数学模型复习题

初中数学模型试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 已知一个数的平方是25，那么这个数是（）A. 5B. -5C. 5或-5D. 以上都不对答案：C2. 一个等腰三角形的两边长分别为4和6，那么第三边的长度是（）A. 2B. 4C. 6D. 无法确定答案：C3. 如果一个角的补角是120°，那么这个角的度数是（）A. 60°B. 30°C. 120°D. 180°答案：B4. 计算下列表达式的值：(2x+3)(x-1)（）A. 2x^2 - x + 3B. 2x^2 - 5x + 3C. 2x^2 + x - 3D. 2x^2 - x - 3答案：B5. 一个数的绝对值是5，这个数可能是（）A. 5B. -5C. 5或-5D. 以上都不对答案：C6. 已知一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4，那么斜边的长度是（）A. 5B. 7C. 9D. 12答案：A7. 以下哪个选项是不等式的解集：2x - 3 > 5（）A. x > 4B. x < 4C. x > 2D. x < 2答案：A8. 一个数的立方是-8，那么这个数是（）A. -2B. 2C. -2或2D. 以上都不对答案：A9. 一个圆的半径是3，那么这个圆的面积是（）A. 9πB. 18πC. 27πD. 36π答案：C10. 计算下列表达式的值：(3x-2)^2（）A. 9x^2 - 12x + 4B. 9x^2 + 12x + 4C. 9x^2 - 6x + 4D. 9x^2 + 6x + 4答案：A二、填空题（每题4分，共20分）11. 如果一个数的平方根是3，那么这个数是______。

答案：912. 一个等差数列的前三项分别是2，5，8，那么第四项是______。

答案：1113. 一个三角形的内角和是______。

答案：180°14. 一个数的相反数是-7，那么这个数是______。

P104页，复习题题目：考虑以下“食谱问题"：某学校为学生提供营养套餐，希望以最小的费用来满足学生对基本营养的需求按照营养学家的建设，一个人一天要对蛋白质，维生素A和钙的需求如下：50g蛋白质、4000IU维生素A和1000mg的钙，我们只考虑以不食物构成的食谱：苹果，香蕉，胡萝卜，枣汁和鸡蛋，其营养含量见下表。

制定食谱，确定每种食物的用量，以最小费用满足营养学家建议的营养需求，并考虑：（1）对维生素A的需求增加一个单位时是否需要改变食谱？成本增加多少？如果对蛋白质的需求增加1g呢？如果对钙的需求增加1mg呢？（2）胡萝卜的价格增加Ⅰ角时，是否需要改变食谱？成本增加多少？问题分析：（1）此优化问题的目标是使花费最小.（2）所做的决策是选择各种食物的用量，即用多少苹果，香蕉，胡萝卜，枣汁，鸡蛋来制定食谱。

（3）决策所受限制条件：最少应摄入的蛋白质、维生素和钙的含量（4）设置决策变量：用x1表示苹果的个数、x2表示香蕉的个数、x3表示胡萝卜的个数、x4表示枣汁的杯数量、x5表示鸡蛋的个数（5）x1个苹果花费10·x1角x2个香蕉花费15·x2角x3个胡萝卜花费5·x3角x4杯枣汁花费60·x4角x5个鸡蛋花费8·x5角目标函数为总花费金额：z=10·x1+15·x2+5·x3+60·x4+8·x5 (角)（6）约束条件为：最少摄入蛋白质的含量：0.3x1+1.2x2+0.7x3+3.5x4+5.5x5≥50最少摄入维生素A的含量：73x1+96x2+20253x3+890x4+279x5≥4000最少摄入钙的含量：10x1+15x2+5x3+60x4+8x5≥1000非负约束：x 1,x 2,x 3,x 4,x 5≥0优化模型：minz =10x 1+15x 2+5x 3+60x 4+8x 5s.t. 0.3x 1+1.2x 2+0.7x 3+3.5x 4+5.5x 5≥5073x 1+96x 2+20253x 3+890x 4+279x 5≥4000 9.6x 1+7x 2+19x 3+57x 4+22x 5≥1000 x 1,x 2,x 3,x 4,x 5≥0由线性规划模型的定义，容易得到线性规划的性质：1. 比例性 每个决策变量的对目标函数的“贡献”与该决策变量的取值成正比；每个决策变量对每个约束条件右端项的“贡献”，与该决策变量的取值成正比.2. 可加性 各个决策变量对目标函数的“贡献”，与其他决策变量的取值无关；各个决策变量对每个约束条件右端项的“贡献”，与其他决策变量的取值无关.3. 连续性 每个决策变量的取值是连续的. 考察本题，实际上隐含下面的假设 ：1.购买苹果、香蕉、胡萝卜、枣汁、鸡蛋每个（杯）的花费是与各自的用量无关的常数；苹果、香蕉、胡萝卜、枣汁、鸡蛋每个（杯）所包含的蛋白质、维生素、钙的含量是与各自的用量无关的常数.（线性规划性质1—比例性）2.购买苹果、香蕉、胡萝卜、枣汁、鸡蛋每个（杯）的花费是与它们相互间用量无关的常数；苹果、香蕉、胡萝卜、枣汁、鸡蛋每个（杯）所包含的蛋白质、维生素A 、钙的含量是与它们相互间的用量无关的常数. （线性规划性质2—可加性）3. 购买苹果、香蕉、胡萝卜、枣汁、鸡蛋的数量都是实数. (线性规划性质3—连续性) 模型求解：（决策变量是5维的，不适用图解法求解模型）软件求解：线性规划模型：min z=10x1+15x2+5x3+60x4+8x5s.t. 0.3x1+1.2x2+0.7x3+3.5x4+5.5x5≥5073x1+96x2+20253x3+890x4+279x5≥40009.6x1+7x2+19x3+57x4+22x5≥1000x1,x2,x3,x4,x5≥0模型全局最优解：(Global optimal solution)x1=0x2=0x3=49.38272x4=0x5=2.805836z的最优值为269.3603角用LINGO 软件求解，得到如下输出：结果分析：1. 3个约束条件的右端项可视为3种资源：蛋白质含量、维生素A 含量、钙含量.LINGO 的输出项Row Slack or Surplus ，给出了3种资源在最优解下的剩余.2.目标函数可视为“支出（成本）”，紧约束的“资源”增加1单位时，“支出”的增加由LINGO 的输出项 Dual Price 给出。

数学模型第五章练习题一、基础题1. 已知函数f(x) = 3x^2 4x + 1，求f(2)的值。

2. 若直线y = kx + b经过点(1, 3)和点(3, 7)，求k和b的值。

3. 解方程组：2x + 3y = 8，x y = 1。

4. 求下列函数的定义域：f(x) = √(x^2 5x + 6)。

5. 已知等差数列的前三项分别为1、3、5，求第10项的值。

二、应用题1. 某企业生产一种产品，固定成本为10000元，每生产一件产品可变成本为200元。

若产品售价为500元，求该企业至少生产多少件产品才能盈利。

2. 一辆汽车以60km/h的速度行驶，行驶了2小时后，因故减速至40km/h，继续行驶了3小时。

求汽车行驶的总路程。

3. 某商品进价为1000元，售价为1500元，若商家进行8折优惠，求优惠后的利润。

4. 一根绳子长20米，将其折成相等的四段，每段绳子再对折一次。

求对折后的绳子长度。

5. 某班级有男生30人，女生20人，从中随机抽取5人参加比赛。

求抽取到3名男生和2名女生的概率。

三、综合题1. 已知函数f(x) = x^3 6x^2 + 9x，求f(x)的单调区间。

2. 设平面直角坐标系中，点A(2, 3)，点B在x轴上，且AB = 5，求点B的坐标。

3. 某企业生产两种产品，产品A的利润为100元/件，产品B的利润为200元/件。

若企业每月固定成本为5000元，生产A、B产品的可变成本分别为50元/件和100元/件，求企业每月至少生产多少件A、B产品才能盈利。

4. 已知等比数列的前三项分别为2、6、18，求第6项的值。

5. 在一个等边三角形中，边长为10cm，求三角形的高。

四、拓展题1. 已知函数f(x) = e^x 2x，求f(x)的极值。

2. 设平面直角坐标系中，直线y = kx + b与圆(x 1)^2 + (y +2)^2 = 16相切，求k和b的值。

3. 某企业生产三种产品，产品A、B、C的利润分别为100元/件、200元/件和300元/件。

1 设某种新产品要推向市场，t 时刻产品销售增长率与销售量x （t ）成正比，设市场容量为N ，试确定产品销售增长曲线。

设有某种新产品要推向市场，t 时刻的销量为x(t),由于产品良好性能，每个产品都是一个宣传品，因此，t 时刻产品销售的增长率txd d 与x(t)成正比，同时，考虑到产品销售存在一定的市场容量N ，统计表明txd d 与尚未购买该产品的潜在顾客的数量N=x(t)也成正比，于是有txd d =kx(N=x)， (1043)其中k 为比例系数，分离变量积分，可以解得x(t)=kNtC N-+e1 (1044)方程(1043)也称为逻辑斯谛模型，通解表达式(1044)也称为逻辑斯谛曲线．由t x d d =()221kNt kNtC k CN --+e e 以及22t x d d =()3231)1(kNt kNt kNt C C k CN ---+-ee e ， 当x(t*)＜N 时，则有txd d ＞0，即销量x(t)单调增加．当x(t*)2N时，22t x d d 0;当x(t*)＞2N 时，22t x d d ＜0；当x(t*)＜2N时，22t x d d ＞0．即当销量达到最大需求量N 的一半时，产品最为畅销，当销量不足N 一半时，销售速度不断增大，当销量超过一半时，销售速度逐渐减小．国内外许多经济学家调查表明，许多产品的销售曲线与公式(1044)的曲线十分接近，根据对曲线性状的分析，许多分析家认为，在新产品推出的初期，应采用小批量生产并加强广告宣传，而在产品用户达到20%到80%期间，产品应大批量生产，在产品用户超过80%时，应适时转产，可以达到最大的经济效益．2 一个人为了积累养老金，他每月按时到银行存A 元，银行的年利率为r ，且可以任意分段按复利计算，试问此人在5年后共积累多少养老金？设月利率为r ，按月按复利进行计算，第一个月存款所得的复利终值为1F =60)1(100r +; 第二个月存款所得的复利终值为2F =59)1(100r +；第三个月存款所得的复利终值为3F =58)1(100r +；rn n n r n C p --⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=21212121rn n n rn C p --⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=21212122rn nr n rn n nr n C C p p p ----⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=22221212121······第五年的最后一个月存款所得的复利终值为60F =)1(100r +。

考试内容分布：1、线性规划2题，有1题需编程；2、非线性规划2题，有1题需编程；3、微分方程1题，需编程；4、差分方程2题，纯计算，不需编程；5、插值2题，拟合1题，纯计算，不需编程；；6、综合1题(4分)，纯计算，不需编程。

一、列出下面线性规划问题的求解模型，并给出matlab计算环境下的程序1.某车间有甲、已两台机床，可用于加工三种工件，假定这两台车床的可用台时数分别为800和900，三种工件的数量分别为400,600和500，且已知用两种不同车床加工单位数量不同工件所需的台时数和加工费用如下表。

问怎样分配车床的加工任务，才能即满足加工工件的要求，又使加工费用最低。

（答案见课本P35, 例1）2.有两个煤厂A,B，每月进煤分别不少于60t、100t，它们负责供应三个居民区的用煤任务，这三个居民区每月需用煤分别为45t, 75t, 40t。

A厂离这三个居民区分别为10km, 5km, 6km，B厂离这三个居民区分别为4km, 8km, 15km，问这两煤厂如何分配供煤，才能使总运输量最小？(1)问题分析设A煤场向这三个居民区供煤分别为x1,x2,x3;B煤场向这三个居民区供煤分别为x4,x5,x6，则min f=10*x1+5*x2+6*x3+4*x4+8*x5+15*x6，再根据题目约束条件来进行解题。

(2) 模型的求解>> f=[10 5 6 4 8 15];>> A=[-1 -1 -1 0 0 00 0 0 -1 -1 -1-1 0 0 -1 0 00 -1 0 0 -1 00 0 -1 0 0 -1];>> b=[-60;-100;-45;-75;-40];>> Aeq=[];>> beq=[];>> vlb=zeros(6,1);>> vub=[];>> [x,fval]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)Optimization terminated.(3) 结果分析x =0.0000 20.0000 40.0000 45.0000 55.0000 0.0000 fval = 960.0000即A 煤场分别向三个居民区供煤0t,20t,40t ；B 煤场分别向三个居民区供煤45t,55t,0t 可在满足条件下使得总运输量最小。

一、填空题（2’*8=16’） 1.对于人口模型0()t x t x e λ=，当t →∞时，人口变化趋势是（）。

2.数学建模方法相结合，可以用（）建立模型结构，用（）确定模型参数。

3.传染病模型中，设λ为日接触率，μ为日治愈率，则/λμ表示（）。

4.若线性回归模型的2R 统计量的值为0.98，F 统计量为206，则该模型（）（线性显著、线性不显著）。

5.对于经济批量订购公式T Q rT ===若订购费1c 增加，则订购周期和订购量的变化趋势是（）。

6.变量123,,x x x 与y 之间的多元线性回归模型为（）。

7.对于模型1max ,nj j j Z c x ==∑1,1,2,...,,0,1,2,...,nij j i j ja xb i mx j n=⎧≤=⎪⎨⎪≥=⎩∑变量1x 的价值系数为（ ）。

8.二维线性规划问题的可行域若存在，则一定为（ ）。

二、判断题（2*6’=12’)9.线性规划问题12max 2,Z x x =+212121,251562245,0x x x x x x x ⎧≤⎪+≤⎨⎪+≤≥⎩的最优解为*7/2,3/2x ⎛⎫= ⎪⎝⎭若三个约束分别代表A 、B 、C 三种资源，则哪种资源的影子价格为0？那种资源在生产中已耗费完毕？那种资源未得到充分利用？ 10.“生猪出售时机”模型中，（1）第t 天生猪体重函数为w(t)=w(0)+rt 时，表示体重变化趋势是什么？（2）体重函数为0()(0)/[(0)()]at m m w t w w w w w e -=+-时，表示体重变化趋势是什么？（3）哪个函数更符合实际？ 三、模型分析题（2*6’=12’） 11.物体在时刻t 的温度为().xx t =在常温A 下，假设物体温度对时间的变化率与物体温度和周围温度之差成正比。

比例系数为k>0.（1）建立数学模型。

（2）在初始条件00()x t x =下，求平衡点。

小学数学五大模型练习题在小学数学教学中，五大模型是教师经常使用的一种教学方法。

它包括了常见的五种问题解决模型，即归纳模型、演绎模型、类比模型、建模模型和解决问题的启发模型。

通过学习和练习这些模型，学生可以提高对数学问题的分析和解决能力。

本文将针对小学数学五大模型进行一系列练习题的介绍和解析。

一、归纳模型归纳模型强调观察事物，找出其中的规律，由此推广到更一般的情况。

下面是一道归纳模型的练习题：练习题1：阿明用2元钱买了4个苹果，那么他用8元钱可以买几个苹果？解析：观察题目中的数据，可以发现钱和苹果的数量存在一定的倍数关系。

根据归纳模型的思路，我们可以得出苹果数量是钱数的2倍的规律。

因此，阿明用8元钱可以买8个苹果。

二、演绎模型演绎模型强调从已知条件出发，进行推理和演绎，得出问题的结论。

下面是一道演绎模型的练习题：练习题2：有一个数，它是3的倍数，它加上4得到的和还是3的倍数，那么这个数是多少？解析：根据演绎模型的思路，我们从已知条件出发进行推理。

设这个数为x，根据题目条件，得到以下两个等式：1）x是3的倍数：x = 3n （n为自然数）2）x加上4得到的和是3的倍数：(x + 4) = 3m （m为自然数）将第一个等式代入第二个等式，得到 3n + 4 = 3m。

整理等式，得到3n + 1 = 3m。

由于3n是3的倍数，所以3n + 1不可能是3的倍数。

因此，不存在满足条件的数。

三、类比模型类比模型强调将问题与已经熟悉的情境进行类比，找到相似之处，利用已有的知识解决问题。

下面是一道类比模型的练习题：练习题3：班级里有30个男生和18个女生，请问男生人数是女生人数的几倍？解析：根据类比模型的思路，我们可以用一个已知的情境进行类比：小明抓了30只蚂蚁和18只蜘蛛，请问蚂蚁的数量是蜘蛛数量的几倍？从直观上来看，蚂蚁和蜘蛛数量的比例应该与男生和女生的比例相同。

因此，男生人数是女生人数的 $\frac{30}{18}$ 倍。

数学建模期末考试试题# 数学建模期末考试试题## 第一部分：选择题### 题目1在数学建模中，以下哪个选项不是模型的组成部分？A) 假设B) 目标C) 约束条件D) 计算工具### 题目2以下哪个是线性规划问题的一个特征？A) 目标函数和约束条件都是非线性的B) 目标函数和约束条件都是线性的C) 目标函数是线性的，约束条件是非线性的D) 目标函数是非线性的，约束条件是线性的### 题目3在数学建模中，敏感性分析的主要目的是什么？A) 确定模型的最优解B) 评估模型参数变化对结果的影响C) 简化模型结构D) 确定模型的稳定性## 第二部分：简答题简述数学建模中模型的校验过程。

### 题目2解释什么是多目标优化问题，并给出一个实际应用的例子。

### 题目3在进行数学建模时，为什么需要对模型进行敏感性分析？请说明其重要性。

## 第三部分：应用题### 题目1假设你被要求为一家工厂设计一个生产调度模型。

工厂有三种产品A、B和C，每种产品都需要经过三个不同的生产阶段：加工、装配和包装。

每个阶段的机器数量有限，且每种产品在每个阶段所需的时间不同。

请建立一个线性规划模型来最大化工厂的日利润。

### 题目2考虑一个城市交通流量的优化问题。

城市有多个交叉路口，每个交叉路口在不同时间段的交通流量是不同的。

如何建立一个数学模型来预测交通流量，并提出减少交通拥堵的策略？### 题目3一个公司想要评估其产品在市场上的竞争力。

公司有多个产品，每个产品都有不同的成本和利润率。

同时，公司需要考虑市场需求和竞争对手的情况。

请为该公司设计一个多目标优化模型，以确定最优的产品组合和市场策略。

## 第四部分：论文题选择一个你感兴趣的实际问题，建立一个数学模型来解决这个问题。

请详细描述你的建模过程，包括问题的定义、模型的假设、模型的建立、求解方法以及模型的验证。

### 题目2在数学建模中，模型的可解释性是一个重要的考虑因素。

请讨论模型可解释性的重要性，并给出一个例子来说明你的观点。

考试内容分布：1、线性规划2题，有1题需编程；2、非线性规划2题，有1题需编程；3、微分方程1题，需编程；4、差分方程2题，纯计算，不需编程；5、插值2题，拟合1题，纯计算，不需编程；；6、综合1题(4分)，纯计算，不需编程。

一、列出下面线性规划问题的求解模型，并给出matlab计算环境下的程序1.某车间有甲、已两台机床，可用于加工三种工件，假定这两台车床的可用台时数分别为800和900，三种工件的数量分别为400,600和500，且已知用两种不同车床加工单位数量不同工件所需的台时数和加工费用如下表。

问怎样分配车床的加工任务，才能即满足加工工件的要求，又使加工费用最低。

（答案见课本P35, 例1）2.有两个煤厂A,B，每月进煤分别不少于60t、100t，它们负责供应三个居民区的用煤任务，这三个居民区每月需用煤分别为45t, 75t, 40t。

A厂离这三个居民区分别为10km, 5km, 6km，B厂离这三个居民区分别为4km, 8km, 15km，问这两煤厂如何分配供煤，才能使总运输量最小？(1)问题分析设A煤场向这三个居民区供煤分别为x1,x2,x3;B煤场向这三个居民区供煤分别为x4,x5,x6，则min f=10*x1+5*x2+6*x3+4*x4+8*x5+15*x6，再根据题目约束条件来进行解题。

(2) 模型的求解>> f=[10 5 6 4 8 15];>> A=[-1 -1 -1 0 0 00 0 0 -1 -1 -1-1 0 0 -1 0 00 -1 0 0 -1 00 0 -1 0 0 -1];>> b=[-60;-100;-45;-75;-40];>> Aeq=[];>> beq=[];>> vlb=zeros(6,1);>> vub=[];>> [x,fval]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)Optimization terminated.(3)结果分析x =0.0000 20.0000 40.0000 45.0000 55.0000 0.0000fval = 960.0000即A 煤场分别向三个居民区供煤0t,20t,40t ；B 煤场分别向三个居民区供煤45t,55t,0t 可在满足条件下使得总运输量最小。

数学建模——函数模型及其应用基础巩固组1.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1 L汽油行驶的里程,下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是()A.消耗1 L汽油,乙车最多可行驶5 kmB.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多C.甲车以80 km/h的速度行驶1小时,消耗10 L汽油D.某城市机动车最高限速80 km/h,相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油2.某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系是y=3 000+20x-0.1x2(0<x<240,x∈N*),若每台产品的售价为25万元,则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是()A.100台B.120台C.150台D.180台3.某房地产公司计划出租70套相同的公寓房.当每套房月租金定为3 000元时,这70套公寓能全租出去;当月租金每增加50元时(设月租金均为50元的整数倍),就会多一套房子不能出租.设租出的每套房子每月需要公司花费100元的日常维修等费用(设租不出的房子不需要花这些费用).要使公司获得最大利润,每套房月租金应定为()A.3 000元B.3 300元C.3 500元D.4 000元4.一个人以6米/秒的速度去追赶停在交通灯前的汽车,当他离汽车25米时交通灯由红变绿,汽车开始变速直线行驶(汽车与人前进方向相同),汽车在时间t内的路程为s=1t2米,那么,此人()2A.可在7秒内追上汽车B.可在9秒内追上汽车C.不能追上汽车,但期间最近距离为14米D.不能追上汽车,但期间最近距离为7米5.设某公司原有员工100人从事产品A的生产,平均每人每年创造产值t万元(t为正数).公司决定从原有员工中分流x(0<x<100,x∈N*)人去进行新开发的产品B的生产.分流后,继续从事产品A生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了(1.2x)%.若要保证产品A的年产值不减少,则最多能分流的人数是()A.15B.16C.17D.186.某化工厂生产一种溶液,按市场要求杂质含量不超过0.1%,若初时含杂质2%,每过滤一次可使杂质,至少应过滤次才能达到市场要求.(已知lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1)含量减少137.一个容器装有细沙a cm3,细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出,t min后剩余的细沙量为y=a e-bt cm3,经过8 min后发现容器内还有一半的沙子,则再经过 min,容器中的沙子只有开始时的八分之一.8.某医药研究所开发的一种新药,如果成年人按规定的剂量服用,据监测:服药后每毫升血液中的含药量y(单位:μg)与时间t(单位:h)之间的关系近似满足如图所示的曲线.(1)写出第一次服药后y与t之间的函数解析式y=f(t);(2)据进一步测定:当每毫升血液中含药量不少于0.25 μg时,治疗有效,求服药一次后治疗有效的时间.综合提升组9.如图,有一直角墙角,两边的长度足够长,若P处有一棵树与两墙的距离分别是4 m和a m(0<a<12).不考虑树的粗细,现用16 m长的篱笆,借助墙角围成一个矩形花圃ABCD,设此矩形花圃的最大面积为u,若将这棵树围在矩形花圃内,则函数u=f(a)(单位:m2)的图像大致是()10.某高校为提升科研能力,计划逐年加大科研经费投入.若该高校2018年全年投入科研经费1 300万元,在此基础上,每年投入的科研经费比上一年增长12%,则该高校全年投入的科研经费开始超过2 000万元的年份是(参考数据:lg 1.12≈0.05,lg 1.3≈0.11,lg 2≈0.30)()A.2020年B.2021年C.2022年D.2023年11.如图,直角边长为2 cm的等腰直角三角形ABC,以2 cm/s 的速度沿直线l向右运动,则该三角形与矩形CDEF重合部分面积y(单位:cm2)与时间t(单位:s)的函数关系(设0≤t≤3)为,y的最大值为.12.某沿海地区养殖的一种特色海鲜上市时间仅能持续5个月,预测上市初期和后期会因供应不足使价格呈持续上涨态势,而中期又将出现供大于求使价格连续下跌.现有三种价格模拟函数:①f(x)=p·q x;②f(x)=px2+qx+1;③f(x)=x(x-q)2+p(以上三式中p,q均为常数,且q>1).(1)为准确研究其价格走势,应选哪种价格模拟函数(不必说明理由)?(2)若f(0)=4,f(2)=6,求出所选函数f(x)的解析式(注:函数定义域是[0,5],其中x=0表示8月1日,x=1表示9月1日,以此类推);(3)在(2)的条件下预测该海鲜将在哪几个月内价格下跌.创新应用组13.声强级Y(单位:分贝)由公式Y=10lg I给出,其中I为声强(单位:W/m2).10-12(1)平常人交谈时的声强约为10-6 W/m2,求其声强级.(2)一般常人能听到的最低声强级是0分贝,求能听到的最低声强为多少?(3)比较理想的睡眠环境要求声强级Y ≤50分贝,已知熄灯后两位同学在宿舍说话的声强为5×10-7 W/m 2,问这两位同学是否会影响其他同学休息?参考答案课时规范练13 数学建模——函数模型及其应用1.D 从图中可以看出当乙车的行驶速度大于40 km/h 时的燃油效率大于5 km/L,故乙车消耗1 L 汽油的行驶路程可大于5 km,所以选项A 错误;由图可知以相同速度行驶相同路程甲车消耗汽油最少,所以选项B 错误;甲车以80 km/h 的速度行驶时的燃油效率为10 km/L,故行驶1小时的路程为80 km,消耗8 L 汽油,所以选项C 错误;当最高限速为80 km/h 且速度相同时丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率,故用丙车比用乙车更省油,所以选项D 正确.2.C 设利润为f (x )万元,则f (x )=25x-(3 000+20x-0.1x 2)=0.1x 2+5x-3 000(0<x<240,x ∈N *).令f (x )≥0,得x ≥150,故生产者不亏本时的最低产量是150台.故选C .3.B 由题意,设利润为y 元,租金定为(3 000+50x )元(0≤x ≤70,x ∈N ),则y=(3 000+50x )(70-x )-100(70-x )=(2 900+50x )(70-x )=50(58+x )(70-x )≤5058+x+70-x 22=204 800,当且仅当58+x=70-x ,即x=6时,等号成立,故每月租金定为3 000+300=3 300(元)时,公司获得最大利润,故选B .4.D 已知s=12t 2,车与人的间距d=(s+25)-6t=12t 2-6t+25=12(t-6)2+7.当t=6时,d 取得最小值7.所以不能追上汽车,但期间最近距离为7米,故选D .5.B 由题意,分流前每年创造的产值为100t 万元,分流x 人后,每年创造的产值为(100-x )[1+(1.2x )%]t ,则{0<x <100,x ∈N *,(100-x )[1+(1.2x )%]t ≥100t , 解得0<x ≤503.因为x ∈N *,所以x 的最大值为16,故选B . 6.8 设至少过滤n 次才能达到市场要求,则2%1-13n ≤0.1%,即23n ≤120, 所以n lg 23≤-1-lg 2,解得n ≥7.39,所以n=8.7.16 当t=0时,y=a ,当t=8时,y=a e -8b =12a ,所以e -8b =12,容器中的沙子只有开始时的八分之一时,即y=a e -bt =18a ,e -bt =18=(e -8b )3=e -24b ,则t=24,所以再经过24-8=16(min),容器中的沙子只有开始时的八分之一.8.解 (1)根据所给的曲线,可设y={kt ,0≤t ≤1,(12) t -a ,t >1.当t=1时,由y=4,得k=4,由121-a =4,得a=3.则y={4t ,0≤t ≤1,(12) t -3,t >1.(2)由y ≥0.25,得{0≤t ≤1,4t ≥0.25或{t >1,(12) t -3≥0.25,解得116≤t ≤5.因此服药一次后治疗有效的时间为5-116=7916(h).9.B 设AD 的长为x m,则CD 的长为(16-x ) m,则矩形ABCD 的面积为x (16-x ) m 2.因为要将点P 围在矩形ABCD 内,所以a ≤x ≤12.当0<a ≤8时,当且仅当x=8时,u=64;当8<a<12时,u=a (16-a ).画出函数图像可得其形状与B 选项接近,故选B .10.C 若2019年是第1年,则第n 年全年投入的科研经费为1 300×1.12n 万元,由1 300×1.12n >2 000,可得lg 1.3+n lg 1.12>lg 2,所以n ×0.05>0.19,得n>3.8,所以第4年,即2022年全年投入的科研经费开始超过2 000万元,故选C .11.y={2t 2,0≤t <1,2,1≤t ≤2,2-12(2t -4)2,2<t ≤32 如题图,当0≤t<1时,重叠部分面积y=12×2t ×2t=2t 2;当1≤t ≤2时,重叠部分为直角三角形ABC ,重叠部分面积y=12×2×2=2(cm 2); 当2<t ≤3时,重叠部分为梯形,重叠部分面积y=S △ABC -12(2t-4)2=2-12(2t-4)2=-2t 2+8t-6. 综上,y={2t 2,0≤t <1,2,1≤t ≤2,-2t 2+8t -6,2<t ≤3,故可得y 的最大值为2.12.解 (1)因为上市初期和后期价格呈持续上涨态势,而中期又将出现价格连续下跌,所以在所给出的函数中应选模拟函数f (x )=x (x-q )2+p.(2)对于f (x )=x (x-q )2+p ,由f (0)=4,f (2)=6,可得p=4,(2-q )2=1,又q>1,所以q=3,所以f (x )=x 3-6x 2+9x+4(0≤x ≤5).(3)因为f (x )=x 3-6x 2+9x+4(0≤x ≤5),所以f'(x )=3x 2-12x+9, 令f'(x )<0,得1<x<3.所以函数f (x )在(1,3)内单调递减,所以可以预测这种海鲜将在9月,10月两个月内价格下跌. 13.解 (1)当声强为10-6 W/m 2时,由公式Y=10lgI 10-12,得Y=10lg 10-610-12=10lg 106=60(分贝).(2)当Y=0时,由公式Y=10lg I 10-12,得10lgI 10-12=0.所以I10-12=1,即I=10-12 W/m 2,则最低声强为10-12 W/m 2.(3)当声强为5×10-7 W/m 2时,声强级为Y=10lg 5×10-710-12=10lg(5×105)=50+10lg 5(分贝),因为50+10lg 5>50,故这两位同学会影响其他同学休息.。

人教版小升初数学复习专项《几何的五大模型之风筝模型和蝴蝶模型》能力达标卷一、基础题1、如图，S△AOB＝24平方厘米，S△AOD＝18平方厘米，S△COD＝12平方厘米，则S△为多少平方厘米？COB＝7平方厘米，S△AOD＝6平方厘米，则S 2、如图，S四边形ABCD＝52平方厘米，S△AOB为多少平方厘米？△COB3、如图，S四边形ABCD＝56平方厘米，S△AOB＝8平方厘米，S△AOD＝6平方厘米，则S为多少平方厘米？△COB4、如图，S△ACB＝27平方厘米，S△ACD＝18平方厘米，DO＝15厘米，则BO多少厘米？5、梯形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．AB垂直AC，并且已知AO＝4厘米，AB＝5厘米，那么三角形DOC的面积是多少平方厘米？二、提高题1、如图，S△ACB＝24平方厘米，S△ACD＝16平方厘米，S△ABD＝25平方厘米，则S△为多少平方厘米？COB2、如图，S△ACB＝48平方厘米，S△ACD＝32平方厘米，S△ABD＝45平方厘米，则S△为多少平方厘米？COB3、梯形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AB垂直AC，并且已知AO＝6厘米，BO＝10厘米，那么三角形DOC的面积是多少平方厘米？4、图中大平行四边形被分成若干小块，其中四块的面积已经标出，那么中间的四边形GQHS的面积是多少？5、图中大平行四边形被分成若干小块，其中四块的面积已经标出，那么中间的四边形GQHS的面积是多少？6、如图，四边形ABCD与四边形CPMN都是平行四边形，若三角形DFP与三角形AEF的面积分别是21和49，则三角形BEN的面积为多少？7、如图，四边形ABCD与四边形CPMN都是平行四边形，若三角形DFP与三角形AEF的面积分别是23和53，则三角形BEN的面积为多少？三、竞赛题1、已知梯形ABCD的面积是32，AD：BC＝1：3，E是BC上一点，请问红色阴影部分的面积与蓝色阴影部分面积之差是多少？2、已知梯形ABCD的面积是48，AD：BC＝1：2，E是BC上一点，请问红色阴影部分的面积与蓝色阴影部分面积之差是多少？3、如图所示，长方形ABCD被CE、DF分成四块，已知其中3块的面积分别是2、5、8平方厘米，求四边形OFBC的面积？几何的五大模型之风筝模型和蝴蝶模型能力达标卷答案解析一、基础题1、答案：16平方厘米解析：在四边形ABCD中，根据风筝模型得：S△AOD：S△AOB＝S△COD：S△COB，即18：24＝12：S△COB，S△COB＝24×12÷18＝16（平方厘米）2、答案：21平方厘米解析：在四边形ABCD中，根据风筝模型得：S△AOD：S△AOB＝S△COD：S△COB＝6：7，S△COD＋S△COB＝52—（6＋7）＝39（平方厘米），所以S△COB＝39×767＋＝21（平方厘米）3、答案：24平方厘米解析：在四边形ABCD中，根据风筝模型得：S△AOD：S△AOB＝S△COD：S△COB＝6：8＝3：4，S△COD＋S△COB＝56—（6＋8）＝42（平方厘米），所以S△COB＝42×434＋＝24（平方厘米）4、答案：22.5厘米解析：在四边形ABCD中，根据风筝模型得：DO：BO＝S△ACD：S△ACB＝18：27＝2：3，所以BO＝15÷2×3＝22.5（厘米）5、答案：10平方厘米解析：在梯形ABCD中，根据蝴蝶定理得：S△DOC＝S△AOB＝4×5÷2＝10（平方厘米）二、提高题1、答案：9平方厘米解析：在四边形ABCD中，根据风筝模型得：DO：BO＝S△ACD：S△ACB＝16：24＝2：3，则：S△AOB＝35S△ABD＝35×25＝15（平方厘米），则S△COB＝S△ACB—S△AOB＝24—15＝9（平方厘米）2、答案：21平方厘米解析：在四边形ABCD中，根据风筝模型得：DO：BO＝S△ACD：S△ACB＝32：48＝2：3，则S△AOB＝35S△ABD＝35×45＝27（平方厘米），则S△COB＝S△ACB—S△AOB＝48—27＝21（平方厘米）3、答案：24平方厘米解析：在梯形ABCD中，根据蝴蝶定理得：S△DOC＝S△AOB在直角三角形AOB中，根据勾股定理得：AB2＝OB2—OA2＝102—62＝64＝82，所以AB＝8所以：S△DOC＝S△AOB＝6×8÷2＝24（平方厘米）4、答案：17解析：如下图，连接EF、GH和IJ在平行四边形ABEF中，根据蝴蝶模型得：S△ABP＝S△EPF＝6，在平行四边形EFGH 中，S△EQF＝S△GQH＝13—6＝7；在平行四边形IDCJ中，S△DCT＝S△IJT＝5，在平行四边形GIJH中，S△GSH＝S△ISJ＝15—5＝10，所以S四边形GQHS＝S△GQH＋S△ISJ＝7＋10＝175、答案：17解析：如下图，连接EF、GH和IJ在平行四边形ABEF中，根据蝴蝶模型得：S△ABP＝S△EPF＝6，在平行四边形EFGH 中，S△EQF＝S△GQH＝12—6＝6；在平行四边形IDCJ中，S△DCT＝S△IJT＝5，在平行四边形GIJH中，S△GSH＝S△ISJ＝16—5＝11，所以S四边形GQHS＝S△GQH＋S△ISJ＝6＋11＝176、答案：28解析：如下图，连接AM。

大学数学模型试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 以下哪个选项是线性方程的解？A. x = 2B. x = 3C. x = 4D. x = 5答案：A2. 函数f(x) = 2x + 3在x = 1处的导数是：A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B3. 以下哪个选项是二阶线性微分方程？A. y'' - 2y' + y = 0B. y'' + y' = 0C. y'' - y = 0D. y'' + 2y' + y = 0答案：A4. 积分∫(0到1) x^2 dx的值是：A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 1答案：A5. 以下哪个选项是正态分布的概率密度函数？A. f(x) = 1/√(2πσ^2) * e^(-(x-μ)^2/2σ^2)B. f(x) = 1/√(2π) * e^(-x^2/2)C. f(x) = 1/(σ√(2π)) * e^(-(x-μ)^2/2σ^2)D. f(x) = 1/(2πσ) * e^(-(x-μ)^2/2σ^2)答案：C二、填空题（每题4分，共20分）1. 如果一个函数是奇函数，那么它的图象关于______对称。

答案：原点2. 函数y = x^3 - 3x + 2的极值点是______。

答案：13. 微分方程dy/dx = y + x的通解是______。

答案：y = Ce^(-x) + x4. 圆的面积公式是______。

答案：πr^25. 矩阵A = [1 2; 3 4]的行列式是______。

答案：-2三、解答题（每题15分，共30分）1. 证明函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 15在区间[1,3]上是单调递增的。

答案：首先计算f(x)的导数f'(x) = 3x^2 - 12x + 9。

然后找出导数的零点，解方程3x^2 - 12x + 9 = 0，得到x = 1和x = 3。

数学建模模拟复习资料一、单项选择题1、建模预测天气。

在影响天气的诸多因素及相互关系中，既有已知的又有许多未知的非确定的信息。

这类模型属于（ B ）。

A 、白箱模型B 、灰箱模型C 、黑箱模型 2、在城镇供水系统模型中，水箱的尺寸是（ C ）。

A 、常量B 、变量C 、参数 3、对黑箱系统一般采用的建模方法是 ( C ) 。

A 、机理分析法 B 、几何法 C 、系统辩识法D 、代数法4、在整理数据时，需处理和分析观测和实验数据中的误差，异常点来源于（ C ）。

A 、随机误差B 、系统误差C 、过失误差5、需对一类动物建立身长与体重关系的模型。

在对模型的参数进行估计时，如已有30组数据，且参数估计精度要求较高，应采用（ B ）估计参数。

A 、图解法B 、统计法C 、机理分析法6、在求解模型时，为了简化方程有时会舍弃高价小量（如一阶近似、二阶近似等），由此带来一定的误差，此误差是（ A ）。

A 、截断误差B 、假设误差C 、舍入误差 二、填空题 1、若,,x z z y ∝∝则y 与x 的函数关系是 k kx y ,=是比例常数 .2、在超级市场的收银台有两条队伍可选择，队1有1m 个顾客，每人都买了1n 件商品，队2有2m 个顾客，每人都买了2n 件商品，假设每个人付款需p 秒，而扫描每件商品需t 秒，则加入较快队1的条件是 )()(2211t n p m t n p m +<+ .3、马尔萨斯与罗捷斯蒂克两个人口增长模型的主要区别是假设了 增长率是常数还是人口的递减函数 。

4、在研究猪的身长与体重关系时，我们通过与已知其相关性质的的弹性梁作 类比 的方法建立了模型.5、力学中把质量、长度、时间的量纲作为 基本量纲 。

6、一个理想的数学模型需满足模型的适用性和模型的可靠性。

三、简答题1、一般情况下，建立数学模型要经过哪些步骤？答：数学建模的一般步骤包括：模型准备、模型假设、模型构成、模型求解、模型分析、模型检验、模型应用。

中考数学专题复习常见模型方法数与式的规律问题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 评卷人 得分一、单选题1．观察式子：13=12，13+23=(1+2)2=32，13+23+33=(1+2+3)2=62，13+23+33+43=(1+2+3+4)2=102，…，根据你发现的规律，计算53+63+73+83+93+103的结果是( ) A ．2925B ．2025C ．3225D ．26252．已知又一个有序数组(),,,a b c d ，按下列方式重新写成数组()1111,,,a b c d ，使得1a a b =+，1b b c =+，1c c d =+，1d d a =+，接着按同样的方式重新写成数组()2222,,,a b c d ，使得211a a b =+，211b b c =+，211c c d =+，211d d a =+，按照这个规律继续写下去，若有一个数组(),,,n n n n a b c d 满足10002000n n n na b c d a b c d+++<<+++，则n 的值为（ ） A ．9B ．10C ．11D ．123．观察下列算式：122=，224=，328=，4216=，5232=，6264=，72128=，82256=，用你所发现的规律得出2017201822+的末位数字是（ ）A ．2B ．4C ．8D ．64．观察下列等式：=123456733,39,327,381,3243,3729,32187,======．解答下列问题：234202033333+++++的末尾数字是 （ ）A ．0B ．2C ．3D ．95．观察下面由正整数组成的数阵：照此规律，按从上到下、从左到右的顺序，第51行的第1个数是（ ） A ．2500 B ．2501C ．2601D ．26026．如图是一个按某种规律排列的数阵：根据数阵排列的规律，第n （n 是整数，且n ≥3）行从左向右数第（n ﹣2）个数是（ ）（用含n 的代数式表示）A．21n - B ．22n - C ．23n - D ．24n -7．如图，第1个图形中小黑点的个数为5个，第2个图形中小黑点的个数为9个，第3个图形中小黑点的个数为13个，…，按照这样的规律，第n 个图形中小黑点的个数应该是（ ）A ．41n +B ．32n +C ．51n -D ．62n -8．用火柴棒按下图的方式搭图形，搭第n 个图形需要火柴棒根数为（ ）A ．21nB ．2nC ．21n -D ．2(1)n +9．按图示的方式摆放餐桌和椅子，图1中共有6把椅子，图2中共有10把椅子，…，按此规律，则图7中椅子把数是（ ）A ．28B ．30C ．36D ．4210．如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形和正三角形拼接而成，第①个图案有4个三角形和1个正方形，第②个图案有7个三角形和2个正方形，第③个图案有10个三角形和3个正方形，⋯依此规律，如果第n 个图案中正三角形和正方形的个数共有2021个，则n =（ ）A．504B．505C．506D．50711．下列图形是由同样大小的棋子按一定规律组成的，其中第①个图形有1颗棋子，第①个图形一共有6颗棋子，第①个图形一共有16颗棋子，…，则第①个图形中棋子的颗数为（）A．141B．106C．169D．15012．如图所示的图形都由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，若按此规律排列下去，则第50个图形中有（）个小圆圈．A．2454B．2605C．2504D．2554 13．如图，依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连接菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去．已知第一个矩形的面积为1，则第n个知形的面积为（）A．14B．114n-C．14nD．114n+评卷人得分二、填空题14．观察给定的分式，探索规律：（1）1x，22x，33x，44x，…其中第6个分式是__________；（2）2xy，43xy-，65xy，87xy-，…其中第6个分式是__________；（3）2ba-，52ba，83ba-，114ba，…其中第n个分式是__________（n为正整数）．15．若x 是不等于1的实数，我们把11x-称为x 的差倒数，如2的差倒数是11,112=---的差倒数为()11112=--，现已知121,3x x =-是1x 的差倒数，3x 是2x 的差倒数，4x 是3x 的差倒数，···，依此类推， 则2020x =________． 16．已知：11t a t =-，2111a a=-，3211a a =- ，……，111n n a a +=-；则2020a ＝_______．（用含t 的代数式表示）17．如图，下面每个图形中的四个数都是按相同的规律填写的，根据此规律确定x 的值为______．18．观察数表：根据数表所反映的规律，第n 行第n 列交叉点上的数应为_________．19．将全体正偶数排成一个三角形数阵：按照以上规律排列，第25行第20个数是______． 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 ……20．如图1是一个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，小明按图2所示的方式两两相扣，相扣处不留空隙，小明用x 个如图1所示的图形拼出来的总长度y 会随着x 的变化而变化，y 与x 的关系式为y =______．21．某班要在一面墙上同时展示数张形状、大小均相同的矩形绘画作品．．．．．．，将这些作品排成一个矩形（作品不完全重合）．现需要在每张作品的四个角落都钉上图钉．．．．．．．．．．．．．．，如果作品有角落相邻，那么相邻的角落共享一枚图钉（例如，用9枚图钉将4张作品钉在墙上，如图）．若有43枚图钉可供选用，则最多可以按照要求展示绘画作品________张．22．德国数学家康托尔引入位于一条线段上的一些点的集合，做法如下：取一条长度为1的线段三等分后，去掉中间段，余下两条线段，达到第1阶段；将剩下的两条线段分别三等分后，各去掉中间段，余下四条线段，达到第2阶段；再将剩下四条线段分别三等分后，各去掉中间段，余下八条线段，达到第3阶段；．．，一直如此操作下去大在不断分割舍弃过程中，所形成的线段数目越来越多．如图是最初几个阶段，（1）当达到第5个阶段时，余下的线段条数为____________．（2）当达到第n个阶段时(n为正整数)，去掉的线段的长度之和为___ (用含n的式子表示)评卷人得分三、解答题23．观察下面一列数，探求其规律：1-，12，13-，14，15-，16，…（1）请问第7个，第8个，第9个数分别是什么数？（2）第2015个数是什么？如果这列数无限排列下去，与哪个数越来越接近？24．观察下面三行有规律的数： -2，4，-8，16，- 32，64，……① -4，2，-10，14，- 34，62，……① 4，-8，16，- 32，64，-128，……① （1）第一行数的第10个数是__________ ；（2）请联系第一行数的规律，直接写出第二行数的第10个数是____________；直接写出第三行数的第n 个数是_____________； （3）取每行的第100个数，计算这三个数和．25．观察下列等式：111122=-⨯，1112323=-⨯，1113434=-⨯． 将以上三个等式的两边分别相加，得：111111223344556++++⨯⨯⨯⨯⨯． （1）直接写出计算结果：111111223344556++++⨯⨯⨯⨯⨯＝________． （2）计算：1111122334(1)n n ++++⨯⨯⨯⨯+． （3）猜想并直接写出：1111133557(21)(21)n n ++++⨯⨯⨯-⨯+＝________．（n 为正整数）26．一列数123n a a a a 、、、、，其中11a =-，2111a a =-，3211a a =- ，……，111n n a a -=-；求： （1）2020a 的值； （2）1232021a a a a ++++的值．27．从2开始，连续的偶数相加，它们的和的情况如下表： 加数m 的个数和S 1 2＝1×2 2 2+4＝6＝2×3 3 2+4+6＝12＝3×4 4 2+4+6+8＝20＝4×5 52+4+6+8+10＝30＝5×6（1）按这个规律，当m ＝6时，和S 为 ；（2）从2开始，m 个连续偶数相加，它们的和S 与m 之间的关系，用公式表示出来为：S ＝ ． （3）应用上述公式计算．．．．．．．．： ①2+4+6+…+100①1002+1004+1006+…+1100 ①1+3+5+7+…+9928．如图，将连续的奇数1，3，5，7，…按图1中的方式排成一个数表，用一个十字框框住5个数，这样框出的任意5个数（如图2）分别用a ，b ，c ，d ，x 表示．（1）若17x=，则a b c d+++=______．（2）用含x的式子分别表示数a，b，c，d．（3）设M a b c d x=++++，判断M的值能否等于2010，请说明理由．29．如图是用长度相等的小棒按一定规律摆成的一组图案，第1个图案中有6根小棒，第2个图案中有11根小棒，第3个图案中有16根小棒……（1）第8个图案中有根小棒；（2）如果第n个图案中有1011根小棒，那么n的值是多少？30．如图，有一个形如六边形的点阵，它的中心是一个点，算第一层，第二层每边有两个点，第三层每边有三个点，依次类推．（1）填写下表：层数123456该层对应的点数所有层的总点数（2）写出第n层所对应的点数．（3）如果某一层共96个点，你知道它是第几层吗？（4）有没有一层，它的点数为100点？（5）写出n层的六边形点阵的总点数．答案第1页，共21页参考答案：1．A 【解析】 【分析】根据题意找到规律：()233333211234(1234)2n n n n ⎡⎤+++++⋯+=++++⋯+=⎢⎥⎣⎦即可求解．【详解】 解：①13=12， 13+23=(1+2)2=32， 13+23+33=(1+2+3)2=62， 13+23+33+43=(1+2+3+4)2=102， …，①()233333211234(1234)2n n n n ⎡⎤+++++⋯+=++++⋯+=⎢⎥⎣⎦，53+63+73+83+93+103=(33333123410++++⋯+)-(33331234+++)22(123410)(1234)=++++⋯+-+++()()221011041422⎡⎤⎡⎤⨯+⨯+=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦225510=-2925=．故选：A ． 【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，解决本题的关键是根据数字的变化寻找规律． 2．B 【解析】 【分析】根据题意可得1111a b c d +++=2()a b c d +++，2222a b c d +++=22()a b c d +++，3333a b c d +++=23()a b c d +++，从而可得n n n n a b c d +++=2n ()a b c d +++，代入不等式并化简可得100022000n <<，即可求出n 的值．【详解】解：①1a a b =+，1b b c =+，1c c d =+，1d d a =+，①1111a b c d +++=a b +＋b c +＋+c d ＋d a +=2()a b c d +++①211a a b =+，211b b c =+，211c c d =+，211d d a =+①2222a b c d +++=11a b +＋11b c +＋11c d +＋11d a +=2()1111a b c d +++=22()a b c d +++同理可得：3333a b c d +++=23()a b c d +++①n n n n a b c d +++=2n ()a b c d +++①10002000n n n n a b c d a b c d+++<<+++ ①()210002000n a b c d a b c d+++<<+++ ①100022000n <<①29=512，210=1024，211=2048①10100022000<<①n=10故选B ．【点睛】 此题考查的是探索规律题，找出规律并归纳公式是解题关键．3．D【解析】【分析】因为122=，224=，328=，4216=，5232=，6264=，72128=，82256=，观察发现：2n 的个位数字是2，4，8，6四个一循环，所以根据201745041÷=…，201845042÷=…，得出20172的个位数字与12的个位数字相同是2，20182的个位数字与22的个位数字相同是4，进一步求解即可．【详解】解：122=，224=，328=，4216=，5232=，6264=，72128=，82256=，⋯． 201745041÷=…，201845042÷=…，①20172的个位数字与12的个位数字相同是2，20182的个位数字与22的个位数字相同是4，246+=．故2017201822+的末位数字是6．故选：D ．【点睛】本题考查了尾数特征的应用，关键是能根据题意得出规律，利用规律解决问题． 4．A【解析】【分析】通过观察31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187…，对前面几个数相加，可以发现末位数字分别是3，2，9，0，3，2，9，0，可知每四个为一个循环，从而可以求得3+32+33+34+…+32020的末位数字是多少．【详解】解：①31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187…，①3=3，3+9=12，12+27=39，39+81=120，120+243=363，363+729=1092，1092+2187=3279，...通过上面式子可以发现这些数加起来的和的末位数字分别是3，2，9，0，3，2，9，0，可知每四个为一个循环①2020÷4=505①3+32+33+34+…+32020的末位数字是0故选A．【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类以及尾数特征，根据各数个位数字的变化，找出变化规律是解题的关键．5．B【解析】【分析】观察这个数列知，第n行的最后一个数是n2，第50行的最后一个数是502=2500，进而求出第51行的第1个数．【详解】由题意可知，第n行的最后一个数是n2，所以第50行的最后一个数是502=2500，第51行的第1个数是2500+1=2501，故选：B．【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．解决本题的难点在于发现第n行的最后一个数是n2的规律．6．B【解析】【分析】观察不难发现，被开方数是从1开始的连续自然数，每一行的数据的个数是从2开始的连续偶数，求出n-1行的数据的个数，再加上n-2得到所求数的被开方数，然后写出算术平方根即可．【详解】解：前（n﹣1）行的数据的个数为2+4+6+…+2（n﹣1）=n（n﹣1），所以，第n（n是整数，且n≥3）行从左到右数第n﹣2个数的被开方数是n（n﹣1）+n﹣2=n2﹣2，所以，第n（n是整数，且n≥3）行从左到右数第n﹣2个数是22n ．【点睛】本题考查了算术平方根，观察数据排列规律，确定出前（n-1）行的数据的个数是解题的关键．7．A【解析】【分析】观察规律，逐个总结，从特殊到一般即可．【详解】第1个图形，1+1×4=5个；第2个图形，1+2×4=9个；第3个图形，1+3×4=13个；第n个图形，1+4n个；故选：A．【点睛】本题考查利用整式表示图形的规律，仔细观察规律并用整式准确表达是解题关键．8．A【解析】【分析】观察给出图形的根数，发现以此增加2，即可列出代数式．【详解】第一个图形有：1+2=3根，第二个图形有：1+2×2=5根，第三个图形有：1+2×3=7根，第四个图形有：1+2×4=9根，⋯⋯①第n个图形有：2n+1根；【点睛】本题考查列代数式表示图形的变化规律，找准每个图形增加的数量关系是解题关键． 9．B【解析】【分析】观察图形变化，得出n 张餐桌时，椅子数为4n +2把（n 为正整数），代入n ＝7即可得出结论．【详解】解：1张桌子可以摆放的椅子数为：2+1×4＝6，2张桌子可以摆放的椅子数为：2+2×4＝10，3张桌子可以摆放的椅子数为：2+3×4＝14，…，n 张桌子可以摆放的椅子数为：2+4n ，令n ＝7，可得2+4×7＝30（把）．故选：B ．【点睛】此题考查图形类规律探究，列式计算,根据图形的排列总结规律并运用解决问题是解题的关键．10．B【解析】【分析】根据图形的变化规律、正方形和三角形的个数可发现第n 个图案有31n +个三角形和n 个正方形，正三角形和正方形的个数共有41n +个，进而可求得当412021n +=时n 的值．【详解】解：①第①个图案有4个三角形和1个正方形，正三角形和正方形的个数共有5个； 第①个图案有7个三角形和2个正方形，正三角形和正方形的个数共有9个；第①个图案有10个三角形和3个正方形，正三角形和正方形的个数共有13个； 第①个图案有13个三角形和4个正方形，正三角形和正方形的个数共有17个；①第n 个图案有()43131n n +-=+个三角形和n 个正方形，正三角形和正方形的个数共有3141n n n ++=+个①第n 个图案中正三角形和正方形的个数共有2021个①412021n +=①505n =．故选择：B【点睛】本题考查了图形变化类的规律问题、利用一元一次方程求解等，解决本题的关键是观察图形的变化寻找规律．11．A【解析】【分析】本题的图从①个图开始可以看作是由图①的一个棋子为中心依次向外以五边形的形式向外扩张，棋子依次是5的整数倍关系．所以第①个图形中棋子的颗数也就容易计算了．【详解】解： ①第①个图形中棋子的个数为：1150=+⨯ ＝1＋5×0；第①个图形中棋子的个数为：()15016+⨯+= ；第①个图形中棋子的个数为：()1501216+⨯++=；…①第n 个图形中棋子的个数为：()()5n n 115012n 112-+⨯++++-=+； 则第①个图形中棋子的颗数为：58711412⨯⨯+= 故应选A ．【点睛】本题考查了规律型中图形的变化类，根据图形中棋子数目的变化找出变化规律是解题的关键．12．D【解析】【分析】设第n 个图形中有a n 个小圆圈(n 为正整数)，根据图形中小圆圈个数的变化可找出“a n ＝4+n(n+1)(n 为正整数)”，再代入n ＝50即可求出结论．【详解】解：设第n 个图形中有a n 个小圆圈(n 为正整数)观察图形，可知：a 1＝4+1×2，a 2＝4+2×3，a 3＝4+3×4，a 4＝4+4×5，…，①a n ＝4+n(n+1)(n 为正整数)，①a 50＝4+50×51＝2554故选D ．【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，根据图形中小圆圈个数的变化找出变化规律“a n ＝4+n(n+1)(n 为正整数)”是解题的关键．13．B【解析】【分析】易得第二个矩形的面积为(21)2，第三个矩形的面积为(41)2，依此类推，第n 个矩形的面积为(221)2n -． 【详解】解：已知第一个矩形的面积为1；第二个矩形的面积为原来的(22211)24⨯-=；第三个矩形的面积是(23211)216⨯-=； ⋯故第n 个矩形的面积为：(2211111)()244n n n ---==． 故选：B ．【点睛】本题考查了三角形的中位线定理及矩形、菱形的性质，是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．14． 66x 1211x y - 31(1)n n nb a -- 【解析】【分析】（1）分子是连续正整数，分母是以x 为底，指数是连续正整数，第六个分式的分子是6，分母是 x 6（2）分子是以x 为底，指数是连续偶数，分母是以y 为底，指数是连续奇数，第奇数个分式符号是正，第偶数个分式符号为负，第六个分式是负号，分子是x 12，分母是 y 11,（3）分子是以b 为底，第一个指数是2，以后依次加3，所以第n 个指数是3n-1；分母是以a 为底，指数是连续正整数，第奇数个分式符号是负，第偶数个分式符号为正，第n 个分式的符号是（-1）n , 分子是b 3n-1，分母是 a n ,【详解】解：（1）分子是连续正整数，分母是以x 为底，指数是连续正整数，所以，第六个分式是66x ， （2）分子是以x 为底，指数是连续偶数，分母是以y 为底，指数是连续奇数，第奇数个分式符号是正，第偶数个分式符号为负，所以，第六个分式是1211x y-， （3）分子是以b 为底，第一个指数是2，以后依次加3，所以第n 个指数是3n-1；分母是以a 为底，指数是连续正整数，第奇数个分式符号是负，第偶数个分式符号为正，第n 个符号为（-1）n ，所以，第六个分式是31(1)n nn b a -- 【点睛】本题考查了数字之间的规律，连续正整数、奇数、偶数和依次递增3的数字规律，包括符号依次变化规律，熟练掌握特殊数字之间的规律是解题关键15．13- 【解析】【分析】根据差倒数的概念逐一计算，然后找到规律，利用规律即可解答．【详解】113x =-， 213141()3x ∴==-- ，同理，3414,3x x ==- ， ①n x 是13,,434-这三个数的循环． ①202036731÷= ，202013x ∴=-． 故答案为：13-． 【点睛】本题主要考查差倒数，理解差倒数的求法并找到规律是解题的关键．16．1t t - 【解析】【分析】观察数据可知，11t a t =-，2111a a =-=1-t ，3211a a =-=1t，43111a a t t =--=，…，从第一项开始3个一循环，再用2020除以3得出余数即可求解．【详解】解：观察数据可知：11t a t =-，2111a a =-=1-t ，3211a a =-=1t ，43111a a t t =--=，…，从第一项开始3个一循环，①2020÷3＝673…1，①2020a ＝11t a t =-． 故答案为：1t t -． 【点睛】考查了规律型：数字的变化类，通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力．17．370．【解析】【详解】试题分析：观察可得左下角数字为偶数，右上角数字为奇数，所以2n=20，m=2n﹣1，解得n=10，m=19，又因右下角数字：第一个：1=1×2﹣1，第二个：10=3×4﹣2，第三个：27=5×6﹣3，由此可得第n个：2n（2n﹣1）﹣n，即可得x=19×20﹣10=370．考点：数字规律探究题.18．2n−1【解析】【分析】由给出排列规律可知，第一行第一列交叉点上的数是1，第2行第2列交叉点上的数是3，…，第n行与第n 列交叉点上的数构成一个等差数列．【详解】解：由给出排列规律可知，第一行第一列交叉点上的数是1，第2行第2列交叉点上的数是3，…，交叉点上的数构成一个等差数列．第n 行与第n 列交叉点上的数是2n−1，故答案为：2n−1．【点睛】本题考查归纳推理，解答关键是利用已有的数据进行归纳，解题时要认真审题，仔细解答．19．640【解析】【分析】观察数字的变化，第n行有n个偶数，求出第n行第一个数，故可求解．【详解】观察数字的变化可知：第n行有n个偶数，因为第1行的第1个数是：2＝1×0＋2；第2行的第1个数是：4＝2×1＋2；第3行的第1个数是：8＝3×2＋2； …所以第n 行的第1个数是：n （n−1）＋2， 所以第25行第1个数是：25×24＋2＝602， 所以第25行第20个数是：602+2×19=640． 故答案为：640． 【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，解决本题的关键是根据数字的变化寻找规律． 20．52x + 【解析】 【分析】探究规律，利用规律解决问题即可． 【详解】 观察图形可知：当两个图（1）拼接时，总长度为：7+5=12； 当三个图（1）拼接时，总长度为：7+2×5； 以此类推，可知：用x 个这样的图形拼出来的图形总长度为：()75152x x +-=+， ①y 与x 的关系式为52y x =+． 故答案为：52x +． 【点睛】本题考查了图形规律，根据图形的拼接规律得出y 与x 的关系式是解题的关键． 21．30 【解析】 【分析】分别找出展示的绘画作品展示成一行、二行、三行、四行、五行、六行、七行的时候，43枚图钉最多可以展示的画的数量，比较后即可得出结论． 【详解】解：①如果所有的画展示成一行，43÷（1+1）=21……1，①43枚图钉最多可以展示20张画；①如果所有的画展示成两行，43÷（2+1）=14……1，14-1=13（张），2×13=26（张），①43枚图钉最多可以展示26张画；①如果所有的画展示成三行，43÷（3+1）=10……3，10-1=9（张），3×9=27（张），①43枚图钉最多可以展示27张画；①如果所有的画展示成四行，43÷（4+1）=8……3，8-1=7（张），4×7=28（张），①43枚图钉最多可以展示28张画；①如果所有的画展示成五行，43÷（5+1）=7……1，7-1=6（张），5×6=30（张），①43枚图钉最多可以展示30张画；①如果所有的画展示成六行，43÷（6+1）=6……1，6-1=5（张），6×5=30（张），①43枚图钉最多可以展示30张画；①如果所有的画展示成七行，43÷（7+1）=5……3，5-1=4（张），4×7=28（张），①43枚图钉最多可以展示28张画；综上所述：43枚图钉最多可以展示30张画．故答案为：30．【点睛】本题考查了规律型中图形的变化类，观察图形，求出展示的绘画作品展示成一行、二行、三行、四行、五行、六行、七行时，最多可以展示的画的数量是解题的关键．22．（1）32；（2）1 ()3n．【解析】【分析】根据题意写出前面所求的结果的式子，然后推广得出规律，即可解答．【详解】（1）根据题意可知：第一阶段余下的线段的条数为12=2条； 第二阶段余下的线段的条数为22=4条； 第三阶段余下的线段的条数为32=8条； 第四阶段余下的线段的条数为42=16条； 第五阶段余下的线段的条数为52=32条； 故答案为32．（2）根据题意可知：第一阶段去掉的线段的长度为11()3；第二阶段去掉的线段的长度和为211111=()33333⨯+⨯；第三阶段去掉的线段的长度和为22311111()()()33333⨯+⨯=；以此类推，第n 阶段去掉的线段的长度和为1()3n．故答案为1()3n．【点睛】考查发现图形的规律，根据图形写出前面的几种情况，然后找出其规律是解答本题的关键．23．（1）17-，18，19-；（2）12015-，与0越来越接近【解析】 【分析】（1）分子是1，分母是从1开始连续的自然数，奇数位置为负，偶数位置为正，第n 个数是1(1)nn-； （2）根据（1）中发现的规律即可求解，因为它们的分子不变是1，分母越来越大，所以越来越接近0． 【详解】解：（1）第n 个数是1(1)nn-， ∴第7个，第8个，第9个数分别是17-，18，19-．（2）第2015个数是12015-，如果这列数无限排列下去，与0越来越接近．【点睛】此题考查数字的变化规律，通过观察，分析、归纳发现符号、分子、分母的规律，并应用发现的规律解决问题． 24．（1）1024；（2）1022，()12n +-；（3）－2．【解析】 【分析】（1）通过观察可知第一行数据的规律是()()()()()()1234562,2,2,2,2,2,------，进而可以得出答案；（2）通过观察可知第二行的数字的规律是：第一行的数字减去2，第三行的数字的规律是：第一行的数字乘以－2，便可得出答案；（3）根据得出的规律将每一行第100个数字相加即可． 【详解】解：（1）①-2，4，-8，16，- 32，64，……，①该组数据的规律是：()12-，()22-，()32-，()42-，()52-，()62-，……，①第一行数的第10个数是()1021024-=； （2）通过观察可知第二行的数字的规律是：第一行的数字减去2， 第三行的数字的规律是：第一行的数字乘以－2，则第二行的第10个数是()10221022--=，第三行的第n 个数是()()()1222n n +-⋅-=-，（3）①第一行数的第100个数是()10010022-=，第二行的第100个数是10022-，第三行的第100个数是()10110122-=-①()10010010110110122222222+-+-=--=-，即这三个数的和为－2． 【点睛】本题考查了数字的规律探究，找出数字的规律是解题的关键． 25．（1）56；（2）1n n +；（3）21n n +．【解析】 【分析】（1）根据所给等式对111111223344556++++⨯⨯⨯⨯⨯进行拆分，然后计算即可； （2）按照（1）的思路对1111122334(1)n n ++++⨯⨯⨯⨯+拆分计算即可； （3）由（2）的结论，可以推出()1111()21(21)22121n n n n =--+-+，然后运用该规律解答即可． 【详解】 解：（1）111111223344556++++⨯⨯⨯⨯⨯ =1111111111223344556-+-+-+-+-=1-16=56； 故答案为56；（2）1111122334(1)n n +++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯⨯+ =1111112231n n -+-+⋅⋅⋅+-+=111n -+ 1nn =+； （3）1111133557(21)(21)n n ++++⨯⨯⨯-⨯+=1111111112335572121n n ⎛⎫-+-+-++- ⎪-+⎝⎭=111221n ⎛⎫- ⎪+⎝⎭=12221n n ⨯+ =21nn +． 【点睛】本题主要考查了探究数字规律和有理数的混合运算，分析已知等式、找出规律是解答本题的关键．26．（1）-1；（2）1009 【解析】【分析】（1）先依次计算出123n a a a a 、、、、的值，从中发现循环规律，然后对应解答问题． （2）根据第（1）题的数字循环规律，即可求解． 【详解】解：（1）①11a =- ，211112a ==+ ，312112a ==- ，41112a ==--，…… ． 从上面的解答可以看出123n a a a a 、、、、的值依次按-1，12，2为一个循环节循环的．①202036731÷=，①2020a 的值对应的是“-1，12，2”循环节的第一个数，故20201a =-；（2）①202136732÷=，一个循环节的和为-1+12+2=32，①余数为2对应的-1，12两个数．①1232021a a a a ++++=31673100922⨯+=(-1)+．【点睛】本题可以看作“数式循环规律”的题型，这类题关键经过计算得出循环的规律，得出循环节的组成，在根据问题与循环节的对应关系解答问题．27．（1）42；（2）()1m m +；（3）①2550；①52550；①2500． 【解析】 【分析】（1）根据规律列出运算式子，计算有理数的乘法即可得； （2）根据表格归纳类推出一般规律即可得；（3）①根据（2）的结论列出运算式子，计算有理数的乘法即可得； ①利用241100+++的值减去241000+++的值即可得；①将运算中的每个加数都加上1可变成（3）①的运算式子，再减去50即可得． 【详解】（1）根据规律得：当6m =时，和6742S =⨯=， 故答案为：42；（2）由表可知，当1m =时，()12111S =⨯=⨯+， 当2m =时，()23221S =⨯=⨯+， 当3m =时，()34331S =⨯=⨯+， 当4m =时，()45441S =⨯=⨯+， 归纳类推得：()1S m m =+， 故答案为：()1m m +； （3）①()24610050501++++=⨯+，5051=⨯，2550=；①1002100410061100++++，()()241100241000=+++-+++，()()55055015005001=⨯+-⨯+， 550551500501=⨯-⨯， 303050250500=-，52550=；①135799+++++，()()()()()11315171991150=++++++++++-⨯，246810050=+++++-，255050=-，2500=．【点睛】本题考查了有理数加减法与乘法的规律型问题，正确归纳类推出一般规律是解题关键． 28．（1）68；（2）12a x =-，2b x =-，2c x =+，12d x =+；（3）不能等于2010，理由见解析． 【解析】 【分析】观察图1，可知：12a x =-，2b x =-，2c x =+，12d x =+． （1）当x=17时，找出a 、b 、c 、d 的值，将其相加即可求出结论；（2）由12a x =-，2b x =-，2c x =+，12d x =+，即可求出a+b+c+d 的值；（3）根据M=2020，即可得出关于x 的一元一次方程，解之即可求出x 的值，由x 为偶数即可得出M 不能为2010． 【详解】观察图1，可知：12a x =-，2b x =-，2c x =+，12d x =+． （1）当x=17时，a=5，b=15，c=19，d=29， ①515192968a b c d +++=+++=． 故答案为：68．（2）①12a x =-，2b x =-，2c x =+，12d x =+， ①()()()()1222124a b c d x x x x x +++=-+-++++=， 故答案为：4x ；（3）M 的值不能等于2020，理由如下： ①4a b c d x +++=，①M 2010a b c d x =++++=，则52010x =， 解得：402x =． ①402是偶数不是奇数， ①与题目x 为奇数的要求矛盾， ①M 不能为2010． 【点睛】本题考查了规律型中数字的变化类以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）将a 、b 、c 、d 四个数相加；（2）观察图1，用含x 的代数式表示出a 、b 、c 、d ；（3）由M=2010，列出关于x 的一元一次方程． 29．（1）41；（2）202 【解析】 【分析】（1）前三个图案中的6，11，16可分别写为6=5×1+1，11=5×2+1，16=5×3+1，于是可得规律，进而可求出第8个图案的小棒数量；（2）由（1）题的规律可得第n 个图案中小棒的数量，于是可得关于n 的方程，解方程即得答案． 【详解】解：第1个图案中有6根小棒，6=5×1+1， 第2个图案中有11根小棒，11=5×2+1， 第3个图案中有16根小棒，16=5×3+1， ……，所以第8个图案中有（5×8+1）=41根小棒； 故答案为：41；（2）第n 个图案中有()51n +根小棒，根据题意，得 5n+1=1011，解得n=202． 答：n 的值是202． 【点睛】本题考查了图形类规律探求和一元一次方程的应用，找准规律是解题的关键． 30．（1）见详解；（2）（6n ﹣6）个点；（3）17；（4）没有；（5）3n 2﹣3n +1． 【解析】 【分析】（1）观察点阵可以写出答案；（2）观察点阵可知：第二层每边有2个点，第三层每边有3个点，第四层每边有4个点，第五层每边有5个点，得出第n （n ＞1）层每边对应的点数是n ，从而得出第n 层所对应的点数；（3）根据六边形有六条边，则第一层有1个点，第二层有2×6﹣6＝6（个）点，第三层有3×6﹣6＝12（个）点，进一步得出第n 层有6（n ﹣1）个点，代入96求得答案即可； （4）将100代入建立方程求解即可判定；（5）根据表格所得出的规律是从第二层，后面到几层就增加几个数6，由此即可求出答案． 【详解】 解：（1）如表：层数123456该层对应的点数1612182430所有层的总点数1719376191（2）根据表格可得出第n层每边对应的点数是n；则第n层所对应的点数为（6n﹣6）个点，（3）因为第n层有（6n﹣6）个点，则有6n﹣6＝96，解得n＝17，即在第17层；（4）6n﹣6＝100解得535n=，不合题意，所以没有一层，它的点数为100点；（5）第二层开始，每增加一层就增加六个点，即n层六边形点阵的总点数为，1+1×6+2×6+3×6+…+（n﹣1）×6＝1+6[1+2+3+4+…+（n﹣1）]＝1+6()12 n n-⨯＝1+3n（n﹣1）＝3n2﹣3n+1．第n层六边形的点阵的总点数为：3n2﹣3n+1．【点睛】本题主要考查了图形的变化规律，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．。

高中数学模型试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 已知函数f(x)=2x^2-3x+1，下列说法正确的是：A. 函数在x=1处取得最小值B. 函数在x=1处取得最大值C. 函数在x=-1处取得最小值D. 函数在x=-1处取得最大值答案：A2. 一个等差数列的前三项分别为2，5，8，那么这个数列的第五项是：A. 11B. 12C. 13D. 14答案：B3. 若a，b，c是三角形的三边，且满足a^2+b^2=c^2，则三角形的形状是：A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定答案：B4. 已知圆的方程为x^2+y^2-6x-8y+24=0，圆心坐标为：A. (3, 4)B. (-3, -4)C. (3, -4)D. (-3, 4)答案：A二、填空题（每题5分，共20分）5. 函数y=x^3-3x^2+4x-5的导数是_______。

答案：3x^2-6x+46. 已知等比数列的前三项分别为1，2，4，则该数列的通项公式为_______。

答案：2^(n-1)7. 一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4，那么斜边的长度是_______。

答案：58. 已知直线y=2x+1与抛物线y=x^2-2x+3相交于两点，这两点的横坐标之和为_______。

答案：2三、解答题（每题10分，共60分）9. 已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x+1，求函数的极值点。

答案：函数的一阶导数为f'(x)=3x^2-6x+2，令f'(x)=0，解得x=1和x=2/3。

计算二阶导数f''(x)=6x-6，当x=1时，f''(1)=0，无法判断极值；当x=2/3时，f''(2/3)>0，因此x=2/3是极小值点，函数在x=2/3处取得极小值。

10. 已知等差数列{an}的前三项分别为1，4，7，求该数列的前n项和Sn。

答案：等差数列的通项公式为an=1+3(n-1)=3n-2，前n项和公式为Sn=n(a1+an)/2=n(1+3n-2)/2=(3n^2-n)/2。

数学建模（数学模型）期末考试卷及答案详解第一部分 基本理论和应用1、计算题(满分10分)设电路供电网内有10000盏灯，夜间每一盏灯开着的概率为0.7，假设各灯的开关是相互独立的，利用中心极限定理计算同时开着的灯数在6900与7100之间的概率.2、计算题（满分10分）设某种电子元件的使用寿命服从正态分布) ,(2σμN ，现随机抽取了10个元件进行检测， 得到样本均值(h)1500=x ，样本标准差(h)14=S . 求总体均值μ的置信概率为99％的置信区间3、计算题（满分10分）从正态总体)6 ,4.3(~2N X 中抽取容量为n 的样本，如果要求样本均值位于区间 (1.4，5.4) 内的概率不小于0.95，问样本容量n 至少应取多大？4、计算题（满分10分） 设总体X 的概率密度为：⎩⎨⎧<<+=其他，,0,10,)1();(x x x f θθθ )1(->θn X X X ,,,21 是来自总体X 的简单随机样本，求参数θ的矩估计量和极大似然估计量.5．（15分）设总体X 服从区间[0，θ]上的均匀分布，θ＞0未知，12,,,n X X X 是来自X的样本,（1）求θ的矩估计和极大似然估计；（2）上述两个估计量是否为无偏估计量，若不是请修正为无偏估计量；（3）试问（2）中的两个无偏估计量哪一个更有效？6. （15分）设),(~2σμN X ，n X X X ,,,21 是取自总体的简单随机样本，X 为样本均值，2nS 为样本二阶中心矩，2S 为样本方差，问下列统计量：（1）22σnnS ，（2）1/--n S X n μ，（3）212)(σμ∑=-ni iX各服从什么分布？7. （10分）一个小班有8位学生,其中有5人能正确回答老师的一个问题.老师随意地逐个请学生回答,直到得到正确的回答为止,求在得到正确的回答以前不能正确回答问题的学生个数的概率分布.8. （10分）设某人有100位朋友都会向他发送电子邮件,在一天中每位朋友向他发出电子邮件的概率都是0.04,问一天中他至少收到4位朋友的电子邮件的概率是多少?试用二项分布公式和泊松近似律分别计算.9. （10分）某商品的每包重量2~(200,)X N σ.若要求{195205}0.98P X <<≥,则需要把σ控制在什么范围内.10. （15分）设系统L 由两个相互独立的子系统12,L L 联接而成,联接的方式分别为串联,并联和备用(当系统1L 损坏时,系统2L 开始工作),如图7.1所示.1L 和2L 的寿命为X 和Y ,分别有密度(0,)()()x X p x e I x αα-+∞=和(0,)()()y Y p y e I y ββ-+∞=,其中0,0αβ>>且αβ≠.请就这三种联接方式分别写出系统L 的寿命Z 的密度.答案第一部分 基本理论和应用 1、计算题(满分10分)设电路供电网内有10000盏灯，夜间每一盏灯开着的概率为0.7，假设各灯的开关是相互独立的，利用中心极限定理计算同时开着的灯数在6900与7100之间的概率. 解：设同时开着的灯数为X ，(10000,0.7)Xb ……………2分(0,1)N （近似） ……………3分 {69007100}210.971P X ≤≤=Φ-= …………5分 2、计算题（满分10分）设某种电子元件的使用寿命服从正态分布) ,(2σμN ，现随机抽取了10个元件进行检测，得到样本均值(h)1500=x ，样本标准差(h)14=S . 求总体均值μ的置信概率为99％的置信区间. 解： T =(1)X t n - 0.005{(1)}0.99P T t n <-= ………4分0.0050.005{(1)(1)}0.99P X n X X n -<<+-= ………………4分 所求为（1485.61，1514.39） …………2分3、计算题（满分10分）从正态总体)6 ,4.3(~2N X 中抽取容量为n 的样本，如果要求样本均值位于区间 (1.4，5.4) 内的概率不小于0.95，问样本容量n 至少应取多大？ 解：(0,1)X N ………………3分{1.4 5.4}21P X P <<=<=Φ- ……………4分解210.95Φ-≥ 得34.6n ≥ n 至少取35 ……………3分4、计算题（满分10分） 设总体X 的概率密度为：⎩⎨⎧<<+=其他，,0,10,)1();(x x x f θθθ )1(->θn X X X ,,,21 是来自总体X 的简单随机样本，求参数θ的矩估计量和极大似然估计量.解： 1101()(2E X dx θθθθ++==+⎰+1)x ……………3分 解12X θθ+=+，得θ的矩估计量为211X X -- ……………2分 1()1()ni i L x θθθ=+∏n＝（） 1ln ln 1ln nii L n x θθ==+∑（）+ ……………2分令1ln ln 01ni i d L nx d θθ==+=+∑ 得θ的极大似然估计量为11ln nii nX=--∑ …………3分5．（15分）设总体X 服从区间[0，θ]上的均匀分布，θ＞0未知，12,,,n X X X 是来自X的样本,（1）求θ的矩估计和极大似然估计；（2）上述两个估计量是否为无偏估计量，若不是请修正为无偏估计量；（3）试问（2）中的两个无偏估计量哪一个更有效？ 解：（1）2EX θ=，令2X θ=，得θ的矩估计量1ˆ2X θ=； ……………5分 似然函数为：()12121,0,,,(,,,;)0n n n x x x L x x x θθθ⎧<<⎪=⎨⎪⎩，其它其为θ的单调递减函数，因此θ的极大似然估计为{}212()ˆmax ,,,n n X X X X θ==。