=76，因为m为直线2x﹣y+m=0在y轴上的截距，依题意，m＞0，故．解得x=，y=．∴C点的坐标为．【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，椭圆方程的求法，考查转化思想以及计算能力．20．（14分）（2016秋•和平区期末）已知函数（a ∈R且a≠0）．（1）当a=﹣1时，求曲线y=f（x）在（﹣2，f（﹣2））处的切线方程；（2）当a＞0时，求函数y=f（x）的单调区间和极值；（3）当x∈[2a，2a+2]时，不等式|f'（x）|≤3a恒成立，求a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，计算f（﹣2），f′（﹣2）的值，求出切线方程即可；（2）求出函数f（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（3）求出函数f（x）的导数，根据函数的单调性求出f′（x）的最小值和最大值，得到关于a的不等式组，解出即可．【解答】解：（1）∵当a=﹣1时，，f'（x）=﹣x2﹣4x ﹣3，∴，f'（﹣2）=﹣4+8﹣3=1．∴，即所求切线方程为3x﹣3y+8=0．（2）∵f'（x）=﹣x2+4ax﹣3a2=﹣（x﹣a）（x﹣3a）．当a＞0时，由f'（x）＞0，得a＜x＜3a；由f'（x）＜0，得x＜a或x＞3a．∴函数y=f（x）的单调递增区间为（a，3a），单调递减区间为（﹣∞，a）和（3a，+∞），∵f（3a）=0，，∴当a＞0时，函数y=f（x）的极大值为0，极小值为．（3）f'（x）=﹣x2+4ax﹣3a2=﹣（x﹣2a）2+a2，∵f'（x）在区间[2a，2a+2]上单调递减，∴当x=2a时，，当x=2a+2时，．∵不等式|f'（x）|≤3a恒成立，∴解得1≤a≤3，故a的取值范围是[1，3]．【点评】本题考查了函数的单调性、极值、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．。

绝密★启用前天津市部分区2016～2017学年度第一学期期末考试高三数学（文科）试卷温馨提示：使用答题卡的区，学生作答时请将答案写在答题卡上；不使用答题卡的区，学生作答时请将答案写在试卷上.本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.第I 卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并在规定位置粘帖考试用条形码.答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷（选择题，共40分）注意事项：1．选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.2．本卷共8小题，每小题5分，共40分. 参考公式：如果事件,A B 互斥，那么()()()P A B P A P B =+U ． 如果事件,A B 相互独立，那么()()()P A B P A P B =I ． 锥体的体积公式13V Sh =，其中S 表示锥体的底面面积，h 表示锥体的高. 柱体的体积公式V Sh =，其中S 表示柱体的底面面积，h 表示柱体的高.一、选择题:在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）已知集合2{0,1,4},{|,}A B y y x x A ===∈，则A B =U（A ）{}0,1,16 （B ）{}0,1 （C ）{}1,16（D ）{}0,1,4,16（2）从数字1，2，3，4，5，6中任取两个数，则取出的两个数的乘积为奇数的概率为（A ）115（B ）215（C ）15（D ）415（3）已知某几何体的三视图如图，则该几何体的体积是（A ）48 （B ）36 （C ）24（D ）12（4）设x ∈R ，则“2x >”是“11x ->”的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件（5）已知3log 0.5a =，0.3log 0.2b =，0.30.5c =，则（A ）a c b >> （B ）b c a >> （C ）b a c >>（D ）c a b >>（6）已知双曲线22221x y a b-=（0,0a b >>）的焦点到渐近线的距离为2，且双曲线的一条渐近线与直线230x y -+=平行，则双曲线的方程为（A ）221164x y -=（B ）22184x y -= （C ）2214-=x y（D ）2214y x -= （7）已知向量(cos 40,sin 40)=︒︒a ，(sin 20,cos 20)=︒︒b ，3λ=+u a b （其中λ∈R ），则u 的最小值为第3题图（A ）62 （B ）34（C ）32（D ）3（8）已知函数21||,1,()(1), 1.x x f x x x -≤⎧=⎨->⎩若方程(1)0f x m --=有三个不相等的实数根，则实数m 的取值范围为（A ）(,1)-∞ （B ）3(,)4+∞（C ）(0,2) （D ）(0,1)第Ⅱ卷（非选择题，共110分）注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 2．本卷共12小题，共110分.二、填空题：本大题共有6小题，每小题5分，共30分.（9）已知i 是虚数单位，若(2i)24i z -=+，则复数z =___________． （10）阅读右边的程序框图，运行相应的程序， 则输出v 的值为___________. （11）已知2()(2)e xf x x x =-（其中e 是自 然对数的底数），()f x '为()f x 的导 函数，则(0)f '的值为___________. （12）在等比数列{n a }中，已知114a =，3544(1)a a a =-， 则{n a }的前10项和10S =___________. （13）如图，ABC ∆为边长为1的正三角形，D 为AB 的中点，E 在BC 上，且:1:2BE EC =，连结DE并延长至F ，使EF DE =，连结FC ．则FC AC ⋅uu u r uuu r的值为________.第13题（14）已知()sin 3cos f x x x ωω=+（0,x ω>∈R ），若函数()f x 在区间(0,4)π内恰有5个零点，则ω的取值范围是___________.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分13分）在ABC ∆中，角A ,B ,C 的对边分别为,,a b c ，且满足2cos cos -=a b cB C． （I ）求角C 的值；（II ）若7c =，ABC ∆的面积为103，求a b +的值． （16）（本小题满分l3分）某石材加工厂可以把甲、乙两种类型的大理石板加工成,,A B C 三种规格的小石板，每种类型的大理石板可同时加工成三种规格小石板的块数如下表所示：板材类型甲型石板（块） 乙型石板（块）某客户至少需要订购,A B 两种规格的石板分别为20块和22块，至多需要C 规格的石板100块．分别用,x y 表示甲、乙两种类型的石板数．（I ）用,x y 列出满足客户要求的数学关系式，并画出相应的平面区域；（II ）加工厂为满足客户的需求，需要加工甲、乙两种类型的石板各多少块，才能使所用石板总数最少？（17）（本小题满分13分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PCD ∆为等边三角形，底面ABCD 为直角梯形，AB AD ⊥,//AD BC ,22AD BC ==,3AB =，点E 、F 分别为AD 、CD的中点.（I ）求证：直线//BE 平面PCD ；（II ）求证：平面PAF ⊥平面PCD ； （III）若PB =PB 与平面PAF 所成的角.（18）（本小题满分13分）已知数列{}n a 的前n 项和2=n A n （n *∈N ），11n n n n na ab a a ++=+（n *∈N ），数列{}n b 的前n 项和为n B .（I ）求数列{}n a 的通项公式； （II ）设2nn n a c =（n *∈N ），求数列{}n c 的前n 项和n C ； （III ）证明： 222<<+n n B n （n *∈N ）. （19）（本小题满分14分）已知椭圆2222: 1 (0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，上顶点为B ，若12BF F ∆的周长为6，且点1F 到直线2BF 的距离为b .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设12,A A 是椭圆C 长轴的两个端点，点P 是椭圆C 上不同于12,A A 的任意一点，直线1A P 交直线14x =于点M ，求证：以MP 为直径的圆过点2A .（20）（本小题满分14分） 已知函数325()2f x x x ax b =+++（,a b ∈R ），函数()f x 的图象记为曲线C . （I ）若函数()f x 在1x =-时取得极大值2，求,a b 的值； （II ）若函数25()2()(21)32F x f x x a x b =----存在三个不同的零点，求实数b 的取值范围；（III ）设动点00(,())A x f x 处的切线1l 与曲线C 交于另一点B ，点B 处的切线为2l ，两切线的斜率分别为12,k k ，当a 为何值时存在常数λ使得21k k λ=？并求出λ的值.天津市部分区2016～2017学年度第一学期期末考试 高三数学（文科）参考答案一、选择题:1-4 DCDA 5-8 BACD二、填空题:9. 10. 11. 12. 13. 14.三、解答题:15.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）已知可化为，…………………………3分整理得，，又…………………………6分（Ⅱ）由得，由（Ⅰ），所以由余弦定理得：，，即，…………………………9分所以 . …………………………13分16.（本小题满分13分）解：（I）由题意得………………………………3分二元一次不等式组所表示的区域为图中的阴影部分.………………………………6分（Ⅱ）解：设需要加工甲、乙两种类型的板材数为，则目标函数，作出直线，平移直线，如图，易知直线经过点A时，取到最小值，解方程组得点的坐标为，………………………………10分所以最少需要加工甲、乙两种类型的板材分别8块和6块．答：加工厂为满足客户需求，最少需要加工甲、乙两种类型的板材分别8块和6块．………………………………13分17.（本小题满分13分）解：（Ⅰ），且为的中点， .又因为，则四边形是平行四边形，∴，平面，平面，直线平面. ……………4分（II）∵在等边中，是的中点，；又，；又，，又，，又，平面，故平面平面；……8分（III）设与交于点，由（II）知平面，，故平面，连结，为直线与平面所成的角.在中，，，. ………………………13分18．（本小题满分13分）解：（I）当时，，，两式相减：；当时，，也适合，故数列的通项公式为；………………………………….3分（II），，，，两式相减可得：，…………………………………4分即，，. …………………7分（III），显然，即，；………………………………. 9分另一方面，，即，，…，，，即： . ……………………….. 13分19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知得，解得.所以椭圆的方程为. ……………5分（Ⅱ）由题意知，……………6分设，则，得.且由点在椭圆上，得. ……………9分所以…………13分以为直径的圆过点. ……………14分20．（本小题满分14分）解：函数的导函数为.（I）当时极大值2，则，解得；……4分（II）由题意可得有三个不同的零点，即方程有三个实数解.令，则，由可得或，且是其单调递增区间，是其单调递减区间，.因此，实数的取值范围是. 9分（III）由（I）知点处的切线的方程为，与联立得，即，所以点的横坐标是，可得，即，等价于，解得 .综上可得，当时存在常数使得 . ……………14分天津市部分区2016～2017学年度第一学期期末考试高三数学（文科）参考答案一、选择题:1-4 DCDA 5-8 BACD二、填空题:9. 2i 10. 6 11.2- 12. 10234 13. 112-1712ω<≤三、解答题:15.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）已知0cos cos )2(=--B c C b a 可化为0cos sin cos )sin sin 2(=--B C C B A ， …………………………3分整理得B C C B C A cos sin cos sin cos sin 2+=A C B sin )sin(=+=，,0sin π,0≠∴<<A A Θ21cos =∴C ， 又.3ππ,0=∴<<C C Θ …………………………6分（Ⅱ）由11πsin sin 223ABC S ab C ab ∆===40=ab ，由（Ⅰ）21cos =C ， 所以由余弦定理得：222222cos ()3()340c a b ab C a b ab a b =+-=+-=+-⨯，249()340a b ∴=+-⨯，即，2()169a b += …………………………9分所以13a b +=. …………………………13分 16.（本小题满分13分）解：（I ）由题意得0,02200,2220,451000,.y x y x y x y x +-⎧⎪+-⎪⎨+-⎪⎪⎩≥≥≤≥≥………………………………3分二元一次不等式组所表示的区域为图中的阴影部分.………………………………6分（Ⅱ）解：设需要加工甲、乙两种类型的板材数为z ，则目标函数z x y =+，作出直线0:0l x y +=，平移直线0l ，如图， 易知直线经过点A 时，z 取到最小值，解方程组220222x y x y +=⎧⎨+=⎩得点A 的坐标为(8,6)A ，………………………………10分所以最少需要加工甲、乙两种类型的板材分别8块和6块．答：加工厂为满足客户需求，最少需要加工甲、乙两种类型的板材分别8块和6块．………………………………13分17.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）Q 22AD BC ==，且E 为AD 的中点，BC ED ∴=.又因为//AD BC ，则四边形BCDE 是平行四边形，∴ //BE CD ，CD ⊂Q 平面PCD ，BE ⊄平面PCD ，∴直线//BE 平面PCD . ……………4分（II ）∵在等边PCD ∆中，F 是CD 的中点，CD PF ∴⊥； 又//,BC AD AB AD ⊥，AB BC ∴⊥； 又3,1AB BC ==，2AC ∴=，又2AD =，CD AF ∴⊥，又PF AF F =Q I ，CD ∴⊥平面PAF ， 故平面PAF ⊥平面PCD ； ……8分（III ）设AF 与BE 交于点G ，由（II ）知CD ⊥平面PAF ，//BE CD ，故BG ⊥平面PAF ，连结PG ，BPG ∴∠为直线BP 与平面PAF 所成的角.在Rt PBG ∆中，32BG =，3sin BG BPG PB ∠=== 3BPG π∴∠=. ………………………13分18．（本小题满分13分）解：（I ）当2n ≥时，2=n A n ，21(1)-=-n A n ，两式相减：121-=-=-n n n a A A n ；当1n =时，111==a A ，也适合21=-n a n ，故数列{}n a 的通项公式为21=-n a n ；………………………………….3分（II ）2122-==n n n na n c ，12n n C c c c =+++L ， 123135212222-=++++L n n n C ，23411352122222+-=++++L n n C n ，两式相减可得： 1231122221222222+-=++++-L n n n C n ， ………………………………… 4分 即123-111111121()2222222+-=+++++-L n n n C n ， -111121(1)2222+-=+--n n n C n ，2332+=-n n n C . ………………… 7分 （III ）21212121-+=++-n n n b n n，显然212122121-++>=+-n n n n ， 即2n b >，122n n B b b b n =+++>L ；………………………………. 9分 另一方面，21212222112212121212121-++=-++=+-+-+--+n n n n n n n n ， 即122213=+-b ，222235=+-b ，…，11222121⎛⎫=+- ⎪-+⎝⎭n b n n ，2222222(2)(2)(2)22221335212121=+-++-+++-=+-<+-++L n B n n n n n ， 即：222<<+n n B n . ……………………….. 13分19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知得2222262c a cb ab a b c ⎧+=⎪=⎨⎪=+⎩，解得21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆C 的方程为22143x y +=. ……………5分 （Ⅱ）由题意知12(2,0),(2,0)A A -， ……………6分设00(,)P x y ，则100:(2)2A P y l y x x =++，得0016(14,))2y M x +. 且由点P 在椭圆上，得22003(1)4x y =-. ……………9分 所以20022000001616(12,)(2,)12(2)22y y A M A P x y x x x ⋅=⋅-=-+++u u u u u r u u u u r 2000000012(4)12(2)(2)12(2)12(2)022x x x x x x x --+=-+=--=++ …………13分 以MP 为直径的圆过点2A . ……………14分20．（本小题满分14分） 解：函数325()2f x x x ax b =+++的导函数为2()35f x x x a '=++. （I ）当1x =-时极大值2，则(1)0,(1)2f f '-=-=，解得52,2a b ==；…… 4分 （II ）由题意可得25()2()(21)32F x f x x a x b =----有三个不同的零点，即方程325202x x x b ++-=有三个实数解. 令325()22g x x x x =++，则2()651(21)(31)g x x x x x '=++=++，由()0g x '=可得12x =-或13x =-，且11(,),(,)23-∞--+∞是其单调递增区间，11(,)23--是其单调递减区间，1117(),()28354g g -=--=-.因此，实数b 的取值范围是71(,)548--. 9分 （III ）由（I ）知点00(,())A x f x 处的切线1l 的方程为000()()()y f x f x x x '-=-，与()y f x =联立得000()()()()f x f x f x x x '-=-，即2005()(2)02x x x x -++=，所以点B的横坐标是05(2)2B x x =-+，可得221002005535,3(2)5(2)22k x x a k x x a =++=+-++，即22002512204k x x a =+++，21k k λ=等价于20025(35)(4)(1)4x x a λλ+-=--，解得254,12a λ==. 综上可得，当2512a =时存在常数4λ=使得21k k λ=. ……………14分。