2020-2021学年浙江省温州市新力量联盟高二上学期期中联考数学试题(解析版)

2021-2021学年(xuénián)第一学期十四县〔〕期中联考高二年级数学〔文科〕试卷一、选择题：(本大题一一共12个小题,每一小题5分,一共60分,在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.)1. 总体由编号为01,02,…,19,20的20个个体组成。

利用下面的随机数表选取7个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开场由左到右依次选取两个数字，那么选出来的第6个个体的编号为〔〕7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 01983204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481A. 08B. 07C. 02D. 04【答案】D【解析】试题分析：选取的数据依次为08,02,14,07,01，所以选出来的第5个个体的编号为01考点：随机数表2. 直线过点，且与直线垂直，那么的方程是〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意可得所求直线l经过点(0,3)，斜率为1，故l的方程是，即，应选：D.3. 向量(xiàngliàng)，，那么在上的投影为〔〕A. B. C. 1 D. -1【答案】B【解析】，，，即在上的投影为，应选B.4. 圆心为且与直线相切的圆的方程为〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】对于，，圆心为，不合题意；对于，，圆心为，不合题意；对于，，圆心为，不合题意；对于，，圆心为，且圆心到直线的间隔为，圆与直线相切，合题意，应选C.5. 某中学采用系统抽样方法，从该校高一年级全体800名学生中抽取50名学生做牙齿安康检查.现将800名学生从1到800进展编号.从33～48这16个数中取的数是39，那么在第1小组1～1HY随机抽到的数是〔〕．A. 5B. 7C. 11D. 13【答案】B【解析】试题分析：设第一小组抽到的数是m，那么，解得，答案选B．考点：系统抽样6. 设为不重合(chónghé)的直线，是不重合的平面，那么以下说法正确的个数是〔〕①假设那么；②假设那么；③假设那么；④假设那么；⑤假设那么；⑥假设那么A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】试题分析：①显然正确；②可能相交；③l可能在平面内；④l可能为两个平面的交线，两个平面可能相交；⑤可能相交；⑥显然正确，应选C．考点：空间中线面，线线，面面关系【易错点睛】解决有关线面平行，面面平行的断定与性质的根本问题要注意：〔1〕注意断定定理与性质定理中易无视的条件，如线面平行的条件中线在面外易无视．〔2〕结合题意构造或者绘制图形，结合图形作出判断．〔3〕会举反例或者用反证法推断命题是否正确．7. 程序框图如下图：假如上述程序运行的结果，那么判断框中应填入〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】经过第一次循环得到不输出，即的值不满足判断框的条件；经过第二次循环得到不输出，即的值不满足判断框的条件；经过第三次循环得到输出，即的值满足判断框的条件，故判断框中的条件是，应选A.【方法点睛】此题主要考察(kǎochá)程序框图的循环构造流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支构造还是循环构造；(3) 注意区分当型循环构造和直到型循环构造；(4) 处理循环构造的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,〔6〕在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到到达输出条件即可.8. 函数的图象如下图，假设将函数的图象向右平移个单位，那么所得的函数解析式为〔〕A. B.C. D.【答案】B【解析】根据余弦函数的图象的对称性求得：，根据余弦函数图象：，解得：，利用周期公式：，解得，根据函数的图象，时，，，由于，解得，那么，应选B.9. 在正方体中，是棱的中点(zhōnɡ diǎn)，是的中点，是上的一点且，那么异面直线与所成的角为〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】以为轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为，那么,,异面直线与所成的角为，应选D.10. ，满足那么的取值范围是〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】作出不等式组表示的平面区域，如下图，表示点与点的间隔，由图可得，的最小值就是点到直线的间隔，最小值是的最大值是点与点的间隔，由，可得，，，的取值范围是，应选C.【方法点晴】此题主要考察线性规划中利用可行域求目的函数的最值，属简单题.求目的函数最值的一般步骤是“一画、二找、三求〞：〔1〕作出可行域〔一定要注意是实线还是虚线〕；〔2〕找到目的函数对应的最优解对应点〔在可行域内平移变形后的目的函数，或者者根据目的函数的几何意义〕；〔3〕将最优解坐标代入目的函数求出最值.11. 点是直线(zhíxiàn)上动点，是圆:的两条切线，是切点，假设四边形面积的最小值是，那么的值是〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：如下图，根据对称性可知，当获得最小值时面积获得最小值，而，所以当最短时，最小，即时最小，此时，四边形的面积为，解得.考点：直线与圆的位置关系.【思路点晴】此题主要考察直线与圆的位置关系.涉及比拟多的知识点，一是连接圆心和切点的直径和切线垂直；二是根据对称性，将四边形的面积转化为两个直角三角形面积的和；三是最值问题，用化归与转化的数学思想方法转化为点到直线间隔的间隔来求解.四是点到直线的间隔公式，还有圆的一般方程配成HY方程得到圆心和半径.12. 三棱锥及其三视图中的正视图和侧视图如下图，那么该三棱锥的外接球的外表积为〔〕A. B. C. D.【答案(dá àn)】B【解析】如图，取中点，连接，那么在中，在中，，所以，设球心到平面ABC的间隔为因为平面ABC,且底面为正三角形,所以.因为的外接圆的半径为,所以由勾股定理可得,所以三棱锥外接球的外表积是,应选B.点睛：考虑三视图复原空间几何体首先应深入理解三视图之间的关系，遵循“长对正，齐，宽相等〞的根本原那么，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和考虑方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进展调整.二、填空题：〔每一小(yī xiǎo)题5分，满分是20分,请将答案填在答题卡上〕13. 防疫站对学生进展身体安康调查，采用分层抽样法抽取．某中学一共有学生1600名，抽取一个容量为200的样本，女生比男生少抽了10人，那么该校的男生人数应为_________人．【答案】840【解析】由题意知样本和总体比为，设抽取女生为人，那么男生为，解得人，根据样本和总体比可得该校的女生人数为，该校的男生人数为，故答案为.14. 的取值如下表所示：从散点图分析，与线性相关，且,那么＝__________.【解析】，这组数据的样本中心点是，与线性相关，且，，＝，故答案为.15. 各项为正的等差数列中,与的等差中项为,那么的最大值为__________．【答案】6【解析】与的等差中项为，，当时等号成立；故答案为. 【易错点晴】此题主要考察利用等差数列的性质及利用根本不等式求最值，属于(shǔyú)难题.利用根本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等〞的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或者积是否为定值〔和定积最大，积定和最小〕；三相等是，最后一定要验证等号能否成立〔主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是屡次用或者时等号能否同时成立〕.16. 如图，在长方体中,点为线段上的动点(包含线段端点)，那么的周长的最小值是_____________.【答案】【解析】根据正方体的性质可得，，当时，最小为，此时也最小，最小值为，周长的最小值为，故答案为.三、解答题：〔本大题一一共6小题，一共70分.解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤.〕17. 在中，角的对边分别为，且．〔1〕求角的大小；〔2〕假设不等式的解集是，求的周长．【答案(dá àn)】〔1〕；〔2〕【解析】试题分析：〔1〕由，根据正弦定理可得，从而，进而，由此能求出；〔2〕依题意是方程的两根，从而，由余弦定理得，从而能求出的周长................试题解析：〔1〕由得,即，得，即，得，又，于是〔2〕依题意a、c是方程的两根，由余弦定理得，的周长为．18. 如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，,,，为的中点，分别为上的中点.〔1〕求证：平面平面；〔2〕求证：平面.【答案】〔1〕见解析；〔2〕见解析【解析】试题(shìtí)分析：〔1〕由勾股定理可得，由直棱柱的性质可得，从而利用线面垂直的断定定理可得平面，进而得出平面平面；〔2〕取中点，连结，证明四边形为平行四边形得出，从而根据线面平行的断定定理得出平面.试题解析：〔1〕在中，因为,所以，又因为，平面，平面,,那么平面，又因为平面,那么平面平面；〔2〕取中点为，连，由于且，所以四边形是平行四边形，故,平面，所以平面.19. “一带一路〞是“丝绸之路经济带〞和“21世纪海上丝绸之路〞的简称．某为了理解人们对“一带一路〞的认知程度，对不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路〞知识竞赛，满分是100分〔90分及以上为认知程度高〕.现从参赛者中抽取了人，按年龄分成5组，第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如下图的频率分布直方图，第一组有6人．〔1〕求；〔2〕求抽取(chōu qǔ)的人的年龄的中位数〔结果保存整数〕；〔3〕从该大学生、HY人、医务人员、工人、个体户五种人中用分层抽样的方法依次抽取6人，42人，36人，24人，12人，分别记为1～5组，从这5个按年龄分的组和5个按职业分的组中每组各选派1人参加知识竞赛，分别代表相应组的成绩，年龄组中1～5组的成绩分别为93，96，97，94，90，职业组中1～5组的成绩分别为93，98，94，95，90．〔Ⅰ〕分别求5个年龄组和5个职业组成绩的平均数和方差；〔Ⅱ〕以上述数据为根据，评价5个年龄组和5个职业组对“一带一路〞的认知程度．【答案】〔1〕120；〔2〕32；〔3〕见解析【解析】试题分析：〔1〕根据频率分布直方图求出第一组频率，由此能求出；〔2〕设中位数为，那么，由此能求出中位数；〔3〕①利用平均数公式和方差公式能分别求出个年龄组和个职业组成绩的平均数和方差；②从平均数来看两组的认知程度一样，从方差来看年龄组的认知程度更好.试题解析：〔1〕根据频率分布直方图得第一组频率为，，．〔2〕设中位数为，那么，，中位数为32．〔3〕〔i〕5个年龄组的平均数为，方差(fānɡ chà)为．5个职业组的平均数为，方差为．〔ii〕评价：从平均数来看两组的认知程度一样，从方差来看年龄组的认知程度更好20. 函数，函数在上的零点按从小到大的顺序构成数列．〔1〕求数列的通项公式；〔2〕设，求数列的前项和．【答案】〔1〕；〔2〕【解析】试题分析：〔1〕根据二倍角公式化简得到，再根据简单的三角方程及正切函数的图象可得，即可得到数列的通项公式；〔2〕化简，再裂项求法和即可.试题解析：〔1〕，由及得，数列是首项，公差的等差数列，所以．〔2〕，．【方法点晴】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，打破这一难点的方法是根据式子的构造特点，掌握一些常见的裂项技巧：①；②；③；④；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或者多项的问题，导致计算结果错误.21. 在四棱锥(léngzhuī)中，,，，为的中点，为的中点，．〔1〕求证：平面；〔2〕取中点,证明：平面；〔3〕求点到平面的间隔 .【答案】〔1〕见解析；〔2〕见解析；〔3〕【解析】试题分析：〔1〕由三角形中位线定理可得∥，在根据线面平行的断定定理可得结果；〔2〕根据等腰三角形的性质可得.，先证明∥，再证明，所以，因此，从而可得结论；〔3〕设点到平面的间隔为，利用等积变换可得，从而可得结果.试题解析：〔1〕因为为的中点，为的中点，那么在中，∥，平面, 平面, 那么∥平面〔2〕证明(zhèngmíng): 取中点，在中，，那么．而，那么在等腰三角形中.①又在中，, 那么∥因为，，那么，又，即，那么，所以，因此．②又，由①②知〔3〕在中，,，又∥，，平面，即为三棱锥的高，，在中，，，设点到平面的间隔为，那么，，即点到平面的间隔为.22. 圆的圆心为，直线.〔1〕假设，求直线被圆所截得弦长的最大值；〔2〕假设直线是圆上方的切线，当上变化时，求的取值范围.【答案】〔1〕；〔2〕【解析】试题分析：〔1〕将圆的方程化为HY方程，求的圆心坐标和半径，再求得圆心到直线的间隔，由圆的弦长、圆心距和圆的半径之间，利用弦长的关系式，再利用二次函数的性质，即可求解弦长的最大值；〔2〕由直线与圆相切，建立和的关系式，由，在由点圆心在直线的下方，将转化为关于的二次函数，即可求解的取值范围．试题(shìtí)解析：〔1〕∵，∴，∴圆心为，半径为，设直线被圆所截得弦长为〔〕，圆心到直线的间隔为，时，直线：，圆心到直线的间隔，，又，所以当时，直线被圆所截得弦长的值最大，其最大值为．〔2〕圆心到直线的间隔，∵直线是圆的切线，∴，即,∴，∵直线在圆心的下方，∴，∵，∴．考点：直线和圆的方程的应用．【方法点晴】此题主要考察了直线与圆的位置关系及其方程的应用，其中解答中涉及到直线与圆相切构建函数的模型，利用二次函数的性质求解参数的取值范围，以及直线与圆相交，由圆心距、半径和圆的弦长构成成的直角三角形的应用，着重考察了学生分析问题和解答问题的才能，以及转化思想的应用，其中熟记圆的性质和直线与圆的位置关系是解答的关键，试题涉及知识点多，需灵敏运用，属于中档试题．内容总结（1）2021-2021学年第一学期十四县〔〕期中联考高二年级数学〔文科〕试卷一、选择题：(本大题一一共12个小题,每一小题5分,一共60分,在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.)1. 总体由编号为01,02,（2）〔2〕假设直线是圆上方的切线，当上变化时，求的取值范围.【答案】〔1〕。

2019-2020学年浙江省温州新力量联盟高二上学期期中联考数学试题一、单选题1．设集合{}1,2,5,6A =，{}2,4B =，{}1,2,3,4C =，则()A B C =（ ）A ．{}2B ．{}1,2,4C ．{}1,2,4,5D ．{}1,2,3,4,6【答案】B【解析】由集合的运算直接计算即可得出答案. 【详解】 由题意可得:{}1,2,4,5,6A B =,∴(){}1,2,4A B C =.故选:B. 【点睛】本题考查了集合间的运算,属于基础题.2．函数()21xf x x =-的定义域是（ ） A ．()1,-+∞ B ．()()1,11,-+∞U C ．[)1,-+∞D ．[)()1,11,-+∞【答案】D 【解析】由1010x x +≥⎧⎨-≠⎩联立即可解得定义域.【详解】1010x x +≥⎧⎨-≠⎩,11x x ≥-⎧∴⎨≠⎩,可得函数定义域为:[)()1,11,-⋃+∞ 故选D ． 【点睛】本题考查了函数定义域的求法,掌握负数没有平方根以及零不能作为分母是解决本题关键,属于基础题.3．已知函数()1f x x x=+，则函数()y f x =的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】利用奇偶性排除排除,A C ，令1x =-排除D ，从而可得结果. 【详解】11()||||f x x x x x-=-+=--，即函数()f x 为非奇非偶函数， 图象不关于原点对称，排除,A C ； 令1x =-，则()0f x =，排除D ，故选B. 【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.4．函数()y Asin x ωϕ=+的部分图象如图所示，则（ ）A ．2sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭B ．2sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．2sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．2sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭【答案】A【解析】由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出w ，由五点法作图求出ϕ的值，可得函数的解析式． 【详解】根据函数()y Asin x ωϕ=+的部分图象，可得2A =，236T πππω==+，解得2w =，再根据五点法作图，可得232ππϕ⨯+=，解得6πϕ=-，故()226f x sin x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 故选A ． 【点睛】本题主要考查由函数()y Asin x ωϕ=+的部分图象求解析式，其中解答中函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出w ，由五点法作图求出ϕ的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．5．若x ，y 满足约束条件1030330x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩，则3z x y =-的最小值为（ ）A ．2-B ．1C ．1-D ．0【答案】C【解析】由不等式组作出可行域,根据目标函数的几何意义求解最值. 【详解】由题意画出可行域,如图所示,由3z x y =-得3y x z =-,要使z 取最小值,只需截距最大即可,故直线过()0,1A 时,z 最小.min 3011Z ∴=⨯-=-.故选:C. 【点睛】本题考查了线性规划的基本应用,利用数形结合以及目标函数的几何意义是解决此类问题的方法,属于基础题.6．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，1112n n a S a +＝，＝， 则n S ＝( )A ．12n -B ．13()2n -C ．12()3n - D ．112n - 【答案】B【解析】利用公式1n n n a S S -=-计算得到11323,2n n n n S S S S ++==，得到答案. 【详解】由已知1112n n a S a +==，，1n n n a S S -=- 得()12n n n S S S -=-，即11323,2n n n n S S S S ++==， 而111S a ==，所以13()2n n S -=.故选B. 【点睛】本题考查了数列前N 项和公式的求法，利用公式1n n n a S S -=-是解题的关键. 7．设0a >，0b >，若直线2ax by +=平分圆C ：()()22111x y -+-=，则11a b+的最小值为（ ） A ．1 B ．2C ．4D ．14【答案】B【解析】由直线平分圆,可得圆心在直线上即得2a b +=,然后利用基本不等式即可求得11a b+的最小值. 【详解】直线2ax by +=过圆心()1,1,2a b ∴+=,()1111112222b a a b a b a b a b ⎡⎤⎛⎫⎡⎤+=+⋅+=++≥ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦（当且仅当a b =取等号）. 故选:B. 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系,考查了基本不等式的应用,属于基础题. 8．若一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A 、32π B 、π+ C 、32π D 、52π【答案】C【解析】试题分析：由三视图，可知该几何体是一个圆锥的一半（沿轴截面截得），其中底面圆的半径为1，高为3，母线长为2，其表面积是半圆面、轴截面和曲面的一半的面积之和，则该几何体的表面积323122132211212+=⨯⨯+⨯⨯+⨯=πππS ；故选C ．【考点】1．三视图；2．几何体的表面积． 9．设函数()212019f x x x=-+，则使得()()21f x f x >-成立的x 的取值范围是（ ） A ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()1,1,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭C ．11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．11,,33⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U【答案】A【解析】由函数解析式可得函数为偶函数且在()0,∞+上为增函数,则可得21x x >-,然后解绝对值不等式即可得出答案. 【详解】函数是偶函数且在()0,∞+递增，()()21fx f x ∴>-，21x x ∴>-，解得1,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．故选:A. 【点睛】本题考查了函数奇偶性和单调性的综合应用,属于中档题.10．已知AB AC ⊥，1AB t=，AC t =，若P 点是ABC 所在平面内一点，且4AB AC AP ABAC=+，则·PB PC 的最大值等于（ ）. A ．13 B ．15C ．19D ．21【答案】A【解析】以A 为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则1(,0)B t，(0,)C t ，10)4(0,1)(1,4)AP =+=（，，即14)P （，，所以114)PB t=--（，，14)PC t =--（，，因此PB PC ⋅11416t t =--+117(4)t t =-+，因为144t t +≥=，所以PB PC ⋅的最大值等于13，当14t t =，即12t =时取等号．【考点】1、平面向量数量积；2、基本不等式．二、填空题11．设两直线1L ：10mx y ++=；2L ：20x my ++=．若12L L ，则m =________；【答案】1m =或1m =-.【解析】由直线平行,可得两条直线的斜率相等,排除重合情况,即可得出参数的值. 【详解】12L L ,21m ∴=,1m ∴=或1m =-,经检验符合题意.故答案为:1m =或1m =-. 【点睛】本题考查了根据直线平行求参数的问题,忽略直线重合的情况是解决此类问题容易犯的错误,属于基础题.12．已知函数()sin cos 2f x x x x =，则函数()y f x =的周期为________．函数()y f x =在区间0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭上的最小值是________．【答案】π. . 【解析】由二倍角公式结合两角和差公式可将原函数化简为()sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭,利用周期公式2T πω=即可求出函数周期;由题意求出23x π-的范围,然后利用函数图像求解最小值. 【详解】()1sin 22sin 223f x x x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭,T π∴=.[0,)2π∈x ，22[,)333πππ∴-∈-x ．∴当233x ππ-=-即0x =时，()f x 取得最小值．故答案为:π;2-【点睛】本题考查了三角函数的化简,求周期以及三角函数求最值,二倍角公式以及三角和差公式的准确掌握是解决本题的关键,属于一般难度的题.13．已知数列{}n a 满足2518a a +=，3432a a =，若{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，则6S =________，若{}n a 为单调递减的等比数列，其前n 项和为63n T =，则n =________．【答案】54. 6.【解析】当数列是等差数列时,则利用等差数列的性质162518a a a a +=+=,可直接求6S ;当数列是等比数列时,则利用等比数列的性质253432a a a a ==,结合2518a a +=可以将25,a a 转化为一元二次方程的根,求出2a 和5a ,且利用递减等比数列即25a a >,求得首项和公比,利用等比数列前n 和公式即可求得结果. 【详解】若{}n a 为等差数列,则162518a a a a +=+=, ()1666542a a S +∴==; 若{}n a 为等比数列,253432a a a a ∴==,2a ∴,5a 是方程218320x x -+=两根．n a 为单调递减等比数列，216a ∴=，52a =,12q ∴=,132,a =1321263112nn T ⎛⎫- ⎪⎝⎭==-，6n ∴=.故答案为:54;6. 【点睛】本题考查了等差数列和等比数列的性质,熟练掌握数列的相关计算公式是解题的关键,考查了学生的转化及计算能力,属于一般难度的题.14．已知向量a ,b ,c 是同一平面内的三个向量,其中()1,3a =．若2b =,且ba ,则向量b 的坐标________.若2c =,且()()23a c a c +⊥-,则a c ⋅________． 【答案】()1,3b =，或(1,b =-. 2.【解析】利用平行向量的概念设λb a =,再利用向量b 的模即可求出λ的值,进而求出向量b 的坐标;利用垂直的两个向量的数量积为零即()()203=+⋅-a c a c ,化简结合a 和c 的模即可求出答案.【详解】由b a ,令(),3b a λλλ==,,得2=1λ,=1λ∴±．()1,3b ∴=或(1,b =-;()()23a c a c +⊥-,()()230a c a c ∴+=⋅-．化简得222324322⋅=-=⨯-⨯=a c a c ． 故答案为: ()1,3b =或(1,b =-;2. 【点睛】本题考查了向量的平行关系和垂直关系,属于基础题.15．已知定点()0,0O ，()3,0A 且2MO MA =，则动点M 的轨迹方程________． 【答案】()2244x y -+=.【解析】设点(),M x y ,由题中等量关系2MO MA =利用两点之间距离公式可得()222243x y x y ⎡⎤+=-+⎣⎦,化简即得答案.【详解】设(),M x y ,根据题意得到方程()222243x y x y ⎡⎤+=-+⎣⎦,解得()2244x y -+=.故答案为:()2244x y -+=. 【点睛】本题考查了动点轨迹方程的求解问题,熟练掌握两点之间距离公式是解题的关键,属于基础题.16．已知矩形ABCD ，22AB AD ==，沿AC 翻折，使面ADB ⊥面ABC ，则二面角B AD C --的余弦值为________．【解析】分析翻折前后的变量与不变量,利用面面垂直的性质定理可得BC BD ⊥,求得BD =再利用二面角平面角的定义结合题中已知条件判断BDC ∠为B AD C--的二面角平面角,最后在直角三角形BCD 中由cos ∠=BDBDC CD即可求出答案. 【详解】因为ADB ⊥面ABC ，BC AB ⊥，所以BC ⊥面ADB ，BC BD ⊥，BD =，所以AD DB ⊥，又AD DC ⊥，所以BDC ∠为B AD C --的二面角平面角，所以cos 2BDC ∠=．故答案为【点睛】本题重点考查了二面角的平面角的证明与求解计算,考查了学生对平面图形翻折前后的变量与不变量的分析,属于一般难度的题. 17．已知t R ∈，记函数()42f x x t t x =+-++在[]1,2-的最大值为3，则实数t 的取值范围是________． 【答案】52t ≤. 【解析】令42x a x +=+由[]1,2x ∈-,利用基本不等式可求得[]2,3a ∈, 分别讨论2t ≤, 23t <<, 3t ≥对应的解析式,结合最值求参数t 的取值范围.【详解】令42x a x +=+,由[]1,2x ∈-,利用基本不等式4422222x x x x +=++-≥++, 当且仅当422x x +=+,即0x =时取等号,当1x =-时3a =,当2x =时3a =,所以[]2,3a ∈,问题转化为求函数y a t t =-+,在[]2,3a ∈上的最大值为3,当2t ≤时,函数3y a t t a =-+=≤,所以3max y =恒成立; 当23t <<时,由函数的最大值在端点处取得则22233max t t t y t t ⎧-+=-⎪=⎨-+=⎪⎩,令223t -=得52t =,所以t 得取值范围为:52?2t <<; 当3t ≥时,函数2y a t t t a =-+=-,此时2a =时223max y t =-=得52t =不成立; 综上所述,满足要求的t 得取值范围为52t ≤. 故答案为:52t ≤. 【点睛】本题考查了函数最值问题,通过换元将函数转化为绝对值函数在闭区间上最大值的问题,对参数取值范围的讨论是解题的关键,属于难题.三、解答题18．已知a ，b ，c 分别是ABC ∆内角A ，B ，C 的对边，2sin 2sin sin B A C =． （1）若a b =，求cos B ；（2）若60B =︒，ABC ∆b ．【答案】（1）14；（2）2b =. 【解析】(1)由正弦定理将题中关系式2sin 2sin sin B A C =角化边即22b ac =,然后利用余弦定理即可求得结果;(2)利用(1)得22b ac =结合正弦定理三角形面积公式即可得出结果.【详解】（1）由题设及正弦定理可得22b ac =.又a b =，可得2b c =,2a c =, 由余弦定理可得2221cos 24a cb B ac +-==. （2）由（1）知22b ac =.因为60B =︒,1sin 2S ac B ∆==,2ac ∴=,2b =. 【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中应用,属于基础题.19．已知圆C 经过两点()1,3P --，()2,6Q ，且圆心在直线240x y +-=上，直线l 的方程()()110x m y m R +-+=∈．（1）求圆C 的方程；（2）求直线l 被圆C 截得的弦长最短时的方程．【答案】（1）2242200x y x y +---=；（2）1x =-.【解析】(1)用待定系数法求解,设圆的一般方程220x y Dx Ey F ++++=,根据题意列出关于D,E,F 的三元一次方程组,求解即可;(2)由(1)求得圆的圆心()C ,a b 和半径r ,求出圆心到直线l 的距离d ,利用直线与圆相交所得弦的弦长公式写出表达式求出参数的值.【详解】（1）设圆C 的方程为220x y Dx Ey F ++++=,由条件,得193043626024022D E F D E F D E ⎧⎪+--+=⎪⎪++++=⎨⎪⎛⎫⎛⎫⎪-+⨯--= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩,解得4220D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩．∴圆的方程为2242200x y x y +---=．（2）由(1)得圆心()C 2,1,半径5r =,由点到直线的距离公式可得圆心到直线l : ()()110x m y m R +-+=∈的距离d =,所以由直线与圆相交所得弦的弦长公式可得弦长为:,当0m =时弦长最短，此时直线方程为1x =-．【点睛】本题考查了圆的方程的求法,考查了直线和圆交点弦弦长公式的应用,求圆的方程一般有如下两种方法,(1)几何法:根据圆的几何性质,直接求出圆心坐标和半径,进而求出圆的方程;(2)待定系数法:首先根据题意,设出标准方程或一般方程;然后根据题意列出有关,,a b r 或D,E,F 的方程;最后解方程组求出,,a b r 或D,E,F,代入标准方程或一般方程即可.属于中档题.20．已知{}n a 是递增的等差数列，2a ，4a 是方程的根. （1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和. 【答案】（1）112n a n =+;（2）1422n n n S ++=-. 【解析】（1）方程的两根为2,3，由题意得233,2a a ==，在利用等差数列的通项公式即可得出；（2）利用“错位相减法”、等比数列的前n 项和公式即可求出．【详解】方程x 2－5x ＋6＝0的两根为2，3.由题意得a 2＝2，a 4＝3.设数列{a n }的公差为d ，则a 4－a 2＝2d ，故d ＝12，从而得a 1＝32.所以{a n }的通项公式为a n ＝12n ＋1. （2）设2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为S n ， 由（1）知n na 2＝122n n ++， 则S n ＝232＋342＋…＋12n n +＋122n n ++， 12S n ＝332＋442＋…＋112n n ++＋222n n ++， 两式相减得12S n ＝34＋311122n +⎛⎫+⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭－222n n ++ ＝34＋111142n -⎛⎫- ⎪⎝⎭－222n n ++， 所以S n ＝2－142n n ++. 【考点】等差数列的性质；数列的求和．【方法点晴】本题主要考查了等差数列的通项公式、“错位相减法”、等比数列的前n 项和公式、一元二次方程的解法等知识点的综合应用，解答中方程的两根为2,3，由题意得233,2a a ==，即可求解数列的通项公式，进而利用错位相减法求和是解答的关键，着重考查了学生的推理能力与运算能力，属于中档试题．21．如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面为直角梯形,AD ∥BC,∠BAD=90°，PA ⊥底面ABCD ，且PA ＝AD=AB=2BC ，M 、N 分别为PC 、PB 的中点.（1）求证：PB ⊥DM ；（2）求CD 与平面ADMN 所成角的正弦值．【答案】（1）证明：设BC=1P （0，0，2） B （2，0，0） D （0，2，0） C （2，1，0） M （1，12，1） (2,0,2)PB =- 3(1,,1)2DM =- 0PB DM ∴⋅= ∴PB ⊥DM（2）(2,1,0)CD =- (0,2,0)AD = 1(1,,1)2AM = 设平面ADMN 的法向量(,,)n x y z = 0002002y n AD y y x x z n AM =⎧⎧⋅==⎧⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨=-++=⋅=⎩⎪⎪⎩⎩ 取z=-1 (1,0,1)n ∴=-设直线CD 与平面ADMN 成角为θsin |cos ,|25n CD θ=<>== 【解析】略22．设函数()()()22213f x x a x a a a R =++++∈． （1）若()231f x a a ≥++对任意的[]1,2x ∈上恒成立，求a 的取值范围； （2）若()f x 在区间[],m n 上单调递增，且函数()f x 在区间[],m n 上的值域为[],m n ，求a 的取值范围．【答案】（1）12a ≥-；（2）1012a -≤<. 【解析】(1)由题意分离参数得121a x x +≥-在[]1,2x ∈上恒成立,令()1g x x x =-判断其在[]1,2x ∈上的单调性,由()21max a g x +≥即可求出参数范围;(2)由题意判断,m n 是方程()f x x =在)21,2a x +⎡∈-+∞⎢⎣上的两个不相等的实数根,然后再根据根的判别式,对称轴的位置和端点值的范围联立即可求出参数范围.【详解】（1）由题意()231f x a a ≥++在[]1,2x ∈上恒成立,可得21121-+≥=-x a x x x 在[]1,2x ∈上恒成立, 令()1g x x x =-,易得函数()1g x x x =-在[]1,2递减, 可得()()2110maxa g x g +≥==,即210a +≥即得12a ≥-. （2）因为()()()22213f x x a x a a a R =++++∈在[],m n 上递增且值域为[],m n , 则满足：()()212a mf m m f n n +⎧-≤⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩,则可得方程()f x x =在21,2a +⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上有两个不相等的实数根,m n ,设()()2223F x f x x x ax a a =-=+++, 则22441202122102a a a a a a f ⎧⎪∆=-->⎪+⎪->-⎨⎪⎪+⎛⎫-≥ ⎪⎪⎝⎭⎩联立解得:1012a -≤<． 【点睛】本题考查了函数与方程的综合应用,考查了由值域求参数的问题,准确的将函数问题借助二次函数图像转化为方程根的问题是解题的关键,考查了学生的转化和综合运算能力.。

2022-2023学年浙江省温州新力量联盟高二上学期期中联考数学试题一、单选题1．椭圆6x 2＋y 2＝6的长轴端点坐标为（ ） A ．(－1，0)，(1，0) B ．(－6，0)，(6，0) C ．(－6，0)，(6，0) D ．(0，－6)，(0，6)【答案】D【详解】∵椭圆方程化为标准式为＋x 2＝1， ∴a 2＝6，且焦点在y 轴上， ∴长轴端点坐标为(0，－)，(0，)．2．已知平面α的法向量为()2,3,1a =-，平面β的法向量为()1,0,b k =，若αβ⊥，则k 等于（ ） A ．1 B ．-1C ．2D ．-2【答案】C【分析】根据0a b ⋅=求解即可.【详解】由题知：200a b k ⋅=+-=，解得2k =. 故选：C3．已知直线l1：mx －2y ＋1＝0，l 2：x －(m －1)y －1＝0，则“m ＝2”是“l1平行于l2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】C【分析】利用两直线平行的等价条件求得m ，再结合充分必要条件进行判断即可.【详解】由直线l1平行于l2得－m (m －1)＝1×(－2)，得m ＝2或m ＝－1，经验证，当m ＝－1时，直线l1与l2重合，舍去，所以“m ＝2”是“l1平行于l2”的充要条件， 故选C.【点睛】本题考查两直线平行的条件，准确计算是关键，注意充分必要条件的判断是基础题 4．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，13AA 1AD 与1DB 所成角的余弦值A ．55B ．56C ．55-D ．22【答案】A【解析】以点D 为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法求出余弦值即可. 【详解】以点D 为坐标原点建立如下图所示的空间直角坐标系 ()()()11(1,0,0),1,1,3,0,0,3,0,0,0A B D D ()11,0,3AD =-，1(1,1,3)DB = 11111113cos ,5455AD DB AD DB AD DB -+=⋅==⨯ 由异面直线夹角的范围为0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦，则异面直线1AD 与1DB 所成角的余弦值为55故选：A5．已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为平行四边形，M ，N 分别为棱BC ，PD 上的点，13CM CB =，PN ND =，设AB a =，AD b =，c AP =，则向量MN 用{},,a b c 为基底表示为（ ）A ．1132a b c ++B ．1162a b c -++C ．1132a b c -+D ．1162a b c --+【分析】由图形可得MN MC CD DN =++，根据比例关系可得13MC AD =，12DN DP =，再根据向量减法DP AP AD =-，代入整理并代换为基底向量． 【详解】()111111323262MN MC CD DN AD AB DP AD AB AP AD AB AD AP =++=-+=-+-=--+ 即1162MN a b c =--+故选：D ．6．已知圆C ：22230x y x +--=，若直线l ：ax －y ＋1－a ＝0与圆C 相交于A ，B 两点，则AB 的最小值为（ ） A ．22 B ．23 C ．3D ．52【答案】B【分析】求出直线所过定点，当直线与定点和圆心连线垂直时，弦长最小，由此可得结论． 【详解】易知直线10ax y a -+-=，过定点P (1,1)，圆的标准方程是22(1)4x y -+=，圆心为(1,0)C ，半径为2r =，而12CP =<，所以2222min 222123AB r CP =-=-=．故选：B ．7．已知M 为圆22:(2)36P x y ++=的一个动点，定点()2,0Q ，线段MQ 的垂直平分线交线段PM 于N 点，则N 点的轨迹方程为（ ）A ．2213632x y +=B ．2213236x y +=C ．22195x y +=D ．22159x y +=【答案】C【分析】根据几何关系，找到点N 满足的条件，结合椭圆的定义，直接写出方程即可. 【详解】根据题意，作图如下：故点N 的轨迹是以,P Q 为焦点且长轴长为6的椭圆， 设其方程为22221(1)x y a b a b +=>>，则2,26c a ==，则3a =，故225b a c =-=，则椭圆方程为：22195x y +=. 故选：C.8．如图所示，椭圆中心在原点，F 是左焦点，直线1AB 与BF 交于点D ，且190BDB ∠=︒，则椭圆的离心率为（ ）A 31- B 51- C 512-D 3【答案】B【分析】设左顶点(,0)A a -，左焦点(,0)F c -，上顶点1(0,)B b ，下顶点(0,)B b -，由两点间斜率公式求出直线1AB 的斜率与直线BF 的斜率，由题意，直线1AB 的斜率与直线BF 的斜率的积为1-，联立椭圆中222a b c =+，即可求出椭圆的离心率．【详解】解：设左顶点(,0)A a -，左焦点(,0)F c -，上顶点1(0,)B b ，下顶点(0,)B b -则直线1AB 的斜率为ba ，直线BF 的斜率为b c-，因为190BDB ∠=︒，所以1AB BF ⊥， 所以1b b a c ⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭，即2b ac =，又222a b c =+，所以22a ac c =+， 所以210e e +-=，解得15e -±= 因为01e <<，所以51e -=， 故选：B ．二、多选题9．直线l 过点()1,2P 且斜率为k ，若与连接两点()1,3A --，()3,2B -的线段有公共点，则k 的取值可以为（ ） A ．2- B ．1C ．2D ．4【答案】AD【分析】要使直线l 与线段AB 有公共点，则需PA k k ≥或PB k k ≤，根据两点的斜率公式计算可得选项. 【详解】解：要使直线l 与线段AB 有公共点，则需PA k k ≥或PB k k ≤， 而325112PA k --==--，22231PB k --==--，所以52k ≥或2k ≤-， 所以k 的取值可以为2-或4， 故选：AD10．在正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是11,BC A D 的中点，下列说法正确的是（ ）A ．四边形1B EDF 是菱形 B ．直线AC 与1BC 所成的角为4πC ．直线1AC 与平面ABCD 3D ．平面1A BD 与平面ABCD 6 【答案】AC【分析】利用正方体1111ABCD A B C D -中的平行、垂直关系求解各选项即可. 【详解】设正方体的棱长为a ，选项A ：因为,E F 分别是11,BC A D 的中点，易得1B F DE ∥，1DF B E ∥，又因为2211152DF B E B F DE a a ⎛⎫====+ ⎪⎝⎭，所以四边形1B EDF 是菱形，正确；选项B ：如图所示因为11AC AC ∥，所以直线AC 与1BC 所成角即为11A C 与1BC 所成角， 因为1111AC BC A B ==，所以直线AC 与1BC 所成的角为3π，错误； 选项C ：如图所示因为1CC ⊥平面ABCD ，所以直线1AC 与平面ABCD 所成角即为1C AC ∠，因为22213AC a a a a =++=，所以13sin 33a C AC a∠==，正确； 选项D ：如图所示，设AC 交BD 于O ，由正方体1111ABCD A B C D -，得O 为BD 中点，112A D A B a ==， 所以AO BD ⊥，1AO BD ⊥，因为12AO AC===，1AO==，所以1cos A OA∠==故选：AC.11．已知圆O：x2+y2＝4和圆M：x2+y2－2x+4y+4＝0相交于A、B两点，下列说法正确的是（）A．圆M的圆心为（1，－2），半径为1B．直线AB的方程为x－2y－4＝0C．线段ABD．取圆M上点C（a，b），则2a－b的最大值为4【答案】ABD【分析】化圆M的一般方程为标准方程，求出圆心坐标与半径判断A；联立两圆的方程求得AB的方程判断B；由点到直线的距离公式及垂径定理求得AB的长判断C；利用直线与圆相切求得2a－b 的范围判断D．【详解】由圆M：x2+y2－2x+4y+4＝0，得(x－1)2+(y+2)2＝1，则圆M的圆心为（1，－2），半径为1，故A正确；联立圆O：x2+y2＝4和圆M：x2+y2－2x+4y+4＝0，消去二次项，可得直线AB的方程为x－2y－4＝0，故B正确；圆心O到直线x－2y－4＝0的距离d==O的半径为2，则线段AB的长为=C错误；令t＝2a－b，即2a－b－t＝0，由M（1，－2）到直线2x－y－t＝0的距离等于圆M的半径，1=，解得t＝4∴2a－b的最大值为4D正确．故选：ABD．12．已知椭圆22:1259x yC+=，设12F F､分别为它的左右焦点，A，B分别为它的左右顶点，点P是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（）A ．存在P 使得12π2F PF ∠=B ．12PF F △的内切圆半径最大为43C ．12PF F △的外接圆半径最小为4D ．直线PA 与直线PB 斜率乘积为定值925【答案】ABC【分析】根据椭圆焦点三角形的几何性质逐项判断即可.【详解】解：椭圆22:1259x y C +=，设12,F F 分别为它的左右焦点，A ，B 分别为它的左右顶点所以222225,9,4a b c a b ===-=,如图()5,0A -，()5,0B ，()()124,0,4,0F F -对于选项A ，当P 在左右顶点时，12F PF ∠最小，为0，当P 在上下顶点时，12F PF ∠最大，此时222125587cos 25525F PF +-∠==-⨯⨯，则12F PF ∠为钝角，因此存在P 使得12π2F PF ∠=，故A 正确；对于选项B ，设12PF F △的内切圆半径为r ，则()()1212121122922F PF S PF PF F F r a c r r =++⋅=+=，则当12F PF S 最大时，r 最大又121212F PF P SF F y =，33P y -≤≤，所以()12max max1831292F PF S r =⨯⨯==，则max 43r =， 所以12PF F △的内切圆半径最大为43，故B 正确；对于选项C ，设12PF F △的外接圆半径为R ，由正弦定理得12121282sin sin F F R F PF F PF ==∠∠由选项A 可知，存在P 使得12π2F PF ∠=，所以()12max sin 1F PF ∠=，所以()min 28R =，则12PF F △的外接圆半径最小为4，故C 正确；对于选项D ，设()00,P x y ，则有22001259x y +=，于是有22009925x y =- 所以2020002200009992555252525PA PB x y y y k kx x x x -⋅=⋅===-+---，则直线PA 与直线PB 斜率乘积为定值925-，故D 错误.故选：ABC.三、填空题13．已知向量()2,,4a m =-，()1,4,2b =-，且a b ∥，则实数m =______. 【答案】8-【分析】利用向量平行的条件直接解出m .【详解】因为向量()2,,4a m =-，()1,4,2b =-，且a b ∥， 所以24142-==-m ，解得8m =-. 故答案为：8- .14．已知直线1:240l x y +-=与直线2:2470l x y ++=，则12,l l 之间的距离为___________.【分析】由题可得12l l ∥，按照平行线间的距离公式求解即可. 【详解】解：直线1:240l x y +-=与直线2:2470l x y ++=， 其中1:2480l x y +-=，则12l l ∥所以12,l l==.. 15．已知圆22:2210C x y x y +--+=，直线:40l x y +-=，若在直线l 上任取一点M 作圆C 的切线,MA MB ，切点分别为,A B ，则ACB ∠最小时，原点O 到直线AB 的距离为___________.【分析】根据题意，ACB ∠最小时可转化为||CM 最小，即CM l ⊥，此时四边形CAMB 为正方形，据此可求出结果.【详解】由22:2210C x y x y +--+=可得:C 22(1)(1)1x y -+-=， 即半径||1AC =，圆心(1,1)C ，如图，由切线性质可知AC AM ⊥， ||1cos ||||AC CM CM ACM ==∴∠，则ACB ∠最小时，cos ACM ∠最大，即||CM 最小， 所以CM l ⊥， |114|||22CM +-∴==，故四边形CAMB 为正方形， 所以2||2CN =，又1OC CM k k ==，故,,O C N 共线， 所以原点O 到直线AB 的距离为232||||||222ON OC CN =+=+=. 故答案为：32216．已知椭圆22143x y +=的左､右焦点分别为12F F ､，点P 在椭圆上且在x 轴的下方，若线段2PF 的中点在以原点O 为圆心，2OF 为半径的圆上，则直线2PF 的斜率为___________. 【答案】3【分析】由题意画出图形，由椭圆定义结合三角形中位线定理即可求解. 【详解】如图，设线段2PF 的中点为M ，连接OM ，连接1PF ，则1OM PF ， 因为椭圆的方程为22143x y +=，所以222224,3,1a b c a b ===-=， 即2,3,1a b c ===，因为1OM OF F P c ===，所以2211(22)122F M PF a c a c ==-=-=，所以2MF O △是等边三角形，则23MF O π∠=，所以直线2PF 的斜率为tan 3π=四、解答题17．已知平面内两点()6,6A -，()2,2B .（1）求线段AB 的中垂线方程；（2）求过()2,3P -点且与直线AB 平行的直线l 的方程.【答案】（1）280x y --=；（2）210x y +-=.【分析】（1）利用中点坐标公式以及两直线垂直时斜率间的关系即可得到中垂线方程； （2）利用平行直线斜率相等以及点斜式即可得到直线l 的方程.【详解】（1）因为()6,6A -，()2,2B ，所以线段AB 中点()4,2-，因为()26226AB k --==--，所以线段AB 的中垂线的斜率为12， 所以线段AB 的中垂线方程为：()1242y x +=-，即280x y --=； （2）因为直线l 与直线AB 平行，所以2l AB k k ==-，又因为过()2,3P -，所以直线l 的方程为：()322y x +=--，即210x y +-=.18．已知圆O ：2268240x y x y +--+=.（1）圆O 的圆心和半径；（2）已知点()2,0P ，过点P 作圆O 的切线，求出切线方程.【答案】（1）圆的圆心为()3,4，半径为1；（2）2x =和158300x y --=.【分析】（1）将圆化为标准方程即可得出圆心和半径；（2）易得斜率不存在时满足，斜率存在时，设出直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出斜率可得.【详解】（1）由2268240x y x y +--+=可得()()22341x y -+-=，故圆心为()3,4，半径为1；（2）当直线斜率不存在时，方程为2x =，显然与圆相切，当直线斜率存在时，设斜率为k ，则直线方程为20kx y k --=， 根据相切可得圆心到直线的距离等于半径，即2411k k -=+，解得158k =，则切线方程为158300x y --=，综上，切线方程为2x =和158300x y --=.19．如图，在直三棱柱111ABC A B C 中，90BAC ∠=︒， 12,AB AC AA ===E 是BC 中点.(1)求点1A 到平面1AEC 的的距离； (2)求平面1AEC 与平面11ABB A 夹角的余弦值；【答案】233 【分析】（1）以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，1AA 为z 轴建立空间直角坐标系，求出平面1AEC 的法向量为n ，再利用公式1||||AA n n ⋅计算即可； （2）易得平面11ABB A 的法向量为AC ，设平面1AEC 与平面11ABB A 的夹角为θ，再利用cos |cos ,|AC n =<>θ计算即可．【详解】（1）解：（1）以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，1AA 为z 轴建立空间直角坐标系 所以111(0,0,0),(0,0,2),(2,0,0),(2,0,2),(0,2,0),(0,2,2),(1,1,0),A A B B C C E因为1(1,1,0),(0,2,2)AE AC ==，1(0,0,2)AA =设平面1AEC 的法向量为(,,)n x y z =， 则有100AE n AC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得00x y y z +=⎧⎨+=⎩， 令1,y =-则1,1x z ==，所以可以取(1,1,1)n =-，设点1A 到平面1AEC 的距离为d ，则1||223||33AA n d n ⋅===， 所以点1A 到平面1AEC 的的距离的距离为233； （2）（2） 因为AC ⊥平面11ABB A ，取平面11ABB A 的法向量为(0,2,0)AC =设平面1AEC 与平面11ABB A 的夹角为θ，所以||3cos |cos ,|3||||AC n AC n AC n θ⋅=<>==． 平面1AEC 与平面11ABB A 夹角的余弦值33．20．已知直线1y x =-+与椭圆()222210x y a b a b +=>>相交于A ，B 两点． （132，求椭圆的方程； （2）在（1）的椭圆中，设椭圆的左焦点为1F ，求线段AB 的长及1ABF 的面积．【答案】（1）22132x y +=；（246． 【分析】（132，建立方程求解参数,,a b c 从而求得椭圆的方程； （2）直线与椭圆的方程联立，利用韦达定理可求得线段AB 长度，求出点1F 到直线AB 的距离，即可求得1ABF 的面积．【详解】（132，所以3c a =22c = 得3,1a c ==，所以2222b a c =-=，则椭圆的方程为22132x y +=；（2）联立方程组221132y x x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩得25630x x --= 设()11,A x y ，()22,B x y 则1265x x +=，1235x x =-，所以26128311555AB ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭由（1）知左焦点为()11,0F -，直线AB 方程为10x y +-=，所以点1F 到直线AB 的距离为101211d ---==+则1ABF 的面积为11834622255S AB d =⋅=⨯⨯=． 【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．21．如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是边长为2的菱形,o =60ADC ∠,平面PBC ⊥平面ABCD ,且侧面PBC 为等边三角形.E 为线段BC 的中点.(1)求证:直线BC PA ⊥;(2)在线段AP 上是否存在点F ,使得直线EF 与平面PAC 所成角的正弦值为35. 【答案】(1)证明见解析(2)存在【分析】(1)连接,PE AE ,通过一个顶角60的菱形得到AE BC ⊥,又有PE BC ⊥得到BC ⊥平面PAE 即可证明结果;(2)根据题意建立空间直角坐标系,设出F 点坐标,通过向量求平面PAC 法向量与EF 的夹角正弦值,使其等于35,得出F 点坐标即可.【详解】（1）证明:连接,PE AE ,如图所示:因为三角形PBC 为正三角形,PE BC ⊥,又四边形ABCD 为菱形,且60ADB ∠=,所以ABC 也是正三角形,所以AE BC ⊥,,,AE PE E AE PE =⊂平面PAE ,BC ∴⊥平面PAE ,又PA ⊂平面,PAE BC PA ∴⊥;（2）由平面PBC ⊥平面ABCD ,及PE BC ⊥可得,PE ⊥平面ABC .直线,,EA EB EP 两两垂直,以E 为原点,直线,,EA EB EP 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系如图所示,菱形ABCD 边长为2,所以可求得)()(()3,0,0,0,0,0,3,0,1,0A E P C -, ()()(3,1,0,0,1,3,3,0,3CA CP PA ===, 设平面PAC 的法向量为(),,n x y z =, 则3030n CA x y n CP y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩, 取1,3,1z y x ==-=,可得其中一个法向量()1,3,1n =-,因为F 是线段PA 上的点,所以存在实数()01λλ≤≤, 使得()3,0,3PF PA λλλ==-, EF EP PF EP PA λ=+=+()()0,0,33,0,3λλ=+- (3,0,33)λλ=-,设直线EF 与平面PAC 所成的角为θ, 则sin cos ,EF nEF n EF nθ⋅==⋅ 2233513133(1)λλ==++⋅+-, 解得13λ=或23λ=, 所以线段PA 上存在点F 满足题意,且F 为线段PA 的两个三等分点.22．如图，,A B 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的两个顶点，5AB =，直线AB 的斜率为1,2M -是椭圆C 长轴上的一个动点，设点(),0M m .(1)求椭圆的方程；(2)设直线:2l x y m =-+与,x y 轴分别交于点,M N ，与椭圆相交于,C D ，探究OCM 的面积与ODN △的面积的关系；并且证明.【答案】(1)2214x y += (2)OCM 的面积等于ODN △的面积，证明见解析【分析】（1）根据,0,0,A a B b ，以及5AB 直线AB 的斜率为12-，解得,a b 从而得椭圆方程； （2）设()()1122,,,C x y D x y ，将直线方程代入椭圆消去y ，得到关于x 的一元二次方程，从而得到1212,x x x x +，根据两个三角形面积坐标表达式，从而可判断OCM 的面积与ODN △的面积的关系.【详解】（1）解：,A B 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两个顶点，且AB AB 的斜率为12-，由,0,0,A a B b ，得AB 又0102b b k a a -==-=--，解得2,1a b ==， ∴椭圆的方程为2214x y +=； （2）解：OCM 的面积等于ODN △的面积，理由如下：直线l 的方程为2x y m =-+，即122m y x =-+，设()()1122,,,C x y D x y 其代入2214x y +=，消去y ，整理得222240x mx m -+-=. 212121,22x x m x x m ∴+==-. 记OCM 的面积是1,S ODN 的面积是2S .由题意(),0,0,2m M m N ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 12x x m +=，111212222m y x x m x ⎛⎫∴=-+=-+= ⎪⎝⎭， 1211,222OCM ODN m S m y S x ==. OCM ∴的面积等于ODN △的面积；。

2022-2023学年浙江省温州市高二年级上学期期中考试数学试题（答案在最后）一、单选题（本大题共8题，每题5分，共40分）1. 设集合{|(5)0}A x x x =-<，{|01}B x x =<<，则()R A B ⋂等于( )A. {|15}x x <B. {|1}x xC. {|5}x x <D. {|15}x x <2. 若a ，b R ∈，则“复数z a bi =+为纯虚数(i 是虚数单位)”是“0b ≠”的( )A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件3. 向量a ，b 分别是直线1l ，2l 的方向向量，且(1,3,5)a =，(,,2)b x y =，若12//l l ，则a b ⋅=( )A. 12B. 14C. 16D. 184. 已知定义域为R 的奇函数()f x ，满足(1)(1)f x f x +=-，且当[0,1]x ∈时，()21xf x =-，则(7)f 的值为( )A. 1-B. 0C. 1D. 25. 若圆锥的表面积为3π，其侧面展开图为一个半圆，则下列结论正确的为( )A. 圆锥的母线长为1B. 圆锥的底面半径为2C. D. 圆锥的侧面积为π6. 在三棱锥D ABC -中，AC BD =，且AC BD ⊥，E ，F 分别是棱CD ，AB 的中点，则EF 和AC 所成的角等于( )A. 30︒B. 45︒C. 60︒D. 90︒7. 已知lg 2a =， 1.52b -=，2023sin8c π=，则( ) A. c b a >> B. b a c >> C. a b c >> D. c a b >>8. 在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 满足11111B P xB A yBC zB D =++，且1x y z ++=，直线1B P 与平面1ACD 所成角为3π，若二面角1P AD B --的大小为θ，则tan θ的最大值是( )A. B.C.D. 二、多选题（本大题共4题，每题5分，共20分）9. 设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的有( )A. 若//m β，//n β，m ，n α⊂，则//αβB. 若n α⊥，m α⊥，则//m nC. 若//m n ，n α⊂，则//m αD. 若m n ⊥，n α⊥，m α⊂/，则//m α10. 已知2,0,()1,0x x f x x ⎧<=⎨⎩，对于a ∀，b R ∈，下述结论正确的是( )A. (2022)1f =B. ()()()f ab f a f b =+C. ()()()f a b f a f b +D. ()()()f ab f a f b =11. 已知1F ，2F 为双曲线22:13y C x -=的两个焦点，P 为双曲线C 上任意一点，则( )A. 12||||PF PF -=B. 21||23PF PF +C. 双曲线C 的离心率为3D. 双曲线C 的渐近线方程为3y x =±12. 在正三棱锥P ABC -中，2AB =，PA a =，E ，F 分别为BC ，PC 的中点，若点Q 是此三棱锥表面上一动点，且QF PE ⊥，记动点Q 围成的平面区域的面积为S ，三棱锥P ABC -的体积为V ，则( )A. 当a =3V =B. 当2a =时，4V =C. 当a =2S =D. 当2a =时，4S =三、填空题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13. 将函数2sin()3y x π=+的图象向右平移(0)m m >个单位长度后的图象过原点，则m 的最小值是__________.14. 若点(2,8)在幂函数()bf x ax c =+的图象上，则a b c ++的值为__________. 15. 已知四面体ABCD 中，112AB AD BC ===，AB ⊥平面ACD ，CD ⊥平面ABD ，则四面体ABCD 外接球的半径是__________16. 已知1F ，2F 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点，P 是椭圆C 上一点，若线段1PF 上有且只有中点Q 满足1||2||(QF QO =其中O 是坐标原点)，则椭圆C 的离心率是__________.四、解答题（本大题共6题，共70分）17. 已知圆C 的圆心在x 轴上，且经过点(1,0)A -，(1,2).B(1)求圆C 的标准方程;(2)若过点1(,1)2P 的直线l 与圆C 相交于M ，N 两点，且||23MN =，求直线l 的方程.18. 已知函数22()log log .24x x f x =⋅ (1)求函数()f x 的值域;(2)若对任意的[2,4]x ∈，不等式2(2)log 40f x a x -⋅+恒成立，求实数a 的取值范围.19. 某校对2022学年高二年级上学期期中数学考试成绩(单位：分)进行分析，随机抽取100名学生，将分数按照[30,50),[50,70),[70,90),[90,110),[110,130),[130,150]分成6组，制成了如图所示的 频率分布直方图：(1)估计该校高二年级上学期期中数学考试成绩的第80百分位数;(2)为了进一步了解学生对数学学习的情况，由频率分布直方图，成绩在[50,70)和[70,90)的两组中，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生至少有1人成绩在[50,70)内的概率.20. 已知四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，AB BC ⊥，4AB PA ==，2BC CD ==，26PB =2 2.PD =(1)求证：;AD BP ⊥(2)求直线PC 与平面PBD 所成角的正弦值.21. 在①(sin sin cos )cos 0b B C C c C +++=，②sin(2)cos 2sin 1A B B A ++-=这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答.已知ABC 的内角A ，B ，C 的所对的边分别为a ，b ，c ，__________.(1)若6B π=，求;A(2)求cos cos cos A B C ++的最大值.22. 已知点P 在圆22:6O x y +=上运动，过点P 作x 轴的垂线段PQ ，Q 为垂足，动点M 满足3.PQ MQ =(1)求动点M 的轨迹方程;E(2)过点(0,1)的动直线l 与曲线E 交于A ，B 两点，与圆O 交于C ，D 两点， ()i 求||||AB CD ⋅的最大值;()ii 是否存在定点T ，使得TA TB ⋅的值是定值?若存在，求出点T 的坐标及该定值;若不存在，请说明理由.答案和解析1.【答案】D【解析】解：由(5)0x x -<，解得0 5.{|05}.x A x x <<∴=<<{|0RB x x =或1}x ，(){|15}.R A B x x ∴⋂=<2.【答案】B【解析】解：若复数z a bi =+为纯虚数0a ⇔=，且0b ≠，0a =，且0b ≠可推出0b ≠，但0b ≠，不一定得到0a =，且0b ≠，∴“复数z a bi =+为纯虚数”是“0b ≠”的充分不必要条件．3.【答案】B【解析】解：12//l l ，||a b ∴，∴存在非零实数k ，使得b ka =，，解得25x =，65y =，即26(,,2)55b =， 2626(1,3,5)(,,2)135214.5555a b ∴⋅=⋅=⨯+⨯+⨯=4.【答案】A【解析】解：()f x 满足(1)(1)f x f x +=-，由函数对称性可知()f x 关于1x =对称， 且(2)()f x f x +=-，由奇函数性质可知()()f x f x -=-，所以(2)()f x f x +=- 可得(4)(2)()f x f x f x +=-+=，所以()f x 是以4为周期的周期函数， 则(7)(421)(1)(1)f f f f =⨯-=-=-当01x 时()21xf x =-，所以1(1)211f =-=，所以(7)(1) 1.f f =-=-5.【答案】C【解析】解：设圆锥的底面半径为r ，母线为l ，由于其侧面展开图是一个半圆， 则12r 2l 2ππ=⨯，即2l r =，又圆锥的表面积为3π， 所以表面积22rl r 3r 3S πππ=+==，解得1r =，得母线长2l =，则圆锥的高223h l r -= 所以侧面积2S rl ππ==侧，体积2113r h 13.33V ππ==⨯= 6.【答案】B【解析】解：如图所示：取BC 的中点G ，连接FG ，.EGE ，F 分别是CD ，AB 的中点， //FG AC ∴，//EG BD ，且12FG AC =，1.2EG BD = 又AC BD =，FG EG ∴=，EFG ∴∠为EF 与AC 所成的角(或其补角). AC BD ⊥，FG EG ∴⊥，90FGE ∴∠=︒，EFG ∴为等腰直角三角形，45EFG ∴∠=︒，即EF 与AC 所成的角为45.︒ 7.【答案】A【解析】解：31.522224b --===，20237sin sin sin 888c πππ===， 2222842cos12sin sin 482824c πππ--=-=⇒===， 平方分析可知8422->，.c b ∴>131lg 2lg103a =<=，2 1.40.3544b =>=，.b a ∴> 综上：.c b a >>8.【答案】C【解析】解：11111B P xB A yBC zB D =++，且1x y z ++=，P ∴在平面1ACD 上，设正方体的棱长为1，则可知11B ACD -2的正四面体，可求得点1B 到平面1ACD 的距离233d =，且1B 到平面1ACD 的垂足为等边1ACD 的中心，设为1O ，连接1AO 并延长交1CD 于点O ，显然O 为1CD 和1C D 的交点， 又1B P 与平面1ACD 所成角为3π，则111tan 33B O O P π==，可求得123O P =，P ∴在以1O 为圆心，半径23r =的圆上，且圆在平面1ACD 内， 易证得1B D AC ⊥，11B D D C ⊥，而AC 与1D C 为平面1ACD 内两相交直线，1B D ∴⊥平面1ACD ，即可得到点1O 在直线1B D 上，又1B D ⊂平面11AB C D ，∴平面11AB C D ⊥平面1ACD ，且两个平面的交线为AO ，把两个平面抽象出来，如下图，作PM AO ⊥交AO 于M 点，过点M 作MN AD ⊥交AD 于N 点，连接MN ，平面11AB C D ⊥平面1ACD ，PM ⊂平面1ACD ，平面11AB C D ⋂平面1ACD AO =，PM ∴⊥平面11AB C D ，PM AD ∴⊥，又MN AD ⊥，MN 与PM 为平面PMN 中两相交直线， 故AD ⊥平面PMN ，AD PN ∴⊥，PNM ∴∠为二面角1P AD B --的平面角，即为角θ，设AM x =，3622AO ==，得1263AO AO == 当M 与点1O 不重合时，在1Rt PMO 中，可求得22226262()()3339PM x x x =--=-+-若M 与点1O 重合时，即当6x =时，可求得123PM PO ==，也符合上式，故PM =MN AD ⊥，OD AD ⊥，//MN OD ∴，MN AMOD AO ∴=，2xOD AM MN x AO ⨯∴===，tan PMMNθ∴===令2211()()19y x x =-+-，则221[229y x=--+，当1x =，即x =时等号成立，tan 32y θ∴=⨯=故tan θ9.【答案】BD【解析】解：若//m β，//n β，m ，n α⊂时，根据面面平行的判定定理应该还需要m 、n 相交于一点，才可以得到//αβ，故A 错误；根据线面垂直的性质可知，当n α⊥，m α⊥，有//m n ，故B 正确；若//m n ，n α⊂时，根据直线与平面平行的判定定理可知，应该还需要m α⊂/，才可以得到//m α，故C 错误；直接根据线面垂直以及线线垂直的性质，可以判断当m n ⊥，n α⊥，m α⊂/时，有//m α，故D 正确．10.【答案】AC【解析】解：对于A ，(2022)1f =，A 正确.对于B ，取1a =，1b =，()(1)1f ab f ==，()()(1)(1)2f a f b f f +=+=，B 错误. 对于C ，当0a <，0b <，则0a b +<，()2a bf a b ++=，()()2a bf a f b +=，满足，当0a <，0b 时，()()()f a f b f a =，a b a +由()f x 在R 上的单调性知，()()f a b f a +，满足，当0a ，0b <时，同理满足，当0a ，0b 时，0a b +，()1f a b +=，()1f a =，()1f b =，满足，故()()()f a b f a f b +，C 正确.对于D ，取1a =-，1b =-，()(1)1f ab f ==，1()()(1)(1)4f a f b f f =--=，不满足，D 错误.11.【答案】BC【解析】解：双曲线C ：2213y x -=，则223,1,2a b c a b ===+=， P 为双曲线C 上任意一点，根据双曲线的定义可得12||||||223PF PF a -==， 则12||||23PF PF -=±，故A 错误； 根据向量知识集合双曲线得定义， 可得121212||||||||||||||23PF PF PF PF PF PF +-=-=，当且仅当P 为实轴端点，等号成立，故B 正确； 由于2c =，3a =，则双曲线C 的离心率22333c e a ===，故C 正确； 因为双曲线C ：2213y x -=，则双曲线C 的渐近线方程为3y x =±，故D 错误. 12.【答案】ACD【解析】解：由题意知，直线PE 垂直于动点Q 围成的平面区域所在的平面， 当2a =时，正三棱锥P ABC -的底面ABC 是边长为2的正三角形，侧面PAB 、PAC 、PBC 都是以P 为直角顶点的等腰直角三角形， 则此时正三棱锥P ABC -的体积112222323A PBC V V -==⨯⨯⨯⨯=，由题意可知，动点Q 围成的平面区域为如图所示的矩形FGHI ，其中点F 、G 、H 、I 均为所在棱上的中点，且1FG IH ==，2GH FI ==12212S =⨯=A 、C 均正确；当2a =时，正三棱锥P ABC -即为棱长为2的正四面体，各个面都是边长为2的正三角形，则此时正三棱锥P ABC -的体积，由题意可知，动点Q 围成的平面区域为如图所示的三角形FGH ， 其中点F 、G 分别为PC 、PB 的中点，且1FG =，72FH GH ==， 则该三角形的面积为，故B 错误、D 正确.13.【答案】3π 【解析】解：平移后函数解析式为2sin()3y x m π=+-，由图象过原点，,k Z 3m k ππ-=∈，,k Z 3m k ππ=-∈，又0m >，故0k =时，m 取最小值.3π14.【答案】4【解析】解：因为()bf x ax c =+为幂函数，则1a =，0c =，即()bf x x =，又点(2,8)在函数()f x 的图象上，则28b =，解得3b =，所以130 4.a b c ++=++=15.【答案】1【解析】解：如图所示：将四面体ABCD 放到长方体中，则四面体ABCD 的外接球即为其所在的长方体的外接球， BC 为长方体的体对角线即为外接球的直径，因此，四面体ABCD 外接球的半径是1.16.【解析】解：当P 为长轴的端点时，不满足条件，故不妨设22PF m =，当Q 为中点时，则QO m =，12QF m =，14PF m =，且12623aPF PF m a m +==⇒=，在12PF F 中，222121644cos 242m c m PF F m c +-∠=⨯⨯，假设Q 不为中点，设QO t =，12QF t =，在1QF O 中，22214cos 22t c t QFO t c +-∠=⨯⨯， 22222212116444cos cos 24222m c m t c t PF F QFO m c t c+-+-∠==∠=⨯⨯⨯⨯， 整理得：22223(3)0mt m c t mc -++=，又线段1PF 上有且只有中点Q 满足， 故关于t 的方程两根相等，2222(3)430m c m mc ∆=+-⨯⨯=， 化简得：223c m =，又3am =，求得3c e a ==17.【答案】解：(1)设圆C 的标准方程为222()x a y r -+=，其中(,0)C a ，半径为(0)r r >，记线段AB 中点为D ，则(0,1)D ，又直线AB 的斜率为1， 由条件得线段AB 中垂线CD 方程为1y x =-+， 由圆的性质，圆心(,0)C a 在直线CD 上，化简得1a =， 所以圆心(1,0)C ，||2r CA ==， 所以圆C 的标准方程为22(1)4x y -+=；(2)因为直线l 与圆C相交的弦长||MN =圆心(1,0)C 到直线l的距离1d ==， 当直线l 的斜率不存在时，l 的方程12x =，此时12d =，不符合题意，舍去. 当直线l 的斜率存在时，设斜率为k ，则l 的方程11()2y k x -=-，即102kkx y -+-=，由题意得|1|1k d +==，解得0k =或43，故直线l 的方程为4133y x =+或1y =，即4310x y -+=或1y =，综上直线l 的方程为1y =或4310.x y -+=18.【答案】解：(1)因为()f x 定义域为(0,)+∞，则22222()(log 1)(log 2)(log )3log 2f x x x x x =--=-+，设2log ()x t t R =∈，则2231132()244y t t t =-+=---， 所以()f x 值域为1[,).4-+∞ (2)因为2(2)log 40f x a x -⋅+，所以222log (log 1)log 40x x a x ⋅--+， 设2log x t =，则[1,2]t ∈，原问题化为对任意[1,2]t ∈，240t t at -+-，即41a t t+-， 因为441213(t t t t+-⋅-=当且仅当2t =即4x =时，取等号)， 即41t t+-的最小值为3，所以 3.a 19.【答案】解：(1)由0.005200.005200.0075200.0220200.0025201a ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，可得0.01a =⋅样本数据中数学考试成绩在110分以下所占比例为0.10.10.150.40.75+++=， 在130分以下所占比例为0.750.20.95+=，因此，第80百分位数一定位于[110,130)内，由0.80.75110201150.950.75-+⨯=-，所以样本数据的第80百分位数约为115.(2)由题意可知，[50,70)分数段的人数为1000.110(⨯=人)，[70,90)分数段的人数为1000.1515(⨯=人).用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取5名学生，则需在[50,70)内抽取2人，分别记为a ，b ，[70,90)内抽取3人，分别记为x ，y ，z ， 设“从样本中抽取2人，至少有1人分数在[50,70)内”为事件A ， 则样本空间为{,,,,,,,,,.ab ax ay az bx by bz xy xz yz 共包含10个样本点， 而事件{,,,,,,}A ab ax ay az bx by bz =，包含7个样本点， 所以7()10P A =，即抽取的这2名学生至少有1人成绩在[50,70)内的概率为71020.【答案】解：(1)在梯形ABCD 中，//AB CD ，AB BC ⊥，4AB =，2BC CD ==，可算得22AD BD ==，所以AD BD ⊥，在PAD 中，4PA =，22PD AD ==，满足222PA AD PD =+，所以AD PD ⊥， 又PD ⊂平面PBD ，BD ⊂平面PBD ，且PD BD D ⋂=， 所以AD ⊥平面PBD ，又因为BP ⊂平面PBD ， 所以AD BP ⊥；(2)由(1)证明可知，AD ⊥平面PBD ，因为AD ⊂平面ABCD ，则平面PBD ⊥平面ABCD ，取BD 中点O ，连OP ，OC ，因为BC CD =，所以OC BD ⊥，而OC ⊂平面ABCD ，且平面PBD ⋂平面ABCD BD =，OC ⊥平面PBD ，所以OPC ∠就是PC 与平面PBD 所成的角， 在BCD 中，易得2OC =，在PBD 中，26PB =，22BD PD ==，计算可得14OP =， 所以22sin 4142OC OPC PC ∠===+，所以求直线PC 与平面PBD 所成角的正弦值为24解法2:由(1)证明可知，AD ⊥平面PBD ，因为AD ⊂平面ABCD ， 则平面PBD ⊥平面ABCD ， 通过计算可得23PDB π∠=， 建立以DA ，DB 为x 轴，y 轴的正方向，以过D 与平面ABCD 垂直的向量为在z 轴的正方向建立如图空间直角坐标系， 显然z 轴再平面PBD 中且垂直于BD ，则(0,0,0)D ，(0,22,0)B ，(0,2,6)P -，(2,2,0)C -，所以(2,22,6)PC =--，(0,2,6)DP =-，(0,22,0)DB =， 设平面PBD 的法向量为(,,)n x y z =，则00n DP n DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即取(1,0,0)n =，设直线PC 与平面PBD 所成角为θ，则||2sin 4||||PC n PC n θ⋅==⋅，所以求直线PC 与平面PBD 所成角的正弦值为24 21.【答案】解：(1)若选①，由正弦定理可得，sin (sin sin cos )sin cos 0B B C C C C +++=，当6B π=时，代入得，11(sin cos )sin cos 022C C C C +++=， 整理可得11sin cos (sin cos )024C C C C +++=，11(sin )(cos )022C C ++=， 在ABC 中，sin 0C >，所以1sin 02C +≠， 所以1cos 02C +=，即1cos 2C =-， 又C 为三角形内角，所以23C π=，所以.6A π= 若选②，当6B π=时，代入得，sin()cos sin 133A A ππ++-=，131sin sin 122A A A ++-=， 131sin 22A A -+=，1sin()32A π-=，又因为0A π<<，2333A πππ-<-<， 所以36A ππ-=，所以.6A π=(2)若选①，因为(sin sin cos )cos 0b B C C c C +++=，所以2sin sin sin sin cos sin cos 0B B C B C C C +++=，sin (sin sin )cos (sin sin )0B B C C B C +++=， (sin sin )(sin cos )0B C B C ++=，在ABC 中，sin 0B >，sin 0C >，所以sin cos 0.B C += 选②，因为sin(2)cos 2sin 1A B B A ++-=， 所以sin cos2cos sin 2cos2sin 1A B A B B A ++-=，sin (cos 21)cos sin 21cos 2A B A B B -+=-，222sin sin 2cos sin cos 2sin A B A B B B -+=，在ABC 中，sin 0B ≠，所以sin sin cos cos sin A B A B B -+=，sin cos()cos B B A C =+=-，由cos sin cos()2C B B π=-=+，及cos y x =在(0,)π上递减，可得2C B π=+，进一步得22A B π=-，所以cos cos(2)sin 22sin cos 2A B B B B π=-==，所以cos cos cos 2sin cos cos sin A B C B B B B ++=+-， 设cos sin (0,1)B B t -=∈，则22sin cos 1B B t =-，2215cos cos cos 1()24A B C t t t ++=-+=--+，当12t =时，cos cos cos A B C ++最大值为5.422.【答案】解：(1)设点(,)M x y ，00(,)P x y ，因为3PQ MQ =，所以00x x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以22)6x +=，即动点M 的轨迹E 的方程为22162x y += (2)()i ①当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为1y kx =+，联立方程组221162y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得 22(13)630k x kx ++-=，则22(6)12(13)0k k ∆=++>恒成立，且122613k x x k +=-+，122313x x k=-+，||AB =||CD ==||||AB CD ⋅=， 设2222(61)(65)(31)k k t k ++=+，则429(4)6(6)50t k t k t -+-+-=， 则236(6)36(4)(5)0t t t ∆=----，得163t ，当且仅当216k =时取到， 此时||||AB CD ⋅最大值是16.②当直线l 的斜率不存在时，则直线l 为0x =，可得||AB =||CD =||||AB CD ⋅=，综上，||||AB CD ⋅最大值是16.()ii 当直线l 的斜率存在时，设(,)T m n ，11(,)A x y ，22(,)B x y ，可得，11221212(,)(,)()()()()TA TB x m y n x m y n x m x m y n y n ⋅=--⋅--=--+--1212()()(1)(1)x m x m kx n kx n =--++-+-， 2221212(1)()()21k x x k kn m x x m n n =++--+++-+2222(69)632113n k mk m n n k-+-=++-++， 要使得上式为定值，即与k 无关，则满足60m =且6933n -=-⨯， 解得0m =，0n =，即点(0,0)T ，此时2TA TB ⋅=-，当直线l 的斜率不存在时，直线l 为0x =，解得A，(0,B ，所以2TA TB ⋅=-， 综上可得，存在定点(0,0)T ，使得 2.TA TB ⋅=-。

2023-2024学年浙江省温州市新力量联盟高二（上）期中数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．直线l ：x +2y +2＝0在y 轴上的截距是（ ） A ．﹣1B ．1C ．﹣2D ．22．圆C 1：(x −4)2+y 2=4与圆C 2：x 2+(y −3)2=16的位置关系是（ ） A ．相离B ．相交C ．内切D ．外切3．若{a →，b →，c →}构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）A ．c →+b →，b →，b →−c →B ．a →，a →+b →，a →−b →C ．a →+b →，a →−b →，c →D ．a →+b →，a →+b →+c →，c →4．正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为D 1C 1，BB 1的中点，则异面直线AE 与FC 所成角的余弦值为（ ）A ．√515B ．4√515 C ．−2√515D ．2√5155．直线l ：y ＝﹣2x +1在椭圆y 22+x 2=1上截得的弦长是（ ）A ．√103B ．2√53C ．8√59D ．5√236．点P 是圆C ：（x +1）2+（y ﹣2）2＝1上的动点，直线l ：（m ﹣1）x +my +2＝0是动直线，则点P 到直线l 的距离的最大值是（ ） A ．4B ．5C ．6D ．77．已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若PF 1⊥PF 2，且∠PF 2F 1＝60°，则C 的离心率为（ ） A ．1−√32B ．2−√3C ．√3−12D ．√3−18．已知E ，F 是圆C ：x 2+y 2﹣2x ﹣4y +1＝0的一条弦，且CE ⊥CF ，P 是EF 的中点，当弦EF 在圆C 上运动时，直线l ：x ﹣y ﹣3＝0上存在两点A ，B ，使得∠APB ≥π2恒成立，则线段AB 长度的最小值是（ ） A ．2√2B ．4√2C ．6√2D ．8√2二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）9．已知直线l 的方向向量是a →，两个平面α，β的法向量分别是m →，n →，则下列说法中正确的是（ ） A ．若a →∥m →，则l ⊥α B ．若a →⋅m →=0，则l ⊥α C ．若m →∥n →，则α⊥βD ．若m →⋅n →=0，则α⊥β10．已知点M 椭圆C ：4x 2+9y 2＝36上一点，椭圆C 的焦点是F 1，F 2，则下列说法中正确的是（ ） A ．椭圆C 的长轴长是9B ．椭圆C 焦距是2√5C ．存在M 使得∠F 1MF 2＝90°D ．三角形MF 1F 2的面积的最大值是2√511．已知两点A （﹣5，﹣1），B （0，4）点P 是直线l ：y ＝2x ﹣1上的动点，则下列结论中正确的是（ ） A ．存在P （1，1）使|P A |+|PB |最小B ．存在P(12，0)使|P A |2+|PB |2最小C ．存在P （5，9）使|P A |﹣|PB |最小D ．存在P （0，﹣1）使||P A |﹣|PB ||最小12．已知曲线C ：（|x |﹣1）2+（|y |﹣1）2＝8，则（ ） A ．曲线C 上两点间距离的最大值为4√2B ．若点P （a ，a ）在曲线C 内部（不含边界），则﹣3＜a ＜3 C ．若曲线C 与直线y ＝x +m 有公共点，则﹣6≤m ≤6D ．若曲线C 与圆x 2+y 2＝r 2（r ＞0）有公共点，则3≤r ≤3√2 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．直线√3x +y −2=0的倾斜角为 ．14．圆C 1和圆C 2的圆心分别为C 1（1，2），C 2（3，4），半径都为√2，写出一条与圆C 1和圆C 2都相切的直线的方程是 ．15．正四面体ABCD 的所有棱长都是2，E ，F 分别是BC ，DC 的中点，则AE →⋅BF →= ． 16．如图，三角形ABC 中，AB ＝BC ＝4，∠B ＝90°，D 为AC 中点，E 为BC 上的动点，将△CDE 沿DE 翻折到C ′DE 位置，使点C ′在平面ABC 上的射影H 落在线段AB 上，则当E 变化时，二面角C ′﹣DE ﹣A 的余弦值的最小值是 ．四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（10分）已知直线2x ﹣3y ﹣1＝0和直线x +y ﹣3＝0的交点为P ．（1）求过点P且与直线2x﹣y﹣1＝0平行的直线l1的方程；（2）求线段OP（O为原点）的垂直平分线l2的方程．18．（12分）已知圆C的圆心C在直线y＝2x上，且经过A（﹣1，0），B（3，0）两点．（1）求圆C的方程；（2）直线l：mx+y﹣3m﹣1＝0与圆C交于E，F两点，且|EF|=2√3，求实数m的值．19．（12分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，P A⊥平面ABCD，AB⊥AD，AD∥BC，P A＝AB＝AD＝2BC ＝2，E为PD中点．（1）求证：CE∥平面P AB；（2）求直线CE与平面P AC所成角的正弦值．20．（12分）为了保证我国东海油气田海域的海上平台的生产安全，海事部门在某平台O的正东方向设立了观测站A，在平台O的正北方向设立了观测站B，它们到平台O的距离分别为6海里和m（m＞0）海里，记海平面上到观测站A和平台O的距离之比为2的点P的轨迹为曲线C，规定曲线C及其内部区域为安全预警区（如图）．（1）以O为坐标原点，1海里为单位长度，OA所在直线为x轴，OB所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，求曲线C的方程；（2）海平面上有渔船从A出发，沿AB方向直线行驶，为使渔船不进入预警区，求m的取值范围．21．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为2的等边三角形，CC1＝2，∠ACC1＝60°，点D，E分别是线段AC，CC1的中点，二面角C1﹣AC﹣B为直二面角．（1）求证：A1C⊥平面BDE；（2）若点P为线段B1C1上的动点（不包括端点），求锐二面角P﹣DE﹣B的余弦值的取值范围．22．（12分）如图，已知椭圆C 的焦点为F 1（﹣1，0），F 2（1，0），离心率为√22，椭圆C 的上、下顶点分别为A ，B ，右顶点为D ，直线l 过点D 且垂直于x 轴，点Q 在椭圆C 上（且在第一象限），直线AQ 与l 交于点N ，直线BQ 与x 轴交于点M ． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）判定△AOM （O 为坐标原点）与△ADN 的面积之和是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．2023-2024学年浙江省温州市新力量联盟高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．直线l ：x +2y +2＝0在y 轴上的截距是（ ） A ．﹣1B ．1C ．﹣2D ．2解：将x ＝0代入直线方程x +2y +2＝0，可得2y +2＝0，解得y ＝﹣1． 故选：A ．2．圆C 1：(x −4)2+y 2=4与圆C 2：x 2+(y −3)2=16的位置关系是（ ） A ．相离B ．相交C ．内切D ．外切解：圆C 1：（x ﹣4）2+y 2＝4的圆心（4，0），半径为：2； 圆C 2：x 2+（y ﹣3）2＝16的圆心（0，3），半径为：4； 两个圆心的距离为：√32+42=5，两个圆的半径和为：2+4＝6，半径差为：4﹣2＝2， 2＜5＜6； 所以两个圆相交． 故选：B ．3．若{a →，b →，c →}构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）A ．c →+b →，b →，b →−c →B ．a →，a →+b →，a →−b →C ．a →+b →，a →−b →，c →D ．a →+b →，a →+b →+c →，c →解：对于A ，b →=12(c →+b →)+12(b →−c →)，所以c →+b →，b →，b →−c →三个向量共面，故A 错误，对于C ，假设a →+b →，a →−b →，c →三个向量共面，则存在非零实数x ，y ，满足a →+b →=x(a →−b →)+yc →，整理可得(x −1)a →+(−x −1)b →+yc →=0，因为a →，b →，c →不共面，所以x ﹣1＝﹣x ﹣1＝y ＝0，无解，所以假设不成立，则a →+b →，a →−b →，c →三个向量不共面，故C 正确，对于B ，a →=12(a →+b →)+12(a →−b →)，所以a →，a →+b →，a →−b →三个向量共面，故B 错误，对于D ，c →=(a →+b →+c →)−(a →+b →)，所以a →+b →，a →+b →+c →，c →三个向量共面，故D 错误． 故选：C ．4．正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为D 1C 1，BB 1的中点，则异面直线AE 与FC 所成角的余弦值为（ ）A ．√515B ．4√515C ．−2√515D ．2√515解：以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中棱长为2，则A （2，0，0），E （0，1，2），F （2，2，1），C （0，2，0）， AE →=（﹣2，1，2），FC →=（﹣2，0，﹣1）， 设异面直线AE 与FC 所成角为θ，则cos θ=|AE →⋅FC →||AE →|⋅|FC →|=23⋅√5=2√515， ∴异面直线AE 与FC 所成角的余弦值为2√515． 故选：D ．5．直线l ：y ＝﹣2x +1在椭圆y 22+x 2=1上截得的弦长是（ ）A ．√103B ．2√53C ．8√59D ．5√23解：联立{y =−2x +1y 22+x 2=1，消去y 并整理得6x 2﹣4x ﹣1＝0，此时Δ＞0，所以直线l 与椭圆有两个交点，不妨设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 由韦达定理得x 1+x 2=23，x 1x 2=−16，则直线l 在椭圆上截得的弦长|AB |=√1+k 2⋅|x 1−x 2|=√1+22⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√5•√(23)2−4×(−16)=5√23． 故选：D ．6．点P 是圆C ：（x +1）2+（y ﹣2）2＝1上的动点，直线l ：（m ﹣1）x +my +2＝0是动直线，则点P 到直线l 的距离的最大值是（ ） A ．4B ．5C ．6D ．7解：圆C ：（x +1）2+（y ﹣2）2＝1，可知圆心C （﹣1，2），半径r ＝1， 上的直线l ：（m ﹣1）x +my +2＝0整理可得m （x +y ）﹣x +2＝0， 可得直线l 恒过定点Q （2，﹣2），当CQ ⊥l 时，P 到直线的距离最大，且为r +|CQ |， 即1+√(−1−2)2+[2−(−2)]2=1+5＝6． 故选：C ．7．已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若PF 1⊥PF 2，且∠PF 2F 1＝60°，则C 的离心率为（ ） A ．1−√32B ．2−√3C ．√3−12D ．√3−1解：F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若PF 1⊥PF 2，且∠PF 2F 1＝60°，可得椭圆的焦点坐标F 2（c ，0），所以P （12c ，√32c ）．可得：c 24a 2+3c 24b 2=1，可得14e 2+34(1e2−1)=1，可得e 4﹣8e 2+4＝0，e ∈（0，1），解得e =√3−1．法二，由题意可得|PF 1|=√3c ，|PF 2|＝c ， ∴2a ＝|PF 1|+|PF 2|=√3c +c ，∴ca =√3+1=√3−1．故选：D ．8．已知E ，F 是圆C ：x 2+y 2﹣2x ﹣4y +1＝0的一条弦，且CE ⊥CF ，P 是EF 的中点，当弦EF 在圆C 上运动时，直线l ：x ﹣y ﹣3＝0上存在两点A ，B ，使得∠APB ≥π2恒成立，则线段AB 长度的最小值是（ ） A ．2√2B ．4√2C ．6√2D ．8√2解：由圆C 的方程化为标准方程：（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝4，可知圆心C（1，2），半径r=√2，又CE⊥CF，P是EF的中点，所以∠CEF＝∠CFE＝45°，|CP|=|EF|2=2√22=√2，所以点P的轨迹方程为：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝2，圆心为点C（1，2），半径R=√2．若直线l：x﹣y﹣3＝0上存在两点A，B，使得∠APB≥π2恒成立，则以AB为直径的圆与圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=√2的位置关系为内切或内含．而点C（1，2）到直线l的距离d=|1−2−3|√1+(−1)2=2√2，设AB的中点为M，则|CM|＝d≤|AB| 2，所以|AB|≥2d＝4√2，即|AB|的最小值为4√2．故选：B．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）9．已知直线l的方向向量是a→，两个平面α，β的法向量分别是m→，n→，则下列说法中正确的是（）A．若a→∥m→，则l⊥αB．若a→⋅m→=0，则l⊥αC．若m→∥n→，则α⊥βD．若m→⋅n→=0，则α⊥β解：对于A，若a→∥m→，则l⊥α，故A正确；对于B，若a→⋅m→=0，则l∥α或l⊂α，故B错误；对于C，若m→∥n→，则α∥β，故C错误；对于D，若m→⋅n→=0，则α⊥β，故D正确．故选：AD．10．已知点M椭圆C：4x2+9y2＝36上一点，椭圆C的焦点是F1，F2，则下列说法中正确的是（）A．椭圆C的长轴长是9B．椭圆C焦距是2√5C．存在M使得∠F1MF2＝90°D．三角形MF1F2的面积的最大值是2√5解：椭圆C：4x2+9y2＝36即x29+y24=1，可得a ＝3，b ＝2，故c =√9−4=√5， 所以椭圆C 的长轴长是2a ＝6，A 错； 焦距是2c ＝2√5，B 对；当M 与A 重合时，三角形MF 1F 2的高最大，此时三角形MF 1F 2的面积也最大，面积的最大值是：12×2c×b =12×2√5×2=2√5，故D 对；当M 与A 重合时，∠F 1MF 2＝2∠F 1AO 最大， 而tan ∠F 1AO =√52＞1＝tan45°， 故此时的∠F 1MF 2＝2∠F 1AO ＞90°， 故C 正确． 故选：BCD ．11．已知两点A （﹣5，﹣1），B （0，4）点P 是直线l ：y ＝2x ﹣1上的动点，则下列结论中正确的是（ ） A ．存在P （1，1）使|P A |+|PB |最小B ．存在P(12，0)使|P A |2+|PB |2最小C ．存在P （5，9）使|P A |﹣|PB |最小D ．存在P （0，﹣1）使||P A |﹣|PB ||最小解：对于A ：设点B 关于直线l 的对称点为C （m ，n ），所以{n+42=2×m+02−1n−4m−0×2=−1，所以{m =4n =2，所以C （4，2），所以|P A |+|PB |≥|AC |，当且仅当P 为AC 与l 交点时满足题意， 又因为AC ：y −2=−1−2−5−4(x −4)，即AC ：y =13x +23， 所以{y =13x +23y =2x −1，所以{x =1y =1，所以P （1，1），故A 正确；对于B ：设P （x ，2x ﹣1），所以（|P A |）2+（|PB |）2＝（x +5）2+（2x ﹣1+1）2+x 2+（2x ﹣1﹣4）2， 所以(|PA|)2+(|PB|)2=10[(x −12)2+194]， 当且仅当x =12时，（|P A |）2+（|PB |）2有最小值，此时2x ﹣1＝0，所以P(12，0)，故B 正确；对于C ：如下图，根据A ，B 与l 的位置关系可判断出|P A |﹣|PB |有最大值，无最小值，故C 错误；对于D ：因为|P A ﹣|PB |≥0，取等号时|P A |＝|PB |，即P 为AB 垂直平分线与l 的交点， 因为AB 垂直平分线方程为y −−1+42=−14−(−1)0−(−5)(x −−5+02)，即y ＝﹣x ﹣1， 所以 {y =−x −1y =2x −1，所以{x =0y =−1，所以P （0，﹣1），故D 正确． 故选：ABD ．12．已知曲线C ：（|x |﹣1）2+（|y |﹣1）2＝8，则（ ） A ．曲线C 上两点间距离的最大值为4√2B ．若点P （a ，a ）在曲线C 内部（不含边界），则﹣3＜a ＜3 C ．若曲线C 与直线y ＝x +m 有公共点，则﹣6≤m ≤6D ．若曲线C 与圆x 2+y 2＝r 2（r ＞0）有公共点，则3≤r ≤3√2解：分x ，y 的符号讨论曲线的形状，画出曲线C ：（|x |﹣1）2+（|y |﹣1）2＝8的图象如图所示：对于A ，曲线C 上两点的最大距离为d =√(1+1)2+(1+1)2+4√2=6√2，故A 错误； 对于B ，在曲线（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝8（x ＞0，y ＞0）中，取y ＝x ，可得x ＝3， 由P （a ，a ）在曲线的内部（不含边界），则﹣3＜a ＜3，故B 正确；对于C ：由图象可得，直线y ＝x +m 与半圆（x +1）2+（y ﹣1）2＝8（x ＜0，y ＞0）相切时，截距m 最大， 由√2=2√2，可得m ＝6或m ＝﹣2（舍去），直线y ＝x +m 与半圆（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝8（x ＞0，y ＜0）相切时，截距m 最小， 由√2=2√2，可得m ＝﹣6或m ＝2（舍去），∴若曲线C 与直线y ＝x +m 有公共点，则﹣6≤m ≤6，故C 正确；对于D ：由线（|x |﹣1）2+（|y |﹣1）2＝8与坐标轴的交点为（0，±(1+√7)），（±（1+√7），0）， 当圆x 2+y 2＝r 2（r ＞0）过点（0，±（1+√7）），（±（1+√7），0）时，r 最小，最小值为1+√7，故D 错误． 故选：BC ．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．直线√3x +y −2=0的倾斜角为 120° ． 解：直线√3x +y −2=0的斜率为−√3， ∴tan α=−√3， ∴α＝120°， 故答案为：120°．14．圆C 1和圆C 2的圆心分别为C 1（1，2），C 2（3，4），半径都为√2，写出一条与圆C 1和圆C 2都相切的直线的方程是 y ＝﹣x +5（或y ＝x ﹣1或y ＝x +3） ．解：圆C 1和圆C 2的圆心分别为C 1（1，2），C 2（3，4），半径都为√2， |C 1C 2|=√(3−1)2+(4−2)2=2√2，两个圆的位置关系是外切，k C 1C 2=4−23−1=1，中点坐标（2，3）， 所以一条公切线方程为：y ﹣2＝﹣（x ﹣3），即y ＝﹣x +5． 设与圆C 1和圆C 2都相切的直线方程为y ＝x +b ，可得√2=|1−2+b|√2，解得b ＝﹣1或b ＝3， 所以公切线方程为：y ＝﹣x +5或y ＝x ﹣1或y ＝x +3． 故答案为：y ＝﹣x +5（或y ＝x ﹣1或y ＝x +3）．15．正四面体ABCD 的所有棱长都是2，E ，F 分别是BC ，DC 的中点，则AE →⋅BF →= 12．解：正四面体ABCD 的所有棱长都是2，E ，F 分别是BC ，DC 的中点， 如图所示：取FC 的中点G ，连接EG ，AG ，在△AEG 中，由于AE =√3，BF =√3，EG =√32，AG =√(12)2+(√3)2=√132，故∠AEG 为异面直线AE 和BF 所成的角； 故cos ＜AE →，AF →＞=cos∠AEG =(√3)2+(√32)2−(√132)22⋅3⋅√32=16； 故AE →⋅AF →=|AE →||AF →|cos ＜AE →，AF →＞=√3×√3×16=12． 故答案为：12．16．如图，三角形ABC 中，AB ＝BC ＝4，∠B ＝90°，D 为AC 中点，E 为BC 上的动点，将△CDE 沿DE 翻折到C ′DE 位置，使点C ′在平面ABC 上的射影H 落在线段AB 上，则当E 变化时，二面角C ′﹣DE ﹣A 的余弦值的最小值是 4√2−5 ．解：过点H 作HG ⊥DE 交DE 于G 点，连接C ′G ，CG ，如下图所示：因为C 在平面ABC 内的射影为H 点，所以C ′H ⊥平面ABC ，所以C ′H ⊥DE ， 又因为HG ⊥DE ，CH ∩HG ＝H ，所以DE ⊥平面CHG ，所以DE ⊥CG ， 所以二面角C ′﹣DE ﹣A 的平面角为∠C ′GH ，且cos ∠C ′GH =HGC′G， 又因为DE ⊥C 'G ，所以DE ⊥CG ，易知C ，G ，H 三点共线，且CG ＝CG ， 则cos ∠C ′GH =HGCG ，在平面ABC 中建立平面直角坐标系如下图所示：设E （0，m ），因为C 在平面ABC 内的射影为H 点，所以可知m ∈（0，2），又D （﹣2，2），C （0，4），所以DE ：y =m−22x +m ，CH ：y =−2m−2x +4， 所以{y =m−22x +m y =−2m−2x +4，所以{x =2(m−2)(4−m)m 2−4m+8y =4m 2−12m+16m 2−4m+8，所以G(2(m−2)(4−m)m 2−4m+8，4m 2−12m+16m 2−4m+8)， 所以cos ∠C ′GH =HG C′G =y G −y H y C −y G=4m 2−12m+16m 2−4m+8−04−4m 2−12m+16m 2−4m+8=4m 2−12m+1616−4m =m 2−3m+44−m，设4﹣m ＝t ∈（2，4），所以cos ∠C ′GH =(4−t)2−3(4−t)+4t =t 2−5t+8t ≥t +8t −5≥2√t ×8t−5＝4√2−5，当且仅当t =8t，即t =2√2，即m =4−2√2时取等号，所以（cos ∠C ′GH ）min ＝4√2−5， 故答案为：4√2−5．四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（10分）已知直线2x ﹣3y ﹣1＝0和直线x +y ﹣3＝0的交点为P ． （1）求过点P 且与直线2x ﹣y ﹣1＝0平行的直线l 1的方程； （2）求线段OP （O 为原点）的垂直平分线l 2的方程． 解：（1）联立方程组{2x −3y −1=0x +y −3=0，得{x =2y =1，∴P （2，1），设l 1：2x ﹣y +m ＝0，代入P （2，1），得4﹣a +m ＝0， 解得m ＝﹣3，∴直线l 1的方程为2x ﹣y ﹣3＝0；（2）∵k OP =1−02−0=12，OP 中点坐标为（1，12），∴OP 的垂直平分线方程为y −12=−2（x ﹣1）， 整理得4x +2y ﹣5＝0，∴线段OP（O为原点）的垂直平分线l2的方程为4x+2y﹣5＝0．18．（12分）已知圆C的圆心C在直线y＝2x上，且经过A（﹣1，0），B（3，0）两点．（1）求圆C的方程；（2）直线l：mx+y﹣3m﹣1＝0与圆C交于E，F两点，且|EF|=2√3，求实数m的值．解：（1）由题意设圆心C（a，2a），半径r＝|AC|＝|BC|，即√(a+1)2+(2a)2=√(a−3)2+(2a)2，解得a＝1，即圆心C（1，2），半径r＝|AC|=√(1+1)2+(2×1)2=2√2，所以圆C的方程为：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝8；（2）由（1）可得圆心C到直线l的距离d=|m+2−3m−1|√1+m2=|1−2m|√1+m2，由题意可得|EF|＝2√r2−d2=2√3，可得d2＝r2﹣3＝8﹣3＝5，所以√1+m2=√5，整理可得：m2+4m+4＝0，解得m＝﹣2．即实数m的值为﹣2．19．（12分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，P A⊥平面ABCD，AB⊥AD，AD∥BC，P A＝AB＝AD＝2BC ＝2，E为PD中点．（1）求证：CE∥平面P AB；（2）求直线CE与平面P AC所成角的正弦值．解：（1）证明：取P A的中点M，连接BM，ME，∵E为PD的中点，∴ME∥AD且ME=12 AD，∵BC∥AD且BC=12 AD，∴ME∥BC且ME＝BC，∴四边形MEBC为平行四边形，∴BM∥CE，又∵CE⊄面P AB，BM⊂面P AB，∴CE∥平面P AB．（2）证明：∵P A ⊥平面ABCD ，DC ⊂平面ABCD ，∴P A ⊥DC ， 过C 作CC ′⊥AD ，交AD 于C ′，则CC ′＝1，C ′D ＝1， ∴CD =√2，又AC =√2，∴AC 2+CD 2＝2+2＝AD 2，∴DC ⊥AC ，又AC ∩P A ＝A ， ∴DC ⊥平面P AC ，又DC ⊂平面PDC ， ∴平面P AC ⊥平面PDC ．取PC 中点F ，连接EF ，则EF ∥DC ， ∴DC ⊥平面P AC ，则EF ⊥平面P AC ， ∴∠ECF 为直线EC 与平面P AC 所成的角， CF =12PC =√32，EF =12CD =√22，∴EC =√34+24=√52， ∴sin ∠ECF =EF CF =√22√52=√105， 即直线EC 与平面P AC 所成角的正弦值为√105．20．（12分）为了保证我国东海油气田海域的海上平台的生产安全，海事部门在某平台O 的正东方向设立了观测站A ，在平台O 的正北方向设立了观测站B ，它们到平台O 的距离分别为6海里和m （m ＞0）海里，记海平面上到观测站A 和平台O 的距离之比为2的点P 的轨迹为曲线C ，规定曲线C 及其内部区域为安全预警区（如图）．（1）以O 为坐标原点，1海里为单位长度，OA 所在直线为x 轴，OB 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系，求曲线C 的方程；（2）海平面上有渔船从A 出发，沿AB 方向直线行驶，为使渔船不进入预警区，求m 的取值范围．解：（1）不妨设P （x ，y ），O （0，0），A （6，0）， 因为海平面上到观测站A 和平台O 的距离之比为2， 所以|PA||PO|=2，即√(x −6)2+y 2=2√x 2+y 2， 整理得（x +2）2+y 2＝16，所以曲线C 是以（﹣2，0）为圆心，4为半径的圆， 则曲线C 的方程为（x +2）2+y 2＝16； （2）易知A （6，0），B （0，m ），若过AB 的直线不过坐标原点且不与坐标轴垂直， 此时直线AB 的方程为x6+y m=1(m ＞0)，即mx +6y ﹣6m ＝0（m ＞0），若渔船从A 出发，沿AB 方向直线行驶且不进入预警区， 此时直线AB 与圆C 切， 而圆心C 到直线AB 的距离为4， 即d =|−2m−6m|√m 2+36=4，①又m ＞0，②联立①②，解得m =2√3，综上，满足条件的m 的取值范围为（2√3，+∞）．21．（12分）如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的底面是边长为2的等边三角形，CC 1＝2，∠ACC 1＝60°，点D ，E 分别是线段AC ，CC 1的中点，二面角C 1﹣AC ﹣B 为直二面角． （1）求证：A 1C ⊥平面BDE ；（2）若点P 为线段B 1C 1上的动点（不包括端点），求锐二面角P ﹣DE ﹣B 的余弦值的取值范围．（1）证明：连接AC 1，如图所示：在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四边形AA1C1C为菱形，∴A1C⊥AC1，∵D，E分别为AC，CC1中点，∴DE∥AC1，∴A1C⊥DE，又D为线段AC中点，△ABC是等边三角形，∴BD⊥AC，又二面角C1﹣AC﹣B为直二面角，即平面AA1C1C⊥平面ABC，且平面AA1C1C∩平面ABC＝AC，BD⊂平面ABC，∴BD⊥平面AA1C1C，又A1C⊂平面AA1C1C，∴BD⊥A1C，又BD∩DE＝D，BD⊂平面BDE，DE⊂平面BDE，∴A1C⊥平面BDE；（2）解：∵CA＝CC1＝2，∠ACC1＝60°，∴△ACC1为等边三角形，∴C1D⊥AC，∵平面AA1C1C⊥平面ABC，平面AA1C1C∩平面ABC＝AC，C1D⊂平面ACC1A1，∴C1D⊥平面ABC，则建立以D为坐标原点，以DB，DA，DC1所在直线分别为x，y，z轴的空间直角坐标系D﹣xyz，如图所示：则D （0，0，0），B （√3，0，0），E （0，−12，√32），C 1（0，0，√3）， B 1（√3，1，√3），C （0，﹣1，0），A 1（0，2，√3）， ∴DB →=（√3，0，0），DE →=（0，−12，√32）， C 1B 1→=（√3，1，0），CA 1→=（0，3，√3）， 设P （x ，y ，z ），C 1P →=λC 1B 1→（0＜λ＜1）， 则有(x ，y ，z −√3)=(√3λ，λ，0)，∴x =√3λ，y =λ，z =√3，即P(√3λ，λ，√3)， ∴DP →=(√3λ，λ，√3)， 由（1）得A 1C ⊥平面BDE ，∴平面BDE 的一个法向量CA 1→=（0，3，√3）， 设平面PDE 的法向量n →=(a ，b ，c)，则{n →⋅DE →=−12b +√32c =0n →⋅DP →=√3λa +λb +√3c =0，取c ＝1，则b =√3，a ＝﹣1−1λ，∴平面PDE 的法向量为n →=(−1−1λ，√3，1)， ∴|cos ＜CA 1→，n →＞|=|CA 1→⋅n →||CA 1→|⋅|n →|=4√32√3×√4+(−1−1λ)2=2√2(1λ+12)2+92，∵λ∈（0，1），∴1λ∈(1，+∞)，∴|cos ＜CA 1→，n →＞|=2√2(1λ+12)2+9223，∴|cos ＜CA 1→，n →＞|∈（0，23），故锐二面角P ﹣BD ﹣E 的余弦值的取值范围为（0，23）．22．（12分）如图，已知椭圆C 的焦点为F 1（﹣1，0），F 2（1，0），离心率为√22，椭圆C 的上、下顶点分别为A ，B ，右顶点为D ，直线l 过点D 且垂直于x 轴，点Q 在椭圆C 上（且在第一象限），直线AQ 与l 交于点N ，直线BQ 与x 轴交于点M ． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）判定△AOM （O 为坐标原点）与△ADN 的面积之和是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．解：（1）因为椭圆C 的焦点为F 1（﹣1，0），F 2（1，0）， 所以椭圆C 的半焦距c ＝1， 又椭圆C 的离心率e =c a =√22， 所以椭圆C 的长半轴a =ce =√2， 可得b =√a 2−c 2=1， 则椭圆C 的方程为x 22+y 2=1；（2）由（1）知A （0，1），B （0，﹣1），D(√2，0)， 不妨设Q （x 0，y 0），x 0＞0，y 0＞0， 因为点Q 在椭圆C 上， 所以x 022+y 02=1， 此时直线AQ 的方程为y =y 0−1x 0x +1， 当x =√2时，解得y =√2(y0−1)x 0+1， 即N （√2，√2(y 0−1)x 0+1）， 直线BQ 的方程为y =y 0+1x 0x −1， 当y ＝0时，解得x =x0y 0+1，即M(x 0y 0+1，0)， 易知点N 在x 轴上方， 所以|DN|=√2(y0−1)x 0+1，|OM|=xy 0+1，则S △AOM +S △ADN =12|OM|⋅|OA|+12|DN|⋅|OD|=12|OM|+√22|DN| =12⋅x 0y 0+1+√22(√2(y 0−1)x 0+1)=√22+x 02(y 0+1)+y 0−1x 0 =√22+x 02+2y 02−22x 0(y 0+1)=√22．故△AOM （O 为坐标原点）与△ADN 的面积之和是定值，定值为√22．。

2019-2020学年浙江省温州新力量联盟高二上学期期中联考数学试题一、单选题1．设集合{}1,2,5,6A =，{}2,4B =，{}1,2,3,4C =，则()A B C =U I （ ） A ．{}2 B ．{}1,2,4C ．{}1,2,4,5D ．{}1,2,3,4,6【答案】B【解析】由集合的运算直接计算即可得出答案. 【详解】由题意可得:{}1,2,4,5,6A B =U ,∴(){}1,2,4A B C =U I . 故选:B. 【点睛】本题考查了集合间的运算,属于基础题.2．函数()21xf x x =-的定义域是（ ） A ．()1,-+∞ B ．()()1,11,-+∞U C ．[)1,-+∞D ．[)()1,11,-+∞U【答案】D 【解析】由1010x x +≥⎧⎨-≠⎩联立即可解得定义域.【详解】1010x x +≥⎧⎨-≠⎩Q ,11x x ≥-⎧∴⎨≠⎩,可得函数定义域为:[)()1,11,-⋃+∞ 故选D ． 【点睛】本题考查了函数定义域的求法,掌握负数没有平方根以及零不能作为分母是解决本题关键,属于基础题.3．已知函数()1f x x x=+，则函数()y f x =的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】利用奇偶性排除排除,A C ，令1x =-排除D ，从而可得结果. 【详解】11()||||f x x x x x-=-+=--，即函数()f x 为非奇非偶函数， 图象不关于原点对称，排除,A C ； 令1x =-，则()0f x =，排除D ，故选B. 【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.4．函数()y Asin x ωϕ=+的部分图象如图所示，则（ ）A ．2sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭B ．2sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．2sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．2sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭【答案】A【解析】由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出w ，由五点法作图求出ϕ的值，可得函数的解析式． 【详解】根据函数()y Asin x ωϕ=+的部分图象，可得2A =，236T πππω==+，解得2w =，再根据五点法作图，可得232ππϕ⨯+=，解得6πϕ=-，故()226f x sin x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 故选A ． 【点睛】本题主要考查由函数()y Asin x ωϕ=+的部分图象求解析式，其中解答中函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出w ，由五点法作图求出ϕ的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．5．若x ，y 满足约束条件1030330x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩，则3z x y =-的最小值为（ ）A ．2-B ．1C ．1-D ．0【答案】C【解析】由不等式组作出可行域,根据目标函数的几何意义求解最值. 【详解】由题意画出可行域,如图所示,由3z x y =-得3y x z =-,要使z 取最小值,只需截距最大即可,故直线过()0,1A 时,z 最小.min 3011Z ∴=⨯-=-.故选:C. 【点睛】本题考查了线性规划的基本应用,利用数形结合以及目标函数的几何意义是解决此类问题的方法,属于基础题.6．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，1112n n a S a +＝，＝， 则n S ＝( )A ．12n -B ．13()2n -C ．12()3n - D ．112n - 【答案】B【解析】利用公式1n n n a S S -=-计算得到11323,2n n n n S S S S ++==，得到答案. 【详解】由已知1112n n a S a +==，，1n n n a S S -=- 得()12n n n S S S -=-，即11323,2n n n n S S S S ++==， 而111S a ==，所以13()2n n S -=.故选B. 【点睛】本题考查了数列前N 项和公式的求法，利用公式1n n n a S S -=-是解题的关键. 7．设0a >，0b >，若直线2ax by +=平分圆C ：()()22111x y -+-=，则11a b+的最小值为（ ） A ．1 B ．2C ．4D ．14【答案】B【解析】由直线平分圆,可得圆心在直线上即得2a b +=,然后利用基本不等式即可求得11a b+的最小值. 【详解】直线2ax by +=过圆心()1,1,2a b ∴+=,()1111112222b a a b a b a b a b ⎡⎤⎛⎫⎡⎤+=+⋅+=++≥ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦（当且仅当a b =取等号）. 故选:B. 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系,考查了基本不等式的应用,属于基础题. 8．若一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A 、32π B 、3π+ C 、332π+ D 、532π+ 【答案】C【解析】试题分析：由三视图，可知该几何体是一个圆锥的一半（沿轴截面截得），其中底面圆的半径为1，高为3，母线长为2，其表面积是半圆面、轴截面和曲面的一半的面积之和，则该几何体的表面积323122132211212+=⨯⨯+⨯⨯+⨯=πππS ；故选C ．【考点】1．三视图；2．几何体的表面积． 9．设函数()212019f x x x=-+，则使得()()21f x f x >-成立的x 的取值范围是（ ） A ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()1,1,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭UC ．11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．11,,33⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U【答案】A【解析】由函数解析式可得函数为偶函数且在()0,∞+上为增函数,则可得21x x >-,然后解绝对值不等式即可得出答案. 【详解】函数是偶函数且在()0,∞+递增，()()21fx f x ∴>-，21x x ∴>-，解得1,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．故选:A. 【点睛】本题考查了函数奇偶性和单调性的综合应用,属于中档题.10．已知AB AC u u u v u u u v ⊥，1AB t=u u uv ，AC t =u u u v ，若P 点是ABC V 所在平面内一点，且4AB AC AP AB AC=+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，则·PB PC u u u v u u u v 的最大值等于（ ）.A ．13B ．15C ．19D ．21【答案】A【解析】以A 为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则1(,0)B t，(0,)C t ，10)4(0,1)(1,4)AP =+=u u u r （，，即14)P （，，所以114)PB t=--u u u r （，，14)PC t =--u u u r （，，因此PB PC ⋅u u u r u u u r11416t t =--+117(4)t t =-+，因为114244t t t t+≥⋅=，所以PB PC ⋅u u u r u u u r 的最大值等于13，当14t t =，即12t =时取等号．【考点】1、平面向量数量积；2、基本不等式．二、填空题11．设两直线1L ：10mx y ++=；2L ：20x my ++=．若12L L P ，则m =________； 【答案】1m =或1m =-.【解析】由直线平行,可得两条直线的斜率相等,排除重合情况,即可得出参数的值. 【详解】12L L Q P ,21m ∴=,1m ∴=或1m =-,经检验符合题意.故答案为:1m =或1m =-. 【点睛】本题考查了根据直线平行求参数的问题,忽略直线重合的情况是解决此类问题容易犯的错误,属于基础题.12．已知函数()sin cos 2f x x x x =，则函数()y f x =的周期为________．函数()y f x =在区间0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭上的最小值是________．【答案】π. . 【解析】由二倍角公式结合两角和差公式可将原函数化简为()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,利用周期公式2T πω=即可求出函数周期;由题意求出23x π-的范围,然后利用函数图像求解最小值. 【详解】()1sin 22sin 223f x x x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭,T π∴=.[0,)2π∈Q x ，22[,)333πππ∴-∈-x ．∴当233x ππ-=-即0x =时，()f x 取得最小值．故答案为:π;【点睛】本题考查了三角函数的化简,求周期以及三角函数求最值,二倍角公式以及三角和差公式的准确掌握是解决本题的关键,属于一般难度的题.13．已知数列{}n a 满足2518a a +=，3432a a =，若{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，则6S =________，若{}n a 为单调递减的等比数列，其前n 项和为63n T =，则n =________．【答案】54. 6.【解析】当数列是等差数列时,则利用等差数列的性质162518a a a a +=+=,可直接求6S ;当数列是等比数列时,则利用等比数列的性质253432a a a a ==,结合2518a a +=可以将25,a a 转化为一元二次方程的根,求出2a 和5a ,且利用递减等比数列即25a a >,求得首项和公比,利用等比数列前n 和公式即可求得结果. 【详解】若{}n a 为等差数列,则162518a a a a +=+=, ()1666542a a S +∴==; 若{}n a 为等比数列,253432a a a a ∴==,2a ∴,5a 是方程218320x x -+=两根．n a 为单调递减等比数列，216a ∴=，52a =,12q ∴=,132,a =1321263112nn T ⎛⎫- ⎪⎝⎭==-Q ，6n ∴=.故答案为:54;6. 【点睛】本题考查了等差数列和等比数列的性质,熟练掌握数列的相关计算公式是解题的关键,考查了学生的转化及计算能力,属于一般难度的题.14．已知向量a r ,b r ,c r是同一平面内的三个向量,其中(a =r ．若2b =r ,且b a r r P ,则向量b r的坐标________.若c =r ,且()()23a c a c +⊥-r r r r ,则a c ⋅r r ________．【答案】(b =r，或(1,b =-r. 2.【解析】利用平行向量的概念设λb a =r r,再利用向量b r的模即可求出λ的值,进而求出向量b r 的坐标;利用垂直的两个向量的数量积为零即()()203=+⋅-r r r r a c a c ,化简结合a r和c r的模即可求出答案.【详解】由b a r P r,令()b a λλ==r r ,,得2=1λ,=1λ∴±．(b ∴=r或(1,b =-r;()()23a c a c +⊥-r r r r Q ,()()230a c a c ∴+=⋅-r r r r．化简得222324322⋅=-=⨯-⨯=r r r r a c a c ．故答案为: (b =r或(1,b =-r;2.【点睛】本题考查了向量的平行关系和垂直关系,属于基础题.15．已知定点()0,0O ，()3,0A 且2MO MA =，则动点M 的轨迹方程________． 【答案】()2244x y -+=.【解析】设点(),M x y ,由题中等量关系2MO MA =利用两点之间距离公式可得()222243x y x y ⎡⎤+=-+⎣⎦,化简即得答案.【详解】设(),M x y ,根据题意得到方程()222243x y x y ⎡⎤+=-+⎣⎦,解得()2244x y -+=.故答案为:()2244x y -+=. 【点睛】本题考查了动点轨迹方程的求解问题,熟练掌握两点之间距离公式是解题的关键,属于基础题.16．已知矩形ABCD ，22AB AD ==，沿AC 翻折，使面ADB ⊥面ABC ，则二面角B AD C --的余弦值为________．3【解析】分析翻折前后的变量与不变量,利用面面垂直的性质定理可得BC BD ⊥,求得3BD =再利用二面角平面角的定义结合题中已知条件判断BDC ∠为B AD C--的二面角平面角,最后在直角三角形BCD 中由cos ∠=BDBDC CD即可求出答案. 【详解】因为ADB ⊥面ABC ，BC AB ⊥，所以BC ⊥面ADB ，BC BD ⊥，3BD =，所以AD DB ⊥，又AD DC ⊥，所以BDC ∠为B AD C --的二面角平面角，所以3cos 2BDC ∠=． 故答案为3【点睛】本题重点考查了二面角的平面角的证明与求解计算,考查了学生对平面图形翻折前后的变量与不变量的分析,属于一般难度的题. 17．已知t R ∈，记函数()42f x x t t x =+-++在[]1,2-的最大值为3，则实数t 的取值范围是________． 【答案】52t ≤. 【解析】令42x a x +=+由[]1,2x ∈-,利用基本不等式可求得[]2,3a ∈, 分别讨论2t ≤, 23t <<, 3t ≥对应的解析式,结合最值求参数t 的取值范围.【详解】令42x a x +=+,由[]1,2x ∈-,利用基本不等式4422222x x x x +=++-≥++, 当且仅当422x x +=+,即0x =时取等号,当1x =-时3a =,当2x =时3a =,所以[]2,3a ∈,问题转化为求函数y a t t =-+,在[]2,3a ∈上的最大值为3,当2t ≤时,函数3y a t t a =-+=≤,所以3max y =恒成立;当23t <<时,由函数的最大值在端点处取得则22233max t t t y t t ⎧-+=-⎪=⎨-+=⎪⎩,令223t -=得52t =,所以t 得取值范围为:52?2t <<; 当3t ≥时,函数2y a t t t a =-+=-,此时2a =时223max y t =-=得52t =不成立; 综上所述,满足要求的t 得取值范围为52t ≤. 故答案为:52t ≤. 【点睛】本题考查了函数最值问题,通过换元将函数转化为绝对值函数在闭区间上最大值的问题,对参数取值范围的讨论是解题的关键,属于难题.三、解答题18．已知a ，b ，c 分别是ABC ∆内角A ，B ，C 的对边，2sin 2sin sin B A C =． （1）若a b =，求cos B ；（2）若60B =︒，ABC ∆b ． 【答案】（1）14；（2）2b =. 【解析】(1)由正弦定理将题中关系式2sin 2sin sin B A C =角化边即22b ac =,然后利用余弦定理即可求得结果;(2)利用(1)得22b ac =结合正弦定理三角形面积公式即可得出结果.【详解】（1）由题设及正弦定理可得22b ac =.又a b =，可得2b c =,2a c =, 由余弦定理可得2221cos 24a cb B ac +-==. （2）由（1）知22b ac =.因为60B =︒,1sin 22S ac B ∆==,2ac ∴=,2b =. 【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中应用,属于基础题.19．已知圆C 经过两点()1,3P --，()2,6Q ，且圆心在直线240x y +-=上，直线l 的方程()()110x m y m R +-+=∈．（1）求圆C 的方程；（2）求直线l 被圆C 截得的弦长最短时的方程．【答案】（1）2242200x y x y +---=；（2）1x =-.【解析】(1)用待定系数法求解,设圆的一般方程220x y Dx Ey F ++++=,根据题意列出关于D,E,F 的三元一次方程组,求解即可;(2)由(1)求得圆的圆心()C ,a b 和半径r ,求出圆心到直线l 的距离d ,利用直线与圆相交所得弦的弦长公式写出表达式求出参数的值.【详解】（1）设圆C 的方程为220x y Dx Ey F ++++=,由条件,得193043626024022D E F D E F D E ⎧⎪+--+=⎪⎪++++=⎨⎪⎛⎫⎛⎫⎪-+⨯--= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩,解得4220D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩．∴圆的方程为2242200x y x y +---=．（2）由(1)得圆心()C 2,1,半径5r =,由点到直线的距离公式可得圆心到直线l : ()()110x m y m R +-+=∈的距离231d m =+,所以由直线与圆相交所得弦的弦长公式222r d -可得弦长为:292251m -+,当0m =时弦长最短，此时直线方程为1x =-．【点睛】本题考查了圆的方程的求法,考查了直线和圆交点弦弦长公式的应用,求圆的方程一般有如下两种方法,(1)几何法:根据圆的几何性质,直接求出圆心坐标和半径,进而求出圆的方程;(2)待定系数法:首先根据题意,设出标准方程或一般方程;然后根据题意列出有关,,a b r 或D,E,F 的方程;最后解方程组求出,,a b r 或D,E,F,代入标准方程或一般方程即可.属于中档题.20．已知{}n a 是递增的等差数列，2a ，4a 是方程的根. （1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和. 【答案】（1）112n a n =+;（2）1422n n n S ++=-. 【解析】（1）方程的两根为2,3，由题意得233,2a a ==，在利用等差数列的通项公式即可得出；（2）利用“错位相减法”、等比数列的前n 项和公式即可求出．【详解】方程x 2－5x ＋6＝0的两根为2，3.由题意得a 2＝2，a 4＝3.设数列{a n }的公差为d ，则a 4－a 2＝2d ，故d ＝12，从而得a 1＝32.所以{a n }的通项公式为a n ＝12n ＋1. （2）设2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为S n ， 由（1）知n na 2＝122n n ++， 则S n ＝232＋342＋…＋12n n +＋122n n ++， 12S n ＝332＋442＋…＋112n n ++＋222n n ++， 两式相减得12S n ＝34＋311122n +⎛⎫+⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭－222n n ++ ＝34＋111142n -⎛⎫- ⎪⎝⎭－222n n ++， 所以S n ＝2－142n n ++. 【考点】等差数列的性质；数列的求和．【方法点晴】本题主要考查了等差数列的通项公式、“错位相减法”、等比数列的前n 项和公式、一元二次方程的解法等知识点的综合应用，解答中方程的两根为2,3，由题意得233,2a a ==，即可求解数列的通项公式，进而利用错位相减法求和是解答的关键，着重考查了学生的推理能力与运算能力，属于中档试题．21．如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面为直角梯形,AD ∥BC,∠BAD=90°，PA ⊥底面ABCD ，且PA ＝AD=AB=2BC ，M 、N 分别为PC 、PB 的中点.（1）求证：PB ⊥DM ；（2）求CD 与平面ADMN 所成角的正弦值．【答案】（1）证明：设BC=1P （0，0，2） B （2，0，0） D （0，2，0） C （2，1，0） M （1，12，1） (2,0,2)PB =-u u u v 3(1,,1)2DM =-u u u u v 0PB DM ∴⋅=u u u v u u u u v ∴PB ⊥DM（2）(2,1,0)CD =-u u u v (0,2,0)AD =u u u v 1(1,,1)2AM =u u u u v 设平面ADMN 的法向量(,,)n x y z =v 0002002y n AD y y x x z n AM =⎧⎧⋅==⎧⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨=-++=⋅=⎩⎪⎪⎩⎩v u u u v v u u u u v 取z=-1 (1,0,1)n ∴=-v设直线CD 与平面ADMN 成角为θsin |cos ,|52105n CD θ=<>=⋅=v u u u v 【解析】略22．设函数()()()22213f x x a x a a a R =++++∈． （1）若()231f x a a ≥++对任意的[]1,2x ∈上恒成立，求a 的取值范围； （2）若()f x 在区间[],m n 上单调递增，且函数()f x 在区间[],m n 上的值域为[],m n ，求a 的取值范围．【答案】（1）12a ≥-；（2）1012a -≤<. 【解析】(1)由题意分离参数得121a x x +≥-在[]1,2x ∈上恒成立,令()1g x x x =-判断其在[]1,2x ∈上的单调性,由()21max a g x +≥即可求出参数范围;(2)由题意判断,m n 是方程()f x x =在)21,2a x +⎡∈-+∞⎢⎣上的两个不相等的实数根,然后再根据根的判别式,对称轴的位置和端点值的范围联立即可求出参数范围.【详解】（1）由题意()231f x a a ≥++在[]1,2x ∈上恒成立,可得21121-+≥=-x a x x x 在[]1,2x ∈上恒成立, 令()1g x x x =-,易得函数()1g x x x =-在[]1,2递减, 可得()()2110maxa g x g +≥==,即210a +≥即得12a ≥-. （2）因为()()()22213f x x a x a a a R =++++∈在[],m n 上递增且值域为[],m n , 则满足：()()212a mf m m f n n +⎧-≤⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩,则可得方程()f x x =在21,2a +⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上有两个不相等的实数根,m n ,设()()2223F x f x x x ax a a =-=+++, 则22441202122102a a a a a a f ⎧⎪∆=-->⎪+⎪->-⎨⎪⎪+⎛⎫-≥ ⎪⎪⎝⎭⎩联立解得:1012a -≤<． 【点睛】本题考查了函数与方程的综合应用,考查了由值域求参数的问题,准确的将函数问题借助二次函数图像转化为方程根的问题是解题的关键,考查了学生的转化和综合运算能力.。

2020 学年第一学期温州新力量联盟期中联考 高二数学试题考生须知： 1.本试卷共 4 页，满分 150 分，考试时间 120 分钟。

2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号。

3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效。

4.考试结束后，只需上交答题卷。

一、选择题(本大题共 10 小题，共 40.0 分)1.直线 1：y＝－ x＋3 的倾斜角为A.30° B.60° C.120° D.90° 2.若水平放置的四边形 AOBC 按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中 A'C'//O'B'，A'C'⊥B'C'， A'C'＝B'C'＝1，O'B'＝2，则原四边形 AOBC 的面积为A.B.3 C.3D.63.函数 f(x)＝＋lg(4－x)的定义域是A.(2，4)B.(3，4)C.(2，3)∪(3，4]D.[2，3)∪(3，4)4.关于直线 m，n，l 及平面 α，β，下列命题中正确的是A.若 m⊥l，n⊥l，则 m//n B.若 m α，n α，l⊥m，l⊥n，则 l⊥αC.若 α⊥γ，β⊥γ，则 α//β D.若 m⊥α，m//β，则 α⊥β5.实数 x，y 满足约束条件，则 z＝2x－y 的最小值是A.5 B.4 6.函数 f(x)＝C.－5D.－6sin(ωx＋φ)(x∈R，ω>0，|φ|< )的部分图象如图所示，则 ω 的值是A.4 B.2 C.D.7.刘徽《九章算术·商功》中将底面为长方形，两个三角面与底面垂直的四棱锥叫做阳马。

如图， 是一个阳马的三视图，则此阳马的体积为A.B.C.8 D.168.若动点 A(x1，y1)，B(x1，y1)分别在直线 l1：x＋y－7＝0 和 l2：x＋y－5＝0 上移动，则 AB 中点 M 到原点距离的最小值为A.3B.2C.3D.49.在底面为正方形的四棱锥 P－ABCD 中，侧面 PAD⊥底面 ABCD，PA⊥AD，PA＝AD，则异面 直线 PB 与 AC 所成的角为A.30° B.45° C.60° D.90° 10.平面向量 ， ， 满足| |＝1， · ＝1， · ＝2，| － |＝2，则 · 的最小值为A.B.C.1 D.2二、填空题(本大题共 7 小题，11－14 每题 6 分，15－17 每题 4 分，共 36.0 分)11.设两直线 l：(3＋m)x＋4y＝5－3m 与 l2：2x＋(5＋m)y＝8，若 l1//l2，则 m＝则 m＝。