备战新课标高考理科数学2020训练题：“12+4”小题提速练(六)

【精品】2020年全国高考数学考前冲刺模拟试卷含答案（理 科 ）注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。

2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在试卷上无效。

3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。

4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2020·桂林一模]已知集合()0,2A =，{}e 1,x B y y x ==+∈R ，则A B I （ ） A ．()0,2B ．()1,+∞C ．()0,1D ．()1,22．[2020·南宁适应]已知复数12i 1iz =-+-，则它的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为（ ）A ．()1,3--B ．()1,3-C ．()1,3D ．()1,3-3．[2020·云师附中]根据如图给出的2005年至2016年我国人口总量及增长率的统计图，以下结论不正确的是（ ）A ．自2005年以来，我国人口总量呈不断增加趋势B ．自2005年以来，我国人口增长率维持在0.5%上下波动C ．从2005年后逐年比较，我国人口增长率在2016年增长幅度最大D ．可以肯定，在2015年以后，我国人口增长率将逐年变大4．[2020·邯郸一模]位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥（如图所示）有“仙境之桥”之称，它的桥形可以近似地看成抛物线，该桥的高度为5m ，跨径为12m ，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为（ ）A ．25m 12B ．25m 6C ．9m 5D ．18m 55．[2020·安阳一模]已知向量()2,1=a ，4+=a b ，1⋅=a b ，则=b （ ） A ．2B ．3C ．6D ．126．[2020·张家界期末]如图是一个中心对称的几何图形，已知大圆半径为2，以半径为直径画出 两个半圆，在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）A ．π8B ．18C ．12D ．147．[2020·福州期中]某个团队计划租用A ，B 两种型号的小车安排40名队员（其中多数队员会开车且有驾驶证，租用的车辆全部由队员驾驶）外出开展活动，若A ，B 两种型号的小车均为5座车（含驾驶员），且日租金分别是200元/辆和120元/辆．要求租用A 型车至少1辆，租用B 型车辆数不少于A 型车辆数且不超过A 型车辆数的3倍，则这个团队租用这两种小车所需日租金之和的 最小值是（ ） A ．1280元B ．1120元C ．1040元D ．560元8．[2020·山西适应]正项等比数列{}n a 中，153759216a a a a a a ++=，且5a 与9a 的等差中项为4， 则{}n a 的公比是（ ）A ．1B ．2C 2D 29．[2020·玉溪一中]如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线和粗虚线画出的是某多面体的 三视图，则该多面体的体积为（ ）A ．43B ．83C ．23D ．410．[2020·海口调研]已知函数()f x 在[)3,+∞上单调递减，且()3f x +是偶函数，则()1.10.3a f =，()0.53b f =，()0c f =的大小关系是（ ）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．c b a >>D ．b a c >>11．[2020·泸州期末]已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为()1,0F c -、()2,0F c ，A ，B 是圆()2224x c y c ++=与双曲线C 位于x 轴上方的两个交点，且190AF B ∠=︒，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．21+B ．21+C ．221+D ．221+12．[2020·福建三模]设函数()()32,,,0f x ax bx cx a b c a =++∈≠R ．若不等式()()3xf x af x '-≤对一切x ∈R 恒成立，则3b ca -的取值范围为（ ） A ．1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．9,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．9,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．[2020·白银联考]已知函数()()24log 1,14,1x x f x x x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩．若()1f a =，则()f a =_____．14．[2020·六盘山一模]函数()()13cos sin 022f x x x ωωω=->的最小正周期为π，则函数在ππ,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内的值域为______． 15．[2020·福建模拟]我国古代数学家祖暅提出原理：“幂势既同，则积不容异”．其中“幂”是截面积，“势”是几何体的高．该原理的意思是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被任一平行于这两个平行平面的平面所截，若所截的两个截面的面积恒相等，则这两个几何体的体积相等．如图，在空间直角坐标系中的xOy 平面内，若函数()[)[]21,1,01,0,1x x f x x x ⎧-∈-⎪=⎨-∈⎪⎩的图象与x 轴围成一个封闭的区域A ，将区域A 沿z 轴的正方向平移8个单位长度，得到几何体如图一，现有一个与之等高的圆柱如图二，其底面积与区域A 的面积相等，则此圆柱的体积为________．16．[2020·雅礼中学]等差数列{}n a 的公差0d ≠，3a 是2a ，5a 的等比中项，已知数列2a ，4a ，1k a ，2k a ，L ，n k a ，L 为等比数列，数列{}n k 的前n 项和记为n T ，则29n T +=_______．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）[2020·四川诊断]如图，在ABC △中，已知点D 在BC 边上，且AD AC ⊥，27sin BAC ∠=，1AD =，7AB =． （1）求BD 的长； （2）求ABC △的面积．18．（12分）[2020·齐齐哈尔二模]某职业学校有2000名学生，校服务部为了解学生在校的月消费情况，随机调查了100名学生，并将统计结果绘成直方图如图所示．（1）试估计该校学生在校月消费的平均数；（2）根据校服务部以往的经验，每个学生在校的月消费金额x（元）和服务部可获得利润y（元），满足关系式10,20040030,40080050,8001200xy xx≤<⎧⎪=≤<⎨⎪≤≤⎩，根据以上抽样调查数据，将频率视为概率，回答下列问题：（i）将校服务部从一个学生的月消费中，可获得的利润记为ξ，求ξ的分布列及数学期望．（ii）若校服务部计划每月预留月利润的14，用于资助在校月消费低于400元的学生，估计受资助的学生每人每月可获得多少元？19．（12分）[2020·衡水二中]如图所示，在四面体ABCD中，AD AB⊥，平面ABD⊥平面ABC，2AB BC AC==，且4AD BC+=．（1）证明：BC⊥平面ABD；（2）设E为棱AC的中点，当四面体ABCD的体积取得最大值时，求二面角C BD E--的余弦值．20．（12分）[2020·保山统测]已知点)2,0Q，点P是圆(22:212C x y+=上的任意一点，线段PQ的垂直平分线与直线CP交于点M．（1）求点M的轨迹方程；（2）过点()3,0A-作直线与点M的轨迹交于点E，过点()0,1B作直线与点M的轨迹交于点(),F E F不重合，且直线AE和直线BF的斜率互为相反数，直线EF的斜率是否为定值，若为定值，求出直线EF的斜率；若不是定值，请说明理由．21．（12分）[2020·聊城一模]已知函数()()2ln 2f x a x x a x =+++．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）设0a <，若不相等的两个正数1x ，2x 满足()()12f x f x =，证明：1202x x f +⎛⎫'> ⎪⎝⎭．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】[2020·衡阳二模]在直角坐标系xOy 中，设P 为22:9O x y +=e 上的动点，点D 为P 在x 轴上的投影，动点M 满足2DM MP =u u u u r u u u r，点M 的轨迹为曲线C ．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin 6πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭()1,0A ρ，2π2,B ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭为直线l 上两点．（1）求C 的参数方程；（2）是否存在M ，使得M AB △的面积为8？若存在，有几个这样的点？若不存在，请说明理由．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】[2020·潍坊一模]已知函数()121f x x x =--+的最大值为t ． （1）求实数t 的值；（2）若()()21g x f x x =++，设0m >，0n >，且满足112t m n+=，求证：()()222g m g n ++≥．绝密 ★ 启用前数学答案一、选择题． 1．【答案】D【解析】因为e 11x y =+>，所以{}{}e 1,1x B y y x y y ==+∈=>R ， 又()0,2A =，所以()1,2A B =I ，故选D ． 2．【答案】A【解析】因为12i i i113z =-+-=-+，所以13i z =--，对应点的坐标为()1,3--，故选A ． 3．【答案】D【解析】解：由2005年至2016年我国人口总量及增长率的统计图，知： 在A 中，自2005年以来，我国人口总量呈不断增加趋势，故A 正确； 在B 中，自2005年以来，我国人口增长率维持在0.5%上下波动，故B 正确； 在C 中，从2005年后逐年比较，我国人口增长率在2016年增长幅度最大，故C 正确； 在D 中，在2015年以后，我国人口增长率将逐年变小，故D 错误． 故选D ． 4．【答案】D【解析】以桥顶为坐标原点，桥形的对称轴为y 轴建立直角坐标系xOy ，结合题意可知，该抛物线()220x py p =->经过点()6,5-，则3610p =，解得185p =，故桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为185p =．故选D ． 5．【答案】B【解析】∵4+=a b ，∴22216++⋅=a b a b ，∴2716+=b ，∴3=b ，故选B ． 6．【答案】D【解析】由题意知，大圆的面积为2π24πS =⋅=，阴影部分的面积为221π2ππ21S '⋅-⋅==， 则所求的概率为π14π4S P S '===．故选D ． 7．【答案】B【解析】设租用A 型车辆x 辆，租用B 型车辆y 辆，租金之和为z ，则135540x x y x x y ≥≤≤+≥⎧⎪⎨⎪⎩，200120z x y =+，作出可行域：求出区域顶点为()4,4，()2,6，将它们代入200120z x y =+，可得min 200212061120z =⨯+⨯=， 故选B ． 8．【答案】D【解析】由题意，正项等比数列{}n a 中，153759216a a a a a a ++=，可得()222337737216a a a a a a ++=+=，即374a a +=，5a 与9a 的等差中项为4，即598a a +=，设公比为q ，则()223748q a a q +==，则2q =（负的舍去），故选D ． 9．【答案】C【解析】画出三视图对应的原图如下图所示三棱锥1A BDE -．故体积为112122323⨯⨯⨯⨯=，故选C ．10．【答案】D【解析】由()3f x +是偶函数可得其图象的对称轴为0x =，所以函数()f x 的图象关于直线3x =对称．又函数()f x 在[)3,+∞上单调递减，所以函数()f x 在(],3-∞上单调递增． 因为 1.10.500.333<<<，所以()()()1.10.500.33f f f <<，即b a c >>． 故选D ． 11．【答案】A【解析】解：圆()2224x c y c ++=的圆心为(),0c -，半径为2c ，且12AF c =，12BF c =，由双曲线的定义可得222AF a c =+，222BF c a =-，设12BF F α∠=，在三角形12BF F 中，()()()()22222222222cos 2222c c c a c c a c cc α+----==⋅⋅，在三角形12AF F 中，()()()22222244222cos 90sin 2222c c c a c c a c cc αα+-+-+︒+===-⋅⋅，由22sin cos 1αα+=，化简可得()22242c a c +=，即为2222c a c +，即有)2221a c =，可得21ce a==+A ．12．【答案】D【解析】因为()32f x ax bx cx =++，所以()232f x ax bx c '=++， 不等式()()3xf x af x '-≤，即()()()2323230a a x b ab x c ac x -+-+--≤．因为()()()2323230a a x b ab x c ac x -+-+--≤对一切x ∈R 恒成立，而三次函数的图象不可能恒在x 轴的下方， 所以230a a -=，解得3a =或0a =（舍去）． 所以2230bx cx ---≤对一切x ∈R 恒成立， 则00b c ==⎧⎨⎩或204120b Δc b >=-≤⎧⎨⎩，所以23c b ≥， 则223311999399244b c b c c c c a --⎛⎫=≥-=--≥- ⎪⎝⎭． 3b c a -的取值范围为9,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，故选D ．二、填空题． 13．【答案】72【解析】因为()411log 22a f ===，所以()1174222f a f ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，本题正确结果为72．14．【答案】1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】函数()()13cos cos 02π3f x x x x ωωωω⎛⎫==+> ⎪⎝⎭的最小正周期为2ππω=，∴2ω=，()cos 2π3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则在ππ,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内，2π2,π33π3x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，1cos 2,132πx ⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故答案为1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．15．【答案】2π4+【解析】021d x x --⎰表示的是四分之一的圆的面积，且圆的半径是1，所以区域A 的面积为1π21424π1++⨯⨯=，所以圆柱的体积π282π44V +=⨯=+．16．【答案】232n n ++【解析】因为数列{}n a 是等差数列，且3a 是2a ，5a 的等比中项，所以()2325a a a =⋅，()()()211124a d a d a d +=+⋅+， 因为公差0d ≠，解得10a =， 公比4233a d q a d===，所以+1+1233n n n k a a d =⋅=⋅， 由{}n a 是等差数列可知()()111n k n n a a k d k d =+-=-， 所以()+131n n d k d ⋅=-，所以+131n n k =+， 所以231+1333331n n n n T n -=++⋅⋅⋅+++⨯ ()2+23131931322n n n n -=+=-⨯+-， 所以2219292393222n n n T n n ++⎛⎫+=⨯⨯++=+ ⎪⎝⎭-．三、解答题．17．【答案】（1）2BD =；（23【解析】（1）因为AD AC ⊥，所以π2BAD BAC ∠=∠-，所以π27cos cos sin 2BAD BAC BAC ⎛⎫∠=∠-=∠= ⎪⎝⎭．在BAD △中，由余弦定理得：()22222272cos 712714BD AB AD AB AD BAD =+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯=， 所以2BD =．（2）在BAD △中，由（1）知，2221471cos 22122AD BD AB ADB AD BD +-+-∠===-⋅⨯⨯，所以2π3ADB ∠=，则π3ADC ∠=．在ADC Rt △中，易得3AC =． 1127sin 73322ABCS AB AC BAC =⋅⋅∠=⨯⨯⨯=△． 所以ABC △的面积为3．18．【答案】（1）680；（2）（i ）见解析；（ii ）160． 【解析】（1）学生月消费的平均数11311300500700900110020068040001000100020004000x ⎛⎫=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭．（2）（i ）月消费值落入区间[)200,400、[)400,800、[]800,1200的频率分别为0.05、0.80、0.15， 因此()100.05P ξ==，()300.80P ξ==，()500.15P ξ==， 即ξ的分布列为ξ 10 30 50 P0.050.800.15ξ的数学期望值()100.05300.80500.1532E ξ=⨯+⨯+⨯=．（ii ）服务部的月利润为32200064000⨯=（元）， 受资助学生人数为20000.05100⨯=，每个受资助学生每月可获得1640001001604⨯÷=（元）．19．【答案】（1）见证明；（2）30． 【解析】（1）证明：因为AD AB ⊥，平面ABD ⊥平面ABC ，平面ABD I 平面ABC AB =，AD ⊂平面ABD ，所以AD ⊥平面ABC ， 因为BC ⊂平面ABC ，所以AD BC ⊥． 因为2AB BC AC ==，所以222AB BC AC +=，所以AB BC ⊥， 因为AD AB A =I ，所以BC ⊥平面ABD ．（2）解：设()04AD x x =<<，则4AB BC x ==-，四面体ABCD 的体积()()()2321114816326V f x x x x x x ==⨯-=-+()04x <<．()()()()2113161643466f x x x x x =-+=--'， 当403x <<时，()0f x '>，()V f x =单调递增； 当443x <<时，()0f x '<，()V f x =单调递减． 故当43AD x ==时，四面体ABCD 的体积取得最大值． 以B 为坐标原点，建立空间直角坐标系B xyz -，则()0,0,0B ，80,,03A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，8,0,03C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，840,,33D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，44,,033E ⎛⎫⎪⎝⎭．设平面BCD 的法向量为(),,x y z =n ，则00BC BD ⎧⎪⎨⎪⎩⋅=⋅=u u u r u u u rn n ，即80384033x y z ⎧⎪=+⎨=⎪⎪⎪⎩， 令2z =-，得()0,1,2=-n ，同理可得平面BDE 的一个法向量为()1,1,2=-m ，则3056==⨯． 由图可知，二面角C BD E --为锐角，故二面角C BD E --30． 20．【答案】（1）2213x y +=；（2）定值，3．【解析】（1）如下图所示，连接MQ ，则3MC MQ MC MP CP +=+== 又22CQ =M 的轨迹是以C ，Q 为焦点的椭圆，因为2a =2c =a =c =1b =，故点M 的轨迹方程是2213x y +=．（2）设直线AE的方程为(y k x =+，则直线BF 的方程为1y kx =-+，由(2233y k x x y =+=⎧⎪⎨⎪⎩，消去y 整理得()222231930k x x k +++-=．设交点()11,E x y 、()22,F x y ，则1x =，1x(11y k x =+ 由22133y kx x y =-++=⎧⎨⎩，消去y 整理得()223160k x kx +-=， 则22613kx k=+，222213113k y kx k -=-+=+．所以1212EFy y k x x -===-． 故直线EF的斜率为定值，其斜率为． 21．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）()()()()()2222122x a x a x a x a f x x a x x x+++++'=+++==，0x >， 当0a ≥时，()0f x '>，()f x ∴在()0,+∞单调递增；当0a <时，02a x <<-当时，()0f x '<，当2ax >-时，()0f x '>，()f x ∴在0,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增．（2）()()12f x f x =Q ，()()22111222ln 2ln 2a x x a x a x x a x =∴++++++， ()()()()()221221212121ln ln 22a x x x x a x x x x x x a ∴-=-++=-+++-，()122121ln ln 2a x x x x a x x -∴+++=-，()()22af x x a x'=+++Q ，()121221121221ln ln 2222a x x x x a a f x x a x x x x x x -+⎛⎫'∴=++++=+ ⎪++-⎝⎭()222111222122121211211121ln 22ln ln 1x x x x x x x x a a a x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪-⎛⎫⎝⎭ ⎪ ⎪=-=-=-⎪ ⎪+--+- ⎪⎝⎭+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 不妨设210x x >>，则211x x >，所以只要证21221121ln 01x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭-<+， 令211x t x =>，()224ln 2ln 11t g t t t t t -∴=-=--++， ()()()()()()22222411410111t t t g t t t t t t t -+-'∴=-==-<+++， ()g t ∴在()1,+∞上单调递减，()()221ln1011g t g -∴<=-=+，21221121ln 01x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭∴-<+，1202x x f +⎛⎫'∴> ⎪⎝⎭． 22．【答案】（1）3cos sin x y αα==⎧⎨⎩；（2）见解析．【解析】（1）设()3cos ,3sin P αα，(),M x y ，则()3cos ,0D α． 由2DM MP =u u u u r u u u r ，得3cos sin x y αα==⎧⎨⎩．（2）依题，直线:0l x -，设点()3cos ,sin M αα，设点M 到直线l 的距离为d，()d αβ==+-≥将0θ=，π2代入sin 6πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭1ρ=，24ρ=，8AB ==．12MAB S AB d =≥△∵8>M ，且存在两个这样的点． 23．【答案】（1）2t =；（2）见解析．【解析】（1）由()121f x x x =--+，得()3,131,113,1x x f x x x x x --≥⎧⎪=---<<⎨⎪+≤-⎩， 所以()()max 12f x f =-=，即2t =．（2）因为()1g x x =-，由1122m n+=， 知()()221211212g m g n m n m n m n ++=++-≥++-=+ ()1111212222222222n m m n m n m n⎛⎫=+⋅+=++≥+= ⎪⎝⎭， 当且仅当22n mm n=，即224m n =时取等号． 所以()()222g m g n ++≥．【精品】2020年全国高考数学考前冲刺模拟试卷（理 科 ）注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

2020-2021新课标高考理科数学“12＋4”限时提速培优突破四“12＋4”限时提速练 (四)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设集合M ＝{x ||x －1|<1}，N ＝{x |x <2}，则M ∩N ＝( C )A ．(－1,1)B ．(－1,2)C ．(0,2)D ．(1,2)解析：由|x －1|<1，得－1<x －1<1，解得0<x <2，∴M ＝{x |0<x <2}，又∵N ＝{x |x <2}，∴M ∩N ＝(0,2)．2．若复数1－b i 2＋i(b ∈R )的实部与虚部相等，则b 的值为( B ) A ．－6 B ．－3 C ．3 D ．6解析：1－b i 2＋i ＝(1－b i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝2－b －(2b ＋1)i 5，由1－b i 2＋i(b ∈R )的实部与虚部相等，得2－b 5＝－(2b ＋1)5，解得b ＝－3. 3．函数y ＝cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4是( A ) A ．周期为π的奇函数B ．周期为π的偶函数C ．周期为2π的奇函数D ．周期为2π的偶函数 解析：y ＝cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin2x ，是周期为π的奇函数．4．已知倾斜角为θ的直线l 与直线x ＋2y －3＝0垂直，则sin2θ的值为( B ) A.35 B.45 C.15 D ．－15解析：由已知tan θ＝2，sin2θ＝2sin θcos θ＝2sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝2tan θtan 2θ＋1＝45. 5．设a ＝20.1，b ＝lg 52，c ＝log 3910，则a ，b ，c 的大小关系是( D )A ．b >c >aB ．a >c >bC ．b >a >cD ．a >b >c 解析：因为a ＝20.1∈(1,2)，b ＝lg 52∈(0,1)，c ＝log 3910<0，∴a >b >c .6．“m<0”是“函数f(x)＝m＋log2x(x≥1)存在零点”的(A)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件解析：由f(x)＝m＋log2x＝0(x≥1)，得m＝－log2x≤0.因为{m|m<0}{m|m≤0}，所以“m<0”是“函数f(x)(x≥1)存在零点”的充分不必要条件．7．正项等比数列{a n}中，a2 018＝a2 017＋2a2 016，若a m a n＝16a21，则4m＋1n的最小值等于(B)A．1 B.32 C.53 D.13 6解析：设公比为q，因为a2 018＝a2 017＋2a2 016，所以q2＝q＋2，则q＝2或q＝－1(舍)．又a m a n＝16a21，则a21·2m＋n－2＝16a21.∴m＋n＝6(m>0，n>0)，且m，n∈N*.∴4m＋1n＝16(m＋n)⎝⎛⎭⎪⎫4m＋1n＝16⎝⎛⎭⎪⎫5＋4nm＋mn≥16⎝⎛⎭⎪⎫5＋24nm·mn＝32.当且仅当m＝4，n＝2时等号成立．8．已知三棱锥P­ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC满足AB＝22，∠ACB＝90°，P A为球O的直径且P A＝4，则点P到底面ABC的距离为(B)A. 2 B．2 2 C. 3 D．23解析：取AB的中点O1，连接OO1，如图，在△ABC中，AB＝22，∠ACB ＝90°，所以△ABC所在小圆圆O1是以AB为直径的圆，所以O1A＝2，且OO1⊥AO1，又球O的直径P A＝4，所以OA＝2，所以OO1＝OA2－O1A2＝2，且OO1⊥底面ABC，所以点P到平面ABC的距离为2OO1＝2 2.9．已知A ，B 是圆O ：x 2＋y 2＝4上的两个动点，|AB →|＝2，OC →＝13OA →＋23OB →，若M 是线段AB 的中点，则OC →·OM →的值为( D ) A. 3 B ．2 3 C ．2 D ．3解析：由OC →＝13OA →＋23OB →，又OM →＝12(OA →＋OB →)，所以OC →·OM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13OA →＋23OB →·12(OA →＋OB →)＝16(OA →2＋2OB →2＋3OA →·OB →)，又△OAB 为等边三角形，所以OA →·OB →＝2×2cos60°＝2，OA →2＝4，OB →2＝4，所以OC →·OM →＝3.10．习总书记在十九大报告中指出：坚定文化自信，推动社会主义文化繁荣兴盛．如图，“大衍数列”：0,2,4,8,12…来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和．如图是求大衍数列前n 项和的程序框图，执行该程序框图，输入m ＝6，则输出的S ＝( B )A ．26B ．44C ．68D ．100解析：第一次运行，n ＝1，a ＝n 2－12＝0，S ＝0＋0＝0，不符合n ≥m ，继续运行．第二次运行，n ＝2，a ＝n 22＝2，S ＝0＋2＝2，不符合n ≥m ，继续运行，第三次运行，n ＝3，a ＝n 2－12＝4，S ＝2＋4＝6，不符合n ≥m ，继续运行，第四次运行，n ＝4，a ＝n 22＝8，S ＝6＋8＝14，不符合n ≥m ，继续运行，第五次运行，n ＝5，a ＝n 2－12＝12，S ＝14＋12＝26，不符合n ≥m ，继续运行，第六次运行，n ＝6，a ＝n 22＝18，S ＝26＋18＝44，符合n ≥m ，输出S ＝44.11．已知双曲线E ：x 24－y 22＝1，直线l 交双曲线于A ，B 两点，若线段AB的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1，则l 的方程为( C ) A ．4x ＋y －1＝0B ．2x ＋y ＝0C ．2x ＋8y ＋7＝0D ．x ＋4y ＋3＝0解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 214－y 212＝1，且x 224－y 222＝1，相减得x 21－x 224＝y 21－y 222，即y 1－y 2x 1－x 2＝12×x 1＋x 2y 1＋y 2.又线段AB 的中点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1， 因此x 1＋x 2＝2×12＝1，y 1＋y 2＝(－1)×2＝－2，则y 1－y 2x 1－x 2＝－14，即直线AB 的斜率为－14，直线l 的方程为y ＋1＝－14⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，即2x ＋8y ＋7＝0.12．定义在(0，＋∞)上的函数f (x )满足x 2f ′(x )＋1>0，f (1)＝6，则不等式f (lg x )<1lg x ＋5的解集为( D )A ．(10，10)B ．(0,10)C ．(10，＋∞)D ．(1,10)解析：设g (x )＝f (x )－1x －5，则g ′(x )＝f ′(x )＋1x 2＝x 2f ′(x )＋1x 2>0，故函数g (x )在(0，＋∞)上单调递增，又g (1)＝0，故g (x )<0的解集为(0,1)，即f (x )<1x ＋5的解集为(0,1)．由0<lg x <1，得1<x <10，则所求不等式的解集为(1,10)．二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋1≤0，2x ＋y －4≥0，x ≥0，则z ＝x ＋2y 的最小值为5. 解析：由题意可得可行域为如图所示(含边界)的阴影部分，z ＝x ＋2y ，即y ＝－12x ＋12z ，则在点A 处取得最小值，联立⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋1＝0，2x ＋y －4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2， ∴A (1,2)．代入z ＝x ＋2y 得最小值5.14．若二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫55x 2＋1x 6的展开式中的常数项为m ，则⎠⎛1m x 2d x ＝263. 解析：依题意m ＝T 5＝C 46⎝ ⎛⎭⎪⎫552＝3. 则⎠⎛1m x 2d x ＝⎠⎛13x 2d x ＝13x 3| 31＝263. 15．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线与抛物线y 2＝4x 的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若S △AOB ＝23，则双曲线的离心率e ＝13.解析：双曲线的渐近线方程是y ＝±b a x ，当x ＝－1时，y ＝±b a ，不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，b a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－b a ，所以S △AOB ＝12×2×b a ×1＝23，即b a ＝2 3.所以b 2a 2＝12，所以e ＝1＋b 2a 2＝13.16．若函数y ＝f (x )满足：对于y ＝f (x )图象上任意一点P ，在其图象上总存在点P ′，使得OP →·OP ′→＝0成立，称函数y ＝f (x )是“特殊对点函数”．给出下列五个函数：①y ＝x －1；②y ＝e x －2(其中e 为自然对数的底数)； ③y ＝ln x ；④y ＝1－x 2.其中是“特殊对点函数”的是②④(写出所有正确的序号)．解析：设点P (x 1，f (x 1))，点P ′(x 2，f (x 2))，由OP →·OP ′→＝0，得x 1x 2＋f (x 1)f (x 2)＝0，即OP →⊥OP ′→.对于①y ＝x －1.当取点P (1,1)时，满足OP →⊥OP ′→的点P ′不在y ＝x －1上，故①y ＝x －1不是“特殊对点函数”，如图(1)所示；对于②y ＝e x －2.作出函数y ＝e x －2的图象．由图象知，满足OP →⊥OP ′→的点P ′(x 2，f (x 2))都在y ＝f (x )图象上，则②是“特殊对点函数”，如图(2)所示；对于③y ＝ln x .当取点P (1,0)时，满足OP →⊥OP ′→的点P ′不在y ＝ln x 上，故③y ＝ln x 不是“特殊对点函数”，如图(3)所示；对于④y ＝1－x 2.作出函数y ＝1－x 2的图象，由图象知，满足OP →⊥OP ′→的点P ′(x 2，f (x 2))都在y ＝f (x )图象上，则④是“特殊对点函数”，如图(4)所示．。

2020年高考理科数学新课标必刷试卷六（含解析）2020年高考必刷卷（新课标卷）06 数学（理）（本试卷满分150分，考试用时120分钟）注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡的相应位置上。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。

答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题) 一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合，，则（） A． B． C． D．【答案】A 【解析】【分析】求出集合，然后利用交集的定义可求出集合. 【详解】，因此，. 故选：A. 【点睛】本题考查交集的计算，考查计算能力，属于基础题. 2．设，则A． B． C． D．【答案】C 【解析】分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，然后求解复数的模. 详解：，则，故选c. 点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分. 3．若向量，，若，则A． B．12 C． D．3 【答案】D 【解析】【分析】根据题意，由向量平行的坐标表示方法可得若，则有，解可得的值，即可得答案．【详解】解：根据题意，向量，，若，则有，解得；故选：．【点睛】本题考查向量平行的坐标表示公式，关键是掌握向量平行的坐标表示方法，属于基础题． 4．设等差数列的前项和为，若，则等于 A．18 B．36 C．45 D．60 【答案】C 【解析】【分析】利用等差数列的通项公式化简已知条件，根据等差数列前项和公式求得的值. 【详解】由于数列是等差数列，所以由得，即，而.故选：C. 【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式及前项和公式的基本量计算，属于基础题. 5．在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为，则的系数为（） A．15 B．45 C．135 D．405 【答案】C 【解析】【分析】令代入可求得各项系数和,根据展开式二项式系数和为,结合两个系数比即可求得的值,进而根据二项展开式的通项求得的系数即可. 【详解】令,代入可得各项系数和为展开式的各项的二项式系数和为由题意可知,各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64 所以解方程可得则二项式的展开式的通项公式为令解得所以的系数为故选:C 【点睛】本题考查了二项式系数和与二项式展开式的系数和的应用,二项展开式通项公式的应用,求指定项的系数,属于基础题. 6．已知椭圆的左顶点为，上顶点为，右焦点为，若，则椭圆的离心率为（）A． B． C． D．【答案】D 【解析】【分析】设椭圆的焦距为，利用向量数量积的坐标运算得出，可得出，等式两边同时除以可得出关于椭圆离心率的二次方程，解出即可. 【详解】设椭圆的焦距为，离心率为，则点、、，所以，，，则，即，即，等式两边同时除以得，，解得，因此，该椭圆的离心率为. 故选：D. 【点睛】本题考查椭圆离心率的计算，涉及向量数量积的坐标运算，解题的关键就是要得出关于、、的齐次等式，考查运算求解能力，属于中等题. 7．在满足不等式组的平面内随机取一点，设事件A＝“”，那么事件A发生的概率是（） A． B． C． D．【答案】B 【解析】【分析】结合几何概型的计算方法，求出对应面积之比即为所求概率. 【详解】如下图，作出不等式组表示的平面区域（阴影部分），易知，，，该区域面积为. 事件A＝“”，表示的区域为阴影部分AOC，其面积为. 所以事件A发生的概率是.【点睛】本题考查几何概型的概率计算，考查不等式组表示的平面区域，考查数形结合的数学思想的应用，属于基础题. 8．函数在区间上的图像大致为（）A． B． C． D．【答案】B 【解析】【分析】结合选项对和函数分类讨论去绝对值，即可求解. 【详解】 . 故选:B 【点睛】本题考查已知函数求图像，化简函数是解题的关键，属于中档题. 9．九章算术》是中国古代数学名著，体现了古代劳动人民数学的智慧，其中第六章“均输”中，有一竹节容量问题，根据这一问题的思想设计了如下所示的程序框图，若输出的的值为35，则输入的的值为( ) A．4 B．5 C．7 D．11 【答案】A 【解析】起始阶段有，，第一次循环后，，；第二次循环后，，；第三次循环后，，；接着计算，跳出循环，输出.令，得.选A. 10．一个多面体的直观图和三视图如图所示，点M是AB的中点，一只蝴蝶在几何体ADF－BCE内自由飞翔，则它飞入几何体F－AMCD内的概率为（）A． B． C． D．【答案】C 【解析】【分析】根据三视图求出三棱柱的体积，再求出几何体F－AMCD的体积，即可求出概率. 【详解】由三视图可知：底面三角形ADF是腰长为a的等腰直角三角形，几何体ADF－BCE是侧棱为a的直三棱柱，由题图可知VF－AMCD＝×S梯形AMCD×DF＝a3，VADF－BCE＝a3，所以它飞入几何体F－AMCD内的概率为. 故选：C 【点睛】此题考查求几何概型概率，关键在于根据三视图准确求出几何体的体积. 11．“干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”。

7.小华的爱好是玩飞镖，现有如图所示的由两个边长都为2的正方形ABCD 和正方形OPQR 构成的标靶图形，如果O 正好是正方形ABCD 的中心，而正方形OPQR 可以绕O 点旋转．若小华随机向标靶投飞镖，一定能射中标靶，则他射中阴影部分的概率是( )A.13B.14C.16D.17解析：选D 如图，记OP 交AB 于H ，OR 交BC 于G .当H 不为AB 的中点时，过O 分别作OE ⊥AB 于E ，OF ⊥BC 于F ，则∠OEH ＝∠OFG ＝90°，又O 正好是正方形ABCD 的中心，所以OE ＝OF ，∠EOF ＝90°，又∠GOH ＝90°，所以∠GOF ＝∠EOH ，所以△OEH 和△OFG 全等，所以阴影部分的面积与正方形OEBF 的面积相等，所以阴影部分的面积为标靶面积的17.当H 为AB 的中点时，阴影部分的面积为标靶面积的17.所以小华射中阴影部分的概率为17，故选D.8．如果点P (x ，y )满足⎩⎨⎧2x －y ＋2≥0，x －2y ＋1≤0，x ＋y －2≤0，点Q 在曲线x 2＋(y ＋2)2＝1上，则|PQ |的取值范围是( )A ．[5－1，10－1]B ．[5－1，10＋1]C ．[10－1,5]D ．[5－1,5]解析：选D 作出点P 满足的线性约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，因为点Q 所在圆的圆心为M (0，－2)，所以|PM |取得最小值的最优解为(－1，0)，取得最大值的最优解为(0,2)，所以|PM |的最小值为5，最大则h(x)min＝h(e2)＝－1e2，即a的最小值为－1e2.12．(20xx·江西南昌二中月考)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆C上，线段PF2与圆：x2＋y2＝b2相切于点Q.若Q是线段PF2的中点，e为椭圆C的离心率，则a2＋e2 3b的最小值为( )A.23B.53C.33D.263解析：选B如图，连接PF1，OQ，由OQ为△PF1F2的中位线，可得OQ∥PF1，|OQ|＝12|PF1|.又|OQ|＝b，所以|PF1|＝2b.由椭圆的定义可得|PF1|＋|PF2|＝2a，所以|PF2|＝2a－2b，又OQ⊥PF2，所以PF1⊥PF2，则有(2b)2＋(2a－2b)2＝(2c)2，即b2＋a2－2ab＋b2＝c2＝a2－b2，化简得2a ＝3b，即b＝23a，c＝a2－b2＝53a，所以离心率e＝ca＝53.则a2＋e23b＝a2＋592a＝12⎝⎛⎭⎪⎫a＋59a≥12·2a·59a＝53，当且仅当a＝59a，即a＝53时等号成立，所以a2＋e23b的最小值为53.二、填空题13．已知平面向量a，b满足a＝(1，3)，|b|＝3，a⊥(a－b)，则a与b夹角的余弦值为________．解析：由a ⊥(a －b )可知a ·(a －b )＝a 2－a ·b ＝4－2×3cos 〈a ，b 〉＝0，解得cos 〈a ，b 〉＝23.答案：2314．已知x >0，y >0，且1x ＋2y ＝1，则xy ＋x ＋y 的最小值为________．解析：∵1x ＋2y ＝1，∴2x ＋y ＝xy ，∴xy ＋x ＋y ＝3x ＋2y ＝(3x ＋2y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2y ＝7＋6x y ＋2y x ≥7＋43，当且仅当6x y ＝2yx 时等号成立，∴xy ＋x ＋y 的最小值为7＋43.答案：7＋4315．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等比数列，且tan B ＝34，则1tan A ＋1tan C的值是________．解析：∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac ，由正弦定理得sin 2B ＝sin A sin C ，∴1tan A ＋1tan C ＝cos A sin A ＋cos C sin C ＝sin Ccos A ＋cos Csin A sin Asin C＝错误!＝sin B sin Asin C ＝1sin B ，∵tan B ＝34，∴sin B ＝35，∴1tan A ＋1tan C ＝53.答案：5316．在棱长为1的透明密闭的正方体容器ABCD -A 1B 1C 1D 1中，装有容器总体积一半的水(不计容器壁的厚度)，将该正方体容器绕BD 1旋转，并始终保持BD 1所在直线与水平平面平行，则在旋转过程中容器中水的水面面积的最大值为________．解析：由题意得，在保持BD 1所在直线与水平平面平行时，正方体容器绕BD 1旋转的过程中，水面图形为如图所示的平行四边形BE 1D 1E ，设B 1E 1＝DE ＝x,0≤x ≤1，则BE 1＝x2＋1，E 1D 1＝错误!，由余弦定理得cos ∠BE 1D 1＝。

2020年高考新课标数学（理科）模拟试题（全国卷1）考试时间：120分钟 满分150分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、以下判断正确的个数是（ ）①相关系数r r ,值越小，变量之间的相关性越强；②命题“存在01,2<-+∈x x R x ”的否定是“不存在01,2≥-+∈x x R x ”；③“q p ∨”为真是“p ”为假的必要不充分条件；④若回归直线的斜率估计值是1.23，样本点的中心为（4,5），则回归直线方程是08.023.1ˆ+=x y. A ．4 B ．2 C.3 D ．12、已知集合{}|12A x x =-<，12|log 1B x x ⎧⎫=>-⎨⎬⎩⎭，则AB =A ．{}|04x x <<B ．{}|22x x -<<C ．{}|02x x <<D ．{}|13x x << 3、设,a b 是非零向量，则“存在实数λ，使得=λa b ”是“||||||+=+a b a b ”的A ．充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4、 已知正三角形ABC 的顶点()()3,1,1,1B A ，顶点C 在第一象限，若点()y x ,在ABC ∆的内部，则y x z +-=的取值范围是 A.()2,31- B.()2,0 C.()2,13- D.()31,0+5、在如图的程序框图中，()i f x '为()i f x 的导函数，若0()sin f x x =，则输出的结果是A ．sin xB ．cos xC ．sin x -D ．cos x - 6、使函数)2cos()2sin(3)(θθ+++=x x x f 是偶函数，且在]4,0[π上是减函数的θ的一个值是 A ．6π B ．3π C ．34π D ．67π7、已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足121a a ==，21n n S a +=-，则下列命题错误的是( ) A.21n n n a a a ++=+B.13599100a a a a a ++++=…C.2469899a a a a a ++++=…D.12398100100S S S S S ++++=-… 8、如图阴影部分1C 是曲线x y =与x y =所围成的封闭图形，A 是两曲线在第一象限的交点，以原点O 为圆心，OA 为半径作圆，取圆的第一象限的扇形OCAB 部分图形为2C ，在2C 内随机选取m 个点，落在1C 内的点有n 个，则运用随机模拟的方法得到的π的近似值 A 、m n 23 B 、n m 3 C 、m n 3 D 、nm329、某三棱锥的三视图如图所示，则下列说法中：① 三棱锥的体积为16② 三棱锥的四个面全是直角三角形,③ 3所有正确的说法 A 、① B 、①② C 、②③ D 、①③10、已知双曲线)0,(12222＞b a by a x =-的左、右顶点分别为B A ,,右焦点为F ,过点F 且垂直于x 轴的直线l 交双曲线于N M ,两点,P 为直线l 上的一点，当APB ∆的外接圆面积达到最小值时,点P 恰好在M (或N )处,则双曲线的离心率为A.2B.3C.2D.511、将边长为5的菱形ABCD 沿对角线AC 折起，顶点B 移动至B 处，在以点B '，A ，C ，为顶点的四面体AB 'CD 中，棱AC 、B 'D 的中点分别为E 、F ，若AC ＝6，且四面体AB 'CD 的外接球球心落在四面体内部，则线段EF 长度的取值范围为（ ）A ．14,232⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ B ．14,42⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C ．()3,23D ．()3,412、已知函数()21ln (1)(0)2x ax a f a x x a =-+-+>的值域与函数()()f f x 的值域相同，则a 的取值范围为（ ） A. (]0,1B. ()1,+∞C. 40,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D. 4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

提高小题的解题速度 “12＋4”小题提速练(六) 为解答后面的大题留足时间一、选择题1．设复数z 满足1＋2z1－z ＝i ，则z ＝( )A.15＋35i B.15－35i C ．－15＋35i D ．－15－35i解析：选C 因为1＋2z 1－z ＝i ，所以1＋2z ＝i －i z ，所以z ＝i －12＋i＝(i －1)(2－i )5＝－15＋35i ，故选C.2．已知集合A ＝{x |x 2－x －2＜0}，B ＝{x |x 2＋3x <0}，则A ∩B ＝( ) A ．(0,2) B ．(－1,0) C ．(－3,2)D ．(－1,3) 解析：选B 由x 2－x －2＜0得－1＜x ＜2，即A ＝(－1,2)，由x 2＋3x ＜0得－3＜x ＜0，即B ＝(－3,0)，所以A ∩B ＝(－1,0)，故选B.3．(2019·张掖模拟)已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 2＝( )A ．－4B ．－6C ．－8D ．－10解析：选B ∵a 1，a 3，a 4成等比数列，∴a 23＝a 1a 4，∴(a 1＋4)2＝a 1(a 1＋6)，∴a 1＝－8，∴a 2＝－8＋2＝－6.4．(2019·唐山模拟)执行如图所示的程序框图，当输入的n 为7时，输出的S 的值是( )A ．14B ．210C ．42D ．840解析：选B n ＝7，S ＝1,7<5？，否，S ＝7×1＝7，n ＝6,6<5？，否，S ＝6×7＝42，n ＝5,5<5？，否，S ＝5×42＝210，n ＝4,4<5？，是，退出循环，输出的S 的值为210，选B.5．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝2cos(π－α)，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝( )A ．－3B ．3C ．－13D.13解析：选A ∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝2cos(π－α)，∴－sin α＝－2cos α，∴tan α＝2，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝1＋tan α1－tan α＝－3.6．已知a ＝2，b ＝55，c ＝77，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a ＞b ＞c B ．a ＞c ＞b C ．b ＞a ＞cD ．c ＞b ＞a解析：选A ∵a ＝2，b ＝55，c ＝77，∴a ，b ，c 均为正数，∴a 10＝25＝32，b 10＝52＝25，∴a 10＞b 10，∴a ＞b .∵b 35＝57，c 35＝75，∴b 35＞c 35，∴b ＞c .综上，a ＞b ＞c ，故选A.7.小华的爱好是玩飞镖，现有如图所示的由两个边长都为2的正方形ABCD 和正方形OPQR 构成的标靶图形，如果O 正好是正方形ABCD 的中心，而正方形OPQR 可以绕O 点旋转．若小华随机向标靶投飞镖，一定能射中标靶，则他射中阴影部分的概率是( )A.13B.14C.16D.17解析：选D 如图，记OP 交AB 于H ，OR 交BC 于G .当H不为AB 的中点时，过O 分别作OE ⊥AB 于E ，OF ⊥BC 于F ，则∠OEH ＝∠OFG ＝90°，又O 正好是正方形ABCD 的中心，所以OE ＝OF ，∠EOF ＝90°，又∠GOH ＝90°，所以∠GOF ＝∠EOH ，所以△OEH 和△OFG 全等，所以阴影部分的面积与正方形OEBF 的面积相等，所以阴影部分的面积为标靶面积的17.当H 为AB 的中点时，阴影部分的面积为标靶面积的17.所以小华射中阴影部分的概率为17，故选D.8．如果点P (x ，y )满足⎩⎨⎧2x －y ＋2≥0，x －2y ＋1≤0，x ＋y －2≤0，点Q 在曲线x 2＋(y ＋2)2＝1上，则|PQ |的取值范围是( )A ．[5－1，10－1]B ．[5－1，10＋1]C ．[10－1,5]D ．[5－1,5]解析：选D 作出点P 满足的线性约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，因为点Q 所在圆的圆心为M (0，－2)，所以|PM |取得最小值的最优解为(－1，0)，取得最大值的最优解为(0,2)，所以|PM |的最小值为5，最大值为4，又圆M 的半径为1，所以|PQ |的取值范围是[5－1,5]，故选D.9．将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的图象向左平移π4个单位长度，所得图象对应的函数在区间(－m ，m )上无极值点，则m 的最大值为( )A.π8 B.π4 C.3π8D.π2解析：选A y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的图象向左平移π4个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，函数在原点附近的两个极值分别在x ＝π8和x ＝－3π8时取得，若在(－m ，m )上没有极值点，则应满足m ≤π8，所以m 的最大值为π8.10．已知椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a ＞b ＞0)，点F 为左焦点，点P 为下顶点，平行于FP 的直线l 交椭圆于A ，B 两点，且AB 的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，则椭圆的离心率为( )A.12 B.22 C.14D.32解析：选B ∵FP 的斜率为－bc ，FP ∥l ， ∴直线l 的斜率为－bc . 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b2＝1，x 22a 2＋y 22b2＝1得y 21b 2－y 22b 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 21a 2－x 22a 2，即y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2(x 1＋x 2)a 2(y 1＋y 2). ∵AB 的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，∴－b c ＝－2b 2a 2，∴a 2＝2bc ，即b 2＋c 2＝2bc ，∴b ＝c ， ∴a ＝2c ，∴椭圆的离心率为22.11．已知函数f (x )＝x e ax －1－ln x －ax ，若函数f (x )的最小值恰好为0，则实数a 的最小值是( )A ．－1B ．－1eC ．－1e 2D ．－1e 3解析：选C 令t ＝x e ax －1(x ＞0)，则t ＞0， 所以ln t ＝ln x ＋ax －1. 令u ＝f (x )＝x e ax －1－ln x －ax ， 则u ＝t －ln t －1.令g (t )＝t －ln t －1，则g ′(t )＝1－1t ＝t －1t ，当t ∈(0,1)时，g ′(t )＜0，g (t )单调递减；当t ∈(1，＋∞)时，g ′(t )＞0，g (t )单调递增，故当t ＝1时，g (t )取得最小值g (1)＝0， 故当x eax －1＝1，即a ＝1－ln xx 时，函数f (x )的最小值恰好为0.令h (x )＝1－ln x x ，则h ′(x )＝ln x －2x 2，令h ′(x )＝0，得x ＝e 2，可知h (x )在(0，e 2)上单调递减，在(e 2，＋∞)上单调递增，则h (x )min ＝h (e 2)＝－1e 2，即a 的最小值为－1e 2.12．(2019·江西南昌二中月考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆C 上，线段PF 2与圆：x 2＋y 2＝b 2相切于点Q .若Q 是线段PF 2的中点，e 为椭圆C 的离心率，则a 2＋e 23b 的最小值为( )A.23B.53C.33D.263解析：选B 如图，连接PF 1，OQ ，由OQ 为△PF 1F 2的中位线，可得OQ ∥PF 1，|OQ |＝12|PF 1|.又|OQ |＝b ，所以|PF 1|＝2b .由椭圆的定义可得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ， 所以|PF 2|＝2a －2b ，又OQ ⊥PF 2，所以PF 1⊥PF 2，则有(2b )2＋(2a －2b )2＝(2c )2，即b 2＋a 2－2ab ＋b 2＝c 2＝a 2－b 2，化简得2a ＝3b ，即b ＝23a ，c ＝a 2－b 2＝53a ，则a 2＋e 23b ＝a 2＋592a ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋59a ≥12·2a ·59a ＝53，当且仅当a ＝59a ，即a ＝53时等号成立，所以a 2＋e 23b 的最小值为53. 二、填空题13．已知平面向量a ，b 满足a ＝(1，3)，|b |＝3，a ⊥(a －b )，则a 与b 夹角的余弦值为________．解析：由a ⊥(a －b )可知a ·(a －b )＝a 2－a ·b ＝4－2×3cos 〈a ，b 〉＝0，解得cos 〈a ，b 〉＝23.答案：2314．已知x >0，y >0，且1x ＋2y ＝1，则xy ＋x ＋y 的最小值为________． 解析：∵1x ＋2y ＝1，∴2x ＋y ＝xy ，∴xy ＋x ＋y ＝3x ＋2y ＝(3x ＋2y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2y ＝7＋6x y ＋2y x ≥7＋43，当且仅当6x y ＝2yx 时等号成立，∴xy ＋x ＋y 的最小值为7＋4 3.答案：7＋4 315．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等比数列，且tan B ＝34，则1tan A ＋1tan C 的值是________．解析：∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac ，由正弦定理得sin 2B ＝sin A sin C ，∴1tan A ＋1tan C ＝cos A sin A ＋cos C sin C ＝sin C cos A ＋cos C sin A sin A sin C ＝sin (C ＋A )sin A sin C ＝sin B sin A sin C ＝1sin B ，∵tan B ＝34，∴sin B ＝35，∴1tan A ＋1tan C ＝53.答案：5316．在棱长为1的透明密闭的正方体容器ABCD -A 1B 1C 1D 1中，装有容器总体积一半的水(不计容器壁的厚度)，将该正方体容器绕BD 1旋转，并始终保持BD 1所在直线与水平平面平行，则在旋转过程中容器中水的水面面积的最大值为________．解析：由题意得，在保持BD 1所在直线与水平平面平行时，正方体容器绕BD 1旋转的过程中，水面图形为如图所示的平行四边形BE 1D 1E ，设B 1E 1＝DE ＝x,0≤x ≤1，则BE 1＝x 2＋1，E 1D 1＝1＋(1－x )2，由余弦定理得cos ∠BE 1D 1＝x 2－x x 2＋1·1＋(1－x )2，所以平行四边形BE 1D 1E 的面积的平方S 2＝BE 21·E 1D 21sin 2∠BE 1D 1＝(x 2＋1)[1＋(1－x )2]⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1－(x 2－x )2(x 2＋1)[1＋(1－x )2]＝2x 2－2x ＋2，所以x＝0或x ＝1时，S 2取得最大值2，所以S 的最大值为2，即水的水面面积的最大值为 2.答案： 2。

高考最新模拟卷 理 科 数 学注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。

2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在试卷上无效。

3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。

4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2019·南洋模范中学] “112x <<”是“不等式11x -<成立”的（ ） A ．充分条件 B ．必要条件C ．充分必要条件D ．既非充分也不必要条件2．[2019·吉林调研]欧拉公式i e cos isin x x x =+（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关系，它在复变函数论里占有 非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，πi 4ie 表示的复数位于复平面内（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．[2019·安阳一模]2291sin cos αα+的最小值为（ ） A ．18B ．16C ．8D ．64．[2019·桂林一模]下列函数中是奇函数且有零点的是（ ） A ．()f x x x =+ B ．()1f x x x -=+ C ．()1tan f x x x=+D ．()πsin 2f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭5．[2019·河南八市联考]如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积是（ ）A ．84B．78+C．76+D．80+6．[2019·维吾尔二模]将函数()f x 的图象向右平移一个单位长度，所得图象与曲线ln y x =关于 直线y x =对称，则()f x =（ ） A ．()ln 1x +B ．()ln 1x -C ．1e x +D ．1e x -7．[2019·河南联考]已知函数()()π2sin 02f x x ωϕϕ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭，且()01f =，若函数()f x 的图象关于4π9x =对称，则ω的取值可以是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48．[2019·天一大联考]如图是一个射击靶的示意图，其中每个圆环的宽度与中心圆的半径相等． 某人朝靶上任意射击一次没有脱靶，设其命中10，9，8，7环的概率分别为1P ，2P ，3P ，4P ， 则下列选项正确的是（ ）A ．12P P =B ．123P P P +=C ．40.5P =D ．2432P P P +=9．[2019·虹口二模]已知直线l 经过不等式组21034020x y x y y -+≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩表示的平面区域，且与圆22:16O x y +=相交于A 、B 两点，则当AB 最小时，直线l 的方程为（ ） A ．20y -= B ．40x y -+= C ．20x y +-=D ．32130x y +-=10．[2019·凯里一中]已知ABC △是边长为a 的正三角形，且AM AB λ=，()1AN AC λ=-()λ∈R ，设()f BN CM λ=⋅，当函数()f λ的最大值为2-时，a =（ ）AB．CD．11．[2019·齐齐哈尔二模]已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，过1F 作垂直x 轴的直线交椭圆E 于A ，B 两点，点A 在x 轴上方．若3AB =，2ABF △的内切圆的面积为9π16，则直线2AF 的方程是（ ） A ．3230x y +-= B ．2320x y +-= C ．4340x y +-=D ．3430x y +-=12．[2019·西大附中]已知奇函数()f x 是定义在R 上的单调函数，若函数()()()22g x f x f a x =+-恰有4个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．(),1-∞ B ．()1,+∞C ．(]01,D ．()01,第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．[2019·西城期末]在某次国际交流活动中，组织者在某天上午安排了六场专家报告（时间如下，转场时间忽略不计），并要求听报告者不能迟到和早退．某单位派甲、乙两人参会，为了获得更多的信息，单位要求甲、乙两人所听报告不相同，且所听报告的总时间尽可能长，那么甲、乙两人应该舍去的报告名称为______．14．[2019·天津毕业]已知π0sin dx a x =⎰，则5ax ⎛⎝的二项展开式中，2x 的系数为__________． 15．[2019·永州二模]在三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，30A =︒，45C =︒，3c =，点P 是平面ABC 内的一个动点，若60BPC ∠=︒，则PBC △面积的最大值是__________．16．[2019·甘肃一诊]已知定义在R 上的偶函数()f x ，满足()()()42f x f x f +=+，且在区间[]0,2上是增函数，①函数()f x 的一个周期为4；②直线4x =-是函数()f x 图象的一条对称轴；③函数()f x 在[)6,5--上单调递增，在[)5,4--上单调递减； ④函数()f x 在[]0,100内有25个零点；其中正确的命题序号是_____（注：把你认为正确的命题序号都填上）三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）[2019·攀枝花统考]已知数列{}n a 中，11a =，()*112,2n n a a n n n --+=∈≥N ．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设141n n b a =-，求数列{}n b 的通项公式及其前n 项和n T ．18．（12分）[2019·呼和浩特调研]如图，平面四边形ABCD ，AB BD ⊥，2AB BC CD ===，BD =，将ABD △沿BD 翻折到与面BCD 垂直的位置．（1）证明：CD ⊥面ABC ；（2）若E 为AD 中点，求二面角E BC A --的大小．19．（12分）[2019·大联一模]某工厂有两个车间生产同一种产品，第一车间有工人200人，第二车间有工人400人，为比较两个车间工人的生产效率，采用分层抽样的方法抽取工人，并对他们中每位工人生产完成一件产品的时间（单位：min）分别进行统计，得到下列统计图表（按照[)55,65，[)65,75，[)75,85，[]85,95分组）．第一车间样本频数分布表（1）分别估计两个车间工人中，生产一件产品时间小于75min的人数；（2）分别估计两车间工人生产时间的平均值，并推测哪个车间工人的生产效率更高？（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）（3）从第一车间被统计的生产时间小于75min的工人中，随机抽取3人，记抽取的生产时间小于65min的工人人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望．20．（12分）[2019·大兴一模]已知椭圆()2222:10x yC a ba b+=>>的离心率为12，M是椭圆C的上顶点，1F，2F是椭圆C的焦点，12MF F△的周长是6．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过动点()1P t,作直线交椭圆C于A，B两点，且PA PB=，过P作直线l，使l与直线AB垂直，证明：直线l恒过定点，并求此定点的坐标．21．（12分）[2019·拉萨中学]已知()()lnf x x mx m=+∈R．（1）求()f x 的单调区间；（2）若e m =（其中e 为自然对数的底数），且()f x ax b ≤-恒成立，求ba的最大值．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】[2019·汉中联考]在直角坐标系xOy 中，曲线1C ：()1sin cos x a t y a t ⎧=+⎪⎨=⎪⎩（0a >，t 为参数）．在以坐标 原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C ：()π6θρ=∈R ． （1）说明1C 是哪一种曲线，并将1C 的方程化为极坐标方程；（2）若直线3C的方程为y =，设2C 与1C 的交点为O ，M ，3C 与1C 的交点为O ，N ， 若OMN △的面积为a 的值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 [2019·全国大联考]已知函数()2f x x =-． （1）求不等式()41f x x >-+的解集； （2）设a ，10,2b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若126f f a b ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求证：225b a +≥．高考最新模拟卷 理科数学答案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】A【解析】不等式11x -<成立，化为111x -<-<，解得02x <<， ∴“112x <<”是“不等式11x -<成立”的充分条件．故选A ． 2．【答案】A 【解析】∵πi 4ππe cosisin 4422=+=+，∴πi 4i i e ⎫==⎪⎪⎝⎭，此复数在复平面中对应的点⎝⎭位于第一象限，故选A ．3．【答案】B【解析】()2222229191sin cos sin cos sin cos αααααα⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭9116≥++， 故选B ． 4．【答案】C【解析】A ．∵()f x x x =+，∴()f x x x -=-+，而()f x x x -=--，∴不是奇函数，排除A ； D ．∵()πsin cos 2f x x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，∴()()cos f x x f x -==，即()f x 为偶函数，排除D ；B ．∵()1f x x x -=+，∴()()1f x x x f x --=--=-，∴函数()f x 是奇函数， 但令()0f x =，可知方程无解，即()f x 没有零点，∴排除B ；C ．∵()1tan f x x x =+，∴()()1tan f x x f x x-=--=-，∴()f x 是奇函数，又由正切函数的图像和反比例函数的图像易知，1y x =-与tan y x =必然有交点，因此函数()1tan f x x x=+必有零点．故选C ． 5．【答案】C【解析】由三视图可知几何体为五棱柱，底面为正视图中的五边形，高为4，∴五棱柱的表面积为(144222442⎛⎫⨯-⨯⨯⨯+++⨯ ⎪⎝⎭C ．6．【答案】C【解析】作ln y x =关于直线y x =的对称图形，得函数e x y =的图像，再把e x y =的图像向左平移一个单位得函数1e x y +=的图像，∴()1e x f x +=．故选C ． 7．【答案】C【解析】∵()()2sin f x x ωϕ=+，∴由()01f =，得1sin 2ϕ=． 又∵π02ϕ<<，∴π6ϕ=，∴()π2sin 6f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．又∵()f x 关于4π9x =对称，∴4ππππ962k ω⋅+=+，3944k ω=+，令1k =，则3ω=．故选C ．8．【答案】D【解析】若设中心圆的半径为r ，则由内到外的环数对应的区域面积依次为21πS r =，22224ππ3πS r r r =-=，22239π4π5πS r r r =-=，222416π9π7πS r r r =-=22222π3π5π7π16πS r r r r r =+++=总； ()i i i 1,2,3,4S P S ==总，则1116P =，2316P =，3516P =，4716P =， 验证选项，可知只有选项D 正确．故选D ． 9．【答案】D【解析】不等式组表示的区域如图阴影部分，其中AB 的中点为P ，则AP OP ⊥，∴OP 最长时，AB 最小，∵最小l 经过可行域，由图形可知点P 为直线210x y -+=与20y -=的交点()3,2时，OP 最长， ∵23OP k =，则直线l 的方程为()3224y x ---=，即32130x y +-=．故选D ． 10．【答案】C【解析】由题得22π1cos32AB AC a a ⋅==，()()()()2222111122BN CM BA AN CA AM a a a a λλλλ⋅=+⋅+=---+-22111222a λλ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，∴当1=2λ时，()f λ的最大值为2328a -=-，∴a ．故选C ．11．【答案】D【解析】设内切圆半径为r ，则29ππ16r =，∴34r =， ∵()1,0F c -，∴内切圆圆心为3,04c ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，由3AB =知3,2A c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，又()2,0F c ，∴2AF 方程为3430x cy c +-=，由内切圆圆心到直线2AF 距离为r34=得1c =， ∴2AF 方程为3430x y +-=．故选D ． 12．【答案】D【解析】∵()()()()22g x f x f a x g x -=+-=，∴()g x 是偶函数，若()()()22g x f x f a x =+-恰有4个零点，等价于当0x >时，()g x 有两个不同的零点，∵()f x 是奇函数，∴由()()()220g x f x f a x =+-=，得()()()222f x f a x f x a =--=-，∵()f x 是单调函数，∴22x x a =-，即22a x x -=-， 当0x >时，2222a x x x x -=--=有两个根即可，设()()22211h x x x x =---=，要使当0x >时，22a x x -=-有两个根，则10a -<-<， 即01a <<，即实数a 的取值范围是()01,，故选D ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】D【解析】通过数据比对，甲、乙两人应该舍去的报告名称为D ， 当甲乙两人中某人听报告D ，则此人不能听报告B ，C ，E ，F ，故听报告D 最不合适，故答案为D ． 14．【答案】80【解析】由题得()πcos 2a x =-=，∴552ax x =⎛⎛ ⎝⎝，设二项式展开式的通项为()35552155C 2C 2rr rrr r r T x x---+==⋅， 令3522r -=，∴2r =，∴2x 的系数为235C 280=．故答案为80． 15．【解析】∵30A =︒，45C =︒，3c =，∴由正弦定理sin sin a cA C=，可得13sin sin c A a C ⨯⋅===又60BPC ∠=︒，∴在三角形PBC 中，令PB m =，令PC n =，由余弦定理可得22912cos 22m n BPC mn +-∠==， ∴2299222m n mn mn +-=≥-，（当且仅当2m n ==时等号成立） ∴92mn ≤，∴1sin 2S mn BPC =∠=．16．【答案】①②④【解析】令2x =-得()()()2422f f f -+=-+，即()20f -=，由于函数为偶函数， 故()()220f f =-=．∴()()4f x f x +=，∴函数是周期为4的周期函数，故①正确． 由于函数为偶函数，故()()()()44484f x f x f x f x -+=-=--=--， ∴4x =-是函数图像的一条对称轴，故②正确．根据前面的分析，结合函数在区间[]0,2上是增函数，画出函数图像如下图所示．由图可知，函数在[)6,4--上单调递减，故③错误．根据图像可知，()()()()2610980f f f f =====，零点的周期为4，共有25个零点，故④正确．综上所述正确的命题有①②④．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【答案】（1）()2*n a n n =∈N ；（2）21n nT n =+． 【解析】（1）当2n ≥时，由于121n n a a n --=-，11a =， ∴()()()()21122111321n n n n n a a a a a a a a n n ---=-+-++-+=+++-=，又11a =满足上式，故()2*n a n n =∈N ．（2）()()21111114141212122121n n b a n n n n n ⎛⎫====- ⎪--+--+⎝⎭．∴11111111112335212122121n nT n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭． 18．【答案】（1）见解析；（2）45︒．【解析】（1）证明：∵平面四边形ABCD ，AB BD ⊥，2AB BC CD ===，BD =， 面ABD ⊥面BCD ，AB BD ⊥，面ABD 平面BCD BD =，∴AB ⊥面BCD ，∴AB CD ⊥， 又2228AC AB BC =+=，22212AD AB BD =+=，22212AD AC CD =+=， ∴AB BC ⊥，AB BD ⊥，AC CD ⊥， ∵ACAB A=，∴CD ⊥平面ABC．（2）解：AB ⊥面BCD ，如图以B为原点，在平面BCD 中，过B 作BD 的垂线为x 轴， 以BD 为y 轴，以BA为z 轴，建立空间直角坐标系，则()0,0,0B ，()0,0,2A，)C，()D ，∵E 是AD 的中点，∴()E，∴()2,BC =，()BE =，令平面BCE 的一个法向量为(),,x y z =n，则2020BC x BE yz ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩n n ，取1x =，得(1,=-n ，∵CD ⊥面ABC ，∴平面ABC 的一个法向量为()CD =，∴2cos ,CD CD CD⋅==⋅n n n E BC A --的大小为45︒． 19．【答案】（1）60，300；（2）第二车间工人生产效率更高；（3）见解析． 【解析】（1）估计第一车间生产时间小于75 min 的工人人数为6200=6020⨯（人）． 估计第二车间生产时间小于75 min 的工人人数为()4000.0250.0510300+⨯=（人）． （2）第一车间生产时间平均值约为602+704+8010+904==7820x ⋅⋅⋅⋅第一车间（min ）． 第二车间生产时间平均值约为600.25700.5800.2900.0570.5x =⨯+⨯+⨯+⨯=第二车间（min ）． ∴第二车间工人生产效率更高．（3）由题意得，第一车间被统计的生产时间小于75 min 的工人有6人，其中生产时间小于65 min 的有2人，从中抽取3人，随机变量X 服从超几何分布，X 可取值为0，1，2，()032436C C 410C 205P X ====，()122436C C 1231C 205P X ====，()212436C C 412C 205P X ====．X 的分布列为：∴数学期望()1310121555E X =⨯+⨯+⨯=．20．【答案】（1）22143x y +=；（2）见解析． 【解析】（1）由于M 是椭圆C 的上顶点，由题意得226a c +=， 又椭圆离心率为12，即12c a =，解得2a =，1c =， 又2223b a c =-=，∴椭圆C 的标准方程22143x y +=．（2）当直线AB 斜率存在，设AB 的直线方程为()1y t k x -=-，联立()2234121x y y t k x ⎧+=⎪⎨-=-⎪⎩，得()()()2223484120k x k t k x t k ++-+--=，由题意，0∆>，设()11,A x y ，()22,B x y ，则()122834k t k x x k -+=-+，∵PA PB =，∴P 是AB 的中点．即1212x x +=，得()28234k t k k --=+，340kt +=， ① 又l AB ⊥，l 的斜率为1k -，直线l 的方程为()11y t x k-=--， ②把①代入②可得114y x k ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，∴直线l 恒过定点1,04⎛⎫⎪⎝⎭．当直线AB 斜率不存在时，直线AB 的方程为1x =，此时直线l 为x 轴，也过1,04⎛⎫⎪⎝⎭．综上所述，直线l 恒过点1,04⎛⎫⎪⎝⎭．21．【答案】（1）见解析；（2）1e ．【解析】（1）由()ln f x x mx =+，得()11mxf x m x x+'=+=， （ⅰ）当0m ≥时，()0f x '>恒成立，()f x 在()0,+∞上单调递增； （ⅱ）当0m <时，解()0f x '=得1x m=-， 当10,x m ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增，当1,x m ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减．（2）当e m =时，()ln e f x x x =+，令()()ln e g x x a x b =+-+，则()()1e g x a x'=+-， 由（1）可知，当e a ≤时，()g x 在()0,+∞上单调递增，不合题意； 当e a >时，()g x 在10e a ⎛⎫ ⎪-⎝⎭,上单调递增，在1,e a ⎛⎫+∞⎪-⎝⎭上单调递减， 当1ex a =-时，()g x 取得最大值； ∴10e g a ⎛⎫≤ ⎪-⎝⎭恒成立，即()11lne 0e e a b a a +-⨯+≤--，整理得()ln e 10a b --+≥， 即()ln e 1b a ≤-+，()ln e 1a b a a -+≤，令()()ln e 1a h a a-+=，()()()()2e e ln e e a a h a a a ---'=-，令()()()e e ln e H a a a =---，()()ln e 1H a a '=---，解()0H a '=得1e ea =+， 当1e,e e a ⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，()0H a '>，()H a 单调递增；当1e ,e a ⎛⎫∈++∞ ⎪⎝⎭时，()0H a '<，()H a 单调递减；当1e e a =+时，()H a 取得最大值为11e e e e H ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，∵当e a →时，()0H a >，然而()2e 0H =，∴当()e,2e a ∈时，()0H a >恒成立，当()2e,a ∈+∞时，()0H a <恒成立， ∴()h a 在()e,2e 上单调递增，在()2e,+∞上单调递减，即函数()h a 的最大值为()12e e h =，∴b a 的最大值为1e．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．【答案】（1）1C 是以(),0a 为圆心，a 为半径的圆，1C 的极坐标方程2cos a ρθ=； （2）2a =．【解析】（1）由已知得1sin cos xt ay t a⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩平方相加消去参数t 得到2211x y a a ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=，即()222x a y a -+=，∴1C 的普通方程：()222x a y a -+=， ∴1C 是以(),0a 为圆心，a 为半径的圆，再将cos x ρθ=，sin y ρθ=带入1C 的普通方程，得到1C 的极坐标方程2cos a ρθ=． （2）3C 的极坐标方程()5π3θρ=∈R ， 将π6θ=，5π3θ=代入2cos a ρθ=，解得1ρ=，2a ρ=， 则OMN △的面积为21ππsin 263a ⎛⎫⨯⨯+== ⎪⎝⎭2a =． 23．【答案】（1）35,,22⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；（2）见解析． 【解析】（1）()41f x x >-+可化为241x x ->-+，即124x x ++->，当1x ≤-时，()()124x x -+-->，解得32x <-；当12x -<<时，()124x x +-->，无解； 当2x ≥时，124x x ++->，解得52x >． 综上可得32x <-或52x >，故不等式()41f x x >-+的解集为35,,22⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（2）∵a ，10,2b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴1212226f f a b a b ⎛⎫⎛⎫+=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即1210a b +=，∴12222422b b a a a b a b ⎛⎫⎛⎫++=++≥+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当22b a a b =，即15a =，25b =时取等号， ∴1042b a ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，即225b a +≥．高考最新模拟卷 理 科 数 学注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

2020-2021新课标高考理科数学“12＋4”限时提速培优突破二“12＋4”限时提速练(二)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设复数z ＝1＋i1－i＋2i ，则|z |＝( D )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：解法1：因为z ＝1＋i 1－i ＋2i ＝(1＋i )2(1－i )(1＋i )＋2i ＝i ＋2i ＝3i ，所以|z |＝02＋32＝3，故选D.解法2：|z |＝|1＋i 1－i ＋2i|＝|3＋3i 1－i |＝|3＋3i||1－i|＝322＝3，故选D.2．已知集合A ＝{x |－1<x <1}，B ＝{x |x 2－x －2<0}，则(∁R A )∩B ＝( C ) A ．(－1,0] B ．[－1,2) C ．[1,2)D ．(1,2]解析：解法1：由题意知，∁R A ＝{x |x ≥1或x ≤－1}，又B ＝{x |x 2－x －2<0}＝{x |－1<x <2}，所以(∁R A )∩B ＝{x |1≤x <2}，故选C.解法2：因为1∉A 且1∈B ，所以排除A ，D ，又－1∉B ，所以排除B ，故选C.3．甲、乙两名同学6次考试的成绩如图所示，且这6次成绩的平均分分别为x 甲，x 乙，标准差分别为σ甲，σ乙，则( C )A.x 甲<x 乙，σ甲<σ乙B.x 甲<x 乙，σ甲>σ乙C.x 甲>x 乙，σ甲<σ乙D.x 甲>x 乙，σ甲>σ乙解析：由题图可知，甲同学除第2次考试成绩低于乙同学外，其他5次考试成绩都高于乙同学，所以x 甲>x 乙．又由题图中数据知甲同学的成绩波动没有乙同学的成绩波动大，所以甲同学的成绩更稳定，所以σ甲<σ乙，故选C.4．计算sin133°cos197°＋cos47°cos73°的结果为( B ) A.12 B ．－12 C.22D.32解析：sin133°cos197°＋cos47°cos73°＝－sin47°cos17°＋cos47°cos73°＝－sin47°sin73°＋cos47°cos73°＝cos(47°＋73°)＝cos120°＝－12，故选B.5．已知A ，B ，P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上不同的三点，且A ，B 连线经过坐标原点，若直线P A ，PB 的斜率乘积k P A ·k PB ＝3，则该双曲线的离心率为( C )A. 2B.3 C ．2D ．3解析：由双曲线的对称性知，点A ，B 关于原点对称，设A (x 1，y 1)，B (－x 1，－y 1)，P (x 2，y 2)，则x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y 22b 2＝1，又k P A ＝y 2－y 1x 2－x 1，k PB ＝y 2＋y 1x 2＋x 1，所以k P A ·k PB ＝y 22－y 21x 22－x 21＝b 2a 2＝3，所以离心率e ＝1＋b 2a 2＝2，故选C.6．(2x 2－1x )9的展开式中的常数项为( A ) A ．672 B ．－672 C ．84D ．－84解析：(2x 2－1x )9的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 9(2x 2)9－r·(－1x )r＝(－1)r ·29－r·C r 9·x 18－3r，由18－3r ＝0，得r ＝6，所以该二项式的常数项为(－1)6×23×C 69＝672，故选A.7．运行如图所示的程序框图，若输出的S 的值为－21，则判断框中可以填( A )A ．a <64?B ．a ≤64?C ．a <128?D ．a ≤128?解析：执行程序框图，S ＝1，a ＝－2；S ＝－1，a ＝4；S ＝3，a ＝－8；S ＝－5，a ＝16；S ＝11，a ＝－32；S ＝－21，a ＝64.此时退出循环，所以判断框中可以填“a <64？”，故选A.8．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( C )A ．1，3π4 B ．2，π4 C ．π，3π4D ．2π，π4解析：由题图知最小正周期T ＝2×(54－14)＝2，所以ω＝2πT ＝π，所以f (x )＝2sin(πx ＋φ)，把点(14，0)代入，得sin(π4＋φ)＝0，即π4＋φ＝k π(k ∈Z )，所以φ＝k π－π4(k ∈Z )．因为0<φ<π，所以φ＝3π4，故选C.9．在长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，异面直线AC 1与BB 1所成的角为30°，则AA 1＝( D )A. 3 B ．3 C. 5D.6解析：如图，连接A 1C 1，由长方体的性质知，BB 1∥AA 1，则∠A 1AC 1即异面直线AC 1与BB 1所成的角，所以∠A 1AC 1＝30°.在Rt △A 1B 1C 1中，A 1C 1＝A 1B 21＋B 1C 21＝ 2.在Rt △A 1AC 1中，tan ∠A 1AC 1＝A 1C 1A 1A ，即A 1A ＝A 1C 1tan ∠A 1AC 1＝233＝6，故选D.10．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin A sin B ＋sin C ＋ba ＋c ＝1，则C ＝( B )A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析：由正弦定理及sin A sin B ＋sin C ＋b a ＋c ＝1，得a b ＋c ＋ba ＋c＝1，整理可得a 2＋b 2－c 2＝ab .由余弦定理知cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，所以cos C ＝12，又C ∈(0，π)，所以C ＝π3，故选B.11．已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则|FN |＝( B )A ．4B ．6C ．8D ．10解析：解法1：如图，不妨设点M 位于第一象限，设抛物线的准线l ：x ＝－2与x 轴交于点F ′，作MB ⊥l 于点B ，NA ⊥l 于点A ，则|AN |＝2，|FF ′|＝4.在直角梯形ANFF ′中，由中位线定理，知|BM |＝|AN |＋|FF ′|2＝3.由抛物线的定义，知|MF |＝|MB |＝3，结合题意，有|MN |＝|MF |＝3，所以|FN |＝|FM |＋|MN |＝6，故选B.解法2：设N (0，a )，由题意知F (2,0)，则M (1，a2)，因为点M 在抛物线上，所以a 24＝8，解得a ＝±42，所以N (0，±42)，所以|FN |＝(2－0)2＋(0±42)2＝6，故选B.12．已知函数f (x )＝a －x 2(1e ≤x ≤e ，e 为自然对数的底数)与g (x )＝2ln x 的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是( B )A ．[1，1e 2＋2] B ．[1，e 2－2] C ．[1e 2＋2，e 2－2]D ．[e 2－2，＋∞)解析：由条件知，方程a －x 2＝－2ln x ，即a ＝x 2－2ln x 在[1e ，e]上有解．设h (x )＝x 2－2ln x ，则h ′(x )＝2x －2x ＝2(x －1)(1＋x )x .因为当x ∈(1e ，1)时，h ′(x )<0，当x ∈(1，e)时，h ′(x )>0，所以函数h (x )在(1e ，1)上单调递减，在(1，e)上单调递增，所以h (x )min ＝h (1)＝1.因为h (1e )＝1e 2＋2，h (e)＝e 2－2，所以h (e)>h (1e )，所以方程a ＝x 2－2ln x 在[1e ，e]上有解等价于1≤a ≤e 2－2，所以a 的取值范围为[1，e 2－2]，故选B.二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知向量a ＝(1,1)，b ＝(－3,2)，若向量k a －2b 与a 垂直，则实数k ＝－1.解析：由题意，得k a －2b ＝(k ＋6，k －4)．又k a －2b 与a 垂直，所以(k a －2b )·a ＝k ＋6＋k －4＝0，解得k ＝－1.14．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≥0，x ＋y －6≤0，x －2y －3≤0，则z ＝2x －3y 的最小值是－8.解析：解法1：画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由图易知，当目标函数z ＝2x －3y 所表示的直线经过点A (2,4)时，z 取得最小值，即z min ＝2×2－3×4＝－8.解法2：由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝0，x ＋y －6＝0，得A (2,4)，此时z ＝－8；由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝0，x －2y －3＝0，得B (－1，－2)，此时z ＝4； 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －6＝0，x －2y －3＝0，得C (5,1)，此时z ＝7. 综上所述，z ＝2x －3y 的最小值为－8.15．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋52)＋f (x )＝0，当－54≤x ≤0时，f (x )＝2x＋a ，则f (16)＝12.解析：由f (x ＋52)＋f (x )＝0，得f (x )＝－f (x ＋52)＝f (x ＋5)，所以函数f (x )是以5为周期的周期函数，则f (16)＝f (3×5＋1)＝f (1)．又f (x )是定义在R上的奇函数，所以f (0)＝0，即1＋a ＝0，a ＝－1，所以当－54≤x ≤0时，f (x )＝2x －1，所以f (－1)＝－12，则f (1)＝－f (－1)＝12，故f (16)＝12.16．在四棱锥S ­ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面SAD 是以SD 为斜边的等腰直角三角形，若四棱锥S ­ABCD 体积的取值范围为[433，83]，则该四棱锥外接球表面积的取值范围是[28π3，20π]．解析：在四棱锥S ­ABCD 中，由条件知AD ⊥SA ，AD ⊥AB ，SA ∩AB ＝A ，所以AD ⊥平面SAB ，所以平面SAB ⊥平面ABCD .过S 作SO ⊥AB 于点O ，则SO ⊥平面ABCD .设∠SAB ＝θ，则V S ­ABCD ＝13S 正方形ABCD ·SO ＝83sin θ∈[433，83]，所以sin θ∈[32，1]，又θ∈(0，π)，所以θ∈[π3，2π3]，所以－12≤cos θ≤12.在△SAB 中，SA ＝AB ＝2，所以SB ＝221－cos θ，所以△SAB 的外接圆半径r ＝SB2sin θ＝21－cos θsin θ.将该四棱锥补成一个以△SAB 为一个底面的直三棱柱，得其外接球的半径R ＝r 2＋1，所以该四棱锥外接球的表面积S ＝4πR 2＝4π(21＋cos θ＋1)∈[28π3，20π]．。

2020年高考数学二轮复习小题押题（12+4）提速综合练习5-6“12＋4”小题提速综合练(五)一、选择题1．(2017·沈阳检测)已知集合A ＝{x |x (x －3)＜0}，B ＝{－1,0,1,2,3}，则A ∩B ＝( ) A ．{－1} B ．{1,2} C ．{0,3}D ．{－1,1,2,3}解析：选B 因为A ＝{x |0＜x ＜3}，B ＝{－1,0,1,2,3}，所以A ∩B ＝{1,2}．2．(2017·兰州模拟)设复数z ＝－1－i(i 为虚数单位)，z 的共轭复数为z －，则|z ·z －|＝( ) A ．1 B.2 C ．2D.10解析：选C ∵z －＝－1＋i ，∴|z ·z －|＝(－1)2＋12＝2.3．已知平面向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，且(a ＋b )⊥a ，则a 与b 的夹角为( ) A.π6 B.π3C.2π3D.5π6解析：选C 依题意得(a ＋b )·a ＝1＋2cos 〈a ，b 〉＝0，cos 〈a ，b 〉＝－12，〈a ，b 〉＝2π3，即向量a 与b 的夹角为2π3. 4．随机抽取100名高三学生的某次数学考试成绩，经数据处理后作出如图所示的频率分布直方图，根据图中信息，可以推断出成绩在[80,90)之间的人数是( )A ．20B ．45C ．50D ．55解析：选A 依题意得(0.010＋0.015＋x ＋0.030＋0.015＋0.010)×10＝1，解得x ＝0.02，所以成绩在[80,90)之间的频率为0.02×10＝0.2，故成绩在[80,90)之间的人数是100×0.2＝20.5．为了研究高中学生对乡村音乐的态度(喜欢和不喜欢两种态度)与性别的关系，运用2×2列联表进行独立性检验，计算得K 2的观测值k ＝8.01，若推断“喜欢乡村音乐与性别有关系”，则这种推断犯错误的概率不超过( )P (K 2≥k0)0.10.05 0.025 0.0100.0050.001k 0235671.706.841 .024 .635 .879 0.828A ．0.01B ．0.025C ．0.005D ．0.001解析：选C 由K 2的观测值k ＝8.01，观测值同临界值进行比较可知，这种推断犯错误的概率不超过0.005. 6．(2018届高三·长沙摸底)运行如图所示的程序框图，则输出的结果为( )A ．1 008B ．1 009C ．2 016D ．2 017解析：选A 由程序框图知，此题是求当k 取1,2，…，2 016这些值时，(－1)k ·k 的和，所以输出的S ＝0－1＋2－3＋4－…＋2 014－2 015＋2 016＝0＋(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋(－2 015＋2 016)＝1 008.7.(2017·石家庄模拟)某几何体的三视图如图所示(在网格线中，每个小正方形的边长为1)，则该几何体的体积为( )A ．2B ．3C ．4D ．6解析：选A 由三视图知，该几何体为四棱锥，其底面面积S ＝12×(1＋2)×2＝3，高为2，所以该几何体的体积V ＝13×3×2＝2.8．(2017·长沙模拟)关于函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4＋1，下列叙述有误的是( ) A ．其图象关于直线x ＝－π4对称B ．其图象可由y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋1图象上所有点的横坐标变为原来的13得到 C ．其图象关于点⎝⎛⎭⎫11π12，0对称 D ．其值域是[－1,3]解析：选C 法一：由3x ＋π4＝π2＋k π，k ∈Z ，解得x ＝π12＋k π3，k ∈Z ，当k ＝－1时，函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4＋1的对称轴为 x ＝－π4，故A 正确；由图象变换知识可得横坐标变为原来的13，就是把x 的系数扩大3倍，故B 正确；由3x ＋π4＝k π(k ∈Z)，解得x ＝－π12＋k π3，k ∈Z ，当k ＝3时，x ＝11π12，对称中心为⎝⎛⎭⎫11π12，1，故C 错误；因为－1≤sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4≤1，所以函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4＋1的值域为[－1,3]，故D 正确．法二：由于函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4＋1是在y ＝2sin3x ＋π4的基础上向上平移了1个单位长度而得到，因此对称中心的纵坐标应为1，故选项C 错误．9．函数y ＝2xln|x |的图象大致为( )解析：选B 函数y ＝2xln|x |的定义域是{x |x ≠0，x ≠1，x ≠－1}，排除A ；函数定义域关于原点对称，且f (－x )＝－2x ln|x |＝－f (x )，则函数为奇函数，排除C ；当x ∈(0,1)时，y ＝2x ln x ＜0，排除D ，故选B. 10．设a ＞b ＞1，c ＜0，给出下列四个结论：①c a ＞cb ；②ac ＞b c ；③(1－c )a ＜(1－c )b ；④log b (a －c )＞log a (b －c )． 其中正确结论有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：选B 因为a ＞b ＞1，c ＜0，所以0＜1a ＜1b ＜1，c a ＞c b ，①正确；因为c ＜0，所以y ＝x c 在(0，＋∞)上单调递减，则a c ＜b c ，②错误；因为c ＜0,1－c ＞1，所以y ＝(1－c )x 在R 上单调递增，则(1－c )a ＞(1－c )b ，③错误；因为a －c ＞b －c ＞1，则log b (a －c )＞log b (b －c )＞log a (b －c )，④正确．综上所述，正确的结论有2个，故选B.11．(2017·云南模拟)设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点为F ，直线4x －3y ＋20＝0过点F 且与C 在第二象限的交点为P ，O 为原点，若|OP |＝|OF |，则C 的离心率为( )A ．5 B.5 C.53D.54解析：选A 依题意得F (－5,0)，|OP |＝|OF |＝5，tan ∠PFO ＝43，cos ∠PFO ＝11＋tan 2∠PFO ＝35，|PF |＝2|OF |cos∠PFO ＝6.记双曲线的右焦点为F 2，则有|FF 2|＝10.在△PFF 2中，|PF 2|＝|PF |2＋|FF 2|2－2|PF |·|FF 2|·cos ∠PFF 2＝8.由双曲线的定义得a ＝12(|PF 2|－|PF |)＝1，则C 的离心率为e ＝c a ＝5.12．已知函数f (x )＝3xa －2x 2＋ln x (a ＞0)，若函数f (x )在[1,2]上为单调函数，则a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤0，25 B ．[1，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫0，25∪(1，＋∞) D.⎝⎛⎦⎤0，25∪[1，＋∞) 解析：选D f ′(x )＝3a －4x ＋1x (a ＞0)， 若函数f (x )在[1,2]上为单调函数，则f ′(x )＝3a －4x ＋1x ≥0或f ′(x )＝3a －4x ＋1x ≤0在[1,2]上恒成立，即3a ≥4x －1x 或3a ≤4x －1x 在[1,2]上恒成立， 令h (x )＝4x －1x，则h ′(x )＝4＋1x 2＞0，x ∈[1,2]，所以h (x )＝4x －1x 在[1,2]上单调递增，所以3a ≥h (2)＝152或3a ≤h (1)＝3，又a ＞0，则0＜a ≤25或a ≥1.二、填空题13．(2018届高三·贵州七校联考)某高中共有学生1 000名，其中高一年级共有学生380人，高二年级男生有180人．如果在全校学生中抽取1名学生，抽到高二年级女生的概率为0.19，现采用分层抽样(按年级分层)在全校抽取100人，则应在高三年级中抽取的人数等于__________．解析：因为高中共有学生1 000名，在全校学生中抽取1名学生，抽到高二年级女生的概率为0.19，所以高二年级女生有1 000×0.19＝190人，则高二年级共有学生180＋190＝370人，所以高三年级有1 000－370－380＝250人，则采用分层抽样(按年级分层)在全校抽取100人，应在高三年级中抽取的人数为2501 000×100＝25. 答案：2514．若实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥2，x －2y ≥－4，3x －y ≤3，则z ＝2x －y 的最大值为________．解析：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，由图知，当直线z ＝2x －y 经过点A (1,0)时，目标函数取得最大值，即z max ＝2×1－0＝2.答案：215．已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为455，则圆C 的方程为________．解析：因为圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，设C (a,0)，且a ＞0，所以圆心到直线2x －y ＝0的距离d ＝2a5＝455，解得a ＝2，所以圆C 的半径r ＝|CM |＝22＋(5)2＝3， 所以圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝9. 答案：(x －2)2＋y 2＝916．(2017·辽宁朝阳三校协作体模考)定义：如果函数y ＝f (x )在定义域内的给定区间[a ，b ]上存在x 0(a ＜x 0＜b )，满足f (x 0)＝f (b )－f (a )b －a，则称函数y ＝f (x )是[a ，b ]上的“平均值函数”，x 0是它的一个均值点，例如y ＝x 2是[－1,1]上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数f (x )＝x 3＋mx 是[－1,1]上的平均值函数，则实数m 的取值范围是________．解析：由f (x )＝x 3＋mx 是[－1,1]上的平均值函数，知关于x 的方程x 3＋mx ＝f (1)－f (－1)1－(－1)在区间(－1,1)上有解，即方程x 3＋mx －m －1＝0在区间(－1,1)上有解，就是方程m ＝－x 2－x －1在区间(－1,1)上有解．因为当x ∈(－1,1)时，y ＝－x 2－x －1＝－⎝⎛⎭⎫x ＋122－34∈⎝⎛⎦⎤－3，－34，所以m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－3，－34. 答案：⎝⎛⎦⎤－3，－34“12＋4”小题提速综合练(六)一、选择题1．(2018届高三·广西三市联考)设集合A ＝{x |y ＝x －1}，集合B ＝{x |2x －x 2＞0}，则(∁R A )∩B 等于( ) A ．(0,2) B ．[1,2) C ．(0,1)D ．∅解析：选C ∵A ＝[1，＋∞)，B ＝(0,2)，∴(∁R A )∩B ＝(0,1)．2．(2017·湘中名校联考)若复数z ＝m (m －1)＋(m －1)i 是纯虚数，其中m 是实数，则1z ＝( ) A ．i B ．－i C ．2iD ．－2i解析：选A 由题意，得m (m －1)＝0且(m －1)≠0，得m ＝0，所以z ＝－i ，1z ＝1－i ＝i.3．(2017·宜昌模拟)下列函数中，周期为π的奇函数是( ) A ．y ＝sin x cos x B ．y ＝sin 2xC ．y ＝tan 2xD ．y ＝sin 2x ＋cos 2x解析：选A y ＝sin 2x 为偶函数；y ＝tan 2x 的周期为π2；y ＝sin 2x ＋cos 2x 为非奇非偶函数，故B 、C 、D 都不正确；y ＝sin x cos x ＝12sin 2x 是周期为π的奇函数，故选A.4．(2017·全国卷Ⅰ)如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MNQ 不平行的是( )解析：选A 法一：对于选项B ，如图所示，连接CD ，因为AB ∥CD ，M ，Q 分别是所在棱的中点，所以MQ ∥CD ，所以AB ∥MQ .又AB ⊄平面MNQ ，MQ ⊂平面MNQ ，所以AB ∥平面MNQ .同理可证选项C 、D 中均有AB ∥平面MNQ .故选A.法二：对于选项A ，设正方体的底面对角线的交点为O (如图所示)，连接OQ ，则OQ ∥AB .因为OQ 与平面MNQ 有交点，所以AB 与平面MNQ 有交点，即AB 与平面MNQ 不平行，根据直线与平面平行的判定定理及三角形的中位线性质知，选项B 、C 、D 中AB ∥平面MNQ .故选A.5．(2017·北京西城区模拟)已知圆C 的圆心是直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点，且圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切，则圆C 的方程是( )A ．(x ＋1)2＋y 2＝2B ．(x ＋1)2＋y 2＝8C ．(x －1)2＋y 2＝2D ．(x －1)2＋y 2＝8解析：选A 根据题意直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点为(－1,0)．因为圆与直线x ＋y ＋3＝0相切，所以半径为圆心到切线的距离，即r ＝d ＝|－1＋0＋3|12＋12＝2，则圆的方程为(x ＋1)2＋y 2＝2. 6．函数y ＝e cos x (－π≤x ≤π)的大致图象为( )解析：选C ∵y ＝e cos x ，x ∈[－π，π]为偶数．故排除B 、D.又当x ∈[0，π]时u ＝cos x 为减函数，y ＝e u 为增函数，∴y ＝e cos x 在[0，π]内为减函数，故排除A ，选C.7.(2018届高三·云南调研)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．1B ．2C ．3D ．6解析：选C 依题意，题中的几何体是一个直三棱柱(其底面左、右相对)，其中底面是直角边长分别为1、2的直角三角形，侧棱长为3，因此其体积为⎝⎛⎭⎫12×1×2×3＝3.8．(2017·广州模拟)执行如图所示的程序框图．若输入的n ＝5，则输出k 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选B k ＝0，n ＝16，执行否；k ＝1，n ＝49，执行否；k ＝2，n ＝148，执行否；k ＝3，n ＝445＞150，执行是，输出的k ＝3，n ＝445.9．(2017·福州模拟)要得到函数f (x )＝sin 2x 的图象，只需将函数g (x )＝cos 2x 的图象( ) A ．向左平移12个周期B ．向右平移12个周期C ．向左平移14个周期D ．向右平移14个周期解析：选D 因为f (x )＝sin 2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4，且函数g (x )的周期为2π2＝π，所以将函数g (x )＝cos2x 的图象向右平移π4个单位长度，即向右平移14个周期，得到函数f (x )＝sin 2x 的图象．10.(2018届高三·宁夏吴忠联考)如图，某海上缉私小分队驾驶缉私艇以40 km/h 的速度由A 处出发，沿北偏东60°方向进行海面巡逻，当航行半小时到达B 处时，发现北偏西45°方向有一艘船C ，若船C 位于A 的北偏东30°方向上，则缉私艇所在的B 处与船C 的距离是( )A ．5(6＋2)kmB ．5(6－2)kmC ．10(6－2)kmD ．10(6＋2)km解析：选C 由题意，知∠BAC ＝60°－30°＝30°，∠ABC ＝30°＋45°＝75°，∠ACB ＝180°－75°－30°＝75°，∴AC ＝AB ＝40×12＝20(km)．由余弦定理，得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB ·cos ∠BAC ＝202＋202－2×20×20×cos 30°＝800－4003＝400(2－3)，∴BC ＝400(2－3)＝200(3－1)2＝102(3－1)＝10(6－2)km.11．(2017·安徽二校联考)已知点P ，A ，B 在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)上，直线AB 过坐标原点，且直线PA ，PB 的斜率之积为13，则双曲线的离心率为( )A.233B.153 C ．2D.102解析：选A 根据双曲线的对称性可知点A ，B 关于原点对称，设A (x 1，y 1)，B (－x 1，－y 1)，P (x ，y )，所以x 21a2－y 21b 2＝1，x 2a 2－y 2b 2＝1，两式相减得x 21－x 2a 2＝y 21－y 2b 2，即y 21－y 2x 21－x 2＝b 2a 2，因为直线PA ，PB 的斜率之积为13，所以k PA ·k PB ＝y 1－y x 1－x ·－y 1－y －x 1－x ＝y 21－y2x 21－x2＝b 2a 2＝13，所以双曲线的离心率为e ＝1＋b 2a 2＝1＋13＝233. 12．(2017·成都模拟)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (－x －1)＝f (x －1)，当x ∈[－1,0]时，f (x )＝－x 3，则关于x 的方程f (x )＝|cos πx |在⎣⎡⎦⎤－52，12上的所有实数解之和为( ) A ．－7 B ．－6 C ．－3D ．－1解析：选A 因为函数f (x )为偶函数，所以f (－x －1)＝f (x ＋1)＝f (x －1)，所以函数f (x )的周期为2，又当x ∈[－1,0]时，f (x )＝－x 3，由此在同一平面直角坐标系内作出函数y ＝f (x )与y ＝|cos πx |的图象，如图所示．由图知关于x 的方程f (x )＝|cos πx |在⎣⎡⎦⎤－52，12上的实数解有7个．不妨设x 1＜x 2＜x 3＜x 4＜x 5＜x 6＜x 7，则由图，得x 1＋x 2＝－4，x 3＋x 5＝－2，x 4＝－1，x 6＋x 7＝0，所以方程f (x )＝|cos πx |在⎣⎡⎦⎤－52，12上的所有实数解的和为－4－2－1＋0＝－7.二、填空题13．(2017·长沙模拟)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤10，3x ＋y ≤18，x ≥0，y ≥0，则z ＝x＋y2的最大值为________．解析：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，目标函数的方程化成斜截式为y ＝－2x ＋2z ，平移直线y ＝－2x ，当直线经过点B 时，z ＝x ＋y2取得最大值，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋y －18＝0，x ＋y －10＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝6，即B (4,6)，所以z max ＝4＋3＝7.答案：714.(2017·长春模拟)将1,2,3,4…这样的正整数按如图所示的方式排成三角形数组，则第10行左数第10个数为________．解析：由三角形数组可推断出，第n 行共有2n －1个数，且最后一个数为n 2，所以第10行共19个数，最后一个数为100，左数第10个数是91.答案：9115．(2017·福州模拟)正方形ABCD 中，E 为BC 的中点，向量AE ―→，BD ―→的夹角为θ，则cos θ＝________. 解析：法一：设正方形的边长为a ，则|AE ―→|＝52a ，|BD ―→|＝2a ，又AE ―→·BD ―→＝⎝⎛⎭⎫AB ―→＋12 AD ―→ ·(AD ―→－AB ―→)＝12AD ―→2－AB ―→2＋12AD ―→·AB ―→＝－12a 2，所以cos θ＝AE ―→·BD ―→| AE ―→|·|BD ―→|＝－12a 25a 2·2a＝－1010.法二：设正方形的边长为2，建立如图所示的平面直角坐标系．则A (0,0)，B (2,0)，D (0,2)，E (2,1)，∴AE ―→＝(2,1)，BD ―→＝(－2,2)，∴AE ―→ ·BD ―→＝2×(－2)＋1×2＝－2，所以cos θ＝AE ―→·BD ―→|AE ―→|·|BD ―→|＝－25×22＝－1010.答案：－101016．已知圆C的方程为(x －1)2＋y 2＝1，P是椭圆x 24＋y 23＝1上一点，过点P 作圆C 的两条切线，切点为A ，B ，则PA ―→·PB ―→的最小值是________．解析：设∠APB ＝2θ，PA ―→·PB ―→＝|PA ―→|·|PB ―→|cos 2θ＝|PA ―→|2(2cos 2θ－1)＝|PA ―→|2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2·|PA ―→|2|PC ―→|2－1，令|PC ―→|2＝x ，得PA ―→·PB ―→＝x ＋2x －3，∵x ∈(1,9]，∴PA ―→·PB ―→≥22－3，当且仅当x ＝2时，取等号，故PA ―→·PB ―→的最小值是22－3.答案：22－3。