专题9 圆锥曲线-2014届高三名校数学(理)试题解析分项汇编(第01期)Word版含解析

2014高考圆锥曲线真题汇总（理科）1．（满分14分）如图在平面直角坐标系x o y 中，12,F F 分别是椭圆顶点B 的坐标是(0,)b ，连接2BF 并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连接1FC .（1）若点C 的坐标为（2）若1FC AB ⊥，求椭圆离心率e 的值.2．已知点A ()02-，,椭圆F 是椭圆E 的右焦点，直线AF O 为坐标原点 （I ）求E 的方程；（II ）设过点A 的动直线l 与E 相交于P,Q 两点。

当OPQ ∆的面积最大时，求l 的直线方程.3．已知椭圆C （0a b >>）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设F 为椭圆C 的左焦点，T 为直线3x =-上任意一点，过F 作TF 的垂线交椭圆C 于点P ，Q.（i ）证明：OT 平分线段PQ （其中O 为坐标原点）；（ii T 的坐标. 4．（本题满分16分）本题共3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分.在平面直角坐标系xoy 中，对于直线l ：0ax by c ++=和点),,(),,(22211y x P y x P i 记1122)().ax by c ax by c η=++++（若η<0，则称点21,P P 被直线l 分隔.若曲线C 与直线l 没有公共点，且曲线C 上存在点21P P ，被直线l 分隔，则称直线l 为曲线C 的一条分隔线.⑴ 求证：点），（），（012,1-B A 被直线01=-+y x 分隔； ⑵若直线kx y =是曲线1422=-y x 的分隔线，求实数k 的取值范围；⑶动点M 到点）（2,0Q 的距离与到y 轴的距离之积为1，设点M 的轨迹为E ，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E 的分割线.5．如图，曲线C 由上半椭部分抛物线22:1(0)C y x y =-+≤连接而成，12,C C 的公共点为,A B ，其中1C 的离心率为（1）求,a b 的值；（2）过点B 的直线l 与12,C C 分别交于,P Q （均异于点,A B ），若AP AQ ⊥，求直线l 的方程. 6．（本小题满分14分）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，A 为C 上异于原点的任意一点，过点A 的直线l 交C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ，且有||||FA FD =.当点A 的横坐标为3时，ADF ∆为正三角形. （Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）若直线1//l l ，且1l 和C 有且只有一个公共点E ，（ⅰ）证明直线AE 过定点，并求出定点坐标；（ⅱ）ABE ∆的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由. 7．（本小题满分13分）如图，已知双曲线()1,2,,2,2n n N n *⋅⋅⋅∈≥的右焦点1a ,点2a 分别在1b 的两条渐近线上，1b 轴，2112,a a b b ξη=-=-∥3n =(ξ为坐标原点）.（1）求双曲线ξ的方程；（2）过η上一点()p c 的直线与直线()p c 相交于点N ，证明点P 在C 上移动时，. 8（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若动点()00,P x y 为椭圆外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程. 9．（本小题满分13分）的两条渐近线分别为x y l x y l 2:,2:21-==.（1）求双曲线E 的离心率；（2）如图，O 为坐标原点，动直线l 分别交直线21,l l 于B A ,两点（B A ,分别在第一，四象限），且OAB ∆的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线l 有且只有一个公共点的双曲线E ？若存在，求出双曲线E 的方程；若不存在，说明理由.10的左、右焦点分别为12,F F ，点D 在椭圆上，112DF F F ⊥，，12DF F ∆的面积为 （1）求该椭圆的标准方程；（2）设圆心在y 轴上的圆与椭圆在x 轴的上方有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径..11动直线l 与椭圆C 只有一个公共点P ，且点P 在第一象限.（１）已知直线l 的斜率为k ，用k b a ,,表示点P 的坐标；（２）若过原点O 的直线1l 与l 垂直，证明：点P 到直线1l 的距离的最大值为b a -.12．（0a b >>）的左、右焦点为12,F F ，右顶点为A ，上顶点为B ．已1232F F （1）求椭圆的离心率；（2）设P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点1F ，经过原点O 的直线l 与该圆相切，求直线13．设1F ,2F 分别是椭圆M 是C 上一点且2MF与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N. （1）若直线MNC 的离心率；（2）若直线MN 在y 轴上的截距为2a,b.14．圆224x y +=的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P （如图）P（1）求1C 的方程；（2）椭圆2C 过点P 且与1C 有相同的焦点，直线l 过2C 的右焦点且与2C 交于A ，B 两点，若以线段AB 为直径的圆心过点P ，求l 的方程.15．如图,O 为坐标原点,的左右焦点分别为12,F F ,离心率为1e ;双曲左右焦点分别为34,F F ,离心率为2e ,已知(1)求12,C C 的方程;(2)过1F 点作1C 的不垂直于y 轴的弦AB ,M 为AB 的中点,当直线OM 与2C 交于,P Q 两点时,求四边形APBQ 面积的最小值.16．在平面直角坐标系xOy 中，点M 到点()1,0F 的距离比它到y 轴的距离多1，记点M 的轨迹为C .（1）求轨迹为C 的方程；（2）设斜率为k 的直线l 过定点()2,1p -，求直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点，两个公共点，三个公共点时k 的相应取值范围.17．已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，直线4y =与y 轴的交点为P ，与C的交点为Q （1）求C 的方程； （2）过F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，若AB 的垂直平分线l '与C 相较于M ，N 两点，且A ，M ，B ，N 四点在同一圆上，求l 的方程. 18．已知椭圆C ：2224x y +=. （1）求椭圆C 的离心率；（2）设O 为原点，若点A 在椭圆C 上，点B 在直线2y =上，且OA OB ⊥，试判断直线AB 与圆222x y +=的位置关系，并证明你的结论.19．如图，已知两条抛物线()02:1121>=p x p y E 和()02:2222>=p x p y E ，过原点O的两条直线1l 和2l ，1l 与21,E E 分别交于21,A A 两点，2l 与21,E E 分别交于21,B B 两点. （1）证明：;//2211B A B A（2）过原点O 作直线l （异于1l ，2l ）与21,E E 分别交于21,C C 两点.记111C B A ∆与222C B A ∆的面积分别为1S 与2S ,.参考答案1．（1（2【来源】2014年全国普通高等学校招生统一考试数学（江苏卷带解析）【解析】试题分析：（1）求椭圆标准方程，一般要找到关系,,a b c的两个等量关系，本题中椭圆过点，可把点的坐标代入标准方程，得到一个关于,,a b c 的方程，另外（2）要求离心率，就是要列出关于,,a b c 的一个等式，题设条件是1FC AB ⊥，即11F C AB k k ⋅=-，求1F C k ，必须求得C 的坐标，由已知写出2BF 方程，与椭圆方程联立可解得A 点坐标11(,)x y ，则11(,)C x y -，由此1F C k 可得，代入11F C A Bk k⋅=-可得关于,,a b c 的等式，再由可得e 的方程，可求得e . 试题解析：（1）由题意，2(,0)F c ，(0,)B b，，解得1b =．∴椭圆方程为 （2）直线2BF 方程为联立方程组，解得A 点坐标为，则C 点坐标为又，由1F C A B ⊥得，即4223b a c c =+，∴22222()3a c a c c -=+，化简得【考点】椭圆标准方程，椭圆离心率，直线与直线的位置关系．2．（I （II 【来源】2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ带解析）【解析】试题分析：（I ）由直线AF 求得2a =，再利用222b a c =-求b ，进而可确定椭圆E 的方程；（II ）依题意直线l 的斜率存在，故可设直线l 方程为2y kx =-，和椭圆方程联立得22(14k )x 16120kx +-+=．利用弦长公式表示利用点到直线l 的距离求OPQ ∆的高从而三角形OPQ ∆的面积可表示为关于变量k 的函数解析式()f k ，再求函数最大值及相应的k 值，故直线l 的方程确定．试题解析：（I ）设右焦点(c,0)F ，由条件知，，所以2a =，222b ac =-1=．故椭圆E 的方程为（II ）当l x ⊥轴时不合题意，故设直线:l 2y kx =-，1122(x ,y ),Q(x ,y )P ．将2y kx =-得22(14k )x 16120kx +-+=．当216(4k 3)0∆=->，即又点O 到直线PQ 的距离d =所以OPQ ∆的面积则0t >，，当且仅当2t =时，0∆>．所以，当OPQ ∆的面积最大时，l 的方程为 【考点定位】1、椭圆的标准方程及简单几何性质；2、弦长公式；3、函数的最值．3．（2）(3,0)T - 【来源】2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（四川卷带解析）【解析】试题分析：（1）因为焦距为4，所以2c =，由此可求出,a b 的值，从而求得椭圆的方程.（2）椭圆方程化为2236x y +=.设PQ 的方程为2x my =-，代入椭圆方程得：22(3)420m y my +--=.（ⅰ）设PQ 的中点为00(,)M x y ，求出,OM OT k k ，只要O M O T k k=，即证得OT 平分线段PQ.（ⅱ）可用m 表示出PQ ，TF 可得：再根据取等号的条件，可得T 的坐标.试题解答：（1）2c =，又（2）椭圆方程化为2236x y +=.（ⅰ）设PQ 的方程为2x my =-，代入椭圆方程得：22(3)420m y my +--=. 设PQ 的中点为00(,)M x y ，则又TF 的方程为0(2)y m x -=-+，则3x =-得y m =，OT 过PQ 的中点，即OT 平分线段PQ.当1m =±时取等号，此时T 的坐标为(3,1)T -±.【考点定位】1、椭圆的方程；2、直线与圆锥曲线；3、最值问题.4．(1)证明见解析；（2（3）证明见解析. 【来源】2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（上海卷带解析） 【解析】试题分析：本题属于新定义问题，（1）我们只要利用题设定义求出η的值，若0η<，则结论就可得证；（2）直线y kx =是曲线2241x y -=的分隔线，首先直线与曲线无交点，即直线方程与曲线方程联立方程组2241x y y kx⎧-=⎨=⎩，方程组应无实解，方程组变形为22(14)10k x --=，此方程就无实解，注意分类讨论，按二次项系数为0和不为0分类，然后在曲线上找到两点位于直线y kx =的两侧．则可得到所求范围；（3）首先求出轨迹E 的设其方程为y kx =，这个方程有无实数解，直接判断不方便，可转化为判断函数22()(1)44F x k x kx =+-+与的图象有无交点，而这可利用函数图象直接判断．()y F x =是开口方向向上的二次函数，()y G x =是幂函数，其图象一定有交点，因此直线y kx =不是E 的分隔线，过原点的直线还有一条就是0x =，它显然与曲线E 无交点，又曲线E 上两点(1,2),(1,2)-一定在直线0x =两侧，故它是分隔线，结论得证．试题解析：（1）由题得，2(2)0η=⋅-<，∴(1,2),(1,0)A B -被直线10x y +-=分隔. （2）由题得，直线y kx =与曲线2241x y -=无交点即222241(14)10x y k x y kx⎧-=⇒--=⎨=⎩无解 ∴2140k -=或221404(14)0k k ⎧-≠⎨∆=-<⎩，∴ 又对任意点(1,0)和(1,0)-在曲线2221x y -=上，满足20k η=-<，被直线y kx =分隔，所以所求k 的范围是（3）由题得，设(,)M x y ，∴ 化简得，点M 的轨迹方程为222[(2)]1x y x +-⋅= ①当过原点的直线斜率存在时，设方程为y kx =. 联立方程，2222432[(2)]1(1)4410x y x k x kx x y kx⎧+-⋅=⇒+-+-=⎨=⎩.令2432()(1)441F x k x kx x =+-+-，因为2(0)(2)(1)[16(1)15]0F F k =-⋅-+<， 所以方程()0F x =有实解，直线y kx =与曲线E 有交点．直线y kx =不是曲线E 的分隔线． ②当过原点的直线斜率不存在时，其方程为0x =.显然0x =与曲线222[(2)]1x y x +-⋅=没有交点，又曲线E 上的两点(1,2),(1,2)-对于直线0x =满足110η=-⋅<，即点(1,2),(1,2)-被直线0x =分隔．所以直线0x =是E 分隔线．综上所述，仅存在一条直线0x =是E 的分割线. 【考点】新定义，直线与曲线的公共点问题.5．（1）2a =，1b =；【来源】2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（陕西卷带解析） 【解析】试题分析：（1）由上半椭圆和部分抛物22:1(0)C y x y =-+≤公共点为,A B ，得1b =，设2C 的半焦距为c ，由2221a c b -==，解得2a =；（2）由（1）知，上半椭圆1C 的方程为，(1,0)B ，易知，直线l 与x 轴不重合也不垂直，故可设其方程为(1)(0)y k x k =-≠，并代入1C 的方程中，整理得：2222(4)240k x k x k +-+-=，，又(1,0)B ，得得点P 的坐标同理，由2(1)(0)1(0)y k x k y x y =-≠⎧⎨=-+≤⎩得点Q 的坐标为2(1,2)k k k ----，最后由0AP AQ ⋅=u u u r u u u r ,故直线l试题解析：（1）在1C 方程中，令0y =，得(,0),(,0)A b B b - 在2C 方程中，令0y =，得(1,0),(1,0)A B - 所以1b =设2C 的半焦距为c ，由及2221a c b -==，解得2a = 所以2a =，1b =（2）由（1）知，上半椭圆1C 的方程为，(1,0)B 易知，直线l 与x 轴不重合也不垂直，设其方程为(1)(0)y k x k =-≠ 代入1C 的方程中，整理得：2222(4)240k x k x k +-+-= （*）设点P 的坐标(,)P P x y又(1,0)B ，得所以点P 的坐标为同理，由2(1)(0)1(0)y k x k y x y =-≠⎧⎨=-+≤⎩得点Q 的坐标为2(1,2)k k k ---- ，(1,2)AQ k k =-+u u u rAP AQ ⊥Q0AP AQ ∴⋅=u u u r u u u r ,0k ≠Q ，4(2)0k k ∴-+=，解得故直线l 的方程为考点：椭圆和抛物线的几何性质；直线与圆锥曲线的综合问题.6．（I ）24y x =.（II ）（ⅰ）直线AE 过定点(1,0)F .（ⅱ）ABE ∆的面积的最小值为16. 【来源】2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（山东卷带解析） 【解析】试题分析：（I 解得3t p =+或3t =-（舍去）.得2p =.抛物线C 的方程为24y x =. （II ）（ⅰ）由（I ）知(1,0)F ，设0000(,)(0),(,0)(0)D D A x y x y D x x ≠>，可得02D x x =+，即0(2,0)D x +，直线AB 根据直线1l和直线AB 平行，可设直线1l 的方程为直线AE 恒过点(1,0)F .注意当204y =时，直线AE 的方程为1x =，过点(1,0)F ，得到结论：直线AE 过定点(1,0)F .（ⅱ）由（ⅰ）知，直线AE 过焦点(1,0)F ， 设直线AE 的方程为+1x my =，根据点00(,)A x y 在直线AE 上， ，再设11(,)B x y ，直线AB应用点B 到直线AE从而得到三角形面积表达式，应用基本不等式得到其最小值. 试题解析：（I设(,0)(0)D t t >，则FD因为||||FA FD =， 解得3t p =+或3t =-（舍去）. ，解得2p =. 所以抛物线C 的方程为24y x =. （II ）（ⅰ）由（I ）知(1,0)F ，设0000(,)(0),(,0)(0)D D A x y x y D x x ≠>， 因为||||FA FD =，则0|1|1D x x -=+， 由0D x >得02D x x =+，故0(2,0)D x +， 故直线AB 因为直线1l 和直线AB 平行，设直线1l 的方程为设(,)E E E x y ，则当204y ≠时， 可得直线AE由2004y x =，直线AE 恒过点(1,0)F .当204y =时，直线AE 的方程为1x =，过点(1,0)F ，所以直线AE 过定点(1,0)F .（ⅱ）由（ⅰ）知，直线AE 过焦点(1,0)F ，设直线AE 的方程为+1x my =， 因为点00(,)A x y 在直线AE 上，设11(,)B x y ，直线AB由于00y≠，所以点B到直线AE的距离为则ABE∆的面积即01x=时等号成立.所以ABE∆的面积的最小值为16.考点：抛物线的定义及其几何性质，直线与抛物线的位置关系，点到直线的距离公式，基本不等式的应用.7．（12【来源】2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（江西卷带解析）【解析】试题分析：（1）求双曲线ξ的方程就是要确定a的值，用a,c表示条件：1b轴，2112,a a b b ξη=-=-∥3n =，即可得：直线OBOAAB ⊥OB ，解得23a =，故双曲线C2）本题证.分别用坐标表示直线l 与AF及直线l 与直线的交点为)，并利用化简.： 试题解析：（1）设(,0)F c ，因为1b =，所以直线OB又直线OA又因为AB ⊥OB ，解得23a =，故双曲线C （2）由（1，则直线l 的方程为因为直线AF 的方程为2x =，所以直线l 与AF直线l 与直线因为是C考点：双曲线方程，直线的交点8．（1（2）220013x y +=.【来源】2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（广东卷带解析）【解析】 试题分析：（1）利用题中条件求出c 的值，然后根据离心率求出a 的值，最后根据a 、b 、c 三者的关系求出b 的值，从而确定椭圆C 的标准方程；（2）分两种情况进行计算：第一种是在从点P 所引的两条切线的斜率都存在的前提下，设两条切线的斜率分别为1k 、2k ，并由两条切线的垂直关系得到121k k =-，并设从点()00,P x y 所引的直线方程为()00y k x x y =-+，将此直线的方程与椭圆的方程联立得到关于x 的一元二次方程，利用0∆=得到有关k 的一元二次方程，最后利用121k k =-以及韦达定理得到点P 的轨迹方程；第二种情况是两条切线与坐标轴垂直的情况下求出点P 的坐标，并验证点P 是否在第一种情况下所得到的轨迹上，从而得到点P 的轨迹方程. 试题解析：（1解得2b =，因此椭圆C 的标准方程为（2）①设从点P 所引的直线的方程为()00y y k x x -=-，即()00y kx y kx =+-， 当从点P 所引的椭圆C 的两条切线的斜率都存在时，分别设为1k 、2k ，则121k k =-， 将直线()00y kx y kx =+-的方程代入椭圆C 的方程并化简得()()()222000094189360kx k y kx x y kx ++-+--=，()()()2220000184949360k y kx k y kx ⎡⎤∆=--⨯+--=⎡⎤⎣⎦⎣⎦， 化简得()2200940y kx k ---=，即()()22200009240x k kx y y --+-=，则1k 、2k 是关于k 的一元二次方程()()22200009240x k k x y y --+-=的两根，则化简得220013x y +=；②当从点P 所引的两条切线均与坐标轴垂直，则P 的坐标为()3,2±±，此时点P 也在圆2213x y +=上.综上所述，点P 的轨迹方程为2213x y +=.【考点定位】本题以椭圆为载体，考查直线与圆锥曲线的位置关系以及动点的轨迹方程，将直线与二次曲线的公共点的个数利用∆的符号来进行转化，计算量较大，从中也涉及了方程思想的灵活应用，属于难题. 9．存在【来源】2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（福建卷带解析） 【解析】试题分析：(1) 已知双曲线的两条渐近线分别为x y l x y l 2:,2:21-==,(2)首先分类讨论直线l 的位置..再讨论直线l 不垂直于x 轴,由OAB ∆的面积恒为8,由直线与双曲线方程联立以及韦达定理,即可得到直线l 有且只有一个公共点.试题解析：(1)因为双曲线E 的渐近线分别为和2,2y x y x ==-.所以从而双曲线E (2)由(1)知,双曲线E设直线l 与x 轴相交于点C.当l x ⊥轴时,若直线l 与双曲线E 有且只有一个公共点,又因为OAB ∆的面积为8,此时双曲线E 的方程为 若存在满足条件的双曲线E,则E 以下证明:当直线l 不与x 轴垂直时，双曲线E.设直线l 的方程为y kx m =+,依题意,得k>2或k<-2.记1122(,),(,)Ax y Bx y .由2y x y kx m=⎧⎨=+⎩,得,同理得.由得,由得, 222(4)2160k x kmx m ----=.因为240k -<,所以22222244(4)(16)16(416)k m k m k m ∆=+-+=---,又因为224(4)m k =-.所以∆=,即l 与双曲线E 有且只有一个公共点.因此,存在总与l 有且只有一个公共点的双曲线E,且E考点：1.双曲线的性质.2.直线与双曲线的位置关系.3. 三角形的面积的表示.10．（1（2【来源】2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（重庆卷带解析）【解析】试题分析：（1）由题设知()()12,0,,0F c F c -其中222c ab =- 结合条件12DF F ∆的面积为，可求c 的值，再利用椭圆的定义和勾股定理即可求得,a b 的值，从而确定椭圆的标准方程；（2）设圆心在y 轴上的圆与椭圆在x 轴的上方有两个交点为()()111222,,,P x y P x y 由圆的对称性可知1212,x x y y =-=，利用()()111222,,,P x y P x y 在圆上及11220PF P F ⋅=u u u u r u u u u r确定交点的坐标，进而得到圆的方程.解：（1）设()()12,0,,0F c F c -，其中222c a b =-，故1c =.，由112DF F F ⊥得（2）如答（21）图，设圆心在y 轴上的圆C 与椭圆相交，()()111222,,,P x y P x y 是两个交点，120,0y y >>，11F P ,22F P 是圆C 的切线，且11F P ⊥22F P 由圆和椭圆的对称性，易知2112,x x y y =-=由（1）知()()121,0,1,0F F -，所以()()111122111,,1,F P x y F P x y =+=--u u u u r u u u u r ，再由11F P ⊥22F P得()221110x y -++=，即211340x x +=，10x =.当10x =时，12,P P 重合，此时题设要求的圆不存在. 时，过12,P P 分别与11F P ,22F P 垂直的直线的交点即为圆心C . 由11F P ,22F P 是圆C 的切线，且11F P ⊥22F P ，知21CP CP ⊥，又12||||CP CP =故圆C 的半考点：1、圆的标准方程；2、椭圆的标准方程；3、直线与圆的位置关系；4、平面向量的数量积的应用.11．（1）点P 的坐标为（2）详见解析． 【来源】2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（浙江卷带解析） 【解析】试题分析：（1）已知直线l 的斜率为k ，用k b a ,,表示点P 的坐标，由已知椭圆动直线l 与椭圆C 只有一个公共点P ，可设出直线l 的方程为()0y kx m k =+<，结合椭圆方程，得，消去y 得，()22222222220ba kxa kmx a m ab +++-=，令0∆=，得22220b m a k -+=，即2222b a k m +=，代入原式得点P 的坐标为，再由点P 在第一象，可得点P 的坐标为（2）点P 到直线1l 的距离的最大值为b a -，由直线1l 过原点O 且与l 垂直，得直线1l 的方程为0x ky +=，利用点到直线距离公式可得，即，由式子特点，需消去k 即可，注意到即可证明．（1）设直线l 的方程为()0y k x m k =+<，由，消去y 得，()22222222220ba kxa kmx a m ab +++-=，由于直线l 与椭圆C 只有一个公共点P ，故0∆=，即22220b m a k -+=，解得点P 的坐标为，由点P 在第一象限，故点P 的坐标为 （2）由于直线1l 过原点O ，且与l 垂直，故直线1l 的方程为0x ky +=，所以点P 到直线1l 的距离，整理得，因为时等号成立，所以点P 到直线1l 的距离的最大值为b a -.点评：本题主要考查椭圆的几何性质，点单直线距离，直线与椭圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何得基本思想方法，基本不等式应用等综合解题能力。

一．基础题组1。

【河北省邯郸市2014届高三9月摸底考试数学理科】已知21FF 、分别是双曲线12222=-by a x 的左、右焦点，若2F 关于渐近线的对称点为M，且有1MF c =,则此双曲线的离心率为（ )A.2 B.3 C. 22D 。

22. 【山西省山大附中2014届高三9月月考数学理】已知 A B 、为平面内两定点,过该平面内动点M 作直线AB 的垂线，垂足为N .若2MN AN NB λ=⋅,其中λ为常数，则动点M 的轨迹不可能 是（ ) A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．双曲线3。

【河北省邯郸市2014届高三9月摸底考试数学理科】已知(2,1)Q,F为抛物线24+的最小值为=的焦点，P是抛物线上一个动点,则PF PQy x______________．4。

【2014届广东高三六校第一次联考理】已知双曲线C的焦点、实轴端点恰好是椭圆2212516x y +=的长轴端点、焦点，则双曲线C 的渐近线方程是____________________。

【答案】430x y ±= 【解析】试题分析：椭圆2212516x y +=的长轴端点为(5,0)±、焦点为(3,0)±，所以双曲线的焦点为(5,0)±,实轴端点为(3,0)±,设双曲线的方程为22221x y a b-=,即5,3,4c a b ===，所以渐近线方程为：43y x =±，即:430x y ±=.考点:1。

椭圆的方程；2.双曲线的方程及渐近线方程。

二．能力题组1。

【湖北省武汉市2014届高三10月调研测试数学（理）】已知抛物线y 2＝2px （p ＞0）与双曲线错误!－错误!＝1（a ＞0，b ＞0）有相同的焦点F ,点A 是两曲线的一个交点，且AF ⊥x 轴,则双曲线的离心率为 （ ） A ．，2＋2 B ．错误!＋1 C ．错误!＋1D ．错误!＋12。

三年高考（2014-2016）数学（理）试题分项版解析第九章 圆锥曲线一、选择题1。

【2016高考新课标1卷】已知方程222213x y m n m n-=+-表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是（ ） (A ）()1,3- （B ）()1,3- （C ）()0,3 （D)()0,3 【答案】A考点：双曲线的性质【名师点睛】双曲线知识一般作为客观题学生出现，主要考查双曲线几何性质,属于基础题。

注意双曲线的焦距是2c 不是c ，这一点易出错。

2。

【2014高考广东卷。

理.4】若实数k 满足09k <<,则曲线221259x y k-=-与曲线221259x y k -=-的（ ）A .离心率相等B 。

虚半轴长相等C .实半轴长相等 D .焦距相等 【答案】D 【解析】09k <<,则90k ->,250k ->,双曲线221259x y k -=-的实半轴长为5=5, 双曲线221259x y k -=-虚半轴长为9,焦距为=因此，两双曲线的焦距相等，故选D 。

【考点定位】本题考查双曲线的方程与基本几何性质，属于中等题。

【名师点晴】本题主要考查的是双曲线的标准方程和双曲线的简单几何性质,属于中等题．解题时要注意a 、b 、c 的关系222ca b =+,否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是双曲线的简单几何性质,即双曲线22221x y a b-=(0a >，0b >）的实轴长为2a ,虚轴长为2b ,焦距为2c ,其中222ca b =+，离心率ce a=． 3. 【2016年高考四川理数】设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线22(p 0)ypx => 上任意一点，M 是线段PF 上的点，且PM =2MF ，则直线OM 的斜率的最大值为（ ）（A （B)23 （C)（D ）1【答案】C考点：抛物线的简单的几何性质，基本不等式的应用．【名师点睛】本题考查抛物线的性质,结合题意要求，利用抛物线的参数方程表示出抛物线上点P 的坐标，利用向量法求出点M 的坐标,是我们求点坐标的常用方法，由于要求最大值,因此我们把k 斜率用参数t 表示出后,可根据表达式形式选用函数，或不等式的知识求出最值，本题采用基本不等式求出最值． 4. 【2015高考广东,理7】已知双曲线C ：12222=-by a x 的离心率54e =,且其右焦点()25,0F ，则双曲线C 的方程为（ ） A ．13422=-y x B 。

（新课标I 版01期）2014届高三数学 名校试题分省分项汇编专题09圆锥曲线（含解析）理一．基础题组1. 【某某省某某一中 康杰中学 某某一中 某某二中2014届高三第一次四校联考】若焦点在x 轴上的双曲线1222=-my x 的离心率为62，则该双曲线的渐近线方程为( )A. x y 22±= B. x y 2±= C.x y 21±= D.x y 2±= 2. 【2013年某某省十所名校高三第三次联考试题】双曲线244x 2－y ＝的离心率为( )A ．6B ．5C ．62 D ．523. 【某某市2013-2014学年度高三年级摸底考试】已知双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的左、右焦点分别为12,F F ，以12||F F 为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，则此双曲线的方程为（ ）A ．221169x y -= B ．22134x y -= C ．221916x y -= D ．22143x y -= 4. 【某某省方城一高2014届高三第一次调研（月考）】过抛物线24y x =的焦点F 且倾斜角为060的直线l 与抛物线在第一、四象限分别交于A B 、两点，则||||AF BF 等于（ ） A ．5 B ．4 C ．3 D ．2考点：抛物线的定义.5. 【某某省某某市2013届高三第二次模拟考试】双曲线x y -=22154的顶点和焦点到其渐近线距离的比是( )（A ）35（B ）53（C ）355（D ）536. 【某某省高阳中学2014届高三上学期第一次月考】已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上的点(,2)P m -到焦点的距离为4，则m 的值为( ) A ．4 B ．－2C ．4或－4 D ．12或－27. 【某某市2013届高中毕业班第一次模拟】已知双曲线的一个焦点与抛物线x 2=20y 的焦点重合，且其渐近线的方程为3x ±4y=0,则该双曲线的标准方程为（ ）A.16922=-y xB.91622=-y xC.16922=-x yD.191622=-x y8. 【2013年某某省十所名校高三第三次联考试题】圆2x 2＋y －2x ＋my －2＝0关于抛物线2x ＝4y 的准线对称，则m ＝_____________.9. 【某某市2013-2014学年度高三年级摸底考试】抛物线22(0)y px p =>的准线截圆22210x y y +--=所得弦长为2，则P =.10. 【某某省高阳中学2014届高三上学期第一次月考】1F 、2F 是双曲线2211620x y -=的焦点，点P 在双曲线上，若点P 到焦点1F 的距离等于9，则点P 到焦点2F 的距离等于_____________.11. 【某某省某某市2013届高三第二次模拟考试】设,F F 12分别是椭圆x y +=2211612的左、右焦点，点P 在椭圆上，若△PF F 12为直角三角形，则△PF F 12的面积等于____.12. 【某某省方城一高2014届高三第一次调研（月考）】（本小题满分12分）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为33e =，直线:2l y x =+与以原点为圆心、以椭圆1C 的短半轴长为半径的圆O 相切. （1）求椭圆1C 的方程；（2）设椭圆1C 的左焦点为1F ，右焦点为2F ，直线1l 过点1F ，且垂直于椭圆的长轴，动直线2l 垂直于1l ，垂足为点P ，线段2PF 的垂直平分线交2l 于点M ，求点M 的轨迹2C 的方程； （3）设2C 与x 轴交于点Q ，不同的两点R S 、在2C 上（R S 、与Q 也不重合），且满足0QR RS •=，求||QS 的取值X 围.由33e =，得222213b e a =-=，所以3a =，所以椭圆的方程是221:132x y C +=. （4分）∴22221122112562563223264y y y y y =++≥•=，当且仅当2121256y y =，即14y =±时等号成立. 又222222221||()(8)6444y QS y y =+=+-，∵2264y ≥，∴当2264y =，即28y =±时，min ||85QS =故||QS 的取值X 围是[85,)+∞.(12分)考点：1.椭圆的标准方程；2.点到直线的距离公式；3.抛物线的定义；4.基本不等式. 13．【某某省某某市2013届高三第二次模拟考试】已知动圆C 经过点(0，m ) (m>0)，且与直线y ＝－m 相切，圆C 被x 轴截得弦长的最小值为1，记该圆的圆心的轨迹为E. （Ⅰ）求曲线E 的方程；（Ⅱ）是否存在曲线C 与曲线E 的一个公共点，使它们在该点处有相同的切线？若存在，求出切线方程；若不存在，说明理由.（Ⅱ）假设存在题设的公共点21(,)2B b b ．2(22)4y x =-+或22(2)4y x =-++，即224y x =±-．…12分考点：1.轨迹方程；2.圆的的切线和抛物线的切线.14. 【某某省高阳中学2014届高三上学期第一次月考】（本小题满分12分）已知，椭圆C 过点3(1,)2A ，两个焦点为(1,0),(1,0)-．(1)求椭圆C 的方程；(2),E F 是椭圆C 上的两个动点，如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，证明直线EF 的斜率为定值，并求出这个定值．【答案】（1）22+=143x y ；（2）12. 【解析】试题分析：(1)由椭圆的定义来求解；（2）设直线AE 的方程，联立直线AE 与椭圆22+=143x y 的方程，求解点E 的坐标，同理可求点F 的坐标，化简求EF 的斜率即可. 试题解析：(1)由题意1c =，由定义12992|||44|44F A F A a +=＋＝＋＝ 所以2,3a b ==，∴椭圆方程为22+=143x y . ……4分二．能力题组1. 【某某省某某市2014届高三9月摸底考试数学】已知(2,1)Q ,F 为抛物线24y x =的焦点，P 是抛物线上一个动点，则PF PQ +的最小值为______________．【答案】3 【解析】试题分析：由抛物线24y x =可得准线l 的方程为：x 1=-．过点P 作PN ⊥l ，垂足为N ．由抛物线定义知，PF =．当且仅当3点Q ，N ，P 共线时，PF PQ +取得最小值PN |21|3=--=()， 故答案为3．考点：抛物线的定义、几何性质.2. 【中原名校联盟2013——2014学年高三上期第一次摸底考试】（本小题满分12分） 已知椭圆长轴的左右端点分别为A ，B ，短轴的上端点为M ，O 为椭圆的中心，F 为椭圆的右焦点，且AF ·FB ＝1，｜OF ｜＝1． （Ⅰ）求椭圆的标准方程；（2）若直线l 交椭圆于P ，Q 两点，问：是否存在直线l ，使得点F 恰为△PQM 的垂心?若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．21212422,33n x x n x x ，112212211,,111FP MQx y x y x x y y ，3. 【某某省某某一中 康杰中学 某某一中 某某二中2014届高三第一次四校联考】(本小题满分12分)设椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左焦点为F ，离心率为22，过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为2.(1) 求椭圆方程.(2) 过点)2,0(P 的直线l 与椭圆交于不同的两点B A ,，当OAB ∆面积最大时，求AB .试题解析：(1)由题意可得22c a =，211122b+=，又222a b c -=，解得221,2b a ==，所以椭圆方程为2212x y +=…………………………………（4分）4. 【某某市2013-2014学年度高三年级摸底考试】（本小题满分12分）已知点M 是椭圆C ：22221x y a b+=(0)a b >>上一点，12,F F 分别为C 的左右焦点12||4F F =，01260F MF ∠=，12F MF ∆43. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设(0,2)N ，过点(1,2)P --作直线l ，交椭圆C 异于N 的,A B 两点，直线,NA NB 的斜率分别为12,k k ，证明：12k k +为定值.（Ⅱ）当直线l 的斜率存在时，设其方程为2(1)y k x +=+，由221842(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪+=+⎩，得222(12)4(2)280k x k k x k k ++-+-=．……………8分 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，1224(2)12k k x x k-+=-+，21222812k k x x k -=+． 从而1212121221212222(4)()4(2)2(4)428y y kx x k x x k k k k k k x x x x k k--+-+-+=+==--=-．……………11分 当直线l 的斜率不存在时，得1414(),(1,)A B --，得124k k +=．综上，恒有124k k +=． ……………12分 考点：1.椭圆的定义；2.韦达定理；3.直线的斜率.5. 【某某省某某市2014届高三9月摸底考试数学】（本题满分12分）已知定点(3,0)G -，S 是圆22:(3)72C x y -+=（C 为圆心）上的动点，SG 的垂直平分线与SC 交于点E .设点E 的轨迹为M.(1),求M 的方程；(2)是否存在斜率为1的直线l ，使得直线l 与曲线M 相交于A ，B 两点，且以AB 为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由． 根据以线段AB 为直径的圆恰好经过原点，0=⋅OB OA ，建立m 的方程，进一步确定 直线l 的方程为23y x =+或23y x =-.6．【某某省某某市八校联合体2014届高三上学期第一次月考】（本题满分12分）已知椭圆C的中点在原点，焦点在x轴上，离心率等于12，它的一个顶点恰好是抛物线283x y =的焦点．(1)求椭圆C 的方程;(2)点P(2，3)，Q(2，-3)在椭圆上，A 、B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的动点，(i)若直线AB 的斜率为12，求四边形APBQ 面积的最大值; (ii)当A 、B 运动时，满足∠APQ =∠BPQ ，试问直线AB 的斜率是否为定值，请说明理由．(2)（i ）设1122(,),(,)A x y B x y ，直线AB 的方程为t x y +=21，所以AB 的斜率为定值21. …………………………………………………………………12分 考点：1、直线与椭圆的位置关系；2、直线方程、椭圆方程、四边形面积计算.7. 【2012-2013学年度某某市高三第二次模拟测试卷】（本小题13分） 已知椭圆C ：12222=+b y a x 的离心率等于23，点P ()3,2在椭圆上。

一．基础题组1.【湖北省黄冈市黄冈中学2013届高三下学期6月适应性考试数学理试题（B 卷）】已知F是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点，E 是双曲线的右顶点，过点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点，若ABE ∆是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围为（ ）A ．(1,3)B ．C ．(1,2)D ．二．能力题组1.【湖北荆州中学高三年级第一次质量检测数学试卷理科数学】如图，等腰梯形ABCD 中，//AB CD 且2AB =，1AD =，2DC x =（(0,1)x ∈）．以,A B 为焦点，且过点D 的双曲线的离心率为1e ；以,C D 为焦点，且过点A 的椭圆的离心率为2e ，则12e e +的取值范围为 （ ）A . [2,)+∞ B. )+∞ C. )+∞ D. 1,)+∞【答案】B 【解析】2.【2013届高中毕业生四月调研理科数学测试题】已知抛物线2:4M y x =，圆222:(1)N x y r -+=（其中r 为常数，0r >），过(1,0)的直线l 交圆N 于C 、D ，交抛物线M 于A 、B 两点，若满足||||AC BD =的直线l 有三条，则：A. (0,1]r ∈B. 3(1,]2r ∈ C. 3(,2]2r ∈ D. (0,)r ∈+∞3.【2013年湖北七市（州）高三年级联合考试理科数学】已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ，过点P(2，0)的直线交抛物线于A(x 1，y 1)和B(x 2，y 2)两点．则：(I)y 1 y 2= ；(Ⅱ)三角形ABF 面积的最小值是 ．【答案】(I)-8;(Ⅱ) 【解析】三．拔高题组1.【2013年湖北七市（州）高三年级联合考试理科数学】已知直线l ：1y ax a =+-()a R ∈．若存在实数a 使得一条曲线与直线l 有两个不同的交点，且以这两个交点为端点的线段长度恰好等于a ，则称此曲线为直线l 的“绝对曲线”．下面给出四条曲线方程：①y 21x =--；②2y x =；③22(1)(1)1x y -+-=；④2234x y +=；则其中直线l 的“绝对曲线”有 （ ）A ．①④B ．②③C ．②④D ．②③④ 【答案】Da==,从而可知当且仅当13a=-时直线l与曲线④仅一个交点.两边平2.【2013年湖北七市（州）高三年级联合考试理科数学】在矩形ABCD 中，|AB|=23，|AD|=2，E 、F 、G 、H 分别为矩形四条边的中点，以HF 、GE 所在直线分别为x ，y 轴建立直角坐标系(如图所示)．若R 、R ′分别在线段0F 、CF 上，且1OR CR nOFCF'==. (Ⅰ)求证：直线ER 与GR ′的交点P 在椭圆Ω：32x +2y =1上；(Ⅱ)若M 、N 为椭圆Ω上的两点，且直线GM 与直线GN 的斜率之积为32，求证：直线MN 过定点；并求△GMN 面积的最大值.【答案】()I 详见解析；()II 直线MN 过定点(0,-3),△GMN 【解析】试题分析：()I 先计算出E 、R 、G 、R ′各点坐标，得出直线ER 与GR ′的方程，解得其交点坐标又(0,1)E - 则直线ER的方程为1y x =- ②由①②得2221(,)11n P n n -++∵22222222214(1)1()131(1)n n n n n n -+-++==++ ∴直线ER 与GR '的交点P 在椭圆22:13x y Ω+=上 ……………4分 （Ⅱ）①当直线MN的斜率不存在时，设:(MN x t t =<<不妨取((,M t N t ∴31=⋅GN GM k k ,不合题意……………5分②当直线MN 的斜率存在时，设:MN y kx b =+ 1122(,),(,)M x y N x y∴||1||212x x k MN -+=，点G 到直线MN 的距离为214kd +=∴2221221213183344)(2||2||21k k x x x x x x d MN S GMN+-⋅=-+=-=⋅=△ 由3-=b 及0>∆知：0832>-k(0)t t => 即2238k t =+∴221191396t k t t t==≤+++ 当且仅当3t =时，()332max =∆GMN S ……13分考点：1.直线的方程；2.解析几何；3.基本不等式.3.【湖北省黄冈市黄冈中学2013届高三下学期6月适应性考试数学理试题（B 卷）】已知抛物线21:2(0)C y px p =>的焦点F 以及椭圆22222:1(0)y x C a b a b+=>>的上、下焦点及左、右顶点均在圆22:1O x y +=上． （1）求抛物线1C 和椭圆2C 的标准方程；（2）过点F 的直线交抛物线1C 于,A B 两不同点，交y 轴于点N ，已知12,NA AF NB BF λλ==，求12λλ+的值；（3）直线l 交椭圆2C 于,P Q 两不同点，,P Q 在x 轴的射影分别为','P Q ，''10OP OQ OP OQ ⋅+⋅+=，若点S 满足OS OP OQ =+，证明：点S 在椭圆2C 上．试题解析：（1）由抛物线21:2(0)C y px p =>的焦点(,0)2pF 在圆22:1O x y +=上得：214p =，2p ∴= ∴抛物线21:4C y x = . …………………………2分∴(,)p Q p Q S x x y y ++满足椭圆2C 的方程，命题得证． …………………………13分考点：1.抛物线和椭圆的方程；（2）直线与抛物线的位置关系；（3）向量的坐标运算.4.【湖北省荆门龙泉中学2014届高三年级8月月考数学（理科）试卷】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线0x y -=相切，直线:4l x my =+与椭圆C 相交于A 、B 两点.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）求OA OB ⋅的取值范围；（Ⅱ）解：由22:4143l x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得：22(34)24360m y my +++= (6)分2220(24)436(34)04m m m ∆>⇒-⨯+>⇒>由设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则1212222436,3434m y y y y m m +=-=++………………8分 ∴()22121212122212100116(1)41643434m OA OB x x y y m y y m y y m m -+⋅=+=++++==-+++ ……10分 ∵24m >∴23416m +>， ∴13(4)4OA OB ⋅∈-，∴OA OB ⋅的取值范围是13(4)4-，．………………………………………………… 13分考点：；；．5.【湖北荆州中学高三年级第一次质量检测数学试卷理科数学】已知椭圆：22221x y a b+=（0a b >>）上任意一点到两焦点距离之和为1F ，2F ，点P 是右准线上任意一点，过2F 作直 线2PF 的垂线2F Q 交椭圆于Q 点．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）证明：直线PQ 与直线OQ 的斜率之积是定值；（3）点P 的纵坐标为3，过P 作动直线l 与椭圆交于两个不同点,M N ，在线段MN 上取点H ，满足MP MH PN HN=，试证明点H 恒在一定直线上．即直线PQ 与直线OQ 的斜率之积是定值23-． ……………………7分. （3）设过(3,3)P 的直线l 与椭圆交于两个不同点1122(,),(,)M x y N x y ，点(,)H x y ，则2211236x y +=，2222236x y +=． 设MP MH PN HNλ==，则,MP PN MH NH λλ=-=， ∴1122(3,3)(3,3)x y x y λ--=---，1122(,)(,)x x y y x x y y λ--=--， 整理得1231x x λλ-=-，121x x x λλ+=+，12123,11y y y y y λλλλ-+==-+， ∴从而2222221212223,311x x y y x y λλλλ-+==--， 由于2211236x y +=，2222236x y +=，∴我们知道21x 与21y 的系数之比为2：3，22x 与22y 的系数之比为2：3． ∴222222222221212112222223323(23)69611x x y y x y x y x y λλλλλ-+-+-++===--，所以点H 恒在直线2320x y +-=上． …………………13分考点：1.椭圆的定义；2.离心率的定义；3.垂直的充要条件.6.【湖北省武汉市2013届高中毕业生四月调研理科数学测试题】过椭圆)0(1:2222>>=+Γb a by a x 右焦点2F 的直线交椭圆于A ，B 两点，1F 为其左焦点，巳知1AF B ∆（1）求橢圆Γ的方程；（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆Γ恒有两个交点P ,Q 且 ⊥若存在，求出该圆的方程；若不存在,请说明理由.（2）假设满足条件的圆存在，其方程为222(01)x y r r +=<<，当直线PQ 的斜率存在时，设其方程为y kx t =+，考点：椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系，韦达定理，向量的数量积，考查分析转化能力，计算能力.。

一．基础题组 1.【安徽省池州一中2014届高三第一次月考数学（理）】若双曲线()222103x y a a -=>的离心率为2，则a 等于（ ）A.2 C. 32 D. 12.【安徽省阜阳一中2013——2014学年高三第一次月考数学试题（理）】抛物线2x y =上的任意一点到直线02=--y x 的最短距离为（ ）A. 2B.827 C. 22 D. 以上答案都不对3.【2013年福州市高中毕业班质量检查数学(理)试卷】对于任意给定的实数m ，直线03=+-m y x 与双曲线0(12222>=-a by a x ，)0>b 最多有一个交点，则双曲线的离心率等于（ ） A ．2 B ．2C ．3D ．104．【福建省漳州市四地七校2013届高三6月模拟考数学（理）】双曲线2213y x -=的右焦点F ，点P 是渐近线上的点，且2OP =，则PF = .5.【安徽省池州一中2014届高三第一次月考数学（理）】抛物线22xy =上点(2,2)处的切线方程是 .二．能力题组1.【安徽省2013年马鞍山三模（理）】已知12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两焦点，以线段12F F 为边作正12MF F △，若边1MF 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ）（A ）4+ （B 1 （C （D 12.【安徽省六校教育研究会2014届高三素质测试数学（理）】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F (2，0)，设A ，B 为双曲线上关于原点对称的两点，AF 的中点为M ，BF 的中点为N ，若原点O 在以线段MN 为直径的圆上，直线AB （ ）A B C ．2D ．43.【福建省三明市2013年普通高中5月毕业班质量检查（理）】过双曲线12222=-by a x (0a >，0)b >的左焦点F 作圆O : 222a y x =+的两条切线，切点为A ，B ，双曲线左顶点为C ，若120=∠ACB ,则双曲线的渐近线方程为 （ ）A ． x y 3±=B ． x y 33±= C ． x y 2±= D ． x y 22±=4.【福建省三明市2013年普通高中5月毕业班质量检查（理）】若抛物线24y x =上一点M 到焦点F 的距离为4，则点M 的横坐标为 ．5.【安徽省2013年马鞍山三模（理）】设平面区域D 是由双曲线2214x y -=的两条渐近线和抛物线28y x =-的准线所围成的三角形（含边界与内部）．若点(,)x y D ∈，则目标函数z x y =+的最大值为 ．6.【福建省三明市2013年普通高中5月毕业班质量检查（理）】已知椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>，且椭圆Γ的右焦点F 与抛物线24y x =的焦点重合．（Ⅰ）求椭圆Γ的标准方程；（Ⅱ）如图，设直线:2m y x =与椭圆Γ交于,A B 两点（其中点A 在第一象限），且直线m 与定直线2x =交于点D ，过D 作直线//DC AF 交x 轴于点C ，试判断直线AC 与椭圆Γ的公共点个数．三．拔高题组1.【福建省宁德一中、罗源一中、尚德中学2013届高三下学期第二次联考数学试题（理）】已知命题：在平面直角坐标系xoy 中，ABC ∆的顶点)0,(p A -和)0,(p C ，顶点B 在椭圆),0(1222222n m p n m n y m x -=>>=+上，则B C A sin sin sin +e 1=（其中e 为椭圆的离心率）．试将该命题类比到双曲线中，给出一个真命题：在平面直角坐标系xoy 中，ABC ∆的顶点)0,(p A -和)0,(p C ，顶点B 在双曲线),0(1222222n m p n m ny m x +=>>=-上，则 ．2.【2013年福州市高中毕业班质量检查数学(理)试卷】已知>a 0>b ，曲线C 上任意一点P分别与点)0,(a A -、)0,(a B 连线的斜率的乘积为22ab -．（Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）设直线)0,0(:≠≠+=h k h kx y l 与x 轴、y 轴分别交于M 、N 两点，若曲线C 与直线l 没有公共点，求证：||MN a b >+．3．【福建省漳州市四地七校2013届高三6月模拟考数学（理）】（本小题满分13分）如图，ADB 为半圆，AB 为半圆直径，O 为半圆圆心，且OD AB ⊥，Q 为线段OD 的中点，已知4AB =，曲线C 过Q 点，动点P 在曲线C 上运动且保持PA PB +的值不变. (I)建立适当的平面直角坐标系，求曲线C 的方程；(II)过点B 的直线l 与曲线C 交于,M N 两点，与OD 所在直线交于E 点，1EM MB λ= ，2λ=证明：21λλ+为定值.4．【安徽省望江四中2014届高三上学期第一次月考数学（理）】（本小题13分）如图，过抛物线24x y =的对称轴上任一点()()0,0P m m >作直线与抛物线交于A 、B 两点，点Q 是点P 关于原点的对称点.（1）设AP PB λ=，证明：()QP QA QB λ⊥- ；（2）设直线AB 的方程是2120x y -+=，过A 、B 两点的圆C 与抛物线在点A 处有共同的切线，求圆C 的方程.5.【福建省宁德一中、罗源一中、尚德中学2013届高三下学期第二次联考数学试题（理）】（本小题满分13分）如图所示，设抛物线21:4(0)C y mx m =>的焦点为2F ，且其准线与x 轴交于1F ，以1F ，2F 为焦点，离心率12e =的椭圆2C 与抛物线1C 在x 轴上方的一个交点为P.6.【安徽省2013年马鞍山三模（理）】（本小题满分14分）已知,A B 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右顶点，点3(1,)2D 在椭圆C 上，且直线DA 与直线DB 的斜率之积为24b -．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）如图，已知,P Q 是椭圆C 上不同于顶点的两点，直线AP 与QB 交于点M ，直线PB 与AQ 交于点N ．① 求证：MN AB ⊥；② 若弦PQ 过椭圆的右焦点2F ，求直线MN 的方程．7.【安徽省池州一中2014届高三第一次月考数学（理）】（本小题满分14分）已知椭圆1C ：()222210x y a b ab+=>>直线l :2y x =+与以原点为圆心、以椭圆1C 的短半轴长为半径的圆相切. （Ⅰ）求椭圆1C 的方程；（Ⅱ）设椭圆1C 的左焦点为1F ，右焦点2F ，直线1l 过点1F 且垂直于椭圆的长轴，动直线2l 垂直1l 于点P ，线段2PF 垂直平分线交2l 于点M ，求点M 的轨迹2C 的方程；（Ⅲ）设2C 与x 轴交于点Q ，不同的两点S R ,在2C 上，且满足0QR RS ⋅=uu u r uu r ，求QS uu r的取值范围.8.【安徽省六校教育研究会2014届高三素质测试数学（理）】（本小题满分13分）点P 是椭圆22143x y +=外的任意一点，过点P 的直线PA 、PB 分别与椭圆相切于A 、B 两点。

一．基础题组1.【河北省唐山市2013-2014学年度高三年级摸底考试理科】已知双曲线22221x y a b -=(0,0)a b >>的左、右焦点分别为12,F F ，以12||F F 为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，则此双曲线的方程为（ ）A ．221169x y -= B ．22134x y -= C ．221916x y -= D ．22143x y -=2.【安徽省池州一中2014届高三第一次月考数学（理）】若双曲线()222103x y a a -=>的离心率为2，则a 等于（ ）A.2 C. 32D. 13.【福建省泉州市2013届高中毕业班（第二轮）质量检测】若双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一个焦点在直线20x y a --=上，则其渐近线方程为（ ）A ．y =B ．y x =C ．13y x =±D ．3y x =±4.【山西省忻州一中 康杰中学 临汾一中 长治二中2014届高三第一次四校联考理】若焦点在x 轴上的双曲线1222=-my x ，则该双曲线的渐近线方程为( )A. x y 22±= B. x y 2±= C.x y 21±= D.x y 2±=5.【2013年福建省福州市高中毕业班质量检查数学】已知抛物线24x y =-的准线与双曲线22221(0,0)y x a b a b -=>>的两条渐近线围成一个等腰直角三角形，则该双曲线的离心率是（ ）B.2 D.56.【广东省广州市海珠区2014届高三入学摸底考试数学理试题】已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线与抛物线()220y px p =>的准线分别交于,A B 两点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2,AOB ∆则p = .7．【广东省汕头四中2014届高三第一次月考数学（理）】双曲线的焦点在x 轴上，实轴长为4，离心率为3，则该双曲线的标准方程为 ，渐近线方程为 ．8.【广东省汕头四中2014届高三第一次月考数学（理）】双曲线的焦点在x 轴上，实轴长为4，离心率为3，则该双曲线的标准方程为 ，渐近线方程为 ．9.【福建省三明市2013年普通高中5月毕业班质量检查】若抛物线24y x =上一点M 到焦点F 的距离为4，则点M 的横坐标为 ．10.【江苏省苏州市2014届高三九月测试试卷】已知双曲线221(0)y x m m-=>的离心率为2，则m 的值为 ___ ___．11.【江苏省泰州中学2013-2014学年度第一学期高三数学考试】设中心在原点的双曲线与椭圆2212xy+=有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程是__________．12.【2013年福建省漳州市“四地七校”六月模拟卷数学】双曲线2213yx-=的右焦点F，点P是渐近线上的点，且2OP=，则PF= .13.【黔东南州2013年5月高三年级第二次模拟考试】已知抛物线22(0)y px p =>的焦点F恰为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点,且两曲线交点的连线过点F ,则双曲线的离心率为 （ ）A ．2+B ．1+C ．2D ．2222222123(1,1c a b e e a a+===++=+=∴=+14.【北京市顺义区2012—2013学年度高三年级第二次统练】已知双曲线22221x y a b -=的离心率为3，顶点与椭圆22185x y +=的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为_____；渐近线方程为_________.二．能力题组15.【河北省唐山市2012-2013学年度高三年级第三次模拟考试】经过点1(1,)2，渐近线与圆22(3)1x y -+=相切的双曲线的标准方程为( )A ．2281x y -= B ．22241x y -= C ．2281y x -= D ．22421x y -=以28m =.再设双曲线的方程228x y n -=，因为过1(1,)2，代入坐标计算得1n =-.16.【内蒙古赤峰市全市优质高中2014届高三摸底考试（理）】设双曲线2218y x -=的两个焦点为12,F F ，P 是双曲线上的一点，且12||:||=3:4PF PF ,则△PF 1 F 2的面积等于( )17.【广东省广州市越秀区2014届高三上学期摸底考试（理）】若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线与圆22(2)1x y -+=相切，则双曲线的离心率为（ ）A.43B. C.218.【浙江省绍兴市第一中学2014届高三上学期回头考】.如图，F 1，F 2是双曲线C ：22221x y a b-=(a＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与C 的左、右两支分别交于A ，B 两点．若∆ABF 2为等边三角形，则双曲线的离心率为 （ ） A． B ．2 C ．D考点：双曲线的定义与离心率、余弦定理19.【湖北省荆州中学2014届高三年级第一次质量检测数学】如图，等腰梯形ABCD 中，//AB CD 且2AB =，1AD =，2DC x =（(0,1)x ∈）．以,A B 为焦点，且过点D 的双曲线的离心率为1e ；以,C D 为焦点，且过点A 的椭圆的离心率为2e ，则12e e +的取值范围为 （ ）xy OA B F 1F 2(第9题图)A . [2,)+∞ B. )+∞ C. 1[,)2+∞ D. 1,)+∞20.【2014届吉林市普通高中高中毕业班复习检测】中心为)00(，, 一个焦点为)25,0(F 的椭圆,截直线23-=x y 所得弦中点的横坐标为21，则该椭圆方程是（ ） A. 125275222=+y xB.1257522=+y x C.1752522=+y x D. 175225222=+y x21.【2014届吉林市普通高中高中毕业班复习检测】设圆1O 和圆2O 是两个定圆，动圆P 与这两个定圆都相切，则圆P 的圆心轨迹可能是（ ）① ② ③ ④ ⑤ A ．①③⑤B ．②④⑤C ．①②④D ．①②③22.【吉林省白山市第一中学2014届高三8月摸底考试理】设双曲线的右焦点为F ，过点F 作与x 轴垂直的直线l 交两渐近线于A ，B 两点，与双曲线的其中一个交点为P ，设O 为坐标原点，若OB n OA m OP += (R n m ∈,)，且）A B C ． D23.【广东省佛山市南海区2014届普通高中高三8月质量检测理】已知抛物线22y px =的焦点F 与双曲线22179x y -=的右焦点重合，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线上且|||AK AF =，则△AFK 的面积为（ ）（A ） 4 （B ） 8 （C ） 16 （D ） 3224.【2014届新余一中宜春中学高三年级联考数学（理）】设e 是椭圆x 24＋y 2k ＝1的离心率，且e ∈(12，1)，则实数k 的取值范围是 ( )A ．(0,3)B ．(3，163)C ．(0,3)∪(163，＋∞) D ．(0,2)25.【安徽省六校教育研究会2014届高三素质测试理】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F (2，0)，设A ，B 为双曲线上关于原点对称的两点，AF 的中点为M ，BF 的中点为N ，若原点O 在以线段MN 为直径的圆上，直线AB ，则双曲线的离心率为（ ） AB C ．2D ．426.【江西师大附中高三年级2013-2014开学考试】抛物线22y px =（p ＞0）的焦点为F ，已知点A ，B 为抛物线上的两个动点，且满足120AFB ∠=︒．过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则||||MN AB 的最大值为（ ）A ．2B ．3 C ．1 D ．327.【吉林市普通中学2013-2014学年度高中毕业班摸底测试理】已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点F ，直线c a x 2=与其渐近线交于A ，B 两点，且△ABF 为钝角三角形，则双曲线离心率的取值范围是（ ） A. （∞+，3）B. （1，3）C. （∞+，2）D . （1，2）则ce a a a==<=，即e ∈. 考点：双曲线的性质.28.【福建省三明市2013年普通高中5月毕业班质量检查】过双曲线12222=-by a x (0a >，0)b >的左焦点F 作圆O : 222a y x =+的两条切线，切点为A ，B ，双曲线左顶点为C ，若120=∠ACB ,则双曲线的渐近线方程为 （ ）A ． x y 3±=B ． x y 33±= C ． x y 2±= D ． x y 22±=考点：直线与圆的位置关系、双曲线的渐近线29.【2013年浙江省第二次五校联考】如图，已知抛物线的方程为22(0)x py p =>，过点(0,1)A -作直线l 与抛物线相交于,P Q 两点，点B 的坐标为(0,1)，连接,BP BQ ，设,Q B BP 与x 轴分别相交于,M N 两点．如果QB 的斜率与PB 的斜率的乘积为3-，则MBN ∠的大小等于（ ）A ．2π B ．4π C ．23π D ． 3π30.【江苏省南京市2014届高三9月学情调研】如图，已知过椭圆()222210x y a b a b+=>>的左顶点(),0A a -作直线l 交y 轴于点P ，交椭圆于点Q ，若AOP ∆是等腰三角形，且2PQ QA =，则椭圆的离心率为 .31.【江苏省扬州中学2013—2014学年高三开学检测】已知实数0p >，直线3420x y p -+=与抛物线22x py =和圆222()24p p x y +-=从左到右的交点依次为,,,A B C D ，则AB CD的值为 ．【答案】116【解析】32.【广东省六校2014届高三第一次联考试题】已知双曲线C 的焦点、实轴端点恰好是椭圆2212516x y +=的长轴端点、焦点，则双曲线C 的渐近线方程是____________________.33.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线与圆22420x y x +-+=相切，则该双曲线的离心率为_________．三．拔高题组34.【广东省惠州市2014届高三第一次调研考试】（本小题满分14分）在平面直角坐标系x o y 中，点(,)(0)P a b a b >>为动点，12,F F 分别为椭圆22221x y a b+=的左右焦点．已知△12F P F 为等腰三角形．（1）求椭圆的离心率e ；（2）设直线2P F 与椭圆相交于,A B 两点，M 是直线2P F 上的点，满足2A M B M =-，求点M 的轨迹方程．【答案】(1) 12; (2) 218150(0)x x --=>. 【解析】于是838(,)55AM y x y x =--,()BM x = …………11分由0c >得0x >.因此,点M 的轨迹方程是218150(0)x x --=>. …14分35.【安徽省池州一中2014届高三第一次月考】已知椭圆1C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为l :2y x =+与以原点为圆心、以椭圆1C 的短半轴长为半径的圆相切.（Ⅰ）求椭圆1C 的方程；（Ⅱ）设椭圆1C 的左焦点为1F ，右焦点2F ，直线1l 过点1F 且垂直于椭圆的长轴，动直线2l 垂直1l 于点P ，线段2PF 垂直平分线交2l 于点M ，求点M 的轨迹2C 的方程；（Ⅲ）设2C 与x 轴交于点Q ，不同的两点S R ,在2C 上，且满足0QR RS ⋅=u u u r u u r，求QS uur 的取值范围.36.【江西师大附中高三年级2013-2014开学考试】（本小题满分13分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线0x y -+=相切，过点P （4，0）且不垂直于x 轴直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点． (Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)求OB OA ⋅的取值范围．37.【2014届吉林市普通高中高中毕业班复习检测】设F 为抛物线px y 22= (0>p )的焦点，,,R S T 为该抛物线上三点，若=++，且6=++（Ⅰ）求抛物线22y px =的方程；（Ⅱ）M 点的坐标为(m ,0)其中0>m ，过点F 作斜率为1k 的直线与抛物线交于A 、B 两点，A 、B 两点的横坐标均不为m ，连结AM 、BM 并延长交抛物线于C 、D 两点，设直线CD 的斜率为2k ．若421=k k ，求m 的值.38.【江苏省苏州市2014届高三九月测试试卷】 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的长轴两端点分别为,A B ，000(,)(0)P x y y >是椭圆上的动点，以AB 为一边在x 轴下方作矩形ABCD ，使(0)AD kb k =>，PD 交AB 于点E ，PC 交AB 于点F ．（Ⅰ）如图（1），若1k =，且P 为椭圆上顶点时，PCD ∆的面积为12，点O 到直线PD 的距离为65，求椭圆的方程； （Ⅱ）如图（2），若2k =，试证明：,,AE EF FB 成等比数列．39.【江苏省苏州市2014届高三九月测试试卷】在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 上任意一点到点1(0,)2M 的距离与到直线12y =-的距离相等． （Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）设11(,0)A x ，22(,0)A x 是x 轴上的两点12120,0x x x x +≠≠，过点12,A A 分别作x 轴的垂线，与曲线C 分别交于点12,A A ''，直线12A A ''与x 轴交于点33(,0)A x ，这样就称12,x x 确定了3x ．同样，可由23,x x 确定了4x ．现已知126,2x x ==，求4x 的值．40.【江苏省扬州中学2013—2014学年高三开学检测】如图，已知椭圆22:14x C y +=的上、下顶点分别为,A B ，点P 在椭圆上，且异于点,A B ，直线,AP BP 与直线:2l y =-分别交于点,M N ，（Ⅰ）设直线,AP BP 的斜率分别为12,k k ，求证：12k k ⋅为定值； （Ⅱ）求线段MN 的长的最小值；（Ⅲ）当点P 运动时，以MN 为直径的圆是否经过某定点？请证明你的结论．41.【湖北省荆门市龙泉中学2014届高三8月月考数学（理）】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线0x y -+=相切，直线:4l x my =+与椭圆C 相交于A 、B 两点.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）求OA OB ⋅的取值范围；42.【广东省广州市海珠区2014届高三入学摸底考试数学理试题】已知椭圆R ：()222210x y a b a b +=>>的长轴长为4，且过点12⎫⎪⎭，． （１）求椭圆R 的方程；（２）设A 、B 、M 是椭圆上的三点，若3455OM OA OB −−→−−→−−→=+，点N 为线段AB 的中点，C 、D 两点的坐标分别为⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭、⎫⎪⎪⎝⎭，求证：NC ND +=【答案】（1）2214x y +=；（2）详见试题解析． 【解析】试题分析：（1）由已知列方程组可求得,a b 的值，进而可得椭圆的标准方程；（2）利用平面向量的坐标运算和待43.【安徽省六校教育研究会2014届高三素质测试理】（本小题满分13分）点P 是椭圆22143x y +=外的任意一点，过点P 的直线PA 、PB 分别与椭圆相切于A 、B 两点。

（新课标II 版01期） 2014届高三数学 名校试题分省分项汇编专题09 圆锥曲线（含解析）理一．基础题组1.【吉林市普通高中2012—2013学年度高中毕业班下学期期末复习检测 数学（理科）】 中心为)00(，, 一个焦点为)25,0(F 的椭圆,截直线23-=x y 所得弦中点的横坐标为21，则该椭圆方程是（ ）A. 125275222=+y xB.1257522=+y x C.1752522=+y x D. 175225222=+y x2.【昆明第一中学2014届高三开学考试】 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，M 是抛物线C 上的点，若OFM ∆的外接圆与抛物线C 的准线相切，且该圆面积为9π，则p =（ ） (A)2 (B)4 (C)6 (D)8 【答案】B3.【吉林省白山市高三摸底考试理科数学】 设双曲线12222=-by a x )0,0(>>b a 的右焦点为F ，过点F 作与x 轴垂直的直线l 交两渐近线于A ，B 两点，与双曲线的其中一个交点为P ，设O 为坐标原点，若OB n OA m OP += (R n m ∈,)，且92=mn ，则该双曲线的离心率为（ ）A ．223 B ．553 C ． 423 D ．894.【吉林市普通高中2012—2013学年度高中毕业班下学期期末复习检测 数学（理科）】 设圆1O 和圆2O 是两个定圆，动圆P 与这两个定圆都相切，则圆P 的圆心轨迹可能是（ ）① ② ③ ④ ⑤A ．①③⑤B ．②④⑤C ．①②④D ．①②③5.【吉林市普通中学2013-2014学年度高中毕业班摸底测试理科数学】 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点F ，直线c a x 2=与其渐近线交于A ，B 两点，且△ABF 为钝角三角形，则双曲线离心率的取值范围是（ ） A. （∞+，3）B. （1，3）C. （∞+，2）D . （1，2）6.【内蒙古赤峰市全市优质高中2014届高三摸底考试理科数学】 设双曲线2218y x -=的两个焦点为12,F F ，P 是双曲线上的一点，且12||:||=3:4PF PF ,则△PF 1 F 2的面积等于( ) 3 3 557.【2013年云南省第二次高中毕业生复习统一检测理科数学】已知⊙P 的半径等于6，圆心是抛物线x y 82=的焦点，经过点)2,1(-M的直线l 将⊙P 分成两段弧，当优弧与劣弧之差最大时，直线l 的方程为( ) （A ）032=++y x （B ）052=--y x（C ）02=+y x（D ）052=--y x∴直线l 的方程为)1(212--=+x y ，即032=++y x ．故选A ． 考点：直线和圆的基本知识.8.【云南省玉溪一中2014届高三上学期第一次月考数学（理科）】 设双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为12F F A 、，是双曲线渐近线上的一点，212AF F F ⊥，原点O 到直线1AF 的距离为113OF ，则渐近线的斜率为 （ ）（A ）5或5- （B ）2或2- （C ）1或1-（D ）2或2-【答案】D 【解析】二．能力题组1.【昆明第一中学2014届高三开学考试】 已知(,0)F c 是双曲线:C 22221x y a b -=(0,0)a b >>的右焦点，若双曲线C 的渐近线与圆2221:()2E x c y c -+=相切，则双曲线C的离心率为．2.【齐齐哈尔市2013届高三第二次模拟考试理科数学】已知12,F F分别为双曲线22221x ya b-=（a＞0,b＞0）的左、右焦点，O为原点，A为右顶点，P为双曲线左支上的任意一点，若OAPFPF-122存在最小值为12a，则双曲线离心率e的取值范围是（）A．[)∞+5 B．(]5,2 C．(]5,1 D．()2,13.【2013年云南省第二次高中毕业生复习统一检测理科数学】已知1F、2F是双曲线1222=-y ax 的两个焦点，点P 在此双曲线上，021=⋅PF PF ，如果点P 到x 轴的距离等于55，那么该双曲线的离心率等于 ．∴2125512PF PF a =⨯+，解得42=a . ∴1422=-y x 的离心率等于25.考点：双曲线的离心率.4.【云南省玉溪一中2014届高三上学期第一次月考数学（理科）】 已知抛物线24x y =的焦点为F ，准线与y 轴的交点为,M N 为抛物线上的一点，且满足NF MN λ=，则λ的取值范围是 ____ ．三．拔高题组1.【吉林市普通高中2012—2013学年度高中毕业班下学期期末复习检测 数学（理科）】 设F为抛物线px y 22= (0>p )的焦点，,,R S T 为该抛物线上三点，若=++，且6=++FT FS FR（Ⅰ）求抛物线22y px =的方程；（Ⅱ）M 点的坐标为(m ,0)其中0>m ，过点F 作斜率为1k 的直线与抛物线交于A 、B两点，A 、B 两点的横坐标均不为m ，连结AM 、BM 并延长交抛物线于C 、D 两点，设直线CD 的斜率为2k ．若421=k k ，求m 的值. （Ⅱ）设11223344(,),(,),(,),(,)A x y B x y C x y D x y 则121212212121244y y y y k y y x x y y --===--+，同理2344k y y =+……………………7分 所以12341()4y y y y +=+考点：抛物线标准方程，直线与抛物线联立，韦达定理应用.2.【昆明第一中学2014届高三开学考试】 已知平面内与两定点(2,0)A ，(2,0)B -连线的斜率之积等于14-的点P 的轨迹为曲线1C ， 椭圆2C 以坐标原点为中心，焦点在y 轴上，离心率为5． （Ⅰ）求1C 的方程；（Ⅱ）若曲线1C 与2C 交于M 、N 、P 、Q 四点，当四边形MNPQ 面积最大时，求椭圆2C 的方程及此四边形的最大面积.【答案】（Ⅰ）221(2)4x y x =≠±（Ⅱ）2211235y x =，四边形MNPQ 的最大面积为4 【解析】试题分析：（Ⅰ）设动点坐标为(,)x y ，利用此动点与两定点(2,0),(2,0)A B -的连线的斜∴椭圆2C 的方程为2211235y x +=，四边形MNPQ 的最大面积为4.………12分 考点：1.圆锥曲线的定义;2.椭圆的方程与性质.3.均值不等式.3.【吉林省白山市高三摸底考试理科数学】 已知椭圆C : 22221x y a b+= (a >b>0)的两个焦点和短轴的两个端点都在圆221x y +=上.(I)求椭圆C 的方程；(II)若斜率为k 的直线过点M (2,0),且与椭圆C 相交于A , B 两点.试探讨k 为何值时,三角形O AB 为直角三角形.(1)若O 为直角顶点,则0OA OB ⋅=u u u r u u u r,即12120x x y y +=有 , Q 1212(2)(2)y y k x k x =-⋅-,所以上式可整理得,222282401212k k k k -+=++,解,得5k =,满足22(k ∈4.【齐齐哈尔市2013届高三第二次模拟考试理科数学】 如图,焦点在x 轴的椭圆C ，离心率22=e ，且过点A （-2，1），由椭圆上异于A 的P 点发出的光线射到A 点处被直线1y =反射后交椭圆于Q 点(Q 与P 不重合). （Ⅰ）求椭圆标准方程;（Ⅱ）求证：直线PQ 的斜率为定值； （Ⅲ）求OPQ ∆的面积的最大值．【答案】()122163x y += ()21k =- ()3 92【解析】试题分析：（Ⅰ）椭圆有两个独立量，所以需要建立两个方程①利用离心率22e =②利用点P（Ⅲ）由（Ⅱ），设PQ 的方程为y x m =-+.由22163y x mx y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩联立得：2234260x mx m -+-=令0∆>，得33m -<<，设1122(,),(,)P x y Q x y ，则考点：椭圆及其性质,直线与圆锥曲线的关系运算,求函数最值.5.【吉林市普通中学2013-2014学年度高中毕业班摸底测试理科数学】 已知椭圆12222=+by a x （0>>b a ）右顶点与右焦点的距离为31-，短轴长为22. （I ）求椭圆的方程；（II ）过左焦点F 的直线与椭圆分别交于A 、B 两点，若三角形OAB 的面积为324，求直线AB 的方程．考点：1、椭圆的方程；2、直线被圆锥曲线所截弦长的求法；3、点到直线的距离公式． 6.【内蒙古赤峰市全市优质高中2014届高三摸底考试理科数学】已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，焦距为215(4,1)M ，直线:0l x y m -+=交椭圆于不同的两点A ，B.(1)求m 的取值范围；，(2)若直线l 不经过点M ，求证：直线,MA MB 的斜率互为相反数.22(420)8(5)8(1)055m m m m --=---=所以直线,MA MB 的斜率互为相反数. ………………12分 考点：1.椭圆的标准方程；2.韦达定理.7.【云南省玉溪一中2014届高三上学期第一次月考数学（理科）】 已知(,0)F c 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点，圆222:()F x c y a -+=与x 轴交于E D 、两点，B 是椭圆C 与圆F 的一个交点，且3BD BE =. （Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）过点B 与圆F 相切的直线l 与C 的另一交点为A ，且ABD △的面积为246c ，求椭圆C 的方程.。

一．基础题组1.【广东省广州市海珠区2014届高三上学期综合测试二】已知双曲线221x y m-=的离心率是2，则m 的值是 .2.【广东省深圳市宝安区2014届高三调研考试】以抛物线x y 202=的焦点为圆心，且与双曲线221169x y -=的两条渐近线都相切的圆的方程为______________________. 二．能力题组1.【广东省仲元中学、中山一中、南海中学、潮阳一中、宝安中学、普宁二中2014届高三第一次联考】定义：关于x 的不等式x A B -<的解集叫A 的B 邻域．已知2a b +-的a b+邻域为区间()2,8-，其中a 、b 分别为椭圆22221x y a b+=的长半轴和短半轴．若此椭圆的一焦点与抛物线2y =的焦点重合，则椭圆的方程为（ ）A.22183x y +=B.22194x y +=C.22198x y += D.221169x y += 2.【广东省增城市2014届高三调研考试】与圆221x y +=及圆228120x y x +-+=都相外切的圆的圆心在 （ ）A.一个椭圆上B.一支双曲线上C.一条抛物线上D.一个圆上3.【广东省百所高中2014届高三11月联考】设1F 、2F 分别为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点，A 为双曲线的左顶点，以12F F 为直径的圆交双曲线某条渐过线M 、N 两点，且满足120MAN ∠= ，则该双曲线的离心率为（ ）C.23D.3三．拔高题组1.【广东省仲元中学、中山一中、南海中学、潮阳一中、宝安中学、普宁二中2014届高三第一次联考】已知椭圆C 的中心在原点O ，离心率2e =，右焦点为)F .（1）求椭圆C 的方程；（2）设椭圆的上顶点为A ，在椭圆C 上是否存在点P ，使得向量OP OA + 与FA共线？若存在，求直线AP的方程；若不存在，简要说明理由.2.【广东省增城市2014届高三调研考试】已知点()()1,0,1,0,A B -直线AM 、BM 相交于点M ，且2MA MB k k ⨯=-.（1）求点M 的轨迹C 的方程；（2）过定点()0,1作直线PQ 与曲线C 交于P 、Q 两点，且2PQ =，求直线PQ 的方程.3.【广东省惠州市2014届高三第二次调研考试】已知左焦点为(1,0)F -的椭圆过点(1,3E ．过点(1,1)P 分别作斜率为12,k k 的椭圆的动弦,AB CD ，设,M N 分别为线段,AB CD 的中点．（1）求椭圆的标准方程；（2）若P 为线段AB 的中点，求1k ；（3）若121k k +=，求证直线MN 恒过定点，并求出定点坐标．4.【广东省执信中学2014届高三上学期期中考试】已知点(0,)2p F （0,p p >是常数），且动点P 到x 轴的距离比到点F 的距离小2p . （1）求动点P 的轨迹E 的方程；（2）（i ）已知点()2,2M ，若曲线E 上存在不同两点A 、B 满足AM BM +=0，求实数p 的取值范围；（ii ）当2p =时，抛物线L 上是否存在异于A 、B 的点C ，使得经过A 、B 、C 三点的圆和抛物线L 在点C 处有相同的切线，若存在，求出点C 的坐标，若不存在，请说明理由．5.【广东省深圳市宝安区2014届高三调研考试】已知点(0,1),F 直线:1,l y P =-为平面上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为Q ，且QP QF FP FQ ⋅=⋅ .（1）求动点P 的轨迹方程；（2）,A B 是轨迹M 上异于坐标原点O 的不同两点，轨迹M 在点,A B 处的切线分别为12,l l ，且12l l ⊥，12,l l 相交于点D ，求点D 的纵坐标.7.【广东省广州市海珠区2014届高三上学期综合测试二】已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的离心率为e =，直线y x =+C 的短半轴长为半径的圆O 相切. （1）求椭圆C 的方程；（2）如下图，A 、B 、D 是椭圆C 的顶点，P 是椭圆C 上除顶点外的任意点，直线DP 交x 轴于点N ，直线AD 交BP 于点M ，设BP 的斜率为k ，MN 的斜率为m ，求证：2m k -为定值.。

一．基础题组1.【浙江省2013学年第一学期温州八校高三期初联考】设12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两个焦点，P 是C 上一点，若a PF PF 6||||21=+，且12PF F ∆的最小内角为30，则C 的离心率为（ ） A ．2 B ．23 C ．3D ．262.【浙江省2014届金华一中高三9月月考数学试卷】已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为(3,0)F ,过点F 的直线交椭圆于,A B 两点.若AB 的中点坐标为(1,1)-,则E 的方程为 （ ）A ．2214536x y += B ．2213627x y += C ．2212718x y += D ．221189x y += 【答案】D 【解析】试题分析：由题意知，3c =，利用点差法，设过点F 的直线（显然，斜率存在）为()3y k x =-，3.【浙江省2014届金华一中高三9月月考数学试卷理】长为2的线段AB 的两个端点在抛物线x y =2上滑动，则线段AB 中点M 到y 轴距离的最小值是考点：抛物线的定义与性质.4.【浙江省嘉兴市2014届高三上学期9月月考理】已知1F ,2F 是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P ，使得12PF PF ⊥,则椭圆的离心率的取值范围是（ ）A. ⎫⎪⎪⎣⎭B. 2⎫⎪⎪⎣⎭C. ⎛ ⎝⎦D. 0,2⎛ ⎝⎦5.如图，F 1，F 2是双曲线C ：22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与C 的左、右两支分别交于A ，B 两点．若∆ABF 2为等边三角形，则双曲线的离心率为 （ ）A B ．2 C ．D【答案】C 【解析】6.【浙江省嘉兴一中2014届高三上学期入学摸底测试】设点A （3-，0），B （3，0），直线AM 、BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为32-.（Ⅰ）求动点M 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）若直线l 过点F （1，0）且绕F 旋转，l 与圆5:22=+y x O 相交于P 、Q 两点，l 与轨迹C 相交于R 、S 两点，若|PQ |],19,4[∈求△RS F '的面积的最大值和最小值（F ′为轨迹C 的左焦点）.【答案】（Ⅰ）221(32x y x +=≠；（Ⅱ）min S ∴=，max S = 【解析】试题分析：（Ⅰ）根据椭圆的定义、几何性质可求；（Ⅱ）直线与椭圆相交，联立消元，设点代入化简，利用基本不等式求最值.试题解析：（Ⅰ）设(,)M x y ，则2(3MA MB k k x ⋅==-≠考点：椭圆，根与系数关系，基本不等式，坐标表示7.如图，F 1，F 2C ：22221x y a b +=(a ＞b ＞0)的左、右焦点，直线l ：x＝－12将线段F 1F 2分成两段，其长度之比为1 : 3．设A ，B 是C 上的两个动点，线段AB 的中垂线与C 交于P ，Q两点，线段AB 的中点M 在直线l 上． (Ⅰ) 求椭圆C 的方程； (Ⅱ) 求22F P F Q ⋅的取值范围．由221122221,21,2xyxy⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得(x1＋x2)＋2(y1＋y2)1212y yx x-⋅-＝0，令t ＝1＋32m 2，1＜t ＜29，则tQ F P F 3251321922-=⋅． 又1＜t ＜29，所以221251232F P F Q -<⋅< ．综上，Q F P F 22⋅的取值范围为1251,232⎡⎫-⎪⎢⎣⎭． 考点：椭圆的方程、平面向量的数量积、韦达定理二．能力题组1.【浙江省2013学年第一学期温州八校高三期初联考】已知直线y a =交抛物线2y x =于,A B 两点.若该抛物线上存在点C ，使得ACB ∠为直角，则a 的取值范围为 .【答案】[)+∞,1 【解析】考点：平面向量的数量积、函数与方程的思想.2.【浙江省嘉兴一中2014届高三上学期入学摸底测试】如图，21,F F 是双曲线)0,0(1:2222>>=-b a b y a x C 的左、右焦点，过1F 的直线与双曲线的左、右两支分别交于BA ,两点．若5:4:3||:||:||22=AF BF AB ，则双曲线的离心率为____ ．【答案】13 【解析】试题分析：由双曲线的定义可知a BF BF a AF AF 2,22112=-=-，由3.如图，已知抛物线的方程为22(0)xpy p =>，过点(0,1)A -作直线l 与抛物线相交于,P Q两点，点B 的坐标为(0,1)，连接,BP BQ ，设,Q B B P 与x 轴分别相交于,M N 两点．如果QB 的斜率与PB 的斜率的乘积为3-，则MBN ∠的大小等于（ ）A ．2π B ．4π C ．23π D ． 3π4.【2013学年浙江省五校联考理】（本题满分15分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>(0,1)A -．(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)如果过点3(0,)5的直线与椭圆交于,M N 两点（,M N 点与A 点不重合），○1求AM AN ⋅的值；○2当AMN ∆为等腰直角三角形时，求直线MN 的方程．(Ⅱ)①若过点3(0,)5的直线的斜率不存在，此时,M N 两点中有一个点与A 点重合，不满足题目条件．三．拔高题组1.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线与圆22420x y x +-+=有交点，则该双曲线的离心率的取值范围是___________．≤，又因为222c a b =+，c ∴≥，2.【浙江省2013学年第一学期温州八校高三期初联考】如图，椭圆2222+=1(>>0)x y C a b a b：经过点3(1,),2P 离心率1=2e ，直线l 的方程为=4x . (Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)AB 是经过右焦点F 的任一弦(不经过点P )，设直线AB 与直线l 相交于点M ，记,,PA PB PM 的斜率分别为123,,.k k k 问:是否存在常数λ，使得123+=.k k k λ若存在求λ的值；若不存在，说明理由.故椭圆C 的方程为22143x y +=. ……5分考点：椭圆，根与系数关系，坐标表示.3.【浙江省嘉兴市2014届高三上学期9月月考理】（本题15分）如图，已知抛物线24：焦点为F，直线l经过点F且与抛物线C相交于A，B两点.C y x=y=上，求直线l的方程；（Ⅰ）若线段AB的中点在直线2AB=，求直线l的方程.（Ⅱ）若线段20(Ⅱ)设直线l 的方程为1x my =+，................7分 与抛物线方程联立得214x my y x =+⎧⎨=⎩， 消元得2440y my --=，..............9分。