北 京 交 通 大 学2012~2013学年第一学期概率论与数理统计期末考试试卷（A 卷）参 考 答 案某些标准正态分布的数值其中()x Φ是标准正态分布的分布函数． 一．（本题满分5分）口袋中有10个球，分别标有号码1到10，从中任意取出4个球．求最小号码是5的概率． 解：设=A “取出4个球，最小号码是5”．10个球取出4个球，有取法410C 种．………….2分若最小号码是5，有取法35C 种，因此()2112101041035===C C A P ．………….3分二．（本题满分5分）一间宿舍住有5位同学，求他们之中至少有两位的生日在同一个月份的概率． 解：设=A “5位同学至少有两位的生日在同一月份”．5位同学，每一位在12个月份中任意选择，共有512种可能．………….2分 考虑A 的逆事件A ，它表示5位同学中，没有两位的生日是同一月份的．则 ()()6181.012115512=-=-=P A P A P ．………….3分三．（本题满分8分），已知男人中%5的是色盲患者，女人中色盲患者占%25.0，今从男女比例为21:22的人群中随机地挑选一人，发现是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？ 解：设=A “任选一人为男性”，=B “任选一人是色盲患者”． 所求概率为()B A P ．由Bayes 公式，得 ()()()()()()()A B P A P A B P A P A B P A P B A P +=………….3分9544.00025.0432105.0432205.04322=⨯+⨯⨯=．………….5分 四．（本题满分8分）在一小时内，甲、乙、丙三台机床需要维修的概率分别是9.0，8.0和85.0，而且这三台机床是否需要维修是相互独立的．求在一小时内⑴ 至少有一台机床不需要维修的概率；（4分） ⑵ 至多只有一台机床需要维修的概率．（4分） 解：设{}甲机床需要维修=A ，{}乙机床需要维修=B ，{}丙机床需要维修=C ．则 ⑴ {}()()C B A P C B A P P ⋃⋃-=⋃⋃=1维修至少有一台机床不需要…….2分 ()()()388.085.08.09.011=⨯⨯-=-=C P B P A P ．………….2分⑵ {}()C B A C B A C B A C B A P P ⋃⋃⋃=修至多有一台机床需要维………….2分 ()()()()C B A P C B A P C B A P C B A P +++=()()()()()()()()()()()()C P B P A P C P B P A P C P B P A P C P B P A P +++=059.085.02.01.015.08.01.015.02.09.015.02.01.0=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=．…….2分五．（本题满分8分）试确定常数a ，b ，c ，d 的值，使得函数()⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤++<=e x d e x d cx x bx x ax F 1ln 1为一连续型随机变量的分布函数．解：因为连续型随机变量的分布函数()x F 是连续函数，因此函数()x F 在分段点1=x 及e x =处连续，所以有()()()10101F F F =+=-，即有d c a +=．………….2分 ()()()e F e F e F =+=-00，即有d d ce be =++．………….2分 又分布函数()x F 必须满足：()0lim =-∞→x F x ，()1lim =+∞→x F x ．因而有()0lim ==-∞→x F a x ，()1lim ==+∞→x F d x ．………….2分由此得方程组 ⎩⎨⎧=++=+1101ce be c ，解此方程组，得1,1,1,0=-===d c b a ．………….2分六．（本题满分8分）某地区成年男子的体重X （以kg 计）服从正态分布()2,σμN ．若已知()5.070=≤X P ，()25.060=≤X P ，⑴ 求μ与σ的值；⑵ 如果在该地区随机抽取5名成年男子，求至少有两个人的体重超过kg 65的概率． 解：⑴ 由已知()5.0707070=⎪⎭⎫⎝⎛-Φ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤-=≤σμσμσμX P X P ，()25.0606060=⎪⎭⎫⎝⎛-Φ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤-=≤σμσμσμX P X P ………….2分 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ75.025.016015.070σμσμ ．即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⎪⎭⎫ ⎝⎛--Φ=⎪⎭⎫⎝⎛-Φ75.0605.070σμσμ ，查正态分布表，得⎪⎩⎪⎨⎧=--=-675.060070σμσμ，解方程组，得70=μ，81.14=σ．………….2分⑵ 设=A “从该地区任意选取一名成年男子，其体重超过kg 65”．则()()⎪⎭⎫⎝⎛-≤--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤--=≤-=>3376.081.1470181.14706581.1470165165X P X P X P X P ()()6631.03376.03376.01=Φ=-Φ-=．………….2分 设X ：该地区随机抽取的5名成年男子中体重超过kg 65的人数． 则 ()6631.0,5~B X ．设=B “5人中至少有两人的体重超过kg 65． 则 ()()()()()101112===-=≤-=≥=X P X P X P X P B P9530.03369.06631.03369.06631.0141155005=⨯⨯-⨯⨯-C C ． （已知()75.0675.0=Φ，()6631.034.0=Φ）………….2分七．（本题满分8分） 设二维随机变量()Y X ,的联合密度函数为()()⎪⎩⎪⎨⎧-<<+=其它01045,22x y y x y x f求：随机变量Y 的边缘密度函数()y f Y ． 解：当10<<y 时， ()()()()⎰⎰⎰----+∞∞-+=+==yyyY dx y xdx y x dx y x f y f 1021122545,………….3分()()()6211511312531252123103y y y y y xy x yx +-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-⋅=⎪⎭⎫⎝⎛+⨯=-=．…….3分所以，随机变量Y 的边缘密度函数为()()⎪⎩⎪⎨⎧<<+-=其它01062115y y y y f Y ．………….2分 八．（本题满分10分）设n X X X ,,,21 是n 个独立同分布的随机变量，1X 服从参数为λ的指数分布．令{}n X X X T ,,,m in 21 =，求随机变量T 的密度函数． 解：对于任意的实数x ，随机变量T 的分布函数为 ()(){}()x X X X P x T P x F n T ≤=≤=,,,m in 21{}()x X X X P n >-=,,,m in 121()x X x X x X P n >>>-=,,,121 …………………….2分()()()x X P x X P x X P n >>>-= 211()()()()()()()()nX n x F x X P x X P x X P --=≤-≤-≤--=11111121 ．………….3分所以，随机变量T 的密度函数为()()()()()x f x F n x F x f X n X T T 11--='=． ………….2分如果1X 服从参数为λ的指数分布，则1X 的密度函数为()⎩⎨⎧≤>=-0x x e x f xX λλ ． 分布函数为()()⎩⎨⎧≤>-==-∞-⎰0001x x e dt t f x F xxX X λ ．………….1分 因此此时{}n X X X T ,,,m in 21 =的密度函数为()()()()()x n x n xX n X T e n e e n x f x F n x f λλλλλ-----=⋅⋅=-=111，()0>x ．………….2分九．（本题满分8分） 设随机向量()321,,X X X 间的相关系数分别为312312,,ρρρ，且，()()()0321===X E X E X E ，()()()02321>===σX D X D X D ．令：211X X Y +=，322X X Y +=,133X X Y +=．证明：321,,Y Y Y 两两不相关的充要条件为1312312-=++ρρρ．证明：充分性：如果1312312-=++ρρρ，则有01312312=+++ρρρ．而 ()()322121,cov ,cov X X X X Y Y ++= ()()()()32223121,cov ,cov ,cov ,cov X X X X X X X X +++=()()()()()()()3223231132112var X D X D X X D X D X D X D ⋅++⋅+⋅=ρρρ ()0121323122232213212=+++=+++=σρρρσρσσρσρ………….3分 这说明随机变量1Y 与2Y 不相关．同理可得 ()0,cov 32=Y Y ，()0,cov 13=Y Y ，这就证明了随机变量321,,Y Y Y 两两不相关． ………….1分必要性：如果随机变量321,,Y Y Y 两两不相关，则有()0,cov 21=Y Y ，()0,cov 32=Y Y ，()0,cov 13=Y Y而由上面的计算，得()()01,cov 213231221=+++=σρρρY Y ， ………….3分由于02>σ，所以1132312+++ρρρ，即1132312-=++ρρρ． ………….1分十．（本题满分8分） 设总体X 的密度函数为()⎩⎨⎧<<-=其它若011x x x f()5021,,,X X X 是从X 中抽取的一个样本，X 与2S 分别表示样本均值与样本方差．求()X E ，()X D ，()2S E ．解：因为 ()()011=⋅==⎰⎰-+∞∞-dx x x dx x xf X E ，()()2121311222==⋅==⎰⎰⎰-+∞∞-dx x dx x xdx x f x X E ，所以，()()()()2122=-=X E X E X D ． 所以，()()0==X E X E ，………….2分()()10015021===n X D X D ，………….3分 ()()212==X D S E ．………….3分十一．（本题满分8分） 设总体()4,0~N X ，()921,,,X X X 是取自该总体中的一个样本．求系数a 、b 、c ，使得统计量()()()298762543221X X X X c X X X b X X a T ++++++++=服从2χ分布，并求出自由度． 解：因为()921,,,X X X 是取自总体()4,0N 中的简单随机样本，所以()4,0~N X i ，()9,,2,1 =i而且921,,,X X X 相互独立．所以()8,0~21N X X +，()12,0~543N X X X ++，()16,0~9876N X X X X +++．…….2分所以，()1,0~821N X X +，()1,0~12543N X X X ++，()1,0~169876N X X X X +++．…….2分 因此，()()()()3~161282298762543221χX X X X X X X X X ++++++++．…….2分因此，当161,121,81===c b a 时，统计量()()()()3~161282298762543221χX X X X X X X X X T ++++++++=，自由度为3．………….2分十二．（本题满分8分）一家有500间客房的旅馆的每间客房装有一台kW 2（千瓦）的空调机，该旅馆的开房率为%80．求需要多少电力，才能有%99的可能性保证有足够的电力使用空调机． 解：设X ：该旅馆开房数目，则()8.0,500~B X ．………….2分a ：向该旅馆供应的电力．则若电力足够使用空调机，当且仅当a X ≤2．因此()⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯⨯-Φ≈⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯⨯⨯-≤⨯⨯⨯-=⎪⎭⎫ ⎝⎛≤=≤2.08.05008.050022.08.05008.050022.08.05008.050022a a X P a X P a X P ． 由题设，99.02.08.05008.05002≥⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯⨯⨯-Φa ，………….3分 查表，得33.22.08.05008.05002≥⨯⨯⨯-a，………….1分 所以有 ()68.8412.08.050033.28.05002=⨯⨯⨯+⨯⨯≥a ．即至少向该旅馆供电842千瓦，才能保证该旅馆的空调机正常使用．………….2分十三．（本题满分8分） 设总体X 的密度函数为()()⎩⎨⎧≤>=+-cx cx x c x f 01θθθ． 其中0>c 是已知常数，而1>θ是未知参数．()n X X X ,,,21 是从该总体中抽取的一个样本，试求参数θ的最大似然估计量． 解：似然函数为()()()()()121111+-=+-====∏∏θθθθθθθn n n ni i ni i x x x c x c x f L ………….2分所以，()()∑=+-+=ni i x c n n L 1ln 1ln ln ln θθθθ．所以，()∑=-+=ni i x c n nL d d 1ln ln ln θθθ．………….2分 令：()0ln =θθL d d，即0ln ln 1=-+∑=ni i x c n n θ，………….2分得到似然函数的唯一驻点cn x nni iln ln 1-=∑=θ．所以参数θ的最大似然估计量为cn Xnni iln ln ˆ1-=∑=θ．………….2分。
