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㊀㊀㊀㊀㊀１０２㊀传染病ＳＩＲ模型在多层网络上动力学行为分析传染病ＳＩＲ模型在多层网络上动力学行为分析Һ曹㊀蓉１㊀唐㊀甜２㊀童细心∗１㊀（１．汕头职业技术学院自然科学系，广东㊀汕头㊀５１５０４１㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀２．桂林电子科技大学电子电路国家级实验教学示范中心，广西㊀桂林㊀５４１００４）㊀㊀ʌ摘要ɔ许多现实世界中的网络都是相互关联和依赖的，如水陆空组成的交通网络和不同群体构成的社会网络等，由此形成具有复杂的拓扑结构和动力学性态的多层次网络，但此类网络上的传染病动力学还缺乏相关研究结果．根据平均场理论提出了一个多层耦合网络上的传染病ＳＩＲ模型，以刻画传染病在多个种群或社区之间的传播过程．首先给出模型的基本再生数和全局动力学行为，接着分析耦合结构和感染力对传播阈值和疫情的影响．结果表明发病率的相变取决于有网络拓扑结构合传播参数构成的临界值，而相互关联结构更容易造成疫情扩散，且内部接触比交叉接触更容易引起疾病暴发．ʌ关键词ɔ多层网络；传染病平均场模型；动力学行为；基本再生数ʌ基金项目ɔ广西自然科学基金（２０１７Ａ０３０３１３６９９），汕头职业技术学院２０１６年院级科研课题（ＳＺＫ２０１６Ｙ１５）引㊀言随着小世界和无标度性质在众多现实系统和结构中的发现，复杂网络近十多年逐渐变成了一个强大的科学工具，用以描述各种社会㊁经济㊁生物等系统的拓扑结构，能更好地拟合异质结构，并更客观地刻画动力学和结构的关联特点．因现实网络并不是单独存在，而是相互依赖，且一个大系统往往蕴含多个层带不同拓扑和功能的网络，由此形成了一类新的复杂系统，即多层耦合网络．这类网络广泛存在于大型系统，如物流网，交通网和社团等，有着广泛的应用背景和研究价值，比如分析路面的交通载量和电网的停电事件．探索多层耦合网络的结构特点和动力学性质是近十年的研究热点，此类网络正在不断地被用于刻画传染病在多种种群如人和动物之间的传播，并获得了一些新的进展，Ａｌｌａｒｄ等人利用键渗流理论模拟了多层网络上的传染病扩散过程；Ｆｕｎｋ等人根据物理机制建立了一个叠加网络上的疾病传播的建模方案，Ｄｉｃｋｉｓｏｎ等人通过耦合网络上的传染病ＳＩＲ模型，发现强耦合会使疾病扩散至整个网络，而弱耦合会出现一个混合相图，使疾病只能在一个子网络上传播．Ｓａｕｍｅｌｌ⁃Ｍｅｎｄｉｏｌａ等人通过多层网络上的平均场模型，子网耦合能使疾病更容易暴发．传染病动力学模型也越来越多地被用于研究网络传播性质，但多层结构和接触模式对传播动力学的影响还缺乏系统分析．本文利用平均场近似在两层网络相互作用的网络上建立一个传染病ＳＩＲ模型，利用微分方程理论和数值模拟分析模型的动力学性态，建立传染病动力学和层次网络结构的关系．主要回答２个问题：什么条件会引起传染病在层次网络上的暴发？子网内部和之间的耦合方式和节点的接触模型如何影响着传染病的传播和扩散？上述问题的答案有助于更好地认识传染病在多群体之间的传播规律．一㊁数学模型首先根据子系统的耦合关系，给出一个由两个相互依赖的子网络Ａ和Ｂ构成的复杂网络，每个子网由一个群体（节点）以及它们的连接（边）构成．不同群体的接触模式的差异性对应两种不同的连接方式，一种表示同一子网内的个体连接（内部连边），另一种表示不同子网之间的个体连接（交叉连边），故每个节点对应两个度．因为群体内部和交叉的连接的异质性和多样性，所以整个网络具有异常复杂的拓扑结构．此网络可以表示多种现实系统，如性接触网络，其中Ａ，Ｂ分别表示男性和女性的性接触网络，子网内部连接表示同性接触，交叉连接表示异性接触，如果节点是双性恋，则同时存在内部和交叉连接；也可表示媒介和宿主的接触模式，Ａ表示宿主如人，Ｂ表示媒介如动物，交叉连接表示宿主和媒介之间的接触．下面用参数表示具体的网络结构．度（ｉ，ｊ）表示有ｉ条边与子网Ａ连，有ｊ条边与子网Ｂ连．度（ｉ，㊃）表示有ｉ条边与Ａ连，度（㊃，ｊ）表示有ｊ条边与Ｂ连．ＮＸｉ，ｊ表示子网Ｘ上度为（ｉ，ｊ）的节点数．ＳＸｉ，ｊ，ＩＸｉ，ｊ和ＲＸｉ，ｊ分别表示网Ｘ上度为（ｉ，ｊ）的易感㊁染病和康复的节点数量．ＰＸ（ｉ，ｊ）表示任取一个Ｘ子网的节点其度为（ｉ，ｊ）的概率，即度分布． ｋ⓪１１和 ｋ⓪１２分别表示子网Ａ连接子网Ａ和Ｂ内节点的平均度． ｋ⓪２１和 ｋ⓪２２分别表示子网Ｂ连接子网Ａ和Ｂ内节点的平均度．根据以上定义，子网Ｘ上所有的易感㊁染病和康复的节点数分别是ＳＸ＝ðｉðｊＳＸｉ，ｊ，ＩＸ＝ðｉðｊＩＸｉ，ｊ，ＲＸ＝ðｉðｊＲＸｉ，ｊ，子网Ｘ的所有节点数是ＮＸ＝ＳＸ＋ＩＸ＋ＲＸ．假设网络是度不相关的，即任何一个节点的连接度与邻居的连接度无关，则对于任意的ｉ和ｊ子网Ｘ的联合度分布分别为ＰＸ（ｉ，ｊ）＝ＮＸｉ，ｊＮＸ，子网Ｘ边界度分布为ＰＸ（ｉ，㊃）＝ðｊＰＸ（ｉ，ｊ）和ＰＸ（㊃，ｊ）＝ðｉＰＸ（ｉ，ｊ），以上Ｘ可取为子网Ａ和Ｂ．另外，两个子网的平均度（φ＝１）和度的二阶矩（φ＝２）为ｋφ⓪１１＝ðｉφＰＡ（ｉ，㊃）， ｋφ⓪１２＝ðｊφＰＡ（㊃，ｊ），ｋφ⓪２１＝ðｉφＰＢ（ｉ，㊃）， ｋφ⓪２２＝ðｊφＰＢ（㊃，ｊ），忽略个体的出生和死亡，则子网络的节点总数ＮＡ和ＮＢ保持不变．在子网间的交叉连接中，Ａ连接Ｂ的边数等于Ｂ连接Ａ的边数，由此可得ＮＡ ｋ⓪１２＝ＮＢ ｋ⓪２１．这表明如果Ａ连接Ｂ的平均度比Ｂ连接Ａ的平均度大，则Ａ的节点数大于Ｂ㊀㊀㊀１０３㊀㊀的节点数，这意味着异质网络上交叉连接不均匀的子网络拥有更多的节点数．下面利用仓室ＳＩＲ模型拟合疾病在此网络上的传播，把群体按状态划分成三个仓室：染病者（Ｓ）㊁易感者（Ｉ）和康复者（Ｒ）．在每一个时间步，各个节点处于这三种状态之一．传播过程如下：子网Ａ（Ｂ）的一个易感节点通过连边与子网Ａ和Ｂ的染病节点连接，分别以概率λ１１和λ２１（λ１２和λ２２）被感染变成染病者，经过平均染病期１μ１１μ２()后康复．此动力学的时间演化过程可用以下高维的微分方程系统模拟：ｄＩＡｇ，ｈ（ｔ）ｄｔ＝λ１１ｇＳＡｇ，ｈ（ｔ）ðｉｉ（ðｊＩＡｉ，ｊ（ｔ））ðｉｉ（ðｊＮＡｉ，ｊ）＋λ２１ｈＳＡｇ，ｈ（ｔ）ðｉｉ（ðｊＩＢｉ，ｊ（ｔ））ðｉｉ（ðｊＮＢｉ，ｊ）－μ１ＩＡｇ，ｈ（ｔ），ｄＲＡｇ，ｈ（ｔ）ｄｔ＝μ１ＩＡｇ，ｈ（ｔ），ｄＩＢｋ，ｌ（ｔ）ｄｔ＝λ１２ｋＳＢｋ，ｌ（ｔ）ðｊｊ（ðｉＩＡｉ，ｊ（ｔ））ðｊｊ（ðｉＮＡｉ，ｊ）＋λ２２ｌＳＢｋ，ｌ（ｔ）ðｊｊ（ðｉＩＢｉ，ｊ（ｔ））ðｊｊ（ðｉＮＢｉ，ｊ）－μ２ＩＢｋ，ｌ（ｔ），ｄＲＡｇ，ｈ（ｔ）ｄｔ＝μ２ＩＡｇ，ｈ（ｔ），ìîíïïïïïïïïïïïïï（１）以上表示的是各个状态的人群数量变化的动力学模型，设ｓＸｇ，ｈ＝ＳＸｇ，ｈＮＸｇ，ｈ，ρＸｇ，ｈ＝ＲＸｇ，ｈＮＸｇ，ｈ和ｒＸｇ，ｈ＝ＩＸｇ，ｈＮＸｇ，ｈ，表示对应的密度，则模型可简化成等价的密度模型：ｄρＡｇ，ｈ（ｔ）ｄｔ＝（λ１１ｇ１１（ｔ）＋λ２１ｈ２１（ｔ））（１－ρＡｇ，ｈ（ｔ）－ｒＡｇ，ｈ）－μ１ρＡｇ，ｈ（ｔ），ｄρＡｇ，ｈ（ｔ）ｄｔ＝μ１ρＡｇ，ｈ（ｔ），ｄρＢｋ，ｌ（ｔ）ｄｔ＝（λ１２ｋ１２（ｔ）＋λ２２ｌ２２（ｔ））（１－ρＢｋ，ｌ（ｔ）－ｒＢｋ，ｌ）－μ２ρＢｋ，ｌ（ｔ），ｄρＢｇ，ｈ（ｔ）ｄｔ＝μ２ρＢｇ，ｈ（ｔ），ìîíïïïïïïïïïï（２）模型（１）和（２）刻画了两层耦合网络上的传染病ＳＩＲ传播模型．若只存在一个子网络Ａ，那么模型（１）就变成经典网络上的ＳＩＲ模型；另外，若不存在内部连接，则网络Π变成了一个二分图；如果λ２２＝０，即子网Ｂ内部的接触不传染疾病，那么模型也可以表示某些媒介宿主传染病如登革热，其中媒介（如蚊子）之间不能相互感染．二、数学分析首先我们分析传染病模型中的重要的参数，即基本再生数，其表示一个病人在其染病期平均能够感染的人数．基本再生数作为传播阈值，能够量化传染病潜在的传播能力．同质网络上的基本再生数可表示为Ｒ０＝ｃβＤ，其中ｃ是接触率，β是感染概率，Ｄ是平均感染期，而在异质网络上ｃ表示网络的异构性ｃ＝ ｋ２⓪ｋ⓪．大规模且有无标度结构的网络会使得ｃ很大，由此导致Ｒ０＞１，此时疾病将不可控．本文建立的模型忽略了种群的出生和死亡，根据ＳＩＲ模型的特点，最后疾病会灭绝，只剩下易感节点和康复节点，但在疾病消亡之前，不同的网络结构和模型参数会决定是否有过大暴发，其条件即为基本再生数．下面利用下一代生成矩阵，求解模型的基本再生数，经过一系列的等价变换，下一代生成矩阵可写成Γ＝λ１１ðｉ，ｊｉ２ＰＡ（ｉ，ｊ）μ１ ｋ⓪１１λ１１ðｉ，ｊｉｊＰＡ（ｉ，ｊ）μ１ ｋ⓪１１００００λ２１ðｉ，ｊｉ２ＰＢ（ｉ，ｊ）μ２ ｋ⓪２１λ２１ðｉ，ｊｉｊＰＢ（ｉ，ｊ）μ２ ｋ⓪２１λ１２ðｉ，ｊｉｊＰＡ（ｉ，ｊ）μ１ ｋ⓪１２λ１２ðｉ，ｊｊ２ＰＡ（ｉ，ｊ）μ１ ｋ⓪１２００００λ２２ðｉ，ｊｉｊＰＢ（ｉ，ｊ）μ２ ｋ⓪２２λ２２ðｉ，ｊｊ２ＰＢ（ｉ，ｊ）μ２ ｋ⓪２２æèççççççççççöø÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷㊀㊀㊀㊀㊀１０４㊀㊀㊀当网络是度不相关时，矩阵可进一步简化为Γ＝λ１１ ｋ２⓪１１μ１ ｋ⓪１１λ１１μ１ ｋ⓪１２００００λ２１ ｋ２⓪２１μ２ ｋ⓪２１λ２１μ２ｋ⓪２２λ１２μ１ ｋ⓪１１λ１２ ｋ２⓪１２μ１ ｋ⓪１２００００λ２２μ２ ｋ⓪２１λ２２ ｋ２⓪２２μ２ ｋ⓪２２æèççççççççççöø÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷设ρ（Γ）为矩阵Γ的特征值，则模型的基本再生数为Ｒ０＝ρ（Γ）．由此得主要的理论结果：假设模型初始时刻的暴发规模不大，则当Ｒ０＜１时，发病规模将会持续降低而至于灭绝；而若Ｒ０＞１，则传染病会经历一个发病高峰期后慢慢消亡．基本再生数Ｒ０得不到其具体表达式，但由Ｐｅｒｒｏｎ⁃Ｆｒｏｂｅｎｉｕｓ定理可知，Ｒ０小于矩阵Γ每一行之和的最大值，并大于每一行之和的最小值．这意味着，基本再生数受到每个子网络的异质性参数ｃ及平均度的控制，因此异质性强和平均度大的结构都会使得多层网络容易传播疾病．三㊁数值分析下面用数值模拟进一步探索传播动力学．对于动物传染病，宿主的接触模式通常具有异质性，而动物的交互作用具有同质性，对应了两种接触网络，随机网络和无标度网络．随机网络类似于均匀网络，其度分布满足泊松特性，而无标度网络是非常不均匀的，其度分布满足无标度特性．设Ａ（Ｂ）是子网Ａ（Ｂ）的内部接触模式，ＡＢ（ＢＡ）是子网Ａ连接Ｂ（Ｂ连接Ａ）的交叉接触模式．所有的图中子网Ａ和Ｂ具有相同的节点数．基本再生数Ｒ０和总的感染人数ρＡ和ρＢ能反映流行病学的重要性质，图１和图２表明了感染概率和接触模式对它们的影响．由图１和图２可知，在任何的网络结构下感染率的增大都会使得Ｒ０和感染规模增大，而无标度结构会使其增加更快．若所有的子网具有相同的结构，则内部感染和交叉感染对Ｒ０的作用相等，但若增加内部感染率（λ１１或λ２２），会导致更大的Ｒ０和暴发规模，而交叉感染病（λ１２和λ２１）则作用不明显，主要原因是内部感染率有双重反应，感染同一子网的其他节点也可以被其他节点感染，而交叉感染率只有单个方向的作用．图１㊀感染率对基本再生数的影响，其中λ１１＝λ２２（内部感染），λ１２＝λ２１（交叉感染）图２㊀感染率对染病规模的影响ρ＝ρＡ＋ρＢ２四㊁结㊀论本文建立了一个两层耦合网络上的传播模型，并求解了模型的基本再生数，给出了疫情暴发的条件，并揭示了基本再生数与网络结构合传播参数的关系．结果表明传播阈值受网络的异质性和平均度控制，这与单个网络和二分图网络只受异质性影响不同，说明层次结构对传播动力学的特殊性．另外多层网络具有多个子结构，其中最异质的那个子结构网络对传播起决定作用．特别地，我们发现内部接触比交叉接触更容易导致疾病传播，这也说明了同性恋在性病传播中的关键作用．ʌ参考文献ɔ［１］汪小帆，李翔，陈关荣．网络科学导论［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２０１２．［２］郑国庆，唐清干，祝光湖．带接种免疫的网络传染病的有效度模型［Ｊ］．数学的实践与认识，２０１５（１５）：３１５－３２２．［３］马知恩，周义仓，王稳地，等．传染病动力学的数学建模与研究［Ｍ］．北京：科学出版社，２００４．。
防疫期间的统计学应用--以SIR等模型为例2019年春节以来，一场疫情席卷全国，我们经历了国内疫情大爆发。
全民参与，共同抗疫。
统计学也在预测疫情发展、探索新冠病毒来源及进化史及药物研发中起到了重要作用。
作为一种传染病。
在传染病领域，为了研究传染病的传播能力、传播途径等问题，学者建立了各种模型，帮助指导传染病的防治。
模型一方面可以预测一些关键的数值指标在未来的变化，使相关人员提前做好应对准备；另一方面，模型可以用来评估政策的影响，决策者可以参考不同政策下的模型结果，在合适的时间实施更有效的防控政策。
一、SIR模型SIR是传染病领域一个经典的数学模型，模型假设总人口不变，将人群分为三类：三类人群的比例随着时间的推移不断变化，SIR模型用一个微分方程组来刻画这种变化。
给定疾病传播率β和移除率γ这两个参数，以及初值θ0S,θ0I,θ0R就可以求解SIR模型，对未来三类人群的比例进行预测。
SIR模型的模型结果非常依赖于疾病传播率和移除率这两个固定参数。
然而，就此次实际情况来看，以湖北省为例，为了控制病毒的扩散，各市陆续实行了各项防控措施；随着火神山、雷神山医院的投入使用，以及各地医疗队的赴鄂支援，湖北的医疗水平也在不断提升。
因此SIR模型中的这些参数并不是固定不变的，用固定参数得到的模型结果也难以准确地刻画真实的疫情状况。
二、eSIR模型DAVE OSTHUS等人在SIR模型的基础上，提出了一个状态空间概率模型，称为DBSSM（Dirichlet-Beta state-space model）。
密西根大学的Peter Song 教授领导的团队又在DBSSM的基础上，把防控措施的影响考虑进来，提出了若干种扩展的SIR模型（eSIR），并给出了一个R包，感兴趣的同学们可以在eSIR 的github主页上了解更多信息。
接下来，以湖北省的疫情为例，介绍其中一种eSIR模型。
模型包含两部分变量：一部分是可观测变量，在时间t感染者和移除者占总人口的比例分别记为YtI和YtR；另一部分是三类人群在时间t的潜在比例θtS,θtI,θtR，这些变量不可观测。
数学建模传染病模型例题一、传染病模型简介传染病模型是数学建模的一个重要分支，主要用于描述传染病在人群中的传播规律。
通过构建合适的数学模型，可以研究传染病的传播动力学、预测疫情发展趋势以及评估防控措施的效果。
本文将重点介绍几种常见的传染病模型及其应用。
二、传染病模型的类型及应用1.SIR模型SIR模型是一种基于微分方程的传染病模型，其中S、I、R分别代表易感者（Susceptible）、感染者（Infected）和康复者（Recovered）。
该模型通过描述易感者感染、感染者康复以及康复者不再易感的动态过程，揭示了传染病在人群中的传播规律。
SIR模型在分析疫情爆发、研究防控措施等方面具有广泛应用。
2.SEIR模型SEIR模型是在SIR模型基础上发展的一种传染病模型，其中E代表潜伏者（Exposed）。
与SIR模型相比，SEIR模型增加了潜伏期这一概念，使得模型更加符合实际情况。
该模型可以用于研究传染病的传播速度、预测疫情发展趋势以及评估疫苗的效果。
3.SI模型SI模型是一种简化的传染病模型，仅包含易感者和感染者两个群体。
该模型适用于分析短期传染病，如流感等。
通过研究易感者与感染者的动态关系，可以预测疫情爆发的时间和规模。
三、传染病模型的参数估计与预测传染病模型的参数估计是数学建模的关键环节，通常采用最大似然估计、贝叶斯估计等方法。
此外，基于传染病模型的预测技术在疫情防控中也具有重要意义。
通过构建时间序列模型，如ARIMA、SVM等，可以预测未来一段时间内疫情的发展趋势。
四、数学建模在传染病防控中的实际应用数学建模在传染病防控中具有广泛应用，如疫情监测、防控措施评估、疫苗研究等。
通过对传染病模型的深入研究，可以为政府部门提供科学依据，协助制定针对性的防控策略。
五、案例分析本文将结合具体案例，如我国2003年非典疫情、2020年新冠肺炎疫情等，详细阐述传染病模型在实际应用中的重要作用。
通过分析案例，可以加深对传染病模型的理解，为今后疫情防控提供借鉴。
SI模型利用MATLAB求解传染病模型中的SI模型的解析解: 程序中a即λ,y即i>> y=dsolve('Dy=a*(y-y^2)','y(0)=y0')y =1/(1-exp(-a*t)*(-1+y0)/y0)画图：SI模型的i~t曲线设λ=1, i(0)=0.1>> y=dsolve('Dy=y-y^2','y(0)=0.1')y =1/(1+9*exp(-t))>> x=0:0.01:13;y=1./(1+9.*exp(-x));>> plot(x,y)title('SI模型的i~t曲线');xlabel('t');ylabel('i');axis([0 13 0 1.1]);画图：SI模型的di/dt~i曲线程序中x即i，y即di/dt,λ=1 >> x=0:0.01:1;y=x-x.*x;>> plot(x,y)title('SI模型的di/dt~i曲线'); xlabel('i');ylabel('di/dt');>>SIS模型利用MATLAB求解传染病模型中的SIS模型的解析解:程序中a即λ,b即μ,y即i>> y=dsolve('Dy=a*(y-y^2)-b*y','y(0)=y0')y =(a-b)/(a-exp(-(a-b)*t)*(-a+b+y0*a)/y0/(a-b)*a+exp(-(a-b)*t)*(-a+b+y0*a)/y0/(a-b) *b)画图：SIS模型的di/dt~i曲线（δ>1）程序中x即i，y即di/dt,λ=1,μ=0.3>> x=0:0.01:1;>> y=0.7.*x-x.^2;>> plot(x,y)title('SIS模型的di/dt~i曲线');xlabel('i');ylabel('di/dt');>>画图：SIS模型的i~t曲线（δ>1）设λ=1,μ=0.3,i(0)=0.02>> y=dsolve('Dy=0.7*y-y^2','y(0)=0.02') y =7/(10+340*exp(-7/10*t))>> x=0:1:16;>> y=7./(10+340.*exp(-7./10.*x));>> plot(x,y)title('SIS模型的i~t曲线'); xlabel('t');ylabel('i');>>画图：SIS模型的di/dt~i曲线（δ≤1）程序中x即i，y即di/dt,λ=0.5,μ=0.6 >> x=0:0.01:1;>> y=-0.5.*x.^2-0.1.*x;>> plot(x,y)title('SIS模型的di/dt~i曲线');xlabel('i');ylabel('di/dt');>>画图：SIS模型的i~t曲线（δ≤1）设λ=0.5,μ=0.6,i(0)=0.02>> y=dsolve('Dy=-0.5*y^2-0.1*y','y(0)=0.02') y =1/(-5+55*exp(1/10*t))>> x=0:1:40;>> y=1./(-5+55.*exp(1./10.*x));>> plot(x,y)title('SIS模型的i~t曲线');xlabel('t');ylabel('i');>>SIR模型利用MATLAB求解传染病模型中的SIR模型的数值解: 程序中a=λ=1, b=μ=0.3，i(0)=0.02,s(0)=0.98M文件中：function y=ill(t,x)a=1;b=0.3;y=[a*x(1)*x(2)-b*x(1),-a*x(1)*x(2)]';命令窗口中：>> [t,x]=ode45('ill',[0:50],[0.02,0.98]);[t,x]ans =0 0.0200 0.98001.0000 0.0390 0.95252.0000 0.0732 0.90193.0000 0.1285 0.81694.0000 0.2033 0.69275.0000 0.2795 0.54386.0000 0.3312 0.39957.0000 0.3444 0.28398.0000 0.3247 0.20279.0000 0.2863 0.149310.0000 0.2418 0.114511.0000 0.1986 0.091712.0000 0.1599 0.076713.0000 0.1272 0.066514.0000 0.1004 0.059315.0000 0.0787 0.054316.0000 0.0614 0.050717.0000 0.0478 0.048018.0000 0.0371 0.046019.0000 0.0287 0.044520.0000 0.0223 0.043421.0000 0.0172 0.042622.0000 0.0133 0.041923.0000 0.0103 0.041524.0000 0.0079 0.041125.0000 0.0061 0.040826.0000 0.0047 0.040627.0000 0.0036 0.040428.0000 0.0028 0.040329.0000 0.0022 0.040230.0000 0.0017 0.040131.0000 0.0013 0.040032.0000 0.0010 0.040033.0000 0.0008 0.040034.0000 0.0006 0.039935.0000 0.0005 0.039936.0000 0.0004 0.039937.0000 0.0003 0.039938.0000 0.0002 0.039939.0000 0.0002 0.039940.0000 0.0001 0.039941.0000 0.0001 0.039942.0000 0.0001 0.039943.0000 0.0001 0.039944.0000 0.0000 0.039845.0000 0.0000 0.039846.0000 0.0000 0.039847.0000 0.0000 0.039848.0000 0.0000 0.039849.0000 0.0000 0.039850.0000 0.0000 0.0398 >> plot(t,x(:,1),t,x(:,2)),grid,pause i(t),s(t)图形如下：>> plot(x(:,2),x(:,1)),grid,pause i~s图形（相轨线）如下：画图：SIR模型的相轨线程序中y即i, x即s, λ=1,μ=0.3①s(0)=0.32;②s(0)=0.58;③s(0)=0.73;④s(0)=0.85>> x=0:0.01:1;>> y=1-x;>> y1=1-x+0.3.*(log(x)-log(0.32));>> y2=1-x+0.3.*(log(x)-log(0.58));>> y3=1-x+0.3.*(log(x)-log(0.73));>> y4=1-x+0.3.*(log(x)-log(0.85));>> plot(x,y,x,y1,x,y2,x,y3,x,y4)axis([0 1 0 1]);title('SIR模型的i~s曲线'); xlabel('s');ylabel('i');。
传染病问题中的SIR 模型摘要：2003年春来历不明的SARS 病毒突袭人间，给人们的生命财产带来极大的危害。
长期以来，建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程，分析受感染人数的变化规律，探索制止传染病蔓延的手段等，一直是我国及全世界有关专家和官员关注的课题。
不同类型的传染病的传播过程有其各自不同的特点，我们不是从医学的角度一一分析各种传染病的传播，而是从一般的传播机理分析建立各种模型，如简单模型，SI 模型，SIS 模型，SIR 模型等。
在这里我采用SIR （Susceptibles ，Infectives ，Recovered ）模型来研究如天花，流感，肝炎，麻疹等治愈后均有很强的免疫力的传染病，它主要沿用由Kermack 与McKendrick 在1927年采用动力学方法建立的模型。
应用传染病动力学模型来描述疾病发展变化的过程和传播规律，预测疾病发生的状态，评估各种控制措施的效果，为预防控制疾病提供最优决策依据, 维护人类健康与社会经济发展。
关键字：传染病；动力学；SIR 模型。
一﹑模型假设1.在疾病传播期内所考察的地区范围不考虑人口的出生、死亡、流动等种群动力因素。
总人口数N(t)不变，人口始终保持一个常数N 。
人群分为以下三类：易感染者(Susceptibles)，其数量比例记为s(t)，表示t 时刻未染病但有可能被该类疾病传染的人数占总人数的比例；感染病者(Infectives)，其数量比例记为i(t)，表示t 时刻已被感染成为病人而且具有传染力的人数占总人数的比例；恢复者(Recovered)，其数量比例记为r(t)，表示t 时刻已从染病者中移出的人数（这部分人既非已感染者，也非感染病者，不具有传染性，也不会再次被感染，他们已退出该传染系统。
）占总人数的比例。
2.病人的日接触率（每个病人每天有效接触的平均人数）为常数λ，日治愈率（每天被治愈的病人占总病人数的比例）为常数μ，显然平均传染期为1／μ，传染期接触数为σ=λ／μ。
传染病的传播模型与传染源溯源传染病一直是人类社会面临的重要公共卫生问题之一。
了解传染病的传播模型以及溯源传染源，对于预防和控制传染病具有重要意义。
本文将从传染病的传播模型和传染源溯源两个方面展开论述。
一、传染病的传播模型传染病的传播模型是研究传染病传播规律的抽象数学模型。
以下列举了几种常见的传播模型：1. SI 模型SI 模型是最简单的传染病传播模型，其中 S 代表易感者（Susceptible），I 代表感染者（Infectious）。
在该模型中，易感者通过与感染者接触而感染，感染后将一直处于感染状态。
2. SIR 模型SIR 模型相对于 SI 模型加入了一个 R 类别，R 代表康复者（Recovered）。
在该模型中，感染者经过一段时间的治疗和康复后，将转变为康复者，在一段时间后具备免疫力。
SIR 模型通常用于描述疫情的全球传播。
3. SEIR 模型SEIR 模型相对于 SIR 模型加入了一个 E 类别，E 代表潜伏者（Exposed）。
在该模型中，感染者在潜伏期内不具备传染性，但仍然处于感染状态。
该模型常用于描述带有潜伏期的传染病，如流感等。
通过建立适当的传播模型，研究人员可以预测传染病的传播趋势、评估疫情风险以及制定相应的防控措施，从而为公众健康提供科学依据。
二、传染源溯源传染源溯源是指通过对疫情源头的调查和追踪，找出传染病的起源和传播途径。
传染源溯源在传染病防控过程中具有重要意义。
1. 人源传染源溯源在传染病的传播中，人类是最主要的传染源。
通过对病例的排查和调查，可以确定感染者的身份以及可能的传染途径。
例如，在新冠肺炎疫情中，通过追踪已知病例的活动轨迹和接触史，可以找到感染源头。
2. 动物源传染源溯源许多传染病源于动物，通过对可能的动物宿主进行调查和采样，可以确定病原体的来源。
例如，通过追踪野生动物市场，确定野生动物是冠状病毒的潜在宿主。
3. 环境源传染源溯源一些传染病通过环境因素传播，通过对可能的传染源所处的环境进行调查，可以确定病原体的传播途径。
