第一讲代数式

代数式（第1课时）【教学目标】1.在具体情境中进一步体验字母表示数的意义，理解代数式的有关概念，能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义，发展符号感；2.掌握代数式的书写规范，能把文字语言表述的数量关系用代数式表示出来；3.经历列代数式的过程，体会代数式可以表示数量关系，培养学生观察、分析和抽象思维能力。

【教学重点】1.说出代数式所表达的数量关系；2.根据语言文字表述的数量关系写出规范的代数式。

【教学难点】正确理解题意，从中找出数量关系中的运算顺序，并能准确地写成代数式。

、 【教学过程】一、复习回顾，引入新课：1.上节课我们共同学习了“用字母表示数”，我们知道了用字母表示数有许多优点，实际上用字母表示数就是代数。

让我们共同回忆一下上一节课我们用字母代替数得到了哪些式子。

2190,,2,21,4,3n a b k k a r h π++ 2.设甲数为x ，你能用含x 的式子表示乙数吗？⑴、乙数比甲数大5； ⑵、乙数比甲数的2倍小3； ⑶、乙数比甲数的倒数小7； ⑷、乙数比甲数大16% 。

二、合作交流，探索新知:1.观察上面所列式子，这些式子有什么特征？2.代数式：用加、减、乘（乘方）、除等运算符号把数和表示数的字母连接而成的式子。

注意：单独的一个数字或字母也是代数式。

强调：代数式与等式、不等式的联系和区别。

3.代数式的书写格式：⑴、数字与字母、字母与字母相乘，乘号可以写成“●”或省略不写，数字与字母相乘时，数字写在字母的前面，字母与字母相乘时，相同的字母要写成幂的形式，数字与数字相乘时，乘号不能省略；⑵、如果式子中出现除法一般写成分数形式；⑶、如果字母前面的数字是带分数，要把它化成假分数。

⑷、代数式后有单位，和、差形式的代数式应添上括号。

4.你能完成吗？⑴、填一填：（详见教材第60页 例1） ⑵、练一练：（详见教材第61页 练习）5.代数式的意义：代数式中的字母可以表示很多的量，字母代表不同的意义，代数式含义也不相同，一般来讲代数式的意义可分为两部分，一是代数意义，就是按运算顺序读出来，二是几何意义。

第一讲 整式加减——列代数式知识点一 用字母表示数例子：如果用a 、b 表示任意两个有理数，那么加法交换律可以用字母表示为：a ＋b ＝b ＋a ．用字母表示数之后，有些数量之间的关系用含有字母的式子表示，看上去更加简明，更具有普遍意义了．例。

填空：（1）某地为了治理河山，改造环境，计划在第十个五年计划期间植树绿化荒山，如果每年植树绿化x 公顷荒山，那么这五年内植树绿化荒山_________公顷；（2）如果王红用t 小时走完的路程为s 千米，那么她的速度为_______________千米／时；（3）每本练习本m 元，甲买了5本，乙买了2本，两人一共花了____________________元，甲比乙多花了______________________元．知识点二 代数式上述各问题中出现的如16n ，5s ，2a ＋3b ，以及前面出现的b 21，a ，b ，a ＋b ，ab ，2a ，()2b a +，15，5 050，()21+n n ，5x ，ts 等式子，我们称它们为代数式(algebraic expression)． 【例】：（1） 圆的半径为r cm ，它的面积为______2cm ； （2）长方形的长与宽分别为a cm 、b cm ，则该长方形的周长为______cm ；注意（1）代数式中出现的乘号，通常写作“·”或省略不写，如6×b 常写作6·b 或6b ；（2）数字与字母相乘时，数字写在字母前面，如6b 一般不写作b6；（3）除法运算写成分数形式，如1÷a 通常写作()01≠a a【练一练】（1）a 千克含盐为10%的盐水中含盐_________千克；（2）某同学军训期间打靶成绩为10环、8环、8环、7环、a 环，则他的平均成绩为____________环；（3）甲以a 千米／时、乙以b 千米／时（a ＞b ）的速度沿同一方向前进，甲在乙的后面8千米处开始追乙，则甲要追上乙需_______小时；（4） 一枚古币的正面是一个半径为r 厘米的圆形，中间有一个边长为a 厘米的正方形孔，则这枚古币正面的面积为__________．知识点三．列代数式1. 某地区夏季高山上地温度从山脚处开始每升高100米降低0.7℃。

第一讲 字母表示数和代数式【典型例题1】 设某数为x ，用x 表示下列各数： （1）比某数的一半还多2的数； （2）某数减去3的差与213的积； （3）某数与3的和除以某数所得的商； （4）某数的60%除以m 的商。

解析： （1）1 2.2x + （2）()53.3x - (3) 3.x x + (4) 60%x m点评：此题考查的知识点是用字母表示未知量，根据题意将文字语言转换为符号语言，要按文字语言叙述的顺序书写符号语言。

【知识点】 用字母表示数。

注意书写规则1、数字与字母及字母与字母间的乘号要省略，如2.a ab 、2、除法运算要用分数线来表示，如.2cr3、数字（包括整数、分数、小数、百分数、π等）应写在字母的前面，如220.250%3b a a r π、、、；当字母前面的数字是1时应省略不写，当数字因数是带分数时，一定要把带分数化为假分数，再写到字母的前面，如112a 应写成3.2a 4、若结果中有多个字母，习惯上按26个字母的先后顺序书写，如一般写xy ，不写成.yx 【基本习题限时训练】1、用式子表示“a 与b 的和除以b 与a 的差”是（ ） Aa b a b +- B a b b a +- C a b a b -+ D b aa b-+ 【解】按照文字语言的叙述的顺序书写符号语言，故选B. 2、字母表达式223x y -的意义为（ ）A x 与3y 的平方差B x 的平方减3的差乘以y 的平方C x 与3y 的差的平方D x 的平方与y 的平方的3倍的差 【解】按照运算顺序2x 与23y 先进行文字表述，最后进行差的运算，故选D.3、用字母表示分数的基本性质（分数的分子、分母都乘以同一个不为0的数，分数的值不变）应为（ ）Aa mab mb = B a ac b ab = C ()0a ma m b mb =≠ D ()0a mbm b ma=≠【解】要保持分数的值不变，分子、分母乘以的数应相同，且该数不能为0，A 项中未注明0m ≠；B 项中乘以的数不同；D 项与B 项一样，因而选C 。

第1讲 比较实数(或代数式)的大小知识与方法比较实数(或代数式)的大小以不等式的性质为主要依据,涉及不等式、函数等数学知识,具有涉及面广、解法灵活等特点,因此,理解、掌握比较实数(或代数式)大小的基本事实,掌握不等式性质及常用方法,是解决问题的关键.一、基本事实1 0;0;0a b a b a b a b a b a b ->⇔>-=⇔=-<⇔<.2 已知,a b 是两个正数,则1;1;1a a a a b a b a b b b b>⇔>=⇔=<⇔<. 二、不等式性质1 a b b a >⇔<;2 ,a b b c a c >>⇒>;3 a b a c b c >⇒+>+;4 ,0;,0a b c ac bc a b c ac bc >>⇒>><⇒<;5 ,a b c d a c b d >>⇒+>+;6 0,0a b c d ac bd >>>>⇒>;7 ()0,2n n a b a b n n >>⇒>∈N三、常用方法1.作差比较;2.作商比较;3.赋值;4.构造函数.四、易错警示1 利用不等式的性质时需要注意该性质成立的前提条件.2 变形后比较大小需要关注变形的等价性.五、典型例题【例1】已知a>b>0的大小. 【分析】比较代数式大小的基本方法是作差比较,又因为两个代数式都是大于零的,所以也可以尝试作商比较.【解析】解法1：-=+=.⎛⎫=因为0a b>>,0 >>,所以0⎛⎫>,>.解法2：因为0a b>>,=>>.所以2222a ba bb a-=--+()()()332221()0,a ba baba ab ba baba ba bab+=-+⎛⎫-+=+-⎪⎝⎭-=+>所以22>.>.解法3：1a b====+.因为0a b >>,所以11+>,1>.0->，>. 【点睛】(1)作差比较基本步骤:作差、变形、定号、结论.(2)作商比较基本步骤:作商、变形、定号、结论.【例2】已知实数a,b,c,d 满足,a b c d a d b c +=++<+,则a,b,c,d 的大小关系是( ) A.,a c d b B.,a c d b <<C.,a c d b ><D.,a c d b >>【分析】此题不宜用作差比较或作商比较,考虑利用不等式的主要性质.另外,对选择题还可以采用赋值法.【解析】解法1：因为a b c d +=+,所以a c d b -=-.又因为a d b c +<+,所以a c b d -<-,所以d b b d -<-,所以,0d b a c d b <-=-<,即,a c d b <<.故选B.解法2：令3,5,7,1a b c d ====,则满足,a b c d a d b c +=++<+.故选B.【点睛】解法1借助不等式性质构建a c -与b d -的关系,继而得出d b <,从而解决了问题. 解法2既快又准,适用于选择题.【例3】若 0,0,0a b c b d >>>-<<，试比较 ,,,b a b c a d a b a c b d++++的大小.} 【分析】先分成两组,一组比1大,一组比1小,再作差比较.【解析】解法1：因为0a b >>,所以1,1b a a b. 又因为0,0c b d >-<<,所以1,1b c a d a c b d++++. 又因为()()()()0,0a b c b a d b c b a d a a c a a a c b d b b b d --++-=>-=>++++, 故b b c a a d a a c b b d++<<<++. 解法2：令4,3,2,1a b c d ====-, 则3453,,,4362b a bc ad a b a c b d ++====++,故b b c a a d a a c b b d++<<<++. 【点睛】(1)已知0a b >>,且0m >,则b b m a a m+<+; (2)已知0a b >>,且0m >,则a a m b b m+>+. 【例4】已知1,01a b c ><<<,设1,,log cb b x a y zc a -⎛⎫=== ⎪⎝⎭,试比较,,x y z 的大小. 【分析】根据式子结构构造函数,并用函数性质比较大小.【解析】解法1：因为1a >,所以函数xy a =是递增函数. 又因为01b c <<<,所以11c c b y a x a a -⎛⎫==>=> ⎪⎝⎭.又log log 1b b z c b =<=,故y x z >>.解法2：因为,1,0bb c c x a a a b c y a-==>-<, 所以1,1x x y,即1x y <<. 而log log 1b b z c b =<=,故y x z >>.解法3：令4,0.25,0.5a b c ===,则0.50.250.25142,log 0.50.54x y z -⎛⎫====== ⎪⎝⎭.【点睛】根据代数式结构构造函数是突破,用函数的性质比较大小是关键,熟练掌握基本函数及其性质是解题的基础.【例5】已知a,b 为正实数,且242log 42log a ba b +=+，试比较a 与2b 的大小.【分析】等式两边的结构类似,可化成同等结构变成不等式,然后通过构造函数并利用函数的单调性比较大小.【解析】解法1：因为()2224222log 42log 2log 2log 2a b b b a b b b +=+=+<+, 令()22log x f x x =+,则()()2f a f b <.又因为()22log x f x x =+是递增函数,故2a b <.解法2：假设2a b ,则()2222242log 2log 241log 4log 42log a b b b b a b b b b ++=++>+=+,这与已知条件242log 42log a b a b +=+矛盾,所以假设不成立.故2a b <.解法3：令1b =,则22log 4a a +=.因为函数()22log x f x x =+是递增函数,且()()12,25f f ==,则12a <<.【点睛】解法1与解法2是解答题的两种常规解法. 解法1通过放缩变成结构相同的代数式,然后构造函数并利用函数性质解决. 解法2是用反证的恩想,当正面难以解答时,考虑从反面解答. 解法3是赋值法,适用于小题.【例6】已知12,24a b a b -+,求证:54210a b -【分析】建立所求不等式与已知不等式的关系，再利用不等式的性质进行运算.【解析】解法1：设()()()()42a b m a b n a b m n a m n b -=-++=+--,则4,2,m n m n +=⎧⎨-=⎩解得3,1,m n =⎧⎨=⎩即()()423a b a b a b -=-++. 因为12,24a b a b -+,故54210a b -.解法2：令()2f x ax bx =+,则()()1,1,f a b f a b ⎧-=-⎪⎨=+⎪⎩ 所以()()()()11,211,2f f a f f b ⎧+-=⎪⎪⎨--⎪=⎪⎩所以()()42311a b f f -=-+.又因为()()112,214f f -,故54210a b -.【点睛】多次使用不等式性质有可能会扩大取值范围,因此要用整体思想求解,即所求式子用条件表示.强化训练1. 已知,a b 为非零实数,试比较22a b b a-与a b -的大小. 【解析】解法1：()()2233a b a b a b a b b a ab ⎛⎫----=--= ⎪⎝⎭()22a b a b ab+- 所以,当0a b >或0a b >时,22a b a b b a--;当0a b >>时,22a b a b b a -<-; 当0b a >或0b a >时,22a b a b b a --;当b >0a >时,22a b a b b a->-. 【解析】解法2：当a b =时,22a b a b b a-=-; 当a b ≠时,()223322a b a b a ab b b a a b ab a b ab --++===--221a b ab++ 当0a b >>或0a b >>时,22a b a b b a->-; 当0a b >>时,22a b a b b a-<-; 当0b a >>或0b a >>时,22a b a b b a-<-; 当0b a >>时,22a b a b b a->-. 2.（多选题)设01,a b c <<<∈R ,则下列不等式成立的是（）A.ac bc >B.33a b <C.11a b <D.()20a b c -【答案】BD【解析】当0c 时选项A 不成立;根据不等式性质,得到33a b <,选项B 成立; 由110b a a b ab --=>得11a b>,选项C 不成立; 因为20,0a b c -<,由不等式性质④得()20a b c -.3.某建筑公司建居民住宅时,要求窗户面积与卧室地面面积的比值达到20%左右,这个比值越大采光条件越好.如果同时减少相等的窗户面积和卧室地面面积,那么采光条件A.变好了B.变差了C.没有发生变化【答案】B【解析】:由0a b >>,且0m >,则b b m a a m+<+,可得采光条件变差了. 4.若,,x y z 是正实数,满足235x y z ==,试比较3,4,6x y z 的大小.【解析】令235x y z k ===,则233log ,4x k y ==354log ,66log k z k =, 所以23lg 33log 33lg3lg27lg21lg 44log 4lg2lg164lg3kk x k y k ====>, 即34x y >.同理可得36,64x z z y >>.故364x z y >>.5.若22sin sin a a b b b a -<-,则（）A.a b >B.a b <C.a b <D.a b >【答案】C【解析】:令()2sin f x x x x =+,则()f x 为偶函数. 又当0x >时,()()sin cos 2cos 1f x x x x x x x x =++=+++'sin 0x , 所以()f x 在[)0,∞+上单调递增.因为222sin sin sin sin a a b b b a a a a b b -<-⇔+<2b +,即()()f a f b <,所以a b <.6.若22ππαβ-<<<,则2αβ-的取值范围为_____. 【答案】3,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】:因为22ππαβ-<<<,所以0παβ-<-<,所以()322ππααβ-<+-<, 故2αβ-的取值范围为3,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 7.已知ABC 的三边长分别为,,a b c ,且满足3b c a +,则c a的取值范围是_____. 【答案】()0,2【解析】:由已知三角形三边关系得3,,,a b c ab a cc a b<+⎧⎪<+⎨⎪<+⎩所以13,1,1,b ca ab ca ac ba a⎧<+⎪⎪⎪<+⎨⎪⎪<+⎪⎩即13,11,b ca ac ba a⎧<+⎪⎪⎨⎪-<-<⎪⎩故ca的取值范围是()0,2.。

七年级数学代数式学⽣讲义第⼆章代数式2.1 字母表⽰数和列代数式【本讲主要内容】⼀. 教学内容：⽤字母表⽰数、列代数式⼆. 重点、难点：1. 重点：⽤字母表⽰数，代数式的意义，列代数式。

2. 难点：熟练地⽤字母表⽰数，列代数式。

三. 教学知识要点：1. ⽤字母表⽰数，不要使字母表⽰的数的范围缩⼩，⼀个字母可表⽰任何有理数。

2. 在同⼀个问题中，不同的量必须⽤不同的字母表⽰。

3. 字母与字母相乘，“乘号”可省略，数字与字母相乘，要把数字写在字母前⾯（如a ×3必须写成3a ，不能写成a3）；带分数与字母相乘，⼀定要把带分数化成假分数。

5. 代数式的意义⽤运算符号——加、减、乘、除、乘⽅、开⽅，把数字与字母联结⽽成的式⼦叫代数式。

说明：（1）单独的⼀个数或字母，虽没涉及运算，但可以看作是该数或字母乘以（或除以）1，规定它们也是代数式（如15，l ，t，0……）。

（2）正确列出代数式的关键为：抓住关键词语的意义，理清它们之间的数量关系，弄清运算顺序和括号的使⽤⽅法。

（3）代数式中不含“＝”号或“＞、＜、≠”号等表⽰相等关系或不等关系的符号。

四. 考点分析㈠⽤字母表⽰数⽤字母表⽰数可以简明地表达现实中浩繁的数量间的关系，表达数的各种运算定律、性质和法则。

如⽤字母a 、b 、c 表⽰三个数，则加法结合律可表⽰为：a+b+c=a+（b+c ）=（a+b ）+c.在⽤字母表⽰数时，应注意：（1）同⼀个问题中的相同量要⽤同⼀个字母表⽰，不同量必须⽤不同字母表⽰.同⼀个字母在不同问题中的意义也是不同的.如在表⽰长⽅形的⾯积公式时，⽤S 表⽰⾯积，a 表⽰长⽅形的长，b 表⽰长⽅形的宽，则有S=ab 。

在这⾥，S 、a 、b 分别表⽰不同的量，同样是字母a ，在不同的问题中可表⽰不同的数。

（2）应该遵循规定了的、约定俗成的、沿袭的表⽰习惯.如：⽤C 表⽰周长，⽤㎝表⽰厘⽶…… ㈡代数式1. 代数式的定义像n-2，3b ，yx，m+3等由运算符号连接的式⼦都是代数式.单独⼀个数或⼀个字母也是代数式.2. 写代数式（1）数与数相乘⽤“×”；数与字母，字母与字母相乘⽤“·”或省略不写；（2）字母与数字相乘，数字因式应放在字母因式之前，带分数与字母相乘，带分数要化为假分数.如34-a 不能写成311- a.（3）代数式中的除号⼀般⽤分数线表⽰.如2a ÷b 应写成b a 2.（4）⼏个字母因数排列时，⼀般按字母顺序排列.如5a 2c 3b 通常写成5a 2bc 3.（5）代数式若是和或差的形式，且结果中⼜有单位的，应⽤括号将代数式括起来，后⾯再带单位.如（2a+3）㎝不能写成2a+3㎝. 3. 列代数式列代数式⾸先要确定数量与数量的运算关系，其次应抓住题中的⼀些关键词语，如和、差、积、商、平⽅、倒数以及⼏分之⼏、⼏成、倍等等.抓住这些关键词语，反复咀嚼，认真推敲，列好⼀般的代数式就不太难了.【典型例题】例1. ⽤代数式表⽰：（1）x 的平⽅与y 的⼀半的和（2）x 与y 的平⽅的和的2倍（3）a 与b 的倒数的差的平⽅（4）两个数的和为100，其中⼀个数为a ，求两数积（5）m 与n 的和减去2的相反数（6）⼆个连续偶数的积例2. 有若⼲张边长都是2的三⾓形纸⽚，从中取出⼀些纸⽚按如图所⽰的顺序拼接起来，可以组成⼀个⼤的平⾏四边形与⼀个⼤的梯形，如果取的纸⽚数为n ，试⽤含n 的代数式表⽰组成的平⾏四边形或梯形的周长。

1、字母表示数要注意的几点：数字与字母及字母与字母的乘号要省略；除法运算要用分数线来表示；数学应写在字母的前面，当字母前的数字是1的时候应省略不写（当字母前的数字是带分数时，一定要带分数化成假分数；主体为和的形式，后面有单位需加括号；注意：字母可以表示任意的数，也可以表示特定意义的公式，还可以表示符合条件的某一个数，甚至可以表示具有某些规律的数，总之字母可以简明地将数量关系表示出来．2、代数式：用运算符合和括号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式．注意：单独一个数或一个字母也是代数式．用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果叫做代数式的值．若结果中有多个字母，习惯上按26个字母的先后顺序．【例1】填空题（1）某种足球a元，则涨价20%后是__________元；（2）m箱橘子重x kg，每箱重_________kg；（3）购买单价为a元的笔记本8本，共需人民币_______元；（4）小明的体重是a kg，小红比小明重b kg，则小红的体重是________kg；（5）张师傅第一天生产a个零件，第二天比第一天减少5%，第二天生产零件_______个．【答案】（1）1.2a；（2）xm；（3）8a；(4)a+b；(5)95%a．【解析】主要考查如何书写代数式．【例2】设某数为x，用x表示下列各数：（1）某数与12的差；（2）某数的12与13的和；（3）某数与1的差的平方；（4）某数与2的和的倒数；（5）某数的30%除以a的商．字母表示数、代数式及代数式的值【答案】（1）12x -；（2）1123x +；（3）21)x -（；（4）12x +；（5）30%x a． 【解析】考查最基本的代数式的表示．【总结】书写代数式时，注意数字要在字母之前，另外要注意区分差的平方与平方的差的区别． 【例3】 x 表示一个两位数，y 表示一个两位数，把x 放在y 的左面，末位再添上1得到一个五位数，求这个五位数等于多少？【答案】1000x +10y +1． 【解析】考查代数式的表示．【例4】 如下图是小明用火柴搭的1条、2条、3条“金鱼“……，则搭n 条“金鱼“需要火柴多少根？【答案】6n +2． 【解析】由题意得：当n =1时，8条； 当n =2时，8+6条；当n =3时，8+6+6条； ……n ，8+6(n -1)=6n +2．【总结】本题主要考查找规律的运用．【例5】 如图是一组有规律的图案，第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，……，第()()4x y y x xy +--（n 是正整数）个图案中由_________个基础图形组成．【答案】3n +1【解析】当n =1时，3+1个基本图形； 当n =2时，3+3+1个基本图形； 当n =3时，3+3+3+1个基本图形； ……n,3n +1个基本图形【总结】本题主要考查找规律的运用．（1）（2）（3）……1条2条3条【例6】下列图案是晋商大院窗格的一部分，其中“○”代表窗纸上所贴的剪纸，则第n个图中所贴剪纸“○”的个数？【答案】3n+2【解析】当n=1时，5个；当n=2时，5+3个；当n=3时，5+3+3个；……n，5+3（n-2)=3n+2．【总结】本题主要考查找规律的运用．【例7】某城市固定电话的收费标准是：三分钟以内（不足三分钟按三分钟计算）收0.22元，以后每分钟收0.11元，请写出通话时间t分钟应交的电话费？【答案】0.2203) 0.110.11(3)tt t<≤⎧⎨->⎩（．【解析】三分钟以内收费都是0.22元；大于三分钟的部分为0.11（t-3)+0.22=0.11t-0.11．【总结】本题主要考查分类讨论的思想．1、代数式的概念：代数式是用运算符号把表示数的字母连接而成的式子．注：①单独一个数或一个字母也是代数式；②“=”不是运算符号，不能将等式与代数式混淆） 2、列代数式①抓住关键性词语，如“大“、“小“、“多“、“少“、“和“、“差“、“积“、“商“、“倍“、“分“等． ②理清运算顺序．对于一些数量关系的运算顺序，一般是先说的运算在前，后说的运算在后．③正确使用括号．一般地，列代数式时，若先说低级运算，再说高级运算，则必须使用括号；若相反则不需使用括号．④正确利用“的”、“与”划分句子层次．“的”字一般表示从属关系，“与”字一般表示并列关系． 【例8】 下列各式，哪些是代数式？ （1）6x +； （2）22a b b a +=+；（3）417x +>；（4）0；（5）23x -；（6）430a +≠； （7）326-；（8）820m n +<； （9）2224a ab b -+； （10）2144m m -+； （11）()2221a b a b ---+；（12）()22168x x cm -+．【答案】(1)、(4)、(5)、(7)、(9)、(10)、(11)．【解析】代数式是指用运算符号把表示数的字母连接而成的式子．【总结】本题主要考查代数式的概念，注意对（12）的准确理解，代数式是不带单位的．【例9】 用代数式表示： （1）比a 的3倍还多2的数； （2）a 的43倍的相反数； （3）9减去y 的13的差；（4）a 、b 两数的和与a 减去b 的差的积； （5）a 、b 平方的差；（6）a 、b 的差的平方．【答案】（1）3a +2；（2）43a -；（3）193y -；（4）()()a b a b +-；（5）22x y -；（6）2)x y -（． 【解析】略．【总结】本题主要考查代数式的书写，注意对关键字词的把握．【例10】 写出代数式：（1）用代数式表示：x 平方的倒数减去12的差； （2） 1千克桔子价格为a 元，小明买了10千克桔子，用字母a 表示小明买的桔子的总钱数； （3）x 与y 的47的和； （4）比a 与b 的差的一半小2；（5）a b 、的倒数的差与a b 、的倒数和的积的2倍； （6）a 的2倍与b 平方的差；（7）a 与b 平方的2倍的差．【答案】（1）2112x -； （2）10a ； （3）47x y +； （4）1)22a b --（； （5）11112()()a b a b -+； （6）22a b -；（7）．【解析】略．【总结】本题主要考查代数式的书写，注意对平方的差以及差的平方的正确理解．【例11】 说出下列各小题中两个代数式的意义，并说明两个代数式的意义有何不同？（1）23x -与()23x -； （2）15m 与15m +；（3）7a b -与7ab -； （4）1a b +与11a b+．【答案】(1)第一个表示x 的2倍与3的差，第二个表示：x 与3的差的2倍；（2）第一个表示：m 的15，第二个表示：15与m 的和；（3）第一个表示：ab与7的差，第二个表示a 与b -7的商； （4）第一个表示：a 与b 的和的倒数，第二个表示：a 的倒数和b 的倒数的和. 【总结】本题主要考查的是代数式的意义，属于基础题型．【例12】 填空题：（1）2000元人民币存入银行，定期2年，年利率k ，扣除20%的利息税后，到期取得本利 和元．（2）一种商品进价为每件a 元，按进价增加25%出售，则售价是元；后因库 存积压降价，按售价的九折出售，则此时的售价为元， 每件还盈利元．（3）某市去年GDP 为180亿，今年比去年增加%x ，今年该市的GDP 是___________．【答案】（1）20003200k +；（2）54a ，98a ，8a；（3）180（1+%x )．【解析】（1）本利和为：200020002(120%)20003200k k +⋅⋅⋅-=+； （2）售价为：5(125%)4a a +=，此时的售价为：5990%48a a ⨯=，盈利：9188a a a -=．（3）180(1%)x +．【总结】本题主要考查代数式的书写．【例13】 某商品的原价为100元，连续经过两次降价一次提价，且每次降价、提价的百分比都是m ，那么该商品现在的价格是多少元？【答案】21001)(1)m m -+（．【解析】原价是100，第一次降价后价格为100（1-m )，第二次降价价格为21001-)m （，第三 次是提价m ，价格为21001)(1)m m -+（．【总结】本题主要考查降价以及提价的运用．【例14】 甲、乙两地之间的公路全长为100千米，某人从甲地到乙地每小时走千米．（1）某人从甲地到乙地需要走多少个小时？（2）如果每小时多走2千米，某人从甲地到乙地需要走多少个小时？（3）速度变化后，某人从甲地到乙地比原来少用了多少个小时？【答案】（1）100m ；（2）1002m +；（3）100m -1002m +． 【解析】速度=路程÷时间．【总结】本题主要考查利用路程与时间的关系书写代数式．m【例15】如图（1）是一个三角形，分别连结这个三角形三边的中点得到图（2），再分别连结图（2）中间的小三角形三边的中点，得到图（3），按此继续下去，请你根据每个图形中的三角形个数的规律，完成下列问题．（1（2（1）（2）（3）【答案】（1）13，17；（2）43n-．【解析】这是一道找规律的题目由题意可以依次类推出当第n个图形时，图形中所含有的三角形的个数为43n-个．【例16】下列是由同型号黑白两种颜色的正三角形瓷砖按一定规律铺设的图形．仔细观察图形可知：图①有1块黑色的瓷砖，可表示为(11)112+⨯=；图②有3块黑色的瓷砖，可表示为(12)2122+⨯+=；图③有6块黑色的瓷砖，可表示为(13)31232+⨯++=；实践与探索：（1）请在图④的虚线框内画出第4个图形；（只须画出草图）（2）第10个图形有_______块黑色的瓷砖；（直接填写结果）第n个图形有_______块黑色的瓷砖．（用含n 的代数式表示）图①图②图③图④【答案】(1)如图所示．（2）1+2+3+4+5+......+10=55；1+2+3+....+n=1(1)(2n n n+为正整数）．【解析】（1）根据前三个图，则增加一行就增加4块黑色的瓷砖；（2）观察图形发现规律，进一步列出代数式，运用简便方法，即首尾相加进行计算．【总结】本题一方面可以根据每一个图形中所含的黑块的个数找到规律特征，也可以根据题目中给出的计算方法得出计a 规律．1. 代数式的值：用数字代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的记过叫做代数式的值．2. 求代数式的值 第一步：用数值代替代数式里的字母．第二步：按照代数式指明的运算，计算出结果．【例17】 当25x =时，求多项式()222324x x x x +---的值． 【答案】45． 【解析】原式222243242255x x x x x =++-==⨯=． 【总结】本题主要考查代数式的化简求值．【例18】 当12x =，13y =时，多项式()()2222212325232x y xy xy x y x y xy +---+-+-的值．【答案】536-． 【解析】原式=2215532x y xy xy -++-555121836=-+=-．【总结】本题主要考查代数式的化简求值．【例19】 已知：2110x y +++=，求多项式()()22223223xy x y x y xy x y +--+-++的值．【答案】12-．【解析】由题意得112x y =-=-，，原多项式=224x y x y ++=12-．【总结】本题一方面考查绝对值的性质，另一方面考查代数式的化简求值．【例20】 如果代数式a b +的值为3，34b -的值是2，那么代数式472a b +-的值是多少？【答案】16．【解析】由题意，可得：3342a b b +=⎧⎨-=⎩，解得：12a b =⎧⎨=⎩，所以47216a b +-=．【总结】本题主要考查利用方程的思想求出a 、b 的值，从而求出代数式的值．【例21】 已知：210x x --=，则3222002x x -++的值是多少？【答案】2003．【解析】由题意可知21x x -=，322222002()2002x x x x x x x -+++=--++220022003x x =-+=．【总结】本题主要考查整体代入思想的运用．【例22】 已知42a b a b a b ==+=+，，，求a b -的值．【答案】2或6．【解析】由题意可得：420a b a b =±=±+>，，，所以：42a b ==±，．422a b a b ==-=当，时，；426a b a b ==--=当，时，．【总结】本题一方面考查绝对值的性质，另一方面考查代数式的求值．【例23】 小明同学在课外碰到了这样一道题，计算4635x y --+的值，其中23x y =-=，．小明一时粗心，把2x =-错写成2x =，但他发现自己的计算结果也是正确的，你知道这是为什么吗？小明计算的结果是多少？【答案】因为x 的指数是偶数，互为相反数的偶数次幂的值是相同的，计算的结果是-100．【解析】4-6-2-335-100⨯⨯+=（）．【总结】本题主要考查负数的偶次幂的性质．【例24】 已知：关于x 的二次多项式()()3223325a x x x b x x x -++++-，当2x =时的值为17-，求当2x =-时，该多项式的值．【答案】-1．【解析】原多项式可以化简为：321)(2)(3)5a x b a x a b x ++-++-（，因为该多项式为二次多 项式，则a +1=0，即1a =-．当x =2时，多项式的值为-17，即4(21)2(3)517b b ++-+-=-，所以1b =-，所以当2x =-时，原式2(21)(2)(31)(2)51-+⨯-+--⨯--=-．【总结】本题主要考查求多项式的值的方法．【例25】 已知：753y ax bx cx dx e =++++，其中a b c d e ，，，，为常数，当2x =时，23y =；当2x =-时，35y =-．求e 的值．【答案】-6．【解析】把x =2，y =23代入原式，得：753232222a b c d e =++++， 把2x =-，35y =-代入原式，得：753352222a b c d e -=----+，将两式相加，可得：212e =-，解得：6e =-． 【总结】本题主要考查多项式的求值，注意符号的变化．【例26】 已知：()5543254321021x a x a x a x a x a x a -=+++++，求：（1）012345a a a a a a +++++； （2）012345a a a a a a -+-+-；（3）024a a a ++．【答案】（1）1；（2）53-；（3）5132-．【解析】（1）将1x =代入原代数式即可； （2）将1x =-代入原代数式即可；（3）将（1）、（2）两式相加除以2即可得出结果．【总结】本题主要考查代数式的求值，注意系数的变化．课堂练习【习题1】 选择题（1）下列各题中，错误的是（ ）A ．代数式22x y +的意义是x y 、的平方和B ．代数式5()x y +的意义是5与x y +的积C ．x 的5倍与y 的和的一半，用代数式表示是52y x +D ．x 的12与y 的13的差，用代数式表示是1123x y - （2）某商品打九折后价格为a 元，则原价为（ ）A ．90%a 元B ．109a 元 C ．10%a 元D ．19a 元（3）随着通讯市场竞争日益激烈，某通讯公司的手机市话收费标准按原标准每分钟降低了a 元，然后又下调了25%，现在收费标准是每分钟b 元，则原收费标准每分钟为（ ）A ．54b a ⎛⎫- ⎪⎝⎭元B ．54b a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭元C ．34b a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．43b a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭元（4）某剧场有34排座位，一、二排各有m 个座位，以后每一排比前一排多一个座位，最后一排的座位数是（ ）A ．34m +B ．33m +C ．32m +D ．31m +【答案】(1)C ；（2）B ；（3）D ；（5）C【解析】这几道题目都是考查代数式的表示，属于基础题型．【习题2】 用代数式表示下列各数：（1）a 、b 两数和的倒数；（2）a 、b 两数倒数的和； （3）x 、y 的平方差；（4）b 的2倍与y 的15的差；（5）x 的5倍与7的和的一半；（6）a 、b 两数的平方和减去它们乘积的2倍； （7）a 、b 两数的和的平方减去它们的差的平方； （8）a 、b 两数的和与它们的差的乘积．【答案】（1）1a b +；（2）11a b +；（3）22x y -；（4）125b y -；（5）572x +； （6）22)2a b ab +-（；（7）22()()a b a b +--；（8）)()a b a b +-（． 【解析】基础题型，主要考查的是代数式的表示．【习题3】 说出下列代数式的意义： （1）22a b +； （2）2()a b +；（3）2a b -；（4）()a b c -+．【答案】（1）a 、b 两数的平方和； （2）a 、b 两数和的平方； （3） a 与b 的平方的差； （4）a 与b 、c 两个数的和的差．【解析】考查的是代数式的意义．【习题4】 当412a b ==，时，求代数式24ba -的值．【答案】13． 【解析】221241631344b a -=-=-=．【总结】本题主要考查代数式的求值．【习题5】 已知a 为3的倒数，b 为最大的负整数，求代数式()223a b ab +-+的值．【答案】379． 【解析】由题意，可得：113a b ==-，，22237)2339a b ab a b +-+=++=（．【总结】本题一方面考查倒数的概念，另一方面考查代数式的求值．【习题6】 若220x x +-=，求221x x x x+-+的值． 【答案】32． 【解析】由题意，得：22x x +=，则22113222x x x x +-=-=+． 【总结】本题主要考查整体代入思想的运用．【习题7】 如图所示，图中正方形部分的边长为x ，长方形部分的长为a ． （1）用关于a 、b 的代数式表示整个图形的面积； （2）当816a x ==，时，求整个图形的面积．【答案】（1）2x xa +；（2）384．【解析】（1）整个图形的面积为2)x a x x ax +=+（； （2）将816a x ==，时代入2x xa +，可得：2x xa +=384．【总结】本题一方面考查利用字母表示图形的面积，另一方面考查代数式的求值．【习题8】 如图所示，是L 形钢条截面，求它的面积为多少？【答案】2ac bc c +-．【解析】钢条的截面面积为：2()ac b c c ac bc c +-=+-． 【总结】本题主要考查利用代数式表示图形的面积．【习题9】 为了美化校园，学校决定修建一块长方形草坪，长50米，宽30米，并在草坪上修建如图所示的十字路，小路宽为a 米，用代数式表示． （1）修建的小路面积为多少平方米；（2）草坪的面积是多少平方米．【答案】(1)280a a -；(2)2801500a a -+． 【解析】(1)小路的面积为23050a a a +-；（2）草坪的面积为长方形的面积与小路的面积的差，即：225030(80)801500a a a a ⨯--=-+．【总结】本题主要考查利用代数式表示图形的面积．【习题10】 按图所示的方法搭正方形，搭x 个正方形需要多少根火柴棒？【答案】31x +．【解析】当x =1时，需要4+3×0=4根火柴棒； 当x =2时，需要4+3×1=7根火柴棒； 当x =3时，需要4+3×2=10根火柴棒； 当x =4时，......当x 个正方形时，需要4+3×（x -1)=3x +1根火柴棒.【总结】本题主要考查找规律问题．【习题11】 如图，由若干盆花摆成图案，每个点表示一盆花，几何图形的每条边上（包括两个顶点）都摆有()3n n ≥盆花，每个图案中花盆总数为S ，按照图中的规律可以推断S 与()3n n ≥的关系？【答案】(1)n n -．【解析】当3n =时，S =3×2 =6； 当4n =时，S =4×312=；当5n =时，S =4×520=； ....S =(1)n n -()3n ≥．【总结】这是找规律的题目，是近年来的考试热点．【习题12】 已知：200420052007a b b c c d -=-=--=，，，则()()()a cb d a d ---=_____________．【答案】11003-． 【解析】∵200420052007a b b c c d -=-=--=，，， ∴()()2004(2005)a b b c -+-=+-，()()20052007b c c d -+-=-+，()()()2004(2005)2007a b b c c d -+-+-=+-+，即1a c -=-，2b d -=，2006a d -=．∴原式=12120061003-⨯=-． 【总结】本题主要考查代数式的求值，注意各项之间的关系．【习题13】 若为a b c ，，整数，且99991a b c a-+-=，求c a a b b c -+-+-的值．【答案】2．【解析】根据绝对值的意义和已知条件a 、b 、c 均为整数，且99991a bc a-+-=，确定出a 、b 、c 的取值及相互关系，进而在分类讨论的过程中确定||||||c a a b b c ---、、，从而问题解决．6,3==S n 12,4==S n 20,5==Sn【总结】本题考查根据已知条件确定a 、b 、c 的取值及关系式解决问题的关键，同时注意讨论过程的全面性．课后作业【作业1】 选择题：（1）下列代数式，符合代数式书写要求的有几个（）222712()2134ax y ab c a b ab xy ÷⨯+⨯，，，，，A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个（2）如果两数之和为7，其中一个数用x 表示，那么这两个数的积的代数式是（）A ．7xB ．()7x x +C ．()7x x -D ．()7x x -（3）用语言叙述代数式22a b -，正确的是（ ）A ．a b 与两数的平方差B ．a 与b 的差的平方C ．a 与b 的平方的差D ．b a 、两数的平方差（4）下列说法正确的是（ ）A ．x 的112倍列代数式表示是112x ⋅或112x ⋅B ．c a b +与a c b+的读法都是a 加b 分之c C ．5不是代数式 D ．x b ≠不是代数式（5）如果长方形的周长是20，它的一边长用x 表示，则面积应为（ ）A ．()10x x -B ．()10x x +C ．()20x x +D ．()20x x -【答案】（1）A ；（2）D ；（3）A ；（4）D ；（5）A ． 【解析】本题主要考查的是代数式的列法和意义．【作业2】 列代数式：（1）1.5除以a 商加上233的和；（2）m 与n 的平方和；（3）x 与y 的和的倒数；（4）x 与y 的差的平方除以a 与b 的和商是多少？【答案】（1）32323a +；（2）22m n +；（3）1x y +；（4）2()x y a b -+．【解析】本题主要考查的是代数式的意义．【作业3】 求代数式的值：（1）2x =-时，求代数式331x x --的值；（2）当132a b ==-，时，求代数式||b a -的值；（3）当13x =时，求代数式221x x -的值；（4）当23x y ==-，时，求2211223x xy y --．【答案】（1）3-；（2）132；（3）7-3；（4）8【解析】（1）3321(2)3(2)13x x --=--⨯--=-； （2）11|||3|322b a -=--=；（3）原式=11722333x x -=⨯-=-；（4）22111122423982323x xy y --=⨯-⨯⨯--⨯=（）． 【总结】本题主要考查的是代数式的值的求法，注意在计算的过程中符号． 【作业4】 若()2420x y x -+-=，求代数式222x xy y -+的值．【答案】4．【解析】由题意，得：404220x x y y x -=⎧==⎨-=⎩，解得：，， 所以22222()(42)4x xy y x y -+=-=-=．【总结】当几个非负数的和为零时，则这几个非负数分别为零．【作业5】 有一块长为a 、宽为b 的长方形铝片，将其四角各截去一个相同的边长为x 的正方形，折起来做成一个没有盖子的盒子，则此盒子的容积的表达式是什么？【答案】223224abx ax bx x --+． 【解析】如图所示，容积为：223(2)(2)224a x b x x abx ax bx x --=--+．【总结】本题主要考查利用代数式表示盒子的容积．【作业6】 学校组织教师和学生到森林公园春游，每位教师的车费为x 元，每位学生的车费为y 元，学生每满100人可优惠2人的车费，如果该校初一年级有教师15人，学生326人，请用代数式表示需要付给汽车公司的总费用．【答案】15320x y +．【解析】15个教师共需要费用15x ，326个学生可以优惠6个人的车费，只需要负担320个 人的车费即320y 即可，攻击付给汽车公司的总费用为15320x y +． 【总结】本题主要考查利用列代数式解决实际问题．【作业7】 用一条长20的铅丝围成一个长方形，设长方形的一条边长为a ． （1）用代数式表示长方形的面积；（2）用a 的值分别取4、5、6，哪一种取法所围成的长方形面积最大？【答案】（1）210a a -；（2）a =5时，所围成的面积最大为25【解析】（1）铅丝总长为20，所围长方形一条边长为a ，另一条边长为10-a ，长方形的面 积为210a a -；（2）当长方形的长和宽相等时，即长方形为正方形的时候，面积最大，此时a =5． 【总结】本题一方面考查用代数式表示面积，另一方面考查求代数式的值．xba【作业8】 已知ABCD 是长方形，以DC 为直径的圆弧与AB 只有一个交点，且AD =a ． （1）用含a 的代数式表示阴影部分面积；（2）当a ＝10cm 时，求阴影部分面积（π取3.14，保留两个有效数字）．【答案】（1）214s a π=；（2）279cm ．【解析】（1）阴影部分的面积为：222121122224a a s a a a ππ-=⋅-=（或者用割补法直接写出214s a π=）； （2）当a =10时，阴影部分的面积214s a π=≈279cm ．【总结】（1）结合矩形的性质，得阴影部分的面积等于半圆的面积； （2）把a 的值代入（1）中求解即可．【作业9】 用两种方法表示图中由正方形和长方形拼成的图形的面积，你能得到一个怎样的结论．【答案】因为222()s a b s a ab ab b =+=+++，， 222)a b a ab ab b +=+++则（．【解析】由于大正方形的边长为a b +，面积就是)()a b a b +⨯+（，还可以表示成22a ab ab b +++．【总结】本题主要考查完全平方公式的几何背景，解题的关键是利用割补法得到公式．【作业10】 若()6212111211101x x a x a x a x a -+=++++，求：（1）1210820a a a a a +++++的值；（2）119731a a a a a +++++的值．【答案】（1）1；（2）6132-． 【解析】（1）将1x =代入261211121110(1)...x x a x a x a x a -+=++++，得： 612111010...111)1a a a a a +++++-+==(；（2）将1x =-代入261211121110(1)...x x a x a x a x a -+=++++，得：6612111010...111)3a a a a a -+--+++==(，将其与612111010...111)1a a a a a +++++-+==( 相减，可得：6119113 (2)a a a -+++=． 【总结】本题主要考查代数式的求值，注意观察系数的特征．。

六年级数学代数式讲解全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：数学是一门让很多学生感到头疼的学科，尤其是代数部分。

代数是数学的一个重要分支，它研究未知数与已知数之间的关系。

在六年级，学生开始接触一些比较复杂的代数式，如一元一次方程式、多项式等。

今天，我们就来讲解一下六年级数学代数式的相关知识。

一、代数式的基本概念代数式是由数字、字母、运算符号和括号等符号组成的数学式子。

代数式中通常会包含未知数，表达未知数与已知数之间的关系。

在代数式中，字母通常代表未知数，我们称之为代数式的变量。

有一个代数式3x+5，其中的x就是变量，它代表一个未知数。

通过代数式3x+5，我们可以知道未知数x的值是多少。

当我们给x赋予一个具体的值时，代数式就变成了一个具体的数值表达式。

当x=2时，代数式3x+5的值就等于11。

二、一元一次方程式在六年级数学中，学生会接触一元一次方程式。

一元一次方程式的一般形式为ax+b=c，其中a、b、c是已知数，x是未知数。

解一元一次方程就是要找出未知数x的值，使得等式两边的值相等。

解一元一次方程的方法有很多，可以用逆运算、等式相等原理、消元法等。

对于方程3x+8=17，我们可以先将等式两边的8相减，然后再将3乘以x的系数相除，得到x的值是3。

三、多项式多项式是由多个项相加（或相减）而成的代数式，每一项又包含一个系数和一个指数。

多项式的一般形式为anxn+an-1xn-1+...+a2x2+a1x+a0，其中an、an-1、a2、a1、a0是系数，n是整数指数，x是变量。

对于多项式2x^2+3x-4，其中2、3、-4分别是系数，x^2、x、1分别是指数。

多项式可以进行加减乘除运算，也可以因式分解、合并同类项等。

通过多项式的运算，我们可以得出未知数的值，从而解决实际问题。

四、应用题在六年级数学中，代数式经常会在应用题中出现。

通过代数式，我们可以解决各种实际问题，比如小明买了苹果和橙子，苹果比橙子多了5个，苹果每个1元，橙子每个0.8元，求苹果和橙子的总价。