2017届上海市五校高三3月第二次联考文科数学试题及答案

2017-2018学年上海市长宁区、青浦区、宝山区、嘉定区高考数学二模试卷（文科）一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．设集合A={x||x|＜2，x∈R}，B={x|x2﹣4x+3≥0，x∈R}，则A∩B=．2．已知i为虚数单位，复数z满足=i，则|z|= ．3．设a＞0且a≠1，若函数f（x）=a x﹣1+2的反函数的图象经过定点P，则点P的坐标是．4．计算：= ．5．在平面直角坐标系内，直线l：2x+y﹣2=0，将l与两坐标轴围成的封闭图形绕y轴旋转一周，所得几何体的体积为．6．已知sin2θ+sinθ=0，θ∈（，π），则tan2θ= ．7．定义在R上的偶函数y=f（x），当x≥0时，f（x）=2x﹣4，则不等式f（x）≤0的解集是．8．在平面直角坐标系xOy中，有一定点A（1，1），若OA的垂直平分线过抛物线C：y2=2px （p＞0）的焦点，则抛物线C的方程为．9．已知x、y满足约束条件，则z=2x+y的最小值为．10．在（x2+）6（k为实常数）的展开式中，x3项的系数等于160，则k= ．11．从棱长为1的正方体的8个顶点中任取3个点，则以这三点为顶点的三角形的面积等于的概率是．12．已知数列{a n}满足a1+a2+…+a n=n2+3n（n∈N+），则= ．13．甲、乙两人同时参加一次数学测试，共有10道选择题，每题均有4个选项，答对得3分，答错或不答得0分，甲和乙都解答了所有的试题，经比较，他们只有1道题的选项不同，如果甲最终的得分为27分，那么乙的所有可能的得分值组成的集合为．14．对于函数f（x）=，其中b＞0，若f（x）的定义域与值域相同，则非零实数a 的值为．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）15．“sinα=0”是“cosα=1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件16．下列正确的是（）A．若直线l1∥平面α，直线l2∥平面α，则l1∥l2B．若直线l上有两个点到平面α的距离相等，则l∥αC．直线l与平面α所成角的取值范围是（0，）D．若直线l1⊥平面α，直线l2⊥平面α，则l1∥l217．已知、是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足（﹣）•（﹣）=0，则||的最大值是（）A．1 B．2 C．D．18．已知直线l：y=2x+b与函数y=的图象交于A，B两点，记△OAB的面积为S（O为坐标原点），则函数S=f（b）是（）A．奇函数且在（0，+∞）上单调递增B．偶函数且在（0，+∞）上单调递增C．奇函数且在（0，+∞）上单调递减D．偶函数且在（0，+∞）上单调递减三、解答题（共5小题，满分60分）19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=AA1=2，D为侧棱AA1的中点；（1）求证：AC⊥平面BCC1B1；（2）求异面直线B1D与AC所成角的大小．20．已知函数f （x ）=sin2x+cos2x ﹣1（x ∈R ）；（1）写出函数f （x ）的最小正周期和单调递增区间；（2）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若f （B ）=0， =，且a+c=4，试求b 的值．21．定义在D 上的函数f （x ），若满足：对任意x ∈D ，存在常数M ＞0，都有|f （x ）|≤M 成立，则称f （x ）是D 上的有界函数，其中M 称为函数f （x ）的上界：（1）设f （x ）=，判断f （x ）在上是否有界函数，若是，请说明理由，并写出f （x ）的所有上界的值的集合，若不是，也请说明理由；（2）若函数g （x ）=1+a•（）x +（）x 在 ．【考点】交集及其运算．【分析】求出集合的等价条件，根据集合的基本运算进行求解即可． 【解答】解：A={x||x|＜2，x ∈R}={x|﹣2＜x ＜2}， B={x|x 2﹣4x+3≥0，x ∈R}={x|x≥3或x≤1}， 则A∩B={x|﹣2＜x≤1}， 故答案为：（﹣2，1]．2．已知i 为虚数单位，复数z 满足=i ，则|z|= 1 ．【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】设出z=a+bi ，得到1﹣a ﹣bi=﹣b+（a+1）i ，根据系数相等得到关于a ，b 的方程组，解出a ，b 的值，求出z ，从而求出z 的模．【解答】解：设z=a+bi ，则==i ，∴1﹣a ﹣bi=﹣b+（a+1）i ，∴，解得，故z=﹣i，|z|=1，故答案为：1．3．设a＞0且a≠1，若函数f（x）=a x﹣1+2的反函数的图象经过定点P，则点P的坐标是（3，1）．【考点】反函数．【分析】由于函数f（x）=a x﹣1+2经过定点（1，3），再利用反函数的性质即可得出．【解答】解：∵函数f（x）=a x﹣1+2经过定点（1，3），∴函数f（x）的反函数的图象经过定点P（3，1），故答案为：（3，1）．4．计算：= ．【考点】极限及其运算．【分析】先利用排列组合公式，将原式化简成的形式，再求极限．【解答】解：===．故答案为：．5．在平面直角坐标系内，直线l：2x+y﹣2=0，将l与两坐标轴围成的封闭图形绕y轴旋转一周，所得几何体的体积为．【考点】用定积分求简单几何体的体积．【分析】由题意此几何体的体积可以看作是：V=，求出积分即得所求体积．【解答】解：由题意可知：V=，∴V=π（y3﹣），=．故答案为．6．已知sin2θ+sinθ=0，θ∈（，π），则tan2θ= ．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】由已知等式化简可得sinθ（2cosθ+1）=0，结合范围θ∈（，π），解得cosθ=﹣，利用同角三角函数基本关系式可求tanθ，利用二倍角的正切函数公式可求tan2θ的值．【解答】解：∵sin2θ+sinθ=0，⇒2sinθcosθ+sinθ=0，⇒sinθ（2cosθ+1）=0，∵θ∈（，π），sinθ≠0，∴2cosθ+1=0，解得：cosθ=﹣，∴tanθ=﹣=﹣，∴tan2θ==．故答案为：．7．定义在R上的偶函数y=f（x），当x≥0时，f（x）=2x﹣4，则不等式f（x）≤0的解集是．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据条件判断函数的单调性和函数的零点，利用函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化求解即可．【解答】解：当x≥0时，由f（x）=2x﹣4=0得x=2，且当x≥0时，函数f（x）为增函数，∵f（x）是偶函数，∴不等式f（x）≤0等价为f（|x|）≤f（2），即|x|≤2，即﹣2≤x≤2，即不等式的解集为，故答案为：．8．在平面直角坐标系xOy中，有一定点A（1，1），若OA的垂直平分线过抛物线C：y2=2px （p＞0）的焦点，则抛物线C的方程为y2=4x ．【考点】抛物线的简单性质．【分析】先求出线段OA的垂直平分线方程，然后表示出抛物线的焦点坐标并代入到所求方程中，进而可求得p的值，即可得到抛物线方程．【解答】解：∵点A（1，1），依题意我们容易求得直线的方程为x+y﹣1=0，把焦点坐标（，0）代入可求得焦参数p=2，从而得到抛物线C的方程为：y2=4x．故答案为：y2=4x．9．已知x、y满足约束条件，则z=2x+y的最小值为﹣6 ．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（﹣2，﹣2），化目标函数z=2x+y为y=﹣2x+z，由图可知，当直线y=﹣2x+z过A（﹣2，﹣2）时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为2×（﹣2）﹣2=﹣6．故答案为：﹣6．10．在（x2+）6（k为实常数）的展开式中，x3项的系数等于160，则k= 2 ．【考点】二项式系数的性质．【分析】T r+1=k r x12﹣3r，令12﹣3r=3，解得r．即可得出．【解答】解：T r+1=（x2）6﹣r=k r x12﹣3r，令12﹣3r=3，解得r=3．∴T4=x3，∴20k3=160，解得k=2．故答案为：2．11．从棱长为1的正方体的8个顶点中任取3个点，则以这三点为顶点的三角形的面积等于的概率是．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】从正方体的8个顶点中任意取3个构成三角形的顶点共有取法，其中以这三点为顶点的三角形的面积S=的三角形共有24个，由此能求出结果．【解答】解：从正方体的8个顶点中任意取3个构成三角形的顶点共有取法，其中以这三点为顶点的三角形的面积S=的三角形如图中的△ABC，这类三角形共有24个∴P（S=）==．故答案为：．12．已知数列{a n}满足a1+a2+…+a n=n2+3n（n∈N+），则= 2n2+6n ．【考点】数列的求和．【分析】通过a1+a2+…+a n=n2+3n与a1+a2+…+a n﹣1=（n﹣1）2+3（n﹣1）作差，进而计算可知a n=2（n+1），分别利用等差数列、等比数列的求和公式计算即得结论．【解答】解：∵a1+a2+…+a n=n2+3n，∴当n≥2时，a1+a2+…+a n﹣1=（n﹣1）2+3（n﹣1），两式相减得：a n=（n2+3n）﹣=2（n+1），又∵a1=1+3=4满足上式，∴a n=2（n+1），=4+4n，∴=4n+4•=2n2+6n，故答案为：2n2+6n．13．甲、乙两人同时参加一次数学测试，共有10道选择题，每题均有4个选项，答对得3分，答错或不答得0分，甲和乙都解答了所有的试题，经比较，他们只有1道题的选项不同，如果甲最终的得分为27分，那么乙的所有可能的得分值组成的集合为{24，27，30} ．【考点】集合的表示法；计数原理的应用．【分析】甲最终的得分为27分，可得：甲答对了10道题目中的9道，由于甲和乙都解答了所有的试题，甲必然有一道题目答错了，不妨设为第一题．由于他们只有1道题的选项不同，如果是第一道题，则乙可能答错，也可能答对，即可得出分数．如果是第一道题以外的一个题目，则乙一定答错，而第一道题，则乙也一定答错，即可得出．【解答】解：∵甲最终的得分为27分，∴甲答对了10道题目中的9道，∵甲和乙都解答了所有的试题，∴甲必然有一道题目答错了，不妨设为第一题．∵甲和乙都解答了所有的试题，经比较，他们只有1道题的选项不同，如果是第一道题，则乙可能答错，也可能答对，此时乙可得30分或27分．如果是第一道题以外的一个题目，则乙一定答错，而第一道题，则乙也一定答错，此时乙可得24分．综上可得：乙的所有可能的得分值组成的集合为{24，27，30}．故答案为：{24，27，30}．14．对于函数f（x）=，其中b＞0，若f（x）的定义域与值域相同，则非零实数a的值为﹣4 ．【考点】函数的值域；函数的定义域及其求法．【分析】根据函数的定义域与值域相同，故可以求出参数表示的函数的定义域与值域，由两者相同，故比较二区间的端点得出参数满足的方程解方程求参数即可．【解答】解：若a＞0，由于ax2+bx≥0，即x（ax+b）≥0，∴对于正数b，f（x）的定义域为：D=（﹣∞，﹣]∪．由于此时max=f（﹣）=，故函数的值域 A=．由题意，有﹣=，由于b＞0，所以a=﹣4．故答案为：﹣4．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）15．“sinα=0”是“cosα=1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由sinα=0可得α=kπ（k∈Z），即可判断出结论．【解答】解：sinα=0可得α=kπ（k∈Z），∴cosα=±1，反之成立，∴“sinα=0”是“cosα=1”的必要不充分条件．故选：B16．下列正确的是（）A．若直线l1∥平面α，直线l2∥平面α，则l1∥l2B．若直线l上有两个点到平面α的距离相等，则l∥αC．直线l与平面α所成角的取值范围是（0，）D．若直线l1⊥平面α，直线l2⊥平面α，则l1∥l2【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】根据各选项条件举出反例．【解答】解：对于A，若直线l1∥平面α，直线l2∥平面α，则l1与l2可能平行，可能相交，也可能异面，故A错误．对于B，若直线l与平面α相交于O点，在交点两侧各取A，B两点使得OA=OB，则A，B到平面α的距离相等，但直线l与α不平行，故B错误．对于C，当直线l⊂α或l∥α时，直线l与平面α所成的角为0，当l⊥α时，直线l与平面α所成的角为，故C错误．对于D，由定理“垂直于同一个平面的两条直线平行“可知D正确．故选：D．17．已知、是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足（﹣）•（﹣）=0，则||的最大值是（）A．1 B．2 C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由向量垂直的条件可得•=0，运用向量的平方即为模的平方，可得|+|=，再化简运用向量的数量积的定义，结合余弦函数的值域，即可得到所求最大值．【解答】解：由题意可得•=0，可得|+|==，（﹣）•（﹣）=2+•﹣•（+）=||2﹣||•|+|cos＜（+，＞=0，即为||=cos＜+，＞，当cos＜+，＞=1即+，同向时，||的最大值是．故选：C．18．已知直线l：y=2x+b与函数y=的图象交于A，B两点，记△OAB的面积为S（O为坐标原点），则函数S=f（b）是（）A．奇函数且在（0，+∞）上单调递增B．偶函数且在（0，+∞）上单调递增C．奇函数且在（0，+∞）上单调递减D．偶函数且在（0，+∞）上单调递减【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．【分析】根据条件求出AB的长度以及O到AB的距离，从而求出三角形OAB的面积函数，根据函数的表达式即可得到结论．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），由2x+b=，即2x2+bx﹣1=0，则，则|AB|=，圆心到直线2x﹣y+b=0的距离d=，∴△OAB的面积S==，∴S=f（b）=，则函数f（b）为偶函数，当b＞0时，y=和都为增函数，∴当b＞0时，f（b）=为增函数．故选：B．三、解答题（共5小题，满分60分）19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=AA1=2，D为侧棱AA1的中点；（1）求证：AC⊥平面BCC1B1；（2）求异面直线B1D与AC所成角的大小．【考点】异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）由已知推导出AC⊥BC，CC1⊥AC，由此能证明AC⊥平面BCC1B1．（2）以C为原点，直线CA、CB、CC1为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线B1D与AC所成角的大小．【解答】证明：（1）∵底面△ABC是等腰直角三角形，且AC=BC，∴AC⊥BC，∵CC1⊥平面A1B1C1，∴CC1⊥AC，∵CC1∩BC=C，∴AC⊥平面BCC1B1．解：（2）以C为原点，直线CA、CB、CC1为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），C1（0，0，2），B1（0，2，2），D（2，0，1），=（2，﹣2，﹣1），=（﹣2，0，0），设异面直线B1D与AC所成角为θ，则cosθ===．∴．∴异面直线B1D与AC所成角的大小为arccos．20．已知函数f（x）=sin2x+cos2x﹣1（x∈R）；（1）写出函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若f（B）=0， =，且a+c=4，试求b的值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（1）利用两角和的正弦化简，由周期公式求得周期，再由相位在正弦函数的增区间内求得x的范围求得f（x）单调递增区间；（2）把f（B）=0代入函数解析式，求得B，展开数量积=，求得ac的值，结合a+c=4，利用余弦定理求得b的值．【解答】解：（1）f（x）=sin2x+cos2x﹣1=．∴T=；由，得．∴函数f（x）的单调递增区间为[]，k∈Z；（2）由f（B）==0，得．∴或，k∈Z．∵B是三角形内角，∴B=．而=ac•cosB=，∴ac=3．又a+c=4，∴a2+c2=（a+c）2﹣2ac=16﹣2×3=10．∴b2=a2+c2﹣2ac•cosB=7．则b=．21．定义在D上的函数f（x），若满足：对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界：（1）设f（x）=，判断f（x）在上是否有界函数，若是，请说明理由，并写出f（x）的所有上界的值的集合，若不是，也请说明理由；（2）若函数g（x）=1+a•（）x+（）x在上是增函数；从而可得|f（x）|≤1，从而求得；（2）由题意知﹣3≤1+a•（）x+（）x≤3在上是增函数；故f（﹣）≤f（x）≤f（）；即﹣1≤f（x）≤，故|f（x）|≤1，故f（x）是有界函数；故f（x）的所有上界的值的集合是．22．设椭圆Г：（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），短轴的一个端点B 到F的距离等于焦距：（1）求椭圆Г的标准方程；（2）设C、D是四条直线x=±a，y=±b所围成的矩形在第一、第二象限的两个顶点，P是椭圆Г上任意一点，若，求证：m2+n2为定值；（3）过点F的直线l与椭圆Г交于不同的两点M、N，且满足于△BFM与△BFN的面积的比值为2，求直线l的方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由椭圆的右焦点为F（1，0），短轴的一个端点B到F的距离等于焦距，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆Г的标准方程．（2）求出C（2，），D（﹣2，），设P（x0，y0），则，由已知=，得=1，由此能证明m2+n2=为定值．（3）=2等价于=2，设l：y=k（x﹣1），由，得（3+4k2）y2+6ky﹣9k2=0，由此利用韦达定理、椭圆性质，结合已知条件能求出直线l的方程．【解答】解：（1）∵椭圆Г：（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），短轴的一个端点B到F的距离等于焦距，∴，解得a=2，b=，∴椭圆Г的标准方程为．证明：（2）∵C、D是四条直线x=±a，y=±b所围成的矩形在第一、第二象限的两个顶点，∴C（2，），D（﹣2，），设P（x0，y0），则，由已知=，得，∴=1，∴m2+n2=为定值．解：（3）=2等价于=2，当直线l的斜率不存在时， =1，不合题意，故直线l的斜率存在，设l：y=k（x﹣1），由，消去x，得（3+4k2）y2+6ky﹣9k2=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则，，由=2，得=﹣2，则，，∴3+4k2=8，k=，∴直线l的方程为y=．23．已知数列{a n}、{b n}满足：a，a n+b n=1，b；（1）求b1、b2、b3、b4；（2）求证：数列{}是等差数列，并求{b n}的通项公式；（3）设S n=a1a2+a2a3+…+a n a n+1，若不等式4aS n＜b n对任意n∈N*恒成立，求实数a的取值范围．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式；数列递推式．【分析】（1）通过已知条件代入计算即得结论；（2）通过两边同时减1并取倒数，利用a n+b n=1化简可知数列{}是等差数列，进而计算可得结论；（3）通过（2）可知b n=，进而裂项可知a n a n+1=﹣，并项相加可知S n=，进而问题转化为求的最小值，计算即得结论．【解答】（1）解：依题意，b1=1﹣a1=1﹣=，b2===，a2=1﹣b2=1﹣=，==，a3=1﹣b3=1﹣=，==；（2）证明：∵，a n+b n=1，∴b n+1﹣1=﹣1=﹣1=，两边同时取倒数，得： ==﹣1=﹣1=﹣1=﹣1，∴数列{}是等差数列，又∵==﹣4，∴=﹣4﹣（n﹣1）=﹣（n+3），∴数列{b n}的通项公式b n=1﹣=；（3）解：由（2）可知b n=，∴a n=1﹣b n=，a n a n+1==﹣，∴S n=a1a2+a2a3+…+a n a n+1=﹣+﹣+…+﹣=﹣=，∵不等式4aS n＜b n对任意n∈N*恒成立，∴不等式4a•＜对任意n∈N*恒成立，∴a＜=1+，∵随着n的增大而减小，且=0，∴a≤1．2016年6月24日。

宝山2017二模一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第16题每题4分，第712题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1.若集合{}|0A x x =>，{}|1B x x =<，则A B ⋂=____________2.已知复数z1z i ⋅=+（i 为虚数单位），则z =____________ 3.函数()sin cos cos sin x x f x x x=的最小正周期是____________4.已知双曲线()2221081x y a a -=>的一条渐近线方程3y x =，则a =____________ 5.若圆柱的侧面展开图是边长为4的正方形，则圆柱的体积为____________6.已知,x y 满足0220x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最大值是____________7.直线12x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数）与曲线3cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）的交点个数是____________8.已知函数()()()220log 01xx f x x x ⎧≤⎪=⎨<≤⎪⎩的反函数是()1f x -，则12f -1⎛⎫= ⎪⎝⎭____________9.设多项式()()()()23*11110,nx x x x x n N ++++++++≠∈的展开式中x 项的系数为n T ，则2limnn T n →∞=____________10.生产零件需要经过两道工序，在第一、第二道工序中产生的概率分别为0.01和p ，每道工序产生废品相互独立，若经过两道工序得到的零件不是废品的概率是0.9603，则p =____________11.设向量()(),,,m x y n x y ==-，P 为曲线()10m n x ⋅=>上的一个动点，若点P 到直线10x y -+=的距离大于λ恒成立，则实数λ的最大值为____________12.设1210,,,x x x 为1,2,,10的一个排列，则满足对任意正整数,m n ，且110m n ≤<≤，都有m n x m x n +≤+成立的不同排列的个数为____________二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13.设,a b R ∈，则“4a b +>”是“1a >且3b >”的（ ） A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件14.如图，P 为正方体1111ABCD A B C D -中1AC 与1BD 的交点，则PAC 在该正方体各个面上的射影可能是（ ）A. ①②③④B.①③C. ①④D.②④15.如图，在同一平面内，点P 位于两平行直线12,l l 同侧，且P 到12,l l 的距离分别为1，3.点,M N 分别在12,l l 上，8PM PN +=，则PM PN ⋅的最大值为（ ）A. 15B. 12C. 10D. 916.若存在t R ∈与正数m ，使()()F t m F t m -=+成立，则称“函数()F x 在x t =处存在距离为2m 的对称点”，设()()20x f x x xλ+=>，若对于任意()2,6t ∈，总存在正数m ，使得“函数()f x 在x t =处存在距离为2m 的对称点”，则实数λ的取值范围是（ ）A. (]0,2B. (]1,2C. []1,2D. []1,4三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.（本题满分14分，第1小题满分8分，第2小题满分6分）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是线段BC 、1CD 的中点. （1）求异面直线EF 与1AA 所成角的大小； （2）求直线EF 与平面11AA B B 所成角的大小.18.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）已知抛物线()220y px p =>，其准线方程为10x +=，直线l 过点()(),00T t t >且与抛物线交于A 、B 两点，O 为坐标原点.（1）求抛物线方程，并证明：OA OB ⋅的值与直线l 倾斜角的大小无关； （2）若P 为抛物线上的动点，记PT 的最小值为函数()d t ，求()d t 的解析式.19.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）对于定义域为D 的函数()y f x =，如果存在区间[](),m n D m n ⊆<，同时满足：①()f x 在[],m n 内是单调函数；②当定义域是[],m n 时，()f x 的值域也是[],m n 则称函数()f x 是区间[],m n 上的“保值函数”.（1）求证：函数()22g x x x =-不是定义域[]0,1上的“保值函数”；（2）已知()()2112,0f x a R a a a x=+-∈≠是区间[],m n 上的“保值函数”，求a 的取值范围.20.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）数列{}n a 中，已知()12121,,n n n a a a a k a a ++===+对任意*n N ∈都成立，数列{}n a 的前n 项和为n S .（这里,a k 均为实数） （1）若{}n a 是等差数列，求k ； （2）若11,2a k ==-，求n S ; （3）是否存在实数k ，使数列{}n a 是公比不为1的等比数列，且任意相邻三项12,,m m m a a a ++按某顺序排列后成等差数列？若存在，求出所有k 的值；若不存在，请说明理由.21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）设T,R 若存在常数0M >，使得对任意t T ∈，均有t M ≤，则称T 为有界集合，同时称M 为集合T 的上界.（1）设121|,21x xA y y x R ⎧⎫-==∈⎨⎬+⎩⎭、21|sin 2A x x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，试判断1A 、2A 是否为有界集合，并说明理由；（2）已知()2f x x u =+，记()()()()()()11,2,3,n n f x f x f x f f x n -===.若m R ∈，1,4u ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，且(){}*|n B f m n N =∈为有界集合，求u 的值及m 的取值范围；（3）设a 、b 、c 均为正数，将()2a b -、()2b c -、()2c a -中的最小数记为d ，是否存在正数()0,1λ∈，使得λ为有界集合222{|,dC y y a b c ==++a 、b 、c 均为正数}的上界，若存在，试求λ的最小值；若不存在，请说明理由.宝山区答案1.(0,1)2.13. π4.35. 5.16. 37. 28. 19.1210. 0.03 11.212.512 13. B14. C15.A16.A17. （1） （2）arctan 218.（1）24y x =，证明略（2）2)(t),(0t 2)d t ⎧≥⎪=⎨<<⎪⎩19. （1）证明略（2）12a或32a 20. （1）12k =（2）2(21,),(2,)n n n k k N S n n k k N **⎧-=-∈=⎨=∈⎩ （3）25k =-21.（1）1A 为有界集合，上界为1；2A 不是有界集合 （2）14u =，11,22m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ （3）15λ=解析：（2）设()()011,,,1,2,3,...n n a m a f m a f a n -====，则()n n a f m =∵()2114a f m m u ==+≥，则222111111024a a a a u a u ⎛⎫-=-+=-+-≥ ⎪⎝⎭且211111024n n n n n a a a u a a ---⎛⎫-=-+-≥⇒≥ ⎪⎝⎭若(){}*|N n B f m n =∈为有界集合，则设其上界为0M ，既有*0,N n a M n ≤∈∴()()()112211112211......n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a ------=-+-++-+=-+-++-+2222121111111...242424n n a u a u a u m u --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-++-+-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭222212111111...22244n n a a a m n u u n u u --⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-++-+≥-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦若0n a M ≤恒成立，则014n u u M ⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭恒成立，又11044u u ≥⇒-≥ ∴14u =，∴()214f x x =+ 设12m λ=+（i ）0λ>，则()22101011112422a a f m m a a λλλ⎛⎫⎛⎫-=-=++-+=⇒>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴111...2n n a a a m ->>>>>记()()212g x f x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，则当1212x x >>时，()()12g x g x >∴()()()2111110n n n n n g a f a a a a g m a a λ----=-=->=-=∴()211n a a n λ>+-，若0na M ≤恒成立，则0λ=，矛盾。

上海市十二校2017届高三下学期3月联考数学试卷一、填空题1. 已知集合(){}|lg 2A x y x ==-，集合{|B y y ==，则A B = .2. 若不等式162x a<-的解集为()1,-+∞，则实数a = .3.函数()()22f x x x =<-的反函数是 .4.若()1i i 2i(,,i a b a b +=-∈R 是虚数单位），则i a b += .5．如图是底面半径为1，母线长为2的圆锥和圆柱的组合体，则该组合体的体积为 .6.若圆221x y +=与直线2x a t y t=+⎧⎨=⎩（参数t ∈R ）相切，则实数a = .7.变量,x y 满足约束条件222y x x y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则22z x y =+的最大值是 .8.{}n a 是无穷数列，若{}n a 是二项式()()12nx n *+∈N 展开式各项系数和，则12111lim n n a a a →∞⎛⎫+++= ⎪⎝⎭. 9.如图，圆O 与x 轴正半轴交点为A ,点B ,C 在圆O 上，圆C 在第一象限，且43,,,1,55B AOC BC α⎛⎫-∠== ⎪⎝⎭则5cos 6π⎛⎫-= ⎪⎝⎭α .10.现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色至少1张，则不同取法的种数为 .11.如图，已知点()2,0P ，且正方形ABCD 内接于22:1,,O x y M N +=分别为边AB ,BC的中点，当正方形ABCD 绕圆心O 旋转时，PM ON ⋅的取值范围是为 .12.已知函数()()sin 0,,24f x x x ππ⎛⎫=+>≤=- ⎪⎝⎭ωϕωϕ为()f x 的零点，4x π=为函数()y f x =的对称性，且()f x 在5,1836ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则ω的最大值为 .二、选择题：13．已知二元一次方程组的增广矩阵为421m m m m +⎛⎫⎪⎝⎭，若此方程组无实数解，则实数m的值为( )A. 2m =±B. 2m =C. 2m =-D. 2m ≠±14．一个几何体的主视图和左视图如图所示，则这个几何体的俯视图不可能是( )15．已知动点(),P x y 满足3411x y =+-，则点P 的轨迹是( )A. 直线B. 抛物线C. 双曲线D.椭圆16．已知两个不相等的非零向量,a b ，两组向量均由1234,,,x x x x 和1234,,,y y y y 均由2个a 和2个b 排列而成，记11223344min ,S x y x y x y x y S =⋅+⋅+⋅+⋅表示S 所有可能取值中的最小值，则下列命题中正确的个数为（ ）①S 有3个不同的值；②若a b ⊥，则min S 与b 无关；③若//a b ，则min S 与b 无关；④若2min 2,4b a S a ==，则a 与b 的夹角为3π A. 0B. 1C. 2D. 3三、解答题：解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.长方体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是正方形，12,1,AA AB E ==是1DD 上的一点,求：（1）异面直线AC 与1B D 所成的角；（2）若1B D ⊥平面ACE ，求三棱锥A CDE -的体积18.已知函数())1cos cos ,,02f x x x x x =+-∈>R ωωωω，若()f x 的最小正周期为4.π（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足()2cos cos a c B b C -=，求函数()f A 的取值范围.19.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的右焦点为(),0F c ，点2,3P ⎛ ⎝⎭在椭圆上： （1）求椭圆C 的方程；（2）过点F 的直线l 交椭圆C 于A ,B 两点，点M 在椭圆C 上,坐标原点O 恰好为ABM ∆的重心，求直线l 的方程.20.已知函数()42xxf x =-，实数,s t 满足()()0,22,2sts tf s f t a b ++==+=.（1）当函数()f x 的定义域为[]1,1-时，求()f x 的值域； （2）求函数关系式()b g a =，并求函数()g a 的定义域D ；（3）在（2）的结论中，对任意1x D ∈，都存在[]21,1x ∈-，使得()()12g x f x m =+成立，求实数m 的取值范围.21.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()22n n S a n *=-∈N . （1）求数{}n a 列的通项公式；（2）若数列{}n b 满足()1312231121212121n nn n b b b b a +=-+-+-++++，求{}n b 的通项公式；（3）在（2）的条件下，设2nn n c b λ=+，问是否存在实数λ，使得数列{}()n c n *∈N 是单调递增数列？若存在，求出λ的取值范围；若不存在，请说明理由.。

如果您喜欢这份文档，欢迎下载！祝您成绩进步，学习愉快！上海市长宁、金山、青浦区2017届高三数学二模试卷2017.04一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1. 已知集合{}|1,A x x x R =>-∈，集合{}|2,B x x x R =<∈，则A B =I .2. 已知复数z 满足()2332i z i -=+（i 为虚数单位），则z = .3.函数()sin 2cos 2cos sin x x f x xx的最小正周期为 .4.已知双曲线()()2222103x y a a a -=>+的一条渐近线方程为2y x =，则a = . 5．若圆柱的侧面展开图是边长为4cm 的正方形，则圆柱的体积为 . cm 3（精确到0.1cm 3）6.已知,x y 满足0220x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最大值为 .7.直线12x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数）与曲线3cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）的交点个数是 .8.已知函数()22,0log ,01x x f x x x ⎧≤=⎨<≤⎩的反函数是()1f x -，则112f -⎛⎫= ⎪⎝⎭ .9.设多项式()()()()2311110,nx x x x x n N *++++++++≠∈L 的展开式中x 项的系数为nT ，则2limnn T n →∞= .10.生产零件需要经过两道工序，在第一、第二道工序中产生废品的概率分别为0.01和p ，每道工序产生产生废品相互独立，若经过两道工序得到的零件不是废品的概率为0.9603，则p = .11.已知函数()f x x x a =-，若对任意的[]1212,2,3,x x x x ∈≠，恒有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫>⎪⎝⎭，则实数a 的取值范围为 . 12.对于给定的实数0k >，函数()kf x x=的图象上总存在点C,使得以C 为圆心，1为半径的圆上有两个不同的点到原点O 的距离为1，则k 的取值范围为 . 二、选择题：13．设,a b R ∈，则“4a b +>”是“1a >且3b >”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D.既不充分也不必要条件14．如图，P 为正方体1111ABCD A B C D -中1AC 与1BD 的交点，则PAC ∆在该正方体各个面上的射影可能是A. ①②③④B. ①③C. ①④D. ②④15．如图，AB 为圆O 的直径且AB=4，C 为圆上不同于A,B 的任意一点，若P 为半径OC 上的动点，则()PA PB PC +⋅u u u r u u u r u u u r的最小值为A. -4B. -3C. -2D. -116．设1210,,x x x K 为1,2,,10L 的一个排列，则满足对于任意正整数,m n ，且110m n ≤<≤，都有m n x m x n +≤+成立的不同的排列的个数为A.512B. 256C. 255D. 64三、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17.（本题满分14分）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是1,BC CD 线段的中点.（1）求异面直线EF 与1AA 所成角的大小； （2）求直线EF 与平面11ABB A 所成角的大小.18.（本题满分14分）某动物园要为刚入园的小动物建造一间两面靠墙的三角形露天活动室，地面形状如图所示，已知已有两面墙的夹角为3π（即3ACB π∠=），墙AB 的长度为6米（已有两面墙的可利用长度足够大），记.ABC θ∠=（1）若4πθ=，求ABC ∆的周长（结果精确到0.01米）；（2）为了使小动物能健康成长，要求所建造的三角形露天活动室面积即ABC ∆的面积尽可能大，问θ当何值时，该活动室面积最大？并求最大面积.19.（本题满分14分）已知抛物线()220y px p =>，其准线方程为10x +=，直线l 过点(),0T t 0t >且与抛物线交于两点,A B ，O 为坐标原点.（1）求抛物线的方程，并证明：OA OB ⋅u u u r u u u r为值与直线倾斜角的大小无关；（2）若P 为抛物线上的动点，记PT 的最小值为函数()d t ，求()d t 的解析式.20.（本题满分16分）对于定义域为D 的函数()y f x =，如果存在区间[],m n D ⊆，其中m n <，同时满足:①()f x 在[],m n 内是单调函数；②当定义域为[],m n 时，()f x 的值域为[],m n ，则称函数()f x 是区间[],m n 上的“保值函数”，区间[],m n 称为“保值区间”.（1）求证：函数()22g x x x =-不是定义域[]0,1上的“保值函数”；（2）若函数()()2112,0f x a R a a a x=+-∈≠是区间[],m n 上的“保值函数”，求a 的取值范围； （3）对（2）中函数()f x ，若不等式()22a f x x ≤对1x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.21.（本题满分16分）已知数列{}n a 中，已知()12121,,n n n a a a a k a a ++===+对任意n N *∈都成立，数列{}n a 的前n 项和为n S .（1）若{}n a 是等差数列，求k 的值； （2）若11,2a k ==-，求n S ； （3）是否存在实数k ，使得数列{}n a 是公比不为1的等比数列，且任意相邻三项12,,m m m a a a ++按某顺序排列后成等差数列？若存在，求出所有k 的值；若不存在，请说明理由.。

全国大联考2017届高三第五次联考·文科数学试卷考生注意:1.本试卷共150分.考试时间120分钟.2.答题前,考生务必将密封线内的项目填写清楚.3.请将各题答案填在试卷后面的答题卷上.4.交卷时,可根据需要在加注“”标志的夹缝处进行裁剪.5.本试卷主要考试内容:前4次联考内容+概率与统计+算法初步+推理与证明+复数.第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z 满足z=(1+i )(2-i )(i 为虚数单位),则z −在复平面内对应的点所在的象限为A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.集合M={x|0<x ≤3},N={x ∈N|0≤x-1≤1},则M ∩N 等于A.{1,2}B.{0,1,2}C.{1}D.{1,2,3}3.用反证法证明命题“若正整数a ,b ,c 满足b 2-2ac=0,则a ,b ,c 中至少有一个是偶数”时,反设应为A.假设a ,b ,c 都是偶数B.假设a ,b ,c 都是奇数C.假设a ,b ,c 至多有一个偶数D.假设a ,b ,c 至多有两个奇数4.某市场调查员在同一天对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查,5:由散点图可知,销售量y 与价格x 之间有较好的线性相关关系,且回归直线方程是y ＾=-3.2x+4a ,则a 等于A.7B.8.5C.9D.105.已知a>b>0,则“x2-5x+6<0”是“lgxa<lgxb”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.已知某个几何体的三视图如下,根据图中标出的尺寸(单位: cm),可得几何体的体积是A.1 cm3B.2 cm3C.43cm3D.53cm37.下边茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩,其中一个数字被污损,则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为A.25B.710C.45D.9108.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,A是抛物线上一点,直线OA的斜率为2(O 为坐标原点),且A到F的距离为3,则p等于A.32B.3C.4D.29.某程序框图如图所示,该程序运行后输出的值是A.6B.7C.8D.910.将一个质点随机投放在关于x,y的不等式组2x-3y+7≥0,1≤x≤4,y≥1所构成的四边形区域内,则该质点到此四边形的四个顶点的距离均不小于1的概率是A.1-π9B.1-π8C.1-π7D.1-π611.下列说法正确的是A.若|a+b|=|a-b|=2|a|,则向量a+b与a的夹角为π6B.已知点A(cos 10°,sin 10°)、B(sin 40°,cos 40°),则直线AB的倾斜角为πC.若函数f(x)=2sin x,则将函数y=f'(x)sin x的图像向左平移3π个单位后可得到函数y=2sin2x-1的图像D.在△ABC中,角A、B、C所对的边分别是a、b、c,若cos C=19,acos B+bcosA=2,则△ABC面积的最大值512.已知2a=3b=6c,k∈Z,不等式a+b c>k恒成立,则整数k的最大值为A.6B.5C.3D.4第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卷中的横线上.13.已知i是虚数单位,则|3−i(1+i)2-1+3i2i|=▲.14.某高校在某年的自主招生考试成绩中随机抽取50名学生的笔试成绩,绘制成频率分布直方图如图所示,若要从成绩在[85,90),[90,95),[95,100]三组内的学生中,用分层抽样的方法抽取12人参加面试,则成绩在[90,100]内的学生应抽取的人数为▲.15.给出下列三个类比结论.①“(ab)n=a n b n” 类比推理出“(a+b)n=a n+b n;②已知直线a,b,c,若a∥b,b∥c,则a∥c.类比推理出:已知向量a,b,c,若a∥b,b∥c,则a∥c;③同一平面内,直线a,b,c,若a⊥b,b⊥c,则a∥c.类比推理出:空间中,已知平面α,β,γ,若α⊥β,β⊥γ,则α∥γ.其中结论正确的个数是▲.16.设Sn 为等差数列{an}的前n项和,S8=4a3,a7=-2,将此等差数列的各项排成如下三角形数阵:若此数阵中第i行从左到右的第j个数是-588,则i+j=.三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)城市公交车的数量太多容易造成资源的浪费,太少又难以满足乘客需求,为此,某市公交公司在某站台的60名候车乘客中随机抽取15人,将他们的候车时间作为样本分成5组,(1)估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数;(2)若从上表第三、四组的乘客中选2人做进一步的问卷调查,求抽到的两人恰好来自不同组的概率.18.(本小题满分12分)设a,b,c均为正实数.(1)若a+b+c=1,求证:a2+b2+c2≥1;(2)求证:a2+b2+c23≥a+b+c3.19.(本小题满分12分)某城市随机抽取一年(365天)内100天的空气质量指数API的监测数据,统计(1)若某企业每天由空气污染造成的经济损失S(单位:元)与空气质量指数API(记为ω)的关系式为:S=0,0≤ω≤100,4ω-400,100<ω≤300, 2000,ω>300.试估计在本年内随机抽取一天,该天经济损失S大于200元且不超过600元的概率;(2)若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季,其中有8天为重度污染,完成下面2×2列联表,并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为该市本年空气重度污染与供暖有关.附K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)20.(本小题满分12分)如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,AC=BC=CC1=2,M,N分别为AC,B1C1的中点.(1)求证:MN∥平面ABB1A1;(2)线段CC1上是否存在点Q,使A1B⊥平面MNQ?说明理由.21.(本小题满分12分)定义函数f k(x)=alnxx k为f(x)的k阶函数.(1)求f(x)的一阶函数f1(x)的单调区间;(2)讨论方程f2(x)=1的解的个数.22.(本小题满分12分)过椭圆x2a2+y2b2=1 (a>b>0)的左顶点A作斜率为2的直线,与椭圆的另一个交点为B,与y轴的交点为C,已知AB=6BC.(1)求椭圆的离心率;(2)设动直线y=kx+m 与椭圆有且只有一个公共点P ,且与直线x=4相交于点Q ,若x 轴上存在一定点M (1,0),使得PM ⊥QM ,求椭圆的方程.2015届高三第五次联考·数学试卷参 考 答 案1.D 由z=(1+i )(2-i )得z=3+i ,故选D.2.A ∵N={1,2},则M ∩N={1,2}.3.B “至少有一个偶数”的否定为“都不是偶数”,即反设应为“假设a ,b ,c 都是奇数”.4.D 由题意得x −=9+9.5+10+10.5+115=10,y −=11+a+8+6+55=a5+6,回归直线必过点(x −,y −),所以a 5+6=-3.2x −+4a ,解得a=10.5.A 由x 2-5x+6<0得2<x<3,∵a>b>0,1<1,lg x>0,即x>1,故选A.6.C 直观图是一个三棱锥,体积为13×12×2×2×2=43(cm 3).7.C 由题意可得甲的平均成绩为90,设被污损的数字为x ,则依题意可得83+83+87+99+90+x<450,解得x<8,所以x 的值可以为0、1、2、3、4、5、6、7,所以所求事件的概率为810=45. 8.D 设A (a ,b ),则有b a= ,即b= a ,∴( a )2=2pa ,可得p=a ,又∵a+p 2=3,∴p=2. 9.B 由程序框图可得S=10-log 2(1×2×3×…×k ).当k=6时,S>0;当k=7时,S<0.所以输出k 的值为7.10.A 根据约束条件画出可行域,如图所示.直角梯形ABCD 的面积为1×3(2+4)=9,离三个顶点距离等于1的地方为四个小扇形,它们的面积之和为π,所以该质点到此三角形的三个顶点的距离均不小于1的概率P=1-π.11.C 由向量加法的平行四边形法则知a+b 与a 的夹角为π3,故A 错;直线AB 的斜率k=cos40°−sin10°sin40°−cos10°=cos(30°+10°)−sin(30°+10°)−cos10°= 32cos10°−32sin10°32sin10°−12cos10°=- 3,则直线AB 的倾斜角为2π3,故B 错;C 正确;由acos B+bcos A=2得a ·a 2+c 2-b 22ac +b ·c 2+b 2-a 22bc=2⇒c=2,则4=a 2+b 2-2ab×19≥2ab-2ab×19=169ab ,∴ab≤94,则 S △ABC =12absin C ≤12×94×4 59= 52,故D 错. 12.D 设2a=3b=6c=m ,则a=log 2m ,b=log 3m ,c=log 6m ,所以a+b =log 2m+log 3m 6=lg6+lg6=lg2+lg3+lg2+lg3=2+lg3+lg2,∵lg3+lg2>2 ×=2,lg3+lg2=log 23+log 32<3,∴4<a+bc<5,则整数k 的最大值为4. 13. 5 |3−i (1+i)2-1+3i |=|3−i -1+3i|=|-2-i|= 5.14.6 (0.016+0.064+0.06+a+0.02)×5=1,解得a=0.040.第3组的人数为0.060×5×50=15,第4组的人数为0.040×5×50=10,第5组的人数为0.020×5×50=5,所以利用分层抽样在30名学生中抽取12名学生,第4组应抽取1030×12=4人,第5组应抽取530×12=2人. 则成绩在[90,100]内的学生应抽取的人数为6.15.0 当n=2时,(a+b )2=a 2+2ab+b 2≠a 2+b 2,故①错;当b=0,向量a 与c 不一定平行,故②错;若α⊥β,β⊥γ,则α与γ可能平行也可能相交,故③错.16.29 设数列{a n }的公差为d ,由S 8=4a 3,a 7=-2得a 1=10,d=-2,则a n =12-2n ,令a n =12-2n=-588,解得n=300.在数阵中,从第1行到第m 行共有1+3+5+…+2m -1=m 2个数,∵172=289<300<182=324,∴i=18,j=300-289=11,则i+j=29.17.解:(1)候车时间少于10分钟的概率约为2+615=815, 所以候车时间少于10分钟的人数约为60×8=32. ........................... 4分 (2)将第三组乘客编号为a 1,a 2,a 3,a 4,第四组乘客编号为b 1,b 2.从6人中任选两人包含以下基本事件:(a 1,a 2),(a 1,a 3),(a 1,a 4),(a 1,b 1),(a 1,b 2),(a 2,a 3),(a 2,a 4),(a 2,b 1),(a 2,b 2),(a 3,a 4),(a 3,b 1),(a 3,b 2),(a 4,b 1),(a 4,b 2),(b 1,b 2)共15个基本事件,其中两人恰好来自不同组包含8个基本事件,故所求事件的概率为8. .......... 10分 18.解:(1)∵a+b+c=1,∴(a+b+c )2=a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ac=1,∵2ab≤a 2+b 2,2bc ≤c 2+b 2,2ac ≤a 2+c 2,∴a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ac=1≤3(a 2+b 2+c 2),∴a 2+b 2+c 2≥1. .......................................................... 6分(2)由已知得a+b+c>0,欲证 a 2+b 2+c 23≥a+b+c 3,只需证a 2+b 2+c 23≥(a+b+c)29,只需证3(a 2+b 2+c 2)≥(a+b+c )2,只需证2a 2+2b 2+2c 2-2ab-2bc-2ac ≥0,即证(a-b )2+(b-c )2+(c-a )2≥0,上述不等式显然成立,故原不等式成立. .................................... 12分 19.解:(1)设“在本年内随机抽取一天,该天经济损失S 大于200元且不超过600元”为事件A ,由200<S ≤600,得150<ω≤250,频数为39,P (A )=39100. .......................... 4分 (2)k=100×(63×8−22×7)285×15×30×70≈4.575>3.841,所以能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为空气重度污染与供暖有关. .... 12分20.解:(1)取AB 中点D ,连接DM ,DB 1.在△ABC 中,∵M 为AC 中点,∴DM∥BC ,DM=1BC. 在矩形B 1BCC 1中,∵N 为B 1C 1中点,∴B 1N ∥BC ,B 1N=1BC , ∴DM∥B 1N ,DM=B 1N ,∴四边形MDB 1N 为平行四边形,所以MN ∥DB 1. ∵MN ⊄平面ABB 1A 1,DB 1⊂平面ABB 1A 1,∴MN∥ 平面ABB 1A 1. ..................................................... 6分 (2)线段CC 1上存在点Q ,且Q 为CC 1中点时,有A 1B ⊥平面MNQ. 证明如下:连接BC 1.在正方形BB 1C 1C 中易证QN ⊥BC 1.又A 1C 1⊥平面BB 1C 1C ,所以A 1C 1⊥QN ,从而NQ ⊥平面A 1BC 1, ∴A 1B ⊥QN.同理可得 A 1B ⊥MQ ,∴A 1B ⊥平面MNQ.故线段CC 1上存在点Q ,使得A 1B ⊥平面MNQ. ................................. 12分 21.解:(1)f 1(x )=alnx x (x>0),f 1'(x )=a-alnx x 2=a(1-lnx)x 2(x>0), 令f 1'(x )=0,当a ≠0时,x=e. ∴当a=0时,f 1(x )无单调区间;当a>0时,f 1(x )的单增区间为(0,e ),单减区间为(e ,+∞);当a<0时,f 1(x )的单增区间为(e ,+∞),单减区间为(0,e ). ......................... 4分 (2)由alnx x 2=1,当a=0时,方程无解;当a ≠0时,lnx x 2=1a.令g (x )=lnx x 2(x>0),则g'(x )=x-2xlnx x 4=1−2lnx x3.由g'(x )=0得x= e , 从而g (x )在(0, e )上单调递增,在( e ,+∞)上单调递减.g (x )max =g ( e )=1. 当x →0时,g (x )→-∞,当x →+∞时,g (x )→0. 当0<1<1,即a>2e 时,方程有两个不同解. 当1a >12e ,即0<a<2e 时,方程有0个解. 当1a =12e或1a<0即a=2e 或a<0时,方程有唯一解.综上,当a>2e 时,方程有两个不同解;当0<a<2e 时,方程有0个解;当a=2e 或a<0时,方程有唯一解................................................................ 12分 22.解:(1)∵A (-a ,0),设直线方程为y=2(x+a ),B (x 1,y 1), 令x=0,则y=2a ,∴C (0,2a ),∴AB =(x 1+a ,y 1),BC =(-x 1,2a-y 1). ............................................ 3分 ∵AB=613BC ,∴x 1+a=613(-x 1),y 1=613(2a-y 1),整理得x 1=-1319a ,y 1=1219a , ∵B 点在椭圆上,∴(13)2+(12)2·a 2b2=1,∴b 22=3,∴a 2-c 22=3,即1-e 2=3,∴e=1. ............................................... 6分 (2)∵b 2a 2=34,可设b 2=3t ,a 2=4t ,∴椭圆的方程为3x 2+4y 2-12t=0,由 3x 2+4y 2-12t=0y =kx +m得(3+4k 2)x 2+8kmx+4m 2-12t=0. .......................... 8分 ∵动直线y=kx+m 与椭圆有且只有一个公共点P ,∴Δ=0,即64k 2m 2-4(3+4k 2)(4m 2-12t )=0,整理得m 2=3t+4k 2t.设P (x 2,y 2),则有x 2=-8km2(3+4k 2)=-4km 3+4k2,y 2=kx 2+m=3m3+4k2,∴P (-4km3+4k 2,3m3+4k 2), (10)分又M (1,0),Q (4,4k+m ),若x 轴上存在一定点M (1,0),使得PM ⊥QM , ∴(1+4km3+4k2,-3m 3+4k2)·(-3,-(4k+m ))=0恒成立,整理得3+4k 2=m 2,∴3+4k 2=3t+4k 2t 恒成立,故t=1.所求椭圆方程为x 2+y 2=1. ................................................ 12分。

2017年第三次全国大联考【新课标III 卷】文科数学·全解全析一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的）1．若集合{}2,1,0,1,2M =--，21{|1,}2N y y x x ==-+∈R ，则M N =（ ）A ．{}2,1,0,1--B ．{}2,1,0--C ．{}1,2D ．{}2 1．A 【命题意图】本题考查集合的运算、二次函数值域，意在考查运算求解能力．【解析】因为{}2,1,0,1,2M =--，{}|1N y y =≤，则{}2,1,0,1MN =--，故选A ． 2．已知i 是虚数单位，若复数z 满足41i 1z=-+，则共轭复数z 在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2．D 【命题意图】本题考查复数的运算、共轭复数与模的计算，意在考查运算求解能力． 【解析】由41i 1z =-+，得()()()41i 41112i 1i 1i 1i z +=-=-=+--+，则12i z =-，在复平面上对应的点的坐标为()1,2-，位于第四象限，故选D ．3．在长为4的线段PQ 上随机取一点R （R 不取端点值），以PR 的长为边长的正方形的面积大于9的概率为（ ）A ．12B ．14C ．716D ．9163．B 【命题意图】本题考查几何概型，意在考查运算求解能力． 【解析】由题意，知29PR >，即34PR <<，则所求概率为43144-=，故选B ． 4．已知函数()1e 2x x f x -=+，且()2e 1f x -≤+，则实数x 的取值范围是（ ）A ．()(),33,-∞+∞B ．(],3-∞C ．()3,+∞D ．(),-∞+∞4．B 【命题意图】本题主要考查函数的奇偶性与单调性的应用，意在考查运算求解能力、等价变换的能力．【解析】由函数解析式易知()f x 在R 上为增函数，且()1e 1f =+，所以原不等式等价于()()21f x f -≤，所以21x -≤，解得3x ≤，故选B ．5．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，,A B 为抛物线上两个不同的点，满足||||8AF BF +=，且线段AB 的中点坐标为()3,4，则p =（ ）A ．12 B ．2 C ．4 D ．8 5．B 【命题意图】本题主要考查抛物线的几何性质，意在考查运算求解能力．【解析】由题意知236A B x x +=⨯=，根据抛物线的定义及||||8AF BF +=知822A B p p x x +++=，即68p +=，解得2p =，故选B ． 6．若变量,x y 满足约束条件2204x y x y x -≥-⎧⎪-≤⎨⎪≥-⎩，且331z x y m =-++-的最大值为1，则m =（ ）A ．3-B ．1-C ．1D ．36．A 【命题意图】本题主要考查线性规划问题，意在考查作图与识图能力．【解析】作出约束条件2204x y x y x -≥-⎧⎪-≤⎨⎪≥-⎩所对应的可行域（如图中阴影部分）．变形目标函数可得直线331y x z m =+-+， 当直线经过点()4,1A --时，z 取得最大值，即()341311m -⨯--+-=，解得3m =-，故选A ．7．执行下列程序框图，如果输出的i 值为2，那么输入的x 的取值范围是（ ）A ．4x <B ．24x <<C ．24x ≤<D ．416x ≤<7．C 【命题意图】本题主要考查程序框图，意在考查辨识框图的能力、运算求解能力．【解析】执行下列程序：20,log i x x ==→()221,log log i x x ==→()()2222,log log log i x x ==,则由()()()22222log log log 0log log 0x x ⎧<⎪⎨≥⎪⎩，解得24x ≤<，故选C ．8．如图，网格上小正方形的边长为1，粗实线与粗虚线画出的是正方体中挖去了两个半圆锥得到的一个几开始x 输入0i =2log x x =0?x <1i i =+i 输出结束何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A ．8045+πB ．()84451+-πC ．()80451+-π D ．8445+π 8．C 【命题意图】本题主要考查三视图与正方体、圆锥的表面积，意在考查空间想象能力、转换能力、运算求解能力．【解析】根据三视图还原出来的几何体如下图所示，其表面积221164224422S ⎛⎫=⨯-⨯π⨯+⨯⨯ ⎪⎝⎭＋22242π⨯⨯+＝()80451+-π，故选C ．9．函数()223e x y x x =+的图象大致是（ ）9．A 【命题意图】本题考查函数图象、导数与极值的关系，意在考查识图能力．【解析】由()f x 的解析式知只有两个零点32x =-与0x =，排除B ；又()()2273e x f x x x '=++，由()0f x '=知函数有两个极值点，排除C ，D ，故选A ．10．已知过半径为2的球的球心的大圆面α内有一个内接正ABC △，点P 是过AB 且与平面α垂直的球的截面圆上任意一点，则点P 到平面ABC 的最大距离为（ ）A ．3B ．3C ．3D ．23 10．B 【命题意图】本题主要考查球的性质、面面垂直的应用，意在考查空间想象能力、运算求解能力．【解析】如图所示，由题意，知平面PAB ⊥平面ABC ，所以点P 在平面ABC 上的射影D 落在AB 上，所以PD ⊥平面ABC ，所以当D 为AB 的中点时，点P 到平面ABC 的距离最大，即为PD ．因为ABC △是正三角形，则31CD OD ==，，223PD OP OD =-=，故选B ．1123的双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，若线段OF 的垂直平分线与双曲线一条渐近线的交点到另一条渐近线的距离为c λ（c 为半焦距，0λ>），则实数λ的值是（ ）A ．12B ．13C ．2D ．3 11．A 【命题意图】本题主要考查双曲线的几何性质，意在考查逻辑思维能力、运算求解能力及方程思想的应用．【解析】由题意，得()0F c ，，不妨设线段OF 的垂直平分线2c x =与渐近线b y x a =的交点为,22c bc a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因此它到另一条渐近线b y x a =-，即0bx ay +=的距离为2222bc bc b c a b λ+==+．又由23c a =与222c a b =+可得12b c =，所以12λ=，故选A ． 12．已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，()*4n p a n n =∈N ，若*n ∀∈N ，*m ∃∈N ，使得22816n m pS a p n =+成立，且满足条件的所有正整数p 从小到大构成数列{}n b ，则数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T =（ ）A ．()161n n +B ．()41n n +C ．14n n+ D ．()161n n + 12．A 【命题意图】本题考查数列通项与前n 项和，意在考查运算求解能力、裂项法的应用．【解析】因为4n p a n =，所以()18n p S n n =+，代入22816n m pS p n a -=，得()22811684p p p n n p n m ⋅+-=⋅⋅，整理，得4p m n =．由于*m ∈N ，*n ∈N ，*p ∈N ，则必有4p k =()*k ∈N ，于是4n b n =，所以()111111161161n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，则n T ＝()1111111111162231161161n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选A ． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．在菱形ABCD 中，()2,3AC =-，()1,2BD x =-，则x =____________．13．4【命题意图】本题主要考查平面向量的垂直的条件，意在考查运算求解能力与转化能力．【解析】由菱形的性质知AC BD ⊥，则 ()()21320AC BD x ⋅=-+-⨯=，解得4x =．14．已知()()()13log 3x a a x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩（1,*a a ≠∈N ），若()()2418f f +=，则a =____________． 14．4【命题意图】本题主要考查分段函数的求值，意在考查运算求解能力．【解析】由题意，得21log 418a a ++=，即2log 417a a +=．因为1,*a a ≠∈N ，所以217a <，则24a ≤≤，分别验证2,3,4a =知，只有4a =满足条件，故4a =．15．《孙子算经》是中国古代重要的数学专著，其中记载了一道有趣的数学问题：“今有出门，望见九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色．”问这个数学问题中动物有＿＿＿＿＿只．（数字作答）15．590490【命题意图】本题考查数学文化、等比数列，意在考查运算求解能力、审读能力．【解析】由题意，知“堤、木、枝、巢、禽、雏、毛”的数量构成一个首项19a =，公比9q =的等比数列{}n a ，其通项公式为1999n n n a -=⋅=，则动物的数量为()5655699919590490a a +=+=+=（只）．16．已知函数())sin 03f x x ωωπ⎛⎫=+⎪⎝⎭＞的最小正周期为π，若0,3x π⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，不等式()()()21110f x a f x a ---+≤∈⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦R 恒成立，则实数a 的取值范围是___________．16．1,2⎛+-∞- ⎝⎦【命题意图】本题考查三角函数的性质与值域、不等式恒成立，意在考查运算求解能力、等价转化能力．【解析】由22T ωπ==，得()sin 23f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭则当0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()1f x ≤≤令()1t f x =-，则1t -≤≤，且210t at -+≤恒成立，整理可得1a t t ≤+，而函数1y t t=+在区间1⎡-⎣上单调递增，所以1y tt =+的最小值为(1+-=，则12a +≤-． 三、解答题（本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12）在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，满足2222cos 40a c b bc A c +-+-=，且()cos 1cos c A b C =-．（Ⅰ）求c 的值及判断ABC △的形状； （Ⅱ）若6C π=，求ABC △的面积． 17．【命题意图】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积与三角恒等变换，意在考查运算求解能力、逻辑推理能力，以及方程思想、转化思想的应用．【解析】（Ⅰ）由2222cos 40a c b bc A c +-+-=，根据余弦定理，得 2222222402b c a a c b bc c bc +-+-+⋅-=，整理，得2c =．………………2分 由()cos 1cos c A b C =-，根据正弦定理，得()sin cos sin 1cos C A B C =-，即sin sin cos sin cos B C A B C =+＝()sin sin cos cos sin A C A C A C +=+，……………4分 所以sin cos sin cos B C A C =，故cos 0C =或sin sin A B =．……………5分当cos 0C =时，2C π=，故ABC △为直角三角形； 当sin sin A B =时，A B =，故ABC △为等腰三角形．………………7分（Ⅱ）由（Ⅰ）知2c =，A B =，则a b =，………………8分因为6C π=，所以由余弦定理，得22242cos 6a a a π=+-，解得28a =+，………………10分所以ABC △的面积21sin 226S a π==………………12分 18．（本小题满分12分）某初级中学根据运动场地的影响，且为尽大可能让学生都参与到运动会中来，在2016冬季运动会中设置了五个项目，其中属于跑步类的两项分别是200米和400米，另外三项分别为跳绳、跳远、跳高．学校要求每位学生必须参加，且只能参加其中一项，该校780名学生参加各运动项目人数统计如下表：其中参加跑步类的人数所占频率为13，为了了解学生身体健康与参加运动项目之间的关系，用分层抽样的方法从这780名学生中抽取13人进行分析．（Ⅰ）求表格中m 和n 的取值以及抽取的13人中参加200米的学生人数；（Ⅱ）抽取的13名学生中恰好包含X Y ，两名同学，其中X 同学参加的项目是200米，Y 同学参加的项目是跳绳，现从参加200米和跳绳两个项目中随机抽取3人，求这3人中正好有X Y ，两名同学的概率．18．【命题意图】本题考查分层抽样、古典概型，意在考查学生的数据获取与处理能力、逻辑思维能力、运算求解能力．【解析】（Ⅰ）由题意，得参加跑步类的有778042013⨯=人，………………1分 所以420240180m =-=，78042018012060n =---=．………………3分 根据分层抽样法知，抽取的13人中参加200米的学生人数有180133780⨯=人．………………5分 （Ⅱ）选出的13人中参加200米的有3人，分别记为12,,A A X ，参加跳绳的有3人，分别记为12,,B B Y ．………………7分现从这6人中任选3人，有()()()()()()()()121211221211121112,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A A X A A B A A B A A Y A X B A X B A X Y A B B ，()()()()()()()()1112212222122122,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A B Y A B Y A X B A X B A X Y A B B A B Y A B Y ，()()()()121212,,,,,,,,,,,X B B X B Y X B Y B B Y ，共20种，………………10分其中这3人中正好有X Y ，两名同学的情况有4种，由古典概型的概率计算公式可得所求概率为41205=．………………12分 19．（本小题满分12分）在多面体ABCDEFG 中，四边形ABCD 为正方形，AF ⊥平面ABCD ，AF BG DE ∥∥，且AB AF BG DE ===，H 为EG 中点．（Ⅰ）求证：BD CH ⊥；（Ⅱ）若正方形ABCD 的边长为1，求三棱锥G BCE -的体积．19．【命题意图】本题考查空间直线与平面间平行和垂直的判断与证明、三棱锥的体积，意在考查空间想象能力、逻辑推证能力、运算求解能力．【解析】（Ⅰ）连接AC 交BD 于点M ，连接MH ．∵AF BG DE ∥∥，BG DE =，∴四边形BDEG 为矩形，………………1分又∵H 为EG 中点，∴MH BG AF ∥∥，MH BG =，………………2分又∵AF ⊥平面ABCD ，∴MH ⊥平面ABCD ，∴MH ⊥BD ．………………3分在正方形ABCD 中，BD AC ⊥，且AC MH M =，∴BD ⊥平面CMH ，………………4分 又CH ⊂平面CMH ，∴BD CH ⊥.………………5分（Ⅱ）连接,BF AG 交于点N ，则∵AB AF BG DE ===，AF BG DE ∥∥，∴四边形ADEF 和四边形ABGF 均为平行四边形， ∴EF AD BC ，∴四边形BCEF 为平行四边形．………………7分又AF ⊥平面ABCD ，∴AF AB ⊥，平面ABGF ⊥平面ABCD ，∴四边形ABGF 为正方形，∴AG BF ⊥．………………8分又∵BC AB ⊥，∴BC ⊥平面ABGF ．∵AG ⊂平面ABGF ，∴BC AG ⊥．………………9分 又∵BC BF B =，∴AG ⊥平面BCEF ，即GN ⊥平面BCEF ．………………10分 根据条件可得1222GN AG ==，1BC EF AB ===，………………11分 ∴1111211222366G BCE G BCEF BCEF V V GN S --==⨯⋅==．………………12分20．（本小题满分12分）已知左、右焦点分别为12F F 、的椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的一短轴端点为30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线l 与椭圆C 交于,P Q 两个不同的点．当四边形12PF F Q为矩形时，其面积为4． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设()3,0A -，问：是否存在过定点()1,0M 的直线n 与椭圆C 交于,M N 两个不同的点，使AMN △?若不存在，说明理由；若存在，求出直线n 的斜率．20．【命题意图】本题主要考查椭圆的方程及几何性质、直线与椭圆的位置关系，意在考查学生的逻辑思维能力、分析能力与运算求解能力，以及方程思想、数形结合思想、分类讨论思想．【解析】（Ⅰ）由题意，得32b = ①，且12||2F Fc =，21||b PF a =，则2121||||24b F F PFc a ⋅=⋅= ②．………………2分 由①②联立，并结合222a b c =+，解得29a =， 所以椭圆C 的方程为224199x y +=．………………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知点()3,0A -是椭圆C 的左顶点，当直线n 与x 轴平行时，AMN △不存在，…………………6分，所以设直线n 的方程为1x my =+，并设点11(,)M x y ，22(,)N x y ， 联立2241991x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()224280m y my ++-=， 其判别式()2224324361280m m m ∆=++=+>，…………8分， 所以12224m y y m +=-+，12284y y m =-+， 所以121||||2AMN S AM y y ∆=-==，…………10分 假设存在直线n= 解得24m =或26017m =-（舍去），所以2m =±，……………………11分故存在直线n ：21x y =±+使得AMN S △n 的斜率为12±．…………12分 21．（本小题满分12分）设函数()2ln f x ax x a =--．（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）如果对任意()1,x ∈+∞，都有()e 1e x f x x+>，求实数a 的取值范围． 21．【命题意图】本题主要考查导数与单调性和最值的关系、不等式恒成立问题，意在考查运算求解能力、逻辑推理能力、等价转化能力， 以及分类讨论的思想、等价转化思想、构造法的应用．【解析】（Ⅰ）()()212120ax f x ax x x x-'=-=>．………………1分 当0a ≤时，()0f x '<，()f x 在(0,)+∞内单调递减；………………2分当0a >时，令()0f x '=，有x =x ⎛∈ ⎝时，()0f x '<，()f x 单调递减；当x ⎫∈+∞⎪⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增．………………4分 综上所述，0a ≤时，函数()f x 在(0,)+∞内单调递减；当0a >时，函数()f x 在⎛⎝内单调递减，在⎫+∞⎪⎭内单调递增．………………5分 （Ⅱ）令1e ()ex g x x =-()()1,x ∈+∞，即e e ()e x x x g x x -=()()1,x ∈+∞． ………………6分 令()e e x h x x =-，则()()e e 01xh x x '=->>，则()h x 在()1,+∞内单调递增， 所以()()10h x h >=，故()0g x >．………………7分当0a ≤，1x >时，()2ln 0f x ax x a =--<， 故当()()f x g x >在区间(1,)+∞内恒成立时，必有0a >．………………8分 当102a <<时，1>，由（Ⅰ）知函数()f x 在上单调递减，即x ∈时，()(1)()f x f g x <<，不符合题意，舍去．………………9分 当12a ≥时，令()()()u x f x g x =-，1x >，则 ()2211e 11e 22e e x u x ax ax x x x x x '=-+->-+-＝3222221210ax x x x x x -+-+>>，……10分所以()u x 在1x >时单调递增，所以()()10u x u >=恒成立，即()()f x g x >恒成立，满足题意．………………11分 综上，1[,)2a ∈+∞．………………12分请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程为1222x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为()4cos 2sin m ρρθθ--=-，且直线l 与圆C 相交于不同的,A B 两点．（Ⅰ）求线段AB 垂直平分线l '的极坐标方程；（Ⅱ）若||AB =m 的值．（Ⅲ）若1m =，求过点()4,4N 与圆C 相切的切线方程．22．【命题意图】本题考查直线的极坐标与圆的参数方程、直线与圆的位置关系，意在考查运算求解能力、等价转化能力．【解析】（Ⅰ）消去参数t ，得直线l 的普通方程为10x y -+=，斜率为1，所以直线l '的斜率为1-．………………1分因为圆C 的极坐标方程可化为24cos 2sin 0m ρρθρθ--+=，所以将222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==代入上述方程得圆C 的直角坐标方程为22420x y x y m +--+=，则配方，得()()22215x y m -+-=-，其圆心为()2,1C ，半径为)5m <．………………3分由题意，知直线l '经过圆心()2,1C ，所以直线l '的方程为()12y x -=--，即30x y +-=，所以由cos ,sin x y ρθρθ==，得直线l '的极坐标方程为()cos sin 3ρθθ+=．………………5分（Ⅱ）因为||AB =C 到直线l)5m =<．)5m =<，解得1m =．………………7分（Ⅲ）当所求切线的斜率存在时，设切线方程为4(4)y k x -=-，即440kx y k --+=．2=， 解得512k =，所以所求切线的方程为512280x y -+=； 当所求切线的斜率不存在时，切线方程为4x =．………………9分综上，所求切线的方程为4x =或512280x y -+=．………………10分23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知不等式2222x x +-->的解集为M ．（Ⅰ）求集合M ；（Ⅱ）已知t 为集合M 中的最小正整数，若1,1,1a b c >>>，且()()()111a b c t ---=，求证：8abc ≥．23．【命题意图】本题主要考查绝对值不等式的解法、不等式的证明，意在考查运算求解能力、逻辑推理能力、分类讨论与等价转化的思想．【解析】（Ⅰ）设()222f x x x =+--，则()4,13,124,2x x f x x x x x --<-⎧⎪=-≤<⎨⎪+≥⎩，………………1分当1x <-时，由42x -->，得6x <-，6x <-∴；………………2分当12x -≤<时，由32x >，得23x >，223x <<∴；………………3分 当2x ≥时，由42x +>，得2x >-，2x ≥∴．………………4分综上所述，集合M 为2|63x x x ⎧⎫><-⎨⎬⎩⎭或．………………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知1t =，则()()()1111a b c t ---==．因为1,1,1a b c >>>，所以10,10,10a b c ->->->， ………………6分则()110a a =-+≥>（当且仅当2a =时等号成立），……………7分()110b b =-+≥>（当且仅当2b =时等号成立），………………8分 ()110c c =-+≥>（当且仅当2c =时等号成立），………………9分 则8abc ≥≥（当且仅当2a b c ===时等号成立）， 即8abc ≥．………………10分。

2025届上海市五校联考高三第二次诊断性检测数学试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若函数()f x 的图象如图所示，则()f x 的解析式可能是（ ）A ．()x e xf x x +=B ．()21x f x x -=C ．()x e xf x x-=D ．()21x f x x +=2．在关于x 的不等式2210ax x ++>中，“1a >”是“2210ax x ++>恒成立”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，若函数()f x 在1x =处取得极大值，则函数()y xf x =-'的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．4．某三棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）A ．27πB ．28πC ．29πD ．30π5．已知圆截直线所得线段的长度是，则圆与圆的位置关系是（ ） A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离6．设12F F ，是双曲线()2222100x y a b a b-=>>，的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使()220OP OF F P +⋅=（O 为坐标原点），且123PF PF =，则双曲线的离心率为（ ） A ．212+ B ．21+C ．312+ D ．31+7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱的长为（ ）A ．5B ．4C ．2D ．228．函数()1ln 1y x x=-+的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．9．已知数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是公比为13的等比数列，且10a >，若数列{}n a 是递增数列，则1a 的取值范围为（ ）A ．(1,2)B ．(0,3)C ．(0,2)D ．(0,1)10．设正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23S =，3412a a +=，则公比q =（ ） A ．4±B ．4C ．2±D ．211．已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，A B 、是抛物线上两个不同的点，若||||8AF BF +=，则线段AB 的中点到y 轴的距离为（ ）A ．5B ．3C ．32D ．212．已知集合2{|23}A x y x x ==-++，{}2|log 1B x x =>则全集U =R 则下列结论正确的是( ) A ．AB A =B ．A B B ⋃=C ．()UA B =∅ D ．UB A ⊆二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2017年第三次全国大联考【新课标Ⅱ卷】文科数学·全解全析第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合 题目要求的）．1．已知集合{1,0,1,2}M =-，2{|,}N y y x x M ==∈，则M N =(A) {1,1}-(B){}0,1(C){1,1,3,5}-(D) {1,0,1,2}-【命题意图】本题考查集合的运算等基础知识，意在考查运算求解能力． 【答案】B【解析】由已知得{}0,1,4N =,故{}0,1M N =,故选B ．2．设复数12iiz --=，则复数1-z 的模为 (A )10 (B )4 (C )23 ( D )2 【命题意图】本题考查复数的运算、复数的模等基础知识，意在考查运算求解能力． 【答案】A 【解析】由于212(12)2i i i z i i i----===-+，故13z i -=-+，所以221(3)1z -=-+ 10=,故选A ．3．已知平面向量a ，b 的夹角为π3，且1=a ，12=b ，则2-=a b(A ) 1 (B )(C )2 (D )【命题意图】本题考查平面向量的数量积、向量的模等基础知识，意在考查运算求解能力． 【答案】A【解析】由已知条件得1π11cos234⋅=⨯⨯=a b ，所以22(2)-=-a b a b 2244-⋅+a a b b 11144144=-⨯+⨯=，故选A ． 4．已知双曲线222:1(0)y C x b b -=>的一条渐近线的倾斜角为π3,则双曲线C 的离心率为(A )2 (B )3 (C )2 (D )22【命题意图】本题考查双曲线的标准方程和简单几何性质等基础知识，意在考查运算求解能力．【答案】C【解析】由已知得，双曲线的渐近线方程为y bx =±，故πtan 3b ==2c ==，则双曲线C 的离心率为2ce a==，选C ． 5．在等比数列{}n a 中，已知32a =，35726a a a ++=，则7a = (A) 12 (B ) 18 (C ) 24 (D ) 36【命题意图】本题考查等比数列的通项公式等基础知识，意在考查运算求解能力． 【答案】B【解析】由于()24423573332126a a a a a q a q q q ++=++=++=，所以42120q q +-=，得23q =或24q =-（舍去），则3472918a a q ==⨯=，故选B. 学科*网6．执行如图所示的程序框图，若输入3m =，4n =，则输出a = （A ）4（B ）8 （C ）12（D ）16【命题意图】本题考查程序框图等基础知识，意在考查识图能力． 【答案】D【解析】程序在执行过程中，,i a 的值依次为1i =，7a =；2i =，10a =；3i =，13a =；4i =，16a =，a 能被n 整除，输出a 的值为16，故选D ．7．已知α为第二象限角，πsin()4α+=，则tan α的值为（ ） (A) 12-（B ）13 （C ） 43- （D ） 3-【命题意图】本题考查同角三角函数的基本关系式等基础知识，意在考查运算求解能力． 【答案】C【解析】由πsin()4α+=1sin cos 5αα+=，平方得112sin cos 25αα+=，所以242sin cos 25αα=-，从而249(sin cos )12sin cos 25αααα-=-⋅=，因为α为第二象限角，所以7sin cos 5αα-=，因此3cos 5α=-，4sin 5α=，则sin 4tan cos 3ααα==-，故选C ．8．设实数,x y 满足约束条件2020x y x y y m +-≥--≤≤⎧⎪⎨⎪⎩，则目标函数2z x y =-的最大值为（ ）(A) 2- （B ） 1- （C ） 1 （D ） 2【命题意图】本题考查线性规划等基础知识，意在考查数形结合思想和运算求解能力． 【答案】D【解析】如图，阴影部分为不等式组表示的平面区域，2z x =- 当z 取到最大值时，直线在y 轴上的截距最小，故当直线过点(2,0)B 时z 取到最大值，最大值为2202-⨯=，故选D ．2=09．某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切割，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则新工件的体积为（ ） （A ）18 （B ）1 （C ） 2 （D ）4π3【命题意图】本题考查三视图、几何体的体积等基础知识，意在考查空间想象能力和运算求解能力． 【答案】B2，高为2，要使加工成的正方体新工件体积最大，则该正方体为圆锥的内接正方体，设棱长为2x 22222x x-=，解得12x =，故2x =1，则新工件的体积为1．学@科*网10．已知函数()sin()f x x ωϕ=+（0ω>，π2ϕ<）的图象过点1(0,)2．若()()12f x f π≤对x ∈R 恒成立，则ω的最小值为 (A ) 2(B ) 10(C ) 4(D ) 16【命题意图】本题考查三角函数的图象和性质等基础知识，意在考查运算求解能力． 【答案】C 【解析】因为1(0)2f =，故1sin 2ϕ=，且π2ϕ<，故π6ϕ=，由已知得当π12x =时，函数()f x 取到最大值，故πππ2π1262k ω+=+，k ∈Z ，424k ω=+，k ∈Z ，又因为0ω>，所以ω的最小值为4，故选C ．11．已知函数()2222,2log ,2x x x f x x x ⎧-+≤=⎨>⎩，若0x ∃∈R ，使得()2054f x m m ≤-成立，则实数m 的取值范围为（ ）A. 11,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B. 1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 12,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D. 1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦【命题意图】本题考查分段函数、量词等基础知识，意在考查数形结合思想和运算求解能力． 【答案】B【解析】对于函数()2222,2log ,2x x x f x x x ⎧-+≤=⎨>⎩，当2x ≤时，2()(1)11f x x =-+≥；当2x >时，2()log 1f x x =>，故函数()f x 的最小值为1，所以2514m m -≥故选B ．学@科网 12．设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点M 在C 上，5MF =，若y 轴上存在点(0,2)A ，使得0AM AF ⋅=，则p 的值为(A ) 2或8 (B ) 2 (C ) 8 (D ) 4或8【命题意图】本题考查抛物线的定义、标准方程和简单几何性质等基础知识，意在考查运算求解能力． 【答案】A【解析】设00(,)M x y ，由于5MF =，则有052p x +=，即052px =-，22010y p p =-，所以00(,2)AM x y =-，(,2)2p AF =-，则002402p x y ⋅-+=，即20012404y y ⋅-+=，解得04y =，所以21016p p -=，解得2p =或8p =，故选A ．学&科*网第Ⅱ卷本试卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题,每个试题考生都必须作答．第22题～第23题为选考题,考生根据要求作答．二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分）13．设()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()12x f x +=，则【命题意图】本题考查函数的奇偶性和对数运算等基础知识，意在考查转化与化归思想和运算求解能力． 【答案】-【解析】由已知得log 1log 12241(log 3)(log 3)(log 2222f f f =-=-=-=-⨯=-14. 在ABC △中，,,a b c 是角,,A B C 的对边，2a b =，o60C =，则B =_____． 【命题意图】本题考查正弦定理、三角恒等变换等基础知识，意在考查运算求解能力． 【答案】π6【解析】由正弦定理得sin 2sin A B =，则sin()2sinB C B +=，展开得1sin cos 2sin 22BB B +=，整理得tan 3B =，因为(0,π)B ∈，所以π6B =． 学科@网 15．若直线1ax by +=（,a b 都是正实数）与圆224x y +=相交于,A B 两点，当OA OB ⊥（O 是坐标原点）时，ab 的最大值为__________．【命题意图】本题考查直线和圆的位置关系、基本不等式等基础知识，意在考查数形结合思想和运算求解能力． 【答案】14【解析】根据题意画出图形，如图所示：当OA OB ⊥时，点O 到直线AB 222221122a b a b =+=+， 因为222a a b b +≥，所以1ab ≤，当且仅当12a b ==时，ab 的最大值为14. 16．已知1x =是函数()()22e 2x kf x x x kx =--+（0k >）的极小值点，则实数k 的取值范围是________．【命题意图】本题考查导数的应用等基础知识，意在考查综合分析问题和解决问题的能力． 【答案】(0,e)【解析】由已知得()()()'e11(1)(e )xx f x x k x k x =-+---= ，令()0f x '=，得1x =或ln x k =．当ln 1k >，即e k >时，(,1)x ∈-∞时，()0f x '>；(1,ln )x k ∈时，()0f x '<，所以1x =是函数()f x 的极大值点，不合题意，舍去；当ln 1k <，即0e k <<时，(ln ,1)x k ∈时，()0f x '<；(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，故1x =是函数()f x 的极小值点，满足题意；当e k =时，函数()f x 在R 上单调递增，无极值点，综上所述，实数k 的取值范围是(0,e).三、解答题（本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足()*141n n a a n n +-=+∈N ，且11a =.（I ）求数列{}n a 的通项公式； （II ，设数列{}n b 的前n 项和为n S ，证明423n S ≤<．【命题意图】本题考查数列的递推公式和数列求和等基础知识，意在考查运算求解能力． 【解析】（I ）由于()*141n n a a n n +-=+∈N ， 所以()()112n n n n n a a a a a ---=-+-+(32a a ⋯+-故数列{}n a 的通项公式为22n a n n =-……6分（Ⅱ）由22n a n n =-，可得112()2121n n --+，……8分 因为0213n <≤+，故23n S ≤<．……12分 18．（本小题满分12分）某城市为了满足市民出行的需要和节能环保的要求，在公共场所提供单车共享服务，某部门为了对该城市共享单车进行监管，随机选取了20位市民对共享单车的情况进行问卷调查，并根据其满意度评分值（满分100分）制作的茎叶图如下图所示：6972168890654301798526355女性男性（Ⅰ）分别计算男性打分的平均数和女性打分的中位数；（II ）从打分在70分以下（不含70分）的市民中抽取3人，求有女性被抽中的概率．【命题意图】本题考查茎叶图、平均数、中位数、古典概型等基础知识，意在考查运算求解能力和统计思想．【解析】（Ⅰ）男性打分的平均数为555362657170737486816910+++++++++=，……3分女性打分的中位数为7678772+=．……6分 （Ⅱ）设“有女性被抽中”为事件A ，打分在70分以下（不含70分）的市民中女性有2人，设为,a b ，男性有4人，设为,,,.c d e f抽取3人的基本事件有：,,,,,,,,,,,,abc abd abe abf acd ace acf ade adf aef bcd bce bcf ,,,bde bdf bef ，,,,,cde cdf cef def 共20种，……10分其中有女性的有1612分学@科*网 19．（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，且PAD △是边长为2的等边三角形，M 是PC 的中点.CA（I ）求证: //PA 平面MBD ； （II ）求四面体P BDM -的体积.【命题意图】本题考查直线和平面平行的判定、平面与平面垂直的性质定理、四面体的体积等基础知识，意在考查学生的空间想象能力和运算求解能力．【解析】(I)如图，连接AC ，交BD 于点E ，连接.ME ABCD 是矩形， ∴点E 是AC 的中点.又点M 是PC 的中点， //,PA ME ∴又PA ⊄平面MBD ,EM ⊂平面MBD ,所以//PA 平面MBD .……5分C(II)如图，取AD的中点O，连接PO，则PO AD⊥,又平面PAD⊥底面ABCD,平面PAD底面ABCD AD=,故PO⊥平面ABCD．连接OC，在Rt POC△中，OC=Rt ODC△中，3DC=,……7分故四面体P BDC-的体积为11123332BDCS PO⋅=⨯⨯⨯=△又因为点M是PC的中点，所以点M到平面BDC的距离等于1=22PO，故四面体M BDC-的体积为11233222⨯⨯⨯⨯=，故四面体PBDM-=．……12分20．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，过椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的右焦点F的直线20x y+-=交C于A,B 两点，P为AB的中点，且OP的斜率为13.（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设过点F的直线l（不与坐标轴垂直）与椭圆交于D E,两点，若在线段OF上存在点(,0)M t使得MDE MED∠=∠，求t的取值范围．【命题意图】本题考查椭圆的标准方程、直线和椭圆的位置关系等基础知识，意在考查学生的综合分析问题和运算求解的能力．【解析】(Ι)设11(,),A x y22(,),B x y则2211221x ya b+=，2222221x ya b+=，相减得：1212121222()()()()x x x x y y y y a b -+-++=，由题意知12121y y x x -=--，设00(,)P x y ，因为P 为AB 的中点，且OP 的斜率为13，所以0013y x =，即12121()3y y x x +=+，所以可以解得223a b =，即2223()a a c =-，即2232a c =，又因为2c =，所以26a =，所以椭圆C 的方程为22162x y +=.……5分 （Ⅱ）设线段DE 的中点为H ，因为MDE MED ∠=∠，所以MH DE ⊥，设直线l 的方程为(2)y k x =-，代入椭圆C 的方程22162x y +=，得2222(31)121260k x k x k +-+-=，……7分 设33(,)D x y ，44(,)E x y ，则23421213k x x k +=+，则23426213H x x k x k+==+，(2)H H y k x =- 2213kk-=+，即22262(,)1313k k H k k -++，由已知得1MH l k k ⋅=-，所以2222113613kk k kt k -+=--+，整理得222441133k t k k==++，因为20k >，所以4(0,)3t ∈， 所以t 的取值范围是4(0,)3．……12分 21．（本小题满分12分）已知函数2()2ln 21f x x ax x a =--+（a ∈R ）．（I ）若2a =，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； （II ）若()0f x ≥对任意[1,)x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围.【命题意图】本题考查导数的几何意义和导数的应用等基础知识，意在考查综合分析问题和解决问题的能力以及运算求解能力．【解析】（I ）当2a =时，2()4ln 3f x x x x =--，则()24(ln 1)244ln f x x x x x '=-+=--，故切线斜率(1)2k f '==-，又因为切点为(1,2)-，所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为22(1)y x +=--，即2y x =-．……5分（II ）不等式()0f x ≥等价于不等式212ln 0a x a x x ---≥，记21()2ln a g x x a x x-=--，则2212()1a a g x x x -'=+-22221x ax a x -+-=2[(21)](1)x a x x ---=， 令()0g x '=， 得21x a =-或1x =，……7分①当211a -≤，即1a ≤时，()0g x '≥，所以()g x 在[1,)+∞上单调递增，所以min ()(1)220g x g a ==-≥，解得1a ≤，此时1a ≤；②当211a ->，即1a >时，(1,21)x a ∈-时，()0g x '<；(21,)x a ∈-+∞时，()0g x '>，所以函数()g x 在(1,21)a -上单调递减；在(21,)a -+∞上单调递增，于是min ()(21)(1)220g x g a g a =-<=-<，不合题意，舍去．综上所述，实数a 的取值范围是(,1]-∞．……12分 学科#网请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知极坐标系的极点为平面直角坐标系xOy 的原点，极轴为x 轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，曲线C的参数方程为11x y αα⎧=-+⎪⎨=⎪⎩（α为参数），直线l 过点(1,0)-，且斜率为12,射线OM 的极坐（I ）求曲线C 和直线l 的极坐标方程；（II ）已知射线OM 与圆C 的交点为,O P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．【命题意图】本题考查圆的参数方程和直线的极坐标方程等基础知识，意在考查数形结合思想和运算求解能力．【解析】（Ⅰ）曲线C 的普通方程为22(1)(1)2x y ++-=，将cos x ρθ=， sin y ρθ=代入整理得2cos 2sin 0ρθθ+-=，即曲线C3分 直线l 的方程为1(1)2y x =+，所以极坐标方程为cos 2sin 10ρθρθ-+=．……5分，故线段PQ 的长10分 23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲（I ）解不等式： ()()34f x f x ++≤； （II ）若0a >，求证：()()()f ax af x f a +≥.【命题意图】本题考查绝对值不等式的解法和三角不等式等基础知识，意在考查运算求解能力．【解析】（I124x x -++≤． 当2x ≤-时，原不等式等价于214x --≤，即 当21x -<≤时，原不等式等价于34≤，即21x -<≤； 当1x >时，原不等式等价于214x +≤，即……5分 （II ）由题意得()()f ax af x +111ax a x ax ax a=-+-=-+- (1)()ax ax a ≥---1a =-()f a =．……10分 学科*网。

宝山2016学年第二学期高三数学教学质量检测试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1:6题每题4分，第7:12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1.若集合{}|0A x x =>，{}|1B x x =<，则A B ⋂=____________2.已知复数z1z i ⋅=+（i 为虚数单位），则z =____________ 3.函数()sin cos cos sin x x f x x x=的最小正周期是____________4.已知双曲线()2221081x y a a -=>的一条渐近线方程3y x =，则a =____________ 5.若圆柱的侧面展开图是边长为4的正方形，则圆柱的体积为____________6.已知,x y 满足0220x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最大值是____________7.直线12x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数）与曲线3cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）的交点个数是____________8.已知函数()()()220log 01xx f x x x ⎧≤⎪=⎨<≤⎪⎩的反函数是()1f x -，则12f -1⎛⎫= ⎪⎝⎭____________9.设多项式()()()()23*11110,nx x x x x n N ++++++++≠∈L 的展开式中x 项的系数为n T ，则2limnn T n →∞=____________10.生产零件需要经过两道工序，在第一、第二道工序中产生的概率分别为0.01和p ，每道工序产生废品相互独立，若经过两道工序得到的零件不是废品的概率是0.9603，则p =____________11.设向量()(),,,m x y n x y ==-u r r ，P 为曲线()10m n x ⋅=>u r r上的一个动点，若点P 到直线10x y -+=的距离大于λ恒成立，则实数λ的最大值为____________12.设1210,,,x x x L 为1,2,L ,10的一个排列，则满足对任意正整数,m n ，且110m n ≤<≤，都有m n x m x n +≤+成立的不同排列的个数为____________二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13.设,a b R ∈，则“4a b +>”是“1a >且3b >”的（ ） A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件14.如图，P 为正方体1111ABCD A B C D -中1AC 与1BD 的交点，则PAC V 在该正方体各个面上的射影可能是（ ）A. ①②③④B.①③C. ①④D.②④15.如图，在同一平面内，点P 位于两平行直线12,l l 同侧，且P 到12,l l 的距离分别为1，3.点,M N 分别在12,l l 上，8PM PN +=u u u u r u u u r ，则PM PN ⋅u u u u r u u u r的最大值为（ ）A. 15B. 12C. 10D. 916.若存在t R ∈与正数m ，使()()F t m F t m -=+成立，则称“函数()F x 在x t =处存在距离为2m 的对称点”，设()()20x f x x xλ+=>，若对于任意()2,6t ∈，总存在正数m ，使得“函数()f x 在x t =处存在距离为2m 的对称点”，则实数λ的取值范围是（ ）A. (]0,2B. (]1,2C. []1,2D. []1,4三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.（本题满分14分，第1小题满分8分，第2小题满分6分）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是线段BC 、1CD 的中点. （1）求异面直线EF 与1AA 所成角的大小； （2）求直线EF 与平面11AA B B 所成角的大小.18.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）已知抛物线()220y px p =>，其准线方程为10x +=，直线l 过点()(),00T t t >且与抛物线交于A 、B 两点，O 为坐标原点.（1）求抛物线方程，并证明：OA OB ⋅u u u r u u u r的值与直线l 倾斜角的大小无关；（2）若P 为抛物线上的动点，记PT 的最小值为函数()d t ，求()d t 的解析式.19.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）对于定义域为D 的函数()y f x =，如果存在区间[](),m n D m n ⊆<，同时满足：①()f x 在[],m n 内是单调函数；②当定义域是[],m n 时，()f x 的值域也是[],m n 则称函数()f x 是区间[],m n 上的“保值函数”.（1）求证：函数()22g x x x =-不是定义域[]0,1上的“保值函数”；（2）已知()()2112,0f x a R a a a x=+-∈≠是区间[],m n 上的“保值函数”，求a 的取值范围.20.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分） 数列{}n a 中，已知()12121,,n n n a a a a k a a ++===+对任意*n N ∈都成立，数列{}n a 的前n 项和为n S .（这里,a k 均为实数） （1）若{}n a 是等差数列，求k ； （2）若11,2a k ==-，求n S ; （3）是否存在实数k ，使数列{}n a 是公比不为1的等比数列，且任意相邻三项12,,m m m a a a ++按某顺序排列后成等差数列？若存在，求出所有k 的值；若不存在，请说明理由.21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 设T Ü,R 若存在常数0M >，使得对任意t T ∈，均有t M ≤，则称T 为有界集合，同时称M 为集合T 的上界.（1）设121|,21x xA y y x R ⎧⎫-==∈⎨⎬+⎩⎭、21|sin 2A x x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，试判断1A 、2A 是否为有界集合，并说明理由；（2）已知()2f x x u =+，记()()()()()()11,2,3,n n f x f x f x f f x n -===L.若m R ∈，1,4u ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，且(){}*|n B f m n N =∈为有界集合，求u 的值及m 的取值范围；（3）设a 、b 、c 均为正数，将()2a b -、()2b c -、()2c a -中的最小数记为d ，是否存在正数()0,1λ∈，使得λ为有界集合222{|,dC y y a b c==++a 、b 、c 均为正数}的上界，若存在，试求λ的最小值；若不存在，请说明理由.参考答案1.(0,1)2.13. π4.35. 5.16. 37. 28. 1-9.1210. 0.03 12.512 13. B14. C15.A16.A17. （1） （2）arctan 218.（1）24y x =，证明略（2）2)(t),(0t 2)d t ⎧≥⎪=⎨<<⎪⎩19. （1）证明略（2）12a >或32a <-20. （1）12k =（2）2(21,),(2,)n n n k k N S n n k k N **⎧-=-∈=⎨=∈⎩（3）25k =-21.（1）1A 为有界集合，上界为1；2A 不是有界集合 （2）14u =，11,22m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ （3）15λ=解析：（2）设()()011,,,1,2,3,...n n a m a f m a f a n -====，则()n n a f m =∵()2114a f m m u ==+≥，则222111111024a a a a u a u ⎛⎫-=-+=-+-≥ ⎪⎝⎭且211111024n n n n n a a a u a a ---⎛⎫-=-+-≥⇒≥ ⎪⎝⎭若(){}*|N n B f m n =∈为有界集合，则设其上界为0M ，既有*0,N n a M n ≤∈∴()()()112211112211......n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a ------=-+-++-+=-+-++-+2222121111111...242424n n a u a u a u m u --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-++-+-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭222212111111...22244n n a a a m n u u n u u --⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-++-+≥-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦若0n a M ≤恒成立，则014n u u M ⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭恒成立，又11044u u ≥⇒-≥ ∴14u =，∴()214f x x =+ 设12m λ=+（i ）0λ>，则()22101011112422a a f m m a a λλλ⎛⎫⎛⎫-=-=++-+=⇒>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴111...2n n a a a m ->>>>>记()()212g x f x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，则当1212x x >>时，()()12g x g x >∴()()()2111110n n n n n g a f a a a a g m a a λ----=-=->=-=∴()211n a a n λ>+-，若0na M ≤恒成立，则0λ=，矛盾。

上海市2016—2017年 高三下十二校联考数学试卷2017.03一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1. 已知集合(){}|lg 2A x y x ==-，集合{|B y y ==，则A B = . 2. 若不等式162x a<-的解集为()1,-+∞，则实数a = . 3.函数()()22f x x x =<-的反函数是 .4.若()12(,,ai i bi a b R i +=-∈是虚数单位），则a bi += . 5．如图是底面半径为1，母线长为2的圆锥和圆柱的组合体，则该组合体的体积为 .6.若圆221x y +=与直线2x a t y t=+⎧⎨=⎩（参数t R ∈）相切，则实数a = .7.变量,x y 满足约束条件222y x x y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则22z x y =+的最大值是 .8.{}n a 是无穷数列，若{}n a 是二项式()()12nx n N *+∈展开式各项系数和，则12111lim n n a a a →∞⎛⎫+++= ⎪⎝⎭ . 9.如图，圆O 与x 轴正半轴交点为A,点B,C 在圆O 上，圆C 在第一象限，且43,,,1,55B AOC BC α⎛⎫-∠== ⎪⎝⎭则5cos 6πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭.10.现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色至少1张，则不同取法的种数为 .11.如图，已知点()2,0P ，且正方形ABCD 内接于22:1,,O x y M N += 分别为边AB,BC 的中点，当正方形ABCD 绕圆心O 旋转时，PM ON ⋅的取值范围是为 .12.已知函数()()sin 0,,24f x x x ππωϕωϕ⎛⎫=+>≤=- ⎪⎝⎭为()f x 的零点，4x π=为函数()y f x =的对称性，且()f x 在5,1836ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则ω的最大值为 .二、选择题：13．已知二元一次方程组的增广矩阵为421m m m m +⎛⎫⎪⎝⎭，若此方程组无实数解，则实数m 的值为A. 2m =±B. 2m =C. 2m =-D. 2m ≠±14．一个几何体的主视图和左视图如图所示，则这个几何体的俯视图不可能是15．已知动点(),P x y 满足3411x y =+-，则点P 的轨迹是A. 直线B. 抛物线C. 双曲线D.椭圆16．已知两个不相等的非零向量,a b，两组向量均由1234,,,x x x x 和1234,,,y y y y 均由2个a 和2个b 排列而成，记11223344min ,S x y x y x y x y S =⋅+⋅+⋅+⋅ 表示S 所有可能取值中的最小值，则下列命题中正确的个数为（ ）①S 有3个不同的值；②若a b ⊥ ，则min S 与b 无关；③若//a b ，则min S 与b无关；④若2min 2,4b a S a == ，则a 与b 的夹角为3πA. 0B. 1C. 2D. 3三、解答题：解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.长方体1111ABCD A BC D -中，底面ABCD 是正方形，12,1,AA AB E ==是1DD 上的一点：（1）求异面直线AC 与1B D 所成的角；（2）.若1B D ⊥平面ACE ，求三棱锥A CDE -的体积18.已知函数())1cos cos ,,02f x x x x x R ωωωω=+-∈>，若()f x 的最小正周期为4.π（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足()2cos cos a c B b C -=，求函数()f A 的取值范围.19.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的右焦点为(),0F c ，点2,3P ⎛ ⎝⎭在椭圆上： （1）求椭圆C 的方程；（2）过点F 的直线l 交椭圆C 于A,B 两点，点M 在椭圆C 上,坐标原点O 恰好为ABM ∆的重心，求直线l 的方程.20.已知函数()42x x f x =-，实数,s t 满足()()0,22,2s t s t f s f t a b ++==+=. （1）当函数()f x 的定义域为[]1,1-时，求()f x 的值域； （2）求函数关系式()b g a =，并求函数()g a 的定义域D ；（3）在（2）的结论中，对任意1x D ∈，都存在[]21,1x ∈-，使得()()12g x f x m =+成立，求实数m 的取值范围.21.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()22n n S a n N *=-∈. （1）求数{}n a 列的通项公式；；（2）若数列{}n b 满足()1312231*********n n nn b b b b a +=-+-+-++++ ， 求{}n b 的通项公式；（3）在（2）的条件下，设2n n n c b λ=+，问是否存在实数λ，使得数列{}()n c n N *∈是单调递增数列？若存在，求出λ的取值范围；若不存在，请说明理由.。