圆的参数方程及参数方程与普通方程的互化

圆的参数方程及参数方程与普通方程的互化(x-h)²+(y-k)²=r²这是圆的一般方程，也被称为普通方程。

它表示平面上任意一点到圆心的距离与半径r的关系。

为了将圆的参数方程转换为普通方程，首先假设圆的参数为角度θ，则参数方程可以表示为：x = h + r * cosθy = k + r * sinθ这里，θ的取值范围为0到2π，也即一个完整的圆周。

将这两个参数方程代入圆的一般方程中，可以得到：(h + r * cosθ - h)² + (k + r * sinθ - k)² = r²化简之后，可以得到传统的普通方程。

与参数方程相反，将普通方程转换为参数方程的过程叫做互化。

首先，假设圆的圆心为(h,k)，半径为r。

将圆的一般方程展开：(x-h)²+(y-k)²=r²然后，将其中的x和y都表示成关于θ的函数。

考虑到sin²θ +cos²θ = 1，可以设x - h = r * cosθ，y - k = r * sinθ。

将这两个式子代入，可以得到：(r * cosθ)² + (r * sinθ)² = r²化简之后，即得到参数方程。

这样，普通方程和参数方程之间实现了互化。

使用参数方程进行图形绘制时，可以通过改变参数θ的取值范围来绘制整个圆周。

此外，参数方程也可以用于描述其他形状，如椭圆、双曲线等。

通过调整参数方程的形式，可以绘制出各种不同形状的图形。

参数方程的优势在于它可以更直观地描述图形的特征。

通过改变参数的取值范围，我们可以创建出不同的图案，并更容易对图形进行变换、旋转、缩放等操作。

此外，参数方程的计算也更加简单，适合用于计算机图形学领域。

总之，参数方程和普通方程是描述圆的两种常用方式。

通过互化，我们可以在参数方程和普通方程之间自由切换，并利用它们来描述各种形状的图形。

圆的一般方程化为参数圆是我们日常生活中经常遇到的一种几何图形。

在数学中，圆可以使用一般方程和参数方程进行描述和表示。

本文将重点介绍圆的一般方程化为参数。

圆的一般方程是x² + y² + Dx + Ey + F = 0，其中D、E、F是常数。

这个方程的一般形式可以描述任何圆形。

然而，在某些情况下，将一般方程转化为参数方程可以更方便地描述圆的性质和特点。

让我们考虑一种特殊情况，即圆心位于原点的圆。

对于这种情况，一般方程可以简化为x² + y² = r²，其中r是圆的半径。

我们可以通过参数方程来表示这个圆。

设参数为θ，那么圆上的点的坐标可以表示为x = rcosθ，y = rsinθ。

这样，我们可以通过改变θ的取值来得到圆上的所有点，从而描述整个圆。

对于一般情况的圆，我们可以通过平移来将圆心移动到原点，然后再进行参数化。

假设圆心的坐标为(h, k)，半径为r。

我们可以通过将x替换为x-h，y替换为y-k，得到以原点为圆心的一般方程(x-h)² + (y-k)² = r²。

然后，我们可以根据前面讨论的方法，得到参数方程为x = h + rcosθ，y = k + rsinθ。

这样，我们可以通过改变θ的取值来描述整个圆。

参数方程的优势在于可以更直观地表示圆的性质和特点。

例如，我们可以通过改变θ的取值范围，来控制圆的弧长。

当θ从0变化到2π时，我们可以得到整个圆的参数方程。

此外，参数方程还可以方便地描述圆与其他几何图形的相交、切线等关系。

除了参数方程，圆还可以使用极坐标方程进行描述。

极坐标方程是通过极径和极角来表示圆的方程。

对于以原点为圆心的圆，极坐标方程为r = r0，其中r0是圆的半径。

我们可以通过改变极角的取值来得到圆上的所有点。

类似地，对于一般情况的圆，我们可以通过平移来将圆心移动到原点，然后再进行极坐标参数化。

圆的一般方程可以通过参数方程或极坐标方程来表示。

2．1.2 圆的参数方程及参数方程与普通方程的互化 ►知识梳理1.圆的参数方程．点P 的横坐标x 、纵坐标y 都是t 的函数：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos t ，y ＝r sin t (t 为参数)．我们把这个方程叫作以圆心为原点，半径为r 的圆的参数方程． 圆的圆心为O 1(a ，b )，半径为r 的圆的参数方程为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋r cos t ，y ＝b ＋r sin t (t 为参数)． ►预习思考1．圆x 2＋y 2＝16的参数方程为：____________． 2．圆(x －6)2＋y 2＝4的参数方程为：______________．, 一层练习1．圆(x －1)2＋y 2＝4上的点可以表示为( )A ．(－1＋cos θ，sin θ)B ．(1＋sin θ，cos θ)C ．(－1＋2cos θ，2sin θ)D ．(1＋2cos θ，2sin θ)2．P (x ，y )是曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋cos θ，y ＝sin θ(0≤θ＜π，θ是参数)上的动点，则yx的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，0 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，33 D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－333．曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝－1＋sin θ(θ为参数)的普通方程为________．如果曲线C 与直线x ＋y ＋a ＝0有公共点，那么a 的取值范围是________．4．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos θ，y ＝t sin θ(t 为参数，0＜θ＜π)与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋2cos α，y ＝2sin α(α为参数)相切，则θ＝________． 5．指出下列参数方程表示什么曲线：(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ为参数，0＜θ＜π2；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t (t 为参数，π≤t ≤2π)； (3)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋15cos θ，y ＝2＋15sin θ(θ为参数，0≤θ＜2π)．二层练习6．已知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，则（x －5）2＋（y ＋42）的最大值为______7．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为：C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θ，y ＝5sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ为参数，0≤θ≤π2，C 2：⎩⎨⎧x ＝1－22t ，y ＝－22t (t为参数)，它们的交点坐标为________．8．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为：C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t ()t 为参数和C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，它们的交点坐标为________．9．已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝2cos θ.以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系，则曲线C 的参数方程为_________________10．已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t (t 为参数)，C 在点(1，1)处的切线为l ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l 的极坐标方程为____________．三层练习11．直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A ，B 分别在曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos θ，y ＝5＋sin θ(θ为参数)和曲线C 2：ρ＝1上，则|AB |的最大值为________．12.(2015·广州一模)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ＋sin θ，y ＝cos θ－sin θ(θ为参数)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－t ，y ＝t (t 为参数)．以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线C 1与C 2的交点的极坐标为________．13．如下图所示，已知定点A (2，0)，点Q 是圆C ：x 2＋y 2＝1上的动点，∠AOQ 的平分线交AQ 于点M ，当Q 在圆C 上运动时，求点M 的轨迹方程．14．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3cos ty ＝－2＋3sin t (t为参数)．在极坐标系(与平面直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴)中，直线l 的方程为2ρsin(θ－π4)＝m ，(m ∈R)．(1)求圆C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程； (2)设圆心C 到直线l 的距离等于2，求m 的值．1．利用参数求曲线的轨迹方程．(1)利用参数求曲线的轨迹方程的基本步骤是：①确定参数；②求出参数方程；③消参；④得到轨迹的普通方程(注意轨迹范围)．(2)参数的选取应根据具体条件来考虑，例如可以是时间，旋转角，动直线的斜率、截距、动点的坐标等．2．参数方程与普通方程的等价性．把参数方程化为普通方程后，很容易改变了变量的取值范围，从而使两种方程表示的曲线不一致 ，因此，在相互转化中，要注意两种方程的等价性．例如，参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin 2θ消去参数θ后的x ＋y ＝1，它表示一条直线对吗？这是不对的．因为在参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin 2θ中，x ，y 的取值范围是[0，1]，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin 2θ表示的是一条线段x ＋y ＝1(0≤x ≤1)，而不是直线x ＋y ＝1.3．关于求x 、y 的代数式的取值范围问题，常把普通方程化为参数方程，利用三角函数的值域求解．【习题2.1】1．解析：取投放点为原点，飞机飞行航线所在的直线为x 轴，过原点和地心的直线为y 轴建立平面直角坐标系，得到被投放的物资的轨迹方程为⎩⎨⎧x ＝100t ，y ＝－12gt2(t是参数，表示时间)，令x ＝1000，解得t ＝10.当t ＝10时，由方程得到y ＝－12×g ×102≈－12×9.8×102＝－490，即飞机投放救灾物资时的飞行高度约为490 m.2．解析：解法一 设经过时间t ，动点的位置是M (x ，y )，那么有x－2＝3t ，y －1＝4t ，于是点M 的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋3t ，y ＝1＋4t(以时间t为参数)．解法二 设M (x ，y )是直线上任意一点，它与M 0(2，1)的有向距离为t ，根据已知条件，由速度合成的知识可知x －2＝35t ，y －1＝45t ，于是点M的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋35t ，y ＝1＋45t (以位移t 为参数)．3．证明：不妨设△ABC 的外接圆的半径为1，建立如下图所示的平面平面直角坐标系，使点B ，C 关于x 轴对称，那么外接圆的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ是参数)，A ，B ，C 的坐标分别为(1，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32.设点M (cos θ，sin θ)，则|MA |2＋|MB |2＋|MC |2＝[(cos θ－1)2＋sin θ]＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫cos θ＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ－322＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θ＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ＋322＝6.4．解析：(1)消去t 得y ＝2x －7，即普通方程为y ＝2x －7，表示直线． (2)y ＝cos 2θ＋1＝2cos 2θ－1＋1＝2x 2，∵x ＝cos θ，∴－1≤x ≤1.∴普通方程为y ＝2x 2(－1≤x ≤1)，表示以(－1，2)，(1，2)为端点的一段抛物线弧．(3)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t，y ＝t －1t (t 为参数)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝t 2＋1t 2＋2，y 2＝t 2＋1t 2－2，两式相减得x 2－y 2＝4，即普通方程为x 2－y 2－4＝0，表示双曲线．(4)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)，∴cos φ＝x 5，sin φ＝y 3，cos 2φ＋sin 2φ＝1，∴普通方程为x 225＋y 29＝1，表示椭圆．2．1.2 圆的参数方程及参数方程与普通方程的互化 ►预习梳理1.圆的参数方程．点P 的横坐标x 、纵坐标y 都是t 的函数：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos t ，y ＝r sin t(t 为参数)． 我们把这个方程叫作以圆心为原点，半径为r 的圆的参数方程． 圆的圆心为O 1(a ，b )，半径为r 的圆的参数方程为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋r cos t ，y ＝b ＋r sin t (t 为参数)． ►预习思考1．圆x 2＋y 2＝16的参数方程为：____________． 2．圆(x －6)2＋y 2＝4的参数方程为：______________．,预习思考1.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos t ，y ＝4sin t(t 为参数) 2.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数) 圆的参数方程与普通方程互化一层练习1．圆(x －1)2＋y 2＝4上的点可以表示为( ) A ．(－1＋cos θ，sin θ) B ．(1＋sin θ，cos θ) C ．(－1＋2cos θ，2sin θ) D ．(1＋2cos θ，2sin θ) 1．D2．P (x ，y )是曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋cos θ，y ＝sin θ(0≤θ＜π，θ是参数)上的动点，则yx的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，0 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，33D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－332.A3．曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝－1＋sin θ(θ为参数)的普通方程为________．如果曲线C 与直线x ＋y ＋a ＝0有公共点，那么a 的取值范围是________．3．x 2＋(y ＋1)2＝1 [1－2，1＋2]4．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos θ，y ＝t sin θ(t 为参数，0＜θ＜π)与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋2cos α，y ＝2sin α(α为参数)相切，则θ＝________．4.π6或5π65．指出下列参数方程表示什么曲线：(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ为参数，0＜θ＜π2；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t (t 为参数，π≤t ≤2π)； (3)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋15cos θ，y ＝2＋15sin θ(θ为参数，0≤θ＜2π)． 5．解析：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)得x 2＋y 2＝9.又由0＜θ＜π2，得0＜x ＜3，0＜y ＜3，所以所求方程为x 2＋y 2＝9(0＜x ＜3且0＜y ＜3)． 这是一段圆弧(圆x 2＋y 2＝9位于第一象限的部分)．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t(t 为参数)得x 2＋y 2＝4. 由π≤t ≤2π，得－2≤x ≤2，－2≤y ≤0.所求圆方程为x 2＋y 2＝4(－2≤x ≤2，－2≤y ≤0)．这是一段半圆弧(圆x 2＋y 2＝4位于y 轴下方的部分，包括端点)．(3)由参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋15cos θ，y ＝2＋15sin θ(θ为参数)得(x －3)2＋(y －2)2＝152，由0≤θ＜2π知这是一个整圆弧． 二层练习6．已知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，则（x －5）2＋（y ＋42）的最大值为________．6．67．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为：C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θ，y ＝5sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ为参数，0≤θ≤π2， C 2：⎩⎨⎧x ＝1－22t ，y ＝－22t (t 为参数)， 它们的交点坐标为________．7．(2，1)8．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为：C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t ()t 为参数和C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，它们的交点坐标为________．8．(1，1)9．已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝2cos θ.以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系，则曲线C 的参数方程为____________________________________．9.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数) 10．已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t(t 为参数)，C 在点(1，1)处的切线为l ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l 的极坐标方程为____________．10．ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝ 2 三层练习11．直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A ，B 分别在曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos θ，y ＝5＋sin θ(θ为参数)和曲线C 2：ρ＝1上，则|AB |的最大值为________．11．512.(2015·广州一模)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ＋sin θ，y ＝cos θ－sin θ(θ为参数)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－t ，y ＝t (t 为参数)．以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线C 1与C 2的交点的极坐标为________．12.⎝⎛⎭⎪⎫2，π4 13．如下图所示，已知定点A (2，0)，点Q 是圆C ：x 2＋y 2＝1上的动点，∠AOQ 的平分线交AQ 于点M ，当Q 在圆C 上运动时，求点M 的轨迹方程．13．解析：设点O 到AQ 的距离为d ，则12|AM |·d ＝12|OA |·|OM |·sin ∠AOM ， 12|QM |·d ＝12|OQ |·|OM |·sin ∠QOM . 又∠AOM ＝∠QOM ， 所以|AM ||QM |＝|OA ||OQ |＝21.所以AM →＝23AQ →. 因为点Q 是圆x 2＋y 2＝1上的点，所以设点Q 坐标为(cos θ，sin θ)，M (x ，y )，得(x －2，y －0)＝23(cos θ－2，sin θ－0)， 即x －23＝23cos θ，y ＝23sin θ， 两式平方相加，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －232＋y 2＝49， 故点M 的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －232＋y 2＝49.14．(2015·福建卷，数学理)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3cos t y ＝－2＋3sin t (t 为参数)．在极坐标系(与平面直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴)中，直线l 的方程为2ρsin(θ－π4)＝m ，(m ∈R)． (1)求圆C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程；(2)设圆心C 到直线l 的距离等于2，求m 的值．14．分析：(1)将圆的参数方程通过移项平方消去参数得(x －1)2＋(y ＋2)2＝9，利用x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)利用点到直线距离公式求解．解析：(1)消去参数t，得到圆的普通方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝9，由2ρsin(θ－π4)＝m，得ρsinθ－ρcosθ－m＝0，所以直线l的直角坐标方程为x－y－m＝0.(2)依题意，圆心C到直线l的距离等于2，即|1－（－2）＋m|2＝2，解得m＝－3±2 2.1．利用参数求曲线的轨迹方程．(1)利用参数求曲线的轨迹方程的基本步骤是：①确定参数；②求出参数方程；③消参；④得到轨迹的普通方程(注意轨迹范围)．(2)参数的选取应根据具体条件来考虑，例如可以是时间，旋转角，动直线的斜率、截距、动点的坐标等．2．参数方程与普通方程的等价性．把参数方程化为普通方程后，很容易改变了变量的取值范围，从而使两种方程表示的曲线不一致 ，因此，在相互转化中，要注意两种方程的等价性．例如，参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin 2θ消去参数θ后的x ＋y ＝1，它表示一条直线对吗？这是不对的．因为在参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin 2θ中，x ，y 的取值范围是[0，1]，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin 2θ表示的是一条线段x ＋y ＝1(0≤x ≤1)，而不是直线x ＋y ＝1.3．关于求x 、y 的代数式的取值范围问题，常把普通方程化为参数方程，利用三角函数的值域求解．【习题2.1】1．解析：取投放点为原点，飞机飞行航线所在的直线为x 轴，过原点和地心的直线为y 轴建立平面直角坐标系，得到被投放的物资的轨迹方程为⎩⎨⎧x ＝100t ，y ＝－12gt2(t 是参数，表示时间)，令x ＝1000，解得t ＝10.当t ＝10时，由方程得到y ＝－12×g ×102≈－12×9.8×102＝－490，即飞机投放救灾物资时的飞行高度约为490 m.2．解析：解法一 设经过时间t ，动点的位置是M (x ，y )，那么有x－2＝3t ，y －1＝4t ，于是点M 的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋3t ，y ＝1＋4t (以时间t 为参数)．解法二 设M (x ，y )是直线上任意一点，它与M 0(2，1)的有向距离为t ，根据已知条件，由速度合成的知识可知x －2＝35t ，y －1＝45t ，于是点M 的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋35t ，y ＝1＋45t(以位移t 为参数)． 3．证明：不妨设△ABC 的外接圆的半径为1，建立如下图所示的平面平面直角坐标系，使点B ，C 关于x 轴对称，那么外接圆的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ是参数)，A ，B ，C 的坐标分别为(1，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32.设点M (cos θ，sin θ)，则|MA |2＋|MB |2＋|MC |2＝[(cos θ－1)2＋sin θ]＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫cos θ＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ－322＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θ＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ＋322＝6. 4．解析：(1)消去t 得y ＝2x －7，即普通方程为y ＝2x －7，表示直线．(2)y ＝cos 2θ＋1＝2cos 2θ－1＋1＝2x 2，∵x ＝cos θ，∴－1≤x ≤1.∴普通方程为y ＝2x 2(－1≤x ≤1)，表示以(－1，2)，(1，2)为端点的一段抛物线弧．(3)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t ，y ＝t －1t (t 为参数)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝t 2＋1t 2＋2，y 2＝t 2＋1t 2－2，两式相减得x 2－y 2＝4，即普通方程为x 2－y 2－4＝0，表示双曲线．(4)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)，∴cos φ＝x 5，sin φ＝y 3，cos 2φ＋sin 2φ＝1，∴普通方程为x 225＋y 29＝1，表示椭圆．。

参数方程、普通方程、直角坐标方程和极坐标方程的互化参数方程、普通方程、直角坐标方程和极坐标方程是数学中常用的表示函数关系的方式，它们在数学和物理等领域中都有广泛的应用。

本文将介绍这四种方程形式，并探讨它们之间的关系和互相转换的方法。

参数方程在数学中，参数方程是描述曲线的一种方式，其中曲线上的点由一个或多个参数的函数表示。

常见的参数方程形式为：x = f(t)y = g(t)其中t是参数，x和y是关于t的函数。

通过给定不同的参数值，我们可以得到曲线上的各个点的坐标。

普通方程普通方程是指用x和y来表示一个函数关系的方程。

一般形式为：F(x, y) = 0其中F是一个关于x和y的函数。

普通方程描述了直角坐标系下的曲线。

直角坐标方程直角坐标方程是指使用x和y来表示一个函数关系的方程。

一般形式为：y = f(x)其中x和y是直角坐标系下的坐标。

直角坐标方程常用来描述直线、抛物线、椭圆等曲线。

极坐标方程极坐标方程是利用极坐标系下的角度和半径来表示一个函数关系的方程。

一般形式为：r = f(θ)其中r是距离原点的距离，θ是与正半轴的夹角。

极坐标方程常用来描述圆形、螺线等曲线。

互相转换方法在某些情况下，我们需要将参数方程转换为普通方程、直角坐标方程或极坐标方程，或者反之。

下面分别介绍它们之间的转换方法：从参数方程到直角坐标方程要将参数方程转换为直角坐标方程，首先求解参数方程得到x和y的表达式，然后将它们代入直角坐标方程中即可得到结果。

从直角坐标方程到参数方程要将直角坐标方程转换为参数方程，可以先假设一个参数，然后根据直角坐标方程解出参数方程的表达式。

从参数方程到极坐标方程要将参数方程转换为极坐标方程，可以先求解参数方程得到x和y的表达式，然后利用直角坐标到极坐标的转换公式将其转换为极坐标方程。

从极坐标方程到参数方程要将极坐标方程转换为参数方程，可以利用极坐标到直角坐标的转换公式将极坐标方程转换为直角坐标方程，然后再将直角坐标方程转换为参数方程。