圆的参数方程及参数方程与普通方程的互化

圆的参数方程及参数方程与普通方程的互化(x-h)²+(y-k)²=r²这是圆的一般方程，也被称为普通方程。

它表示平面上任意一点到圆心的距离与半径r的关系。

为了将圆的参数方程转换为普通方程，首先假设圆的参数为角度θ，则参数方程可以表示为：x = h + r * cosθy = k + r * sinθ这里，θ的取值范围为0到2π，也即一个完整的圆周。

将这两个参数方程代入圆的一般方程中，可以得到：(h + r * cosθ - h)² + (k + r * sinθ - k)² = r²化简之后，可以得到传统的普通方程。

与参数方程相反，将普通方程转换为参数方程的过程叫做互化。

首先，假设圆的圆心为(h,k)，半径为r。

将圆的一般方程展开：(x-h)²+(y-k)²=r²然后，将其中的x和y都表示成关于θ的函数。

考虑到sin²θ +cos²θ = 1，可以设x - h = r * cosθ，y - k = r * sinθ。

将这两个式子代入，可以得到：(r * cosθ)² + (r * sinθ)² = r²化简之后，即得到参数方程。

这样，普通方程和参数方程之间实现了互化。

使用参数方程进行图形绘制时，可以通过改变参数θ的取值范围来绘制整个圆周。

此外，参数方程也可以用于描述其他形状，如椭圆、双曲线等。

通过调整参数方程的形式，可以绘制出各种不同形状的图形。

参数方程的优势在于它可以更直观地描述图形的特征。

通过改变参数的取值范围，我们可以创建出不同的图案，并更容易对图形进行变换、旋转、缩放等操作。

此外，参数方程的计算也更加简单，适合用于计算机图形学领域。

总之，参数方程和普通方程是描述圆的两种常用方式。

通过互化，我们可以在参数方程和普通方程之间自由切换，并利用它们来描述各种形状的图形。

圆的一般方程化为参数圆是我们日常生活中经常遇到的一种几何图形。

在数学中，圆可以使用一般方程和参数方程进行描述和表示。

本文将重点介绍圆的一般方程化为参数。

圆的一般方程是x² + y² + Dx + Ey + F = 0，其中D、E、F是常数。

这个方程的一般形式可以描述任何圆形。

然而，在某些情况下，将一般方程转化为参数方程可以更方便地描述圆的性质和特点。

让我们考虑一种特殊情况，即圆心位于原点的圆。

对于这种情况，一般方程可以简化为x² + y² = r²，其中r是圆的半径。

我们可以通过参数方程来表示这个圆。

设参数为θ，那么圆上的点的坐标可以表示为x = rcosθ，y = rsinθ。

这样，我们可以通过改变θ的取值来得到圆上的所有点，从而描述整个圆。

对于一般情况的圆，我们可以通过平移来将圆心移动到原点，然后再进行参数化。

假设圆心的坐标为(h, k)，半径为r。

我们可以通过将x替换为x-h，y替换为y-k，得到以原点为圆心的一般方程(x-h)² + (y-k)² = r²。

然后，我们可以根据前面讨论的方法，得到参数方程为x = h + rcosθ，y = k + rsinθ。

这样，我们可以通过改变θ的取值来描述整个圆。

参数方程的优势在于可以更直观地表示圆的性质和特点。

例如，我们可以通过改变θ的取值范围，来控制圆的弧长。

当θ从0变化到2π时，我们可以得到整个圆的参数方程。

此外，参数方程还可以方便地描述圆与其他几何图形的相交、切线等关系。

除了参数方程，圆还可以使用极坐标方程进行描述。

极坐标方程是通过极径和极角来表示圆的方程。

对于以原点为圆心的圆，极坐标方程为r = r0，其中r0是圆的半径。

我们可以通过改变极角的取值来得到圆上的所有点。

类似地，对于一般情况的圆，我们可以通过平移来将圆心移动到原点，然后再进行极坐标参数化。

圆的一般方程可以通过参数方程或极坐标方程来表示。

2．1.2 圆的参数方程及参数方程与普通方程的互化 ►知识梳理1.圆的参数方程．点P 的横坐标x 、纵坐标y 都是t 的函数：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos t ，y ＝r sin t (t 为参数)．我们把这个方程叫作以圆心为原点，半径为r 的圆的参数方程． 圆的圆心为O 1(a ，b )，半径为r 的圆的参数方程为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋r cos t ，y ＝b ＋r sin t (t 为参数)． ►预习思考1．圆x 2＋y 2＝16的参数方程为：____________． 2．圆(x －6)2＋y 2＝4的参数方程为：______________．, 一层练习1．圆(x －1)2＋y 2＝4上的点可以表示为( )A ．(－1＋cos θ，sin θ)B ．(1＋sin θ，cos θ)C ．(－1＋2cos θ，2sin θ)D ．(1＋2cos θ，2sin θ)2．P (x ，y )是曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋cos θ，y ＝sin θ(0≤θ＜π，θ是参数)上的动点，则yx的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，0 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，33 D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－333．曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝－1＋sin θ(θ为参数)的普通方程为________．如果曲线C 与直线x ＋y ＋a ＝0有公共点，那么a 的取值范围是________．4．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos θ，y ＝t sin θ(t 为参数，0＜θ＜π)与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋2cos α，y ＝2sin α(α为参数)相切，则θ＝________． 5．指出下列参数方程表示什么曲线：(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ为参数，0＜θ＜π2；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t (t 为参数，π≤t ≤2π)； (3)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋15cos θ，y ＝2＋15sin θ(θ为参数，0≤θ＜2π)．二层练习6．已知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，则（x －5）2＋（y ＋42）的最大值为______7．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为：C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θ，y ＝5sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ为参数，0≤θ≤π2，C 2：⎩⎨⎧x ＝1－22t ，y ＝－22t (t为参数)，它们的交点坐标为________．8．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为：C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t ()t 为参数和C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，它们的交点坐标为________．9．已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝2cos θ.以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系，则曲线C 的参数方程为_________________10．已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t (t 为参数)，C 在点(1，1)处的切线为l ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l 的极坐标方程为____________．三层练习11．直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A ，B 分别在曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos θ，y ＝5＋sin θ(θ为参数)和曲线C 2：ρ＝1上，则|AB |的最大值为________．12.(2015·广州一模)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ＋sin θ，y ＝cos θ－sin θ(θ为参数)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－t ，y ＝t (t 为参数)．以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线C 1与C 2的交点的极坐标为________．13．如下图所示，已知定点A (2，0)，点Q 是圆C ：x 2＋y 2＝1上的动点，∠AOQ 的平分线交AQ 于点M ，当Q 在圆C 上运动时，求点M 的轨迹方程．14．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3cos ty ＝－2＋3sin t (t为参数)．在极坐标系(与平面直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴)中，直线l 的方程为2ρsin(θ－π4)＝m ，(m ∈R)．(1)求圆C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程； (2)设圆心C 到直线l 的距离等于2，求m 的值．1．利用参数求曲线的轨迹方程．(1)利用参数求曲线的轨迹方程的基本步骤是：①确定参数；②求出参数方程；③消参；④得到轨迹的普通方程(注意轨迹范围)．(2)参数的选取应根据具体条件来考虑，例如可以是时间，旋转角，动直线的斜率、截距、动点的坐标等．2．参数方程与普通方程的等价性．把参数方程化为普通方程后，很容易改变了变量的取值范围，从而使两种方程表示的曲线不一致 ，因此，在相互转化中，要注意两种方程的等价性．例如，参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin 2θ消去参数θ后的x ＋y ＝1，它表示一条直线对吗？这是不对的．因为在参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin 2θ中，x ，y 的取值范围是[0，1]，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin 2θ表示的是一条线段x ＋y ＝1(0≤x ≤1)，而不是直线x ＋y ＝1.3．关于求x 、y 的代数式的取值范围问题，常把普通方程化为参数方程，利用三角函数的值域求解．【习题2.1】1．解析：取投放点为原点，飞机飞行航线所在的直线为x 轴，过原点和地心的直线为y 轴建立平面直角坐标系，得到被投放的物资的轨迹方程为⎩⎨⎧x ＝100t ，y ＝－12gt2(t是参数，表示时间)，令x ＝1000，解得t ＝10.当t ＝10时，由方程得到y ＝－12×g ×102≈－12×9.8×102＝－490，即飞机投放救灾物资时的飞行高度约为490 m.2．解析：解法一 设经过时间t ，动点的位置是M (x ，y )，那么有x－2＝3t ，y －1＝4t ，于是点M 的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋3t ，y ＝1＋4t(以时间t为参数)．解法二 设M (x ，y )是直线上任意一点，它与M 0(2，1)的有向距离为t ，根据已知条件，由速度合成的知识可知x －2＝35t ，y －1＝45t ，于是点M的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋35t ，y ＝1＋45t (以位移t 为参数)．3．证明：不妨设△ABC 的外接圆的半径为1，建立如下图所示的平面平面直角坐标系，使点B ，C 关于x 轴对称，那么外接圆的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ是参数)，A ，B ，C 的坐标分别为(1，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32.设点M (cos θ，sin θ)，则|MA |2＋|MB |2＋|MC |2＝[(cos θ－1)2＋sin θ]＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫cos θ＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ－322＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θ＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ＋322＝6.4．解析：(1)消去t 得y ＝2x －7，即普通方程为y ＝2x －7，表示直线． (2)y ＝cos 2θ＋1＝2cos 2θ－1＋1＝2x 2，∵x ＝cos θ，∴－1≤x ≤1.∴普通方程为y ＝2x 2(－1≤x ≤1)，表示以(－1，2)，(1，2)为端点的一段抛物线弧．(3)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t，y ＝t －1t (t 为参数)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝t 2＋1t 2＋2，y 2＝t 2＋1t 2－2，两式相减得x 2－y 2＝4，即普通方程为x 2－y 2－4＝0，表示双曲线．(4)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)，∴cos φ＝x 5，sin φ＝y 3，cos 2φ＋sin 2φ＝1，∴普通方程为x 225＋y 29＝1，表示椭圆．2．1.2 圆的参数方程及参数方程与普通方程的互化 ►预习梳理1.圆的参数方程．点P 的横坐标x 、纵坐标y 都是t 的函数：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos t ，y ＝r sin t(t 为参数)． 我们把这个方程叫作以圆心为原点，半径为r 的圆的参数方程． 圆的圆心为O 1(a ，b )，半径为r 的圆的参数方程为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋r cos t ，y ＝b ＋r sin t (t 为参数)． ►预习思考1．圆x 2＋y 2＝16的参数方程为：____________． 2．圆(x －6)2＋y 2＝4的参数方程为：______________．,预习思考1.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos t ，y ＝4sin t(t 为参数) 2.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数) 圆的参数方程与普通方程互化一层练习1．圆(x －1)2＋y 2＝4上的点可以表示为( ) A ．(－1＋cos θ，sin θ) B ．(1＋sin θ，cos θ) C ．(－1＋2cos θ，2sin θ) D ．(1＋2cos θ，2sin θ) 1．D2．P (x ，y )是曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋cos θ，y ＝sin θ(0≤θ＜π，θ是参数)上的动点，则yx的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，0 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，33D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－332.A3．曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝－1＋sin θ(θ为参数)的普通方程为________．如果曲线C 与直线x ＋y ＋a ＝0有公共点，那么a 的取值范围是________．3．x 2＋(y ＋1)2＝1 [1－2，1＋2]4．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos θ，y ＝t sin θ(t 为参数，0＜θ＜π)与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋2cos α，y ＝2sin α(α为参数)相切，则θ＝________．4.π6或5π65．指出下列参数方程表示什么曲线：(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ为参数，0＜θ＜π2；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t (t 为参数，π≤t ≤2π)； (3)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋15cos θ，y ＝2＋15sin θ(θ为参数，0≤θ＜2π)． 5．解析：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)得x 2＋y 2＝9.又由0＜θ＜π2，得0＜x ＜3，0＜y ＜3，所以所求方程为x 2＋y 2＝9(0＜x ＜3且0＜y ＜3)． 这是一段圆弧(圆x 2＋y 2＝9位于第一象限的部分)．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t(t 为参数)得x 2＋y 2＝4. 由π≤t ≤2π，得－2≤x ≤2，－2≤y ≤0.所求圆方程为x 2＋y 2＝4(－2≤x ≤2，－2≤y ≤0)．这是一段半圆弧(圆x 2＋y 2＝4位于y 轴下方的部分，包括端点)．(3)由参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋15cos θ，y ＝2＋15sin θ(θ为参数)得(x －3)2＋(y －2)2＝152，由0≤θ＜2π知这是一个整圆弧． 二层练习6．已知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，则（x －5）2＋（y ＋42）的最大值为________．6．67．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为：C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θ，y ＝5sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ为参数，0≤θ≤π2， C 2：⎩⎨⎧x ＝1－22t ，y ＝－22t (t 为参数)， 它们的交点坐标为________．7．(2，1)8．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为：C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t ()t 为参数和C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，它们的交点坐标为________．8．(1，1)9．已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝2cos θ.以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系，则曲线C 的参数方程为____________________________________．9.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数) 10．已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t(t 为参数)，C 在点(1，1)处的切线为l ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l 的极坐标方程为____________．10．ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝ 2 三层练习11．直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A ，B 分别在曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos θ，y ＝5＋sin θ(θ为参数)和曲线C 2：ρ＝1上，则|AB |的最大值为________．11．512.(2015·广州一模)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ＋sin θ，y ＝cos θ－sin θ(θ为参数)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－t ，y ＝t (t 为参数)．以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线C 1与C 2的交点的极坐标为________．12.⎝⎛⎭⎪⎫2，π4 13．如下图所示，已知定点A (2，0)，点Q 是圆C ：x 2＋y 2＝1上的动点，∠AOQ 的平分线交AQ 于点M ，当Q 在圆C 上运动时，求点M 的轨迹方程．13．解析：设点O 到AQ 的距离为d ，则12|AM |·d ＝12|OA |·|OM |·sin ∠AOM ， 12|QM |·d ＝12|OQ |·|OM |·sin ∠QOM . 又∠AOM ＝∠QOM ， 所以|AM ||QM |＝|OA ||OQ |＝21.所以AM →＝23AQ →. 因为点Q 是圆x 2＋y 2＝1上的点，所以设点Q 坐标为(cos θ，sin θ)，M (x ，y )，得(x －2，y －0)＝23(cos θ－2，sin θ－0)， 即x －23＝23cos θ，y ＝23sin θ， 两式平方相加，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －232＋y 2＝49， 故点M 的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －232＋y 2＝49.14．(2015·福建卷，数学理)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3cos t y ＝－2＋3sin t (t 为参数)．在极坐标系(与平面直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴)中，直线l 的方程为2ρsin(θ－π4)＝m ，(m ∈R)． (1)求圆C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程；(2)设圆心C 到直线l 的距离等于2，求m 的值．14．分析：(1)将圆的参数方程通过移项平方消去参数得(x －1)2＋(y ＋2)2＝9，利用x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)利用点到直线距离公式求解．解析：(1)消去参数t，得到圆的普通方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝9，由2ρsin(θ－π4)＝m，得ρsinθ－ρcosθ－m＝0，所以直线l的直角坐标方程为x－y－m＝0.(2)依题意，圆心C到直线l的距离等于2，即|1－（－2）＋m|2＝2，解得m＝－3±2 2.1．利用参数求曲线的轨迹方程．(1)利用参数求曲线的轨迹方程的基本步骤是：①确定参数；②求出参数方程；③消参；④得到轨迹的普通方程(注意轨迹范围)．(2)参数的选取应根据具体条件来考虑，例如可以是时间，旋转角，动直线的斜率、截距、动点的坐标等．2．参数方程与普通方程的等价性．把参数方程化为普通方程后，很容易改变了变量的取值范围，从而使两种方程表示的曲线不一致 ，因此，在相互转化中，要注意两种方程的等价性．例如，参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin 2θ消去参数θ后的x ＋y ＝1，它表示一条直线对吗？这是不对的．因为在参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin 2θ中，x ，y 的取值范围是[0，1]，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin 2θ表示的是一条线段x ＋y ＝1(0≤x ≤1)，而不是直线x ＋y ＝1.3．关于求x 、y 的代数式的取值范围问题，常把普通方程化为参数方程，利用三角函数的值域求解．【习题2.1】1．解析：取投放点为原点，飞机飞行航线所在的直线为x 轴，过原点和地心的直线为y 轴建立平面直角坐标系，得到被投放的物资的轨迹方程为⎩⎨⎧x ＝100t ，y ＝－12gt2(t 是参数，表示时间)，令x ＝1000，解得t ＝10.当t ＝10时，由方程得到y ＝－12×g ×102≈－12×9.8×102＝－490，即飞机投放救灾物资时的飞行高度约为490 m.2．解析：解法一 设经过时间t ，动点的位置是M (x ，y )，那么有x－2＝3t ，y －1＝4t ，于是点M 的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋3t ，y ＝1＋4t (以时间t 为参数)．解法二 设M (x ，y )是直线上任意一点，它与M 0(2，1)的有向距离为t ，根据已知条件，由速度合成的知识可知x －2＝35t ，y －1＝45t ，于是点M 的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋35t ，y ＝1＋45t(以位移t 为参数)． 3．证明：不妨设△ABC 的外接圆的半径为1，建立如下图所示的平面平面直角坐标系，使点B ，C 关于x 轴对称，那么外接圆的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ是参数)，A ，B ，C 的坐标分别为(1，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32.设点M (cos θ，sin θ)，则|MA |2＋|MB |2＋|MC |2＝[(cos θ－1)2＋sin θ]＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫cos θ＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ－322＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θ＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ＋322＝6. 4．解析：(1)消去t 得y ＝2x －7，即普通方程为y ＝2x －7，表示直线．(2)y ＝cos 2θ＋1＝2cos 2θ－1＋1＝2x 2，∵x ＝cos θ，∴－1≤x ≤1.∴普通方程为y ＝2x 2(－1≤x ≤1)，表示以(－1，2)，(1，2)为端点的一段抛物线弧．(3)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t ，y ＝t －1t (t 为参数)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝t 2＋1t 2＋2，y 2＝t 2＋1t 2－2，两式相减得x 2－y 2＝4，即普通方程为x 2－y 2－4＝0，表示双曲线．(4)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)，∴cos φ＝x 5，sin φ＝y 3，cos 2φ＋sin 2φ＝1，∴普通方程为x 225＋y 29＝1，表示椭圆．。

参数方程、普通方程、直角坐标方程和极坐标方程的互化参数方程、普通方程、直角坐标方程和极坐标方程是数学中常用的表示函数关系的方式，它们在数学和物理等领域中都有广泛的应用。

本文将介绍这四种方程形式，并探讨它们之间的关系和互相转换的方法。

参数方程在数学中，参数方程是描述曲线的一种方式，其中曲线上的点由一个或多个参数的函数表示。

常见的参数方程形式为：x = f(t)y = g(t)其中t是参数，x和y是关于t的函数。

通过给定不同的参数值，我们可以得到曲线上的各个点的坐标。

普通方程普通方程是指用x和y来表示一个函数关系的方程。

一般形式为：F(x, y) = 0其中F是一个关于x和y的函数。

普通方程描述了直角坐标系下的曲线。

直角坐标方程直角坐标方程是指使用x和y来表示一个函数关系的方程。

一般形式为：y = f(x)其中x和y是直角坐标系下的坐标。

直角坐标方程常用来描述直线、抛物线、椭圆等曲线。

极坐标方程极坐标方程是利用极坐标系下的角度和半径来表示一个函数关系的方程。

一般形式为：r = f(θ)其中r是距离原点的距离，θ是与正半轴的夹角。

极坐标方程常用来描述圆形、螺线等曲线。

互相转换方法在某些情况下，我们需要将参数方程转换为普通方程、直角坐标方程或极坐标方程，或者反之。

下面分别介绍它们之间的转换方法：从参数方程到直角坐标方程要将参数方程转换为直角坐标方程，首先求解参数方程得到x和y的表达式，然后将它们代入直角坐标方程中即可得到结果。

从直角坐标方程到参数方程要将直角坐标方程转换为参数方程，可以先假设一个参数，然后根据直角坐标方程解出参数方程的表达式。

从参数方程到极坐标方程要将参数方程转换为极坐标方程，可以先求解参数方程得到x和y的表达式，然后利用直角坐标到极坐标的转换公式将其转换为极坐标方程。

从极坐标方程到参数方程要将极坐标方程转换为参数方程，可以利用极坐标到直角坐标的转换公式将极坐标方程转换为直角坐标方程，然后再将直角坐标方程转换为参数方程。

圆的参数方程及参数方程与普通方程的互化圆是平面几何学中最基本的几何形状之一、在直角坐标系下，圆可以使用普通方程或者参数方程来表示。

参数方程是一种使用参数来表示平面上每个点的方程形式，它与普通方程之间存在一种互化关系，可以通过互相转换来描述同一个圆。

下面我们将详细介绍圆的参数方程以及参数方程与普通方程的互化关系。

一、圆的参数方程1.确定圆心和半径设圆心为(a,b)，半径为r。

2.使用参数表示圆上每个点设参数t为圆上任意一点与圆心的连线之间的夹角，以及圆心到该点的线段的长度与半径r的比值。

3.圆的参数方程x = a + r * cos(t)y = b + r * sin(t)这个参数方程描述了圆上每个点的坐标。

参数方程和普通方程是用不同的数学表达形式来描述同一个几何对象的方式。

通过互相转换，我们可以在这两种方程之间进行转换。

1.从参数方程转换为普通方程在参数方程中，我们可以通过消去参数t来得到普通方程。

具体步骤如下：- 在参数方程中，将 x 和 y 分别表示为 x = a + r * cos(t) 和 y = b + r * sin(t)。

-将上述两个方程平方，并对它们求和，得到(x-a)^2+(y-b)^2=r^2-整理上述方程，可以得到普通方程形式(x-a)^2+(y-b)^2=r^2，它描述了圆的方程。

2.从普通方程转换为参数方程在普通方程中，我们可以通过引入参数t来得到参数方程。

具体步骤如下：-在普通方程中，将(x-a)^2+(y-b)^2=r^2表示为(x-a)^2+(y-b)^2-r^2=0。

-使用参数t来表示(x-a)^2+(y-b)^2-r^2=0的参数方程。

- 令 x = a + r * cos(t) 和 y = b + r * sin(t)，则 (x - a)^2 + (y - b)^2 - r^2 = 0 成立。

- 这样我们就得到了参数方程 x = a + r * cos(t) 和 y = b + r * sin(t)，描述了圆的方程。

参数方程和普通方程的互化教学目标1．理解参数方程和消去参数后所得的普通方程是等价的．2．基本掌握消去参数的方法．3．培养学生观察、猜想和灵活地进行公式的恒等变形的能力．即在“互化”训练中，提高学生解决数学问题的转化能力．教学重点与难点使学生掌握参数方程与普通方程之间的互化法则，明确新旧知识之间的联系，掌握消去参数的基本方法．教学过程师：前面的课程里，我们学习了参数方程，下面请看这样一个问题：(放投影片)由圆外一点Q(a，b)向圆x2+y2=r2作割线，交圆周于A、B两点，求AB中点P 的轨迹的参数方程(如图3-5)．分析割线过点Q(a，b)，故割线PQ方程为：此斜率k可作为参数．(投影)解设过点Q的直线方程是y-b=k(x-a)，则圆心O与AB中点P的即为所求点P的轨迹的参数方程．师：你能根据点P的参数方程说出点P的轨迹吗？生：(无言以对)看不出来．(启发学生猜想，培养参与意识．)师：你通过题目中点P符合的条件，多画几个点，猜想一下它的形状．(学生在纸上画，讨论．)生：点P的轨迹(1)过坐标原点，也就是已知圆的圆心．(2)轨迹不是直线．师：参数方法是研究曲线和方程的又一种方法，是一种利用参数建立两个变量之间的间接联系的方法．也就是说，参数方程里的参数可以协调x、y的变化．基于这点理论，有时为了判定曲线的类型、研究曲线的几何性质，需要把参数方程化为普通方程．即想办法消去参数k，把参数方程转化为我们熟知的普通方程，再去研究它的几何性质就容易了．把(3)代入(2)得：x2-ax+y2-by=0．(4)方程(4)证实了我们的猜想是正确的，具体地说：点P的轨迹是一个过圆心的圆弧(在圆x2+y2=r2的内部)．师：以上事例说明，有时为了判定曲线的类型，研究曲线的几何性质，确实需要把参数方程化为我们认知的普通方程．这节课我们就来学习把参数方程化为普通方程的法则．例1 炮弹从点(0，0)以初速度v0向倾斜角为α的方向发射，问：(1)在时刻t的高度和水平距离如何？(2)炮弹描绘的(弹道)是一条什么样的曲线？(学生通过物理知识，很容易解决这个问题．)解(1)设炮弹发射后的位置在点M(x，y)(如图3-6)，因为炮弹在Ox方向是以v0cosα为速度的匀速直线运动，在Oy方向是以v0sinα为初速度的竖直上抛运动，所以按匀速直线运动的公式知：炮弹在时刻t的水平距离是x=v0cosα·t，按竖直上抛运动的位移公式知：炮弹在时即弹道曲线的参数方程上看不出来，那么怎么办呢？生：消去参数t，转化成为普通方程后，就可看出曲线的形状了．故炮弹描绘的曲线是一条抛物线．(含顶点在内的一部分．因为二次项系数是负值，所以这是开口向下的抛物线，与实际问题相吻合．)例2 把参数方程即3x+5y-11=0是所求的普通方程，它的轨迹是一条直线．师：这个同学理解了消参的基本方法——代入消参法．这正与解方程组中代入消元法相类似．他用学过的知识解决了新问题．你认为他的解题过程有问题吗？生：挺好的．我与他解的一样，没问题．师：同学们在解题时注意参数t的取值范围了吗？生：t为不等于-1的实数，即t≠-1．师：答案是否有何不妥？生：没觉得哪儿不妥，轨迹确实是一条直线．师：普通方程是相对于参数方程而言的，它反映了坐标变量x与y之间的直接关系，而参数方程是通过参数反映坐标变量x与y之间的间接关系．如能消去参数(不是所有的参数方程都能化为普通方程)，参数方程就转化为普通方程，所以普通方程和参数方程是同一曲线的两种不同的表达形式．为此，在化参数方程为普通方程时，必须注意变数的范围不应扩大或缩小，也就是对应曲线上的点不应增加也不应减小．这就要求参数方程和消去参数后的普通方程等价．请修正一下你的答案．生：3x+5y-11=0(x≠-3)是所求的普通方程，它的轨迹是一条直线(去掉点(-3，4))．师：观察一下方程(1)、(2)的形式与你学过的知识中哪个式子类似？(提供类比，用以理解直线的参数方程形式不只一种，它与选定的参数相关．)至此，想必学生悟到t的几何意义：动点P分P1P2所成的比，即t=解过点(2，1)，(-3，4)的直线方程是：化简，得3x+5y-11=0．师：这个事实说明，据参数的几何意义，也能达到消参的目的．师：例2表明，直线的参数方程的形式不只一种．那么对同一个参数方程来说，指定的参数不同，会带来曲线的形状不同吗？你试试看．(激发学生探索问题的兴趣)生：对同一个参数方程来讲，由于指定的参数不同，会带来曲线形状的变化．例4 化下列参数方程为普通方程．(让学生按小组讨论求解，然后在投影仪上打出答案．)略解(1)(x+1)2+y=sin2θ+cos2θ，所以 (x+1)2+y=1，(0≤y≤1)．所以x2-y2=4．师：消去参数的方法常用的有哪些？转化过程中应注意什么？(学生讨论后教师板书)消去参数的方法常用的有以下两种：(1)代入法：先求出参数的表达式，然后代入另一个方程中去(如例1)．(2)利用代数或三角函数中的恒等式消去参数．(如例4)转化过程中应注意参数的范围不能扩大也不能缩小．也就是对应曲线上的点，不应增加也不应减少，保证参数方程和消参后的普通方程等价．师：方程组中有3个变量，其中的x和y表示曲线上点的坐标；θ是参变量．参数方程之所以能描绘出动点的轨迹，是由于当给出一个参数值时，就能唯一地求出相应的x与y的值，因而也就确定了这时点所在的位置．所以问题可转化为讨论当θ为何值时，点P到直线的距离最小问题．因为tanθ、cotθ同号，又|tanθ+2cotθ+2|≥|tanθ+2cotθ|-|2|，从例5的结论知道，参数θ不是问题的主要对象，却能牵动主要对象的根本性质．这个问题的解决再一次说明：参数方程能明确地揭示点的运动规律，对解决某些问题有不可替代的优越性．师：这节课我们学习了参数方程化为普通方程的法则．首先通过问题的提出，我们知道有时为了判定曲线的类型，研究曲线的几何性质，需要把参数方程化为普通方程．又在将参数方程化为普通方程的过程中，掌握了消去参数的常用方法，并且理解了参数方程和消去参数后所得的普通方程为什么要等价．家庭作业：一、把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线．二、关于t的方程t2+(2+i)t+4xy+(2x-y)i=0(x，y∈R，i是虚数单位)有实根，求动点P(x，y)的轨迹的普通方程．下面是作业题略解．一、(1)(x-x0)2+(y-y0)2=t2，以(x0，y0)为圆心，|t|为半径的圆．(2)y-y0=tanθ(x-x0)，过点(x0，y0)，斜率是tanθ的直线．(3)2x+y-5=0(0≤x＜3)，缺一个端点的线段．(4)y2-x2=4(y≥2)，双曲线的上支．二、已知方程整理为：(t2+2t+4xy)+i(2x-y+t)=0因为x，y，t∈R，得4x2+y2+4x-2y=0为所求．设计说明参数方程与普通方程的互化，应该是两课时，这是第一课时的内容：参数方程化为普通方程．对这一问题课本仅用3／2页的篇幅介绍了互化的方法共3个例题．纵观全章《参数方程、极坐标》也只是对参数方程进行了初步研究．而事实上，参数方程也是解析几何的重要内容之一，是继续学习数学知识的基础，在生产实践中也有广泛的应用．我们知道，参数方程与带有参数的问题固然不同，但是学习参数方程对于熟练参数的运用却很有帮助．更有一类问题，看来不是参数方程，而实质上是参数方程问题．这就是所求轨迹的方程，轨迹是双曲线．这解法有些使人莫名其妙，实际上这是参数方程．本来我们应该先把对应直线的交点求出来：这就是所求轨迹的参数方程．为了求x、y的方程而消t的话，可以照这样进行：数学中的参数好像是一种活泼的元素，有它的时候可以添一些麻烦，但这麻烦却多半是有趣的现象．它能使一些问题化繁为简．故活用参数，问题，常规解法是：这一问题也可巧用参数，把它转化成求过动点(cosθ，sinθ)和定点(1，2)直线的斜率取值范围问题．动点P(cosθ，sinθ)的轨迹是以坐标原点为圆心，1为半径的圆(挖去(1，0)点)．如图3-7知：(北京市陈经纶中学纪小华)（注：文档可能无法思考全面，请浏览后下载，供参考。

圆的参数方程与参数方程和普通方程的互化【学习目标】1.会选取适当的参数，求圆的参数方程，掌握参数方程与普通方程的互化。

2.通过求圆心在原点的圆的参数方程初步掌握求曲线参数方程的一般步骤，通过探究参数方程所表示的图形得到参数方程与普通方程的互化方法。

【学习重点】圆的参数方程，参数方程与普通方程的互化。

【学习难点】在参数方程与普通方程的互化中x,y范围的一致性。

【学法指导】认真阅读教材P23—P25，通过圆的参数方程体会求曲线参数方程的一般步骤，讨论研究圆的一般参数方程，结合书中例题，体会总结参数方程和普通方程的互化方法。

【知识链接】1．sin2a= 2. cos2a=3．asinA+bcosA= 4. sin2a+cos2a=3．（1）请写出圆心在原点O，半径为r的圆O的标准方程．（2）请写出圆心在原点C（a,b），半径为r的圆C的标准方程.【学习过程】（一）、圆的参数方程：问题1：如图3-1，设M为圆上任意一点，驱使M运动的因素是什么？当我们把x轴作为θ角始边，并使OM绕O点逆时针旋转，请考虑θ在什么范围内取值就可以形成整个圆了？至此x、y之间的关系已通过θ联系起来了，请具体地写出它们之间的关系？问题2：问题1中的方程是圆⊙的方程吗？请说明理由．结论1：圆心在原点O，半径为r的圆的参数方程为，其中参数 的几何意义是。

结论2：求曲线参数方程的一般步骤：C a b，半径为r的圆的参数方程是怎样的？探究：圆心在点(,)注：（1）将曲线的参数方程化为普通方程，有利于识别曲线的类型。

（2）曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式.一般地,可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程。

在参数方程与普通方程的互化中，必须使x,y的取值范围保持一致.【预习检测】1.把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线。

（1）32()14x t t y t =-⎧⎨=--⎩为参数 （2）5cos ()3sin x y ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数2.设()y tx t =为参数则圆2240x y y +-=的参数方程为__________________________ 3 曲线的参数方程是211()1x t t y t ⎧=-⎪≠⎨⎪=-⎩为参数,t 0，则它的普通方程为_________________【跟踪检测】 1与参数方程为)x t y ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数等价的普通方程为（ ） A 214y +=2x B 21(01)4y x +=≤≤2x C 21(02)4y y +=≤≤2x D 21(01,02)4y x y +=≤≤≤≤2x2．把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线。

普通方程转化参数方程1.普通方程怎么转化为参数方程?表示平面截圆所成曲线，角度由0变为t，有√(y^2+x^2)=3cost，z=3sint(A点和B点到圆心的距离都是3)因为y=x，得参数方程x=3/√2cost，z=3sint（2）理解以后，y=x代入x^2+y^2+z^2=9，有xoz面的投影方程2x^2+z^2=9，观察投影方程，取√2x=3cost，即x=3/√2cost。

2.参数方程与普通方程之间怎样互换θ+sin²根据椭圆参数方程有：x/a=cosθy/b=sinθ代入上式很容易就变成了一般方程(x/a)²+(y/b)²ρ=x²ρcosθ=x，ρsinθ=y，以下是几个常见的参数方程。

斜率为m的直线，上文中的a：c,k,p,r为已知数,t都为参数，x，应用在柯西中值定理的证明中：也运用到了参数方程，柯西中值定理如果函数f(x）及F(x）满足。

⑴在闭区间[a：b]上连续,⑵在开区间(a；b)内可导,⑶对任一x∈(a；b),(x）≠0;那么在(a。

b)内至少有一点ζ,使等式[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f'，（ζ）/F'（ζ）成立;柯西简洁而严格地证明了微积分学基本定理即牛顿－莱布尼茨公式。

他利用定积分严格证明了带余项的泰勒公式。

还用微分与积分中值定理表示曲边梯形的面积，推导了平面曲线之间图形的面积、曲面面积和立体体积的公式，参数曲线亦可以是多于一个参数的函数。

例如参数表面是两个参数(s。

t)或(u,v)的函数,r(u：v)=[x(u,y(u,z(u,v)]=[acos(u),asin(u),质的坐标x，y与时间t之间有函数关系x=f(t)，y=g(t)，这两个函数式中的变量t，相对于表示质点的几何位置的变量x。

3.参数方程互化一般方程圆的参数方程：x=a+r cosθ；y=b+r sinθ（θ∈[0，(a,(x,椭圆的参数方程：x=a cosθ；y=b sinθ（θ∈[0，a为长半轴长，b为短半轴长，θ为参数。