2021年高二数学章末综合测试卷(一)

2024-2025学年上学期高二数学章末测试卷选择性必修第一册空间向量与立体几何姓名：___________班级：___________一、单选题1．已知空间向量()6,2,1a =，()2,,3b x =- ，若()2a b a -⊥ ，则x =（）A ．4B ．6C ．234D ．2142．平面α的一个法向量是1(2n = ,1-,1)3，平面β的一个法向量是(3m =- ,6,2)-，则平面α与平面β的关系是（）A ．平行B ．重合C ．平行或重合D ．垂直3．如图，四棱锥P OABC -的底面是矩形，设OA a = ，OC b = ，OP c =，E 是棱PC 上一点，且2PE EC =，则BE =（）A ．111333a b c--+ B ．1133a b c--+C ．1133a b c-++ D ．1133a b c--- 4．如图，在空间直角坐标系O xyz -中，正方形ABCD 与矩形ACEF 所在平面互相垂直(C 与原点O 重合)，2,1,AB AF M ==在EF 上，且//AM 平面BDE ，则M 点的坐标为（）A ．(1,1,1)B ．22,,133⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C ．22,,122⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D ．22,,144⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭5．在一直角坐标系中，已知(1,6),(3,8)A B --，现沿x 轴将坐标平面折成60︒的二面角，则折叠后,A B 两点间的距离为A ．241B ．41C ．17D ．2176．已知平行六面体1111ABCD A B C D -的各棱长均为1，1160A AB A AD ∠=∠=︒，90DAB ∠=︒，则1AC =（）A ．3B ．5C ．2D ．21+7．鳖臑是指四个面都是直角三角形的三棱锥.如图，在鳖臑P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，2AB BC PA ===，D ，E 分别是棱AB ，PC 的中点，点F 是线段DE 的中点，则点F 到直线AC 的距离是（）A ．38B 4C ．118D ．48．在下图所示直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形，π1,3AB DAB =∠=，12AA =，动点P 在体对角线1BD 上，则顶点B 到平面APC 距离的最大值为（）A ．12B C D 二、多选题9．（多选）下面关于空间直角坐标系的叙述正确的是（）A ．点(1,1,0)P -与点(1,1,0)Q 关于z 轴对称B ．点(3,1,4)A --与点(3,1,4)B --关于y 轴对称C ．点(3,1,4)A --与点(3,1,4)B --关于平面xOz 对称D ．空间直角坐标系中的三条坐标轴组成的平面把空间分为八个部分10．已知空间中三点()2,1,1A -，()1,0,2B ，()0,3,1C -，则（）A ．AB =B ．AB AC⊥C ．cos 19ABC ∠=D ．A ，B ，C 三点共线11．在正方体1111ABCD A B C D -中，1M AD ∈，N BD ∈，且满足113AM AD =，23BN BD =，则下列说法正确的是（）A ．1AD MN⊥B ．1MN A C∥C ．MN ∥平面11DCC D D ．MN 为1AD 与BD 的公垂线三、填空题12．在Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，(2,1,1)A ，(1,1,2)B ，(,0,1)C x ，则x =．13．已知向量()()2,4,5,4,,a b x y ==，分别是直线12l l ､的方向向量，若12//l l ，则x y +=．14．如图所示，若P 为平行四边形ABCD 所在平面外一点，H 为棱PC 上的点，且12PH HC =，点G 在AH 上，且AGm AH=，若G ，B ，P ，D 四点共面，则实数m 的值是．四、解答题15．如图，在棱长为2的正方体中，,E F 分别是1,DD DB 的中点，G 在棱CD 上，且13CG CD =，H 是1C G 的中点．建立适当的空间直角坐标系，解决下列问题：(1)求证：1EF B C ⊥；(2)求异面直线EF 与1C G 所成角的余弦值.16．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，D ，E ，F 分别为AB ，BC ，1B B 的中点．(1)证明：11//AC 平面1B DE ；(2)若1AB =，AB AC ⊥，11B D A F ⊥，求点E 到平面11A FC 的距离．17．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，设AB a =，AD b =，1AA c = ，E ，F 分别是1AD ，BD 的中点．(1)用向量a ，b ，c表示1D B ，EF ；(2)若1D F xa yb zc =++，求1D F 在基{},,a b c 下的坐标．18．如图，在平面四边形ABCD 中，//AB DC ，ABD △是边长为2的正三角形，3,DC O =为AB 的中点，将AOD △沿OD 折到POD 的位置，PC =.(1)求证：PO BD ⊥；(2)若E 为PC 的中点，求直线BE 与平面PDC 所成角的正弦值.19．如图，将等腰直角△ABC 沿斜边AC 旋转，使得B 到达B ′的位置，且BB ′=A B ．(1)证明：平面AB ′C ⊥平面ABC ；(2)求二面角B -AB ′-C 的余弦值；(3)若在棱CB ′上存在点M ，使得14,,55CM CB μμ⎡⎤'=∈⎢⎥⎣⎦，在棱BB ′上存在点N ，使得BN BB λ'= ，且BM ⊥AN ，求λ的取值范围．参考答案题号12345678910答案C CBCDBBABDAB题号11答案ABD1．【详解】因为()()()26,2,122,,32,22,7a b x x -=--=- ，因为()2a b a -⊥ ，所以124470x +-+=，解得234x =.故选：C.2．【详解】 平面α的一个法向量是1(2n = ,1-,1)3，平面β的一个法向量是(3m =- ,6,2)-，∴6m n =-，∴平面α与平面β的关系是平行或重合．故选：C ．3．【详解】由已知2()()3BE OE OB OP PE OA OC OP PC OA OC =-=+-+=+-+2()()3OP OC OP OA OC =+--+ 11113333OP OC OA a b c =--=--+．故选：B ．4．【详解】设AC ，BD 交于点O '，连接O E '，因为正方形ABCD 与矩形ACEF 所在的平面互相垂直，点M 在EF 上，且//AM 平面BDE ，又平面BDE ⋂平面ACEF EO ='，AM ⊂平面ACEF ，所以//AM O E '，又//AO EM '，所以O AME '是平行四边形，故1122FM O A AC EF '===，所以M 是EF 的中点，因为2,1AB AF ==，所以(0,0,1),(2,2,1)E F ，所以22,,122M ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.故选：C 5．【详解】如图为折叠后的图形，其中作,AC CD BD CD ⊥⊥则6,8,4AC BD CD ===，∴0,0AC CD BD CD ⋅=⋅=沿x 轴将坐标平面折成60︒的二面角∴两异面直线,CA DB 所成的角为60︒．可得：.cos 6024CA DB CA DB ︒⋅=⋅=故由AB AC CD DB =++ 得22||||AB AC CD DB =++ 2222+22AC CD DB AC CD CD DB AC DB +++⋅⋅+⋅= 2222+22AC CD DB AC CD CD DB CA DB+++⋅⋅-⋅= 36166448=++-68=||AB ∴= D.6．【详解】取{}1,,AB AD AA 为空间向量的基底，因为11AB AD AA === ，90DAB ∠=︒，1160A AB A AD ∠=∠=︒，所以0AB AD ⋅=uuu r uuu r，1112AB AA AD AA ⋅=⋅= .因为11AC AB AD AA =++，所以()2211AC AB AD AA =++ 222111222AB AD AA AB AD AB AA AD AA =+++⋅+⋅+⋅1110115=+++++=，所以1AC =故选：B7．【详解】因为AB BC =，且ABC V 是直角三角形，所以AB BC ⊥.以B 为原点，分别以BC，BA的方向为x ，y 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz -.因为2AB BC PA ===，所以()0,2,0A ，()2,0,0C ，()0,1,0D ，()1,1,1E ，则()2,2,0AC =-，11,1,22AF ⎛⎫=- ⎝⎭ .故点F 到直线AC的距离d =故点F 到直线AC故选：B8．【详解】连接AC 交BD 于点O ，由题意，得AC BD ⊥，1122OB OD AB ===，OA OC ====，如图，以O 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则1110,,,0,0,0,,,0,22222A B C D ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()()11,,1,0,22AC AB BD ⎛⎫===- ⎪ ⎪⎝⎭，设()101BP BD λλ=≤≤ ，所以()1111,0,2222AP AB BP AB BD λλλλ⎛⎫⎛⎫=+=+=+-=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，设平面APC 的一个法向量为(),,n x y z = ，则n ACn AP⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩，所以001120222y n AC x n AP x z z λλλλ=⎧⎧⋅==⎪⎪⎪⎛⎫⇒-⎨⎨⎛⎫ ⎪⋅=-+++=⎝⎭⎪⎪ ⎪=⎝⎭⎩⎪⎩ ，取4x λ=，则()4,0,21n λλ=-，设顶点B 到平面APC 距离为d ，则AB n d n ⋅== 当0λ=时0d =，当01λ<≤时，d ===所以当12λ=即12λ=时点B 到平面APC 12=.故选：A.9．【详解】点(1,1,0)P -与点(1,1,0)Q 关于x 轴对称，故A 错误；点(3,1,4)A --与(3,1,4)B --关于y 轴对称，故B 正确；点(3,1,4)A --与(3,1,4)B --不关于平面xOz 对称，故C 错误；空间直角坐标系中的三条坐标轴组成的平面把空间分为八个部分，故D 正确．故选：BD .10．【详解】易得()1,1,3AB =-- ，()2,2,0AC =- ，()1,3,3CB =-，AB ∴= A 正确;因为0AB AC ⋅=，所以AB AC ⊥，B 正确，D 错误;而cos AB CB ABC AB CB⋅∠==⋅，C 错误.故选:AB.11．【详解】设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，分别以1,,DA DC DD 为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系.则()()11,0,0,0,0,1A D ,()1,1,0B ,()0,1,0C ,()11,0,1A 由113AM AD = ，则21,0,33M ⎛⎫⎪⎝⎭由23BN BD = ，则11,,033N ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以111,,333MN ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,()11,0,1AD =-,则()11111010333MN AD ⎛⎫⋅=-⨯-+⨯+-⨯= ⎪⎝⎭,所以1AD MN ⊥，选项A 正确.又()11,1,1AC =-- ，则13AC MN = ，所以1//AC MN又1,MN A C 不在同一直线上，所以1//MN A C ，故选项B 正确.平面11DCC D 的一个法向量为()1,0,0n =r ，而1103MN n ⋅=-⨯≠ 所以MN 与平面11DCC D 不平行，故选项C 不正确.由()1,1,0DB = ，有1111100333MN BD ⎛⎫⋅=-⨯+⨯+-⨯= ⎪⎝⎭,所以NM DB ⊥，又1AD MN ⊥，且NM 与1,DB A D 均相交,所以MN 为1AD 与BD 的公垂线，故选项D 正确.故选：ABD12．【详解】||AC ==||BC ==，AB ==90BAC ∠=︒ ，222||||||BC AB AC ∴=+，22(1)22(2)1x x ∴-+=+-+，解得2x =．故答案为：2.13．【详解】12//l l ，//a b ∴，所以存在实数λ，使得b a λ= ，则4245x y λλλ=⎧⎪=⎨⎪=⎩，解得2λ=，8x =，10y =.18x y ∴+=.故答案为：18.14．【详解】连接BD ，BG 因为AB PB PA =- ，AB DC =，所以DC PB PA =- ．因为PC PD DC =+，所以PC PD PB PA PA PB PD =+-=-++ ．因为12PH HC =，所以13PH PC = ，所以111333PH PA PB PD =-++．又因为AH PH PA =- ，所以411333AH PA PB PD =-++．因为AG m AH=，所以4333m m m AG m AH PA PB PD ==-++ ．又因为41333m m m PG PA AG PA PB PD ⎛⎫=+=-++ ⎪⎝⎭，且G ，B ，P ，D 四点共面，所以4103m -=，解得34m =．故答案为：3415．【详解】（1）证明：如图，以D 为原点，以射线DA 、DC 、1DD 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系D xyz -，则()0,0,0D ，0,0,1，()1,1,0F ，()0,2,0C ，()10,2,2C ，()12,2,2B ，40,,03G ⎛⎫⎪⎝⎭，所以()1,1,1EF =-，()12,0,2B C =-- ，所以()()()()()11,1,12,0,21210120EF B C ⋅=-⋅--=⨯-+⨯+-⨯-=，所以1EF B C ⊥，故1EF B C ⊥．（2）因为120,,23C G ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以1C G =因为EF = ()12241,1,10,,22333EF C G ⎛⎫⋅=-⋅--=-+= ⎪⎝⎭ ，所以111443cos ,315EF C GEF C G EF C G⋅==⋅．16．【详解】（1）因为111ABC A B C -为直三棱柱，所以11//A C AC ，又D ，E ，分别为AB ，BC 的中点，所以//DE AC ，所以11//DE A C ，又11A C ⊄平面1B DE ，DE ⊂平面1B DE ，所以11//AC 平面1B DE .（2）因为111ABC A B C -为直三棱柱，且AB AC ⊥，以A 为坐标原点，分别以1,,AB AC AA 所在直线为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设()10AA a a =>，且1AB =，则()()1111,0,,,0,0,0,0,,1,0,22a B a D A a F ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则11,0,2B D a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，11,0,2a A F ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由11B D A F ⊥可得110B D A F ⋅= ，即21022a -+=，且0a >，解得1a =，设()0AC b b =>，则()10,,1C b ，即()11111,0,,0,,02A F A C b ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，设平面11A FC 的法向量为(),,n x y z =，则1111020n A F x z n AC by ⎧⋅=-=⎪⎨⎪⋅==⎩ ，解得20z x y =⎧⎨=⎩，取1x =，则2z =，所以平面11A FC 的一个法向量为()1,0,2n =，又1,,022b E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即11,,122b A E ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以点E 到平面11A FC的距离1A E n d n ⋅==17．【详解】（1）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，连接AC ，EF ，1D F ，1BD ，如图，11D B D D DB =+ 1AA AB AD =-+- a b c =-- ，11122EF EA AF D A AC =+=+ 1)11()(22AA AD AB AD =-+++ 111112222AB AA a c =-=- ．（2）111)1(2D F D D D B =+ 11)1(2AA D B =-+ 1()2c a b c =-+-- 1122a b c =-- xa yb zc =++ ，因此12x =，12y =-，1z =-，所以1D F 在基{},,a b c r r r 下的坐标为11(1)22--,,．18．【详解】（1）依题意ABD △是边长为2的正三角形，O 为AB 的中点，所以OD AB ⊥，所以OD PO ⊥，OD BO ⊥，2PD =，3CD =，PC =则222PD CD PC +=，所以PD CD ⊥，又//AB DC ，即//OB DC ，所以OB PD ⊥，又OD PD D ⋂=，,OD PD ⊂平面POD ，所以OB ⊥平面POD ，因为OP ⊂平面POD ，所以OB OP ⊥，又OB OD O = ，,OB OD ⊂平面BODC ，所以OP ⊥平面BODC ，又BD ⊂平面BODC ，所以PO BD ⊥；（2）如图建立空间直角坐标系，则1,0,0，0,0,1，()D，()C，3122E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以11,222BE ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ ，()3,0,0DC =，()0,DP = ，设平面PDC 的法向量为(),,n x y z =，则300n DC x n DP z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令(n = ，设直线BE 与平面PDC 所成角为θ，则sin 5BE n BE nθ⋅===⋅ ，所以直线BE 与平面PDC19．【详解】（1）证明：设AC 的中点为O ，连接OB ，OB '，由题意可得，BB '=AB =AB '=BC =B 'C ，在△AB 'C 中，因为O 为AC 的中点，则OB '⊥AC ，即∠B 'OC =90°，则△OBB '≌△OCB '，所以∠B 'OB =∠B 'OC =90°，即OB '⊥OB ，因为AC ∩OB =O ，AC ，OB ⊂平面ABC ，故OB '⊥平面ABC ，又OB '⊂平面AB 'C ，所以平面AB ′C ⊥平面ABC ；（2）以点O 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，不妨设OA =1，则O （0，0，0），A （-1，0，0），B （0，1，0），B '（0，0，1），C （1，0，0），所以(1,1,0),(1,0,1)AB AB '== ，设平面ABB '的法向量为(),,n x y z = ，则00n AB n AB ⎧⋅=⎨⋅=⎩' ，即00x y x z +=⎧⎨+=⎩，令x =1，则y =z =-1，故(1,1,1)n =-- ，因为OB ⊥平面AB 'C ，所以平面AB 'C 的一个法向量为(0,1,0)OB = ，则|||cos ,|||||n OB n OB n OB ⋅〈〉=== 又二面角B -AB ′-C 为锐二面角，所以二面角B -AB ′-C的余弦值为3；（3）结合（2）可得，(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)BC CB BB ''=-=-=- 则(1,1,0)(0,1,1)(1,1,)AN AB BN AB BB λλλλ'=+=+=+-=- ，(1,1,0)(0,1,1)(1,1,)AN AB BN AB BB λλλλ'=+=+=+-=- ，因为BM ⊥AN，则0BM AN ⋅= ，即(1)(1)0μλμλ---+=，所以111λμ=-+，故λ是关于μ的单调递增函数，当14,55μ⎡⎤∈⎢⎣⎦时，14,69λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故λ的取值范围为14,69⎡⎤⎢⎥⎣⎦．。

章末过关检测卷(一)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知平面α和直线l，则α内至少有一条直线与l()A．平行B．相交C．垂直D．异面解析：无论l在α内，还是与α平行或相交，都可在α内找到一条直线与l 垂直．答案：C2．对两条异面直线a与b，必存在平面α，使得()A．a⊂α，b⊂αB．a⊂α，b∥αC．a⊥α，b⊥αD．a⊂α，b⊥α解析：已知两条异面直线a和b，可以在直线a上任取一点A，则A∉b.过点A 作直线c∥b，则过a，c确定平面α，且使得a⊂α，b∥α.答案：B3．已知直线m，n和平面α，β满足m⊥n，m⊥α，α⊥β，则()A．n⊥βB．n∥β或n⊂βC．n⊥αD．n∥α或n⊂α解析：在平面β内作直线l垂直于α，β的交线，则由α⊥β得直线l⊥α.又由于m⊥α，所以l∥m.若m⊂β，要满足题中限制条件，明显只能n∥α或n⊂α；同理m⊄β，仍有n∥α或n⊂α.综上所述，D正确．答案：D4．已知空间两条不同的直线m，n和两个不同的平面α，β，则下列命题正确的是()A．若m⊥α，n∥β，α⊥β，则m⊥nB．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥nC．若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥nD．若m∥α，n⊥β，α⊥β，则m∥n解析：对于A，m与n还可能平行或相交或异面；对于C，m与n还可能相交或异面；对于D，m与n还可能相交或异面．答案：B5．(2021·浙江卷)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是()A．8 cm3B．12 cm3C.323cm3 D.403cm3解析：该几何体是由一个正方体和一个正四棱锥构成的组合体．下面是棱长为2 cm的正方体，体积V1＝2×2×2＝8(cm3)；上面是底面边长为2 cm，高为2 cm的正四棱锥，体积V2＝13×2×2×2＝83(cm3)，所以该几何体的体积V＝V1＋V2＝323 (cm3)．答案：C6．(2021·北京卷)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是( )A ．2＋ 5B ．4＋ 5C ．2＋2 5D ．5解析：该三棱锥的直观图如图所示，且过点D 作DE ⊥BC ，交BC 于点E ，连接AE ，则BC ＝2，EC ＝1，AD ＝1，ED ＝2，S 表＝S △BCD ＋S △ACD ＋S △ABD ＋S △ABC ＝12×2×2＋12×5×1＋12×5×1＋12×2×5＝2＋2 5. 答案：C7．(2021·课标全国Ⅰ卷)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r ＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：由题意知，2r ·2r ＋12·2πr ·2r ＋12πr 2＋12πr 2＋12·4πr 2＝4r 2＋5πr 2＝16＋20π，解得r ＝2.答案：B8．(2021·广东卷)若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值( )A ．大于5B ．等于5C ．至多等于4D ．至多等于3解析：当n ＝3时明显成立，故排解A 、B ；由正四周体的四个顶点，两两距离相等，得n ＝4时成立．答案：C9．如左下图所示，有一个水平放置的透亮 无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，假如不计容器的厚度，则球的体积为( )A.500π3cm 3B.866π3cm 3C.1 372π3cm 3D.2 048π3cm 3解析：作出该球轴截面的图象，如图所示，依题意BE ＝2，AE ＝CE ＝4，设DE ＝x ，故AD ＝2＋x ，由于AD 2＝AE 2＋DE 2，解得x ＝3，故该球的半径AD ＝5，所以V ＝43πR 3＝500π3(cm 3)．答案：A10.如图所示，等边三角形ABC 的边长为4，M ，N 分别为AB ，AC 的中点，沿MN 将△AMN 折起，使得平面AMN 与平面MNCB 所成的二面角为30°，则四棱锥A -MNCB 的体积为( )A.32B.32C. 3 D ．3 解析：如图所示，作出二面角A -MNB 的平面角∠AED ，AO 为△AED 底边ED 上的高，也是四棱锥A -MNCB 的高．由题意，得AO ＝32. V ＝13×32×33＝32.答案：A11．轴截面为正方形的圆柱的侧面积与全面积的比是( ) A ．1∶2B ．2∶3C ．1∶3D ．1∶4答案：B12．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l ，在l 上取线段AB ＝4，AC 、BD 分别在平面α和平面β内，且AC ⊥AB ，DB ⊥AB ，AC ＝3，BD ＝12，则CD 的长度为( )A ．13 B.151 C ．12 3 D ．15 答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将正确答案填在题中的横线上)13．已知正四棱锥O -ABCD 的体积为322，底面边长为3，则以O 为球心，OA 为半径的球的表面积为________．解析：设正四棱锥的高为h ，则13×(3)2h ＝322，解得高h ＝322.底面正方形的对角线长为2×3＝6，所以OA ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝6，所以球的表面积为4π(6)2＝24π.答案：24π14．(2022·北京卷)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为________．解析：依据三视图还原几何体，得如图所示的三棱锥P -ABC ，由三视图的外形特征及数据，可推知PA ⊥平面ABC ，且PA ＝2.底面为等腰三角形，AB ＝BC ，设D 为AC 中点，AC ＝2，则AD ＝DC ＝1，且BD ＝1，易得AB ＝BC ＝2，所以最长的棱为PC ，PC ＝PA 2＋AC 2＝2 2.答案：2 215．(2021·江苏卷)现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个．若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________．解析：底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱的总体积为13π·52×4＋π·22×8＝196π3.设新的圆锥和圆柱的底面半径为r ，则13π·r 2·4＋π·r 2×8＝28π3r 2＝196π3，解得r ＝7.答案：716．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S 1，S 2，体积分别为V 1，V 2，若它们的侧面积相等，且S 1S 2＝94，则V 1V 2的值是________．解析：设甲、乙两个圆柱的底面半径和高分别为r 1，r 2和h 1，h 2， 则2πr 1h 1＝2πr 2h 2，所以h 1h 2＝r 2r 1，又S 1S 2＝πr 21πr 22＝94， 所以r 1r 2＝32.所以V 1V 2＝πr 21h 1πr 22h 2＝r 21r 22·h 1h 2＝r 21r 22·r 2r 1＝32.答案：32三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤)17．(本小题满分10分)(2022·课标全国Ⅱ卷)如图所示，四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．(1)证明：PB ∥平面AEC ；(2)设AP ＝1，AD ＝3，三棱锥P -ABD 的体积V ＝34，求A 到平面PBC 的距离．(1)证明：如图所示，设BD 与AC 的交点为O ，连接EO .由于四边形ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点．又E 为PD 的中点， 所以EO ∥PB .由于EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ， 所以PB ∥平面AEC .(2)解：由V ＝16PA ·AB ·AD ＝36AB ，又V ＝34，可得AB ＝32.作AH ⊥PB 交PB 于点H .由题设知BC ⊥平面PAB ，所以BC ⊥AH .故AH ⊥平面PBC .在Rt △PAB 中，由勾股定理可得PB ＝132， 所以AH ＝PA ·AB PB ＝31313.所以A 到平面PBC 的距离为31313.18．(本小题满分12分)如图所示，四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是边长为2的菱形，∠BCD ＝60°.已知PB ＝PD ＝2，PA ＝ 6.(1)证明：PC ⊥BD ；(2)若E 为PA 的中点，求三棱锥P -BCE 的体积． (1)证明：如图所示，连接BD ，AC 交于点O . 由于PB ＝PD ， 所以PO ⊥BD .又由于ABCD 是菱形，所以BD ⊥AC .而AC ∩PO ＝O ， 所以BD ⊥面PAC .所以BD ⊥PC . (2)解：由(1)知BD ⊥面PAC .由已知得BD ＝2，AC ＝23，PO ＝ 3. 所以S △PEC ＝12S △PAC ＝12×12×23×3＝32.所以V P -BCE ＝V B -PEC ＝13·S △PEC ·BO ＝13×32×1＝12.19．(本小题满分12分)将圆心角为120°，面积为3π的扇形，作为圆锥的侧面，求圆锥的表面积和体积．解：设扇形的半径和圆锥的母线都为l ，圆锥的底面半径为r ， 则120360πl 2＝3π，l ＝3；2π3×3＝2πr ，r ＝1； S 表面积＝S 侧面＋S 底面＝πrl ＋πr 2＝4π，V ＝13Sh ＝13×π·12×22＝223π.20．(本小题满分12分)一个几何体按比例绘制出的三视图如图所示(单位：m)．(1)试画出其直观图； (2)求它的体积．解：(1)几何体的直观图如图所示．(2)由直观图知，该几何体可看成底面立起来的四棱柱，其体积为V ＝12×(1＋2)×1×1＝32(m 3)．21.(本小题满分12分)如图所示，四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝AB ＝1，AD ＝3，点F 是PB 的中点，点E 在边BC 上移动．(1)求三棱锥E -PAD 的体积；(2)点E 为BC 的中点时，试推断EF 与平面PAC 的位置关系，并说明理由； (3)求证：无论点E 在BC 边的何处，都有PE ⊥AF . (1)解：由于PA ⊥底面ABCD ，所以PA ⊥AD ，所以三棱锥E -PAD 的体积为V ＝13S △PAD ·AB ＝13×12×1×3×1＝36.(2)解：当点E 为BC 的中点时，EF 与平面PAC 平行． 由于在△PBC 中，E ，F 分别为BC ，PB 的中点， 所以EF ∥PC .又EF ⊄平面PAC ，而PC ⊂平面PAC ， 所以EF ∥平面PAC .(3)证明：由于PA ⊥平面ABCD ，BE ⊂平面ABCD ， 所以EB ⊥PA .由于EB ⊥AB ，AB ∩AP ＝A ，AB ，AP ⊂平面PAB ，所以EB ⊥平面PAB . 又由于AF ⊂平面PAB ， 所以AF ⊥BE .由于PA ＝AB ＝1，点F 是PB 的中点，所以AF ⊥PB . 由于PB ∩BE ＝B ，PB ，BE ⊂平面PBE ， 所以AF ⊥平面PBE .由于PE ⊂平面PBE ，所以AF ⊥PE .22．(本小题满分12分)(2022·广东卷)如图①所示，四边形ABCD 为矩形，PD⊥平面ABCD ，AB ＝1，BC ＝PC ＝2，按图②方式折叠，折痕EF //DC .其中点E ，F 分别在线段PD ，PC 上，沿EF 折叠后点P 叠在线段AD 上的点记为M ，并且MF ⊥CF .(1)证明：CF ⊥平面MDF ； (2)求三棱锥M -CDE 的体积．(1)证明：如图所示，由于PD ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥AD .又由于ABCD 是矩形，CD ⊥AD ，PD 与CD 交于点D ， 所以AD ⊥平面PCD . 又CF ⊂平面PCD ， 所以AD ⊥CF ，即MD ⊥CF . 又MF ⊥CF ，MD ∩MF ＝M ， 所以CF ⊥平面DMF .(2)解：由于PD ⊥DC ，BC ＝2，CD ＝1，∠PCD ＝60°， 所以PD ＝3，由(1)知FD ⊥CF ， 在直角三角形DCF 中，CF ＝12CD ＝12.过点F 作FG ⊥CD ，得FG ＝FG sin 60°＝12×32＝34，所以DE ＝FG ＝34，故ME ＝PE ＝3－34＝334. 所以MD ＝ME 2－DE 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3342－⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝62.S △CDE ＝12DE ·DC ＝12×34×1＝38.故V M - CDE ＝13MD ·S △CDE ＝13×62×38＝216.。

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第四章 统计案例 测试题一、选择题1.已知盒中装有3只螺口与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下，第2次抽到的是卡口灯泡的概率为 （ ) A 。

错误! B 。

错误! C.错误! D 。

错误! 2．如图所示，图中有5组数据，去掉组数据后（填字母代号），剩下的4组数据的线性相关性最大( ）A.E B 。

C C.DD 。

A3．为调查吸烟是否对患肺癌有影响，某肿瘤研究所随机地调查了9965人，得到如下结果（单位：人）根据表中数据，你认为吸烟与患肺癌有关的把握有（ ）Ａ．90% Ｂ．95%Ｃ．99%Ｄ．100%4. 调查某医院某段时间内婴儿出生的时间与性别的关系，得到下面的数据表:不患肺病患肺病合计 不吸烟7775427817 吸烟 2099 492148 合计9874919965晚上白天合计你认为婴儿的性别与出生时间有关系的把握为（ ）Ａ．80%Ｂ．90%Ｃ．95%Ｄ．99%5．已知有线性相关关系的两个变量建立的回归直线方程为y a bx =+，方程中的回归系数b （ ）Ａ．可以小于0 Ｂ．只能大于0 Ｃ．可以为0Ｄ．只能小于06．每一吨铸铁成本c y (元）与铸件废品率x %建立的回归方程568c y x =+,下列说法正确的是（ ）Ａ．废品率每增加1%，成本每吨增加64元 Ｂ．废品率每增加1%，成本每吨增加8％ Ｃ．废品率每增加1％,成本每吨增加8元 Ｄ．如果废品率增加1%，则每吨成本为56元7．下列说法中正确的有:①若0r >，则x 增大时,y 也相应增大；②若0r <，则x 增大时,y 也相应增大；③若1r =，或1r =-，则x 与y 的关系完全对应（有函数关系），在散点图上各个散点均在一条直线上（ ) Ａ．①②Ｂ．②③ Ｃ．①③ Ｄ．①②③8．有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出的热饮杯数与当天气温的对比表：如果某天气温是2℃，则这天卖出的热饮杯数约为（)Ａ．100 Ｂ．143 Ｃ．200 Ｄ．2439.甲、乙两个班级进行一门考试，按照学生考试成绩优秀和不优秀统计成绩后，得到如下列联表:利用独立性检验估计,你认为推断“成绩与班级有关系”错误的概率介于（）Ａ．0。

2021-2022学年高中数学1 空间向量与立体几何章末综合测评新人教A版选择性必修第一册年级：姓名：章末综合测评(一) 空间向量与立体几何(满分：150分 时间：120分钟)一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知a ＝(－3,2,5)，b ＝(1,5，－1)，则a ·(a ＋3b )＝( ) A ．(0,34,10) B ．(－3,19,7) C ．44D ．23C [a ＋3b ＝(－3,2,5)＋3(1,5，－1)＝(0,17,2)，则a ·(a ＋3b )＝(－3,2,5)·(0,17,2)＝0＋34＋10＝44.]2．设l 1的方向向量为a ＝(1,2，－2)，l 2的方向向量为b ＝(－2,3，m )，若l 1⊥l 2，则m 等于( )A ．1B ．2C ．12D ．3B [若l 1⊥l 2，则a ⊥b ，∴a ·b ＝0， ∴1×(－2)＋2×3＋(－2m )＝0，解得m ＝2.]3．在空间四边形ABCD 中，若向量AB →＝(－3,5,2)，CD →＝(－7，－1，－4)，点E ，F 分别为线段BC ，AD 的中点，则EF →的坐标为( )A ．(2,3,3)B ．(－2，－3，－3)C ．(5，－2,1)D ．(－5,2，－1)B [取AC 中点M ，连接ME ，MF (图略)，则ME →＝12AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，52，1，MF →＝12CD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－72，－12，－2，所以EF →＝MF →－ME →＝(－2，－3，－3)，故选B ．]4．如图所示，在平行六面体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，点E 为上底面对角线A 1C 1的中点，若BE →＝AA 1→＋xAB →＋yAD →，则( )A ．x ＝－12，y ＝12B ．x ＝12，y ＝－12C ．x ＝－12，y ＝－12D ．x ＝12，y ＝12A [BE →＝BA →＋AA 1→＋A 1E →＝－AB →＋AA 1→＋12(A 1B 1→＋A 1D 1→)＝－AB →＋AA 1→＋12AB →＋12AD →＝－12AB →＋AA 1→＋12AD →，∴x ＝－12，y ＝12.]5．已知A (2，－5,1)，B (2，－4,2)，C (1，－4,1)，则AB →与AC →的夹角为( ) A ．30° B ．60° C ．45°D ．90°B [由题意得AB →＝(0,1,1)，AC →＝(－1,1,0)，cos 〈AB →，AC →〉＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝12×2＝12，所以AB →与AC →的夹角为60°.] 6．已知二面角α­l ­β的大小为π3，m ，n 为异面直线，且m ⊥α，n ⊥β，则m ，n 所成的角为( )A ．π6B ．π3C ．π2D ．2π3B [设m ，n 的方向向量分别为m ，n .由m ⊥α，n ⊥β知m ，n 分别是平面α，β的法向量．∵|cos〈m ，n 〉|＝cos π3＝12，∴〈m ，n 〉＝π3或2π3.但由于两异面直线所成的角的范围为⎝⎛⎦⎥⎤0，π2，故异面直线m ，n 所成的角为π3.]7.如图，在棱长为a 的正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，P 为A 1D 1的中点，Q 为A 1B 1上任意一点，E ，F 为CD 上两个动点，且EF 的长为定值，则点Q 到平面PEF 的距离( )A ．等于55a B ．和EF 的长度有关 C ．等于23a D ．和点Q 的位置有关A [取B 1C 1的中点G ，连接PG ，CG ，DP ，则PG ∥CD ，所以点Q 到平面PEF 的距离即点Q 到平面PGCD 的距离，与EF 的长度无关，B 错．又A 1B 1∥平面PGCD ，所以点A 1到平面PGCD 的距离即点Q 到平面PGCD 的距离，即点Q 到平面PEF 的距离，与点Q 的位置无关，D 错．如图，以点D 为原点，建立空间直角坐标系，则C (0，a ,0)，D (0,0,0)，A 1(a ,0，a )，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0，a ，∴DC →＝(0，a ,0)，DA 1→＝(a ,0，a )，DP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0，a ， 设n ＝(x ，y ，z )是平面PGCD 的法向量， 则由⎩⎪⎨⎪⎧n ·DP →＝0，n ·DC →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a2x ＋az ＝0，ay ＝0，令z ＝1，则x ＝－2，y ＝0，所以n ＝(－2,0,1)是平面PGCD 的一个法向量． 设点Q 到平面PEF 的距离为d ，则d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪DA 1→·n |n |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2a ＋a 5＝5a 5，A 对，C 错．故选A ．]8.如图所示，ABCD ­A 1B 1C 1D 1是棱长为6的正方体，E ，F 分别是棱AB ，BC 上的动点，且AE ＝BF .当A 1，E ，F ，C 1四点共面时，平面A 1DE 与平面C 1DF 所成夹角的余弦值为( )A ．22 B ．12C ．15D ．265B [以D 为原点，DA 、DC 、DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，易知当E (6,3,0)，F (3,6,0)时，A 1，E ，F ，C 1共面，设平面A 1DE 的法向量为n 1＝(a ，b ，c )，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧DE →·n 1＝6a ＋3b ＝0，DA 1→·n 1＝6a ＋6c ＝0，可取n 1＝(－1,2,1)，同理可得平面C 1DF 的一个法向量为n 2＝(2，－1,1)， 故平面A 1DE 与平面C 1DF 的夹角的余弦值为|n 1·n 2||n 1||n 2|＝12.故选B ．]二、选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分)9．已知正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的中心为O ，则下列结论中正确的有( ) A ．OA →＋OD →与OB 1→＋OC 1→是一对相反向量 B ．OB →－OC →与OA 1→－OD 1→是一对相反向量C ．OA →＋OB →＋OC →＋OD →与OA 1→＋OB 1→＋OC 1→＋OD 1→是一对相反向量 D ．OA 1→－OA →与OC →－OC 1→是一对相反向量ACD [∵O 为正方体的中心，∴OA →＝－OC 1→，OD →＝－OB 1→，故OA →＋OD →＝－(OB 1→＋OC 1→)，同理可得OB →＋OC →＝－(OA 1→＋OD 1→)，故OA →＋OB →＋OC →＋OD →＝－(OA 1→＋OB 1→＋OC 1→＋OD 1→)，∴AC 正确；∵OB →－OC →＝CB →，OA 1→－OD 1→＝D 1A 1→，∴OB →－OC →与OA 1→－OD 1→是两个相等的向量，∴B 不正确；∵OA 1→－OA →＝AA 1→，OC →－OC 1→＝C 1C →＝－AA 1→，∴OA 1→－OA →＝－(OC →－OC 1→)，∴D 正确．]10．在以下选项中，不正确的命题有( ) A ．|a |－|b |＝|a ＋b |是a ，b 共线的充要条件 B ．若a ∥b ，则存在唯一的实数λ，使a ＝λbC ．对空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若OP →＝2OA →－2OB →－OC →，则P ，A ，B ，C 四点共面D ．若{a ，b ，c }为空间的一个基底，则{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }构成空间的另一个基底ABC [A ．|a |－|b |＝|a ＋b |⇒a 与b 共线，但a 与b 共线时|a |－|b |＝|a ＋b |不一定成立，故不正确；B ．b 需为非零向量，故不正确；C ．因为2－2－1≠1，由共面向量定理知，不正确；D ．由基底的定义知正确．]11．下列说法正确的是( )A ．直线l 的方向向量a ＝(1，－1,2)，直线m 的方向向量b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，1，－12，则l与m 垂直B ．直线l 的方向向量a ＝(0,1，－1)，平面α的法向量n ＝(1，－1，－1)，则l ⊥αC ．平面α，β的法向量分别为n 1＝(0,1,3)，n 2＝(1,0,2)，则α∥βD ．平面α经过三点A (1,0，－1)，B (0,1,0)，C (－1,2,0)，向量n ＝(1，u ，t )是平面α的法向量，则u ＋t ＝1AD [对于A ，∵a ＝(1，－1,2)，b ＝⎝⎛⎭⎪⎫2，1，－12，∴a ·b ＝1×2＋(－1)×1＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝0，∴a ⊥b ，∴直线l 与m 垂直，A 正确．对于B ，∵a ＝(0,1，－1)，n ＝(1，－1，－1)，∴a ·n ＝0×1＋1×(－1)＋(－1)×(－1)＝0，∴a ⊥n ，∴l ∥α或l ⊂α，B 错误．对于C ，∵n 1＝(0,1,3)，n 2＝(1,0,2)，∴n 1与n 2不共线，∴α∥β不成立，C 错误．对于D ，由于A (1,0，－1)，B (0,1,0)，C (－1,2,0)，则AB →＝(－1,1,1)，BC →＝(－1,1,0)，又向量n ＝(1，u ，t )是平面α的法向量，∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·BC →＝0，即⎩⎨⎧－1＋u ＋t ＝0，－1＋u ＝0，则u ＋t ＝1，D 正确．]12．如图(1)是一副直角三角板的示意图．现将两三角板拼成直二面角，得到四面体ABCD ，如图(2)所示，则下列结论中正确的是( )A ．BD →·AC →＝0B ．平面BCD 的法向量与平面ACD 的法向量垂直C ．异面直线BC 与AD 所成的角为60° D ．直线DC 与平面ABC 所成的角为30°AD [以B 为坐标原点，分别以BD →，BC →的方向为x 轴，y 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示．设BD ＝2，则B (0,0,0)，D (2,0,0)，C (0,23，0)，A (0，3，3)，∴BD →＝(2,0,0)，AC →＝(0，3，－3)，BC →＝(0,23，0)，AD →＝(2，－3，－3)，DC →＝(－2,23，0)．∴BD →·AC →＝(2,0,0)·(0，3，－3)＝0，A 正确；易得平面BCD 的一个法向量为n 1＝(0,0，3)，平面ACD 的一个法向量为n 2＝(3，1,1)，n 1·n 2≠0，B 错误；|cos 〈BC →，AD →〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪BC →·AD →|BC →||AD →|＝|0，23，0·2，－3，－3|23×10＝310≠12，C 错误；易得平面ABC 的一个法向量为BD →＝(2,0,0)，设直线DC 与平面ABC 所成的角为θ，则sin θ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪DC →·BD →|DC →|·|BD →|＝44×2＝12，故D 正确．]三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上) 13．已知AB →＝(1,5，－2)，BC →＝(3,1，z )，若AB →⊥BC ，BP →＝(x －1，y ，－3)，且BP →⊥平面ABC ，则BP →＝________.⎝⎛⎭⎪⎫337，－157，－3 [∵AB →⊥BC →，∴AB →·BC →＝0，∴3＋5－2z ＝0，∴z ＝4. ∵BP →＝(x －1，y ，－3)，且BP →⊥平面ABC ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧BP →·AB →＝0，BP →·BC →＝0，即⎩⎨⎧x －1＋5y ＋6＝0，3x －3＋y －12＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝407，y ＝－157.故BP →＝⎝⎛⎭⎪⎫337，－157，－3.] 14．已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－1,4，－2)，c ＝(7,5，λ)，若a ，b ，c 共面，则λ＝________.657[易知a 与b 不共线，由共面向量定理可知，要使a ，b ，c 共面，则必存在实数x ，y ，使得c ＝x a ＋y b ，即⎩⎨⎧2x －y ＝7，－x ＋4y ＝5，3x －2y ＝λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝337，y ＝177，λ＝657.]15．已知A (0,0，－x )，B (1，2，2)，C (x ，2，2)三点，点M 在平面ABC 内，O 是平面ABC 外一点，且OM →＝xOA →＋2xOB →＋4OC →，则x ＝________，AB →与AC →的夹角为________．(本题第一空2分，第二空3分)－1π3[由A ，B ，C ，M 四点共面可知x ＋2x ＋4＝1，∴x ＝－1. ∴A (0,0,1)，C (－1，2，2)，∴AB →＝(1，2，1)，AC →＝(－1，2，1)， ∴cos〈AB →，AC →〉＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝12，即AB →与AC →的夹角为π3.]16．如图，等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一公共边AB ，二面角C ­AB ­D 的余弦值为33，M ，N 分别是AC ，BC 的中点，则EM ，AN 所成角的余弦值为________．16[如图所示，过点C 作CO ⊥平面ABDE ，垂足为O ，取AB 的中点F ，连接CF ，OF ，OA ，OB ，则∠CFO 为二面角C ­AB ­D 的平面角，所以cos∠CFO ＝33. 设AB ＝1，则CF ＝32，OF ＝12，OC ＝22，所以O 为正方形ABDE 的中心．如图建立空间直角坐标系，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－22，0，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，0，0，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫24，0，24，N ⎝⎛⎭⎪⎫0，24，24，所以EM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫24，22，24，AN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，24，24，所以cos 〈EM →，AN →〉＝EM →·AN →|EM →||AN →|＝16.]四、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知空间三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)，设a ＝AB →，b ＝AC →.(1)若|c |＝3，且c ∥BC →，求向量c ； (2)求向量a 与向量b 的夹角的余弦值；(3)若k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求实数k 的值． [解] (1)∵c ∥BC →，∴存在实数m ，使得c ＝mBC →＝m (－2，－1,2)＝(－2m ，－m ,2m )． ∵|c |＝3， ∴－2m2＋－m2＋2m2＝3|m |＝3，∴m ＝±1.∴c ＝(－2，－1,2)或c＝(2,1，－2)．(2)∵a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)，∴a·b ＝(1,1,0)·(－1,0,2)＝－1.又∵|a |＝12＋12＋02＝2，|b |＝－12＋02＋22＝5，∴cos 〈a ，b 〉＝a·b |a ||b |＝－110＝－1010， 即向量a 与向量b 的夹角的余弦值为－1010. (3)∵k a ＋b ＝(k －1，k ,2)，k a －2b ＝(k ＋2，k ，－4)，∴(k －1，k ,2)·(k ＋2，k ，－4)＝(k －1)(k ＋2)＋k 2－8＝0，∴k ＝2或k ＝－52.∴当k a ＋b 与k a －2b 互相垂直时，实数k 的值为2或－52.18.(本小题满分12分)如图，在直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，BC ＝2，CC 1＝4，点E 在线段BB 1上，且EB 1＝1，D ，F ，G 分别为CC 1，C 1B 1，C 1A 1的中点．(1)求证：B 1D ⊥平面ABD ； (2)求证：平面EGF ∥平面ABD ．[解] 如图，以B 为坐标原点，BA ，BC ，BB 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系Bxyz ，则B (0,0,0)，D (0,2,2)，B 1(0,0,4)．(1)设BA ＝a ，则A (a ,0,0)．所以BA →＝(a ,0,0)，BD →＝(0,2,2)，B 1D →＝(0,2，－2)． 所以B 1D →·BA →＝0，B 1D →·BD →＝0＋4－4＝0.所以B 1D ⊥BA ，B 1D ⊥BD ． 又BA ∩BD ＝B ， 所以B 1D ⊥平面ABD ．(2)由题意及(1)，知E (0,0,3)，G ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，1，4，F (0,1,4)，所以EG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，1，1，EF→＝(0,1,1)．所以B 1D →·EG →＝0＋2－2＝0，B 1D →·EF →＝0＋2－2＝0. 所以B 1D ⊥EG ，B 1D ⊥EF . 又EG ∩EF ＝E ， 所以B 1D ⊥平面EGF . 由(1)，知B 1D ⊥平面ABD ， 故平面EGF ∥平面ABD ．19．(本小题满分12分)如图，已知四边形ABCD 为矩形，四边形ABEF 为直角梯形，FA ⊥AB ，AD ＝AF ＝FE ＝1，AB ＝2，AD ⊥BE .(1)求证：BE ⊥DE ；(2)求点F 到平面CBE 的距离．[解] ∵四边形ABCD 为矩形，∴AD ⊥AB ， 又AD ⊥BE ，AB ∩BE ＝B ， ∴AD ⊥平面ABEF ， 又AD ⊂平面ABCD ， ∴平面ABCD ⊥平面ABEF .∵FA ⊥AB ，平面ABCD ∩平面ABEF ＝AB ， ∴FA ⊥平面ABCD ．∴FA ⊥AD ． (1)证明：如图，建立空间直角坐标系，则B (0,2,0)，C (1,2,0)，D (1,0,0)，E (0,1,1)，F (0,0,1)， ∴BE →＝(0，－1,1)，DE →＝(－1,1,1)， ∴BE →·DE →＝0×(－1)＋(－1)×1＋1×1＝0， ∴BE →⊥DE →，∴BE ⊥DE .(2)由(1)得BC →＝(1,0,0)，BE →＝(0，－1,1)，FE →＝(0,1,0)， 设n ＝(x ，y ，z )是平面CBE 的法向量，则由 ⎩⎪⎨⎪⎧n ·BC →＝0，n ·BE →＝0，得⎩⎨⎧x ＝0，－y ＋z ＝0，令y ＝1，得z ＝1，∴n ＝(0,1,1)是平面CBE 的一个法向量． 设点F 到平面CBE 的距离为d ， 则d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪FE →·n |n |＝12＝22.∴点F 到平面CBE 的距离为22. 20．(本小题满分12分)如图，在直三棱柱A 1B 1C 1­ABC 中，AC ⊥AB ，AC ＝AB ＝4，AA 1＝6，点E ，F 分别为CA 1，AB 的中点．(1)证明：EF ∥平面BCC 1B 1；(2)求B 1F 与平面AEF 所成角的正弦值．[解] (1)证明：如图，连接EC 1，BC 1，因为三棱柱A 1B 1C 1­ABC 为直三棱柱，所以E 为AC 1的中点．又因为F 为AB 的中点，所以EF ∥BC 1.又EF ⊄平面BCC 1B 1，BC 1⊂平面BCC 1B 1，所以EF ∥平面BCC 1B 1.(2)以A 1为原点，A 1C 1，A 1B 1，A 1A 所在直线分别为x 、y 、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系A 1xyz ，则A (0,0,6)，B 1(0,4,0)，E (2,0,3)，F (0,2,6)， 所以B 1F →＝(0，－2,6)，AE →＝(2,0，－3)，AF →＝(0,2,0)， 设平面AEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AE →＝2x －3z ＝0，n ·AF →＝2y ＝0，令x ＝3，得n ＝(3,0,2)，记B 1F 与平面AEF 所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈B 1F →，n 〉|＝|B 1F →·n ||B 1F →|·|n |＝313065.21．(本小题满分12分)如图所示的几何体中，BE ⊥BC ，EA ⊥AC ，BC ＝2，AC ＝22，∠ACB ＝45°，AD ∥BC ，BC ＝2AD ．(1)求证：AE ⊥平面ABCD ；(2)若∠ABE ＝60°，点F 在EC 上，且满足EF ＝2FC ，求平面FAD 与平面ADC 的夹角的余弦值．[解] (1)证明：在△ABC 中，BC ＝2，AC ＝22，∠ACB ＝45°，由余弦定理可得AB 2＝BC 2＋AC 2－2×BC ×AC ×cos 45°＝4，所以AB ＝2(负值舍去)，因为AC 2＝AB 2＋BC 2，所以△ABC 是直角三角形，AB ⊥BC ． 又BE ⊥BC ，AB ∩BE ＝B ， 所以BC ⊥平面ABE .因为AE ⊂平面ABE ，所以BC ⊥AE ， 因为EA ⊥AC ，AC ∩BC ＝C ， 所以AE ⊥平面ABCD ．(2)由题易得EB ＝2AB ＝4，由(1)知，BC ⊥平面ABE ，所以平面BEC ⊥平面ABE ，如图，以B 为原点，过点B 且垂直于平面BEC 的直线为z 轴，BE ，BC 所在直线分别为x ，y 轴，建立空间直角坐标系Bxyz ，则C (0,2,0)，E (4,0,0)，A (1,0，3)，D (1,1，3)，因为EF ＝2FC ，所以F ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，0，易知AD →＝(0,1,0)，AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，43，－3，设平面FAD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧AD →·n ＝0，AF →·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，13x ＋43y －3z ＝0，令z ＝3，则x ＝9，所以n ＝(9,0，3)．由(1)知EA ⊥平面ABCD ，所以EA →＝(－3,0，3)为平面ABCD 的一个法向量． 设平面FAD 与平面ADC 的夹角为α， 则cos α＝|EA →·n ||EA →|·|n |＝2423×221＝277，所以平面FAD 与平面ADC 的夹角的余弦值为277.22．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P ­ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠DAB ＝60°，∠ADP ＝90°，平面ADP ⊥平面ABCD ，F 为棱PD 的中点．(1)在棱AB 上是否存在一点E ，使得AF ∥平面PCE ？并说明理由；(2)当二面角D ­FC ­B 的余弦值为14时，求直线PB 与平面ABCD 所成的角．[解] (1)在棱AB 上存在点E ，使得AF ∥平面PCE ，且E 为棱AB 的中点． 理由如下：如图，取PC 的中点Q ，连接EQ ，FQ ， 由题意得，FQ ∥DC 且FQ ＝12CD ，因为AE ∥CD 且AE ＝12CD ，所以AE ∥FQ 且AE ＝FQ .所以四边形AEQF 为平行四边形． 所以AF ∥EQ .又EQ ⊂平面PCE ，AF ⊄平面PCE ，所以AF ∥平面PCE .(2)连接BD ，DE .由题意知△ABD 为正三角形，所以ED ⊥AB ，即ED ⊥CD ， 又∠ADP ＝90°，所以PD ⊥AD ，且平面ADP ⊥平面ABCD ，平面ADP ∩平面ABCD ＝AD ，所以PD ⊥平面ABCD ，故以D 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，设FD ＝a ，则由题意知F (0,0，a )，C (0,2,0)，B (3，1,0)，则FC →＝(0,2，－a )，CB →＝(3，－1,0)， 设平面FBC 的法向量为m ＝(x ，y ，z )． 则⎩⎪⎨⎪⎧m ·FC →＝2y －az ＝0，m ·CB →＝3x －y ＝0，令x ＝1，则y ＝3，z ＝23a，所以m ＝⎝⎛⎭⎪⎫1，3，23a ，易知平面DFC 的一个法向量n ＝(1,0,0)， 因为二面角D ­FC ­B 的余弦值为14，所以|cos 〈m ，n 〉|＝|m·n ||m ||n |＝14，即14＋12a2＝14，解得a ＝1(负值舍去)． 因为PD ⊥平面ABCD ，所以PB 在平面ABCD 内的射影为BD ， 所以∠PBD 为直线PB 与平面ABCD 所成的角， 由题意知在Rt△PBD 中，tan∠PBD ＝PD BD ＝2FDBD＝1，所以∠PBD ＝45°，所以直线PB 与平面ABCD 所成的角为45°.。

2021-2022学年吉林省四平一中高二（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 已知直线l ：√3mx +(1−2m)y −2=0的倾斜角为2π3，则m =( ) A. 13B. 1C. 32D. −12. 下列通项公式中，对应数列是递增数列的是( ) A. a n =1−n B. a n =14n C. a n =2n 2−5n +1D. a n ={n +3,n ≤2,2n−1,n >23. 某学习小组研究一种卫星接收天线(如图①所示)，发现其曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚焦到焦点处(如图②所示).已知接收天线的口径(直径)为3.6m ，深度为0.6m ，则该抛物线的焦点到顶点的距离为( )A. 1.35mB. 2.05mC. 2.7mD. 5.4m4. 已知{a ⃗ ,b ⃗ ,c ⃗ }是空间的一个基底，若m ⃗⃗⃗ =a ⃗ +2b ⃗ −3c ⃗ ，n ⃗ =x(a ⃗ +b ⃗ )−y(b ⃗ +c ⃗ )+3(a ⃗ +c ⃗ )，若m ⃗⃗⃗ //n ⃗ ，则xy =( )A. −3B. −13C. 3D. 135. 已知点A(−2,0)，B(2,0)，C(4,3)，动点P 满足PA ⊥PB ，则|PC|的取值范围为( ) A. [2,5]B. [2,8]C. [3,7]D. [4,6]6. 如图，P 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，圆锥PO 的轴截面PAE 是边长为2的等边三角形，△ABC 是底面圆的内接正三角形，则PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PC⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 32 B. 52C. 72D. 927. 已知等比数列{a n}的前3项和为3，a1+2a2+3a3+6a4=0，则a3=( )A. −8B. 4C. −2D. 18. 已知mn≠0，则方程mx2+ny2=1与ny2=mx在同一坐标系内对应的图形编号可能是( )A. ①④B. ②③C. ①②D. ③④9. 设等差数列{a n}的前n项和为S n，a1>0，公差为d，a8+a9>0，a9<0，则下列结论不正确的是( )A. d<0B. 当n=8时，S n取得最大值C. a4+a5+a18<0D. 使得S n>0成立的最大自然数n是1510. 南宋数学家杨辉在《详解九章算术法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般的等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次成等差数列．如数列1，3，6，10，前后两项之差组成新数列2，3，4，新数列2，3，4为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列．现有二阶等差数列，其前7项分别为2，3，5，8，12，17，23，则该数列的第31项为( )A. 336B. 467C. 483D. 60111. 在四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AD//BC，点E为PA的中点，AB= BC=1，AD=2，PA=√2，则点B到平面PCD的距离为( )A. 14B. √23C. 13D. 1212. 已知A，B，C是椭圆M：x2a2+y2b2=1(a>b>0)上三点，且A(A在第一象限)，B关于原点对称，AB⊥AC，过A作x轴的垂线交椭圆M于点D，交BC于点E，若直线AC与BC的斜率之积为−12，则( )A. 椭圆M的离心率为12B. 椭圆M的离心率为14C. |AE||AD|=12D. |AE||AD|=13二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若双曲线x2a2−y24=1(a>0)的渐近线与圆x2+(y−2)2=1相切，则该双曲线的实轴长为______．14. 将由2，5，8，11，14，…组成的等差数列，按顺序写在练习本上，已知每行写13个，每页有21行，则5555在第页第行．15. 写出一个同时满足下列条件①②的圆C的一般方程______．①圆心在第一象限；②圆C与圆x2+y2=4相交的弦的方程为x+y−2=0．16. 已知数列{a n }满足a 1+2a 2+4a 3+⋅⋅⋅+2n−1a n =n2，将数列{a n }按如下方式排列成新数列：a 1，a 2，a 2，a 2，a 3，a 3，a 3，a 3，a 3，…，a n ,a n ,⋯,a n ⏟(2n−1)项，….则新数列的前70项和为 ．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分。

2021-2022学年上学期期末卷01高二数学·全解全析【解析由214y x =化为24x y =，抛物线焦点在y 轴正半轴，且2p =， 则准线方程为1y =-. 故选：A .2.【答案】D【解析】当4k =时，直线1l 的斜率不存在，直线2l 的斜率存在，两直线不平行；当4k ≠时，两直线平行的一个必要条件是334kk k-=--，解得3k =或5k =，但必须满足截距不相等，经检验知3k =或5k =时两直线的截距都不相等. 故选：D . 3.【答案】C【解析】联立2010x y x y -=⎧⎨--=⎩得12x y =-⎧⎨=-⎩. 把12x y =-⎧⎨=-⎩代入280x ky ++=得3k =.故选：C4.【答案】B【解析】①当0b =时，a 与c 不一定共线，故①错误；②当a ，b ，c 共面时，它们所在的直线平行于同一平面，或在同一平面内， 故②错误；由空间向量基本定理知③正确；④当a ，b 不共线且c a b λμ=+时，a ，b ，c 共面，故④错误． 故选：B ． 5.【答案】B【解析】在等差数列{}n a 中573a a =，所以7723a d a -=，所以()72+0a d =，即80a =， 又等差数列{}n a 中10a >，公差0d <，所以等差数列{}n a 是单调递减数列，所以1278910...0...a a a a a a >>>>=>>，所以等差数列{}n a 的前n 项和为n S 取得最大值，则n 的值为7或8. 故选:B .6.【答案】D【解析】设该高阶等差数列的第8项为x ， 根据所给定义，用数列的后一项减去前一项得到一个数列，得到的数列也用后一项减去前一项得到一个数列，即得到了一个等差数列，如图：由图可得341295y x y -=⎧⎨-=⎩，则14146x y =⎧⎨=⎩. 故选：D 7.【答案】B【解析】设P 为第一象限的交点，1||PF m =、2||PF n =， 则12m n a +=、22m n a -=，解得12m a a =+、12n a a =-，在12PF F ∆中，由余弦定理得：2221241cos 22m n mn F c F P +-∠==，∴2224m n mn c +-=，∴22212121212()()()()4a a a a a a a a c ++--+-=，∴2221234a a c +=，∴22122234a a c c+=，∴2221314e e +=，设112sin e α=，21e α，则12112sin )6e e πααα+==+，当3πα=时，1211e e +，此时1e =2e，12e e +=故选：B8.【答案】D【解析】在①中，∵1111AC B D ⊥，111A C BB ⊥，1111B D BB B ⋂=， 且111,B D BB ⊂平面11BB D ，∴11A C ⊥平面11BB D ，1BD ⊂平面11BB D ， ∴111AC BD ⊥， 同理，11DC BD ⊥， ∵1111AC DC C ⋂=，且111,A C DC ⊂平面11AC D ， ∴直线1BD ⊥平面11AC D ，正确； 在②中，∵11//A D B C ，1A D ⊂平面11AC D ，1B C ⊄平面11AC D ，∴1//B C 平面11AC D ，∵点P 在线段1B C 上运动，∴P 到平面11AC D 的距离为定值，又11A C D 的面积是定值， ∴三棱锥11P AC D -的体积为定值，正确； 在③中，∵11//A D B C ，∴异面直线AP 与1A D 所成角为直线AP 与直线1B C 的夹角. 易知1AB C 为等边三角形， 当P 为1B C 的中点时，1AP B C ⊥；当P 与点1B 或C 重合时，直线AP 与直线1B C 的夹角为3π.故异面直线AP 与1A D 所成角的取值范围是,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，错误；在④中，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，则(),1,P a a ，()10,1,1C ，()1,1,0B ，()10,0,1D ， 所以()1,0,1C P a a =-，()11,1,1D B =-.由①正确：可知()11,1,1D B =-是平面11AC D 的一个法向量，∴直线1C P 与平面11AC D所成角的正弦值为：1111C P D B C P D Ba ⋅==⋅， ∴当12a =时，直线1C P 与平面11AC D ，正确. 故选：D9.【答案】CD【解析】对于A ：在平行六面体1111ABCD A B C D -中，有11B B BC BC +=，()11//B B BC A D ∴+，故A 错误；对于B ：111111A A A D A B A D A B BD +-=-=，1AB AD ==，60BAD ︒∠=，21BD =，又2111A B =，∴()22111111A A A D A BA B +-=，故B 错误；对于C ：11A B AD AB AD DB -=-=，()111AC A B AD ⋅-=()11()()()()AB AD AA AB AD AB AD AB AD AA AB AD ++⋅-=+⋅-+⋅-，由题知，1AB AD ==，12AA =，1145BAA DAA ∠=∠=︒，60BAD ∠=︒，所以，()221111AC A B AD AB AD AA ⋅-=-+10AB AA AD ⋅-⋅=，故C 正确； 对于D：AC AB AD =+，111AC AC AA AB AD AA =+=++，21AC =()21AB AD AA ++222111||||222AB AD AA AB AD AB AA AD AA =+++⋅+⋅+⋅112211cos6021cos 45︒︒+⨯⨯⨯+⨯21cos 459︒+⨯=．所以13AC =．故D 正确，故选：CD． 10.【答案】ABC【解析】由圆22:4O x y +=可得圆心()0,0O ，半径2r ，对于A ：因为2PQ OP OQ ===，所以POQ △是边长为2的等边三角形， 若PQ 中点为M ，则OM PQ ⊥，且OM =所以点M 的轨迹是以()0,0O所以点M 的轨迹方程为223x y +=，故选项A 正确；对于B ：设()00,P x y ，BP 中点为(),x y ，则00222x x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以00222x x y y =-⎧⎨=⎩，因为()00,P x y 在圆22:4O x y +=上，所以22004x y +=，所以()()222224x y -+=，所以()2211x y -+=即BP 中点轨迹方程为()2211x y -+=，故选项B 正确； 对于C ：设()00,P x y ，CP 的中点(),x y ，则00322x x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以00232x x y y =-⎧⎨=⎩，因为()00,P x y 在圆22:4O x y +=上，所以22004x y +=，所以()()222324x y -+=，即22312x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，所以CP 的中点轨迹方程为22312x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，故选项C 正确；对于D ：设AP 的中垂线与OP 的交点为M ，由垂直平分线的性质可得MA MP =，所以21MO MA MO MP OP OA +=+==>=，所以点M 的轨迹是以O ，A 为焦点，长轴长为2的椭圆，故选项D 不正确； 故选：ABC .11.【答案】ACD 【解析】对于选项A ，令2y t x+=，则2y tx =-， 因为点(),P x y 在圆22:(1)(1)2C x y -+-=上，所以直线2y tx =-与圆22:(1)(1)2C x y -+-=有交点，因此圆心到直线的距离d =≤7k ≤-或1k ，故A 正确； 对于选项B ，由10kx y k ---=，得()()110k x y --+=，因此直线10kx y k ---=过定点()1,1P -，因为213312PM k +==-，111312PN k +==---，且313-<<，所以12k ≤-或32k ≥，故B 错误；对于选项C ，圆222(0)x y r r +=>的圆心直线l的距离2d =因为点(),P a b 是圆222(0)x y r r +=>外一点，所以222a b r +>，因此2d r =<，即直线与圆相交，故C 正确；对于选项D ，到点()1,0N 的距离为1点在圆()2211x y -+=上， 由题意可知，圆()2211x y -+=与圆222:(4)(4)(0)M x y r r -+-=>相交， 故圆心距5d MN ==，且11r d r -<<+，解得46r <<，故D 正确. 故选：ACD .12.【答案】BCD【解析】22:21n n C x y a n +=++的圆心为()0,0，半径为r =所以圆心到直线:n l y x =d ==则()()2224421n n n A B r d a =-=+，所以121n n a a +=+，则()1121n n a a ++=+所以()111122n n n a a -+=+=，得21n n a =- ，故A 错，B 正确；前n 项和为()12122212n n n S n n +-=-=---，故C 正确；由()()11111111122111221212121212121ii n nnni i n n i i i i i i i a a +++++===+-⎛⎫==-=-= ⎪------⎝⎭∑∑∑，故D 正确． 故选：BCD13.【答案】1【解析】圆C ：()()22211x k y k -++-=的圆心为()21,k k -因为圆C 与x 轴和y 轴均相切，所以211k k -== 解得1k = 故答案为：114.【答案】14【解析】因为四面体ABCD 的每条棱长都等于1，点G 是棱CD 的中点，所以AG AC CG =+，且12CG =，1AC =，1BC =，所以()AC CG A BC AG BC BC BC C CG ⋅=⋅⋅+=+⋅ 111cos60cos120244AC BC G BC C ⋅=-⋅⋅+⋅==， 故答案为：1. 15.-【解析】如图，取1PF 的中点A ，连接OA ，12OA OF OP ∴=+，212OA F P =， ∴12OFOP F P +=，11()0PF OF OP +=，∴120PF F P =，∴12PF F P ⊥，12||2||PF PF =，不妨设2||PF m =，则1||PF ， 21||||2PF PF a m +==，1)ma ∴==，12||2F F c =，2222242334(3cm m m a∴=+==⨯-，∴2229c a=-=，e ∴=-16.【答案】20202021-【解析】由题意可知，对任意的n *∈N ，0n a >且22n n n S a a =+.当1n =时，则21112a a a =+，解得11a =.当2n ≥时，由22n n n S a a =+可得21112n n n S a a ---=+，上述两式作差得22112n n n n n a a a a a --=-+-，可得()()1110n n n n a a a a --+--=， 所以，11n n a a --=，所以，数列{}n a 是等差数列，且首项和公差均为1，则11n a n n =+-=，()12n n n S +=， 则()()()()211211111112nn n n n n a c n n n n n S +⎛⎫=+ ⎪++=--⎝+=⎭-， 因此，数列{}n c 的前2020项之和为202011111111202011223342020202120212021T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++-++++=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故答案为：20202021-. 17.【解析】（1）因为11n n n S S a +=++，所以11n n n S S a +-=+，即11n n a a +=+， 所以数列{}n a 是首项为1a ，公差为1的等差数列.选①.由4713a a +=，得113613a d a d +++=，即12139a d =-， 所以1213914a =-⨯=，解得12a =.所以()()112111n a a n d n n =+-=+-⨯=+， 即数列{}n a 的通项公式为1n a n =+.选②.由1a ，3a ，7a 成等比数列，得()()211126a d a a d +=+，则2221111446a a d d a a d ++=+，所以12a =.所以()()112111n a a n d n n =+-=+-⨯=+.选③.因为10111091010452S a d a d ⨯=+⨯=+， 所以11045165a +⨯=，所以12a =.所以()()112111n a a n d n n =+-=+-=+.（2）由题可知122n n na n +=，所以2323412222n n n T +=+++⋅⋅⋅+， 所以234112*********n n n n n T ++=+++⋅⋅⋅++，两式相减，得23411111111222222n n n n T ++=++++⋅⋅⋅+-2311111111112222222n n n -++⎛⎫=+⨯++++⋅⋅⋅+- ⎪⎝⎭ 111111133212222212nn n n n ++-++=+⨯-=--， 所以332n n n T +=-.18.【解析】（1）在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，则,,AB AD AP 两两垂直，以A 为原点，射线,,AB AD AP 分别为x ，y ，z 轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图：则(0,0,0)A ，()2,0,0B ，()0,0,4P ，()2,4,0C ，()0,4,0D ，连BD，则BD =BP =BD BP ，PBD △是等腰三角形，而M 是PD 上一点，且BM PD ⊥，于是得M 是PD 的中点，即()0,2,2M ， 因此，()2,4,0AC =，()0,2,2AM =，()2,0,0AB =，设平面ACM 的一个法向量为(,,)n x y z =，则240220n AC x y n AM y z ⎧⋅=+=⎨⋅=+=⎩，令1z =，得()2,1,1n =-，所以点B 到平面ACM的距离为46AB n h n⋅===. （2）由(1)知，()2,2,2BM =-，()2,4,4PC =-，则4cos ,||||12BMPC BM PC BM PC ⋅-〈〉===所以异面直线BM 与PC 19.【解析】（1）证明：因为直线()():2129120l k x k y k ++-+-=，所以()()292120k x y x y -+++-=．令2902120x y x y -+=⎧⎨+-=⎩解得36x y =⎧⎨=⎩，所以不论k 取何值，直线l 必过定点()3,6P ．（2）由（1）知：直线l 经过圆C 内一定点()3,6P ，圆心()2,3C ， 设圆心C 到直线l 的距离为d ，则12ABCSAB d=== 因为(0,d∈，所以d =ABC 面积的最大值为4． 20.【解析】（1）证明：连接BO ，AB BC ==O 是AC 的中点，BO AC ∴⊥，且 2BO =， 又 2PA PC PB AC ====，,PO AC PO ∴⊥=222PB PO BO =+，则PO OB ⊥， OB AC O =，OB ⊂平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，PO ∴⊥平面ABC, （2）解：建立以 O 为坐标原点，,,OB OC OP 分别为,,x y z 轴的空间直角坐标系如图所示，则()0,2,0A -，(0,0,P ，()0,2,0C ，()2,0,0B ，设(2,2,0)BM BC λλλ==-()01λ≤≤，则()()(2,2,0)2,2,022,22,0AM BM BA λλλλ=-=----=-+， 则平面PAC 的法向量为()1,0,0m =， 设平面MPA的法向量(,,),n x y z = 则(0,2,PA =-- 20,n PA y ⋅=--= ()()22220n AM xy λλ⋅=-++=，令1z =，则y =(11x λλ+=-，二面角M PA C --为30︒，∴3cos302m n m n︒⋅==⋅， 即31=+⨯13λ= 或 3λ=( 舍 )，设平面MPA 的法向量(23,n =，(0,2,PC =-， 设PC 与平面PAM 所成的角为θ，则|sin |cos ,|12PC n θ-=<>===+所以PC 与平面P AM21.【解析】（1）由题意，从今年起每年生活垃圾的总量（单位：万吨）构成数列{}n a ，每年以环保方式处理的垃圾量（单位：万吨）构成数列{}n b ，∴{}n a 是以20(1+5%)为首项，1+5%为公比的等比数列；{}n b 是以6 1.57.5+=为首项，1.5为公差的等差数列，∴()2015%nn a =+，6 1.5n b n =+.（2）设今年起n 年内通过填埋方式处理的垃圾总量为n S ， ∴()()11n n n S a b a b =-++-()()1212n n a a a b b b =+++-+++()()220 1.0520 1.0520 1.057.596 1.5n n =⨯+⨯++⨯-++++()()()20 1.051 1.057.56 1.51 1.052n n n +⨯-=-++-2327420 1.0542044n n n =⨯---， 当5n =时，63.5n S ≈.∴今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量约为63.5万吨.22.【解析】（1）12c e a ==，1AF a c =-=，∴2a =，1c =，2223b a c =-=，∴22143x y +=； （2）设()11,C x y ，()22,D x y ，则()11,B x y --，CF ：1x my =-联立221143x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ ∴()234690m y my +--=，∴122122934634y y m m y y m -⎧=⎪⎪+⎨⎪+=⎪+⎩()()()()()()22121211212212121212121121232321212y y x y my y my k x my y y y k y x y my y my my y y x ----+-=====+-+++-1221211229627333434343993434m m m y y m m m m my y m m -⎛⎫---+ ⎪++⎝⎭+===--++++。

哈尔滨市第九中学2020--2021学年度.上学期期末学业阶段性评价考试高二学年数学学科(理)试卷(考试时间:120分钟满分:150分共2页第I 卷(选择题共60分)一､选择题(本大题共12小题,每小题5分,每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)1.过点M(-4,3)和N(-2,1)的直线方程是A.x -y+3=0B.x+y+1=0C.x -y -1=0D.x+y -3=02.双曲线221169y x -=的虚半轴长是 A.3 B.4 C.6 D.83.直线x+y=0被圆22|6240x y x y +-++=截得的弦长等于A.4B.2 .C .D 4.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说:“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河."诗中隐含着一个有趣的数学问题--“将军饮马”问题,即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,先到河边饮马后再回军营,怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中,设军营所在区域为221,x y +≤若将军从点A(4,-3)处出发,河岸线所在直线方程为x+y=4,并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营,则“将军饮马"的最短总路程为A.8B.7C.6D.55.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F,过点F 的直线与抛物线交于A,B 两点,满足|AB|=6,则线段AB 的中点的横坐标为A.2B.4C.5D.66.直线kx -y+2k+1=0与x+2y -4=0的交点在第四象限,则k 的取值范围为A.(-6,-2) 1.(,0)6B - 11.(,)26C -- 11.(,)62D -- 7.设12,F F 分别为双曲线22134x y -=的左,右焦点,点P 为双曲线上的一点.若12120,F PF ︒∠=则点P 到x 轴的距离为.A .B .C .D 8.已知点A(-2,3)在抛物线C 2:2y px =的准线上,过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B,记C 的焦点为F,则直线BF 的斜率为1.2A2.3B3.4C4.3D 9.已知点(x,y)满足:221,,0x y x y +=≥,则x+y 的取值范围是.[A B.[-1,1] .C .D10.设双曲线221916x y -=的右顶点为A,右焦点为F,过点F 平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B,则△AFB 的面积为32.15A 34.15B 17.5C 19.5D 11.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点A 关于原点的对称点为点B,F 为其右焦点,若AF ⊥BF,设∠ABF=α,且[,]64ππα∈则该椭圆的离心率e 的取值范围是.A .1]B .C .D12.如图,,AB ､CD 是底面圆O 的两条互相垂直的直径,E 是母线PB 的中点,已知过CD 与E 的平面与圆锥侧面的交线是以E 为顶点的抛物线的一部分,则该抛物线的焦点到圆锥顶点P 的距离等于1.2A B.1.C.D 第II 卷(非选择题共90分)二､填空题(本大题共4小题,每小题5分)13.圆222200x y x y ++--=与圆2225x y +=相交所得的公共弦所在直线方程为___.14.若三个点(-2,1),(-2,3),(2,-1)中恰有两个点在双曲线222:1(0)x C y a a-=>上,则双曲线C 的渐近线方程为___. 15.椭圆221123x y +=的焦点分别是12,F F 点P 在椭圆上,如果线段1PF 的中点在y 轴上,那么1||PF 是2||PF 的___倍.16.过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 的直线l 与C 相交于A,B 两点,且A,B 两点在准线上的射影分别为M,N ，,,MFN BFN AFM MFN S S S S λμ∆∆∆==则λμ=___. 三､解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(本题满分10分)在①圆经过C(3,4),②圆心在直线x+y -2=0上,③圆截y 轴所得弦长为8且圆心E 的坐标为整数;这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,进行求解.已知圆E 经过点A(-1,2),B(6,3)且___;(1)求圆E 的方程;(2)求以(2,1)为中点的弦所在的直线方程.18.(本题满分12分)已知抛物线C:22(0)y px p =>,焦点为F,准线为1,抛物线C 上一点M 的横坐标为3,且点M 到焦点的距离为4.(1)求抛物线的方程;(2)设过点P(6,0)的直线'l 与抛物线交于A,B 两点,若以AB 为直径的圆过点F,求直线'l 的方程.19.(本题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中,直线l的参数方程为12x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数).以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为ρ=2acosθ(a>0),且曲线C 与直线l 有且仅有一个公共点.(1)求a;(2)设A,B 为曲线C.上的两点,且,3AOB π∠=求|OA|+|OB|的最大值.20.(本题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中,曲线1C 的参数方程为1cos ,sin .x t y t αα=+⎧⎨=⎩(t 为参数).以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线2:4cos .C ρθ=(1)求曲线2C 的直角坐标方程;(2)若点A(1,0),且1C 和2C 的交点分别为点M,N,求11||||AM AN +的取值范围.21.(本题满分12分)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦点为12(F F 且过点1).2 (1)求椭圆C 的方程;(2)设椭圆的上顶点为B,过点(-2,-1)作直线交椭圆于M,N 两点,记直线MB,NB 的斜率分别为,,MB NB k k 试判断MB NB k k +是否为定值?若为定值,求出该定值;若不是定值,说明理由.22.(本题满分12分)已知点F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点,过点F 的直线l 交椭圆于M,N 两点,当直线l 过C 的下顶点时,l当直线l垂直于C的长轴时,△OMN的面积为3 . 2(1)求椭圆C的标准方程;(2)当|MF|=2|FN|时,求直线l的方程;(3)若直线l上存在点P满足|PM|,|PF|,|PN|成等比数列,且点P在椭圆外,证明:点P在定直线上.。

本册综合测试能力提升卷班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分。

其中1-8小题是单项选择题，9-12小题是多项选择题）1.若实数x，y满足x+y＞0，则“x＞0”是“x2＞y2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵实数x，y满足x+y＞0，若x＞0，则未必有x2＞y2；例如x＝1，y＝2时，有x2＜y2；反之，若x2＞y2，则x2﹣y2＞0，即（x+y）（x﹣y）＞0；由于x+y＞0，故x﹣y＞0，∴x＞y且x＞﹣y，∴x＞0；∴当x+y＞0时，“x＞0”推不出“x2＞y2”，“x2＞y2”⇒“x＞0”；∴“x＞0”是“x2＞y2”的必要不充分条件．故选：B．【知识点】充分条件、必要条件、充要条件2.设F为抛物线y2＝2px的焦点，斜率为k（k＞0）的直线过F交抛物线于A、B两点，若|F A|＝3|FB|，则直线AB的斜率为（）A．B．1C．D．【解答】解：假设A在第一象限，过A，B分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为D，E，过A作EB的垂线，垂足为C，则四边形ADEC为矩形．由抛物线定义可知|AD|＝|AF|，|BE|＝|BF|，又∵|AF|＝3|BF|，∴|AD|＝|CE|＝3|BE|，即B为CE的三等分点，设|BF|＝m，则|BC|＝2m，|AF|＝3m，|AB|＝4m，即|AC|＝＝＝m＝2m，则tan∠ABC＝＝＝，即直线AB的斜率k＝故选：D．【知识点】抛物线的性质3.下列叙述正确的是（）A．函数的最小值是B．“0＜m≤4”是“mx2+mx+1≥0”的充要条件C．若命题p：∀x∈R，x2﹣x+1≠0，则D．“已知x，y∈R，若xy＜1，则x，y都不大于1”的逆否命题是真命题【解答】解：对于A，，的等号不成立，所以A错；对于B，当m＝0时，mx2+mx+1≥0也成立，所以B错；对于D，当时，xy＜1也成立，所以D错；故选：C．【知识点】命题的真假判断与应用4.在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝2，CD＝1，BC＝a，P为线段AD（含端点）上的一个动点，设，对于函数y＝f（x），下列描述正确的是（）A．f（x）的最大值和a无关B．f（x）的最小值和a无关C．f（x）的值域和a无关D．f（x）在其定义域上的单调性和a无关【解答】解：以B为原点，BA和BC分别为x和y轴建立如图所示的直角坐标系，则B（0，0），A（2，0），C（0，a），D（1，a），设P（m，n），因为，所以（m﹣2，n）＝x（﹣1，a），解得m＝2﹣x，n＝ax，所以点P的坐标为（2﹣x，ax），所以＝（1+a2）x2﹣（a2+4）x+4，x∈[0，1]，开口向上，对称轴为，当时，0＜≤1，而f（0）＝4，f（1）＝1，因此f（x）max＝f（0）＝4，当时，＞1，所以函数f（x）在[0，1]内单调递减，f（x）max＝f（0）＝4，综上所述，函数f（x）的最大值与a无关．故选：A．【知识点】命题的真假判断与应用、平面向量的正交分解及坐标表示5.已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F为椭圆+＝1（b2＜）的右顶点，直线l是抛物线C的准线，点A在抛物线C上，过A作AB⊥l，垂足为B，若直线BF的斜率k BF＝﹣，则△AFB的面积为（）A．10B．9C．8D．7【解答】解：∵抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F为椭圆+＝1 的右顶点，∴＝a＝，即p＝3．设B（﹣，m），k BF＝＝﹣，可得m＝3．故A（x0，3）在抛物线y2＝6x上，∴27＝6x0，得．∴AB＝，则△AFB的面积S＝×6×3＝9．故选：B．【知识点】圆锥曲线的综合6.在平面直角坐标系xOy中，点P为椭圆C：的下顶点，M，N在椭圆上，若四边形OPMN为平行四边形，α为直线ON的倾斜角，若α∈（），则椭圆C的离心率的取值范围为（）A．（，1）B．（）C．（0，）D．（0，）【解答】解：联立，解得y N＝，联立，解得y M＝．可得y N﹣y M＝＝a，化为：a＝，可得e＝＝；同理：把直线方程y＝，y＝x﹣a与椭圆方程分别联立，可得：y N﹣y M＝，化为a＝b，此时椭圆不存在．∴椭圆C的离心率的取值范围为（0，）．故选：D．【知识点】椭圆的性质7.设，，为空间的三个不同向量，如果λ1+λ2+λ3＝0成立的等价条件为λ1＝λ2＝λ3＝0，则称，，线性无关，否则称它们线性相关．若＝（2，1，﹣3），＝（1，0，2），＝（1，﹣1，m）线性相关，则m＝（）A．9B．7C．5D．3【解答】解：依题意知，三个向量线性相关，则存在不全为0的实数x，y，z，使得x+y+z＝成立；即由得x＝z，y＝﹣3z，代入﹣3x+2y+mz＝0，得（m﹣9）z＝0；由于x，y，z不全为0，所以z≠0，所以m＝9．故选：A．【知识点】空间向量基本定理、正交分解及坐标表示8.已知四面体ABCD，＝，＝，＝，点M在棱DA上，＝3，N为BC中点，则＝（）A．﹣﹣﹣B．++C．﹣++D．﹣﹣【解答】解：连接DN，如图所示，四面体ABCD中，＝，＝，＝，点M在棱DA上，且＝3，∴＝，又N为BC中点，∴＝（+）；∴＝+＝﹣+（+）＝﹣++．故选：C．【知识点】空间向量及其线性运算9.在正四面体P﹣ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面结论中正确的是（）A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面P AEC．平面PDF⊥平面ABC D．平面P AE⊥平面ABC【解答】解：∵D，F是对应边的中点，∴DF，是△ABC的中位线，则BF∥BC，可得BC∥平面PDF，故A正确．若PO⊥平面ABC，垂足为O，则O在AE上，则DF⊥PO，又DF⊥AE，故DF⊥平面P AE，故B正确．∵O不在DF上，PO⊥平面ABC，∴PO与平面PDF相交，则平面PDF⊥平面ABC不成立，故C错误，由DF⊥平面P AE可得，平面P AE⊥平面ABC，故D正确，故选：ABD．【知识点】向量语言表述线面的垂直、平行关系10.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB＝1，AD⊥AB，∠BCD＝45°，将△ABD沿对角线BD折起．设折起后点A的位置为A′，并且平面A′BD⊥平面BCD．给出下面四个命题：（）A．A′D⊥BCB．三棱锥A′﹣BCD的体积为C．CD⊥平面A′BDD．平面A′BC⊥平面A′DC【解答】解：∵∠BAD＝90°，AD＝AB，∴∠ADB＝∠ABD＝45°，∵AD∥BC，∠BCD＝45°，∴BD⊥DC，∵平面A′BD⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，∴CD⊥平面A′BD，∵A′D⊂平面A′BD，∴CD⊥A′D，故A′D⊥BC不成立；故A错误，C正确；由AB＝AD＝1，∠BAD＝90°，可得BD＝，CD＝BD＝，三棱锥A′﹣BCD的体积为三棱锥C﹣A'BD的体积，即为CD•S△A'BD＝×××1×1＝，故B错误；折叠前，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BAD＝90°，∴△ABD为等腰直角三角形．又∵∠BCD＝45°，∠DBC＝45°，∴∠BDC＝90°．折叠后，∵平面BCD⊥平面A′BD，CD⊥BD，∴CD⊥平面A′BD．又∵A′B⊂平面A′BD，∴CD⊥A′B．又A′B⊥A′D，A′D∩CD＝D，∴A′B⊥平面A′DC．又A′B⊂平面A′BC，∴平面A′BC⊥平面A′DC．故D正确．故选：CD．【知识点】命题的真假判断与应用11.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线，则（）A．实轴长为2B．渐近线方程为C．离心率为2D．一条渐近线与准线的交点到另一条渐近线的距离为3【解答】解：由双曲线的方程可得，a2＝4，b2＝12c2＝a2+c2＝16，所以a＝2，b＝2，c＝4，所以实轴长2a＝4，离心率＝2，渐近线方程为y＝±x＝x，所以B，C正确，因为准线方程为x＝＝1，设渐近线y＝与渐近线的决定为A，两个方程联立可得A（1，），另一条渐近线的方程为：+y＝0，所以A到它的距离为d＝＝，故选：BC．【知识点】双曲线的性质12.已知ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，下列说法中正确的是（）A．B．C．向量与向量的夹角是60°D．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为【解答】解：由向量的加法得到：，∵，∴，所以A正确；∵，AB1⊥A1C，∴，故B正确；∵△ACD1是等边三角形，∴∠AD1C＝60°，又A1B∥D1C，∴异面直线AD1与A1B所成的夹角为60°，但是向量与向量的夹角是120°，故C不正确；∵AB⊥AA1，∴，故＝0，因此D不正确．故选：AB．【知识点】空间向量的数量积运算二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021年广东省广州市高考数学综合测试试卷（3月份）（一模）一、选择题（共8小题）.1．复数z＝在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．已知集合A＝{x|（x﹣1）（x+2）＜0}，则∁R A＝（）A．{x|﹣2＜x＜1}B．{x|﹣1＜x＜2}C．{x|x≤﹣2或x≥1}D．{x|x≤﹣1或x ≥2}3．2020年11月10日，我国“奋斗者”号载人深潜器在马里亚纳海沟成功坐底，下潜深度达到惊人的10909m，创造了我国载人深潜的新记录．当“奋斗者”号下潜至某一深度时，处于其正上方海面处的科考船用声呐装置向“奋斗者”号发射声波．已知声波在海水中传播的平均速度约为1450m/s，若从发出至回收到声波所用时间为6s，则“奋斗者”号的实际下潜深度约为（）A．2900m B．4350m C．5800m D．8700m4．a＞b+1是2a＞2b的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．函数f（x）＝x3﹣sin x在[﹣1，1]上的图像大致为（）A．B．C．D．6．如图，洛书（古称龟书），是阴阳五行术数之源．在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图像，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数．若从四个阴数和五个阳数中随机选取3个数，则选取的3个数之和为奇数的方法数为（）A．30B．40C．44D．707．已知A（﹣1，0），B（0，2），直线l：2x﹣2ay+3+a＝0上存在点P，满足|PA|+|PB|＝，则l的倾斜角的取值范围是（）A．B．C．D．8．已知e≈2.71828是自然对数的底数，设a＝﹣，b＝﹣，c＝﹣ln2，则（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b二、选择题（共4小题）.9．已知点O为坐标原点，直线y＝x﹣1与抛物线C：y2＝4x相交于A，B两点，则（）A．|AB|＝8B．OA⊥OBC．△AOB的面积为2D．线段AB的中点到直线x＝0的距离为2 10．已知函数f（x）＝sin2x+2cos2x，则（）A．f（x）的最大值为3B．f（x）的图像关于直线x＝对称C．f（x）的图像关于点（﹣，1）对称D．f（x）在[﹣，]上单调递增11．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为4，EF是棱AB上的一条线段，且EF＝1，点Q 是棱A1D1的中点，点P是棱C1D1上的动点，则下面结论中正确的是（）A．PQ与EF一定不垂直B．二面角P﹣EF﹣Q的正弦值是C．△PEF的面积是2D．点P到平面QEF的距离是常量12．在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列，将数列1，2进行构造，第1次得到数列1，3，2；第2次得到数列1，4，3，5，2，…；第n（n∈N*）次得到数列1，x1，x2，x3，…，x k，2；…．记a n＝1+x1+x2+…+x k+2，数列{a n}的前n项为S n，则（）A．k+1＝2n B．a n+1＝3a n﹣3C．a n ＝（n2+3n）D．S n ＝（3n+1+2n﹣3）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．设向量＝（1，m ），＝（2，1），且•（2+）＝7，则m ＝．14．某车间为了提高工作效率，需要测试加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，这5次试验的数据如表：零件数x（个）102030405062a758189加工时间y（min）若用最小二乘法求得回归直线方程为＝0.67x+54.9，则a的值为．15．已知圆（x﹣1）2+y2＝4与双曲线C：＝1的两条渐近线相交于四个点，按顺时针排列依次记为M，N，P，Q，且|MN|＝2|PQ|，则C的离心率为．16．已知三棱锥P﹣ABC的底面ABC是边长为6的等边三角形，PA＝PB＝PC＝，先在三棱锥P﹣ABC内放入一个内切球O1，然后再放入一个球O2，使得球O2与球O1及三棱锥P﹣ABC的三个侧面都相切，则球O1的体积为，球O2的表面积为．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b＝3，cos2B＝cos（A+C），a sin A+c sin C＝6sin B．（1）求B；（2）求△ABC的周长．18．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，公差d≠0，a2是a1，a5的等比中项，S5＝25．（1）求{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b n+b n+1＝S n，求b2﹣b20．19．在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，点E是边AB的中点（如图1），将△ADE 沿DE折起到△A1DE的位置，连接A1B，A1C，得到四棱锥A1﹣BCDE（如图2）．（1）证明：平面A1BE⊥平面BCDE；（2）若A1E⊥BE，连接CE，求直线CE与平面A1CD所成角的正弦值．20．某中学举行篮球趣味投篮比赛，比赛规则如下：每位选手各投5个球，每一个球可以选择在A区投篮也可以选择在B区投篮，在A区每投进一球得2分，投不进球得0分；在B区每投进一球得3分，投不进球得0分，得分高的选手胜出．已知参赛选手甲在A区和B区每次投篮进球的概率分别为和，且各次投篮的结果互不影响．（1）若甲投篮得分的期望值不低于7分，则甲选择在A区投篮的球数最多是多少个？（2）若甲在A区投3个球且在B区投2个球，求甲在A区投篮得分高于在B区投篮得分的概率．21．已知点A（1，0），点B是圆O1：（x+1）2+y2＝16上的动点，线段AB的垂直平分线与BO1相交于点C，点C的轨迹为曲线E．（1）求E的方程；（2）过点O1作倾斜角互补的两条直线l1，l2，若直线l1与曲线E交于M，N两点，直线l2与圆O1交于P，Q两点，当M，N，P，Q四点构成四边形，且四边形MPNQ的面积为8时，求直线l1的方程．22．已知函数f（x）＝xlnx﹣ax2+x（a∈R）．（1）证明：曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线l恒过定点；（2）若f（x）有两个零点x1，x2，且x2＞2x1，证明：．参考答案一、选择题（共8小题）.1．复数z＝在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解：∵＝，∴复数在复平面内对应的点的坐标为（），位于第一象限．故选：A．2．已知集合A＝{x|（x﹣1）（x+2）＜0}，则∁R A＝（）A．{x|﹣2＜x＜1}B．{x|﹣1＜x＜2}C．{x|x≤﹣2或x≥1}D．{x|x≤﹣1或x ≥2}解：因为集合A＝{x|（x﹣1）（x+2）＜0}＝{x|﹣2＜x＜1}，由补集的定义可知，∁R A＝{x|x≤﹣2或x≥1}．故选：C．3．2020年11月10日，我国“奋斗者”号载人深潜器在马里亚纳海沟成功坐底，下潜深度达到惊人的10909m，创造了我国载人深潜的新记录．当“奋斗者”号下潜至某一深度时，处于其正上方海面处的科考船用声呐装置向“奋斗者”号发射声波．已知声波在海水中传播的平均速度约为1450m/s，若从发出至回收到声波所用时间为6s，则“奋斗者”号的实际下潜深度约为（）A．2900m B．4350m C．5800m D．8700m解：由题意可得“奋斗者”号的实际下潜深度约为：S＝vt＝1450×3＝4350m，故选：B．4．a＞b+1是2a＞2b的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：由a＞b+1能够推出2a＞2b，由2a＞2b能推出a＞b，不能推出a＞b+1，故a＞b+1是2a＞2b的充分不必要条件，故选：A．5．函数f（x）＝x3﹣sin x在[﹣1，1]上的图像大致为（）A．B．C．D．解：∵f（1）＝1﹣sin1＞0，∴排除选项A和D，又f（）＝（）3﹣sin＝（）3﹣＜0，∴排除选项B，故选：C．6．如图，洛书（古称龟书），是阴阳五行术数之源．在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图像，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数．若从四个阴数和五个阳数中随机选取3个数，则选取的3个数之和为奇数的方法数为（）A．30B．40C．44D．70解：根据题意，四个阴数即4个偶数：2、4、6、8，五个阳数即5即奇数：1、3、5、7、9，从中任选3个，使选出的3个数和为奇数，有2种情况，①选出的3个数都是奇数，有C53＝10种选法，②选出的3个数是2个偶数和1个奇数，有C42C51＝30种选法，一共有30+10＝40种选法，故选：B．7．已知A（﹣1，0），B（0，2），直线l：2x﹣2ay+3+a＝0上存在点P，满足|PA|+|PB|＝，则l的倾斜角的取值范围是（）A．B．C．D．解：将点A，B代入直线l的方程，可知点A，B均不在直线l上，设P（x，y），则，又|AB|＝，且|PA|+|PB|＝，所以点P的轨迹为线段AB，因为线段AB的方程为，即y＝2x+2，x∈[﹣1，0]，联立方程组，解得，直线l的斜率为k＝，设l的倾斜角为α，则，因为﹣1≤x≤0，所以，即﹣1≤tanα≤1，α∈（0，π），解得α∈．故选：D．8．已知e≈2.71828是自然对数的底数，设a＝﹣，b＝﹣，c＝﹣ln2，则（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b解：已知e≈2.71828是自然对数的底数，a＝﹣，b＝﹣，c＝﹣ln2，设f（x）＝﹣，则f′（x）＝﹣，当0≤x≤时，f′（x）＞0，函数f（x）在0≤x≤上是增函数，当x＞时，f′（x）＜0，函数f（x）在x＞上是减函数，a＝f（3），b＝f（2），而＜2＜3，所以b＞a，又因为e x＞x+1，x≠1，为常用不等式，可得，令g（x）＝﹣lnx，g′（x）＝﹣，当x＜e时，g′（x）＜0，函数g（x）在x＜e上是减函数，故g（2）＞g（e）＝0，则＞ln2，即﹣＜﹣ln2，则c＞b，故：a＜b＜c故选：A．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知点O为坐标原点，直线y＝x﹣1与抛物线C：y2＝4x相交于A，B两点，则（）A．|AB|＝8B．OA⊥OBC．△AOB的面积为2D．线段AB的中点到直线x＝0的距离为2解：设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得y2﹣4y﹣4＝0，所以y1+y2＝4，y1y2＝﹣4，x1+x2＝y1+1+y2+1＝6，x1x2＝（y1+1）（y2+1）＝y1y2﹣（y1+y2）+1＝﹣4﹣4+1＝﹣7，对于A：|AB|＝＝＝8，故A正确；对于B：•＝（x1，y1）（x2，y2）＝x1x2+y1y2＝﹣7+（﹣4）＝﹣11≠0，故B不正确；对于C：点O到直线AB的距离d＝＝，所以S△AOB＝•|AB|•d＝•8•＝2，故C正确；对于D：线段AB的中点坐标为（，），即（3，2），所以线段AB的中点到直线x＝0的距离为2，故D正确．故选：AC．10．已知函数f（x）＝sin2x+2cos2x，则（）A．f（x）的最大值为3B．f（x）的图像关于直线x＝对称C．f（x）的图像关于点（﹣，1）对称D．f（x）在[﹣，]上单调递增解：f（x）＝sin2x+2×＝sin2x+cos2x+1＝（sin2x+cos2x）+1＝sin（2x+）+1，A：∵sin（2x+）∈[﹣1，1]，∴f（x）的最大值为+1，∴A不正确．B：当x＝时，f（）＝sin+1＝+1，∴f（x）的图象关于直线x＝对称，∴B正确．C：当x＝﹣时，f（﹣）＝sin0+1＝1，∴f（x）的图象关于点（﹣，1）对称，∴C正确．D：∵x∈[﹣，]，∴2x+∈[﹣，]，∴f（x）在区间[﹣，]上先增后减，∴D不正确．故选：BC．11．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为4，EF是棱AB上的一条线段，且EF＝1，点Q 是棱A1D1的中点，点P是棱C1D1上的动点，则下面结论中正确的是（）A．PQ与EF一定不垂直B．二面角P﹣EF﹣Q的正弦值是C．△PEF的面积是2D．点P到平面QEF的距离是常量解：对于A，当P与点D1重合时，PQ⊥EF，故选项A错误；对于B，由于点P是棱C1D1上的动点，EF是棱AB上的一条线段，所以平面PEF即平面ABC1D1，建立如图所示的空间直角坐标系，则Q（2，0，4），A（4，0，0），B（4，4，0），所以，平面QEF即平面QAB，设平面QAB的法向量为，则，即，令z＝1，则，同理可求得平面ABC1D1的法向量为，设二面角P﹣EF﹣Q为θ，所以，故，故选项B正确；对于C，由于AB⊥平面BB1CC1，又BC1⊂平面BB1CC1，所以AB⊥BC1，所以BC1⊥EF，所以BC1是△PEF的高，所以，故选项C正确；对于D，由于C1D1∥EF，且C1D1⊄平面QEF，EF⊂平面QEF，所以C1D1∥平面QEF，又点P在C1D1上，所以点P到平面QEF的距离为常量，故选项D正确．故选：BCD．12．在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列，将数列1，2进行构造，第1次得到数列1，3，2；第2次得到数列1，4，3，5，2，…；第n（n∈N*）次得到数列1，x1，x2，x3，…，x k，2；…．记a n＝1+x1+x2+…+x k+2，数列{a n}的前n项为S n，则（）A．k+1＝2n B．a n+1＝3a n﹣3C．a n＝（n2+3n）D．S n＝（3n+1+2n﹣3）解：由a1＝3+3，a2＝3+3+9，a3＝3+3+9+27，a4＝3+3+9+27+81，，…，a n＝3+31+32+33+…+3n＝3+＝，由a1有3项，a2有5项，a3有9项，a5有17项，…，故a n有2n+1项．故C错误；所以k+2＝2n+1，即k+1＝2n，故A正确；由a n ＝，可得a n+1＝＝3a n﹣3，故B正确；由S n＝a1+a2+…+a n ＝（32+33+34+…+3n+1）+＝•+＝（3n+1+2n﹣3），故D正确．故选：ABD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．设向量＝（1，m ），＝（2，1），且•（2+）＝7，则m ＝﹣1．解：∵向量＝（1，m ），＝（2，1）．m 实数，∴2+＝（4，2m+1），∵•（2+）＝7，∴•（2+）＝8+2m+1＝7，解得m＝﹣1．故答案为：﹣1．14．某车间为了提高工作效率，需要测试加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，这5次试验的数据如表：零件数x（个）102030405062a758189加工时间y（min）若用最小二乘法求得回归直线方程为＝0.67x+54.9，则a的值为68．解：由题意可知：＝＝30，＝＝，回归直线方程为＝0.67x+54.9经过样本中心，所以＝0.67×30+54.9，解得a＝68．故答案为：68．15．已知圆（x﹣1）2+y2＝4与双曲线C：＝1的两条渐近线相交于四个点，按顺时针排列依次记为M，N，P，Q，且|MN|＝2|PQ|，则C的离心率为．解：双曲线C的渐近线的方程为y＝±x，由题意可知MN⊥x轴，PQ⊥x轴，设M（x1，y1），P（x2，y2），则N（x1，﹣y1），Q（x2，﹣y2），联立，k＝，得（1+k2）x2﹣2x﹣3＝0，所以x1+x2＝，x1x2＝，又因为|MN|＝2|PQ|，所以△MON∽△POQ，相似比为2：1，所以|x1|＝2|x2|，即x1＝﹣2x2，所以x1+x2＝﹣x2＝，x1x2＝﹣2x22＝，所以﹣2（）2＝，解得k2＝，所以e＝＝＝＝．故答案为：．16．已知三棱锥P﹣ABC的底面ABC是边长为6的等边三角形，PA＝PB＝PC＝，先在三棱锥P﹣ABC内放入一个内切球O1，然后再放入一个球O2，使得球O2与球O1及三棱锥P﹣ABC的三个侧面都相切，则球O1的体积为，球O2的表面积为．解：设O为△ABC外接圆的圆心，因为ABC是边长为6的等边三角形，所以，因为OP2+OA2＝PA2，解得OP＝3，设球O1的半径为r，球O2的半径为R，由等体积法可得，＝＝＝，所以＝1，所以球O1的体积为；作截面图如图所示，可知O1O＝O1N＝1，则PN＝1，PO1＝2，PO2＝1﹣R，因为△PO2E∽△PO1F，则，即，解得，所以球O2的表面积为＝．故答案为：；．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b＝3，cos2B＝cos（A+C），a sin A+c sin C＝6sin B．（1）求B；（2）求△ABC的周长．解：（1）因为cos2B＝cos（A+C），所以2cos2B﹣1＝﹣cos B，解得，cos B＝或cos B＝﹣1（舍），由B为三角形内角得B＝，（2）因为a sin A+c sin C＝6sin B，由正弦定理得，a2+c2＝6b＝18，因为cos B＝＝＝，故ac＝9，所以（a+c）2＝a2+c2+2ac＝18+18＝36，故a+c＝6，所以△ABC的周长a+b+c＝9．18．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，公差d≠0，a2是a1，a5的等比中项，S5＝25．（1）求{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b n+b n+1＝S n，求b2﹣b20．解：（1）由a2是a1，a5的等比中项，可得a22＝a1a5，即为（a1+d）2＝a1（a1+4d），化为d＝2a1，由S5＝25，可得5a1+10d＝25，即a1+2d＝5，解得a1＝1，d＝2，则a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1；（2）S n＝n（1+2n﹣1）＝n2，b n+b n+1＝S n＝n2，①可得b n+1+b n+2＝（n+1）2，②②﹣①可得b n+2﹣b n＝2n+1，则b20＝b2+（b4﹣b2）+（b6﹣b4）+…+（b20﹣b18）＝b2+5+9+…+37＝b2+×9×（5+37）＝b2+189，所以b2﹣b20＝﹣189．19．在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，点E是边AB的中点（如图1），将△ADE 沿DE折起到△A1DE的位置，连接A1B，A1C，得到四棱锥A1﹣BCDE（如图2）．（1）证明：平面A1BE⊥平面BCDE；（2）若A1E⊥BE，连接CE，求直线CE与平面A1CD所成角的正弦值．【解答】（1）证明：∵菱形ABCD，且∠BAD＝60°，∴△ABD为等边三角形，∵E为AB的中点，∴DE⊥AB，∴DE⊥BE，DE⊥A1E，又BE∩A1E＝E，BE、A1E⊂平面A1BE，∴DE⊥平面A1BE，∵DE⊂平面BCDE，∴平面A1BE⊥平面BCDE．（2）解：由（1）知，平面A1BE⊥平面BCDE，∵A1E⊥BE，平面A1BE∩平面BCDE＝BE，∴A1E⊥平面BCDE，以E为原点，ED，EB，EA1所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A1（0，0，1），C（，2，0），D（，0，0），E（0，0，0），∴＝（，2，0），＝（，0，﹣1），＝（0，﹣2，0），设平面A1CD的法向量为＝（x，y，z），则，即，令x＝1，则y＝0，z＝，∴＝（1，0，），设直线CE与平面A1CD所成角为θ，则sinθ＝|cos＜，＞|＝||＝||＝，故直线CE与平面A1CD所成角的正弦值为．20．某中学举行篮球趣味投篮比赛，比赛规则如下：每位选手各投5个球，每一个球可以选择在A区投篮也可以选择在B区投篮，在A区每投进一球得2分，投不进球得0分；在B区每投进一球得3分，投不进球得0分，得分高的选手胜出．已知参赛选手甲在A区和B区每次投篮进球的概率分别为和，且各次投篮的结果互不影响．（1）若甲投篮得分的期望值不低于7分，则甲选择在A区投篮的球数最多是多少个？（2）若甲在A区投3个球且在B区投2个球，求甲在A区投篮得分高于在B区投篮得分的概率．解：（1）甲在A区每次投篮得分的期望为2×＝，在B区每次投篮得分的期望为3×＝，设甲选择在A区投篮的球数为x个，则x+（5﹣x）≥7，解得x≤3，所以甲选择在A区投篮的球数最多是3个．（2）甲在B区投中0个，在A区投中1，2，3个的概率为[1﹣]×＝，甲在B区投中1个，在A区投中2个或3个的概率（×××+××）×＝，甲在B区投中2个得6分，此时在A区投篮得分不可能高于B区，故甲在A区投篮得分高于在B区投篮得分的概率为+＝．21．已知点A（1，0），点B是圆O1：（x+1）2+y2＝16上的动点，线段AB的垂直平分线与BO1相交于点C，点C的轨迹为曲线E．（1）求E的方程；（2）过点O1作倾斜角互补的两条直线l1，l2，若直线l1与曲线E交于M，N两点，直线l2与圆O1交于P，Q两点，当M，N，P，Q四点构成四边形，且四边形MPNQ的面积为8时，求直线l1的方程．解：（1）由已知得，圆O1的圆心为O1（﹣1，0），半径r＝|BO1|＝4，点A（1，0），因为线段AB的垂直平分线与BO1相交于点C，所以|CA|＝|CB|，所以|CA|+|CO1|＝|CB|+|CO1|＝|BO1|＝4＞|O1A|，所以点C的轨迹是以O1，A为焦点，长轴长为4的椭圆，设曲线E的方程为+＝1（a＞b＞0），则2a＝4，c＝1，b2＝a2﹣c2＝3，所以椭圆E的方程为+＝1．（2）由题意可得直线l1，l2的斜率都存在且不为0，设直线l1的方程为y＝k（x+1），M（x1，y1），N（x2，y2），由得（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12＝0，△＝（8k2）2﹣4（3+4k2）（4k2﹣12）＝144（1+k2）＞0，所以x1+x2＝﹣，x1x2＝，所以|MN|＝|x1﹣x2|＝＝＝•＝，由于直线l2过圆O1的圆心，则|PO1|＝|QO1|＝4，且P，Q两点到直线MN的距离相等，设直线l2的倾斜角为θ，则tan（π﹣θ）＝k，即tanθ＝﹣k，又点P到直线MN的距离d＝|PO1||sin2θ|＝4||＝4×＝，则四边形MPNQ的面积S＝2S△PMN＝d×|MN|＝，由于四边形MPNQ的面积为8，则＝8，解得k＝±，所以直线l1的方程为y＝±（x+1）．22．已知函数f（x）＝xlnx﹣ax2+x（a∈R）．（1）证明：曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线l恒过定点；（2）若f（x）有两个零点x1，x2，且x2＞2x1，证明：．【解答】证明：（1）f′（x）＝xlnx﹣ax2+x＝lnx+1﹣2ax+1＝lnx﹣2ax+2，f′（1）＝2﹣2a，又f（1）＝1﹣a，∴曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣（1﹣a）＝（2﹣2a）（x﹣1），即y＝2（1﹣a）（x﹣），当x＝时，y＝0，故直线l过定点（，0）；（2）∵x1，x2是f（x）的两个零点，且x2＞2x1，∴，可得，∴＝＝，令t＝（t＞2），∴lnx1x2+2＝＝，构造函数g（t）＝，g′（t）＝，令h（t）＝t﹣，则h′（t）＝＞0，则h（t）在（2，+∞）上单调递增，而h（2）＝2﹣＝＞0，∴g′（t）＞0，则g（t）在（2，+∞）上单调递增，∴g（t）＞g（2）＝3ln2，可得ln（x1x2）+2＞3ln2，则ln（x1x2）＞，即x1x2＞，则＞＞．。

2021-2022学年山东省济宁市高二（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. 已知空间向量a ⃗ =(−1,0,2)，b ⃗ =(1,2,−3)，则a ⃗ −2b ⃗ =( )A. (−2,−2,1)B. (−2,−2,5)C. (−3,−4,8)D. (−3,−4,−4)2. 若等比数列{a n }满足a 1+a 2=3，a 4+a 5=81，则数列{a n }的公比为( )A. −2B. 2C. −3D. 33. 如果AB >0，BC >0，那么直线Ax +By +C =0不经过的象限是( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限4. 已知等差数列{a n }的公差d =3，a 2是a 1与a 6的等比中项，则a 1=( )A. −4B. −1C. 1D. 45. 在三棱锥O −ABC 中，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗=c ⃗ ，若OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =NC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. −23a ⃗ +12b ⃗ +12c ⃗ B. −34a ⃗ +12b ⃗ +12c ⃗ C. −23a⃗ −12b ⃗ +12c ⃗ D. −34a⃗ +12b ⃗ −12c ⃗ 6. 在棱长为2的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E 为线段DD 1的中点，则点A 1到直线B 1E的距离为( )A. √32B. 2√33C. √52D. 2√537. 一条光线从点(2,−3)射出，经y 轴反射后与圆(x −3)2+(y −2)2=1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )A. 43或34B. 54或45C. −43或−34D. −54或−458. 已知圆C 1：x 2+y 2=b 2和椭圆C 2：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0).直线y =kx 与圆C 1交于A 、A 1两点，与椭圆C 2交于B 、B 1两点．若k ∈R 时，|OB||OA|的取值范围是(1,2]，则椭圆C 2的离心率为( )A. 12B. √22 C. √32D. 34二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9. 已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且a 7>0，a 6+a 9<0，则( )A. 数列{a n}为递增数列B. 数列{a n}为递减数列C. S13>0D. S14>010.已知平面α={P|n⃗⋅P0P⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0}，其中点P0是平面α内的一定点，n⃗是平面α的一个法向量，若P0坐标为(2,3,4)，n⃗=(1,1,1)，则下列各点中在平面α内的是()A. (1,3,5)B. (4,3,2)C. (−2,3,8)D. (2,−3,8)11.已知点F是抛物线y2=2x的焦点，过点F的直线交抛物线于M、N两点，则下列结论正确的是()A. 点M到焦点F的最小距离为1B. 若点P的坐标为(2,1)，则|MP|+|MF|的最小值为52C. 以MF为直径的圆与抛物线的准线相切D. 1|MF|+1|NF|=212.已知双曲线E：x2m −y2n=1，如果下列方程表示椭圆，那么该椭圆与双曲线E有相同焦点的是()A. x22m+n +y2m=1 B. y22m+n+x2m=1C. x22m+n +y2m=−1 D. y22m+n+x2m=−1三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知平面α的法向量为μ⃗=(1,−1,t)，平面β的法向量为υ⃗=(−2,2,6)，若α//β，则实数t=______．14.若圆x2+y2+Dx−4y−4=0和圆x2+y2−2x+F=0的公共弦所在的直线方程为x−y+1=0，则D+F=______．15.点P是椭圆x22+y2=1上的点，则P到直线l：x−y+2√3=0的距离的最小值为______．16.为增强广大师生生态文明意识，大力推进国家森林城市建设创建进程，某班26名同学在某段直线公路一侧植树，每人植一棵(各自挖坑种植)，相邻两棵树相距均为10米，在同学挖坑期间，运到的树苗集中放置在了某一树坑旁边，然后每位同学挖好自己的树坑后，均从树坑出发去领取树苗，记26位同学取树苗往返所走的路程总和为S，则S的最小值为______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知四边形ABCD是空间直角坐标系Oxyz中的一个平行四边形，且A(0,1,2)，B(−2,0,5)，C(1,−2,4)．(1)求点D的坐标；(2)求平行四边形ABCD的面积S．18.已知圆C：(x−1)2+(y−2)2=36，直线l：kx−y−5k−2=0．(1)求证：直线l与圆C恒有两个交点；(2)设直线l与圆C的两个交点为A、B，求|AB|的取值范围．19.在等比数列{a n}中，已知a1=2，a4=16．(1)若b n=a n+log2a n，求数列{b n}的前n项和S n；(2)若以数列{a n}中的相邻两项a n，a n+1构造双曲线系C：x2a n2−y2a n−12=1.求证：双曲线系C中所有双曲线的渐近线、离心率都相同．20.如图所示，圆锥的高PO=4，底面圆O的半径为R，延长直径AB到点C，使得BC=R，分别过点A、C作底面圆O的切线，两切线相交于点E，点D是切线CE与圆O的切点．(1)证明：CE⊥平面POD；(2)若平面PAB与平面PDE所成锐二面角的余弦值为√15，求该圆锥的体积V．521.已知S n为数列{a n}的前n项和，且a n+2S n=1．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若b n=2，求数列{b n}的前n项和M n．log3a n⋅log3a n+2(3)设T n=a1+3a2+5a3+⋅⋅⋅+(2n−1)a n，若不等式(−1)nλ<T n+1对一切n∈3n N∗恒成立，求实数λ的取值范围．22.如图所示，椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，左、右顶点分别为A、B，P为椭圆上一点，连接PF1并延长交椭圆于点Q，已知椭圆的离心率为12，△PQF2的周长为8．(1)求椭圆C的方程；(2)设点P的坐标为(x0,y0).①当1|PF1|，1|F1F2|，1|F2P|成等差数列时，求点P的坐标；②若直线PA、PB分别与直线x=4交于点M、N，以MN为直径的圆是否经过某定点？若经过定点，求出定点坐标；若不经过定点，请说明理由．答案和解析1.【答案】C【解析】解：由于空间向量a⃗=(−1,0,2)，b⃗ =(1,2,−3)，则a⃗−2b⃗ =(−3,−4,8)；故选：C．直接利用向量的线性运算的应用求出结果．本题考查的知识要点：向量的坐标运算，向量的线性关系，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：设等比数列{a n}的公比为q，由a4+a5=(a1+a3)q3，得3q3=81，解得q=3，故选：D．设等比数列{a n}的公比为q，根据a4+a5=(a1+a3)q3即可求出q值．本题考查等比数列的通项公式，考查学生基本的运算能力，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：∵AB>0，BC>0，∴−AB <0，−CB<0，直线Ax+By+C=0即y=−AB x−CB，那么直线Ax+By+C=0不经过第一象限，故选：A．直线Ax+By+C=0即y=−AB x−CB，根据条件即可判断出结论．本题考查了直线斜率与截距的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：∵{a n }是等差数列，a 2是a 1与 6的等比中项，∴a 22=a 1a 6，即(a 1+3)2=a 1(a 1+15)，∴a 1=1， 故选：C ．由题意可得a 22=a 1a 6，即(a 1+3)2=a 1(a 1+15)，从而即可求出a 1..本题考查等差数列的通项公式，涉及等比数列的性质，考查学生基本的运算能力，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：如图，连接ON ，在三棱锥O −ABC 中，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ⃗ ， ∵BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =NC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴N 为BC 中点， OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =34OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )−34OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =−34a ⃗ +12b ⃗ +12c⃗ ． 故选：B ．利用三角形法则即可得出．本题考查空间向量的求法，考查空间向量加法法则等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：如图．连接B 1D 1，正方体的棱长为：2，可得A 1E =√5，B 1E =3， A 1B 1=2，△A 1B 1E 是直角三角形， 设点A 1到直线B 1E 的距离为ℎ， 可得12⋅B 1E ⋅ℎ=12⋅A 1E ⋅A 1B 1， 解得ℎ=2√53． 故选：D ．画出图形，利用已知条件求解三角形A 1B 1E 的边长，然后求解点A 1到直线B 1E 的距离． 本题考查空间点线面距离的求法，三角形的解法，是基础题．7.【答案】A【解析】解：由于点A(2,−3)关于y 轴的对称点A′(−2,−3)，在其反射光线所在直线上， 设反射光线所在直线的斜率为k ，则其方程为：y +3=k(x +2)，化为：kx −y +2k −3=0，由于圆C ：(x −3)2+(y −2)2=1的圆心C(3,2)，半径r =1． 由切线的性质可得：√k 2+1=1，化简为：12k 2−25k +12=0，解得k =34或43， 故选：A ．A(2,−3)关于y 轴的对称点A′(−2,−3)，在其反射光线所在直线上，设反射光线所在直线的斜率为k ，可得其方程为：y +3=k(x +2)，根据切线的性质，利用点到直线距离公式即可求出k ．本题考查了反射光线的性质、直线与圆相切的性质、点到直线距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8.【答案】C【解析】解：因为直线直线y =kx 过原点，且与圆C 1交于A 、A 1两点， 故|OA|=b ， 联立{y = kxx 2a 2+y 2b 2=1，消去y 得(a 2k 2+b 2)x 2−a 2b 2=0，则x B +x B 1=0，x B x B 1=−a 2b2a 2k 2+b 2，所以x B 2=a 2b 2a 2k 2+b 2，所以|OB|=√x B 2+y B 2=√x B 2+b 2(1−x B 2a 2)=√c 2a 2x B 2+b 2=√c 2b 2a 2k 2+b 2+b 2=b √c 2a 2k 2+b 2+1=b √c 2+b 2+a 2k 2a 2k 2+b 2=b √a 2(k 2+1)a 2k 2+b 2=ab √k 2+1a 2k 2+b 2，故|OB||OA|=a √k 2+1a 2k 2+b 2，令t =k 2+1，(t ≥1)，则|OB||OA|=a√t a 2t−c2=a √1a 2−c 2t，t ≥1时，a 2−c 2t∈[b 2,a 2),则|OB||OA|∈(1,ab ]=(1,2],所以ab =2，即a =2b ，所以c =√3b ， 所以离心率e =ca =√32，故选：C ．根据条件求出|OA|，|OB|，得到|OB||OA|的取值范围，结合条件可得a =2b ，从而可得c =√3b ，进而可求得离心率．本题考查了椭圆的离心率的问题，属于难题．9.【答案】BC【解析】解：因为a 7+a 8=a 6+a 9<0，且a 7>0，所以a 8<0， 所以公差d =a 8−a 7<0，故数列{a n }单调递减，即选项B 正确，A 错误； S 13=13(a 1+a 13)2=13a 7>0，即选项C 正确； S 14=14(a 1+a 14)2=7(a 7+a 8)<0，即选项D 错误．故选：BC ．由等差中项推广性质，可得a 8<0，从而知公差d <0，可判断选项A 和B ； 根据等差数列的前n 项和公式与等差中项性质，可判断选项C 和D ．本题考查等差数列的前n 项和公式，熟练掌握等差中项及其推广性质，等差数列的前n 项和公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．10.【答案】ABC【解析】解：设平面α内的点的坐标为P(x,y,z)， 则P 0P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −2,y −3,z −4)，因为n⃗ =(1,1,1)，是平面α的一个法向量，所以n ⃗ ⋅P 0P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x −2+y −3+z −4=x +y +z −9=0， 所以x +y +z =9，依次验证四个选项可得，选项A ，B ，C 满足等式． 故选：ABC ．设平面α内的点的坐标为P(x,y,z)，利用n ⃗ ⋅P 0P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，得到x +y +z =9，即可得到答案． 本题考查了平面法向量的理解与应用，空间向量的坐标运算，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．11.【答案】BD【解析】解：对于A ：抛物线y 2=2x 的焦点为F(12,0)， 准线方程为x =−12， 设M(x 1,y 1)，则由抛物线的定义可得|MF|=x 1+12， 因为x 1≥0，所以|MF|=x 1+12≥12，即点M 到焦点F 的最小距离为12，故A 错误； 对于B ：过点M 作准线x =−12的准线，垂足为H ， 如下图所示：由抛物线的定义可得|MF|=|MH|，故|MP|+|MF|=|MP|+|MH|≥|PH|=2−(−12)=52， 当且仅当P ，M ，H 共线时取等号， 故|MP|+|MF|的最小值为52，故B 正确；对于C ：设线段MF 的中点为S ，过S ，M 分别作准线x =−12的垂线，垂足分别为T ，H ， 如图所示：设准线x =−12与x 轴的交点为R ， 以MF 为直径的圆的圆心为S ，半径r =|MF|2， 圆心S 到准线x =−12的距离|ST|=|MH|+|FR|2=|MF|+|FR|2>|MF|2=r ，故以MF 为直径的圆不与抛物线的准线相切，故C 错误； 对于D ：设直线MN 的方程为x =my +12， 设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，由{x =my +12y 2=2x ，得y 2−2my −1=0， Δ=4m 2+4>0恒成立，由韦达定理可得y 1+y 2=2m ，y 1y 2=−1， 则x 1x 2=y 122⋅y 222=(y 1y 2)24=14，由抛物线的定义可得|MF|=x 1+12，|NF|=x 2+12， 所以1|MF|+1|NF|=1x 1+12+1x 2+12=x 1+x 2+1(x 1+12)(x 2+12)=x 1+x 2+1x 1x 2+12(x 1+x 2)+14=x 1+x 2+114+12(x 1+x 2)+14=x 1+x 2+112(x 1+x 2)+12=x 1+x 2+112(x 1+x 2+1)=2，故D 正确．故选：BD ．根据抛物线的定义和性质逐个判断即可得出答案．本题考查抛物线的性质，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．12.【答案】AD【解析】解：双曲线E：x2m −y2n=1，当m>0，n>0时，焦点坐标(±√ m+n,0)；椭圆x22m+n +y2m=1的焦点坐标(±√ m+n,0)；当m<0，n<0时，焦点坐标(0,±√− m−n)；y2 2m+n +x2m=−1，焦点坐标(0,±√− m−n)；故选：AD．讨论mn的符号，利用双曲线方程，求解焦点坐标即可．本题考查椭圆以及双曲线的简单性质的应用，是基础题．13.【答案】−3【解析】解：若α//β，则μ⃗//u⃗，则1−2=−12=t6，解得：t=−3，故答案为：−3．根据平面的平行关系求出法向量的平行关系，根据向量平行得到关于t的方程，解出即可．本题考查了平面的法向量，考查共线向量问题，是基础题．14.【答案】−6【解析】解：由圆x2+y2+Dx−4y−4=0和圆x2+y2−2x+F=0，两式作差得(D+ 2)x−4y−4−F=0，∵两圆的公共弦所在的直线方程是x−y+1=0，得D+24=1，所以D=2，−4−F4=1，所以F=−8，得D+F=−6，故答案为：−6．由圆的方程，利用作差法求出公共弦方程进行求解即可．本题主要考查圆的方程的应用，利用作差法求出圆的公共弦方程是解决本题的关键，是中档题．15.【答案】√6−√102【解析】解：因为点P为椭圆x22+y2=1上的点，所以设P(2cosα,sinα)，所以点P到直线l：x−y+2√3=0的距离为d=√3|√12+12=|√5(2√5cosα−1√5sinα)+2√3|√2=√5(sinβcosα−cosβsinα)+2√3|√2=√5sin(β−α)+2√3|√2，(sinβ=√5cosβ=√5)所以d min=√5+2√3|√2=√5+2√3√2=√6−√102，故答案为：√6−√102．设P(2cosα,sinα)，则点P到直线l：x−y+2√3=0的距离为d=√3|√12+12，化简即可得出答案．本题考查椭圆的性质，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．16.【答案】3380【解析】解：将26个同学对应的26个坑分左右各13个坑，∴根据对称性：树苗放在左边13个坑，与放在对称右边的13个坑，26个同学所走的总路程对应相等，∴当树苗放在第13或第14个坑，26位同学领取树苗往返所走的路程总和最小，此时，左边13位同学所走的路程分别为{240,220,200,180,160,140,120,100,80,60,40,20,0}，右边13位同学所走的路程分别为{260,240,220,200,180,160,140,120,100,80,60,40,20}，∴S的最小值为13×260=3380米．故答案为：3380．根据对称性易知：当树苗放在第13或14个坑，26位同学领取树苗往返所走的路程总和最小，再应用等差数列前n项和的求法求26位同学领取树苗往返所走的路程总和．本题主要考查函数的实际应用，掌握等差数列的前n项和公式是解本题的关键，属于基础题．17.【答案】解：(1)设D(x,y,z)，因为四边形ABCD 是平行四边形， 所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以(−2,−1,3)=(1−x,−2−y,4−z)， 所以1−x =−2，−2−y =−1，4−z =3， 解得x =3，y =−1，z =1， 所以D(3,−1,1)． (2)BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,−2,−1)，cos <BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BA ⃗⃗⃗⃗⃗ >=BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√4+1+9√9+4+1=12， sin <BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BA ⃗⃗⃗⃗⃗>=√1−(12)2=√32， 所以S =|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅√32=√4+1+9⋅√9+4+1⋅√32=7√3，所以平行四边形ABCD 的面积S 为7√3．【解析】(1)设D(x,y,z)，由于四边形ABCD 是平行四边形，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即可解得x ，y ，z ，进而可得答案．(2)BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,−2,−1)，由向量的数量积可得cos <BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BA ⃗⃗⃗⃗⃗ >，进而可得sin <BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BA ⃗⃗⃗⃗⃗ >，即可得出答案．本题考查向量的运算，解题中需要理清思路，属于中档题．18.【答案】(1)证明：由l ：kx −y −5k −2=0，得k(x −5)−y −2=0，联立{x −5=0−y −2=0，解得{x =5y =−2，则直线l 过定点P(5,−2)，∵|PC|=√(5−1)2+(−2−2)2=4√2<6， ∴P 在圆C 内部，则直线l 与圆C 恒有两个交点；(2)解：当直线l 与PC 垂直时，|AB|有最小值为2√36−32=4， 当直线l 过圆心时，|AB|有最大值为12． ∴|AB|的取值范围是[4,12]．【解析】(1)利用直线系方程可得直线过定点P ，再说明P 在圆C 内，可得直线l 与圆C 恒有两个交点；(2)求出过点P 且与PC 垂直的弦长，再求得圆的直径，则答案可求．本题考查直线系方程的应用，考查直线与圆的位置关系，考查运算求解能力，是基础题．19.【答案】(1)解：在等比数列{a n }中，由a 1=2，a 4=16，得q =√a4a 13=√83=2，∴a n =2×2n−1=2n ，∴b n =a n +log 2a n =2n +log 22n =n +2n ， 则S n =(1+2+...+n)+(21+22+...+2n ) =(1+n)n 2+2×(1−2n )1−2=n 2+n 2+2n+1−2；(2)证明：双曲线系C ：x 2a n2−y 2a n−12=1的实半轴长为a =a n =2n ，虚半轴长为b =a n−1=2n−1，则其渐近线方程为y =±bax =2n−12nx =12x ，c =√a 2+b 2=√22n +22n−2，离心率e =c a=√22n +22n−22n=√22n +22n−222n=√1+14=√52． ∴双曲线系C 中所有双曲线的渐近线、离心率都相同．【解析】(1)由已知求得等比数列的公比，即可求出等比数列的通项公式，代入b n =a n +log 2a n ，再由等差数列与等比数列的前n 项和求数列{b n }的前n 项和S n ； (2)把等比数列{a n }的通项公式代入双曲线系C ：x 2a n2−y 2a n−12=1，再由双曲线的渐近线方程及离心率公式证明结论．本题考查等比数列的通项公式，考查等差数列与等比数列的前n 项和，考查双曲线的几何性质，是中档题．20.【答案】解：(1)证明：∵圆锥的高PO =4，底面圆O 的半径为R ，延长直径AB 到点C ，使得BC =R ， ∴PO ⊥平面ACE ，∵CE ⊂平面ACE ，∴CE ⊥PO ，∵过点C 作底面圆O 的切线，点D 是切线CE 与圆O 的切点， ∴OD ⊥CE ，∵PO ∩OD =O ，∴CE ⊥平面POD ； (2)∵AE 与圆O 相切，∴AE ⊥AC ， ∵OD ⊥CE ，∴△AEC∽△DOC ，∵OD =R ，OC =2R ，∠ODC =90°，∴∠ACE =30°，∵∠EAC =90°，∴CE =2AE ，∵AE 2+AC 2=CE 2，∴AE 2+9R 2=4AE 2，解得AE =√3R ，CE =2√3R ， CD =√4R 2−R 2=√3R ，∴D 是CE 中点，以A 为坐标原点，AE 为x 轴，AC 为y 轴，过A 作平面ACE 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，则P(0,R,4)，A(0,0,0)，B(0,2R,0)，C(0,3R,0)，E(√3R,0,0)，D(√32R,32R,0)，PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32R,12R,−4)，PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3R,−R,−4)，设平面PDE 的法向量n⃗ =(x,y,z)， 则{n ⃗ ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =√32Rx +12Ry −4z =0n⃗ ⋅PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =√3Rx −Ry −4z =0，取x =√3，得n⃗ =(√3,1,R2)， 平面PAB 的法向量m⃗⃗⃗ =(1,0,0)， ∵平面PAB 与平面PDE 所成锐二面角的余弦值为√155，∴|cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >|=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√3√4+R24=√155，解得R =2，∴该圆锥的体积V =13×π×R 2×4=16π3．【解析】(1)推导出PO ⊥平面ACE ，CE ⊥PO ，OD ⊥CE ，由此能证明CE ⊥平面POD ； (2)推导出AE ⊥AC ，OD ⊥CE ，从而△AEC∽△DOC ，推导出∠ACE =30°，CE =2AE ，AE =√3R ，CE =2√3R ，CD =√3R ，D 是CE 中点，以A 为坐标原点，AE 为x 轴，AC 为y 轴，过A 作平面ACE 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，由平面PAB 与平面PDE 所成锐二面角的余弦值为√155，求出R =2，由此能求出该圆锥的体积．本题考查线面垂直的证明，考查圆锥体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21.【答案】解：(1)数列{a n }的前n 项和，且a n +2S n =1，①，当n =1时，a 1=13；当n ≥2时，a n−1+2S n−1=1，②，①−②得：a n −a n−1+2a n =0，整理得a n =13a n−1； 所以数列{a n }是以13为首项，13为公比的等比数列； 所以a n =13n ，(首项符合通项)， 故a n =13n ． (2)由(1)得：b n =2log3a n ⋅log 3a n+2=2n(n+2)=1n −1n+2；所以M n =1−13+12−14+...+1n−1−1n+1+1n −1n+2=32−1n+1−1n+2， 整理得M n =3n 2+5n2(n+1)(n+2)． (3)由(1)得：c n =(2n −1)⋅13n ；所以T n =1×13+3×132+...+(2n −1)⋅13n ，①，13T n=1×132+3×133+...+(2n −1)⋅13n+1，②， ①−②得：23T n =2×(13+132+...+13n )−13−2n−13n+1，整理得：T n =1−n+13n．不等式(−1)n λ<T n +13n 对一切n ∈N ∗恒成立， 故当n =1时，−λ<13+13，整理得λ>−23， 当n =2时，λ<79． 故−23<λ<79．【解析】(1)直接利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式； (2)利用裂项相消法在数列求和中的应用求出数列的和．(3)利用乘公比错位相减法在数列求和中的应用求出数列的和，进一步利用分类讨论思想的应用求出参数的取值范围．本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的通项公式的求法，数列的求和，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．22.【答案】解：(1)有题意可知{c a =124a =8，解得{a =2c =1，∴b 2=a 2−c 2=3， ∴椭圆C 的方程为x 24+y 23=1．(2)①由(1)1|PF 1|+1|F 2P|=2|F 1F 2|=22c =1，令|PF 1|=m ，则|PF 2|=2a −m =4−m ， ∴1m+14−m=1，解得m =2，∴|PF 1|=|PF 2|=2， 此时P(0,√3)或(0,−√3). ②由(1)可知A(−2,0)，B(2,0)，∴直线PA 的方程为y =y 0x 0+2(x +2)，直线PB 的方程为y =yx 0−2(x −2)，将x =4代入直线可得M(4,6y 0x 0+2)，N(4,2y 0x 0−2)，则圆心(4,3y 0x0+2+y 0x 0−2)，且半径R =|3y 0x0+2−y 0x 0−2|，∴以MN 为直径的圆的方程为(x −4)2+(y −3y 0x 0+2−y 0x 0−2)2=(3y 0x 0+2−y 0x 0−2)2， 当y =0时，(x −4)2=12y 024−x 02，又y 02=3(1−x 024)，∴(x −4)2=9(4−x 02)4−x 02=9，解得x =7或1，∴以MN 为直径的圆过定点(7,0)或(1,0)．【解析】(1)根据题意列出关于a ，c 的方程组，解出a ，c 的值，结合b 2=a 2−c 2求出b 的值，从而得到椭圆C 的方程．(2)①由(1)1|PF 1|+1|F 2P|=1，结合椭圆的定义求出|PF 1|，|PF 2|，即可确定点P 的坐标；②根据点A ，B 的坐标表达出直线PA ，PB 的方程，进而求出M ，N 的坐标，即可得到以MN 为直径的圆的方程，令y =0求横坐标，即可得到定点坐标．本题主要考查了椭圆的标准方程，考查了圆的方程和性质，同时考查了学生的运算求解能力，属于中档题．。