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切比雪夫函数,以段落形式开始《切比雪夫函数》一、出现历史切比雪夫函数（Chebyshev Function，又称切比雪夫多项式，Also named Tchebycheff Polynomials）由俄国数学家Pafnuty Lvovich Chebychev于十九世纪40年代著名数学家莱布尼茨夫提出，表征其在数学和物理学领域的特殊性质及历史价值。
他最初的想法，是在众多二次型方程的根都是不真实的情况下，建立一种方法，能够在复数方程中获得接近实数解的近似值。
事实上，他的想法被概括为"最大值与最小值的问题"，这也从另一个角度定义了切比雪夫函数。
他的研究也涉及一些物理学问题，比如分析静电场、磁力场及雷诺条件。
二、函数特性切比雪夫函数是一类二次多项式函数，由Pafnuty Lvovich Chebychev发现。
它是一种特殊的多项式，具有正则边界上的“匹配现象”，即由于具有相关系数，能够和正则线性群进行匹配。
它表示为T(n)(x)，n为多项式的次数，x为多项式的变量，可以看出，T(1)(x) = -1到1之间的最大值或最小值。
此外，它也具有永久的一致性。
它的周期性是指，如果把它带入一个参数，则对对象多项式的每一次进行匹配，它都能产生相同的结果。
换句话说，它具有许多固有性质，比如函数的收敛性和连续性，不受参数的变化而变化。
三、应用领域因为切比雪夫函数在一定范围内的最大值或最小值性质，所以它应用于各种场合，主要是优化结果的近似算法和实际结果分析模型。
在数值分析方面，它被用于求解数学和物理方程的数值解。
例如，它被用于建模和求解城市规划，建筑规划，飞行器静态飞行，机械运动和物理建模方面的问题。
此外，它也被用于统计学中的估计最佳参数模型和最小二乘模型。
另外，它还被用于信号处理，比如提取图像，滤波器设计，加窗技术和自适应滤波等应用中，用于减少噪声和其他因素影响，减少数据失真。
总之，切比雪夫函数在数学，物理，统计学，和信号处理等领域，有广泛的实际应用，其优势表现在快速准确的求解和近似结果，并提供更多的操作空间。
切比雪夫多项式是与棣美弗定理有关，以递归方式定义的一系列正交多项式序列。
通常，第一类切比雪夫多项式以符号Tn表示，第二类切比雪夫多项式用Un表示。
切比雪夫多项式Tn 或Un 代表n 阶多项式。
切比雪夫多项式在逼近理论中有重要的应用。
这是因为第一类切比雪夫多项式的根（被称为切比雪夫节点）可以用于多项式插值。
相应的插值多项式能最大限度地降低龙格现象，并且提供多项式在连续函数的最佳一致逼近。
在微分方程的研究中，数学家提出切比雪夫微分方程和相应地，第一类和第二类切比雪夫多项式分别为这两个方程的解。
这些方程是斯图姆-刘维尔微分方程的特殊情形.定义：第一类切比雪夫多项式由以下递推关系确定也可以用母函数表示第二类切比雪夫多项式由以下递推关系给出此时母函数为从三角函数定义：第一类切比雪夫多项式由以下三角恒等式确定其中n = 0, 1, 2, 3, .... . 是关于的n次多项式，这个事实可以这么看：是:的实部（参见棣美弗公式），而从左边二项展开式可以看出实部中出现含的项中，都是偶数次的，从而可以表示成的幂。
用显式来表示尽管能经常碰到上面的表达式但如果借助于复函数cos(z), cosh(z)以及他们的反函数，则有类似，第二类切比雪夫多项式满足以佩尔方程定义：切比雪夫多项式可被定义为佩尔方程在多项式环R[x] 上的解(e.g., 见Demeyer (2007), p.70). 因此它们的表达式可通过解佩尔方程而得出:归递公式两类切比雪夫多项式可由以下双重递归关系式中直接得出:T0(x) = 1 U − 1(x) = 1 Tn + 1(x) = xTn(x) − (1 − x2)Un − 1(x) Un(x) = xUn − 1(x) + Tn(x) 证明的方式是在下列三角关系式中用x 代替xTn(x) − (1 − x2)Un(x)正交性Tn 和Un 都是区间[−1,1] 上的正交多项式系.第一类切比雪夫多项式带权即:可先令x= cos(θ) 利用Tn (cos(θ))=cos(nθ)便可证明.类似地，第二类切比雪夫多项式带权即:其正交化后形成的随机变量是Wigner 半圆分布).基本性质对每个非负整数n，Tn(x) 和Un(x) 都为n次多项式。
切比雪夫多项式的三角函数表示切比雪夫多项式是一类重要的数学函数，它可以通过三角函数来表示。
在本文中，我们将介绍切比雪夫多项式的定义、性质以及如何使用三角函数来表示它。
让我们来了解一下切比雪夫多项式的定义。
切比雪夫多项式是由切比雪夫多项式方程所定义的一组多项式。
切比雪夫多项式方程可以表示为T_n(x) = cos(n\arccos(x))，其中n是多项式的阶数，x是自变量。
切比雪夫多项式是一个在区间[-1, 1]上定义的函数，它具有一些特殊的性质。
切比雪夫多项式具有递推关系，即T_n(x) = 2xT_{n-1}(x) - T_{n-2}(x)，其中T_0(x) = 1，T_1(x) = x。
这个递推关系可以用来计算高阶切比雪夫多项式。
切比雪夫多项式的性质非常丰富。
首先，切比雪夫多项式是一个奇函数，即T_n(-x) = -T_n(x)。
其次，切比雪夫多项式在区间[-1, 1]上具有n个不同的实根，这些实根被称为切比雪夫节点，可以用来进行数值计算和插值。
现在让我们来看一下如何使用三角函数来表示切比雪夫多项式。
我们知道，三角函数是一个周期函数，可以用来表示周期性的现象。
而切比雪夫多项式是一个在区间[-1, 1]上定义的函数，因此可以通过三角函数来表示。
具体来说，我们可以使用余弦函数来表示切比雪夫多项式。
根据切比雪夫多项式的定义，可以将cos(n\arccos(x))展开为cos(n\theta)，其中\theta = \arccos(x)。
然后，利用三角函数的和差化积公式，可以将cos(n\theta)表示为余弦函数的线性组合。
例如，切比雪夫多项式T_2(x) = 2x^2 - 1可以表示为cos(2\arccos(x)) = 2\cos^2(\arccos(x)) - 1。
进一步化简，可以得到T_2(x) = 2\cos^2(\arccos(x)) - 1 = 2x^2 - 1。
这就是切比雪夫多项式T_2(x)的三角函数表示形式。
切比雪夫多项式是与有关，以递归方式定义的一系列序列。
通常，第一类切比雪夫多项式以符号Tn表示，第二类切比雪夫多项式用Un表示。
切比雪夫多项式T n或U n代表n阶多项式。
切比雪夫多项式在中有重要的应用。
这是因为第一类切比雪夫多项式的根（被称为切比雪夫节点）可以用于多项式插值。
相应的插值多项式能最大限度地降低，并且提供多项式在的最佳一致逼近。
在的研究中，数学家提出切比雪夫微分方程和相应地，第一类和第二类切比雪夫多项式分别为这两个方程的解。
这些方程是的特殊情形.定义：第一类切比雪夫多项式由以下递推关系确定也可以用表示第二类切比雪夫多项式由以下给出此时为从三角函数定义：第一类切比雪夫多项式由以下三角恒等式确定其中n = 0, 1, 2, 3, .... . 是关于的n次多项式，这个事实可以这么看：是:的实部（参见），而从左边二项展开式可以看出实部中出现含的项中，都是偶数次的，从而可以表示成的幂。
用显式来表示尽管能经常碰到上面的表达式但如果借助于复函数cos(z), cosh(z)以及他们的反函数，则有类似，第二类切比雪夫多项式满足以佩尔方程定义：切比雪夫多项式可被定义为在多项式环R[x] 上的解(e.g., 见, p.70). 因此它们的表达式可通过解佩尔方程而得出:归递公式两类切比雪夫多项式可由以下双重递归关系式中直接得出:T0(x) = 1 U ? 1(x) = 1 Tn + 1(x) = xTn(x) ? (1 ? x2)Un ? 1(x) Un(x) = xUn ? 1(x) + Tn(x)证明的方式是在下列三角关系式中用x 代替xTn(x) ? (1 ? x2)Un(x)正交性Tn 和Un 都是区间[?1,1] 上的系.第一类切比雪夫多项式带权即:可先令x= cos(θ) 利用Tn (cos(θ))=cos(nθ)便可证明.类似地，第二类切比雪夫多项式带权即:其后形成的是).基本性质对每个非负整数n，Tn(x) 和Un(x) 都为n次多项式。
切比雪夫多项式离散对数基于的困难问题简介在计算机科学领域，离散对数问题是一种重要的数学问题。
它在许多密码学算法和安全通信协议中扮演着关键角色。
切比雪夫多项式离散对数基于的困难问题是对离散对数问题的一种特殊形式，它与切比雪夫多项式相关。
本文将深入探讨这个困难问题的定义、应用和解决方法。
二级标题什么是离散对数问题？离散对数问题是在一个有限域上计算离散对数的问题。
离散对数是指当给定一个圆上的一个点和一个生成元时，找到一个整数x，使得该生成元的x次方等于给定点。
离散对数问题在密码学中起着重要的作用，常用于公钥密码体制中的Diffie-Hellman密钥交换算法和椭圆曲线密码系统中。
二级标题什么是切比雪夫多项式离散对数基于的困难问题？切比雪夫多项式离散对数基于的困难问题是对传统离散对数问题的扩展和变形。
它是基于切比雪夫多项式的离散对数问题。
切比雪夫多项式是一类特殊的多项式，具有许多独特的性质和应用，它在数学、物理学和计算机科学等领域中发挥着重要的作用。
三级标题切比雪夫多项式的定义和性质1. 切比雪夫多项式的定义切比雪夫多项式是在区间[-1,1]上的一组多项式函数。
第n个切比雪夫多项式定义为Tn(x)=cos(n*acos(x))，其中cos(x)是余弦函数，acos(x)是反余弦函数。
2. 切比雪夫多项式的性质•切比雪夫多项式是定义在区间[-1,1]上的正交多项式。
•切比雪夫多项式具有递归关系，即Tn(x)=2x*T(n-1)(x)-T(n-2)(x)。
•切比雪夫多项式的根是cos((2k+1)π/(2n))，其中k=0,1,2,…,n-1。
•切比雪夫多项式在区间[-1,1]上具有最小最大模值，即Tn(x)=-1的最小解为x=-1，Tn(x)=1的最大解为x=1。
三级标题切比雪夫多项式离散对数基于的困难问题的应用1. 密码学中的应用切比雪夫多项式离散对数基于的困难问题在密码学中具有重要的应用。
它可以用于构建安全的公钥密码体制和加密算法。
切比雪夫多项式递推关系证明嘿，朋友！今天咱们来聊聊切比雪夫多项式递推关系的证明，这可是个有点意思的事儿。
咱先来说说啥是切比雪夫多项式。
你就把它想象成数学世界里一群特别有规律的小伙伴，它们按照一定的规则排着队，这个规则就是咱们要弄明白的递推关系。
那为啥要搞清楚这个递推关系的证明呢？这就好比你要盖一座漂亮的房子，得先搞清楚每一块砖头怎么摆放，每一根梁柱怎么搭建，对吧？证明了这个递推关系，咱们就能更好地理解和运用切比雪夫多项式，解决好多数学难题，是不是很神奇？咱们来看这个递推关系的式子，一堆符号和数字组合在一起，乍一看是不是有点头疼？别慌！咱们慢慢拆解。
你看，就像拼图一样，一块一块来。
先从简单的情况入手，一点点推导。
这就像你学走路，先迈出一小步，然后再迈一大步。
证明的过程中，要用到一些数学知识和方法。
比如说，巧妙的代数运算，就像是厨师烹饪时恰到好处地调味，让整个式子变得美味可口。
咱们得细心，不能马虎。
一个小错误就可能让整个证明跑偏啦，就像在马拉松比赛中跑错了道，那可就麻烦大了。
再想想，这证明的过程就像是在黑暗中摸索着找钥匙，每一次尝试都是在靠近那把能打开知识大门的钥匙。
经过一番努力，当咱们终于把这个递推关系证明出来的时候，那种成就感，简直无与伦比！就像你登上了山顶，看到了无比美丽的风景，心里那个美呀！所以说，别怕这切比雪夫多项式递推关系证明的难题，只要咱们有耐心，有方法，一步一个脚印，肯定能搞定它！总之，切比雪夫多项式递推关系的证明虽然有点挑战，但只要咱们用心去琢磨，就能揭开它神秘的面纱，收获满满的知识和成就感！。
方法一：余弦倍角公式是由余弦的幂整系数线性组合来表示倍角的余弦．这样就产生余弦的n 倍角能否用余弦的幂次的整系数线性组合表示等问题．通过研究，发现cos n α都是关于2cos α的首项系数为1的、次数等于α的倍数的、系数符号正负相间的整系数多项式，还进一步得到cos n α的一些性质．应用此性质，可以得到一些求和公式及解决许多数学问题．进一步研究，发现此多项式可以转化为切比雪夫多项式．在初等数学中，三角函数是一个十分有用的工具，余弦cos n α是众所周知的偶函数，它的倍角公式如：2cos 22cos 1αα=- ，(1)3cos34cos 3cos ααα=-． (2)它们都是由余弦cos α的幂整系数线性组合来表倍角的余弦．这样就自然产生了余弦的n 倍角能否用余弦cos α的幂次的整系数线性组合表示问题，稍作计算可以得42cos 48cos 8cos 1ααα=-+ ，(3)53cos516cos 20cos 5cos αααα=-+ ．(4)观察公式(1—4)，可以发现．如果公式两端同乘以2，则公式右边都是关于2cos α的首系数为1的、次数等于公式左边α的倍数的、系数符号正负相间的整系数多项式．由此猜测2cos n α也具有这一性质，下面用数学归纳法加以证明．猜想2,02cos (1)(2cos )m n m n m m n a αα-==-∑，(;n N m N +∈∈) (5)(5)式可改写为：n/312112cos (2cos )(1)(2cos )ent n mm n m n m m n n C mααα----==+-∑ ，(9) (9)式称为n 倍角余弦公式．12424cos 2(cos )(cos )(cos )n n n n n n n αααααα-----=-++…，其中i α为正整数． 因为余弦cos α在[]0,απ∈上单调，对应值为1降到1-，即cos α[]1,1∈-，[]0,απ∈ ．因此存在反函数，若令cos x α=，则arccos x α=，[]1,1x ∈-，[]0,απ∈．因此，在余弦n 倍角公式中令arccos x α=，[]0,απ∈，[]1,1x ∈-，则倍角公式为于是cos(arccos )n x 首项系数为12n -的多项式，各项系数是整数，符号依次变化，x 的幂依次递减2次，若递减到最后，幂次为负，则该项取零．若记cos(arccos )n x =()n T x ，则()n T x 满足，12()2()()n n n T x xT x T x --=-，()n T x 称为切比雪夫多项式．从递推关系可以得到：第一类切比雪夫多项式有许多良好的性质，例如：1．(cos )cos(),,n T n R n N θθθ=∈∈．(分析：令cos x θ=，arccos x θ=) 2．()(1)()n n n T x T x -=-，,x C n N ∈∈．这表明()n T x 当n 为奇(偶)数时是奇(偶)函数．3．()1,,1n T x x R x ≤∈≤．4．21(0)0m T +=，2(0)(1),m m T m N =-∈．5．函数列{}()n T x 的生成函数为（分析：生成函数又叫母函数，在数学中，某个序列的母函数是一种形式幂级数，其每一项的系数可以提供关于这个序列的信息．使用母函数解决问题的方法称为母函数方法．母函数的思想就是把离散数列和幂级数一一对应起来，把离散数列间的相互结合关系对应成为幂级数间的运算关系，最后由幂级数形式来确定离散数列的构造．母函数是解决组合计数问题的有效工具之一，其思想方法是把组合问题的加法法则和幂级数的乘幂的相加对应起来．）6．函数列{}()n T x 满足2阶递推关系（分析：由三角恒等式cos(1)cos(1)2cos cos n n n θθθθ++-=）最小偏差切比雪夫在1857年提出这样一个问题：在最高项系数为1的n 次多项式中，寻求在区间[]1,1-上与零的偏差最小的多项式．换句话说，就是寻求[]1,1n x C ∈-在1n H -中的最佳一致逼近多项式1()n P x *-，这里定理 在区间[]1,1-上所有最高项系数为1的多项式中，与零的偏差最小，其偏差为112n -． ()n U x 称为第n 个第二类切比雪夫多项式，前7个第二类切比雪夫多项式为： 第二类切比雪夫多项式也有许多良好的性质，例如：1．()(1)(),,n n n U x U x x C n N -=-∈∈．即当以为奇(偶)数时是奇(偶)函数． 2．21(0)0m U +=，2(0)(1)m m U =-，(1)1n U n =+,(1)(1)(1)n n U n -=-+，m N ∈．3．函数列{}()n U x 的生成函数为4．()1,,1n U x n x R x ≤+∈≤．5．函数列{}()n U x 满足2阶递推关系两类切比雪夫多项式的关系定理1设()n T x 和()n U x 分别为第一类和第二类切比雪夫多项式，0n ≥为整数，则证明 由两类切比雪夫多项式的定义得而则比较式在子两边n t 项的系数，即有4切比雪夫多项式的应用4.1切比雪夫多项式插值切比雪夫多项式在逼近理论中有重要的应用．这是因为第一类切比雪夫多项式的根（被称为切比雪夫节点）可以用于多项式插值．相应的插值多项式能最大限度地降低龙格现象，并且提供多项式在连续函数的最佳一致逼近． 切比雪夫多项式插值法：定理：设01,,x x …,n x 为区间[],a b 上1n +个互不相同的点，[]1(),n f x C a b +∈，则对任何[],x a b ∈,存在[]01,,,x n x x x ξ∈，使得拉格朗日插值余()()()n R x f x L x =-，满足其中插值多项式的余项极小化：要使拉格朗日插值多项式()n L x 尽量逼近()f x ，就要使余项()n R x 尽量小．在 ()n R x 中，()f x 是固定的，而 x ξ又是未知数，所以要减小()n R x ，只有恰当选择节点集，使得在插值区间内余项的最大值为极小值．为了应用切比雪夫多项式，首先应将插值区间[],a b ,通过简单变换归一化到区间[−1,1],做变换()12k k z b a x b a =-++⎡⎤⎣⎦ 所以插值节点应取为()121cos 222k k z b a b a n π+⎡⎤=-++⎢⎥+⎣⎦. 其中0,1,2,,1k n =-，所以下面我们只需要讨论区间[−1,1]上的函数的切比雪夫插值法： 当取定第一类切比雪夫点21cos ,0,1,2,,22k k x k n n π+==+后，令()1111max n n x M f x ++-≤≤=，则有()()11max 1max (1)!2(1)!n n n n x R x M M n n ++=≤++∏，故切比雪夫插值法可以使得余项的最大值极小化，得到较佳逼近多项式.。
切比雪夫多项式定理切比雪夫多项式定理（Chebyshev Polynomial Theorem）是一个数学定理，由俄国数学家切比雪夫（Pafnuty Chebyshev）首先提出。
它是关于多项式的定理，描述了多项式在有界域内的行为。
该定理可以用来证明许多关于多项式的性质，也可以用来解决许多多项式问题。
定理的形式如下：给定函数f(x)在区间[a,b]上单调，其中a<b，假设函数f(x)具有n次可导的连续导数，并且f(x)的n-1次导数在[a,b]上单调。
如果f(x)可以由n 次切比雪夫多项式Pn(x)表示，则有：f(x)=Pn(x)+Rn(x)其中，Pn(x)是n次切比雪夫多项式，Rn(x)是n次余项，称为切比雪夫多项式定理。
从定理可以看出，如果f(x)在[a,b]上可以由n次切比雪夫多项式表示，那么f(x)可以被分解为两部分，一部分是切比雪夫多项式Pn(x)，另一部分是余项Rn(x)。
该定理的重要性在于它提供了一种精确的方法来表示函数f(x)的行为，而不必使用近似解法。
此外，该定理也显示了函数f(x)的收敛性，即当n越大时，Pn(x)越接近f(x)，Rn(x)越小。
根据切比雪夫多项式定理，可以得出一些有用的结论，如：（1）在[a,b]上，所有可导的函数f(x)都可以表示为一组切比雪夫多项式的和；（2）在[a,b]上，函数f(x)的收敛性，即当n越大时，Pn(x)越接近f(x)，Rn(x)越小；（3）在[a,b]上，f(x)的最大值和最小值可以由切比雪夫多项式的绝对值来确定，即f max=max{|Pn(x)|}， f min=min{|Pn(x)|}（4）在[a,b]上，有f'(x)=P'n(x)+R'n(x)其中，P'n(x)是n次切比雪夫多项式的导数，R'n(x)是n次余项的导数。
切比雪夫多项式定理的应用非常广泛，在许多领域都有着广泛的应用，如量子力学、量子物理、量子化学、量子计算机、光电子学、电磁学、可编程逻辑控制器、信号处理、机器人学、计算机图形学、计算几何学、数值分析、系统工程、模式识别等等。
切比雪夫多项式及其应用切比雪夫多项式是数学中的经典多项式之一，它是以俄罗斯数学家彼得·切比雪夫的名字命名的。
切比雪夫多项式在数学的多个领域有重要的应用，如在逼近论、信号处理、图像处理等方面发挥着重要的作用。
一、切比雪夫多项式的定义与性质切比雪夫多项式Tn(x)的定义如下：T0(x) = 1T1(x) = xTn(x) = 2xTn-1(x) - Tn-2(x), n ≥ 2切比雪夫多项式有许多重要的性质，其中最为著名的是切比雪夫多项式的最大值性质。
对于[-1,1]上的任意实值函数f(x)，存在唯一的多项式Pn(x)（n为正整数），使得||f(x) - Pn(x)|| ≤ (1/2)^n其中||·||表示函数的无穷范数。
这意味着切比雪夫多项式在区间[-1,1]上能够以任意高的精度逼近任意实值函数。
二、切比雪夫多项式的逼近应用1. 逼近论由于切比雪夫多项式的最大值逼近性质，它在逼近论中有着广泛的应用。
人们可以利用切比雪夫多项式来逼近任意实值函数，从而解决很多实际问题。
例如，在数值计算中，我们经常需要对函数进行近似计算，而切比雪夫多项式的逼近能力使得我们能够以较高的精度近似计算函数的值，从而提高计算的准确性。
2. 信号处理在信号处理领域，切比雪夫多项式可以用于信号的滤波和降噪。
由于切比雪夫多项式的性质，我们可以构造出一类特殊的滤波器，称为切比雪夫滤波器。
这种滤波器能够有效地去除信号中的噪声，同时保持信号的重要特征。
3. 图像处理在图像处理中，切比雪夫多项式可以应用于图像的压缩和恢复。
通过对图像进行切比雪夫变换，我们可以将图像转换为切比雪夫系数，从而实现对图像的压缩。
而通过反变换，我们可以将压缩后的图像恢复为原始图像。
切比雪夫多项式的应用能够大大节省图像的存储空间，并且保持压缩后图像的质量。
三、切比雪夫多项式的数值计算方法切比雪夫多项式可以通过递推关系计算得到，但对于较高阶的多项式计算来说，递推关系的计算量会很大。
有关切比雪夫多项式的几个组合恒等式1 什么是切比雪夫多项式？切比雪夫多项式又称为Chebyshev Polynomials，简称Cheb Poly。
它是一类非常重要的多项式，由俄国数学家谢尔盖·切比雪夫于1859年发明。
它是以一个叫做Tn(x)的函数组合而成，Tn(x)则由一些大家熟知的组合恒等式所求得。
2 切比雪夫多项式的特征切比雪夫多项式的特征是它的几何解释，它是在连续定义函数区间上的Tn(x)多项式在[-1,1]上的最大值与最小值之差最小。
得到最小值这一特点，使得切比雪夫多项式具有以下几个优点：（1）多项式的最值因子是一个趋近于常数的数,这很容易让我们解决极值问题；（2）切比雪夫多项式是等距多项式，即在同一个区间[-1,1]上，多项式的极值点分布均匀；（3）Tn(x)可以直接列出组合的恒等式，甚至可以转化为三角比值函数的组合式，这当然有助于我们解决诸如求积分等问题。
3 切比雪夫多项式的组合恒等式切比雪夫多项式的组合恒等式，根据Tn(x)的数学表达式原理，有如下组合恒等式：（1） Tn(x) = 2Tn-1 (x)-Tn-2 (x)；（2）Tn(x) = 2xTn-1 (x) - Tn-2 (x)；（3）Tn(x) = x²Tn-1 (x) - Tn-2 (x)；（4）Tn(x)= 2n-1T1 (x) - 2n-4T4 (x) +···+(-1)n-1Tn-1 (x)；（5）Tn(x)= 2[0]T3 (x) -2[1]T5 (x) +···+2[(n-1)/2]T2 n-1 (x)；（6）Tn(x) = (-1)n[T1 (x) -T3 (x) +T5 (x) -T7 (x) +···+(-1)n-1T2 n-1 (x)]；（7）Tn(x) = (-2)n-1[T1 (x) -2T3 (x,0.5)+3T5 (x,0.5) -···+(-1)n-1 (2n-1)T2 n-1 (x,2n-2)] 。
数值分析19切比雪夫多项式
1、介绍
切比雪夫多项式是一称重要的数学工具，它可以被用于近似函数或曲线，以及应用于插值问题，数值计算和其他复杂场景。
它是由俄国数学
家Nikolai Chebyshev 在1854年提出的，它是一个多项式，可以让每个
点之间的差值最小化，使得它能够更准确的表示函数与曲线。
它在物理学、统计学、分析力学、建筑学和航海学领域都有用到。
2、原理
切比雪夫多项式是一种函数拟合的重要工具，它通过最小化点间的差
值来表示一个函数或曲线。
它的作用是，对一组给定的离散点，拟合一个
二次或更高次多项式，使得给定的点到多项式曲线的距离最小。
它的工作原理可以概括为：从这些点中选取一组最接近的点，然后用
它们来拟合一个多项式，并使用该多项式来代表函数值。
3、应用
切比雪夫多项式可以用于估算未知的函数或曲线，并精确地近似拟合
测量数据。
它可以应用于统计学、分析力学、航海学、建筑学、力学和物
理学领域，以及数值分析、几何插值和随机计算。
它可以用来计算复杂的
函数表达式，以及测量未知曲线的参数。
切比雪夫多项式也可以用来进行多变量函数的建模，它可以用来分析
和预测复杂系统的行为，并用于科学和工程的计算任务。
方法一：余弦倍角公式是由余弦的幂整系数线性组合来表示倍角的余弦．这样就产生余弦的n 倍角能否用余弦的幂次的整系数线性组合表示等问题．通过研究，发现cos n α都是关于2cos α的首项系数为1的、次数等于α的倍数的、系数符号正负相间的整系数多项式，还进一步得到cos n α的一些性质．应用此性质，可以得到一些求和公式及解决许多数学问题．进一步研究，发现此多项式可以转化为切比雪夫多项式．
在初等数学中，三角函数是一个十分有用的工具，余弦cos n α是众所周知的偶函数，它的倍角公式如：
2cos 22cos 1αα=- ，(1)
3cos34cos 3cos ααα=-． (2)
它们都是由余弦cos α的幂整系数线性组合来表倍角的余弦．这样就自然产生了余弦的n 倍角能否用余弦cos α的幂次的整系数线性组合表示问题，稍作计算可以得
42cos 48cos 8cos 1ααα=-+ ，(3)
53cos516cos 20cos 5cos αααα=-+ ．(4)
观察公式(1—4)，可以发现．如果公式两端同乘以2，则公式右边都是关于2cos α的首系数为1的、次数等于公式左边α的倍数的、系数符号正负相间的整系数多项式．由此猜测2cos n α也具有这一性质，下面用数学归纳法加以证明．
猜想
2,02cos (1)(2cos )m n m n m m n a αα-==-∑，(;n N m N +
∈∈) (5)
(5)式可改写为：
n/312112cos (2cos )(1)(2cos )ent n m
m n m n m m n n C m
ααα----==+-∑ ，(9) (9)式称为n 倍角余弦公式．
12424cos 2(cos )(cos )(cos )n n n n n n n αααααα-----=-++…，其中i α为正整数． 因为余弦cos α在[]0,απ∈上单调，对应值为1降到1-，即cos α[]1,1∈-，[]0,απ∈ ．因此存在反函数，若令cos x α=，则arccos x α=，[]1,1x ∈-，[]0,απ∈．因此，在余弦n 倍角公式中令arccos x α=，[]0,απ∈，[]1,1x ∈-，则倍角公式为
于是cos(arccos )n x 首项系数为12n -的多项式，各项系数是整数，符号依次变化，x 的幂依次递减2次，若递减到最后，幂次为负，则该项取零．
若记cos(arccos )n x =()n T x ，则()n T x 满足，12()2()()n n n T x xT x T x --=-，()n T x 称为切比雪夫多项式．从递推关系可以得到：
第一类切比雪夫多项式有许多良好的性质，例如：
1．(cos )cos(),,n T n R n N θθθ=∈∈．(分析：令cos x θ=，arccos x θ=)
2．()(1)()n n n T x T x -=-，,x C n N ∈∈．
这表明()n T x 当n 为奇(偶)数时是奇(偶)函数．
3．()1,,1n T x x R x ≤∈≤．
4．21(0)0m T +=，2(0)(1),m m T m N =-∈．
5．函数列{}()n T x 的生成函数为
（分析：生成函数又叫母函数，在数学中，某个序列的母函数是一种形式幂级数，其每一项的系数可以提供关于这个序列的信息．使用母函数解决问题的方法称为母函数方法．母函数的思想就是把离散数列和幂级数一一对应起来，把离散数列间的相互结合关系对应成为幂级数间的运算关系，最后由幂级数形式来确定离散数列的构造．母函数是解决组合计数问题的有效工具之一，其思想方法是把组合问题的加法法则和幂级数的乘幂的相加对应起来．）
6．函数列{}()n T x 满足2阶递推关系
（分析：由三角恒等式cos(1)cos(1)2cos cos n n n θθθθ++-=）
最小偏差
切比雪夫在1857年提出这样一个问题：在最高项系数为1的n 次多项式
中，寻求在区间[]1,1-上与零的偏差最小的多项式．换句话说，就是寻求[]1,1n x C ∈-在1n H -中的最佳一致逼近多项式1()n P x *-，这里
定理 在区间[]1,1-上所有最高项系数为1的多项式中， 与零的偏差最小，其偏差为1
12n -．
()n U x 称为第n 个第二类切比雪夫多项式，前7个第二类切比雪夫多项式为： 第二类切比雪夫多项式也有许多良好的性质，例如：
1．()(1)(),,n n n U x U x x C n N -=-∈∈．即当以为奇(偶)数时是奇(偶)函数． 2．21(0)0m U +=，2(0)(1)m m U =-，(1)1n U n =+,(1)(1)(1)n n U n -=-+，m N ∈．
3．函数列{}()n U x 的生成函数为
4．()1,,1n U x n x R x ≤+∈≤．
5．函数列{}()n U x 满足2阶递推关系
两类切比雪夫多项式的关系
定理1设()n T x 和()n U x 分别为第一类和第二类切比雪夫多项式，0n ≥为整数，则
证明 由两类切比雪夫多项式的定义得
而
则
比较式在子两边n t 项的系数，即有
4切比雪夫多项式的应用
4.1切比雪夫多项式插值
切比雪夫多项式在逼近理论中有重要的应用．这是因为第一类切比雪夫多项式的根（被称为切比雪夫节点）可以用于多项式插值．相应的插值多项式能最大限度地降低龙格现象，并且提供多项式在连续函数的最佳一致逼近．
切比雪夫多项式插值法：
定理：设01,,x x …,n x 为区间[],a b 上1n +个互不相同的点，[]1(),n f x C a b +∈，则对任何[],x a b ∈,存在[]01,,,x n x x x ξ∈，使得拉格朗日插值余
()()()n R x f x L x =-，
满足
其中
插值多项式的余项极小化：
要使拉格朗日插值多项式()n L x 尽量逼近()f x ，就要使余项()n R x 尽量小．在 ()n R x 中，()f x 是固定的，而 x ξ又是未知数，所以要减小()n R x ，只有恰当选择节点集，使得在插值区间内余项的最大值为极小值．为了应用切比雪夫多项式，首先应将插值区间[],a b ,通过简单变换归一化到区间[−1,1],做变换()12k k z b a x b a =-++⎡⎤⎣⎦ 所以插值节点应取为()121cos 222k k z b a b a n π+⎡⎤=-++⎢⎥+⎣⎦
. 其中0,1,2,
,1k n =-，所以下面我们只需要讨论区间[−1,1]上的函数的切比雪夫插值法： 当取定第一类切比雪夫点21cos ,0,1,2,,22k k x k n n π+==+后，
令()1111max n n x M f x ++-≤≤=，则有()()11max 1max (1)!2(1)!
n n n n x R x M M n n ++=≤++∏，故切比雪夫插值法可以使得余项的最大值极小化，得到较佳逼近多项式.。
