2．1.2 空间中直线与直线之间的位置关系[学习目标]1．会判断空间两直线的位置关系．2．理解两异面直线的定义，会求两异面直线所成的角． 3．能用公理4解决一些简单的相关问题． [知识链接]公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内． 公理2：过不在一条直线上的三点有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．[预习导引]1．空间两条直线的位置关系空间两条直线的位置关系有且只有三种． (1)若从公共点的数目分，可以分为 ①只有一个公共点——相交． ②没有公共点⎩⎨⎧平行.异面.(2)若从平面的基本性质分，可以分为 ①在同一平面内⎩⎨⎧相交.平行.②不同在任何一个平面内——异面． 2．异面直线(1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线． (2)异面直线的画法3．平行公理(公理4)文字表述：平行于同一条直线的两条直线平行，这一性质叫做空间平行线的传递性．符号表述：⎭⎬⎫a ∥b b ∥c ⇒a ∥c . 4．等角定理空间中如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补． 5．异面直线所成的角(1)定义：已知两条异面直线a ，b ，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，我们把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)．(2)异面直线所成的角θ的取值范围：(0°，90°]． (3)当θ＝90°时，a 与b 互相垂直，记作a ⊥b .要点一空间两条直线位置关系的判断例1如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：①直线A1B与直线D1C的位置关系是________；②直线A1B与直线B1C的位置关系是________；③直线D1D与直线D1C的位置关系是________；④直线AB与直线B1C的位置关系是________．答案①平行②异面③相交④异面解析直线D1D与直线D1C显然相交于D1点，所以③应该填“相交”；直线A1B与直线D1C在平面A1BCD1中，且没有交点，则两直线“平行”，所以①应该填“平行”；点A1、B、B1在一个平面A1BB1内，而C不在平面A1BB1内，则直线A1B与直线B1C“异面”．同理，直线AB与直线B1C“异面”．所以②④都应该填“异面”．规律方法 1.判定两条直线平行与相交可用平面几何的方法去判断，而两条直线平行也可以用公理4判断．2．判定两条直线是异面直线有定义法和排除法，由于使用定义判断不方便，故常用排除法，即说明这两条直线不平行、不相交，则它们异面．跟踪演练1(1)若a、b是异面直线，b、c是异面直线，则()A．a∥c B．a、c是异面直线C．a、c相交D．a、c平行或相交或异面(2)若直线a、b、c满足a∥b，a、c异面，则b与c()A．一定是异面直线B．一定是相交直线C．不可能是平行直线D．不可能是相交直线答案 (1)D (2)C解析 (1)若a 、b 是异面直线，b 、c 是异面直线，那么a 、c 可以平行，可以相交，可以异面．(2)若a ∥b ，a 、c 是异面直线，那么b 与c 不可能平行，否则由公理4知a ∥c .要点二 公理4、等角定理的应用例2 在如图所示的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、E 1、F 1分别是棱AB 、AD 、B 1C 1、C 1D 1的中点，求证：(1)EF 綉E 1F 1； (2)∠EA 1F ＝∠E 1CF 1. 证明 (1)连接BD ，B 1D 1，在△ABD 中，因为E 、F 分别为AB 、AD 的中点，所以EF 綉12BD . 同理，E 1F 1綉12B 1D 1.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，BB 1綉DD 1， 所以四边形BB 1D 1D 为平行四边形， 因此，BD 綉B 1D 1，又EF 綉12BD ，E 1F 1綉12B 1D 1，所以EF綉E1F1.(2)取A1B1的中点M，连接F1M，BM，则MF1綉B1C1，又B1C1綉BC，所以MF1綉BC.所以四边形BMF1C为平行四边形，因此，BM∥CF1.因为A1M＝12A1B1，BE＝12AB，且A1B1綉AB，所以A1M綉BE，所以四边形BMA1E为平行四边形，则BM∥A1E.因此，CF1∥A1E，同理可证A1F∥CE1.因为∠EA1F与∠E1CF1的两边分别对应平行，且方向都相反，所以∠EA1F ＝∠E1CF1.规律方法(1)空间两条直线平行的证明：一是定义法：即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点；二是利用平面图形的有关平行的性质，如三角形，梯形中位线，平行四边形等关于平行的性质；三是利用公理4：找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行．(2)求证角相等：一是用等角定理；二是用三角形全等或相似．跟踪演练2如图，已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．(1)求证：E，F，G，H四点共面；(2)若四边形EFGH是矩形，求证：AC⊥BD.证明(1)在△ABD中，∵E，H分别是AB，AD的中点，∴EH∥BD.同理FG∥BD，则EH∥FG.故E，F，G，H四点共面．(2)由(1)知EH∥BD，同理AC∥GH.又∵四边形EFGH是矩形，∴EH⊥GH.故AC⊥BD.要点三求异面直线所成的角例3如图，在空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2，E、F分别是AB、CD 的中点，若EF＝3，求异面直线AD、BC所成角的大小．解如图，取BD的中点M，连接EM、FM.因为E、F分别是AB、CD的中点，所以EM綉12AD，FM綉12BC，则∠EMF或其补角就是异面直线AD、BC所成的角．AD＝BC＝2，所以EM＝MF＝1，在等腰△MEF中，过点M，作MH⊥EF于H，在Rt△MHE中，EM＝1，EH＝12EF＝32，则sin∠EMH＝3 2，于是∠EMH＝60°，则∠EMF＝2∠EMH＝120°.所以异面直线AD、BC所成的角为∠EMF的补角，即异面直线AD、BC所成的角为60°.规律方法 1.异面直线一般依附于某几何体，所以在求异面直线所成的角时，首先将异面直线平移成相交直线，而定义中的点O常选取两异面直线中其中一个线段的端点或中点或几何体中的某个特殊点．2．求异面直线所成的角的一般步骤为：(1)作角：平移成相交直线．(2)证明：用定义证明前一步的角为所求．(3)计算：在三角形中求角的大小，但要注意异面直线所成的角的范围．跟踪演练3如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，(1)AC和DD1所成的角是________；(2)AC和D1C1所成的角是________；(3)AC和B1D1所成的角是________；(4)AC和A1B所成的角是________．答案(1)90°(2)45°(3)90°(4)60°解析(1)根据正方体的性质可得AC和DD1所成的角是90°.(2)∵D1C1∥DC，所以∠ACD即为AC和D1C1所成的角，由正方体的性质得∠ACD＝45°.(3)∵BD∥B1D1，BD⊥AC，∴B1D1⊥AC，即AC和B1D1所成的角是90°.(4)∵A1B∥D1C，△ACD1是等边三角形，所以AC和A1B所成的角是60°.1．若空间两条直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系是()A．共面B．平行C．异面D．平行或异面答案 D解析若直线a和b共面，则由题意可知a∥b；若a和b不共面，则由题意可知a与b是异面直线．2．一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是()A．平行或异面B．相交或异面C．异面D．相交答案 B解析如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1与BC是异面直线，又AA1∥BB1，AA1∥DD1，显然BB1∩BC＝B，DD1与BC是异面直线，故选B.3．设P是直线l外一定点，过点P且与l成30°角的异面直线()A．有无数条B．有两条C．至多有两条D．有一条答案 A解析我们现在研究的平台是锥空间．如图所示，过点P作直线l′∥l，以l′为轴，与l′成30°角的圆锥面的所有母线都与l成30°角．4．已知角α的两边和角β的两边分别平行且α＝80°，则β＝________.答案80°或100°解析由等角定理可知，α＝β或α＋β＝180°，∴β＝100°或80°.5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与A1B1所成的角的余弦值为________．答案 13解析 设棱长为1， 因为A 1B 1∥C 1D 1，所以∠AED 1就是异面直线AE 与A 1B 1所成的角． 在△AED 1中，cos ∠AED 1＝D 1E AE ＝1232＝13.1．判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义．很多情况下，定义就是一种常用的判定方法．2．在研究异面直线所成角的大小时，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角．将空间问题向平面问题转化，这是我们学习立体几何的一条重要的思维途径．需要强调的是，两条异面直线所成角为θ，且0°<θ≤90°，解题时经常结合这一点去求异面直线所成的角的大小．一、基础达标1．分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是( ) A ．一定平行 B ．一定相交 C ．一定异面 D ．相交或异面答案 D解析 可能相交也可能异面，但一定不平行(否则与条件矛盾)． 2．a 、b 为异面直线是指①a ∩b ＝∅，且a 不平行于b ；②a ⊂平面α，b ⊄平面α，且a ∩b ＝∅；③a ⊂平面α，b ⊂平面β，且α∩β＝∅；④不存在平面α能使a ⊂α，且b ⊂α成立．( )A ．①②③B ．①③④C ．②③D ．①④答案 D解析②③中的a，b有可能平行，①④符合异面直线的定义．3．下列选项中，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是()答案 C解析易知选项A，B中PQ∥RS，选项D中RS与PQ相交，只有选项C 中RS与PQ是异面直线．4．下面四种说法：①若直线a、b异面，b、c异面，则a、c异面；②若直线a、b相交，b、c相交，则a、c相交；③若a∥b，则a、b与c所成的角相等；④若a⊥b，b⊥c，则a∥c.其中正确的个数是()A．4 B．3C．2 D．1答案 D解析若a、b异面，b、c异面，则a、c相交、平行、异面均有可能，故①不对．若a、b相交，b、c相交，则a、c相交、平行、异面均有可能，故②不对．若a⊥b，b⊥c，则a、c平行、相交、异面均有可能，故④不对．③正确．5.如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC 的中点，则下列叙述正确的是()A．CC1与B1E是异面直线B．C1C与AE共面C．AE，B1C1是异面直线D．AE与B1C1所成的角为60°答案 C解析由于CC1与B1E都在平面C1B1BC内，故C1C与B1E是共面的，所以A错误；由于C1C在平面C1B1BC内，而AE与平面C1B1BC相交于E点，点E 不在C1C上，故C1C与AE是异面直线，B错误；同理AE与B1C1是异面直线，C正确；而AE与B1C1所成的角就是AE与BC所成的角，E为BC中点，△ABC 为正三角形，所以AE⊥BC，D错误．综上所述，故选C.6．若AB∥A′B′，AC∥A′C′，则下列结论：①∠BAC＝∠B′A′C′；②∠ABC＋∠A′B′C′＝180°；③∠ACB＝∠A′C′B′或∠ACB＋∠A′C′B′＝180°.一定成立的是________．答案③解析∵AB∥A′B′，AC∥A′C′，∴∠ACB＝∠A′C′B′或∠ACB＋∠A′C′B′＝180°.7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求A1B与B1D1所成的角．解如图，连接BD、A1D，∵ABCD－A1B1C1D1是正方体，∴DD1綉BB1，∴四边形DBB1D1为平行四边形，∴BD∥B1D1.∵A1B、BD、A1D是全等的正方形的对角线，∴A1B＝BD＝A1D，△A1BD是正三角形，∴∠A1BD＝60°.∵∠A1BD是锐角，∴∠A1BD是异面直线A1B与B1D1所成的角，∴A1B与B1D1所成的角为60°.二、能力提升8.(2014·信阳高一检测)如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线A1B 与AD1所成角为()A．30°B．45°C．60°D．90°答案 C解析连接BC1、A1C1，∵BC1∥AD1，∴异面直线A1B与AD1所成的角即为直线A1B与BC1所成的角．在△A1BC1中，A1B＝BC1＝A1C1，∴∠A1BC1＝60°.故异面直线A1B与AD1所成角为60°.9．在空间四边形ABCD中，AB＝CD，且异面直线AB与CD所成的角为30°，E、F分别是边BC和AD的中点，则异面直线EF和AB所成的角等于()A．15°B．30°C．75°D．15°或75°答案 D解析如图，设G是AC中点，分别连接EG、GF，由已知得EG綉12AB，FG綉12CD，∴∠EGF是AB和CD所成角或是其补角．∵AB＝CD，∴EG＝GF.当∠EGF＝30°时，AB和EF所成角∠GEF＝75°，当∠EGF＝150°时，AB和EF所成角∠GEF＝15°.10．一个正方体纸盒展开后如图，在原正方体纸盒中有下列结论：①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN ∥CD.以上结论中正确的是________(填序号)．答案①③解析把正方体平面展开图还原为原来的正方体，如图所示，AB⊥EF，EF 与MN是异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有①③正确．11．如图所示，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，求异面直线A1B与AD1所成角的余弦值．解连接A1C1，BC1，由A1B1綉D1C1，A1B1綉AB，得AB綉D1C1，∴四边形ABC1D1是平行四边形，∴BC1綉AD1，∴∠A1BC1是异面直线A1B与AD1所成的角或其补角．如右图所示，过B，C1分别作BM⊥A1C1，垂足为M，C 1N ⊥A 1B ，垂足为N . 由已知可设A 1B 1＝1， 则AA 1＝BB 1＝2， ∴A 1B ＝BC 1＝5，A 1C 1＝ 2.∴点M 是A 1C 1中点， ∴A 1M ＝22.∴cos ∠BA 1C 1＝A 1M A 1B ＝225＝1010.∵在Rt △A 1NC 1中， A 1N ＝A 1C 1cos ∠BA 1C 1＝55， ∴BN ＝A 1B －A 1N ＝5－55＝455.∴cos ∠A 1BC 1＝BN BC 1＝455×15＝45.三、探究与创新12.如图，四边形ABEF 和ABCD 都是直角梯形，∠BAD ＝∠F AB ＝90°，BC ∥AD ，BC ＝12AD ，BE ∥F A ，BE ＝12F A ，G ，H 分别为F A ，FD 的中点．(1)证明：四边形BCHG 是平行四边形； (2)C，D ，F ，E 四点是否共面？为什么？(1)证明由已知FG＝GA，FH＝HD，可得GH∥AD，GH＝12AD.又BC∥AD，BC＝12AD，∴GH∥BC，GH＝BC，∴四边形BCHG为平行四边形．(2)解C，D，F，E四点共面．证明如下：由BE∥F A，BE＝12F A，G为F A中点知，BE∥FG，BE＝FG，∴四边形BEFG为平行四边形，∴EF∥BG，EF＝BG.由(1)知BG∥CH，BG＝CH，∴EF∥CH，EF＝CH，∴四边形EFHC是平行四边形，∴CE与HF共面，又D∈FH，∴C，D，F，E四点共面．13.如图所示，△ABC和△A′B′C′的对应顶点的连线AA′、BB′、CC′交于同一点O，且OAOA′＝BOOB′＝COOC′＝23.(1)求证：A′B′∥AB，A′C′∥AC，B′C′∥BC；(2)求S△ABCS△A′B′C′的值．(1)证明∵AA′∩BB′＝O，且AOA′O＝BOB′O＝23，∴AB∥A′B′，同理AC∥A′C′，BC∥B′C′.(2)解∵A′B′∥AB，A′C′∥AC且AB和A′B′、AC和A′C′方向相反，∴∠BAC＝∠B′A′C′，同理∠ABC＝∠A′B′C′，∴△ABC∽△A′B′C′且ABA′B′＝AOOA′＝23，∴S△ABCS△A′B′C′＝⎝⎛⎭⎪⎫232＝49.。
