2015-2016学年高中数学 第1章 7正切函数课件 北师大版必修4

易错疑难辨析
已知集合 A＝{x|tanx>0}，集合 B＝{x| tanx＋ 3tan2x＋2 3tanx－3≥0}，试求 A∩B．
[错解] 由 tanx＋ 3tan2x＋2 3tanx－3≥0，
tanx≥0， 得 2 3tan x ＋2
3tanx－3≥0，
tanx≥0， 即 3 tanx≥ 3 或tanx≤－ 3，
3．下列命题中，正确的是( A．y＝tanx 是增函数
)
B．y＝tanx 在第一象限是增函数 π π C．y＝tanx 在区间(kπ－2，kπ＋2)(k∈Z)上是增函数 D．y＝tanx 在某一区间内是减函数
[答案] C
3π [解析] 对于选项 A，例如 x1＝0，x2＝ 4 ，x1<x2，但 tan0 3π ＝0，tan 4 ＝－1，tanx1>tanx2，故 A 不对．对于选项 B，例如 π π x1＝4，x2＝2π＋4，x1<x2，但 tanx1＝tanx2，故 B 不对．对于选 项 C，由正切函数的性质知是正确的．选项 D 不正确．
[规范解答]
∵2tan2x－4tanx＋3＝2(tanx－1)2＋1≠0，
5 又∵函数 tanx 的值域是 R.设 t＝tanx，则 y＝ 2 . 2t －4t＋3 ∵2t2－4t＋3＝2(t－1)2＋1≠0， 5 ∴y＝ 2 的定义域为 R， 2t －4t＋3 ∴2yt2－4yt＋3y－5＝0. ∴当 y＝0 时， t 不存在； 当 y≠0 时， Δ＝16y2－8y(3y－5)≥0， 即 y2－5y≤0， ∴0<y≤5.所以函数的值域是(0,5]．
[规律总结]
求与正切函数有关的函数的定义域、值域的
方法及应注意的问题． (1)求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义 域的一般要求外，还要保证正切函数 y＝tanx 有意义，即 x≠kπ π ＋2(k∈Z)．而对于构建的三角不等式，常利用三角函数的图像 求解． (2)求解与正切函数有关的函数值域时，要注意函数的定义 域，在定义域内求值域；对于求由正切函数复合而成的函数的 值域时，常利用换元法，但要注意新“元”的范围．
步求解．
[规范解答 ]
π 1 π π π 由 kπ － 2 < 2 x － 4 <kπ＋2 ，k ∈ Z，得 2kπ－ 2
3π <x<2kπ＋ 2 ，k∈Z， π 3π ∴该函数的单调递增区间是(2kπ－2，2kπ＋ 2 )，k∈Z.
[规律总结]
正切函数单调性的解读
(1)正切函数在每一个单调区间内都是增函数，在整个定义 域内不是增函数，另外正切函数不存在减区间． (2)对于函数 y＝Atan(ωx＋φ)(A，ω，φ 是常数)的单调区间 问题，可先由诱导公式把 x 的系数化为正值，再利用“整体代 π π 换”思想，由 kπ－2<x<kπ＋2(k∈Z)，求得 x 的范围即可． (3)运用正切函数单调性比较大小的步骤： ①运用下节要学习的诱导公式将角化到同一单调区间内． ②运用单调性比较大小关系．
4．满足 tanx≤－ 3的 x 的集合是________．
[答案]
π π kπ－ ，kπ－ (k∈Z) 2 3 π π 在－2，2内 tanx＝－
[解析]
π 3时，x＝－3，
∴tanx≤－
π π 3时，x∈－2，－3，
又 y＝tanx 的周期为 kπ(k∈Z)． ∴x
π π 的集合为kπ－2，kπ－3(k∈Z)．
π π 5． 函数 y＝3tan(ωx＋6)的最小正周期是2， 则 ω＝________. [答案] ± 2 π π [解析] T＝|ω|＝2，∴ω＝± 2.
课堂典例讲练
正切函数的定义及应用
3 若 tanα＝4，借助三角函数的定义求角 α 的正弦 函数值和余弦函数值．
π 若 f(x)＝tan(x＋4)，则( A．f(－1)>f(0)>f(1) C．f(1)>f(0)>f(－1)
) B．f(0)>f(1)>f(－1) D．f(0)>f(－1)>f(1)
[答案] D
[解析]
π π π 3π π 3π π 由－2<x＋4<2，得－ 4 <x<4.∴f(x)在(－ 4 ，4)上
kπ(k∈Z，k≠0) ，最小 (3)正切函数是周期函数，周期是________________ π 正周期是______ ； 原点O 对称，tan(－x)＝－tanx，正切函 (4)正切曲线关于________ 奇 数是________ 函数； π π －2＋kπ，2＋kπ(k∈Z) (5) 正切函数在每一个开区间 ____________________ 内都
3 (2)如果 α 是第三象限的角，则由 tanα＝4可知，角 α 终边 上必有一点 P(－4，－3)，所以 x＝－4，y＝－3. 可知 r＝|OP|＝ －42＋－32＝5， 3 4 y x 所以 sinα＝r ＝－5，cosα＝r ＝－5. [规律总结] (1)已知角 α 终边上一点 P(x，y)，点 P 到原点
tan180° ＋45° ＋tan720° ＋30° [解析] 原式＝ －tan30° ＋tan45° 3 1＋ 3 tan45° ＋tan30° ＝ ＝ ＝2＋ 3. －tan30° ＋tan45° 3 － 3 ＋1 [点评] 此类题目的求解过程是先化为锐角 ( 特殊角) 的正
切值，再求值．
π ∴φ＝4，A＝1，
π π π π ∴f24＝tan2×24＋4＝tan3＝
3.
正切函数的定义域、值域问题
5 求函数y＝ 的值域． 2 2tan x－4tanx＋3
[思路分析]
通过换元将原三角函数化成分母上是二次函
数的分式函数，再由二次函数求值域的方法即可解决．
第一章
三角函数
第一章
§7 正切函数
1
课前自主预习
3
易错疑难辨析
2
课堂典例讲练
4
课 时 作 业
课前自主预习
“东升西落照苍穹，影短影长角不同”．随着太阳高度的 变化，地面物体的影子的长度也随之变化，在这些变化之中蕴
藏着物体影子长度与光线角度之间的关系，这个关系是什么
呢？前面我们已经研究了正弦、余弦函数的图像和性质，那么 正切函数又有什么特定的性质呢？
－2 ∴tanα＝ 1 ＝－2. －4 4 2tanα ∴ ＝3. 2 ＝ 1－tan α －3
正切函数的图像
利用正切函数的图像作出 y ＝ tanx ＋ |tanx| 的图 像，并写出其值域及周期． [思路分析] 先化成分段函数，再借助正切函数的图像作
图．
π [规范解答] ∵当 x∈(kπ－2，kπ]时，y＝tanx≤0， π 当 x∈(kπ，kπ＋2)时，y＝tanx>0， ∴y＝tanx＋|tanx| π 0，x∈kπ－2，kπ]， ＝ 2tanx，x∈kπ，kπ＋π，以上k∈Z. 2
如图所示．
由图像可知其值域为[0，＋∞)，周期为 π.
[规律总结]
(1)作函数y＝|f(x)|的图像一般利用图像变换方
法，具体步骤是： ①保留函数y＝f(x)的图像在x轴上方的部分；
②将函数y＝f(x)图像在x轴下方的部分沿x轴向上翻折．
(2)若函数为周期函数，可先研究其一个周期上的图像，再 利用周期性，延拓到定义域上即可．
[思路分析]
由 tanα>0 可判断出角 α 所在的象限，然后利
用三角函数的定义求 sinα 与 cosα.
[规范解答]
3 因为 tanα＝4>0，
所以，α 是第一或第三象限的角． 3 (1)如果 α 是第一象限角，则由 tanα＝4知，角 α 终边上必 有一点 P(4,3)，所以 x＝4，y＝3. 因为 r＝|OP|＝ 42＋32＝5， y 3 x 4 所以 sinα＝r ＝5，cosα＝r ＝5.
π 已知函数 f(x)＝Atan(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<2)，y＝f(x)的部分图 π 像如图，则 f(24)＝________.
[答案]
3
π π [解析] ∵T＝2＝ω，∴ω＝2. 当 x＝0 时，f(0)＝Atanφ＝1，
3π 3π 3π 当 x＝ 8 时，f 8 ＝Atan 4 ＋φ＝0，
－tanα· －cotα· tanα ＝ ＝1. tanα· －cotα· －tanα
[规律总结]
利用诱导公式主要是进行角的转化，可以达
到统一角的目的．
tan225° ＋tan750° 求 的值． tan－30° －tan－45°
[分析] 利用诱导公式均化为锐角的正切关正切函数的诱导公式 tanα tan(α＋kπ)＝________. tanα tan(2π＋α)＝________. －tanα tan(－α)＝________. －tanα tan(2π－α)＝________. tanα ，tan(π－α)＝________. －tanα tan(π＋α)＝________
y x y O 的距离 r＝|OP|＝ x ＋y ，则 sinα＝r ，cosα＝r ，tanα＝x.
2 2
(2)已知角 α 的正切值，在求它的正弦值和余弦值时，要注 意对 α 角所在的象限分类讨论．
2tanα 已知角 α 的终边经过点 P(1，－2)，求 的值． 1－tan2α [解析] ∵x＝1，y＝－2，
求函数y＝tan(sinα)的值域．
π π [解析] ∵－1≤sinα≤1，[－1,1]⊆(－2，2)， 又∵y＝tanx 在[－1,1]上是增函数， ∴tan(－1)≤tan(sinx)≤tan1. 即函数的值域是[－tan1，tan1]．
与正切函数有关的函数的单调性问题
1 π 求函数y＝tan(2x－4)的单调区间． 1 π [思路分析] 利用整体代换，将 2 x－ 4 看作一个整体进一