第三十六讲 不等式的性质、一元二次不等式的解法

第3节 不等式的性质、一元二次不等式1.梳理不等式的性质,理解不等式的性质,掌握不等式的性质.2.会结合一元二次函数的图象,判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数,了解函数的零点与方程根的关系.3.经历从实际背景中抽象出一元二次不等式的过程,了解一元二次不等式的现实意义,能借助一元二次函数的图象求解一元二次不等式,并能用集合表示一元二次不等式的解集.4.借助一元二次函数的图象,了解一元二次不等式相应的函数、方程的联系.1.两个实数大小比较的基本事实{a -b >0⇔a b (a ,b ∈R ),a -b =0⇔a b (a ,b ∈R ),a -b <0⇔a b (a ,b ∈R ). 2.不等式的基本性质3.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如表所示1.涉及实数的倒数有关的结论 (1)a>b,ab>0⇒1a <1b .(2)a<0<b ⇒1a <1b.(3)a>b>0,0<c<d ⇒a c >bd.(4)0<a<x<b或a<x<b<0⇒1b <1x<1a.2.两个重要不等式(1)若a>b>0,m>0,则ba <b+ma+m.(2)已知a,b均为正数,s,t均为正整数,则a s+t+b s+t≥a s b t+a t b s.1.不等式-x2-5x+6≥0的解集为( )A.{x|-6≤x≤1}B.{x|2≤x≤3}C.{x|x≥3或x≤2}D.{x|x≥1或x≤-6}2.下列四个命题中为真命题的是( )A.若a>b,则ac2>bc2B.若a>b,c>d,则a-c>b-dC.若a>|b|,则a2>b2D.若a>b,则1a <1 b3.一元二次不等式ax2+bx+1>0的解集为{x|-1<x<13},则ab的值为( )A.-5B.5C.-6D.64.已知f(x)=x2+4x+1+a,∀x∈R,f(f(x))≥0恒成立,则实数a的取值范围为( )A.[√5-12,+∞} B.[2,+∞) C.[-1,+∞) D.[3,+∞)5.某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y=3000+20x-0.1x2(0<x<240,x∈N),若每台产品的售价为25万元,则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是台.不等式的性质及其应用1.已知a>0>b,则下列不等式一定成立的是( )A.a2>b2B.ab>b2C.ln|ab|>0 D.2a-b>12.已知实数x,y,z满足x2=4x+z-y-4且x+y2+2=0,则下列关系成立的是( )A.y>x≥zB.z≥x>yC.y>z≥xD.z≥y>x3.已知-1<x<4,2<y<3,则x-2y的取值范围是,3x+4y的取值范围是.4.已知-1≤x+y ≤1,1≤x-y ≤3,则3x-2y 的取值范围是 .1.根据不等式的性质判断不等式是否成立的方法主要是利用不等式的性质或特殊值法,而对于待比较的不等式的两端可以化为相同的函数的形式,可以利用构造函数,利用函数的单调性进行判断.2.当两个数(或式子)正负未知且为多项式时,用作差法,作差时要注意变形技巧.3.已知x,y 的范围,求由ax,by(ab ≠0)通过加、减、乘、除构成的运算式子的范围时,可利用不等式的性质直接求解.4.已知由ax,by(ab ≠0)通过加、减、乘、除构成的运算式子的范围,求解形如cx ±dy(cd ≠0)的范围问题时,要利用待定系数法,将cx ±dy 用已知条件的关系式整体代换.此种类型中不要直接求出x,y 的范围后求cx ±dy 的范围,由于a>b,c>d ⇒a+c>b+d 不是可逆的,因此容易出现错解.一元二次不等式的解法及其应用角度一 不含参数的一元二次不等式不等式-3<4x-4x 2≤0的解集为( ) A.{x|-12<x<32} B.{x|-12<x ≤0或1≤x ≤32}C.{x|1≤x<32} D.{x|-12<x ≤0或1≤x<32}a ≤f(x)≤b 等价于{f (x )≥a ,f (x )≤b .角度二 一元二次不等式与一元二次方程的关系(多选题)已知关于x 的不等式ax 2+bx+c>0的解集为(-1,3),则下列说法正确的是 A.a>0 B.bx-c>0的解集是{x|x>32}C.cx 2+ax-b>0的解集是{x|x<-23或x>1} D.a+b<c1.一元二次方程的根就是相应一元二次函数的零点,也是相应一元二次不等式解集的端点值.2.给出一元二次不等式的解集,相当于知道了相应二次函数图象的开口方向及与x 轴的交点,可以利用代入根或根与系数的关系求待定 系数.角度三 含参数的一元二次不等式解关于x 的不等式:ax 2+(2-4a)x-8>0.1.一般地,在解含参数的一元二次型不等式时,若所给不等式能够直接通过因式分解求出方程的根,则需要从如下两个方面进行考虑: (1)关于不等式类型的讨论:二次项系数a>0,a<0,a=0. (2)关于不等式对应的方程根的大小的讨论:x 1>x 2,x 1=x 2,x 1<x2.2.若含参数的不等式对应的二次方程的判别式含参数,主要对关于不等式对应的方程是否有根进行讨论. [针对训练](1)不等式组{x 2-1<0,x 2-3x ≥0的解集是( )A.{x|-1<x<1}B.{x|1<x ≤3}C.{x|-1<x ≤0}D.{x|x ≥3或x<1} (2)设函数f(x)={x 2-4x +6,x ≥0,x +6,x <0,则不等式f(x)>f(1)的解集是( )A.(-3,1)∪(3,+∞)B.(-3,1)∪(2,+∞)C.(-1,1)∪(3,+∞)D.(-∞,-3)∪(1,3) (3)(多选题)对于给定实数a,关于x 的一元二次不等式a(x-a)(x+1)>0的解集可能为 A.R B.(-1,a ) C.(a,-1) D.(-∞,-1)∪(a,+∞)一元二次不等式恒成立问题角度一 一元二次不等式在R 上的恒成立问题若不等式2kx 2+kx-38<0对一切实数x 都成立,则k 的取值范围为( )A.(-3,0)B.[-3,0)C.[-3,0]D.(-3,0]一元二次不等式恒成立的条件(1)ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立的充要条件是{a>0,b2-4ac<0.(2)ax2+bx+c<0(a≠0)恒成立的充要条件是{a<0,b2-4ac<0.角度二一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题的求解方法若对任意的x∈[-1,2],都有x2-2x+a≤0(a为常数),则a的取值范围是( ) A.(-∞,-3] B.(-∞,0] C.[1,+∞) D.(-∞,1]一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题的求解方法(1)最值转化法:若f(x)>0在集合A中恒成立,则函数y=f(x)在集合A中的最小值大于0.(2)分离参数转化为函数的值域问题,即已知函数f(x)的值域为[m,n],则f(x)≥a恒成立⇒f(x)min≥a,即m≥a;f(x)≤a恒成立⇒f(x)max≤a,即n≤a.角度三一元二次不等式的有解问题若关于x的不等式x2-4x-2-a>0在区间(1,4)内有解,则实数a的取值范围是A.(-∞,-2) B.(-∞,-2] C.(-6,+∞) D.(-∞,-6)一元二次不等式在给定区间上的有解问题,常用分离参数的方法,通过分离参数后利用:a>f(x)在区间[m,n]上有解,则a>f(x)min,a<f(x)在区间[m,n]上有解,a<f(x)max.(对于a≥f(x),a≤f(x)可类似处理)[针对训练](1)若存在实数x∈[2,4],使x2-2x+5-m<0成立,则m的取值范围为( )A.(13,+∞)B.(5,+∞)C.(4,+∞)D.(-∞,13)(2)若关于x的一元二次不等式ax2+2ax+1>0的解集为R,则实数a的取值范围是.(3)若对于任意的x∈[0,2],不等式x2-2ax-1≤0恒成立,则实数a的取值范围是.。

解一元二次不等式的方法总结一元二次不等式是数学中的一个重要概念，它可以用来描述一个二次函数的特性以及不等关系。

解一元二次不等式是解决实际问题和数学推理的基础，本文将总结几种常见的方法来解一元二次不等式。

一、图像法通过绘制一元二次不等式的函数图像来解决问题是一种直观且易于理解的方法。

首先，将一元二次不等式转化为一元二次方程，在坐标系中绘制该二次函数的图像。

然后，通过分析图像的形状和位置，确定不等式的解集。

二、配方法当一元二次不等式比较复杂时，可以尝试使用配方法来进行求解。

配方法的步骤如下：1. 将一元二次不等式中含有二次项的部分进行配方，使得方程转化为一个完全平方。

2. 对配方后的方程进行简化和变形，得到简化后的一元二次不等式。

3. 根据一元二次不等式的特性来确定解集。

三、分析法分析法适用于一元二次不等式中存在一些特殊的性质或者限制条件的情况。

通过分析不等式中的系数、常数、变量的范围等相关因素，来确定解集。

四、代入法代入法是一种简单但有效的方法，适用于一元二次不等式解集比较明显的情况。

通过将解集的边界值代入原始的一元二次不等式中，判断不等式的真假，从而确定解集。

五、区间法区间法是一种基于区间的求解方法，通过将一元二次不等式转化为区间的交集或并集来求解。

首先，将不等式转化为一个区间表示形式，然后利用区间的性质进行求解。

六、图像与代数相结合法有时候，利用图像法和代数法结合可以更好地解决一元二次不等式的问题。

首先，通过图像法确定不等式的大致解集，然后再通过代数方法进一步精确地确定解集。

综上所述，解一元二次不等式有多种方法，包括图像法、配方法、分析法、代入法、区间法以及图像与代数相结合法。

在实际问题中，根据具体情况选择合适的方法来解决不等式问题。

通过灵活运用这些方法，可以更准确地找到一元二次不等式的解集。

2.2.3 一元二次不等式的解法6种常见考法归类1、一元二次不等式的概念一般地，形如ax 2＋bx ＋c >0的不等式称为一元二次不等式，其中a ，b ，c 是常数，而且a ≠0.一元二次不等式中的不等号也可以是“<”“≥”“≤”等．注：一元二次不等式的二次项系数a 有a >0和a <0两种，注意aa <0时，我们通常将不等式两边同乘以－1，化为二次项系数大于0的一元二次不等式，但要注意不等号要改变方向，这样我们只需要研究二次项系数大于0的一元二次不等式．2、一元二次不等式的解法（1）用因式分解法解一元二次不等式一般地，如果x 1<x 2，则不等式(x －x 1)(x －x 2)<0的解集是(x 1，x 2)，不等式(x －x 1)(x －x 2)>0的解集是(－∞，x 1)∪(x 2，＋∞).①这种方法只有在一元二次不等式左边能够因式分解(一般用十字相乘法)时才能使用，简记为“小于零取中间，大于零取两边”．②因式分解法就是将一元二次不等式转化为两个一元一次不等式组来求解．依据是：ab >0当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b >0 或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，b <0 ；ab <0当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a <0，b >0 或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b <0.（2）用配方法解一元二次不等式一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)通过配方总是可以变为(x －h )2>k 或(x －h )2<k 的形式，然后根据k 的正负等知识，就可以得到不等式的解集．注：(1)因式分解法只适用于特殊类型的一元二次不等式，一般的一元二次不等式可以通过配方法求得解集．(2)用配方法解一元二次不等式的关键是熟练掌握二次三项式的配方技巧．3、二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系4、简单分式不等式的解法分式不等式的概念分母中含有未知数的不等式称为分式不等式．注：当分式不等式等价转化为整式不等式时，其分母不为零最容易被忽略，这一点一定要注意．5、求解可化成ax2＋bx＋c>0(a>0)形式的不等式为例，用框图表示其求解过程：6、一元二次不等式的解法：(1)图像法：一般地，当a＞0时，解形如ax2＋bx＋c＞0(≥0)或ax2＋bx＋c＜0(≤0)的一元二次不等式，一般可分为三步：∪确定对应方程ax2＋bx＋c＝0的解；∪画出对应函数y＝ax2＋bx＋c的图像简图；∪由图像得出不等式的解集．对于a＜0的一元二次不等式，可以直接采取类似a＞0时的解题步骤求解；也可以先把它化成二次项系数为正的一元二次不等式，再求解．(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解，当p ＜q 时，若(x －p)(x －q)＞0，则x ＞q 或x ＜p ；若(x －p)(x －q)＜0，则p ＜x ＜q.有口诀如下“大于取两边，小于取中间”．7、含参数一元二次不等式求解步骤(1)讨论二次项系数的符号，即相应二次函数图像的开口方向； (2)讨论判别式的符号，即相应二次函数图像与x 轴交点的个数； (3)当Δ>0时，讨论相应一元二次方程两根的大小；(4)最后按照系数中的参数取值范围，写出一元二次不等式的解集．8、三个“二次”之间的关系一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系，在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换．(1)若一元二次不等式的解集为区间的形式，则区间的端点值恰是对应一元二次方程的根，要注意解集的形式与二次项系数的联系．(2)若一元二次不等式的解集为R 或∪，则问题可转化为恒成立问题，此时可以根据二次函数图像与x 轴的交点情况确定判别式的符号，进而求出参数的范围．9、简单的分式不等式的解法对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零．对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．注：设A 、B 均为含x 的多项式 （1）00>⇔>A AB B （2）00<⇔<AAB B（3）000≥⎧≥⇔⎨≠⎩AB A B B （4）000≤⎧≤⇔⎨≠⎩AB AB B 10、解不等式应用题的四步骤(1)审：认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系． (2)设：引进数学符号，用不等式表示不等关系． (3)求：解不等式． (4)答：回答实际问题．特别提醒：确定答案时应注意变量具有的“实际含义”．考点一 解不含参数的一元二次不等式 考点二 含参数的一元二次不等式的解法 考点三 利用不等式的解集求参数考点四 简单的分式不等式的解法 考点五 一元二次不等式的恒成立有解问题 考点六 一元二次不等式的实际应用考点一 解不含参数的一元二次不等式1．（2023秋·安徽合肥·高二校考学业考试）不等式(1)(2)0x x -+>的解集为（ ） A ．{2x x <-或1}x >B ．{21}x x -<<C ．{12}x x <<D ．{1x x <或2}x >2．（2023秋·广东佛山·高一佛山市第二中学校考开学考试）解下列一元二次不等式： (1)23710x x -≤； (2)2104x x -+<； (3)2340x x -+>．3．（2023·上海·高一专题练习）解下列不等式： （1）22310x x -+-<； （2）()2160x -->；（3）2260340x x x x ⎧--≤⎨+-<⎩4．（2023秋·高一校考课时练习）解下列不等式： （1）22320x x --> （2）2350x x -+>（3）2620x x --+≥ （4）2414x x -≥-5．（2023春·福建福州·高二福建省福州延安中学校考学业考试）不等式24410x x -+<的解集为 A ．1(,]2-∞B ．11,,22⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．12⎧⎫⎨⎬⎩⎭D ．∅6．【多选】（2023秋·江苏淮安·高一校考阶段练习）下列四个不等式中，解集为∅的是（ ） A ．210x x -++≤ B ．22340x x -+<C ．2690x x ++≤D ．2440(0)x x a a a ⎛⎫-+-+>> ⎪⎝⎭考点二 含参数的一元二次不等式的解法7．（2023·全国·高一假期作业）若01a <<，解不等式()10a x x a ⎛-⎫ ⎪⎝⎭->．8．（2023·江苏·高一假期作业）解关于x 的不等式()()2231220x a x a --+->9．（2023秋·高一校考课时练习）解关于x 的不等式: ()22110ax a x a -+++<.10．（2023秋·北京·高一北京市第五十中学校考阶段练习）解不等式()2110ax a x -++>.11．（2023秋·北京西城·高一北京铁路二中校考期中）设a ∈R ，解关于x 的不等式：()2330ax a x -++≤．12．（2023秋·黑龙江鹤岗·高一鹤岗一中校考期中）已知222()(1)2(1)f x ax a x a =-+++，a ∈R ，求关于x 的不等式()0f x ≥的解集.考点三 利用不等式的解集求参数13．（2023秋·福建福州·高一福州三中校考阶段练习）已知不等式20x ax b ++<的解集是{}24x x -<<，则a b +=（ ）A ．-10B ．-6C ．0D ．214．（2023秋·福建泉州·高一校考阶段练习）若关于x 的不等式220x x a -+<的解集是{|2}x b x <<，则a b += （ ）A ．1-B ．152-C ．92-D ．9-15．【多选】（2023·黑龙江佳木斯·佳木斯一中校考模拟预测）已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为()(),23,-∞-⋃+∞，则下列选项中正确的是（ ）A ．a<0B ．不等式0bx c +>的解集是{}|6x x <-C ．0a b c ++>D ．不等式20cx bx a -+<的解集为11(,)(,)32-∞-⋃+∞16．（2023秋·河南南阳·高一校考阶段练习）关于x 的不等式20ax bx c ++<的解集为()3,1-，则不等式20bx ax c ++<的解集为（ ）A ．()1,2?B ．1,2C ．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭17．（2023秋·广西柳州·高一柳铁一中校联考阶段练习）已知关于x 的不等式mx n >的解集是{}<2x x ，则关于x 的不等式()()30mx n x +->的解集是（ ）A ．{|2x x <或3}x >B ．{}2<<3x xC ．{|2x x <-或3}x >D ．{}2<<3x x -18．（2023秋·江苏常州·高一江苏省前黄高级中学校考期中）已知函数()243f x ax x =++.(1)若关于x 的不等式()0f x >的解集是(),1b ，求,a b 的值. (2)若0a >，求关于x 的不等式()1f x ax >--的解集.19．（2023秋·湖南永州·高二统考阶段练习）若不等式20x x c +-≤的解集为[]2,1-，则c = .20．（2023·全国·高三专题练习）若不等式()210x a x a -++≤的解集是[]4,3-的子集，则a 的范围是（ ）A ．[－4，3]B ．[－4，2]C ．[－1，3]D ．[－2，2]21．【多选】（2023春·浙江温州·高二统考学业考试）关于x 的不等式22(12)20ax a x a +--<的解集中恰有3个正整数解，则a 的值可以为（ ）A ．1-B ．32C ．74D ．2考点四 简单的分式不等式的解法22．（2023秋·云南曲靖·高一校考阶段练习）不等式302x x +>+的解集是 ．23．（2023秋·陕西渭南·高二统考期末）不等式102xx-≥+的解集为 ． 24．（2023秋·河南商丘·高一统考期中）不等式3102x x +≤- 的解集是 ． 25．（2023·全国·高三对口高考）已知集合3442x P xx ⎧⎫+=≥⎨⎬-⎩⎭，则P = ． 26．（2023秋·陕西西安·高三西北工业大学附属中学校考阶段练习）解不等式： (1)2450x x -++>； (2)2221x ax a -≤-+； (3)132x x+≥-. 考点五 一元二次不等式的恒成立有解问题27．（2023秋·高一单元测试）设()()212=--+-∈y x a x a a R .(1)若不等式()2122--+-≥-x a x a 对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围;(2)解关于x 的不等式()2120--+-<x a x a .28．（2023春·江苏南京·高二南京市中华中学校考阶段练习）设()()212f x ax a x a =+-+-． (1)若不等式()2f x ≥-对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围； (2)解关于x 的不等式()()1R f x a a <-∈．29．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨三中校考阶段练习）已知函数()()()2124f x m x mx m m =+-+-∈R ．(1)若不等式()0f x <的解集为R ，求m 的取值范围； (2)解关于x 的不等式()f x m ≥．30．（2023秋·四川遂宁·高一射洪中学校考阶段练习）设2(1)2y ax a x a =+-+-． (1)若不等式2y ≥-对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围；(2)解关于x 的不等式()2(1)10R ax a x a +--<∈．31．（2023·高一课时练习）已知函数()()2322f x x a x a b =+-+++，a ，b ∈R .(1)若关于x 的不等式()0f x >的解集为{4x x <-或}2x >，求实数a ，b 的值； (2)若关于x 的不等式()f x b ≤在[]1,3x ∈上有解，求实数a 的取值范围；(3)若关于x 的不等式()12f x b <+的解集中恰有3个整数，求实数a 的取值范围．考点六 一元二次不等式的实际应用32．（2023秋·高一校考单元测试）某小型雨衣厂生产某种雨衣，售价P （单位：元/件）与月销售量x （单位：件）之间的关系为1602P x =-，生产x 件的成本（单位：元）50030R x =+.若每月获得的利润y （单位：元）不少于1300元，则该厂的月销售量x 的取值范围为（ ）A ．()20,45B ．[)20,45C ．(]20,45D ．[]20,4533．（2023·全国·高一假期作业）某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x （件）与单价P （元）之间的关系为1602P x =-，生产x 件所需成本为C （元），其中()50030C x =+元，若要求每天获利不少于1300元，则日销售量x 的取值范围是（ ）.A ．{}2030,N x x x +≤≤∈B ．{}2045,N x x x +≤≤∈C ．{}1530,N x x x +≤≤∈D ．{}1545,N x x x +≤≤∈34．（2023春·河南安阳·高二林州一中校考阶段练习）某地每年消耗木材约20万立方米，每立方米售价480元，为了减少木材消耗，决定按%t 征收木材税，这样，每年的木材消耗量减少52t 万立方米，为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于180万元，t 的取值范围是（ ）A ．[]1,3B ．[]2,4C ．[]3,5D ．[]4,635．（2023秋·四川绵阳·高一绵阳中学校考阶段练习）某种衬衫进货价为每件30元，若以40元一件出售，则每天能卖出40件；若每件提价1元，则每天卖出件数将减少一件，为使每天出售衬衫的净收入不低于525元，则每件衬衫的售价的取值范围是 ．(假设每件衬衫的售价是m )。

⎩⎨⎧<+<-⎩⎨⎧>+>-01030103x x x x 或将问题转化为我们学过的一元一次不等式组。

于是可得到原不等式的解集 }31|{>-<x x x 或解法二、利用数轴 ， －1、3将数轴分成三个部分，当3>x 时，01,03>+>-x x 所以0)1)(3(>+-x x当31<<-x 时，01,03>+<-x x 所以0)1)(3(<+-x x 当1-<x 时，01,03<+<-x x 所以0)1)(3(>+-x x可得原不等式的解集 }31|{>-<x x x 或还可得到0)1)(3(<+-x x 解集为}31|{<<-x x 。

解法三、利用二次函数图像求此不等式的的解集也可看作求二次函数322--=x x y 取正值时的取值范围，即求该二次函数的图像 在轴上方时的取值范围。

我们知道，二次函数322--=x x y 的图像是一条开口向上的抛物线，它与轴有两个交点，由方程0322=--x x 的解可得交点的横坐标分别是1-=x ，3=x ，容易看出，当31>-<x x 或时上述函数的图像在轴上方，0322>--x x ；当31<<-x 时，上述函数的图像在轴下方，即0322<--x x ，于是可得不等式解集为}31|{<<-x x 。

[说明]解法一中解两个一元一次不等式组中涉及的“或”和“且”的关系可用集合中的交集和并集来说明。

解法三利用二次函数的图象更加直观，清晰，是高中阶段解一元二次不等式的主要方法。

例1．利用二次函数图像解下列不等式。

（1）0322<--x x（2）0442>+-x x练习:解下列不等式：（1）2x-3x-20 （2）-3x+x+1>0 (3)9x+6x+1>0 (4)4x-x<5 (5)2x+x+10（二）一元二次不等式的解法一般的一元二次不等式可利用一元二次方程02=++c bx ax 与二次函数c bx ax y ++=2的有关性质求解，具体见下表：0>a ，ac b 42-=∆0>∆ 0=∆ 0<∆ 二次函数c bx ax y ++=2的图象一元二次方程 02=++c bx ax的根有两实根21x x x x ==或 有两个相等的实根ab x x x 221-===无实根一元二次不等式的解集不等式02>++c bx ax的解集 }|{21x x x x x ><或}|{1x x x ≠R不等式02<++c bx ax的解集}|{21x x x x <<Φ Φ【注意】1．解一元二次不等式的步骤： （1） 把二次项的系数变为正的．（如果0<a ，那么在不等式两边都乘以，把系数变为正）（2） 解对应的一元二次方程．（先看能否因式分解，若不能，再看△，然后求根） （3） 求解一元二次不等式．（根据一元二次方程的根及不等式的方向）2．当0>a 且0>∆时，定一元二次不等式的解集的口诀：“小于号取中间，大于号取两边” 。

一元二次不等式的求解方法一元二次不等式是高中数学中的重要知识点之一，掌握其求解方法对于解决数学题目和实际问题非常重要。

本文将介绍一元二次不等式的基本概念及其求解方法，帮助读者更好地理解和应用这一知识。

一、一元二次不等式的基本概念一元二次不等式是形如ax^2 + bx + c > 0（或< 0）的不等式，其中a、b、c为已知实数，且a≠0。

其解集表示x的取值范围，以使得不等式成立。

解一元二次不等式的关键在于确定x的取值范围。

二、一元二次不等式的求解方法1. 图示法通过绘制一元二次函数的图像，可以直观地得到不等式的解集。

首先，将不等式化为等式ax^2 + bx + c = 0，求解得到方程的根，记为x1和x2。

然后，根据抛物线的凹凸性质和与x轴的交点情况，得到不等式的解集。

- 当a > 0时，抛物线开口向上，解集为x ∈ (-∞, x1) ∪ (x2, +∞)。

- 当a < 0时，抛物线开口向下，解集为x ∈ (x1, x2)。

2. 辅助函数法通过引入一个辅助函数来求解一元二次不等式。

根据不等式的性质，我们可以构造一个与原不等式等价的辅助方程。

具体步骤如下：- 对于ax^2 + bx + c > 0，构造辅助函数f(x) = ax^2 + bx + c，将不等式转化为f(x) > 0的形式。

- 求解辅助方程f(x) = 0，得到方程的根，记为x1和x2。

- 根据辅助方程的根和函数的凹凸性质，确定不等式的解集。

3. 判别式法判别式法是一种常用的简化计算的方法，适用于某些特定的一元二次不等式。

通过求解方程ax^2 + bx + c = 0，得到判别式D = b^2 - 4ac。

- 当D > 0时，不等式有两个不相等的实根x1和x2，解集为x ∈ (-∞, x1) ∪ (x2, +∞)。

- 当D = 0时，不等式有两个相等的实根x1 = x2，解集为x ∈ (-∞,x1) ∪ (x1, +∞)。

一元二次不等式的解法一元二次不等式是数学中常见的问题类型，解决一元二次不等式可以帮助我们理解不等式的性质以及找到合适的解集。

本文将介绍一元二次不等式的解法，并以具体的例题展示解题过程。

一、基本概念在解决一元二次不等式之前，我们先来了解一下一元二次不等式的基本概念。

1. 一元二次不等式的形式一元二次不等式的一般形式为：ax² + bx + c > 0 或者 ax² + bx + c < 0，其中a、b、c为实数且a≠0。

2. 解的定义对于一元二次不等式 ax² + bx + c > 0，如果存在实数x使得 ax² + bx + c > 0 成立，则称x是一元二次不等式的解。

同理，对于一元二次不等式 ax² + bx + c < 0，如果存在实数x使得 ax² + bx + c < 0 成立，则称x是一元二次不等式的解。

二、解法一元二次不等式的解法主要有以下几种方式：图像法、分析法、公式法等。

1. 图像法使用图像法解决一元二次不等式，可以通过绘制一元二次函数的图像来帮助我们理解问题，并找到合适的解集。

例如，对于不等式 x² - 3x + 2 > 0，我们可以绘制函数 y = x² - 3x + 2 的图像，然后观察图像在x轴上的位置。

通过分析图像在x轴上方的部分，我们可以确定该不等式的解集。

2. 分析法分析法是一种较为常用的解一元二次不等式的方法，通过对不等式进行因式分解、配方法等运算，将不等式转化为易于判断的形式来求解。

例如，对于不等式 x² - 3x + 2 > 0，我们可以通过将其进行因式分解得到 (x - 1)(x - 2) > 0，进而找到满足 (x - 1)(x - 2) > 0 的解集。

3. 公式法公式法是一种直接利用一元二次方程求根公式来求解一元二次不等式的方法。

一元二次不等式的解法与应用一元二次不等式是数学中常见的问题之一，其解法和应用可以帮助我们解决各种实际问题。

本文将介绍一元二次不等式的解法以及如何应用这些解法解决实际问题。

一、一元二次不等式的解法解一元二次不等式的基本思路是将其转化为二次方程，并根据二次方程的性质求解。

具体而言，在解一元二次不等式时，我们可以先将不等式中的一项移项，使其整理为一个平方项与一个线性项的形式。

然后根据平方项的性质，我们可以通过求解对应的二次方程来找到不等式的解集。

举个例子来说明，假设我们要求解不等式x^2 - 4x + 3 > 0。

我们可以将其转化为二次方程x^2 - 4x + 3 = 0，并求出其根。

通过分析根的位置，我们可以得出x^2 - 4x + 3 > 0的解集为x < 1或x > 3。

除了这种基本的解法外，我们还可以利用一元二次不等式的性质进行推导和求解。

例如，根据二次函数图像的几何性质，我们可以根据一元二次不等式的系数来确定不等式的解集的范围。

二、一元二次不等式的应用一元二次不等式的应用非常广泛，它可以帮助我们解决各种实际问题。

接下来，我们将介绍一些实际问题，并利用一元二次不等式的解法进行求解。

1. 生产问题假设某公司从事产品生产，确定某一产品每天的销售量为x，销售价格为p(x)，销售成本为c(x)。

为了保证利润最大化，我们可以通过不等式p(x) - c(x) > 0来确定每天的最低销售量。

2. 函数图像问题假设我们需要绘制二次函数y = ax^2 + bx + c的图像，并且要指定函数图像在某一区间上的增减性。

我们可以通过求解不等式ax^2 + bx + c > 0或ax^2 + bx + c < 0来确定函数图像的增减性。

3. 优化问题假设我们需要在一定条件下寻找某个函数的最值。

可以通过求解函数的一元二次不等式来确定函数的极值点和取值范围。

这些只是一元二次不等式应用的一小部分例子，实际上，一元二次不等式的应用范围非常广泛。